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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA
SEDE REGIONAL TARTAGAL
F a c u l t a d d e C i e n c i a s E c o n รณ m i c a s , J u r รญ d i c a s y S o c i a l e s
2.012 Aux. Doc. de ๐๐๐: T.U.P Horacio Miguel Lafuente
CARRERA: Contador Pรบblico Nacional
CรTEDRA: Matemรกtica I
LรGICA
Temario
Introducciรณn
Proposiciones
Tablas de Verdad
Conectivos Lรณgicos โ Operaciones Lรณgicas
Tautologรญa โ Contingencia โ Contradicciรณn
Implicaciones Asociadas
Formas o Funciones Proposicionales
Cuantificaciรณn
Mรฉtodos Axiomรกticos
Bibliografรญa
Introducciรณn
Etimologรญa
La palabra โlรณgicaโ proviene del griego โLOGOSโ y se traduce por
โpalabraโ, โrazรณnโ, โdiscursoโ.
La lรณgica permite deducir de manera precisa la validez de un razonamiento
matemรกtico.
โDeducir es razonar en matemรกticasโ
RAZONAMIENTO
MATEMรTICO
Inductivo Deductivo Tener
Precauciรณn Seguro
Proposiciones
Una proposiciรณn es una oraciรณn de la cual puede decirse que es Verdadera (๐ฝ)
o Falsa ๐ญ . En una proposiciรณn debemos distinguir: sujeto, verbo y predicado.
๐: ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
El โsentido de verdadโ de una proposiciรณn es que la misma sea
โdemostrableโ.
โข Si (๐) es verdadero: ๐ ๐ = ๐ฝ
โข Si (๐) es falso: ๐ ๐ = ๐ญ
๐ ๐ = ๐ฝ; ๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐ ๐๐ ร๐๐๐๐๐, ๐ด๐รฉ๐๐๐๐, ๐ด๐ ๐๐, ๐ธ๐ข๐๐๐๐ ๐ฆ ๐๐๐๐๐รญ๐
๐ ๐ข๐๐๐ก๐
๐ฃ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐
Proposiciones
Las oraciones interrogativas, exclamativas o de las cuales no pueda demostrarse
su valor de verdad no son proposiciones:
ยฟ ๐๐ขรฉ โ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐?.
ยก ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ง๐ง๐๐ ! .
๐ฟ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐ฃ๐๐ .
๐ฟ๐๐ ๐รบ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐๐๐ .
E๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ข๐ก๐๐๐๐งรณ ๐๐.
๐ธ๐ ๐๐๐๐, ๐๐ ๐รณ๐๐๐๐ ๐ รญ.
CLASIFICACIรN:
โข Proposiciรณn Simple: proposiciรณn que no puede separarse en otras proposiciones.
๐: ๐ถ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐ถ๐๐รณ๐ ๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐รณ ๐ด๐รฉ๐๐๐๐
โข Proposiciรณn Compuesta: proposiciรณn que puede separarse en otras proposiciones
๐: ๐๐ ๐๐๐๐รณ๐ โ๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ด๐๐๐๐ ๐ฆ ๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐รฑ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ถโ๐๐๐ ๐ถ๐๐๐ก๐๐๐
Proposiciones
Tabla de Verdad
Una Tabla de Verdad es un cuadro de fรกcil interpretaciรณn que contiene las
proposiciones y sus valores lรณgicos.
๐: ๐ด๐๐๐๐๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐กรก ๐ ๐๐ก๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐รฉ๐๐๐๐
๐ฃ ๐ = ๐
๐: 4 ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐โ
๐ฃ ๐ = ๐น
๐ ๐
V F Valores Lรณgicos
Proposiciones
* Un nรบmero primo es divisible por si mismo y por la unidad
Conectivos Lรณgicos - Operaciones Lรณgicas
Conectivos Lรณgicos (o Conectores Lรณgicos): sรญmbolos que se emplean en las
Operaciones Lรณgicas.
Operaciones Lรณgicas: procesos que permiten obtener proposiciones a partir de
otras.
Negaciรณn
La Negaciรณn de una proposiciรณn ๐ es la proposiciรณn ~ ๐, cuyo valor de verdad es
contrario al de la proposiciรณn ๐.
๐ ~ ๐
V F
F V
๐ ๐ ~ ๐ ~ ๐
V F F V
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐รณ๐ ๐ต๐๐๐๐๐รณ๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ~ ๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐ ~ ๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
Conjunciรณn
La Conjunciรณn entre dos proposiciones ๐ y ๐ es la proposiciรณn ๐ โง ๐, que sรณlo es
verdadera si se cumplen las proposiciones componentes ๐ y ๐.
๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ช๐๐๐๐๐๐๐รณ๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ โง ๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐ ๐ ๐ โง ๐
V F F
Disyunciรณn
La Disyunciรณn entre dos proposiciones ๐ y ๐ es la proposiciรณn ๐ โจ ๐, que sรณlo es
falsa si ๐ y ๐ son falsas, ya que requiere que se cumpla por lo menos una de las
proposiciones componentes.
๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ซ๐๐๐๐๐๐๐รณ๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ โจ ๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ รณ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐ ๐ ๐ โจ ๐
V F V
Implicaciรณn o Condicional
La Implicaciรณn o Condicional entre dos proposiciones ๐ y ๐ es la proposiciรณn
๐ โ ๐ , que sรณlo es falsa si ๐ (๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐รณ๐๐๐๐๐) es verdadero y
๐ (๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐) es falso.
๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐ช๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐: Sรญ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐, ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐ ๐ ๐ โ ๐ V F F
Condiciรณn Suficiente โ Condiciรณn Necesaria
Si una implicaciรณn es verdadera, es Condiciรณn Suficiente (o precisa) que la
hipรณtesis sea verdadera para que la conclusiรณn se cumpla.
Si una implicaciรณn es verdadera, es Condiciรณn Necesaria (o indispensable) que la
conclusiรณn sea verdadera para que la hipรณtesis se cumpla.
"๐บ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐"
"๐บ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐"
Hipรณtesis Conclusiรณn
Hipรณtesis Conclusiรณn
La hipรณtesis es suficiente
para llegar a dicha
conclusiรณn. La conclusiรณn
es necesaria para dicha
hipรณtesis.
La hipรณtesis no es suficiente
para llegar a dicha
conclusiรณn. La conclusiรณn no
es necesaria para dicha
hipรณtesis.
Doble Implicaciรณn o Bicondicional
La Doble Implicaciรณn o Bicondicional entre dos proposiciones ๐ y ๐ es la
proposiciรณn ๐ โบ ๐, que sรณlo es verdadera si ๐ y ๐ son ambas verdaderas o falsas.
๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ซ๐๐๐๐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐ฉ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ โบ ๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐รญ ๐ ๐รณ๐๐ ๐รญ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐
๐ ๐ ๐ โบ ๐ V F F
Ley Lรณgica o Tautologรญa
Una Ley Lรณgica o Tautologรญa es una proposiciรณn compuesta cuya tabla de verdad
da como resultado todos los valores Verdaderos cualesquiera sean los valores de
verdad de las proposiciones que la componen.
Una ley lรณgica es por ejemplo la conmutatividad de la disyunciรณn:
๐ ๐ ๐ โจ ๐ ๐ โจ ๐ ๐ โจ ๐ โบ ๐ โจ ๐
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F F V
Leyes Lรณgicas
LEYES LรGICAS
Involuciรณn ~ ~๐ โบ ๐
Idempotencia De la Conjunciรณn ๐ โง ๐ โบ ๐
De la Disyunciรณn ๐ โจ ๐ โบ ๐
Conmutatividad De la Conjunciรณn ๐ โง ๐ โบ ๐ โง ๐
De la Disyunciรณn ๐ โจ ๐ โบ ๐ โจ ๐
Asociatividad De la Conjunciรณn ( ๐ โง ๐) โง ๐ โบ ๐ โง (๐ โง ๐)
De la Disyunciรณn ( ๐ โจ ๐) โจ ๐ โบ ๐ โจ (๐ โจ ๐)
Distributividad De la Conjunciรณn con respecto a la Disyunciรณn (๐ โจ ๐) โง ๐ โบ (๐ โง ๐) โจ (๐ โง ๐)
De la Disyunciรณn con respecto a la Conjunciรณn (๐ โง ๐) โจ ๐ โบ (๐ โจ ๐) โง (๐ โจ ๐)
Leyes de Morgan Negaciรณn de una Conjunciรณn ~ ๐ โง ๐ โบ ~๐ โจ ~๐
Negaciรณn de una Disyunciรณn ~ ๐ โจ ๐ โบ ~๐ โง ~๐
Negaciรณn de una Implicaciรณn ~ ๐ โ ๐ โบ ๐ โ ~๐
Contingencia y Contradicciรณn
Una Contingencia es una
proposiciรณn cuya tabla de
verdad da como resultado
algunos valores Verdaderos y
otros Falsos.
๐ ๐ ๐ โบ ๐
V V V
V F F
F V F
F F V
Una Contradicciรณn es una
proposiciรณn cuya tabla de
verdad da como resultado
todos los valores Falsos
cualquiera sea el valor de la
proposiciรณn.
๐ โผ ๐ ๐ โง โผ ๐
V F F
F V F
Implicaciones Asociadas
๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ โ ๐ ~ ๐ ~๐ ~ ๐ โ ~๐ ~๐ โ ~๐
V V V V F F V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Implicaciones Equivalentes
FD FR FC FCR
๐ โ ๐ โบ (~ ๐ โ ~ ๐) ๐ โ ๐ โบ (~ ๐ โ ~ ๐)
FD FCR FR FC โบ โบ
Implicaciones Asociadas
Ejemplo: ๐: ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ
๐: ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ฅรก๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ
Forma Directa: ๐ โ ๐: "๐รญ ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ, ๐๐๐ก๐๐๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ฅรก๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ"
Forma Recรญproca: ๐ โ ๐: "๐รญ ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ฅรก๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ, ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ".
Forma Contraria: ~๐ โ ~๐: "๐รญ ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ, ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ฅรก๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐ โ ๐๐๐ก๐๐๐ ๐ผ"
Forma Contrarrecรญproca: ~๐ โ ~๐: "๐รญ ๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ถ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ฅรก๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก๐ก๐๐๐ ๐ผ, ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐รก โ ๐ก๐๐๐ ๐ผ".
Implicaciones Asociadas
Forma Directa
(FD)
๐ โ ๐
Forma Contrarrecรญproca
(FCR)
~๐ โ ~ ๐
Forma Contraria
(FC)
~๐ โ ~๐
Forma Recรญproca
(FR)
๐ โ ๐
Con
traria
Contr
ari
a
Recรญproca
Recรญproca
Contrarrecรญproca
Formas o Funciones Proposicionales
Una Forma o Funciรณn Proposicional en una variable ๐ฅ, es toda oraciรณn en la cuรกl
figura ๐ฅ como sujeto; la cual se convierte en proposiciรณn para cada especificaciรณn
de ๐ฅ.
Ejemplo: ๐ ๐ฅ : ๐ฅ ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฆ ๐๐๐๐๐
El Conjunto de Verdad (๐ช๐ฝ) de una funciรณn proposicional es el conjunto de todos
los elementos que al emplearlos en lugar de la variable ๐ฅ convierten a dicha
funciรณn proposicional en proposiciรณn.
Al reemplazar ๐ฅ por 2
๐ (2): 2 ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฆ ๐๐๐๐๐
๐ถ๐ = 2
Cuantificaciรณn
La Cuantificaciรณn es un proceso que mediante el uso de cuantificadores permite
convertir funciones proposicionales en proposiciones.
Los Cuantificadores son sรญmbolos utilizados para indicar cuรกntos o quรฉ tipo de
elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad :
Cuantificador Universal โ
Se utiliza para afirmar que todos los
elementos de un conjunto dado
cumplen con una determinada
propiedad.
๐ ๐ฅ : ๐ฅ ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
โ๐: ๐ ๐
โ๐ฅ: ๐ฅ ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐: ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐รบ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
Cuantificador Existencial โ
Se utiliza para indicar que uno o mรกs
elementos en un conjunto dado cumplen
una determinada propiedad.
๐ ๐ฅ : ๐ฅ ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
โ๐: ๐(๐)
โ๐ฅ: ๐ฅ ๐๐ ๐ข๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐: ๐ด๐๐๐ข๐๐๐ ๐รบ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
Negaciรณn de los Cuantificadores
โLa negaciรณn del Cuantificador Uni-
versal es el Cuantificador Existencialโ
~ โ๐: ๐ ๐ โบ โ๐: ~๐(๐)
Ejemplo:
"๐ถ๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐, ๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐ ๐ข๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ ๐๐ โ 3โ
โ๐ โ โค, โ ๐ โ โ: ๐ โ ๐ โ โ๐
~[ โ๐ โ โค, โ ๐ โ โ: ๐ โ ๐ โ โ๐] โบ
โบ โ๐ โ โค, โ ๐ โ โ: ๐ โ ๐ = โ๐
"๐ธ๐ฅ๐๐ ๐ก๐ ๐ข๐ ๐๐๐ก๐๐๐, ๐๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ โ 3โ
โLa negaciรณn del Cuantificador Exis-
tencial es el Cuantificador Universalโ
~ โ๐: ๐ ๐ โบ โ๐: ~๐(๐)
Ejemplo:
"๐ธ๐ฅ๐๐ ๐ก๐ ๐ข๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ 5โ
โ๐ โ โ, โ ๐ โ โ: ๐ + ๐ = ๐
~[ โ๐ โ โ, โ ๐ โ โ: ๐ + ๐ = ๐] โบ
โบ โ๐ โ โ, โ ๐ โ โ: ๐ + ๐ โ ๐
"๐ถ๐ข๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐, ๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐ ๐ข๐ ๐๐๐ก๐ข๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ ๐๐ 5โ
Mรฉtodos Axiomรกticos
Directo
Indirecto o Contrarrecรญproco
Reducciรณn por el Absurdo
Refutaciรณn
Teoremas
Demostraciones
Axiomas o Postulados
DEMOSTRACIรN
Argumento que establece la
verdad de un teorema
TEOREMA
Proposiciรณn que se desprende de
otra u otras (demostrada/as
dentro de un sistema)
AXIOMA
Proposiciรณn que se asume
como verdadera
Mรฉtodo Directo
Consiste en partir de la verdad del antecedente (Hipรณtesis) y tratar de
establecer la verdad del consecuente (Tesis)
Ejemplo:
Demostrar que : โsi un nรบmero es impar, entonces su cuadrado es imparโ
Demostraciรณn:
๐ฏ๐๐รณ๐๐๐๐๐ โถ ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐๐๐ โบ ๐ฅ = 2๐ + 1, โ๐ โ โค
๐ป๐๐๐๐: ๐ฅ2 ๐๐ ๐๐๐๐๐ โบ ๐ฅ2 = 2๐ + 1 2, โ๐ โ โค
๐ฅ2 = 2๐ + 1 2 = 4๐2 + 4๐ + 1 = 2 2๐2 + 2๐ + 1
Si consideramos al tรฉrmino 2๐2 + 2๐ = ๐, โ๐ โ โค
๐ฅ2 = 2 2๐2 + 2๐ + 1 = 2๐ + 1
Conclusiรณn: ๐๐ = ๐๐ + ๐, es decir, ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
Mรฉtodo Indirecto o Contrarrecรญproco
Consiste en partir de la negaciรณn del consecuente (Tesis) y determinar la negaciรณn
del antecedente (Hipรณtesis)
Ejemplo:
Demostrar que: โPara cualquier entero si su cuadrado es impar, entonces dicho
nรบmero es imparโ
Demostraciรณn:
Nueva Hipรณtesis = Negaciรณn de la Tesis Inicial: ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐ โบ ๐ฅ = 2๐, โ๐ โ โค
Nueva Tesis = Negaciรณn de la Hipรณtesis Inicial: ๐ฅ2 ๐๐ ๐๐๐ โบ ๐ฅ2 = 2๐ 2, โ๐ โ โค
๐ฅ2 = 2๐ 2 = 4 ๐2 = 2(2 ๐2)
Si consideramos al tรฉrmino 2 ๐2 = ๐, โ๐ โ โค
๐ฅ2 = 2 2 ๐2 = 2๐
Conclusiรณn: ๐๐ = ๐๐, es decir, ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐รบ๐๐๐๐ ๐๐๐
Mรฉtodo de Reducciรณn por el Absurdo
Consiste en partir de la falsedad del consecuente (Tesis), ocupando el antecedente
(Hipรณtesis), llegar a una contradicciรณn (ya sea contradecir la hipรณtesis dada o
cualquier resultado conocido).
Ejemplo:
Demostrar que : โpara cualquier nรบmero entero par su cuadrado es parโ
Demostraciรณn:
Hipotesis : ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐ โบ ๐ฅ = 2๐, โ๐ โ โค
Tesis = Negaciรณn de la Tesis Inicial: ๐ฅ2 ๐๐ ๐๐๐๐๐ โบ ๐ฅ2 = 2๐ + 1, โ๐ โ โค
๐ฅ = 2๐ โบ ๐ฅ2 = 2๐ 2 โบ ๐ฅ2 = 4 ๐2 โบ ๐ฅ2 = 2(2 ๐2)
Si consideramos al tรฉrmino 2 ๐2 = ๐, โ๐ โ โค
๐ฅ2 = 2๐
Podemos observar que ๐๐= ๐๐ โง ๐๐ = ๐๐ +1, es decir que un nรบmero cualquiera es
par e impar a la vez, y sabemos que esto no es posible (es un absurdo).
Conclusiรณn: โpara cualquier nรบmero entero par su cuadrado es par โ
Refutaciรณn
Consiste en buscar un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la
afirmaciรณn.
Ejemplo:
Demostrar que: โel cuadrado de todo nรบmero impar es parโ
Demostraciรณn:
92 = 81
Conclusiรณn: โel cuadrado de todo nรบmero impar es imparโ
Bibliografรญa
ASTORGA y LISI (2012), โMatemรกtica Iโ, Ed. IMPRENTA FCEJS โU.N.Sa
BOSCH (1999), โIntroducciรณn al Simbolismo Lรณgicoโ, Ed. EUDEBA
JOHNSONBAUGH (1999), โMatemรกticas Discretasโ, Ed. Prentice Hall
RABUFFETTI (1992), โIntroducciรณn al Anรกlisis Matemรกtico: Cรกlculo Iโ, Ed. EL ATENEO
ROJO ARMANDO (2005), โรlgebra Tomo 1โ, Ed. EL ATENEO
SUPPES (1994), โIntroducciรณn a la Lรณgica Matemรกticaโ, Ed. REVERTร