thermodynamics, termodinamika nagib neimarlija ch 11

218 GLAVA 11.....TERMODINAMIKA.....Strujanje stiljivog fluida.....

GLAVA 11 STRUJANJE STILJIVOG FLUIDA 11-1 Uvod 11-2 Osnovne jednaine strujanja 11-3 Brzina zvuka ili akustina brzina 11-4 Izentropsko strujanje kroz mlaznicu 11-5 Izentropsko strujanje kroz De Lavalov mlaznik

11 STRUJANJE STILJIVOG FLUIDA

11-1 Uvod U ininjerskoj praksi veoma esto se susreu fluidi, kao radni mediji, koji u

toku procesa znaajno mijenjaju svoju gustinu. Takav radni medij se naziva

stiljivi fluid - plinovi i pare. Promjena gustine stiljivog fluida moe nastati ako se fluid podvrgne statikoj promjeni pritiska ili temperature, ali i uslijed

dinamikih efekata, kada fluid struji velikom brzinom. Takoer, znaajne

promjene geodetske visine uzrokuju promjenu gustine fluida. Promjene stanja stiljivog fluida pri uvjetima kada se njegova kinetika i potencijalna energija mogu zanemariti prouava klasina termodinamika, to

je jedna od pretpostavki u svim prethodnim poglavljima. Strujanje fluida izuava se u okviru discipline koja se naziva mehanika fluida, koja se dijeli na mehaniku nestiljivog i mehaniku stiljivog fluida. Mehanika nestiljivog fluida je nazvana i klasinom mehanikom fluida, koja polazi od opih zakona

o konzervaciji mase, energije i impulsa. Zatim, promjena gustine fluida moe

se zanemariti, a brzine strujanja su relativno malene. Istraivanjima strujanja stiljivog fluida posveena je velika panja u posljednjim decenijama, naglim razvojem avijacije, raketne tehnike i motoristike. Kod ovih istraivanja objedinjeni su osnovni principi

termodinamike i mehanike fluida, naroito pri veim brzinama strujanja. Ako se mehanika stiljivog fluida uporedi s mehanikom nestiljivog fluida, onda dodatne varijable koje treba razmatrati jesu gustina i temperatura fluida, a u odnosu na klasinu termodinamiku novi parametri koji imaju vanu ulogu jesu

kinetika energija i koliina kretanja fluida. Principi strujanja stiljivog fluida nalaze primjenu pri istraivanju pojava i procesa u toplotnim turbomainama, turbokompresorima, mlaznim i raketnim motorima, aerodinamici, motorima s unutarnjim sagorijevanjem, klipnim kompresorima, cjevovodima, itd. Ovdje e se uglavnom analizirati

GLAVA 11.....TERMODINAMIKA.....Strujanje stiljivog fluida.....

219

toplotni aspekt strujanja stiljivog fluida, dok se detaljnije o ovoj grani nauke moe nai u okviru naune discipline - dinamike stiljivog fluida. Kao i svi procesi u termodinamici, i strujanje moe biti stacionarno i nestacionarno. Stacionarno strujanje ima jednostavniju matematiku

interpretaciju, a ono je u ininjerskoj praksi najee, pa e u nastavku samo o

njemu biti rijei. Slijedea podjela strujanja viskoznog fluida jeste na laminarno i

turbulentno. Da li e neko strujanje viskoznog fluida biti laminarno ili

turbulentno, zavisi od odnosa inercijalnih i viskoznih sila izraenog preko

Reynoldsovog broja (Re). Osim ova dva toka razlikuje se jo tok neviskoznog fluida definiran s beskonanim Re - brojem i Stokesov ili neinercijalni tok pri iezavajuim Re - brojem, to jest kada 0Re .

U laminarnom toku estice fluida teku uglavnom paralelno u slojevima, a popreni profil brzina je parabolian. U turbulentnom toku estice

fluida se intenzivno mijeaju, imaju sve smjerove kretanja, ali ipak najintenzivnije u pravcu strujanja. Kod ovog toka teko je govoriti o stvarnim ili lokalnim brzinama, pa se rauna s prosjenim brzinama u odreenom presjeku. Profil brzina je uglavnom konstantan po presjeku, osim uz rubove stijenke, gdje dolazi do izraaja trenje izmeu fluida i stijenke. Stacionarni procesi u otvorenim sistemima dijele se na procese strujanja i radne procese. Strujni su procesi oni kod kojih je tehniki rad

jednak nuli i oni se odvijaju u cjevovodima, kotlovima, izmjenjivaima toplote

i slinim toplotnim aparatima. Radni su procesi oni kod kojih je cilj procesa

dobijanje/davanje tehnikog rada i on je, naravno, razliit od nule. Osnovni zahtjev koji se postavlja pred ininjera je: dobiti to vie tehnikog rada kada

se proces odvija u turbomaini, odnosno dati to manje rada kada se proces odvija u turbokompresoru.

11-2 Osnovne jednaine strujanja Osnovne jednaine strujanja jesu jednaina kontinuteta i jednaina energije.

Prva proistjee iz uvjeta stacionarnosti i neprekidnosti strujanja, a druga iz

prvog zakona termodinamike.

Jednaina kontinuiteta

U sluaju jednodimenzioalnog strujanja jednaina kontinuiteta moe se

predstaviti relacijom

.constwAm ==& , [ ]111


ili

.constv

wAm ==& , [ ]211

gdje i w predstavljaju srednje vrijednosti gustine i brzine po poprenom presjeku, a A je povrina poprenog presjeka normalna na pravac brzine fluida. Ako se jednaine kontinuiteta za jedinini maseni protok preurede tako da se prvo logaritmiraju, a zatim diferenciraju, dobit e se jednaine kontinuiteta u diferencijalnom obliku, koje se esto koriste u raznim

matematskim izvoenjima, kako slijedi

0A

dA

w

dw

d

d =++ , [ ]311

ili

0v

dv

A

dA

w

dw =+ . [ ]411

Jednaina energije Ako se prvi zakon termodinamike primijeni na tok fluida izmeu presjeka 1 i presjeka 2, dobija se

++= i121212 eluuq . [ ]511 Dakle, dovedena toplota izmeu presjeka 1 i presjeka 2 troi se na poveanje unutarnje energije, vrenje rada i promjenu drugih oblika energije

fluida. Kako je ve ranije naglaeno, simbol l12 oznaava rad u irem smislu i sadri sve oblike rada koji sistem izmjenjuje s okolicom. Meutim, u ovom

sluaju pod izvrenim radom podrazumijeva se rad punjenja presjeka A1 i rad pranjenja presjeka A2; prema tome je

1vPvPl 12212 = . [ ]611

Drugi oblici energije, koji su kod ostalih termodinamskih procesa

uglavnom bili zanemareni, u ovom se sluaju moraju uzeti u obzir, to su

kinetika i potencijalna energija strujanja fluida, odnosno njihova promjena

izmeu presjeka 1 i presjeka 2


221

( )122

1

2

2

i gzgz2

w

2

we +

= . [ ]711

Ako se jednaine [ ]611 i [ ]711 uvrste u jednainu [ ]511 prvi zakon

termodinamike za tok fluida izmeu presjeka 1 i presjeka 2 jeste

( )++= 11221212 vPvPuuq ( )122

1

2

2 gzgz2

w

2

w +

. [ ]811

Uvodei pojam entalpije, h = u+Pv, u jednainu [ ]811 , dobit e se

jednaina stacionarnog strujanja u otvorenom sistemu, odnosno jednaina

energije, kako slijedi

+= 1212 hhq ( )122

1

2

2 gzgz2

w

2

w +

, [ ]911

ili u diferencijalnom obliku

gdzwdwdhdq ++= . [ ]1011

U sluaju izotermalnog strujanja nestiljivog fluida, bez razmjene

toplote sa okolicom, jednaina [ ]911 , s obzirom da se umjesto entalpije h pojavljuje samo Pv ili P , predstavlja poznatu Bernaullijevu jednainu mehanike energije, koja predstavlja osnovu praktine hidraulike

2 (P2,T2,A2,w2,v2,h2)

w1

2

1

q12

w2

1 (P1,T1,A1,w1,v1,h1)

z1

z2

Slika 11-1 Shematski prikaz strujanja fluida kroz cijev


.constgz2wP 2 =++ [ ]1111

Takoer, jednaina [ ]911 svodi se na klasinu formulaciju prvog zakona termodinamike za zatvoreni sistem, ako se brzine strujanja i rad potiskivanja izjednae s nulom, a zanemari uticaj gravitacione sile.

11-3 Brzina zvuka ili akustina brzina Gustina i specifini volumen nestiljivog fluida teoretski se ne mijenjaju, bez

obzira u kakvom se procesu fluid nalazi. Ako se u takvom fluidu pojavi neki iznenadni poremeaj pritiska, naprimjer u vidu pulsa, on se prostire kroz fluid

beskonano velikom brzinom i osjea se istovremeno u itavom polju fluida. Ako se pak u stiljivom fluidu pojavi takav poremeaj, on e se prostirati kroz fluid konanom brzinom, uz istovremeni poremeaj gustine.

Brzina prostiranja ovih poremeaja zavisi prije svega od njegovog intenziteta,

zatim od vrste i stanja fluida u kojem se poremeaj prostire. Zvuni poremeaji ili valovi poremeaji su infinitezimalnog intenziteta, ija se brzina prostiranja kroz fluid naziva zvuna ili akustina

brzina. Ova brzina je parametar od fundamentalnog znaaja u dinamici

stiljivog fluida. Ako se fluid moe smatrati kontinuumom, tada se brzina zvuka definira izrazom

Ewz = , [ ]1211

gdje je PE = modul stiljivosti fluida, te nakon uvrtavanja u prethodnu jednainu slijedi

Pwz

= . [ ]1311

Zvuni val predstavlja beskonano mali poremeaj kod kojeg su promjene gustine i pritiska veoma male, stoga se moe smatrati da se radi o

jednom povratnom izoliranom procesu pri kojem je entropija konstantna. Takoer, brzina i kratkotrajnost procesa ne dozvoljavaju razmjenu toplote s

okolicom fluida. Prema tome, opisani proces se moe smatrati povratno

adijabatskim, odnosno izentropskim procesom, kod kojeg se brzina zvuka definira kao


223

S

z

Pw

= . [ ]1411

Za ininjersku praksu veoma je vano poznavati prostiranje zvuka u idealnim plinovima. Naime, ve je konstatirano da je prostiranje zvuka u

stiljivom fluidu jedan izentropski proces, stoga vai jednaina, ve izvedena u Glavi 5, za izentropsku promjenu stanja

.constPv = [ ]1511

Ukoliko se u jednainu [ ]1511 prvo uvrsti poznata relacija 1v = , zatim ista logaritmira, diferencira i kombinira s jednainom stanja, Pv=RT, dobija se

RTPv

P

P === . [ ]1611

Konano, brzina zvuka u stiljivom fluidu i izentropskom procesu je

jednaka RTw

z= . [ ]1711

Moe se konstatirati da je brzina zvuka veliina stanja, s obzirom da je ona

upravo funkcija termodinamskih veliina stanja. Naime, brzina zvuka u

idealnim plinovima zavisi samo od vrste plina ( )R, i apsolutne temperature (T). U tabeli 11-1, kao ilustracija, date su vrijednosti za brzinu zvuka za neke medije na temperaturi 00C. Tabela 11-1 Brzina zvuka ili akustina brzina

Medij He H2 N2 O2 zrak CO2 H2O wz [m/s] 970 1234 337 315 333 259 410

Jo jedna, zapravo i osnovna podjela tokova stiljivog fluida zasniva se na odnosu brzine strujanja fluida i lokalne brzine zvuka. Lokalna brzina zvuka jeste brzina kojom se kreu mali poremeaji pritiska - zvuni valovi, u odnosu na koordinatni sistem koji se kree s fluidom. Odnos lokalne brzine strujanja

fluida i lokalne brzine zvuka definira se kao lokalni Machov broj

zw

wM = . [ ]1811


Razlikuju se slijedei tokovi stiljivog fluida:

Podzvuni-supsonini tokovi za 0 < M < 1. Tokovi s malim Machovim brojem, M < 0,3, ine posebnu podgrupu tokova kod kojih se promjena gustine fluida moe zanemariti, tako da se fluid moe smatrati nestiljivim.

Zvui-sonini tok za M = 1. Nadzvuni-supersonini tokovi za M > 1. Posebnu podgrupu predstavljaju

takozvani hipersonini tokovi kod kojih je M > 5. Svi navedeni tokovi imaju svoje specifinosti s posebnim dodatnim efektima, tako da zahtijevaju i posebne matematske analize.

11-4 Izentropsko strujanje kroz mlaznicu

Za ininjersku praksu od posebne je vanosti strujanje stiljivih fluida kroz

kanale konstantnog, a posebno promjenljivog poprenog presjeka. Na tok

fluida pored promjene poprenog presjeka utiu i drugi efekti, kao to su trenje, razmjena toplote i mehanikog rada, uticaj spoljnih sila, itd. Simultana

analiza svih ovih efekata ima za posljedicu veoma kompleksnu matematsku analizu, koja moe imati za posljedicu nedovoljno razumijevanje fizike problema. Ipak, u mnogim primjerima jedan od navedenih efekata moe biti

dominantan i uzima se u razmatranje, dok se ostali mogu zanemariti. U takozvanim priblinim analizama jedan takav idealizirani primjer,

vaan za ininjersku praksu, jeste istjecanje stiljivog fluida iz rezervoara s povienim pritiskom i temperaturom u okolicu kroz mlaznicu, slika 11-2. Za ovaj sluaj pretpostavke su slijedee: u toku nema diskontinuiteta, te se moe

primijeniti jednodimenzionalna analiza; zanemaruje se trenje i djelovanje spoljnih sila; nema razmjene toplote i mehanikog rada s okolicom i moe se

zanemariti uticaj gravitacione energije. Ako se za navedeni primjer primijeni jednaina energije [ ]911 , uz

uvaavanje navedenih pretpostavki, onda slijedi

002

whh0

2

212 ++= ,

odnosno

hhh2

w21

2

2 == . [ ]1911


225

Izvedena jednaina daje vezu kod pretvorbe toplotne u mehaniku energiju.

Naime, plinu ili vodenoj pari toplotna je energija opala sa h1 na h2, ali je zato fluid dobio veliku brzinu w2, to jest kinetiku energiju 2w22 , kojom je mogue pokrenuti lopatice turbine i na taj nain dobiti mehaniku energiju.

Kada je radni medij pregrijana vodena para, koja struji kroz turbinu i kada se svakako koristi h-s dijagram, mogue je direktno oitati za izentropski proces razliku entalpija izmeu poetnog stanja pare 1(P1,T1) i izlaznog pritiska P2. Kada je poznat entalpijski pad, onda je korienjem jednaine [ ]1911 mogue odrediti izlaznu brzinu w2, odnosno kinetiku energiju radnog medija na izlazu 2w 22 . Da bi se jo lake odredila izlazna brzina, u h-s dijagramu se obino ucrtava pomona skala koja daje vezu izmeu

entalpijskog pada i izlazne brzine, kako je to i ilustrirano na slici 11-3. Ako se pretpostavi da kroz mlaznicu struji idealan plin, onda se

jednaina [ ]1911 moe transformirati, korienjem jednaine za entalpiju

( )21p21 TTchh = i izraza za adijabatsku promjenu stanja const.P/T 1

= ,

na slijedei nain

( )

==

1

2

1p21p2T

T1T2cTT2cw ,

odnosno

=

1

1

2

1p2P

P1T2cw . [ ]2011

Slika 11-2 Shematski prikaz istjecanja stiljivog fluida kroz mlaznicu

2 (P2,T2,A2,w2,v2,h2) 1

1 (P1,T1,A1,w1,v1,h1)

Rezervoar plina

2

granica sistema


Izvedene jednaine [ ]1911 i [ ]2011 za izlaznu brzinu iz mlaznice ne uzimaju u obzir gubitke trenja fluida o stijenke mlaznice, kao ni trenje samih estica unutar fluida. Stoga, stvarni proces nikada nije adijabatski, nego je politropski s porastom entropije. U praksi se odstupanje stvarne izlazne brzine od teorijske uzima u obzir preko koeficijenta brzine na slijedei nain

teoretskostvarnoww = . [ ]2111

Teoretska brzina se rauna pomou obrasca [ ]1911 ili [ ]2011 , a vrijednost koeficijenta brzine je 980950 ,, = . Termodinamsko objanjenje pojave trenja pri istjecanju pregrijane vodene pare u h-s dijagramu dato je na slici 11-4. Pregrijana para stanja 1 ekspandira do pritiska P2, ali stvarno stanje nije u taki 2, ve u taki 2. Zbog pojave trenja manji je raspoloivi entalpijski pad, tako umjesto teoretskog

(h1-h2) na raspolaganju je stvarni entalpijski pad (h1-h2). Za potrebe analize strujanja kroz mlaznicu jednainu [ ]2011 mogue je

preurediti u jedna opi oblik, koristei jednainu stanja i Mayerovu jednainu ( )1R/c p = , na slijedei nain

Slika 11-3 Shematski prikaz odreivanja izlazne brzine izmlaznice pomou h-s dijagrama

P2 2 =

0

1 T1

s1 = s2

h = h -h

c

h P1

s

h w


227

=

1

1

11

P

P1vP

1

2w . [ ]2211

Iz ovog opeg izraza vidi se da brzina u nekom presjeku mlaznice

zavisi od poetnih parametara fluida. Pritisak moe varirati od nule do P1. Za pritisak P=P1 brzina strujanja je nula - fluid miruje. U drugom ekstremnom sluaju kada je P=0, to jest istjecanje u vakuum, brzina ima maksimalno moguu vrijednost

1

2wT2cvP

1

2w z1p11max

==

= . [ ]2311

Ako se ponovo primijeni jednaina energije [ ]911 , za primjer na slici

11-2, i to za stanje 1 kao referentno i neko proizvoljno stanje du toka fluida, onda slijedi

2

2

1

whh += . [ ]2411

Slika 11-4 Shematski prikaz teoretskog i stvarnog entalpijskogpada kroz mlaznicu u h-s dijagramu

1

2

T1

x = 1

(h1-h2) teoretski entalpijski pad

c

h P1

P2

= 0

s

s

(h1-h2) stvarni entalpijski pad

h


S pretpostavkom da je specifina toplota konstantna, prethodna jednaina se

moe napisati u slijedeem obliku

pc

wTT

2

2

1+= . [ ]2511

U slijedeem koraku jednaina [ ]2511 prvo se podijeli sa T, zatim uvrsti Mayerova jednaina ( )1= /Rc p i primijene jednaine [ ]1711 i [ ]1811 , pa se dobije

21

2

11 M

T

T += , [ ]2611

odnosno,

21

2

11

1

MT

T

+= . [ ]2711

Kombinovanjem izvedenih P-v-T relacija u Glavi 5 za adijabatsku

promjenu stanja s jednainom [ ]2711 mogue je dobiti nove, kako slijedi

12

1

2

11

1

+

=

M

P

P [ ]2811

i

1

1

21

2

11

1

+

=

M

. [ ]2911

11-5 Izentropsko strujanje kroz De Lavalov mlaznik

Najvea brzina koju fluid moe dostii u mlaznici, kakva je dosad

razmatrana, jeste brzina zvuka. S obzirom da je glavni cilj mlaznice pretvoriti raspoloivu potencijalnu energiju pritiska u maksimalnu kinetiku energiju

mlaza fluida, postavlja se opravdano pitanje je li mogue i pod kojim uvjetima podzvuno strujanje fluida prevesti u nadzvuno. Na ovo pitanje je 1883.


229

godine dao odgovor vedski ininjer Carl Gustav Patrik de Laval (1845-1913) konstruirajui konvergentno-divergentni mlaznik za natkritine brzine, koji je nazvan po njegovom imenu. Velika je praktina primjena ovog mlaznika u mainskoj industriji, gdje se zahtijeva nadzvuno strujanje fluida, naprimjer:

mlazni i raketni motori, plinske i parne turbine, itd. Proces ubrzanja fluida od stanja mirovanja do maksimalno mogue brzine koju bi fluid dostigao, pri

jednom izentropskom strujanju, jedan je opi sluaj strujanja kroz kanal promjenljivog poprenog presjeka, ilustriran na slici 11-5.

Jednainu energije [ ]1911 za idealni plin i izentropsko strujanje

mogue je transformirati i napisati u opem obliku, koristei jednainu

Tchp

= , Mayerovu jednainu ( )1R/c p = i jednainu [ ]1711 , na slijedei nain

.const

P

1

2

w2 =

+ , [ ]a3011

odnosno

.const1

w

2

w2z

2

=

+ [ ]b3011

Slika 11-5 Shematski prikaz strujanja stiljivog fluida krozkonvergentno-divergentni mlaznik

Rezervoar plina

1

1 2

2

2-2 (P2,T2,A2,w2,v2,h2)

1-1 (P1,T1,A1,w1,v1,h1) Stanja fluida:

*-* (P*,T*,A*,w*,v*,h*)

granica sistema


Kod strujanja fluida u konvergentno-divergentnom mlazniku od interesa je analizirati funkciju w/wmax = f(P/P1), koja se dobije kombiniranjem jednaina [ ]2211 i [ ]2311 , na slijedei nain

2

1

1

1max P

P1

w

w

=

, [ ]3111

ili mnogo bolje njenu inverznu funkciju P/P1 = g (w/wmax )

1

2

max1 w

w1

P

P

= . [ ]3211

Funkcija g ima ekstrem ako je ispunjen slijedei uvjet

0=

=

max

11

2

max

max

1

w

w2

w

w1

1

w

wd

P

Pd

, [ ]3311

a koji je zadovoljen za

==

==

0P

P1,

w

w

i

1P

P0,

w

w

1max

1max

. [ ]3411

Ponovnim diferenciranjem jednaine [ ]3311 , to jest

0

w

wd

P

Pd

2

max

1

2

=

, [ ]3511

moe se pokazati da je ovaj uvjet ispunjen za


231

1

*1

1 P

P

1

2

P

P =

+=

. [ ]3611

Parametri stanja u taki infleksije, krive g, oznaeni su zvjezdicom (*).

Za odnos pritisaka P*/P1 odnos brzina je

1

1

w

w

max

*

+= . [ ]3711

Ako se jednaina energije [ ]b3011 postavi za stanje u rezervoaru, stanje 1, i stanje u taki infleksije, stanje *, moe se pokazati da je lokalna

brzina strujanja jednaka lokalnoj brzini zvuka, to jest lokalni Machov broj je jedan. Prema tome, taka infleksije je taka u kojoj se deava prijelaz iz

podzvunog u nadzvuno strujanje. Uvjeti koji odgovaraju taki infleksije

nazivaju se kritinim uvjetima, a parametri fluida kritinim parametrima. Koristei relacije za izentropsku promjenu stanja izmeu pritisaka,

temperatura i gustina mogu se izvesti izrazi za ostale kritine parametre na

nain kako je to prezentirano u tabeli 11-2.

Tabela 11-2 Kritini parametri fluida 1,3 = 1,4 =

1

1

*

1

2

P

P

+= 0,5457 0,5283

1

1

1

*

1

2

+= 0,6276 0,6339

1

2

T

T

1

*

+= 0,8696 0,8333

1

2

w

w

z/1

*z/

+= 0,9325 0,9128

Na osnovu jednaine kontinuiteta [ ]311 i jednaine energije [ ]a3011 moe se dobiti zakon promjene povrine poprenog presjeka izentropskog toka

u De Lavalovom mlazniku. Povrina poprenog presjeka mora se mijenjati po

odreenom zakonu, koji je jednoznana funkcija odnosa pritisaka P/P1, da bi se ostvario izentropski tok. Ako se pretpostavi unaprijed jedan konvergentno-


divergentni mlaznik, izentropska ekspanzija e se ostvariti samo ako je

uspostavljen odreeni odnos pritisaka na ulaznom i izlaznom presjeku mlaznika. Na poetku mlaznika pritisak fluida je P1, poetna brzina fluida priblino nula, to jest 0

1w , a presjek mlaznice je beskonano velik, to

odgovara pretpostavci da je povrina poprenog presjeka rezervoara veoma velika u odnosu na mlaznik. Ako bi na kraju mlaznika pritisak bio nula, to jest istjecanje u vakuum, tada bi specifini volumen bio beskonaan, prema

jednaini [ ]1511 , pa prema tome potreban je beskonano veliki presjek mlaznika na izlazu da bi bila zadovoljena jednaina kontinuiteta. Izmeu ova dva ekstremna presjeka mora postojati i njegov minimum, koji se ostvaruje za kritine vrijednosti parametara stanja. Dokaz postojanja minimuma presjeka kada parametri fluida imaju kritine vrijednosti moe se interpretirati na slijedei nain. Ako se u

jednainu kontinuiteta [ ]211 , za jedinini maseni protok, uvrsti izraz za promjenu specifinog volumena s promjenom pritiska, prema jednaini

[ ]1511 ,

=

1

1

1P

Pvv [ ]3811

i izraz za brzinu istjecanja fluida iz mlaznice [ ]2211 , dobit e se jednaina kako slijedi

==

+

1

1

2

11

1

1

2

1

P

P

P

P

v

P

w

vA . [ ]3911

Specifini presjek, oznaen sa A , ima minimum za maksimalnu vrijednost potkorijene veliine u nazivniku jednaine [ ]3911 . Uvjet za to je

0

1

1

2

1

1

=

+

P

P

P

P

P

Pd

d , [ ]4011


233

koji je ispunjen za

1

11

2 +

+=

P

P , [ ]4111

to odgovara kritinim parametrima stanja fluida u taki infleksije, jednaina [ ]3611 . Prema tome, u minimalnom presjeku De Lavalovog mlaznika, koji se naziva kritinim presjekom, fluid ima brzinu zvuka, a svi ostali parametri su kritini, kako je to prezentirano u tabeli 11-2. Ako se postave jednaine kontinuiteta i energije u integralnom obliku za dva presjeka, od kojih jedan odgovara kritinim uvjetima, i meusobno kombiniraju dobija se slijedea relacija

+

=

11

1

2

1

1

**

*

P

P

P

P

A

A . [ ]4211

Ako se umjesto kritinog usvoji poetni pritisak kao referentni, koristei relaciju [ ]3611 , jednaina [ ]4211 nakon sreivanja ima oblik

+

+=

1

1

1

1

2

1

1

1

11

1

2

1

P

P

P

P

A

A* , [ ]4311

ili eliminiranjem odnosa pritisaka preko Machovog broja moe se dobiti odnos

povrina samo u njegovoj u funkciji u posmatranom presjeku mlaznika

( )121

2

2

11

1

21 +

+

+= M

MA

A

*

. [ ]4411

Na osnovu dobijenih izraza moe se nacrtati jedan zajedniki dijagram promjena karakteristinih parametara izentropskog toka du De Lavalovog

mlaznika u zavisnosti od odnosa pritisaka, kako je to ilustrirano na slici 11-6. Za razliku od prethodno razmatranih parametara, koji imaju lokalni

karakter i mijenjaju se du mlaznika, maseni protok ostaje konstantan za dati odnos pritisaka na ulaznom i izlaznom presjeku mlaznika. Stoga je interesantno analizirati maseni protok u funkciji odnosa pritisaka, to jest

( )1PPfm =& , gdje se umjesto promjene pritiska du kanala razmatra promjena

pritiska u nekom uoenom presjeku, najee izlaznom.


Ako se u jednainu kontinuiteta [ ]211 uvrste odgovarajui izrazi za brzinu, jednaina [ ]2211 , i specifini volumen, jednaina [ ]3811 , dobija se izraz za maseni protok u funkciji odnosa pritisaka

=

+

1

1

2

11

1

1

2

P

P

P

P

v

PAm& . [ ]4511

Uvjet za maksimalni maseni protok fluida jeste

012

11

1

12

1

1

=

+

=

+

P

P

P

P

P

Pd

md & , [ ]4611

a ispunjen je za

1

1

11

2

P

P

P

P *=

+=

. [ ]4711

Slika 11-6 Shematski prikaz promjena karakteristinih parametara du konvergentno-divergentnog mlaznika

v1

A

1

v

wmax

1 (P*/P10 (P/P1)

A

w v

w


235

Sada je sasvim jasno da e maksimalni protok fluida biti kada je pritisak u

presjeku A jednak kritinom presjeku i kada je njegova brzina jednaka brzini zvuka. Dakle, ovi uvjeti odgovaraju kritinom presjeku, pa se izraz za

maksimalni protok moe dobiti ako se u jednainu kontinuiteta uvrste kritini parametri

1

1

1

1

1

2 +

+==v

PAwAm****max

& . [ ]4811

Shematski prikaz funkcije ( )

1PPfm =& prema jednaini [ ]4511 dat je

na slici 11-7, koja pokazuje da se smanjivanjem pritiska u izlaznom presjeku mlaznika u odnosu na pritisak u rezervoaru protok plina poveava sve dok ne

dostigne maksimalnu vrijednost u momentu kada pritisak u kritinom presjeku

ima kritinu vrijednost. Daljnje sniavanje izlaznog pritiska, prema jednaini

[ ]4511 , uvjetovalo bi smanjenje masenog protoka, to je suprotno praktinim opaanjima. Zapravo, kada maseni protok jedanput dostigne maksimalnu

vrijednost i kada svi parametri u kritinom presjeku budu kritini, daljnje

sniavanje pritiska nizvodno od kritinog presjeka ne moe se signalizirati

fluidu uzvodno, tako da maseni protok ostaje nepromijenjen.

Slika 11-7 Shematski prikaz zavisnosti masenog protokaod odnosa pritisaka

1 (P*/P1) 0 (P/P1)

max

m

m

Documents

thermodynamics, termodinamika nagib neimarlija ch 11