TEKNILLINEN KORKEAKOULU

Systeemianalyysin laboratorio

Mat­2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö

Tilauserän koon optimointi EOQ­mallin

avulla huomioiden myös paljousalennukset ja

tilarajoitteet

Petri Holappa

67793B

Espoo, 28. Marraskuuta 2007

1

SISÄLTÖ

1.  JOHDANTO .................................................................................................. 2

2.  TILAUSPISTE ................................................................................................. 3

3.  OPTIMAALINEN TILAUSERÄN KOKO ............................................................ 6

3.1  YLEINEN EOQ­MALLI ..................................................................................... 6

3.2  EOQ JA MÄÄRÄALENNUS .............................................................................. 11

3.3  EOQ JA TILARAJOITTEET ................................................................................ 14

4.  EOQ­MALLIN HERKKYYSANALYYSI ............................................................. 15

4.1  POIKKEAMINEN OPTIMIERÄKOOSTA .................................................................. 15

4.2  KULUJEN KASVAMINEN ................................................................................. 16

4.3  PARAMETRIEN MUUTTUMINEN ....................................................................... 17

5.  TULOKSET .................................................................................................. 19

6.  YHTEENVETO ............................................................................................. 23

7.  LÄHDELUETTELO ........................................................................................ 25

2

1. Johdanto

Teollisuuden  tukkuliikkeiden katteet ovat pienentyneet  viime  vuosina. Tähän on

vaikuttanut useat  toimijat alalla  ja  voimakas kilpailu asiakkaista. Pienentyneiden

katteiden vuoksi teollisuuden tukkuliikkeissä on kiinnitettävä yhä enemmän huo­

miota siihen, miten yritys  saadaan kilpailukykyisemmäksi  toimialallaan. Samalla

kun  nimikkeiden  myyntihinnat  laskevat  tai  ainakin  pysyy  nykyisellä  tasollaan,

voittoa  on  lähdettävä  kasvattamaan  karsimalla  toimitusketjussa  syntyviä  kustan­

nuksia palveluasteen kuitenkaan heikentymättä.

Kustannuksia toimitusketjussa voi karsia monella eri tavalla. Tässä työssä keskity­

tään  yhteen  toimitusketjun  osa­alueeseen  –  ostoon.  Optimoimalla  ostoerien  koot

saadaan  suoraa  kustannussäästöä  toimitusketjussa.  Voidaan  pitää  myös  yleisenä

sääntönä,  että  oston  ostaessa  nimikkeitä  oikeaan  aikaan  ja  optimaalisen  määrän

yrityksen  palveluaste  ja  asiakastyytyväisyys  tulevat  kasvamaan  (Stevenson,

2005).

Teollisuuden tukkuliikkeessä x,  jonka dataa on hyödynnetty tässä työssä, tuli tar­

vetta optimaalisen tilauserän määrittelemiselle, koska tällä hetkellä kyseisellä yri­

tyksellä ei ole määritelty tarkempiin laskelmiin perustuvaa tilauserän kokoa ostet­

taessa nimikkeitä. Tässä  työssä pyritään  löytämään optimaalinen  tilauserän koko

hyödyntäen EOQ­mallia  ja  samalla otetaan huomioon määräalennukset sekä  tila­

rajoitteet.

3

2. Tilauspiste

Jotta pääsee optimoimaan tilauserän kokoa, täytyy selvittää miten  ja milloin tila­

ustarve syntyy. Silloin kun tilaustarve syntyy, ostetaan ostoerän Q verran nimik­

keitä. Seuraavissa kappaleissa selitetään optimaalinen päätösmuuttuja Q siten, että

kokonaiskustannukset  minimoituvat  ja  samanaikaisesti  otetaan  huomioon  tilara­

joitteet.

Tutkimuksen  kohteena  olevalla  teollisuuden  tukkuliikkeellä  x  on  tällä  hetkellä

käytössä  oston  välineenä  tilauspistejärjestelmä.  Nimikkeen  saldon  laskiessa  alle

kyseisen nimikkeen tilauspisteen, kyseiselle nimikkeelle syntyy ostoehdotus. Os­

taja  käsittelee  näitä  tilauspisteen  alittaneita  ja  siten  ostoehdotuksen  omaavia  ni­

mikkeitä  esimerkiksi  toimittajakohtaisesti  kerran  viikossa  tai  tapauskohtaisesti

(Tekninen tukkuliike, 2007). Tilattavat nimikemäärät ostaja päättää itse perustaen

päätöksensä kyseisen nimikkeen aiempaan menekkiin ja omaan kokemukseensa.

Tilauspisteet  on  määritelty  tutkittavassa  yrityksessä  varasto­ohjautuville  nimik­

keille (Tekninen tukkuliike, 2007). Tilauspisteen hyödyntäminen on sellaista, jos­

sa siirrytään kiinteästä tilausvälistä vaihtelevaan tilausväliin. Tällaisen tilaustavan

käyttö on perusteltua yrityksessä, jossa eri nimikkeitä on paljon ja useiden nimik­

keiden menekki on suhteellisen vaihtelevaa (Tuominen, 2005).

Yrityksen käyttämässä toiminnanohjausjärjestelmässä varasto­ohjautuville nimik­

keille  on  määritelty  tilauspiste  seuraavan  kaavan  mukaisella  tavalla  (Tekninen

tukkuliike, 2007):

ctbkak pl ++30

)( , jossa (1)

a = lyhyen ajan kulutuksen kerroin

b = pitkänajan kulutuksen kerroin

kl = lyhyen ajan kulutus (kpl)

kp = pitkän ajan kulutus (kpl)

4

t = hankinta­aika (tilauksen tekemisestä nimikkeen ollessa varaston saldoilla ku­

luva aika päivissä)

c = varmuusvarasto, puskurivarasto

Tersine tuo kirjassaan esille, että vaihteleva kysyntä ja kiinteä hankinta­aika ovat

usein realistinen toteuma. Tämä on havaittavissa myös tutkimuksen kohteena ole­

vassa yrityksessä. Kun hankinta­ajan vaihtelu on pientä keskimääräiseen hankin­

ta­aikaan  verrattuna,  voidaan  hankinta­ajan  olettaa  olevan  vakio  (Tersine  R.  J.,

1982).

Varmuusvarastoa ei tarvita silloin, jos tiedetään varmuudella menekin ja hankinta­

ajan  olevan  vakioita.  Tällöin  uuden  varastotäydennyksen  saapuessa  viimeiset

kappaleet  tätä  kyseistä  nimikettä  on  juuri  myyty  varastosta.  Perinteiset  varasto­

mallit usein olettavat, asian olevan tällä tavalla. Käytännön elämässä suurimmassa

osassa  tapauksista  on  kuitenkin  pidettävä  jonkinlaista  varmuusvarastoa,  jotta

riittävä  palveluaste  saavutettaisiin.  Tilauspisteellä  ja  varmuusvarastolla

pyritäänkin  minimimoimaan  varastoinnista  ja  varaston  loppumisesta  syntyvät

kulut.  Varmuusvaraston  kasvaessa  varastointikustannukset  tulevat  nousemaan,

mutta  toisaalta  samanaikaisesti  varaston  loppumisesta  syntyvät  kustannukset

tulevat  pienenemään.  Varastontavaran  loppumisen  riski  ajoittuu  pääsääntöisesti

hankinta­ajan  tienoille.  Siten  hankinta­aika  tulisi  pystyä  identifioimaan

mahdollisiman tarkasti  (Tersine R. J., 1982).

Kuviossa  1  on  havainnollistettu  klassista  varastomallia.  Tästä  kuviosta  selviää

pääpiirteittäin, miten varastosaldon tulisi käyttäytyä pidemmällä aikavälillä yksit­

täisen nimikkeen osalta (Tersine R. J., 1994).

5

Kuvio 1

Kuvion 1 avaintiedot:

Q = Eräkoko

2Q  = Keskimääräinen varaston koko

a, c, e = Tilauspiste

VV = Varmuusvarasto

a­c = c­e = Aikajakso tilausten välillä

a­b = c­d = e­f = hankinta­aika

6

3. Optimaalinen tilauserän koko

Optimaalisen  tilauserän  kokoa  on  tutkittu  paljon.  Perusmallina  voidaan  pitää

Economic  Order  Quantity  (EOQ)­mallia,  jonka  kehitteli  ja  julkaisi  F.  W.  Harris

vuonna 1915. EOQ­malli on tunnettu myös neliöjuurikaavana (Virtanen, 2001) ja

Wilsonin kaavana  (Sakki, 1999). EOQ­mallin kaavaa on  tosin arvosteltu  sen  tu­

loksen  tarkkuudesta,  koska  käytännössä  EOQ­mallin  avulla  saatu  optimaalinen

tilauserä  koko  voidaan  parhaassa  tapauksessa  joutua  jakamaan  kolmella  oikean

tuloksen  saamiseksi  (http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm,  2007).  Jotkut

ovat  jopa  kyseenalaistaneet  koko  EOQ:n  käytön  ja  väittävät  sen  menettäneen

käytettävyytensä (Woolsey, 1988).

Nimikkeiden  vuosittainen  kysyntä  on  joko  determinististä  tai  stokastista.  Deter­

ministisessä kysynnässä etukäteen tunnettu kysyntä voi olla tasaista, monotonises­

ti  muuttuvaa  eli  staattista  tai  esimerkiksi  dynaamista  kausivaihtelua  sisältävää.

Stokastinen kysyntä on taas satunnaisuutta sisältävää (Virtanen, 2001). Taha käyt­

tää stokastisesta kysynnästä hieman lievempää nimitystä eli todennäköistä kysyn­

tää (Taha, 2007). EOQ­malli antaa kaikesta kritiikistä huolimatta hyvän lähtökoh­

dan ja approksimaation siitä, minkä verran tulisi kutakin nimikettä tilata kummas­

sakin tapauksessa (Tersine R. J., 1982).

Yksinkertaistettua EOQ­mallia joudutaan usein laajentamaan esimerkiksi ottamal­

la  tilarajoitteet,  paljousalennukset  tai  puutekustannukset  huomioon.  Esimerkiksi

varastoon  ei  useinkaan  mahdu  kerralla  niin  paljon  tuotteita,  mitä  perus  EOQ­

mallilla  saatu optimaalinen  tilauserän koko antaisi olettaa tilattavaksi.  (Virtanen,

2001).

Määriteltäessä optimaalista  tilauserän kokoa on huomattava, että tilaus­  ja  toimi­

tuserän koot tarkoittavat eri asioita (Sakki, 1999). Kuitenkin käsiteltävänä olevas­

sa yrityksessä on ollut tapana pitää toimituserän kokona tilauserän kokoa. Tämän

vuoksi tässä työssä tilaus­ ja toimituserän oletetaan olevan yhtä suuria.

3.1 Yleinen EOQ­malli

7

Optimaalinen  tilauserän  koko  heijastuu  kuljetus­  ja  tilauskustannusten  tasapai­

noon.  Tilauserän koon  vaihdellessa  yhden  tyyppinen  kustannus  laskee,  kun  taas

toisentyyppinen  nousee  mutta  ei  samassa  suhteessa.  EOQ­mallissa  pyritään  löy­

tämään  näille  tasapaino.  Esimerkiksi  tilauserän  koon  ollessa  pieni  vuosittaiset

hallinnointikustannukset ovat suhteellisen pienet, mutta pienten tilauserien vuoksi

kuljetustiheys nousee,  joka taas nostaa vuosittaisia tilauskustannuksia. Ja vastaa­

vasti voidaan ajatella esimerkki toisin päin: tilauserän koon kasvaessa vuosittaiset

tilauskustannukset pienenevät, mutta hallinnointikustannukset taas kasvavat. Näin

ollen ideaalitilanne löytyy jostakin näiden välimaastosta (J.Stevenson, 2005).

EOQ­perusmallin olettamukset (Virtanen, 2001) (Stevenson, 2005) (Taha, 2007):

Pelkistykset ja rajaukset

­ täydennykset kertasuorituksina (täydennysnopeus =  )

­ toimitusaika vakio (voidaan olettaa = 0, vrt. ennakointi)

­ pitkä suunnittelukausi

­ yksi varastoitava tuote

­ ei tilarajoituksia

­ osto­ ja myyntihinnat vakioita (esimerkiksi paljousalennuksia)

­ puutetta ei sallita

Mallin parametrit

­ [ ]v

kplD = , kysyntä D on tunnettu ja vakio

­ [ ]kpl

P €= , nimikkeen yksikkökohtaiset hankintakustannukset P

­ [ ]v

F %= , ylläpitokustannusten tekijä F, (yleensä 10–15% hankintakustan­

nuksista, vaikkakin voi saada arvoja väliltä 0:sta 1:een)

­ [ ] vkpl

H €= , varaston ylläpitokustannus H = P*F on vakio

8

­ [ ]erä

C €= , tilauskustannus C on vakio ja tilausmäärästä riippumaton

Mallin päätösmuuttujat

­ [ ] kplQQ =*, , tilauserän koko Q ja optimieräkoko Q* on vakio

­ [ ] vT = , tilausväli T, määräytyy kysynnän ja eräkoon perusteella (ts. vaih­

toehtoinen riippumaton päätösmuuttuja q:lle)

Kokonaiskustannukset  =  hankintakustannukset  +  tilauskustannukset  +  ylläpito­

kustannukset:

2)( PFQ

QCDPDQTC ++= (2)

Optimaalinen tilauserän koko löytyy derivoitaessa kustannusfunktio tilausmäärän

suhteen:

0)2

()(=++=

PFQQ

CDPDdQd

dQQdTC (3)

Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan:

02 2 =−

QCDPF (4)

Ratkaistaan Q, jolloin optimaaliseksi tilauserän kooksi saadaan:

HCD

PFCDQ 22* == (5)

EOQ­mallia  käytetään  identifioimaan kiinteä  tilauserän koko. Tällä  tavalla  pääs­

tään minimoimaan vuosittaisten kustannusten summa niin hallussapito­ kuin tila­

uskustannustenkin osalta. Nimikkeen yksikköhankintahintaa ei yleensä sisällytetä

kokonaiskustannuksiin,  koska  yksikkökustannukset  ovat  muuttumattomia  tilaus­

kokoon  nähden  niin  kauan,  kun  määräalennukset  eivät  ole  tekijänä  (Stevenson,

2005).

EOQ­mallin käyttö tilauserän optimoinnissa on nykyään heikentynyt. Huolimatta

varastoriskeistä  näyttää  siltä,  että EOQ­malli on  kuitenkin parempi  kuin esimer­

9

kiksi QuickResponse­malli. EOQ­mallin paremmuus syntyy siitä, että se optimoi

kokonaiskustannukset, kun taas QR­malli keskittyy ainoastaan minimoimaan hal­

lussapitokustannukset (Zinn & Charnes, 2005).

Hallussapito­  ja  tilauskustannukset  sekä  vuosittainen  menekki  ovat  tyypillisem­

min  esimerkiksi  tilintarkastuksesta  estimoituja  arvoja  kuin  tarkkoja  arvoja.  Hal­

lussapitokustannukset  ovat  useimmin arvioitu  liikkeenjohdollisesti  kuin  laskettu.

On huomioitava, että EOQ­malli on pikemminkin suuntaa antava kuin tarkka ar­

vo. Näin ollen lasketun arvon pyöristäminen on täysin hyväksyttävä keino. Saatu

tulos on yleensä suhteellisen lähellä todellista optimaalista tilauserän kokoa. Pyö­

ristys huomioonottaen on usein hyvin perusteltua kasvattaa tilauserän kokoa, kos­

ka kokonaiskustannukset eivät kasva kovinkaan jyrkästi tilauserän koon kasvaessa

EOQ­kaaviossa (Stevenson, 2005).

Tilauskustannukseen  sisällytetään  tilauksen  teosta  aiheutuva  kertakustannus  eli

tilauskustannukset on määritelty sisältämään kaikki välittömät kustannukset, jotka

liittyvät  tiettyyn  nimikkeeseen.  Seuraavassa  on  määritelty  tarkemmin  tilauskus­

tannuksia (Zinn & Charnes, 2005)  (Piasecki, 2006):

­ lähetekustannukset

­ lähetyksen vastaanottokustannukset

­ varastoon hyllyttämisen kustannukset

­ laskun käsittelyn kustannukset

­ rahdin­ ja rahdintarkistuskustannukset

­ laskutuksen käsittelykustannukset

­ vastaanotetun tavaran tarkistamiskustannukset

­ myyjänpalkkiot

Rahdin kustannukset on kuitenkin äärimmäisen hankala selvittää, joten siksi ehdo­

tetaan, että ne otetaan huomioon vain, jos ne on merkittävä osa tilausta (Piasecki,

2000,2001).

Tilauskustannuksiin ei sisällytetä (Piasecki, 2000,2001):

10

­ materiaalien pakkaamiseen käytetty aika

­ kuorman purku

­ edelleenkuljetus seuraavalle osastolle

­ ennusteiden tutkiminen

­ valmistuskomponenttien hankkiminen

­ tarjousten hankinta (ellei hankita tarjousta jokaisen tilauksen yhteydessä)

­ uusien nimikkeiden asettaminen näytteille.

Piaseckin  mukaan  tehokkain  tapa  määritellä  tilauskustannukset  on  laskea

prosenttiosuus  kunkin  yksikön  käyttämästä  ajasta  määritellyihin  toimintoihin  ja

kertomalla  tämä  prosenttiosuus  niihin  käytetyillä  työvoimakustannuksilla

esimerksi kuukauden ajalta. Saatu luku jaetaan sitten käsitellyillä tilausmäärillä ja

tästä saadaan tilaukselle hinta  (Piasecki, 2006).

Parmetrin  H  selvittämiseksi  määritellään  varaston  ylläpitokustannukset,  jotka

sisältävät (Virtanen, 2001)  (Piasecki, 2006):

­ pääomakustannukset

­ varastointikustannukset

­ käsittelykustannukset

­ pilaantumisen kustannukset

­ hävikin kustannukset

­ verot ja vakuutukset

Varaston  ylläpitokustannuksiin  ei  pidä  lisätä  sellaisia  kustannuksia,  jotka  eivät

muutu nimikemäärän muuttuessa eli huomioon otetaan vain varastotason mukaan

muuttuvat kustannukset. Ylläpitokustannuksiin ei  lisätä keräilypaikkojen kustan­

nuksia  vaan  ainoastaan  reservipaikkojen  kustannukset.  Vaihtuvat  varastopaikat

otetaan mukaan kustannuksiin, mutta lähetys­  ja vastaanottopisteiden kustannuk­

sia ei ole yleensä lisätty ylläpitokustannuksiin (Piasecki, 2006).

11

Varaston  kustannukset  tuotteen  hinnasta  voidaan  jaotella  karkeasti  seuraavalla

tavalla (Tuominen, 2005):

­ Varastotoiminnat

o Tilauskustannukset 1­5 %

o Työkustannukset 1­5 %

o Varastotekniikan kustannukset 2­8 %

o Hallintokustannukset 1­2 %

­ Pääomakustannukset

o Tuotteisiin sidotun pääoman kustannukset 12–25 %

­ Häviökustannukset

o Hävikkikustannukset 2­5 %

o Puutekustannukset 1­5 %

Yhteensä tavaran arvosta 20­55 %.

3.2 EOQ ja määräalennus

Toimittajan tarjotessa nimikkeistä paljousalennuksia kasvavien tilauserien johdos­

ta, ostajan  tulisi  hyödyntää pienentynyt  hankintahinta parhaansa  mukaan  ja  näin

ollen keskittyä useimmissa tapauksissa tilaamaan kerralla aikaisempaa suurempia

eriä. Kasvaneiden tilauserien kokojen johdosta keskimääräinen varastosaldo tulee

kohoamaan, mutta kokonaiskustannukset tulevat oletettavasti pienenemään. Osta­

jan tehtäväksi jääkin minimoida kokonaiskustannukset (Kuvio 2), jotka koostuvat

kuljetus­, tilaus – ja ostamiskustannuksista (Stevenson, 2005).

Perus  EOQ­malli  ei  ota  huomioon  nimikkeen  yksikkökohtaisia  hankintakustan­

nuksia.  Perustelu  tälle  löytyy  siitä,  että  oletusarvoisesti  määräalennuksia  ei  ole,

joten nimikkeen yksikköhinta on sama kaikille tilausmäärille. Ottamalla hankinta­

kustannukset  mukaan  tarkasteluun  optimaalinen  tilauserän  koko  pysyy  samana.

Ainoastaan kustannus­määrä­koordinaatistossa optimaalisen tilauserän kustannuk­

set  nousevat  kappalemäärä  kertaa  nimikkeen  yksikköhinta  (Stevenson,  2005)

(Kuvio 2).

12

Kuvio 2

Otettaessa  nimikekohtaiset  määräalennukset  huomioon,  jokaiselle  nimikkeen  eri

yksikköhinnalle  tulee  oma  käyränsä  kustannus­määrä­koordinaatistoon  ja  sitä

myötä jokaiselle yksikköhinnalle tulee oma optimaalinen tilauserän koko. On kui­

tenkin havaittava se seikka, että jokaisella nimikkeen eri yksikköhinnalla on käy­

tettävissä vain osa piirretystä käyrästä. Kuljetuskustannusten ollessa vakio kaikille

nimikemäärille,  on  olemassa  vain  yksi  minimipiste,  joka  on  kaikille  nimikkeen

yksikköhinnoille  sama.  Kuljetuskustannusten  ollessa  prosentuaalinen  osuus  tila­

uksen  nimikemäärästä,  jokaisen  yksikköhinnan  muodostamalla  käyrällä  on  oma

optimaalinen  tilauserän  koko.  Pienemmät  yksikköhinnat  merkitsevät  pienempiä

kuljetuskustannuksia  nimikettä  kohdin  ja  siten  suurempia  tilauserien  kokoja

(Stevenson, 2005).

Toimintatapa,  kun  kuljetuskustannukset  pysyvät  muuttumattomina  riippumatta

tilauserän koosta (Stevenson, 2005) (Virtanen, 2001)  (Sahu, 2003):

1. MääritetäänHCDQ 2

0 = (6)

2. Lasketaan

DQpHQQCDQTCTC )(

2)( 0

0

000 ++== (7)

DpHQQCDQTCTC i

i

iii 12)( +++==  (i=1,2,… , n­1) (8)

13

3. Verrataan kokonaiskustannuksia. Optimaalinen Q on se,  jolla TC on pie­

nin kohdassa 2. Vain yhdellä yksikköhinnalla on minimikohta,  joka osuu

omalla käyrällään toteuttamiskelpoiseen kohtaan,  jossa eri käyrien toteut­

tamiskelpoiset kohdat eivät voi osua päällekkäin. Identifioidaan tämä alue.

a. Jos  toteuttamiskelpoinen  minimikohta  osuu  edullisimman  yksikkö­

hinnan omaavalle käyrälle, tämä on optimaalinen tilauserän koko.

b. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta on jonkun toisen yksikkökus­

tannuksen  omaavan  toteuttamiskelpoisella  käyrän  alueella,  laske­

taan  kokonaiskustannukset  kyseisessä  kohdassa  ja  kaikissa  alem­

man yksikköhinnan taitekohdissa (minimierä, jolla nimike saadaan

kyseiseen  hintaan).  Tämän  jälkeen  verrataan  kokonaiskustannuk­

sia;  alhaisimman kokonaiskustannuksen saavuttama  tilauserän ko­

ko on optimaalinen tilauserän koko.

Toimintatapa  Stevensonin  mukaan,  kun  kuljetuskustannukset  ovat  prosentuaali­

nen osuus nimikkeen kappalemäärästä (Stevenson, 2005)(Kuvio 3):

1. Aloitetaan  nimikkeen  halvimmasta  yksikkökustannushinnasta  laskemalla

tälle  optimaalinen  tilauserän  koko.  Saatua  optimaalista  tilauserän  kokoa

verrataan kyseisen hinnan muodostaman käyrän käytettävissä olevaan alu­

eeseen. Jos optimaalinen tilauserän koko ei osu käytettävissä olevaan alu­

eeseen,  jatketaan  seuraavaksi  halvimman  yksikkökustannuksen  omaavan

käyrän laskemista ja taas verrataan onko saatu tulos käytettävällä alueella.

Tätä jatketaan niin kauan, että löydetään toteuttamiskelpoinen kohta.

2. Jos  minimikohta  alhaisimmalle  yksikkökustannushinnalle on  toteuttamis­

kelpoinen,  tämä on optimaalinen  tilauserän koko.  Jos  minimikohta  ei ole

toteuttamiskelpoinen  alhaisimmalla  yksikköhinnalla,  toteuttamiskelpoisen

hinnan  minimikohdan  kokonaiskustannuksia  verrataan  kaikkien  alempien

hintojen rajahintoihin. Määrä, joka antaa alhaisimmat kokonaiskustannuk­

set, on optimaalinen tilauserän koko.

14

Kuvio 3

3.3 EOQ ja tilarajoitteet

Lagrangen  kertoja­menetelmää  käytetään  usein,  kun  EOQ­mallia  laajennetaan

tilarajoituksilla.  Tämän  mallin  olettamukset  ovat  samat  kuin  EOQ­perusmallin

olettamukset, mutta varastoitavia nimikkeitä oletetaan olevan kaksi tai useampi ja

varastotila voi osoittautua optimipolitiikkaa rajoittavaksi tekijäksi. Jos saadut op­

timaaliset  ostoerät eivät  täytä  tilarajoitusehtoa,  ns.  sidottu ääriarvo  joudutaan et­

simään  Lagrangen  kertoja­menetelmällä.  Käytettäessä  Lagrangen  kertoja­

menetelmää  yhtälöryhmien  laskutoimituksista  tulee  verraten  monimutkaisia

(Virtanen, 2001)(Alstrøm, 2001) (Sahu, 2003).

Lagrangen kertoja­menetelmää ei sovelleta tässä työssä, koska varaston tilarajoite

käsiteltävässä yrityksessä x on määrätty lavapaikkakohtaisesti  ja yhdelle lavapai­

kalle laitetaan vain yhtä nimikettä eli eri nimikkeet eivät siten voi kilpailla toisille

nimikkeille varatusta varastotilasta. Optimiostoerä voi siten löytyä joko optimaali­

sen  ostoerän  koon  kohdalta,  jos  se  alittaa  lavapaikan  koon  tai  optimiostoerä  voi

olla vaihtoehtoisesti täysi lavallinen silloin, jos saadaan paljousalennus ostettaessa

vähintään lavallinen kerralla.

Varaston tilarajoite ei ole aivan absoluuttinen. Esimerkiksi,  jos nimikkeelle vara­

tulla paikalla on uuden erän saapuessa vielä nimikkeitä, saapuva erä siirretään ns.

reservipaikalle. Lava siirretään myöhemmin reservipaikalta keräilypaikalle keräi­

lypaikan saldon mennessä nollaan.

15

4. EOQ­mallin herkkyysanalyysi

Herkkyysanalyysin  tehtävänä  on  tarkastella  kuinka  virheellisesti  syötettyjen  pa­

rametrien  arvot  vaikuttavat  lopputulokseen.  Annettaessa  laajalla  skaalalla  para­

metrien  arvoja  mallin  voidaan  todeta  olevan  virheellinen  tai  ainakin  vähintään

puutteellinen, jos annetut arvot eivät heilauta ulostuloa kovinkaan paljon. Vastaa­

vasti  pienten  muutosten  aiheuttaessa huomattavaa  vaihtelua ulostulossa,  voidaan

sanoa mallin olevan herkkä. EOQ­perusmalli olettaa vuosittaisen tarpeen D, hal­

lussapitokustannuksien H  ja  tilauskustannusten C olevan deterministisiä  ja  ilman

vaihtelua. Virheet näiden parametrien identifioinnissa tulee aiheuttamaan mahdol­

lisesti suuriakin virheitä lopputulokseen (Tersine R. J., 1994).

Herkkyysanalyysillä  voidaan  myös  luoda  mahdollisia  skenaarioita  optimaalisen

tilauserän  määrittelemisessä. Parametrien  arvot voivat vaihdella  yllättävästi  vuo­

den aikana ja niissä voi muutenkin olla epätarkkuutta mahdollisten estimointivir­

heiden vuoksi. Näiden syiden vuoksi herkkyysanalyysi on välttämätön,  jotta voi­

daan varmistua edes jollain tavalla tulosten oikeellisuudesta ja niiden mahdollises­

ta käytettävyydestä optimaalisen tilauserän määrittelyssä.

Optimaalisen  tilauserän  määrittelyssä  tulee  ottaa  huomioon  yleiset  olosuhteiden

määräämät rajoitukset. Rajoituksia voi tulla esimerkiksi tilanpuutteen, kuljetusten

suorituskyvyn tai pakkausrajoitteiden osalta (Tersine R. J., 1994).

4.1 Poikkeaminen optimieräkoosta

Tilaus­  ja  ylläpitokustannukset  tulevat  kasvamaan  Virtasen  mukaan  seuraavasti,

jos tilauserän kooksi Q0:n sijasta valitaankin Q’= Q0:

HQQ

CDQTC21)( += (9)

===

=

000

0

2)(

2

HQCDHQTCTCHCDQ

(10)

Ratkaistava: TC’= TC0; = TC’/TC0

16

+=

+=

+=+=+=

+=+

==

αα

β

121'

'21

'21

'21'

21

'2

2'

21

2'

'21

'

'''

0

0

0

0

00

0000

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QHCD

QQ

hCDHQ

CD

qq

QHQCD

HQ

HQQ

CD

TCTC

(11)

Mallin ratkaisusta on laskettavissa, että tilaus­ ja ylläpitokustannukset tulevat nou­

semaan  8 %,  kun  eräkoko  kasvaa  50 %  ja  vastaavasti  kustannukset  nousevat

25 %, kun eräkoko pienenee 50 %. Malli on huomattavasti herkempi poikkeamille

optimiratkaisuista alaspäin kuin ylöspäin. Tämä johtuu tavoitefunktion laakeudes­

ta optimiratkaisun oikealla puolella (Virtanen, 2001).

Tulokset ovat yleispäteviä EOQ­mallille, koska ne eivät riipu ollenkaan paramet­

rien  K,  D  ja  H  arvoista.  Toisaalta  on  huomioitava,  että  herkkyysanalyysi  pätee

vain optimin välittömässä läheisyydessä (Virtanen, 2001).

4.2 Kulujen kasvaminen

Edellä olevista kaavoista on esimerkiksi laskettavissa ääriarvot, joiden välillä tila­

userän koko voi vaihdella siten, että tilaus­ ja ylläpitokustannukset nousevat mak­

simissaan 10 % optimista (Virtanen, 2001):

+=

αα 1

21

0TCTC (12)

Vaatimus:

PpTCTC

=

+≤

1001

0

(13)

Saadaan rajaluku P:lle:

P=

+

αα

121 |2 (14)

17

0122 =+− αα P (15)

12 −±= PPα (16)

ð

12

0

−±= PPQQ

−+=

−−=

02

2

02

1

1

1

qPPQ

qPPQ(17)

P=1.10

=−+=

=−−=

54.1110.110.1

64.0110.110.1

02

2

02

1

QQ

QQ(18)

Eräkoko saa kasvaa korkeintaan 54 % tai laskea korkeintaan 36 % optimista, jotta

kokonaiskustannukset eivät ylittäisi 10 %.

4.3 Parametrien muuttuminen

EOQ­mallia  voidaan  myös  tarkastella  siten,  että kuinka paljon optimaalinen erä­

koko  tulee  muuttumaan,  kun  jotakin  mallin parametreista  C,  D  tai  H  muutetaan

toisten pysyessä muuttumattomana (Virtanen, 2001). Tällainen tarkastelu on hyö­

dyllistä esimerkiksi tilanteessa,  jossa on hankala ennustaa kysyntää tai mallin pa­

rametrien määrittelyt ovat hieman virheellisiä.

Pienille (infinitesimaalisille) muutoksille pätee (Virtanen, 2001):  D/D dD/D

Saadaan:

( )00

0

0

000

// QE

QD

dDdQ

QD

DQ

DDQQ

D=≈∆∆

=∆

∆ (19)

( )0QED  tarkoittaa Q0:n joustoa D:n suhteen. Tästä käytetään myös nimitystä erä­

koon kysyntäjousto.

Kun kaavaan 19 sijoitetaan

18

HCDQ 2

0 = (20)

ja

HC

HCDdD

dQ 222

10 = (21)

EOQ­mallin kysyntäjoustoksi saadaan:

21

2

2

21

222

2)(0

00 ====

HCDHCD

HCDD

HCDH

CqD

dDdqqED (22)

Havaitaan,  että optimaalisen  ostoerän  suhteellinen  muutos on  vakio  ja  likiarvoi­

sesti puolet D:n suhteellisesta muutoksesta. Malli pitää paikkaansa sitä paremmin

mitä pienempi  suhteellinen  muutos on. Esimerkiksi,  jos kysyntä D  nousee kym­

menen  prosenttia,  niin  optimaalinen  tilauserän  koko  kasvaa  likimain  5 %.  Sama

kysyntäjousto saadaan myös parametrin C arvon muutoksille. Parametrin H koh­

dalla eräkoon kysyntäjoustoksi sen sijaan saadaan ­0.5. Tämä tarkoittaa sitä, että

tilaus­  ja ylläpitokustannusten vähentyessä esimerkiksi 10 % optimaalinen eräko­

ko kasvaa 5 % (Virtanen, 2001).

19

5. Tulokset

Optimaalisen ostoerän määrittelyä varten yrityksen x tietokannasta on otettu pieni

määrä  dataa  sellaisten  nimikkeiden  osalta,  joiden  hankinnassa  on  käytössä  pal­

jousalennus.  Näillä  nimikkeillä  kuljetuskustannukset  pysyvät  muuttumattomina

riippumatta  siitä,  kuinka  paljon  nimikkeitä  tilataan.  Tämän  vuoksi  optimaalisen

tilauserän määrittelyssä on lähdetty liikkeelle kaavojen 6, 7 ja 8 mukaan.

Käsiteltävänä  olevan  yhtiön  EOQ­malliin  tarvittavien  parametrien  arvoiksi  esti­

moitiin seuraavat luvut:

[C]   30€/tilaus ja keskimäärin 7,50€/rivi

[F]   12,5 % (Luvussa ei ole otettu huomioon tuotteisiin sidotun pääoman kustan­

nuksia)

Taulukossa 1 on lueteltuna laskelmissa käytettyjen lyhenteiden kuvaukset.

P1 Nimikkeen hinta €/kplP2 Nimikkeen hinta €/kpl paljousalennuksinL Lavakoko kplD Vuosittainen menekki kplEOQ1 Optimiostoerä ilman alennuksiaEOQ2 Optimiostoerä alennushinnallaPS PakkauskokoIC NimiketunnusTC0 Kokonaiskustannukset ilman paljousalennuksiaTC1 Kokonaiskustannukset paljousalennuksillaTC2 Kokonaiskustannukset lavoittain ostettunaSC0 Tilaus­ ja ylläpitokustannukset ilman paljousalennuksiaSC1 Tilaus­ ja ylläpitokustannukset paljousalennusten kanssaSC2 Tilaus­ ja ylläpitokustannukset lavoittain ostettuna

Taulukko 1

Taulukosta  2 on  havaittavissa,  että optimaalista  tilauserää  käytettäessä  vain  kol­

mella  eri  nimikkeellä  kokonaiskustannukset  ovat  suuremmat  verrattuna  siihen,

että nimikettä ostettaisiin  lavoittain. Esimerkiksi nimikkeen 1329 kohdalla on  lä­

hestulkoon sama kumpaa toimintamallia käyttää; ostaako lavoittain vai optimaali­

sen ostoerän verran. Toisaalta on otettava huomioon kuitenkin se, että yhtiöllä on

20

pääsääntöisesti  ollut  tapana  tilata  korkeintaan  lavallinen,  joten  nimikkeen  1329

kohdalla on syytä päätyä ostamaan lavallinen kerrallaan.

Nimikkeiden  1026  ja  1328  kohdalla  kannattaa  soveltaa  optimaalista  tilauserän

kokoa,  koska  ostettaessa  optimaalisen  tilauserän  verran  päästään  minimikustan­

nuksiin ja lisäksi tavaraa ei osteta liikaa kerrallaan ja siten tavara ei pääse vanhe­

nemaan  varaston  hyllyllä.  Lisäksi  optimiostoerää  kannattaisi  soveltaa  myös  ni­

mikkeen 4090­kohdalla  vaikka kokonaiskustannukset  tulevatkin  hieman  kalliim­

maksi verrattuna siihen, että ostettaisiin  lava kerrallaan. Jos nimikettä ostettaisiin

lavallinen kerrallaan kyseisessä tapauksessa, se olisi likimain kahden vuoden tar­

ve.  Riski  mahdollisesta  menekin  laskemisesta  tai  tuotteen  pilaantumisesta  olisi

liian suuri.

Nimikkeen 1025 kohdalla kannattaisi myös käyttää optimaalista tilauserää, vaikka

kokonaiskustannukset  tulisivat  vuositasolla  noin  30€  kalliimmaksi.  Tällöin  jäisi

varastossa olevien  nimikkeiden pilaantumisen  riski pienemmäksi  ja  mahdollinen

menekin väheneminenkään ei toisi tappiota.

IC  PS  P1  L  P2  D  EOQ EOQ2 SC0  SC1  SC2 TC0 TC1 TC2

1025 48  0,47 2304 0,44 1840 672  720  40,28 NA  69,35 905,08  NA 878,95

1026 36  0,63 1728 0,59 494 324  324  24,19 NA  65,86 335,23  NA 357,151328 24  0,96 1152 0,89 466 240  240  28,97 NA  67,12 476,61  NA 482,11

1329 24  1,25 864  1,17 7539 840  888  NA  128,61 128,63 NA 8949,74 8949,764104 12  2,03 432  1,87 731 204  216  52,77 NA  63,19 1537,57 NA 1430,96

4090 12  2,69 432  2,5 247 108  108  35,30 NA  71,79 699,35  NA 688,93

Taulukko 2

Poikkeaminen optimiostoerästä 50 % suuntaan tai toiseen aiheuttaa taulukoiden 3

ja 4 mukaiset hinnankorotukset. Taulukossa 3 EOQ ja EOQ2 on kerrottu 0,5:llä ja

vastaavasti Taulukossa 4 EOQ ja EOQ2 on kerrottu 1,5:llä.

Tilaus­ ja ylläpitokustannusten muutos toteutuu likimain tämän erikoistyön kappa­

leen 4.1  mukaisesti.  Poikkeaman  tarkasta  arvosta  aiheuttaa  se,  että optimaalinen

tilauserän  koko on  jouduttu  pyöristämään  lähimpään pakkauskokoon  sen  sijaan,

että  käytettäisiin  tarkkoja  optimaalisen  tilauserän  kokoja.  Nimikkeitä  ostettaessa

poikkeaminen optimaalisesta tilauserän koosta näyttäisi  vahvistavan sitä,  että ni­

mikkeet kannattaa ostaa lavoittain. Taulukoista on selkeästi nähtävissä, että ostoti­

21

lausten  suuruuksissa  on  aina  parempi  poiketa  ylöspäin  kuin  alaspäin  siten,  että

varastorajoitteet otetaan kuitenkin huomioon.

IC  PS  P1  L  P2  D  EOQ EOQ2 SC0  SC1  SC2 TC0 TC1 TC2

1025 48  0,47 2304 0,44 1840 336  360  50,94  NA  69,35 915,74  NA 878,95

1026 36  0,63 1728 0,59 494 162  162  29,24  NA  65,86 340,28  NA 357,151328 24  0,96 1152 0,89 466 120  120  36,34  NA  67,12 483,98  NA 482,11

1329 24  1,25 864  1,17 7539 420  444  167,45 NA  128,63 9591,73 NA 8949,764104 12  2,03 432  1,87 731 102  108  66,72  NA  63,19 1551,52 NA 1430,96

4090 12  2,69 432  2,5 247 54  54  43,36  NA  71,79 707,41  NA 688,93

Taulukko 3

IC  PS  P1  L  P2  D  EOQ EOQ2 SC0  SC1  SC2 TC0 TC1 TC2

1025 48  0,47 2304 0,44 1840 1008 1080  43,30 NA  69,35 908,10  NA 878,951026 36  0,63 1728 0,59 494 486  486  26,76 NA  65,86 337,80  NA 357,15

1328 24  0,96 1152 0,89 466 360  360  31,31 NA  67,12 478,95  NA 482,111329 24  1,25 864  1,17 7539 1260 1332  NA  139,85 128,63 NA 8960,99 8949,76

4104 12  2,03 432  1,87 731 306  324  56,75 NA  63,19 1541,55 NA 1430,964090 12  2,69 432  2,5 247 162  162  38,66 NA  71,79 702,71  NA 688,93

Taulukko 4

Kysynnän laskiessa 50 % taulukosta 5 on pääteltävissä, että tällöin kannattaa tilata

pääsääntöisesti  optimaalisen  tilauserän  verran.  Vain  nimikkeiden  1329  ja  4104

osalta  kannattaa  nimikkeet  tilata  lavoittain.  Nimikkeen  1329  kysyntä  D  ylittää

moninkertaisesti  kyseisen  nimikkeen  lavakoon,  mutta  optimaalinen  tilauserä  ei

ylitä sitä. Tässä tapauksessa paljousalennusta ei saada ja nämä yhdessä vaikuttavat

siihen, että nimike 1329 kannattaa tilata  lavoittain. Nimikkeen 4101 kohdalla ni­

mikkeen  vuosittainen  kysyntä  lähentelee  yhtä  lavakokoa.  Lavallisen  ostosta  on

tarjolla  hyvät  alennukset,  jonka  vuoksi  kokonaiskustannukset  menevät  alhaisim­

maksi ostettaessa koko lava kerrallaan. Edelleen on kuitenkin otettava huomioon

mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset.

IC  PS  P1  L  P2  D  EOQ EOQ2 SC0  SC1  SC2 TC0 TC1 TC2

1025 48  0,47 2304 0,44 920 480  480  28,48 NA  66,35 460,88  NA 471,151026 36  0,63 1728 0,59 247 216  216  17,08 NA  64,79 172,60  NA 210,44

1328 24  0,96 1152 0,89 233 168  168  20,49 NA  65,60 244,31  NA 273,101329 24  1,25 864  1,17 3770 600  624  94,00 NA  95,90 4806,14 NA 4506,47

4104 12  2,03 432  1,87 366 144  156  37,32 NA  56,84 779,72  NA 740,724090 12  2,69 432  2,5 123 72  72  24,96 NA  69,64 356,99  NA 378,21

Taulukko 5

22

Taulukosta  6  on  nähtävissä  miten  nimikkeet  tulisi  tilata  ennakoidun  kysynnän

kaksinkertaistuessa.  Taulukon  6  perusteella  nimikettä  1329  kohdalla  tulisi  tilata

optimaalisen tilauserän verran, mutta varastorajoitteet huomioon ottaen päädytään

tämänkin  nimikkeen  kohdalla  lavoittain  ostoon. Nimikettä  1026  kannattaisi  kui­

tenkin  tilata  optimaalisen  tilauserän  verran,  koska  tilattaessa  lavallinen  kerralla

kyseistä nimikettä, saataisiin liki kahden vuoden oletettu tarve yhdellä kertaa.

IC  PS  P1  L  P2  D  EOQ EOQ2 SC0  SC1  SC2 TC0 TC1 TC2

1025 48  0,47 2304 0,44 3680 960  1008 56,95 NA  75,34 1786,55 NA 1694,54

1026 36  0,63 1728 0,59 987 432  432  34,15 NA  68,01 656,23 NA 650,591328 24  0,96 1152 0,89 933 336  360  40,98 NA  70,15 936,24 NA 900,14

1329 24  1,25 864  1,17 15079 1200 1248 NA  181,88 194,07 NA 17824,14 17836,344104 12  2,03 432  1,87 1463 300  312  74,63 NA  75,89 3044,23 NA 2811,43

4090 12  2,69 432  2,5 494 144  156  49,92 NA  76,07 1378,02 NA 1310,36

Taulukko 6

23

6. Yhteenveto

Tässä  sovelletun  matematiikan  erikoistyössä  tarkasteltiin  EOQ­mallin  käyttöä

huomioiden  myös paljousalennukset  ja  tilarajoitteet  teollisuuden  tukkuliikkeessä

x. Nimikkeitä tilattaessa tilarajoitteena yrityksessä x on pääsääntöisesti ollut yksi

lavallinen nimikettä kohden. Tätä rajoitusta käytettiin myös mallinnuksessa. Mal­

linnuksessa paljousalennukset tulivat kysymykseen silloin, kun tilattiin vähintään

yksi lavallinen kerrallaan.

Tutkittavista  nimikkeistä  määriteltiin  optimaalinen  tilauserän  määrä  ilman  pal­

jousalennusta  ja paljousalennuksen kanssa kokonaiskustannusten  laskemista  var­

ten. Kokonaiskustannusten laskemiseen otettiin mukaan myös sellainen vaihtoeh­

to, jossa tilattiin nimikkeitä täysin lavoin. Saaduista kokonaiskustannuksista muo­

dostettiin kolme eri päätösmuuttujaa nimikettä kohden. Pienimmän päätösmuuttu­

jan arvon saanut tilaustapa oli pääsääntöisesti optimaalisin tilauspa.

Tuloksista  on  pääteltävissä  se,  että  nimikkeitä  kannattaa  pääasiassa  tilata  lavoit­

tain,  jos  kyseisen  nimikkeen  ennustettu  kysyntä  ylittää  lavakoon  tai  on  ainakin

hyvin  lähellä sitä sekä silloin,  jos nimikkeelle annetaan paljousalennus. Tätä toi­

mintatapaa kannatti  soveltaa  myös  siinä  tapauksessa  vaikka  optimaalinen  tilaus­

erän koko ei ylittänyt lavakokoa, mutta vuosittainen kysyntä ylitti. Optimaalisessa

ostoerässä kannattaa pysytellä  silloin,  kun vuosittainen kysyntä on  reilusti  alhai­

sempi kuin yhden lavallisen sisältämä nimikkeiden määrä. Vaikka täyden lavalli­

sen osto  saattaisi  tulla  hieman  edullisemmaksi  joissakin  tapauksissa, on otettava

huomioon  mahdolliset nimikkeiden parasta  ennen päiväykset. Lisäksi  varastoita­

essa  nimikkeitä  pitkään  on  hyvin  todennäköistä,  että  kustannustekijä  F  kasvaa

mahdollisten  nimikkeiden  vioittumisen  ja  samalla  käytettävyyden  menettämisen

johdosta.

EOQ­mallia  eri  rajoitusehdoin  ja  kokonaiskustannusten  minimointia  eri  mallien

suhteen tullaan soveltamaan tutkittavana olevan yrityksen nimikkeiden oston yh­

teydessä. Ostoa pyritään tällä tavalla nopeuttamaan  ja tilauskustannuksia pienen­

tämään.  Näin  nimikkeet  saadaan  ostettua  pienemmin  ponnisteluin.  Työmäärän

24

vähentyessä ja tilausten kokonaiskustannusten minimoituessa kokonaiskustannuk­

set alenevat ja yritys tulee sitä myötä saamaan enemmän katetta nimikettä kohden.

25

7. Lähdeluettelo

Alstrøm,  P.  (2001).  Int.  J.  Production  Economics  71. Numerical  computation of

inventorypolicies, based on the EOQ/ value for order­point systems, (ss. 235­245).

Piasecki, D. (13. 9 2006). Optimizing Economic Order Quantity (EOQ). Noudettu

osoitteesta  Inventoryops.com:

http://www.inventoryops.com/economic_order_quantity.htm

Sahu,  K.  (2003). Inventory  management.  Noudettu  osoitteesta

http://www1.ximb.ac.in/users/fac/Kaushik/kaushik.nsf/bdedfca988b2db3c852562

07004f45a9/564dc3628f53b0c765256c87003afd1e/$FILE/InventoryMgmt­1.ppt

Sakki, J. (1999). Logistinen prosessi Tilaus­toimitusketjun hallinta. Espoo.

Stevenson, J. W. (2005). Operation Management. McGraw­Hill Irvin.

Taha, H. A. (2007). Operation Research an intoduction. Pearson Prentice Hall.

Tekninen tukkuliike, x. (2007).

Tersine,  R.  J.  (1982). Principles  of  inventory  and  material  management.  New

York: North Holland.

Tersine, R.  J.  (1994). Principles of  inventory and materials management. Upper

Saddle River: Prentice­Hall.

Tuominen,  A.  (2005). Elektroniikan  komponentit  ja  materiaalit  I  Materiaalien

varastointi ja toimitukset. Turku: University of Turku.

Tuotannon  suunnittelu  ja  ohjaus.  (2007).  Noudettu  osoitteesta

http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm

Virtanen,  I. (10. 04 2001). Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit. Noudettu

osoitteesta Talousmatematiikan perusteet: www.uwasa.fi/~itv/TMPslide.pdf

Woolsey,  G.  (1988).  A  Requiem  for  the  EOQ:  An  Editioral. Production  and

Inventory Management Journal , Vol. 26, No. 3, 68­72.

26

Zinn, W.;& Charnes, J. M. (2005). A comparison of the economic order quantity

and  quick  response  inventory  replenishment  methods. Journal  of  Business

Logistics , 119­142.