JHONATAN CAMACHO

TRABAJO DE : SUCESIONES Y FUNCIONES

GRADO 11-01

2015

DEFIJNICION DE SUCESION

• ES UNA FUNCIÓN ESTRICTAMENTE ORDENADA CUYO DOMINIO

PERTENECE A LOS NÚMEROS NATURALES, ES UN CONJUNTO

ORDENADO DE OBJETOS MATEMÁTICOS, GENERALMENTE NÚMEROS.

CADA UNO DE ELLOS ES DENOMINADO

TÉRMINO TAMBIÉN ELEMENTO O MIEMBRO DE LA SUCESIÓN Y AL

NÚMERO DE ELEMENTOS ORDENADOS POSIBLEMENTE INFINITOS SE LE

DENOMINA LA LONGITUD DE LA SUCESIÓN. NO DEBE CONFUNDIRSE CON

UNA SERIE MATEMÁTICA, QUE ES LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA

SUCESIÓN.

EjemploLa sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

TIPOS DE SUCESIONES

• SUCESIONES CONVERGENTES

• LAS SUCESIONES CONVERGENTES SON LAS SUCESIONES QUE TIENEN LÍMITE

FINITO.

• Límite = 0

Límite = 1

• SUCESIONES DIVERGENTES

• LAS SUCESIONES DIVERGENTES SON LAS SUCESIONES QUE NO TIENEN LÍMITE FINITO.

• Límite = ∞

• SUCESIONES OSCILANTES

• LAS SUCESIONES OSCILANTES NO SON CONVERGENTES NI DIVERGENTES. SUS

TÉRMINOS ALTERNAN DE MAYOR A MENOR O VICEVERSA

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

• SUCESIONES ALTERNADAS

• LAS SUCESIONES ALTERNADAS SON AQUELLAS QUE ALTERNAN LOS SIGNOS DE

SUS TÉRMINOS. PUEDEN SER:

• CONVERGENTES

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

TANTO LOS TÉRMINOS PARES COMO LOS IMPARES TIENEN DE LÍMITE 0.

• DIVERGENTES

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

TANTOS LOS TÉRMINOS PARES COMO LOS IMPARES TIENEN DE LÍMITE +∞.

• OSCILANTES

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)N N

• SUCESIONES MONÓTONAS

• SUCESIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES

• SE DICE QUE UNA SUCESIÓN ES ESTRICTAMENTE CRECIENTE SI CADA TÉRMINO ES MAYOR QUE

EL ANTERIOR.

AN+1 > AN

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

• SUCESIONES CRECIENTES

• SE DICE QUE UNA SUCESIÓN ES CRECIENTE SI CADA TÉRMINO ES MAYOR O IGUAL QUE EL

ANTERIOR.

AN+1 ≥ AN

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

• SUCESIONES ESTRICTAMENTE DECRECIENTES

• SE DICE QUE UNA SUCESIÓN ES ESTRICTAMENTE DECRECIENTE SI CADA TÉRMINO DE LA

SUCESIÓN ES MENOR QUE EL ANTERIOR.

AN+1 < AN

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

• SUCESIONES DECRECIENTES

• SE DICE QUE UNA SUCESIÓN ES DECRECIENTE SI CADA TÉRMINO DE LA SUCESIÓN ES MENOR O

IGUAL QUE EL ANTERIOR.

AN+1 ≤ AN

• SUCESIONES CONSTANTES

• SE DICE QUE UNA SUCESIÓN ES CONSTANTE SI TODOS SU TÉRMINOS SON IGUALES, AN= K.

AN = AN+1

5, 5, 5, 5, ...

• SUCESIONES ACOTADAS INFERIORMENTE

• UNA SUCESIÓN ESTÁ ACOTADA INFERIORMENTE SI TODOS SUS TÉRMINOS SON MAYORES O

IGUALES QUE UN CIERTO NÚMERO K, QUE LLAMAREMOS COTA INFERIOR DE LA SUCESIÓN.

AN ≥ K

• A LA MAYOR DE LAS COTAS INFERIORES SE LE LLAMA EXTREMO INFERIOR O ÍNFIMO.

• SI EL ÍNFIMO DE UNA SUCESIÓN ES UNO DE SUS TÉRMINOS SE LE LLAMA MÍNIMO.

• SUCESIONES ACOTADAS SUPERIORMENTE

• UNA SUCESIÓN ESTÁ ACOTADA SUPERIORMENTE SI TODOS SUS TÉRMINOS SON MENORES O

IGUALES QUE UN CIERTO NÚMERO K', QUE LLAMAREMOS COTA SUPERIOR DE LA SUCESIÓN.

AN ≤ K'

• A LA MENOR DE LAS COTAS SUPERIORES SE LE LLAMA EXTREMO SUPERIOR O SUPREMO.

• SI EL SUPREMO DE UNA SUCESIÓN ES UNO DE SUS TÉRMINOS SE LLAMA MÁXIMO.

GRAFICAS DE SUCESIONES

-1

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

an={1-n/n+1}

- ESTRICTAMENTE DECRECIENTE

- ACOTADA SUPERIORMENTE

- CONVERGENTE

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

an={1/n}

- ESTRICTAMENTE DECRECIENTE

- ACOTADAS INFERIORMENTE

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

an={n2}

- CRECIENTE

- ACOTADAS INFERIORMENTE

-DIVERGENTE

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 2 4 6 8 10 12

an={1-1/n}

- ESTRICTAMENTE CRECIENTE

- ACOTADA INFERIORMENTE

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

an={(-1)n}

- ALTERNADA

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

an={(-1)n*(1/n)}

- ALTERNADA

- CONVERGETE

APLICACIÓN DE SUCESIONES EN LA VID COTIDIANA

• las aplicaciones de las sucesiones son incontables. se utilizan

abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de

la topología matemática, y en la muy conocida demostración del

número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua,

son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo

numérico.

• DEFINICION DE FUNCIONES

•GRAFIAS CLASIFICACIONES

• APLICACIÓN EN LA VIDA COTIDIANA

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una

asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial)

de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se

denomina la variable independiente; y un objeto

genérico b del dominio B es la variable dependiente.

También se les llama valores de entrada y de salida,

respectivamente. Esta definición es precisa, aunque

en matemáticas se utiliza una definición formal más

rigurosa, que construye las funciones como un objeto

concreto.

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de

elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio

le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman

el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que

a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

TIPO DE FUNCIONES

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números

reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la

pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta.

Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta

ascendente.

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se

conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba

si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que abre

hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si

para todo x en el dominio, se tiene:

En muchos casos las funciones que modelan un proceso tecnológico son conocidas y

basta con aplicarlas para obtener, por ejemplo, el valor de una determinada variable en

el proceso. En otros casos es necesario, partiendo del conocimiento general de las

características físicas de un sistema, determinar el modelo matemático que lo rige o sea

hallar la función que nos permita hallar variables de interés para el control o seguimiento

del proceso o sistema en cuestión.

Se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las

relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas, Economía, etc.,

y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que depende.