Tich Phan Phuongphapnhaytanglau

http://ebooktoan.com/forum

1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

I. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng

11 1

1ax bax b dx c ,

a

1cos ax b dx sin ax b

a c

1dx ln ax b cax b a

c 1sin ax b dx cos ax b c

a

1ax b ax be dx e ca

1tg ax b dx ln cos ax b ca

1ax b ax bm dx m ca ln m

1cotg ax b dx ln sin ax b ca

2 2

1dx xarctg ca aa x

2

1dx cotg ax b casin ax b

2 2

12

dx a xln ca a xa x

2

1dx tg ax b cacos ax b

2 2

2 2

dx ln x x a cx a

2 2x xarcsin dx x arcsin a x ca a

2 2

dx xarcsin caa x

2 2x xarccos dx x arccos a x ca a

2 2

1dx xarccos ca ax x a

2 2

2x x aarctg dx xarctg ln a x ca a

2 2

2 2

1dx a x aln ca xx x a

2 2

2x x aarccotg dx xarccotg ln a x ca a

bln ax b dx x ln ax b x ca

1

2dx ax bln tg c

sin ax b a

2 2 22 2

2 2x a x a xa x dx arcsin c

a

1

2dx ax bln tg c

sin ax b a

2 2

axax e a sinbx bcosbxe sinbxdx c

a b

2 2

axax e a cosbx b sinbxe cosbx dx c

a b


2

II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại

bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản

nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm

1. Ví dụ 1: Chứng minh: 2 2dx 1 x aln c

2a x ax a

; 2 2

dx 1 a xln c2a a xa x

Chứng minh: 2 2

dx 1 1 1 1 dx dx 1 x adx ln c2a x a x a 2a x a x a 2a x ax a

2 2dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a xdx ln c

2a a x a x 2a a x a x 2a a xa x

2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2 2

2 2

dx ln x x ax a

c

Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: 2 22 2

2 2

1 x aln x x a cx x a

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 x 1 x x a 11x x a x a x x a x a x a


dx 1 u caa x

(với

xtg ua

)

Đặt xtg ua

, u ,2 2

2 2 2 2

d a tg udx 1 1du u ca aa x a 1 tg u


dx u ca x

(với xsin ua

, a > 0)

Đặt xsin ua

,u ,2 2

2 2 2 2

dx d a sin u du u ca x a 1 sin u

Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm

2 2dx 1 xarctg c

a aa x

và 2 2

dx xarcsin caa x

(a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ

nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách

trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.

III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:

1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:


3

1

n nx x ; m m

nn km mn nkx x ; x x

1

n nn n

1 1x ; xx x

;

mn

n m

1 xx

;

mnk

n k m

1 xx

2. Biến đổi vi phân:

dx d(x ± 1) d(x ± 2) … d(x ± p)

adx d(ax ± 1) d(ax ± 2) … d(ax ± p)

x p1 x 1 x 2dx d d da a aa

L

III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ

1. 3

dx1

xx

321 1 1dx 1 dx

1 1x x x

x x

2 3 21 1 11 dx ln 11 3 2

d xx x x x x x c

x

2. 14 7 dx = 4 7 7 4 7 dx4

x x x x

3 5 312 2 2 2

1 1 2 24 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 716 16 5 3

x x d x x x c

3.

17 2 2 2

d 2d 12 5 2 2 5

xxIx x

1 10arctg

510x c

4. x

dx 1 2 1 1 1 1 22 lnln 2 5ln 2 5ln 22 + 5 2 2 5 2 52 2 5

x xx

x x xx x

d d c

5. 5

3 2 3cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx1 sin

x dx x x dx x x x xx

3 4

2 3 sin cos1 sin sin cos cos sin3 4

x xx d x xd x x c

III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI

1x 1 x 2 x 3 x 4

J dxx x

; 2

7x 3J dx2x 5

; 2

33x 7x 5J dx

x 2

3 2 2 2

4 5 6 102x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9J dx ;J dx ; J dx

x 1 2x 1 x 1

3 2 3 2

7 815 30x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4J dx ; J dx

x 2 x 1

dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 33211

15210

31009


4

2 432 4 55 9

12 13 1447

x 3x 5J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx2x 1

9 3

15 16 174 2 2105

x x xJ dx ; J dx ; J dxx x 1 x x 12 3x

18 19 202 2 2 2

dx dx dxJ ; J ; Jx 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3

21 22 232 2 2 2 2 2

x dx dx dxJ ; J ; Jx 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3

ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x xx

24 25 26 27 xx x1 0 0 0

dx e dx 1 eJ ; J ; J e 1dx ; J dx1 ee 1 e 1

2 2x x1 1 1 1x

28 29 30 31x 2x 2x x 3x0 0 0 0

1 e dx 1 ee dx dxJ ; J ; J ; J dx1 e 1 e e e e

ln 2 ln 4 1 e3x

32 33 34 35x 3 x x x0 0 0 1

dx dx e dx 1 ln xJ ; J ; J ; J dxxe e 4e 1 e

3 1 165 2 5 3 3 2

36 37 380 0 0

J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx

2x1 1 1 12x x

39 40 41 42x x x x0 0 0 0

2 1 dxdx dxJ ; J ; J ; J e 1 e dx4 3 4 2 4

BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2

A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI

1. 2 2du 1 uarctg c

a au a 4.

du 2 u cu

2.

2 2

du 1 u aln c2a u au a

5.

2 2

du uarcsin c a 0aa u

3.

2 2

du 1 a uln c2a a ua u

6.

2

2

du ln u u p cu p

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:

1.

2 22

2b b 4acax bx c a x

2a 4a 2. 22 2ax bx c mx n p

B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN


5

I. Dạng 1: 2dxA =

ax + bx + c

1. Phương pháp:

2 2 2

dx dx 1 mx narctg cmp pax bx c mx n p

2 2 2

mx n pdx dx 1 ln c2mp mx n pax bx c mx n p

2. Các bài tập mẫu minh họa

•

1 2 2 22

d d 1 d 2 2 1 2 2 3ln24 8 1 4 3 2 2 32 2 3 2 2 3

x x x xA cx x xx x

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

1 2dxA

3x 4x 2

; 2 32 2dx dxA ; A ;

4x 6x 1 5x 8x 6

2 1 1

4 5 62 2 21 0 0

dx dx dxA ; A ; A7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3

II. Dạng 2:

2

mx + nB = dx

ax + bx + c

1. Phương pháp:

2 2

m mb2ax b nmx n 2a 2aB dx dxax bx c ax bx c

2

2

d ax bx cm mbn A2a 2aax bx c

2m mbln ax bx c n A2a 2a

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)

• Nếu mẫu có nghiệm kép 0x x tức là 2 20( )ax bx c a x x

thì ta giả sử:

2 20 0

mx n xx xax bx c x x

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , .

Với , vừa tìm ta có:

2

mx nB dx

ax bx c ln

00

x x cx x

• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x : 21 2( )( )ax bx c a x x x x thì ta giả sử

21 2

mx n xx x x xax bx c


6

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm , .

Với , vừa tìm ta có:

dx

2

mx nB

ax bx c ln ln 1 2x x x x c

2. Các bài tập mẫu minh họa:

•1 2

2x + 3B = dx9x 6x + 1

2 2 2

1 1118 6 1 18 6 d 11 d9 3 d9 39 6 1 9 6 1 9 6 1

x x x xxx x x x x x

2

2 21 9 6 1 11 3 1 2 11ln 3 19 9 9 9 3 19 6 1 3 1

d x x d x x cxx x x


1 2 32 2 2

7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dxB ; B ; B

4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4

;

III. Dạng 3: 2

dxC =ax + bx + c

1. Phương pháp: Bổ đề: ln 2

2

du u u k cu k

Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:

2

2 2

dx dx 1 lnC mx n mx n k cmax bx c mx n k

2 22

dx dx 1 arcsin 0mx nC pm pax bx c p mx n


•

2

3 2 2

d 1 d 5 5 45ln4 162 4454 10 5 5

4 16

x xC x x cx x x


1 2 32 2 2

dx dx dxC ; C ; C3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x

IV. Dạng 4:

2

mx + n dxD =

ax + bx + c

1. Phương pháp:

2 2

2 dx dx2 2

ax bm mbDa aax bx c ax bx c

2

22 2

d ax bx cm mb Ca aax bx c



7

• D1 = 1 1 1

2 2 20 0 0

4 d 2 d d24 5 4 5 4 5

x x x x x

x x x x x x

1 1 122 2

2 2 00 0

1 d 4 5 d2 4 5 2ln 2 4 52 4 5 2 1

x x x x x x x xx x x

3 1010 5 2 ln 3 10 2 ln 2 5 10 5 2 ln2 5


1 2 32 2 2

5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dxD ; D ; D3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x

V. Dạng 5: 2

dxE =px + q ax + bx + c

1. Phương pháp: Đặt 21 dt 1 1dx ;px q p x qt p tt

. Khi đó:

2

2 2 2

2

dt ptdx dtEpx q ax bx c t t1 a 1 b 1q q c

t t p tp


•

3

1 22

dxE =x - 1 x - 2x + 2

. Đặt

2

2 111 1 31 ; 2

dx

x tt x tx x

t t dtt

Khi đó:

1 23 2

1 2 22 1

dt tdxE1x-1 x 2x 2 t 1 t 12 2

t tt

1 1

2

2 1 21 2

dt 1 5 2 2 2ln t t 1 ln 1 2 ln ln2 1 5t 1


2 3 3

1 2 32 2 21 2 2

dx dx dxE ; E ; E2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1

VI. Dạng 6:

2

mx + n dxF =

px + q ax + bx + c


8

1. Phương pháp:

2 2

dxdx

mqm px q nmx n p pF

px q ax bx c px q ax bx c

2 2

dx dxmq mqm mF n C n Ep pp pax bx c px q ax bx c


1

1 20

2 3 d

1 2 2

x xFx x x

1 1

2 20 0

dx dx2 2I Jx 2x 2 x 1 x 2x 2

1

20

dx

2 2I

x x

112

020

dx 2 5ln 1 1 1 ln1 21 1

x xx

1

20 1 2 2

dxJx x x

. Đặt

2

0 111 11 2

dx

x tx tx

t dtt

. Khi đó:

1 2 12 1

2

2 2 1 21 1 2

dt t dt 2 2 2J ln t t 1 ln1 51 t 11 11 2 1 2t tt

F1 2I + J

2 5 2 2 2 2 9 4 52ln ln ln1 2 1 5 1 2 1 5

•

3 2

22

51 2 12 2

2 1 4 3

xdx

x x x

-3 2

2 2-2

x + 3 dxF =

2x + 1 -x - 4x - 3

3 2 3 2

2 22 2

1 dx 5 dx 1 5I J2 2 2 2x 4x 3 2x 1 x 4x 3

3 2

22 4 3

dxIx x

3 2

3 2

222

dx arcsin x 261 x 2

3 2

22 2 1 4 3

dxJx x x

. Đặt

2

1231 1 3 12 1 2 22

2

x tt x tx x ;

t t dtdxt

1 2 1 32

2 21 3 1 2

1 31 3

2 21 21 2

d t 2 t d tJ1 5 t 6 t 11 1 11 2 1 3

4 t tt1 d t 1 5 t 3 1 2 1arcs in a rcs in a rcsin

2 3 45 5 532 t5 5


9

Vậy 2551 2 1F I J arcsin arcsin

2 2 12 2 3 4


1 1 1

1 2 32 2 20 0 0

4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dxF ; F ; F8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1

VII. Dạng 7: 2 2

xdxG =ax + b cx + d

1. Phương pháp: Đặt 2

2 2 2 2 t d t dtt cx d t cx d x ; x dxc c

Khi đó: 2 2 22

1 1 1t dt dtG Ac c at bc ad ca t d b t

c


•

1

1 2 20

xdxG =5 - 2x 6x + 1

. Đặt 2

0 1

6 1 1 7

6

x t

t x x t

x dx t dt

. Khi đó:

77 7

1 2 2211 1

3 4 71 t dt 1 dt 1 1 4 t 1G ln ln6 2 2 8 4 t 164 t16 t 5 4 7t

3


2 2 1

1 2 32 2 2 2 2 21 1 0

x dx x dx x dxG ; G ; G4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1

VIII. Dạng 8: 2 2

dxH =ax + b cx + d

1. Phương pháp:

Đặt

2 2 2 2 22 22

d td .dtxt cx d x t cx d x xdxt c t c

22

222

td .dt t cdx xdx dtx xt t ctd t ccx d

. Khi đó ta có:

22 2 22

dx dt dtH Aad bt ad bcax b cx d b t c

t c



10

•

3

1 2 22

dxH =x - 2 x + 3

. Đặt 2

2

233 3372

2

x txxt x tx x t

và

2 2 2 2 2 22 22

3 3t dtx t x 3 t 1 x 3 x x dxt 1 t 1

22

222

3t dt t 1dx x dx dtx xt t 13t t 1x 3

. Khi đó ta có:

2 3

1 27 2

dt2 5

Ht

2 3

7 2

1 2 5 1 2 2 15 14 2 5ln ln2 10 2 5 2 10 2 2 15 14 2 5

tt


2 2 2 2

1 2 3 22 2 2 21 1 1

d d 5; ; d23 1 5 2 3 2 3 1

x x xH H H xxx x x x x x

IX. Dạng 9:

2 2

mx + n dxI =ax + b cx + d

1. Phương pháp: 2 22 2

xdx dxI m n mG nHax b cx d ax b cx d


•

3

2 22

4 1 7

1 5 3 1 2

x dx

x x

3

1 2 22

4x + 3 dxI =x - 2x - 4 3x - 6x + 5

2 2 2

2 2 2 2 2 21 1 1

du udu du4u 7 4 7 4J 7Lu 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2

Xét

2

2 21 5 3 2

uduJu u

. Đặt 2

2 2 23 23 3

t tdtt u u udu

142 14 14

222 21 5 5 5

udu tdt dt 1 t 17J ln2 17 t 17t 17t 17 tu 5 3u 2

17 14 17 51 17 14 17 5 1ln ln ln2 17 17 14 17 5 2 17 17 14 17 5

Xét

2

2 21 5 3 2

duLu u

. Đặt 2 2 2 2 22

23 2 3 23

ut u u t u ut

22

2 2222

2tdt t 32tdt du udu dtuduu ut t 32t t 33u 2t 3

. Khi đó:


11

14 2 14 22

22 2 21 2 22

du dt dtL2 17 5tu 5 3u 2 5 t 3

t 3

14 2

2

1 1 17 t 5ln5 2 17 17 t 5

1 70 2 17 2 5 17ln2 85 70 2 17 2 5 17

1

17 14 17 54 7 70 2 17 2 5 17I 4J 7L ln ln2 17 2 8517 14 17 5 70 2 17 2 5 17

•

6 1

2 22 1

2 1 1

1 5 2 1 3

x dx

x x

6 -1

2 2 22 -1

2x + 1 dxI =x + 2x + 6 2x + 4x - 1

6 6 6

2 2 2 2 2 22 2 2

2u 1 du udu du2 2J Lu 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3

Xét

6

2 22 5 2 3

uduJu u

. Đặt 2

2 2 32 32 2

t tdtt u u udu

6 3 3

222 21 12

udu tdt dt 2 3 1J arctg arctgt 13 13 13 13t 13 tu 5 2u 3

Xét L

6

2 22 5 2 3

du

u u . Đặt 2 2 2 2 2

2

32 3 2 32

ut u u t u ut

22

3tdtudu2 t

22

222

3tdt 2 tdu udu dtu ut 2 t3t 2 t2u 3

. Khi đó:

3 6 3 6 3 66

22 2 222 1 2 1 2 1 22

du dt dt 1 dtL133 513 5tu 5 2u 3 t5 2 t52 t

3 6

1 2

13 5 t1 1 1 78 3 5 26 5ln ln ln5 2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5

2

4 3 1 1 78 3 5 26 5I 2J L arctg arctg l n13 13 13 2 65 78 3 5 26 5

BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC


12

Các bài tập mẫu minh họa:

• 1

dxA =x 2 x + 5

1 5 2 1 1 1 1 2ln7 2 5 7 5 5 7 5

x x xdx dx cx x x x x

1 x 4 x 5 dx9 x 5 x 2 x 4

2

dxA =x 5 x+ 2 x+ 4

1 1 1 1 2 5 1 4 29 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4

1 1 1 1 1 1 1 5 1 4ln ln63 5 2 18 4 2 63 2 18 2

x x x xdx dx dxx x x x x x x x

x xdx dx cx x x x x x

II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC


2 2

22 2

2 22

2 2

dx 1 x x 3 1 xdx dxdx3 3 xx 3x x 3 x x 3

1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3ln x 3 ln x c ln c3 2 x 3 2 6x 3 x

1 3dxB =

x 3x

•

4 4

4 33 4 3 4

dx 1 x x 10 1 xdx dxdx10 10 x 10 xx x 10 x x 10

2 7 3

dxB =x 10x

2 2

2 3 222

1 1 d x dx 1 1 x 10 1ln c10 2 20x x10 x 10x 10


1 2 3 4 53 9 4 11 5 6 7

dx dx dx dx dxB ; B ; B ; B ; Bx 5x x 7x x 8x x 9x x 13x

6 7 83 2 3 2 4 3 2

dx dx dxB ; B ; Bx 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4

III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4

2 2

2 2 2 2

dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1dx ln arctgx c2 4 x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1

1 4

dxC =x 1

2 2

22 2 22 2

1 d x 1 1 1 1 x 1d x ln c2 4 4x 1 x 1 x 1x 1 x 1

2 4

xdxC =x 1

2 2

2 22 2

2 2

1 x 1 x 1 1 1 1d x dx

2 2 x 1 x 1x 1 x 11 d x 1 d x 1 x 1 1ln a rc tg x c2 2 4 x 1 2x 1 x 1

2

3 4x d xC =

x 1


13

• 4

44

1 d x 1 1 ln x 1 c4 4x 1

3

4 4x dxC =

x 1

4

14 4

x 1 1 dx 1 x 1 1dx dx x C x ln arctgx c4 x 1 2x 1 x 1

4

5 4

x dxC =x 1

2

222

1 d x 1 arctg x c2 2x 1

6 4xdxC =

x + 1

44

41 d x 1 1 ln x 1 c4 4x 1

3

7 4x dxC =

x + 1

2

2 222

1 1 11 d x x 21x xx dx ln c1 12 21 x 2x x 2 xxx

2

8 4x 1C = dxx + 1

•

22

2 222

1 11 d x 1 x 1xx dx arctg c1 2 x 21x x 2x x

2

9 4x + 1C = dxx + 1

2 2 2 2

4 4 4

2 2

9 8 2

1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx2 2x 1 x 1 x 1

1 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1

10 4dxC =

x + 1

2 2 2 2

4 4 4

2 2

9 8 2

1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx2 2x 1 x 1 x 1

1 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1

2

11 4x dxC =

x + 1

4 2 2

4 2

x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1dx x arctg ln c2x 1 2 x 2 2 2 x x 2 1

4

12 4x dxC =x + 1

2

222

2

2 2

1 11 dx d xx x

1 1 1 1x 5 x 4 x 5 x 6xx x x

d u du 1 1 1 1 x 6x 1du ln c7 u 6 u 1 7u 6 u 1u 5u 6 x x 1

2

13 4 3 2

x -1 dxC =x 5x 4x 5x + 1

• 2 2 2 2

4 2 4 2 4 2

1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx2 2x x 1 x x 1 x x 1

14 4 2

dxC =x + x + 1


14

2 2

2 22 22 2

1 1 1 11 dx 1 dx d x d x1 1x x x x1 12 4 1 1x 1 x 1 x 3 x 1x x x x

2 2

2

1 1x x 11 1 1 x 1 1 x x 1x xarctg ln c arctg ln c14 4 x x 12 3 3 2 3 x 3x 1x

IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3

•

22

dx d x 1x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3

1 3

dxD =x 1

2 2

22 2

dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3

2 2

1 dt 1 2t 3 dt 3 dt3 t 2 2t 3t 3 t 3t 3

2

21 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c6 x x 1 2 3 3

•

22

dx d x 1x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3

2 3

dxD =x + 1

2 2

22 2

dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3

2

2 21 dt 1 d t 3t 3 3 dt3 t 2 2 3t 3t 3 3t

2 4

2 2

2 21 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1ln 3arctg c ln arctg c3 2 6t 3t 3 x x 13 2 3 3

•

22

2 2

xdx 1 x x 1 x 1 dx3x 1 x x 1 x 1 x x 1

3 3xdxD =

x 1

2

1 1 x 1 dx3 x 1 x x 1

2 22

1 dx 1 2x 1 dx 3 dx3 x 1 2 2x x 1 31x

2 2

21 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c3 2 3

•

22

2 2

xdx 1 x x 1 x 1 dx3x 1 x x 1 x 1 x x 1

4 3

xdxD =x + 1

2 2 22

1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dxdx3 x 1 3 x 1 2 2x x 1 x x 1 31x

2 2


15

22

21 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c

3 2 6 x x 13 3 3

V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6

• 1 23 33 3

dx 1 dx dx 1 D D2 2x 1 x 1x 1 x 1 1 6

dxE =x 1

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg ln arctg2 6 6x x 1 x x 12 3 3 2 3 3

1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1ln arctg arctg c12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1

•

2

13 32

1 d x 1 du 1 D2 2 2u 1x 1

2 6xdxE =

x 1

2 4 2 2

2 4 2

1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c2 6 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3

3 3 3

6 3 31 d x 1 1 x 1 1 x 1ln c ln c3 3 2 6x 1 x 1 x 1

2

3 6x dxE =x 1

•

2 2

6 3 2

1 x d x 1 udu 1 udu2 2 2x 1 u 1 u 1 u u 1

3

4 6x dxE =x 1

2 4 2 2

2 4 21 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c

12 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3

4 2 2

2 4 2 62 4 2

x x 1 x 1 2 dx dx dxdx 2x 1 x x 1 x 1x 1 x x 1

4

5 6

x dxE =x 1

2 2 2

2 2

1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1ln arctg arctg arctg c12 2 3 3 3 x 3x 2x 1 x x 1

• 6

66

1 d x 1 ln x 1 c6 6x 1

5

6 6x dxE =x 1

• 6

16 6x 1 1 dxdx dx x E

x 1 x 1

6

7 6x dxE =x 1

2 2

2 2

1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1x ln arctg arctg c12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1

•

2 2 2 2

4 22 4 2 22

11 dxx 1 x 1 dx x 1 dx x

1x x 1x 1 x x 1 x 1x

4

8 6x 1E = dxx + 1


16

2

2 22

1 1d x x 31 1 x x 3 1x xln c ln c12 3 2 3 x x 3 11 x 3x 3 xx

•

4 2 2 2

2 62 4 2

x x 1 x dx x dxdxx 1 x 1x 1 x x 1

4

9 6x + 1E = dxx + 1

3

32 6dx 1 d x 1arctgx arctg x c

3 3x 1 x 1

4 4

9 86

23

2

1 x 1 x 1 1dx E E2 2x 1

1 1 1 x x 3 1arctgx arctg x ln c2 3 2 3 x x 3 1

10 6dxE =

x + 1

• 3 2 3

26 6 61 d x 1 d x 1 d x 1 D3 2 3 2x 1 x 1 x 1

2

11 6x + xE = dxx + 1

(thay x2 vào D2)

4 2 2

34 2

1 1 1 x 2x 1 1 2x 1arctg x ln arctg c3 2 6 x x 1 2 3 3

VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR

• Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x a là:

n

2 nn n nn n

P a P a P aP x P a x a x a x a

1! 2! n!


•

4 3

1 503x 5x + 7x 8F = dx

x + 2. Đặt 4 3

4P x 3x 5x 7x 8

3 4

2 3 44 4 4 44 4

P 2 P 2 P 2 P 2P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2

1! 2! 3! 4!

2 3 44P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2

2 3 4

1 50

50 49 48 47 46

49 48 47 46 45

66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2F dxx 2

66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx

66 149 48 29 3 c49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2

VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa:


17

•

99 99 98

9999 99

1 3 5 3 1 35 5 3 53 5 3 5

1 100dxG =

3x + 5xdx x x dx x dxdx

x xx x x x

99 99

9999 99

1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 xln x ln 3x 5 c ln c5 x 99 5 99 4953x 5 3x 5

50 50 49

2 25050 50

50 50 49 49 49

2 50 250 50 50

50

50

1 2x 7 2x 1 dx 2x dxdx7 7 x 2x 7x 2x 7 2x 7

1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dxdx7 7 49 x 72x 7x 2x 7 2x 7 2x 7

1 dx 1 d 2x 749 x 50 2x 7

2 250

dxG =x 2x +7

50

250

5050

5050 50

1 d 2x 7350 2x 7

1 1 1 1 x 1ln x ln 2x 7 ln c49 49.50 49.50 2x 7350 2x 7 350 2x 7

n n n

k k 1 kn n n

1 ax b ax 1 dx 1 d ax bdxb b nbx ax b x ax b ax b

3 kn

dxG =x ax + b

n n

2 k 2 2 k 1 kn n n

1 dx 1 d ax b 1 d ax bnbb nbx ax b ax b ax b

nk k 1 kk 1 nn

n

k n k 1 k 1 nn

1 1 1 1 1ln x ln ax b cnb bb ax bb k 1 ax b

1 x 1 1 1ln cnnb ax b b ax bb k 1 ax b

2000 2000 1999

2000 2000

2000 10002000

20002000

1 x 2x dx 2 x dxdxxx 1 x 1 x

dx 1 d 1 x 1 xln x ln 1 x c ln cx 1000 1000 1 x1 x

2000

4 2000

1 x dxG =x 1 + x

10 9 10 10 1010

2 2 210 10 10

10 1010

10 2 1010

1 .10 1 1 3 3 310 10 103 3 3

1 3 3 1 33 ln 310 103 10 33

19

5 210

x dxG = =3 + x

x x dx x d x x d xx x x

d x d x x cx xx

50 49 5050

7 750 50

50 50

6 7 5 650 50 50 50

50 50

6 650 50

x .x dx 1 2x 3 3 d 2x 32002x 3 2x 3

1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 13 c200 2002x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3

1 2 2x 3 5 1 4xc c200 10 2x 3 2000 2x 3

99

6 750

x dxG =2x 3


18

•

n n 1

kn

x x dx

ax b

2n-1

7 kn

x dxG =ax + b

n

n2 kn

1 ax b b d ax bna ax b

n n

2 k 1 k 2 k 2 k 1n n n n

1 d ax b d ax b 1 1 bb cna naax b ax b k 2 ax b k 1 ax b

n n

2 k 1 k 1n 2 n

1 b k 2 k 1 ax b kax bc cna k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 5

****1 2 3 4 58 8 8 8 8

xdx x x dx xdx dxG ; G dx ; G ; G ; Gx 1 x 1 x 1 x 1 x 1

VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC

•

10

23x 5 dxx 2 x 2

10

1 123x 5H = dxx + 2

10 111 3x 5 3x 5 1 3x 5d c

11 x 2 x 2 121 x 2

•

99 99

27x 1 dx 1 7x 1 7x 1d2x 1 9 2x 1 2x 12x 1

99

2 1017x 1H = dx2x + 1

100 1001 1 7x 1 1 7x 1c c

9 100 2x 1 900 2x 1

• 5 5 6 2

8

dx 1 1 dxx 3 x 3 x 5 x 5x 5x 5 x 5

3 5 3dxH =

x + 3 x + 5

66

7 5 7 51 1 x 3 x 5 1 1x 3d u 1 du

x 5x 52 2 ux 3x 5

6 5 4 3 2

7 5

7 2 3 4 5

2

7 2 3 4

1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1 du2 u

1 15 20 15 6 1u 6 duu2 u u u u

1 u 20 15 2 16u 15ln u cu22 2u u 4u

2

7

2 3 4

7

1 1 x 3x 3 x 36 15 lnx 5 x 52 x 52

1 x 5 15 x 5 x 5 x 5120 2 cx 3 2 x 3 x 3 4 x 32


19

Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

• 1 7 3

dxH =3x 2 3x + 4

; 12 3 4

dxH =2x 3x -1

; 3 5 4

dxH =3x+ 2 4x -1

BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG

1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

0 1 1 1 1n n n k n k k n n n nn n n n na b C a C a b ... C a b ... C ab C b

trong đó

!! !

kn

nCk n k

và 1 2 1m! . .... m m với qui ước 0! 1

2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC

2 2

1 1

1 1

cos ax b dx sin ax b c sin ax b dx cos ax b ca a

dx dxtg ax b c cotg ax b ca acos ax b sin ax b

B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN

I. Dạng 1: n n1.1 1.2A = sinx dx ; A cosx dx

1. Công thức hạ bậc

2 2 3 31 2 1 2 3 3 3 32 2 4 4

cos x cos x sin x sin x cos x cos xsin x ;cos x ; sin x ;cos x

2. Phương pháp 2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

2.2. Nếu n 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.

2.3. Nếu 3 n lẻ (n 2p 1) thì thực hiện biến đổi:

2 21ppsin x sin xdx cos x d cos x

n 2p+11.1A = sinx dx = sinx dx

k pk p0 1 2 k 2 p 2p p p p

k p2k 1 2p 10 1 3 k p

p p p p

C C cos x ... 1 C cos x ... 1 C cos x d cos x

1 1 1C cos x C cos x ... C cos x ... C cos x c3 2k 1 2p 1

2 21ppcos x cos xdx sin x d sin x

n 2p+11.2A = cosx dx = cosx dx


20

k pk p0 1 2 k 2 p 2p p p p

k p2 k 1 2 p 10 1 3 k p

p p p p

C C sin x ... 1 C sin x ... 1 C sin x d sin x

1 1 1C sin x C sin x ... C sin x ... C sin x c3 2k 1 2p 1

• 3

32 1 22

cos xcos x dx dx 6

1A = cos xdx =

3 2 31 11 cos 2x dx 1 3cos 2x 3cos 2x cos 2x dx4 4

1 3 1 2 cos 4x cos 3x 3cos x1 3cos 2x dx4 2 4

1 17x 6sin 2x 3sin 4x sin 3x 3sin x c16 3

• 48 215 5 1 5 5

5sin x sin x dx cos x d cos x 9

2A = sin5x dx

2 4 6 8

3 5 7 9

1 1 4 cos 5x 6 cos 5x 4 cos 5x cos 5x d cos 5x51 4 6 4 1cos5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c5 3 5 7 9

II. Dạng 2: m nB = sin x cos x dx (m, nN)

1. Phương pháp: 1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi:

2 21pm p msin x cos x cos xdx sin x sin x d sin x

m 2p+1B = sinx cosx dx

k pm k p0 1 2 k 2 p 2p p p p

m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 mk p0 1 k p

p p p p

sin x C C sin x ... 1 C sin x ... 1 C sin x d sin x

sin x sin x sin x sin xC C ... 1 C ... 1 C cm 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m

c. Nếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi:

2 21pn p ncos x sin x sin xdx cos x cos x d cos x

2p+1 nB = sinx cosx dx

k pn k p0 1 2 k 2 p 2p p p p

n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 nk p0 1 k p

p p p p

cosx C C cos x ... 1 C cos x ... 1 C cos x d cosx

cosx cosx cosx cosxC C ... 1 C ... 1 C cn 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n

d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u sinx ta có:


21

1 1

2 22 21n m

mm n mB sin x cos xdx sin x cos x cos xdx u u du

(*)

• Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số 1 1

2 2 2m n m k; ;

là số nguyên


• 2 21 24

sin x cos x dx 2 41B = sinx cosx dx

1 11 cos 4x 1 cos 2x dx 1 cos 2x cos 4x cos 2x cos 4x dx16 161 11 cos 2x cos 4x cos 6x cos 2x dx

16 21 1 sin 2x sin 4x sin 6x2 cos 2x 2 cos 4x cos 6x dx 2x c32 32 2 2 6

• 111 85 5 5cos x sin x sin x dx 9 111

2B = sin5x cos5x dx

4111 2

111 2 4 6 8

112 114 116 118 120

1 cos 5x 1 cos 5x d cos 5x51 cos 5x 1 4 cos 5x 6cos 5x 4cos 5x cos 5x d cos 5x5

1 cos 5x 4 cos 5x 6 cos5x 4 cos5x cos5x c5 112 114 116 118 120

•

4 4 36 25 51cos3 sin3 sin3 cos3 1 cos 3 cos3

3x x xdx x x d x

7

3 5 4

sin3xB = dxcos 3x

42 4 65

311 11 215 5 5 5

1 cos3x 1 3cos 3x 3cos 3x cos 3x d cos 3x31 15 15 55 cos 3x cos 3x cos3x cos3x c

3 11 21 31

•

3

3 3 2 28

1 1dx dxtg x cos x cos xsin x cos x

cos x

4 3 5

dxB =sinx cosx

32 2 4 6

3 3

1 tg x 1 3tg x 3 tg x tg xd tg x d tg xtg x tg x

33 2 42

3 1 3 1tg x 3tg x tg x d tg x 3ln tg x tg x tg x ctg x 2 42tg x

•

4 4

4 2 4 2 4 2

cos sin 1 sin sin sinsin cos sin 1 sin sin 1 sin

xdx d x x x d xx x x x x x

5 4

dxB =sin xcosx

2

4 2 3

1 sin x d sin x 1 1 1 1 sin xd sin x ln c

sin x 2 1 sin x3 sin xsin x 1 sin x


22

• 5 1 5 4

3 3 3 3sin cos sin cos cos dx x dx x x x x

6 3 5

dxB =sin xcosx

2

5 2 2 35 4 2 33 33 32

1 usin x cos x d sin x u 1 u du u duu

Đặt 2

32

1 u vu

3 22u du 3v dv ; 1 3 1 32 2 2

32 2

1 u cos xv tg xu sin x

22 3 23

36 21 u 3 3 3B u du dv v c tg x c

2 2 2u

Cách 2:

5 23 37 25

3

1 dx 3B tg x d tg x tg x c2cos xsin x

cos x

III. Dạng 3: n n

3 . 1 3 . 2C = tg x dx ; C = cotg x dx (nN)

1. Công thức sử dụng

• 221 dxtg x dx d tg x tg x c

cos x

• 221 dxcotg x dx d cotg x cotg x c

sin x

• sin x d cos xtg xdx dx ln cos x c

cos x cos x

• cos x d sin xcotg xdx dx ln sin x c

sin x sin x


• 2 2 2 4 2 62 2 2tg 1 tg tg 1 tg tg 1 tgk k kx x x x x x 2k1C = tgx dx

k 1 k2k 8 02 2tg x 1 tg x ... 1 tg x 1 tg x 1 dx

k 1 k2k 2 2k 4 2k 6 0

2k 1 2k 3 2k 5k 1 k

tg x tg x tg x ... 1 tg x d tg x 1 dx

tg x tg x tg x tg x1 1 x c2k 1 2k 3 2k 5 1

• 2 1 2 32 2tg 1 tg tg 1 tgk kx x x x 2k+1

2C = tgx dx

k 1 k2k 5 2 2tg x 1 tg x ... 1 tg x 1 tg x 1 tg x dx

k 1 k2k 1 2k 3 2k 5

2k 2k 2 2k 4 2k 1 k

tg x tg x tg x ... 1 tg x d tg x 1 tg xdx

tg x tg x tg x tg x1 1 ln cos x c

2k 2k 2 2k 4 2


23

• 2 2 2 42 2cotg 1 tg cotg 1 tgk kx co x x co x 2k

3C = cotgx dx

k 1 k2k 6 02 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 dx

k 1 k2k 2 2k 4 0

2k 1 2k 3 2k 5k 1 k

cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 dx

cotg x cotg x cotg x cotg x1 1 x c2k 1 2k 3 2k 5 1

• 2 1 2 32 2cotg 1 tg cotg 1 tgk kx co x x co x 2k+1

4C = cotgx dx

k 1 k2k 5 12 2cotg x 1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 cotg x dx

k 1 k2k 1 2k 3

2k 2k 2 2k 1 k

cotg x cotg x ... 1 cotg x d cotg x 1 cotg x dx

cotg x cotg x cotg x1 1 ln sin x c

2k 2k 2 2

• 5 4 3 2tg 5 tg cotg 10 tg cotgx x x x x 5

5C = tgx + cotgx dx

2 3 4 5

5 5 3 3

5 3 5 3

10 tg x cotg x 5 tg x cotg x cotg x dx

tg x cotg x 5 tg x 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx

tg x 5 tg x 10 tg x dx cotg x 5 cotg x 10 cotg x dx

3 2 2

3 2 2

3 3

4 42 2

tgx 1 tg x 4tgx 1 tg x 6tgx dx

cotgx 1 cotg x 4cotgx 1 cotg x 6cotgx dx

tgx 4tgx d tgx 6 tgx dx cotgx 4cotgx d cotgx 6 cotgx dx

tgx cotgx2tg x 6ln cosx 2cotg x 6ln sin x c

4 4

IV. Dạng 4:

m m

4 . 1 4 . 2n n

tg x cotg xD = dx ; D = dx

cos x sin x

1. Phương pháp: Xét đại diện 4 1

m

. n

tg xD dx

cos x

1.1. Nếu n chẵn (n 2k) thì biến đổi:

1

122 2

1 1k

km mdxtg x tg x tg x d tg xcos x cos x

m

4.1 2k

tgxD = dx

cosx


24

1 p k 1m 0 1 2 p 2 k 1 2k 1 k 1 k 1 k 1

m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 10 1 p k 1k 1 k 1 k 1 k 1

tg x C C tg x ... C tg x ... C tg x d tg x

tg x tg x tg x tg xC C ... C ... C c

m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1

1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m 2k 1, n 2h 1) thì biến đổi:

2 2

2 22

1 1h hkk tg x sin xtg x dx tg x dx

cos x cosx cos x cos x

2k+1

4 .1 2h+1

tgxD = dx

cosx

k 2h k2 2h

2

1 1 11 d u 1 u ducos x cos xcos x

(ở đây 1u

cos x )

k k 1 k pp k2h 0 2 1 2 p 2 k

k k k ku C u C u ... 1 C u ... 1 C du

2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1

p k0 1 p kk k k k

u u u uC C ... 1 C ... 1 C c2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1

1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m 2k, n 2h 1) thì sử dụng biến đổi:

2k 2k 2k

4.1 2h 1 k h 12 k h 1 2

2k 2k 2 2 2k 2 2k 2

4.1 k h 1 k h 1 k h 1 k h2 2 2 2

tg x sin x cos x sin xD dx dx d sin x ; u s inxcos x cos x 1 sin x

u du u 1 1 u u du u duD du1 u 1 u 1 u 1 u

Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1.


•

2

27 7 22 2

1 1tg3 tg3 1 tg 3 tg33cos3 cos3

dxx x x d xx x

7

1 6

tg3xD = dx

cos3x

8 10 127 2 4 tg3x tg3x tg3x1 1tg3x 1 2 tg3x tg3x d tg3x 2 c

3 3 8 10 12

•

310

2 2155 5

dxcotg xsin x sin x

10

2 8

cotg5xD = dx

sin5x

310 2

11 13 15 17

1 cotg 5x 1 cotg 5x d cotg 5x5

cotg 5x cotg 5x cotg 5x cotg 5x1 3 3 c5 11 13 15 17

•

94

6 4144 4

tg xtg x dxcos x cos x

7

3 95

tg4xD = dx

cos4x


25

3 94 394 22

101 99 97 9594 6 4 2

101 99 97 95

1 1 1 1 11 d u u 1 du4 cos 4x cos 4x 4cos 4x1 1 u u u uu u 3u 3u 1 du 3 3 c4 4 101 99 97 951 1 1 3 1 c4 101 cos 4x 33 cos 4x 97 cos 4x 95 cos 4x

•

40

8 3133 3

cotg xcotg x dxsin x sin x

9

4 41

cotg3xD = dx

sin3x

4 40 440 2

21 1 1 1 11 d u u 1 du3 sin 3x sin 3x 3sin x

49 47 45 43 41440 8 6 4 21 1 u u u u uu u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c

3 3 49 47 45 43 41

49 47 45 43 411 1 4 2 4 1 c3 49 sin 3x 47 sin 3x 15 sin 3x 43 sin 3x 41 sin 3x

•

22

2 2 21sin x cos xdx sin x d sin x

sin xcos x cos x

2

5tgx dx

D =cosx

2 21 sin x 1 sin x 1 1d sin x d sin x

1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x

2 2 21 1 2 1 1 1 sinxd sin x ln c

1 sin x 1 sin x 1 sin x1 sin x1 sinx 1 sinx

•

4 4

4 2 321

sin x cos xdx sin x d sin xcos x cos x sin x

4

6tgx

D = dxcosx

4 4 2

2 13 3 3 22 2 2 2

u du 1 1 u du 1 udu du I I1 u 1 u 1 u 1 u

2

1 22

1

1

u duIu

2

2 2 2

1 11 du d u 1 uu u c c1 1 u11 uuu uuu

2 321

duIu

3 31 1 u 1 u 1 1 1du du8 1 u 1 u 8 1 u 1 u

3 3 2

1 1 1 3 1 1 du8 1 u 1 u1 u 1 u 1 u

2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2

2

12 2 2 22 2 2

1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 1 u6 3 du8 82 1 u 2 1 u 1 2 1 u 1 u

u 3 1 u du 3 du u 3 3 1 uI ln c8 8 8 16 1 u1 u4 1 u 1 u 4 1 u

u


26

6 2 1 1 122

2

2 2 22 2

33

2 42

u 3 3 1 uD I I I ln I8 16 1 u4 1 u

u 5 u 3 1 u 2u 5u 1 u 3 1 uln c ln c8 16 1 u 16 1 u1 u4 1 u 8 1 u

5u 3u 3 1 u 5 sin x 3sin x 3 1 sin xln c ln c16 1 u 16 1 sin x8 cos x8 1 u


20 11 4 6

1 2 3 48 21 3 5

tg 6x cotg 3x tg x cotg 2xD dx ; D dx; D dx ; D dx

cos 6x sin 3x cos x cos 2x

V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1. Phương pháp:

5 1

5 2

5 3

5 4

12

12

12

12

.

.

.

.

E cos mx cos nx dx cos m n x cos m n x dx

E sin mx sin nx dx cos m n x cos m n x dx

E sin mx cos nx dx sin m n x sin m n x dx

E cos mx sin nx dx sin m n x sin m n x dx


• 1 2 14 42

cos x cos x cos x 1E = cos2x .cos5x .cos9x dx

1 1 sin16x sin12x sin6x sin2xcos16x cos12x cos6x cos2x dx c4 4 16 12 6 2

• 3 3 84

cos x cos x sin x dx

32E = cosx sin8x dx

1 1 3 13cos x sin8x cos3x sin8x dx sin 9x sin 7x sin11x sin 5x dx4 4 2 2

1 3 3 1 1cos9x cos 7x cos11x cos5x c8 9 7 11 5

• 21 1 2 13 78

cos x sin x sin x dx 43E = sinx sin3x cos10x dx


27

21 1 2cos 2x cos 2x sin13x sin 7x dx8

1 1 cos 4x1 2cos 2x sin13x sin 7x dx8 2

1 3 4cos 2x cos 4x sin13x sin 7x dx16

1 3 sin13x sin 7x 4cos 2x sin13x sin 7x cos4x sin13x sin 7x dx161 3 sin13x sin 7x 2 sin15x sin11x sin9x sin5x

161 sin17x sin9x sin11x sin3x dx2

1 sin17x 4sin15x 6sin13x 3sin11x 3sin9x 6sin7x 4sin5x sin3x dx32

1 cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x c32 17 15 13 11 3 7 5 3

• 3 2cosx cosx sin 5 x dx 5

4E = cosx sin5x dx

cos3x 3cos x 1 cos 2x sin5x dx4 2

1 cos 3x 3cos x sin 5x cos 3x 3cos x cos 2x sin 5x dx8

1 sin 7x sin 3xcos 3x 3cos x sin 5x cos3x 3cos x dx8 21 2sin 5x cos 3x 3cos x cos 3x 3cos x sin 7x sin 3x dx

16

1 2 sin 8x sin 2x 6 sin 6x sin 4x sin10x sin 4x32

3 sin 8x sin 6x sin 6x 3 sin 4x sin 2x dx

1 sin10x 5sin 8x 10sin 6x 10sin 4x 5sin 2x dx32

1 cos10x 5cos8x 5cos 6x 5cos 4x 5cos 2x c32 10 8 3 2 2

•

3 4 3 4

2 22

sin x sin x sin x sin xdx dxsin x cos x cos x xcos x sin x cosx .sin 2 x

5sin3x sin4xE = dxtgx + cotg2x


28

1sin 2x sin 3x sin 4x dx cos 2x cos 6x sin 3x dx2

1 1 cos5x cosx cos9x cos3xsin5x sin x sin9x sin3x dx c4 4 5 1 9 3


54 3 5 2

1 2 3 2

sin 8x dxE sin 3x cos 2x dx ; E sin x cos 5x dx ; Etg 3x tg 5x

Documents

Tich Phan Phuongphapnhaytanglau