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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE LâENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
TP : MAINTENANCE ET SURETE DE FONCTIONNEMENT
« Cours pour (TP) : Etudiants Masters, Ingénierie Logistique ».
Dr. Messaoud BENZOUAI.
Maitre de confĂ©rences âBâ
Faculté de technologie
DĂ©partement GĂ©nie Industriel
Contact : [email protected]
Table des matiĂšres
Table des matiĂšres
Partie I : Processus de maintenance et sĂ»retĂ© de fonctionnement âŠâŠâŠâŠâŠ. 03
1. DĂ©finitions âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ............... 03
2. Objectifs gĂ©nĂ©raux de la maintenance âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ... 03
3. Cycle de vie dâun matĂ©riel et maintenance âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ 03
4. Les diffĂ©rentes formes de la maintenance âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ... 04
5. Choix dâune politique de maintenance âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ... 06
Partie II : La FiabilitĂ© / Principales Lois. âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ...âŠâŠâŠ..⊠07
1. Notions : variable aléatoire, densité de probabilité et fonction de répartition. . 07
2. Les fonctions fiabilitĂ© et dĂ©fiabilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ. 07
3. DĂ©termination expĂ©rimentale de la fiabilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠ............... 08
4. Le taux de dĂ©faillance âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠ.................... 08
5. Principales lois de la fiabilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ...âŠâŠâŠâŠ. 11
6. Banques de donnĂ©es de fiabilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠ 15
Partie III : Concepts de base FMD et sĂ»retĂ© de fonctionnement âŠâŠâŠâŠâŠ.. 17
1. La fiabilitĂ©. âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ...âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..... 17
2. La maintenabilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠ... 18
3. La disponibilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ 19
4. Facteurs de fiabilitĂ©, maintenabilitĂ© et disponibilitĂ©.âŠâŠâŠâŠâŠâŠ.⊠20
5. Temps caractĂ©ristiques de la suretĂ© de fonctionnement âŠâŠâŠâŠâŠâŠ. 21
6. Les mĂ©thodes dâanalyse de sĂ»retĂ© de fonctionnement âŠâŠâŠâŠâŠâŠ... 22
6.1. Notion de systĂšme âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ...âŠâŠ. 22
6.2. Digramme Bloc FiabilitĂ© âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ 22
6.3. Arbre de dĂ©faillance âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ. 25
6.4. FiabilitĂ© des systĂšmes rĂ©parables (Graphe de Markov) âŠâŠâŠâŠ 27
Partie 1 : Processus de maintenance et sureté de fonctionnement.
3 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Partie I : PROCESSUS DE MAINTENANCE ET SURETE DE FONCTIONNEMENT.
1. DĂ©finitions.
DĂ©finition 1 : / (AFNOR (NF X 60-010).
La maintenance : Ensemble des actions permettant de maintenir ou de rétablir un bien dans
un Ă©tat spĂ©cifiĂ© ou en mesure dâassurer un service dĂ©terminĂ©.
- Maintenir: Notion de «prĂ©vention» dâun systĂšme en fonctionnement (prĂ©voir et
anticiper).
- Rétablir : Notion de «correction» consécutive à une perte de fonction.
- Ătat spĂ©cifiĂ© ou service dĂ©terminĂ© : implique la prĂ©dĂ©termination dâobjectif Ă
atteindre, avec quantification des niveaux,
2. Objectifs généraux de la maintenance.
Les services de maintenance doivent définir leurs objectifs qui doivent correspondre à la
politique de leur entreprise. Il sâagit des aspects : Financier, Technique et Humain.
Principaux objectifs :
- Sécurité : humains et matériels
- Disponibilité (plan technique) : fiabilité et maintenabilité.
- Coûts (sur plan économique) : directes de maintenance et indirectes de maintenance.
- Durabilité : sur le plan technico-économique.
3. Cycle de vie dâun matĂ©riel et maintenance.
La maintenance est un processus au sens de la norme ISO 9000 puisquâelle est constituĂ©e dâun
ensemble d'activités, qui utilisent des ressources et sont réalisées par des acteurs (techniciens)
pour obtenir un résultat « Définition maintenance : actions techniques, administratives et de
management, destinées à maintenir un bien ou à le rétablir dans un état dans lequel il peut
accomplir la fonction requise. ».
Pour mettre en évidence les effets du processus maintenance sur les caractéristiques de
sûreté de fonctionnement des équipements, nous pouvons le décomposer en trois phases de
vie :
Figure 1 : Phases du cycle de vie dâun matĂ©riel et maintenance.
Phases de vie dâun
matériel
Concepteur Fabricant Exploitant
Maintenance Sureté de fonctionnement
Partie 1 : Processus de maintenance et sureté de fonctionnement.
4 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Ce processus, reprĂ©sente lâensemble des activitĂ©s menĂ©es au cours des diffĂ©rentes phases du
cycle de vie de lâinstallation (Ă©tude, prĂ©paration, planification, gestion des ressources,
réalisation des interventions correctives et préventives, collecte et analyse du retour
dâexpĂ©rience, calcul dâindicateurs, etc.).
Analyse :
Maintenance et concepteur : La prise en compte de la maintenance en phase de conception
qui permet de dĂ©terminer au mieux la fiabilitĂ© et la maintenabilitĂ© intrinsĂšque dâun bien ;
Maintenance et fabricant du bien (constructeur) : La prise en compte de la maintenance en
phase de fabrication du bien, câest la disponibilitĂ© des piĂšces de rechange, les conditions de
vente, garantie. etc, ce qui caractĂ©rise lâaspect maintenabilitĂ©.
Maintenance et exploitant : La prise en compte de a maintenance en phase dâexploitation
(maintenance interne Ă lâentreprise appelĂ©e aussi maintenance intĂ©grĂ©e) qui produit la fiabilitĂ©
opérationnelle et par suite la disponibilité, puis le soutien logistique qui conduit à la
maintenabilité opérationnelle.
Pour caractériser les interventions de maintenance réalisées sur les matériels lors de son
exploitation, et ce pour pouvoir optimiser les concepts de sureté de fonctionnement (Fiabilité,
maintenabilité, disponibilité et sécurité) nous pouvons nous référer aux différentes formes de
maintenance.
4. Les différentes formes de maintenance,
Dans la définition de la maintenance, nous trouvons deux mots-clés :
Maintenir : câest lâaction prĂ©ventive et RĂ©tablir : câest lâaction corrective (figure 2).
Figure 2 : Types de maintenance
MAINTENANCEDu parc matériel
Maintenancepréventive
Maintenance corrective(aprÚs défaillance)
MTBFconnue inconnue
Maintenancesystématique
(planifiée)
Maintenanceconditionnelle
(prédictive)
MĂ
THO
DE
S D
E M
AIN
TEN
AN
CE
DĂ©faillance
ĂchĂ©ancier Ătat du bien
DĂ©faillancepartielle
Panne ĂVĂN
EMEN
TS
Inspection
ContrĂŽle DĂ©pannage RĂ©paration
Visite (palliative) (réparation) Opé
ratio
n de
Main
tena
nce
Partie 1 : Processus de maintenance et sureté de fonctionnement.
5 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
4.1. Maintenance corrective : (Extrait de la norme NF EN 13306 X 60-319 : avril 2001)
a) Définition : Exécutée aprÚs détection d'une panne et destinée à remettre un bien dans un
Ă©tat dans lequel il peut accomplir une fonction requise.
Câest une maintenance qui intervienne aprĂšs dĂ©faillance (Total ou Partiel), caractĂ©risĂ©e par :
- CaractÚre aléatoire;
- Nécessite des ressources humaine compétentes;
- Nécessite la disponibilité de ressources matérielles (piÚces de rechange et outillage).
b) Les principales opérations de maintenance corrective :
- Le dĂ©pannage : câest une intervention Ă caractĂšre provisoire.
- La rĂ©paration : câest une intervention Ă caractĂšre dĂ©finitif.
4.2. Maintenance Préventive : (Extrait de la norme NF EN 13306 X 60-319)
EffectuĂ©e dans lâintention de rĂ©duire la probabilitĂ© de dĂ©faillance dâun bien ou dâun service
rendu.
On distingue deux types de maintenance préventive :
4.2.1. Maintenance préventive systématique.
a) Définition : Exécutée à des intervalles de temps préétablis ou selon un nombre défini
d'unités d'usage mais sans contrÎle préalable de l'état du bien (EN 13306 : avril 2001).
La figure ci-aprĂšs montre que lâintervention prĂ©ventive systĂ©matique (Ipsi) sâeffectue aprĂšs un
Ă©chĂ©ancier (pĂ©riode) dâintervention prĂ©dĂ©terminĂ©e (T) constante.
4.2.2. Maintenance préventive conditionnelle (Extrait norme NF EN 13306 X 60-319)
a). Définition : Basée sur une surveillance du fonctionnement du bien et/ou des paramÚtres
significatifs de ce fonctionnement intégrant les actions qui en découle.
La surveillance sâeffectue Ă travers des capteurs en temps rĂ©el.
Ii : intervention ; T1â T2 â T3.
T T T T
t0
Ips1 Ips2 Ips3 temps dâusage
T1 T4 T3
t = 0
I1 I2 I3
Temps dâusage
Partie 1 : Processus de maintenance et sureté de fonctionnement.
6 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
5. Choix dâune politique de maintenance.
Le choix du type de maintenance le mieux adapté dans chaque cas dépend généralement de :
- du type de défaillance ;
- de lâaptitude du personnel de maintenance ;
- de la connaissance des coûts de maintenance (coûts directs, coûts indirects,
investissements).
- de lâorganisation du travail (mĂ©thode, prĂ©paration, planning, piĂšces de rechange,
moyens dâinvestigation, etc.).
Figure 3 : Politique de maintenance.
Maintenance
Corrective. Le coût de la panne est-il acceptable ?
Oui
Non
Est-il possible
dâutiliser des techniques de
surveillance ? Maintenance
Systématique
Non
Oui
Ces techniques sont-elles rentables ?
Maintenance
Conditionnelle
Non
Oui
La Panne a-t-elle une
incidence importante sur la
production ou la sur sécurité ?
Oui
Non
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
7 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Partie II : LA FIABILITE / PRINCIPALES LOIS.
1. Notions :
1.1. Variable alĂ©atoire : On appelle variable X, une variable telle quâa chacune valeur x de
X on puisse associer une probabilité F(x).
X : {x1, x2, âŠâŠâŠâŠ..xiâŠxn} F(xi).
Une variable alĂ©atoire peut ĂȘtre :
- Continue : Peut prendre nâimporte quelle valeur rĂ©elle (ensemble des nombres rĂ©els)
appartenant à un intervalle donnée.
Exemple : intervalle de temps entre deux défaillances consécutives (t1, t2).
- DiscrĂšte (discontinue) : Peut prendre nâimporte quelle valeur entiĂšre (ensemble des
nombres naturels).
Exemple : nombre de dĂ©faillances dâun composant.
1.2. Densité de probabilité et fonction de répartition.
Soit une loi de probabilité relative à une variable aléatoire continue T, elle est caractérisée par
sa fonction de distribution (densité de probabilité) f(t) et sa fonction de répartition F(t), telles
que :
La fonction de rĂ©partition F(t) reprĂ©sente la probabilitĂ© quâun Ă©vĂ©nement (une dĂ©faillance)
survienne Ă lâinstant T dans lâintervalle (0, t). F(t) = P (T < t).
F(t) : ProbabilitĂ© quâune dĂ©faillance soit survenue Ă lâinstant T dans lâintervalle (0,t)
f(t) : ProbabilitĂ© de dĂ©faillances entre t et t+dt Ă lâinstant T dans lâintervalle (0,t)
2. Les fonctions fiabilité et défiabilité :
Un dispositif mis en marche pour la premiĂšre fois Ă ât0â tombera inĂ©vitablement en panne Ă
un instant T non connu a priori.
T, date de la panne, est une variable aléatoire de fonction de répartition F(t).
F(t) est la probabilitĂ© dâune dĂ©faillance avant ti.
R(t) est la probabilité de bon fonctionnement à ti.
R(t) et F(t) sont des probabilités complémentaires, telles que : R(t) + F(t) = 1
R(t) : Fonction de fiabilité (survie) ; F(t) : fonction de défiabilité (fonction de panne).
â« f (t)dtđĄ
0+ â« f (t)dt
+â
đĄ= 1
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
8 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Figure 4 : Probabilités complémentaires F(t) et R(t)
3. Détermination expérimentale de la fiabilité.
La fiabilitĂ© est dĂ©finie comme lâaptitude dâun dispositif Ă accomplir une fonction requise dans
des conditions données pour une période de temps donnée.
Elle est caractérisée par la probabilité R(t) que le systÚme S accomplis ces fonctions, dans les
conditions donnĂ©es pendant lâintervalle de temps [0, t], sachant que S nâest pas en panne Ă
lâinstant t = 0.
R (t) = P [S non défaillant sur (0, t)]
Pour Ă©valuer la fiabilitĂ© dâun systĂšme, il est nĂ©cessaire de savoir comment il devient dĂ©faillant
dans le temps : la loi de survie le précise. Le taux de défaillance indique le comportement
dâun dispositif dâun Ăąge donnĂ© dans le futur immĂ©diat.
On soumet Ă lâessai un Ă©chantillon de taille dans les mĂȘmes conditions soit :
- Ns(t) le nombre de survivants Ă lâinstant t
- Nf (t) le nombre de dĂ©faillants Ă lâinstant t.
- N nombre dâĂ©chantillon initial.
Ns(t) + Nf(t) =1 donc đđ (đĄ)
đ=
đâđđ(đĄ)
đ=
đ(đĄ)
đ
Si N tend vers â đ(đĄ)
đ tend vers la fiabilitĂ© du systĂšme đ (đĄ) =
đ(đĄ)
đ
4. Le taux de défaillance.
4.1. Définition Le taux de défaillance, noté λ(t), est un indicateur de fiabilité qui représente :
- soit un taux supposĂ© constant de dĂ©faillances par unitĂ© dâusage exprimĂ© sous la forme
générale :
λ =đđđđđđ đđ đĂ©đđđđđđđđđđ đ đąđ đąđ đđđĄđđđŁđđđđ đđ đĄđđđđ
đđđđđđ đđ đ đąđđŁđđŁđđđĄđ đđą đĂ©đđąđĄ đđ đđ đĂ©đđđđđ đ đđđĄđđđŁđđđđ đđ đĄđđđđ đâČđąđĄđđđđ đđĄđđđ
Sâexprime le plus souvent en « pannes par heure ».
- Soit la fonction λ(t) qui reprĂ©sente une proportion de survivants Ă lâinstant t, tirĂ©e dâun
Ă©chantillon.
F(t) R(t)
1
(t)
F(ti)
R(ti)
(t) (ti) (ti)
1
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
9 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
4.2. DurĂ©e de vie dâun Ă©quipement « courbe en baignoire »
La variation de la fonction λ(t) dâun Ă©quipement le long de sa durĂ©e de vie est connue a priori
et est une courbe en forme de « baignoire ».
La variation de λ(t) (figure 5) se caractérise par trois périodes distinctes : Jeunesse, Maturité
et Vieillesse de lâĂ©quipement. Chaque pĂ©riode ayant ses types de dĂ©faillances propres.
Figure 5 : Courbe en baignoire dâun systĂšme
- PĂ©riode de jeunesse : Câest une pĂ©riode de rodage et dâadaptation et aussi de mise en
service et réglage. Caractérisée par : des défaillances « précoces », un taux de défaillance
décroissant et une période trÚs courte ;
- PĂ©riode de maturitĂ© ou vie utile : Câest une pĂ©riode de rendement optimal du matĂ©riel.
Les défaillances apparaissent sans dégradations préalables donc des défaillances aléatoires
et un taux de défaillance sensiblement constant. Nous nommerons « hypothÚse
exponentielle » le fait de considérer λ constant sur la période de vie utile ;
- pĂ©riode de vieillesse ou dâusure : Câest aussi une pĂ©riode dâobsolescence qui se
caractérise par : un mode de défaillance prédominant, visible, entraine une dégradation
accélérée, un taux de défaillance croissant. A un certain seuil de λ(t), le matériel est mort il
est alors dĂ©classĂ© (rĂ©formĂ©), câest pourquoi durant cette pĂ©riode le service maintenance
augmente les études technico-économique afin de décider sur la réforme du matériel au
moment opportun.
4.3. Calcul du taux de défaillance.
4.3.1. Calcul du taux de défaillance moyen.
Cas 1 : les Ă©lĂ©ments dĂ©faillants sont remplacĂ©s dans lâintervalle Î t.
Nommons : N0 : nombre initial de dispositifs,
Ns (t) : nombre de survivants Ă lâinstant t,
Ns (t + Î t) : nombre de survivants Ă lâinstant t + Î t,
C(Ît) = Ns (t) â Ns (t + Î t) : nombre de dĂ©faillants pendant Î t.
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
10 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Dans ce cas le lot de dispositif est constant (N0 = Ns (t)), le taux de défaillance moyen sur
lâintervalle Ît est :
λ(t) = C(Ît) N0 â Ît λ(t) =C(Ît)
N0 â Ît
Cas 2 : les éléments défaillants ne sont pas remplacés (ou ne sont pas réparés) dans
lâintervalle Î t.
Dans ce cas, (N0 â Ns (t)), la fonction N(t) est dĂ©croissante. Le taux de dĂ©faillance moyen
sur lâintervalle Î t est :
λ(t) =Ns (t) â Ns (t + Î t)
Ns â Ît
Ce taux de dĂ©faillance est une valeur moyenne sur une pĂ©riode ât connue. Or, au mĂȘme titre
que F(t) et R(t), il est intĂ©ressant de connaĂźtre lâĂ©volution de λ(t) au cours du temps. Câest le
taux de défaillance instantané :
4.3.2. Le taux de défaillance instantané.
Comme la défaillance est la cessation d'une aptitude à accomplir une fonction requise, c'est le
passage de l'Ă©tat de fonctionnement Ă l'Ă©tat de panne.
On distinguera sa cause (circonstances ayant entraßné la défaillance), son mode ou mécanisme
(processus ayant entraßné la défaillance) et son taux λ(t) qui représente la proportion de
dispositifs qui, ayant vécu un temps t, ne sont plus en vie à t + dt.
Le taux de défaillance s'exprime de la façon suivante :
λ(t) =đđđđđđ đđ đĂ©đđđđđđđđđđ đ đąđ đąđ đđđĄđđđŁđđđđ đđ đĄđđđđ
đđđđđđ đđ đ đąđđŁđđŁđđđĄđ đđą đĂ©đđąđĄ đđ đđ đĂ©đđđđđ đ đđđĄđđđŁđđđđ đđ đĄđđđđ đâČđąđĄđđđđ đđĄđđđ
λ(t) =đđđđđđ đđ đĂ©đđđđđđđđđđ đđą đđ âđĄ
đđđđđđ đđ đ đąđđŁđđŁđđđĄđ đđą đĂ©đđąđĄ đđ đđ đĂ©đđđđđ đ âđĄ
Si âđĄ dt alors :
λ(t) =đđđđđđ đđ đĂ©đđđđđđđđđđ đđą đđđąđđ đđ âđĄ
đđđđđđ đđ đ đąđđŁđđŁđđđĄđ đđą đĂ©đđąđĄ đđ đđ đĂ©đđđđđ đ
1
đđĄ
λ(t). dt =đč(đĄ + đđĄ) â đč(đĄ)
đ (đĄ) =
đđč(đĄ)
1 â đč(đĄ)
N0
t=0 (t) (t + Î t)
Ns (t + Î t) Ns (t)
Temps de service Î t
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
11 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
f(t) =đđč(đĄ)
đ (đĄ) dF(t) = f(t).R(t) đ(đ) =
đ(đ)
đč(đ)
5. Principales lois de fiabilité.
Nous présentons dans ce paragraphe les lois de fiabilité les plus couramment utilisées en
maintenance.
5.1. Loi normale
La loi normale appelée aussi loi de Gauss-normale est trÚs répandue et la plus utile parmi les
lois de probabilitĂ© car elle sâapplique Ă de nombreux phĂ©nomĂšnes.
Câest la loi Ă deux paramĂštres : La moyenne (m ou parfois ”) et lâĂ©cart type Ï
Domaine dâapplication :
En fiabilité, la distribution normale est utilisée pour représenter la distribution des durées de
vie de dispositifs en fin de vie (usure), c'est-Ă -dire en phase de vieillesse (voir figure 5) car le
taux de défaillance est toujours croissant.
UtilisĂ©e uniquement lorsque (m > 3x Ï). En effet, t est toujours positif, alors que la variable
normale est définie de à .
Caractéristiques de la loi normale.
- La densité de probabilité :
- La fonction de répartition :
La fiabilité est donnée par :
OĂč est la fonction de rĂ©partition de la loi normale centrĂ©e rĂ©duite : ( =0, =1):
2
21
( )2
t
t e d
Figure. 6 : La densité de probabilité / loi normale.
m+Ï
Ï
m m-Ï
Ï
f(t)
t
21
21( )
2
t
f t e
2
2
( )
21
( )2
xt
F t e dx
( ) 1 (( ) / )R t t
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
12 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
5.2. La loi exponentielle
Domaine dâutilisation :
La loi exponentielle en fiabilitĂ© est utilisĂ©e lorsque le taux de dĂ©faillance dâun systĂšme ou
dâun composant est sensiblement constant (λ = constant), ceci dit que la loi exponentielle
sâapplique lorsque le systĂšme se trouve en phase de maturitĂ© (voir figure 5)
Câest le seul cas oĂč λ =1
đđđ”đč (taux de panne) ; ” =
1
đđđ”đč (taux de rĂ©paration)
Origine de la loi exponentielle :
La loi de Poisson (loi discrĂšte) : La rĂ©alisation dâĂ©vĂ©nements alĂ©atoires dans le temps se
nomme « processus de Poisson ». Il caractérise une suite de défaillances équiprobables,
indépendantes du temps et indépendantes entre elles.
Dans ce cas, la probabilitĂ© de constater k pannes Ă lâinstant t sâexprime par la loi de Poisson :
đ(đ) =λt
đ! eâλt
Ă lâinstant t, la fiabilitĂ© est la probabilitĂ© pour quâil nây ait pas de panne Ă t.
Elle sâĂ©crit : R(t) = P(k = 0) = eâλt ( a0 = 1)
Caractéristiques de la loi exponentielle :
Elle se retrouve à partir de la loi fondamentale de la fiabilité avec λ constant.
La probabilité de survie entre 0 et t devient :
R(t) = eâλt
DensitĂ© de probabilitĂ© : f(t) = đđč(đĄ)
đđĄ=
đ(1âđ (đĄ)
đđĄ=
đ(1âđâλt)
đđĄ= λeâλt
Fonction de rĂ©partition : F(t) = 1 â R(t) = 1 â eâλt = probabilitĂ© de panne entre 0 et t.
Espérance mathématique : E(t) = 1/ λ= MTBF.
Ecart type : Ï = 1/λ.
Le taux de dĂ©faillance : λ =đ(đĄ)
đ (đĄ)=
λđâλt
đâλt = λ = constant
Durée de vie associée à un seuil de fiabilité : tirons t de la loi exponentielle :
â λt = ln R(t) soit t = lnλ R(t) soit t = (1/λ) ln1/R(t).
La moyenne des temps de fonctionnement (MTTF) ou de bon fonctionnement (MTBF) un
important estimateur de la fiabilité et de la disponibilité des systÚmes et se calcul par
lâexpression : MTBF= MTTF = â« đ (đĄ)đđĄ = â« đâλt =1
λ
â
0
â
0
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
13 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Par exemple, pour un composant de MTBF = 2 000 h et un seuil R(t) = 0,9, on aura
t = 0,105/ λ = 0,105 âą MTBF, dâoĂč la valeur t = 210 h telle que 90 % des composants
survivent.
5.3. La loi de Weibull
En fiabilité, c'est la plus répandue des lois, utilisées dans plusieurs domaines (électronique,
mĂ©canique,..). Cette loi permet dâajuster toutes sortes de rĂ©sultats expĂ©rimentaux et
opérationnels.
Domaine dâapplication
La loi de Weibull caractérise le comportement du systÚme dans les trois phases de vie, c'est-
à -dire elle est utilisée dans les phases : de jeunesse (λ décroissant), de maturité (λ
constant) et la phase de vieillissement (λ croissant).
Son utilisation fournit :
- une estimation de la MTBF;
- les fonctions R(t) et de λ(t), et leurs variations sous forme graphique ;
- fournit aussi le paramĂštre de forme ÎČ qui peut orienter un diagnostic, sa valeur
caractérise certains modes de défaillance.
Caractéristiques de la loi de Weibull.
Dans sa forme la plus générale, la distribution de Weibull dépend des trois paramÚtres
suivants : , et .
OĂč : ÎČ est appelĂ© paramĂštre de forme (ÎČ > 0) : suivant la valeur de que ÎČ est supĂ©rieur, Ă©gal
ou inférieur à 1, la loi de Weibull correspond à un taux de défaillance instantané croissant,
constant ou décroissant.
ParamĂštre de forme ÎČ : Câest un paramĂštre sans dimension. Il dĂ©termine la forme de la
distribution f(t) des dĂ©faillances dâun systĂšme et que sa valeur caractĂ©rise chacune des trois
phases de la vie dâun systĂšme :
- ÎČ < 1 : phase de jeunesse avec dĂ©faillances (gĂ©nĂ©ralement des dĂ©fauts de fabrication ou
de montage) ;
- ÎČ = 1 : phase de maturitĂ© avec dĂ©faillances alĂ©atoires. Ce cas particulier correspond au
taux de défaillance constant, c'est-à -dire on retrouve la distribution exponentielle, cas
particulier de la loi de Weibull. Dans ce cas :λ =1
η
- ÎČ > 1 phase de vieillesse avec apparition dâun mode de dĂ©faillance prĂ©dominant
caractĂ©risĂ© par ÎČ. Le paramĂštre de forme peut aussi servir dâindicateur de diagnostic,
certaines valeurs de ÎČ Ă©tant caractĂ©ristiques dâun mode de dĂ©faillance particulier.
Le paramĂštre dâĂ©chelle η : appelĂ© paramĂštre dâĂ©chelle (η > 0), caractĂ©risant le choix dâune
Ă©chelle, il sâexprime dans la mĂȘme unitĂ© de temps (heures ou cycles) que les TBFi.
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
14 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Remarque : plus η est faible plus la fonction de distribution f(t) est aplatie.
Figure 7 : fonction de distribution pour différentes valeurs de η
Le paramĂštre de localisation Îł : (â â < Îł < + â) Ăgalement nommĂ© paramĂštre de dĂ©calage
ou de position, il sâexprime en unitĂ© de temps. Il indique la date de lâapparition du mode
de dĂ©faillance caractĂ©risĂ© par ÎČ.
- Si Îł > 0, il y a survie totale entre t = 0 et t = Îł. C'est-Ă -dire le MTTF= t = Îł.
- Si Îł = 0, les dĂ©faillances dĂ©butent Ă lâorigine des temps.
- Si Îł < 0, les dĂ©faillances ont dĂ©butĂ© avant lâorigine des temps relevĂ©s, ce qui montre
que la mise en service de lâĂ©quipement Ă©tudiĂ© a prĂ©cĂ©dĂ© la mise en historique des TBF.
C'est-Ă -dire que dans ce cas lâĂ©quipement a fonctionnĂ© puis tombĂ© en panne sans
relevés des défaillances de la part du service maintenance (dossier historique non
Ă©tablie dans le temps).
Figure 8 : Fonction de distribution pour différentes valeurs de γ.
La densité de probabilité :
La fonction fiabilitĂ© sâĂ©crit:
Le taux de défaillance est donnée par :
Caractéristiques des fonctions : densité de probabilité f(t) , Fiabilité R(t) et taux de défaillance
λ(t) pour diffĂ©rentes valeurs du paramĂštre de forme ÎČ.
1
( )t
t
( )
t
R t e
1
( )
tt
f t e
f(t)
t
η1
η2< η1
η3< η2
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
15 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Figure 9 : CaractĂ©ristiques f(t), R(t) et λ(t) pour diffĂ©rentes valeurs de ÎČ / loi Weibull.
6. Banques de données de fiabilité.
LâĂ©tude de fiabilitĂ© offre un intĂ©rĂȘt dans la mesure oĂč lâon est en prĂ©sence de donnĂ©es
spécifiques. Certaines données sont nécessaires pour toute analyse de fiabilité.
Elles donnent principalement des taux de dĂ©faillance dâĂ©quipements. Avoir recours Ă ces
banques est particuliĂšrement intĂ©ressant lors de lâestimation des probabilitĂ©s de dĂ©faillances,
étape nécessaire pour pouvoir quantifier par exemple la probabilité de défaillance de
lâĂ©vĂšnement redoutĂ© (le cas de lâarbre de dĂ©faillance). 6.1. Banques de donnĂ©es internes :
Elles peuvent ĂȘtre les temps de bon fonctionnement des matĂ©riels âTBFâ ou des moyennes
de temps de bon fonctionnement MTBF.
Généralement ses données proviennent :
- des fiches dâintervention du service maintenance (fichier historique). Il est Ă noter
que la fiche dâintervention prĂ©sente aussi pour chaque panne : son type, sa cause,
lâorgane dĂ©fectueuxâŠ)
- Du retour client, si on sâintĂ©resse Ă la maintenance de matĂ©riels vendus par
lâentreprise, donnĂ©es Ă©tablies par le service aprĂšs-vente ;
- Par des enquĂȘtes faites sur des matĂ©riels analogues fonctionnant dans dâautres unitĂ©s
Exploitation des donnĂ©es : Ces donnĂ©es peuvent ĂȘtre exploitĂ©es en ayant une quantitĂ© de
TBF, on peut établir les lois de fiabilités. On utilise ses lois de fiabilité pour évaluer les
pĂ©riodicitĂ©s dâentretien prĂ©ventif. Dâune maniĂšre gĂ©nĂ©rale elles servent Ă prĂ©voir toute la
logistique dâun systĂšme.
6.2. Banques de données externes :
Ils existent des tables concernant les composants électroniques et les éléments mécaniques
courants. Ces tables indiquent :
- La dénomination du matériel et du composant ;
- La MTBF ;
- Le taux de dĂ©faillance moyen (avec lâhypothĂšse λ constante) ;
- Un coefficient multiplicatif du taux de panne dĂ©pendant de lâenvironnement et des
contraintes dâutilisation.
ÎČ=0,5
Partie 2 : La fiabilité, principales lois
16 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Ci-aprÚs quelques exemples de banques de données de fiabilité :
- OREDA (Off Shore Reliability Data ), 4e Ă©dition 2002 ;
- EIreDA (European industry reliability Data bank ), 1998 ;
- Safety Equipment Reliability Handbook , Second edition(Excellence In Dependable
Automation ), 2e edition 2006 ;
- IEEE Std. 500-1984 (guide to the collection and presentation of electrical, electronic,
sensing component, and mechanical equipment reliability data for nuclear power
generating stations ) ;
- CCPS (guidelines for process equipment reliability data AIChE ), 1989.
Il est important de garder Ă lâesprit que ces banques de donnĂ©es rapportent, pour la plupart,
des taux de défaillances, et non des probabilités de défaillances.
Exemples de données de fiabilité.
Tableau 1 : Valeurs de fiabilité relatives à une vanne à commande
pneumatique (extraites de lâEireDA 1998).
Technologie Taux de défaillance
moyen (10-6 /h)
Probabilité de défaillance
Ă la demande
Vanne Ă commande
pneumatique 0,17 0,15 · 10-3
Tableau 2 : Valeurs de fiabilité relatives à une vanne à commande pneumatique (extraites du Guidelines for Process Equipment Reliability
Data).
Technologie Taux de défaillance
moyen (10-6 /h)
Probabilité de défaillance
Ă la demande
Vanne Ă commande
pneumatique 3,59 2,2 · 10-3
Remarque : En comparant les données de fiabilité les 02 tableaux ci-dessus, il est possible de
constater des écarts significatifs suivant la banque de données consultée.
Ainsi, est-il conseillĂ©, dĂšs que possible, dâen Ă©tudier plusieurs afin dâĂ©valuer la dispersion des
valeurs et lâerreur commise en retenant une valeur moyenne, notamment.
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
17 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Partie III : CONCEPTS DE BASE FMD ET SURETE DE FONCTIONNEMENT.
La sureté de fonctionnement (appelée aussi la science des défaillances) « Ensemble des
aptitudes dâun produit qui lui permettent de disposer des performances spĂ©cifiĂ©es, au moment voulu,
pendant la durĂ©e prĂ©vue, sans dommage pour lui-mĂȘme et son environnement ».
Les composantes de la sureté de fonctionnement sont :
1. La fiabilité :
« Aptitudes dâun bien Ă accomplir une fonction requise, dans des conditions dâutilisation
données, durant un intervalle de temps donné ».
R(t) = P {S non dĂ©faillant sur lâintervalle [0,t] } : Câest la probabilitĂ© quâun systĂšme S
fonctionne sans subir de panne sur lâintervalle [0,t].
- Fonction requise : ou accomplir une mission ou rendre le service attendu. La définition
de la fonction requise implique un seuil dâadmissibilitĂ© en deçà duquel la fonction
nâest plus remplie.
- Conditions dâutilisation : dĂ©finition des conditions dâusage, câest Ă dire
lâenvironnement et ses variations, les contraintes mĂ©caniques, chimiques, physiques,
etc. Il est Ă©vident que le mĂȘme matĂ©riel placĂ© dans 2 contextes de fonctionnement
diffĂ©rents nâaura pas la mĂȘme fiabilitĂ©.
- PĂ©riode de temps donnĂ©e : dĂ©finition de la durĂ©e de mission T en unitĂ©s dâusage.
On distingue la fiabilitĂ© opĂ©rationnelle : câest la fiabilitĂ© mesurĂ©e sur des dispositifs en
exploitation normale. Elle dĂ©pend des conditions rĂ©elles dâutilisation et du support logistique.
Remarque : « Le temps de bon fonctionnement MTBF reflÚte la fiabilité », revient à dire
amĂ©liorer la fiabilitĂ©, câest augmenter le temps de bon fonctionnement, c'est-Ă -dire diminuer
le taux de panne λ(t).
GĂ©nĂ©ralement, amĂ©liorer la fiabilitĂ© câest : Faire une bonne maintenance prĂ©ventive.
Si R (t) est la probabilitĂ© de ne rencontrer aucune dĂ©faillance dans lâintervalle [0, t] sachant
que le systÚme est non défaillant à t = 0, le terme 1 - R (t) représente la probabilité que la
défaillance se produise entre [0, t].
Lâaptitude contraire de la fiabilitĂ© est appelĂ©e dĂ©fiabilitĂ© notĂ©e : F(t), et est dĂ©finie par :
F(t) = 1 âR(t) = P (t †T)
On aura donc : R(t) + F(t) = 1
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
18 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Figure 10 : Courbes de la fiabilité R(t) et la défiabilité F(t)
La figure 10, représente une allure de la fiabilité R (t) en fonction du temps pour une loi
exponentielle définie par :
R(t) = expo (- λt) avec t > 0 et l > 0.
2. La maintenabilité :
Dans des conditions donnĂ©es dâutilisation, aptitudes dâun bien Ă ĂȘtre maintenu ou rĂ©tabli dans
un Ă©tat oĂč il peut accomplir une fonction requise, lorsque la maintenance est accomplie dans
des conditions données, en utilisant des procédures et des moyens prescrits.
M(t) = P {S est rĂ©parĂ© sur lâintervalle [0,t] }
Câest la probabilitĂ© que la maintenance dâun systĂšme S accomplie dans des conditions
donnĂ©es, soit effectuĂ©e sur lâintervalle [0,t] sachant quâil est dĂ©faillant Ă lâinstant t.
Remarque : « Le temps moyen de réparation MTTR reflÚte la maintenabilité », revient à dire
amĂ©liorer la maintenabilitĂ© câest minimiser les temps de rĂ©parations et par suite le taux de
réparation ”(t) ».
Pour amĂ©liorer la maintenabilitĂ© (minimiser le ”(t)) câest :
- Avoir un équipement réparable, donc démontable.
- Avoir la disponibilité de la piÚce de rechange ;
- Avoir lâoutillage et la logistique nĂ©cessaires pour lâintervention ;
- Avoir les procédures de travail (gammes opératoires) ;
- Avoir une conception avec une accessibilitĂ© Ă lâintervention (dĂ©montage et remontage) ;
- Avoir un technicien qualifié ;
- Autres.
LâImmaintenabilitĂ© correspond a` la probabilitĂ© contraire, soit :
đ(đĄ)Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì = 1- M(t) = 1 - P (S non rĂ©parĂ© sur la durĂ©e [0, t]).
R(t)
F(t)
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
19 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
3. La disponibilité :
Aptitudes dâun bien Ă ĂȘtre en Ă©tat dâaccomplir une fonction requise, dans des conditions
données, à un instant donné ou durant un intervalle de temps donné, en supposant que la
fourniture des moyens externes est assurée.
A(t) = P {S non dĂ©faillant sur lâinstant t] }
Câest la probabilitĂ© quâun systĂšme S soit non dĂ©faillant Ă tout instant, lors du dĂ©marrage et
durant lâintervalle [0,t], câest pourquoi quâon peut conclure que la disponibilitĂ© regroupe la fiabilitĂ©
et la maintenabilité.
Améliorer la disponibilité, revient à dire améliorer la fiabilité et la maintenabilité, c'est-à -dire
augmenter le MTBF (réduire λ(t)) et aussi réduire le MTTR (réduire ”(t)).
Lâaptitude contraire est appelĂ©e indisponibilitĂ© et est dĂ©finie par : đŽ(đĄ)Ì Ì Ì Ì Ì Ì = 1 â A(t)
On distingue :
- La disponibilité intrinsÚque :
Elle exprime le point de vue du concepteur. Ce dernier a conçu et fabriqué le produit en lui
donnant un certain nombre de caractĂ©ristiques intrinsĂšques, câest Ă dire des caractĂ©ristiques
qui prennent en compte les conditions dâinstallation, dâutilisation, de maintenance et
dâenvironnement, supposĂ©es idĂ©ales.
- La disponibilité opérationnelle :
Il sâagit de prendre en compte les conditions rĂ©elles dâexploitation et de maintenance. Câest la
disponibilitĂ© du point de vue de lâutilisateur. Le calcul de Do fait appel aux mĂȘmes paramĂštres
TBF, TTR et sauf que ces 3 paramÚtres ne sont plus basés sur les conditions idéales de
fonctionnement mais sur les conditions rĂ©elles (historiques dâexploitation : mesures de temps
saisies Ă partir des Ă©tats dâun Ă©quipement en exploitation).
đ· =đđđ”đč
đđđ”đč + đđđđ
Résumé :
Figure 11 : Relations entre FMD.
R(t) : FIABILITà Probabilité de bon fonctionnement
M(t) : MAINTENABILITà Probabilité de durée de réparation
( MTBF ) ( MTTR )
D(t) : DISPONIBILITĂ ProbabilitĂ© dâassurer un service rendu
MTBF
MTTR + MTBF D =
λ(t) : Taux de panne ”(t) : Taux de réparation
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
20 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
4. Facteurs de fiabilité, maintenabilité et disponibilité.
Comme les installations représentent un ensemble technique complexe, il est difficile de
donner une rĂ©ponse globale, et câest pourquoi on Ă©tudie la disponibilitĂ© par Ă©quipement et non
pas par installation (ensemble dâĂ©quipement), puis aprĂšs on peut dĂ©duire la disponibilitĂ©
résultante en adoptant le principe des configurations série et parallÚle.
Considérant un équipement donné par :
TBFi : Temps de Bon Fonctionnement i,
Pi : Panne i,
TRi : Temps de réparation i.
T : PĂ©riode de fonctionnement suffisamment longue.
Dans ce cas la disponibilité est traduite par la somme des périodes de fonctionnement durant
la période T. Soit :
đ· =â đđ”đčđđ
đ=1
đ=
â đđ”đčđđđ=1
â đđ”đčđđđ=1 + â đđ đđ
đ=1
Avec : đđđ”đč =1
đ â đđ”đčđđ
đ=1 MTBF : Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement.
đđđđ =1
đ â đđ đđ
đ=1 MTTR : Moyenne des Temps de Travaux de RĂ©paration
Par substitution on obtient : đ· =đđđ”đč
đđđ”đč+đđđđ
a. Facteur de Fiabilité :
On utilise souvent le terme fiabilitĂ© pour caractĂ©riser lâaptitude dâun Ă©quipement Ă ĂȘtre
exploité en fonction du temps sans subir de panne, cette notion reflÚte le MTBF appelé aussi
facteur de fiabilitĂ© âfâ.
b. Facteur de Maintenabilité :
On utilise Ă©galement le terme maintenabilitĂ©, câest lâaptitude quâoffre un Ă©quipement Ă subir
plus ou moins facilement les interventions et travaux de maintenance.
Comme le MTTR est le quotient de la durĂ©e totale des arrĂȘts par le nombre dâarrĂȘt.
đđđđ =1
đ â đđ đ
đ
đ=1
TBF1 TBF
2 TBFn TBF
n-1 TR
1
TR2
P1 P2
TRn-1
Pn-1 Pn
T
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
21 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Son inverse reprĂ©sente le nombre moyen dâarrĂȘt par heure de production perdue, et mesure en
quelque sorte la vitesse dâintervention de la maintenance. Plus le MTTR diminue plus cette
vitesse est grande, plus grande aussi la maintenabilitĂ© de lâĂ©quipement.
On pose đ =1
đđđđ (Facteur de maintenabilitĂ©).
c. Facteur de disponibilité opérationnelle :
Comme la disponibilité est fonction de la fiabilité et la maintenabilité, ce qui donne :
đ =đđđ”đč
đđđđ (Facteur de disponibilitĂ©)
d : dĂ©signe le nombre dâheures dâutilisation de lâĂ©quipement par heure dâarrĂȘt attribuĂ©e Ă la
maintenance.
Dop=đđđ”đč
đđđ”đč+đđđđ
/đđđđ
/đđđđ on obtient : Dop =
đ
1+đ
5. Temps caractéristiques de la sureté de fonctionnement.
Les indicateurs opérationnels sont :
MTTF : (Mean Time To Failure) DurĂ©e moyenne de fonctionnement dâune entitĂ© avant la
premiÚre défaillance
MTTR : (Mean Time To Repair) Durée moyenne de réparation
MUT: (Mean Up Time) Durée moyenne de fonctionnement aprÚs réparation
MDT : (Mean Down Time) DurĂ©e moyenne dâindisponibilitĂ©. Cette durĂ©e correspond aux
phases suivantes : Détection de la panne, la réparation de la panne et la remise en
service.
MTBF : (Mean Time Between Faillure) Durée moyenne entre deux défaillances consécutives
dâune entitĂ© rĂ©parĂ©e.
Remarque :
La MTTF est utilisée dans les systÚmes non réparables. Dans ce cas : MTTF = MTBF.
Dans les systĂšmes rĂ©parables, MTTF est un indicateur de qualitĂ©. Le premier TTF est Ă
intégrer à la collecte des TBF (temps de bon fonctionnement).
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
22 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
6. Les mĂ©thodes dâanalyse de sĂ»retĂ© de fonctionnement :
6.1. Notion de systĂšme :
- SystĂšme industriel : Un systĂšme industriel, rĂ©unit lâensemble des moyens nĂ©cessaires
pour crĂ©er la valeur ajoutĂ©e industrielle dâun produit ; il est caractĂ©risĂ© par rapport Ă cette
valeur ajoutĂ©e, aux flux qui le parcourent ainsi quâaux aspects temporels, Ă©conomiques,
environnementaux, ..., autant dâĂ©lĂ©ments sur lesquels est gĂ©nĂ©ralement attendu un niveau
de performance.
- SystÚme réparable : caractérisé par la possibilité de remplacer un ou plusieurs
constituants défaillants, sans échange de ceux non défaillants (équipements industriels)
- SystÚme non réparable : composant ou ensemble de piÚces dont la défaillance entraßne le
remplacement de toutes, donc de lâensemble.
6.2. Diagramme Bloc Fiabilité.
La méthode Diagramme Bloc Fiabilité (Reliability block Diagram Method), appelé aussi
chemins de succĂšs utilisĂ©e dans de nombreux secteurs industriels pour lâanalyse de la fiabilitĂ©
pour les systĂšmes non rĂ©parables. Elle peut ĂȘtre utilisĂ©e dans certaines conditions pour les
systÚmes réparables.
Un diagramme de fiabilité décrit les liens logiques entre les composants au succÚs
(fonctionnement) de la mission du systĂšme.
Lâanalyse par DBF a pour but de reprĂ©senter le fonctionnement dâun systĂšme.
On présente le principe de cette modélisation par des systÚmes en série, en parallÚle et mixte.
6.2.1. Lois de configuration de la fiabilité
La fiabilitĂ© dâun systĂšme est conditionnĂ©e par la fiabilitĂ© de chacun de ses composants, mais
aussi par la façon dont ils sont structurés.
Cette structure peut ĂȘtre modĂ©lisĂ©e par des Bloc Diagramme FiabilitĂ© (BDF), appelĂ©s aussi
diagrammes de succĂšs.
- Le Bloc Diagramme Fiabilité est un graphe admettant une entrée et une sortie dont les
sommets (appelés blocs) représentent les éléments du systÚme et dont les arcs
traduisent les relations entre les différents éléments.
- Le systĂšme fonctionne sâil existe un chemin de succĂšs entre lâentrĂ©e et la sortie du
diagramme de fiabilité (reliability block diagram).
- La liste des chemins de succĂšs permet de reprĂ©senter lâensemble des Ă©tats de marche
du systĂšme.
Objectifs : disposer dâune modĂ©lisation simple pour analyser et calculer la fiabilitĂ© dâun
systĂšme.
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
23 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
HypothÚse : Utilisée uniquement pour les systÚmes non réparables, c'est-à -dire lorsque
les défaillances des composants du systÚme sont indépendantes (pas de défaillances en
mode commun). Parfois utilisée pour certains systÚmes réparables
a) Configuration SĂ©rie :
.
- S fonctionne si A et B âŠâŠâŠ et N fonctionnent.
- S est dĂ©faillant si A ou BâŠâŠâŠ.ou N sont dĂ©faillant
Composition en fiabilité :
- Cas gĂ©nĂ©ral pour n composants montĂ©s en sĂ©ries : RS = (RA) x (RB) x âŠâŠâŠx (RN).
- Si les composants sont identiques avec la mĂȘme fiabilitĂ© R alors : RS = Rn
- Si les taux de défaillances sont constants λA, λB, ..⊠λN alors la fiabilité :
RS = (đâλđŽđĄ) x (đâλđ”đĄ) x ⊠⊠⊠. . (đâλđđĄ).
đđđ”đčđ =1
λđŽ+ âλđ”+âŻâŠâŠÎ»đ
- Si les n composants sont identiques λA= λB = ..⊠λN.
RS =(đâđλđŽđĄ) et đđđ”đčđ =1
đλ
b) Configuration en parallĂšle :
La fiabilitĂ© dâun systĂšme peut ĂȘtre augmentĂ©e en plaçant les composants en parallĂšle.
Les redondances sont rares car elles sont couteuses en investissement. Exemple : Groupe
Ă©lectrogĂšne de secours (alimentation Ă©lectrique).
Composition en fiabilité :
- Cas général : n composants différents montés en parallÚle :
Pour un composant : Ri + Fi = 1,
Avec : Fi : la probabilité de panne du composant i.
Ri : la probabilité de succÚs (fiabilité) du composant i.
A B N S E
A
B
N
S E
S est dĂ©faillant si A et B âŠâŠâŠ et N sont simultanĂ©ment
défaillants.
Ce qui va dans le sens de la suretĂ© de fonctionnement. Câest une
configuration plus rare puisquâelle implique une redondance
volontaire de 02 ou de n éléments.
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
24 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
La fiabilitĂ© RS de lâensemble est : RS = 1 â (1-RA) x (1-RB) x âŠ..x (1-RN)
- Cas de n composants identiques en parallĂšles RA = RB = âŠâŠâŠ.. RN
đđ = đ â (đ â đ)đ§
Cas particulier : deux dispositifs en parallÚles et si λ est constant :
RS = 1 â (1-RA) x (1-RB) = RA + RB - RA x RB = (đâλđŽđĄ) + (đâλđ”đĄ) - đ(λđŽ+λđ”)đĄ
Remarque : La redondance parallÚle fiabilise un systÚme, sous réserve que les éléments de la
redondance ne soient pas soumis à des défaillances de causes communes.
c) Composition mixte : Ce sont deux compositions : âSĂ©rie ParallĂšle et âParallĂšle SĂ©rieâ.
Dans ces cas en applique les mĂȘmes rĂšgles (sĂ©rie et parallĂšle) pour chaque groupe de
composants que ça soit en série ou bien en parallÚle.
Remarque : Certains systĂšmes complexes ne peuvent pas se ramener aux modĂšles
sĂ©rieâparallĂšles, dans ce cas il faut faire appel aux techniques bayĂ©siennes.
6.2.2. Formes de redondances.
On dit quâil y a redondance lorsquâune fonction peut ĂȘtre assurĂ©e par deux ou plusieurs
moyens.
- Redondance active : tous les Ă©lĂ©ments fonctionnent simultanĂ©ment (en mĂȘme temps) ;
- Redondance passive majoritaire : Certains Ă©lĂ©ments sont au repos, et quâils sont
sollicités en cas de défaillances.
- Redondance passive k/n : La fonction est assurée si au moins k sur les n éléments sont
en Ă©tat de fonctionner.
TP : Diagrammes de fiabilité.
Vous allez utiliser le logiciel GRIF avec son module « Reliability block diagramme », en
commençant par le dessin dâun unique composant puis aprĂšs avec plusieurs composants et
différentes configurations, suivi du paramétrage en utilisant plusieurs distributions (Constant,
exponentiel, weibull).
Documents annexés :
- Le âTutorialâ du logiciel GRIF : Module « Diagramme Bloc FiabilitĂ© » en langue
française ;
- Fiche de préparation du TP ;
- Travail Ă faire du TP.
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
25 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
6.3. Arbre de défaillances (AdD).
- AppelĂ© aussi âarbre de pannesâ, ou âfault treeâ en anglais.
- Est une des méthodes utilisée dans les études de sureté de fonctionnement.
- Est une représentation graphique arborescentes logiques, qui décrit les mécanismes qui
conduisent Ă des Ă©vĂšnements indĂ©sirables (panne, accident, âŠetc).
Remarque : Les arbres de défaillances, permettent de bonnes descriptions statiques de
systÚme mais ne prennent pas en compte les reconfigurations, comme les réparations.
6.3.1. Objectifs :
- Qualitatif : DĂ©terminer les combinaisons possibles dâĂ©vĂšnements qui entraĂźnent la
rĂ©alisation dâun Ă©vĂšnement âindĂ©sirableâ unique.
- Quantitatif : Evaluer la probabilitĂ© de la survenue de lâĂ©vĂšnement indĂ©sirable, si on
connait les probabilités des évÚnements de base.
6.3.2. Construction dâun AdD.
La construction dâun AdD est basĂ©e sur une procĂ©dure « dĂ©ductive », c'est-Ă -dire Ă©tude Ă
priori dâun systĂšme.
LâAdD dĂ©bute par un point de dĂ©part appelĂ© âĂ©vĂšnement redoutĂ©â ou âĂ©vĂšnement indĂ©sirableâ
ou aussi âĂ©vĂšnement sommetâ (dysfonctionnement, panne, accident..etc).
Pour construire un AdD revient à répondre à la question : Comment tel évÚnement peut-il
arrivé ?
Quels sont les scénarios (combinaisons) possibles qui peuvent aboutir à cet évÚnement ?
AprĂšs avoir identifiĂ© lâĂ©vĂšnement indĂ©sirable (sommet de lâarbre), on identifie les Ă©vĂšnements
intermĂ©diaires jusquâĂ arriver aux Ă©vĂšnements de base.
6.3.3. CaractĂ©ristiques dâun AdD.
LâAdD est reprĂ©sentĂ© de haut en bas (arborescence). La ligne la plus haute (sommet de
lâarbre) comporte lâĂ©vĂšnement indĂ©sirable. La ligne infĂ©rieure comporte les Ă©vĂšnements de
base.
Chaque ligne dĂ©taille la ligne supĂ©rieure jusquâĂ arriver Ă la ligne infĂ©rieure qui comporte les
Ă©vĂšnements de base.
Ces relations sont représentées par des liens logiques appelés aussi « portes logiques ».
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
26 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
4.3.4. Représentation des principaux évÚnements
EvÚnement sommet ou des évÚnements intermédiaires
(rĂ©sultants de la combinaison dâautres Ă©vĂšnements par
lâintermĂ©diaire dâune porte logique)
EvĂšnement de base : lâĂ©vĂšnement est suffisamment bien
connu quâil est inutile dâen rechercher les causes, sa
probabilité est connue.
EvĂšnement qui ne peut ĂȘtre considĂ©rĂ© comme Ă©lĂ©mentaire
mais dont les causes ne sont et ne seront pas développées.
Renvoi vers un sous arbre
Sommet dâun sous arbre
4.3.5. Représentation des principales portes logiques :
Les portes logiques lient les évÚnements suivant des liens de causalité
Porte âETâ.
LâĂ©vĂšnement de sortie est gĂ©nĂ©rĂ© si tous les Ă©vĂšnements
dâentrĂ©e sont prĂ©sents simultanĂ©ment.
Porte âOUâ.
LâĂ©vĂšnement de sortie est gĂ©nĂ©rĂ© si au moins un des
Ă©vĂšnements dâentrĂ©e est prĂ©sent (aussi appelĂ©e OU
âinclusifâ).
4.3.6. Notions de coupe et coupe minimale :
- Coupe : Câest lâensemble des combinaisons pouvant conduire Ă lâĂ©vĂšnement redoutĂ©.
Ensemble des dĂ©faillances entrainant lâĂ©vĂšnement redoutĂ©.
- Coupe minimale : Plus petites combinaisons dâĂ©vĂšnements entrainant lâĂ©vĂšnement
redouté. Une coupe minimale donne un arbre réduit.
4.3.7. Analyse quantitative : Lâanalyse quantitative donne plusieurs informations :
- La probabilitĂ© dâoccurrence de lâĂ©vĂšnement redoutĂ©.
- La probabilitĂ© dâoccurrence associĂ©e Ă chaque coupe minimale donc Ă chaque scĂ©nario
dâaccident possible.
F. Remarque 1 : On effectue une analyse quantitative uniquement sur des coupes
minimales, donc sur un arbre réduit.
Remarque 2 : Les probabilités des évÚnements de base sont données par les banques
de données (Voir partie 2, paragraphe 6).
2
2
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
27 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Remarque : Comme la mĂ©thode « Diagramme de FiabilitĂ© », lâarbre de dĂ©faillance et aussi
une méthode statique et est utilisée pour des systÚmes dont les éléments sont indépendants.
Travail pratique âArbre de dĂ©faillanceâ:
Vous allez utiliser le logiciel GRIF avec son module « Arbre de défaillance », en commençant
par la crĂ©ation de lâarbre par la saisi des portes, des Ă©vĂšnements, des liens et des
commentaires, ensuite le paramétrage des éléments (portes et évÚnement) en utilisant
différentes distributions, le lancement des calculs.
Documents annexés :
- Le âTutorialâ du logiciel âGRIFâ : Module « Arbre de dĂ©faillance » en langue
française ;
- Fiche de préparation du TP ;
- Travail Ă faire du TP.
6.4. Fiabilité des systÚmes réparables.
Un systÚme réparable est un systÚme qui se dégrade et qui se répare pour revenir dans des
Ă©tats plus favorables. Ces systĂšmes sont courant dans lâindustrie, le transport la production
dâĂ©nergie âŠetc. on Ă©value souvent la disponibilitĂ© et la fiabilitĂ© de tels systĂšmes. Pour cela on
sâappuie souvent sur la description des diffĂ©rents Ă©tats du systĂšme reprĂ©sentant les
dĂ©gradations possibles jusquâĂ la dĂ©faillance complĂšte. Le passage dâun Ă©tat Ă un autre se fait
par des transitions. Ses transitions sont considérées comme instantanées dans la modélisation
markovienne. La description des Ă©tats dâun systĂšme est fondamentale pour lâĂ©tude du
processus stochastique, deux approches sont utilisées :
- Une modélisation par chaines (graphes) de Markov homogÚnes à états discrets et
temps continu (transition instantanée ;
- Une modélisation par réseaux de pétri stochastiques (transitions non instantanées).
Remarque : Dans ce cours nous nous Ă©tudierons les processus markoviens.
4.4.1 Chaines de Markov (ModĂšles Ă Ă©tats de transitions)
Pour des systÚmes dynamiques et dont les éléments présentent une dépendance, on utilisera la
MĂ©thode de lâespace des Ă©tats (MEE).
La Méthode de l'Espace d'Etat (MEE) a été développée pour l'analyse de sureté de
fonctionnement de systÚme réparable. Les arbres de défaillances, permettent de bonnes
descriptions statiques de systĂšme mais ne prennent pas en compte les reconfigurations,
comme les réparations.
Les graphes de Markov permettent de déterminer la disponibilité, la fiabilité et la disponibilité
dâun systĂšme.
Pour calculer la disponibilitĂ© dâun systĂšme par les graphes de Markov on utilise lâĂ©tat de
chaque composant du systÚme. Puis on associe au fonctionnement un graphe décrivant le
passage dâun Ă©tat Ă un autre. LâĂ©valuation probabiliste est obtenue Ă partir de ce graphe de
Markov.
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
28 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Pour dĂ©crire les divers Ă©tats dâun systĂšme on utilise lâĂ©tat de ces composants.
Il est nĂ©cessaire dâidentifier tous les Ă©tats dâun systĂšme. Ils comprennent :
- Les Ă©tats de fonctionnement normal.
- Les états de fonctionnement dégradés.
- Les états de défaillances complÚtes.
Pour les systĂšmes complexes, cette tache devient difficile, lâutilisation dâun logiciel de
génération des états de transitions est utile.
La description des Ă©tats permet dâĂ©tablir : La matrice de transition âMâ, rĂ©duite par la suite Ă
un systĂšme dâĂ©quations diffĂ©rentiels qui sont la base de calculs de la fiabilitĂ© et la
disponibilité des systÚmes réparables.
Application Ă la S.D.F
Tous les systÚmes dont l'état de fonctionnement futur ne dépend que de l'état présent peuvent
ĂȘtre dĂ©crits par un processus de Markov et en particulier, ceux pour les lesquels les
probabilités de transition entre 2 états quelconques ne sont pas affectés par le temps. Il est
alors homogÚne. C'est le cas de tous les phénomÚnes à distribution exponentielle (taux de
défaillance λ et taux de réparation ” sont constants).
On étudie le cas pour le Calcul de la disponibilité :
Soit une disponibilitĂ© thĂ©orique (prĂ©visionnelle) fixĂ©e Ă lâavance. La mĂ©thode Markovienne
permet de dĂ©terminer la politique de maintenance Ă appliquer pour sâapprocher Ă cette valeur
théorique D(t).
âą DisponibilitĂ© moyenne : D = â đđ”đč
â đđ”đč+ â đđŽ
âą DisponibilitĂ© opĂ©rationnelle : D0 = đđđ”đč
đđđ”đč+ đđđđ =
”
λ+”
âą DisponibilitĂ© instantanĂ©e : Pour un systĂšme avec lâhypothĂšse dâun taux de dĂ©faillance λ
et taux de réparation ” constants on montre que la disponibilité instantanée à pour
expression :
đ·(đĄ) =”
λ + ”+
λλ + ”
đâ(λ+”)t
⹠Disponibilité asymptotique :
Lorsque λ et ” sont indépendants du temps (constantes), on constate que la disponibilité tend
vers une valeur constante. Cette valeur est appelée « disponibilité asymptotique est se note :
Aâ .
Lorsque t tend vers â, la limite D de la fonction D(t) est Ă©gal Ă : đ· =”
λ+”
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
29 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Comme λ et ” constantes ce qui correspond à la loi exponentielle (phase de maturité) :
đđđ”đč =1λ et đđđđ =
1”
Figure 12 : La disponibilité stationnaire et instantanée
Exemple 1 : Cas pour une seule machine
Soit une machine M1 extraite dâun systĂšme S.
à M1 est associée une variable booléenne qui a 02 états :
- Etat 1 : M1 fonctionne.
- Etat 2 : M1 en panne.
Graphe de Markov :
Matrice associĂ©e au graphe : âMatrice de transitionâ
1 2
1 de 1 vers 1 de 1 vers 2
2 de 2 vers 1 de 2 vers 2
Tableau des matrices :
[â đđ đœ
]
On aura : â + đ = 0 ce qui donne : â = â đ
đ + đœ = 0 đœ = âđ
1 2
1
2
Remarque : il faut que la que somme algébrique des
composantes de chaque ligne soit nulle.
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
30 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
On obtient la matrice dĂ©finitive : đ = [âđ đđ âđ
]
Equations diffĂ©rentielles : Calcul de la disponibilitĂ© asymptotique (Aâ).
Si P est la matrice « ligne » des probabilitĂ©s dâapparition des Ă©tats du systĂšme, les Ă©lĂ©ments
de cette matrice sont dĂ©terminĂ©s Ă partir de la matrice M par lâĂ©quation diffĂ©rentielle :
dP
dt= đ â đ Pour 02 Ă©tats :
P1 et P2 sont des constantes, donc đđ1
đđĄ=
đđ2
đđĄ= 0
âđ. P1 + ”. P2 = 0 On rĂ©solvant ce systĂšme dâĂ©quation on obtient : P2 = λ
λ+”
P1 + P2 = 0
Par dĂ©finition, lâindisponibilitĂ© I = P2 donc la disponibilitĂ© D = Aâ = 1 â đ2 =”
”+λ
Remarque : Pour n Ă©tats : I = Pn ce qui donne D = 1 â I = 1 â Pn = Aâ
Exemple 2 : Cas pour 02 machines identiques en parallĂšles en redondance active.
- Lorsque les deux machines sont en Ă©tat de marche, ils fonctionnent tous les deux,
chacun à moitié de sa charge.
- Les pannes sont immédiatement décelées.
- Nous considérons une politique « mono-réparateur.
Graphe de Markov :
- Etat 1 : Les machines C1 et C2 fonctionnent, mais la probabilitĂ© pour quâelles
tombent en panne est 2λ.
- Etat 2 : Une seule des deux machines fonctionne, lâautre est en panne. La cadence est
diminuée de moitié.
- Etat 3 : Les deux machines sont en panne.
dP1
dt= âđ. P1 + ”. P2 = 0 (1)
dP2
dt = đ. P1 â ”. P2 = 0 (2)
Partie 3 : Concepts de base « FMD » et sureté de fonctionnement
31 Cours : Pour TP maintenance et sureté de fonctionnement.
Matrice de transition :
M = |
â2λ 2λ 0” â(đ + λ) λ 0 ” â”
|
dP
dt = P.M pour les 3 Ă©tats : = |
|
â2λ 2λ 0” â(” + λ) λ 0 ” â” |
| *[P1, P2, P3]
Ce qui donne le systĂšme dâĂ©quations diffĂ©rentielles suivants :
On obtient I = P3 = 2λ
2λ2+2λ”+”2 Donc Aâ = 1 â I = 1 - P3 =
2λ”+”2
2λ2+2λ”+”2
Travail pratique :
Vous allez utiliser le logiciel GRIF avec son module « Graphe de Markov », en commençant
par la saisi des états, des transitions et les commentaires, ceci pour la Création d'un graphe de
Markov, le paramétrage des éléments en utilisant plusieurs distributions, le lancement des
calculs et enfin édition et affichage des courbes et interprétation.
Documents annexés :
- Le âTutorialâ du logiciel âGRIFâ : Module « Graphe de Markov » en langue française ;
- Fiche de préparation du TP ;
- Travail Ă faire du TP.
2λ , λ
1 2
3
” ”
dP1
dt
dP2
dt
dP3
dt
dP3
dt= 0P1 + đ. P2 â ”. P3 = 0
dP2
dt= 2đ. P1 + â(” + λ). P2 + ”. P3 = 0
dP1
dt= â2đ. P1 + đ. P2 + 0. P3 = 0