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RESUMEN

Mediante el presente informe se determinará el caudal de diseño mediante

los Métodos Estadísticos, para lo cual teniendo la información de la estación

hidrológica de Recreta, se pueden realizar los cálculos correspondientes

para dicho fin. Empezando por la completación de la información y el

análisis de Consistencias y Tendencias si es que el caso lo amerite ya que si

se cuenta con los datos completos de procede directamente a realizar las

pruebas de Bondad y Ajuste como la prueba CHI CUADRADO, para datos

agrupados, y SMIRNOV-KOLMOGOROV, para datos no agrupados, y así

poder realizar las Distribuciones Teóricas como la Distribución Normal, La

Distribución Log Normal 2 Parámetros y la Distribución Gumbel.

I. INTRODUCCION

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Puede ser necesario determinar un gasto de diseño con periodo de

retorno de 1000 años a partir de 25 años de registro. Si los gastos

máximos anuales registrados se dibujan contra sus respectivos periodos

de retorno, generalmente se observa alguna tendencia más o menos

definida. El problema radica en cómo extender esta tendencia hasta el

periodo de retorno deseado.

Una posibilidad es extrapolar los datos a ojo, es decir, gráficamente.

Aunque este método puede dar muy buenos resultados si se aplica por

una persona con experiencia, tiene la desventaja de la subjetividad; esto

es, si veinte ingenieros diferentes lo aplican, es probable que el

resultado sean veinte gráficas diferentes.

Para eliminar esta subjetividad, se debe buscar entre las distintas

funciones de distribución de probabilidad teóricas la que se ajuste mejor

a los datos medidos, y usar esta función para la extrapolación.

II. OBJETIVOS

2.1 Objetivos Generales

Calcular el Caudal de la Estación Hidrológica de Recreta mediante Métodos Estadísticos

2.2Objetivos Específicos

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Conocer la Información de la Estación Hidrológica con la cual se

van a realizar los cálculos.

Completar la Información de la Estación Hidrológica

Realizar el Análisis de Consistencias y Tendencias

Realizar las Pruebas de Bondad y Ajuste

o Análisis de la Prueba CHI CUADRADO

o Análisis de la Prueba SMIRNOV KOLMOGOROV

Realizar las Distribuciones Teóricas

o Análisis de la Distribución Normal

o Análisis de la Distribución Log Normal 2 Parámetros

o Análisis de la Distribución Gumbel

Determinar el Caudal de Diseño para los meses de mayor

precipitación

III. REVISION BIBLIOGRAFICA

3.1 Métodos Estadísticos

Según Ing. Pedro Reyes:

Para el Calculo del Caudal Máximo se procede a realizar los siguientes

pasos:

1. Analizar la información de una Estación Hidrológica

2. Completar la información si existieran datos faltantes

3. Realizar el análisis de Consistencias y Tendencias

a. Método Gráfico

b. Análisis de Tendencias

c. Análisis de Consistencias

4. Realizar la Prueba de Bondad y Ajuste

a. Prueba Chi Cuadrado

b. Prueba Smirnov Kolmogorov

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5. Realizar las Distribuciones Teóricas

a. Distribución Normal

b. Distribución Log Normal

c. Distribución Gumbell

3.2 Análisis de Consistencias y Tendencias

3.2.1 Análisis de Consistencias

Análisis de consistencia a la Media

Según Ing. Pedro Reyes:

Es el análisis de las muestras mediante la media, donde

nos determinará si los datos calculados están bien o

necesitan ser corregidos.

Análisis de consistencia a la Desviación Estándar

Según Ing. Pedro Reyes:

Es el análisis de las muestras mediante la Desviación

Estándar, donde nos determinará si los datos calculados

están bien o necesitan ser corregidos.

3.2.2 Análisis de Tendencias

Según Ing. Esp. Rubén Villodas:

Es aquel que se utiliza estadísticamente, observando datos

históricos de varios años, con el fin de determinar patrones

significativos.

3.3 Pruebas de Bondad y Ajuste

Según Ven Te Chow:

La Bondad del Ajuste de una distribución de probabilidad puede

probarse comparando los valores teóricos y muestrales de las

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funciones de frecuencia relativa o de frecuencia acumulada. En el

caso de la función de

frecuencia relativa se utiliza la prueba x2. El valor muestral de la

frecuencia relativa del intervalo i es, de la ecuación fi(xi) = ni/n; el

valor teórico es p(xi) = F(xi) – F (xi - 1). La prueba estadística está

dada por

Donde m es el número de intervalos

Según Ing. Esp. Rubén Villodas:

Ambas pruebas caen en la categoría de lo que en estadística se

denominan pruebas de “Bondad de Ajuste” y miden, como el nombre

lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribución obtenida

a partir de la muestra y la distribución teórica que se supone debe

seguir esa muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis

nula de que no hay diferencias significativas entre la distribución

muestral y la teórica. Ambas pruebas están basadas en las siguientes

hipótesis:

H0: f(x,q) = f0(x,q)

H1: f(x,q) ¹ f0(x,q)

Donde f0(x,q) es la distribución que se supone sigue la muestra

aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los

datos no siguen la distribución supuesta. Si se desea examinar otra

distribución específica, deberá realizarse de nuevo la otra prueba

suponiendo que la hipótesis nula es esta nueva distribución. Al

especificar la hipótesis nula, el conjunto de parámetros definidos por

q puede ser conocido o desconocido. En caso de que los parámetros

sean desconocidos, es necesario estimarlos mediante alguno de los

métodos de estimación analizados con anterioridad.

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Para formular la hipótesis nula deberán tenerse en cuenta los

siguientes aspectos o criterios:

a) La naturaleza de los datos a analizar. Por ejemplo, si tratamos de

investigar la distribución que siguen los tiempos de falla de unos

componentes, podríamos pensar en una distribución exponencial, o

una distribución gama o una distribución Weibull, pero en principio no

consideraríamos una distribución normal. Si estamos analizando los

caudales

de un río en un determinado sitio, podríamos pensar en una

distribución logarítmica normal, pero no en una distribución normal.

b) Histograma. La forma que tome el histograma de frecuencia es

quizás la mejor indicación del tipo de distribución a considerar

3.3.1 Prueba CHI CUADRADO

Según Francisco Javier Aparicio:

La prueba Chi Cuadrado es la más popular. Fue propuesta por

Karl Pearson en 1900.

Para probar la hipótesis H0 “F = F0” a partir de una muestra

aleatoria simple X1, . . . , Xn de F, Karl Pearson propuso el

siguiente procedimiento, que es en realidad una prueba de H˜0

“Para cada uno de los intervalos I de una partición finita P de R,

se cumple F(I) = F0(I)”, y, como consecuencia, una prueba

aproximada de H0 en la medida que la partición P sea

suficientemente fina.

Llamemos p0 al vector de las probabilidades F0(I)

correspondientes a los intervalos de P, y p al de las

probabilidades F(I). Entonces, H˜0 equivale a “p = p0”. Esta

’ultima es una hipótesis simple sobre el parámetro p de la

distribución multinomial (n, p) del vector M cuyas componentes

son las frecuencias M(I) = nFn (I) = n i=1 1{Xi∈I}, I ∈ P.

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Denotemos ahora P = {I1, . . . , Ik}, y p0,j = F0(Ij), Mj = M(Ij). El

estadístico de Pearson es:

Su distribución bajo H0 depende de n y p0, y

puede obtenerse en cada caso mediante el cálculo directo a

partir de la distribución multinomial, o por simulación. Su

distribución asintótica para n → ∞ es χ2 con k − 1 grados de

libertad. En la sección siguiente se aportan argumentos

basados en la utilización de la distribución normal asintótica de

la multinomial, o bien en el comportamiento asintótico del

cociente de verosimilitudes, para obtener la mencionada

distribución asintótica.

3.3.2 Prueba SMIRNOV – KOLMOGOROV

Según Francisco Javier Aparicio:

Esta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto

de la diferencia D entre la función de distribución de

probabilidad observada Fa (xm) y la estimada F (xm)

Con un valor crítico d que depende del número de datos y el

nivel de significancia seleccionado. Si D < d, se acepta la

hipótesis nula. Esta prueba tiene la ventaja sobre la Chi

Cuadrado de que compara los datos con el modelo estadístico

sin necesidad de agrupados. La función de distribución de

probabilidad observada se calcula como:

Donde m es el número de orden del dato Xm en una lista de

mayor a menor y n es el número total de datos.

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3.4 Distribución Teórica

3.4.1 Distribución Normal

Según Ven Te Chow:

La distribución Normal surge del teorema del límite central, el

cual establece que si una secuencia de variables aleatorias xi

son independientes y están idénticamente distribuidas con

media y varianza, entonces la distribución de la suma de n de

estas variables aleatorias, Y = ∑Xi, tiende hacia la distribución

normal con media nµ y nδ2 a mediad que n aumente. El punto

importante es que esto es cierto sin importar cual es la función

de distribución de probabilidad de X. Las variables

hidrológicas, como la precipitación anual calculadas como la

suma la suma de los efectos de muchos eventos independientes

tienden a seguir la distribución normal.

Según Francisco Javier Aparicio:

La función de densidad de probabilidad normal se define como:

Donde fJ, Ya son los parámetros de la distribución. Estos

parámetros determinan la forma de la función/(x) y su posición

en el eje x.

Es posible demostrar que fJ, ya son, respectivamente, la media y

la desviación estándar de la población y pueden estimarse como

la media y desviación estándar de los datos. La función de

distribución de probabilidad normal es:

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Hoy en día, no se conoce analíticamente la integral de la

ecuación, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos

para evaluarla. Sin embargo, para hacer esto se requeriría una

tabla para cada valor de fJ, y a, por lo que se ha definido la

variable estandarizada que está normalmente distribuida con

media cero y desviación estándar unitaria.

Así, la función de distribución de probabilidad se puede escribir

como:

3.4.2 Distribución Log Normal 2 Parámetros

Según Ven Te Chow:

Si la variable aleatoria Y = log X está normalmente distribuida,

entonces de dice q X está distribuida en forma Lognormal. Se ha

encontrado que la distribución log normal describe la

distribución de la

conductividad hidráulica en un medio poroso, la distribución de

tamaño de gotas de lluvia en una tormenta y otras variables

hidrológicas. La distribución log normal tiene las ventajas sobre

la distribución normal de que esta limitada y de que la y

transformación log tiende a reducir la asimetría positiva

comúnmente encontrada en información hidrológica, debido a

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que al tomar logaritmos se reducen en una proporción mayor los

números grandes que los números pequeños. Algunas

limitaciones son por un lado, que tienen solamente 2 parámetros

y por otro que requiere que los logaritmos de los datos sean

simétricos alrededor de su media.

Según Francisco Javier Aparicio:

En esta función los logaritmos naturales de la variable aleatoria

se distribuyen normalmente. La función de densidad de

probabilidad es:

donde α y β son los parámetros de la distribución. En la figura

se muestra una gráfica de la función de densidad de

probabilidad para diferentes valores de α y β . Como se

observa, esta función no necesariamente es simétrica.

Los valores de α y β se estiman a partir de n observaciones Xi, i

= 1, 2, ... n, como:

3.4.3 Distribución Gumbel

Según Francisco Javier Aparicio:

Supóngase que se tienen N muestras, cada una de las cuales

contiene n eventos. Si se selecciona el máximo x de los n

eventos de cada muestra, es posible demostrar que, a medida

que n aumenta, la función de distribución de probabilidad de x

tiende a:

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La función de densidad de probabilidad es entonces

donde α y β son los parámetros de la función

Los parámetros α y β se estiman como:

Para muestras muy grandes

IV CALCULOS Y RESULTADOS

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V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

DISTRIBUCION NORMAL

Las principales limitaciones en la descripción de variables hidrológicas son que esta varia a lo largo de un rango continuo, mientras que la mayor parte de las variables hidrológicas no son negativas y por otro lado, que es simetrice alrededor de la media, mientras que la información hidrológica tiende a ser asimétrica.

DISTRIBUCION LOG NORMAL

Esta distribución se aplica a variables hidrológicas formadas como productos de otras variables, lo cual tiende a la distribución normal para valores grandes de n siempre y cuando los Xi sean independientes y estén idénticamente distribuidos.

Las funciones normal y lognormal son generalmente apropiadas para variablesaleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posiblesdel experimento bajo análisis, como por ejemplo los volúmenes de

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escurrimiento mensual en un río.

DISTRIBUCION GUMBEL

se desarrollaron parael análisis de los valores extremos , comolos gastos máximos o mínimos anuales.

VI BIBLIOGRAFIA

6.1 “Hidrología Aplicada”. Ven Te Chow. McGRAW-HILL Interamericana

S.A.. Santafé de Bogotá Colombia 1994.

6.2 “Hidrología”. Ing. Esp. Rubén Villodas. Universidad Nacional de

Cuyo Facultad de Ingeniería Civil

6.3 Docente del Curso. Ing. Pedro Reyes

6.4 “Fundamentos de Hidrología de Superficie”. Francisco Javier

Aparicio. Cuarta adición 1996. Editorial LIMUSA

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VII ANEXOS