S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

I/§Æt vÊn ®ÒTrong ch¬ng tr×nh THPT BÊt ®¼ng thøc lµ mét phÇn kiÕn

thøc kh¸ quan träng. BÊt ®¼ng thøc cã nhiÒu øng dông trong c¸c phÇn kiÕn thøc cña m«n To¸n nh: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt, gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh…

BÊt ®¼ng thøc Cauchy ®îc giíi thiÖu trong s¸ch gi¸o khoa §¹i sè líp 10 ë tÊt c¶ c¸c ban vµ lµ bÊt ®¼ng thøc ®îc vËn dông chñ yÕu trong toµn bé ch¬ng tr×nh THPT. Nãi ®Õn bÊt ®¼ng thøc Cauchy th× nh÷ng ai ®· tõng häc To¸n THPT còng biÕt, còng nhí nhng ®Ó vËn dông ®îc mét c¸ch cã hiÖu qu¶ th× l¹i lµ c¶ mét vÊn ®Ò.

Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ ®Æc biÖt lµ båi dìng häc sinh kh¸ giái th× t«i thÊy häc sinh trong qu¸ tr×nh vËn dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy thêng gÆp nh÷ng sai lÇm trong ®ã nghiªm träng cã thÓ lµm sai ®i b¶n chÊt cña vÊn ®Ò.

V× vËy t«i viÕt s¸ng kiÕn nµy cïng trao ®æi thªm vÒ c¸ch d¹y, c¸ch häc bÊt ®¼ng thøc Cauchy sao cho cã hiÖu qu¶ nhÊt nh»m kh¾c phôc nh÷ng sai lÇm hay m¾c ph¶i còng nh ®Þnh híng ®Ó gi¶i quyÕt mét bµi to¸n theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy.

Néi dung bµi viÕt gåm:I/ §Æt vÊn ®ÒII/Néi dungIII/BiÖn ph¸p thùc hiÖn.IV/KÕt qu¶V/KÕt luËn

Tuy b¶n th©n ®· hÕt søc cè g¾ng song kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. T¸c gi¶ mong ®îc sù gãp ý ch©n thµnh cña ®äc gi¶!Th¹ch Thµnh, ngµy 20/04/2008

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

1

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Gi¸o viªn

§ç Duy Thµnh.

II/Néi dungBµi 1: Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña bÊt biÓu thøc: S = a

+

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

Sai lÇm thêng gÆp: S = a + .

Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 2 m©u thuÉn víi

gi¶ thiÕt .

Ph©n tÝch vµ t×m lêi gi¶i: XÐt b¶ng biÕn thiªn cña a,

vµ S ®Ó dù ®o¸n Min S

a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

30

S 3 4 5 6 7 8 9 10 1112

30

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

2

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy khi a t¨ng th× S cµng lín vµ tõ ®ã dÉn ®Õn dù ®o¸n khi a = 3 th× S nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt. §Ó dÔ hiÓu vµ t¹o sù Ên tîng ta sÏ nãi r»ng

Min S = ®¹t t¹i “§iÓm r¬i: a = 3”

Do bÊt ®¼ng thøc Cauchy x¶y ra dÊu b»ng t¹i ®iÒu kiÖn c¸c sè tham gia ph¶i b»ng nhau, nªn t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” ta kh«ng thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy trùc tiÕp cho 2 sè a

vµ v× . Lóc nµy ta sÏ gi¶ ®Þnh sö dông bÊt ®¼ng thøc

Cauchy cho cÆp sè sao cho t¹i “§iÓm r¬i: a = 3” th×

tøc lµ ta cã lîc ®å “§iÓm r¬i” sau ®©y

S¬ ®å:

Tõ ®ã ta biÕn ®æi S theo s¬ ®å “§iÓm r¬i” ®îc nªu ë trªn.

Lêi gi¶i ®óng: S = a + =

Víi a = 3 th× Min S =

Bµi 2: Cho a 2. T×m gi¸ trÞ há nhÊt cña biÓu thøc: S = a +

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

3

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

S¬ ®å ®iÓm r¬i :

Sai lÇm thêng gÆp:

S = a + = .

Víi a = 2 th× Min S =

Nguyªn nh©n sai lÇm:

MÆc dï ta ®· biÕn ®æi S theo ®iÓm r¬i a = 2 vµ Min S =

lµ ®¸p ¸n ®óng nhng c¸ch gi¶i trªn ®· m¾c sai lÇm trong viÖc ®¸nh gi¸ mÉu sè:

“NÕu a 2 th× lµ ®¸nh gi¸ sai”

§Ó ®iÒu chØnh lêi gi¶i sai thµnh lêi gi¶i ®óng ta cÇn ph¶i biÕn ®æi S sao cho khi sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy sÏ khö hÕt biÕn sè a ë mÉu sè.

Lêi gi¶i ®óng: S = a +

Víi a = 2 th× Min S =

Bµi 3: Cho a . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : S =

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

4

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i ®óng:

S = =

= =36 + 3

Víi a = 6 th× Min S = 36 + 3

Bµi 4: Cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = 2a

+

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

Sai lÇm thêng gÆp: S = 2a + = a + a +

Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min S = 3 m©u thuÉn víi giat thiÕt

Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: XÐt b¶ng biÕn thiªn ®Ó dù ®o¸n Min S.

a

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

5

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

2.a 1

100 81 64 49 36 25 16 9 4

S 100 81 64 49 36 25 16 9 5

Nh×n b¶ng biÕn thiªn ta thÊy khi a cµng t¨ng th× S cµng nhá

tõ ®ã dÉn ®Õn dù ®o¸n khi th× S nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt.

S¬ ®å ®iÓm r¬i 1:

C¸ch 1: 2a + =

.

Víi a = th× Min S = 5.

S¬ ®å ®iÓm r¬i 2:

C¸ch 2: S = 2a + =

= . Víi a = th× Min S = 5.

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

6

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n Bµi 5: Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = ab +

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

Sai lÇm thêng gÆp: S = ab + Min S = 2.

Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min S = 2 : V« lý

Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: BiÓu thøc cña S chøa biÕn sè a, b nhng nÕu ®Æt t = ab hoÆc t

= th× S = t + lµ biÓu thøc chøa 1 biÕn sè. Khi ®æi biÕn sè

ta cÇn ph¶i t×m miÒn x¸c ®Þnh cho biÕn sè míi, cô thÓ lµ:

§Æt t = vµ t =

Bµi to¸n trë thµnh: Cho t . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

biÓu thøc S = t +

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i tæng hîp:

S = t + = .

Víi t = 4 hay a = b = th× Min S = .

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

7

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Lêi gi¶i thu gän: Do t = 4 nªn biÕn ®æi trùc

tiÕp S nh sau:

S = ab + .

Víi a = b = th× Min S = .

Bµi 6: Cho T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓi thøc S = abc

+

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

Sai lÇm thêng gÆp: S = abc + Min S =

2 Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min S = 2 V« lÝ.

Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: BiÓu thøc cña S chøa 3 biÕn s« a, b, c nhng nÕu ®Æt t = abc

hoÆc t = th×

S = t + lµ biÓu thøc chøa 1 biÕn sè. Khi ®æi biÕn sã ta cÇn

ph¶i t×m miÒn x¸c ®Þnh cho biÕn sè míi, cô thÓ lµ:

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

8

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

§Æt t = vµ t =

Bµi to¸n trë thµnh: Cho t 27. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

biÓu thøc S = t +

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i tæng hîp: S = t +

Víi t = 27 hay a = b = c = th× Min S = .

Lêi gi¶i thu gän: Do t = 27 a = b = c = nªn biÕn

®æi trùc tiÕp S nh sau:

S = abc + =

Víi a = b = c = th× Min S = .

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

9

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n Bµi 7: Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt c¶u biÓu thøc: S =

B×nh luËn vµ lêi gi¶i

Sai lÇm thêng gÆp: S = Min S

= 2

Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 2 = 1

.V« lÝ Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc

®èi xøng víi a, b nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b >0

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i ®óng:

S = =

. Víi a = b>0 th× Min S =

Bµi 8: Cho .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a+b+c+

B×nh luËn vµ lêi gi¶i §ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

10

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Sai lÇm thêng gÆp:

S = a+b+c+ Min S = 6.

Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S = 6 =1

tr¸i víi gi¶ thiÕt.

Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n

Min S ®¹t t¹i a = b = c =

S¬ ®å ®iÓm r¬i 1:

C¸ch 1: S = a+b+c+ =

=

=3+

Víi a=b=c= th× Min S =

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

11

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

S¬ ®å ®iÓm r¬i 2:

C¸ch 2: S = a+b+c+ =

=

Víi a=b=c= th× Min S =

Bµi 9: Cho .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S = a2 + b2 + c2

+

B×nh luËn vµ lêi gi¶i Sai lÇm thêng gÆp:

S = a2 + b2 + c2 + +

=

Min S =

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

12

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Nguyªn nh©n sai lÇm: Min S =

tr¸i víi gi¶ thiÕt.

Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c =

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i ®óng: S = a2 + b2 + c2 + =

=

=

Víi a = b = c = th× Min S =

Bµi 10: Cho .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

13

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

S =

B×nh luËn vµ lêi gi¶i Sai lÇm thêng gÆp:

S

= Min S =

Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min S = a = b = c = tr¸i víi gi¶

thiÕt. Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: Do S lµ mét biÓu thøc

®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i a = b = c =

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i 1:

S =

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

14

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

=

=

Víi a = b = c = th× Min S =

Phèi hîp víi ®iÓm r¬i trong bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwarzi:

XÐt d¹ng ®Æc biÖt níi n = 2: . DÊu

b»ng x¶y ra

ý nghÜa : ChuyÓn ®æi mét biÓu thøc to¸n häc ë trong c¨n bËc hai thµnh mét biÓu thøc kh¸c ë ngoµi c¨n ®Ó nhËn ®îc mét biÓu thøc linh ®éng h¬n.

XÐt ®¸nh gi¸ gi¶ ®Þnh víi c¸c sè

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

15

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Do S lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c nªn dù ®o¸n S = S0

t¹i ®iÓm r¬i

a = b = c = , khi ®ã tÊt c¶ c¸c bÊt ®¼ng thøc (1), (2),

(3) ®ång thêi x¶y ra dÊu b»ng tøc lµ ta cã s¬ ®å ®iÓm r¬i sau:

S¬ ®å:

KÕt hîp víi biÕn ®æi theo “§iÓm r¬i” trong Cauchy ta cã lêi gi¶i sau:

Lêi gi¶i 2:

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

16

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

=

Víi a = b = c = th× Min S =

Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

T = sinA + sinB + sinC +

B×nh luËn vµ lêi gi¶i Sai lÇm thêng gÆp:

sinA + sinB + sinC + Min T

= 6 Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min T = 6

M©u thuÉn víi A + B + C = Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i:

Bæ ®Ò: sinA + sinB + sinC

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

17

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

¸p dông: Dù ®o¸n ®iÓm r¬i cña Min T lµ sinA + sinB + sinC

S¬ ®å ®iÓm r¬i:

Lêi gi¶i ®óng:

T =

T

=

Víi hay A = B = C = th× Min T = Bµi 12: Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

B×nh luËn vµ lêi gi¶i Sai lÇm thêng gÆp 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta

cã:

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

18

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Min S = 8. Sai lÇm thêng gÆp 2: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy

trùc tiÕp cho 8 sè:

S = 8 Min S = 8.

Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min S = 8 V« lý.

Ph©n tÝch vµ t×m tßi lêi gi¶i: §Ó t×m Min S ta cÇn lu ý S lµ mét biÓu thøc ®èi xøng víi a,

b, c, d do ®ã Min S (hoÆc Max S) nÕu cã thêng ®¹t t¹i “§iÓm r¬i tù do” : a = b = c = d > 0.

VËy ta cho tríc a = b= c= d > 0 vµ dù ®o¸n Min S =

Tõ ®ã suy ra c¸c ®¸nh gi¸ cña bÊt ®¼ng thøc bé phËn ph¶i cã ®iÒu kiÖn dÊu b»ng x¶y ra lµ tËp con cña ®iÒu kiÖn dù ®o¸n: a = b = c = d > 0

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

19

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

S¬ ®å ®iÓm r¬i: Cho a = b = c = d > 0 ta cã:

C¸ch 1: BiÕn ®æi vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:

+

Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 13

C¸ch 2: §Æt

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

20

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Víi a = b= c= d > 0 th× Min S = 13

Bµi 13: Cho a, b, c, d > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

B×nh luËn vµ lêi gi¶i Sai lÇm thêng gÆp:

Nguyªn nh©n sai lÇm:

Min S = V« lý

Do S lµ biÓu thøc ®èi xøng víi a, b, c, d nªn dù ®o¸n Min S ®¹t t¹i

§iÓm r¬i tù do: a = b = c = d > 0, khi ®ã

C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

21

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Víi a = b= c= d > 0 th× Min S =

C¸ch 2:

Víi a = b= c= d > 0 th× Min S =

Bµi 14: Cho Chøng minh r»ng: S =

Gi¶iBiÕn ®æi vµ sö dông 2 lÇn bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho 9

sè ta cã: S =

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

22

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Bµi 15: Cho Chøng minh r»ng: S =

Gi¶i

Dù ®o¸n S = 1 t¹i ®iÓm r¬i: a = b =c =

BiÕn ®æi vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:

S =

III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn-Trao ®æi th«ng qua sinh ho¹t 15 phót.-D¹y trong c¸c tiÕt bµi tËp.

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

23

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

-Th«ng qua b¸o b¶ng víi chuyªn môc “Sai lÇm ë ®©u?”-Ngo¹i khãa.-D¹y vµo tiÕt tù chän.

IV/kÕt qu¶Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· lµm phÐp ®èi chøng ë 2

líp 10C3 vµ 10C4. §èi víi líp 10C4 t«i ®· cho häc sinh ®äc mét sè c¸ch gi¶i sai mµ häc sinh hay m¾c ph¶i vµ t×m chç sai vµ c¸ch kh¾c phôc nh thÕ nµo. Kªt qu¶ 90% häc sinh líp 10C4 cã thÓ ®Þnh híng vµ vËn dông thµnh th¹o bÊt ®¼ng thøc Cauchy mét c¸ch cã hiÖu qu¶. Trong khi ®ã ë líp ®èi chøng 10C3 tØ lÖ nµy chØ ®¹t 45%

V/KÕt luËnTh«ng qua bµi viÕt c¸c b¹n cã thÓ phÇn nµo thÊy ®îc

nh÷ng sai lÇm thêng gÆp trong viÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy tõ ®ã rót ra ®îc cho b¶n th©n c¸ch d¹y, c¸ch häc nh thÕ nµo cho hiÖu qu¶ nhÊt.

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

24

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm M«n: To¸n

Trong bµi viÕt cã sö dông mét sè tµi liÖu1/500 BÊt ®¼ng thøc-GS: Phan Huy Kh¶i.2/TuyÓn tËp ®Ò thi tõ 1990-2005- TS: TrÇn Ph-

¬ng.3/§¹i sè 10.

§ç duy thµnh THPT Th¹ch Thµnh III

25