7/25/2019 Tools Matrices Operators
1/7
MA
THEMA
T I C S : K .
FAN
a l w a y s
s o l v a b l e
u n i q u e l y
f o r t h e
i n t e g e r
y s i n c e
( i ) 0 1 ( X x ) / d
i s a n i n t e g e r ,
( i i ) X / d
i s
p r i m e
t o
r / d .
A l g o r i t h m i c a l l y ,
t o
a p p l y
( 1 9 . 1 ) ,
w e
may
d i ' t i d e
b y d
i n
t h o s e
c y c l e s
o f
0 1
w h i c h c o n s i s t o f m u l t i p l e s o f
d
( s i m p l y o m i t t i n g t h e o t h e r
c y c l e s ,
i n
w h i c h
n o n e
o f
t h e
n u m e r a l s
i s
d i v i s i b l e b y
1 ) , a n d
t h e n
m u l t i p l y
e a c h
n u m e r a l
b y
X ' ,
w h e r e
( X / d ) X '
=-
1
( m o d
r l d ) ,
r e d u c i n g
t h e
r e s u l t
t o
i t s
l e a s t
n o n - n e g a -
t i v e r e s i d u e
mod
r i d .
I f 0 i s a n
e x p o n e n t i a l s u b s t i t u t i o n ,
i t s
d e r i v a t i v e
0 1
i s
l i n e a r :
0 1 ( x )
=,B
x
( m o d
r ) ,
a n d t h e
c o n d i t i o n :
d j 0 i ( d x )
f o r
a l l x ,
i s
o b v i o u s l y f u l f i l l e d . We
h a v e f o r t h e
d e r i v a t i v e o f
0 '
=
0 X : 8 0 ( x )
=
, B x ( m o d
r / d ) .
H e n c e :
T H E O R E M
XXVII. A n y
p o w e r
0
o f
a n
e x p o n e n t i a l
s u b s t i t u t i o n
0
i s a
s p e c i a l s u b s t i t u t i o n ,
e x p o n e n t i a l
i f
a
1
( m o d
r / d ) ,
l i n e a r
i f
1 3
=
1
( m o d
r l d ) ,
w h e r e
d
=
( X , r ) .
O f
c o u r s e ,
a n y p o w e r
o f
a l i n e a r
s u b s t i t u t i o n
i s
l i n e a r . Bu t t h e
p r o p e r t y
o f
t h e
l a s t
t h e o r e m
i s
n o t c h a r a c t e r i s t i c
o f
e x p o n e n t i a l
a n d l i n e a r
s u b s t i t u -
t i o n s .
E . g . ,
i n
t h e
c a s e
o f t h e
f o l l o w i n g
s u b s i t u t i o n o n t h e
r a n g e 3 2 :
0
=
( 0 )
( 1 6 ) ( 1 , 7 , 9 , 3 1 ,
1 7 ,
2 3 ,
2 5 ,
1 5 ) ( 3 ,
2 9 ,
2 7 ,
5 ,
1 9 ,
1 3 ,
1 1 ,
2 1 )
( 2 ,
6 , 1 8 , 2 2 ) ( 1 0 , 3 0 , 2 6 , 1 4 ) ( 4 ,
1 2 ) . ( 8 , 2 4 )
( 2 0 ,
2 8 ) ,
e v e r y
p o w e r
o f
0 i s
s p e c i a l ,
b u t
0 ,
h a v i n g
t h e d e r i v a t i v e
0 1 =
( 0 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 )
( 1
3
5
7 ) ,
o f
t y p e 3 ,
i s
i t s e l f
o f
t y p e 4 ,
n e i t h e r
e x p o n e n t i a l
n o r l i n e a r .
T h e -
n e c e s s a r y
a n d s u f f i c i e n t
c o n d i t i o n
t h a t
e v e r y
p o w e r
e
o f a
g i v e n
s p e c i a l
s u b s t i t u t i o n
0
b e
i t s e l f
s p e c i a l
i s
t h a t ,
f o r
e v e r y
d i v i s o r
d o f
r ,
t h e
c y c l e
o f
0 1
c o n t a i n i n g
d
s h a l l c o n s i s t
e n t i r e l y
o f
m u l t i p l e s
o f d . T h i
e q u i r e -
m e n t
i s
m e t ,
i n
p a r t i c u l a r ,
i f r
=
p a ,
p
a
p r i m e ,
a n d
p
i s a
f i x e d n u m r a l
o f
0 1 .
I n
t h e
e x a m p l e
j u s t g i v e n ,
r
=
2 3 ,
a n d
t h e
n u m e r a l
2 i s
f i x e d
i n
0 1 .
1
V o l .
3 7 ,
n o s .
9 ,
1 0
( S e p t e m b e r ,
O c t o b e r , 1 9 5 1 ) .
2
The
p a r e n t h e s i s n o t a t i o n
i s
e m p l o y e d
f o r
g r e a t e s t
common
d i v i s o r .
T h e
c o n t r a r y
c a s e
h a s
a l r e a d y
b e e n
d i s p o s e d
o f i n
N o t e
I I ,
1 3 .
MAXIMUM
PROPERTIES
AND
INEQUALITIES FOR
.THE
EIGENVALUES
OF
COMPLETELY
CONTINUOUS OPERATORS*
By
KY
FAN
DEPARTMENT
OF
M A T H E M A T I C S ,
U N I V E R S I T Y OF NOTRE
DAME
C o m m u n i c a t e d
b y J o h n
von
N e u m a n n , S e p t e m b e r 8 ,
1 9 5 1
1 .
A l t h o u g h
s e v e r a l e x t r e m u m
p r o p e r t i e s
o f
t h e
e i g e n v a l u e s
o f
c o m -
p l e t e l y
c o n t i n u o u s
( a b b r e v i a t e d
t o
c .
c . )
o p e r a t o r s
i n
H i l b e r t
s p a c e
D
a r e
k n o w ; n ,
n e a r l y
a l l
o f
t h e m d e a l w i t h a
s i n g l e
o p e r a t o r .
I n
t h i s
r e s p e c t ,
t h e
7 6 0
P R O C . N . A .
S .
7/25/2019 Tools Matrices Operators
2/7
MATHEMA
T I C S :
K .
FAN
f o l l o w i n g t h e o r e m
o f J . v o n Neumann'
i s
o f
p a r t i c u l a r
s i g n i f i c a n c e ,
a s i t i n -
v o l v e s t w o m a t r i c e s : L e t A ,
B
b e
t w o
s q u a r e
m a t r i c e s
o f o r d e r n ( w i t h
c o m p l e x
c o e f f i c i e n t s ) .
I f
{
X i
} ,
{
I K c
} a r e
t h e
e i g e n v a l u e s 2
o f A
* A ,
B*B
r e s p e c t i v e l y ,
t h e n
E
VXKis
t h e maximum o f t t r
( U A V B ) I ,
w h e n U , V r u n
o v e r
a l l u n i t a r y
s
i
m a t r i c e s
o f
o r d e r n . I n t h e
p r e s e n t n o t e ,
T h e o r e m
1 c o n t a i n s t w o
maximum
p r o p e r t i e s ( 4 ) ,
( 5 )
f o r
a n y
f i n i t e
number m o f
c .
c . o p e r a t o r s i n H i l b e r t
s p a c e
.
( 4 ) i s
a g e n e r a l i z a t i o n o f v o n N e u m a n n ' s t h e
o r e m , w h i l e
( 5 )
i s
a
m u l t i p l i c a t i v e c o m p a n i o n
o f
( 4 ) .
The
c a s e
m
=
1
o f ( 5 ) i n c l u d e s t h e
i m -
p o r t a n t i n e q u a l i t y
o f
H .
W e y l 3
k 1 2 .
.
j 2
< X 1 X 2
. .
.
X n
( n
=
1 , 2 , *
b e t w e e n t h e
e i g e n v a l u e s
{
b
}
o f
a
c . c . o p e r a t o r A i n
p
a n d
t h e e i g e n v a l u e s
{
X i
o f A
* A .
The
c a s e
m
=
2
o f
( 5 )
i n c l u d e s
t h e
f o l l o w i n g
t h e o r e m
o f
A .
H o r n 4
c o n c e r n i n g t w o c .
c .
o p e r a t o r s A ,
B
i n
, :
I f
{
X i
,
{
K i
} ,
{ / 1 I
a r e t h e
e i g e n -
v a l u e s
o f A * A ,
B*B
a n d
( A B ) * ( A B ) ,
r e s p e c t i v e l y ,
t h e n
.
.
.
. n
a n >
0 ,
b l 2 b 2 2
. .
.
b n
2
0 .
T h e n
a
n e c e s s a r y
a n d
s u f f i c i e n t
c o n d i t i o n
t h a t
1 ( a l , a 2 ,
.
.
a n )
