Tối ưu hóa đa mục tiêu

7/23/2019 Tối ưu hóa đa mục tiêu

http://slidepdf.com/reader/full/toi-uu-hoa-da-muc-tieu 1/27

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN*** ***

LÊ VĂN HIỆP

TÓM TẮT LUẬN VĂN

“MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

NHIỀU MỤC TIÊU”

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Trần Thị Huệ Nương



Tóm tắt nội dung chính của luận văn

I. Giới thiệu về tối ưu hoá nhiều mục tiêu.

II. Bài toán tối ưu hoá nhiều mục tiêu.

III. Tối ưu Pareto.

IV. Thuật toán cơ sở để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu.

V. Áp dụng thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu.

VI. Mô hình toán học của bài toán quản lý danh mục đầu tư tối ưu

nhiều mục tiêu.

VII. Kết luận.



Tối ưu hóa nhiều mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhấttheo một nghĩa nhất định nào đó để đạt được (cực đại hay cựctiểu) nhiều mục tiêu cùng một lúc và một phương án như vậy thìta gọi là phương án lý tưởng.

Trong một bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu

xung đột với nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đạihay cực tiểu một mục tiêu có thể sẽ làm “giảm” giá trị cực đạihay cực tiểu của các mục tiêu khác nên việc tồn tại phương án lýtưởng như vậy là rất hiếm.

Do đó cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất cả

các mục tiêu đặt ra trong một mức độ chấp nhận được và phươngán như thế gọi là phương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu.

I. Giới thiệu về tối ưu hoá nhiều mục tiêu.



II. Bài toán tối ưu hoá nhiều mục tiêu.Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu được phát biểu như sau:

Min {f 1(x), f 2(x),…, f k (x)}Sao cho x X

Trong đó:

f i : Rn R

X={ x Rn | g j(x) ≤ 0; hk (x)=0; với j,k = 1,…,p }

(P1)



III. Tối ưu Pareto. Định nghĩa 1 (nghiệm lý tưởng)

Một nghiệm x*

X của bài toán (P1) được gọi là nghiệm lý tưởng nếu: f i (x* ) ≤ f i (x) x X i = {1,…,k}

Nhận xét: Nghiệm lý tưởng như vậy rất ít khi tồn tại đối với bài toán (P1). Nên ta đưa ra một khái niệm khác về nghiệm tối ưu có tính“mềm dẻo” hơn đó là nghiệm tối ưu Pareto.

Định nghĩa 2 (nghiệm trội)

Một nghiệm x X được gọi là trội hơn nghiệm x* X nếu:

Định nghĩa 3 (nghiệm tối ưu Pareto)

Một nghiệm x* X của bài toán (P1) được gọi là nghiệm tối ưu Paretonếu không tồn tại một nghiệm chấp nhận x ≠ x* X sao cho: x trộihơn x*

f i (x) ≤ f i (x*) i = 1,…,k

j{1,…,k} sao cho f j (x) < f j (x*)



NghiNghiệệmm ttốốii ưưuu ParetoPareto

ThíThí dụdụ :: XétXét bài bài toántoán 22 biến biến vàvà 22 hàmhàm mụcmục tiêutiêu

n=2n=2 k=2k=2

x x 2 2

x x 1 1

( f 1 , f 2 ) f 1

X X

Không gian quyết định Không gian hàm mục tiêu f 2

Biên Pareto

Miền chấpnhận đượ c

Y Y Y eff



X X

x x 2 2

x x 1 1

P1

P2

(f 1(P 1 ), f 2(P 1 ))

( f 1(P 2 ), f 2(P 2 ))

( f 1(P 3 ), f 2(P 3))P3

PP11 trộitrội hơnhơn PP22 P1 tốt hơn P2

NghiNghiệệmm ttốốii ưưuu ParetoPareto

ThíThí dụdụ :: XétXét bài bài toántoán 22 biến biến vàvà 22 hàmhàm mụcmục tiêutiêu

n=2n=2 k=2k=2

f 1

f 2



Định nghĩa 4

Tập tất cả các nghiệm tối ưu Pareto x* X và tập các điểm hữu hiệu

y = f(x*) lần lượt là: X par và Yeff

Cho và một cố định ta ký hiệu:

Định lý 5

Mệnh đề 6

Giả sử x* X là nghiệm tối ưu của bài toán:

Với . Nếu thì:

nY R R n

* *( , ) : , inf , y Y

Opt Y y Y y y

0int

1

( ) ( , ) ( , )ni

i

RS Y Opt Y Opt Y

( ) eff S Y Y

1

min ( ) ( )k

i i x X

i

f x f x

R n int

n R *

Par x X



ThôngThông thườngthường đểđể giảigiải bài bài toántoán (P(P11)) thìthì tata chuyểnchuyển bài bài toántoán nàynày vềvề bài bàitoántoán tốitối ưuưu mộtmột mụcmục tiêutiêu bằng bằng cáchcách vôvô hướnghướng hoáhoá cáccác hàmhàm mụcmục tiêutiêu

trongtrong (P(P11)).. CóCó nhiềunhiều cáchcách vôvô hướnghướng hoáhoá màmà ứngứng vớivới mỗimỗi cáchcách sẽsẽ chochokếtkết quảquả nghiệmnghiệm tốitối ưuưu ParetoPareto kháckhác nhaunhau.. TrongTrong luậnluận vănvăn nàynày sẽsẽ trìnhtrình bày bày mộtmột phương phương pháp pháp vôvô hướnghướng hoáhoá thườngthường đượcđược sửsử dụngdụng nhấtnhất đóđó làlà phương phương pháp pháp tổngtổng trọngtrọng sốsố vàvà mộtmột phương phương pháp pháp mớimới đóđó làlà phương phương pháp pháp tổngtổng trọngtrọng sốsố chấpchấp nhậnnhận đượcđược::

)(),(),( 21 x f x f x f k

TrongTrong đóđó:: f(x) f(x) làlà “tổ“tổ hợp”hợp” củacủa tấttất cảcả cáccác hàmhàm mụcmục tiêutiêu trongtrong bài bài toántoán(P(P11)).. CácCác nghiệmnghiệm cựccực tiểutiểu củacủa hàmhàm f(x) f(x) làlà nghiệmnghiệm tốitối ưuưu ParetoPareto củacủa cáccáchàmhàm mụcmục tiêutiêu trongtrong bài bài toántoán (P(P11))..

IV. Thuật toán cơ sở để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu.

min ( ) f x

x X ( ) f x

1. Phương pháp tổngtrọng số

2. Phương pháp tổngtrọng số

chấp nhận được

(P2)



1. Phương pháp tổng trọng số.

Trong phương pháp này thì hàm f(x) được thiết lập như sau:

với

Hạn chế của phương pháp trọng số:

• Các nghiệm tối ưu phân bố không đều trên biên Pareto và số

lượng nghiệm tối ưu tìm được rất hạn chế.

• Người giải phải tự thiết lập giá trị trọng số các wi

1 1

( ) ( ), 1, 0k k

i i i i

i i

f x w f x w w



2. Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được.Phương pháp này khắc phục những hạn chế của phương pháp tổngtrọng số. Trong phương pháp này thì hàm f(x) được thiết lập như sau:

Với

Trong đó: là hàm chuẩn hoá của các f i(x) tương ứng. Cách thứcđể chuẩn hoá hàm f i(x) được trình bày rất rõ trong chươngII của luận văn.

1 21 2

1 2

( )( ) ( )( ) +w + +w

( ) ( ) ( )

k k

k

f x f x f x f x w

f x f x f x

11

k

i

iw

(x)i

f



V. Áp dụng thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu.

• Một cách tiếp cận khá mới hiện nay để giải bài toán tối ưu nhiềumục tiêu và rất hiệu quả trong việc tìm nghiệm tối ưu Pareto đó là

các phương pháp dựa trên thuật toán di truyền. Lấy thuật toán ditruyền làm cơ sở ta sẽ thiết lập nên những thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu.

• Có rất nhiều thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mụctiêu được đề xuất như: MOGA, NSGA-II, SPEA 2,…hầu hết cácthuật toán đều có chung đặc điểm là tìm biên Pareto xấp xỉ chứa cácnghiệm tối ưu Pareto từ các nghiệm khởi tạo ban đầu thông qua quátrình thực hiện các toán tử: lựa chọn (selection), chéo hoá(crossover) và đột biến (mutation) các nghiệm khởi tạo này.

•

Một trong những thuật toán có nhiều ưu điểm nhất về mặt tìmnghiệm tối ưu, khả năng hội tụ nghiệm và thời gian thực thi đó làthuật toán SPEA 2 so với thuật toán MOGA, NSGA-II. Sơ đồ khốicủa thuật toán được trình bày như sau:





Tính toán số:Giải bài toán 2 sau mục tiêu bằng thuật toán SPEA2:

Trong đó:

Các thông số đầu của thuật toán SPEA2 trong Matlab lần lượtnhư sau:

Toán tử Chéo hóa: Simulated Binary Crossover – SBX

Toán tử đột biến: Polynomial Mutation.

1 20min{ ( ), ( )} x f x f x

1 ( ) 1 f x x 2

2 ( ) 4 5 f x x x

Kích thướcquần thể

Số lượng thếhệ

Kích thướcTour

Eta-rec Eta-mut Xác suấtchéo hoá

Xác suất độtbiến

20 20 2 20 20 0,9 1

50 50 2 20 20 0,9 1

m



Kết quả chạy thuật toán với số lượngthế hệ tối đa là 20

và số lượng cá thể trong mỗi thế hệlà 20.

Kết quả chạy thuật toán với số lượngthế hệ tối đa là 50

và số lượng cá thể trong mỗi thế hệlà 50.



VI. Mô hình toán học của bài toán quản lý danh mục đầu tư tốiưu nhiều mục tiêu.

Harry Markowitz đã mô hình hóa quá trình lựa chọn danh mục đầu

tư dưới dạng một bài toán quy hoạch phi tuyến (bài toán Markowitz).Mục tiêu của bài toán Markowitz là tìm tỉ trọng của các chứng khoántrong danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro)của danh mục mà đạt được một mức thu nhập đã định.

Mô hình toán học của bài toán như sau:

1

1 1

max [ ]

min [ ]

n

p i i

i

n n

p ij i j

j i

E r x r

V r x x

sao cho x S

E[r p ] : kỳ vọng của danh mụcđầu tư

V[r p ] : phương sai của danh mụcđầu tư

xi : lượng tiền đầu tư vào chứng

khoán thứ i.r i : lợi nhuận kỳ vọng khi đầu tư

vào chứng khoán thứ i.: Hiệp phương sai giữa r i và r jij

(7)



Từ mô hình (7) trên có rất nhiều mô hình toán họckhác đã được xây dựng và có tính thực tiễn rất cao.Trong luận văn này tôi đưa ra hai mô hình bài toánrất được quan tâm hiện nay và ứng dụng thuật toándi truyền nhiều mục tiêu để giải các mô hình toánnày.

Một là: Mô hình toán học cho bài toán lựa chọn danhmục đầu tư với chi phí cố định.

Hai là: Mô hình toán học cho bài toán lựa chọn danhmục đầu tư với chi phí biến đổi.



1. 1. Mô hình toán học cho bài toán lựa chọn danh mục đầu tư với chi phí cố định.

Sao cho:

với

Trong đó:

Với:

1( ) ( ) j j j j j j

j S j S

E W R d c w f zC

( ) ij i ji S j S

j j

j

V W y y

w c y

C

(8) 0 1

j S

min ( ), ( )

0

{0,1}, j S

j j

j j j

j

E W V W C c w C C

c w u

z



Các bước đ giải mô hình toán quản lý danh mục đ u tưtối ưu với chi phí cố định như sau:

Bước 0: Nhập vào các tham số như:Pop_size : kích thước của quần thể (số lượng cá thể trong quần thể)

Pc : xác suất chéo hóaPm : xác suất đột biếnMaxgen: Số thế hệ cực đại cần đạt tới.

Bước 1: Dùng thuật toán di truyền 1 giải bài toán (9) để tạo quần thể khởi tạo,gồm tất cả nghiệm chấp nhận được của bài toán (8).

Bước 2:- Dùng thuật toán di truyền 1 giải bài toán (8) với từng hàm mục tiêu

riêng lẻ tương ứng với ràng buộc của bài toán (8) để xác địnhnghiệm cực tiểu và cực đại , sau đó đưa các nghiệm này vào quần thểkhởi tạo.

- Vô hướng hóa hàm tính độ thích nghi.

0 1

0 0

1 1

0 khi C

( ) khi C < C

khi C > C

C C

g w C C

C C

2min ( ) (9)

0 , j S j j j

g w

c w u Với



Bước 3:Cập nhật lại các cá thể trong quần thể hiện tại bằng cách thực hiện cáctoán tử chéo hóa và đột biến.

Bước 4:Tính độ thích nghi của hàm đã được vô hướng trong bước 2 cho tất cảcác cá thể.

Bước 5:- Lựa chọn các cá thể bằng cách sử dụng thuật toán lựa chọn vòng nhị

phân.- Lựa chọn các cá thể ưu việt để tạo thế hệ tiếp theo trong quá trìnhtiến hóa.

Bước 6 :Quay lại bước 3 đến bước 5 cho đến khi đạt được một thế hệ mà có các

gen đặt trưng hay thoả mãn Maxgen Bước 7 :

Xuất các cá thể trong quần thể cuối cùng.



2. Mô hình toán học cho bài toán lựa chọn danh mục đ u tư vớichi phí biến đổi.

Sao cho

Trong đó: R là tài sản với mức rủi ro tùy ý (là tài sản mà không biếttrước khả năng sinh lợi nhuận trong tương lai).

* Phương pháp giải bài toán (10)Có 2 kỹ thuật di truyền được đề xuất để giải bài toán (10) trên đólà: kỹ thuật chia sẻ hàm mục tiêu và kỹ thuật ươm. Trong luận văn nàytôi chỉ đề cập đến kỹ thuật ươm để giải bài toán (10)

1

1 1

1

m a x { ( ) }

m i n { ( ) }

( )m a x ( )

( )

1 , 0 1

N t t

W i i

i

N N t

W i j i j

i j

t t W

W t

W

n

i i

i

E r w r

V r w w

E r RS r

V r

w w

(10)



Kỹ thuật ươm được trình bày như sau:



VII. K t luận Trong luận này tôi đã trình bày một số phương pháp mới để giải bài

toán tối ưu đa mục tiêu. Thứ nhất : Để khắc phục những hạn chế của phương pháp tổng trọng số

như: Người giải phải lựa chọn giá trị cho vector trọng số tương ứngvới n hàm mục tiêu của bài toán, nghiệm tối ưu không phân bố đềutrên biên Pareto,…thì bằng phương pháp tổng trọng số chấp nhận được(được cải tiến từ phương pháp tổng trọng số) ta sẽ tìm được nhiềunghiệm tối ưu phân bố trên biên Pareto hơn bằng cách mịn hóa cácđoạn (các siêu phẳng nếu là không gian có số chiều lớn hơn 2) được

nối với nhau bằng hai điểm trên biên Pareto; tìm được nghiệm tối ưutrong miền không lồi và bỏ qua các nghiệm non-Pareto. Thứ hai: Dựa trên thuật toán di truyền, luận văn đã giới thiệu một số

phương pháp mới để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu đó là: MOGA,SPEA2 và NSGA – II . Ưu điểm của các phương pháp này là có thểxấp xỉ một cách gần chính xác biên Pareto thực từ các nghiệm khởi tạo

ngẫu nhiên ban đầu. Từ đó có thể chọn được nghiệm tối ưu tốt nhấtcho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu, thậm chí bài toán là không lồi. Thứ ba: Trong luận văn chúng tôi cũng đã đề xuất ra 2 mô hình bài

toán quản lý tối ưu danh mục đầu tư đa mục tiêu và việc ứng dụngthuật toán di truyền để giải các mô hình toán này.



XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN

QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN !



Toán tử chéo hoá (SBX) và toán tử đột biến (Polynomial Mutation)• Toán tử chéo hoá (SBX)

Tạo ngẫu nhiên giá trị ui : 0 ≤ ui ≤ 1. Hàm phân phối xác suất được sử dụng đểtạo nghiệm con như sau:

Trong (1), chỉ số phân phối càng cao thì xác suất lựa chọn đối với cá thể cha gần nhaunhằm tạo ra cá thể con càng cao.Sử dụng (1), được tính dựa vào mức ui như sau:

Sau cùng các cá thể/nghiệm con được tạo ra theo công thức:

iq



• Toán tử đột biến (Polynomial Mutation)Toán tử đột biến Polynomial Mutation đượ c thực hiện như sau:

Trong đó được tính toán từ phân phối xác suất hàm đa thức nhưsau:

(4)

i

(5)



CácCác cáchcách vôvô hướnghướng hoáhoá kháckhác

k

i

ii x f c x f 1

)()((SC1)(SC1)

2

1

)()(

k

i

id

ii z x f x f (SC2)(SC2)

id

iik i

z x f x f

)(max)(,2,1

(SC3)(SC3)

Documents

Tối ưu hóa đa mục tiêu