44
k A 3 This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

����������� ��������������������������������� � �!���#"%$'&�(*)+��,.-�/0&�132546(�78� 9�:�:��<;=�<;

>© ?A@A@A@�BDC "FEG/0HJI > $A(K/8LNM >PO "�Q C MR7 -�/8HS7

TVUWU*X<Y[Z]\0^`_Da!\�YcbdTVe0fcY�X<\�a�gh^`ikjlY�Xka�g*monNa�m[\�bWmpXrqsX<m[mt X<Y�uhe�mJ^ \0bwvrX!_cUWgWi

xNy{z}|�z}~<���3�8���<y�������z}� ��~��*���!�������������=�{y�yp���{z��8�<���#���W��~<�*���<����z}~����8��|�z}y�8 �¡£¢¥¤{¢¥¦�¢�§�¨�©��8 '§£ªK©8«3¬K¢¥¤�­®=¦�«°¯±ªF²�³K¢¥´}µ6 ¤{¶�·�©8¡8¤¥¢¹¸K¢Jº£¦¼»N·�©�²½¤{ �¾D¿�À�ÀFÁ�Á%»�·�©�²Â¤� ÃpĹŰÆ�Ç�ȹÉÊ�Ë�Ì�Í�ÎFÏ�ÐGÑ�Ò�ÍFÓ�Ë�ÔFÌ�Õ�Ö×Ñ�Ø�ÙKÎFÌ�Ò�ÍKÚ�Ú[ÑSÏ�Ì�Í�Î}Û�Î�Ð�Ü�Ý�Ù}Ø�Ú�ÍKÌKÛ�ÔFÞ�Ù}ß#à Ò�Ó�áAâ�ÎKÌ�Ð�Ù}Ø#à�Õ�Î

ã Ycb�a�m[b�a�iäæå�ç�è8é£ê�ë�ì!í'è�î5ê�ç ï

ð � ðòñ $A7�M > 7ó�P���D���D�����D���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ôð � ?öõ -�/c÷3M½&�MÂL+"�LVøF:�$A&�&�MÂ&�1 õ HS/0/�ù×/0"�HSMÂ7 ú�M > �D���D�����P���D���D�����D���D��� ûð � ü

k�¹ø�úS/0MÂ&�/0H õ H�/8/87V�����D���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���P��� ý

ð � ô IÿþP/8&�/0H�$ C�� HS$ALN/8E��}H������}H×þPH�/8/8(�I C 1��AHSM úS-�L=7 ���P���D���D�����D���D��� �ð � û ,��}&}úSHS$ > úSM �}&��/8L�L�$ò���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ð @

ï å����!élê��î5ç��sè���������íAè8ê�é*ê �×ï äKï? � ð I C 1��AHSM úS-�L A3

�D�����D���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ð ?? � ? I×&�$ C K7 MR7 ���D���D�����D���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ð ô? � ü ��/ C M!�"�$#K7��� % 7GI C 1"�AHSM½ú�-�L �D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ð ý? � ô I×&�$ C K7 MR7 ���D���D�����D���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ð$&

')(*��+,�Kè8î-�.�0/*é$����ë2143*+-��ê�é£î5è���� ï�äü�� ð65 / C $'ú�M!#A/cþPHS/0/8(7�I C 1"�}H�M½ú�-�L �����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ? ðü�� ? I×&�$ C K7 MR7 ���D���D�����D���D���P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ?}?

8:96ê ;<;*=+ê�ç�è0é$��íAè8î�ç2��3�+-��ê�élî è<�2� ï78ô�� ð õ -�/>���}7S7?�@��$�øFú�/0MÂ&�/8H õ HS/0/°�P�����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ? ôô�� ? ���}7S7×,��A&�ú�H�$ > ú�MÂ&�1NI C 1��AHSM úS-�L �����D���D���D���D�����P���D���D�����D���D��� ? ýA@BDCDCEGFIHKJML>N@OQPRJSB�HKTIUWVDJYXDEGFKTIU�V@B�ZD[<TI[�J]\^J]_`ZDTIUWV�a�b!HMcDd�F?eGf<gihGgGjke@l

m

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 2: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

npoq����í}î-�7+Gå�ç�;0è<��ç!í"��;=ê.�Jè����0o�è<��î�ç2��é*r.é$����sDélêutv+-��� ïuwûK� ðyx ú�/8HS$'ú�/�( ð � ø�úS/0MÂ&�/0H[ù×/0"�HSMÂ7 ú�M > �D�����D���D���P���D�����D���D���D�����P���D� ü @ûK� ?öõ -�/^����7�7×,��}&�ú�H�$ > úSM½&�1NI C 1��AHSM úS-�L MÂ&%øK:�/ > MR$ C þPH�$':�-�7¼���D���D�����P���D� ü ðûK� ü z#"�$}7 M½� ñ MÂ:�$'H�ú�M½ú�/DþPHS$A:�-�7pE[M½ú�-|{J&�M}���}H�Ló46(K1A/^��/0&�1Aú�-�7 �D���D�����P���D� üAü

~:�%ê�ç������élê��î,���t<î-+5î5è]1�(*��;8ì�+ è<; '.�(*������é$��ç!í"��;

� � b�a�X!Y������ a�\0Ycb

� Ç��7�i� Æ���0ÆD�q�G = (V,E) � Æ*�G�i� R ⊆ V � ÆD���sÆ�È��i�q��M�����q���i�±Ç����������M�����$���7�$� �Æ���¢ ·�¤{ !·�©�¢¥©�·�·�Ç��+Æ �$���q���$�i���$�¡�M�q¢q��0ÆD�q�£�D�

G�M��ÆD�>�M��ÆD���+Æ�È�Ȥ�7�i�M�±Ç��$�$�+Ç��

R ¥>¦�§ �Å%Ç���u�¨�����*�7�i�M�±Ç��$�$��Ç��V \ R

Æ��ª©«�£È�È ¥}¬£­ ���|®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å`Ç��£��0ÆD�q���NÇ����� ¯�����Æ��M�����M���$�M��®.���£Ç����i�ª�M���$� � Ç ¥ � ¥�� Æ0®.���£Ç����i�ª�M���$��©^������������0Æ�È?�$���7�=È��i�q��M� Ç��Å%Ç���Ç�Å*��Å ¥°­ ��Ç��^�q����¢�È��£Å Ç��^©°�£È�Ȥ± ���@©^�����|¢v��²�³pÄK��ÆD���µ´ m@¶�· ÆD�����M���i���<�I������©«��'ÆD�q�����¸�<¹����$�i�Y���¨¯���� �v�FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È��±Ç�Å��+Æ�È��7���±Ç��M��Å��Y�I���»���FÈ���Ç��q�=Ç��»�<¹�Æ��i�±È�º ¥Y­ ��Ç��Å����±Ç��FÆD���$�>�M�����G�'ÆD�������I���¼�7�.� �sÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��¼�I���°�M���*®.���£Ç����i�^�M���$��q����¢�È��£Å`Ç��£��0ÆD�q��� � Ç ¥ � ¥�� Æ�È��7���±Ç��M��Å��¨�M��ÆD�ª��Æ@�7���v�FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È��M�q�q��Ç��q�½�±Ç�Å��WÆD������i�M�q�M�£���FÈ��q�±Ç������Q�M��ÆD��ÆD���������¼�¹ÆD�¼�k���FÅ ÆD�����q�±Ç�Å���ž�G�FÈ��q�±Ç���� ¥

§ �µ�M��Ç�����ÆD�v�i��©«�0�KÇ��7�°Æ��M�q�M�7�iº¿�D�¼�M����± ���@©^��ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����ÿÆ�È��7���±Ç��M��Å���������M���À®.���£Ç����i���M���$�¿�q����¢�È��£ÅòÇ��Á��0ÆD�q��� ¥Ã �����i� Ç��u�M��� �����£Ç��q�Ä�M���µ���$�$�$���0ÆD�Mº�����0ÆD�±Ç���� Ç��Å�M���¨���<¹ �^�M�q¢��G�$�i�±Ç���� � ©«�¨©�Ç�È�ÈÆ�<¹���È5Æ�Ç����M����Å%Ç���Ç�Å*��ÅÇ�M��ÆD�q��Ç��q�|�M���$����i�q�±Ç��M�±Ç�� ¥½­ ��Ç��*Æ�È��7���±Ç��M��ÅÈ©PÆ��*Æ�È����'Æ���º¿± ���@©^��Ç�� m@¶ÉÊ ¦ ���$����ÆD�7��ËDÌ Ç��Ä´ m Ì · ¬ÆD����¯����q�×Æ�®.���£Ç����i�»�M���$�¼�M��ÆD�JÇ��JÆD�[Å�����Y�W©�Ç��$�+Æ��pÈ����q�*Æ��JÆD�����q�±Ç�Å���ÅÍ���FÈ��q�±Ç���� ¥Î����WÅ������0�M��ÆD�À�W©°�i�u�WºÀº7�'ÆD��� � ���¡¢��i�M���i�hÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��ÅÈ��Æ��Ï¢v�$�i������q��� ¥Ð§ � m@¶¶Ñ¿Ò �£È�Ç�±7�@���M± ºÐ�q�����v����$� Æ¡��Ç�Å|��È��Å����$�$��º�Æ�È��7���±Ç��M��Å � ����Ç��q�Ó�M���Ç��q�'Æ��D�������'Æ�È�È��$�

3ÄS®.���£Ç����i�^�M���$�$� ¥YÔ Ç���ÆD�q�q����Æ�����©DÆ��°�<¹����i���q�$�Å¢uº�Õ°�i�±Å°ÆD� ÆD���

Ö�Æ�Å°Æ�Ç�º7�i�|���±Ç��q�kÄS®.���£Ç����i���M���$�$� ¥ ®�Ç����$�Å�M���i� � Æ�È�È+ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��

�����Å�M���µ®.���£Ç����i���M���$�Ó�q����¢�È��£Å×��Æ$�7�4�����$� Ò �£È�Ç�±7�"� �M± ºvØÙ� Ç��q�'Æ ¥Ú­ ��Ç��Å©PÆ@º � �M���ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����ÏÛ.��Æ�È�Ç��Wº¡��Æ��¨¢��$�i� Ç�Å|�q���@�7�$�Ð�M�q¢��M�0ÆD�u�±Ç5Æ�È�È�º4�@�7�i���M���WÈ5Æ��M�¨º7�'ÆD��� ¥­ ÆD¢�È�� m �M��Å%Å°ÆD�±Ç�Ü@�$�>�M�����q�i�7�£È�����Å��i�.� ¥ÃR¹q�$�i�q�¸�I���»�M���Q�0ÆD���q�FÅ%Ç�Ü@�$�sÆ�È��7���±Ç��M��ÅÝ�D�Þ³Y��ßFÅ��£È!ÆD���Å®.���i�7�i��´`Ë É�· � Æ�È�È��M���$�G�Æ�È��7���±Ç��M��Å��¼ÆD���Å¢�Æ����$�à���á�±Ç�Å|��È��Å����$�$��ºà�M�M�0ÆD���i�KÇ��$� ¥À ��Æ�È�º �±Ç��q�¿�M���£Ç��|�v�i�]�I����ÄÅ°ÆD���$� �0ÆD�±Ç��sÇ���Æ���Ç����È�º¡�����u�M�±Ç���Ç5Æ�È»�0Æ��M± � ���"©«�i�7�i� ¥�§ �Ó�M��Ç����M�q�M�7�iº�©°� �q���$���i�u����i�7�i�0Æ�Ȫ�D�¨�M���$��� ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å�� Æ�È����q�µ©�Ç��M� ÆD� ÆD��Æ�È�º �±Ç����D���M���£Ç�����i�]�I���±Å°ÆD���$�¡�0ÆD�±Ç�� ¥â­ ���iº Ç�È�È����M�M�0ÆD�����M���£���q���Æ�Å��i�u�0Æ�Ȩ�$�����$�i�q�����7�i�Mºã��Ç��$�£È�º ¥® �FÅ����7�i���i�0Æ�ÈÞ�q�$�±Ç���£�q�±Ç����£Ç���È��$��ÆD��� ÆD��Æ�È�º��±Ç��^��� �FÈ��^�M��ÆD��ÆD�����$�FÅ%Å��������|�M���$�G�Æ�È��7���±Ç��M��Å��NÆD���¨�q���$�G�i�u���$���q�±Ç����Q���|�M���]Æ�È��7���±Ç��M��Å�� ¥

Ë

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 3: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ä½å¤æ"ç�è�éDê éDë�æ"ìkèíÓ�.����� m@¶ÉÊ Ë ¥ ÑÒ �£È�Ç�±7�@���M± º m@¶¶Ñ m ¥ Êî ÌÕ¼�i�±Å°ÆD� � ÖNÆ�Å°Æ�Ç�º7�i� m@¶¶�m m ¥}ï î ÌÒ �£È�Ç�±7�@���M± º m@¶¶ð m ¥ ɶ ̳Y��ßFÅ��£È � ®.���i�7�i� m@¶¶É m ¥ ÉÉ ïñ]ÆD�M��Ç����M±�Ç � Ò �£È�Ç�±7�@���M± º m@¶¶É m ¥ É ÌÌÔ ���q��ÆD����º � ³Y��ßFÅ��£È m@¶¶¶ m ¥ ð¶ÊÖQ��¢�Ç���� � Ò �£È�Ç�±7�@���M±.º Ë ÑÑÑ m ¥ ððÑ

­ ÆD¢�È�� m É4³?�i�]�����±Å°ÆD���$�Ó�0ÆD�±Ç���0������±.���"©^� ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å����������M���®.���£Ç����i�>�M���$���q����¢�È��£Å Ç�����0ÆD�q��� ¥

Õ¼�i�±Å°ÆD�rÆD���òÖ�Æ�Å°Æ�Ç�º7�i�À´ Ì · �q�$�±Ç�����$�VÆà�¹Æ�Å%Ç�È�ºó�D�°Æ�È��7���±Ç��M��Å��Ak

©^��Ç��G�Æ��G��Ç��i�7�$�¼Æ¡���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��¿�D�

1.734�I���%È5ÆD�M�7�

k ¥Ï­ ���½¯������°Æ�È��7���±Ç��M��Åô©«��q���$���i�.�+Ç��Q�M���*Æ�È��7���±Ç��M��Å

A3 � ©^��Ç��G�£��Æ��NÆ|�v�i�]�����±Å°ÆD���$�*�0ÆD�±Ç��0�D�1.834 ¥ Õ�Æ����$�

���Ï�M���¼ÆD��Æ�È�º��±Ç��*�D�A3 � ©°���M���"©Ú�M��ÆD� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º�ØÙ�WÆ�È��7���±Ç��M��Åõ�����FÅ m@¶¶Ñ ��Æ��

�M�����0Æ�Å������i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç�� ¥­ ���*���<¹ �NÆ�È��7���±Ç��M��Åö©°�WÆD���*�7�FÇ��q�0�����q�$���i�±Ç�¢v�]Ç��Q�M�������£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7��Ä

�±Ç��M��Å÷�D� Ò �£È�Ç�±7�"� �M± ºø´ î Ì · ©^��Ç��G� Æ�����Ç��i�7�$�3Æ¡���i�]�I���±Å°ÆD���$�½�0ÆD�±Ç��4�D�1.694 ¥Ï ÈRÄ

�M�����q��Á�M���4���£È5ÆD�±Ç��7�4����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��ÅwÇ���Û.��Ç����¿�±Ç�Å%Ç�È5ÆD����� Æ�È��7���±Ç��M��ÅA3 � Æ

�$�FÅ|��È��i���£È�º½���i©Á±�Ç������D�[ÆD��Æ�È�º ��Ç��DÇ��¼���$Ûu��Ç����$� ¥Yù ��©�Ç�È�ÈÆ�q���$���i�.�>�M��Ç��cÆD��Æ�È�º��±Ç��DÇ��® �$�i�±Ç���� î ¥

 ���"©«�i�]����È Ç��q�'Æ������$�Å¢.º����$�$�i�.��®.���£Ç����i�>�M���$�]ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��+Ç���M�����$�����$�i�q���D�»�M���������'Æ�È�È��$��²RªF¡0¡��D�#ƽ®.���£Ç����i�ª�M���$� � ©^��Ç����Ó©PÆ���Ç��u�M��� �����$�$�Ó¢uºñ]ÆD�M��Ç����M±�Ç×ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º Ç�� m@¶¶ ï ´`Ë Ñ�· ¥�­ ���iºÓ��¢q�0Æ�Ç����$��Æ0�v�i�]�I���±Å°ÆD���$�|�0ÆD�±Ç���D�

1.644©�Ç��M��ÆD� Æ�È��7���±Ç��M��Åõ�M��ÆD�=Å%Ç���Ç�Å%Ç�Ü@�$���M��� ©«�£Ç���.���$�Ï�M��Åú�D�¼�M���hÈ��i�q��M�

ÆD���û�M��� È�������D�%Æà®.���£Ç����i���M���$� ¥ü­ ���£Ç�� Ç��q�'ÆÀ©PÆ��Å�7�i���i�0Æ�È�Ç�Ü@�$�â¢uº Ô ���q��ÆD����ºÆD���à³Y��ßFÅ��£È*´ m@Ê�· � ���$�M��È��±Ç��q� Ç�� ÆD�ÿÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Åô�M��ÆD�hÇ��3ÆD�hÅ���M�ÆÓ�¹Æ��i�����0�D�

1.598Æ$©DÆ$ºã�����FÅ ÆD�Ä���q�±Ç�Å���Åý�G�FÈ��q�±Ç���� ¥øþ �i�Mºà���$�$�i�.�±È�º � ÖQ��¢�Ç����

ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± ºÀ´`Ë Ê�· Ç����$���M�v���0ÆD���$�¿�M���hÈ�����¨�D�DÆ�®.���£Ç����i���M���$�WÇ��.�����M�������£È5ÆD�±Ç��7�����$�$��ºÿÆ�È��7���±Ç��M��ÅdÆD���á©«�i��� ÆD¢�È������Ð�M���@©Ã�M��ÆD�0�M�������$�M��È��±Ç��q��Æ�È��7���±Ç��M��Åÿ��Æ��ƽ�v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç����D� m ¥ ððÑ ¥0 ���M���|�±Ç�Å����D�¼©^�±Ç��±Ç��q���M��Ç����M�q�M�7�iºÓ����¢v�i�M���i�ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��ÅÈ�I���*�M����®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å Ç��Ï��0ÆD�q���WÇ���±.���"©^� ¥ù �¨©�Ç�È�ÈÞ�q�$�G�i�±Ç�¢����M���£Ç��NÆ�È��7���±Ç��M��Å ÆD��� Ç����+ÆD��Æ�È�º��±Ç���Ç��Ó® �$�i�±Ç����£Ì ¥

 ��ÆD�M�q�0Æ�ȼÛ.���$�M�±Ç���� ÆD¢v���q�%ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��hÇ������@©Ý�±Å°Æ�È�È°�M���£Ç���v�i�]�����±Å°ÆD���$�À�0ÆD�±Ç��û�'ÆD� �7�i� ¥ �ª��È��$���Ó³

=²�³ � �M���À�v�i�]�����±Å°ÆD���$�Ï�0ÆD�±Ç��ó�D�¼Æ

�v�FÈ�º.���FÅ%Ç5Æ�ÈQ�±Ç�Å�� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Åô�I���|�M���¡®.���£Ç����i�0�M���$���q����¢�È��£Å Ç����0ÆD�q�����'ÆD�q�����Q�7�i��ÆD�M¢�Ç��M�0ÆD�±Ç�È�º£�£È���������

1 ¥¼­ ��Ç���Ç���Æ0�$�������$Ûu���i���$���D�Y�M���*³��°³pÄ

î

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 4: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

­ ���$�����£Åõ´ mi· �����7�i�M���i�Q©�Ç��M� Æ����$�����i�±Ç����¡�����¨���|Õ°�i�M� ÆD����³[È5Æ����±Å°ÆD�q�д ð�· ¥Y­ ���È5ÆD�M�7�$�M��È��"©«�i��¢����q���Ï���µ�M�����v�i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç�� � �M��ÆD���'ÆD�Тv�°Æ��G��Ç��i�7�$�Т.º ÆD�Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç��|�v�FÈ�º.���FÅ%Ç5Æ�È��±Ç�Å�� � Ç��»�'Æ�È�È��$�|�M���]¬�����©±ª��F¤{«%¬�¢¥¤¥ªF  ¢�©�·8¡��ªF²�³ ¥Y§ ���G�FÅ�����v���M�«�@�7�i�¸�M���+È5Æ��M�Yº7�'ÆD���#Ç��»��Æ��Y¢v�$�i�0�i��È5ÆD�M�7�$�0�q�0�����M���>�i�q�M���i�u�±È�º|¢v�$�M�»± ���@©^��FÆ�È����*�D�

1.0074´ îÑD· ¥Rù ��©�Ç�È�È��q�$���i�±Ç�¢��¨�M���$�G�����$�M��È�����Ç��Ó® �$�i�±Ç���� É ¥

­ ��Ç��*È��@©«�i��¢����q��� Ç��*�M�±Ç�È�È»� Æ�Ç��±È�º¿�±Å°Æ�È�ȸ�$�FÅ|��ÆD���$�Ï�����M���0¢��$�M�*±.���"©^�Ð�v�i��Ä�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��½�D�

1.550 ¥¨§ ��Ç��ª�$�FÅ%Å�����È�º£¢��£È�Ç��i�7�$�¡�M��ÆD�Q���q�M�M���i�NÇ�Å|�q���@�7�£Å��i�u��M������È���¢��¸�������Ç�¢�È��¸����¢����M���±Ç��q�$� ¥?­ ���JÈ��@©°�i�Y¢����q���*�q���.�D�I�pÆD���¸¢�Æ����$���������$������Ä�±Ç������»©^��Ç��G���q��� �����$��Ç����M�0ÆD���$�$�«�M��ÆD�#ÆD���>��ÆD�������*���FÈ��7�^¢.º3ÆD�uº ���FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È��±Ç�Å��Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥QÔ �@©°�i�7�i� � �M���*Ç����M�0ÆD���$�$�ª���$�M��È��±Ç��q���k���Fž�i�q�M���i�u�¨���$�����i�±Ç���������Æ$�7�hÆ�7�i�Mº��M���$�£Ç5Æ�È?�M�M�M���i�M�q��� ¥¼­ ���i���*ÆD�����G�i�7�i�0Æ�ÈGÆ�È��7���±Ç��M��Å��ª±.���"©^�£©^��Ç���� Å°ÆD±7�����G��D�«�M��Ç��ª�¹Æ��i�=ÆD���¿��¢q�0Æ�Ç�� Å������µ¢v�i�M���i�¨���i�]�I���±Å°ÆD���$� �0ÆD�±Ç���¨�M��ÆD� Ç��4�M�����7�i���i�0Æ�È�'Æ���� ¥� ¢��i�M���i�¨�q���q�i���M�0ÆD����Ç��q���D�¼�M����� Æ�È��7���±Ç��M��Å����'ÆD�¿���4�M���|��������ÆD����È��'Æ�����Ó¢��i�M���i�3Æ�È��7���±Ç��M��Å����I�����M���½�7�i���i�0Æ�È^�'Æ���� ¥� �à�M���Å���M���i�|��ÆD��� � �M���sÇ����±Ç���u���¢q�0Æ�Ç����$�Ó�k���FÅ �M���£Ç��]ÆD��Æ�È�º��±Ç��¨�'ÆD�Ó���£È��4���Å�<¹��M�0Æ��i���M�����I�'ÆD�M�q���$���D�¸���'Æ�È�È�º£��ÆD���Ç����M�0ÆD���$�$�DÆD���|�M�u���×È��'Æ�������¢v�i�M���i�¸�$�����M�M�M���i�±Ç������¸�����×È��@©«�i�°¢v���q���|�q���.�D�I�[Ç����M����k�q�M�q��� ¥°ù ��©�Ç�È�È��q���$���i�u�ª�M�q���$�*ÆD��Æ�È�º����$�Q�D�×Æ�È��7���±Ç��M��Å��ª�I���Q�M�v�$�£Ç5Æ�È Ç����M�0ÆD���$�$��Ç��® �$�i�±Ç���� ð ¥ ²������Q�D�Æ�M���^����$�$��º°Æ�È��7���±Ç��M��Å��PÇ�� ­ ÆD¢�È�� m Ç��»± ���@©^�0���*��Æ$�7�NÆ��±Ç���u�ÆD��Æ�È�º ��Ç��cÇ����M���*�7�i���i�0Æ�È��'Æ���� � ÆD���£�M���i���<�������*�M���*Æ��i�M��Æ�È����i�]�I���±Å°ÆD���$�]Å%Ç���.�Q¢v�Å*���G��¢v�i�M���i�¸�M��ÆD��©^��ÆD�¸��Æ��»¢v�$�i�0�q���"�7�$���G�¨� ÆD� ¥ Î����«�W©°���D�Æ�M���>�M�v�$�£Ç5Æ�È�Ç�Ü@�$� Æ�ÈRÄ�7���±Ç��M��Å��¸©°�^©�Ç�È�È��q���$�G�i�u�PÆ�©«�����M��ÄW�'Æ����+Ç����M�0ÆD���$�^©^��Ç��G���M���"©>�»�M��ÆD�¸�M����ÆD��Æ�È�º �±Ç��Ç��^�±Ç���u� ¥����� ������������ Ç��7�i� Æ|��0ÆD�q�

G = (V,E) � Æ0���i�R ⊆ V

�D�+¢ ·�©�«W¤{ �¬F²½¡WÆD��� Æ%È��i�q��M�¡�k�q���i�±Ç����|·| : E → R+ � Æ���¢ ·�¤{ !·�©D¢¥©±·0·PÇ��GÆQ�$���q���$�i���$�����q¢q��0ÆD�q���D�

G�M��ÆD���M��ÆD���pÆ�È�Èu���i�±Å%ÇRÄ

��Æ�È�� ¥¸­ ����®.���£Ç����i�>�M���$���q����¢�È��£ÅoÇ��£��0ÆD�q����Æ��M±��¼�I���+Æ|�M�����M���$�M�Q�������£�M�q¢q��0ÆD�q� �Ç ¥ � ¥�� Æ �M���$���M��ÆD�Q�M��ÆD����Æ�È�ÈÞ�7�i�M�±Ç��$�$�+Ç��R

ÆD���£©^������������0Æ�ÈÞ�$���7��È��i�q��M� Ç���Å%Ç���ÇRÄÅ*��Å ¥»§ �DÇ��¼�'Æ�È�È��$� Æ��!¢ ·�¤� <·�©�«W¤{ ¤{«h¦�« ¢¥©�·�·�ÆD�����q�i�������$� Æ��

SMT ¥Rù �¨�q�i��������M���=È��i�q��M�¡�D�

SMT¢uº

smt ¥Yù �*�<¹ ���i�����M���*�q�<¯���Ç��±Ç����¡�D�Y�M���=È��i�q��M�����q���i�±Ç����|·| �����FÅ �±Ç��q�KÈ�� �$���7�$�¨���sÆD�M¢�Ç��M�0ÆD�Mº4���i���¨�D�«�$���7�$�¨¢uº¡�q�<¯���Ç��q� |X| := ∑

x∈X |x|�����X ⊆ E ¥ ®�Ç�Å%Ç�È5ÆD�±È�ºÀ©«���q�<¯���� |G| �I���3ÆÓ��0ÆD�q�

G = (V,E)Æ�� �M���Å�����0Æ�È

È��i�q��M�£�D�JÆ�È�È Ç����>�$���7�$� � Ç ¥ � ¥�� |E| ¥»­ ��Ç��^©PÆ@ºÅ©«���'ÆD��©^�±Ç����smt = |SMT | ¥

­ ����®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å Ç��£��0ÆD�q����Ç���Æ�Å����q���M���21

�q����¢�È��£Å��Q�����Q©^��Ç����ñ]ÆD�M����Æ��>�M���"©^�¡²�³pÄK��ÆD�������$���+Ç�����Ç��>���£Å%Ç���Æ�Ȥ��ÆD�v�i�*´ m@¶�· ¥� ç��uè2é��! #"%$&"('*)�ëqé�+-,"!.�/1032 �·>��¢ ·£¤� !·£©+¢¥©±·0·4��©±ª�¯�² ·�« ¤{ 65F©�¬��%�¡+¤�¡�798P´��¬F©±³F¾·�¶�·� %§lªF©=¦� ;:#·�¤<5��¢ ·±³65K©�¬��=�¡?>

Ì

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 5: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

­ ����²�³pÄK��ÆD�������$�����D�»�M���|®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å`Ç��¡��0ÆD�q�������£È�È������ª�M��ÆD��©°��'ÆD�q�������<¹ �v�$�i�Q��� ¯���� Æ �v�FÈ�º.���FÅ%Ç5Æ�È��±Ç�Å��*Æ�È��7���±Ç��M��Å �������FÈ��7��Ç��ª�<¹Æ��i�±È�º ¥¼­ ��Ç��Å����±Ç��KÆD���$�¼�M�������'ÆD�����Å�I���¼�7�.� � ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��¼�I���¼�M���*®.���£Ç����i�^�M���$��q����¢�È��£Å Ç��4��0ÆD�q��� � Ç ¥ � ¥�� Æ�È��7���±Ç��M��Å����M��ÆD����Æ@�7� ���FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�ÈR�M�q�q��Ç��q���±Ç�Å��3ÆD������i�M�q�M�Ä�G�FÈ��q�±Ç��������M��ÆD�°ÆD���������|�¹ÆD� �����FÅ ÆD�Ä���q�±Ç�Å*��Åý���FÈ��q�±Ç���� ¥á­ ����Û.��Æ�È�Ç��Wº�D��ÆD� ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å

AÇ��0���M��Æ�È�È�º Å��'Æ��M�q���$�ø¢uº Ç����@�·�©�§lªF©�«3¬F =A0·

©±¬K¢¥¤ ªRA ¥R­ ��Ç��×Ç��»�M���cÅ°Æ�¹�Ç�Å*��Åü�0ÆD�±Ç���¢v�i�W©°�$�i���M���ª���q�±Ç�Å*��Å ÆD�����M���ª���FÈ��q�±Ç����

���i�M�q�M���$��¢.ºA ¥ Î����+Æ*Å%Ç���Ç�Å%Ç�ÜAÆD�±Ç����£�q����¢�È��£Å È�Ç�±7�¨�M���*®.���£Ç����i�^�M���$�¨�q����¢�È��£ÅoÇ��

��0ÆD�q���Q�M���¨���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��hÇ��>�q�<¯����$� Æ��

RA := sup

{

A(I)

OPT (I)

Æ�È�È Ç����M�0ÆD���$�$�I

}

.

­ �.��� � �M���¸�v�i�]�����±Å°ÆD���$�¸�0ÆD�±Ç��ª�D��ÆD�hÆ�È��7���±Ç��M��ÅóÇ��pÆD�6È��'Æ����1 � ÆD����Ç ��Ç��6Ç��?�<¹Æ��i�±È�º

1 ��M���i���M���×Æ�È��7���±Ç��M��Å �'ÆD�����FÈ��7�»�M���»�q����¢�È��£Å ���q�±Ç�Å°Æ�È�È�º¨�I���GÆ�È�È�Ç������0ÆD���$�$� ¥�­ ���PÆ�Ç�ÅÇ��0�q�$��Ç����Ç��q�WÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��×Ç��¸����¯����|�v�FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È��±Ç�Å���Æ�È��7���±Ç��M��Å���M��ÆD�>��Æ@�7��Æ��v�i�]�����±Å°ÆD���$�*�0ÆD�±Ç����£È�����¨���

1 ¥���B CEDGFIHJ��K4��LNM4L OQP��RK�K4��KGSTCVU�F;FXW�F%M4UY����Z����

­ ������Ç��M�����MºÓ�D�¼®.���£Ç����i���M���$�%ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç�����Æ�È��7���±Ç��M��Å����M�0ÆD�M����©�Ç��M� Æ����FÈ�±�È���������$�M��È�� � ©^��Ç�����©DÆ��»���$��Ç����$�"�7�i����¢.ºWÅ°ÆD�.º ���$���'ÆD�������i��� � ¢q�q�×ÆD�q��ÆD���i�u�±È�º ¯������JÅ��i��Ä�±Ç������$�µ���¿� ¥ Ë ð Ç��á´ m Ì · � ©^���i���%Ç��]Ç��*ÆD�M�M�±Ç�¢q�q���$�¿����íÓ�.����� ¥|­ ��Ç���Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç���'Æ�È�È��$� �M���N«h¤� �¤�«h¦�«r¡[��¬F � ¤� !5]¢¥©�·�·\�·�¦�©8¤�¡�¢¥¤]AcÆD���3Æ�����Ç��i�7�$�#Æ����i�]�I���±Å°ÆD���$�¼�0ÆD�±Ç���D�

2 ¥¨­ ����Ç��q�'ƼÇ����±Ç�Å|��È�º����½�$�FÅ|�q�q���%Æ «h¤{ ¤�«h¦�«o¡���¬F  �¤� ^5 ¢¥©�·�·%Ç����M���'Æ��4�D�#Æ®.���£Ç����i�GÅ%Ç���Ç�Å*��Å �M���$� ¥? Å%Ç���Ç�Å*��Å �M��ÆD�q��Ç��q���M���$�°�D��Æ>��0ÆD�q�WÇ��GÆQ�M���$�«©^��Ç����hÇ���$���.�0Æ�Ç����$� Ç����M���¨��0ÆD�q� � �$���q���$�i����Æ�È�ÈÞ�D�pÇ����^�7�i�M�±Ç��$�$��ÆD������Æ���Å%Ç���Ç�Å*��Å È��i�q��M�Æ�Å����q� Æ�È�È^�M���G�À�M���$�$� ¥¿ù �Å©�Ç�È�È^�q�i������� Æ Å%Ç���Ç�Å���Åô�M��ÆD�q��Ç��q�¿�M���$�½¢uº

MSTÆD����Ç����NÈ��i�q��M�¡¢.ºmst ¥_ ¢����i�M�7���M��ÆD��Æ°Å%Ç���Ç�Å*��Åú����ÆD�q��Ç��q�½�M���$�*Ç���ƽ®.���£Ç����i�

Å%Ç���Ç�Å���Åö�M���$�*Ç �Y�M���*���i���D�»���i�±Å%Ç���Æ�È��ª�$Û.��Æ�È��Q�M�������i�ª�D�×Æ�È�È��7�i�M�±Ç��$�$� ¥^ù ���i���'Æ���$�FÅ|�q�q�±Ç��q�|®.���£Ç����i�JÅ%Ç���Ç�Å*��ÅÍ�M���$�$�[Ç��»²�³pÄK��ÆD��� � ÆNÅ%Ç���Ç�Å���ÅÍ�M��ÆD�q��Ç��q�*�M���$�>�'ÆD�¢v�¨�I���q��� Ç��£�v�FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�ÈÞ�±Ç�Å�� ¥^­ ���*Å���M�^�¹Æ�Å������NÆ�È��7���±Ç��M��Å��ª�I���Q�q�FÇ��q�½�G�°ÆD����M����Æ�È��7���±Ç��M��Å��¼�D�Þñ¨�M���M±FÆ�ÈR´`ËË · ÆD����³Y�±Ç�Å ´`Ë ðD· ¥R­ ����È5ÆD�M���i��Æ�È��7���±Ç��M��Å �'ÆD�Å�$�FÅhÄ�q�q���%ƼÅ%Ç���Ç�Å*��Åõ����ÆD�q��Ç��q���M���$�*�I���]Æ���0ÆD�q�¿©�Ç��M�

n�7�i�M�±Ç��$�$�]ÆD���

m�$���7�$����

�±Ç�Å�� O(m + n log n)Ç �JÆD�q�q�����q�±Ç5ÆD���*�ÆD�0Æ|�M�M�M���i�M�q���$�NÆD���������$� ¦ ���$���i� ¥ ´ m@Ñ�· ¬<¥

­ ���3Å%Ç���Ç�Å*��Å �M��ÆD�q��Ç��q�£�M���$�|���i�q�±Ç����±Ç��0�$�FÅ|�q�q���$�hÆ£®.���£Ç����i�*�M���$�°Ç��µ�M�q���$��M���i���AÉ�ÎGÇ����M�3Ç��0�$�FÅ|�q�q���$���M���£���¿�'Æ�È�È��$�ó¢ ·�©�«W¤{ �¬F²+³K¤5¡£¢¹¬F =A0·E5F©±¬��% ¥ó­ ��Ç��°Ç��°Æ�$�FÅ|��È��i���0��0ÆD�q�Ï���Ð�M���0���i�

R�D�^���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥Å­ �����$���7�$�hÆD���|©«�£Ç���.���$�Ï¢.º4�M���

È��i�q��M�À�D��Æ��M�����M���$�M����ÆD�M� Ç��G

¢v�i�W©«�$�i�à�M���0�W©«�Ó�i�����v�FÇ��u��� �D�^�M���0�$���7� ¥�§ ��M�������$�$�����Ï�����i��Æ Å%Ç���Ç�Å���Å÷�M��ÆD�q��Ç��q�¡�M���$���������M�������i�±Å%Ç���Æ�È^��Ç��M�0ÆD���$����0ÆD�q�Ç��ª�$�FÅ|�q�q���$� ¥>­ ��Ç��+Å%Ç���Ç�Å���Å �M��ÆD�q��Ç��q���M���$��Ç��>�M�0ÆD���±È5ÆD���$��Ç��£�M����¯���Æ�È��M���i�¡���

ð

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 6: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

11

1

11

2−ε

2−ε

2−ε

2−ε

ÎGÇ���q��� m É Â ©«�����M��ÄW�'Æ����]Ç����M�0ÆD���$�¨�I���>�M���MST

���i�q�±Ç��M�±Ç�� ¥

ÆÅ�M�q¢q��0ÆD�q�µ�D�G

¢.º¡���i��È5Æ��£Ç��q� Ç������$���7�$��©�Ç��M�¿�M��� �M�����M���$�M����ÆD�M����©^��Ç��G�µ�M���iº���i�q���$���i�u� ¥Ä§ �¨�M���Å���$�M��È��±Ç��q�Ð�M�q¢q��0ÆD�q�ø�D�

G�$���.�0Æ�Ç������iº��£È��$�|����������ÄK���i�±Å%Ç���Æ�È

�7�i�M�±Ç��$�$�Å�D���q�i����$�¡����� � �M���iº ÆD���£���£Å��"�7�$� Ç����i�0ÆD�±Ç��7�£È�ºÄ���Ï�7�i� Æà®.���£Ç����i���M���$������

G ¥` �! � µëX"=$bac'ed èÆè�é���,"^fhgQ+�$ia=jk/10l2 �·m��·�©{§lªF©8«3¬F nA0·W©±¬K¢¥¤¥ª ª�§]¢�·]«h¤{ ¤{«W¦�«¡[��¬K  ¤{ ^5°¢¥©�·�·o�·£¦�©�¤5¡£¢¥¤&A*¤�¡

2¾J¤[>�·�>R¾§lªF©�¬F²{²%5F©±¬��%�¡

mst ≤ 2 smt�ªF²�³�¡?>

 ���<¹�Æ�Å|��È��*©^���i�����M�����q�q�v�i�^¢����q��� Ç���Æ��Mº�Å|�q�����±Ç��'Æ�È�È�º ÆD�M�0Æ�Ç����$� Ç��>�M���@©^�Ç��µÎGÇ���q��� m ¥�­ ���|�GÛu��ÆD��� ¢v�$¹q�$�]ÆD��� ���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥|­ ��� MST

���i�q�±Ç��M�±Ç�� ©�Ç�È�ÈR¯����ƽ��ÆD�M� ÆD�����q���4�M��� ¢������q�i���D�°�M����©^���$�£È � ©^���i���'Æ����M��� SMT

�����$�¨�M���0®.���£Ç����i��7�i�M���<¹°Ç��½�M���+Å%Ç��q��È�� ¥ Î�����Æ*©^���$�£È2©�Ç��M�

k�M�v��±7�$� � ©«����¢q�0Æ�Ç�� Æ�È��@©°�i�¼¢����q���½�D�

(2 − ε)(k − 1)/k���£�M�������i�]�I���±Å°ÆD���$�*�0ÆD�±Ç�� � ©^��Ç��G�4�$���.�7�i�M�7�$�����

2��

k → ∞ÆD���ε→ 0 ¥®�È�Ç���u�±È�ºµ��Çp�Æ�i���i�u���7�i���±Ç��������D�¼�M���%Å%Ç���Ç�Å*��ÅÈ�M��ÆD�q��Ç��q�£�M���$� ���i�q�±Ç����±Ç�����Æ$�7�

¢��$�i�Ó���$��Ç����$�"�7�i���$�¿���i�7�i�0Æ�È��±Ç�Å��$� ´ ¶ � Ë m � Ë ¶�· ¥ª­ ����� Æ��M���$���Q± ���@©^� Ç�Å|��È��£Å��i�u�0Æ}Ä�±Ç����½�����°�M���+Å%Ç���Ç�Å���ÅÇ�M��ÆD�q��Ç��q� �M���$�ª���i�q�±Ç��M�±Ç��NÇ��°����������í¡�i��È������M�¿´`Ë î � m@î�· ¥Y§ ���Æ��+Æ �M�q�q��Ç��q���±Ç�Å��*�D� O(m + n log n) ¥���rq

k s O�ZtF%��K4F;UuCvUYF;F%�Î����PÅ������>�M��ÆD�0��©«�i�.�Wº½º7�'ÆD���¸�M���Q���i�]�I���±Å°ÆD���$�>�0ÆD�±Ç����D�Æ�M���cÅ%Ç���Ç�Å*��Å �M��ÆD�q��Ç��q��M���$�*���i�q�±Ç����±Ç���©DÆ��������ª¢v�'ÆD���i�¡¢.º�ÆD�uº¡���M���i��Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥¨­ ���*Å°Æ�Ç��¡���'Æ������¡�I����M��Ç�� ©PÆ����M��ÆD������� ���$�£Å%Ç��q�KÈ�ºÏ¢��i�M���i�3Æ�È��7���±Ç��M��Å��hÇ�� �M�q�M���$�à���q�����Ó¢v����Çpw0�i��È�����ÿÆD��Æ�È�º.Ü@�4�M���£Ç����v�i�]�I�FÅ°ÆD���$�¿�0ÆD�±Ç�� ¥Í­ ���Ð�±Ç��M��ÆD�±Ç����â����ÆD�q�7�$�Á©^���i� Ç�� m@¶¶ÑÒ �£È�Ç�±7�@���M± º��M�q��7�$�M���$�|���*�����

kÄS®.���£Ç����i�«�M���$�$�»�����¸�M����ÆD��Æ�È�º��±Ç��¸�D� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����

Æ�È��7���±Ç��M��Å�� ¥� È�È«�i�q�M���i�.�±È�ºµ±.���"©^� ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����ÿÆ�È��7���±Ç��M��Å����I���*�M���½®.���£Ç����i��M���$���q����¢�È��£ÅoÅ°ÆD±7���������D�?�M����Ç��q�'Æ��D�

kÄS®.���£Ç����i�Q�M���$�$�cÇ���ÆD���$�����i�.�±Ç5Æ�ÈÞ©PÆ@º ¥

 ®.���£Ç����i���M���$� Ç��ã©^��Ç���� Æ�È�ÈQ���i�±Å%Ç���Æ�È��°ÆD��� È��'Æ$�7�$�0�D���M���Å�M���$� Ç��|�'Æ�È�È��$� Ƨ8¦�²{²��!¢ ·�¤� <·�©%¢¥©±·�· ¥ ®.���£Ç����i���M���$�$���M��ÆD��ÆD��� �����¨����È�È»�'ÆD�¿¢�� �q�$�$�FÅ|�v����$� Ç��u�����G�

É

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 7: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ÎGÇ���q���*Ë�É ­ ���¨����È�Ȥ�$�FÅ|�������i�.���ª�D�JÆ�®.���£Ç����i�Q�M���$�

�'Æ�È�È��$�W§�¦�²{²xA�ªF«v��ªF !·£ �¢{¡�¢uº0�M��È�Ç��M�±Ç��q�|���i�±Å%Ç���Æ�È��¼�M��ÆD�cÆD���NÇ��u���i�±Ç����Q�7�i�M�±Ç��$�$�^�D�Þ�M���®.���£Ç����i�R�M���$� ¥ ® �$�°ÎGÇ���q���^Ë>�����[ÆD�*Ç�È�È������M�0ÆD�±Ç���� �D�2�M���«�q�$�$�FÅ|�v��±Ç��±Ç������D��ƨ®.���£Ç����i��M���$�NÇ��u���|�k��È�ÈÆ�$�FÅ|�v�����i�u��� ¥»Â k

´K��¢ ·�¤{ !·�©]¢¥©�·�·�Ç���Æ�®.���£Ç����i�^�M���$�]Æ�È�ÈÆ�D��©^������ª����È�È�$�FÅ|�v�����i�u���|�$���.�0Æ�Ç�� ÆD�WÅ�����

k���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥µ­ ���i���sÇ��%Æ£�±È�Ç���.�|��Çpw0�i��È��WºÀ©�Ç��M�

�M��Ç��ª�q�<¯���Ç��±Ç����Ó�±Ç����$�*ÆkÄS®.���£Ç����i�ª�M���$��Ç����M��Ç��Q�M�M�±Ç��i�����i�������q� �$�>�����Q���$�$�$���0ÆD�±Ç�È�º

�<¹�Ç��M��yv�$�����±Ç��q�i��� ¥ � ¥ Æ��M�0ÆD��©�Ç��M� Å������*�M��ÆD�k�0Æ@º � ¥ª­ ���i���<�I������©«�%Æ���Å%Ç��¨�M��ÆD�

ÆkÄS®.���£Ç����i�Q�M���$�*�'ÆD�������¨�M�����$���7�$�NÆD���£®.���£Ç����i�Q�7�i�M�±Ç��$�$�Q�D�R�M������0ÆD�q� Ç�� Å������

�M��ÆD�Å�����ª�k��È�È��$�FÅ|�������i�.� ¥¸§ �0�M��Ç��¼���i����� � Æ kÄS®.���£Ç����i�^�M���$��Ç���Æ*�$�FÈ�È��$�i�±Ç������D�Æ����È�È

�$�FÅ|�v�����i�u����©�Ç��M� ÆD�+Å���M�k���i�±Å%Ç���Æ�È����M��ÆD�+Ç����$���q���$�i���$� ÆD���£�����7�i�M���i�¨����ÆD���

�M���Å©^���FÈ������i�±Å%Ç���Æ�È����i� ¥à �á���q�±Ç�Å���ÅkÄS®.���£Ç����i�0�M���$� Ç��0�q�i�������$�ã¢uº

SMT kÆD��� Ç����°È��i�q��M�Ä¢.ºsmtk ¥l ¢u��Ç������±È�º � �i�7�i�Mºø®.���£Ç����i�0�M���$� Ç��°Æ

kÄS®.���£Ç����i�½�M���$�

�I�����M�kw0�£Ç��i�.�±È�º È5ÆD�M�7�k � �0Æ@º k = |R| ¥�§ �Ð�7�i���i�0Æ�È°�M���3È��i�q��M�à�D��ÆD�à���q�±Ç�Å*��Å

kÄS®.���£Ç����i�^�M���$���'ÆD�Å¢�������'ÆD���i�^�M��ÆD���M��ÆD�^�D�pÆ|®.���£Ç����i��Å%Ç���Ç�Å���ÅÃ�M���$� ¥ ÎGÇ���q����Ë

�M���"©>�#ÆD�½���q�±Ç�Å*��Åî.���£Ç����i�«�M���$�ª�����M���cÈ��<���#ÆD���¼ÆD�½���q�±Ç�Å*��Å3ÄS®.���£Ç����i�«�M���$�ª���

�M���¨�±Ç���.� ¥¸­ �����i���£È�Ç��q�'ÆD��È��i�q��M� Ç��+ÆD¢v���q�1%

È����q�7�i�cÇ����M����È5ÆD�M���i�Q�'Æ��G� ¥§ �u�M��Ç��±Ç��7�£È�º�Ç����G�$�£Å������'Æ��G����ÆD¢�È��Å�M��ÆD�hÆD�ã���q�±Ç�Å*��Å

kÄS®.���£Ç����i� �M���$�½�KÇ��7�$�%Æ

�7� �.�ÿÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����Ä�����°ÆÏ®.���£Ç����i�3Å%Ç���Ç�Å*��Åÿ�M���$� � Ç �k

Ç����M�kw0�£Ç��i�.�±È�º È5ÆD�M�7� ¥­ � Å°ÆD±7�|�M��Ç��=Ç��u�M��Ç��±Ç�����Å������|�q���$�£Ç����|�$�����±Ç��q�i�*�M���0®.���£Ç����i���0ÆD�±Ç��

ρk � ©^��Ç�����Ç���q�<¯����$� Æ��

ρk := supG

smtk(G)

smt(G).

§ ���I�FÈ�È��@©>�*�k���FÅ{zÞ�£Å%Å°Æ m ¥ Ë��M��ÆD�ρ2 = 2 ¥Å �µ�q�q�v�i�*¢v���q���¿�I�����M�����KÆ�È����0�D�

ρ3©PÆ���¯������ ��¢q�0Æ�Ç����$�À¢.º Ò �£È�Ç�±7�@���M± ºø´ î Ë · ÆD���À��Ç������$����È���©DÆ�� �7�i���i�0Æ�È�Ç�Ü@�$�à¢uº

Õ¼���������i���NÆD���}|���©^���|�q���@�7�$�£�M���¨�I�FÈ�È��@©�Ç��q�0�<¹���È�Ç��£Ç��^�I���±Å*��È5Æ �I���ρk ¥

ï

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 8: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

� ç��uè2é��! #"%$�~c'e� è2é���çh�.é�ê�gQ��å�,p�;/10u� ªF©k = 2r +s

:[¤¥¢0 ≤ s < 2r :#·��¬F¶�·

ρk =(r + 1) · 2r + s

r · 2r + s.

²������ �M��ÆD���M��Ç��¨���$�M��È���Ç�Å|��È�Ç��$���M��ÆD�ρk → 1

�I���k → ∞ ¥*­ ��Ç����M���"©>�¨�M��ÆD�

���q�±Ç�Å*��ÅkÄS®.���£Ç����i�«�M���$�$�#ÆD���^�7� � �3ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç������»�I���°®.���£Ç����i�JÅ%Ç���Ç�Å���ÅÍ�M���$�$�

Ç �k

Ç��*���kw0�£Ç��i�u�±È�º È5ÆD�M�7� ¥�Ô �@©°�i�7�i� �M�����0ÆD���½�D�^�$���.�7�i�M�7�i���$�sÇ��*�������7�i�Mº4� Æ��M� ¥® �FÅ����KÆ�È����$�>�D�ρk

ÆD���*�M���@©^� Ç�� ­ ÆD¢�È��*Ë ¥k

Ë î Ì ð É ï Ê ¶ m@Ñ m@É î Ë É Ì2100

ρk

Ë 53

32

139

75

1511

43

3325

1713

54

65

76

m ¥ Ñ�m

­ ÆD¢�È���Ë�ɸ® �FÅ����KÆ�È����$�>�D�R�M����®.���£Ç����i�>�0ÆD�±Ç��ρk ¥

Õ�Æ����$����� ­ ���$�����£Å m ¥ î Æ>��ÆD�M�q�0Æ�È�Ç��q�'Æ+Ç��?���ª�$�FÅ|�q�q����ÆD�|���q�±Ç�Å*��ÅkÄS®.���£Ç����i�

�M���$� Ç����M���'Æ��á�D�]ÆD�á���q�±Ç�Å*��Å×®.���£Ç����i�0�M���$� ¥áÔ �@©°�i�7�i� � Ç����M�q�M�������q���M��ÆD���M��Ç���q����¢�È��£ÅoÇ���Ç����G�£È �Y²�³pÄK��ÆD��� ¥°­ ��Ç��¼�I�FÈ�È��@©>�ª¢uº Æ �±Ç�Å|��È������$�����i�±Ç����¡�k���FÅ �M����²ª³[Ä�$�FÅ|��È��i���i���$�����D�?�M���¨�7�i�M���<¹��$�@�7�i�Q�q����¢�È��£ÅoÇ�����0ÆD�q���>�D�pÅ°Æ�¹�Ç�Å*��Åö�q�i����$�

3 ¥` �! � µëX"=$<f-� ¤� !³F¤� !5¼ª��<¢¥¤�«h¦�«

k´K��¢ ·�¤{ !·�©*¢¥©±·�·�¡�¤5¡9798D´[�¬F©±³N§lªF©

k ≥ 4>

­ �����±Ç��M��ÆD�±Ç�����Ç�����Çp�Æ�i���i�u�ª�����k = 3 ¥ ³Y��ßFÅ��£ÈJÆD���Ó®.���i�7�i� ´`Ë ÉD· ��Æ@�7�������@©^�

�M��ÆD�SMT 3

�'ÆD��¢���ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD���$��©�Ç��M�sÆD���i�M�����«�D�¤����È�º1+ε

¢.º°Æ¨���FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È�±Ç�Å����0ÆD���q�FÅ%Ç�Ü@�$� Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥»Â �i�M��Æ�È�È�º � �M���iº0��¢q�0Æ�Ç����M���£Ç��¼���$�M��È��cÆ���Æ��$�����FÈ�È5ÆD�Mº�D�.Æ��0ÆD���q�FÅ%Ç�Ü@�$� Æ�È��7���±Ç��M��Åü�����»�M����Å%Ç���Ç�Å*��ÅÝ�M��ÆD�q��Ç��q���M���$�Q�q����¢�È��£Å Ç��

3ÄK�q��ÇRÄ

�����±ÅÇ�uº ���i�M��0ÆD�q��� ¥� ç��uè2é��! #"%$bjI'e�*é��n ��^��g���æ��^�%�.é�,�a;�;/10u� ªF©�·�¶�·�©��

ε > 0¢�·£©±·=·*�K¤5¡£¢{¡N¬]©±¬F �³K´

ªF«h¤�º}·±³���ªK²��F �ªF«h¤ ¬F²�¢¥¤�«°·1 + ε

¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤¥ªK ¼¬F²�5�ªF©�¤{¢�« §lªF©SMT 3

¤{ 6:#·�¤p5��¢ ·±³5F©±¬��%�¡�>

­ ���ª�q���.�D�¤���$�G�q��Ç�Ûu���¨�D�«´`Ë É�· �q�.�$�°�����«�<¹����i������� ®.���£Ç����i�¼�M���$�$�°�$�FÅ|������$�½�D�È5ÆD�M�7�i�>����È�ÈÞ�$�FÅ|�v�����i�u��� ¥¼­ ��Ç���Ç��^�����ª�M�q�M�q�±Ç���Ç��q� � �±Ç����$���M���*���$�M��È����Q�D�«® �$�i�±Ç���� ÉÇ�Å|��È�º��M��ÆD�R�I���

k ≥ 4�M���i���^�<¹�Ç������Jƪ�$�������0ÆD�u�

c > 1�M���G���M��ÆD�Y���=Æ�È��7���±Ç��M��ÅÚ�'ÆD�

ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD���SMT k

©�Ç��M�%Æ>�v�i�]�����±Å°ÆD���$�°�0ÆD�±Ç��ª¢��i�M���i�?�M��ÆD�c � �q���q�i�R���'Æ�������ÆD¢�È��

�$�FÅ|��È��<¹�Ç���º��M���$�����i�±Ç��'Æ�ÈGÆ�������Å|�q�±Ç������ ¥����� ����F%KGF%U������iU���L3F��E�hU����e�xU��uU�F%F%�i ¡���[Sx�xU^�]Z�D4Ll�í¡����NÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å����I���Q�M���|®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å �M��ÆD��Æ��G��Ç��i�7�%Æ���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç���È��$�����M��ÆD�

2ÆD���0��Ç�Å|��È��|����$�$��º ÆD�q�q����Æ������$� ¥£­ ���iº¡¯��*Ç��u���

Ê

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 9: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

z�i�K

¢v�¨�M�������i�Q�D�?����È�Ȥ�$�FÅ|�������i�.���Q�D�R�q�����k���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥

i← 0 ¥¢3£�¤<¥�¦*ÆD� Ç�Å|�q���@��Ç��q������È�Ȥ�$�FÅ|�������i�.�ª�<¹�Ç��M���\§;¨�É�«���.����

ti+1 ∈ K�M��ÆD��Å%Ç���Ç�Å%Ç�Ü@�$�Q�M�������£È��$�i�±Ç����£�k�q���i�±Ç����

fi ¥i← i + 1 ¥

imax ← i ¥©�ª�«*¬%ª�« Æ0®.���£Ç����i�Q�M���$�����±Ç��q�t1, . . . , timax

¥ÎGÇ���q��� î É Â �7�i���i�0Æ�Ȥ���0Æ�Å��i©«���M±½�I���^����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å�� ¥

�M���½�7�i���i�0Æ�ȼ���0Æ�Å��i©«���M±à�M���@©^� Ç��ãÎGÇ���q��� î ¥ z¤�i� k ∈ N¢���¯q¹q�$� ¥ �°�����±Ç��q�i��M�����M�q¢��G�i���

K ′ �D� R©�Ç��M� ÆD��Å���M�

k���i�±Å%Ç���Æ�È���ÆD��� È��i�

K¢v���M�����$�FÈ�È��$�i�±Ç����¡�D�

�M������t ∈ K ′ �����^©^��Ç��G�

SMT (t)Ç��+Æ�����È�È�®.���£Ç����i�>�M���$� ¥ ²������¨�M��ÆD�

#K ≤ #V kÆD���SMT (t)

�I����Æ�È�Èt ∈ K

�'ÆD�¿¢v� �$�FÅ|�q�q���$� Ç��¿�v�FÈ�º.���FÅ%Ç5Æ�ÈY�±Ç�Å�� � �±Ç����$� kÇ��

¯q¹q�$��´ mm$· ¥�­ ����Æ�È��7���±Ç��M��Å��Y�M�0ÆD�M�R©�Ç��M�%ƨ®.���£Ç����i�R�M���$�°�M��ÆD�pÇ��R��¢q�0Æ�Ç����$��¢.º*�0ÆD±�Ç��q�Æ Å%Ç���Ç�Å*��Å �M��ÆD�q��Ç��q�¡�M���$�°Ç��Ð�M������Ç��M�0ÆD���$�0��0ÆD�q� ¥ Õ°º�z¤�£Å%Å°Æ m ¥ Ë��M���0�����0Æ�ÈÈ��i�q��M�û�D�¨�M��Ç��½���FÈ��q�±Ç���� Ç��¼ÆD�3Å���M���W©�Ç��$�£�M��� È��i�q��M�ó�D�]ÆÏ®.���£Ç����i�°Å%Ç���Ç�Å*��Å�M���$� ¥û§ �ø�'Æ����ø�����i�Ä�M��� Æ�È��7���±Ç��M��Å��½�M�Mºà��� Ç�Å|�q���@�7�¡�M�����i�q�M���i�.�½���FÈ��q�±Ç����ø¢uº���±Ç��q�hÆ�®.���£Ç����i�PÅ%Ç���Ç�Å*��ÅÝ�M���$�^�I���PÆD�½�£È��£Å��i�u�¼�D�

K ¥R§ �Æ�M���i���cÇ��#Å������>�M��ÆD�Å�����t ∈ K

�M��ÆD��©°����È��hÇ�Å|�q���@�7�°�M���°�i�q�M���i�u�»���FÈ��q�±Ç���� � �M���DÆ�È��7���±Ç��M��Å��R�����DÆQ���£È��$�i�±Ç�������q���i�±Ç����

f : K → R+�����q�$�£Ç��q� ©^��Ç����

tÇ��¨����¢v�|������G�i�¿���<¹ � ¥�­ ���i���<������� � ����M�v�$�£Ç ��º¼ÆD� Æ�È��7���±Ç��M��Å ¯��M�±Ç��q�%Ç��u���|�M��Ç��¼�7�i���i�0Æ�Èv���0Æ�Å��i©«���M±sÇ��>�M�kw0�$�$�¼��� �M�v�$�£Ç �kº

�M�������q���i�±Ç����f � ÆD�������@©ò���%Ç�Å|�q���@�7�*�M�����i�q�M���i�u�ª�G�FÈ��q�±Ç��������±Ç��q�

t ∈ K ¥zÞ�i�A

¢v�*ÆD� Æ�È��7���±Ç��M��Å �M��ÆD�Q¯�����Ç��u�����M�������0Æ�Å��i©«���M± ÆD��� È��i�A(G)

¢v��Ç�������q�M�q�q�Q��� Ç����M�0ÆD���$�

G ¥Y­ �����v�i�]�����±Å°ÆD���$�*�0ÆD�±Ç����D�A

��

supG

|A(G)|smt(G)

= supG

(

smtk(G)

smt(G)· |A(G)|smtk(G)

)

≤ ρk · supG

|A(G)|smtk(G)

. ¦ m ¬§ �¤©«���'ÆD�Å�M���@©ó�M��ÆD�°�M���Q�0ÆD�±Ç�� |A(G)|/smtk(G)

Ç��¸¢v���q���q�$���k���FÅ ÆD¢��"�7�Q¢.ºÆ��$�����M�0ÆD�u�

ck � �M���i�4©°�*Ç�Å%Å��$��Ç5ÆD���£È�º¡��Æ$�7�%Æ����FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È?�±Ç�Å��hÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����Æ�È��7���±Ç��M��Åü�I���«�M����®.���£Ç����i�¼�M���$�Q�q����¢�È��£Å ©�Ç��M�½�v�i�]�����±Å°Æ��$���0ÆD�±Ç��

ρkck ¥Y§ � � Å�������Ä�"�7�i� � c = ck

Ç���Ç����q�i�v�i���q�i�u�*���k � �M���i�¿�M��Ç��¨�KÇ��7�$��ƽ���$Û.���i���$�|�D�DÆ�È��7���±Ç��M��Å�� �©^��������v�i�]�����±Å°ÆD���$� �0ÆD�±Ç��½���i���q�����

c � Æ����M���0®.���£Ç����i���0ÆD�±Ç��ρk

�$���.�7�i�M�7�$�����1 ¥

 È��7���±Ç��M��Å����M��ÆD�WÆD���½�M���$�£Ç ¯��$�Ð��Ç5Æ��M���|���0Æ�Å��i©«���M± ÆD����ÆD��Æ�È�º Ü@�$� Ç��Ï�M��Ç��*©DÆ$ºÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º�ØÙ�

11/6Ä�ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����VÆ�È��7���±Ç��M��Å ¦ ® �$�i�±Ç����âË ¥ î ¬<� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º�ØÙ�Öª�£È5ÆD�±Ç��7� � ���$�$��º  È��7���±Ç��M��Å ¦ ® �$�i�±Ç���� î ¬<� ÆD���|�M���\z¤��G�­�°���u�M�0Æ��i�±Ç����  È��7���±Ç��M��Å

¦ ® �$�i�±Ç�����Ì ¬<¥¶

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 10: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

²������ � ���"©«�i�7�i� � �M��ÆD���I����È5ÆD�M�7�k�M�����M�q�q��Ç��q�4�±Ç�Å��0�D�Q������� ÆD��Æ�È��7���±Ç��M��Å

Å°Æ$ºÅ��� ����¢v�$�$�FÅ���Ç�Å|�q�0Æ��i�±Ç��'Æ�È ¥ Öª�$�$�i�u�¼�M���$�����i�±Ç��'Æ�Ȥ���$���'ÆD���G����Æ��^�$�����$�i�u�M�0ÆD���$���� Ç�Å|�q���"��Ç��q�½�M�����v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��3Ç��������'Æ��£�D�Y�M�����M�q�q��Ç��q�½�±Ç�Å�� � ¢v�$�'ÆD������Ç��Ç��|�$�FÅ%Å�����È�ºÏ¢v�£È�Ç��i�7�$�à�M��ÆD� �M�����i�q�M���i�u�±È�ºÀ±.���"©^� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��¦ ����ÆD��È��'Æ��M�>�M���£Ç��NÆD��Æ�È�º ���$� ¬ ÆD�����M�±Ç�È�Èv�¹ÆD�¼�k���FÅÇ���q�±Ç�Å°Æ�È ¥���r® ¯°�hK�ZtU����!Z��[�hK-±\F%LlL3�

­ ���o�°���u�M�0Æ��i�±Ç����²zÞ�£Å%Å°ÆhÇ��¼�������D���M���¨�$�����$�i�q���^�M��ÆD�>� �$�i�q�°���i�v�'ÆD���$��È�ºsÇ��½�M����$���u���<¹��0�D��Æ�È��7���±Ç��M��Å��0�M��ÆD� ¯���� Å%Ç���Ç�Å*��Åý�$���q���$�i�±Ç��q�Ð�M�M�M���i�M�q���$�%Ç����i���£Å��i��Ä�0Æ�È�È�º ¥ ÎGÇ����M�^©«��Ç��u�M��� �����$�����FÅ��������0ÆD�±Ç���� ¥z¤�i�����*�q�i��������¢uº

MST (R)�M���%Å%Ç���Ç�Å*��ÅÈ�M��ÆD�q��Ç��q���M���$�%Ç��Ð�M���|���i�±Å%Ç���Æ�È

��Ç��M�0ÆD���$����0ÆD�q�£�I���=Æ0���i���D�¸���$Û.��Ç����$�£�7�i�M�±Ç��$�$�R ¥ ²��@© Æ����M��Å����M��ÆD��©«�%Æ��q� Æ

���i©ò�$���7�e¢v�i�W©°�$�i� Æ ��Æ�Ç��ª�D�?���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥ ³GÆD�0Æ�È�È��£È?�$���7�$��ÆD���]Æ�È�È��@©°�$� ¥ |¨�<¯����

MST (R/e) :=ÆWÅ%Ç���Ç�Å���Åö�M��ÆD�q��Ç��q���M���$�������

R��

G + e .

§ � |e| = 0 � �M���i� MST (R/e)�'ÆD�Ó¢v����Ç��i©°�$� Æ��]ƼÅ%Ç���Ç�Å*��Åõ����ÆD�q��Ç��q���M���$�������

RÆ��k���i�oA0ªF �¢¥©±¬�Al¢¥¤{ ^5

e ¥¸§ ���7�i���i�0Æ�ÈÞ�M������Çp�Æ�i���i���$�mst(R)−mst(R/e)

Ç��>©^��ÆD������|�'ÆD��5�¬F¤{ Ð¢.º Æ��q��Ç��q�

e ¥*ù � ©DÆD�u�����ű ���@© ���"© �M��� ��Æ�Ç��µ�D��ÆD�����M���i�����i©�$���7�

f����ÆD�q�7�$�+Ç �

eÇ��+Æ��q�q�$� ¥

 �Wº ��Ç��'Æ�È�ÆD�q��È�Ç��'ÆD�±Ç����|�D�q�M���­�°���.�M�0Æ��i�±Ç����6z¤�£Å%Å°Æ>���Q�M���»�7�i���i�0Æ�È.�k�0Æ�Å��i©°���M±����������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å���Ç���Æ��¨�I�FÈ�È��@©>� ¥| ���M��Å�� �M��ÆD��©°���'ÆD� Å�� �q�£È»�M����³`���v�$�i�@Ø�D�NÇ����G�i�M�±Ç��q� Æ4�$�i�M�0Æ�Ç��à�k��È�È>�$�FÅ|�v�����i�u��¢.º Æ��q��Ç��q��Æ4���i�

E1�D�����i©Ã�$���7�$�����

�M�������i�±Å%Ç���Æ�Èv��Ç����0ÆD���$�¨��0ÆD�q� ¥ í¡�����$�"�7�i� � È��i� E0�q�i���������M���¨���i�¼�D���$���7�$�°©^��Ç����

��Æ$�7� Æ�È����'Æ���ºû¢v�$�i�kÆ��q�q�$�û�������'ÆD�±È�Ç��i�Å����È�È��$�FÅ|�������i�.��� ¥ ­ ��� È��i�q��M�â�D���M����i�q�M���i�u��Ç��u���i�±Å��$��Ç5ÆD���|�G�FÈ��q�±Ç���� Ç����q�i�������$�Ó¢uº

mst(R/E0) ¥ � Ç��7�i�Óº7�i��ÆD�����M���i��k��È�È«�$�FÅ|�������i�.�

E2 � �M����Ûu���$���±Ç���� Ç��'É Ô �@©Ú�q� �$���M���%Ç�Å|�q���"�7�£Å��i�u� ©^��Ç����Ð�'ÆD�¢��%Æ��G��Ç��i�7�$�¿¢uº

E2�q�i���i���¿���¿©^���i�M���i���M���3Æ�È��7���±Ç��M��Å ©�Ç�È�È»�q�$�£Ç��q� ��� Ç����£È����q�

E1���^������´ ­ ����ÆD���M©°�i�cÇ��'É § �^©�Ç�È�Ȥ���i�7�i�cÇ����i���'Æ���� ¥

µ*è=¶�æ@éDë��æ"ìkè=¶ ` �! � µëc'�·i�^��ì¸�è!¹¤ê�¸Rº�,<~nak/egQ�@�.é� Ðë;¶Gg¼»�ë; Ðë�ìrº=�ué½,pf�/10¾6·£¢

E0¾E1

¾E2

¯0·=¡'·£¢{¡*ª�§À¿  !·�:RÁ¼·±³�5�·�¡h¯�·£¢&:#·�·£  ¢ ·�©�«W¤{ �¬F²½¡?> 2 �·£ 

mst(R/E0)−mst(R/E0E2) ≥ mst(R/E0E1)−mst(R/E0E1E2) .

­ ���ª�q���.�D�Þ�D�Æ�M��Ç����°���u�M�0Æ��i�±Ç����}z¤�£Å%Å°Æ*���$�$�q�«�G�FÅ��Q�q���i���$Û.��Ç��±Ç����$� ¥ ÎGÇ����M�#È��i����>���$�¨©^��ÆD�>��ÆD�q�v�i���cÇ �R©«��ÂS���M�+Æ��q� Æ��±Ç��q�KÈ��¨���i©ò�$���7� ¥` �! � µëX"=$�� ¾6·l¢

e¯�·W¬¼ !·�: ·±³�5�·%¯�·l¢&:#·�·�  ¢ ·�©�«h¤� !¬F² ¡�> 2 �·� 

MST (R/e) = MST (R) + e− e′ ,:¼�·�©�·

e′¤�¡]¢�·]²RªF !5�·8¡�¢�·±³�5�·W¤�  ¢�·°¿¹¦� ¤]ã¦�·1Á°AÄ��A£²�·*¤{ 

MST (R) + e>

m@Ñ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 11: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

8P©±ª'ª�§�> ­ ��Ç��3Ç��sÆ¿�$�������$Û.���i���$�£�D���M���Å�¹Æ��i�0�M��ÆD�0ñ¨�M���M±KÆ�ÈKØÙ�¼Æ�È��7���±Ç��M��Åÿ�I�����M���Å%Ç���Ç�Å���Åö�M��ÆD�q��Ç��q���M���$���q����¢�È��£ÅoÇ��^���q�±Ç�Å°Æ�È ¥ ut

���±Ç��q� �M���������0ÆD�±Ç������D��z¤�£Å%Å°Æ m ¥ É � �M������Æ�Ç����D�e

Ç��mst(R)−mst(R/e) =

|e′| − |e| ¥ ²ª�<¹��¨©«� �M���"© �M��ÆD���M��� ��Æ�Ç��¿�D��ÆD�4�$���7� ���i�7�i��Ç����i���'Æ����$�]Ç �¸©«�3Æ��q�ÆD�����M���i�Q�$���7� ¥` �^ � ÐëX"%$Å ¾.·£¢

e1¬K �³

e2¯�·%·�³�5�·8¡h¯0·£¢&:#·�·�  ¢ ·�©�«h¤� !¬F² ¡�> 2 �·� 

mst(R)−mst(R/e2) ≥ mst(R/e1)−mst(R/e1e2) .

8P©±ª'ª�§�>vz¤�i�E≤α

�q�i���������M���¡���i�0�D���$���7�$�½�D��È��i�q��M� ÆD�3Å���M�α � ÆD���Ä�q�i�������

¢.ºT≤α

�M���°Ç��u���i�±Å��$��Ç5ÆD���Å���FÈ��q�±Ç����Ï�D�>ñ¨�M���M±KÆ�ÈKØÙ�*Æ�È��7���±Ç��M��ÅÈ©^���i��Æ�È�È°�$���7�$���D�È��i�q��M���q�0���

α��Æ@�7�Q¢v�$�i���$�����±Ç��q�i���$� ¥¸­ ���i�0�M���Q�$�FÅ|�v�����i�u���¼�D�

E≤α

ÆD���T≤αÆD����Ç��q�i�.�±Ç��'Æ�Ȥ�I����Æ�È�È

α � ¢v�$�'ÆD�����]ÆD���$���7�=Ç��DÇ����£È����q�$� Ç �JÆD��������È�º¼Ç �GÇ��¼Â]�FÇ����>�W©«��$�FÅ|�v�����i�u��� ¥� ¢u��Ç������±È�º � T≤α

Ç��>������Æ��v�$�i���$�£¢uºÅ�M�������i© �$���7�e2 � Ç � α < |e2| ¥§ ���M��ÆD�>�'Æ��G�ª¢v���M���±Ç��q�$�^�D���M���NÇ����$Û.��Æ�È�Ç��Wº ÆD���¨�$Ûu��Æ�ÈÆ���

0 ¥4 �M���i�M©�Ç���� � È��i� e′2¢v�

�M�����$���7���M��ÆD�+Ç��¼���i��È5Æ��$�$��©�Ç��M�e2 ¥Y§ ��Ç��>����È�º ÆWÅ��FÅ��i�u�@ØÙ�ª�M�����q��u�ª���|���$�¨�M��ÆD�

mst(R)−mst(R/e2) = |e′2| − |e2|= min{α > 0 e2

�£È�����$�+Æ �iº��£È��=Ç��T≤α } − |e2|

= min{α > 0 e2�£È�����$�+Æ �iº��£È��=Ç��

E≤α } − |e2|²��@©ò��Ç����$�

E≤α ⊆ (E + e1)≤α

�I���+Æ�È�Èα � �M����È��£Å%Å°Æ �I�FÈ�È��@©>� ¥ ut

ÆÈÇ�É!É�Ê�É�ʲËeÌ�ÍcÎvÉ=ϼË*Ç�Ð=Ñ^Ë*Ò�É=ÏlÓGÍYÔ�Ô�ÐRÕ ­ ���������$�£Ç5Æ�Ȥ�'Æ���� E0 = ∅ � E1 = {e1} �E2 = {e2}

©PÆ��Þ�q���@�7�$��Ç��Öz¤�£Å%Å°Æ m ¥}ï ¥ �°�����±Ç��q�i�±Ç��q�Q�M���Y��0ÆD�q�*©�Ç��M�*�$���7�Y���i�E∪

E0©«�*Å°Æ$º Æ�������Å���© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�

E0 = ∅ ¥^­ �����'Æ�����©^���i���E1 = {e1

1, e21, . . . }ÆD���

E2 = {e2}�I�FÈ�È��@©>�¼�'Æ��±Ç�È�º�¢.º|���i���'ÆD���$� ÆD�q��È�Ç��'ÆD�±Ç������D�hz¤�£Å%Å°Æ m ¥}ï ¥ Î.Ç���Æ�È�È�º �È��i�

E2 = {e12, e

22, . . . } ¥»ù ���£È5Æ�Ç�ÅÃ�M��ÆD�

mst(R)−mst(R/E2) =∑

i

mst(R/e12 . . . ei−1

2 )−mst(R/e12 . . . ei

2)

≥∑

i

mst(R/E1e12 . . . ei−1

2 )−mst(R/E1e12 . . . ei

2)

= mst(R/E1)−mst(R/E1E2) .

­ �����$���M��ÆD���M���hÇ����$Û.��Æ�È�Ç��Wº4���FÈ��q� � �0ÆD±7� E′0 := {e1

2, . . . , ei−12 } � E′

1 := E1 � ÆD���E′

2 := {ei2} � ÆD��� ÆD�q��È�º Ç��������i�±Ç����¡��� |E2| ¥ ut

mm

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 12: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

× � ^ U*X<YGØ=\�bWf`a�gWmÚÙ�_>�6a�Y�XVYcj ×

§ �À�M��Ç�� ���$�i�±Ç����à©«�½�q���$���i�.����©«� Æ�È��7���±Ç��M��Å�� ©^��Ç��G�ã��Æ$�7� Æ��v�i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç���D�

11/6 ¥�­ ��� ¯������*ÆD�q���'ÆD���$� Ç�� m@¶¶Ñ ÆD��� Ç��*�����|��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± ºà´ î Ë · ¥0§ �������$��k��È�È«�$�FÅ|�������i�.����©�Ç��M�ÛÂ]���M���M�q���$�|���i�±Å%Ç���Æ�È��*Ç��µ�����q�i�*��� Ç�Å|�q���"�7���M�������FÈ��q�±Ç�����D���M����Å%Ç���Ç�Å���Åö�M��ÆD�q��Ç��q�|�M���$�¨���i�q�±Ç��M�±Ç�� ¥¸­ ���]Æ�È��7���±Ç��M��Å ¯����DÇ��u���|�M���¨�7�i���i�0Æ�È�k�0Æ�Å��i©°���M± Æ��^©«��©�Ç�È�Ȥ���$�=Ç��¡® �$�i�±Ç����ÓË ¥ î ¥

­ ���¼Ç��q�'Æ��M�q�M���$�À���q�����¡¢v���7�i�Mº4���M��Ç��]�k��È�ÆD��� Å°ÆD�M±7�$�Ï�M���½�M�0ÆD�M�±Ç��q�¡�v�FÇ��u��D�×Æ|���i�±Ç��$�Q�D�×Æ�È��7���±Ç��M��Å���¢uº Ò �£È�Ç�±7�"� �M± º ÆD���£���M���i��ÆD�q�M�������Q©�Ç��M�Ó�$���u�±Ç��u��������È�ºÇ�Å|�q���@��Ç��q�0�v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��� ¥�ª�������M�M�q��ÆD���£È�º � �M���¸���±Ç��KÇ���Æ�È�ÆD��Æ�È�º ��Ç��Þ�D� Ò �£È�Ç�±7�@���M±.ºvØÙ�.Æ�È��7���±Ç��M��ÅÝ´ î Ë · ���£Å°Æ�Ç�������FÅ��i©^��ÆD���FÆD����hÆD�NÆ0�i�M���£Ç5Æ�È��v�FÇ��u� ¥>­ �����q��� �D�Y�G�$�£Å��Q���0¢���Ç����$�FÅ|��È��i��� � ÆD���ÆD�q��ÆD���i�u�±È�º Ç��%Ç�� �������'Æ��MºÏ���£¯q¹ Ç�� ¥ Õ°�i�±Å°ÆD� ÆD���ãÖNÆ�Å°Æ�Ç�º7�i��´ Ì · �q�$���i�±Ç�¢v�$�ÿÆ� Æ�Å%Ç�È�º¡�D�#Æ�È��7���±Ç��M��Å��

Ak

©°���M±�Ç��q�½©�Ç��M�£����È�ÈR�$�FÅ|�������i�.�����D�»�q�¡���k���i�±Å%Ç���Æ�È��

©^��Ç����3Æ�����Ç��i�7�$�%Æ>���i�]�I���±Å°ÆD���$�¸�0ÆD�±Ç����D�1.734

�I���6È5ÆD�M�7�k ¥�Ô �i���»©°�«����Æ�È�È.�q���$���i�.�

�M���£Ç���ÆD��Æ�È�º��±Ç��>�D�JÆ�È��7���±Ç��M��ÅA3

©^��Ç�����ÆD�M�0Æ�Ç����Q�M�����0ÆD�±Ç����D�11/6 ¥Õ�Æ����$�����|�M���+ÆD��Æ�È�º��±Ç��Y�D�ÆÕ¼�i�±Å°ÆD�¼ÆD����Ö�Æ�Å°Æ�Ç�º7�i�×Ç��[Ç��Y����G�±Ç�¢�È��¼���¨�q���@�7�^�M���

���i�]�I���±Å°ÆD���$�¼�0ÆD�±Ç����D� Ò �£È�Ç�±7�"� ��±.ºvØÙ�JÆ�È��7���±Ç��M��Å �±Ç��7���������±È�º ¥ Î����Y�$�FÅ|��È��i���i���$��� � ©«��q�$���i�±Ç�¢v�^�M��Ç��×ÆD�M���Å��i�u�#Ç��0�q�i�0Æ�Ç�ÈÇ���® �$�i�±Ç����ÅË ¥ î ¥?­ ���cÅ°Æ�Ç��3Ç��q����$��Ç��i�u���¸�����Y�M��Ç���q���.�D�DÆD�����0ÆD±7�i�¡�����FÅ Ò �£È�Ç�±7�"� ��±.ºÐ´ îð�· � ���$�hÆ�È����Ó´ Ê �Æï · ¥ Õ¼���M� Æ�È��7���±Ç��M��Å���Æ�È�È��@©� Æ�����Ç�Å|��È��£Å��i�u�0ÆD�±Ç������ ´ îî�· ¥B¼��� ���[Sx�hUY�]Z�D4L

A3

­ ����Æ�È��7���±Ç��M��ÅA3

�D�*Õ°�i�±Å°ÆD� ÆD���ÄÖNÆ�Å°Æ�Ç�º7�i�0��Æ����W©«�À�$�����i�.�±Ç5Æ�ÈQ�q��Æ����$� � ÆD��i�FÆ�È���ÆD�±Ç���� ÆD��� ƽ�$�����M�M�M���i�±Ç����4�q��Æ���� ¥�­ ���$���%ÆD�����£Å*¢v�$�q�q�$� Ç��4���M���i�¨�q��Æ����$� ¥­ ��� Ç���Ç��±Ç5Æ�È����FÈ��q�±Ç���� Ç�� ÆÏ����ÆD�q��Ç��q�À�M���$�4�D���M���¡���i�±Å%Ç���Æ�È���Ç����0ÆD���$�4��0ÆD�q� Æ�����q�M�q�q�>¢uºÅ�M���

MST���i�q�±Ç��M�±Ç�� � ©^��Ç���� Ç���Æ�È����'Æ���º Æ

2ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� ¥

§ ��Ç��±Ç5Æ�Ȥ�q��Æ���� ¥ �°�FÅ|�q�q���«�M���«���i�±Å%Ç���Æ�È���Ç����0ÆD���$�¸��0ÆD�q�(R,E0)

ÆD���]È��i�M0 ⊂ E0

¢v�]ÆhÅ%Ç���Ç�Å���Åö�M��ÆD�q��Ç��q���M���$� ¥i← 0 ¥

­ ���]Æ�È��7���±Ç��M��ÅÃ�����$�«����È�ÈÆ�$�FÅ|�������i�.���>©�Ç��M�Å�M�q���$�¨���i�±Å%Ç���Æ�È��^���hÇ�Å|�q���@�7�¨�M����i�q�M���i�u�WÇ��u���i�±Å��$��Ç5ÆD�������FÈ��q�±Ç���� ¥ ®.���£Ç����i���M���$�$���I���*�M�±Ç���È��$���D�^���i�±Å%Ç���Æ�È�� �'ÆD�Тv��$�FÅ|�q�q���$�Ð�7�i�MºÓ�¹Æ��M� ¥ ³������i�.�±Ç5Æ�È°�M�±Ç���È��$�hÆD���0�i�KÆ�È���ÆD���$� Ç��Ð���i�±Å����D�^�M���£Ç��Ü5�¬F¤�  ¥­ ������Æ�Ç���Ç����M�����0Æ$��Ç��q�¡�D�>�����0Æ�È#È��i�q��M��Ç��µ�M���½�i�q�M���i�u�WÇ��u���i�±Å��$��Ç5ÆD���Å���FÈ��q�±Ç����¤ §ã�M���½�M�±Ç���È��u:׬�¡Å�����$� ¥µ­ ���½�q���$�£Ç����Å�q�<¯���Ç������á�D����Æ�Ç��À©�Ç�È�ȼ¢v�0�KÇ��7�i�ã¢v�£È��@© ¥|��q�±Ç��q�£�M�����i�KÆ�È���ÆD�±Ç����Ð�q��Æ���� � �M�±Ç���È��$�*ÆD�������£È��$�i���$�µ�����0¢uº¿����� ¥0Ô �@©°�i�7�i� � ÆD�Ç�Å|�����M�0ÆD�.�|�I�'ÆD�M�q�����D��Æ�È��7���±Ç��M��Å

A3Ç��|�M��ÆD�|�������'Æ����ø�D�ª�M�������£È��$�i���$�à�M�±Ç���È��$�

���$�$�q�|���4¢v�����G�$�ã�i�7�i�u�M��Æ�È�È�º ¥ã­ �����q�$�£Ç��±Ç���� Ç��|�q�<�I�i�M���$�à���4�M�����$�����M�M�M���i�±Ç����m Ë

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 13: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

x

y

zce

f

e′f ′

ÎGÇ���q����ÌÉ ­ ������Æ�Ç��£�D�JÆ��M�±Ç���È�� ¥

�q��Æ���� ¥ íÓ�'ÆD�u©^��Ç�È��ª�M���^�M�±Ç���È��$�#ÆD���Q�M�0Æ���±7�$�0���±Ç��q�WÆ������$�£Ç5Æ�È��ÆD�0Æ*�M�M�M���i�M�q��� ¥Y­ ���Æ�È��7���±Ç��M��Å ¢q��Ç�È��q��Å���È��±Ç����i���^�D�pÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�Ȥ�$���7�$�Ei

���Å�M�������i�±Å%Ç���Æ�ÈÞ���i�R ¥ Ã×Æ����

�M�±Ç���È��%Ç������i�q���$���i�u���$�Ï¢uº ƽ��Æ�Ç��*�D�+ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�È«�$���7�$� ¥�­ �����$���7�$�*�D�E0

ÆD���¼Æ�È�����$�����±Ç��q�i���$��ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�È ¥

§ �ó�M���iÄK�M� Ç����i�0ÆD�±Ç���� � ©�Ç��M�â�i�7�i�Mºø�M�±Ç���È��

t = {x, y, z} ⊆ RÆÀÛ.��ÆD�u�±Ç���º

gaini(t)ÆD���½�W©°�|�$���7�$�

e′ÆD���

f ′ �k���FÅ Ei

ÆD���=Æ����G�.�£Ç5ÆD���$�sÇ��½�M���Q�I�FÈ�È��@©�Ç��q� ©DÆ$º¦ �<� ¥ ÎGÇ���q��� Ì ¬ É_�°�����±Ç��q�i���M�����M���$�

Mi ⊂ Ei ¥�­ ���i���hÇ��=Æ�³Ù¢q�0ÆD������Ç��q��ؤ���i�±Å%Ç���Æ�Èc ∈ R

�M���G���M��ÆD���M���»��ÆD�M���px

�����FÅx���

c � py

�����FÅy���

c � ÆD��� pz

�k���FÅz���

cÆD���

�$���7�>��Ç��]Â]�FÇ��.� ¥4 ���>�D�Æ�M���$���^��ÆD�M���JÅ%Ç���.�¸¢v�>�£Å|�q�Wº ¥ �°������Ç��q�i�¸�M����È����q�7�$�M�°�$���7������'Æ����¡�D���M���$������ÆD�M��� ¦ �0Æ@º°Ç����DÈ��i�q��M� Ç��

0 � Ç ���M������ÆD�M� Ç��^�£Å|�q��º ¬ ÆD��� Æ�������Å��© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�>�M���=È����q�7�$�M��Æ�Å����q���M���$�����$���7�$� � �0Æ$º e′

��>���py

ÆD�����M���*���$�$�����È����q�7�$�M� � �0Æ$º f ′ Ç������

pz ¥ z¤�i� Cut i(t) := {e′, f ′} ÆD���cut i(t) := |e′| + |f ′| ¥

­ ���i���M���¨��Æ�Ç��¡�D�?�M�����M�±Ç���È��t

Ç��>�q�<¯����$� Æ��gaini(t) := cut i(t)− smt(t).

 ���M��Å��Ó�M��ÆD���M���i��� Ç�� ÆÀ�M�±Ç���È��ti+1

�M���G�Á�M��ÆD�gaini(ti+1) > 0

ÆD��� È��i�Cuti(ti+1) = {e′i+1, f

′i+1} ¥ ���±Ç��q�½�M���*�����0ÆD�±Ç���� ÆD¢v�@�7� � È��i�

ei+1 := {x, y} ÆD���fi+1 := {x, z} � ©^���i��� |ei+1| :=

∣e′i+1

∣ − gaini(ti+1)ÆD��� |fi+1| :=

∣f ′i+1

∣ −gaini(ti+1) ¥� ¢��G�i�M�7���M��ÆD�|ei+1| =

∣e′i+1

∣−∣

∣f ′i+1

∣−∣

∣e′i+1

∣+ smt(ti+1) = smt(ti+1)−∣

∣f ′i+1

∣ ≥ 0ÆD������Ç�Å%Ç�È5ÆD�±È�º � |fi+1| ≥ 0 ¥»ù Ç��M���M���$�����q�<¯���Ç��±Ç������ª�M���*�i�KÆ�È���ÆD�±Ç������q��Æ������D�?�M���Æ�È��7���±Ç��M��ž�'ÆD��¢����M�0ÆD���$��Æ��¼���FÈ�È��"©>�'É

û�FÆ�È���ÆD�±Ç���� ¥ ù ��Ç�È�� ∃ti+1 : gaini(ti+1) > 0�q��É

Ei+1 ← Ei + ei+1 + fi+1 ¥Mi+1 ←Mi + ei+1 + fi+1 − e′i+1 − f ′

i+1 ¥i← i + 1 ¥

m@î

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 14: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

²������Q�M��ÆD�Mi+1

Ç���Æ]Å%Ç���Ç�Å���ÅÃ�M��ÆD�q��Ç��q� �M���$�+Ç��(R,Ei+1) ¥4 ���$���M���Q��Æ�Ç���D�¸�i�7�i�Mº��������i�.�±Ç5Æ�È��M�±Ç���È�����Æ��Q�������q�v�$�¡���¼Æ|������ÄK�v��±Ç��±Ç��7���FÆ�È���� � �M���*Æ�È��7���±Ç��M��Å

��Æ��ª�G������i� Æ�È�ÈÞ�M�±Ç���È��$�ª����¢v�*�$�����±Ç��q�i���$�£�����+Ç�Å|�q���@�7�£Å��i�u���D�»�M���*���i�±Å%Ç���Æ�È?��Ç��±Ä�0ÆD���$�°Å%Ç���Ç�Å���Åô�M��ÆD�q��Ç��q�Ó�M���$�sÆD���Ð�M�����i�KÆ�È���ÆD�±Ç����à�q��Æ����0�i���q� ¥¡­ ���°È5Æ������D��M���

Mi

Ç��>�$����Ç��$�������^�M�����$�������M�M���i�±Ç����£�q��Æ����KÉ

§ �u���i�±Å��$��Ç5ÆD�Mºimax ← i ¥�q��Æ���� ¥ Nimax

←Mimax¥

§ �Ä�M���£�$�������M�M���i�±Ç����ø�q��Æ����£�M����ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�Ȩ�$���7�$�sÆD���£���£Å��@�7�$�ø�����FÅNi

Ç�����i�7�i�����½�����q�i� ¥ z¤�i� Ti := SMT (ti) ¥½ ��È�º Ç �>¢v���M� ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�ȼ�$���7�$���M��ÆD��©«�i���Ç��u�M��� �����$�$�µ�I�����M���0�M�±Ç���È��

tiÆD���0�M�±Ç�È�ȸ�q���$���i�.��Ç��

Ni � �M���i� Ti

Ç��]Ç����£È����q�$��Ç��u����M�����i�7�i�u�M��Æ�È?���FÈ��q�±Ç���� É

�°�����M�M�M���i�±Ç���� ¥ ù ��Ç�È��i > 0

�q��ÉN ′

i ← Ni − ei − fi ¥

Ni−1 ←

N ′i

Ç �N ′

i

��Æ��>����È�ºÅ�������$�FÅ|�������i�.� �N ′

i + eÇ �

N ′i

��Æ��^�W©°�0�$�FÅ|�v�����i�u���NÆD���e ∈ Ei−1

Ç��+Æ �M�����M���$�M�>�$���7�¢��i��©«�$�i�¡�M���£Å �

N ′i + Ti

Ç �N ′

i

��Æ��^�M�q���$���$�FÅ|�v�����i�u��� ¥i← i− 1 ¥

 �^�M�����i���Å�D���M�����$�����M�M�M���i�±Ç����£�q��Æ����]Æ�È�ÈÆ�D���M���¨���£Å°Æ�Ç���Ç��q�¼ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�ÈÞ�$���7�$�Ç��

N0¢��£È����q�����

E0 ¥�­ ���$�G�«�'ÆD�|�'Æ��±Ç�È�º�¢v�¸���i��È5Æ��$�$��¢.º��$���7�$�R�D���M���#Ç��q�q�q�?��0ÆD�q� ÉÎGÇ���Æ�Ȥ�q��Æ���� ¥ Öª�i��È5Æ��$�=ÆD�uº½���£Å°Æ�Ç���Ç��q�

e0 ∈ N0 ∩E0©�Ç��M� Æ��M�����M���$�M�

��ÆD�M� Ç��E ¥

�q�M�q�q�Q�M�������$�M��È�� � Ç ¥ � ¥�� N0 ¥

B¼�rB ��KG���] G������ ç��uè2é��! ÝaR$&"('e�@�.é� Ðë;¶Gg¼»�ë; Ðë�ìrº=�ué½,pf;/10½Þ ²�5�ªF©�¤{¢�«

A3A0ªF«v��¦�¢ ·�¡�¬F 

11/6¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF h§£ªF©SMT

>8P©±ª'ª�§�> ù ��¯����M�0��¢����i�M�7�£�M��ÆD���M�������q�M�q�q���D���M��� Æ�È��7���±Ç��M��ÅdÇ��°ÆÓ�I�'Æ��±Ç�¢�È����G��ÄÈ��q�±Ç���� É Â �WÆ�È����'Æ���ºÀ��¢����i�M�7�$��ÆD¢v�@�7� � Mi

Ç��hÆ Å%Ç���Ç�Å*��Åô�M��ÆD�q��Ç��q�Ó�M���$�������RÇ��

Ei ¥Y­ ���i���<������� Nimax= Mimax

�$���q���$�i���R ¥ Õ°º0�M���¨�$�����M�M�M���i�±Ç������M���i� � Ni

Ç���$���q���$�i���$� Ç �

Ni+1Ç�� ¥»­ ���i���<�I����� N0 � ÆD���Å�M�u���Q�M�������q�M�q�q� � �$���q���$�i��� R ¥

m Ì

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 15: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

z�i�gain :=

i gaini(ti+1) ¥ò­ ��� ÆD��Æ�È�º��±Ç����D���M���¡�v�i�]�����±Å°ÆD���$�Ó�0ÆD�±Ç���Ç��¢�Æ����$�����£�M���¨���FÈ�È��"©�Ç��q� ¦ Ç�� ¬ �$Û.��Æ�È�Ç��±Ç��$�'É

|N0| ≤ |Nimax|+ gain ¦ Ë ¬

|Mimax|/2 = |M0|/2− gain ¦ î ¬

|Mimax| ≤ smt3(R) ¦ Ì ¬

Õ¼�<�I�����Y©«�¸�7�i�±Ç �kº¨�M���£Å � È��i�¤���Ư������Þ���$�Y���"© ¦ Ë ¬nß ¦ Ì ¬ �����7�i�M���i�6Ç�Å|��È�º��M���¸�£È5Æ�Ç�Å��$��v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç�� ¥Q­ ���*È��i�q��M�4�D�»�M���*���q�M�q�q�NÇ�� |N0| ¥ �ª��Ç��q� Nimax

= Mimax������¨��Æ�È �»�D� |Nimax

| Ç�� ¦ Ë ¬ �'ÆD��¢v�¨���i��È5Æ��$�$����Ç5Æ ¦ î ¬i¥Y­ ������Æ�Ç����'ÆD���$�£È��Q���q� � ÆD���©°����¢q�0Æ�Ç��

|N0| ≤|Mimax

|2

+|M0|

2.

Õ°º(zÞ�£Å%Å°Æ m ¥ Ë � |M0| ≤ ρ2 · smt(R) � ÆD���à¢.º ¦ Ì ¬<� |Mimax| ≤ ρ3 · smt(R) ¥

­ ���i���<�I�������M�����v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��%Ç��+ÆD��Å���M�ρ3

2+

ρ2

2=

5/3

2+

2

2=

11

6.

§ �¨���£Å°Æ�Ç����¨�����M���@© �M��� �KÆ�È�Ç���Ç��WºÓ�D� ¦ Ë ¬�ß�¦ Ì ¬$¥ ûÛ.��ÆD�±Ç���� ¦ î ¬ Ç��¨�M�����'Æ���Ç��$�M� ¥§ �¼���FÈ�È��"©>�>¢.º¼Ç��������i�±Ç����£�k���FÅ �M���¨�¹Æ��i�^�M��ÆD�|Mi+1| = |Mi|+ |ei+1|+ |fi+1| −

∣e′i+1

∣−∣

∣f ′i+1

∣ = |Mi| − 2gaini(ti+1) .

ûÛ.��ÆD�±Ç���� ¦ Ë ¬ Ç��>�q���@�7�$��¢.º Æ ��Ç�Å%Ç�È5ÆD�cÇ��������i�±Ç��7�*ÆD�M���Å��i�.� � ���±Ç��q�|Ni−1| ≤ |Ni|+ gaini−1(ti) . ¦ ð ¬

­ �¡�M���"© ¦ ð ¬ ©°����Ç��M�±Ç��q���Ç����Ï�M�����M�q���$���'Æ��G�$���D�>�M���½�$���u�M�M���i�±Ç����ã�q��Æ���� ¥¡­ ����'Æ����½�M��ÆD�N ′

i

��Æ��|����È�ºÀ�����½�$�FÅ|�v�����i�u�°Ç�� �M�±Ç���Ç5Æ�È ¥Ï§ �à�M���Å�'Æ����½©^���i��� Ç�� ��Æ���M�q���$���$�FÅ|�v�����i�u��� ��¦ ð ¬ �I�FÈ�È��@©>�^�����FÅ

|Ni−1| = |Ni| − |ei| − |fi|+ |Ti|= |Ni| −

∣e′i∣

∣+ gaini−1(ti)−∣

∣f ′i

∣+ gaini−1(ti) + |Ti|= |Ni|+ gaini−1(ti).

­ �������£Å°Æ�Ç���Ç��q�½�'Æ����=Ç��^©^���i�N ′

i

��Æ��>��©«���$�FÅ|�������i�.��� ¥«Â ���M��Å��¨© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD��M���0�W©«�4�$�FÅ|�v�����i�u�������$�M��È����k���FÅ ���£Å��@��Ç��q�¡�M���½�$���7�

ei ¥�­ ���0�$���7�e′i

Ç����M���È����q�7�$�M���$���7�*���¡�M������ÆD�M� Ç��

Mi−1�$���q���$�i�±Ç��q���M�����i�������FÇ��.�����D�

ei ¥ ®�Ç����$�*�M�����ÆD�M�Ä�i����G���$���M�����i�q��¢��i��©«�$�i�ø�M�����W©°�Ð�$�FÅ|�v�����i�u��� ÆD�3È��'Æ��M�������$� � ©°����Æ@�7�|e| ≤ |e′i| � ©^���i��� e

Ç��^�M�����$���7���G������i�£¢.º��M����Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥«­ �u��� �|Ni−1| = |Ni| − |ei| − |fi|+ |e| ≤ |Ni| − |ei|+ |e|

≤ |Ni| − |ei|+∣

∣e′i∣

∣ = |Ni|+ gaini−1(ti) ,

m@ð

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 16: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ÆD�����M���=Ç��������i�±Ç����£�����i������� ¦ Ë ¬ Ç��^�$�FÅ|��È��i��� ¥­ �0�M���@© ¦ Ì ¬ ©«���$�FÅ|��ÆD���

Mimax

©�Ç��M��ÆWÅ%Ç���Ç�Å*��Å3ÄS®.���£Ç����i�ª�M���$� ¥ Õ°º��$����Ä

�M�M�M���i�±Ç����£©°����Æ@�7�Mimax

= MST imax(R) � ©^���i�����M�������q¢����i�±Ç��q� imax

Ç�����Ç��'ÆD���$��M��ÆD�>�M�����q���q�i�±È�º�Ç��q�0��0ÆD�q� Ç����£È����q�$�NÆ�È�Ȥ�M����ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�È?�$���7�$�>©^��Ç����£©«�i���*Æ��q�q�$����q�±Ç��q�µ�M�����i�KÆ�È���ÆD�±Ç����á�q��Æ���� ¥à �Ä�M�������M���i����ÆD��� � È��i�

s1, . . . , sjmax

¢��Å���i��ÄÅ%Ç���Æ�È°�G�i�����D�>�M���0�k��È�È°�$�FÅ|�������i�.���|�D�

SMT 3 ¥ Ã×Æ��G�sj

Ç��WÆ���Æ�Ç������%Æ��M�±Ç���È�� �ÆD���4�I������Æ�Ç�����©°�|��Æ$�7�smt(sj) = |sj| ¥ �ª��Ç��q���M�����$���u�7�i�.�±Ç����À�M��ÆD���$���u�M�0Æ��i��Ä

Ç��q� ÆÅ���i���D�¼�7�i�M�±Ç��$�$�=Å��'ÆD���*�$���q���$�i�±Ç��q���M���£Åõ¢uºÓÜ@�i��� È��i�q��M�Ð�$���7�$� � ©°�|��Æ$�7�mst imax

(R/s1 . . . sjmax) = 0 � �±Ç����$� SMT 3

Ç�� Æ�È����'Æ���ºó�$���q���$�i���$� ¥Íù �±Ç��±Ç��q� Æ���£È��$���$����Ç��q�|�M��Å � ©«�¨�'ÆD� ÆD�q��È�º0�M���_�°���.�M�0Æ��i�±Ç����}z¤�£Å%Å°Æ]Ç��½�M���Q���FÈ�È��"©�Ç��q��©DÆ$º ¥

|Mimax| = mst imax

(R)−mst imax(R/s1 . . . sjmax

)

=

jmax∑

j=1

mst imax(R/s1 . . . sj−1)−mst imax

(R/s1 . . . sj)

≤jmax∑

j=1

mst imax(R)−mst imax

(R/sj)

§ � sj

Ç���Æ���Æ�Ç�� � �M���i�¡�M���jÄK�M�¿�M��Å%Å°ÆD��� Ç��ª�£È��'ÆD�±È�º£¢����q���q�$�¡¢uº |sj| ¥ª§ � sj

Ç���Æ�M�±Ç���È�� � �M���i� mst imax

(R)−mst imax(R/sj) = gainimax

(sj)+ smt(sj) ≤ smt(sj) �¢��$�'ÆD���G� ÆD���M���¡�i���ø�D���M���¡�i�KÆ�È���ÆD�±Ç����ø�q��Æ��G���M���i��� ÆD���£��� Å������ Ç�Å|�q���"��Ç��q��M�±Ç���È��$� ¥»Ô �i���$� |Mimax

| ≤∑j smt(sj) = smt3(R) � ÆD��� ¦ Ì ¬ Ç��^�7�i�±Ç ¯��$� ¥ ut

B¼�rq ámF=���[�h�%âG���Q mãr�}���[Sx�hUY�]Z�D4LÒ �£È�Ç�±7�@���M± º�ØÙ�+Æ�È��7���±Ç��M��Å ´ î Ë · ¯����DÇ��u���|�M���¨�7�i���i�0Æ�Ȥ�k�0Æ�Å��i©°���M± ¦ ÎGÇ���q��� î ¬ ©^���i���k = 3

ÆD����Ç��À�'Æ��G�À�M���i�gaini

Ç���Å°Æ�¹�Ç�Å%Ç�Ü@�$� ¥ Õ«�q�WÇ����'ÆD� Æ�È����¡¢��0��Ç��i©°�$��Æ��Æ%Å�� ��Ç ¯��'ÆD�±Ç����¿�D�¸Õ°�i�±Å°ÆD� ÆD���£ÖNÆ�Å°Æ�Ç�º7�i�@ØÙ�  È��7���±Ç��M��Å

A3 ¥ Õ«��Ç�È���Ç��q�Å���£�M���£Ç��ÆD��Æ�È�º ��Ç�� � �������'ÆD�ã�q���"�7� Æ¡¢����q���ã���ã�M���Å�v�i�]�����±Å°ÆD���$�Å�0ÆD�±Ç��Ð�D� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º�ØÙ�Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥� ç��uè2é��! ÝaR$ba¡ä ·�²½¤�­�ªF¶'¡0­å�hæ ¡¼¬F² 5�ªF©8¤¥¢�«çA�ªF«v��¦�¢ ·8¡s¬F 

11/6¬��Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF s§£ªK©

SMT>

²������0�M��ÆD�gaini

Ç��������*���$�$�$���0ÆD�±Ç�È�º Å°Æ�¹�Ç�Å%Ç�Ü@�$�À¢uºti+1

Ç��Ð�M���½�i�FÆ�È���ÆD�±Ç�����q��Æ����¼�D�  È��7���±Ç��M��Å

A3 � ��Ç����$�«�M���°�q��� �D�2�D�2�M���°�v�i�]�����±Å°ÆD���$�¼�0ÆD�±Ç��¨���$Û.��Ç����$�Y����È�º�M��ÆD�>�M���¨��Æ�Ç�� Ç��^�v��±Ç��±Ç��7� ¥Y§ �^�M�q�M���Q���q� � ���"©«�i�7�i� � �M��ÆD�^�M�����$�����M�M�M���i�±Ç����£�q��Æ��G��'ÆD��¢v���±Ç�Å|��È�Ç ¯��$� Ç �R�M�����M�±Ç���È��$��ÆD���*��������i������$�$��Ç�È�º ¥«Â �G�M��Å��¨�M��ÆD�Q���FÅ����M�±Ç���È����������i��Ç��Ð�M�����i�FÆ�È���ÆD�±Ç����À�q��Æ����°Ç��������������$� Ç��Ð�M�����$���u�M�M���i�±Ç����ã�q��Æ���� ¥�­ ��Ç���'ÆD����ÆD�q�v�i������È�º%Ç ���������D�¤�M���ª�$���7�$�PÇ��u�M��� �����$�$�½�I���¸�M���Q¯����M�«�M�±Ç���È��NÇ��«���£Å��@�7�$�

m@É

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 17: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

¢.º�Æ0�G�$�$�����£�M�±Ç���È��*È5ÆD���i����� ¥ª§ �u�M��Ç��±Ç���� Æ����7� �'ÆD���$�ª�M��ÆD� � ÆD���M���*�±Ç�Å���©^���i�Ó�M���¯����M�^�M�±Ç���È���©PÆ��>�G������i� � �M���¨��Æ�Ç��£�D�?�M�������$�$�����Å�M�±Ç���È����M������È��Å��Æ@�7��¢v�$�i� È5ÆD�M�7�i��M��ÆD���M��ÆD�«�D�Æ�M���^¯����M�¸�M�±Ç���È�� � �$���.�M�0Æ���Ç��i�±Ç��q���M���Q����$�$��º����£È��$�i�±Ç���� ¥Rù ��ÆD���Q�7�FÇ��q���� �q���"�7���M���¨�I�FÈ�È��@©�Ç��q�3È��£Å%Å°Æ ¥` �^ � Ðë�aR$�~èÞ ¡0¡�¦�«°·*¢�¬K¢×¤�  ·±¬�A� ¡£¢ ·��

iª�§]¢�·W·£¶}¬F²Â¦�¬K¢¥¤ ªF °�%�¬F¡l·Wª�§�»N·�©8«3¬F 

¬F !³²é�¬F«3¬F¤��·�©�æ ¡ ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�«A3

¢�· ¢¥©8¤ê��² ·ti+1

¤�¡�AÄ�ª�¡l·£  ¢¹ª «3¬��K¤�«h¤ ºA·gaini

>2 �·£ 

Cut i(ti+1) ⊆ E0¾.¤[>}·�>�¾G¢�·�©±·�«3ªF¶F·±³°·±³�5�·8¡]¯0·�²RªK ^5%¢¹ªW¢�·�¤{ ¤{¢¥¤ ¬F²�¢ ·£©8«h¤{ �¬F²Â´

³F¤�¡�¢¹¬K =A0·V5F©±¬��%k>

ù ��ÆD�^�q�.�$�°�M��Ç��PÅ��'ÆD�Å�I���«�M���ܳÙ����$�$��º�ÄA3

Ø�Æ�È��7���±Ç��M��Å°´ ­ ���=ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�Ȥ�$���7�$�ei+1, fi+1

Ç��u�M��� �����$�$�Ó���q�±Ç��q�0�M�����i�KÆ�È���ÆD�±Ç����£�q��Æ����*ÆD����Æ����±Ç�����$��������ÄK���i��ÆD�±Ç��7�È��i�q��M���°¢q�q�°���i�7�i�°���£Å��"�7�$� ÆD��Æ�Ç�� ¥»­ ���i���<���������M���ª���$�M��È��¼�D�¤�M����Æ�È��7���±Ç��M��Å �q� �$�����������ÆD�q�7�hÇ �«©«�%Æ����±Ç���4�M���£Å ÆD�uºÓ�M�����M���i��È��i�q��M� � �����NÇ����M�0ÆD���$� �M���*È��i�q��M�

0 ¥­ ��Ç���Ç����$Ûu��Ç��KÆ�È��i�u�������$���u�M�0Æ��i�±Ç��q�Ó�M���|�M�±Ç���È��

ti+1 ¥ Îq�q�M�M���i� � �M�����$�������M�M���i�±Ç�����q��Æ������'ÆD�£¢v�=Å��i�M�7�$��Ç��u�����M���*�i�KÆ�È���ÆD�±Ç����¡�q��Æ���� � �±Ç����$��©°��± ���@© �M��ÆD�

N ′i

©�Ç�È�ÈÆ�È�©DÆ$º��>��Æ$�7���M�q���$���$�FÅ|�������i�.��� ¥

§ � �M��Ç��R©PÆ@º � ©«�^��¢q�0Æ�Ç�� Ò �£È�Ç�±7�"� ��±.ºvØÙ�JÆ�È��7���±Ç��M��Å É § �|�'Æ������M���i� � �M���«���i�±Å%Ç���Æ�È���D���M���¼�G������i�|�M�±Ç���È��cÆD���¼�$���u�M�0Æ��i���$� ¥»Â �k���i�?�M���¼�i�FÆ�È���ÆD�±Ç����|�q��Æ��G�«©°�¼���i��È5Æ��$�¼�M������£Å°Æ�Ç���Ç��q�¨�$���7�$�¤�����FÅ

E0©�Ç��M���M�����M���$���Þ��ÆD�M���.Ç��

EÆD���*�$���q���$�i�Þ�M���«�$���u�M�0Æ��i���$�

�M�±Ç���È��$�Q¢uº½�M���£Ç��Q�$���M���$�M�v������Ç��q�Å®.���£Ç����i�>�M���$�$� ¥B¼�b� ��K4�R�[ G�����

§ �£�M��Ç������$�i�±Ç����Ó©«���q���@�7�@z¤�£Å%Å°ÆÅË ¥ î ¥Q �>©°����Æ@�7�\Â]���M�����$�i� � �M��Ç��NÈ��£Å%Å°Æ0©�Ç�È�ÈÇ�Å|��È�º ­ ���$�����£Å¾Ë ¥ Ë ¥ÎGÇ����M��©«�¼Ç��u�M��� �����$�Å���FÅ��sÆ��q��Ç��±Ç�����Æ�È°�����0ÆD�±Ç���� ¥ z¤�i� M

¢v�¼Æ£���i���D�Q�$���7�$�©�Ç��M�����q�0�iº��£È��$�|�M��ÆD�0�$���q���$�i���0�W©°�¿���i�±Å%Ç���Æ�È��

xÆD���

z ¥à­ ���i�á©«���q�i��������¢uºCutM{x, z} �M���+È����q�7�$�M�^�$���7����� Æ���ÆD�M�sÇ��

M�$���q���$�i�±Ç��q�

xÆD���

z � ©^���i���ª�±Ç��$�ÆD���^¢q����±7�i�°Ç��°ÆD�¼ÆD�M¢�Ç��M�0ÆD�Mº ©PÆ$º � ÆD���%È��i�cutM = |CutM | ¥?ù �^©^�±Ç����

M : xz | y����Ç�����Ç��'ÆD���ª�M��ÆD�°�M���ª���i�±Å%Ç���Æ�È��x

ÆD���z

ÆD����Ç����M���ª�0Æ�Å����$���q���$�i���$�½�$�FÅ|�v�����i�u��D�

M � ¢q�q� yÇ���Ç�� ÆD�����M���i������� ¥

§ � MÇ���ƽ�M���$�°ÆD���

t = {x, y, z} Ç���ƽ�M�±Ç���È��0�D�DÇ������7�i�M�±Ç��$�$� � ©«�0�q�i��������¢uºM [t]

�M���hÈ��'Æ��M�*��ÆD�M�*�D�M

�M��ÆD�*�$���q���$�i���t ¥ Öª�$�'Æ�È�È»�M��ÆD���M��Ç��=Ç��*�M�����±Ç��M��ÆD�±Ç����

�D�QÎGÇ���q����Ì ¥£ù � Æ��q�Ð�M���0�I�FÈ�È��@©�Ç��q�4�����M���������0ÆD�±Ç����ã�q�<¯����$��Ç��á® �$�i�±Ç������|Ë ¥ mÆD���ûË ¥ Ë�ÉÞÎ����e′ ∈M [t] � ©«�«�q�<¯����»�M���+©±·�²�¬K¢¥¤{¶�·�A£¦�¢

CutM (t, e′) := CutM{x, z} �©^���i���M − e′ : xz | y ¥ z¤�i� cutM (t, e′) := |CutM (t, e′)| ÆD���À��¢��G�i�M�7�Å�M��ÆD�

cutM (t, e′) + |e′| ≤ cutM (t) ¥Yù ��Æ�È����|�q�<¯������M���%©±·£²R¬K¢¥¤{¶�·_5�¬K¤� 

gainM (t, e′) := cutM (t, e′) + |e′| − smt(t) . ¦ É ¬m ï

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 18: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

¢����i�M�7�|�M��ÆD�gainM (t, e′) ≤ gainM (t) ¥0§ �#Ç��µ��ÆD�M�±Ç��i��È5ÆD�

e′ ∈ CutM (t) � �M���i�CutM (t, e′) = CutM (t)− e′

ÆD���gainM (t, e′) = gainM (t) ¥

§ �0�M���>���$���¸�D�¤�M��Ç��«�G�$�i�±Ç����0©«�ª�M�q�q�v����>�M��ÆD�#Ç����'Æ����Å�M���i�i�D�  È��7���±Ç��M��Å

A3�M���|�M�±Ç���È��ti+1

Ç��*��������i�µ��� Å°Æ�¹�Ç�Å%Ç�Ü@�gaini ¥ ù �����q¢���Ç���Ç��q�|�M���i�

iÇ��u���£��Æ�È ��Ä

�M���i���+Æ��¼�I�FÈ�È��@©>�AÉ § ���M���¨¯����M�^��Æ�È �{ÄW�M���i� � e′i+1

Ç��^���i��È5Æ��$�$�£©�Ç��M�ei+1 � ÆD��� Ç����M���

���$�$�����à����� � f ′i+1

©�Ç��M�fi+1 ¥Óù ����Æ$�7� |e′i+1| ≥ |f ′

i+1| � ÆD���e′i+1

Ç������i��È5Æ��$�$�¯����M� ¥ ® �hÈ��i�

M ′i := Mi − ei+1 + e′i+1 ¥ Î����^�M������Æ�È ��ÄW�M���i��� � ©«�¨�����¨�M���������0ÆD�±Ç����

Cut i := CutMi� Cut ′i := CutM ′

i� �i��� ¥� ¢����i�M�7���M��ÆD�

cut i{u, v} ≥ cut ′i{u, v} ≥ cut i+1{u, v} ¦Kï¬���FÈ��q�^�I���+Æ�È�È

u, vÆD���

i¢uº½�M���È�°���.�M�0Æ��i�±Ç����½z¤�£Å%Å°Æ ¥

­ �������<¹��cÈ��£Å%Å°ÆhÇ�Å|��È�Ç��$�vz¤�£Å%Å°Æ�Ë ¥ î ¢.º Æ|��Ç�Å|��È��=Ç��������i�±Ç��7��ÆD�M���Å��i�u� ¥` �! � µë�a�$<f ¾6·l¢

i ≥ 1¬F �³

a ∈ Mi

>r��§ ¢�·�©�· ·*�F¤�¡�¢{¡ ¬ ¢¥©8¤ê��² ·t

¡8¦�A� ¢�¬K¢a ∈ Mi[t]

¬F !³gaini(t, a) > 0

¾P¢�·£  ¢�·�©�·%¬F²½¡£ª ·*�K¤5¡£¢{¡W¬ ¢¥©8¤ê��² ·t′ ∈ {t, ti}

¡8¦�A�¢�¬K¢

a ∈Mi−1[t′]

¬K �³gaini−1(t

′, a) ≥ gaini(t, a)>

ÆÈÇ�É!ÉåʽÉåʲÓiÍ^Ô�Ô�ÐXë�Õ�ìnÕÖz¤�i�a ∈ Cuti(ti+1) ¥û­ ���i�Ä©°����Æ$�7�

a ∈ Mi[ti+1]ÆD���gaini(ti+1, a) = gaini(ti+1) > 0 ¥ Õ°º|���i���'ÆD���$� ÆD�q��È�Ç��'ÆD�±Ç������D�hz¤�£Å%Å°Æ Ë ¥ Ì ��M���i���=Ç��+Æ��M�±Ç���È��

t′�M�����£�M��ÆD�

a ∈M0[t′] ⊂ E0 ¥ ut

§ �Ó�M��� �q��� �D�°�D�mz¤�£Å%Å°Æ�Ë ¥ Ì�©«�hÅ°Æ@º Æ�������Å�� �M��ÆD�a /∈ {ei, fi}

����� ���½�M������FÈ�È��"©�Ç��q��³Y�����v��±Ç��±Ç���� ¥��éDè%+»è2ê"ì,æ"ì,èn¶NaR$bj ��§

a ∈ {ei, fi}∩Mi[t]§£ªK©[¡£ªF«°·#¢¥©�¤í��² ·

t¾!¢�·� 

gaini(t, a) ≤ 0>

8P©±ª'ª�§�> § � a = ei

�M���i� È��i�a′ = e′i � ���M���i�M©�Ç����WÈ��i�

a′ = f ′i ¥ z¤�i� {x, y, z} ¢��*�M����7�i�M�±Ç��$�$���D�

t � ÆD���ÿÆ�������Å��Å© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�Mi[t] − a : xy | z � ÆD���à���i���$� Æ�È��G�

Mi−1[t]− a′ : xy | z ¥Y­ ���i�

gaini−1(t) ≥ gaini−1(t, a′) = cut i−1(t, a

′) + |a′| − smt(t) ,

ÆD����¢uº ¦Kï¬<�cut i−1(t, a

′) = cut i−1{x, y} ≥ cut i{x, y} = cut i(t, a) .

�ª��Ç��q� |a| = |a′| − gaini−1(ti)©°����¢q�0Æ�Ç����M���=Ç����$Û.��Æ�È�Ç��Wº

0 ≥ gaini−1(t)− gaini−1(ti)

≥ cut i(t, a) + |a| − smt(t)

= gaini(t, a) . ut

m@Ê

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 19: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ù ����Ç��M�±Ç��q���Ç��M�Ó���i�7�i�0Æ�È��'Æ����$�Q���|�q���@�7�Üz¤�£Å%Å°Æ½Ë ¥ Ì � ���±Ç��q�°z¤�£Å%Å°Æ�Ë ¥ É ÆD���z¤�£Å%Å°Æ0Ë ¥}ï ¥` �^ � Ðë�aR$�� ¾.·£¢

M¯0·�¬�¢ ·�©�«h¤� !¬F²½´ ¡[��¬K  ¤{ ^5�¢¥©�·�·�¬F !³

t = {x, y, z} ¯0·�¬W¢¥©�¤í�!²�·�>¾.·£¢ {e′, f ′} := CutM (t)

¬F �³e¾

f¯0· ¢�·�A�ªK©8©�·8¡[��ªF �³F¤{ ^5 ¬K©�¢¥¤ î�A£¤ ¬F²�·�³�5�·8¡ ¬�¡

¡��ª�:[  ¤{  � ¤<5F¦�©±·Èï�¾�¬F !³ ¬�¡8¡8¦�«3·a 6= e

¤�¡°¬F  ·±³å5�·+§8©±ªF« ¢�·°AÄ��A£² ·%¤{ M + e

>2 �·£ �:#·Ö�¬F¶F·

gainM (t, a) ≥ gainM (t)− |e′|+ |a| .8P©±ª'ª�§�>vz¤�i�

c¢v�|�M���|¢q�0ÆD���G��Ç��q�¡�7�i�M���<¹Ð�D�

M [t] ¥�§ � aÇ��*���Ð�M���|��ÆD�M�

px

�����FÅc���

x��

M [t] � �M���i� cutM (t, a) = max{|e′|, |f ′|} ≥ |f ′| ¥�§ � aÇ������

py � �M���i�cutM (t, a) = |f ′| ¥»§ ��¢v���M���'Æ����$� � ©°����Æ$�7�

gainM (t, a) = cutM (t, a) + |a| − smt(t)

≥(

|f ′|+ |e′| − smt(t))

− |e′|+ |a|= gainM (t)− |e′|+ |a|

Æ��>�£È5Æ�Ç�Å��$� ¥ ut` �^ � Ðë�aR$Å ¾.·£¢

M 3 e¬F �³

M ′ 3 e′¯�·s¢ ·�©�«h¤� �¬K²½´ ¡[��¬F � ¤� !5 ¢¥©�·�·8¡3¡�¦kAÄ ¢�¬K¢

M = M ∩M ′ + e¾M ′ = M ∩M ′ + e′

¾J¬F �³%¬�¡8¡8¦�«3·=¢�¬K¢e′

¤5¡N¢�·N²�ªF ^5�·8¡£¢×·±³�5�·ªF �¢�·°AÄ��A£²�·3¤{ 

M ∪M ′ >�ð ªF©�·±ªF¶�·�©8¾�² ·£¢a ∈ M ∩M ′ ¬F �³

t¯�·s¬ ¢¥©8¤ê��² ·h¡�¦kA�

¢�¬�¢a ∈M [t]

¬F �³gainM (t, a) > 0

> 2 �·£  ¬K¢×²�·±¬F¡�¢DªF !·*ª�§=¢�·×§£ªF²{²�ª�:[¤� !5@�ªF²�³�¡�>

¦ α ¬ a ∈M ′[t]¬K �³

gainM ′(t, a) ≥ gainM (t, a) > 0>

¦ β ¬ e′ ∈ M ′[t]¾

gainM ′(t, e′) − |e′| + |a| ≥ gainM (t, a)¾�¬F !³

a²Â¤ ·8¡ ªF ÿ¢�·

AÄ��A£²�·*¤{ M ∪M ′ >

8P©±ª'ª�§�>vz¤�i�Þ�����q�i�������¸�M���¸�M�q���$�¸�$���q���$�i���$� �$�FÅ|�v�����i�u���R�D�M ∩M ′−a

¢uºA � B �ÆD���

C ¥¤ù �«�'ÆD�hÆ��G�M��Å��¸© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�a�$���q���$�i���

AÆD���

BÆD�����M��ÆD�

e�$���q���$�i���

BÆD���

C ¥ z¤�i� t = {u, v, w} ÆD��� Æ����M��Å��¨© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�M [t]− a : uv | w ÆD���

���i���$� � M − a : uv | w ¥ñiò�ó?ôEõ�öM ′ − a : uv | w ¥�­ ���i�Щ«�0��Æ$�7�

cutM (t, a) = cutM{u, v} ÆD���cutM ′(t, a) = cutM ′{u, v} ¥ Õ°º ¦Kï¬ ©«����Æ@�7�

0 ≤ cutM ′{u, v} − cutM{u, v} =gainM ′(t, a)− gainM (t, a) � �q���"��Ç��q� ¦ α ¬<¥ñiò�ó?ôE÷�ö

C ∩ t 6= ∅ ÆD���e′

�$���q���$�i���A

ÆD���C � �±Ç����$�£���M���i�M©�Ç����½�DÆ���� m

���FÈ��q� ¥Ð­ ��Ç����k�q�M�M���i�hÇ�Å|��È�Ç��$� �M��ÆD�A ∩ t 6= ∅ � e′ ∈ M ′[t] � ÆD���

aÈ�Ç��$�|���À�M���

�iº��£È��+Ç��M ∪M ′ ¥G ¢����i�M�7�¨�M��ÆD� ¦ β ¬ ���FÈ��q� � Ç �Þ©°���'ÆD�½�����@©ó�M��ÆD�

cutM ′(t, e′) ≥cutM (t, a) ¥

m@¶

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 20: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

A B C

u vw

a e

e′

u′ v′

Î.Ç���q��� ð É��DÆ�����Ë ¥ ËhÇ����M�����q��� �D�Y�D�¼z¤�£Å%Å°Æ0Ë ¥ É ¥

ñiò�óÄôo÷�øpõ�ö § � uÆD���

vÆD����¢����M� Ç��4�M���|�0Æ�Å�� �$�FÅ|�������i�.���D�

M ∩M ′ � �M���i�CutM ′(t, e′) = CutM ′{u, v} = CutM{u, v} = CutM (t, a) ¥ ¦�­ ���£��ÆD�M�á����ÄÅ°Æ�Ç����>�M�����8Æ�Å�� ¥}¬ ® � ¦ β ¬ ���FÈ��q� ¥ñiò�óÄôÜ÷�ø�÷�ö �M���i�M©�Ç����

C ∩ {u, v} 6= ∅ ÆD���w /∈ C � �±Ç����$� M − a : uv | w ¥

 �G�M��Å��½© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�v ∈ C ¥µ­ ���i� M − a : uv | w

Ç�Å|��È�Ç��$�|�M��ÆD�w ∈ AÆD���

u ∈ B ¥ �°�����±Ç��q�i�½�M���£��ÆD�M� Ç��M

�$���q���$�i�±Ç��q�u���

v ¥ zÞ�i�u′ ¢v���M���

�7�i�M���<¹Á©^���i��� Ç����i�u���i����ÆD���v′

¢��4�M���4�7�i�M���<¹ó©^���i��� Ç�� È��'Æ$�7�$�£�M���¿�iº �£È�� Ç��M ∪M ′ ¥Y ��Æ�Ç���©«����Ç����±Ç��q���Ç��M�£�'Æ����$� � �q�i���i����Ç��q�0���£�M���������Ç��±Ç������D�?�M�����$���7�b := CutM (t, a) = CutM{u, v} ¥ ® �$��ÎGÇ���q��� ð ¥ñiò�óÄô\÷�ø�÷�øpõ�ö § � b

È�Ç��$�°¢v�i�W©°�$�i�u

ÆD���u′ � �M���i� cutM ′(t, e′) = cutM ′{u,w} ≥

|b| ÆD���À©«�½��Æ$�7� ¦ β ¬<¥á¦� �i�M��Æ�È�È�º � �M��Ç��hÇ����M���Å����È�ºÐ�'Æ����½©^���i���½�M���¼Ç����$Û.��Æ�È�Ç��WºÇ�� ¦ β ¬ �'ÆD��¢v���M�M�±Ç��i� ¥}¬ñiò�óÄôV÷�ø�÷�ø�÷�ö § � b

È�Ç��$�^¢v�i�W©«�$�i�v

ÆD���v′ � �M���i� cutM ′(t, a) = cutM ′{v, w} ≥

|b| ¥Rù ���7�i� ¦ α ¬<¥ñiò�óÄôÖ÷�ø�÷�ø�ù^ö ÎGÇ���Æ�È�È�º � Ç �b

È�Ç��$�ª¢v�i�W©«�$�i�u′ ÆD���

v′ � �M���i�Ó©«��±.���"©ò�M��ÆD� |b| ≤|e′| ≤ cutM ′(t, a)

Æ��e′

Ç��ª�M����È����q�7�$�M�¨�$���7�����Ó�M�����iº��£È��]Ç��M ∪M ′ � ÆD��� ¦ α ¬���FÈ�È��"©>� ¥ ut

ÆÈÇ�É!ÉåʽÉåʲÓiÍ^Ô�Ô�ÐXë�ÕbúQÕ ù �Ï�'ÆD�óÆD�q��È�º�z¤�£Å%Å°ÆûË ¥}ï ©�Ç��M�M = Mi � M ′ =

M ′i−1 = Mi − fi + f ′

i � e = fi � ÆD��� e′ = f ′i � ���|�������D�?�M�������FÈ�È��"©�Ç��q�3Å*���M�^���FÈ���É

¦ α ¬ a ∈M ′i−1[t]

ÆD���gain ′

i−1(t, a) ≥ gaini(t, a) > 0 ¥¦ β ¬ f ′

i ∈ M ′i−1[t] � gain ′

i−1(t, f′i) − |f ′

i | + |a| ≥ gaini(t, a) � ÆD���a

È�Ç��$�ª���Ó�M����iº��£È��=Ç��

Mi + f ′i ¥

Ë Ñ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 21: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

�DÆ��G� ¦ β ¬ �'ÆD�à¢��Å���i�M�±È��$�Ï�¹Æ�Ç��±È�ºÐ�'Æ��±Ç�È�º ¥4ù �½©�Ç�È�È^�M���@©Ý�M��ÆD�t′ = ti

©«���M±�� ¥ù ����Æ@�7�

gain ′i−1(t, f

′i) ≤ gain ′

i−1(t) � ÆD���ã�M�����°���.�M�0Æ��i�±Ç����Tz¤�£Å%Å°Æ Ç�Å|��È�Ç��$��M��ÆD�

gain′i−1(t) ≤ gaini−1(t) ¥ Õ°º½�M��������$�$��º��i�±Ç����i�±Ç���� � ©«����Æ@�7�

gaini−1(t) ≤gaini−1(ti) ¥°§ �^���£Å°Æ�Ç����ª�����M���"©ò�M��ÆD�

gaini−1(ti) + |a| − |f ′i | ≤ gaini−1(ti, a) ¥

­ ��Ç���Ç��­Â]���M��z¤�£Å%Å°Æ�Ë ¥ É Ç �°©«�|���i�M = Mi−1 � t = ti � e = fi � e′ = f ′

i � f = ei �ÆD���f ′ = e′i ¥§ �£�'Æ���� ¦ α ¬ ©°�]Ç��u�7��±7�Èz¤�£Å%Å°Æ½Ë ¥}ï �����$�]Å������ � �M��Ç��Q�±Ç�Å���©�Ç��M�

M = M ′i−1 �

M ′ = Mi−1 � e = ei � ÆD���e′ = e′i ¥�ù ��¯����À���q�����£È��7�$�WÇ��Ï�����½�D�>�M���0���FÈ�È��"©�Ç��q�

�±Ç��M��ÆD�±Ç������ ¥¦ αα ¬ a ∈Mi−1[t]

ÆD���gaini−1(t, a) ≥ gain ′

i−1(t, a) > 0 ¥¦ αβ ¬ e′i ∈Mi−1[t] � gaini−1(t, e

′i)− |e′i|+ |a| ≥ gain ′

i−1(t, a) � ÆD��� aÈ�Ç��$�¼�����M���

�iº �£È��=Ç��Mi−1 + ei ¥

§ �£�'Æ���� ¦ αα ¬ ©°�*ÆD���*�q�����*©�Ç��M�t′ = t ¥!ûp§ �¡�'Æ���� ¦ αβ ¬ ©°��©�Ç�È�È������@©ò�M��ÆD�

t′ = tiÇ��+Æ �7� �.�Å�G���FÇ��$� ¥ Îq���FÅö�M�����'Æ�������Ç��M�±Ç����i�±Ç������ � ©«��Æ�È����'Æ���ºÅ± ���@©â�M��ÆD�

gaini(t, a) ≤ gain ′i−1(t, a) ≤ gaini−1(t, e

′i)− |e′i|+ |a| .

ù �Y��Æ@�7�gaini−1(t, e

′i) ≤ gaini−1(t) � ÆD����¢.º¨�M���»����$�$��º��i�±Ç����i�±Ç���� � gaini−1(t) ≤

gaini−1(ti) ¥Y­ �������£Å°Æ�Ç���Ç��q�%Ç����$Û.��Æ�È�Ç��Wºgaini−1(ti)− |e′i|+ |a| ≤ gaini−1(ti, a)�I�FÈ�È��@©>�ª�����FÅüz¤�£Å%Å°ÆÅË ¥ É Ç �»©«� ���i�

M = Mi−1 � t = ti � e = ei � e′ = e′i � f = fi �ÆD���f ′ = f ′

i ¥ ut

ý þ m[e�_�a�\*Øcm vrX!m[mY�Èÿ Tre�f+Y�X!\±a�gW^

­ �������£È5ÆD�±Ç��7� ����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Åú��������� Ò �£È�Ç�±7�@���M± ºÏ´ î Ì · Ç��=ÆD�����M���i���<¹�Æ�Å|��È��|�D�ÆD� Æ�È��7���±Ç��M��Åý�M��ÆD�0¯����°Ç��.���Ð�M���¡�7�i���i�0Æ�Ȫ�k�0Æ�Å��i©°���M± ¥ § ����Æ�� Æ¿�v�i�]�I���±Å°ÆD���$��0ÆD�±Ç��À�D�

1.694 ¥Ú­ ��� Å°Æ�Ç�� Ç��q�'ÆÏ�D�*�M���£���£È5ÆD�±Ç��7�Ó����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å ¦ ÆD���û�M���È�����ª�$���u�M�0Æ��i�±Ç��q� Æ�È��7���±Ç��M��Å � ©^��Ç����Ó©«��©�Ç�È�È��$�����±Ç��q�i��Ç��£�M���*���<¹ �����$�i�±Ç���� ¬ Ç��Q�������� Æ ³Ù���£È5ÆD�±Ç��7�Ø»��Çp�Æ�i���i���$� Ç��ã�M�������£È��$�i�±Ç����à���q���i�±Ç���� Ç����M���'Æ��á�D���M��� ÆD¢����FÈ��q�����Çp�Æ�i���i���$� � Æ��¨©PÆ��¨�M���|�'Æ��G�*Ç��4�M���3Æ�È��7���±Ç��M��Å����D�¼Õ¼�i�±Å°ÆD� ÆD���ÓÖNÆ�Å°Æ�Ç�º7�i��ÆD���Ò �£È�Ç�±7�"� �M± º ¥q¼��� � F%���=Z��[âhFX��U�F;F%�G -���[Sh�xUY�]Z�D�L

­ ���¨���£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��ÅÃ�����$�cÆWÅ%Ç���Ç�Å���ÅÇ���i�±Å%Ç���Æ�ÈÞ����ÆD�q��Ç��q�|�M���$� ¦ Ç ¥ � ¥��ÆWÅ%Ç���Ç�Å���Åö�M��ÆD�q��Ç��q�|�M���$�=Ç����M���¨���i�±Å%Ç���Æ�È���Ç��M�0ÆD���$����0ÆD�q� ¬ Æ���Ç����DÇ���Ç��±Ç5Æ�È����FÈ���Ä�±Ç���� ¥�ù ���i� Æ�����È�È?�$�FÅ|�v�����i�u�

T ∈ KÇ���������G�i� � Ç����ª���i�±Å%Ç���Æ�È��]ÆD��� �$���q���$�i���$�

¢.ºsÆ����i�^�D��Ü@�i���hÈ��i�q��M���$���7�$� ¥Y �M��ÆD�q��Ç��q�|�M���$���I���R � ©^���i���¨�M��Ç��^���i�^�D�?�$���7�$�

Ë m

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 22: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

Ç��#Æ��q�q�$� � Ç��¸�q�i�������$��¢uºMST (R/T ) ¥ �«���.���Ç��q� T

Ç��0�M���iÄK�M���M���i�0���$�����$�$�¸�M���

È��i�q��M���D���M���Y���i�±Å%Ç���Æ�È��M��ÆD�q��Ç��q�ª�M���$�»¢uºmst(R/T1 . . . Ti)−mst(R/T1 . . . TiT ) ¥

§ �4�����q�i�����0���£È5ÆD�����M���*È��i�q��M� |T | �D�¸�M���*�k��È�ÈR�$�FÅ|�������i�.�T

���¼Ç����ª¢��i���<¯�� � �M������£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��ÅÇ�����$�>�M���¨���FÈ�È��"©�Ç��q�0���£È��$�i�±Ç����£�k�q���i�±Ç���� ¥fi(T ) :=

|T |mst(R/T1 . . . Ti)−mst(R/T1 . . . TiT )

­ ���(�°���u�M�0Æ��i�±Ç���� z¤�£Å%Å°ÆÿÇ�Å|��È�Ç��$���M��ÆD�fi−1(T ) ≤ fi(T )

����� Æ�È�ÈT ¥ü ���$�

fi(T ) ≥ 1�I��� Æ�È�È

T ∈ K � ���Ï���q�M�M���i� Ç�Å|�q���@��Ç��q�à�k��È�È��$�FÅ|�v�����i�u���£�'ÆD�ó¢v����£È��$�i���$� ÆD���¿�M���¼Æ�È��7���±Ç��M��Å �M������� ¥| �*�M��Ç������FÇ��.� � Ç��*��Æ��¨�����q����ÆÅ���FÈ��q�±Ç����Ð�D��±Ç�Ü@�

|T1|+ · · · + |Ti|+ mst(R/T1 . . . Ti) .

­ �����$���7�$���D�MST (R/T1 . . . Ti)

�'ÆD�¿¢v�|�$�����±Ç��q�i���$� Æ��¨����È�È»�$�FÅ|�������i�.����©�Ç��M�ÂS�������W©°�µ���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥û­ �Ï�±Ç�Å|��È�Ç �kºà�M���������0ÆD�±Ç����Ä�����0�M����ÆD��Æ�È�º��±Ç�� � ©«� Ç����£È����q��M���$��� �$���7�$��Ç��u���Å�M����¯���Æ�È»���FÈ��q�±Ç����¿���i� ¥ ²��������M��ÆD�

fi−1(Ti) ≤ 1���FÈ��q�������]Æ�È�È

��������i���k��È�ÈÞ�$�FÅ|�v�����i�u��� ¥q¼�rB ��KG���] G�����Õ°º����q�R���£Å°ÆD�M± �Y��� �M���Q®.���£Ç����i�Y�0ÆD�±Ç��=ÆD��� �M���°�7�i���i�0Æ�È��k�0Æ�Å��i©°���M± ¦ ® �$�i�±Ç���� m ¥ Ì ¬<��M��� �I�FÈ�È��@©�Ç��q�£�M���$�����£Å Ç�Å|��È�Ç��$���M��ÆD���M�������£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å �$�FÅ|�q�q���$�ÆD��ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����à�D�

SMT©^����G���i�M�����]Ç���¢v���q���q�$�µ¢.º

1 + ln 2 + ε ≤ 1.694������È5ÆD�M�7�*�i�����q��k = k(ε) ¥

� ç��uè2é��! ~�$&"('�·i�^��ì¸�è!¹¤ê�¸Rº�,<~%f;/1032 �·c©±·�²�¬K¢¥¤{¶�·�5F©±·0·±³��%¬F² 5�ªF©8¤¥¢�« A�ªK«9�!¦�¢ ·8¡�¬1 + ln 2

¬��Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF h§lªF©SMT k

>8P©±ª'ª�§�>9zÞ�i�

T1, . . . , Timax

¢v�¡�M���Ю.���£Ç����i���M���$�Ó�I���q���û¢uºû�M���4���£È5ÆD�±Ç��7�4����$�$��ºÆ�È��7���±Ç��M��Å ¥¼ù ����Æ$�7�������M���"©ò�M��ÆD� ∑imax

i=1 |Ti| ≤ smtk(1 + ln 2) ¥¼Â �^���£Å°ÆD�M±7�$�ÆD¢��"�7�

fi(Ti+1) ≤ 1, ¦ Ê ¬���FÈ��q�¼�I����Æ�È�Èi < imax ¥ z¤�i� T ∗

1 , . . . , T ∗jmax

¢v�=ÆkÄS®.���£Ç����i�cÅ%Ç���Ç�Å���ÅÃ�M���$� ¥ ®�Ç����$�

�M���NÆ�È��7���±Ç��M��ÅÝ����� ����$�°�M���^����È�È2�$�FÅ|�v�����i�u�Ti+1

�M���G�0�M��ÆD�fi

Ç��×Å%Ç���Ç�Å%Ç�Ü@�$� � ©«���Æ$�7�fi(Ti+1) ≤ min

jfi(T

∗j ) . ¦ ¶ ¬

ù ��©�Ç�È�Ȥ�����¨�M�����I�FÈ�È��@©�Ç��q�¼Ç����$Ûu��Æ�È�Ç���º � �KÆ�È�Ç��Å�I���aj ≥ 0

ÆD���bj > 0 ¥

minj

aj

bj≤∑

j aj∑

j bj. ¦ m@Ñ ¬

ËË

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 23: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ù Ç��M�aj = |T ∗

j |ÆD���

bj = mst(R/T1 . . . Ti) − mst(R/T1 . . . TiT∗j )

���±Ç��q� ¦ ¶ ¬ÆD��� ¦ m@Ñ ¬ ©°���7�i�

fi(Ti+1) ≤∑

j |T ∗j |

j mst(R/T1 . . . Ti)−mst(R/T1 . . . TiT∗j )

. ¦ mm ¬Õ°º½�M���o�°���u�M�0Æ��i�±Ç����uz¤�£Å%Å°Æ|�M�����q�i���FÅ%Ç���ÆD�����¨�D� ¦ mm ¬ �'ÆD��¢v�¨���i��È5Æ��$�$��©�Ç��M�

j

mst(R/T1 . . . TiT∗1 . . . T ∗

j−1)−mst(R/T1 . . . TiT∗1 . . . T ∗

j ) . ¦ m Ë ¬

­ ��Ç��DÇ���Æ����£È��$���$����Ç��q�0�M��Å Ç��Å©^��Ç���� Æ�È�Èv¢q�q�^�M���ª¯����M�cÆD���½�M����È5Æ��M�¼���i�±Å �'ÆD���$�£È ¥®�Ç����$�T ∗

1 , . . . , T ∗jmax

Ç��DÆD�SMT k

�M����È5Æ����°���i�±Å Ç��mst(R/T1 . . . TiT

∗1 . . . T ∗

jmax)

≤ mst(R/T ∗1 . . . T ∗

jmax) = 0

ÆD��� ∑j |T ∗

j | = smtk ¥ ® �

fi(Ti+1) ≤smtk

mst(R/T1 . . . Ti). ¦ m@î ¬

²��@©Á�M���¨�q�$�±Ç����$�Å¢v���q�������Å�M���]ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç������0ÆD�±Ç����I�FÈ�È��@©>�¼�����FÅ �£È��£Å��i��Ä�0ÆD�MºÅ�'Æ�È��i��È���� ¥ |¨�<¯���� Mi := mst(R/T1 . . . Ti) ¥ �ª�±Ç��q� �M�����q�<¯���Ç��±Ç����¡�D�

fiÆD���

ÆD�q��È�º�Ç��q���M���=Ç����$Û.��Æ�È�Ç��±Ç��$� ¦ Ê ¬ ÆD��� ¦ m@î ¬ ©«�¨¯������M��ÆD�imax∑

i=1

|Ti| =

imax∑

i=1

fi−1(Ti) · (Mi−1 −Mi)

≤imax∑

i=1

min

(

1,smtk

Mi−1

)

· (Mi−1 −Mi) .

­ ���¡���$Ûu���i���$�M0,M1, . . . ,Mimax

Ç��3Å��������������Ó�q�$�i���'Æ��±Ç��q�Ï©�Ç��M�M0 = mstÆD���

Mimax= 0 ¥R­ ���i���<�������Q©«�>�'ÆD�½�$�M�±Ç�Å°ÆD���^�M���>����Å ¢uº3ÆD�3Ç��.���i��0Æ�È!Æ��Y�I�FÈ�È��@©>� ¥

imax∑

i=1

min

(

1,smtk

Mi−1

)

· (Mi−1 −Mi) ≤∫ M0

Mimax

min

(

1,smtk

x

)

dx

=

smtk

01 dx + smtk

mst

smtk

1

xdx

= smtk + smtk · lnmst

smtk���±Ç��q�mst ≤ 2smt

©«����¢q�0Æ�Ç��imax∑

i=1

|Ti| ≤ smtk (1 + ln 2) ,

�M�����q�$�±Ç����$��¢����q���Å�I���^�M���=È��i�q��M�£�D�R�M�������FÈ��q�±Ç���� ¥ ut

Ë î

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 24: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

§ �.Ç��?�����R±.���"©^� ©«�i�M���i�Y�M���DÆD¢��"�7�cÆD��Æ�È�º �±Ç��R�D���M���°���£È5ÆD�±Ç��7�¼����$�$��º*Æ�È��7���±Ç��M��ÅÇ��°�±Ç���u� � Ç ¥ � ¥�� ©^���i�M���i�PÇ����°�v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��WÇ��

1 + ln 2 ¥Y­ ���Q¢v�$�M�PÈ��@©«�i�¼¢v���q��������M���¸���i�]�I���±Å°ÆD���$�«�0ÆD�±Ç��ª�D���M���¸���£È5ÆD�±Ç��7�«����$�$��º�Æ�È��7���±Ç��M��Å ©DÆ��?��¢q�0Æ�Ç����$�*Ç���´ m@É�·ÆD������Æ��+Æ��KÆ�È������D�

1.330 ¥� � Yci�i ã Ycb�a�X<_>� a!\�b*f TVe0fcY�X<\�a�gh^

­ ���+²�ª�¡8¡°�D�!Æ�®.���£Ç����i�?�M���$�«©PÆ��pÇ��.�M���.�����$�$��¢.º*ñ]ÆD�M��Ç����M±�Ç�ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º]Ç��½´`Ë Ñ�· ¥§ �[Å��'Æ����q���$�Y���@©ÿÅ������3È��i�q��M�°Ç��R���$�$�q�$�|�����$���q���$�i�»�M���Q®.���£Ç����i�»�v�FÇ��u���«�D�<ƪ����È�È�$�FÅ|�������i�.�¨���3Ç����>���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥>­ ����Ç��q�'Æ�¢��i��Ç����£�M��Ç��ª�$�����$�i�q�NÇ��>�M��ÆD��©«�*©«����È��È�Ç�±7�����µ�G���.��G������È�ºÄ®.���£Ç����i�0�v�FÇ��u�����M��ÆD� ÆD��� Æ�È����µ�$���.�0Æ�Ç����$� Ç�� ÆD�Ä���q�±Ç�Å*��Å���FÈ��q�±Ç���� ¥� �R�$���q����� � �M��Ç��DÇ��¼�����¼�������Ç�¢�È��Q�I���cÆD� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥ Õ°º���i��Æ�È�Ç�ÜlÇ��q�Ð�M���������FÇ��$�£�D��®.���£Ç����i���v�FÇ��u���|�M��ÆD�����$Û.��Ç���� È����q�µ�$���7�$�����¿�$���q���$�i��M���£ÅÃ���°Æ����i�±Å%Ç���Æ�È � �����¨�M�±Ç��$�>���3Æ$�7�FÇ�� ÆD��È��'Æ��M�>¢�Æ����G���FÇ��$�$� ¥ñ]ÆD�M��Ç����M±�Ç!ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�"� ��±.º�´`Ë Ñ�· ���G�^�M���>�7�i���i�0Æ�È��k�0Æ�Å��i©°���M±|©�Ç��M�sÆ����£È��$�i�±Ç�����k�q���i�±Ç����à�M��ÆD�%Å%Ç���Ç�Å%Ç�Ü@�$� �M���½©«�£Ç���.���$�á�M��Å �D�Q�M���sÈ��i�q��M� ÆD���À�M���¼È���G���D��Æ®.���£Ç����i���M���$� ¥Á§ � ÆÐ���$�$�����Ä�����i�Ä�M���iºà�0ÆD±7�£�M���¡���q�M�q�q�½�D���M��Ç�� Æ�È��7���±Ç��M��Å Æ��Ç��q�q�q�^�I���^�M�������£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å ÆD��� ÆD���]ÆD¢�È������ �q���"�7�*Æ��v�i�]�����±Å°ÆD���$��0ÆD�±Ç����D�

1.644�I���^�M��Ç���Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥

­ ���]Ç��q�'Æ��D�Yñ]ÆD�M��Ç�����±�Ç.ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º½©DÆ��>�7�i���i�0Æ�È�Ç�Ü@�$�¡¢uº Ô ���q��ÆD����º ÆD���³Y��ßFÅ��£È>´ m@Ê�· ¥�­ ���iº£�q�$�±Ç�����$� Æ����$Û �i���$���D�DÆ�È��7���±Ç��M��Å����'Æ����¿�D�¸©^��Ç��G�¿�7�i���ª�M������q�M�q�q�°�D� Ç����«�q���$�q�$�$�$�������DÆ��×Ç����#Ç��q�q�q� ¥Y È�È!Æ�È��7���±Ç��M��Å��PÇ��0�M���ª���$Ûu���i���$�ª�����^�M���©«�£Ç���.���$���M��Å �D�v�M���DÈ��i�q��M�¼ÆD���|�M���cÈ�����Y�D��Æ�®.���£Ç����i�«�M���$�°�����Y����$�$��º|���£È��$�i�±Ç���� �¢q�q�Þ©�Ç��M�*��Çp�Æ�i���i�u��©«�£Ç���.���.Ç����'Æ����*�����q��� ¥?Ô ���q��ÆD����º=ÆD����³Y��ßFÅ��£Èu�q���"�7�»�M��ÆD��¢uº����� ��±Ç��q�|�M���¨©«�£Ç���.����ÆD�q�q�����q�±Ç5ÆD���£È�º������¨��¢q�0Æ�Ç����+ÆD� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç�����Æ�È��7���±Ç��M��Å©�Ç��M���v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��

1.598 ¥þ �i�Mºâ���$�$�i�.�±È�º � Öª��¢�Ç���� ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± ºÚ´`Ë ÊD· Ç����$���M�����0ÆD���$� �M����È�����¡�D� Æ

®.���£Ç����i���M���$�hÇ��u����ƽ���i©Ú���£È��$�i�±Ç����4���q���i�±Ç����¿�������M��� ���£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��ÅÆD����©«�i���WÆD¢�È��������M���"©â�M��ÆD�Q�M�������$�M��È��±Ç��q�¼Æ�È��7���±Ç��M��ÅÇ��Æ��NÆ �v�i�]�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç���D� m ¥ ððÑ ¥»ù ��ÆD�����7�FÇ��q�����|�q�$���i�±Ç�¢v���M���£Ç���Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç����M��Ç��>���$�i�±Ç���� ¥�G��� C°D4FI±\�h���}�h�o�TOQZtF%��K4F;U�CVU�F;F

­ ��� È�������D�hÆÀ���i���D��®.���£Ç����i���7�i�M�±Ç��$�$�A ⊆ S

Ç�� Æ�Å%Ç���Ç�Å*��ÅòÈ��i�q��M�ó�I�����$�M�Loss(A) ⊆ E

Ç��½©^��Ç��G���i�7�i�MºÅ®.���£Ç����i�^�7�i�M���<¹v ∈ S

Ç��°�$���q���$�i���$�Å���%Æ����i�±Å%Ç���Æ�Èr ∈ R ¥R­ ���+È�����«�D�.Æ�®.���£Ç����i�«�M���$�����PÆ*�$�FÈ�È��$�i�±Ç������D������È�Èv�$�FÅ|�������i�.���#Ç��°�q�<¯����$�©�Ç��M�4���$�M���$�i�ª���0�M��� �$���M���$�M�v������Ç��q�Å�M���$���$���7�$� ¥�� ªF �¢¥©�¬�A'¢¥¤� ^5��M����È���G���D�#Æ�����È�È�$�FÅ|�������i�.�]Å��'ÆD���¨�M��ÆD�¨�I���¨�i�7�i�MºÓ�$���7��¢��i��©«�$�i�µ�M���WÈ�������$�FÅ|�v�����i�u��� � Æ0���i©�$���7��©�Ç��M���M�����0Æ�Å��¨©°�£Ç���u��Ç���Ç������i�M���$��¢v�i�W©°�$�i�£�M�����$���M���$�M�v������Ç��q�0���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥­ ��Ç��cÇ��>�����@©^� Ç���ÎGÇ���q��� É ¥Yù �¨©^�±Ç����

loss := |Loss | ¥ËDÌ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 25: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ÎGÇ���q��� É ÉG�°���.�M�0Æ��i�±Ç��q���M���+È�����¸�D�6Æ*®.���£Ç����i�°�M���$� ¥Y­ �i�±Å%Ç���Æ�È��7�i�M�±Ç��$�$��ÆD���Q�M���"©^�Æ��>�GÛu��ÆD���¨¢v�$¹q�$��ÆD���£®.���£Ç����i�ª�7�i�M�±Ç��$�$��Æ��>�q����� ¥ |�ÆD�M±��$���7�$�^¢v�£È����q�����|�M���]È����� ¥Î������i�7�i�Mº¡�M��Ç��µ�$���7� ¢��i��©«�$�i� È�������$�FÅ|�v�����i�u��� � ƽ�Æ��M���$�4���i© �$���7� ©�Ç��M�¿�M����0Æ�Å��¨©°�£Ç���u�NÇ��DÇ������i�M���$��¢v�i�W©°�$�i�¡�M�����$���M���$�M�v������Ç��q�0���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥

ù �Q©PÆD�.�°���hÆD�q��È�º|�M�����°���u�M�0Æ��i�±Ç����Ûz¤�£Å%Å°Æ*Ç��0�M��Ç��°���i�M�±Ç��q�%Æ��¸©°�£È�È ¥Y­ ���i����Ä�I�����°©«�¼��Æ$�7�>����Å°ÆD±7�^���q���¼�M��ÆD�Y�M���#È��i�q��M���¸�D�2�M���¼���i©�È�ºWÇ������i�M���$�|�$���7�$�Y�q�¨������q�i�v�i���������q���i��Ç������JÈ�����«�$���u�M�0Æ��i�±Ç������PÇ��u�7�FÈ���Ç��q�*�M���Q�0Æ�Å��ª®.���£Ç����i�¸�7�i�M�±Ç��$�$� ¥ Õ«ºÆ*�±Ç�Å|��È��>�q���i�q��� �$�$���±Ç��q� ¦ ���q��È�Ç��'ÆD�±Ç��q��®.���£Ç����i�°�7�i�M�±Ç��$�$� ¬<� ©«�ª�'ÆD�sÆ��G��Ç��i�7�ª�M��ÆD�«�����©«�½����È�È»�$�FÅ|�������i�.�����D�«�M��� ��0ÆD�q�µ�M��ÆD���%Æ�®.���£Ç����i���7�i�M���<¹ ¥�ù ��Ç�È�� �M���WÈ��i�q��M��D�

SMT k

�q�.�$������������ÆD�q�7� � �M���WÇ����M�0ÆD���$������@©>�¨¢.º�Æ�� Æ��i�����¨©^��Ç���� Ç��=ÆD�NÅ���M�Æ����FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È.Ç��Ó�M���*Ç��q�q�q���±Ç�Ü@� ¥ª­ ���*���i� K

�����FÅÇ�M�����7�i���i�0Æ�ÈÞ���0Æ�Å��i©«���M±¡©�Ç�È�È���<�I�i�^���|�M���¨�q���i�q��� �$�$�����$� Ç����M�0ÆD���$� ¥` �^ � Ðë�fx$&"('*)�ëqé�+Rì¶�ê�¸¤ì�g�·¼�!�kì¸2è^¹¤êå¸Rº�,<a���/10 2 �·�² ·� ^5K¢ ª�§�¢�· ²Rª�¡8¡ ª�§ ¬��¢ ·£¤� !·£©]¢¥©±·�·*¤�¡�¬K¢J«3ª�¡£¢i�¬K² §*ª±§=¤{¢{¡=¢¹ªK¢¹¬F² ² ·� ^5�¢k>

8P©±ª'ª�§�> § �¨�M�kw0�$�$�����½�q���@�7���M���WÇ����$Ûu��Æ�È�Ç���ºloss ≤ smt/2

����������È�È?�$�FÅ|�v�����i�u��� ¥§ �×Ç��°�'Æ��±Ç�È�º����$�i�½�M��ÆD�DÆD�.º|����È�È2�$�FÅ|�v�����i�u�^�'ÆD��¢v�ª�M�0ÆD���]�����±Å��$�¼Ç��u���hÆ��$�FÅ|��È��i���¢�Ç���ÆD�Mºø�M���$�£©^���i���4�M����È��'Æ$�7�$���D�*�M���Ó�M���$� ÆD���4�<¹�Æ��i�±È�ºÄ�M���¡���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥ ­ ��Ç���'ÆD�À¢��sÆ�����Ç��i�7�$�à¢.º�Æ��q��Ç��q�¡���i©ü���i�±Å%Ç���Æ�È��3ÆD���À�$���7�$���D�cÈ��i�q��M� Ñ ¥ ²ª�"©Í�I����'Æ��G��Ç��.���i�M��Æ�ȼ�7�i�M���<¹À����� ����0�k���FÅÈ�M���½�W©°�Ó�$���7�$�WÈ��'Æ���Ç��q�4��� Ç������G��Ç�È������i�ã�M����G���'ÆD���$�M�°����� ¥Y­ ��Ç��¸©DÆ$º0�����Q�7�i���PÆ*�M�q¢q��0ÆD�q�½�M��ÆD�×Ç����£È����q�$�°�M���cÈ�����°�D�Æ�M���^����È�È�$�FÅ|�v�����i�u�ª©�Ç��M� È��i�q��M��ÆD��Å���M�>��Æ�È �Y�D�R�M���������0Æ�È È��i�q��M� ¥ ut

­ ���i��� ÆD���Ó�<¹�Æ�Å|��È��$�½�I���½©^��Ç����Tz¤�£Å%Å°ÆÀÌ ¥ m Ç��½�$�G���i�u�±Ç5Æ�È�È�ºø¢��$�M�½�v����±Ç�¢�È�� ¥�°�����±Ç��q�i�JÆD�|�q�.©«�£Ç���u���$�0¢�Ç���ÆD�Mº*�M���$�°©�Ç��M�2k ���i�±Å%Ç���Æ�È��R©�Ç��M�°ÆD�|�<¹��M�0ƪ���i�±Å%Ç���Æ�È

ÆD�M�0Æ��G���$�¡���0�M���*��� ��� � Æ��ª�M���"©^� Ç��¡ÎGÇ���q��� ï ¥ª­ ���i� loss = 2k − 1Æ��ª©«�����$�$�

�����>�$���7�^�����»�i�7�i�Mº0®.���£Ç����i�»�7�i�M���<¹°ÆD���smt = 2k+1−1 � ��� loss

smt→ 1

2

Æ��k →∞ ¥

Ë ð

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 26: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ÎGÇ���q��� ï É Â �À�<¹�Æ�Å|��È����k���FŠƽ� Æ�Å%Ç�È�ºµ�D�^��0ÆD�q����©�Ç��M�mst ∼ 2smt ∼ 4loss ¥z¤����>�$���7�$�NÆD�����ÆD�M± ¥ |����M���$� È�Ç����$�cÇ�����Ç��'ÆD�����$���7�$�Q�����$�Å¢uº

MST ¥

�G�rB ±\�h����¯°�hK�ZtU����!Z���KGS3���[Sx�hUY�]Z�D4L

ù �¼ÆD���0���@©Ú�q���i��ÆD���$�Ï���£�q�$�G�i�±Ç�¢��|�M���°È�����*�$���.�M�0Æ��i�±Ç��q� Æ�È��7���±Ç��M��ÅÈ�D�>ÖQ��¢�Ç����ÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M± º�´`Ë Ê�· ¥?§ �Y¯����[Ç��.�����M���^�7�i���i�0Æ�È��k�0Æ�Å��i©°���M± �����Y����$�$��º°Æ�È��7���±Ç��M��Å�� ¥�Q��È�Ç�±7�Å�M���½���£È5ÆD�±Ç��7������$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç��|�q�.�$� �������$���.�M�0Æ��i�|�M�������£È��$�i���$�À����È�È�$�FÅ|�������i�.�ª�i�.�±Ç����£È�º � ¢q�q�Q����È�º½�M���£Ç��cÈ����� ¥

­ �q�����q������q���M���°Æ�È��7���±Ç��M��Šƽ���i�±Å%Ç���Æ�È°�M��ÆD�q��Ç��q���M���$�%Ç��=Å°Æ�Ç��.�0Æ�Ç����$� ¥0ù ��q�i�������=Ç����cÈ��i�q��M�£¢uº

m(·) := mst(R/Loss(·)) .

mÇ��|�M��� È��i�q��M�Ä�D�]Æ Å%Ç���Ç�Å*��Åÿ����ÆD�q��Ç��q�µ�M���$� Æ������i�|�M��� È�������D���$�i�M�0Æ�Ç��ã�k��È�È

�$�FÅ|�������i�.���*��Æ��¨¢v�$�i�Ð�$���.�M�0Æ��i���$� ¥ |����|���Å�M��� �q���i�q���.�$�$�G�±Ç��q� � ©°���'ÆD� Å��.�q�£È�M���¨���v�$�i�>�D�GÆ*È�����¼�$���.�M�0Æ��i�±Ç�����¢uº Æ��q��Ç��q�|���i©â�$���7�$�¼¢��i��©«�$�i�����i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥»­ ���ÆD��Æ�È�º ��Ç��0�q� �$�0���������£È�ºà���û�q�i�0Æ�Ç�È��0�M��� Ç�Å|��È��£Å��i�u�0ÆD�±Ç����Á�D�]È�������$���u�M�0Æ��i�±Ç������ ¥­ ���i���<���������M�����������D�R�M���È�°���u�M�0Æ��i�±Ç����uz¤�£Å%Å°ÆhÇ��¼Â]���M�±Ç ¯��$� ¥

 ���M��Å��Ó�M��ÆD���M��� Æ�È��7���±Ç��M��Åy��Æ�� Æ�È����'Æ���ºó��������i�â�G�FÅ��Ó�k��È�È��$�FÅ|�v�����i�u���T1, . . . , Ti ¥Y­ ���i���M���=È��i�q��M�¡�D�?�M�����$���M���$����������Ç��q��®.���£Ç����i�>�M���$�=Ç��

cost(T1, . . . , Ti) = m(T1, . . . , Ti) + loss(T1, . . . , Ti) ¦ m Ì ¬¢uºÅ�M���¨�q���i�q��� �$�$���±Ç��q�0�M���i� ÆD�����M�����q�<¯���Ç��±Ç����¡�D�

m ¥Y­ �������£È��$�i�±Ç��������q���i�±Ç����

fi(T ) :=loss(T )

m(T1 . . . Ti)−m(T1 . . . TiT )Ç��cÆD�q��È�Ç��$�����|�$�FÅ|��ÆD���¨�M���

loss�D�pÆ����i©ó����È�Ȥ�$�FÅ|�������i�.�

T©�Ç��M� Ç����¼���$�����i�±Ç����

�D�m ¥�­ �u�����M���hÈ���G���$���u�M�0Æ��i�±Ç��q� Æ�È��7���±Ç��M��Åú¯����=Ç��u�����M��� �7�i���i�0Æ�È»�k�0Æ�Å��i©°���M± ¥

ù ��©�Ç�È�ÈÞ���$�¨�M��ÆD�fi(Ti+1) ≤ 1

�I���+Æ�È�Èi ¥

� ç��uè2é��! fx$baI'e»½è��Rì&¶Þê�g4·i�^��ì¸�è!¹¤ê�¸RºT,�a;/�0T2 �·*²RªF¡0¡@A0ªF �¢¥©±¬�Al¢¥¤{ ^5 ¬F²�5�ªF©�¤¥¢�«A�ªF«v��¦�¢ ·8¡W¬

1 + ln 32

¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF h§£ªF©SMT k

>

Ë É

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 27: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ù �>���$�$�����FÅ���Å������^�����0ÆD�±Ç����0�����Y�M���>�q���.�D� ¥ øÛu��ÆD�±Ç���� ¦ m Ì ¬ �'ÆD��¢v�¼©^�±Ç��M���i��M�����M�±È�º Æ��

cost i = mi + loss i ¥ z¤�i� T ∗1 , . . . , T ∗

jmax

¢����M�����k��È�ÈÞ�$�FÅ|�v�����i�u���¨�D�JÆ®.���£Ç����i�.Å%Ç���Ç�Å*��Åò�M���$� ¥?­ ���i� smtk = m∗+loss∗ � ©^���i��� m∗ := m(T ∗

1 . . . T ∗jmax

)ÆD���loss∗ := loss(T ∗

1 . . . T ∗jmax

) ¥Þ­ ���»���FÈ�È��"©�Ç��q�+È��£Å%Å°Æ�Ç��Þ�M���»���'ÆD�M�Þ�D�q�M���¸�q���.�D� ¥` �^ � Ðë�fx$�~ü2 �·^�!¢ ·�¤� <·�©+¢¥©�·�·v:[¤{¢D§�¦�²{²=A�ªF«v��ªK !·� �¢{¡

T1, . . . , Timax

©�·£¢¥¦�©8 <·±³3¯��¢�·�²�ª�¡0¡oA�ªK �¢¥©�¬YAl¢¥¤� !5 ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�« ¡l¬K¢¥¤�¡rîP·8¡

cost (T1, . . . , Timax) ≤ smtk + loss∗ · ln

(

1 +mst − smtk

loss∗

)

.

8P©±ª'ª�§�>  �k��È�È°�$�FÅ|�������i�.�T

���$�����$�$���M���°È��i�q��M�à�D�>�M���½�i�q�M���i�u�hÇ��u���i�±Å��$��Ç5ÆD������FÈ��q�±Ç���� Ç �[ÆD��������È�º Ç �

fi(T ) < 1 � ¢v�$�'ÆD�����

cost(T1 . . . Ti)− cost(T1 . . . TiT )

= m(T1 . . . Ti) + loss(T1 . . . Ti)−m(T1 . . . TiT )− loss(T1 . . . TiT )

= m(T1 . . . Ti)−m(T1 . . . TiT )− loss(T ) . ¦ m@ð ¬Î��FÈ�È��"©�Ç��q�ã�M��� È�Ç����$���D�*�M���Ó�q���.�D���I���½�M���¡���£È5ÆD�±Ç��7�4����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å ¦�­ ���$��Ä���£Å î ¥ m ¬<� �M���0���<¹ �*�����i� Ç������£¢����q���Ð�M���|�FÆ�È������D�

fi(Ti+1)�k���FÅ ÆD¢v�@�7� ¥ zÞ�i�

T ∗1 , . . . , T ∗

jmax

¢v���M�����k��È�È?�$�FÅ|�������i�.�����D�×ÆD�Ó���q�±Ç�Å°Æ�ÈY®.���£Ç����i���M���$� ¥^ ��Æ�Ç�� � �M�������$�$��º������FÇ��$�*�D�?�M����Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç�Å|��È�Ç��$�>�M��ÆD�

fi(Ti+1) ≤ minj

fi(T∗j ) .

���±Ç��q� ¦ m@Ñ ¬ ©°���7�i�

fi(Ti+1) ≤∑

j loss(T ∗j )

j m(T1 . . . Ti)−m(T1 . . . TiT ∗j )

.

|����¨���|�M���È�°���.�M�0Æ��i�±Ç�����z¤�£Å%Å°Æ��M�����q�i���FÅ%Ç���ÆD�����+Ç��>¢����q���q�$�Å�����FÅ ¢v�£È��@©â¢.º∑

j

m(T1 . . . TiT∗1 . . . T ∗

j−1)−m(T1 . . . TiT∗1 . . . T ∗

j−1T∗j ) , ¦ m@É ¬

Æ*���£È��$���$����Ç��q���M��ÅÝ�$Ûu��Æ�Èv���m(T1 . . . Ti)−m(T1 . . . TiT

∗1 . . . T ∗

jmax) ¥ Õ°º3Å�������Ä

������Ç��£Ç���ºm(T1 . . . TiT

∗1 . . . T ∗

jmax) ≤ m(T ∗

1 . . . T ∗jmax

) , ¦ m ï¬ÆD����©°����¢q�0Æ�Ç����M���=Ç����$Û.��Æ�È�Ç��Wº

fi(Ti+1) ≤loss(T ∗

1 . . . T ∗jmax

)

m(T1 . . . Ti)−m(T ∗1 . . . T ∗

jmax)

=loss∗

mi −m∗. ¦ m@Ê ¬

Ë ï

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 28: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

�ª��Ç��q�fi(Ti+1) ≤ 1

ÆD��� ¦ m@Ê ¬ ©«�*�'ÆD�����@© �$���±Ç�Å°ÆD���

loss(T1 . . . Timax) =

i

loss(Ti) =∑

i

fi−1(Ti)(mi−1 −mi)

≤∑

i

min

(

1,loss∗

mi−1 −m∗

)

(mi−1 −mi) . ¦ m@¶ ¬�#È��'ÆD�±È�º

m0 = mst ≥ smtk � ÆD����©°�Y©�Ç�È�Èu�M���"©µ�M��ÆD�smtk ≥ mimax

Ç��oz¤�£Å%Å°Æ¼Ì ¥ Ì¢��£È��"© ¥»­ ���i���<�I����� ¦ m@¶ ¬ Ç��^¢v���q���q�$��¢.º∫

mst

mimax

min(

1,loss∗

x−m∗

)

dx =

mst−m∗

mimax−m∗

min(

1,loss∗

x

)

dx

=

loss∗

mimax−m∗

1 dx + loss∗ ·∫

mst−m∗

loss∗

dx

x

= loss∗ −mimax+ m∗ + loss∗ · ln

(mst −m∗

loss∗

)

= smtk −mimax+ loss∗ · ln

(

1 +mst − smtk

loss∗

)

,

ÆD�����M���=È��£Å%Å°Æ��I�FÈ�È��@©>� ¥ utÆÈÇ�É!ÉåʽÉåÊ���Ì�Í�É=Ç�Í^Ô ú�Õ[ëRÕ�®�Ç����$�

smtk ≥ mst/2 � ©«�«��Æ$�7�mst−smtk ≤ smtk ¥§ �¼�I�FÈ�È��@©>�Q�M��ÆD�

cost(T1 . . . Timax) ≤ smtk

(

1 +loss∗

smtk

· ln(

1 +smtk

loss∗

)

)

.

²ª�"©Ý©«� ÆD�q��È�ºÐ�M���sÇ����$Û.��Æ�È�Ç��Wºloss∗ ≤ smtk/2 ¥ Ã[È��£Å��i�.�0ÆD�MºÀ�'Æ�È��i��È����|�����@©>�

�M��ÆD�max

{

x · ln(

1 + 1x

)

0 ≤ x ≤ 12

} Ç���ÆD�M�0Æ�Ç����$���I���x = 1

2 ¥»­ ���i���<�I�����

cost(T1 . . . Timax) ≤ smtk

(

1 +ln 3

2

)

,

©^��Ç����Ó�$�����£È����q�$�>�M�����q��� �D�R�D�R�M�����M���$�����£Å ¥ut

§ �����£Å°Æ�Ç���� ���4�M���"© �M��ÆD�mimax

≤ smtk � ©^��Ç��G� Ç��%Æ¡�$�����G�$Ûu���i���$���D�Q�M������FÈ�È��"©�Ç��q�Iz¤�£Å%Å°ÆÏÌ ¥ Ì ¥ ­ ���¡�q���.�D�����$���£Å*¢�È��$�Å���FÅ��i©^��ÆD�Å�M��� ÆD�M���Å��i�u�0ÆD�±Ç���������¨�$Û.��ÆD�±Ç���� ¦ Ì ¬ Ç��Ó�M���%ÆD��Æ�È�º ��Ç����D�  È��7���±Ç��M��Å

A3�D�°Õ°�i�±Å°ÆD� ÆD���4Ö�Æ�Å°Æ�Ç�º7�i� ¥z¤�£Å%Å°Æ*Ì ¥ Ì�©�Ç�È�È!Æ�È�����¢��^���G�<�k��ÈÇ���® �$�i�±Ç���� ð � ©^��Ç����sÇ��»�M���^���'Æ�������©^�uº|©°�>�q���@�7�

ÆhÅ������¨�7�i���i�0Æ�È����0ÆD���£Å��i�u� ¥Ë Ê

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 29: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

` �^ � Ðë�fx$<f ��§T1, . . . , Ti

¬F©�·p§�¦�²�²�A�ªF«v��ªF <·� �¢{¡�¡8¦�A�s¢�¬K¢×¬�³�³K¤� ^5¼¬F �ªK¢�·�©p§8¦�²�²A�ªK«9��ªF !·� �¢@:[¤¥¢ ¬K¢W«3ª�¡�¢

k¢ ·£©8«h¤{ �¬F²½¡}��¤¹·�²�³�¡  �ªs§�¦�©�¢�·£© ¤{«9�!©�ªF¶F·�«°·� �¢{¾°¢�·� 

mimax≤ smtk

>ó�8  ¢�¤5¡�A�¬F¡l·8¾loss(T1, . . . , Ti) ≤ λ cost(T1, . . . , Ti)

¤{«v��²Â¤ ·8¡cost(T1, . . . , Ti) ≤ 1

1−λsmtk

>8P©±ª'ª�§�>vz¤�i�

T ∗1 , . . . , T ∗

jmax

¢v�]ÆhÅ%Ç���Ç�Å*��ÅkÄS®.���£Ç����i�ª�M���$� ¥ Õ°º ¦ m@ð ¬ ©«����Æ@�7�

m(T1, . . . , Timax)−m(T1, . . . , Timax

, T ∗j ) ≤ loss(T ∗

j )

�I���PÆ�È�Èj = 1, . . . , jmax ¥ �ª�±Ç��q���M�����°���u�M�0Æ��i�±Ç����}z¤�£Å%Å°Æ*Ç��½�M���ª���$�$�����sÇ����$Û.��Æ�ÈRÄ

Ç���º � ©«�¨¯������M��ÆD�

mimax−m∗ = m(T1, . . . , Timax

)−m(T ∗1 , . . . , T ∗

jmax)

≤∑

j

m(T1, . . . , Timax, T ∗

1 , . . . , T ∗j−1)−m(T1, . . . , Timax

, T ∗1 , . . . , T ∗

j )

≤∑

j

m(T1, . . . , Timax)−m(T1, . . . , Timax

, T ∗j )

≤∑

j

loss(T ∗j ) = loss ∗ ,

�M��ÆD�cÇ�� � mimax≤ smtk ¥¸­ ���i���<�������

cost imax= mimax

+ loss imax≤ smtk + loss imax

≤ smtk + λcost imax,

ÆD�����M����È��£Å%Å°Æ ���FÈ�È��"©>� ¥ ut

 �«�����¼�M���¨���£È5ÆD�±Ç��7�¨����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å � Ç��DÇ��¼�����^±.���"©^��©«�i�M���i�^�M���]ÆD��Æ�È�º��±Ç���D��Öª��¢�Ç��¤ØÙ�cÆD��� Ò �£È�Ç�±7�@���M±.ºvØÙ�cÆ�È��7���±Ç��M��Å Ç��¼�±Ç���u� ¥¸§ �4´ m@ÉD· Ç��#Ç��^�����@©^���M��ÆD�

1.2��

ÆWÈ��"©«�i�Q¢v���q���������M�����v�i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç����D�R�M���=È�����>�$���.�M�0Æ��i�±Ç��q�sÆ�È��7���±Ç��M��Å ¥ nNUsmY�.\�_+e � bWi�a!_cb��Gm[i Ycj a�gWm n�a�m[\0b*mpX qsX!m[m t X<Y�uhe�mJ^

 � Ç����M�0ÆD���$���D�>�M���Å®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å Ç����'Æ�È�È��$�3ã¦�¬�¡�¤�´±¯�¤í��¬F©�¢¥¤¥¢ · � Ç �>�M���½���i�V \ R

�D� ¦ �v����±Ç�¢�È�� ¬ ®.���£Ç����i�ª�7�i�M�±Ç��$�$�+Ç��Q�M�0ÆD¢�È�� � Ç ¥ � ¥�� �$���.�0Æ�Ç����Q���0�$���7�$� ¥�� ��Æ��±ÇRÄ¢�Ç���ÆD�M�±Ç����WÇ����M�0ÆD���$�$�]ÆD�q�v�'ÆD��Ç�� Æ�È�È?±.���"©^� È��@©°�i��¢v���q���Ó�q���.�D�I�ª�������M���hÆD�q�q���$¹�ÄÇ�Å°ÆD�±Ç����Ó�M�q���$�M���FÈ��Ó�D�°®.���£Ç����i�ª�M���$�hÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å�� ¦ ���$��® �$�i�±Ç���� É ¬<¥Î����¼�M���G���q��� �D���°���������$�$�q�°���*�$�����M�M�M���i�DÇ����M�0ÆD���$�$�°�����M���¨®.���£Ç����i�¼�M���$�ª�q����¢�È��£Å�M��ÆD�3ÆD���sÇ��ã���FÅ��Å���i�������M���¼Å����� ��Çpw0�i��È��������$� ���Ó���FÈ��7� ¥µÂ ��©«�Å©�Ç�È�È^���$�¼Ç���M��Ç������$�i�±Ç���� � ������Ûu��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����WÇ����M�0ÆD���$�$�ª�M���i�����<¹�Ç��M��Æ�È��7���±Ç��M��Å���©�Ç��M�¡¢v�i�M���i�

Ë ¶

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 30: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç���Æ��]Ç��Ï�M�����7�i���i�0Æ�ȼ�'Æ���� ¥Å­ ��Ç���Å°Æ@º¿��Æ$�7���W©°�£���'Æ��������AÉ*Ã[ÇRÄ�M���i��Ûu��Æ���ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç���� Ç����M�0ÆD���$�$�°ÆD���Å�'Æ��±Ç��i� ���¿���FÈ��7�½�M��ÆD�ã�7�i���i�0Æ�È�Ç����M�0ÆD���$�$�|�D��M����®.���£Ç����i�*�M���$�0�q����¢�È��£Å ¥�­ ���i�À�������M������È��¿�M�Mº4���ů����Т��i�M���i��È��@©«�i��¢����q����q���.�D�I��¢�Æ����$�Ð���Ð���M���i�*�$�����M�M�M���i�±Ç������ ¥� �µ�M�������M���i����ÆD��� � Ç �¼Û.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����Ç����M�0ÆD���$�$��ÆD���NÆ��°��ÆD���������G�FÈ��7��Æ��°�7�i���i�0Æ�È�Ç������0ÆD���$�$� � �M���i� Æ�È��7���±Ç��M��Å��°�I���«�M���$�G��M�v�$�£Ç5Æ�È Ç����M�0ÆD���$�$�>�M������È���¢��¨�����<����È.Æ��+Æ�¢�Æ���Ç��^�����q�$�±Ç����¢v�i�M���i�+ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����Æ�È��7���±Ç��M��Å��+Ç����M�����7�i���i�0Æ�ÈÞ�'Æ���� ¥

§ �¼Æ�Û.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç�����Ç����M�0ÆD���$��Æ�È�È��k��È�È��$�FÅ|�v�����i�u����ÆD���ª�M�0ÆD��� � Ç ¥ � ¥�� �M���iº|��Æ$�7�Æ£��Ç��q�KÈ���®.���£Ç����i� �v�FÇ��u�3ÆD���À�M���°È���G�*Ç��vÂ]���M� �������D�+Ç���� �M�����M���$��� �$���7�$� ¥ ®�Ç����$�®.���£Ç����i� �7�i�M�±Ç��$�$�|�D�ª�q�i����$�½�W©«�¿�'ÆD�ÿÆ�È�©DÆ$º�� ¢��½�£È�Ç�Å%Ç���ÆD���$�à���±Ç��q�Ó�M�����M�±Ç5ÆD�q�KÈ��Ç����$Ûu��Æ�È�Ç���º � ©«��©�Ç�È�È�Æ�È��G�4���$Ûu��Ç����Å© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�0�i�7�i�MºÐ����È�È>�$�FÅ|�v�����i�u�0��Æ��¼ÆD�È��'Æ��M�>�M�q���$���$���7�$� ¥Y­ �u��� � ©«����Æ@�7���M���¨�I�FÈ�È��@©�Ç��q���éDè%+»è2ê"ì,æ"ì,èn¶NjR$&" �8 èã¦�¬�¡8¤{´�¯£¤í��¬K©�¢¥¤¥¢ · ¤� �¡£¢¹¬F =A0·�¡0¾s¢�· ² ·� ^5K¢ ª�§ ¢�· ²Rª�¡8¡ ª±§ ¬��¢ ·�¤{ !·�©�¢¥©�·�·*¤�¡=¬�¢×«3ª�¡£¢#ªF !·�¢�¤{©�³ ª�§=¤¥¢{¡]¢¹ªK¢¹¬F²�² ·� ^5K¢�>

Ö�Æ�Â�ÆD�7����Æ�È5ÆD� ÆD��� þ ÆDÜlÇ��0ÆD��Ç|´`Ë ï · ��Æ$�7� Æ 32 + ε

ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����kÆ�È��7���±Ç��M��Å�����|Û.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç�������0ÆD�q��� ¢�Æ����$�ã���à�M���Å�q�±Ç�Å°Æ�ÈRÄW����Æ�ÈcÅ��i�M��� � ¥Ð­ ���Å�q�±Ç�Å°Æ�ÈRÄ����Æ�ÈÅ��i�M��� �|��Æ��Y¢v�$�i�¼ÆD�q��È�Ç��$���M���$�$�$���M�k��È�È�º�����Å°ÆD�uº ���i�W©°���M±��q�$�±Ç�����q����¢�È��£Å��¦ ���$�Q� ¥ � ¥ ´ m@ðD· ¬<¥ ²��i�7�i�M�M���£È��$��� � �M���£Ç��«���$����È��¸©PÆ��¼�M�q�M�q�±Ç���Ç��q��¢v�$�'ÆD�����cÇ����7�i���i�0Æ�È<Ç��Ç��>�$�����±Ç��q�i���$����Çpw0�i��È��>���|��¢q�0Æ�Ç��£���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç���^¢v�i�M���i�^�M��ÆD�

2�����ª®.���£Ç����i�

�M���$�°È�Ç�±7�0�q����¢�È��£Å������±Ç��q�£�M��Ç��*Å��i�M���.� ¥£Ô �"©«�i�7�i� � �M���£Ç��hÆ�È��7���±Ç��M��Å Ç������q�M���i��Ä�����±Å��$��¢uº Æ �±Ç�Å|��È����$�FÅ�¢�Ç���ÆD�����±Ç5Æ�ÈpÆ�È��7���±Ç��M��Å � ©^��Ç�����©°���q�$���i�±Ç�¢v�����<¹ � ¥®¼��� ��ZtF;U��nZtF%�Ú� s O�ZtF%��K4F;UuW�F%M4UY����Z����

­ ���DÇ����i�0ÆD���$�1ÄS®.���£Ç����i�»���i�q�±Ç��M�±Ç���Ç��Jƨ��Ç�Å|��È��DÈ��.�'Æ�È����'ÆD���G�|���i�q�±Ç��M�±Ç�� ¥ ÖQ�$�'Æ�È�Èq�M��ÆD�

�M���°®.���£Ç����i�.Å%Ç���Ç�Å*��Å �M���$�Y�I���.Æ^���i�Þ�D�q���$Û.��Ç����$���7�i�M�±Ç��$�$�R�'ÆD��¢v�Y���$�$�����M�M�M���i���$�

Ç �°©°��± ���@© �M���0���i�I�D�DÇ�����®.���£Ç����i���7�i�M�±Ç��$�$���±Ç����$�

SMT (R) = MST (R ∪ I) ¥Ô �i�����M���=ÆD�M���Å��i�u�ª�D�

SMT (·) ÆD���MST (·) �q�i�������$�¼�M���¨���i�^�D�Þ�7�i�M�±Ç��$�$�¼©^��Ç��G�

��Æ��»����¢v�^�$���q���$�i���$� ¥»­ ���i���<�I�����>�M����Å°Æ�Ç��0�q����¢�È��£Å Ç��»����¯����°Æ¨�7� �.�|�$�FÈ�È��$�i�±Ç�����D�»®.���£Ç����i�ª�7�i�M�±Ç��$�$� ¥

­ �������i�q�±Ç��M�±Ç����M�0ÆD�M���«�k���FÅ Æ*�M��ÆD�q��Ç��q� �M���$�Q�����°�M���ª���i�±Å%Ç���Æ�Èv�G�i� � Ç ¥ � ¥ I = ∅ ¥§ �û�'Æ����ó�M���i� � ©«�Ó�����$�G±á©^���i�M���i�½�M���£�i�q�M���i�u�����FÈ��q�±Ç����ó�'ÆD�Ä¢v� Ç�Å|�q���"�7�$�û¢uºÆ��q��Ç��q� Æ0�±Ç��q�KÈ��|®.���£Ç����i���7�i�M���<¹

vÇ��¡�M���*���FÈ�È��"©�Ç��q�Å©PÆ$º<É>�$�FÅ|�q�q���%Æ°Å%Ç���Ç�Å*��Å

�M��ÆD�q��Ç��q�Å�M���$�����R ∪ I ∪ {v} � ÆD���¡���£Å��@�7�%Æ�È�ÈY®.���£Ç����i�¨�7�i�M�±Ç��$�$�¨�D�¸�q�i����$�������

ÆD���À�W©«� ¥À­ ���$��� ÆD���Å��Ç��M�v�i���0ÆD¢�È��½¢��$�'ÆD�����Å�D�Q�M���½�M�±Ç5ÆD�q�KÈ�� Ç����$Û.��Æ�È�Ç��Wº ¥À§ �>�M������$�M��È��±Ç��q�Ä®.���£Ç����i�Å�M���$��Ç��½�M�����M���i� � �M���i� È��i�I¢��¡�M���Ó���i©¾�G�i�½�D��Ç�����®.���£Ç����i�

�7�i�M�±Ç��$�$� � ���M���i�M©�Ç����I���£Å°Æ�Ç����>�M�����0Æ�Å�� ¥Y­ ���]Æ�È��7���±Ç��M��ÅÇ�M�������¼©^���i����� �±Ç��q�KÈ��

®.���£Ç����i�Q�7�i�M���<¹ È��'Æ��q�>���3ÆD� Ç�Å|�q���"�7�£Å��i�u�NÇ����M��Ç��^©DÆ$º ¥ ® �$�*Î.Ç���q��� Ê ¥îÑ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 31: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

� æ��.é�ë�æ����è"��?��æ�� ì&¶h�.é��Û� åÞé�ìkê$æ"ì�I ← ∅ ¥�\¦ ¬ ¦�� «

��¨��ª�i�7�i�Mºv ∈ V \ (R ∪ I)

§;¨�ÉI ′ ← I ∪ {v} ¥ÖQ�£Å��"�7���7�i�M�±Ç��$�$�^�����FÅ

I ′��Æ$��Ç��q���q�i����$�

1���

2��

MST (R ∪ I ′) ¥� �mst(R ∪ I ′) < mst(R ∪ I)

« £;¦"!I ← I ′ ¥

ª ! « ¤<¥����%Ç�Å|�q���@�7�£Å��i�.�Q�I���q�������q�±Ç��q�3È5Æ��M��È�� ���©�ª�«*¬%ª�«

MST (R ∪ I) ¥ÎGÇ���q��� Ê É § ���i�0ÆD���$� 1

ÄS®.���£Ç����i� Ô �i�q�±Ç��M�±Ç��

� çh�.è�é��^ j�$�aN'e»�è#�?ì&¶�êtgG·i�^��ì¸�è!¹¤ê�¸Rº�,�a��/1032 �·�¤¥¢ ·�©�¬�¢ ·±³ ¿�´W��¢ ·�¤{ !·�©��·�¦�©8¤�¡8´¢¥¤]A*¬YA��¤¹·�¶�·8¡W¬K  ¬��Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ©±¬K¢¥¤¥ªsª�§ 3

2

ªF uÃl¦�¬�¡�¤�´±¯�¤ê��¬F©£¢¥¤{¢ ·*¤{ �¡�¢¹¬K =A0·8¡�>8P©±ª'ª�§�>v|����¨����³Y�����v��±Ç��±Ç���� ð ¥ m ©°���'ÆD��ÆD�q��È�º�z¤�£Å%Å°Æ|Ì ¥ Ì�©�Ç��M�

λ = 13 ¥ ut

 �¹Æ�Å%Ç�È�º¨�D��Ç����M�0ÆD���$�$�¤�����Þ©^��Ç������M��Ç��Æ�q�q���i��¢����q���*�����M���»�v�i�]�����±Å°ÆD���$�¸�0ÆD�±Ç��Ç��cÆ��Mº�Å|�q�����±Ç��'Æ�È�È�º½�±Ç���u�cÇ��^�M���"©^� Ç���Î.Ç���q��� ¶ ¥¸Ô �i��� SMT (R) = MST (R + s) ����

smt = (2k + 1)(1 + ε) ¥� ���M��Å����M��ÆD���M���*Ç����i�0ÆD���$� m ÄS®.���£Ç����i�����i�q�±Ç��M�±Ç�����Æ�����£È��$�i���$� Æ�È�ÈÞ®.���£Ç����i�>�7�i�M�±Ç��$�$�Q�<¹��$�i�q�

s�����¹ÆD� ¥Y­ �����$���7�$��Ç����£Ç��q�i�u�Q�����M���$�G�¨�7�i��Ä

�±Ç��$�$�°��Æ$�7�NÈ��i�q��M�1

ÆD���½�'Æ������D�¤�M���£ÅÝ©DÆ��°�G������i� Æ��PÇ��«���$�����$�$�½�M���mst

�FÆ�È����¢.ºÐ����� ¥ ®�Ç����$�

s��Æ�� �q�i����$�

1��

MST (V ) � �M���¼Ç����i�0ÆD���$� m ÄS®.���£Ç����i�|���i�q�±Ç��M�±Ç���q� �$�>�����NÇ����£È����q�

sÇ��.���°Ç������i�q�M���i�u�����FÈ��q�±Ç���� ÆD���£�M�������ª©�Ç��M� Æ�®.���£Ç����i���M���$���D�

È��i�q��M�3k ¥»­ �������$�M��È��±Ç��q�3È��@©°�i�Q¢v���q��� Ç�� 3k

(2k+1)(1+ε) ∼ 32 ¥²������|�M��ÆD�]Ç���Ç�����ÆD�M�q�0Æ�È»�����q���M���0�����FÇ��$���D�°�M�������<¹ ��®.���£Ç����i���7�i�M���<¹ Ç���Æ

����$�$��º¿©DÆ$º ¥£­ ���¼È��@©°�i� ¢����q���Ï�<¹�Æ�Å|��È��½�D�QÎGÇ���q��� ¶ �q�.�$�*�����hÆD�q��È�º¿���£�M��Ç������$�$��º��7�i����Ç����½�D�¤�M����Ç����i�0ÆD���$� m ÄS®.���£Ç����i�°���i�q�±Ç����±Ç�� � ¢v�$�'ÆD����� s

©«����È��½¢��ª��������i�Ç����M���¨¯������>�M���i� ¥ í Ç�������¹µ´`ËDÌ · �M���"©«�$�£���@©â���|�M�v�$�$�Å�q���M���¨����$�$��ºÅ�7�i���±Ç����£�D��M����Ç����i�0ÆD���$� m ÄS®.���£Ç����i�Q���i�q�±Ç��M�±Ç��¨�I���>Û.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����]Ç����M�0ÆD���$�$� ¥®¼�B CEDGFI±\������¯°�hK�ZtU����!Z���KGS3���[Sx�hUY�]Z�D4L ��K O¼P�F%���[���Ö�uU��RP­D4�

­ ��� È�����Å�$���.�M�0Æ��i�±Ç��q� Æ�È��7���±Ç��M��Åy��Æ�� ÆÏ�v�i�]�����±Å°ÆD���$�4�0ÆD�±Ç�� ≤ 1.279�����Å��©«�

Ç��.���i���$�M�±Ç��q�µ�£È5Æ������$� �D�ª�M�v�$�£Ç5Æ�ÈPÇ����M�0ÆD���$�$��´`Ë Ê�· ¥ ²ª�����½�M��ÆD� �M��Ç��WÇ��*Å������ã¢v�i�M���i�î�m

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 32: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

s

k®.���£Ç����i�>�7�i�M�±Ç��$�$� ��$���7�=È��i�q��M�%$

1

�$���7�=È��i�q��M�&$1 + ε

ÎGÇ���q��� ¶ É Â ©°�����M��ÄW�'Æ����µ�<¹Æ�Å|��È��¡�����Å�M��� Ç����i�0ÆD���$� m ÄS®.���£Ç����i�����i�q�±Ç��M�±Ç��4©�Ç��M��7�i�M���<¹����£Å��@�KÆ�È ¥�M��ÆD�ã�M���Å���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��¿�D�

1.550�M��ÆD�����FÈ��q���I���|�M���Å�7�i���i�0Æ�È>�'Æ���� ¥À­ ����q���.�D�#Ç��Q¢�Æ����$�Ó��� ÆD� Ç����$Û.��Æ�È�Ç��Wº£©^��Ç��G�4���FÈ��q�Q�I���Q�M���$�G���M�v�$�£Ç5Æ�ÈGÇ����M�0ÆD���$�$� ¥>ù �

�����¨�M���������0ÆD�±Ç����Ó�D�»® �$�i�±Ç�����Ì ¥��éDè%+»è2ê"ì,æ"ì,èn¶NjR$�~à'e»�è#�?ì&¶�êtgG·i�^��ì¸�è!¹¤ê�¸Rº�,�a;/10 �8 ²Ã£¦�¬F¡8¤{´�¯�¤ê��¬F©£¢¥¤{¢ ·�¤� �¡£¢¹¬F =A0·�¡0¾¢�·�¤� <·*ã¦�¬F²½¤¥¢&�

mst ≤ 2(smt − loss∗)�ªF²�³�¡?>

8P©±ª'ª�§�> § �ª���kw0�$�$�>�����q���"�7�*�M����Ç����$Ûu��Æ�È�Ç���º��I���>����È�È��$�FÅ|�v�����i�u��� ¥ zÞ�i� r1, r2, . . .¢����M�������$Ûu��Ç����$�¡�7�i�M�±Ç��$�$�]ÆD���v�M���|®.���£Ç����i�¨�7�i�M���<¹ ÆD��� Æ��G�M��Å��*© ¥ È ¥ � ¥ � ¥ �M��ÆD�

Loss = {r1v} ¥ Î����i ≥ 2 � ÆÅ�M�����M���$�M����ÆD�M�Т��i��©«�$�i�

ri

ÆD���r1

��Æ��=È��i�q��M� ÆD�Å���M� |riv|+ |r1v| ≤ 2|riv| ¥ ut

§ ���M���£Ç��R�q��� �D�2�M��ÆD�R�M���i���¼�<¹�Ç������pÆ��$�����M�0ÆD�.�ε > 0

�M���G���M��ÆD�R�M���Q®.���£Ç����i�R�M���$��q����¢�È��£Å Ç��4��0ÆD�q�����'ÆD�q������¢v�hÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD���$�µ�q�¿��� Æ��¹Æ��i�����

1 + ε � Õ¼�i�M� ÆD���³[È5Æ����±Å°ÆD�q�������$��Ƽ���$�����i�±Ç����������FÅâ�7�i�M���<¹��$�@�7�i�«´ ð�· ¥?­ ���Y���$�M��È��±Ç��q��Ç����M�0ÆD���$�$�.ÆD���Ûu��Æ���ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����+ÆD������Æ$�7�^�M���°�q�����v�i�M�Wº��M��ÆD�Y�M���°�������M���$�M�»��Ç��M�0ÆD���$�¼¢v�i�W©«�$�i�°ÆD�.º�W©°�ª�7�i�M�±Ç��$�$�pÇ��?�£Ç��M���i�

1���

2 ¥?­ ��Ç��.Å°ÆD±7�$�?�M���»�I�FÈ�È��@©�Ç��q�������$�£Ç5Æ�È �'Æ����×Ç��.���i���$�M�±Ç��q� ¥��éDè%+»è2ê"ì,æ"ì,èn¶NjR$<f ��§P¢�·�¤{ �¡�¢¹¬K =A0·c¤5¡c¬oA�ªK«9�!²�·£¢ ·m5K©�¬��=%¬F !³�¬F²{²�·±³�5�·+² ·� ^5K¢�¡c¬K©±··�¤¥¢�·�©

1ªF©

2¾#¢�·�  ¢�·�¤{ !·*ã¦�¬F²Â¤{¢&�

mst ≤ 2(smt − loss∗)�ªF²�³�¡�>

8P©±ª'ª�§�>9|¨�i�������*¢uºr ¦ ���$��� ¥ s ¬ �M���*�u��Å�¢��i���D�?���$Û.��Ç����$� ¦ ���$�M� ¥ ®.���£Ç����i� ¬ �7�i�M�±Ç��$�$�Ç��

SMT k ¥ �#È��'ÆD�±È�ºmst ≤ 2(r − 1)

�±Ç����$�*Æ�È�ÈR�$���7�]È��i�q��M���=ÆD���hÆD�+Å���M�2 � ÆD���

smtk ≥ r + s− 1�±Ç����$�

SMT k

�$���u�0�����r + s

�7�i�M�±Ç��$�$� ¥ªù ���'ÆD� Æ�������Å����M��ÆD�Æ�È�È È�����>�$���7�$�>��Æ$�7�]È��i�q��M�

1 � ©^��Ç��G� Ç�Å|��È�Ç��$�loss∗ = s ¥Y­ ���i���<������� �

mst ≤ 2(r − 1) = 2(

(r + s− 1)− s)

≤ 2(smtk − loss∗)

Æ��>�£È5Æ�Ç�Å��$� ¥ ut

î Ë

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 33: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

� çh�.è�é��^ j�$�jN'e»�è#�?ì&¶�êtgG·i�^��ì¸�è!¹¤ê�¸Rº�,�a��/10 ��§ ¢�· ¤� ¡�¢¹¬F =A8· ¤�¡uã¦�¬�¡8¤{´�¯£¤í��¬K©8´¢¥¤¥¢ ·8¾DªK©W¢�·W¡ �ªF©£¢ ·8¡£¢D³K¤5¡£¢¹¬F =A0·3¯0·£¢&:#·�·�  ¬F ;� ¢&:תs¶�·�©£¢¥¤&A8·8¡W¤�¡h·�¤¥¢�·�©

1ªF©

2¾�¢�·� 

¢�·�²�ª�¡0¡oA�ªK �¢¥©�¬YAl¢¥¤� !5 ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�«üA0ªF«v��¦�¢ ·�¡W¬1.279

¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF *§lªF©SMT k

>8P©±ª'ª�§�> § �À�£Ç��M���i�|�'Æ���� � ©«�½��Æ$�7�

mst ≤ 2(smtk − loss∗)¢uºÏ³Y���������Ç��±Ç������ ð ¥ îÆD��� ð ¥ Ì � ÆD���ò�M��Ç�� È��'Æ��q�4��� Æá¢v�i�M���i�¿�$�M�±Ç�Å°ÆD���Ï�����Ó�M���Ð�±Ç���.�¿��ÆD��� �±Ç��q�Ï�D�

z¤�£Å%Å°Æ|Ì ¥ î ¥ ®�Ç����$� 1 + mst−smtk

loss∗ ≤ smtk

loss∗ − 1 � ©«���7�i�

cost (T1, . . . , Timax) ≤ smtk + loss∗ · ln

(

smtk

loss∗− 1

)

.

²��@© ©«���������M���*Ç����$Ûu��Æ�È�Ç���ºloss∗ ≤ smtk/2 ¥ ²Q��Å��i�±Ç��'Æ�È�È�º£�������'ÆD�Ó�����@© �M��ÆD�

max{

x(

ln(

1x− 1))

0 ≤ x ≤ 12

} .= 0.278465 ¥Ï¦�­ ��Ç����KÆ�È����3Ç��WÆD�M�0Æ�Ç����$�µ�I���

x.= 0.217812 < 1/3 ¥}¬|­ �����M���$�����£ÅÃ�I�FÈ�È��@©>� ¥ ut

§ �µÛ.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����|��0ÆD�q���*Æ�����È�È»�$�FÅ|�v�����i�u�*�M��ÆD��Å%Ç���Ç�Å%Ç�Ü@�$���M��� ���q���i�±Ç����fi

�'ÆD�à¢v�������q����Ç��à���FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�È^�±Ç�Å��Å�i�7�i�ã©�Ç��M�����q�|�M���½���M��Æ�ȼ���$�M�M�±Ç��i�±Ç����á����M�������i�±Å%Ç���Æ�È^�u��Å�¢��i� � ���$�¡´`Ë Ê�· �I�����q�i�0Æ�Ç�È�� ¥Ó­ ���i���<�I����� � ©°�Å�'ÆD�Ï���i��È5Æ��$�

smtk©�Ç��M�smt

Ç�� ­ ���$�����£Å ð ¥ ð �I���^Ûu��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����¨��0ÆD�q��� ¥Y­ ���ª�����0Æ�ÈÆ�M�q�q��Ç��q�|�±Ç�Å��Ç��

O(s2r) � ©^���i��� rÇ��¨�M��� �u��Å�¢��i���D�¸���i�±Å%Ç���Æ�È��*ÆD���

sÇ��¨�M��� �.��Å*¢v�i�*�D�«������Ä

���i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥­ ��� �v�i�]�I���±Å°ÆD���$� �0ÆD�±Ç����D�«�M���hÈ�������$���.�M�0Æ��i�±Ç��q��Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç��¿Ûu��Æ���ÇRÄK¢�Ç���ÆD��Ä

�±Ç����|��0ÆD�q����Ç���ÆD�=È��'Æ��M�(5 −

√2)/3 > 1.195 ¥½­ ��Ç��¨�I�FÈ�È��@©>�������FÅú�M���%Ç������0ÆD���$�

�M���"©^� Ç�� ÎGÇ���q��� m@Ñ ¥ö­ ���À®.���£Ç����i��Å%Ç���Ç�Å*��Å6�M���$�Ï�$�����±Ç��M�����D�Tw

ÆD���Tx �©^���i���'Æ����M��� Æ�È��7���±Ç��M��Å �G���.��G�$�

TuÆD���

Tv ¥£Â �����i���M��ÆD� � TwÆD���

TxÆD���������

Ç�Å|�q���"��Ç��q� ÆD�uº�Å������ � ���£�M��� Æ�È��7���±Ç��M��Å ��������� ¥£­ ���½���$�M��È��±Ç��q� È��@©°�i�|¢����q����Ç��(

|Tu|+ |Tv|)/(

|Tw|+ |Tx|)

= (10 − 2√

2)/6.= 1.195 ¥û­ ��� Ç����M�0ÆD���$�¡�M���@©^�

Ç��ÐÎGÇ���q��� mm Ç�Å|��È�Ç��$�*Æ È��"©«�i��¢����q���µ�D�1.2

�I�����M�����v�i�]�����±Å°ÆD���$�|�0ÆD�±Ç��¡�D�°�M���È�����«�$���u�M�0Æ��i�±Ç��q�%Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç����7�i���i�0Æ�È���0ÆD�q��� ¥4 ���Q�'ÆD�������$�G±��M��ÆD�¸�M����®.���£Ç����i�Å%Ç���Ç�Å���ž�M���$� �$�����±Ç������ª�D�¸�M���°³Ù���@© �M���$�$�@Ø � ¢q�q���M���WÆ�È��7���±Ç��M��Å ©�Ç�È�ÈY����� ������M���®.���£Ç����i�>�7�i�M�±Ç��$�$�

sÆD���

t ¥ |¨�i�0Æ�Ç�È��$���'Æ�È��i��È5ÆD�±Ç��������'ÆD��¢����I���q��� Ç��д m@É�· ¥®¼�q '²MG����� s �Û�[P��nU�Zt�[ZtFI��U��RP�D4�}���]Z�D)(�K4���e�xUYL *6�GSxFI±9F%KGS�Z�D��

ù � �'Æ�È�È[ÆD� Ç������0ÆD���$���D�°�M��� ®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å ¦� ¤ §£ªF©�«h²��Ûã¦�¬�¡8¤{´�¯£¤í��¬K©�¢¥¤¥¢ ·%Ç �Ç��NÇ��¨Ûu��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����%ÆD���4�$���7�$�NÇ����£Ç��q�i�u�������M��� �0Æ�Å�� ®.���£Ç����i�¨�7�i�M���<¹Ó��Æ$�7���M����0Æ�Å��3È��i�q��M� ¥0­ ��Ç��*�£È5Æ��G���D��Ç����M�0ÆD���$�$�*�$���.�0Æ�Ç�����Ç��µ��ÆD�M�±Ç��i��È5ÆD���M���|�q�u©°�£Ç���u���$�Ç����M�0ÆD���$�$�WÆD��� � Å������3Ç��u���i���$�M�±Ç��q�KÈ�º � �M���%Ç������0ÆD���$�$���q��� �����$�$�µ¢uº Æ�È�È»± ���@©^�Ï����Ä�����i�±Ç�������´ ð � îÑD· �M��ÆD�>�q���@�7�]È��@©«�i�ª¢����q���q�^�����^�M����ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����Ó�M�q���$�M���FÈ����D��M���*®.���£Ç����i�ª�M���$���q����¢�È��£Å ¥

ù ���q���$���i�u��Ç����M��Ç��>���$�i�±Ç�����ÆD� Æ�È��7���±Ç��M��ÅÇ�I���>�M�����¡�M���$�£Ç5Æ�È6Ç����M�0ÆD���$�$�>©^��Ç��G���Æ��pÆ^�v�i�]�����±Å°ÆD���$�«�0ÆD�±Ç����D�

1.217�������q��Ç �����±Å%È�º�Ûu��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����#Ç����M�0ÆD���$�$� ¥?­ ��Ç��

îî

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 34: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

+,

-

.

√2

√23−

√2

3−√

2

2−√

22−√

2

11

1 1

1

1

ê æ

ÎGÇ���q��� m@Ñ É ¦ È��<��� ¬� Û.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����1.195

È��"©«�i�|¢v���q���Ï�<¹Æ�Å|��È����������M���¼È������$���u�M�0Æ��i�±Ç��q� Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥ÎGÇ���q��� mm É ¦ �±Ç���u� ¬»Â ������ÄWÛ.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����

1.2È��@©°�i�¸¢v���q���hÇ����M�0ÆD���$�¼�I���Y�M���DÈ�����

�$���u�M�0Æ��i�±Ç��q� Æ�È��7���±Ç��M��Å ¥¨Â È�È��$���7�$�¨�D�»�M���*���"© �M���$�$�ª��Æ@�7��È��i�q��M�5 ¥Q­ ��� �$���7�$�

Ç����£Ç��q�i�u�ª���s

ÆD���t��Æ$�7�*©«�£Ç���u���

9ÆD���

6 � ���$�M�v�$�i�±Ç��7�£È�º ¥

Æ�È��7���±Ç��M��Å ���G�$�*�M���°Ç��q�'Æ��M��ÆD�*�M���Å®.���£Ç����i���M���$�0�q����¢�È��£Å Ç����±Ç�Å%Ç�È5ÆD�������M���0�G�i��$�@�7�i���q����¢�È��£Å Ç��Ó���FÅ������$�M�v�$�i� ¥ íÓ�����$�@�7�i� � ©«�*�'ÆD�Ó�M���@© �M��ÆD�Q�M���WÆD��Æ�È�º ��Ç��Q�D��M����Æ�È��7���±Ç��M��ÅoÇ��>�±Ç���u� ¥Î����#ÆD�°Ç����M�0ÆD���$�>�D�2�M����®.���£Ç����i�»�M���$�^�q����¢�È��£Å ÆD���°Æ¨�$�������0ÆD�u�

k � ©°�>�$�����±Ç��q�i��M���»�I�FÈ�È��@©�Ç��q���uº �v�i�M��0ÆD�q� �����M���¸�G�i���D�����i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥R ���i�?�D��ÆD�6Å���M�k���i�±Å%Ç���Æ�È��

Ç��GÆQ�uº �v�i���$���7�#Ç ���M���^®.���£Ç����i�pÅ%Ç���Ç�Å*��Å �M���$�¸�����GÇ��6Ç�������È�È ¥�­ ���#È��i�q��M� �D���M��Ç��Þ�.º�Ä���i���$���7�DÇ��R�KÇ��7�i� ¢.º��M���PÈ��i�q��M���D�2�M���>®.���£Ç����i�[Å%Ç���Ç�Å���Å �M���$� ¥R­ ��Ç��Y�uº ���i�M��0ÆD�q��'ÆD�£¢v�*�$�����M�M�M���i���$��Ç����v�FÈ�º.���FÅ%Ç5Æ�È?�±Ç�Å�� ¥ ÎGÇ�����Ç��q�sÆ0�M�����M���$�M�

kÄS®.���£Ç����i���M���$�]Ç��

�$Ûu��Ç��KÆ�È��i�u����� ¯�����Ç��q� Æ%Å%Ç���Ç�Å���ž�M��ÆD�q��Ç��q�½�M�q¢q��0ÆD�q� Ç����M��Ç��Q�.º.�v�i�M��0ÆD�q� ¥^§ ��7�i���i�0Æ�È2�.º.�v�i�M��0ÆD�q���¼�M��Ç��«�q����¢�È��£Å Ç��«±.���"©^� Æ��«�M���*«W¤{ ¤{«h¦�« ¡[��¬F � ¤� !5*¡8¦¯8¡l·£¢��©±ª�¯�² ·�«{¿]ð£����Á ¥ § �#Ç���Æ��7�i���i�0Æ�È�Ç�ÜAÆD�±Ç������D���M���¨���i�¼�$�@�7�i�^�q����¢�È��£Å ¥»§ �¤�M�����uº ���i��Ä�$���7�$����Æ$�7���±Ç�Ü@�3ÆD�=Å���M�

k � �M��� ����$�$��º Æ�È��7���±Ç��M��Å �I�����M��Ç����q����¢�È��£Å ¦ � ���$�$��º�Äí4®q® ¬ ��Æ���ƽ���i�]�I���±Å°ÆD���$�|�0ÆD�±Ç����D�Hk � ©^���i��� Hk =

∑ki=1 1/i = ln k + O(1)´ î�m � Ë · ¥�­ ��Ç��]Ç���¢v�$�M���v����±Ç�¢�È���´ m Ë · ¥½Â �±Ç�Å|��È����$�FÅ*¢�Ç���ÆD�±Ç����ã�D�¼�M��Ç��*Æ�È��7���±Ç��M��Å

©�Ç��M���M����®.���£Ç����i�>�0ÆD�±Ç��¼ÆD��Æ�È�º �±Ç��>º�Ç��£È��q�+Æ|���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç����D�ρk ·Hk−1 ≥ 2 ¥

§ �¡�'Æ������D�»�M���]Ç����M�0ÆD���$�$��Ç��������$�$�Ó¢uº��M���kÄS®.���£Ç����i�¨�M���$���q����¢�È��£Å � ©°���M��Æ�È�È

�������M���*�I�FÈ�È��@©�Ç��q�½�q�������i�M��º!É § � t′Ç��NÆ��M�q¢��G�i�ª�D�#Æ��G�i�

t�D�»���i�±Å%Ç���Æ�È�� � �M���i�£�M���

³`�$��M�@Ø����£�$���q���$�i�t′���i���q������¢v�0��Å°Æ�È�È��i���M��ÆD�À�M�����$����*���£�$���q���$�i�

t ¥Åù ��Ç�È���M��Ç�� �q�������i�M��º�Ç����¹ÆD���k���FÅ÷¢v�£Ç��q�4�FÆ�È�Ç���Ç��à�M���½�7�i���i�0Æ�ÈQí4®q®Ð�q����¢�È��£Å � Ç��À�q��ÇRÄ�����±Å%È�º½Ûu��Æ���ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç�����Ç����M�0ÆD���$�$�^�M���¨�$��M�DÇ��¼�i�7�i���q���������M�±Ç�����Æ�ÈÆ�����M�����u��Å�¢��i��D�����i�±Å%Ç���Æ�È�� ¥¸­ ��Ç���Ç�Å|��È�Ç��$��Ç��Å��ÆD�M�±Ç��i��È5ÆD�>�M��ÆD�^�M�������FÈ��q�±Ç������$���.�0Æ�Ç����^���|�iº �£È��$� ¥

î Ì

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 35: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

 È��7���±Ç��M��Å � ���$�$��º�ÄWí4®q®�Æ�� �q�$���i�±Ç�¢v�$� Ç��Á´`Ë · ÆD�q��È�Ç��$�Ï���Ó�q��Ç �I���±Å%È�ºÏÛ.��Æ��±ÇRÄ¢�Ç���ÆD�M�±Ç�����Ç����M�0ÆD���$�$�0¯����3Ç��u���Ï�M�����7�i���i�0Æ�Ȫ���0Æ�Å��i©«���M± ¥Á ������Å����M��ÆD�0�M���£�uº�Ä�v�i���$���7�$�

t1, . . . , ti−1��Æ@�7� Æ�È����'Æ���ºÏ¢��$�i�à���£È��$�i���$� ÆD���À�q�i��������¢.º

ci−1(t)�M���

�q�$�i���'Æ����+Ç��0�M���Q�u��Å*¢v�i�^�D�¤�$�FÅ|�������i�.���#Ç �¤�M���Q�uº ���i���$���7�tÇ��#Æ��q�q�$� ¥»­ ���i���M���

���£È��$�i�±Ç������k�q���i�±Ç���� Ç��>�M���6³`�$��M�^�v�i�>�$���q���$�i�±Ç����¤Ø��0ÆD�±Ç��

fi−1(t) :=|t|

ci−1(t).

� çh�.è�é��^ j�$<�à'0/½é��%+¼��g1��è�åh�2ëqé2��º;g43�ì�ué�çÞè�5\gQ�*é��n ��^�v,"!�;/�0-2 �·v5�·� !·�©±¬F²§�©�¬K«3·Ä:תF©0­}:[¤¥¢ ¢�·�§8¦� =Al¢¥¤ ªF 

fi−1(t) := |t|ci−1(t)

5K¤�¶�·�¡s¬1.217

¬����!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤ ªF §lªF©]¢�·���¢ ·�¤{ !·�©]¢¥©�·�·\��©±ª�¯�² ·�« ¤� �¦� �¤ §lªF©�«W² �°Ã£¦�¬�¡�¤�´±¯�¤í��¬F©�¢¥¤¥¢ ·_5F©±¬��%�¡�>8P©±ª'ª�§�>vz¤�i�

t∗¢v�#Æ>�uº ���i���$���7�°�D���M���¸���q�±Ç�Å°Æ�È����FÈ��q�±Ç���� ¥?ù �»± ���@©À�M��ÆD�Þ©^���i���M���

Æ�È��7���±Ç��M��Å �q�$�£Ç��q�$���������£È��$�i�ti � �M���i���Q©DÆ��DÆ*�$�FÅ|���i�±Ç��q�hÅ%Ç���Ç�Å°Æ�Èv�M�q¢q�uº �v�i���$���7�

t∗′ ⊂ t∗©�Ç��M�

ci−1(t∗′) = ci−1(t

∗) ¥� � t∗′�$���M���$�M�v�����q�¤���NÆ^�M�0ÆD�Þ©�Ç��M�

ci−1(t∗)+1�$���7�$� � ©°��± ���@©â�M��ÆD�

|t∗′| =ci−1(t

∗) + 1

c0(t∗) + 1· |t∗| . ¦ Ë Ñ ¬

® �£�M���3È��i�q��M�à�D��Æ��M�q¢q�.º.�v�i���$���7�°Ç��������q���È�º¿�q�����v���M�±Ç�����Æ�È°���£�M�����.��Å*¢v�i� �D��$���q���$�i�±Ç������ Ç��½º�Ç��£È��q� ¦ �$�M�v�$�£Ç5Æ�È�È�ºã�I���°È5ÆD�M�7�4�M�0ÆD��� ¬ ÆD���Ä©°�¡�7�i�½�M���£���FÈ�È��"©�Ç��q�Ç����$Û.��Æ�È�Ç��Wº ¥|ti|

ci−1(ti)≤ |t∗′|

ci−1(t∗′)=

ci−1(t∗)+1c0(t∗)+1 |t∗|ci−1(t∗)

=

(

1 +1

ci−1(t∗)

) |t∗|c0(t∗) + 1

. ¦ Ë m ¬zÞ�i�

ALG := {t1, . . . , timax} ÆD���

OPT¢����M�����uº �v�i���$���7�$���D�+ÆD�Ð���q�±Ç�Å°Æ�È

���FÈ��q�±Ç���� ¥û§ �á�����q�i�0���µ�$�M�±Ç�Å°ÆD���£�M��� È��i�q��M�ø�D�ALG

Ç��á���i�±Å����D�¨�M��� È��i�q��M��D�

OPT � ©«� Ç��.�M���.�����$� ÆD�M�±Ç ¯��£Ç5Æ�È��$���7�¡�G�i���A

���$�M� ¥ A∗ �������M��� Æ�È��7���±Ç��M��Å%Ç��ÆD���������ª�M���*���q�±Ç�Å°Æ�ÈR���FÈ��q�±Ç����£���°Å%Ç�Å%Ç��*�M�����$���q���$�i�±Ç�������Æ��$�$�FÅ|��È�Ç������$�¡¢.º��M����.º.�v�i���$���7�$�Q�D�Y¢v���M�����FÈ��q�±Ç������ ¥¸­ ���i�¡©«����Ç����M�±Ç�¢q�q�����M���=È��i�q��M�Ó�D�?�M�����$���7�$�+Ç��A

Æ�Å����q���M������=Ç��A∗ ���±Ç��q�¼ÆWÅ°ÆD�M���FÇ���ÄW���Wº�È��*�<¹q����ÆD�q�7�*ÆD�M���Å��i�.� ¥zÞ�i�

ALG i := {t1, . . . , ti} ¥�ù �0�q�<¯����`i ∈ N

ÆD���a1, . . . , a`i

∈(

R2

) �M���G��M��ÆD�

Ai := {a1, . . . , a`i} ��Æ��ª�M�����8Æ�Å����$���q���$�i���$�4�$�FÅ|�v�����i�u���]Æ��

ALG i ¥ªù ��M�0ÆD�M� ©�Ç��M�

`0 := 0ÆD���

A0 := ALG0 = ∅ ÆD���à���i�`i := `i−1 + ci−1(ti) =

`i−1 + c0(ti) ¥?­ ���ª���i©ø�$���7�$�a`i−1+1, . . . , a`i

⊆ ti�I���±Å ÆD�sÆD�M¢�Ç��M�0ÆD�Mº��M��ÆD�q��Ç��q�

�M���$� �I�����M��� �7�i�M�±Ç��$�$�*�D�ti ¥�­ ���3È��i�q��M�Ð�D�

tiÇ�����Ç��M�M�±Ç�¢q�q���$�µ�q��Ç �I���±Å%È�º Æ�Å����q�

�M�������i© �$���7�$� � Ç ¥ � ¥�� �M���£Ç��hÈ��i�q��M���%ÆD��� |a`i−1+1|, . . . , |a`i| := |ti|/(`i − `i−1) ¥z¤�i�

A := A`imax¥Q¦ �#È��'ÆD�±È�º � `imax

Ç��^�M�����u��Å*¢v�i�Q�D�R���i�±Å%Ç���Æ�È��+Å%Ç��.���Q����� ¥}¬zÞ�i�A∗

0 := ∅ ÆD���T0 := OPT ¥µù �Å�M���$�$�$�G�±Ç��7�£È�ºÏ�q�<¯����Å�M���$�$�

A∗j ⊆

(

R2

)

ÆD���4�.º.�v�i�M�M���$�$�Tj � j > 0 ¥|­ ���q�<¯����

A∗j

©«�3Ç������i�M���M���|�$���7�$�*�D�A

�����3Æ������i�îð

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 36: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

ÆD�����M���i� ¥ Î����*�'Æ��G�j = 1, . . . , `imax

�M���i���°ÆD��� �W©°���v����±Ç�¢�Ç�È�Ç��±Ç��$� ¥|§ � aj ∈ Tj−1�M���i��©«��È��i�a∗j := aj

ÆD���Tj := Tj−1 ¥� �M���i�M©�Ç���� � Tj−1 + aj

�$���u�0Æ�Ç�����Æ �iº �£È�� ¥Â � A

Ç���ƽ�M���$� � �M��Ç����iº �£È��3Å*���M�*�$���.�0Æ�Ç���ƽ�.º.�v�i���$���7�t∗ ∈ Tj−1 \ A ¥ ù �%È��i�

T ′j−1 := Tj−1− t∗

ÆD�����G���.��G�NÆD�Å�$���7�a∗j ⊆ t∗

©^��Ç������$���q���$�i���°�q���$�£Ç����£È�º��M����G��W©°���$�FÅ|�v�����i�u���Y�D�

T ′j−1

©^��Ç����|�$���.�0Æ�Ç����M���°�i�����v�FÇ��u���Y�D�aj ¥�ù �¸���£Å��"�7�°�����°�D�

�M���>�i�����v�FÇ��u���°�D�a∗j

�k���FÅt∗

������¢q�0Æ�Ç��t∗′ ¥ ÎGÇ���Æ�È�È�º � ©«�cÈ��i�

Tj := T ′j−1 + t∗′+aj �©^��Ç���� Ç��%ÆD��Æ�Ç��ÿÆ£�M��ÆD�q��Ç��q�4�M�q¢q�.º.�v�i�M��0ÆD�q�ã©�Ç��M�����q�|�iº �£È��$� ¥Ó§ �Ï�M��Ç���©PÆ@º � ©«���Æ$�7�����i��È5Æ��$�$�£�������D���M�����$���q���$�i�±Ç������cÇ��

OPT©�Ç��M���������k���FÅ

ALG � ��� � Å�������q���$�£Ç����£È�º � A ¥Q§ �£¢v���M�¡�'Æ��G�$�Q©°�����i�

A∗j := A∗

j−1 + a∗j ¥ z¤�i� A∗ := A∗`imax

¥>­ ������i��È5Æ��$�£Å��i�u���q���.�$�$�G�>�q�<¯����$��Æ�¢�Ç ÂM�$�i�±Ç����ϕ : A↔ A∗ ¢uº

ϕ(aj) := a∗j ¥²��������M��ÆD�^�I���>�i�7�i�Mº½�$���7�a∗ ∈ A∗ �M���i���=Ç��+Æ��q��Ç�Û.�����uº �v�i���$���7�

t∗ ∈ OPT©�Ç��M�a∗ ⊆ t∗ � ¢��$�'ÆD����� OPT

�$���u�0Æ�Ç����|���4�iº��£È�� ¥ Î����|�i�7�i�MºÐ�.º.�v�i���$���7�t∗ ∈

OPT � �M���°�G�i�»�D���$���q���$�i�±Ç������»©^��Ç��G����Æ$�7�¼�����Yº7�i�Y¢v�$�i� ���£Å��@�7�$���k���FÅrÇ��»���q�±Ç��q��M���¼���i��È5Æ��$�£Å��i�u�¼�M���i���

j = 1, . . . , `i

��Ui(t

∗) := { a∗ ∈ A∗\A∗`i| a∗ ⊆ t∗ } ¥ z¤�i�

ui(t∗) := #Ui(t

∗) ¥¸­ ���i���M�����u��Å�¢��i���D�»�$���q���$�i�±Ç������>���£Å��@�7�$�£�����FÅt∗

���q�±Ç��q��M�������i��È5Æ��$�£Å��i�u�¨�M���i���

j = `i−1 + 1, . . . , `i

Ç��ui−1(t

∗)− ui(t∗) ¥

­ ����ÆD¢v�@�7���q�<¯���Ç��±Ç�������Ç�Å|��È�º½�M��ÆD�

|ALG | =imax∑

i=1

|ti| =∑

a∈A

|a| =∑

a∗∈A∗

|ϕ−1(a∗)|

=∑

t∗∈OPT

a∗⊆t∗

a∗∈A∗

|ϕ−1(a∗)|

=∑

t∗∈OPT

imax∑

i=1

a∗⊆t∗

a∗∈A∗

`i\A∗

`i−1

|ϕ−1(a∗)|

=∑

t∗∈OPT

imax∑

i=1

(

ui−1(t∗)− ui(t

∗)) |ti|

ci−1(ti). ¦ ËË ¬

ù ���'ÆD�£�$�M�±Ç�Å°ÆD�����M����Ç��q���i�Q�M��ÅÃ���±Ç��q� ¦ Ë m ¬ Ç����M���¨�I�FÈ�È��@©�Ç��q��©DÆ$º ¥imax∑

i=1

(

ui−1(t∗)− ui(t

∗)) |ti|

ci−1(ti)

≤imax∑

i=1

(

ui−1(t∗)− ui(t

∗))

(

1 +1

ci−1(t∗)

) |t∗|c0(t∗) + 1

îÉ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 37: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

= |t∗| ·u0(t

∗)− uimax(t∗) +

∑imax

i=1

ui−1(t∗)− ui(t

∗)

ci−1(t∗)

c0(t∗) + 1. ¦ Ë î ¬

§ ���M�����u��Å��i�0ÆD�����^©«����Æ@�7�u0(t

∗) = c0(t∗)

ÆD���uimax

(t∗) = 0 ¥Y­ ����Ç����$Ûu��Æ�È�Ç���ºci−1(t

∗) ≥ ui−1(t∗)

Ç��ª�KÆ�È�Ç��¡�����=Æ�È�Èi � �±Ç����$� Ui−1(t

∗) ⊆ A∗ �$���u�0Æ�Ç��������Å�iº��£È��$�ÆD��� Ç����Q�$���7�$��ÆD���*�$���u�0Æ�Ç����$��Ç��

t∗ � ¢q�q� � ¢uº��q�<¯���Ç��±Ç���� � Æ��q��Ç��q�0�M���*©^���FÈ��t∗

���ALG i−1

©°����È��¿º�Ç��£È��ci−1(t

∗)���i© �$���q���$�i�±Ç������ ¥� � u0(t

∗), . . . , uimax(t∗)

Ç��=Æ������ĹÇ����i���'Æ��±Ç��q�½���$Û.���i���$���D�?��ÆD�M�q�0Æ�ÈÞ�u��Å*¢v�i��� �

imax∑

i=1

ui−1(t∗)− ui(t

∗)

ci−1(t∗)≤

imax∑

i=1

ui−1(t∗)− ui(t

∗)

ui−1(t∗)

≤ H(u0(t∗))−H(uimax

(t∗)) = H(c0(t∗)) .

ù �¨��Æ@�7�c0(t

∗) + H(c0(t∗))

c0(t∗) + 1≤ max

x∈ 6x + H(x)

x + 1=

4 + H(4)

4 + 1=

73

60,

��� ¦ Ë î ¬ Ç��^¢����q���q�$��¢uº 7360 |t∗| ¥ ³Y�q�M�±Ç��q�0�M��Ç��q�7�>�����7�i�M���i� � ©°����¢q�0Æ�Ç��

|ALG | =∑

t∗∈OPT

imax∑

i=1

(

ui−1(t∗)− ui(t

∗)) |ti|

ci−1(ti)

≤∑

t∗∈OPT

|t∗| · 7360

=73

60· |OPT | ,

Æ��>�q�$��Ç����$� ¥ ut

 � Ç��.���i���$�M�±Ç��q�Ó���'ÆD�M�q���½�D�Q�M��� � ���$�$��º�ÄWí¿®q®�Æ�È��7���±Ç��M��Å Ç����M��ÆD� ©«����Æ$�7� ÆÅ°ÆD���G��Ç��q�°È��@©°�i�Q¢v���q��� Ç����M�0ÆD���$� � �M��ÆD�+Ç�� � �M����ÆD��Æ�È�º��±Ç���Ç��^�±Ç���.� ¥zÞ�i�

p ∈ N ¥�­ �������i�±Å%Ç���Æ�È�� {ri,j}i,j=1,...,p�D�«���q��Ç����M�0ÆD���$�%ÆD���%ÆD�M�0ÆD�q�7�$� Ç��

�I���±ÅÚ�D�6Æp×p

��±Ç�� ¥Rù �+Æ�È����*��Æ$�7�Nƨ���i�±Å%Ç���Æ�Èr0 ¥R­ ���Q���i�¸�D�Æ�v�����i�u�±Ç5Æ�ÈÆ®.���£Ç����i��7�i�M�±Ç��$�$�*Ç��

U ∪W � ©^���i��� U = {u1, . . . , up}ÆD���

W := {w1, . . . , wp} ¥ Ã×Æ����ui

��]������$�i�u�����r0

ÆD���4���ri,j

�I����Æ�È�Èj � ÆD���¿�'Æ����

wj

��]���±��$�i�.�����r0

ÆD������

ri,j

�����+Æ�È�Èi ¥¸­ �������q�±Ç�Å°Æ�È����FÈ��q�±Ç����£�����$�^�M����®.���£Ç����i�>�7�i�M�±Ç��$�$�

W ¥Y È�Ȥ�$���7�$�Ç����£Ç��q�i�.�Q���

wi ∈W��Æ@�7�]È��i�q��M� 1

p+1 � ��� smt ≤ p ¥ ® �$��ÎGÇ���q��� m Ë��I���^�M�����'Æ����p = 4 ¥zÞ�i�

v ∈ U ∪WÆD���3È��i�

fi(v) := mint fi(t) � ©^���i��� t�0ÆD�q�7�$�°�@�7�i�DÆ�È�È2�M�q¢����i���

�D���M���¼���£Ç���.¢����M��� � �|�D�v ¥ ²ª�����°�M��ÆD�Y�M���DÅ%Ç���Ç�Å���Å Ç��JÆD�M�0Æ�Ç����$�������JÆ�È�È�Å°Æ�¹�Ç�Å°Æ�È

î ï

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 38: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

t�M��ÆD�#Ç��u���i�����$�i�«©�Ç��M���'Æ��G���$�FÅ|�v�����i�u�«�D�

(R, {t1, . . . , ti})ÆD�JÅ���M�°�����$� ¥? �#Æ�È�È

�M���$���t�$���q���$�i�^�M���¨�0Æ�Å����$�FÅ|�v�����i�u��� � �M���£Ç��>���Æ�$�i�DÇ��¼�M�����8Æ�Å�� ¥Y­ ���i���<������� � Ç���q��Ç �����±Å%È�ºÅÛ.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç����=Ç����M�0ÆD���$�$�^�M���*Æ�È��7���±Ç��M��ÅÇ���v�$�i�±Ç��7�£È�ºÅ����� ����$�ª®.���£Ç����i�

�7�i�M�±Ç��$�$�vi

Å%Ç���Ç�Å%Ç�ÜlÇ��q�fi−1(vi) ¥ù ��©�Ç�È�ȼ�I�����$� � ���$�$��º�ÄWí4®q®Ï���Ð����� ����Å�M���¡®.���£Ç����i���7�i�M�±Ç��$�$�

u1, . . . , up

Ç���M��Ç��»�����q�i�Y¢uº �q�<¯���Ç��q���M����È��i�q��M���¸�D�2�M���>�$���7�$�[Ç����£Ç��q�i�.�»���¨�M���Q®.���£Ç����i�»�7�i�M�±Ç��$�$�ui ∈ U

Ç��Ï�M���G��Æ�©PÆ$ºÐ�M��ÆD�fi−1(ui) ≤ fi−1(wj)

�����hÆ�È�Èi

ÆD���j ¥ ²��������M��ÆD�

Æ��q��Ç��q��ÆD�ε > 0

�����M���hÈ��i�q��M�Ð�D�«�M���|���q�±Ç�Å°Æ�È°�$���7�$��©«����È��¿¢q���'ÆD±Ó�M��� �±Ç��%Ç�����q�>�¹Æ$�7��� ¥ Õ°º��Mº�Å%Å��i�M�Mº � fi−1(wj)

��+����q�i���i���q�i�.���D�j

Ç��Ó�'Æ����4�M���i� ¥ �#È��'ÆD�±È�º�M���¨�$���7��È��i�q��M���«�I���

u1Å����M�¼¢�� 1

p+1 � �M���ª�8Æ�Å���Æ��«�I���w1, . . . , wp ¥ � Ç��7�i���M��ÆD�

�M���+Æ�È��7���±Ç��M��Å ��Æ��×Æ�È����'Æ���º���Ç���±7�$�u1, . . . , ui � ©«�>�'Æ�È��i��È5ÆD���Q�M���^�$���7�DÈ��i�q��M���Y�I���

ui+1Æ��Y�I�FÈ�È��@©>� ¥ Î����#Æ�È�È

j � �M���^���i�±Å%Ç���Æ�È��r1,j, . . . , ri,j

ÆD���+Æ�È����'Æ���º|�$���q���$�i���$�����r0 � �G��©«�Q��Æ$�7�

fi(wj) = p+1−i(p+1)(p−i) ¥i ���M���Q���M���i�«��ÆD��� � ui+1

©�Ç�È�È��M�±Ç�È�È2�$���q���$�i�p���i�±Å%Ç���Æ�È������

r0 ¥�­ �Å¢v���$�FÅ|�v�i�±Ç��±Ç��7� ©�Ç��M�wj � Ç������$���7�hÈ��i�q��M���*�'ÆD� Æ��q�4�q�

���p · fi(wj) = p(p+1−i)

(p+1)(p−i) ¥�­ ���i���<�I������©«�WÈ��i���M����È��i�q��M�¿�D�¸�M��� �$���7�$�NÇ����£Ç��q�i�u����

ui

¢v� p(p+1−i)(p+1)2(p−i)

¥­ ���°�0ÆD�±Ç��Q¢v�i�W©°�$�i�|�M���×È��i�q��M���Y�D���M����Æ�È��7���±Ç��M��Å%Ç���ÆD�����M���«���q�±Ç�Å°Æ�Èq���FÈ��q�±Ç����

��(

p−1∑

i=0

p(p + 1− i)

(p + 1)(p− i)

)/

p =

p−1∑

i=0

(p− i) + 1

(p + 1)(p− i)=

p + H(p)

p + 1.

­ ��Ç����k�0Æ��i�±Ç���� Ç���Å°Æ�¹�Ç�Å%Ç�Ü@�$�Ó�I���p = 4

©^���i���WÇ��NÅ°ÆD�������$���M�������ÆD�0ÆD�u���$�$�µ���i��Ä�����±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç��½�D�

73/60�q���@�7�$� ÆD¢v�@�7� ¥Q­ ����©«��������ÄW�'Æ�����Ç������0ÆD���$��Ç����M���@©^� Ç��

ÎGÇ���q��� m Ë ¥Â ���q�u©«�£Ç���.���$�Ó©«�����M��ÄW�'Æ����]Ç����M�0ÆD���$����Æ��^¢v�$�i���q���$���i�.���$� Ç��µ´ m@ÉD· ¥

7 8 YcbW_�U*UWX<Y[Z]\0^`_�uh\�e�\�a!ÿ þ m[i��We�a�i

 ��ÆD�M�q�0Æ�È Û.���$�M�±Ç����WÆD¢v���q�GÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����3Æ�È��7���±Ç��M��Å����I���Þ�M���°®.���£Ç����i�?�M���$�»�q����¢�ÄÈ��£ÅoÇ��ª���@© �±Å°Æ�È�ÈÞ�M���£Ç��ª���i�]�I���±Å°ÆD���$���0ÆD�±Ç����'ÆD�¡�7�i� ¥^§ �¡�M��Ç��ª���$�i�±Ç����¡©«���M�q�M�7�iº���FÅ������$�M��È����>�M��ÆD�Q�q�'Æ�Ȥ©�Ç��M���M��Ç��>Û.���$�M�±Ç���� ¥

 �*Æ�È����'Æ���º Å��i�u�±Ç������$��Ç��µ�M���°Ç��u�M��� �����i�±Ç���� � Ç��]Ç���± ���@©^�Ï�M��ÆD�*�M�����v�i�]�I����ÄÅ°ÆD���$���0ÆD�±Ç��¡�D��ÆÅ�v�FÈ�º ���FÅ%Ç5Æ�ȸ�±Ç�Å��°ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Åõ�I�����M���½®.���£Ç����i��M���$�|�q����¢�È��£Å Ç��Ð��0ÆD�q���*�'ÆD�µ�������7�i�WÆD�M¢�Ç��M�0ÆD�±Ç�È�º4�£È���G�|��� m � �q��È��$�G�

P = NP ¥­ ��Ç��sÇ�� ÆÐ�$�������$Û.���i���$�Ó�D���M�����¹Æ�Å������ų��°³pÄ ­ ���$�����£Åy�����¡���  �����0Æ � zÆ�q��� �í¡����©PÆD��Ç � ®.���ÆD� ÆD����®.Ü@�i�7�$��º4´ m<· �����7�i�M���i�^©�Ç��M� Æ����$�����i�±Ç�������������� Õ¼�i�M� ÆD���³[È5Æ����±Å°ÆD�q�Ï´ ðD· ¥� ç��uè2é��! ��$&"('Mä�éDè�éDë��7æ�ë;��$�,r"^/egQ�@�ué�¶4gQ�o�këqê@ê� µë;¶Q¶�,�j!/10 2 �·�©�·%·*�F¤�¡�¢{¡¡£ªF«°·@A�ªK �¡�¢¹¬F �¢

c > 1¡8¦�A��¢�¬�¢# !ª���ªF²��F �ªK«W¤ ¬F²6¢¥¤{«°·h¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F²�5�ªF©�¤{¢�«

îÊ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 39: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

15

15

15

15

15

1675

625

825

ÎGÇ���q��� m Ë�É Â ©«�����M��ÄW�'Æ����DÇ������0ÆD���$�¸�I���R�M����Æ�È��7���±Ç��M��Å �����?�q��Ç �����±Å%È�º�Ûu��Æ���ÇRÄK¢�Ç���ÆD��Ä�±Ç�������0ÆD�q��� ¥

§lªF©�¢�·���¢ ·£¤� !·£©�¢¥©±·0·9��©±ª�¯�² ·�«`¤� Û5F©±¬��%�¡ÜA0¬F u�¬F¶�·h¬Ö��·£©�§lªF©�«%¬K =A0·W©±¬K¢¥¤ ª¼¡8«3¬F²{²�·�©¢�¬K 

c¾J¦� �²�·8¡8¡

P = NP>

­ ���^�$�������0ÆD�u� cÇ��|�M���cÆD¢v�@�7�^�M���$�����£ÅÚ�$����È��hÇ��|�q�±Ç����£Ç���È��Q¢��¼�<¹��M�0Æ��i���$� �����FÅ

�M���Q�q���.�D�I� � ���"©«�i�7�i�DÇ��»©«����È����M�q�M�����q�«����¢v�Q�<¹��M���£Å��£È�º �£È���G�>���1 ¥R­ ���>���'Æ��G����I���»�M��Ç��#Ç��JÅ°Æ�Ç���È�º|�M��ÆD�¸�M���ª�$�����M�0ÆD�u���#Ç��u�7�FÈ��7�$�sÇ����M���>¯����M�¸�7�i����Ç������D�Æ�M���Q³��°³[Ä

­ ���$�����£ÅoÆD�����7�i�Mº3È5ÆD�M�7� ¥»Â �q��Ç��±Ç�����Æ�È�È�º � �M���ª���$�����i�±Ç������D�?Õ°�i�M� ÆD���ų[È5Æ�����Å°ÆD�q�©^��Ç��G�Á���$�����$�$�Å�M���¡�q����¢�È��£Åײ��.�q��Ä1�°�"�7�i��ÄWÕ¾���Ï�M���µ®.���£Ç����i�Å�M���$�Ó�q����¢�È��£ÅæÇ����0ÆD�q��� � Æ�È���� È�����$��Ç��µ�M���|������Ä�ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç���ºÏ�$�����M�0ÆD�.� ¥ ²��i�7�i�M�M���£È��$��� � �M���£Ç�����$�����i�±Ç���� Ç����M�±Ç�È�ÈR�M��� �±Ç���.���$�M�����$�����i�±Ç����µ± ���@©^�¿¢v�i�W©«�$�i�Ð�M���$�����W©«�Å�q����¢�È��£Å��ÆD��� Ç�Å|�q���"�7�$�Á������Ä�ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç��Wºâ���$����È����½�����Å�M���¿²��.�q��Ä1�°�"�7�i��ÄWÕ �q����¢�È��£ÅÆ�È����*Ç�Å|�q���@�7���M���ª������Ä�ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç���º����$�M��È����°�I���«�M����®.���£Ç����i�^�M���$���q����¢�È��£Å Ç����0ÆD�q��� ¥¸­ ���i���<��������©°���<¹���È5Æ�Ç����M���£Ç��>���$�����i�±Ç���� Ç�� Å������*�q�i�0Æ�Ç�Ȥ¢��£È��"© ¥

­ ����²ª� �q��Ä1�°�@�7�i���q����¢�È��£Å Æ���± �������*Æ Å%Ç���Ç�Å*��Å÷���i�*�D�^��� �q�$�]Ç���Æ���0ÆD�q� ��M���G�ó�M��ÆD���i�7�i�Mºø�$���7� Ç��ó�M���4��0ÆD�q� Ç�� Ç����£Ç��q�i�u����� ÆD� È��'Æ��M�������Ó���.�q�¡�����FÅ�M��Ç��>�G�i� ¥ ²ª� �q��Ä1�°�@�7�i��ÄWÕ Ç��^�M�����8Æ�Å��¨�q����¢�È��£Å � ¢q�q�^���$�M�M�±Ç��i���$����� ��0ÆD�q���Q©^���i����M���*Å°Æ�¹�Ç�Å���Åú�q�i����$� �D�¸�i�7�i�Mº����.�q�WÇ��ª¢����q���q�$�Ó¢.º�Æ0�$�������0ÆD�u�

B ¥ Õ¼�i�M� ÆD���³[È5Æ��G�±Å°ÆD�q�¡��Æ@�7�������@©^�Ó�M��ÆD�Q�7� �.� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��ª�I���Q�M��� ®.���£Ç����i��M���$�ª�q����¢�È��£Å Ç�����0ÆD�q���cÆ�È��G��Ç�Å|��È�º��7�.� �sÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å��^�����¼²ª� �q��Ä�°�"�7�i��ÄWÕ ¥` �^ � Ðë���$baI'e�@�ué�¶4g¼�È�,ëqê"êå µë;¶Q¶�,�jk/10 ��§�¢�·�©�·�·*�K¤5¡£¢{¡�¬v��ªK²��F �ªF«h¤ ¬F²�¢¥¤{«°·=¬���´��©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�« §£ªK© ¢�·£��¢ ·�¤{ !·�©�¢¥©±·�·°��©�ª�¯�²�·£«d¤{ c5F©±¬��%�¡²:[¤¥¢½��·�©{§£ªK©8´

î¶

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 40: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

−→

ÎGÇ���q��� m@î É Â ���$�����i�±Ç����µ�����FÅõ²��.�q��Ä1�°�"�7�i��ÄWÕ �����M����®.���£Ç����i���M���$���q����¢�È��£Å Ç����0ÆD�q���

«3¬F =A0·3©�¬�¢¥¤¥ª1 + ε

¾c¢�·� �¢�·�©�·s· �F¤5¡£¢{¡%¬@��ªF² �F �ªF«h¤¥¬K²G¢¥¤{«°·3¬����!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤ ªF �¬K² 5�ªK´©8¤¥¢�« §lªF©v7�ª'³�·�´ � ªF¶�·�©�´¥» :[¤{¢È��·�©{§lªF©8«3¬F nA0·*©�¬�¢¥¤¥ª

1 + (B + 1)ε>

8P©±ª'ª�§�>9zÞ�i�G = (V,E)

¢v��ÆD�hÇ����M�0ÆD���$�°���¨�M���°²�� �q��Ä1�°�@�7�i��ÄWÕÀ�q����¢�È��£Å ¥Rù �°©�Ç�È�È�M���@© ���"© ÆD�

(1 + ε)Ä�ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å �����¨�M����®.���£Ç����i�¨�M���$� �q����¢�È��£Å

Ç��4��0ÆD�q�����'ÆD�4¢v�*���G�$�£���½�7�i�=Æ(1 + (B + 1)ε)

Ä�ÆD�q�q�M�@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç���� Æ�È��7���±Ç��M��Å �����²ª� �q��Ä1�°�@�7�i��ÄWÕ ¥

ù �|¯��������M�0ÆD���]�I���±Åú�M��� � �0ÆD�q�G

Ç��u��� ÆÅ��0ÆD�q�H

�M��ÆD�]Ç��WÆD� Ç����M�0ÆD���$������M��� ®.���£Ç����i�¨�M���$���q����¢�È��£Å`Ç��¡��0ÆD�q���=Æ��ª�I�FÈ�È��@©>�'É �4�'Æ����¿�$���7�

e�D�

G��È5Æ��$�hÆ

���i�±Å%Ç���Æ�Ète ¥ Îq�q�M�M���i�±Å������sÆ��q� Æ����i�±Å%Ç���Æ�È

t�M��ÆD�=Ç��¨�$���q���$�i���$�¿��� Æ�È�ÈR�7�i�M�±Ç��$�$�

Ç��G ¥ ® �$��ÎGÇ���q��� m@î �I���+ÆD���<¹Æ�Å|��È����D�?�M��Ç��Q���$�����i�±Ç���� ¥ù ���q�i�������0�M���hÈ��i�q��M�Ï�D�cÆ�®.���£Ç����i��Å%Ç���Ç�Å*��Å �M���$�%Ç��

H¢uº

smtÆD���4�M���

�±Ç�Ü@���D�PƼÅ%Ç���Ç�Å*��Å ��� �q��ÄW�$�@�7�i�=Ç��G

¢.ºnc ¥ ÎGÇ����M��©«� �M���"© �M��ÆD�

smtÆD���

nc��Çp�v�i�ª�<¹�Æ��i�±È�º½¢uºÅ�M���¨�u��Å�¢��i�m

�D�R�$���7�$�+��G

É

smt = nc + m ¦ ËDÌ ¬­ �Ó���$�|�M��Ç�����������¯������*�M��ÆD�WÆD�.º¿���.�q���$�@�7�i�WÇ��

G�'ÆD�Ï¢v�|�M�0ÆD���]�I���±Å��$� Ç��.��� Æ

®.���£Ç����i���M���$�������H

Æ������FÈ�È��"©>� ¥ �°���q���$�i�����i�±Å%Ç���Æ�Èt�����M���0�7�i�M�±Ç��$�$�*�����FÅú�M���

���.�q�|�$�"�7�i� ¥ ²ª�"© �'Æ����Ð�D�°�M��� ���£Å°Æ�Ç���Ç��q�m

���i�±Å%Ç���Æ�È�����Æ���ƽ���£Ç���.¢����]Ç��4�M������.�q�*�$�@�7�i� ¥»­ �.��� � Æ0®.���£Ç����i�>�M���$�]Ç��¼�����q���£�D�.È��i�q��M�

nc + m ¥²��<¹ �Y©°�>�M���@©Ä���@©á���¨�7�i�×Æ���� �q�>�$�@�7�i�«�D�v�±Ç�Ü@�smt−m

�����FÅ Æ�®.���£Ç����i�»�M���$�SMT

�D�cÈ��i�q��M�smt ¥ ÎGÇ����M��©«�½�����±Å°Æ�È�Ç�Ü@�0�M����®.���£Ç����i� �M���$�

SMTÆ����I�FÈ�È��@©>� ¥

§ �°�M���i�����<¹�Ç��M����ƽ���i�±Å%Ç���Æ�Ète

�M��ÆD����Æ��*�q�i����$�2 � �M���i� ÆD�]È��'Æ��M�������0�D�#Ç�������©«�

���£Ç���u¢v�����pÇ��Þ�����Y�$���q���$�i���$�����t ¥? �q�*�M��Ç��R�$���7�DÆD�����q�$�M�M���"º*�M���«���$�M��È��±Ç��q���iº �£È��

¢uº4���£Å��@��Ç��q� ÆD�Ð�$���7���M��ÆD�*Ç���������Ç����£Ç��q�i�.�*���t ¥0­ ��Ç����q�$�i���'Æ����$�*�M�����u��Å*¢v�i�

�D�^���i�±Å%Ç���Æ�È�����Çp�Æ�i���i�u�������FÅt�M��ÆD����Æ$�7���q�i����$�

2¢uºµ������©�Ç��M�����q�WÇ����i���'Æ��±Ç��q�

�M���+È��i�q��M���D�Þ�M����®.���£Ç����i�¼�M���$� ¥ Õ°º%Ç����i�0ÆD�±Ç��q���M��Ç��°�q��� �$�$���«©«�NÅ°Æ$º¼Æ��G�M��Å��Q�M��ÆD�SMT

�$���.�0Æ�Ç���� ���£���i�±Å%Ç���Æ�È��te

�D�Q�q�i����$�2 ¥ ²��@© Ç��WÇ����'Æ���Ç�È�ºÐ���$�i�À�M��ÆD���M���

Ì Ñ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 41: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

®.���£Ç����i�>�7�i�M�±Ç��$�$�cÇ��SMT

�$�������±Ç��M�q����Æ����.�q���$�"�7�i�cÇ��G

�D�R�±Ç�Ü@�smt −m ¥Y­ ��Ç��

�q���"�7�$�+ûÛ.��ÆD�±Ç���� ¦ ËDÌ ¬<¥®.�q�q�v����Y©°�»��Æ@�7�PÆD�*ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����3Æ�È��7���±Ç��M��Åò�������M���«®.���£Ç����i�Þ�M���$�¸�q����¢�È��£ÅÇ��Ï��0ÆD�q���*�M��ÆD�����i�M�q�M���WÆ£���FÈ��q�±Ç����

SMT ′ �D��È��i�q��M�smt ′ ≤ (1 + ε) · smt

�I����M������0ÆD�q�

H ¥ Îq���FÅ �M��Ç��¨©«� �'ÆD�¿�$�����M�M�M���i�]Æ0���.�q� �$�@�7�i���I���G

�D�°�±Ç�Ü@�nc ′ =

smt ′ −mÆ��>�q�$�G�i�±Ç�¢��$� Ç����M�����q���.�D�Y�D�pøÛu��ÆD�±Ç���� ¦ ËDÌ ¬<¥¸­ ���i���<��������©°���7�i�'É

nc ′ = smt ′ −m ≤ (1 + ε) · smt −m

= (1 + ε) · (nc + m)−m

= (1 + ε) · nc + ε ·m®�Ç����$�

GÇ���Æ|��0ÆD�q�Ó©�Ç��M� Å°Æ�¹�Ç�Å���Å �q�i����$�

B � ÆD�.º����.�q���$�@�7�i�NÇ��G

Å*���M���Æ@�7���±Ç�Ü@�]ÆD�cÈ��'Æ��M�

m/B � Ç ¥ � ¥�� ©«����Æ$�7�m ≤ nc · B ¥Y­ �.���>©«���7�i�

nc ′ ≤ (1 + ε) · nc + ε · nc · B = nc · (1 + (B + 1) · ε) ,

�q���"��Ç��q���M���]È��£Å%Å°Æ ¥ utzÞ�£Å%Å°Æ É ¥ ËNÇ�Å%Å��$��Ç5ÆD���£È�º|�KÇ��7�$�Y������Ä�ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç��Wº0���$�M��È����R�I���Y�M���Q®.���£Ç����i�

�M���$�¼�q����¢�È��£Å Ç��|��0ÆD�q��� � Æ��»��� ���3Æ��»�����¼± ���@©>�Y������Ä�ÆD�q�q���@¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç���º0���$�M��È����R�I������ �q��ÄW�$�@�7�i��ÄWÕ ¥ �«�q�M���i�u�±È�º � �M���*�M�M�����q�7�$���>������Ä�ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç��WºÓ���$�M��È��>�I���>��� �q��Ä�$�"�7�i��ÄWÕ Ç��>����������Õ¼�i�±Å°ÆD��ÆD����ñ]ÆD�M��Ç�����±�ǹÉ� çh�.è�é��^ �x$<~à'e�@�ué� µë;¶4g¼)�ëqé�+Rì¶�ê�¸¤ìv,<~�/10 7]ªÖ��ªF² �F �ªF«h¤ ¬F²6¢¥¤{«3·*¬����!©�ª��K¤�«3¬F´¢¥¤ ªF �¬F²�5�ªF©�¤¥¢�« §£ªF©97�ª'³�·�´ � ªF¶�·�©�´rïuA�¬F ²�¬F¶�·*¬V��·£©�§lªF©�«%¬K =A0·]©�¬K¢¥¤ ª°¯�·£²Rª�:

1.0128¾

¦� ² ·8¡0¡v798:9VA0ªåé\8\>Î����FÅÃ�M��Ç��^���$�M��È���ÆD���²z¤�£Å%Å°Æ É ¥ Ë|�����=Ç�Å%Å��$��Ç5ÆD���£È�º��7�i���

` �^ � Ðë���$<f 7�ª���ªF²��F �ªK«W¤ ¬F²�¢¥¤{«3·�¬����!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�« §lªF© ¢�·���¢ ·�¤{ !·�©¢¥©�·�·À��©±ª�¯�² ·�«d¤� X5F©�¬��%�¡½A�¬K à�¬F¶�· ¬}��·�©{§£ªF©�«3¬F =A0·�©±¬K¢¥¤ ª�¯0·�²Rªt:

1.0025¾3¦� �²�·8¡8¡

7v8;9_A�ªåé\8\>

­ ��Ç��NÈ��"©«�i��¢v���q���¡��Æ���¢v�$�i��Ç�Å|�q���"�7�$�4���$�$�i�u�±È�º¡¢uº ­ ��Ç�Å%Å÷´ îÑD· ©^���������$�Æ�������Ä�ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD¢�Ç�È�Ç��WºÓ���$�M��È��ª�D� Ô=< �M�0Æ��д m ï · ������í Æ�¹�Ä Ã î Ä�z�Ç���Ä�Ë0���0��¢q�0Æ�Ç��Ó�M����I�FÈ�È��@©�Ç��q��¢v���q��� ¥` �^ � Ðë���$bjI' � ç�ì& � ,p~#��/10 7]ªE��ªF² �� !ªF«h¤¥¬F²P¢¥¤�«°· ¬�����©±ª��F¤{«%¬�¢¥¤¥ªF  ¬K² 5�ªK©8¤¥¢�«§lªF©¼¢�·½��¢ ·�¤{ !·�©s¢¥©±·0·Ü��©±ª�¯�² ·�« ¤{ �5F©±¬��%�¡}A�¬F I�¬F¶�· ¬E��·�©{§£ªF©�«3¬F =A0· ©�¬�¢¥¤¥ª ¯0·�²Rªt:1.0074

¾#¦� ²�·�¡0¡V798:9VA0ªåé\8\>

Ì m

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 42: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

­ �Ð�$�����£È����q� � Ç��|���£Å°Æ�Ç����sÆÓ¢�Ç��µ��ÆD�ã¢v�i�W©«�$�i�ø�M�����i�q�M���i�u�±È�ºà± ���@©^�ÿÈ��"©«�i�¢����q���

1.0074ÆD���Ð�M���0�q�q�v�i��¢����q���

1.550���Ð�M��� ÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����ã�M�q���$�M���FÈ��

�������M���«®.���£Ç����i�?�M���$�»�q����¢�È��£Å��GÇ�����0ÆD�q��� ¥? �Þ�M���»���$�����i�±Ç�����¢uº ­ ��Ç�Å%Å �q���.�����$�$��q��Ç �����±Å%È�º Û.��Æ��±ÇRÄK¢�Ç���ÆD�M�±Ç�����Ç����M�0ÆD���$�$� � ©«�¼�7�i�Y�M��ÆD�R�M���cÆD�q�q���$¹�Ç�Å°ÆD�±Ç����0�M�q���$�M���FÈ��Ç����M��Ç��>�'Æ�����Ç��>¢��i��©«�$�i�

1.0074ÆD���

1.217 ¥þ m[jlmpX<m[b��.m[i

´ m<· ® ¥°Â �����0Æ � � ¥ zÆ�q��� � Ö ¥ íÓ���W©DÆD��Ç � í ¥ ®.���ÆD� � í ¥ ®.Ü@�i�7�$��º � 8P©±ª'ª�§ ¶F·�©8¤{´î�A�¬�¢¥¤¥ªF  ¬F !³��¬K©�³F <·8¡0¡�ª�§ ¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤¥ªK ���©±ª�¯�² ·�«W¡ �?>�¥¸Â �°í)Ì ð ¦ m@¶¶Ê ¬<�ðÑ�m ß ððð ¥

´`Ë · � ¥ Õ�ÆD����Ç�� � � ¥ � ��ß���È � ® ¥vÔ ���q��ÆD����º �Þ­�¥ ²�Ç��i�M����� �¤Ô�¥@>�¥ ³Y��ßFÅ��£È � Þ ����©±ª��F¤{´«3¬K¢¥¤{ ^5 «h¤� �¤�«h¦�« ¡[��¬F  ¤{ ^5¼¡l·l¢{¡*¤{ uY����·�©]5F©�¬��%�¡°¬F �³È��ªF²��F«3¬K¢¥©±ªF¤ ³�¡ � ���$����Ä��Ç��'Æ�Ȥ���i�v���M� ��Ô ��Å*¢v�FÈ�����Ä��Q��Ç��7�i���±Ç��BAD�ªÜ$�£Õ¼�i�±È�Ç�� � Ë ÑÑÑ ¥

´ î�· ³ ¥ Õ°�i�±Å°ÆD�3ÆD��� í ¥ ñ]ÆD�M��Ç�����±�Ç �DC  3¡lªF«°·c¢¥¤<5��¢ ·£©�¤� �¬�����©±ª��F¤{«%¬�¯�¤�²Â¤¥¢&�=©±·8¡�¦�²R¢{¡ �Ã[È��$�i�M������Ç��\�°�FÈ�È�� Ûu��Ç���Å ���@�°�FÅ|�q�q�0ÆD�±Ç�����Æ�È%�°�FÅ|��È��<¹�Ç���º � ���i�v���M� ­ Ö ¶Ê Ä ÑÉð �m@¶¶Ê ¥´ Ì · ³ ¥ Õ¼�i�±Å°ÆD� ÆD��� þ�¥ Ö�Æ�Å°Æ�Ç�º7�i� � �8«v��©±ªF¶�·�³�¬��Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF �¡P§£ªK©*¢�· ��¢ ·�¤{ !·�©

¢¥©�·�·\��©±ª�¯�² ·�« ��>�¥� È��7���±Ç��M��Å�� m ïŦ m@¶¶ Ì ¬<� îÊ�m ß Ì ÑÊ ¥´ ð�· í ¥ Õ¼�i�M� � ³ ¥ ³[È5Æ��G�±Å°ÆD�q� � 2 �·ª��¢ ·£¤� !·£©G��©±ª�¯�² ·�«J:[¤¥¢ ·±³å5�·=² ·� ^5�¢�¡]¿°¬F �³FE �

§ �������±Å ¥ ³»���.�$�$��� ¥ z¤�i�M� ¥ î Ë ¦ m@¶Ê¶ ¬<� m ï m ß m ï É ¥´ É�· Â�¥ Õ°�����G���i��� � | ¥ Ä Ò ¥ |ª� � 2 �·

k´W��¢ ·�¤{ !·�©c©±¬K¢¥¤ ª*¤� 65F©±¬��%�¡ � ® §S í >�¥ �°�FÅ|�q�q� ¥Ë É ¦ m@¶¶ ï¬<� Êð ï�ß Êɶ ¥

´ ï · � ¥ �DÆ�È�Ç����$�G�i� � � ¥ � ¥ Î��i�M��ÆD���q�$� ��Ô�¥ ñ]ÆD�±È���� �.Â�¥ Ò �£È�Ç�±7�@���M±.º � Þ  !·Ä: ¬��Y��©�ªå�F´¤{«%¬�¢¥¤¥ªF  ¬F²�5�ªF©�¤¥¢�«r§£ªF©�îJ �³F¤{ ^5 �·±¬K¶��Ü��²�¬F �¬F©�¡8¦¯]5F©±¬��%�¡ � ���$���q��Ç��'Æ�ÈR���i�����M� �m@¶¶Ê ¥

´ Ê�· >�¥ �«���i�±Ç�º�ÆD� � Ö ¥ Ö�Æ@��Ç � Þ �Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF �¬K² 5�ªK©8¤¥¢�«W¡#§lªF©W !·£¢&:תF©8­Ö��©±ª�¯�² ·�«W¡ �È��$�i�M�q�����������$� � m@¶¶Ê ¥´ ¶�· à ¥ �«�����q± ��Å°ÆD��� � µ. !·��·�¦�©8¤�¡�¢¥¤]㦷G��ªF¦�©c²�·i��©±ª�¯�²HG�«°·�³�·+² æ ¬F©'¯�©�·N³�·>��¢ ·�¤{ !·�© �Ö Â�§ Ö Öª�$��� ¥% �Ii� ¥ m Ë ¦ m@¶ ï Ê ¬<� Ë Ñ ï�ß Ë m Ë ¥´ m@Ñ�· ­�¥ÙÔ�¥ �°���±Å��i� � � ¥ à ¥ z¤�£Ç����i���G��� � Ö ¥ z ¥ Ö+Ç��7�$�M� � �8 �¢¥©±ª'³F¦�Al¢¥¤ ªF �¢¹ª�¬F²�5�ªF©�¤{¢�«W¡ �íÓ� � �0Æ$©DÄ Ô Ç�È�È � m@¶Ê¶ ¥

ÌuË

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 43: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

´ mm<· ® ¥ |ª���iº.����� � Ö ¥¼ù ÆD����i� � 2 �·4�!¢ ·�¤� <·�©E��©±ª�¯�² ·�«ò¤{ 35F©±¬��%�¡ � ²��i�W©°���M± � m¦ m@¶ ï Ë ¬<� m@¶ð ß Ë Ñ ï ¥

´ m Ë · � ¥ Î��£Ç��7� � Þ ¢�©�·8¡ �ªF²R³�ª�§lnn

§£ªK©s¬����!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤{ ^5 ¡'·£¢�A�ªF¶�·�© �J>�¥� �°í×Ì ð¦ m@¶¶Ê ¬<� Éî Ì ß Éð Ë ¥

´ m@î�· Ö ¥ ÎGÈ������i� � Þ  �ªK¢ ·�ªF LK Þ §l¬�¡£¢ ·�©]¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤¥ªK  ¬F²�5�ªF©�¤{¢�« §£ªF©=¢�·¨��¢ ·�¤{ !·�©�!©�ª�¯£²�·�« ¤{ E5F©±¬��%�¡�M ��§ �������±Å ¥ ³Y��� �$�$��� ¥ zÞ�i�M� ¥ îÊ ¦ m@¶¶�m ¬<� m ïï�ß m ï Ê ¥

´ m Ì · à ¥ ² ¥ � Ç�È�¢v�i�M� � Ô�¥ê �¥ ³��FÈ�È5ÆD± � ��¢ ·�¤{ !·�©N«h¤� ¤{«3¬F²�¢¥©�·�·8¡ � ® §� í >�¥� �q��È ¥ í ÆD�M� ¥m@É ¦ m@¶ÉÊ ¬<� m ß Ë ¶ ¥´ m@ð�· í ¥ N ¥ � �.�£Å°ÆD��� � | ¥ ³ ¥vù Ç�È�È�Ç5Æ�Å������ � 2 �·V��©8¤{«3¬F²Â´S³F¦�¬F²[«°·£¢�ª'³�§lªF©3¬�����©±ª��F´

¤{«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F²�5�ªF©�¤{¢�«W¡%¬F �³ ¤¥¢{¡h¬��Y��²pA0¬K¢¥¤¥ªK �¡h¢¹ª  !·£¢&:תF©8­ ³�·�¡8¤<5F ���©±ª�¯�² ·�«W¡ �¤§ � É| ¥ ® ¥.Ô � ���.¢�ÆD��Å ¦ �$� ¥}¬<� Þ �Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F²�5�ªF©�¤¥¢�«W¡.§lªF©m7v8P´[�¬K©�³v�!©�ª�¯£²�·�«W¡ �³ ù ® � Õ¼��M����� � í Æ���� ¥�� m@¶¶ð � m ÌÌ ß m@¶�m ¥

´ m@É�· � ¥ � ��ß���È � ® ¥�Ô ���q��ÆD����º ��­�¥ ²�Ç��i�M����� �qÔ�¥@>�¥ ³Y��ßFÅ��£È � ¾ ª�:#·£©W¯±ªF¦� �³�¡J§lªF©�¬���´�!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F²�5�ªF©�¤{¢�«W¡=§lªF© ¢�·���¢ ·�¤{ !·�©�¢¥©±·�·°��©�ª�¯�²�·£« �^§ � ÉÓ³Y���.�$�$�$��Ç��q�7��D�»Ë ï �M� § �u���i�M��ÆD�±Ç�����Æ�È ù ���M± �M��������� � �0ÆD�q��Ä ­ ���$�����i�±Ç��Ü�°�����$�i�q���+Ç��½�°�FÅhÄ�q�q���i�¨® �£Ç��i���$� �qù � Ë ÑÑ�m � ®.�q�±Ç��q�7�i�Vz¤²��^® ¥

´ m ï · >�¥ÞÔ=< �M�0Æ�� � �<ªF«°·¼ª��!¢¥¤�«3¬F²×¤� �¬�����©±ª��F¤{«%¬�¯�¤�²Â¤¥¢&� ©�·8¡8¦�²Â¢{¡ �R§ � É�³Y��� �$�$�$��Ç��q�7���D��M��� ­ ©°�i�u��º�ÄW²�Ç��u�M�  �q�u��Æ�È Â �°íõ®.º�Å|�����Ç���Åü���½�M��� ­ ���$���Mº��D�Q�°�FÅ|�q�q��ÄÇ��q� � ® ­9 � m@¶¶ ï � m ß m@Ñ ¥

´ m@Ê�· ® ¥.Ô ���q��ÆD����ºsÆD��� Ô�¥@>�¥ ³Y��ßFÅ��£È � Þ ¿�>PO�ÁRQ3¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F²�5�ªF©�¤{¢�« §lªF©�¢�·�!¢ ·�¤� <·�©m��©±ª�¯�² ·�« ¤� Û5F©±¬��%�¡ �2§ � É»³Y��� �$�$�$��Ç��q�7�ª�D�Y�M��� ­ �i�u�M�  �q�.��Æ�È Â �°í Ä® §S íÈ®.º�Å|����±Ç���Åö���²|NÇ����i���i���  È��7���±Ç��M��Å�� � ® |  m@¶¶¶ � ÌÌ Ê ß Ì ðî ¥

´ m@¶�· Ö ¥ í ¥ ñ]ÆD�M� � éc·±³F¦�A£¤¹¯�¤{²½¤¥¢&�3¬F«3ªF ^5@A�ªF«°¯�¤{ �¬K¢¹ªF©�¤ ¬F²���©±ª�¯�² ·�«W¡ � § � Éi�°�FÅ|��È��<¹�Ç��Wº�D���°�FÅ|�q�q���i�°�°�FÅ|�q�q�0ÆD�±Ç������ ��¦ ³»���.� ¥ ®.º�Å|���� ¥?§ Õ°í ­ ���FÅ°Æ�� >�¥?ù ÆD�������Öª�$� ¥ �°�i�.���i� ��S ���M± ���@©^� Ô �£Ç���u��� � ² ¥ S|¥�� m@¶ ï Ë ¬<¥ ²��i© S ���M±<É°³JÈ��i�u��Å m@¶ ï Ë �Êð Ä m@Ñî ¥

´`Ë Ñ�· í ¥ ñ]ÆD�M��Ç����M±�Ç6ÆD��� Â�¥ Ò �£È�Ç�±7�"� �M± º � 7�·Ä: ¬����!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�«W¡[§£ªK©�¢�·�!¢ ·�¤� <·�©]¢¥©±·0·\��©�ª�¯�²�·£«*¡ ��>�¥ �°�FÅ*¢ ¥= �q�±Ç�Å ¥ m ¦ m@¶¶ ï¬<� Ì ï�ß Éð ¥

´`Ë m<· z ¥ ñª��� � � ¥ í ÆD�M±7�"©>�M± º � z ¥ Õ°�i�±Å°ÆD� � Þ §l¬�¡�¢c¬F²�5�ªF©�¤¥¢�«r§£ªF©���¢ ·�¤{ !·�©%¢¥©�·�·8¡ � �i�0Æ § ���I���±Å ¥ m@ð ¦ m@¶Ê�m ¬<� m Ì m ß m Ì ð ¥

´`ËË · >�¥ Õ ¥ ñ¨�M����±FÆ�È �4C   ¢�·]¡ �ªF©£¢ ·8¡£¢[¡[��¬F  ¤{ ^53¡8¦¯£¢¥©±·0·hª�§�¬È5K©�¬��= ¬K �³°¢�·]¢¥©±¬F¶'´·£²½¤{ ^5°¡£¬F² ·8¡�«%¬K À��©±ª�¯�² ·�« � ³Y��� � ¥� Å��i� ¥ í ÆD�M� ¥ ® �.� ¥�ïŦ m@¶ðÉ ¬<� Ì Ê ß ðÑ ¥

Ì î

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001

Page 44: This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X ...hougardy/paper/stindu.pdf · This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer

´`Ë î�· ñ ¥ í¡�i��È������M� � Þ §£¬�¡£¢ ·�©]¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF �¬F²�5�ªF©�¤{¢�« §£ªF©�¢�·ª�!¢ ·�¤� <·�©���©�ª�¯�²�·£«¤{ �5F©±¬��%�¡ ��§ �������±Å ¥ ³Y���.�$�$�G� ¥ z¤�i�M� ¥ Ë ï�¦ m@¶ÊÊ ¬<� m Ë ð ß m Ë Ê ¥

´`ËDÌ · í ¥ í�Ç�������¹ �4TVU A£¤¹·� �¢�5F©�·�·±³��½�·£¦�©�¤5¡£¢¥¤&A£¡+§£ªK©|��¢ ·�¤{ !·�©°¢¥©�·�·o�!©�ª�¯£²�·�«W¡s¦�¡�¤� ^5©�·±ª��!¢¥¤{«h¤�ºA¬K¢¥¤¥ªK  ¬K �³%¡�¦��·�©8«3ª'³K¦�²�¬F©�¤{¢&� ��§ ²�Î ÖòË Ê ¦ m@¶¶Ñ ¬<� ËË m ß Ë îî ¥

´`Ë ð�· Ö ¥ � ¥ ³Y�±Ç�Å � �;�ªF©�¢ ·�¡�¢¼A�ªF  !· Al¢¥¤¥ªK   !·£¢&:תF©8­'¡N¬F !³=¡lªF«°·�5�·� !·�©±¬F²Â¤�ºA¬K¢¥¤¥ªK �¡ � Õ¼�£È�È®.º��M���£Å ­ �$�G�q��Ç��'Æ�È > ���q�M��Æ�È îÉ ¦ m@¶ð ï¬<� m@îʶ ß m Ì Ñ�m ¥´`Ë É�· Ô�¥@>�¥ ³Y��ßFÅ��£È ��Â�¥ ®.���i�7�i� � Þ  !·Ä: ¬����!©�ª��K¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ¬K² 5�ªK©8¤¥¢�« §lªF©=¢�·���¢ ·�¤{ !·�©

¢¥©�·�·���©�ª�¯�²�·£« :[¤{¢À��·�©{§£ªF©�«3¬F =A0·°©±¬K¢¥¤ ªWO0XVY �Z>�¥v È��7���±Ç��M��Å�� îÉ ¦ Ë ÑÑÑ ¬<� ʶ ßm@Ñ�m ¥´`Ë ï · ® ¥ ÖNÆ�±ÆD�7����Æ�È5ÆD� �2þ ¥ þ�¥qþ ÆDÜlÇ��0ÆD��Ç ��C   ¢�·3¯�¤ ³F¤{©±· Al¢ ·±³²Al¦�¢P©�·�²R¬å��¬K¢¥¤ ªF 3§lªF©�¢�·

«°·£¢¥©�¤&A£��¢ ·�¤{ !·�©6��©�ª�¯�²�·£« �Q§ � ÉÓ³Y��� �$�$�$��Ç��q�7�½�D���M��� ­ �i�.�M�  �q�u��Æ�È Â �°í Ä® §S í÷®.º�Å|�v��±Ç���ÅÃ���²|NÇ����i���i���  È��7���±Ç��M��Å�� � ® |  m@¶¶¶ �2ï ÌuË ß�ï ð ï ¥

´`Ë Ê�· � ¥ ÖQ��¢�Ç���� �ÓÂ�¥ Ò �£È�Ç�±7�@���M± º � �8«v��©±ªF¶�·�³ �!¢ ·�¤� <·�© ¢¥©±·�·r¬�����©±ª��F¤{«%¬�¢¥¤¥ªF  ¤{ 5F©±¬��%�¡ �¼§ � ÉųY��� �$�$�$��Ç��q�7�0�D�¨�M��� Ã[È��i�7�i�u�M�  �q�.��Æ�È Â �°í ÄS® §� í:®.º�Å|�v��Ä�±Ç���ÅÇ���}|NÇ����i���i���  È��7���±Ç��M��Å�� � ® | Â Ë ÑÑÑ �2ïï Ñ ß�ïï ¶ ¥

´`Ë ¶�· Ô�¥�­ ÆD±KÆD��Æ��M��Ç �vÂ�¥ í ÆD�����qº�Æ�Å°Æ � Þ   ¬��Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢ ·W¡£ªF²Â¦�¢¥¤ ªF %§lªF©�¢�·���¢ ·�¤{ !·�©��©±ª�¯�² ·�« ¤� Û5F©±¬��%�¡ � í ÆD�M� ¥�> ÆD����� ¥ ËDÌ ¦ m@¶ÊÑ ¬<� ð ï î ß ð ïï ¥

´ îÑ�· í ¥ª­ ��Ç�Å%Å �[C  r¢�· ¬�����©±ª��F¤{«3¬�¯�¤{²½¤¥¢&� ª±§ ¢�·µ��¢ ·�¤{ !·�©�¢¥©±·�·���©�ª�¯�²�·£« ��§ � Éí ÆD�M���£Å°ÆD�±Ç��'Æ�È�Î����q���ÆD�±Ç������Ï�D�Û�°�FÅ|�q�q���i�à® �£Ç��i���$�áË ÑÑ�m � í¡Î��^® Ë ÑÑ�m �®.�q�±Ç��q�7�i�vzÞ²_�^® ¥

´ î�m<· z ¥ÙÂ�¥uù �FÈ��G�iº � Þ   ¬K �¬F² �}¡�¤5¡�ª±§N¢�·\5F©±·0·±³��¼¬F²�5�ªF©�¤¥¢�« §£ªF©N¢�·�¡�¦�¯�«3ª'³K¦�²�¬F©�¡l·l¢A�ªF¶F·�©8¤{ ^5o��©±ª�¯�² ·�« � �°�FÅ�¢�Ç���ÆD�����±Ç��'Æ�Ë ¦ m@¶Ê Ë ¬<� îÊð ß î¶î ¥

´ î Ë · Â�¥ Ò �£È�Ç�±7�"� �M± º � Þ  s¿�¿BX]\�´S¬��Y��©�ªå�F¤�«3¬K¢¥¤ ªF  ¬F² 5�ªF©8¤¥¢�« §lªF©P¢�·D !·£¢&:תK©0­ª��¢ ·�¤{ !·�©��©±ª�¯�² ·�« �� È��7���±Ç��M��Å%Ç��'Æ ¶ ¦ m@¶¶î ¬<� Ì Éî ß Ì ï Ñ ¥

´ îî�· Â�¥ Ò �£È�Ç�±7�"� ��±.º � Þ §l¬�¡£¢ ·�© ¬�����©±ª��F¤{«%¬�¢¥¤¥ªF r¬F²�5�ªF©�¤{¢�«`§lªF© ¢�·Ó��¢ ·£¤� !·£© ¢¥©�·�·��©±ª�¯�² ·�« ¤� Û5F©±¬��%�¡ ��§ ���I���±Å ¥ ³Y��� �$�$��� ¥ zÞ�i�M� ¥ Ì É ¦ m@¶¶î ¬<��ï ¶ ß Êî ¥

´ î Ì · Â�¥ Ò �£È�Ç�±7�@���M± º � »N·£¢ ¢ ·�© ¬�����©±ª��F¤{«%¬�¢¥¤¥ªF k¯±ªK¦� �³F¡�§£ªK© ¢�·� !·£¢&:תK©0­ ¬F �³ T ¦�´A£²Â¤¥³�·±¬F À��¢ ·�¤{ !·�©3¢¥©�·�·Ö��©±ª�¯�² ·�«W¡ � ���$���q��Ç��'Æ�È«���i�����M�Ü�^®�Ä ¶É Ä ÑÉ � �ª��Ç��7�i���±Ç��Wº¿�D�þ Ç��M�KÇ���Ç5Æ � m@¶¶É ¥

´ îð�· Â�¥ Ò �£È�Ç�±7�@���M±.º � �8«v��©�ªK¶�·±³ ¬�����©±ª��F¤{«3¬K¢¥¤ ªF �¡°ª�§h«3¬��F¤{«W¦�«Ú��²�¬F �¬K©*¡�¦�¯[5F©�¬��% ����$���q��Ç��'Æ�È����i�����M� � �Q��Ç��7�i���±Ç���º��D� þ Ç��M�KÇ���Ç5Æ ¥

ÌÌ

This paper appeared in: Steiner Trees in Industry, X. Cheng and D.-Z. Du (Eds.), 235-279, Kluwer Academic Publishers, 2001