Universidade Federal de Pelotas - UFPel

Curso de Engenharia Civil

Disciplina de Equações Diferenciais

Professora Luciana Rossato Piovesan

TRABALHO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Rohan Pivetta Wesz

Pelotas, 18 de março de 2013.

QUESTÃO 1:

a) Pontos de equilíbrio são aqueles em que o sistema se apresenta

invariante, o que significa todas as derivadas temporais das variáveis de

estado nulas. Ou seja, considerando x=x (x ,t ), os pontos de equilíbrio

satisfazem a equação x ( x0 , t )=0

Onde x0 é o vetor de estado do ponto de equilíbrio.

Para um sistema linear, se existir equilíbrio, ele é único: existe um único

ponto de equilíbrio.

Com relação aos pontos de equilíbrio, outras considerações devem ser

levadas em conta, isto é, deve-se levar em consideração o

comportamento do sistema em torno destes pontos, de modo a

caracterizar a natureza do equilíbrio, ou, mais propriamente, sua

estabilidade.

Considere um sistema de n equações diferenciais. O polinômio

característico é obtido através de det(A - I) = 0.

Quando todos os autovalores da matriz A tiverem a parte real diferente

de zero, o ponto de equilíbrio correspondente P* é chamado hiperbólico,

independente do valor da parte imaginaria.

Quando pelo menos um autovalor tem a parte real nula, o ponto de

equilíbrio é denominado de não-hiperbólico.

Os pontos de equilíbrio hiperbólicos podem ser classificados de três

formas quanto à sua estabilidade: atratores, repulsores e selas.

Se todos os autovalores de A tem a parte real negativa, o ponto

de equilíbrio é chamado de atrator, sendo que neste caso o

equilíbrio é assintoticamente estável.

Se todos os autovalores de A são complexos, então o atrator é

chamado de foco estável, se todos os autovalores de A são reais,

o atrator é chamado de nó estável.

Se todos os autovalores de A tem a parte real positiva o ponto de

equilíbrio é chamado de repulsor ou fonte. Se os autovalores são

complexos, são chamados de foco instável, se os autovalores de

A são reais, a fonte é chamada de nó instável.

1

Quando alguns autovalores têm a parte real positiva e o restante

tem parte real negativa, então o ponto de equilíbrio é chamado de

sela.

Quanto à estabilidade de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos, pode-se

dizer que:

Um ponto de equilíbrio não-hiperbólico é instável se um ou mais

autovalores de A tem a parte real positiva.

Se alguns autovalores da matriz A têm parte real negativa,

enquanto que os outros autovalores têm a parte real nula, o ponto

de equilíbrio é chamado de marginalmente estável.

Se todos os autovalores da matriz A são imaginários puros e não-

nulos, o ponto de equilíbrio é chamado centro.

b) O plano de fase é um gráfico que representa a dinâmica de um sistema,

é uma maneira de representar todas as evoluções possíveis de um

sistema, para as diferentes condições iniciais. O plano de fase tem como

abscissa a variável e como ordenada sua derivada. Ou seja o plano de

fase é um gráfico dos pares (y,y)

Para sistemas autônomos esse gráfico resume as informações do

campo de direções.

O Plano de Fase nos informa, de modo grosseiro, como o ponto de

equilíbrio é atingido, nos informa também se o ponto é estável, instável,

etc. temos apenas que notar a variação da derivada.

2

y

y

A vantagem do diagrama de fase é que não é necessário resolver

explicitamente a equação para se ter ideia da sua dinâmica.

QUESTÃO 2:

a)

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