Upload
shalom
View
97
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Time (by Pink Floyd). 2 nd Order Ordinary Differential Equation. Prof. Seewhy Lee. 아 … 1 계 미방 도 절라 어려운데 OTL. 2 계 미분방정식이라구 ??. 2 nd Order Linear Differential Equation. y 1 만을 포함하고 있음 Linear ( 선형 ). G ( x ) = 0 Homogeneous ( 제차 , 동차 ). G ( x ) ≠ 0 Inhomogeneous ( 비제차 ). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Time (by Pink Floyd)
2nd Order OrdinaryDifferential Equation
Prof. Seewhy Lee
2 계 미분방정식이라구 ??
아… 1계 미방도
절라 어려운데 OTL
2nd Order Linear Differential Equation
)()(')(")( xGyxCyxByxA
y1 만을 포함하고 있음 Linear ( 선형 )
G(x) = 0 Homogeneous ( 제차 , 동차 )
G(x) ≠ 0 Inhomogeneous ( 비제차 )
Our Concern
)()(')(")( xGyxCyxByxA
Homogeneous: G(x) = 0
Const. Coefficients:
0'" ycybya
Textbook p.297~299
cxCbxBaxA )(,)(,)(
2 계 제차 선형 미분방정식의 해
두 개의 서로 독립인 함수 y1(x), y2(x) 를 포함
일반해는 그 두 해의 선형 결합 : y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)
두 개의 초기조건 적용 : 두 상수 c1, c2 결정
0"y
1)(1 xy xxy )(2
)()()( 2211 xycxycxy xcc 21
Initial Condition: 3)0( y 1)0(' y
31 c 12 c xxy 3)(
A Simple Example
11
선형결합
0''''
gfgfgf
gfW
서로 (1 차 ) 독립일 조건
1)( xf xxg )(
0110
1
xW
Example 독립
xxf )( xxg 2)(
021
2
xxW
종속
(Wronskian)
Quiz
xxf 1)( xxg 1)(
독립 여부 ?
상수계수 2 계 제차 선형 미분방정식
0'" ycybya
constant, tey tx
txtx etytey 2",'
02 txtxtx ectebeta
02 ctbta ( 특성방정식 )
Case A: Two Distinct Real Roots
2121, ttttt
)exp()exp()( 2211 xtcxtcxy
02 ctbta ( 특성방정식 )
Your Due: Prove that exp(t1x) and exp(t2x) are independent.
Your Due: < 예제 2.1>, < 연습문제 1>
A Simple Example
txey
xx ececxy 21)(
0" yy
txtey ' txety 2"
02 txtx eet 1t
2)0(',0)0( yy
2)0(',0)0( 2121 ccyccy
xeexy xx sinh2)(
Case B: One Equal Root
)exp()(,)exp()( 21 txxxytxxy
txexccxy )()( 21
02 ctbta ( 특성방정식 )
Your Due: Prove that y1(x) and y2(x) are independent.
Your Due: < 예제 2.2>, < 연습문제 1>
Case C: Two Distinct Imaginary Roots
itit 21 ,
)exp()exp()( 2211 xtcxtcxy
02 ctbta ( 특성방정식 )
이 함수는 지수함수와 삼각함수의 결합으로 표현된다 .
Euler’s Formula
sincos iei
01...)71828.2( ...141592.31
A Simple Example
txey
ixix ececxy 21)(
0" yy
txtey ' txety 2"
02 txtx eet it
0)0(',1)0( yy
0)()0(',1)0( 2121 cciyccy
xeexy ixix cos)(2
1)(
Shock Absorber
• Shock Absorber
• 차체의 진동을 빠르게 소멸시킴• “ 쇼바”가 아니고 “쇼크 앱소버”
ShockAbsorber
작지만 매우 중요한 부품
Shock Absorber
역할과 목적
차체에 오는 충격을 진동으로 바꿔주고 가장 아늑하게 소멸시킴
감쇠력과 감쇠상수
m
물체가 빠를수록 액체로부터 받는 감쇠력 ( 저항력 )
은 크다 .
vFD )Force(Damping
dt
dxbbvFD
감쇠력의 방향은 물체의 운동 방향과
반대이다 .
b : 감쇠상수 ( 감쇠력과 속도 사이의 비례상수 )
스프링에 매달린 물체에 작용하는 두 힘
m
스프링의 복원력 (Hooke 의 법칙 )
kxFR )Force(Restoring
dt
dxbbvFD
액체의 감쇠력
kxdt
dxbkxbvFFF RD
물체가 받는 힘
감쇠진동에 대한 미분방정식
kxdt
dxbFFF RD
물체가 받는 힘
2
2
dt
xdmmaF
뉴턴의 운동방정식
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
미분방정식
m
k
m
b 0,
2 02 2
02
2
xdt
dx
dt
xd
풀이
constant, tex
tt edt
xde
dt
dx 22
2
,
02 20
2 ttt eee
( 특성방정식 )
02 202
2
xdt
dx
dt
xd
02 20
2
20
2
Case A: Under-Damping
)()()( 2211 txctxctx
titit ecece 21
( 선형결합 )
tietx )(1 )( tietx )(
2 )(
0 i
20
2
220
이거
복소수 ㅠ
Case A: Under-Damping (Continued)
)cos(')sin(' 21 tctce t
)cos( tce t
titit ececetx 21)(
)cos()( tectx t
진동
감쇠
Damped Oscillation
Case B: Over-Damping
)()()( 2211 txctxctx tt ecec 21
21
( 단조감소 )tetx 1)(1
tetx 2)(2
20
2
020
21 02
02
2
( 선형결합 )
Case C: Critical Damping
)()()( 2211 txctxctx
tetcc 21
( 선형결합 )
tetx )(1ttetx )(2
이 경우 진동이 가장 빨리 소멸
No Damping
Under-Damping
Critical Damping
Over-Damping
감쇠진동
2~3 회 왕복에 진동이 거의 소멸되도록 설계
나에게도 과학이..
Case Study 2: Critical Damping
• 임계감쇠• 최단시간에 진동을 소멸시킴• 적용 예 : 도어
Case Study 2: Critical Damping
• 임계감쇠• 최단시간에 진동을 소멸시킴• 적용 예 : 도어
Little Damping
Door Damper
특성방정식이 중근을 가질 때 감쇠가 가장 빠르다 !
Summary
2 계 선형 미분방정식 : 제차 / 비제차
우리는 상수계수 제차 미방만을 다룸
서로 독립인 두 개의 함수가 필요
두 함수가 서로 독립일 조건은 W≠0
일반해는 독립인 두 함수의 선형결합
상수계수 제차 미방 : 특성방정식 풀이를
통해
두 근이 서로 다른 경우와 중근인 경우로
나뉨