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funciones
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
MISIÓN SUCRE – ALDEA UNIVERSITARIA
“JOSÉ LEONARDO CHIRINOS”
PÍRITU ESTADO PORTGUESA
FUNCIONES
PARTICIPANTES:
JULIANGEL RODRÍGUEZ, C.I: 24.024.577
MISLEIDY SÁNCHEZ, C.I. 20.024.922
YIDISMAR BADILLA, C.I. 21.057.398
NOVIEMBRE, 2015
INTRODUCCIÓN
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por
primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una
potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm
Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su
pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en
1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien
escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un
conjunto de ello.
Por lo tanto, una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a
cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que
se escribe y=f (x). En la presente investigación documental se detallan aspectos
tales como: la definición de funciones, tipos, características, función afín y función
cuadrática.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
El matemático Leonhard Euler (1707-1783) utilizando un criterio geométrico
definía función como la relación entre las dos coordenadas de los puntos de una
curva trazada a mano en un plano y usó la expresión f(x) para designar una
función cuya variable es x. En su obra Introductio in Analysin Infinitorium de 1748
definió la función como “una expresión analítica en general compuesta por esta
cantidad variable y por algunos números o cantidades constantes”.
Igualmente, Cauchy (1821) escribe: “Se llama variable a una cantidad que se
considera tiene que tomar sucesivamente muchos valores diferentes unos de los
otros”. “Cuando se relacionan cantidades variables entre ellas de modo que
estando dado el valor de una de éstas, se puedan determinar los valores de todas
las otras, ordinariamente se concibe a estas cantidades diversas expresadas por
medio de la que está entre ellas, la cual entonces toma el nombre de variable
independiente; y las otras cantidades expresadas por medio de la variable
independiente son aquellas que uno llama funciones de esta variable” (Id., p.
1254).
De igual manera, Dirichlet (1839) se expresa en términos matemáticos más
precisos: “y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado, le
corresponde un único valor de y. No importa si en todo este intervalo y depende
de x de acuerdo a una ley o más, o si la dependencia de y con respecto a x puede
expresarse por medio de operaciones matemáticas” (Id., p. 1254).
TIPOS DE FUNCIONES
a) Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la
variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es
preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real. f(x)= k. La gráfica es una recta
horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la
función. Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una
parábola.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que
anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos
los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se
consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
b) Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se
halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la
trigonometría.
Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente
x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en
base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
CARACTERÍSTICAS
DOMINIO.
Se llama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se
designa por D(f) = Dom (f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la
función, es decir, para los cuales hay un f(x).
RANGO
Se llama recorrido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de valores
de y para los cuales existe x, es decir, conjunto de valores que toma la variable
dependiente “y”.
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS
PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX, Como el eje de
abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma (xo,0) 4º 4.5.2
PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY, Como el eje de
ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma (0,yo).
SIMETRÍA
Una función es par o simétrica respecto del eje OY si f(x) = f(-x) Una función es
impar o simétrica respecto del origen O si f(x) = - f(-x). Una función que no es par
ni impar se dice que es no simétrica.
DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD
IDEA INTUITIVA. La idea de función continua es la de que puede ser
representada con un solo trazo. 3º Una función que no es continua presenta
alguna discontinuidad.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD. Una función se llama continua cuando no
presenta discontinuidades de ningún tipo. Una función puede ser continua en un
intervalo si solo presenta discontinuidades fuera de él. Las funciones con
expresiones analíticas elementales son continuas en sus dominios.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES. Varias razones por las que una función
puede ser discontinua en un punto:
Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen o
decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que presenta
una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto.
Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto
finito en ese punto. No está definida (le falta un punto) o el punto que parece que
le falta lo tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en
ese punto.
TENDENCIA Y PERIODICIDAD
TENDENCIA. Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de
ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido
estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas
reciben el nombre de asíntotas. Existen tres tipos de asíntotas:
• Asíntotas verticales: x = a
• Asíntotas horizontales: y = b
• Asíntotas oblicuas: y = mx + n
PERIODICIDAD. Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite
cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de
ese intervalo se llama periodo.
MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
MONOTONÍA. Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y.
Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Una función presenta un máximo absoluto en un punto
cuando es el valor más alto de su representación gráfica. Este punto debe de ser
del dominio. Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el
valor más bajo de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto la
función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio. Una
función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función
pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M). Para medir la variación (aumento o
disminución) de una función en un intervalo se utiliza la tasa de variación media.
Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] al cociente
entre la variación de la función y la longitud del intervalo.
CURVATURA, PUNTOS DE INFLEXIÓN
CURVATURA. Una función es cóncava cuando presenta la siguiente forma: ∩
Una función es convexa cuando presenta la siguiente forma: ∪
PUNTOS DE INFLEXIÓN. Puntos (del dominio) donde la función cambia de
curvatura, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.
FUNCIÓN AFÍN
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso dela
oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y
las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en
cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir
cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.
Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los
consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b,
donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la
medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el
entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento
psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la
formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada
al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es
una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el
origen de coordenadas (0,0).
Hay casos especiales de la función afín que definen las rectas horizontales o
verticales. Esto ocurre cuando no existe el término de la variable independiente
(x) o cuando no existe el término de la variable dependiente (y)
Para graficar una recta en el plano cartesiano se necesita encontrar las
coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta, para ello se asignan
valores arbitrarios a la variable “x”, es decir, cualquier valor positivo o negativo, se
recomienda “cero”, “uno para facilitar las operaciones algebraicas en el momento
de la sustitución del valor, para obtener el valor de la variable “y” y graficar
la función afín.
Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Numéricamente ya sabes cómo se resuelve: "despejando" la x: ya lo hicimos
antes y obtuvimos x = -1,5. Gráficamente, esto producía una línea recta vertical de
abscisa -1,5.
Ahora vamos a dar una interpretación geométrica a esta ecuación distinta a la
de los ejercicios anteriores.
Si pasamos todos los términos de la ecuación al primer miembro y
simplificamos el resultado se obtiene la ecuación:
2x + 3 = 0, ecuación equivalente a la de partida, o sea que tiene la misma
solución.
Si al primer miembro de la ecuación le llamamos "y" se obtiene la función y =
2x+3, quizás sepas que se trata de una función afín y su representación gráfica es
una recta como la que se ve en la escena siguiente.
Como puede verse la recta corta al eje X en un punto. La "abscisa x" de ese
punto es la solución de la ecuación.
Seguramente observarás que la solución es x = -1,5
Así pues, al pasar todos los términos de una ecuación de primer grado al primer
miembro se obtiene una expresión semejante a ésta: ax + b = 0.
Si llamamos "y" al primer miembro de esta nueva ecuación obtenemos
la expresión general de una función afín:
y = ax + b
Como hemos visto antes, esta función afín está representada por una línea
recta que corta al eje X en un punto. La abscisa de este punto es la solución de la
ecuación inicial. En la próxima escena veremos que las dos interpretaciones
gráficas vistas hasta ahora nos llevan a la misma solución.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática
sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la
trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer
desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se
desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo
transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos
tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción
de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables
amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para
estudiar los efectos nutricionales de los organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de
explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal
para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable,
podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia
arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½gt2, donde S es la altura, V0 es la
velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su
gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es
convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
Intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo
grado.
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
f(x) 9 4 1 0'2 0 0'2 1 4 9
= x2 5 5
Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5
Completando la gráfica obtengo:
Actividades resueltas
Dada la parábola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de
los puntos de la figura:
a. Del punto A (x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la
parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4·3'5 + 3 =
1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).
b. Del punto B (x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola,
no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de
x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.
c. El punto C (x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como
también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4·0 + 3 = 3 .Luego C =
(0,3).
d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la
parábola: , que nos proporciona las
soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye
que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).
e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma
(x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 ,
cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F =
(3,0).
f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto
medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la
ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4·2 + 3 = 4 -
8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).
g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está
"justo encima" de H.
Como x = 5, entonces y = 52 - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H
tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto, H =
(5,2).
h. Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está en la parábola "justo
a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola,
cuyas soluciones aproximadas
son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y su abscisa es 4'2 unidades
menos que la abscisa de I´, es decir, I = (0'63,7).
CONCLUSIÓN
Las funciones matemáticas son muy importantes, de mucho valor y utilidad para
resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de
estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de
geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. De igual
forma, Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se
relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el
costo en bolívares para así saber cuánto se puede comprar; si se lleva al plano, se
puede escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el
precio y la cantidad de producto como "y".
Además a través de esta investigación se pudo conocer los diversos tipos de
funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender
de cada tipo de función. El resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue
positivo, ya que se cumplió el objetivo, el cual es el aprendizaje de los contenidos
del programa relacionados con las funciones.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ELECTRÓNICAS
Blanco, J. (2014). Funciones Matemáticas. Administración Industrial. Instituto
Universitario de Tecnológico de Administración Industrial. Barcelona. España.
García A., López A. y otros (1994) Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis
Matemático de una variable". 2ª edición. Ed. CLAGSA, Madrid.
Funciones. Documento Digital. Disponible en:
http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/funcion/
funcdef.html.
Thomas, G., Finney R. (1987) Cálculo con geometría analítica, Addison-Wesley
Iberoamericana, 6ª edición. Wilmington, Delaware, EE.UU.