Topologija - mogućnosti primene u arhitektonskoj geometriji

Srđan Vukmirović

Matematički fakultetUniverzitet u Beogradu

Arhitektonski fakultet

Beograd, 1. april 2011.

Šta je topologija?

Topologija je matematička disciplina koja se bavi osobinama objekata koje se ne menjaju pri deformacijama (tzv. homeomorfizmi) koje “ne kidaju i ne lepe”, odnosno čuvaju okolinu svake tačke.

Tačnije, smemo da pokidamo objekat, da ga deformišemo, ali na kraju moramo da zalepimo objekat tamo gde smo ga pokidali.

Dobijanje cilindra

Cilindar – dva puta uvrnut

Dobijanje Mebijusove trake

Dobijanje torusa

Dobijanje Klajnove boce

Šta je (poliedarska) površ?

Okolina svake unutrašnje tačke mora da bude kao delić ravni. Dozvoljeno je da površ ima rub.

Površ ne sme da ima samopreseke (osim ako drugačije ne možemo da je smestimo u 3D prostor).

1) Rub (granica) poliedarske površi

Sfera NEMA RUB Torus NEMA RUB Klajnova boca NEMA RUB Rub cilindra su dva kruga Šta je sa dva puta uvrnutim cilindrom? Rub Mebijusove trake je krug

Topološki iste (homeomorfne) površi imaju (topološki) isti rub

2) Ojlerova karakeristika površi

Za neki poliedarski model površi M (može i sa rubom) Ojlerova karakteristika je broj

= T – I + P kocka= 8 – 12 + 6 = 2 (tetraedar)= 4 – 6 + 4 = 2 Keopsova piramida= 5 – 8 + 5 = 2 (torus)= 16 – 32 + 16 = 0 (Mebijusova traka)= domaći

Homeomorfne površi imaju istu Ojlerovu karakteristiku.

3) Orjentabilnost površi

Intuitivno, površ je orjentabilna ako na njoj postoji sat na kazaljke (unutrašnja definicija)

Ekvivalentno, površ je orjentabilna ako je normala definisana u svakoj tački površi (spoljašna definicija)

Svaka površ bez ruba (površ nema samopreseke) je orjentabilna.

Sfera, torus, Platonova tela, cilindar... su orjentabilni Ako su dve površi homeomorfne one su ili obe

orjentabilne, ili obe neorjentabilne.

Mebijusova traka nije orjentabilna!

Jednostranost Mebijusove trake

Osobine neorjentabilnih površi

Na njima ne postoje satovi na kazaljke Jednostrane su (tj. možemo ih potpuno obojiti ne

podižući četkicu, odnosno ako ih uronimo u vodu sasvim će se smočiti)

Nemaju jedinstveno definisanu normalu u svim tačkama odjednom

Ako nemaju rub, tada se ne mogu “smestiti” u 3D prostor bez samopreseka (u 4D mogu!)

Svaka neorjentabilna površ sadrži neku Mebijusovu traku, i obrnuto, ako površ sadrži Mebijusovu traku, ona je neorjentabilna.

Dobijanje novih površi od postojećih

Osnovni metod: lepljenje dve površi po rubu

Primer: Lepljenje dve Mebijusove trake

Rub svake je krug, po kome treba da ih zalepimo. Rezultujuća površ nema rub (jer smo po njemu zalepili) Rezultujuća površ je neorjentabilna (jer sadrži

Mebijusovu traku) Pošto je neorjentabilna i nema rub ne u 3D prostoru

mora da se samopreseče. Koja je to površ? Odgovor: Klajnova boca

Topološka klasifikacija površi bez ruba

Želimo da vidimo kako topološki izgledaju sve površi bez ruba.

RučkaSfera sa k rupa Mebijusova traka

Orjentabilne površi bez ruba Sve orjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što

se na sferu sa k rupa nalepi k ručki.

k=0, sfera k=1, torus

k=2, pereca sa 2 rupe

k=1, torus

Neorjentabilne površi bez ruba

Sve neorjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što se na sferu sa k rupa nalepi k Mebijusovih traka.

k=2, Klajnova bocak=1, Bojeva površ

Rod površi

Rod orjentabilne površi bez ruba je “broj rupa” te površi.

Ako onda je sfera Ako onda je torus Ako onda je pereca sa 2 rupe...

Reference

JavaView, www.javaview.de

В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология, (выпуск 21 серии "библиотечка квант"), Наука, Москва, 1982

S. Vukmirovic, Gluing two Moebius strips into a Klein bottle, Wolfram Mathsource, library.wolfram.com/infocenter/MathSource/823/