Unidad Educativa “Ambato”

Investigación de la Ciencia y la Tecnología

Tema:

PROBLEMA CIENTÍFICO SOBRE LA MEDICIÓN DEL RADIO DE LA TIERRA

Problema:

“COMO EL PLANTEAMIENTO DE ERATÓSTENES, INFLUYE EN LA MEDICIÓN DEL RADIO DE LA TIERRA REALIZADO POR LOS ESTUDIANTES” DEL TERCER AÑO DE BACHILLERATO GENERAL UNIFICADO DE LA UNIDAD EDUCATIVA “AMBATO”

Msc. Rosita Salas

Integrantes:

Aguilar Arcos Erika Yadira

Chaglla Moyolema Dayanna Michelle.

Dávila Toasa Paula Katherine.

Obregón Manzano Raúl David.

Sánchez Lema Jessica Estefanía.

Fecha: Ambato, 18 de Noviembre del 2015

Curso: 3° B.G.U.

Paralelo: “A”.

Año lectivo:

2015 – 2016

INDICE

1. Portada.

Índice.

2. Resumen.

3. Introducción.

4. Hipótesis.

4.1 Objetivos.

4.1.1 Objetivo General.

4.1.2 Objetivos Específicos.

5. Justificación.

6. Cuerpo.

7. Procedimiento.

7.1 Datos.

7.2 Solución.

8. Metodología y Recursos.

8.1 Metodología.

8.1.1 Métodos.

8.1.2 Técnicas.

8.2 Recursos.

8.2.1 Materiales.

8.2.2 Técnicos.

8.2.3 Humanos.

9. Conclusiones.

10. Recomendaciones.

11. Bibliografía.

12. Anexos.12.1 Cronograma.

2.-RESUMEN

En el proyecto presente se demuestra el radio de la Tierra a través de un sencillo

proceso partiendo de la sombra proyectada de un objeto (pala) la cual formara un cierto

ángulo, mayor cuando más al sur este situado el punto, el cual proyectara el horizonte

del lugar.

Los estudiantes al basarse en los fundamentos que plantea Eratóstenes pudieron

demostrar el radio de la Tierra desde un punto específico en este caso fue las

instalaciones del Colegio “Ambato” en el que se tomó las diferentes medidas utilizadas

para la siguiente proyecto.

3.- INTRODUCCIÓN

4.- HIPOTESIS

La teoría de Eratóstenes y su influencia trascendental en la medición del radio de la

tierra.

4.1 OBJETIVOS

4.1.1 OBJETIVO GENERAL

Determinar si la Teoría de Eratóstenes influye en la medición del Radio de la tierra

realizada por los estudiantes del Tercero Año de Bachillerato General Unificado de la

Unidad Educativa “Ambato”.

4.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Reconocer el aumento de la sombra proyectada por una pala en un tiempo

intermedio del día.

Demostrar el radio de la Tierra basándose en información implícita en el tema.

Comprobar la teoría de Eratóstenes a partir de la investigación realizada.

5.-JUSTIFICACIÓN

El presente informe tiene como tema: “Planteamiento de Eratóstenes, fundamento para

la medición del radio de la tierra realizado por los estudiantes de la Unidad Educativa

“Ambato” Tercer Año De Bachillerato General Unificado”, con lo cual buscamos poner

en practica la teoría planteada por este científico. Esta teoría ha permitido a lo largo del

tiempo ir determinando cual es el radio de la tierra desde distintos puntos del mundo. Se

puede decir que es una técnica sencilla de aplicar, para que cualquier persona la pueda

realizar.

Medir el radio de la tierra se había convertido en un reto para aquellos que estuvieron

antes que Eratóstenes ya que nadie concebía como se podía medir algo tan grande. Sin

embargo se ha demostrado que cualquier persona es capaz de lograr esto, con los

medios adecuados y las investigaciones necesarias.

Eratóstenes tuvo una aproximación del radio terrestre con un reducido error gracias a su

ingenio, de unas sencillas observaciones y de unas matemáticas que hoy sse consideran

elementales.

6.- CUERPO

DEFINICIÓN DE GEOMETRÍA

La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y

μετρία metría, ‘medida’) es una rama de lamatemática que se ocupa del estudio de las

propiedades de las figuras en el plano o el espacio,

incluyendo: puntos, rectas, planos,politopos (que

incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da

fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de

posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con

el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas.

Tiene su aplicación práctica en física

aplicada,mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, 

balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración

de artesanía.

La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades

y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos

aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o

axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman

cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas

y puntos, entre otras.

Hay que dejar patente que la geometría es una de las ciencias más antiguas que existen

en la actualidad pues sus orígenes ya se han establecido en lo que era el Antiguo Egipto.

Así, gracias a los trabajos de importantes figuras como Heródoto o Euclides, hemos

sabido que desde tiempos inmemoriales aquella estaba muy desarrollada pues era

fundamental para el estudio de áreas, volúmenes y longitudes.

Asimismo tampoco podemos pasar por alto que una de las figuras históricas que más

han contribuido al desarrollo de esta área científica es el matemático, filósofo y físico

francés René Descartes. Y es que este planteó el desarrollo de la geometría de una

forma en la que las distintas figuras podían ser representadas a través de ecuaciones.

Esta disciplina se convierte en una de las claves principales de lo que es la asignatura de

Matemáticas en los distintos centros docentes y en los distintos niveles educativos. Así,

tanto en Primaria como en Secundaria, por ejemplo, se desarrollan lecciones que giran

entorno a aquella.

En concreto, entre las unidades que versan sobre dicha materia destacan todas aquellas

que permiten que el alumno en cuestión aprenda todos los conocimientos necesarios

sobre los elementos del plano, los polígonos, los triángulos, las traslaciones y giros, la

semejanza o las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos.

Así, por ejemplo, a la hora de desarrollar esta última lección citada los estudiantes

trabajarán sobre lo que es el prisma, el cilindro, el tetraedro, la esfera, el cubo o el

tronco de la pirámide.

La geometría parte de axiomas (las proposiciones que se encargan de relacionar los

conceptos); estos axiomas dan lugar a teorías que, mediante instrumentos de esta

disciplina como el transportador o el compás, pueden comprobarse o refutarse.

Entre las distintas corrientes de la geometría, se destaca la geometría algorítmica, que

usa el álgebra y sus cálculos para resolver problemas vinculados a la extensión.

La geometría descriptiva, por su parte, se dedica a solucionar los problemas del

espacio mediante operaciones que se desarrollan en un plano donde están representadas

las figuras de los sólidos.

La geometría analítica se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de

coordenadas y de las metodologías propias del análisis matemático.

Por último, podemos agrupar tres ramas de la geometría con diferentes características y

alcances. La geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre

un plano; la geometría del espacio se centra en las figuras cuyos puntos no pertenecen

todos al mismo plano; mientras que la geometría plana considera las figuras que tienen

la totalidad de sus puntos en un plano.

ERATOSTENES Y EL RADIO DE LA TIERRA

Eratóstenes nació en Cirene en el año 276 a. C y se cree que era de origen caldeo. Fue

matemático, astrónomo y geógrafo. Alrededor del año 255 a. C fue nombrado director

de la Biblioteca de Alejandría por el rey Ptolomeo Evegetes. Trabajó con problemas de

matemáticas, como la duplicación del cubo y los números primos. Hemos podido

conocer algo de sus trabajos, merced a comentarios y citas de otros autores.

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre

la medición de la Tierra. Estando en la Biblioteca de Alejandría, encontró un informe de

observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el

que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos

(como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos

podía verse la luz del sol. Esto se debe a que está ciudad está sobre la línea del trópico

(en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer).

Eratóstenes realizó observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se

producía este mismo hecho. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran

distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma (prácticamente)

paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber

sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente

paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban los rayos del sol con la vertical

que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra (ver

gráfico superior). Este ángulo resulto ser de 7º 12' ( = 7'2º) que unido al hecho conocido

de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión

que la circunferencia de la Tierra medía 360·5000/7'2; es decir, 250.000 estadios.

Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160m

(actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente

250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366 Km. o 6.286 si

tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día.

Las únicas herramientas de Eratóstenes fueron palos, ojos, pies y cerebro, y además el

gusto por la experimentación. Con estos elementos dedujo la circunferencia de la Tierra

con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que

tuvo lugar.

Otros logros suyos son: la creación de uno de los calendarios más avanzados de su

época y una historia cronológica del mundo desde la guerra de Troya. Realizó

investigaciones en geografía dibujando mapas del mundo conocido, grandes extensiones

del río Nilo y describió la región de Eudaimon, actual Yemen, en Arabia.

Suidas afirma que, desesperado tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de

ochenta años (año 194 a.C., en Alejandría).

MEDICION DE LAS DIMENSIONES DE LA TIERRA

Sin embargo, el principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del

tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico, además de

las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco, por lo que

bien merece el título de padre de la geodesia.

Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán,

Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra

alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba

situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que

ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud

(realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos

podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de

verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la

circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría. Según Cleomedes, Eratóstenes se

sirvió del scaphium o gnomon (un protocuadrante solar) para el cálculo de dicha

cantidad.

Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre

ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría,

fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de

250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252000 estadios, de modo

que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para

calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que

diera pasos de tamaño uniforme y los contara.

Admitiendo que Eratóstenes usase el estadio ático-italiano de 184.8 m, que era el que

solía utilizarse por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido sería de

6.192 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que empleó el estadio

egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera

sido de 39614 km, frente a los 40008 km considerados en la actualidad, es decir, un

error de menos del 1%.

Ahora bien, es imposible que Eratóstenes diera con la medida exacta de la

circunferencia de la Tierra debido a errores en los supuestos que calculó. Tuvo que

haber tenido un margen de error considerable y por lo tanto no pudo haber usado el

estadio egipcio:

- Supuso que la Tierra es perfectamente esférica, lo que no es cierto. Un grado de

latitud no representa exactamente la misma distancia en todas las latitudes, sino

que varía ligeramente de 110,57 km en el Ecuador hasta 111,7 km en los Polos.

Por eso no podemos suponer que 7º entre Alejandría y Siena representen la

misma distancia que 7º en cualquier otro lugar a lo largo de todo el meridiano.

- Supuso que Siena y Alejandría se encontraban situadas sobre un mismo

meridiano, lo cual no es así, ya que hay una diferencia de 3 grados de longitud

entre ambas ciudades.

- La distancia real entre Alejandría y Siena (hoy Asuán) no es de 924 km (5000

estadios ático-italiano de 184,8 m por estadio), sino de 843 km (distancia aérea y

entre los centros de las dos ciudades), lo que representa una diferencia de 81 km.

- Realmente Siena no está ubicada exactamente sobre el paralelo del trópico de

cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen verticalmente a la tierra en el

solsticio de verano). Actualmente se encuentra situada a 72 km (desde el centro

de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la Tierra fluctúan

entre 22,1 y 24,5º en un período de 41000 años, hace 2000 años se encontraba a

41 km.

- La medida de la sombra que se proyectó sobre la vara de Eratóstenes hace 2.200

años debió ser de 7,5º o 1/48 parte de una circunferencia y no 7,2º o 1/50 parte.

Puesto que en aquella época no existía el cálculo trigonométrico, para calcular el

ángulo de la sombra, Eratóstenes pudo haberse valido de un compás, para medir

directamente dicho ángulo, lo que no permite una medida tan precisa.

Si rehacemos el cálculo de Eratóstenes con la distancia y medida angular exacta desde

Alejandría hasta el lugar geográfico situado justo en la intersección del meridiano que

pasa por Alejandría con el paralelo del trópico de cáncer, obtenemos un valor de 40074

km para la circunferencia terrestre.4 Eso representa solamente 66 km o un 0,16% de

error de la circunferencia real de la Tierra medida por satélites avanzados, que es de

40008 km, lo que demuestra la validez de su razonamiento. Esta ligera diferencia se

debe a que la distancia entre Alejandría y la línea del trópico de cáncer es 1/46 parte de

una circunferencia, pero la Tierra no es una esfera perfecta.

Posidonio rehízo el cálculo de Eratóstenes 150 años más tarde y obtuvo una

circunferencia sensiblemente menor. Este valor fue adoptado por Ptolomeo y fue en el

que probablemente se basó Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las

Indias por occidente. Con las mediciones de Eratóstenes, el viaje no se habría llegado a

realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, aceptando solo las certezas

científicas. Los doctores consultados en Salamanca, a petición real, se basaron en ellos

para determinar que el objetivo principal -llegar a China y Japón- era imposible dada la

distancia. Finalmente, la empresa fue aprobada por el rey por las ventajas estratégicas y

comerciales que preveía el proyecto y sobre objetivos secundarios, como la condición

de Colón de obtener prebendas y porcentajes sobre las tierras que descubriera en

camino.

El trabajo de Eratóstenes es considerado por algunos el primer intento científico en

medir las dimensiones de nuestro planeta, ya que se hicieron otros cálculos y se

perfeccionaron siglos después por estudiosos tales como el califa Al-Mamun y Jean

François Fernel.

7.- PROCEDIMIENTO

Observamos que se encuentre el sol para poder obtener la proyección de la

sombra de la pala.

Escogemos un lugar específico para realizar el proyecto práctico.

Pegamos con cinta el papelógrafo en el suelo con dirección este – oeste (Para lo

cual se utilizó una brújula).

Colocamos la pala de manera correcta es decir al norte.

Tomamos la medida de la sombra proyectada por el sol, de las 11 pm de ahí

vamos tomando cada 5 minutos hasta las 13h00 pm.

Al momento que el tiempo va aumentando la sombra de la pala también va

aumentando.

Cuando ya tengamos los datos se procederá a aplicar las formulas respectivas

para obtener el radio de la tierra.

Al momento que ya tengamos los datos calcularemos con ayuda de las formulas

necesarias.

7.1DATOS

• Altura de la pala: 76 cm

• Promedio de la sombra: 35 cm

• Distancia desde la mitad del mundo hasta el Colegio Ambato: 190 km

7.2SOLUCIÒN

GRAFICO

∝

Primero encontramos el ángulo formado por la sombra

tan∝= CatetoOpuestoCateto Adyacente

tan∝=35 cm76 cm

∝=Shift tan (0.46)

∝=24.70 °−23 °

∝=1.70 °

Segundo encontramos la longitud del triángulo.

L=360 °× Distanciadesdela mitad del mundo hastael Colegio Ambato∝

76 cm

35 cm

L=360 °× 190 km1.70 °

L=40235 km

Por ultimo remplazamos la longitud en la fórmula para encontrar el radio de Tierra.

R= L2 π

R=402352 π

R=6403.645 km

8. METODOLOGIA Y RECURSOS

8.1METODOLOGÍA

8.1.1 MÉTODOS

Método deductivo: En nuestra investigación partimos del concepto general para poder

obtener información específica acerca de cómo realizar la medición del radio de la

tierra.

Método científico: la investigación se basó en este método debido a que entiende

aquellas prácticas utilizadas y ratificadas por la comunidad científica. Fue utilizado

debido a que se buscó un conocimiento específico el cual fue conocer el radio de la

tierra.

Método de observación: en la investigación aplicamos este método a que observamos el

objeto el cual íbamos a analizar para describir y explicar el comportamiento del mismo.

Experimentación: utilizamos este método ya que para comprobar si la teoría de

Eratóstenes acerca de la medición del radio de la tierra era correcta necesitamos

comprobar nosotros mismos.

8.1.2 TÉCNICAS

Para nuestro informe utilizamos el método científico que es un método de investigación

usado principalmente en la producción de conocimiento en las ciencias; este método se

basa en lo empírico y en la medición sujeto a los principios específicos de las pruebas

de razonamiento y además utilizamos el método de observación que se basa en observar

y determinar el comportamiento del objeto estudiado.

8.2.- RECURSOS

8.2.1 RECURSOS MATERIALES

Computadora, Impresora, Libro “Investigación de la ciencia y tecnología”, papelote,

pala, marcadores, regla, cámara, celular, reloj, cronometro.

8.2.2 RECURSOS TÉCNICOS

Se ha utilizado los siguientes sitios web: Wikipedia, prezi.com, .slideshare,

monografias.com, .wordpress.com, google académico, google maps.

8.2.3 RECURSOS HUMANOS

Dayanna Chaglla

Jessica Sánchez.

Paula Dávila.

Erika Aguilar.

Raúl Obregón.

9. CONCLUSIONES

La teoría de Eratóstenes brindo ciertas explicaciones sobre cómo medir el

radio de la tierra, sus teorías ayudaron para que hoy en día podamos realizar

un proceso similar al que el realizo para medir la tierra desde un punto

específico.

Hoy en día aplicar la técnica que utilizo Eratóstenes es mucho más sencillo

debido a que la tecnología ha ido avanzando a lo largo del tiempo, a más de

eso los materiales son sencillos de conseguir, por lo que cualquier persona

puede aplicar esta técnica.

Como conclusión podemos decir que el elemento más importante para

realizar esta técnica es el sol, debido a que sin este el proyecto no será

posible debido a que necesitamos su sombra.

10.RECOMENDACIONES

Las medidas de tiempo y de longitud deben ser los más exactas posibles, ya

que si estas no se aproximan a la realidad, la medida final es decir el radio de

la tierra no coincidirá con la realidad.

Investigar correctamente el procedimiento que se debe aplicar, las técnicas

que se van a utilizar, y los materiales que se van a necesitar, ya que de no ser

así podríamos arruinar la investigación, y por lo tanto no determinar cuál es

el verdadero radio de la tierra.

Elegir un día adecuado para realizar el proyecto, debido a que se necesita

que el día tenga mucha luz solar, para que así proyecte la sombra necesaria

para la investigación.

11.BIBLIOGRAFIA

https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

  http://definicion.de/geometria/#ixzz3rVnHbDi3

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/practica/eratostenes.htm

https://es.wikipedia.org/wiki/Erat

%C3%B3stenes#Medici.C3.B3n_de_las_dimensiones_de_la_Tierra

http://www.astromia.com/biografias/eratostenes.htm

http://www.batanga.com/curiosidades/4684/eratostenes-y-la-medicion-del-

diametro-de-la-tierra

http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Videos/RadioTierra/

http://www.sinciforma.com.es/detup/index.php?var=eratos.html

http://historiaybiografias.com/eratostenes/

http://www.iar.unlp.edu.ar/divulgacion/activ-06.htm

https://www.youtube.com/watch?v=g_tyJYQWIVs

https://www.youtube.com/watch?v=aRHYASmH1hQ

https://www.youtube.com/watch?v=eTNNL4AJcmE

https://www.youtube.com/watch?v=46ikuG6QM2o

12.ANEXOS

El primer paso que aplicamos es la medición de la altura de la pala.

Como podemos ver aquí nos encontramos ubicando la pala y el punto medio del mismo para tener una medida más exacta.

Posteriormente en la imagen podemos observar que el material utilizado es la pala el cual se encuentra ubicado en sentido norte para poder captar la sombra del sol.

En la presente imagen podemos observar el momento en el que íbamos captando el movimiento de la sombra de la pala cada 5 min por el lapso de 2 horas.

Aquí podemos ver como trazamos la línea desde el punto medio hacia al otro punto en el que se encuentran marcadas las horas indicadas anteriormente.

12.1 CRONOGRAMA

Primer parcial