2

Hladinové (rovňové) plochy

Plochy, ve kterých je stálý statický tlak. Při posunu po takové ploše je přírůstek tlaku dp = 0. Hladinová plocha musí být všude kolmá ke směru výsledného zrychlení.

Tlak v kapalině, na niž působí pouze gravitační síla země

Hydrostatický tlak v hloubce h

ghp

Celkový statický tlak v hloubce h

ghpp 0vs

kde pv je vnější tlak na hladinu. Vydělením rov. g dostaneme vyjádření v

hg

p

g

p 0vs

Veličina p/g má délkový rozměr a nazývá se tlaková výška; tlak lze převést na výšku sloupce kapaliny a tím ho graficky znázornit, nebo je možné ho sloupcem kapaliny měřit. Při volné hladině vnější tlak pv0 = pa, kde pa je atmosférický tlak, což je nejčastější tlak okolního prostředí.

3

Normální atmosférický tlak smluvená střední hodnota atmosférického tlaku na mořské hladině:

pn = 1,0132472.105 Pa Přetlak pp rozdíl tlaku statického a atmosférického:

asp ppp , když as pp

Podtlak pva rozdíl tlaku atmosférického a statického:

sava ppp , když as pp

4

Spojité nádoby Spojité nádoby se řeší sestavením rovnice tlakové rovnováhy ke zvolené rovňové ploše

5

Hydrostatická síla

Hydrostatická síla vzniká působením hydrostatického tlaku na plochu. Na tuto plochu působí vždy kolmo.

Hydrostatická síla na rovinnou, vodorovnou plochu

ZTgVghSF

kde VZT je objem zatěžovacího tělesa a S je tlačená plocha. Hydrostatická síla se rovná tíze sloupce kapaliny, jehož základnou je tlačená plocha a výškou hloubka plochy pod hladinou, tj. rovná se tíze zatěžovacího tělesa. Hydrostatická síla působí vždy v těžišti zatěžovacího tělesa.

6

Hydrostatická síla na rovinnou, šikmou plochu

SgzF T

kde zT je hloubka těžiště zatěžované plochy pod hladinou. Hydrostatická síla je opět dána tíhou zatěžovacího tělesa, tj. tíhou sloupce kapaliny, jehož základnou je zatěžovaná plocha a jeho výška vyplývá ze znázornění průběhu hydrostatického tlaku.

7

Hydrostatická síla opět působí v těžišti zatěžovacího tělesa, tj. působiště hydrostatické síly C je pod těžištěm zatěžované plochy T ve vzdálenosti:

T

0

Sy

I

kde I0 je moment setrvačnosti k těžišťové ose o (u pravidelných obrazců). Je-li zatěžovanou plochou obdélník nebo čtverec, je možné objem zatěžovacího tělesa počítat jako součin řezu tímto tělesem a šířky tohoto tělesa. Hydrostatická síla pak je

ZOgbSF

kde b a SZO jsou patrné z obr. Řez zatěžovacím tělesem je tzv. zatěžovací obrazec a SZO je plocha zatěžovacího obrazce. Hydrostatická síla působí v jeho těžišti.

8

Veličiny k výpočtu hydrostatické síly Tvar plochy

Obsah plochy S (m2)

Moment setrvačnosti

I0 (m4)

Hloubka působiště síly

yC (m)

2a 4a

12

1

ah26

a

2

ah

2

2a 4a

12

1

ah26

a

2

ah

2

2a 3ba

12

1

ah26

a

2

ah

2

4

D2

64

D4

Dh28

D

2

Dh

2

ba2

v

ba36

ab2bav

2

3

kvk3k6

ab2kv

k3

kvh

22

bak ,

ba2k

2

av 3av

36

1

v2h36

vv

3

2h

2

8

D2

16

D

9

8

8

D228,0h

D0175,0D288,0h

2

8

D2

16

D

9

8

8

D212,0h

D0175,0D212,0h

2

9

U některých příkladů je výhodné rozložit výslednou hydrostatickou sílu do dvou směrů, na vodorovnou a svislou složku. Vodorovná složka hydrostatické síly FX se rovná hydrostatické síle působící na průmět zatěžované plochy do svislé roviny kolmé k uvažovanému směru.

singSzF Tx

... úhel sklonu zatěžované plochy od vodorovné roviny

S.sin ... průmět zatěžované plochy do svislé roviny Svislá složka hydrostatické síly Fz se rovná tíze svislého sloupce kapaliny nad zatěžovanou plochou až ke hladině

cosgSzF Tz

S.cos ... průmět zatěžované plochy do vodorovné roviny

10

V případě, že zatěžované plochy jsou obdélníkové nebo čtvercové, můžeme sestrojit příslušné zatěžovací obrazce pro jednotlivé složky hydrostatické síly Fx a Fz: Zatěžovacím obrazcem vodorovné složky hydrostatické síly je zatěžovací obrazec na průmět zatížené plochy do svislé roviny. Zatěžovacím obrazcem svislé složky hydrostatické síly je sloupec nad zatěžovanou plochou až po hladinu. Síly Fx, Fz působí v těžištích příslušných zatěžovacích obrazců - obr. 2.2.4. Působí-li složka Fz dolů, jedná se o tlak, působí-li Fz vzhůru, jedná se o vztlak. Velikosti složek hydrostatických sil Fx a Fz jsou podle rovnice (2.2.4) počítány jako

ZOxx gbSF ZOzz gbSF

Celková hydrostatická síla je dána vztahem:

2

z

2

x FFF (2.2.9)

Řešení hydrostatické síly ze zatěžovacího obrazce pro celkovou hydrostatickou sílu a ze zatěžovacích obrazců pro složky hydrostatické síly je ekvivalentní. Zvolíme vždy ten způsob, který je v daném případě vhodnější a jednodušší.

Hydrostatická síla na rovinnou, svislou plochu ( = 90°)

singSzF Tx cosgSzF Tz

1

HYDRODYNAMIKA

Základní druhy proudění Neustálené proudění (nestacionární, nepermanentní) základní veličiny jsou funkcí polohy a času: Ustálené proudění (stacionární, permanentní) všechny charakteristiky proudu jsou v čase konstantní. Závisí pouze na poloze částice. Ustálené proudění - rovnoměrné proudění - nerovnoměrné proudění

Rovnoměrné proudění Q, v, S, y = konst. Nerovnoměrné proudění Q = konst., v = v(l), S = S(l), y = y(l)

2

Nerovnoměrné proudění zrychlené - střední rychlost se s dráhou zvětšuje a plocha průtočného průřezu se zmenšuje

Nerovnoměrné proudění zpomalené - střední rychlost se s dráhou zmenšuje a plocha průtočného průřezu se zvětšuje

Z hlediska uspořádání proudových vláken se proudění dělí na: - Proudění plynule se měnící - Proudění náhle se měnící

Z hlediska vedení proudu se proudění dělí na: - Proudění s volnou hladinou

proud je omezen pevnými stěnami, na povrchu je volná hladina, pohyb vzniká vlastní tíhou kapaliny, např. proudění v otevřených korytech - Proudění tlakové

proud omezen pevnými stěnami ze všech stran, pohyb je způsoben např. vlivem rozdílných tlaků, který může být také vyvolán vlivem tíhy kapaliny nebo i vnější silou. - Proudové paprsky proud je ohraničen kapalným nebo plynným prostředím, pohyb je způsoben vlastní tíhou nebo setrvačností vlivem počáteční rychlosti.

3

ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) vychází z definice ustáleného proudění, že Q = konst. v každém průřezu proudu. Vyjadřuje zákon zachování hmotnosti. Pro rovnoměrné proudění je rovnice kontinuity vyjádřena vztahem:

.konstSvQ ==

Pro nerovnoměrné proudění pak:

.konstvSvSQ 2211 ===

Pro stlačitelnou kapalinu:

.konstvSvSQ 222111 =ρ=ρ=

4

BERNOULLIHO ROVNICE Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování energie pro proudící kapalinu. Mechanická energie tělesa, které se pohybuje při působení zemské gravitace bez tření je stálá veličina. Základní tvar Bernoulliho rovnice – vztaženo k jednotce hmotnosti:

.konst2vp

gh2

=+ρ

+

Tvar Bernoulliho rovnice vztažený k jednotce tíhy v tzv. energetických výškách:

E.konstg2

vg

ph

2

==+ρ

+

E ... měrná energie proudu polohová energie ... Ep=mgh ⇒ polohová energie jednotky hmotnosti ep=gh kinetická energie ... Ek=mv2/2 ⇒ kinetická energie jednotky hmotnosti ek=v2/2 tlaková energie ... m(p/ρ) ⇒ tlaková energie jednotky hmotnosti p/ρ

5

Tvar Bernoulliho rovnice vztažený k jednotce tíhy pro dva libovolné průřezy:

g2v

gp

hg2

vg

ph

222

2

211

1 +ρ

+=+ρ

+

v2/2g - rychlostní výška p/ρg - tlaková výška h - polohová výška Součet všech energií je v každém průřezu jedné a téže trubice konstantní Bernoulliho rovnice platí pro proudovou trubici, v jejichž průřezech je rychlost rovnoměrně rozložena Praktické použití Bernoulliho rovnice 1. Zvolí se libovolná vodorovná rovina (ekvipotenciální plocha nulového potenciálu) 2. V proudové trubici se zvolí 2 průřezy 3. Sestaví se Bernoulliho rovnice pro dva průřezy 4. Případné doplnění o rovnici kontinuity

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

Rovnoměrné proudění

Charakteristika: 1. Hloubka vody v korytě, průtočná plocha a průřezová rychlost jsou v každém příčném řezu konstantní. 2. Čára energie, vodní hladina a dno koryta jsou rovnoběžné, takže iE = i = i0 kde iE je sklon čáry energie, i je sklon hladiny a i0 je sklon dna. Rozdělení dle tvaru průtokového profilu:

1. prizmatické kanály – konst. geometrické vlastnosti po délce toku 2. neprizmatické kanály – proměnný tvar po délce, změny lze definovat jako fce S resp. O 3. přirozená koryta – nepravidelný tvar měnící se po délce toku

Dělení průřezů a koryt:

1. jednoduché (obdélník, trojúhelník, lichoběžník ...) 2. složené (kromě dna lze nalézt další vodorovnou část) 3. přirozené

Základní geometrické charakteristiky 1. rozměry průtokového profilu (šířka ve dně, sklon svahů, průměr atd.) 2. průtočná plocha ... S 3. omočený obvod ... O 4. hydraulický poloměr ... R 5. šířka v hladině ... B 6. podélný sklon ... I 7. hloubka ... y

Hydraulické charakteristiky

1. stupeň drsnosti ... n 2. rychlostní součinitel ( Chezyho) ... C (m1/2.s-1) 3. střední průřezová rychlost ... v 4. průtok ... Q

Chézyho rovnice

0RICv =

kde v ... průřezová rychlost C ... rychlostní součinitel (m0,5s-1) R ... hydraulický poloměr (m)

Průtok se spočítá z rovnice spojitosti

00 IKRICSvSQ ===

kde S ... průtočná plocha (m2), K ... modul průtoku (m3s-1). Modul průtoku patří k základním hydraulickým charakteristikám koryta, neboť zahrnuje jak vliv tvaru a velikosti průtočné plochy, tak i drsnost omočeného obvodu. Vztahy pro určení rychlostního součinitele C z Chézyho rovnice. Manning (1889) 6

1

Rn1

C =

platnost:

011,0n >

m5Rm3,0 << Pavlovskij (1925) PR

n1

C =

( )1,0nR75,013,0n5,2P −−−=

zjednodušené určení P: pro:

m1R < ... n5,1P ≅

m1R > ... n3,1P ≅

025,0n > ... n6,1P ≅

Agroskin (1955)

+= Rlogn

05643,072,17C

Pro R = 1 m platnost:

009,0n >& Martinec (1958)

+=

50dR

log77,072,17C

odvozen z měření na českých řekách, ověřen pro:

25,2R15,0 <<

m25,0dm004,0 50 <<

Pro nepravidelné říční tratě Martinec doporučuje nahradit zrno d50 náhradní drsností dn = d50 + ∆d, kde ∆d = 0,0263.Smax/Smin - 0,322. Hlavní vliv na změnu drsnosti je tedy přisuzován proměnlivosti průřezu. Mez použitelnosti byla stanovena poměrem Smax/Smin = 2,1. Manningova rovnice

21

032

IRn1

v =

kde n ... Manningův drsnostní součinitel (s.m-1/3).

V případě, že je omočený obvod složen z částí s různou drsností (např. různé typy opevnění), uvažuje se při výpočtu průměrná ekvivalentní drsnost, kterou je možné stanovit následujícími způsoby:

váženým průměrem:

O

nOn ii∑=

podle Pavlovského:

( ) 21

2ii

O

nOn

= ∑

podle Hortona a Einsteina a Bankse:

32

23

ii

O

nOn

= ∑

kde i jsou dílčí omočené obvody s drsnostními součiniteli ni.

Geometrické charakteristiky příčného profilu koryta Tvar koryta Průtočná plocha

S Omočený obvod

O Hydraulický poloměr

R Šířka v hladině

B Střední hloubka průřezu

y = S/B

by y2b + y2b

by+

b y

( )myby + 2m1y2b ++ ( )

2m1y2b

ymyb

+++ my2b +

( )my2b

ymyb++

2my 2m1y2 + 2m12

my

+ my2

2y

By32

By

38

B2

+

přibližně pro

( )*1By4

0 <<

22

2

y8B3yB2

+

yS

23

y32

2Dsin1808

1

ϕ−πϕ 1802

D πϕ

πϕϕ−

180

sin1

4D

( )yDy2 − D

21

sin

sin180

81

ϕ

ϕ−πϕ

*) Pro 1By4 > je:

+++

+=22

By4

1By4

lny4

BBy4

12B

O

Základní typy úloh při řešení rovnoměrného pohybu 1. Zadáno: rozměry koryta, drsnost, hloubka vody v korytě y0 a sklon i0 Počítá se: rychlost a průtok 2. Zadáno: rozměry koryta, drsnost, hloubka vody v korytě y0 a průtok Q. Počítá se: sklon i0 3. Zadáno: rozměry koryta, drsnost, sklon dna koryta i0 a průtok Q. Počítá se: hloubka y0 a) přibližováním (s využitím výpočetní techniky) - volba několika y0 postup výpočtu Q je stejný jako pro typ 1. b) sestrojením konzumční křivky Q = f(y0) a odečtením y0 pro dané Q. 4. Zadáno: drsnost koryta, sklon dna koryta i0, hloubka y0 sklon svahů koryta 1:m a průtok vody Q. Počítá se: šířka dna koryta b: a) obdoba postupu pro typ 3, ale s volbou několika b, b) sestrojením křivky Q = f(b) a odečtením pro dané Q. 5. Zadáno: rozměry koryta, sklon dna koryta i0 hloubka vody y0 a průtok Q. Počítá se: drsnost koryta: