SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEMTermészettudományi- és Informatikai Kar

Informatika Doktori Iskola

Képfeldolgozás és Számítógépes Gra�ka Tanszék

Topológia-meg®rz® képm¶veletek és

a vékonyítás új módszerei

Doktori értekezés tézisei

Kardos Péter

Témavezet®

Dr. Palágyi Kálmán

egyetemi docens

Szeged, 2013.

Bevezetés 1

1. Bevezetés

A digitális topológia a bináris digitális képek topológiai tulajdonságaival foglalkozik[18,20]. A bináris képm¶veleteket az alábbi három kategóriába soroljuk [3]:

• redukciók, amelyek csak (�1� érték¶) objektumpontokat változtathatnak (�0�érték¶) háttérponttá,

• addíciók, amelyek csak (�0� érték¶) háttérpontokat színezhetnek át (�1� érték¶)objektumponttá, valamint

• vegyes m¶veletek (amelyek se nem redukciók, se nem addíciók).

A digitális topológia legfontosabb kérdése az, hogy az egyes képm¶veletek meg®r-zik-e a topológiát. Korábban kizárólag a hagyományos, négyzet- és kocka-mozaikonmintavételezett bináris képekre értelmezett redukciók topológia-meg®rzésére java-soltak elegend® feltételeket [19, 21,24,26].

A vékonyítás a bináris objektumok vázszer¶ alakjellemz®it (2D-ben középvonalés topológiai mag, 3D-ben ezeken kívül a középfelszín) határozza meg az objektumiteratív redukciójával [2, 28]. Más vázkijelöl® technikákkal szemben a vékonyításel®nyei között említhet® a gyorsaság, a hatékony párhuzamosíthatóság, valamint az,hogy garantálható a topológia meg®rzése.

A vékonyító algoritmusok párhuzamosak vagy szekvenciálisak [2, 28]. Párhuza-mos esetben az algoritmus egy fázisában egyidej¶leg változtatható meg az aktuáliskép valamennyi törölhet®nek min®sített objektumpontja. A szekvenciális eljárásoka kontúrkövetés technikáját alkalmazzák, és egyenként távolítják el a törlési feltéte-leket teljesít® határpontokat. Mivel a párhuzamos vékonyító algoritmusok egyszerreegynél több pontot is törölhetnek, így a topológiai korrektségük biztosítása és igazo-lása jóval bonyolultabb feladat, mint szekvenciális eljárások esetében. Az utóbbiakhátránya azonban az, hogy eredményük függhet az objektumpontok bejárási sor-rendjét®l.

A vékonyító módszerek további általános problémája az, hogy vázközelítéseikszámos hamis vonal- ill. felszínszegmenst is tartalmazhatnak, amelyeket általábanegy utófeldolgozó lépésben távolítanak el [27]. Az utólagos váztisztítás hátránya az,hogy egyrészt nehéz olyan fontossági mértéket találni, amellyel megkülönböztethet®ka lényeges és az eltávolítandó részletek, másrészt pedig megmaradnak az �értékes�részletek torzulásai is.

Disszertációmban az alábbi kutatási eredményeimet foglalom össze:

• Olyan általános elegend® feltételeket adok topológia-meg®rz® redukciókra, ame-lyek egyaránt érvényesek a négyzet-, a hatszög- és a háromszög-mozaikokonmintavételezett 2D képekre. Az új feltételeket a párhuzamos vékonyító stra-tégiákkal és geometriai kényszerfeltételekkel kombinálva olyan hexagonális éstrianguláris zsugorító és vékonyító algoritmusokat konstruáltam, amelyek ga-rantáltan meg®rzik a topológiát. Megfogalmazok továbbá egy dualitási tételt

2 Fogalmak és el®zmények

is addíciók és redukciók között, amelynek segítségével a topológia-meg®rz® re-dukciókra adott eredményekb®l elegend® feltételek származtathatók topológia-meg®rz® addíciókra is.

• Bemutatok egy topológia-meg®rz® 3D kontúrsimító eljárást és ismertetek egyúj megközelítést, a vékonyítás kombinálását iterációnkénti kontúrsimítással. Ajavasolt módszer el®nyeit az új 3D kontúrsimító algoritmussal igazolom számospárhuzamos vékonyító eljárásra.

• Ismertetek olyan szükséges ill. elegend® feltételeket, amelyekkel ellen®rizhet®,hogy egy adott szekvenciális vékonyító algoritmus bejárás-független-e, azazérzékeny-e a határpontok bejárásának sorrendjére. Ezt követ®en bemutatokolyan 2D és 3D szekvenciális eljárásokat, melyek bejárás-függetlensége az em-lített feltételekre támaszkodva bizonyított. A tárgyalt algoritmusok egyarántalkalmasak 2D és 3D objektumok középvonalának, valamint 3D objektumokközépfelszínének kinyerésére. A módszerek egyike tetsz®leges dimenzióra meg-oldja a bejárás-függetlenség problémáját.

2. Fogalmak és el®zmények

A dolgozatomban a háromszög-, a négyzet-, a hatszög- és a kocka-mozaik topológiaitulajdonságait vizsgálom, melyek jelölése rendre T , S, H és C. A 2D mozaikokonmintavételezett képeken két poligon (pixel) 1-szomszédos ill. 2-szomszédos, ha azokrendre élen ill. élen vagy csúcson érintkeznek. A C kocka-mozaik két képeleme 1-,2-, ill. 3-szomszédos, ha két egységkocka lapon, lapon vagy élen, illetve lapon, élenvagy csúcson osztozik. A p ∈ V képelemmel m-szomszédos elemek halmazára azNV

m(p) jelöléssel utalok, továbbá legyen N∗Vm (p) = NV

m(p) \ {p}.Egy n-dimenziós digitális bináris képet a P = (V, k, k, B) rendezett négyessel

adunk meg [18], ahol:

• V a képelemek halmaza,

• B ⊆ V a fekete képelemek halmaza, melynek a B = V \ B komplementerepedig a fehér képelemek halmaza,

• k a fekete elemekhez rendelt szomszédsági reláció.

• k a fehér elemekhez rendelt szomszédsági reláció.

Egy (V, k, k, B) képet röviden (V, k, k) képnek is nevezünk.A dolgozatban f®képpen (S, 2, 1), (H, 1, 1), (T , 2, 1) és (C, 3, 1) képekkel foglal-

kozom, amelyek szomszédsági relációit az 1. ábra szemlélteti.A k és a k szomszédsági relációk re�exívek és szimmetrikusak, tehát a tranzitív

lezártjaik ekvivalencia-relációk, azaz particionálják a B ill. a V \B halmazokat feketek- ill. fehér k komponensekre. A fekete k-komponensek az objektumok, a végesképeken lev® egyetlen végtelen fehér k-komponenset háttérnek nevezzük, a véges

Fogalmak és el®zmények 3

F pF

F

(a)

F

F p F

F

(b)

F F

F p F

F F

(c)

� � �

� 4 �

� � �

� 4 �

4 p 4

� 4 �� � �

� 4 �

� � �

(d)

1. ábra. Szomszédsági relációk a háromszög-mozaikon (a), négyzet-mozaikon (b),hatszög-mozaikon (c), és a kocka-mozaikkal duális kocka-rácson (d). Az (a)-(c)ábrákon a p pixel 1-szomszédai a �F� szimbólumokkal jelölt képelemek, a többipixel a p-nek 2- de nem 1-szomszédja. A (d) ábrán a p pont 1-szomszédai a �4�szimbólumokkal jelölt pontok. A p 2-, de nem 1-szomszédai a ��� jelölés¶ pontok,továbbá p 3-, de nem 2-szomszédai a ��� szimbólummal ellátott pontok.

fehér k-komponenseket pedig az üreg névvel illetjük. A p ∈ B képelem határelema (V, k, k, B) képen, ha p k-szomszédos legalább egy fehér képelemmel. A fentiekmellett 3D képeken új topológiai fogalom a lyuk (vagy alagút) [18].

Egy 2D redukció topológia-meg®rz®, ha a bemeneti kép bármely objektuma a ki-meneti képnek pontosan egy objektumát tartalmazza, és az eredménykép valamennyifehér komponense az input kép pontosan egy fehér komponensét tartalmazza [18].

Egy 2D addíció topológia-meg®rz®, ha az eredeti kép bármely fehér komponensea kapott képnek pontosan egy fehér komponensét tartalmazza, és az eredményképvalamennyi objektuma az input kép pontosan egy objektumát tartalmazza.

A 3D képeken objektumok és üregek mellett a lyukak �meg®rzését� is biztosítanikell [18].

Egy (fekete vagy fehér) képelem egyszer¶ a (V, k, k, B) képen, ha az átszínezéseegy topológia-meg®rz® m¶velet (redukció ill. addíció) [18]. Az (S, 2, 1) és a (C, 3, 1)képeken az egyszer¶ség lokális tulajdonság, amely eldönthet® a kérdéses képelem3× 3�as ill. 3× 3× 3�as lokális környezetének vizsgálatával.

A vékonyítás, mint a vázkijelölés módszere iteratív objektumredukció, amelyalkalmas mindhárom vázszer¶ jellemz® (topológiai mag, középvonal, középfelszín)el®állítására [2, 28].

Egy vékonyító algoritmus topológia-meg®rz®, valamennyi fázisának redukciójatopológia-meg®rz®. Az (S, 2, 1) és a (C, 3, 1) képek topológia-meg®rz® redukcióiramár kidolgoztak elegend® feltételeket [19,21,24,26], azonban a (H, 1, 1) és a (T , 2, 1)esetekre még nem adtak meg ilyen kritériumokat, továbbá feltáratlan terület azaddíciók és vegyes képm¶veletek topológia-meg®rzésének kérdése is.

Az ismert vázkijelöl® eljárásokkal kapott középvonalak és középfelszínek számosesetben nemkívánatos ágakat ill. felszín-szegmenseket tartalmaznak, amelyek eltá-volítására szolgál a váztisztítás [27]. Ezen módszerek f® hátránya az, hogy az ite-ratív objektum-redukción alapuló vázkijelölés során a kiindulási objektum határánmeglév® vagy a menetközben keletkez® �egyenetlenségekb®l� kiinduló nemkívánatos

4 A disszertáció új tudományos eredményei

vázszegmensek torzítják a váz �értékes� részeit is, mely deformációkat meg®rzi atisztító utófeldolgozás.

A tisztítás hátrányainak elkerülésére egy új megközelítést dolgoztunk ki. Mód-szerünk kontúr simítást javasol a (létez® algoritmusok) minden egyes fázisa el®tt.Görbék ill. felszínek simítására számos stratégia létezik [1,4,29,30]. Sajnos közülükcsak Couprie és Bertrand módszere alkalmas 3D bináris képek simítására, viszontaz eljárás összetettsége miatt az nem kombinálható 3D vékonyító algoritmusokkal.

A szekvenciális vékonyítás központi problémája az ún. bejárás-függetlenség kér-dése: miként adhatóak meg olyan szekvenciális vékonyító eljárások, amelyek a határ-pontok tetsz®leges sorrendben történ® bejárása mellett ugyanazt a vázszer¶ jellem-z®t adják. Bejárás-független eljárásokat el®ször Ranwez és Soille, majd Iwanowskiés Soille javasoltak 2D képekre [5, 25]. Középvonalakat csak úgy tudnak el®állíta-ni, hogy nem alkalmaznak geometriai kényszerfeltételeket, így önmagukban csupánzsugorító eljárásként funkcionálnak. Alakmeg®rz® vékonyításra csak úgy alkalmaz-hatóak, ha egy el®feldolgozó lépésben kijelölünk bizonyos horgonypontokat, amelyeknem törölhet®k a kés®bbiekben.

3. A disszertáció új tudományos eredményei

A dolgozat három tézispontjához tartozó eredményeket az alábbi három alfejezetbenfoglalom össze.

3.1. Új elegend® feltételek topológia-meg®rz® képm¶veletekre,hexagonális és trianguláris topológia-meg®rz® vékonyítóalgoritmusok

Dolgozatom 3. fejezetében el®ször a fekete pontok egyszer¶ségének jellemzésére is-mertetem a H és T mozaikok esetén érvényes szükséges és elegend® feltételeket,majd megadom ezen kritériumok általános alakját, érvényes mindhárom 2D szabá-lyos mozaikra fennáll. Itt csak utóbbira térek ki.

1. tétel. (a dolgozat 3.1.6. tétele)A (V, k, k, B) képnek (V ∈ {S,H, T }, (k, k) = (2, 1), (1, 2)) egy p ∈ B pontja egy-szer¶ akkor és csak akkor, ha az alábbi feltételek teljesülnek:

1. p pontosan egy N∗Vk (p) ∩B halmazbeli k-komponenssel k-szomszédos.

2. p pontosan egy NVk (p) \B halmazbeli k-komponenssel k-szomszédos.

A dolgozatban az egyszer¶ség vizsgálatára egy másik általános tételt is felírok,amely a Kong által javasolt ún. csatolt halmazok modelljén alapszik [17]. Ennekismertetésére azonban itt nem térek ki, mivel több további fogalom részletezésétigényelné.

Ezt követ®en a (H, 1, 1), a (T , 2, 1) és a (T , 1, 2) képek topológia-meg®rz® reduk-cióira mutatok be elegend® feltételeket. A feltételek általános alakját is megadom,

A disszertáció új tudományos eredményei 5

amely a három vizsgált 2D rácstípusra egyaránt érvényes. Ismét csak ezen általá-nosított eredményeket részletezem. Az alábbi, mindhárom szabályos 2D mozaikraérvényes tétel feltételei nem egyedi pixelek törlésére vonatkoznak, hanem bizonyospixel-kon�gurációk vizsgálatát írják el®.

2. tétel. (a dolgozat 3.2.4. tétele)Az R redukció topológia-meg®rz®, ha valamennyi (V, k, k, B) képre (V ∈ {S,H, T };(k, k) = (2, 1), (1, 2)), teljesülnek az alábbi feltételek:

1. Valamennyi R által törölt pixel egyszer¶.

2. Valamennyi R által törölt, egymással k-szomszédos p, q pixelpár esetén p egy-szer¶ a (V, k, k, B \ {q}) képen.

3. Ha (k, k) = (2, 1) vagy V = H, akkor R nem töröl teljesen egyetlen kis objek-tumot sem (lásd a dolgozat 1.6.-1.8. ábráit).

A következ® feltételek már egyedi pixelek törölhet®ségér®l szólnak. Megkülön-böztetünk szimmetrikus és aszimmetrikus feltételeket: a szimmetrikusak nem tün-tetik ki bizonyos pixelkon�gurációk valamely elemét (lásd 3. tétel), míg az aszim-metrikusak igen (lásd 4. tétel).

3. tétel. (a dolgozat 3.2.5. tétele)Az R redukció topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges (V, k, k, B) képre (V ∈ {S,H, T };(k, k) = (2, 1), (1, 2)) és annak bármely R által törölt p ∈ B pixelére teljesül azalábbi három feltétel:

1. p egyszer¶ pixel a (V, k, k, B) képen.

2. Valamennyi q ∈ N∗Vk

(p) ∩ B egyszer¶ pixelre p egyszer¶ a (V, k, k, B \ {q})képen.

3. Ha (k, k) = (2, 1), akkor a p pixel nem eleme egyetlen kis objektumnak sem.(lásd a dolgozat 1.6.-1.8. ábráit).

4. tétel. (a dolgozat 3.2.6. tétele)Az R redukció topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges (V, k, k, B) képre (V ∈ {S,H, T };(k, k) = (2, 1), (1, 2)), és annak bármely R által törölt p ∈ B pixelére teljesül azalábbi három feltétel:

1. p egyszer¶ pixel a (V, k, k, B) képen.

2. Valamennyi q ∈ N∗Vk

(p) ∩ B egyszer¶ pixelre p egyszer¶ a (V, k, k, B \ {q})képen vagy a következ® teljesül:

• Ha (k, k) = (2, 1), akkor q a dolgozat 1.4. ábrájának valamely kon�gurá-ciójában a kitüntetett elem.

6 A disszertáció új tudományos eredményei

• Ha (k, k) = (1, 2), akkor q a dolgozat 1.5. ábrájának valamely kon�gurá-ciójában a kitüntetett elem.

3. Ha (k, k) = (2, 1), akkor a p pixel nem kitüntetett eleme egyetlen kis objek-tumnak sem (lásd a dolgozat 1.6.-1.8. ábráit).

Az addíciók topológiai korrektségének ellen®rzéséhez a dolgozatom a 3.3. alfeje-zetében megfogalmazok egy, az addíciók és redukciók között fennálló dualitási sza-bályt. Ennek felhasználásával a redukciókra érvényes kritériumokból levezethet®kaz addíciók topológia-meg®rzésére vonatkozó alábbi általános elegend® feltételek is.

5. tétel. (a dolgozat 3.3.2. tétele)Az A addíció topológia-meg®rz®, ha valamennyi (V, k, k, B) képre (V ∈ {S,H, T };(k, k) = (2, 1), (1, 2)) teljesülnek az alábbi feltételek:

1. Valamennyi A által módosított fehér pixel egyszer¶.

2. Valamennyi A által módosított, egymással k-szomszédos fehér p és q pixelre pegyszer¶ a (V, k, k, B ∪ {q}) képen.

3. Ha (k, k) = (2, 1), akkor A nem tölt fel egyetlen kis üreget sem (lásd a dolgozat1.6.-1.8. ábráit).

Az új elegend® feltételeink segítségével könnyen ellen®rizhet® a négyszög-, hatszög-és háromszög-mozaikon dolgozó vékonyító algoritmusok topológiai korrektsége. Atézispontban olyan hexagonális és trianguláris algoritmusokat is bemutattam, ame-lyek törlési feltételei az egyedi pixelek törölhet®ségére adott elegend® feltételeketkombinálják párhuzamos vékonyító stratégiákkal és változatos geometriai kényszer-feltételekkel, így a topológia-meg®rzésük garantált.

3.2. Iterációnkénti simítással kombinált vékonyítás 3D binárisképeken

Dolgozatom 5. fejezetében egy olyan párhuzamos 3D kontúrsimító algoritmust is-mertetek, amely amellett, hogy meg®rzi a képek topológiáját, könnyen beépíthet®vékonyító algoritmusokba is. Az algoritmus két párhuzamos redukcióból áll (lásd az1. algoritmust), melyeket R1-gyel és R2-vel jelölünk. Az R1 által törölhet® pontokat3 × 3 × 3�as törl®maszkokkal adjuk meg (lásd a dolgozat 5.1.-5.5. ábráit), ahol azR2 operátor az R1 maszkjainak p-re való tükrözöttjeit veszi �gyelembe.

Simító algoritmusunkat a hagyományos vékonyító eljárásokkal kombináltuk ab-ból a célból, hogy csökkentsük a vékonyító algoritmusok által produkált nemkívána-tos szegmensek számát. Tetsz®leges A vékonyító algoritmus iterációnkénti simítássalkombinált sémáját a 2. algoritmus mutatja be.

A simító operátor implementációjára egy hatékony módszert javasoltunk. Ezegy el®zetesen generált keres®táblát használ a törölhet® pontok kódolására, melymindössze 8 MB-nyi tárolóhelyet igényel. Az eljárás további gyorsításához egy-egylista használata célszer¶ az aktuális határpontok ill. az aktuális törölhet® pontoktárolására.

A disszertáció új tudományos eredményei 7

1. algoritmus. Párhuzamos simító algoritmus.1: Input: (C, 3, 1, X) kép2: Output: a (C, 3, 1, Y ) kép3: Y = X4: // 1. fázis5: Y = Y \ { p | p törölhet® R1 által a (C, 3, 1, Y ) képen}6: // 2. fázis7: Y = Y \ { p | p törölhet® R2 által a (C, 3, 1, Y ) képen}

2. algoritmus. Iterációnkénti simítással kombinált vékonyítás.1: Y = X2: repeat

3: Input: (C, 3, 1, X) kép4: Output: (C, 3, 1, Y ) kép5: Y = X6: // kétfázisú simítás7: Y = Y \ { p | p törölhet® R1 által a (C, 3, 1, Y ) képen }8: Y = Y \ { p | p törölhet® R2 által a (C, 3, 1, Y ) képen }9: // a vékonyítás egy iterációs lépése

10: D = { p | p törölhet® A által a (C, 3, 1, Y ) képen }11: Y = Y \ D12: until D = ∅

3.3. Bejárás-független szekvenciális vékonyítás

Harmadik f® kutatási témám olyan szekvenciális vékonyító algoritmusok kidolgozásavolt, amelyek nem érzékenyek a határpontok bejárási sorrendjére.

A konkrét algoritmusok közlése el®tt, a dolgozat 6.1. alfejezetében ismerteteknéhány szükséges és elegend® feltételt, amelyek garantálják a bejárás-függetlenségteljesülését. Az els® erre vonatkozó tételemben a törl®maszkokon alapuló szekven-ciális vékonyító algoritmusokra fogalmazok meg elegend® kritériumokat (sémáju-kat a 3.3. algoritmus mutatja be). Ezen feltételek azt írják el®, hogy amennyibenaz SM(M) algoritmus illeszt®mintáit egy-egy �képszeletnek� tekintjük, akkor egyM ∈M maszk a középs® elemén kívül nem tartalmazhat más olyan elemet, amely-re illeszthet® az algoritmus valamely maszkja. A [6]-ban bizonyított tételem pontoskimondása további fogalmak de�niálását igényelné.

Ezeken kívül olyan általánosabb kritériumokat is javasolok, amelyek nem szo-rítkoznak törl®maszkokkal megadott algoritmusokra, és amelyek egyben szükségesés elegend® feltételek is. Utóbbiak az alábbi fogalmon alapulnak: Legyen ST egyszekvenciális vékonyító algoritmus, ST ∗ pedig egy párhuzamos vékonyító algorit-mus, amelynek második fázisa ugyanazt a törlési feltételt tartalmazza, mint az STazzal az eltéréssel, hogy ST ∗ a feltételnek megfelel® objektumpontokat egyszerretörli. ST ∗ algoritmust az ST párhuzamos változatának nevezzük.

8 A disszertáció új tudományos eredményei

3. algoritmus. ST(M)

1: Input: a (Cn, n, 1, X, ∅) kép és a törl®maszkokM halmaza2: Output: a (Cn, n, 1, Y, Y +) kép3: Y = X4: Y + = ∅5: repeat

6: // els® fázis: kontúr-követés7: for all p in Y do

8: if p határpixel then9: Y + = Y + ∪ {p}

10: // második fázis: redukció11: modi�ed=false12: for all p ∈ Y + do

13: if pM-törölhet® then

14: Y = Y \ {p}15: modi�ed=true16: until modi�ed=false

6. tétel. (a dolgozat 6.1.2. tétele)[15] Legyen ST egy szekvenciális vékonyító algoritmus, és legyen ST ∗ az ST pár-huzamos változata. Tekintsük ST és ST ∗ adott iterációs lépését, továbbá legyenP = (Cn, n, 1, B) egy tetsz®leges kép (n = 2, 3), és legyen D ⊆ B az ST ∗ által a be-meneti P képen a vizsgált iterációban törölt pontok halmaza. ST bejárás-függetlenakkor és csak akkor ha bármely p ∈ B pontra az alábbi feltételek valamelyike teljesül:

1. p ∈ D, és bármely Q ⊆ D \ {p} halmazra ST ∗ a p pontot törli a bemeneti(Cn, n, 1, B \Q) képen, vagy

2. p /∈ D, és bármely Q ⊆ D \ {p} halmzra ST ∗ nem törli p-t a bemeneti(Cn, n, 1, B \Q) képen.

A 6.2. alfejezetben el®ször megadtam olyan 2D M1 és M2 maszk-halmazokat,amelyekre teljesülnek a [6]-ben megadott elegend® feltételek, vagyis az ST(M1) ésST(M2) algoritmusok bejárás-függetlenek. A kétféle algoritmus-variáns két külön-böz®, 2D középvonal kinyerésére szolgáló végpont-feltételt vizsgál.

Ezeken kívül ismertettem négy további bejárás-független algoritmust is az (S,2, 1) és a (C, 3, 1) képekre, melyek az el®z®ek törlési feltételeinél bonyolultabb sza-bályokat alkalmaznak a képelemek törölhet®ségére. Közülük az egyik tetsz®legesn-dimenziós (Cn, n, 1) képre, a másik csak (S, 2, 1) képekre, a többi pedig (C, 3, 1)képekre alkalmazható. A négy utóbbi algoritmus törlési szabályai hasonló elven ala-pulnak: a p határpont akkor és csak akkor törölhet®, ha egyrészt teljesít bizonyosgeometriai kényszerfeltételt, másrészt egyszer¶ marad minden olyan esetben, amikora p ugyanezen kényszerfeltételnek eleget tev® egyszer¶ 2- ill. 3-szomszédai tetsz®legesrészhalmazát törölnénk. Ezen algoritmusok f®ként az általuk alkalmazott geometriaikényszerfeltételekben különböznek.

Tézispontok 9

4. Tézispontok

4.1. Új elegend® feltételek topológia-meg®rz® képm¶veletekre,hexagonális és trianguláris topológia-meg®rz® vékonyítóalgoritmusok

Az 1. tézispontban az alábbi eredmények szerepelnek:

• Megadtuk az egyszer¶ pontok olyan jellemzéseit, amelyek érvényesek az (S, 2, 1),a (H, 1, 1), és a (T , 2, 1) képekre.

• Elegend® feltételeket javasoltunk topológia-meg®rz® redukciókra (H, 1, 1),(T , 2, 1) és (T , 1, 2) képeken.

• Az addíciókra megfogalmaztam egy olyan dualitási szabályt, amellyel redukci-ók topológia-meg®rzésének elegend® feltételeib®l addíciók topológiai korrekt-ségét garantáló elegend® kritériumokhoz jutunk. Ennek segítségével a (V, k, k)képekre (V ∈ {S,H, T }; (k, k) = (2, 1), (1, 2)) és a (C, 3, 1) topológia-meg®rz®redukcióira adtam elegend® feltételeket.

• Kidolgoztam számos teljesen párhuzamos, irány- ill. almez®-alapú hexagonálisés trianguláris vékonyító algoritmust, amelyek a redukciókra adott új elegend®feltételeket kombinálják párhuzamos vékonyító stratégiákkal és változatos geo-metriai kényszerfeltételekkel. A garantáltan topológia-meg®rz® algoritmusoktartalmaznak egyaránt topológiai mag ill. középvonal kinyerésére alkalmasa-kat.

A topológia-meg®rzés feltételeinek vizsgálatával kapcsolatos eredményeinket egyhatástényez®s folyóiratcikkben [9] és három konferencia kiadványában [10, 14, 16]közöltük, továbbá hexagonális algoritmusainkat egy további konferencia-kötetben[12] publikáltuk.

4.2. Iterációnkénti simítással kombinált vékonyítás 3D binárisképeken

Az 2. tézisponthoz tartozó eredmények:

• 3D bináris képekre egy olyan topológia-meg®rz® kontúrsimító algoritmust ja-vasoltunk, amely bizonyos extremitások eltávolítására képes.

• Bemutattunk egy új vékonyító sémát, amely kontúrsimítást javasol a vékonyítóeljárások valamennyi iterációs lépése el®tt.

• A 3D kontúrsimító algoritmusnak olyan hatékony implementációját adtuk, amiáltalánossan alkalmazható vékonyító eljárásokra is.

10 Tézispontok

• Az új séma hatékonyságát számos párhuzamos vékonyító algoritmusra tesztel-tük. Az eredmények alátámasztják azt, hogy a javasolt módszerrel jelent®senkevesebb nemkívánatos felszín- ill. vonal-szegmenst tartalmazó vázszer¶ jel-lemz®höz jutunk.

Kontúrsimító algoritmusunk els® változatát egy konferencia kiadványban [22], afejezetben bemutatott továbbfejlesztett algoritmust és az iterációnkénti simítássalkombinált vékonyító sémát pedig egy hatástényez®s folyóiratcikkben [23] publikál-tuk.

4.3. Bejárás-független szekvenciális vékonyítás

A 3. tézisponthoz tartozó eredmények:

• Olyan szükséges és elegend® feltételeket ismertettem, amelyekkel a szekvenci-ális vékonyító algoritmusok bejárás-függetlensége ellen®rizhet®.

• Az elegend®ségre vonatkozóan a feltételek olyan speciális változatát is megad-tam, amely törl®maszkokkal dolgozó algoritmusokra alkalmazható.

• Javasoltam két törl®maszkokkal megadott 2D bejárás-független szekvenciálisvékonyító algoritmust középvonalak el®állítására.

• Publikáltunk további négy bejárás-független szekvenciális algoritmust is, ame-lyek speciális (nem törl®maszkokkal megadott) törlési feltételeket alkalmaznak.Ezek közül az egyik tetsz®leges dimenziójú képekre alkalmazható, de 3D-bencsak középfelszín kinyerésére alkalmas. A további három a sz¶kületi pontokmegtartásán alapul, és alkalmasak 2D középvonal, 3D középfelszín és 3D kö-zépvonal kinyerésére.

Eredményeink két folyóiratcikkben [6, 8] és négy nemzetközi konferencia kiad-ványban [7,11,13,15] jelentek meg.

A tézispontokhoz tartozó közlemények

A szerz® közleményeinek és az értekezés tézispontjainak kapcsolatát az alábbi táb-lázat adja meg, amelyben csak a Doktori Iskola által elfogadott publikációk szere-pelnek.

Tézispontok 11

PublikációkTézispontok

Jelleg Szerz®k száma Pont1. 2. 3.

[9]1 • Folyóirat cikk 2 0,75[10] • Konferencia cikk 2 0,75[14] • Konferencia cikk 2 0,75[16] • Konferencia cikk 2 0,75[12] • Konferencia cikk 2 0,75[23]2 • Folyóirat cikk 3 0,60[22] • Konferencia cikk 3 0,60[6] • Folyóirat cikk 1 1,00[8] • Folyóirat cikk 3 0,60[11] • Konferencia cikk 2 0,75[13] • Konferencia cikk 2 0,75[15] • Konferencia cikk 2 0,75[7] • Konferencia cikk 3 0,60

Összpontszám: 9,40

1Hatástényez®: 0,499 (2011)2Hatástényez®: 1,00 (2011)

Irodalomjegyzék

[1] M. Couprie and G. Bertrand. Topology preserving alternating sequential �lterfor smoothing two-dimensional and three-dimensional objects. J. ElectronicImaging, 13(4):720�730, 2004.

[2] R. W. Hall. Parallel Connectivity-Preserving Thinning Algorithms, pages 145�179. Elsevier Science Inc., 1996.

[3] R. W. Hall, T. Y. Kong, and A. Rosenfeld. Shrinking Binary Images, pages31�98. Elsevier Science Inc., 1996.

[4] J. Hu, D. Yu, and H. Yan. A multiple point boundary smoothing algorithm.Pattern Recognition Letters, 19(8):657�668, 1998.

[5] M. Iwanowski and P. Soille. Fast algorithm for order independent binary homo-topic thinning. In Proceedings of the 8th International Conference on Adaptiveand Natural Computing Algorithms, Part II, ICANNGA '07, ICANNGA '07,pages 606�615, Springer-Verlag, 2007.

[6] P. Kardos. Su�cient conditions for order-independency in sequential thinning.Acta Cybernetica, 20:87�100, 2011.

[7] P. Kardos, G. Németh, and K. Palágyi. An order-independent sequential thin-ning algorithm. In Proceedings of the 13th International Workshop on Combina-torial Image Analysis, IWCIA '09, IWCIA '09, pages 162�175, Springer-Verlag,2009.

[8] P. Kardos, G. Németh, and K. Palágyi. 2D parallel thinning and shrinking basedon su�cient conditions for topology preservation. Alkalmazott MatematikaiLapok, 27:17�40, 2010.

[9] P. Kardos and K. Palágyi. Topology-preserving hexagonal thinning. Internati-onal Journal of Computer Mathematics, in press.

[10] P. Kardos and K. Palágyi. On topology preservation for hexagonal parallelthinning algorithms. In IWCIA 2011, pages 31�42, 2011.

[11] P. Kardos and K. Palágyi. Order-independent sequential thinning in arbitrarydimensions. In Proceedings of the IASTED International Conference Signal andImage Processing and Applications, pages 129�134, IASTED, 2011.

12

IRODALOMJEGYZÉK 13

[12] P. Kardos and K. Palágyi. Hexagonal parallel thinning algorithms based onsu�cient conditions for topology preservation. In Proceedings of InternationalSymposium on Computational Modeling of Objects Represented in Images, pages63�68, 2012.

[13] P. Kardos and K. Palágyi. Isthmus-based order-independent sequential thin-ning. In Proceedings of the IASTED International Conference on Signal Pro-cessing, Pattern Recognition and Application, IASTED, 2012.

[14] P. Kardos and K. Palágyi. On topology preservation for triangular thinningalgorithms. In Proceedings of the International Workshop on CombinatorialImage Analysis, pages 128�142, 2012.

[15] P. Kardos and K. Palágyi. On order�independent sequential thinning. In Pro-ceedings of the 3rd IEEE International Conference on Cognitive Infocommuni-cations (CogInfoCom) 2012, pages 149�154, IEEE, 2013.

[16] P. Kardos and K. Palágyi. Su�cient conditions for topology preserving ad-ditions and general operators. In Proceedings of the IASTED InternationalConference Computer Graphics and Imaging, pages 107�114, IASTED, 2013.

[17] T. Y. Kong. On topology preservation in 2-d and 3-d thinning. IJPRAI,9(5):813�844, 1995.

[18] T. Y. Kong and A. Rosenfeld. Digital topology: introduction and survey. Com-put. Vision Graph. Image Process., 48:357�393, 1989.

[19] C. M. Ma. On topology preservation in 3D thinning. CVGIP: Image Under-standing, 59(3):328 � 339, 1994.

[20] S. Marchand-Maillet and Y. M. Sharaiha. Binary digital image processing - adiscrete approach. Academic Press, 2000.

[21] G. Németh. Topológia-meg®rz® vékonyító algoritmusok tervezése és vázkijelöl®algoritmusok kvantitatív összehasonlítása. Doktori Értekezés. Szegedi Tudo-mányegyetem, 2012.

[22] G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi. Topology preserving parallel smoothingfor 3D binary images. In CompIMAGE, pages 287�298, 2010.

[23] G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi. Thinning combined with iteration-by-iteration smoothing for 3D binary images. Graphical Models, 73(6):335�345,2011.

[24] K. Palágyi and A. Kuba. A parallel 3D 12-subiteration thinning algorithm.Graphical Models and Image Processing, 61:199�221, 1999.

[25] V. Ranwez and P. Soille. Order independent homotopic thinning for binary andgrey tone anchored skeletons. Pattern Recognition Letters, 23:687�702, 2002.

14 IRODALOMJEGYZÉK

[26] C. Ronse. Minimal test patterns for connectivity preservation in parallelthinning algorithms for binary digital images. Discrete Applied Mathematics,21(1):67 � 79, 1988.

[27] D. Shaked and A.M. Bruckstein. Pruning medial axes. Computer Vision andImage Understanding, 69(2):156�169, 1998.

[28] C.Y. Suen and P.S.P. Wang. Thinning Methodologies for Pattern Recognition.World Scienti�c Publishing Co., Inc., 1994.

[29] G. Taubin. Curve and surface smoothing without shrinkage. In ICCV, pages852�857, 1995.

[30] D. Yu and H. Yan. An e�cient algorithm for smoothing, linearization and detec-tion of structural feature points of binary image contours. Pattern Recognition,30(1):57�69, 1997.