Toan Cao Cap A2

Thạc sĩ: VÕ HOÀNG

Chương I:

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

và HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: MA TRẬN I. MA TRẬN

1. Khái niệm ma trận

Một ma trận cấp , kí hiệu , là một bảng chữ nhật gồm

phần tử được viết thành dòng, cột như sau:

Trong đó: là phần tử ở vị trí dòng thứ , cột thứ của ma trận .

Ma trận thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa:

Tập hợp tất cả ma trận cấp được ký hiệu bởi .Ví dụ

Cho thì

2. Các ma trận đặc biệt

a. Ma trận không

Nếu thì ta nói là ma trận không (hay ma trận zero).

Ký hiệu: (hay đôi khi là nếu không có sự nhầm lẫn).

b. Ma trận vuông Nếu thì được gọi là ma trận vuông cấp .Tập hợp tất cả ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi .

Bài giảng: Toán Cao cấp A2 (ĐTVT)


Trong ma trận vuông, đường chứa các phần tử được gọi là

đường chéo chính (hay đường chéo) của , còn bản thân các phần tử được gọi là những phần tử nằm trên đường chéo chính.

Trong ma trận vuông ta lại chú ý đến một số ma trận có dạng đặc biệt. Đó là ma trận đường chéo, ma trận tam giác, ma trận đơn vị.

i. Ma trận tam giác Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía đường chéo

chính bằng không. Cụ thể như sau: Nếu (nghĩa là mọi phần tử ở bên dưới đường chéo đều

bằng ) ta nói là một ma trận tam giác trên.

Ví dụ

Nếu (nghĩa là mọi phần tử ở bên trên đường chéo đều

bằng ) ta nói là một ma trận tam giác dưới.

Ví dụ

ii. Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường

chéo chính bằng , nghĩa là .


đường chéo chính


A=

Ví dụ

iii. Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có tất cả phần tử nằm trên đường chéo

chính bằng một, nghĩa là )Ma trận đơn vị được ký hiệu là (hoặc E) và để chỉ rõ cấp của ma trận ta thêm

chỉ số cấp ở phía dưới.Ma trận đơn vị cấp được ký hiệu là .

II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1. Ma trận bằng nhau Định nghĩa

Cho , ta nói

2. Ma trận chuyển vị

a. Định nghĩa

Cho , , ta nói là ma trận chuyển vị của nếu

Ký hiệu:

Ví dụ Cho thì



b. Tính chất

Cho , khi đó:

i.

ii.

3. Phép cộng hai ma trận Phép cộng hai ma trận chỉ được thực hiện trên hai ma trận cùng cấp.

a. Định nghĩa

Cho , . Ta gọi tổng của và (ký hiệu là ) là

một ma trận được xác định bởi:

và gọi là hiệu của ma trận và .Ví dụ:

Với và thì

b. Tính chất

Cho khi đó:

i. Tính giao hoán:

ii. Tính kết hợp:

iii.

iv.

v.

4. Phép nhân một số thực với một ma trận

a. Định nghĩa

Cho và . Ta gọi tích của với (ký hiệu là ) là một ma trận được xác định bởi

Ví dụ



Với và thì

b. Tính chất

Cho và , khi đó:

i.

ii.

iii.

iv.

5. Phép nhân hai ma trận

a. Định nghĩa

Dòng nhân cột: Cho ,

A.B = a1.b1 +a2.b2 + . . .+an.bn

Tổng quát: Cho , .

= ) là ma trận được xác định bởi:

Như vậy chính là tổng tất cả các tích của mỗi phần tử ở hàng của với

phần tử cùng thứ hạng ở cột của theo sơ đồ sau:



Ví dụ

Với và thì

Lưu ý:

Tích của hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai. Phần tử ở vị trí của ma trận tích có được bằng cách lấy các phần tử ở dòng của ma trận thứ nhất nhân với từng phần tử cột của ma trận thứ hai (theo thứ tự đó) rồi cộng các kết quả lại.

Khi thì và cùng tồn tại nhưng nói chung . Nói cách khác tích của ma trận vuông không có tính giao hoán. Nếu thì và được gọi là giao hoán nhau.

Ví dụ

, thì và , do đó .

Ví dụ

và thì mặc dù và .

Do đó khẳng định “Nếu thì hay ” là sai.

b. Tính chất

Cho , khi đó:

i.

ii.

iii.

iv.

v.



vi.

vii. Nếu A là ma trận vuông thì gọi là lũy thừa của A.

III. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP – MA TRẬN BẬC THANG

1) Phép biến đổi sơ cấp

Phép biến đổi e :

e gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận:

Loại 1: Đổi chổ hai dòng (cột) và của với nhau

Loại 2: Nhân tất cả các phần tử của một dòng (cột) i với một số thực .

Loại 3: Cộng vào hàng (cột) i một hàng (cột) j sau khi đã nhân với với số .

Ví dụ

;

2) Ma trận bậc thang: Cho , ta nói là ma trận bậc thang nếu thỏa các điều kiện sau :

i) Các dòng bằng 0 (nếu có) nằm dưới dòng khác 0.ii) Hai dòng khác 0 bất kì thì phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên

nằm ở cột nhỏ hơn so với phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới.Nếu phần tử khác 0 đầu tiên là số 1 và trên cột đó các phần tử còn lại đều

bằng 0 thì ta gọi ma trận đó là ma trận bậc thang rút gọn.Ví dụ:

là các ma trận bậc thang


m lần


là các ma trận bậc thang rút gọn

IV. MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

1. Định nghĩa:Cho , ta nói khả nghịch nếu tồn tại sao cho .

Khi đó, được gọi là ma trận nghịch đảo của , kí hiệu B = .

Ví dụ: Cho

ta có . Do đó khả nghịch và là nghịch đảo của .Khi có nghịch đảo ta nói không suy biến.

2. Tính chấta) khả nghịch b) Ma trận nghịch đảo của (nếu có) là duy nhất.c) Nếu khả nghịch thì cũng khả nghịch và

d) Nếu và cùng khả nghịch thì tích cũng khả nghịch và

e) Khi A khả nghịch, n là số nguyên âm thì

3. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

Dùng các phép biến đổi sơ cấp

Phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa về thì đồng thời cũng đưa về .

Ví dụ:

1) Tìm biết

2) Cho và

Tìm: a) ; ;

b) , ; .



Bài 2: ĐỊNH THỨCI. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG

1. Định thức của ma trận vuông cấp một Ma trận vuông cấp một (chỉ có 1 phần tử) có dạng A = (a11) thì định thức của

ma trận (ký hiệu hay ) là một số trong được xác định bởi:

2. Định thức của ma trận vuông cấp hai

Ma trận vuông cấp hai có dạng thì:

3. Định thức của ma trận vuông cấp ba

Ma trận vuông cấp ba có dạng thì:

Trong trường hợp này, ta có thể nhớ bằng Quy tắc Sarius như sau: Ghi lại 2 cột

thứ nhất và thứ hai bên phải cột thứ ba của tạo thành một ma trận dòng cột.

Khi đó sẽ bằng tổng các tích trên “đường chéo chính” trừ đi tổng các tích trên

“đường chéo phụ” như sơ đồ sau: cột 1 cột 2 cột 3 cột 1 cột 2

Ví dụ: Tính định thức của



Ví dụ: Tìm biết:

Theo quy tắc sarius ta có:

Vậy từ ta có:

4. Định thức của ma trận vuông cấp n

Cho , ký hiệu là ma trận có được từ ma trận bằng cách “xoá

bỏ” dòng và cột của , là ma trận cấp (n – 1).

Ví dụ: Cho thì

a. Phần phụ đại số : Giả sử .

Phần tử được gọi là phần phụ đại số của .

b. Định thức của ma trận vuông cấp n

Giả sử . Khi đó ta có: (1)

Công thức (1) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng 1. Ví dụ

Cho . Tính

Áp dụng công thức khai triển định thức theo dòng 1, ta có:

Khi đó: Tổng quát:

Tính detA theo dòng thứ i:

Tính detA theo cột thứ j:

Ví dụ:



Tính bằng cách khai triển theo dòng 2.

Nhận xét: Từ (1) và (2) ta thấy, nếu thì , do đó khi tính

ta có thể khai triển theo một dòng hoặc một cột nào đó có nhiều hệ số bằng nhất.

Ví dụ

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

1. .

2. Nếu có ít nhất một dòng (cột) là dòng thì .

Ví dụ

,



3. Nếu nhận được từ bằng cách đổi chỗ hai dòng (cột) bất kì và các dòng (cột) khác giữ nguyên thì .

4. Nếu A có hai dòng (cột) giống nhau thì .

Ví dụ :

5. Nếu nhân một dòng (cột) của với một phần tử thì tăng lên lần.

Chú ý: với .Ví dụ

a/

b/

6. Nếu hai dòng (cột) của một ma trận có các hệ số tương ứng tỷ lệ nhau thì .

Ví dụ

7. Nếu các phần tử dòng của ma trận có dạng: thì

với và là những ma trận có được từ ma trận bằng cách thay dòng của

bởi các giá trị và tương ứng.

Ví dụ

8. Nếu có được từ bằng cách cộng k lần hàng (cột) r vào hàng (cột) s (r s) thì .

Ví dụ



9. Nếu là một ma trận tam giác hoặc ma trận đường chéo thì

.

Ví dụ

III. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP Để tính định thức của một ma trận vuông ta có thể dùng công thức khai triển

theo dòng hoặc theo cột. Ngoài ra ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận của định thức cần tính về dạng tam giác rồi áp dụng tính chất 9 hoặc ta có thể vừa áp dụng các phép biến đổi sơ cấp vừa dùng công thức khai triển theo dòng (cột) với

lưu ý :

Nếu e loại 1 thì



Ví d ụ : Tính định thức .= 30

Để tính định thức ta biến đổi để xuất hiện nhiều phần tử bằng 0 trên dòng 1.Ví dụ Tính định thức



IV. HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN

1. Định thức con cấp k của một ma trận Định thức con cấp của một ma trận cấp là một định thức được tạo

thành từ ma trận bằng cách bỏ đi dòng và cột.Ví dụ

có các định thức con cấp sau :

2. Hạng của ma trận

a. Định nghĩa Hạng của một ma trận là cấp lớn nhất của các định thức con khác 0 của và

được kí hiệu là .Ví dụ: Tìm hạng của ma trận

Ta có A có các định thức con cấp :

và một số định thức cấp 2:

….

Như vậy tất cả các định thức con cấp 3 của ma trận A đều bằng 0 và có một định thức con cấp 2 của A khác 0 nên theo định nghĩa r(A) = 2.

b. Định lý Nếu là ma trận bậc thang thì hạng của bằng số dòng khác 0 của nó.

Ví dụ

a. A= , B= là các ma trận bậc thang và

r(A) = 3, r(B) = 2.



b. không là các ma trận bậc

thang.

3. Phương pháp tìm hạng của ma trận

a. Phương pháp định thức bao quanh Khi tìm hạng của ma trận nếu biết một định thức con nào đó khác 0, ta chỉ cần

xét các định thức bao quanh nó mà không cần xét các định thức con khác.

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận .

- Xét định thức con cấp 2 của ma trận A:

Xét các định thứ con cấp 3 bao quanh định thức trên:

Suy ra r(A) = 2.

b. Phương pháp biến đổi sơ cấp về hàng Vì các phép biến đổi sơ cấp trên dòng không làm thay đổi hạng của ma trận nên

ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận đã cho về ma trận bậc thang. Khi ấy hạng của ma trận đã cho là hạng của ma trận bậc thang.Ví dụ

Tính với .

Giải

Vậy vì có dòng khác không.



4. Ứng dụng của định thức a) Nhận diện ma trận khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảoA khả nghịch khi và chỉ khi detA 0 và khi đó:

trong đó .

b) Giải phương trình ma trận: Cho A, B khả nghịch thì

(Với điều kiện các phép nhân tồn tại)

Ví dụ

Cho ;

a/ Tìm .b/ Tìm ma trận biết . Giảia/ Tìm . Cách 1

Lập ma trận:

Vậy .

Cách 2 Dùng qui tắc Sarius tính được: .

Tính các :



b/ Tìm ma trận biết .

Ví dụ

Tìm với .

GiảiLập ma trận mở rộng : .

Vì dòng và dòng của ma trận giống nhau nên

không tồn tại.



Chú ý : Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của không làm thay đổi hạng của nên nếu trong quá trình biến đổi ma trận có một dòng bằng hoặc có hai dòng bằng nhau hay tỉ lệ nhau thì ta kết luận khác cấp của . không có ma trận nghịch đảo.

Ví dụ : . Tìm .

GiảiVì nên không tồn tại.

Ví dụ

. Gọi .

Tính Giải

Ví dụ: Cho ma trận . Tính .

Giảitồn tại .

.



Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHI. Định nghĩa

1. Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có n ẩn số là hệ có dạng:

viết gọn:

trong đó:– là các hệ số cho trước.

– là các hệ số tự do.

– là các ẩn số cần tìm.Đặt :

: ma trận hệ số.

: cột hệ số tự do ; : cột các ẩn.

thì được viết dưới dạng : .

Kí hiệu: : ma trận mở rộng của hệ pttt .

Như vậy biết hệ pttt và ngược lại biết hệ pttt.Đặc biệt:

Nếu là ma trận không thì gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Nếu (số phương trình bằng số ẩn) và thì gọi là hệ phương trình tuyến tính .

Ví dụ: Cho hệ phương trình

Xác định , .Giải



2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Ta nói là một nghiệm của hệ nếu khi thay

vào thì tất cả các đẳng thức trong đều được thoả.

Ví dụ: Cho hệ phương trình

thì là nghiệm của hệ.Chú ý

Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp nghiệm xảy ra là:

o hoặc hệ có nghiệm duy nhấto hoặc hệ vô nghiệm o hoặc hệ có vô số nghiệm.

Đối với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất thì chỉ có một trong hai trường hợp nghiệm xảy ra là:

o hoặc hệ có nghiệm tầm thường . o hoặc hệ có vô số nghiệm.

3. Hai hệ phương trình tương đương Định lý

Hai hệ phương trình tuyến tính (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu nó có cùng tập hợp nghiệm.

Như vậy hai hệ phương trình tương đương nhau nếu:Cả hai hệ đều vô nghiệm.Hoặc mỗi nghiệm của hệ thứ nhất cũng là nghiệm của hệ thứ hai và ngược lại.

Định lýCho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên có ma trận mở rộng

lần lượt là và ( )C C D .

Khi đó, nếu A C (nghĩa là ) thì hai hệ trên tương đương nhau.

Do đó để giải các hệ phương trình tuyến tính ta dùng:các phép biến đổi tương đương để đưa hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn nhưng tương đương với nó. hoặc dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận mở rộng về một ma trận tam giác hoặc ma trận bậc thang.



Các phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình tuyến tính

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận mở rộng

1. Đổi chỗ các phương trình trong hệ.2. Nhân hai vế của một phương trình trong

hệ với một số khác không, còn các phương trình khác giữ nguyên.

3. Cộng vào hai vế của một phương trình trong hệ các vế tương ứng của một phương trình khác trong hệ sau khi đã nhân hai vế với cùng một số, còn các phương trình khác giữ nguyên.

4. Bỏ đi những phương trình trong hệ có tất cả các hệ số bằng 0.

1. Đổi chỗ các dòng của ma trận rộng.2. Nhân một dòng của ma trận mở rộng

với một số khác không, còn các dòng khác giữ nguyên.

3. Cộng vào một dòng của ma trận mở rộng với các phần tử tương ứng của một dòng khác sau khi đã nhân với cùng một số, các dòng khác giữ nguyên.

4. Bỏ đi những hàng có tất cả các phần tử bằng 0.

II. Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm

Định lý Cronecker - CapelliHệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số A

bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng .

Vì so với nhiều hơn một cột (cột ), nên nói chung: .

Theo định lý Cronecker Capelli ta có:

: hệ phương trình vô nghiệm.

: hệ có nghiệm và

: có nghiệm duy nhất.

: hệ có vô số nghiệm và ẩn tự do.

III. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 1. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Phương pháp Gauss)

a. Hệ tam giác i. Định nghĩa

Hệ tam giác có dạng:



Ma trận mở rộng

ii. Cách tìm nghiệm

Vì nên hệ có nghiệm duy nhất. Để tìm nghiệm ta

xác định lần lượt theo thứ tự từ phương trình dưới lên trên.

Ví dụ: Hệ phương trình

có ma trận mở rộng là và nghiệm duy nhất là .

b. Hệ hình thang i. Định nghĩa

Hệ hình thang gồm k phương trình, n ẩn là hệ có dạng:

Ma trận mở rộng :

ii. Cách tìm nghiệm

Vì nên hệ hình thang gồm k phương trình, n ẩn có

vô số nghiệm. Để tìm nghiệm ta chọn k ẩn chính, giả sử là ,

thì các ẩn còn lại là ẩn tự do ta chuyển sang vế phải để đưa hệ về dạng tam giác.



Gán cho các ẩn các giá trị tuỳ ý để tìm các các ẩn còn

lại .

Ví dụ : Giải hệ phương trình

Giải

Hệ phương trình đã cho có ma trận mở rộng là .

Vì < 4 nên hệ có vô số nghiệm.

Từ hệ đã cho

Vậy hệ có 2 ẩn tự do là và 2 ẩn chính . Do đó hệ có vô số nghiệm xác định bởi:

c. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

theo phương pháp Gauss ta khử dần các ẩn số để đưa về hệ tam giác hoặc hệ hình thang (chú ý sử dụng định lý Cronecker Capelli).

Chú ýKhi dùng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận mở rộng nếu xuất hiện một dòng có dạng: với thì hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

Giải



Như vậy, hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ:

Ví dụ: Giải hệ phương trình

bằng phương pháp Gauss như sau:

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.


mâu thuẫn


Ví dụ: Giải hệ phương trình:

Hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ



Vậy hệ có 2 ẩn tự do là và 3 ẩn chính là . Do đó hệ có vô số nghiệm xác định bởi:

Ví dụ : Giải hệ phương trình .

Giải

Ta có:

Lập ma trận mở rộng :

Ví dụ: Giải hệ phương trình .



Ví dụ : Chứng minh hệ phương trình vô nghiệm.

Vì nên hệ vô nghiệm.

2. Thuật Toán Gauss – Jordan Quy tắc thực hiện:Đưa ma trận mở rộng về dạng ma trận bậc thang rút gọn (ma trận bậc thang rút

gọn là ma trận bậc thang mà phần tử khác không đầu tiên của dòng khác không là 1, còn các phần tử trên cột đó đều bằng 0).

Từ ma trận bậc thang rút gọn ta có hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ phương trình đã cho, giải hệ này ta có nghiệm của hệ phương trình.


GiảiLập ma trận mở rộng :



Vậy nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là : .

3. Thuật toán Cramer (chỉ dùng khi số ẩn bằng số phương trình) Giải hệ phương trình:

Đặt:

Để giải hệ bằng thuật toán Cramer ta làm như sau:

Tính: , ( có được bằng cách thay cột của bằng cột

hệ số tự do B).

Nếu : hệ phương trình có duy nhất nghiệm .

Nếu hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu thì hệ phương trình có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Lúc này phải quay lại giải bài toán bằng thuật toán Gauss hoặc Gauss – Jordan.Chú ý:

Ta có thể giải hệ phương trình Cramer theo phương pháp ma trận.Vì AX = B là hệ Cramer nên det(A) ≠ 0 suy ra tồn tại nên nghiệm là



Ví dụ: Giải hệ phương trình

hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy .

Ví dụ: Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

GiảiYêu cầu bài toán .

Ta có:

Vậy .Ví dụ: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình sau:

Giải



Biện luận:

Nếu Hệ có nghiệm duy nhất.

Nếu

Với : ta có Hệ vô nghiệm.

Với : ta có Áp dụng phương pháp Gauss để có kết quả chính xác.



Hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ

Vậy với hệ có vô số nghiệm

Ví dụ: Biện luận theo số nghiệm của hệ phương trình sau:

Giải

hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

hệ phương trình có vô số nghiệm.

hệ phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát bằng cách kết hợp cả các phương pháp trên.


Vì nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số, chọn x3, x4 làm tham

số ta có hệ:



Do đó

Vậy nghiệm của hệ là:

BÀI TẬP PHẦN MA TRẬN



1. Cho các ma trận:

, , ,

a) Có thể lập được tích của những ma trận nào trong 4 ma trận trên ?b) Hãy tính CDBA. Cấp của ma trận tích là bao nhiêu ?c) Có thể tính được các tích DBAC, ACDB không? Nếu được thì cấp của

nó là bao nhiêu ?2. Thực hiện phép nhân AB, BA (nếu có) trong đó :

a) ,

b) ,

3. Cho ma trận

Hãy tính BBT, BTB, B2, B3. Chứng minh Bn = với n ≥ 3.4. Tính:

,

5. Hãy tìm f(A) với f(x) = x2 – 5x + 3 với

BÀI TẬP PHẦN ĐỊNH THỨC1. Tính định thức cấp 2:

, , ,

2. Tính định thức:

,


,




,

5. Hãy tính định thức:

,

6. Tìm x từ các phương trình sau:

a) b)


, ,

,

8. Tính định thức cấp n:

,

,

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1. Tìm ma trận nghịch đảo:

, , ,

2. Tìm ma trận ngịch đảo :

, , ,



3. Tìm ma trận X biết :

a) , b)

4. Tìm ma trận X thoả mãn phương trình:

5. Tìm tất cả giá trị của p sao cho A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo.

HẠNG CỦA MA TRẬN1. Tìm hạng của ma trận :

,

2. Tìm hạng của ma trận :

; ;

;

3. Xác định hạng của ma trận A sau tùy thuộc giá trị của tham số (tham số là một số thực) :

,

4. Xác định hạng của ma trận :

5. Chứng minh rằng:



a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

6) Tính giá trị các định thức sau:



a) b) c)

d)

f)

e)

CHƯƠNG II

KHÔNG GIAN VECTƠ

BÀI 1. KHÔNG GIAN VECTƠ n CHIỀUIV. VECTƠ n CHIỀU VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ

1. Vectơ n chiều Một bộ n số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một vectơ n - chiều.

Ta thường dùng các chữ cái in hoa , , , , , , ,A B C X Y Z để kí hiệu cho vectơ.

Có hai cách viết bộ n số thực của vectơ

Theo hàng ngang: 1 2( , , , )nX x x x - còn gọi là vectơ dòng.

Theo hàng dọc:

1

2

n

x

xX

x

- còn gọi là vectơ cột.



Trong đó, ( 1, , )jx j n gọi là tọa độ thứ j hay là thành phần thứ j của

vectơ X .

Vectơ không là vectơ có tất cả các thành phần đều bằng không, kí hiệu 0 hoặc .

Vậy 0 (0,0, ,0)

hay 0 (0,0, ,0) .

Vectơ đối của vec tơ , kí hiệu là và được xác định như sau:

Mỗi vectơ n chiều có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần khác đều bằng 0 gọi là vectơ đơn vị n chiều và kí hiệu Ei

.

Hai vectơ n chiều 1 2( , , , )nX x x x và 1 2( , , , )nY y y y được gọi là bằng

nhau và viết là X Y , khi và chỉ khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một, tức là:

, 1,j jX Y x y j n

Ví dụ : Cho hai vectơ ( , , )X a b c và (0,5,8)Y

0

5

8

a

X Y b

c

2. Các phép toán vectơ

a. Phép cộng

Tổng hai vectơ n - chiều 1 2( , , , )nX x x x và 1 2( , , , )nY y y y là một

vectơ n - chiều, kí hiệu là X Y có các tọa độ bằng tổng các tọa độ tương ứng của chúng, tức là:

1 1 2 2( , , , )n nX Y x y x y x y

b. Phép nhân vectơ với một số thực

Tích của một số thực k với một vectơ n - chiều 1 2( , , , )nX x x x là một

vectơ, kí hiệu là kX , có các tọa độ là tọa độ của X được nhân với k , tức là:

1 2( , , , )nkX kx kx kx

Ví dụ : a) Cho vaø .



b) Cho (1, 2, 1)X và 1

2k ta có

1 1, 1,

2 2kX

Các tính chất của phép cộng và nhân

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

c. Phép trừ vectơ

Hiệu hai vectơ n - chiều 1 2( , , , )nX x x x và 1 2( , , , )nY y y y là một

vectơ n - chiều, kí hiệu là và được xác định như sau:

3. Không gian vectơ Định nghĩa. Giả sử V là tập hợp bất kỳ, V . Nếu trên V được trang bị hai

phép toán: Phép cộng (kí hiệu “+”) hai phần tử của V :

, :X Y V X Y V Phép nhân (kí hiệu “.”) phần tử của V với số thực:

, :X V k kX V

thoả mãn 8 tính chất:

1. , :X Y V X Y Y X

2. , , : ( ) ( )X Y Z V X Y Z X Y Z 3. Tồn tại phần tử 0 V , sao cho: : 0X V X X 4. ,X V tồn tại một vectơ đối, kí hiệu là X , thoả ( ) 0X X

5. , 1.X V X X

6. , , : ( ) ( )X V k l k lX kl X

7. , , : ( )X V k l k l X kX lX

8. , , : ( )X Y V k k X Y kX kY thì ta gọi V cùng hai phép toán trên là một không gian vectơ trên R và phần tử của V được gọi là vectơ.

Kí hiệu ( , ,.)V gọi là không gian vectơ V trên R.



Ví dụ: a) R với phép cộng và phép nhân thông thường là không gian vectơ trên chính

nó.b) Tập hợp các ma trận vuông cấp 2 với phép toán cộng hai ma trận và nhân ma

trận với một số thực là một không gian vectơ trên R.c) Tập hợp các vectơ trong không gian Oxyz với phép cộng vectơ và phép nhân

vectơ với một số thực thông thường là một không gian vectơ 3 chiều trên R, kí hiệu

4. Không gian vectơ n chiều

Định nghĩa. Tập hợp các vectơ n chiều với hai phép toán: phép cộng hai vectơ và phép nhân vectơ với một số thỏa mãn 8 tính chất nêu trên gọi là không gian vectơ n

chiều, kí hiệu n .

5. Không gian vectơ con Định nghĩa. Giả sử V là một không gian vectơ trên R. Tập con W khác rỗng

của V được gọi là không gian vectơ con (hay không gian con) của không gian vectơ V nếu 2 điều kiện sau được thỏa mãn:

i) Nếu X, Y W thì X + Y W.

ii) Nếu X W thì k.X W. ( k R ).

Hai điều kiện trên có thể gộp chung thành : Nếu X, Y W thì k.X+lY W. ( k, l R ).

Ví dụ a) Không gian vectơ V bất kỳ đều có hai không gian con là bản thân tập V và

tập {0} gồm chỉ vectơ không. Các không gian con này được gọi là không gian con tầm thường.

b) W= là không gian vectơ con của M2 (tập các ma trận vuông

cấp 2).c) Tập các đường thẳng đi qua gốc toạ độ là không gian vectơ con của R2.

d) Tập là không gian vectơ con của R3.

e) Tập các nghiệm của hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn là không gian con của Rn.

f) Tập không là không gian con của R3.



V. MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ

1. Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa. Cho là các vectơ của không gian vectơ . Ta nói

vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ nếu tồn tại

sao cho:

Chú ý: Nếu X là tổ hợp tuyến tính của các vec tơ vectơ X

1,

X

2

, …,X

m

thì ta còn nói X

biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X

1,

X

2

, …,X

m

.

Ví dụ. a) Cho và .

Vectơ X là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2 3, ,X X X vì 1 2 32X X X X b) Trong không gian vectơ R2 cho các vectơ: X = ( 2,3), X1 = ( 0,1), X2 = ( 1,1).Ta thấy X = X1 + 2X2. Vậy X là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ X1, X2.

Lưu ý: Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ bất kì các vectơ 1 2, , , nX X X .

2. Hệ sinh Định nghĩa. Hệ vectơ S được gọi là hệ sinh của hệ vectơ M nếu mọi vectơ

trong M là tổ hợp tuyến tính của những vectơ trong S.

Ví dụ. Trong 2 , xét 21 2(1,0), (0,1)S X X . Mọi 2X viết được như

sau:

1 2( , ) (1,0) (0,1)X a b a b aX bX

nghĩa là X là một tổ hợp tuyến tính của 1 2,X X .

Vậy S là một hệ sinh của 2 .

3. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính,

a. Các định nghĩa

Định nghĩa. Hệ vectơ được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn

tại m số thực k1, k2, …, km không đồng thời bằng 0 sao cho:

Định nghĩa. Hệ các vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập

tuyến tính, nghĩa là các vectơ độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu đẳng

thức:



chỉ thỏa mãn khi k1 = k2 =…= km = 0

Ví dụ. Hệ phụ thuộc tuyến tính vì:

3(1,2,1) 2(1,1,2) (1,4, 1) 0

b. Các phương pháp xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một họ vectơ

Dùng định nghĩa : Để xét sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của một họ vectơ ta giải hệ phương trình:

với các ẩn số là .

Nếu hệ có nghiệm duy nhất k1 = k2 =…= km = 0 thì hệ vectơ

1 2, , , mX X X độc lập tuyến tính.

Nếu hệ không có nghiệm duy nhất (tức có nghiệm không tầm thường)

thì hệ vectơ 1 2, , , mX X X phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ Hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

a. 41 2 3( 5,1,2,7), (1, 2,5, 4), (2,4,1,6)S X X X

b.

41 2 3(3, 4,1,7), ( 2,6,8, 1), ( 13,24,13, 23)T X X X

Giải

a. Xét phương trình 1 1 2 2 3 3 0k X k X k X

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( 5,1,2,7) (1, 2,5, 4) (2,4,1,6) (0,0,0,0)

5 2 0

2 4 0

2 5 0

7 4 6 0

k k k

k k k

k k k

k k k

k k k

Ma trận hoá hệ phương trình, ta có:



Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 2 3( , , ) (0,0,0)k k k Vậy S là tập độc lập tuyến tính.

b. Xét phương trình 1 1 2 2 3 3 0k X k X k X

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(3, 4,1,7) ( 2,6,8, 1) ( 13,24,13, 23) (0,0,0,0)

3 2 13 0

4 6 24 0

8 13 0

7 23 0

k k k

k k k

k k k

k k k

k k k

Ma trận hoá hệ phương trình, ta có:

4(2) (2) (1)

31

(3) (3) (1)37

(4) (4) (1)3

3(2) (2)

103

(3) (3)263

(4) (4)11

3 2 13 3 2 13

4 6 24 0 10 3 20 3

1 8 13 0 26 3 52 3

7 1 23 0 11 3 22 3

3 2 13

0 1 2

0 1 2

0 1 2

(3) (3) (2)(4) (4) (2)

3 2 13

0 1 2

0 0 0

0 0 0



Hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ:

3

2 3

1 2 3

2 2

2 133

3 3

k a

k k a

k k k a

Vậy phương trình 1 1 2 2 3 3 0k X k X k X có vô số nghiệm nên T là tập phụ

thuộc tuyến tính. Dùng ma trận

Để xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của họ vectơ :

1 2, , , ( , ,.)nmS X X X

ta lập ma trận có các cột là các vectơ rồi tìm hạng của

.

Nếu thì S độc lập tuyến tính.

Nếu thì S phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý : Nếu m n thì là ma trận vuông nên có thể giải bằng cách khác :

S độc lập tuyến tính khả nghịch

S phụ thuộc tuyến tính không khả nghịch

Ví dụ Dựa vào tham số k xét tính phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của hệ

vectơ sau:

31 2 3(1, 2, ), (2, 2,1), (2, 5, 1)S X k X k X k k

GiảiCách 1:Tìm r(A)



Ta có :

Do đó hệ độc lập tuyến tính khi và phụ thuộc tuyến tính khi

Cách 2: Dùng định thức

Ta tính được det ( 1)( 3)A k k Biện luận:

● S độc lập tuyến tính

● S phụ thuộc tuyến tính

c. Các định lí cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính

Định lí. Điều kiện cần và đủ để hệ vectơ phụ thuộc tuyến

tính là có ít nhất một vectơ của hệ biểu diễn tuyến tính được qua các vectơ còn lại.

Hệ quả.

a. Một hệ có chứa vectơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính.



b. Một hệ chỉ gồm một vectơ khác vectơ 0 thì độc lập tuyến tính (hay hệ độc lập tuyến tính thì không chứa vectơ 0).

c. Một hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính.

d. Một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó là độc lập tuyến tính.

e. Nếu trong một hệ có hai vectơ nào đó tỉ lệ thì hệ phụ thuộc tuyến tính.Ví dụ:

a. Hệ {(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1)}: phụ thuộc tuyến tính.b. Hệ {(1,1,0),(3,-5,0),(0,1,1), (1, 2, 1)}: phụ thuộc tuyến tính.

Định lí. Trong không gian mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn số chiều n đều

là hệ phụ thuộc tuyến tính.

BÀI 2. CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

MA TRẬN ĐỔI CƠ SỞ

VI. Cơ sở của không gian vectơ

1. Cơ sở của không gian vectơ

Định nghĩa. Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính và có số vectơ đúng bằng

n được gọi là một cơ sở của không gian n .

Ví dụ

Trong không gian n , tập các vectơ

1 2(1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1)n

là một cơ sở của n .

Cơ sở này được gọi là cơ sở đơn vị hay cơ sở chính tắc của không gian vectơ n chiều.

Ví dụ. Tập 1 2(2,1), (3,0)A X X có phải là cơ sở của không gian 2 không?

- Tập A có hai vectơ hai chiều.- Kiểm tra xem hệ vectơ trên có độc lập tuyến tính không?

Ta có nên hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính.

Vì vậy, A là cơ sở của không gian 2 .

Định lý. Mọi vectơ X của không gian vectơ n chiều n đều viết được một

cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của những vectơ cơ sở.Chứng minh



Giả sử 1 2, , , n là một cơ sở của không gian vectơ n . Khi đó

1 2, , , ,n X là 1n vectơ phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại 1 2, , , ,nk k k k , không phải tất cả đều bằng 0 sao cho:

1 1 2 2 0n nk k k k

Nếu 0 thì 1 1 2 2 0n nk k k

Vì 1 2, , , n độc lập tuyến tính nên suy ra 1 0nk k

Vậy 0 , suy ra 11

nn

k kX

k k

Đặt , 1,ii

kx i n

k nhận được 1 1 2 2 n nX x x x

Sự biểu diễn X qua các vectơ 1 2, , , n là duy nhất vì nếu

1 1 2 2 n nX y y y thì 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0n n nx y x y x y Từ đó suy ra

1 1 2 2 0n nx y x y x y

hay 1 1 2 2, , , n nx y x y x y Ví dụ

Trong không gian 2 có cơ sở 1 2(2,1), (1, 2) và vectơ

(4,1)X . Biểu diễn X qua cơ sở ?

Giải Xét hệ phương trình:

1 1 2 2

1 2

11 2

1 22

(2,1) (1, 2) (4,1)

92 4 5

2 1 2

5

k k X

k k

kk k

k kk

Vậy X biểu diễn tuyến tính qua cơ sở : 1 2

9 2

5 5X

2. Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở

Định nghĩa. Một bộ n số thực 1 2( , , , )nk k k thỏa mãn hệ thức:

1 1 2 2 n nX k k k

được gọi là toạ độ của vectơ X trong cơ sở 1 2, , , n .



Kí hiệu: hay

Ví dụ. Trong không gian 3 cho vectơ và cơ sở

1 2 3(1, 2,2), (2, 3,6), (1,1,7)

Hãy tìm toạ độ của vectơ X trong cơ sở ?Giải

Đặt

1

2

3

[ ]

k

X k

k

, ta xét hệ thức:

Ma trận hoá hệ phương trình trên ta được:

(2) (2) 2(1)(3) (3) 2(1)

(3) (3) 2(2)

1 2 1 0 1 2 1 0

2 3 1 3 0 1 3 3

2 6 7 4 0 2 5 4

1 2 1 0

0 1 3 3

0 0 1 2

Hệ phương trình tương đương nhận được có dạng sau:

1 2 3 1

2 3 2

3 3

2 0 4

3 3 3

2 2

k k k k

k k k

k k

Vậy

4

[ ] 3

2

X

Chú ý. Toạ độ của một vectơ phụ thuộc vào cơ sở mà ta đang xét, toạ độ của một vectơ thay đổi khi ta thay đổi cơ sở.



3. Cơ sở của một không gian con

Cho L là không gian con của không gian n .

Định nghĩa. Một hệ vectơ P1, P2, …, Pr của không gian L được gọi là một cơ sở của nó nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. P1, P2, …, Pr độc lập tuyến tính.2. Mọi vectơ đều biểu diễn tuyến tính qua P1, P2, …, Pr.Chú ý. Một không gian con có nhiều cơ sở, số vectơ trong mỗi cơ sở là như

nhau.Định nghĩa. Số vectơ trong một cơ sở của một không gian con L của không gian

n được gọi là số chiều của không gian con đó. Không gian con L có số chiều bằng r

được gọi là không gian con r chiều. Kí hiệu dim(L) = r.

Ví dụ

Cho L là tập hợp con của không gian vectơ xác định bởi:

a. Chứng minh L là một không gian con của .

b. Chứng minh là cơ sở của L, suy ra dim (L).

Giải

a. Để chứng minh L là không gian con của ta phải chứng minh:

b. Để chứng minh là cơ sở của L ta phải

chứng minh:

(i) độc lập tuyến tính

(ii) Mọi vectơ đều biểu diễn tuyến tính qua .

VII. Hạng của một hệ vectơ

1. Cơ sở của một hệ vectơ Định nghĩa. Cho một hệ m vectơ n chiều: {X1, X2, …, Xm}. Cơ sở của hệ {X1,

X2, …, Xm} là một hệ con của nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:(i). Độc lập tuyến tính(ii). Mọi vectơ của hệ đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ con đó.

Ví d ụ . Cho hệ {X1, X2, X3, X4} với:

X1 = (1, 2, 0, 1)X2 = (1, 3, 2, 0)



X3 = (2, 3, –2, 3) X4 = (1, 4, 4, –1)

Hệ {X1, X2}là cơ sở của {X1, X2, X3, X4} vì:- {X1, X2} độc lập tuyến tính.- Mọi vectơ của hệ {X1, X2, X3, X4} đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ

X1, X2.Thật vậyX1 = 1.X1 + 0.X2

X2 = 0.X1 + 1.X2

X3 = 3.X1 – 1.X2

X4 = (–1).X1 +2.X2

Chú ý. Một hệ vectơ có thể có nhiều cơ sở khác nhau, tuy nhiên số vectơ trong mỗi cơ sở là bằng nhau.

Ở ví dụ trên ta có thể chọn hệ {X1, X2}hoặc hệ {X1, X3}hoặc hệ {X1, X4}hoặc hệ {X2, X4}hoặc hệ {X3, X4}làm cơ sở đều được.

2. Hạng của một hệ vectơ Định nghĩa. Hạng của một hệ vectơ là số vectơ cơ sở của một hệ vectơ đó. Kí

hiệu hạng của hệ vectơ là r.Ví d ụ . Hạng của hệ vectơ {X1, X2, X3, X4} với:

X1 = (1, 2, 0, 1), X2 = (1, 3, 2, 0), X3 = (2, 3, –2, 3), X4 = (1, 4, 4, –1) là 2.

3. Các định lí cơ bản về hạng của một hệ vectơ Định lí. Nếu hạng của một hệ m vectơ n chiều là r thì mọi hệ con của nó có số

vectơ lớn hơn r đều phụ thuộc tuyến tính.Định lí. Nếu hạng của một hệ m vectơ n chiều là r thì mọi hệ con của nó gồm r

vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của nó.Định lí. Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của một hệ vectơ.

4. Ứng dụng định thức và ma trận để khảo sát một hệ vectơ Muốn khảo sát một hệ vectơ, ta lập ma trận nhận hệ vectơ đó làm hệ vectơ hàng

hoặc hệ vectơ cột, khi đó:- Ta tìm hạng của hệ vectơ thông qua việc tìm hạng của ma trận.- Xác định cơ sở của một hệ vectơ thông qua định thức con cơ sở của ma trận.- Nhận biết hệ phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính căn cứ vào hạng và

số vectơ của hệ.

Ví d ụ . Cho hệ vectơ với:



a. Tìm hạng và cơ sở của hệ vectơ trên.b. Biểu diễn các vectơ còn lại của hệ qua cơ sở trên.Giải

a. Lập ma trận , tìm r(A).

Vậy r(A) =2 và cơ sở của hệ là .

b. Biểu diễn qua . Ta có :

Giải phương trình X2 = k1X1 + k2X4 và X3 = k1X1 + k2X4 để tìm k1 và k2.Ta có thể viết dưới dạng ma trận sau :

Suy ra các hệ phương trình sau:



VIII. MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ

1. Ma trận chuyển cơ sở

Xét n có hai cơ sở 1 2, , , n và 1 2, , , n . Lập ma

trận vuông P trong đó cột thứ j là toạ độ của vectơ j trong cơ sở :

1

2[ ]

j

j

j

nj

a

a

a

,

nghĩa là:

11 12 1

21 22 21 2

1 2

([ ] [ ] [ ] )

n

nn

n n nn

a a a

a a aP

a a a

Ta gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ sang và kí hiệu là ( )P .

Ví dụ. 3 có hai cơ sở :

1 2 3

1 2 3

, ,

, ,

.

Biết rằng:

1 1 2 3

2 1 3

3 1 2 3

17

39 5

82 4

5

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang ?

GiảiTa có :

Lập 1 2 3

81 9 5( ) ([ ] [ ] [ ] ) 7 0 2

1 5 43

P



2. Tính chất n là một không gian vectơ n chiều và , , là các cơ sở của n . Khi đó,

ta có các khẳng định sau:

i. ( ) nP I

ii. ( )P khả nghịch và 1( ) [ ( )]P P

iii. ( ) ( ). ( )P P P Ví dụ

a. 3 có cơ sở 1 2 3, ,

Ta có:

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Vậy 1 2 3 3

1 0 0

( ) ([ ] [ ] [ ] ) 0 1 0

0 0 1

P I

b. 2 có các cơ sở , , với

2 3( )

7 1P

và

4 5( )

6 9P

Tính ( )P và ( )P ?

Giải1

1 2 3 1 3 1 31 1( ) [ ( )]

7 1 7 2 7 223 23P P

2 3 4 5 26 17( ) ( ). ( ) .

7 1 6 9 22 44P P P

3. Công thức đổi toạ độ n là một không gian vectơ n chiều và n có các cơ sở và . Ta có:

:[ ] ( ).[ ]nX X P X

Ví dụ

2 có các cơ sở , với 2 3

( )7 1

P

. Xét vectơ 2X có

2[ ]

7X

. Hỏi [ ] ?X

GiảiTheo công thức đổi toạ độ, ta có:



[ ] ( ).[ ]

2 3 2.

7 1 7

25

7

X P X

Vậy 25

[ ]7

X

4. Phương pháp tìm ma trận đổi cơ sở

a. Toạ độ vectơ trên cơ sở chính tắc n là một không gian vectơ n chiều và n có cơ sở chính tắc:

1 2(1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1)n .

Giả sử 1 2( , , , ) nnX X X X , ta có: 1 1 2 2 n nX X X X

hay

1

2[ ]

n

X

XX

X

Toạ độ vectơ trên cơ sở chính tắc là trường hợp đơn giản nhất.

b. Ma trận chuyển cơ sở trong nn là một không gian vectơ n chiều và n có các cơ sở 1 2, , , n

và 1 2, , , n .

Ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ sang như sau:

1 2( ) ([ ] [ ] [ ] )nP vì quá trình này rất phức tạp, ta phải giải một hệ gồm n phương trình với n ẩn số. Để

đơn giản ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở và như sau:

1 2( ) ([ ] [ ] [ ] )nH P

1 2( ) ([ ] [ ] [ ] )nK P Dùng tính chất (iii) ta tìm được

1

1

( ). ( )

[ ( )] .

.

L P P

P K

H K

Ví dụ



Trong không gian 3 , cho hai hệ vectơ:

1 2 3( 3,4,6), (0,1,1), (2, 3, 4)

1 2 3(3,4,9), (2,1,2), ( 7,1,4)

a. Giải thích , là hai cơ sở của 3 ?

b. Tìm ( )L P ?

c. Xét 3X có

2

[ ] 1

9

X

. Tìm vectơ X ?

d. Xét 3( 5,0,8)Y . Hỏi [ ] ?Y

Giải

a. Giải thích , là hai cơ sở của 3 ?

Lập ma trận

1

3 3 2

3

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A

và

1

3 3 2

3

3 4 9

2 1 2

7 1 4

B

Ta thấy det 1 0A và det 1 0B . Vậy , là hai cơ sở của 3 .

b. Tìm ( )L P ?3 có cơ sở chính tắc 1 2 3(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở :

1 2 3( ) ([ ] [ ] [ ] )

3 0 2

4 1 3

6 1 4

H P

Tính 1

1 2 2

2 0 3

2 1 3

H

Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở :

1 2 3( ) ([ ] [ ] [ ] )

3 2 7

4 1 1

9 2 4

K P

Khi đó:



1

1

( ). ( )

[ ( )] .

.

1 2 2 3 2 7

2 0 3 . 4 1 1

2 1 3 9 2 4

29 8 3

33 10 2

37 11 1

L P P

P K

H K

c. Xét 3X có

2

[ ] 1

9

X

. Tìm vectơ X ?

Ta có:

1 2 32 9

2(3,4,9) (2,1,2) 9( 7,1,4)

( 67,2,20)

X

d. Xét 3( 5,0,8)Y . Hỏi [ ] ?Y

Cách 1: Đặt [ ]

u

Y v

w

2 3

( 5,0,8) ( 3,4,6) (0,1,1) (2, 3, 4)

3 0 2 5 11

4 3 0 14

6 4 8 14

Y u v w

u v w

u v w u

u v w v

u v w w

Vậy

11

[ ] 14

14

Y

Cách 2: Do ( 5,0,8)Y nên

5

[ ] 0

8

Y



Mà

1 2 2 5 11

[ ] ( ).[ ] 2 0 3 . 0 14

2 1 3 8 14

Y P Y

Vậy

11

[ ] 14

14

Y

.

Chương III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

BÀI 1. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG

IX. Giá trị riêng, vectơ riêng, không gian con riêng

1. Toán tử tuyến tính Định nghĩa

Cho V và 'V là hai không gian vectơ tùy ý. Ánh xạ : 'f V V được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau :

i) Với mọi , :x y V f x y f x f y

ii) Với mọi , :x V f x f x

Ví dụ1) Chứng minh ánh xạ 3 2:f xác định bởi : 1 2 3 1 2 3, , 2 ,f x x x x x x

là toán tử tuyến tính.2) Chứng minh ánh xạ 3 2:f xác định bởi :

không là toán tử tuyến tính.

2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa

Cho V là không gian vectơ n chiều, V là không gian vectơ m chiều và :f V V là toán tử tuyến tính. Giả sử ' ' '

1 2 1 2, ,..., ' , ,...,n mE e e e E e e e vaø là hai cơ sở

của V và V .Khi đó mỗi f (ei) nên đều có thể biểu diễn qua cơ sở 'E , giả sử ta có :



' ' '1 11 1 21 2 1

' ' '2 12 1 22 2 2

' ' '1 1 2 2

...

...

.................................................

...

m m

m m

n n n mn m

f e a e a e a e

f e a e a e a e

f e a e a e a e

Khi đó ma trận A cấp được tạo thành bởi cột thứ i của nó là cột tọa độ của vectơ f (ei) được gọi là ma trận của toán tử tuyến tính f đối với cặp cơ sở E, 'E .

Đặc biệt khi f là một toán tử tuyến tính trên V thì thường chỉ xét ma trận của f trên cùng một cơ sở (và ta thường xét trên cơ sở chính tắc).

Ví dụ. Cho ánh xạ 3 3:f xác định bởi : 1 2 3 1 2 3 3, , 2 , ,f x x x x x x x

1) Lập ma trận của toán tử tuyến tính f đối với cặp cơ sở chính tắc.2) Lập ma trận của toán tử tuyến tính f đối với cơ sở E với :

3. Giá trị riêng, vectơ riêng, không gian con riêng của các toán tử tuyến tính Định nghĩa

Giả sử V là không gian vectơ. Số gọi là giá trị riêng của toán tử tuyến tính :f V V nếu tồn tại vectơ x 0 sao cho f x x .

Vectơ x 0 đó được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng .Định nghĩa

Cho là một giá trị riêng của toán tử tuyến tính f trên không gian vectơ V. Khi đó

E() = {xV / f(x) = x} được gọi là không gian con riêng của f ứng với giá trị riêng .Chú ý: E() \ {0} là tập tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng . Như vậy có vô số vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng .

4. Giá trị riêng, vectơ riêng của các ma trận vuông Định nghĩa

Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại

vectơ 1 2( , ,..., ) 0,0,...,0nx x x x sao cho



Để thuận tiện đôi khi ta viết (*) dưới dạng : , tức xem .Vectơ x 0 đó gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng .

Ví dụ

1) Cho ma trận 3 0

8 1A

. Chứng minh = 3 là giá trị riêng của A ứng với

vectơ riêng 21,2 .x

2) Cho ma trận

1 1 0

0 2 0

2 1 3

B

. Chứng minh = 2 là giá trị riêng của A ứng với

vectơ riêng 1,1,1x .Chú ý : Nếu x là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng thì cx, trong đó c là

một hằng số khác không tùy ý, cũng là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng .Định lý

Giả sử :f V V là toán tử tuyến tính, A là ma trận của f đối với một cơ sở nào đó của V. Ta có :

(i) là giá trị riêng của f là giá trị riêng của A.(ii) x là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng x là vectơ riêng của A

ứng với giá trị riêng .Như vậy bài toán tìm vectơ riêng và giá trị riêng của một toán tử tuyến tính

tương đương với bài toán tìm vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó và ta cũng có thể sử dụng song song ngôn ngữ ma trận và ngôn ngữ toán tử tuyến tính trong các phát biểu.

5. Đa thức đặc trưng của ma trận Định nghĩa

Cho ma trận vuông A cấp n.● Đa thức det A I được gọi là đa thức đặc trưng của A. Kí hiệu

● Phương trình det 0A I được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.● Ma trận được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A.Ví dụ. Hãy tìm phương trình đặc trưng của ma trận

Định lí (Hamiltơn – Cayley) Mọi ma trận đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, nghĩa là :

Ứng dụng : Dùng để tính giá trị của một đa thức ma trận.Cho ma trận A và đa thức f. Bài toán đặt ra là hãy thu gọn f(A) và từ đó tính

f(A). Thực hiện phép chia f() cho ta được:



Ví dụ: Tính .

GiảiĐa thức đặc trưng của A là :

Chia cho ta được dư là

X. Phương pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng, cơ sở của không gian riêng của ánh xạ tuyến tính f (của ma trận A )

Cho f là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V và A là ma trận của f trong cơ sở E. Để tìm các giá trị riêng, vectơ riêng, cơ sở của không gian riêng của f (và của A) ta tiến hành các bước sau :

1. Lập đa thức đặc trưng = det A I .

2. Giải phương trình đặc trưng = 0 để tìm các giá trị riêng .

3. Với mỗi giá trị riêng vừa tìm được, giải phương trình 0A I x (*) để tìm

các vectơ riêng 1 2, ,..., nx x x x ứng với giá trị riêng đó.Không gian nghiệm của phương trình (*) chính là không gian con riêng E(). Do đó mỗi hệ nghiệm cơ bản là một cơ sở của không gian con riêng E().

Ví dụ : Tìm các giá trị riêng, vectơ riêng, cơ sở và số chiều của không gian con riêng

của ma trận

3 2 0

2 3 0

0 0 5

A

.

GiảiPhương trình đặc trưng của ma trận A:

2

3 2 0

det 2 3 0 1 5 0

0 0 5

A I

có nghiệm = 1 và = 5. Vậy các giá trị riêng của A là = 1 và = 5 (bội2).● Với = 1 ta có :

0A I x 1

2

3

2 2 0 0

2 2 0 0

0 0 4 0

x

x

x

1

2

3

,

0

x t

x t t

x

Vậy các vectơ riêng ứng với giá trị riêng = 1 là các vectơ khác không có dạng :



1

1

0 0

t

x t t

.

Cơ sở của không gian con riêng E(1) là vectơ (1, 1, 0) và dim E(1) = 1.● Với = 5 ta có

0A I x 1

2

3

2 2 0 0

2 2 0 0

0 0 0 0

x

x

x

1

2

3

, ,

x t

x t t s

x s

Vậy các vectơ riêng ứng với giá trị riêng = 5 là các vectơ khác không có dạng :1 0

1 0

0 1

t

x t t s

s

.

Cơ sở của không gian con riêng E(5) là {(-1, 1, 0) ;(0, 0, 1)} và dim E(5) = 2.

BÀI 2. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNGXI. Chéo hóa ma trận

1. Định nghĩa Cho ma trận vuông A. Ma trận A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả

đảo P sao cho P-1AP là ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A và A được chéo hóa bởi P.

2. Điều kiện chéo hóa được Định lý

Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.Hệ quả

Nếu A có n giá trị riêng đôi một phân biệt thì A chéo hóa được.Định lý

Ma trận vuông A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng (kể cả bội) và số chiều của tất cả các không gian con riêng bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng.

Nghĩa là nếu A có các giá trị riêng phân biệt với số bội tương ứng là

thì

A chéo hóa được

Ví dụ. Trong các ma trận sau, ma trận nào chéo hóa được ?

1) 0 1

0 2A

2) 2 1

3 0B



Giải1) Phương trình đặc trưng của ma trận A là :

Với = 1, giải phương trình 0A I x ta có vectơ riêng của ma trận A là

00,0

0x hay x

.Vì A chỉ có một vectơ riêng và không độc lập tuyến tính nên A

không chéo hóa được.2) Phương trình đặc trưng của ma trận B là :

22 1det 2 3 0

3

1

3

B I

laø caùc gia ùtrò rieâng cuûa B

● Với = -1, giải phương trình 0B I x ta có vectơ riêng

● Với = 3, giải phương trình 0B I x ta có vectơ riêng

Ta thấy ma trận B có hai vectơ riêng 1 21, 3 1,1x x vaø là hai vectơ độc lập tuyến tính. Vì vậy ma trận B chéo hóa được.

XII. Thuật toán chéo hóa một ma trận Cho ma trận vuông A cấp n. Để chéo hóa ma trận A ta có thuật toán sau :

Bước 1 : Lập đa thức đặc trưng của A và giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng của A.

a) Nếu A không có giá trị riêng nào thì A không chéo hóa được. Thuật toán kết thúc.b) Nếu A có k giá trị riêng khác nhau từng đôi một với số bội

tương ứng là

- Trường hợp thì A không chéo hóa được. Thuật toán kết thúc.- Trường hợp thì làm tiếp bước 2.

Bước 2 : Với mỗi giá trị riêng i, tìm dimE(i).a) Nếu tồn tại i mà dimE(i)< ni thì A không chéo hóa được. Thuật toán kết

thúc.b) Nếu dimE(i) = ni thì A chéo hóa được. Với mỗi i tìm một cơ sở

của không gian con riêng E(i) sau đó làm tiếp bước 3.Bước 3 : Lập ma trận P có các cột là các vectơ cơ sở của các không gian con riêng E(i), . Khi đó P là ma trận làm chéo hóa A.



Ma trận P-1AP là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là các giá trị riêng ứng của A (giá trị riêng i xuất hiện ni lần, ).Ví dụ.

Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận A với

Giải Giải phương trình đặc trưng ta tìm được các giá trị riêng của A là = 5 và = 1.

Với = 1 ta có vectơ riêng 1

1

1

0

p

Với = 5 ta có hai vec tơ riêng 2 3

1 0

1 , 0

0 1

p p

Dễ dàng kiểm tra thấy 1 2 3, ,p p p độc lập tuyến tính, do đó

1 0 1

1 0 1

0 1 0

P

làm chéo hóa ma trận A. Thật vậy :

1

1 1 0 3 2 0 1 0 1 5 0 02 20 0 1 2 3 0 1 0 1 0 5 0

1 1 0 0 5 0 1 0 0 0 102 2

P AP

Ví dụ. Chéo hóa ma trận

3 2

2 1A

GiảiGiải phương trình đặc trưng ta tìm được giá trị riêng của A là = -1.

Với = -1 ta có vectơ riêng 1

1p

Vì không gian riêng của ma trận A là không gian 1 chiều nên A không có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, do đó ma trận A không chéo hóa được.

XIII. Áp dụng tính lũy thừa của ma trận vuông Giả sử A là ma trận chéo hóa được. Khi đó, tồn tại ma trận P không suy biến

sao cho 1P AP là ma trận đường chéo. Đặt



1

1 1

1 mm

m mA PD P

D P AP A PDP

A PDP

Ví dụ. Cho ma trận 3 1

1 3A

. Tính A10 ?

Giải. Vì A là ma trận chéo hóa được nên tồn tại ma trận 1 11 1 2 21

1 1 1 12 2

P P

khoâng suy bieán

Khi đó

BÀI TẬP1. Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận sau :

1 2 1 0) )

2 1 0 1

0 0 1 1 3 4

) 0 1 2 ) 4 7 8

0 0 1 6 7 7

1 1 2 2 1 2

) 4 0 4 ) 5 3 3

1 1 4 1 0 2

1 0 0 0 3 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0) )

0 0 0 0 3 0 5 3

1 0 0 1 4 1 3 1

a e

b f

c g

d h



2. Cho ánh xạ 3 3:f xác định bởi :

1 2 3 1 2 3 2 3 3, , 2 , 2 3 , 4f x x x x x x x x x Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ f.

3. Cho ánh xạ 2 2:f P P xác định bởi :

2 20 1 2 0 1 2 1 2 0 25 6 2 8 2f a a x a x a a a a a x a a x

a) Tìm giá trị riêng của f.b) Tìm cơ sở của không gian riêng của f.

4. Chứng minh rằng = 0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi A là ma trận không suy biến.5. Chứng minh rằng các ma trận sau không chéo hóa được :

6. Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP.

7. Cho 101 0. ?

1 2A A

Tính

8. Cho ma trận 5

1 2 5

0 1 1 . ?

1 3 0

B B

Tính

9. Cho ma trận Tính f(A) biết rằng :

.

10. Cho ma trận Tính f(A) biết rằng :

.



MỤC LỤCChương I: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH .1Bài 1. MA TRẬN................................................................................ 1

I.. MA TRẬN 1II.. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 3III. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP- MA TẬN BẬC THANG 7

BÀI 2. ĐỊNH THỨC...........................................................................9I. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG

9II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 11III. TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP 13IV. HẠNG CỦA MA TRẬN 14

BÀI 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH................................19I. ĐỊNH NGHĨA 19II. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM 21III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 21



BÀI TẬP ............................................................................................33Chương II: KHÔNG GIAN VECVƠ ............................................ 38Bài 1. KHÔNG GIAN VECVƠ n CHIỀU......................................38

I..VECVƠ n CHIỀU KHÔNG GIAN VECVƠ 38 II.. MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH 41

BÀI 2. CƠ SỞ- MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ...............................46I. CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN 46 II. HẠNG CỦA HỆ VECTƠ 50 III. MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 52

Chương III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ............................................58Bài 1. GIÁ TRỊ RIÊNG - VECVƠ RIÊNG....................................58

I..GIÁ TRỊ RIÊNG - VECVƠ RIÊNG 58 II.. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG - VECVƠ RIÊNG 61

BÀI 2. CHÉO HOÁ MA TRẬN VUÔNG.......................................46I..CHÉO HÓA MA TRẬN 62 II. THUẬT TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 63III. ÁP DỤNG TÍNH LŨY THỪA MA TRẬN VUÔNG 64BÀI TẬP65


Documents

Toan Cao Cap A2