Embed Size (px)
Citation preview
PredgovorPredgovor
Skripta predstavlja priručnik za predmet: „Termodinamika” i napisan je u skladu sa akreditovanim studijskim programima Visoke tehničke škole strukovnih studija u Subotici.
U skripti su obrađeni osnovni pojmovi iz oblasti termodinamike koji su neophodni za uspešno savladavanje gradiva koje se izlaže u okviru drugih nastavnih predmeta, koji se oslanjaju na ovaj predmet.
Skripta se sastoji iz 13 poglavlja:
Popis oznaka
Sadržaj
1. Uvod
2. Nulti zakon termodinamike
3. Zakon održanja energije
4. Idealni gasovi 1
5. Avogadro-ov zakon
6. Smeše gasova
7. Idealni gasovi 2
8. Povratni i nepovratni procesi
9. Drugi zakon termodinamike
10 . Primeri ciklusa
11. Izmena toplote
12. Isparavanje i kondenzacija
13. Realni gasovi
13. Realni gasovi
Popis oznakaPopis oznaka
Oznaka Objašnjenje
kg Kilogram
2m Kvadratni metar
3m Kubni metar
ρ Gustina
C Stepen Celsiusa
F Stepe Fahrenheita
Pa Pascal
ϕ Veličina
γβα ,, Konstante
mm Masa molekula
msV Maseni tok
τ Vreme
ℜ Univerzalna gasna konstanta
0N Loschmidt-Avogadrova konstanta
)1( kmolV Molarna zapremina
χ Odnos toplotnih kapaciteta
η Stepen korisnog dejstva
vr Kompresioni odnos
2
Oznaka Objašnjenje
β Odnos specifičnih zapremina
*j Ukupna energija
ε Emisioni koeficijent
σ Stefan-Boltzmannova konstanta
λ Koeficijent toplotne provodnosti
δ Debljina
q Gustina toplotnog toka
α Koeficijent prelaza toplote
Φ Toplotni tok
A Površina
A Tačka
a Dužina ivice
A Atomska masa
a Koeficijent
B Tačka
b Zapremina molekula
C Toplotni kapacitet
c Specifični toplotni kapacitet
C Molarni specifični toplotni kapacitet
cal Kalorija
E Energija
e Specifična energija
e Eksergija
F Sila
g Gravitaciono ubrzanje
3
Oznaka Objašnjenje
G Sila
G Težina
g Maseni odnos
h Visina
H Entalpija
h Specifična entalpija
Hg Živa
I Impuls
J Joule
K Kelvin
k Boltzmannova konstanta
k Koeficijent prolaza toplote
K Kritična tačka
L Visina
m Masa
m Metar
M Molekulska masa
M Molarna masa
mm Milimetar
N Newton
N Broj molekula
n Količina materije
n Broj slojeva ravne ploče
p Pritisak
Q Toplota
4
Oznaka Objašnjenje
q Specifična toplota
R Rankin
R Gasna konstanta
R Toplotni otpor
r Poluprečnik
r Toplota isparavanja
s Sekunda
s Put
s Specifična entropija
S Entropija
t Temperatura
T Apsolutna temperatura
t Vreme
T Termodinamička temperatura
U Unutrašnja energija
u Specifična unutrašnja energija
v Specifična zapremina
V Zapremina
v Brzina
w Brzina
W Rad
w Specifični rad
x, y, z Promenljive
x, y, z Veličine stanja
x Sadržaj pare
5
Oznaka Objašnjenje
y Sadržaj vode
z Zapreminski odnos
6
SadržajSadržaj
Predgovor ...................................................................................................................... 1
Popis oznaka .................................................................................................................. 2
Sadržaj ........................................................................................................................... 7
1. Uvod ........................................................................................................................ 11
1.1. Zadatak nauke o toploti ..................................................................................... 11
1.2. Definicije pojedinih pojmova ............................................................................ 11
1.2.1. Termodinamički sistem .............................................................................. 11
1.2.2 . Energija ...................................................................................................... 12
1.2.3. Stanje tela ................................................................................................... 12
1.2.4. Agregatna stanja ......................................................................................... 12
1.2.5. Homogene materije .................................................................................... 13
1.2.6. Ravnotežna stanja ....................................................................................... 13
1.3. Fizičke veličine .................................................................................................. 14
1.3.1. Intenzivne i ekstenzivne veličine ............................................................... 14
1.3.2. Masa ........................................................................................................... 14
1.3.3. Težina ......................................................................................................... 15
1.3.4. Specifična zapremina ................................................................................. 15
1.3.5. Gustoća ....................................................................................................... 15
1.3.6. Temperatura ................................................................................................ 15
1.3.7. Pritisak ........................................................................................................ 17
1.4. Neki oblici energije ........................................................................................... 18
1.4.1. Potencijalna energija .................................................................................. 19
1.4.2. Kinetička energija ....................................................................................... 19
1.4.3. Unutrašnja energija ..................................................................................... 19
1.4.4. pV energija (potencijalna energija pritiska gasa) ...................................... 19
1.5. Jednačine stanja ................................................................................................. 20
1.6. Rad ..................................................................................................................... 22
7
1.6.1. Rad pri promeni zapremine ........................................................................ 22
1.7. Toplota ............................................................................................................... 26
1.7.1. Razlika između toplote i temperature ......................................................... 28
1.8. Molekularno kinetička predstava toplote .......................................................... 29
2. Nulti zakon termodinamike ...................................................................................... 31
3. Zakon održanja energije ........................................................................................... 32
3.1. Joule-ov eksperiment ......................................................................................... 33
3.2. Prvi zakon termodinamike (Zakon održanja energije) ...................................... 33
3.2.1. Entalpija, tehnički rad ................................................................................. 34
3.2.2. Neki izrazi koji proizlaze iz prvog zakona termodinamike ........................ 36
4. Idealni gasovi 1 ........................................................................................................ 38
4.1. Boyle-Mariotte-ov zakon .................................................................................. 38
4.2. Gay-Lussac-ov zakon ........................................................................................ 40
4.3. Jednačina stanja idealnih gasova (Clapeyron-ova jednačina) ........................... 42
5. Avogadro-ov zakon .................................................................................................. 43
5.1. Kilomol - individualna jedinica mase .............................................................. 43
5.2. Avogadro-ov zakon ........................................................................................... 44
5.3. Univerzalna gasna konstanta ............................................................................. 45
6. Smeše gasova ........................................................................................................... 46
6.1. Dalton-ov zakon ................................................................................................ 46
6.2. Maseni i zapreminski sastav smeše ................................................................... 46
6.2.1. Maseni sastav smeše ................................................................................... 47
6.2.2. Zapreminski sastav smeše .......................................................................... 47
6.2.3. Maseni sastav smeše ako je poznat zapreminski sastav ............................. 47
6.2.4. Zapreminski sastav smeše, ako je poznat maseni sastav ............................ 48
6.2.5. Gasna konstanta smeše ako je poznat maseni sastav .................................. 48
6.2.6. Parcijalni pritisci za poznat maseni sastav ................................................. 49
6.2.7. Parcijalni pritisci za poznat zapreminski sastav ......................................... 49
6.2.8. Specifični toplotni kapacitet smeše ............................................................ 49
7. Idealni gasovi 2 ........................................................................................................ 51
7.1. Joule-ov zakon ................................................................................................... 51
7.2. Specifični toplotni kapaciteti idealnih gasova ................................................... 52
7.2.1. Molarni specifični toplotni kapacitet .......................................................... 53
7.3. Promene stanja idealnih gasova ........................................................................ 56
7.3.1. Promena stanja pri stalnoj zapremini (izohora) .......................................... 56
8
7.3.2. Promena stanja pri stalnom pritisku (izobara) ............................................ 57
7.3.3. Promena stanja pri stalnoj temperaturi (izoterma) ..................................... 58
7.3.4. Promena stanja po adijabati ........................................................................ 59
7.3.5. Politropske (mnogovrsne) promene stanja ................................................. 63
8. Povratni i nepovratni procesi .................................................................................... 67
8.1. Povratnost promena stanja ................................................................................. 68
8.1.1. Povratnost izobarne (izohorne) promene stanja ......................................... 68
8.1.2. Povratnost izotermske promene stanja ....................................................... 69
8.1.3. Povratnost adijabatske promene stanja ....................................................... 69
8.2. Kružni procesi, ciklusi ....................................................................................... 69
8.2.1. Rezervoari toplote ...................................................................................... 71
8.2.2. Stepen korisnog dejstva .............................................................................. 71
8.2.3. Carnot-ov ciklus ......................................................................................... 72
9. Drugi zakon termodinamike ..................................................................................... 74
9.1. Nepovratnost i dobijanje rada ............................................................................ 75
9.2. Analitička formulacija drugog zakona termodinamike ..................................... 77
9.2.1. Carnot-ov ciklus u xy dijagramu ................................................................ 78
9.3. Entropija ............................................................................................................ 82
9.3.1. Entropija i nepovratnost ............................................................................. 82
9.3.2. Gubici usled nepovratnosti ......................................................................... 83
9.3.3. Opšti analitički izraz drugog zakona termodinamike ................................. 84
9.3.4. Maksimalan rad .......................................................................................... 84
9.3.5. Eksergija ..................................................................................................... 86
9.3.6. Proračun entropije za idealne gasove ......................................................... 86
9.4. Promene stanja idealnih gasova u Ts dijagramu ............................................... 87
9.4.1. Izohorska i izobarska promena stanja u Ts dijagramu ............................... 87
9.4.2. Politropska promena stanja u Ts dijagramu ............................................... 88
9.5. Prigušivanje ....................................................................................................... 89
10. Primeri ciklusa ........................................................................................................ 91
10.1. Carnot-ov ciklus .............................................................................................. 92
10.2. Brayton-Joule-ov ciklus .................................................................................. 93
10.3. Otto ciklus ....................................................................................................... 94
10.4. Diesel ciklus .................................................................................................... 95
10.5. Stirling-ov i Ericsson-ov ciklus ....................................................................... 96
10.6. Ciklus između stalnih pritisaka ....................................................................... 98
9
11. Izmena toplote ...................................................................................................... 100
11.1. Mehanizmi izmene toplote ............................................................................ 100
11.1.1. Kondukcija ............................................................................................. 101
11.1.2. Konvekcija .............................................................................................. 101
11.1.3. Radijacija ................................................................................................ 101
11.2. Izmena toplote kondukcijom ......................................................................... 102
11.2.1. Temperaturno polje ................................................................................ 102
11.2.2. Koeficijent toplotne provodnosti ............................................................ 103
11.2.3. Jednodimenzionalno provođenje toplote (kondukcija) kroz jednoslojnu ravnu ploču uz konstantne temperature na spoljnim površinama ...................... 103
11.2.4. Jednodimenzionalno provođenje toplote (kondukcija) kroz višeslojnu ravnu ploču uz konstantne temperature na spoljnim površinama ...................... 104
11.2.5. Jednodimenzionalan prolaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz jednoslojnu ravnu ploču ..................................................................................... 106
11.2.6. Jednodimenzionalan prolaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz višeslojnu ravnu ploču ........................................................................................ 107
11.2.7. Jednodimenzionalno provođenje toplote kroz jednoslojni zid cilindra uz konstantne temperature na spoljnim površinama ............................................... 108
11.2.8. Jednodimenzionalno provođenje toplote kroz višeslojni zid cilindra uz konstantne temperature na spoljnim površinama ............................................... 110
11.2.9. Jednodimenzionalan prolaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz zid cilindra ................................................................................................................ 111
11.2.10. Kritični poluprečnik cilindričnog zida ................................................. 112
11.2. 1 1. Jednoslojno izolovan zid cevi ................................................................... 114
11. 3 . Izmena toplote konvekcijom ............................................................................. 115
12. Isparavanje i kondenzacija ............................................................................... 117
12.1. Linija napetosti .............................................................................................. 117
12.2. Granične linije ............................................................................................... 118
12.3. Kritično stanje ............................................................................................... 119
12.4. Topljenje, sublimacija ................................................................................... 121
12.5. Toplota isparavanja ................................................................................... 122
12.5.1. Sadržaj pare ............................................................................................ 123
12.5. 2 . Entalpija, unutrašnja energija i entropija vlažne pare ................................ 123
12. 6 . hs dijagram vodene pare .................................................................................... 124
13. Realni gasovi .................................................................................................... 126
10
1.1. UvodUvod
1.1. Zadatak nauke o toploti
Nauka o toploti proučava pojave koje se u prirodi odigravaju kada toplota, odnosno toplotna energija prelazi sa jednog tela na drugo, kada toplota prolazi kroz neko telo, odnosno kada se menja takozvano toplotno stanje tela1. Drugim rečima, nauka o toploti proučava pojave izmene toplote među telima.
1.2. Definicije pojedinih pojmova
U nastavku su date definicije pojedinih pojmova koji su potrebni za razumevanje daljih razmatranja.
1.2.1. Termodinamički sistem
Termodinamički sistem predstavlja konačnu količinu materije ograničenu zatvorenom površinom koja može biti stvarna, na primer unutrašnja površina rezervoara, ili zamišljena, na primer površina koja ograničava i prati odgovarajuću količinu materije tokom strujanja kroz cevovod.
Materija koja čini sistem i koja učestvuje u termodinamičkim procesima, naziva se radno telo – radni medij.
Ako između termodinamičkog sistema i okoline nema razmene materije, sistem je zatvoren, dok je u suprotnom slučaju otvoren.
1 Pojam toplotnog stanja tela, objasniće se u nastavku.
11
1.2.2. Energija
Energija se definiše kao mogućnost ili sposobnost tela, odnosno sistema2, da vrši rad. Karakteristika svih oblika energije je da se energija jednog oblika može pretvoriti u energiju(e) drugog oblika. Toplota je jedan vid energije i ona se može dobiti pretvaranjem drugih oblika energije u toplotnu energiju (nevidljivo kretanje molekula tela) i obrnuto, toplotna se energija može pretvoriti u neki drugi oblik energije (na primer: prilikom savladavanja trenja nastaje toplotna energija na račun mehaničkog rada, a pri isparavanju vode i dizanju vodenih para u vis, vrši se mehanički rad na račun toplotne energije, koja se dovodi vodi pri isparavanju).
1.2.3. Stanje tela
Stanjem nekog tela naziva se sklop niza njegovih fizičkih svojstava (veličina), koja su posredno ili neposredno pristupačna merenju (na primer: pritisak, temperatura, gustoća, vlažnost, električni otpor...). Svako od mnogobrojnih svojstava tela jeste veličina stanja, jer je njegova vrednost značajna za dotično stanje.
Termodinamička (toplotna) svojstva opisuju ona merljiva svojstva tela, čije je poznavanje potrebno radi razumevanja termodinamike. Ova fizička svojstva, (na primer: pritisak, temperatura, specifična zapremina) veoma su zavisna o toplotnom stanju tela, te se ona mogu iskoristiti za određivanje toplotnog stanja tela i omogućavaju definisanje toplotnog stanja tela ograničenim brojem fizičkih svojstava, što će se pokazati u nastavku. Pri opisivanju toplotnog stanja tela ne uzimaju se u obzir ona svojstva, koja za toplotno stanje nisu bitna (na primer električna svojstva...).
1.2.4. Agregatna stanja
Daljnja razmatranja će zadovoljiti podela agregatnih stanja materije na tri glavna oblika: gasovito, tečno i čvrsto stanje. U čvrstom stanju, materija se velikim otporom suprotstavlja promeni oblika i zapremine. Tečne i gasovite materije dozvoljavaju promenu oblika bez primetnog otpora ako zapremina ostaje nepromenjena i ako deformacije teku polako. Po Prandtl-u se može reći da u gasu ili u tečnosti koja je u unutrašnjoj ravnoteži, nema otpora protiv polagane promene oblika. Tečnosti se velikim otporom suprotstavljaju promeni zapremine. One su praktično nestišljive, dok se gasovima može menjati zapremina promenom pritiska.
2 U nastavku će se pojmovi „sistem“ i „telo“ koristiti naizmenično, ali oba pojma predstavljaju sistem koji se analizira.
12
1.2.5. Homogene materije
U nastavku će se uglavnom proučavati promene stanja materija koje su fizički homogene. Materija je homogena, ako je i u najmanjem prostornom delu jednolično gusto raspoređena. Najmanji prostorni deo u sebi još uvek sadrži veliki broj molekula. Uslov homogenosti ispunjen je kod hemijski čistih materija (ako one uopšte postoje) i ako nije izmešano više agregatnih stanja. Osim toga i dobro izmešane smeše gasova zadovoljavaju uslov homogenosti (na primer atmosferski vazduh).
U nastavku će se analizirati stanja koja su nezavisna od oblika. Prema rečenome, to su gasovito i tečno stanje u kojima se može zanemariti unutrašnje trenje. U tom slučaju u nekom zamišljenom preseku AB (Slika 1) ne mogu delovati smicajne (tangencijalne) sile (nema trenja), ako se slojevi ne pomeraju previše brzo. Sile mogu delovati samo u pravcu normale (na primer na graničnoj površini između tečnog i gasovitog tela).
AB
Slika 1 Homogene materije
1.2.6. Ravnotežna stanja
U opštem slučaju, vrednosti fizičkih veličina nekog izolovanog sistema menjaju se u funkciji vremena.
Ako se unutar sistema pojavljuju različiti pritisci ili elastična naprezanja, sistem će se pomerati. Vremenom, prestaju pomeranja, promene zapremina, i kada se to dogodi, može se reći da je sistem u mehaničkoj ravnoteži.
Ako su pojedine tačke unutar sistema na različitoj temperaturi, može se videti da će se temperature tačaka sistema menjati u funkciji vremena. Ova promena će se tokom vremena sve više smanjivati, da bi na kraju u potpunosti prestala. Kada se to dogodi, može se reći da je sistem u toplotnoj ravnoteži.
13
Ako se unutar sistema ne odvijaju nikakve hemijske reakcije, može se reći da je sistem u hemijskoj ravnoteži.
Za sistem koji se nalazi u mehaničkoj, toplotnoj i hemijskoj ravnoteži, može se reći da se nalazi u termodinamičkoj ravnoteži.
1.3. Fizičke veličine
U nastavku su date definicije pojedinih fizičkih veličina koje su potrebne za razumevanje daljih razmatranja. Ostale potrebne fizičke veličine, odnosno detaljnija objašnjenja veličina definisanih u ovom poglavlju, uvodiće se naknadno u zavisnosti od potreba.
1.3.1. Intenzivne i ekstenzivne veličine
Fizičke veličine, mogu se podeliti u dve osnovne kategorije: intenzivne i ekstenzivne veličine. Intenzivna veličina, odnosno njena vrednost, ne zavisi od količine materije, dok je ekstenzivna veličina, odnosno njena vrednost, u direktnoj vezi sa količinom materije.
Drugim rečima, ako se jedan sistem podeli na više zamišljenih delova, tada veličine čija je vrednost za ceo sistem jednaka zbiru vrednosti veličine u delovima predstavljaju ekstenzivne veličine, dok veličine čija vrednost za ceo sistem nije jednaka zbiru vrednosti veličine u delovima predstavljaju intenzivne veličine.
Temperatura, pritisak, specifična zapremina i gustoća, primeri su intenzivnih veličina, dok su masa i ukupna zapremina primeri ekstenzivnih veličina.
Količnik vrednosti neke ekstenzivne veličine i mase sistema predstavlja prosečnu specifičnu vrednost veličine.
Ekstenzivne veličine se obično obeležavaju velikim slovima, dok se intenzivne veličine obično obeležavaju malim slovima.
1.3.2. Masa
Masa tela m jeste mera količine materije u telu: [ ]kgm... 3.
3 U uglastim zagradama će se definisati jedinice pojedinih veličina u odgovarajućem sistemu jedinica.
14
1.3.3. Težina
Težina tela G jeste sila kojom telo deluje kada mu je masa ubrzana u gravitacionom
polju g. Odnos između mase i težine je:
== N
s
mkgmgG
2... .
1.3.4. Specifična zapremina4
Prosečna specifična zapremina v tela jeste odnos ukupne zapremine tela V i
ukupne mase tela:
=
kg
m
m
Vv
3
... .
Specifične vrednosti veličina mogu se definisati i u svim tačkama sistema, na isti način kao i prosečne specifične vrednosti veličina, ako se posmatra jedan infinitezimalni element zapremine dV u kojoj se nalazi analizirana tačka sistema. Ako se u infinitezimalnom elementu zapremine nalazi odgovarajuća masa materije dm , može se napisati da je specifična zapremina v u posmatranoj tački:
=
kg
m
dm
dVv
3
... .
1.3.5. Gustoća
Prosečna gustoća tela ρ jeste odnos ukupne mase tela i ukupne zapremine tela:
==
3...
1
m
kg
vV
mρ . Gustoća tela u nekoj tački sistema ρ jeste:
==
3...
1
m
kg
vdV
dmρ .
1.3.6. Temperatura
Temperatura t predstavlja meru molekularne aktivnosti materije. Što je kretanje, odnosno kinetička energija molekula veća, temperatura je viša. Temperatura predstavlja relativnu meru „toplote“ odnosno „hladnoće“ tela i može se koristiti za predviđanje smera prelaza toplote, odnosno toplotne energije.
Za merenje, odnosno određivaje temperature, mogu se iskoristiti različite promene fizičkih svojstava tela koja zavise od temperature. Svako fizičko svojstvo dostupno lakom i preciznom merenju (na primer promena zapremine tela pri promeni
4 Prilikom razmatranja termodinamičkih problema, nekada će se koristiti stvarne vrednosti neke veličine, a nekada specifične vrednosti neke veličine, gde specifične vrednosti predstavljaju vrednosti po jediničnoj količini materije, te će se nekada izostaviti pojam „specifičan“, ali će se prilikom razmatranja jednoznačno videti o kojoj se veličini radi.
15
temperature), a zavisno od temperature, može se iskoristiti za njeno praktično određivanje.
Merenje temperature najčešće se vrši pomoću živinog termometra. On se sastoji od staklene kuglice koja se produžava u kapilaru. Kuglica je napunjena živom, a u kapilari je obično vakuum. Pored kapilare nalazi se graduisana skala. Pri porastu temperature žive, ona se širi i penje do izvesne visine. Ako se u istu tečnost stavi nekoliko termometara različitih dimenzija i oblika, živa se neće u svima popeti do iste visine. Visina penjanja žive zavisi od temperature i prečnika kapilare. Ako se jedan isti termometar više puta stavi u vodu u kojoj ima leda koji se topi (konstantna temperatura), onda će se živa popeti uvek do iste visine. Iz toga se zaključuje da se topljenje leda pri određenim uvek istim uslovima, na primer pri takozvnim normalnim uslovima5, uvek vrši na istoj temperaturi. Ta temperatura može da posluži kao reperna tačka, jer se uvek može lako ostvariti. Toj temperaturi data je konvencionalno vrednost [ ]Ct ...0= . Voda pod istim uslovima uvek ključa na istoj temperaturi, jer se živa u istom termometru uvek popne do iste visine. Toj temperaturi data je konvencionalno vrednost [ ]Ct ...100= . Pod pretpostavkom da između širenja žive i temperature postoji linearna zavisnost, može se rastojanje između te dve temperature podeliti na 100 jednakih delova. To je Celsius-ova skala.
Kada se umesto žive u termometru upotrebi neka druga materija, na primer alkohol, pokazivanje ovakvog termometra će se sa živinim termometrom poklapati samo kod
[ ]C...0 i [ ]C...100 . Kod ostalih temperatura pokazivanje se neće poklapati usled različite promene zapremine sa temperaturom kod različitih materija.
Pošto je izbor stalnih temperaturnih tačaka i podeljaka skale proizvoljan, postoji mnoštvo temperaturnih skala od kojih će se samo nekoliko prikazati u sledećem potpoglavlju. Nedostatak ovih skala je zavisnost pokazivanja termometra od vrste termometarske materije, pošto se svaka materija odlikuje samo njoj karakterističnim, uglavnom nelinearnim promenama svojstava sa temperaturom.
Temperatura tela, izmerena pomoću termometarskog uređaja sa realnom termometarskom materijom, naziva se empirička temperatura, za razliku od temperature očitane na termodinamičkoj skali6.
5 Za normalne uslove uzima se da su gravitaciono ubrzanje, gustina žive i pritisak definisani sledećim
vrednostima:
[ ]mmHgm
Np
m
kg
s
mg
Hg
...760...1001325.1
...1.13595
...80665.9
25
3
2
=
⋅=
=
=
ρ .
6 Termodinamička skala temperature zasniva se na drugom zakonu termodinamike i ne zavisi od svojstava termometarske materije (neće se posebno razmatrati). Temperatura na termodinamičkoj skali računa se od temperature apsolutne nule i označava sa [ ]KT ... , gde je K Kelvin.
Apsolutna temperatura tela može da se izmeri pomoću termometarskog uređaja u kome se za termometarsku materiju koristi vrlo razređen gas. Zapremina koju zauzima ovaj razređeni gas i njegov pritisak, direktno su srazmerni njegovoj apsolutnoj temperaturi (vrlo razređen gas ponaša se kao idealan gas). Prema tome, skala gasnog termometra na neki način predstavlja skalu apsolutne temperature. Pojam apsolutne temperature će se delimično razmatrati u nastavku.
16
Razređeni gasovi se mnogo više i pravilnije šire od žive ili drugih tečnosti. Zbog velikog širenja gasa, može se širenje stakla zanemariti (kod drugih termometara potrebno je i širenje stakla uzimati u obzir). Zbog toga se za naučno određivanje temperaturne skale koristi gasni termometar.
Za merenje temperature koriste se i bimetalni termometri, električni termometri (termometri sa električnim otporom i termoelementi), optički pirometri...7
Temperaturne skale
Za merenje se obično koriste Celsius-ova i Fahrenheit-ova temperaturna skala. Celsius-ova skala deli temperaturni opseg između temperature topljenja leda i temperature ključanja vode na 100 podeoka. Fahernheit-ova skala [ ]F ovaj opseg deli na 180 podeljaka. Nulta tačka Celsius-ove skale je temperatura topljenja leda. Temperatura topljenja leda po Fahernheit-ovoj skali iznosi [ ]F...32 , a temperatura ključanja vode [ ]F...212 8.
Odnosi između dve temperaturne skale dati su sledećim jednačinama:
( )9
532
5
932
−=
⋅+=
FC
CF
.
Osim pomenutih temperaturnih skala, koriste se i apsolutne temperaturne skale kod kojih nulta tačka odgovara apsolutnoj nuli, i to Kelvin-ova skala [ ]K kod koje veličina podeoka odgovara veličini podeoka kod Celsius-ove skale, i Rankin-ova skala [ ]R kod koje veličina podeoka odgovara veličini podeoka kod Fahrenheit-ove skale:
15.460
15.273
+=
+=
FR
CK
.
1.3.7. Pritisak
Pritisak
= Pam
Np 2... jeste mera sile koja deluje po jedinici površine koja
ograničava posmatranu materiju, odnosno sistem. Pritisak je uzrokovan sudaranjem molekula materije sa granicama sistema. Udarajući u granice sistema, molekuli deluju na sistem silom koja pokušava da odgura granice. Ova sila uzrokuje pritisak kojim sistem deluje na okolinu. Kada vlada mehanička ravnoteža pritisak unutar tela je svuda isti. U materijama bez trenja pritisak deluje u svim pravcima podjednako, uz pretpostavku da nema ubrzavanja čestica.
Osim jedinice [ ]Pa u upotrebi su bile, ili su i danas u upotrebi različite jedinice za pritisak. Sledeća tabela daje odnose između različitih jedinica za pritisak (Tabela 1).
7 Ovi termometri neće se posebno razmatrati.8 Nulta tačka Fahrenheit-ove skale po nekim izvorima jeste najniža temperatura koja može da se ostvari mešavinom leda i slane vode.
17
Tabela 1 Odnosi između različitih jedinica za pritisak
Jedinice pritiska
Paskal[ ]Pa
Bar[ ]bar
Tehnička atmosfera
[ ]at
Fizička atmosfera
[ ]atm
Torr[ ]mmHg
Funta po kvadratnom
inču[ ]psi
1 Pa 1 10−5 10.197×10−6 9.8692×10−6 7.5006×10−3 145.04×10−6
1 bar 100 000 1 1.0197 0.98692 750.06 14.5041 at 98 066.5 0.980665 1 0.96784 735.56 14.223
1 atm 101 325 1.01325 1.0332 1 760 14.6961 Torr 133.322 1.3332×10−3 1.3595×10−3 1.3158×10−3 1 19.337×10−3
1 psi 6,894.76 68.948×10−3 70.307×10−3 68.046×10−3 51.715 1
U tehnici se najčešće meri razlika između stvarnog pritiska sp i atmosferskog pritiska ap . Ako je ass ppp >= 1 , razlika stvarnog i atmosferskog pritiska naziva se natpritisak: as ppp −=∆ 11 . U termodinamičkim proračunima pritisak p uvek predstavlja stvarni, apsolutni pritisak: spp = . Ako je ass ppp <= 2 , razlika stvarnog i atmosferskog pritiska as ppp −=∆ 22 , naziva se potpritisak ili vakuum (Slika 2).
0
PS2
P1s
Pa
P 1
P 2
natpritisak
potpritisak
0
Slika 2 Natpritisak i vakuum
1.4. Neki oblici energije
U nastavku su date definicije pojedinih pojavnih oblika energije koje su potrebne za razumevanje daljih razmatranja.
18
1.4.1. Potencijalna energija
Potencijalna energija pE jeste energija položaja tela: [ ]JmghEp ...= 9, gde je h visina iznad neke referentne tačke.
1.4.2. Kinetička energija
Kinetička energija kE jeste energija kretanja tela: [ ]Jmw
Ek ...2
2
= , gde je w brzina
kretanja tela.
1.4.3. Unutrašnja energija
Potencijalna i kinetička energija jesu makroskopski oblici energije. One se mogu prikazati u vidu položaja, odnosno brzine posmatranog tela. Tela poseduju i nekoliko mikroskopskih oblika energije, koji uključuju rotaciju, vibraciju, translaciju i međudejstva između molekula tela. Ovi oblici energije ne mogu se meriti direktno, ali su razvijene metode za proračun ukupne promene svih mikroskopskih oblika energije, koje su potrebne prilikom analize najvećeg broja tehničkih problema. Ovi oblici energije zajednički se zovu unutrašnja energija [ ]JU ... 10.
Specifična unutrašnja energija u jeste unutrašnja energija po jedinici količine materije:
=
kg
J
m
Uu ... .
1.4.4. pV energija (potencijalna energija pritiska gasa)
Uz unutrašnju energiju, postoji još jedan oblik energije koji je bitan za razumevanje procesa izmene energije. On se naziva potencijalna energija pritiska gasa ili pV energija [ ]JpV ... , jer potiče od pritiska i zapremine gasa. Vrednost joj je umnožak pritiska i zapremine. Pošto je energija definisana kao sposobnost, odnosno mogućnost tela, odnosno sistema da vrši rad, telo kod kojeg je omogućena ekspanzija vrši rad nad okolinom. Stoga gas pod pritiskom ima mogućnost vršenja rada.
9 Jedinice energije koje se upotrebljavaju u praksi mnogobrojne su i različite, ali je osnovna jedinica energije Međunarodnog sistema jedinica džul [ ] [ ] [ ]WsNmJ == . Neke od njih koje se kod nas sreću
u praksi jesu kalorija [ ] [ ]Jcal 1868.4= , vatsat [ ] [ ]JWh 3600= i kilopondmetar [ ] [ ]Jkpm 80665.9= .
10 Pojam unutrašnje energije detaljnije će se razmatrati u nastavku.
19
Specifična pV energija pv , jeste pV energija po jedinici količine materije:
=kg
J
m
pVpv ... .
1.5. Jednačine stanja
Unutrašnji pritisak kod gasova i tečnosti ne zavisi od oblika zauzetog prostora. On zavisi samo od vrste materije, od njene temperature i gustoće, odnosno od specifične zapremine. Ovaj stav važi ako su ispunjeni uslovi unutrašnje ravnoteže i homogenosti.
Stanje tela određeno je izvesnim veličinama iϕ ...)3,2,1( =i koje se nazivaju veličine stanja. Promenom veličina stanja, menja se i stanje tela (ne moraju da se menjaju sve veličine stanja)11.
Veličine stanja potpuno određuju stanje tela, a stanje tela potpuno određuje veličine stanja. Veličine stanja, odnosno stanje tela, ne zavisi od načina (puta) na koji se stiglo u odgovarajuće stanje.
Za termodinamičke procese najvažnije veličine stanja jesu pritisak, specifična zapremina i temperatura. Osim ovih veličina stanja postoje i druge, o kojima će kasnije biti reči.
Iskustveno je pokazano, da su za jedno telo veličine stanja međusobno zavisne.
Neka je na primer stanje tela (gasa) u nekom rezervoaru određeno veličinama p1, v1, t1. Ako se jedan deo gasa pusti u drugi sud i ako se pri tome celokupan gas hladi, veličine stanja će promeniti svoju vrednost na p2, v2, t2. Ako se pomoću pumpe sav gas vrati u prvi rezervoar, specifična zapremina v3 biće jednaka specifičnoj zapremini v1 , jer je količina gasa ista kao na početku, a zapremina rezervoara je nepromenjena. Pritisak p3 i temperatura t3 razlikovaće se od početne temperature i pritiska. Ako se rezervoar hladi ili zagreva može se postići temperatura t3 koja odgovara početnoj temperaturi. Na taj način su temperatura i specifična zapremina gasa identične početnim vrednostima. Ako se manometrom izmeri pritisak, videće se da i pritisak ima vrednost identičnu početnoj. Ovakav i slični eksperimenti pokazuju da su od svih veličina stanja uvek nezavisne samo dve, što znači da dve veličine stanja određuju ostale veličine stanja, odnosno samo stanje tela.
Za jedno homogeno telo, kod kojeg veličine stanja u svakoj tački imaju iste vrednosti, može se napisati zakonitost koja se određuje eksperimentalnim putem, a data je analitičkim izrazom:
0),,( =tvpf ,
koji predstavlja jednačinu stanja posmatranog tela.
11 Svaka topolotna mašina sastoji se od same mašine i radnog tela, koje je najčešće neki gas ili para. Promena stanja radnog tela izaziva pokretanje mašine (na primer pokretanje benzinskog motora), odnosno kretanje radne mašine izaziva promenu stanja radnog tela (na primer kod kompresora).
20
Za prostije slučajeve jednačina stanja može se odrediti i analitičkim putem, analizirajući unutrašnji sklop same materije12.
Slika 3 Veličine stanja u troosnom koordinatnom sistemu
U eksplicitnom obliku jednačina stanja tela može se pisati u sledećim oblicima:
),(
),(
),(
3
2
1
pvft
tpfv
tvfp
===
.
Pošto jednačine stanja predstavljaju funkcije sa dve nezavisne promenljive, u troosnom koordinatnom sistemu sa koordinatama p, v, t, definišu jednu površinu. Stanje tela je definisano jednom tačkom na površini (Slika 3).
Promene stanja tela često se odigravaju na način da jedna veličina stanja ostaje nepromenjena. Tada se promena stanja definiše u dvoosnom koordinatnom sistemu sa dve koordinate, koje definišu krivu (Slika 4).
12 Vidi poglavlje „Molekularno kinetička predstava toplote“.
21
Slika 4 Veličine stanja u dvoosnom koordinatnom sistemu
1.6. Rad
Kinetička, potencijalna, unutrašnja i pV energija, predstavljaju oblike energije, koji jesu karateristika sistema, odnosno tela. Rad W je proces koji se izvršava nad sistemom ili od strane sistema, ali sam sistem ne sadrži rad. Razlika oblika energija koje su karakteristike sistema i energija koje se prenose od i ka sistemu jeste važna činjenica u razumevanju sistema prenosa, odnosno izmene energije.
Rad je za mehaničke sisteme definisan kao dejstvo sile F na sistem duž puta s: [ ]JFsW ...= .
1.6.1. Rad pri promeni zapremine
Pogonske mašine imaju za cilj da energiju koja im stoji na raspolaganju što potpunije pretvore u mehanički rad. U toplotnim mašinama rad se dobija ekspanzijom gasova i para, odnosno promenom zapremine radnog tela.
22
Slika 5 Rad pri promeni zapremine
Neka se posmatra odnos promene zapremine nekog tela (gasa) pod pritiskom s radom. Neka su spoljni pritisak pa i unutrašnji pritisak p jednaki i nepromenjeni u posmatranom prostoru što predstavlja stanje mehaničke ravnoteže (Slika 5). Ako se granična površina A tela pomeri za ds , zapremina tela se promeni za dV , odnosno svaki element površine dA pomeri se za ds , iz čega sledi da je: dsdAVd =2 ,
odnosno: ∫=A
dsdAdV , gde integraljenje treba provesti preko čitave površine. U tom
slučaju, svaki element površine dA izvršiće protiv sile: pdAdF = duž puta ds neki rad: VpdpdAdsdFdsWd 22 === , odakle sledi da je elementarni rad pri elementarnoj promeni zapremine:
pdVVdpVpddWAA
=== ∫∫ 22
.
Za konačnu promenu zapremine rad je:
[ ]JpdVWV
V
...2
1
2,1 ∫= ,
pri čemu se mora poznavati zavisnost pritiska od zapremine.
Iz navedenoga se vidi da se kod promene stanja kod koje nema promene zapremine ne vrši nikakav rad bez obzira na to da li dolazi do promene pritiska ili ne:
00 =⇒= WdV .
Izvedene jednačine vrede za slučaj da postoji mehanička ravnoteža. Osim toga mora i pritisak preko čitave granične površine biti jednoličan, jer ako ne bi bio, tada bi dvostrukim integralom trebalo uzeti u obzir nejednolikost pritiska po površini. Ako je mehanička ravnoteža poremećena, odnosno ppa < , gas prilikom ekspanzije vrši
23
koristan rad samo protiv spoljnjeg pritiska, odnosno: pdVdVpdW ak <= . Ostatak (dVppdV a− ) se pretvara u toplotu trenja, odnosno na ubrzavanje čestica radnog tela
(povišenje njegove temperature). Prilikom kompresije, u slučaju da je ppa > , nad gasom se vrši koristan rad: dVppdVdW ak <= 13, dok se stvarno izvrši veći rad:
dVpdW a= . Na osnovu konvencije o predznaku rada prilikom kompresije, može se napisati da je: pdVdVpdW a <= .
pV dijagram
Stanje tela određeno je ako se poznaju dve veličine stanja. Stoga se stanje tela, kao i promene stanja mogu predstaviti u dijagramu u kojem se unose vrednosti dve različite veličine stanja. Za veličine stanja mogu se uzeti zapremina i pritisak, gde svakoj zapremini radnog tela odgovara neki pritisak i na taj način je određeno stanje tela. U opštem slučaju promene stanja, promenom zapremine menja se i pritisak (ali ne zavisi samo od zapremine), pa je promena stanja predstavljena nekom krivom linijom. Za promenu stanja u mehaničkoj ravnoteži rad je definisan izrazom: pdVdW = , što predstavlja elementarnu površinu na pV dijagramu između krive promene stanja i apscise (Slika 6). Ukupan rad širenja 2,1W je površina 1234. Iz navedenoga se vidi korisnost predstavljanja promene stanja u pV dijagramu.
Da bi se analitički odredio izraz: ∫=2
1
2,1
V
V
pdVW , mora biti poznata zavisnost pritiska
od zapremine: )(Vfp = . Pritisak je veličina stanja i ne zavisi samo od zapremine, nego od još jedne (bilo koje) veličine stanja, na primer od temperature: ),(1 tVfp = . Potrebno je dakle poznavati zavisnost temperature od zapremine: )(2 Vft = , da bi se eliminisanjem temperature dobila funkcija: )(Vfp = . Funkcija: )(Vfp = može imati bilo kakav oblik, a od oblika krive promene stanja zavisi i vrednost integrala
∫2
1
V
V
pdV , iz čega proizlazi da rad pri promeni stanja od 1 do 2 ne zavisi samo od
početnog i krajnjeg stanja, nego i od oblika krive promene stanja, tj. od puta odnosno načina po kome se vrši ta promena14.
13 Dogovorno je rad širenja pozitivan i vrši ga radno telo, a rad sabijanja je negativan i vrše ga spoljne sile.14 Integral nekog diferencijalnog izraza, koji je totalan diferencijal neke funkcije ne zavisi od puta po kome se vrši integraljenje, nego samo od gornje i donje granice integrala. Ako se za primer uzme funkcija: ),( yxfz = ona predstavlja neku površinu u prostornom koordinatnom sistemu. Ako se iz tačke 1 pomera u tačku 2 promenom koordinata x,y, koordinata z seče površinu definisanu funkcijom i opisuje neku krivu liniju. Bez obzira na oblik krive, ukupna promena funkcije je: 12 zzz −=∆ . Ako
se x i y promene za dx, odnosno dy, z će se promeniti za dz, gde je: dyy
zdx
x
zdz
∂∂+
∂∂= totalni
diferencijal funkcije: ),( yxfz = . Ako se integraljenje vrši po nekoj zatvorenoj krivoj liniji,
promena funkcije: ),( yxfz = je nula: ∫ =0dz , jer je krajnje stanje identično polaznom stanju.
Za integraljenje totalnog diferencijala uvek važe sledeća dva pravila:
1. Linijski integral totalnog diferencijala zavisi samo od granica integrala: 12
2
1
zzdz −=∫ ;
24
Dijagram pV daje veoma pregledno iznos rada koji se dobija ili utroši pri nekoj promeni stanja, te se stoga često koristi15.
Pošto izraz: pdVdW = nije totalni diferencijal ispravnije je pisati:
pdVW =∂ .
2. Integral totalnog diferencijala duž bilo koje zatvorene krive linije, gde je podintegralna
funkcija definisana, jednak je nuli: ∫ =0dz .
Takav je slučaj na primer sa temperaturom: ),(1 Vpft = , gde je bez obzira na način prelaska iz
stanja 11,Vp u stanje 22 ,Vp promena temperature: 12 ttt −=∆ .
Potrebno je pronaći mogućnost da se odredi da li je neki izraz dz totalni diferencijal ili nije, odnosno da li postoji funkcija: ),( yxfz = . Ako ta funkcija postoji, tada je njen totalni diferencijal:
dyy
zdx
x
zdz
∂∂+
∂∂= ili: NdyMdxdz += , gde su: ),(1 yxf
x
zM =
∂∂= i
),(2 yxfy
zN =
∂∂= .
Diferenciranjem M po y a N po x dobija se: xy
z
y
M
∂∂∂=
∂∂ 2
i yx
z
x
N
∂∂∂=
∂∂ 2
. Prema teoremi
Schwartz-a je: yx
z
xy
z
∂∂∂=
∂∂∂ 22
, odnosno: x
N
y
M
∂∂=
∂∂
. Ako je ispunjen prethodni uslov, dz je
totalni diferencijal.
Za izraz: pdVdW = , može se napisati: NdyMdxdppdVpdVdW +=+== 0 . Iz izraza
sledi da je: 1=∂∂=
∂∂
p
p
y
M, a da je: 0=
∂∂
x
N, odnosno da je:
x
N
y
M
∂∂≠
∂∂
. Na osnovu
prethodne konstatacije proizlazi da dW nije totalni diferencijal. Znači, ne postoji funkcija: ),( VpfW = . Rad nije veličina stanja, jer njegova vrednost zavisi od puta po kome se vrši
primena stanja, što se vidi iz pV dijagrama.15 Uveo ga je Benoît Paul Émile Clapeyron 1834. godine.
25
Slika 6 pV dijagram
1.7. Toplota
Toplota [ ]JQ... , kao i rad, predstavlja energiju u prelazu. Izmena energije u vidu toplote, odvija se na molekularnom nivou kao rezultat temperaturne razlike.
Kao i kod rada, količina izmenjene toplote zavisi od putanje, odnosno načina promene stanja, i nije zavisna samo od početnog i krajnjeg stanja sistema, odnosno nije veličina stanja16.
Opšte je poznata činjenica, da se zagrevanjem tela njegova temperatura povisuje, a hlađenjem se njegova temperatura snizuje17.
Toplota dodata ili oduzeta telu, koja dovodi do promene temperature je osetna toplota.
16 Objašnjenje će se dati prilikom razmatranja prvog zakona termodinamike.17 U opštem slučaju, toplota se može izmenjivati i bez promene temperature, a i uz promenu temperature suprotnog predznaka (na primer dovođenje toplote uz pad temperature), što će se prikazati prilikom razmatranja prvog zakona termodinamike.
26
Drugi vid toplote je latentna toplota18. Ona predstavlja količinu toplote dodatu ili oduzetu sistemu koja dovodi do promene faze, odnosno agregatnog stanja. Dodavanjem ili oduzimanjem latentne toplote, ne dolazi do promene temperature.
Specifična toplota predstavlja toplotu po jediničnoj količini materije:
=kg
J
m
Qq ... .
Različite materije prilikom dovođenja toplote reaguju različito, odnosno njihove temperature se menjaju različito. Količina toplote koju je potrebno dovesti telu da mu
se temperatura povisi za ]...[1 C , naziva se toplotni kapacitet tela:
=
K
J
dt
dQC ... .
Toplotni kapacitet po jedinici mase naziva se specifični toplotni kapacitet tela:
=kgK
J
m
Cc ... 19.
Ako se zagrevanje vrši od temperature 1t do temperature 2t , tada je dovedena toplota po jediničnoj količini materije:
)( 122,1
2
1
2
1
ttcdtccdtqt
t
t
t
−=== ∫∫ ,
ako je specifični toplotni kapacitet konstantan. Ako specifični toplotni kapacitet zavisi od temperature, što je najčešći slučaj, tada se može računati sa srednjom vrednošću specifičnog toplotnog kapaciteta za odgovarajući temperaturni interval20.
Specifični toplotni kapacitet nije stalna veličina. Ona najviše zavisi od temperature i zavisnost je data izrazom: ...2 +++= ttc γβα , gde su ,...,, γβα konstante za neko telo koje se određuju eksperimentalno. U opštem slučaju specifični toplotni kapacitet zavisi i od pritiska (Slika 7). Na slici je prikazana zavisnost specifičnog toplotnog kapaciteta vode u zavisnosti od pritiska i temperature.
Na osnovu prethodnog razmatranja može se zaključiti, da su rad i toplota tranzijentni, odnosno prelazni fenomeni. Sistemi nikada ne poseduju toplotu ili rad, ali toplota i rad mogu da se pojave prilikom promene energetskog stanja sistema. Oba vida energije predstavljaju energiju koja prelazi granice sistema.
18 Objašnjenje će se dati prilikom razmatranja promena faza.
19 Ona količina toplote koja se mora dovesti 1[g] vode, da bi joj se temperatura povisila za 1[ C ] naziva se kalorija [cal]. Pošto svojstva vode kao tela koje se koristi za definisanje ove jedinice za količinu toplote, zavise od pritiska i temperature, kalorija je ona količina toplote koja se dovodi 1[g] vode da bi joj se temperatura povisila sa 14.5[ C ] na 15.5[ C ], pri pritisku od 760[mmHg].
20 Neće se posebno razmatrati.
27
Slika 7 Zavisnost specifičnog toplotnog kapaciteta od pritiska i temperature
1.7.1. Razlika između toplote i temperature
Ako se dva tela A i B iste temperature stave neposredno u dodir, ništa se neće dogoditi, ako među njima postoje mehanička i hemijska ravnoteža, odnosno temperature im se neće menjati. Ako telo A ima veću masu od tela B, tada je broj molekula u prvom telu veći od broja molekula u drugom telu. Prosečna kinetička energija pojedinačnog molekula oba tela je ista, pa iako se molekuli dva tela međusobno sudaraju među njima prosečno računato nema izmene energije. Pošto su prosečne kinetičke energije svih molekula iste (ista temperatura), a pošto prvo telo ima više molekula, njegova unutrašnja energija je veća od one koju ima drugo telo. Mada telo A ima veću unutrašnju energiju od tela B ne dolazi do prelaza energije sa tela A na drugo telo, odnosno energija se ne može iskoristiti. Ako bi telo A imalo malo nižu temperaturu od tela B, a puno veću masu, imalo bi veću unutrašnju energiju od tela B, ali prilikom dodira dvaju tela energija bi prelazila sa toplijeg na hladnije telo. Sam od sebe obrnut slučaj se nikada neće dogoditi.
Onaj deo unutrašnje energije koji pod izvesnim uslovima pređe sa jednog tela na drugo, zove se toplota, odnosno toplotna energija.
28
Na osnovu gornjeg razmatranja dolazi se do zaključka, da toplota ne prelazi sa tela koje ima veću toplotnu energiju (unutrašnju energiju), nego sa tela koje ima višu temperaturu. Toplotu i temperaturu treba dobro razlikovati. Dok je temperatura veličina stanja koja zavisi od kinetičke energije molekula, toplota je oblik energije i sastoji se iz kinetičke energije svih molekula tela i potencijalne energije (pritiska) tela.
1.8. Molekularno kinetička predstava toplote
Molekularno kinetička teorija toplote objašnjava toplotne pojave u gasovima, posebno u idealnim gasovima. Idealni gasovi sastoje se od potpuno elastičnih molekula, među kojima ne deluju privlačne sile. Pri tome je zapremina koju molekuli zauzimaju zanemarljivo mala prema zapremini prostora među molekulima, odnosno molekuli se mogu zamisliti kao materijalne tačke ravnomerno raspoređene u prostoru koji zauzima gas.
Molekuli imaju neprestano haotično kretanje (Brown-ovo kretanje). Uz navedene pretpostavke, kretanje svakog molekula je pravolinijsko i jednoliko sve dok ne udari u drugi molekul ili u površinu posude u kojoj se gas nalazi.
Neka se pretpostavi da se u šupljoj kocki stranica a nalazi N molekula idealnog gasa i da je masa svakog molekula mm, a njegova brzina w. Mada je kretanje molekula potpuno haotično, zbog njihovog velikog broja, može na osnovu verovatnoće da se pretpostavi, da se po jedna trećina molekula kreće između dve nasuprotne stranice kocke. Pretpostavlja se da su molekuli idealno tvrdi i elastični elementi koji udaraju i elastično se odbijaju od idealno tvrde i elastične stranice kocke.
Ako se posmatra jedan molekul koji pređe put od jedne do nasuprotne stranice i nazad, može se napisati da on pređe put a2 za vreme: wat 2= . Za to vreme na svaku stranicu kocke udari 3/N molekula. Svaki molekul ima impuls sile wmm , odnosno kada leti ka stranici ima impuls wmm+ , a nakon što se odbije od stranice ima impuls wmm− . Promena impulsa je stoga wmm2 i ona je predata stranici
kocke. Stranica kocke ukupno dobija impuls: 3
2N
wmI m= za vreme: wat 2= .
Ako se zna da je vremenska promena impulsa jednaka sili, ona će na stranici kocke
iznositi: 2
1
3
22
32 2w
ma
N
w
a
Nwm
t
IF m
m
=== . Ako se sila koja deluje na stranici kocke
podeli sa površinom stranice 2a , dobija se pritisak koji deluje na stranicu kocke:
V
wNm
a
wm
aN
a
Fp
mm 23
2
2
1
3
2 2
2
2
2 === . Na osnovu prethodnog izraza može se napisati
da je: 23
2 2wNmpV m= , gde je:
2
2wmE mkmol = prosečna kinetička energija jednog
molekula gasa. Eksperimentalna istraživanja pokazuju, da je umnožak pV za idealne
29
gasove proporcionalan termodinamičkoj temperaturi T21. Stoga se može napisati da je: kNTpV = , gde je k Boltzmann-ova konstanta.
Može se napisati da je: kprENkNT32= , odnosno da je: kprEkT =
23
, što znači da je
temperatura gasa određena prosečnom kinetičkom energijom njegovih molekula. Prosečna kinetička energija bilo kog idealnog gasa određena je temperaturom gasa i ne zavisi od hemijskog sastava gasa, strukturi molekula gasa ili masi molekula.
21 Prikazaće se u nastavku.
30
2.2. Nulti zakonNulti zakon termodinamiketermodinamike
Obično se nulti zakon termodinamike definiše na sledeći način: „Ako su dva termodinamička sistema u toplotnoj ravnoteži sa trećim termodinamičkim sistemom, tada moraju biti u topolotnoj ravnoteži jedan sa drugim“.
Nulti zakon termodinamike je kao zakon eksplicitno izražen tek u prvoj trećini dvadesetog veka, mnogo kasnije nego što su izraženi ostali zakoni termodinamike, te je zbog toga nazvan nultim zakonom termodinamike (postavljen je ispred ostalih zakona, jer predstavlja srž termodinamičkih razmatranja).
Ovaj zakon predstavlja osnovni princip merenja temperature. Ako se na primer želi saznati da li su temperature vode u dve različite čaše iste, nije ih potrebno dovesti u dodir. Dovoljno je termometar (telo A) umočiti u jednu čašu (telo B) i sačekati da se visina živinog stuba ustali. Tada je potrebno termometar umočiti u drugu čašu (telo C). Ako je visina živinog stuba u drugom slučaju ista kao u prvom slučaju, može se reći da su temperature vode u obe čaše iste.
31
3.3. Zakon održanjaZakon održanja energijeenergije
Tela međusobno deluju tako da teže izjednačiti svoje temperature, odnosno teže toplotnoj ravnoteži. Tela u ovom slučaju međusobno izmenjuju određenu količinu energije, što se naziva prelaz toplote. Toplota kao izolovani oblik energije ne postoji, već je to samo pojmovno nasleđe iz doba kada se mislilio da je toplota materijalna i da ona kao samostalna materija prelazi sa jednog tela na drugo22. Kada se koristi izraz prelaz, odnosno dovođenje ili odvođenje toplote, misli se u stvari na izmenu energije koja je funkcija temperature.
Prelaz toplote, može da se vrši na dva principijelno različita načina:
- kod tela koja se dodiruju, predaju delići jednog tela energiju neposredno delićima drugog tela (u ovom slučaju temperature moraju monotono opadati u smeru prelaza toplotne energije);
- kod toplotnog zračenja, toplota se izmenjuje elektromagnetnim talasima i može se vršiti kroz vakuum (u ovom slučaju temperature ne moraju monotono opadati u smeru prelaza toplotne energije; pomoću sočiva i sunčevih zraka, može se upaliti papir, a da se sočivo ne zagreje).
Ako dva tela izmenjuju toplotu, jedno telo se hladi a drugo se greje. Prelaz toplote teče uvek iz područja više temperature u područje niže temperature, dakle izmenjena energija usled razlike temperature predstavlja izmenjenu toplotu.
Zbog toga se u prelaz toplote ne uključuju vidovi energije koji se iz nekog drugog razloga izmenjuju između tela (na primer električna energija, koja usled razlike električnog potencijala prelazi iz jednog tela u drugo, ili primljeni, odnosno izvršeni mehanički rad...).
Energija nekog tela može se pojaviti u različitim oblicima, na primer kao električna, potencijalna, hemijska, kinetička energija... Ako je telo izolovano od okoline, zbir količina svih oblika energije vremenom se ne menja. Ovaj iskustveni stav ne trpi izuzetke (nemoguće je izvesti perpetuum mobile), ali je moguće jedan oblik energije pretvoriti u drugi oblik (na primer kinetičku energiju pretvoriti u potencijalnu energiju).
22 1842. godine, lekar Robert Julius Mayer uočio je da pojava toplote nije vezana za neku posebnu materiju.
32
3.1. Joule-ov eksperiment
James Prescott Joule je 1843. godine eksperimentisao zagrevajući vodu u izolovanom sudu (kalorimetru) uz pomoć mešalice i to tako da je mehanički rad mešanjem i trenjem pretvarao u toplotnu energiju.
Energija koja je u navedenom eksperimentu ekvivalentna potrošenom mehaničkom radu, ne može se po zakonu o održanju energije izgubiti, već se u vodi mora pojaviti u nekom drugom obliku. Taj oblik energije rezultirao je povišenjem temperature vode, što je dovelo do povećanja unutrašnje energije vode. To dovodi do zaključka, da je unutrašnja energija vode veća kod viših temperatura nego kod nižih (za istu količinu materije).
Količina unutrašnje energije može se menjati na različite načine. Može se na primer spolja dovoditi toplota, ili se kompresijom tela ili trenjem mehanički rad može pretvoriti u unutrašnju energiju.
Ako se u nekoj posudi želi sabiti neki gas, potrebno je primeniti neku silu F, da bi se savladao pritisak gasa. Izvršeni rad kod promenljive sile F duž puta s biće:
∫=l
FdsW . Ako je posuda dobro izolovana i nema izmene toplote sa okolinom,
unutrašnja energija gasa će se povećati na račun izvršenog rada: WUU III =− , gde se indeksi odnose na stanja gasa na početku i na kraju procesa.
Isti gas može se grejati plamenom. Tada mu se dovodi toplota Q i na taj način mu se povećava unutrašnja energija: QUU IIII =− , gde je postignuto stanje različito od ranije postignutog stanja.
Ako se istovremeno gas sabija i zagreva, odnosno ako se troši mehanički rad i dovodi toplota, tada je: WQUU +=− 12 .
Ako gas ima specifičnu zapreminu v i pritisak p, tada mu je temperatura potpuno određena, a time i kinetička energija molekula. U određenoj masi gasa zadatog stanja, ukupna kinetička energija molekula ima jednoznačno određenu vrednost. Pritisak i specifična zapremina određuju tačno raspored molekula, odnosno njihovo međusobno rastojanje, a prema tome i potencijalnu energiju sistema. Na taj način potpuno je određena unutrašnja energija gasa. Pritisak i specifična zapremina određuju ne samo vrednost temperature, nego i vrednost unutrašnje energije. Isto tako pritisak i temperatura, ili specifična zapremina i temperatura jednoznačno određuju unutrašnju energiju (sve su veličine stanja). Pošto unutrašnja energija, odnosno specifična unutrašnja energija zavisi samo od stanja tela, odnosno od vrednosti veličina stanja, ona je i sama veličina stanja.
3.2. Prvi zakon termodinamike (Zakon održanja energije)
Cilj većine tehničkih zadataka jeste da se potrošnjom toplote Q dobije rad W. Dogovorno se uzima da su telu dovedena toplota i telu odveden rad pozitivne veličine,
33
dok su telu odvedena toplota i telu doveden rad negativne veličine. U ovom slučaju prvi zakon termodinamike, odnosno zakon održanja energije glasi:
WUUQ +−= 12 .
Po njemu se toplota dovedena telu delom troši na povećanje unutrašnje energije tela, a delom na vršenje mehaničkog rada. Ako se u procesu proizvode i drugi oblici energije, tada zakon održanja energije glasi:
∑++++−=i
ikp EEEWUUQ 12 ,
gde je ∑i
iE zbir ostalih oblika energije koji nisu posebno navedeni. Kod
termodinamičkih procesa, poslednja tri člana izraza najčešće se ne uzimaju u obzir.
U diferencijalnom obliku prvi zakon termodinamike može se pisati u obliku: dWdUdQ += . Prilikom razmatranja vezanih za rad sistema, prikazano je da rad
zavisi od puta po kome se vrši promena stanja, te da nije totalni diferencijal: WdW ∂= . Unutrašnja energija je veličina stanja, pa je dU totalni diferencijal. Na
osnovu ovoga može se zaključiti da ni dQ nije totalni diferencijal, te se stoga prvi zakon termodinamike u diferencijalnom obliku treba pisati:
WdUQ ∂+=∂ .
Izmenjena toplota zavisi od puta po kome se vrši promena stanja tela, te se zato za konačnu promenu stanja prvi zakon termodinamike piše u sledećem obliku:
2,1122,1 WUUQ +−= .
3.2.1. Entalpija, tehnički rad
Toplotne mašine rade periodično ili kontinualno. Parnim motorima (klipnim ili turbinama), dovodi se kroz parovod stalno (kontinualno) vodena para (gas) koja raspolaže izvesnom energijom (toplotnom, kinetičkom i potencijalnom energijom pritiska)23. Stanje gasa se u mašini menja. Jedan deo energije pretvara se u mehanički rad, a ostatak odlazi sa izlaznim (izmorenim) gasom. Postavlja se pitanje koliko energije prođe kroz neki presek parovoda sa svakim kilogramom gasa koji kroz njega prostruji (Slika 8)24.
Neka maseni protok gasa bude
s
kgVms ... , pritisak gasa p, a specifična zapremina v.
Neka brzina gasa bude w, a energija koja prođe kroz parovod u jedinici vremena sa
Vms kilograma gasa neka bude
s
JEs ... . Gas koji struji potiskuje pred sobom gas
koji takođe ima pritisak p. Neka površina preseka parovoda bude A. Dolazeći gas potiskuje gas pred sobom silom: pA=F. Za vreme τd , dolazeći gas pomeri se za:
τwdds = , tj. od jednog do drugog preseka. Pri tome dolazeći gas izvrši rad
23 Ovi sistemi su otvoreni.24 Procesi strujanja teku približno pri konstantnom pritisku.
34
potiskivanja: pdVpAdsFdsdWp === , gde je dV zapremina između dva preseka i
iznosi:
=⋅= 3
3
... mkg
ms
s
kgvdVdV ms τ . Rad potiskivanja iznosi:
τdvpVdW msp ⋅= .
P P
V m s A
d s
1 2
Slika 8 Otvoreni sistem
Rad potiskivanja vrši gas, jer ima potencijalnu energiju pritiska.
Kinetička energija gasa količine: τdVm ms= jeste:
22
2
1
2
1wdVmwdE msk ⋅== τ .
Unutrašnja energija gasa količine: τdVm ms= jeste:
τdVudU ms⋅= .
Ukupna energija koja za vreme τd prođe kroz presek parovoda jeste zbir unutrašnje energije, kinetičke energije i rada potiskivanja:
ττττ dvpVwdVduVdE msmsmss ⋅+⋅+= 2
2
1. Ako se jednačina podeli sa τdVms ,
dobija se specifična ukupna energija gasa:
pvwue ++= 2
21
.
To je energija koja prostruji kroz presek parovoda sa svakim kilogramom gasa. Ako je
brzina strujanja gasa: s
mw 40≤ , što je čest slučaj u parovodima, kinetička energija
gasa može se zanemariti, pa je ukupna specifična energija gasa:
pvue += .
Energija koju sa sobom nosi jedinična količina gasa funkcija je veličina stanja gasa p,v,u. Za određeno stanje gasa ove veličine jednoznačno su određene, te tada i prethodni izraz predstavlja veličinu stanja. Zbog svog značaja u tehničkoj termodinamici (kod tehničkih primena), ona se naziva entalpija [ ]JH ... :
pVUH += ,
odnosno specifična entalpija:
+=
kg
Jpvuh ... .
35
Ako se pretpostavi da su parovod i mašina toplotno izolovani, tada se smanjenje energije pare 21 hh − pretvara u mehanički rad w (po zakonu o održanju energije):
21 hhw −= . Da li je mašina parna klipna mašina, parna turbina ili neka druga toplotna mašina sve jedno je, 21 hh − predstavlja rad koji mašina izvrši kada kroz nju prođe jedinična količina gasa. Za razliku od rada koji se dobija pri izvođenju samo jednog procesa ili ciklusa, bez dovođenja i odvođenja radnog tela, ovaj se rad naziva tehnički rad:
21 hhwtehn −= 25.
3.2.2. Neki izrazi koji proizlaze iz prvog zakona termodinamike
Između do sada pomenutih veličina, mogu se uspostaviti razni odnosi opšte važnosti, pomoću kojih se veličine mogu jedne iz drugih izračunavati.
Diferenciranjem izraza: pvuh += dobija se: vdppdvdupvddudh ++=+= )( . Za ravnotežne (povratne26) promene stanja su: wduq ∂+=∂ i pdvw =∂ , te se može napisati da je: vdpqvdppdvdudh +∂=++= , odnosno:
vdpdhpdvduq −=+=∂ .
Ako zapremina tela prilikom promene stanja ostane nepromenjena: 0=dv , sledi da je: duq =∂ , odnosno za konačnu promenu stanja pri konstantnoj zapremini:
122,1 uuq −= ,
što znači da se sva izmenjena toplota troši na promenu unutrašnje energije tela.
Ako je prilikom promene stanja tela pritisak stalan: 0=dp , sledi da je: dhq =∂ , odnosno za konačnu promenu stanja pri konstantnom pritisku:
122,1 hhq −= ,
što znači da se sva izmenjena toplota troši na promenu entalpije tela.
Na osnovu prethodnog izlaganja, može se uvideti izvesna analogija između unutrašnje energije i entalpije; ono što je za promene stanja pri konstantnoj zapremini unutrašnja energija, to je pri konstantnom pritisku entalpija.
U opštem slučaju, pri bilo kakvoj promeni stanja, za konačnu promenu stanja može se napisati:
∫−−=2
1
122,1 vdphhq .
Kada radno telo (gas) dolazi u mašinu pod stalnim pritiskom p1, a odlazi iz mašine pod pritiskom p2 (što je najčešći slučaj u praksi), tada se promena stanja vrši u samoj mašini. Ako se pretpostavi da je mašina toplotno izolovana: 02,1 =q , tada zakon o
25 Rad se u ovom slučaju naziva tehnički rad, jer označava rad nekih od najvažnijih procesa (na primer sabijanje vazduha u kompresoru), koji se odvijaju između stalnih pritisaka, odnosno procesa pri kojima se radno telo pri nekom konstantnom pritisku strujanjem dovodi, a pri nekom drugom konstantnom pritisku strujanjem odvodi od radne mašine, što će se prikazati u nastavku.26 Objasniće se u nastavku.
36
održanju energije glasi: ∫−−=2
1
120 vdphh , a prema izrazu za tehnički rad:
21 hhwtehn −= , proizlazi da je:
∫−=2
1
vdpwtehn .
Pošto je ranije pokazano da je unutrašnja energija veličina stanja, može se na primer napisati da je: ),( vtfu = , što predstavlja jedan od oblika jednačine stanja27.
Diferenciranjem jednačine dobija se: dvv
udt
t
udu
tv
∂∂+
∂∂= .
Ako zapremina tela prilikom promene stanja ostane nepromenjena: 0=dv , sledi da
je: qdu ∂= , te se može napisati da je: dtt
uq
v
∂∂=∂ .
Uopšteno se može napisati da je: cdtdq = , gde je c specifični toplotni kapacitet tela.
Na osnovu iznetoga, može se napisati da je:
vv t
ucc
∂∂==
specifični toplotni kapacitet pri stalnoj zapremini.
Pošto je ranije pokazano da je i entalpija veličina stanja, može se na primer napisati da je: ),( ptfh = , što predstavlja jedan od oblika jednačine stanja. Diferenciranjem
jednačine dobija se: dpp
hdt
t
hdh
tp
∂∂+
∂∂= .
Ako pritisak tela prilikom promene stanja ostane nepromenjen: 0=dp , sledi da je:
qdh ∂= , te se može napisati da je: dtt
hq
p
∂∂=∂ .
Uopšteno se može napisati da je: cdtdq = , na osnovu čega proizlazi da je:
pp t
hcc
∂∂==
specifični toplotni kapacitet pri stalnom pritisku.
27 Jednačine stanja koje sadrže energetske veličine stanja, na primer unutrašnju energiju, nazivaju se i kaloričke jednačine stanja.
37
4.4. Idealni gasoviIdealni gasovi 1 1
Idealni gasovi, sastoje se od potpuno elastičnih molekula među kojima ne deluju privlačne sile. Pri tome je zapremina koju molekuli zauzimaju zanemarljivo mala prema zapremini prostora među molekulima, odnosno molekuli se mogu zamisliti kao materijalne tačke ravnomerno raspoređene u prostoru koji zauzima gas. Svi gasovi na relativno visokim temperaturama i malim gustoćama ponašaju se kao idealni gasovi.
4.1. Boyle-Mariotte-ov zakon
Neka se u sudu koji dobro provodi toplotu, odnosno koji nije toplotno izolovan, nalazi gas stanja p0, t0, v0, i neka je sud sa gornje strane zatvoren pokretnim klipom, koji se kreće bez trenja i koji je opterećen silom Gi, koja može proizvoljno da se menja, a promena može biti proizvoljno mala (Slika 9).
t
p v t = to o o G
t
p v t = t1 1 1
G
G < G
O
O 1
1
Slika 9 Boyle-Mariotte-ov zakon
Promenom opterećenja G menja se pritisak i specifična zapremina gasa. Pošto sud dobro provodi toplotu, temperatura gasa se ne menja (pretpostavlja se da se temperatura okoline ne menja). Ova ispitivanja vršili su Robert Boyle (1662. godine) i Edme Mariotte (1676. godine) nezavisno jedan od drugogoga. Oni su zaključili da postoji određena zavisnost između pritiska i specifične zapremine pri promeni stanja gasa ako se temperatura ne menja i izrazili su je na sledeći način:
nnvpvpvpvpvp ===== ...33221100 za constt = .
Vrednost proizvoda pv funkcija je temperature:
)(tfpv =
38
i tim je veća, što je temperatura viša (Slika 10). Prethodna jednačina predstavlja Boyle-Mariotte-ov zakon. Zakon važi za idealne gasove. Za više pritiske ili niže temperature, odstupanja mogu biti značajna (Slika 11).
Umnožak pv jeste istostrana hiperbola sa parametrom t (Slika 12).
Slika 10 Zavisnost proizvoda pritiska i zapremine od temperature
l o g ( p ) [ b a r ]
p * v [ k J / k g ]
1 0 0 0
01 0
1 0 0
3 0 0
11 0 - 11 0 - 2
1 4 0 Co
2 0 0 Co
0 Co
Slika 11 Odstupanja od Boyle-Mariotte-ovog zakona
39
v
p
0 1
1
2
2
32
3
4
4
54
5
6
6
Slika 12 pv dijagram
4.2. Gay-Lussac-ov zakon
Neka se u sudu u kojem može da se menja visina temperature nalazi gas stanja p0, t0, v0, i neka je sud sa gornje strane zatvoren pokretnim klipom koji se kreće bez trenja i koji je opterećen stalnim opterećenjem G (Slika 13).
G
p v to 1 0 0 1 0 0
G
p v to o o
t < to 1 0 0
Slika 13 Gay-Lusacc-ov zakon
Ako se temperatura menja (na primer povisuje), gas u sudu se širi. Pošto je opterećenje G stalno, pritisak se ne menja. Joseph Louis Gay-Lussac je 1802. godine zagrevao gas od [ ]Ct 00 = do [ ]Ct 100100 = (Slika 14). Pri tome je zaključio da pri
konstantnom pritisku (pritisak na slici je u datom slučaju 3p ) između specifičnih
40
zapremina na datim temperaturama postoji sledeća linearna zavisnost:
15.273
15.273 100
0
100 t
v
v += , odnosno: )15.273
15.273( 100
0100
tvv
+= ili uopšteno:
+=
15.273
15.2730
tvv , odnosno ako se umesto t+15.273 napiše T, može se napisati:
=
=
000 15.273 T
Tv
Tvv , gde se veličina T može shvatiti kao temperatura čija je
nulta tačka u odnosu na Celsius-ovu skalu pomerena za 273.15 stepeni i čiji podeoci odgovaraju podeocima Celsius-ove skale. Ova temperatura, naziva se apsolutna temperatura28 i izražena je Kelvinima [ ]KT ... . Razlika temperatura uvek je ista, bez obzira koja je temperaturna skala upotrebljena, ali apsolutna skala znatno uprošćava obrasce.
Slika 14 Gay-Lussac-ov zakon
Na osnovu navedenoga može se napisati da je:
n
n
T
v
T
v
T
v
T
v
T
v ===== ...3
3
2
2
1
1
0
0 za constp = .
Vrednost izraza T
v, funkcija je pritiska:
)( pfT
v =
28 O apsolutnoj temperaturi više reči će biti u nastavku.
41
i tim je veća, što je pritisak niži. Prethodna jednačina predstavlja Gay-Lussac-ov zakon. Zakon važi za idealne gasove. Za više pritiske ili niže temperature, odstupanja mogu biti značajna.
Ako se gas zagreva pri stalnoj zapremini dobija se jednačina slična jednačini:
n
n
T
v
T
v
T
v
T
v
T
v ===== ...3
3
2
2
1
1
0
0, te se može pisati:
n
n
T
p
T
p
T
p
T
p
T
p ===== ...3
3
2
2
1
1
0
0 za constv = 29.
4.3. Jednačina stanja idealnih gasova (Clapeyron-ova jednačina)
Kombinovanjem Boyle-Mariotte-ovog i Gay-Lussac-ovog zakona može se odrediti opšta jednačina stanja: 0),,( =tvpf za idealne gasove.
Na osnovu Gay-Lussac-ovog zakona, može se napisati da je: )( pfT
v = , odnosno da
je: )( pTfv = . Ako se jednačina pomnoži sa p dobija se: )()( 1 pTfppTfpv == .
Na osnovu Boyle-Mariotte-ovog zakona može se napisati da je:
)()15.273()( 1 TTtpv ϕϕϕ =−== .
Na osnovu napisanoga može se pisati da je: ( )TpfT 11 )( =ϕ , što dovodi do zaključka da je: ( ) .1 constpf = , jer je )(1 Tϕ isključivo funkcija temperature. Ova konstanta naziva se gasna konstanta R, koja za jedan određeni gas uvek ima istu vrednost.
Na osnovu ovoga može se napisati jednačina stanja idealnih gasova:
RTpv = .
Za određenu količinu gasa m, jednačina stanja glasi:
mRTpV = .
Ako se pretpostavi da se jedinična količina gasa početnog stanja p,v1,t1, pri konstantnom pritisku zagreva i pri tome širi do krajnjeg stanja p,v2,t2, za izvršeni rad
može se napisati: )( 12
2
1
2,1 vvpdvpw −== ∫ . Ako su: 11 RTpv = i 22 RTpv = , može
se napisati da je: )( 122,1 TTRw −= . Ako se gas zagreje za jedan kelvin, rad je jednak vrednosti gasne konstante, odnosno gasna konstanta predstavlja rad širenja jedinične količine gasa kada mu se pod stalnim pritiskom temperatura povisi za ][1 K . Zbog
toga se za jedinicu gasne konstante piše:
kgK
JR... .
29 Neće se posebno izvoditi.
42
5.5. AvoAvogadro-ovgadro-ov zakonzakon
5.1. Kilomol - individualna jedinica mase
Neka se hemijska reakcija nastanka kuhinjske soli (NaCl) napiše sledećom jednačinom: NaClkgClkgNakg ][444.58][453.35][991.22 →+ . U hemiji se ista jednačina može napisati kao: NaClClNa →+ , i pri tome se kaže da jedan kilomol natrijuma i jedan kilomol hlora daju jedan kilomol natrijum-hlorida, što predstavlja jednostavniji zapis hemijske reakcije.
Iz navedenog se može zaključiti da je kilomol [ ]kmol 30 jedninica mase, ali se ta vrednost izražena u kilogramima razlikuje od materije do materije, te se zato kilomol naziva individualna jedinica mase.
Pošto su relativne atomske mase A (u slučaju relativne molekulske mase M) natrijuma i hlora: 991.22=NaA i 453.35=ClA , može se izračunati da je relativna molekulska masa natrijum-hlorida: 444.58=NaClM . Relativna atomska, odnosno molekulska masa, jeste broj koji pokazuje koliko je puta jedan reprezentativni atom određenog hemijskog elementa teži od 1/12 atoma izotopa 12C , pri čemu se pod pojmom reprezentativni atom misli na atom srednje težine proporcionalno izmeren od svih stabilnih izotopa datog elementa u odnosu na njihovu rasprostranjenost. Ako se relativne atomske, odnosno molekulske mase uporede sa jednačinom
NaClkgClkgNakg ][444.58][453.35][991.22 →+ , dolazi se do opšte formule:
[ ] [ ]kgAMkmol )(= ,
što znači da je kilomol neke materije masa onoliko kilograma materije, kolika je njena relativna molekulska (atomska) masa.
Merenja su pokazala da se u jednom kilomolu bilo koje materije bez obzira na
hemijski sastav nalazi isti broj molekula:
⋅±=kmol
N1
10)011.0023.6( 260 . Ovaj
broj naziva se Loschmidt-Avogadro-va konstanta. Ovo predstavlja objašnjenje formule: NaClClNa →+ koja pokazuje da jedan atom natrijuma reaguje sa jednim
30 Jedan kilomol iznosi hiljadu mola: [ ] [ ]molkmol 10001 = . Ponegde se umesto jeinice [ ]kmol
upotrebljava zapis [ ]Mol .
43
atomom hlora dajući jedan molekul natrijum-hlorida, odnosno u slučaju jednog kilomola radi se približno o 2610023.6 ⋅ molekula.
5.2. Avogadro-ov zakon
Joseph Louis Proust, utvrdio je da se hemijski elementi uvek međusobno jedine u prostim masenim odnosnima (na primer: ne može se jedan kilogram vodonika jediniti sa proizvoljnom količinom kiseonika, već samo sa osam kilograma kiseonika dajući devet kilograma vodene pare ili sa šesnaest kilograma kiseonika dajući sedamnaest kilograma vodonik-peroksida).
Gay-Lussac je našao da ako dva gasa koja se jedine imaju isti pritisak i temperaturu, tada ne samo da se jedine u prostim masenim odnosima, već i u prostim zapreminskim odnosima (ali maseni odnos nije identičan zapreminskom odnosu), na primer:
OHmOmHm 23
23
23 ][1][
2
1][1 =+ ili 22
32
32
3 ][1][1][1 OHmOmHm =+ .
Amadeo Avogadro je 1811. godine, pretpostavljajući da se gasovi sastoje iz molekula, prethodna dva iskustvena stava objasnio hipotezom da u jednakim zapreminama pod istim pritiskom i na istoj temperaturi svi gasovi sadrže jednak broj molekula, što predstavlja Avogadro-ov zakon.
Ako gasovi na istoj temperaturi i pritisku u jednakim zapreminama imaju isti broj
molekula, njihove mase se odnose kao njihove molarne mase: 2
1
2
1
M
M
m
m = 31. Pošto su
zapremine jednake, a gustine gasova su: V
m11 =ρ i
V
m22 =ρ , može se reći da se i
gustine gasova, odnosno specifične zapremine gasova odnose kao njihove molarne
mase. Za dva gasa sledi da je: 2
1
2
1
M
M=ρρ
ili
][3
)1(22112
1
1
2
kmol
mVvMvM
M
M
v
vkmol==⇒= . Ovaj umnožak predstavlja takozvanu
molarnu zapreminu, koja u stvari predstavlja zapreminu koju zauzima jedan kilomol gasa. Pri normalnim fizičkim uslovima ( ][0],[760 CtmmHgp == ):
=
kmolm
V kmol
3
)1( 4.22 .
Činjenica da jedan kilomol ma kog gasa na istom pritisku i temperaturi ima istu zapreminu pruža velike olakšice u termodinamičkim proračunima, što će se prikazati u nastavku.
31 Molarna masa je masa jednog kilomola hemijskog elementa ili hemijskog jedinjenja
]...[kmol
kgM . Brojčana vrednost molarne mase ista je kao vrednost relativne molekulske mase, ali
relativna molekulska masa je bezdimenzioni broj.
44
5.3. Univerzalna gasna konstanta
Uzimajući u obzir Avogadro-ov zakon, koji kaže da u jednakim zapreminama pod istim pritiskom i na istoj temperaturi svi gasovi sadrže jednak broj molekula, može se reći da je zapremina bilo kog gasa količine jednog kilomola pod tim uslovima jednaka: )1()1(3)1(2)1(1 ... kmolnkmolkmolkmol VVVV ==== .
Ako se za količinu od jednog kilomola različitih gasova napiše jednačina stanja dobija se:
TRMpV
TRMpV
TRMpV
TRMpV
nnkmoln
kmol
kmol
kmol
=
=
=
=
)1(
33)1(3
22)1(2
11)1(1
...
, gde iM predstavlja molarnu masu odgovarajućeg gasa. Na
osnovu prethodnih izraza, može se napisati da je:
ℜ===== nnRMRMRMRM ...332211 .
Umnožak MR je jedna ista konstanta za sve gasove i naziva se univerzalna gasna konstanta.
Ako se sada napiše jednačina stanja dobija se opšta jednačina stanja idealnih gasova: TpV kmol ℜ=)1( , odnosno:
TnpV ℜ= ,
gde je V zapremina gasa izražena u kubnim metrima, a n količina gasa izražena u
kilomolima. Vrednost univerzalne gasne konstante je:
⋅=ℜ
Kkmol
J7.8314 .
Sve ovo odnosi se na idealne gasove. Realni gasovi odstupaju od jednačine stanja idealnog gasa, a odstupanja su tim veća, što je gas gušći i što mu je temperatura niža, odnosno što je bliže uslovima pod kojima prelazi u tečnost.
45
6.6. Smeše gasovaSmeše gasova
U praksi se najčešće susreću smeše gasova (na primer: vazduh je smeša azota, kiseonika i drugih gasova, u motorima sa unutrašnjim sagorevanjem radno telo je smeša benzinske pare i vazduha...).
Ako se smeša sastoji iz n komponenti, sve komponenete imaju zapreminu smeše V: VVVVV n ===== ...321 i u stanju toplotne ravnoteže temperaturu smeše T:
TTTTT n ===== ...321 .
6.1. Dalton-ov zakon
Što se pritiska tiče, John Dalton je pretpostavio da se svaka komponenta raširi po celoj zapremini smeše, a da je pritisak komponente zavisan od mase i od temperature. To je pritisak koji bi komponenta imala kada bi sama zauzimala čitavu zapreminu. Taj pritisak niži je od pritiska smeše i naziva se parcijalni pritisak ip . Ukoliko je količina komponente u smeši veća, viši je i njen parcijalni pritisak. Pritisak ostalih komponenti nema uticaj na parcijalni pritisak posmatrane komponente. Ukupan pritisak smeše jednak je zbiru parcijalnih pritisaka:
∑=
=++++=n
iin pppppp
1321 ... ,
što predstavlja Dalton-ov zakon.
6.2. Maseni i zapreminski sastav smeše
Da bi se odredile veličine gasne smeše, osim pritiska, zapremine, temperature i mase, potrebno je poznavati i sastav smeše. On se može izraziti kao maseni i zapreminski sastav smeše.
46
6.2.1. Maseni sastav smeše
Ako su im mase pojedinih komponenti smeše, tada je ukupna masa smeše n gasova:
∑=
=n
iimm
1
. Deobom izraza sa m, dobija se da je: 11
=∑=
n
i
i
m
m. Ako je: i
i gm
m = maseni
deo komponente i u smeši, može se pisati da je: ∑=
=n
iig
1
1. Poznavanjem veličina ig
u smeši potpuno je određen sastav smeše.
6.2.2. Zapreminski sastav smeše
Neka se pretpostavi da svaka komponenta smeše n gasova ima parcijalni pritisak ip . Ako se zamisli da se svaka komponenta gasa može razdvojiti i sabiti na pritisak smeše p, a da pri tome temperatura T ostane nepromenjena, i-ta komponenta neće zauzimati zapreminu V, već neku manju zapreminu iV . Ukupna zapremina ostaće
nepromenjena: ∑=
=n
iiVV
1
. Deobom izraza sa V, dobija se da je: 11
=∑=
n
i
i
V
V. Ako je:
ii z
V
V = zapreminski deo komponente i u smeši, može se pisati da je: ∑=
=n
iiz
1
1.
Poznavanjem veličina iz u smeši potpuno je određen sastav smeše.
6.2.3. Maseni sastav smeše ako je poznat zapreminski sastav
Ako su za sve komponente pritisak i temperatura isti, tada se za masu jedne komponente može pisati da je: iii Vm ρ= . Deobom izraza sa m, dobija se maseni deo
komponente: ρρ
ρρ iiiii
i
z
V
V
m
mg === .
Ako je ukupna masa smeše: ∑∑==
===n
iii
n
ii VmVm
11
ρρ , deobom izraza sa V, dobija
se: ∑∑==
==n
iii
n
i
ii zV
V
11
ρρρ . Za gustinu gasa količine jednog kilomola koji zauzima
zapreminu )1( kmolV , može se napisati da je: )1( kmol
ii V
M=ρ , odakle sledi da je:
∑=
=n
iii
kmol
zMV 1)1(
1ρ .
Ako se dobijeni izrazi uvrste u jednačinu ρρii
i
zg = , dobija se da je:
47
s
iin
iii
iin
iii
kmol
kmol
ii
i M
zM
zM
zM
zMV
VM
z
g ===∑∑
== 11)1(
)1(
1.
Izraz: s
n
iii MzM =∑
=1
, naziva se prividna molarna masa smeše sM .
6.2.4. Zapreminski sastav smeše, ako je poznat maseni sastav
Neka je zapreminski deo komponente: V
Vz i
i = , a specifična zapremina komponente:
i
ii m
Vv = , ako su pritisak i temperatura za svaku komponentu isti, a specifična
zapremina smeše: m
Vv = . Tada se može napisati da je:
v
vg
mv
vm
V
Vz i
iiii
i === .
Neka je ukupna zapremina smeše n komponenti: ∑=
==n
iiivmmvV
1
. Deljenjem izraza
sa m , dobija se da je: ∑ ∑= =
==n
i
n
iiii
i vgvm
mv
1 1
. Ako se prethodni izraz uvrsti u:
v
vgz i
ii = , dobija se da je: ∑=
= n
iii
iii
vg
vgz
1
.
Za specifičnu zapreminu gasa količine jednog kilomola koji zauzima zapreminu
)1( kmolV , može se napisati da je: i
kmoli M
Vv )1(= , odakle sledi da je:
∑∑==
== n
i i
i
i
i
n
i i
kmoli
i
kmoli
i
M
gM
g
M
Vg
M
Vg
z
11
)1(
)1(
.
6.2.5. Gasna konstanta smeše ako je poznat maseni sastav
Neka smeša mase m i zapremine V ima pritisak p i temperaturu T . Ako je smeša homogena (komponente su dobro izmešane), jednačina stanja smeše može se napisati kao: TmRpV s= , gde je sR gasna konstanta smeše. Za pojedine
48
komponente gasne smeše može se napisati:
TRmVp
TRmVp
TRmVp
TRmVp
nnn =
===
...333
222
111
. Sabiranjem prethodnih
jednačina, dobija se: TRmVpn
iii
n
ii
=
∑∑
== 11
. Ako je po Dalton-ovom zakonu:
ppn
ii =∑
=1
, može se napisati da je: s
n
iii mRRm =∑
=1
, odakle sledi da je gasna
konstanta smeše:
∑∑∑
==
= ===n
iii
n
ii
i
n
iii
s RgRm
m
m
RmR
11
1 .
6.2.6. Parcijalni pritisci za poznat maseni sastav
Jednačina stanja za jednu komponentu glasi: TRmVp iii = , a za smešu: TmRpV s= . Ako se dve jednačine podele, dobija se da je:
s
iii R
Rpgp = .
6.2.7. Parcijalni pritisci za poznat zapreminski sastav
Jednačina stanja za jednu komponentu glasi TRmVp iii = . Jednačina stanja za jednu komponentu ako se ona sabije na pritisak p, glasi: TRmpV iii = . Ako se dve
jednačine podele, dobija se da je: 1=i
i
pV
Vp, odakle sledi da je:
pzpV
Vp i
ii == .
6.2.8. Specifični toplotni kapacitet smeše
Da bi se odredio specifični toplotni kapacitet smeše sc , moraju biti poznati specifični toplotni kapaciteti komponenata ic , kao i sastav smeše ( ig ili iz ).
49
Da bi se smeša mase m zagrejala za dt , potrebno joj je dovesti toplotu: dtmcq s ⋅=∂
. Za svaku od n komponenata pojedinačno, potrebno je dovesti toplotu: dtcmq iii ⋅=∂
, odnosno za celu smešu: ∑=
⋅=⋅n
iiis dtcmdtmc
1
, na osnovu čega se dobija da je:
∑∑==
==n
iii
n
i
iis cg
mcm
c11
.
Na osnovu izraza: s
iin
iii
iii M
zM
zM
zMg ==
∑=1
, može se napisati da je:
∑∑==
==n
iiii
s
n
ii
s
iis czM
Mc
M
zMc
11
1.
Ako se specifični toplotni kapacitet c pomnoži sa molarnom masom M, dobija se
specifični molarni toplotni kapacitet:
=
⋅=kmolK
J
kgK
J
kmol
kgMcC ... .
Specifični molarni toplotni kapacitet smeše jeste: ∑=
==n
iiiisss czMcMC
1
, odnosno:
∑=
=n
iiis CzC
1
,
gde je iC specifični molarni toplotni kapacitet i-te komponente smeše.
50
7.7. Idealni gasovi 2Idealni gasovi 2
7.1. Joule-ov zakon
Ranije je utvrđeno da je unutrašnja energija veličina stanja, te da stoga važe zavisnosti: ),( tpfu = , ),( tvfu = ... Da bi utvrdio zavisnost unutrašnje energije idealnih gasova od drugih veličina stanja, Gay-Lussac je 1806. godine izvršio odgovarajuće eksperimente, koje je Joule 1844. godine ponovio.
U dobro izolovan sud (kalorimetar) napunjen vodom postavljene su dve boce međusobno spojene slavinom. U boci A je vazduh pritiska Ap , a u boci B je vakuum (Slika 15). Otvaranjem slavine, vazduh struji iz jedne boce u drugu. Usled širenja vazduh se u boci A širi i hladi, ali se u boci B sabija i zagreva. Strujanje traje dok se pritisci u bocama ne izjednače.
v a k u u m
A B
t
Slika 15 Joule-ov eksperiment
51
Pošto je sud koji je napunjen vodom izolovan od okoline, nema izmene toplote sa okolinom, a nema ni vršenja spoljnjeg rada. Prema prvom zakonu termodinamike za posmatrani sistem (voda i vazduh u sudu), može se napisati da je:
21122,1122,1 00 UUUUWUUQ =⇒=−=⇒+−= , odnosno da se unutrašnja energija sistema nije promenila. Merenjem temperature vode, utvrđeno je da se ona za vreme eksperimenta nije promenila. Pošto se unutrašnja energija sistema nije menjala, a nije se menjala ni temperatura, odnosno unutrašnja energija vode, sledi da se ni unutrašnja energija vazduha nije promenila.
U opštem slučaju između molekula nekog tela deluju izvesne međumolekularne privlačne sile. Da bi se molekuli razmaknuli (prilikom eksperimenta dolazi do širenja vazduha), potrebno bi bilo vršiti rad razmicanja molekula, koji bi povećao potencijalnu energiju molekula, što bi se moralo vršiti na račun smanjenja nekog vida energije. Unutrašnja energija vazduha sastoji se iz dva dela, kinetičke i potencijalne energije molekula. Ako bi se potencijalna energija molekula povećala, to bi dovelo do smanjena kinetičke energije, što bi dovelo do snižavanja temperature vazduha. Eksperiment je utvrdio da ne dolazi do snižavanja temperature vazduha (jer ne dolazi ni do promene temperature vode), što znači da nije izvršen nikakav rad za razmicanje molekula, odnosno potencijalna energija ne zavisi od zapremine, odnosno gustine gasa. Za gasove koji se ponašaju kao idealni, nema međumolekularnih sila.
Eksperiment je pokazao da zavisnost: ),( tvfu = , za idealne gasove ne važi, jer nema promene unutrašnje energije u zavisnosti od zapremine, te je stoga:
)(tfu = ,
što znači da unutrašnja energija idealnih gasova zavisi samo od temperature, a ne zavisi od pritiska i zapremine, što predstavlja Joule-ov zakon.
7.2. Specifični toplotni kapaciteti idealnih gasova
Ranije je pokazano da ako zapremina tela prilikom promene stanja ostane
nepromenjena: 0=dv i qdu ∂= , može da se napiše da je: dtcdtt
uq v
v
=
∂∂=∂ .
Ako pritisak tela prilikom promene stanja ostane nepromenjen: 0=dp i qdh ∂= ,
može se napisati da je: dtcdtt
hq p
p
=
∂∂=∂ . Pošto je:
vdppdvdupvddudh ++=+= )( , odnosno pri konstantnom pritisku: pdvdudh += ,
može se napisati da je: dtcdtt
vpdt
t
uq p
pp
=
∂∂+
∂∂=∂ .
Pošto u slučaju idealnih gasova unutrašnja energija ne zavisi od pritiska i zapremine, sledi da je:
dt
du
t
u
t
uc
pvv =
∂∂=
∂∂= ,
a:
52
pv
pppp t
vpc
t
vp
dt
du
t
vp
t
uc
∂∂+=
∂∂+=
∂∂+
∂∂= .
Za idealne gasove prema jednačini stanja: RTpv = , nakon diferenciranja pri konstantnom pritisku sledi za: dTdt = da je:
( ) ( )p
R
t
vRdtpdvRdtvdppdvRtdpvd
pp =
∂∂⇒=⇒=+⇒=)( .
Na osnovu prethodnih izraza, može se pisati da je:
RccRcc vpvp =−⇒+= .
Ako se na primer gas zagreva pri konstantnom pritisku (član pc ), deo toplote se utroši na povećanje unutrašnje energije gasa, što se ogleda članom vc u prethodnoj jednačini, a deo toplote se utroši na vršenje rada što se ogleda članom R. Na osnovu ovog primera, vidi se da specifični toplotni kapacitet ne zavisi samo o vrsti posmatranog gasa, već i od načina promene stanja koja se izvodi. Zbog toga se kod gasova mogu definisati različiti specifični toplotni kapaciteti u zavisnosti od promene stanja koja se izvodi. Veličine pc i vc samo su dva karakteristična specifična toplotna kapaciteta, ali su od velikog značaja pri daljim razmatranjima.
7.2.1. Molarni specifični toplotni kapacitet
Ako se specifični toplotni kapacitet svede na kilomole, dobija se molarni specifični
toplotni kapacitet:
=kmolK
JMcC pp ... i
=kmolK
JMcC vv ... . Iz ovoga sledi da
je:
ℜ==− MRCC vp ,
što znači da je razlika molarnih specifičnih toplotnih kapaciteta konstantna za sve gasove. Ova činjenica je od velike važnosti, jer se pC za razliku od vC eksperimentalno lako određuje, pa se iz prethodnog izraza lako može izračunati vC . Iz izraza proizlazi da je razlika molarnih specifičnih toplotnih kapaciteta nezavisna i od temperature (Slika 16) (sami specifični toplotni kapaciteti zavise od temperature (Slika 17)).
53
C [ J / K m o l K ]
T [ K ]
C p
C v
Slika 16 Zavisnost specifičnih molarnih toplotnih kapaciteta od temperature
pC se može meriti kod strujanja gasa. Neka se u neku cev postavi grejač čija se toplota može meriti (na primer električni grejač). Ako kroz cev struji gas određene količine, može se meriti prirast temperature gasa i na taj način može se odrediti specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku (Slika 18).
C [ K J / K m o l K ]
T
2 5
2 0
1 5
1 0
5
01 0 0 2 0 0 3 0 0 [ K ]
C ( d i j a m a n t )
F e
P b
A g
Slika 17 Zavisnost specifičnih molarnih toplotnih kapaciteta od temperature
Odnos molarnih specifičnih toplotnih kapacitet pC i vC 32 obeležava se sa χ :
v
p
C
C=χ .
32 U poglavlju će se dalje koristiti molarni specifični toplotni kapaciteti, ali jednačine važe i za specifične toplotne kapacitete.
54
I
U
T 1 T 2
Slika 18 Određivanje specifičnog toplotnog kapaciteta
Na osnovu prethodnih izraza, mogu se izvesti sledeći izrazi: ℜ+= vp CC , odakle
sledi: vv
v
v
p
CC
C
C
C ℜ+=ℜ+== 1χ , odnosno:
1−ℜ=
χvC ,
a na osnovu: ℜ−= pv CC , odakle sledi: χχ
χ1
11 −=ℜ⇒ℜ−=
ℜ−==
ppp
p
p
v
CCC
C
C
C,
odnosno:
1−ℜ=χ
χpC .
Pošto specifični toplotni kapacitet kod idealnih gasova zavisi od temperature, tada i odnos χ zavisi od temperature i opada sa njom. Za manje temperaturne promene (
KT 200<∆ ), može se uzeti da je χ konstantno. Odnos χ zavisi i od složenosti molekula. Merenjima se došlo do rezultata da za jednoatomne gasove na običnim
temperaturama važi da je: 67.13
5 ==χ , za dvoatomne gasove: 4.15
7 ==χ , a za
višeatomne gasove odnos se približava jedinici ako u molekulu ima više atoma.
55
7.3. Promene stanja idealnih gasova
7.3.1. Promena stanja pri stalnoj zapremini (izohora)
Ako se u sudu sa nepomičnim klipom nalazi gas stanja 111 ,, tvp i ako se gasu dovodi toplota, pritisak i temperatura gasa će se povisiti i novo stanje će biti
222 ,, tvp , gde je: vvv == 21 . Takva promena naziva se promena stanja po izohori i u pv dijagramu predstavljena je pravom paralelnom sa p osom (Slika 19).
2 ( t 2 )
1 ( t 1 )
t 1 < t 2
p 1
v = v1 2
q 1 , 2
q 2 , 1
p 2
Slika 19 Promena stanja po izohori
Za početno i krajnje stanje, može se napisati jednačina stanja: 11 RTvp = , odnosno:
22 RTvp = , odakle sledi da je:
constT
p
T
p
T
p
T
T
p
p
i
i ===⇒=2
2
1
1
2
1
2
1.
Prema zakonu o održanju energije: 2,1122,1 wuuq +−= , a pošto se zapremina ne
menja, sledi da je: 02
1
2,1 == ∫v
v
pdvw , odnosno:
)( 12122,1 TTcuuq v −=−= ,
što znači da se sva dovedena toplota troši na povećanje unutrašnje energije gasa.
Ako se izraz: 2
1
2
1
T
T
p
p = napiše drugačije, dobija se:
1
12
1
12
1
2
1
2 11T
TT
p
pp
T
T
p
p −=−⇒−=− , a ako se to uvrsti u jednačinu:
56
)( 122,1 TTcq v −= , dobija se da je: 1
1122,1 )(
p
Tppcq v −= , odnosno ako se toplota
dovodi, pritisak raste i obrnuto, ako se toplota odvodi, pritisak pada.
7.3.2. Promena stanja pri stalnom pritisku (izobara)
Neka se u sudu sa pomičnim klipom (klip se kreće bez trenja i opterećen je stalnim opterećenjem) nalazi gas stanja 111 ,, tvp . Ako se gasu dovodi toplota, zapremina i temperatura gasa će se povećavati, a pritisak se neće menjati i novo stanje će biti
222 ,, tvp , gde je: ppp == 21 . Takva promena naziva se promena stanja po izobari i u pv dijagramu predstavljena je pravom paralelnom sa v osom (Slika 20).
2 ( t 2 )1 ( t 1 )
t 1 < t 2
p 2p 1
q 1 , 2
q 2 , 1
v 1 v 2
=
w
p
v
Slika 20 Promena stanja po izobari
Za početno i krajnje stanje, može se napisati jednačina stanja: 11 RTpv = , odnosno:
22 RTpv = , odakle sledi da je:
constT
v
T
v
T
v
T
T
v
v
i
i ===⇒=2
2
1
1
2
1
2
1.
Prema zakonu o održanju energije: 2,1122,1 wuuq +−= , a spoljašnji rad promene
zapremine je: )( 122,1
2
1
2
1
vvpdvppdvwv
v
v
v
−=== ∫∫ , odnosno:
( ) )()()()( 12121212122,1 TTRcTTRTTcvvpuuq vv −+=−+−=−+−= , odakle sledi da je:
12122,1 )( hhTTcq p −=−= ,
što znači da se sva dovedena toplota troši na povećanje entalpije gasa.
57
Ako se izraz: 2
1
2
1
T
T
v
v = napiše drugačije, dobija se:
1
12
1
12
1
2
1
2 11T
TT
v
vv
T
T
v
v −=−⇒−=− , a ako se to uvrsti u jednačinu: )( 122,1 TTcq p −=
, dobija se da je 1
1122,1 )(
p
Tvvcq p −= , odnosno ako se toplota dovodi, zapremina raste
i obrnuto, ako se toplota odvodi, zapremina se smanjuje.
7.3.3. Promena stanja pri stalnoj temperaturi (izoterma)
Neka se u sudu koji dobro provodi toplotu nalazi gas stanja p1, t1, v1, i neka je sud sa gornje strane zatvoren pokretnim klipom, koji se kreće bez trenja i koji je opterećen silom koja može proizvoljno da se menja.
Promenom opterećenja, menja se pritisak i zapremina gasa. Pošto sud dobro provodi toplotu, temperatura gasa se ne menja. Pri sabijanju, mora se odvoditi toplota, a pri širenju dovoditi, a novo stanje će biti 222 ,, tvp , gde je: ttt == 21 . Za početno i krajnje stanje može se napisati jednačina stanja: RTvp =11 , odnosno: RTvp =22 , odakle sledi da je:
constvpvpvp ii === 2211 .
To je Boyle-Mariotte-ov zakon. U pv dijagramu, izotermska promena stanja predstavljena je istostranom hiperbolom čije su asimtote koordinatne ose (Slika 21).
Prema zakonu o održanju energije sledi da je: 2,1122,1 wuuq +−= , a pošto se temperatura ne menja sledi da je: 012 =−uu , odnosno: 2,12,1 wq = , što znači da se sva dovedena toplota troši na vršenje rada.
Rad pri izotermskoj promeni stanja jeste: ∫=2
1
2,1
v
v
pdvw . Pošto se za izotermsku
promenu stanja može pisati da je: pvvpvp == 2211 , sledi da je: v
vpp 11= , pa se
može pisati da je:
1
21111
112,1 ln
2
1
2
1v
vvp
v
dvvpdv
v
vpw
v
v
v
v
⋅=== ∫∫ .
Na osnovu činjenice da je: RTvpvp == 2211 , može se pisati da je:
58
2
12,1
1
22,1
2
1222,1
2
1112,1
1
2222,1
1
2112,1
ln
ln
ln
ln
ln
ln
p
pRTw
v
vRTw
p
pvpw
p
pvpw
v
vvpw
v
vvpw
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
.
t 1
t 2
t < t1 2
1
2
P 1
P 2
p
vv 2v 1
q 1 , 2
q 2 , 1
w
Slika 21 Promena stanja po izotermi
Na osnovu jednačine: constpv = , proizlazi da je: dpvdvppvd ⋅−=⋅⇒= 0)( , što znači da ako pritisak raste, zapremina opada i obrnuto.
7.3.4. Promena stanja po adijabati
Promena stanja po adijabati jeste promena stanja pri kojoj nema izmene toplote sa okolinom: 02,1 =q . To je slučaj ako se gas nalazi u cilindru sa pokretnim klipom, koji je toplotno izolovan od okoline.
59
p2
p1
Neka je početno stanje gasa 111 ,, tvp , a krajnje stanje gasa 222 ,, tvp . Na osnovu prvog zakona termodinamike može se napisati da je:
00 =⋅+⋅⇒=⋅+= dvpdTcdvpdudq v . Diferenciranjem jednačine stanja gasa:
RTpv = , dobija se: R
dpvdvpdTdTRdpvdvp
⋅+⋅=⇒⋅=⋅+⋅ . Ako se ovo uvrsti u
jednačinu: 0=⋅+⋅ dvpdTcv , dobija se sledeći izraz:
( ) 00 =⋅+⋅+⇒=⋅+⋅+⋅⋅ dpvcdvpRcdvpR
dpvdvpc vvv . Odavde sledi da je:
0=⋅+⋅ dpvcdvpc vp . Ako se ovaj izraz podeli sa pvcv , dobija se: 0=+p
dp
v
dvχ ,
što predstavlja diferencijalnu jednačinu adijabate. Jednačina se može napisati u obliku:
)(ln)(ln)()ln(ln)()ln(ln constdpvdconstdvpdconstdvpd =⇒=+⇒=+ χχχ . Ako se izraz integrali dobija se da je: constpv lnln =χ , odakle sledi da je:
constpv =χ .
Prethodna jednačina jeste jednačina adijabate i predstavlja Poisson-ov zakon. U pv dijagramu ona je hiperbola višeg reda oblika sličnog izotermi i strmija je od izotermi (Slika 22).
vv 1 v 2
p 1
p 2
P
t 1
t 2
1
2
t 1 < t 2
w
Slika 22 Promena stanja po adijabati
Na osnovu Poisson-ovog zakona, mogu se izračunati različiti odnosi između početnih
i krajnjih veličina stanja. Ako se napiše da je: χχ2211 vpvp = ili
1222
1111
−− = χχ vvpvvp , odnosno da su jednačine stanja: 111 RTvp = i 222 RTvp =
, dobija se da je: 122
111
−− = χχ vRTvRT , odakle se mogu izračunati temperature:
60
χχ
χ
χ −−
−
−
=
==
1
1
2
1
2
11
2
11
1
2
v
v
v
v
v
v
T
T.
Ako je:
χ
χ
χ
==
2
1
2
1
1
2
v
v
v
v
p
p, odnosno ako je:
χ
χ
χ
1
1
1
2
1
2
1
1
2
==
p
p
p
p
v
v, sledi da je:
χχ
χχ
χχ 1
1
21
1
1
2
1
2
−
−
−
==
p
p
p
p
T
T.
Ovo se može napisati i u obliku:
constTv =−1χ ,
odnosno:
const
p
T =−χ
χ 1 .
Do izraza za rad, može se doći pomoću prvog zakona termodinamike: 212,12,1122,1 0 uuwwuuq −=⇒=+−= , odnosno:
)( 212,1 TTcw v −= ,
iz čega proizlazi, da se dobijeni rad pri širenju vrši na račun smanjena unutrašnje energije, odnosno da se pri sabijanju utrošeni rad pretvara u unutrašnju energiju.
Na osnovu izraza: 1−
=χ
Rcv , može se napisati da je:
)(1
1)(
1 2211212,1 vpvpTTR
w −−
=−−
=χχ . Izrazi za rad se upotrebom jednačina
stanja: RTpv = mogu pisati u sledećim oblicima:
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
2
122,1
22
11222,1
1
212,1
11
22112,1
−−
=
−−
=
−−
=
−−
=
T
TRTw
vp
vpvpw
T
TRTw
vp
vpvpw
χ
χ
χ
χ
.
Ako se u izraze uvrsti: χ
χχ 1
1
2
1
2
1
1
2
−−
=
=
p
p
v
v
T
T , dobijaju se sledeći izrazi za rad:
61
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
1
2
12
22
11222,1
1
1
22
22
11222,1
1
1
21
11
22112,1
1
2
11
11
22112,1
−
−
=−−
=
−
−
=−−
=
−
−=−
−=
−
−=−
−=
−
−
−
−
χχ
χ
χχ
χ
χχ
χχ
χχ
χχ
p
pRT
vp
vpvpw
v
vRT
vp
vpvpw
p
pRT
vp
vpvpw
v
vRT
vp
vpvpw
.
Izoterma i adijabata dele ravan pv na različite oblasti (Slika 23). Ako je stanje gasa predstavljeno tačkom A i ako ona pri promeni stanja pređe u oblast iznad izoterme, tada temperatura gasa raste, a ako pređe u oblast ispod izoterme, tada mu temperatura opada. Ako se pri promeni stanja pređe u oblast iznad adijabate, toplota se dovodi, a ako se pređe u oblast ispod adijabate, toplota se odvodi. Ako se adijabata i izoterma prikažu zajedno, prilikom promene stanja prelaskom u oblast I temperatura raste, a toplota se odvodi, dok se prelaskom u oblast II toplota dovodi, a temperatura opada. Promene stanja po izotermi i adijabati su idealizovani slučajevi. Najčešće promene stanja leže između adijabate i izoterme, što je uočeno analizom rada toplotnih mašina.
A
I
I I
t = c o n s t
q = 0
q > 0 , t = 0Δ
q > 0 , t > 0Δ
q < 0 , t < 0Δ
q < 0 , t = 0Δ
p
V
q < 0Δ t > 0
q > 0
Slika 23 Izoterma i adijabata u pv ravni
Jednačina: constpv =χ , izvedena je za konstantne specifične toplotne kapacitete. Ako se oni menjaju sa temperaturom, to se mora uzeti u obzir prilikom izvođenja jednačine.
62
7.3.5. Politropske (mnogovrsne) promene stanja
Stvarne linije ekspanzije ili kompresije (promene stanja) na koje se nailazi kod toplotnih mašina, mogu se veoma dobro predočiti opštim hiperbolama, koje se pokoravaju jednačinama oblika:
.constpvn =
Eksponent politrope n je bilo koji pozitivan broj. Najčešći slučaj u praksi je da eksponent ima vrednost: χ≤≤n1 , kada politropa u pv dijagramu leži između adijabate i izoterme (Slika 24).
Slika 24 Politrope
Pošto je jednačina politrope istog oblika kao i jednačina adijabate, izrazi izvedeni za adijabatsku promenu stanja važe i za politropsku promenu stanja, ako se umesto χ u jednačine uvrsti n. Na taj način dobijaju se sledeće jednačine:
n
nnn
p
p
v
v
v
v
T
T1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
−−−
=
=
= .
Kod politropske promene stanja, prvi zakon termodinamike može se napisati u sledećem obliku: dvpduq ⋅+=∂ . Pošto se pri politropskoj promeni stanja izmenjuje toplota, ona se izračunava na sledeći način. Ako se politropska jednačina logaritmuje, a zatim diferencira, dobija se diferencijalna jednačina politrope:
constvnpconstpvn lnlnln.ln)ln( =+⇒= , odakle sledi da je:
( ) ( ) 0011
.lnlnln =⋅+⋅⇒=+⇒=+ dpvdvnpdvv
ndpp
constdvnpd .
Diferenciranjem jednačine stanja: RTpv = , dobija se: dTRdpvdvp ⋅=⋅+⋅ . Ako se od prve jednačine oduzme druga, dobija se:
p
(pv=const)
(pv=const)χ
v
63
dTRdvpndTRdpvdvpdpvdvnp ⋅−=⋅−⇒=⋅+⋅−⋅−⋅+⋅ )1(0 . Na taj način dobija
se: dTn
ncdT
n
ccc
n
dTRdTcdvpduq v
vpvv
−++−=
−−
−=−⋅−=⋅+=∂
1
11
11
χ, odnosno:
dTn
ncq v
−−=∂
1
χ.
Ako se umesto:
−−
1n
ncv
χ uvrsti nc , dobija se:
dTcq n=∂ ,
gde je nc politropski specifični toplotni kapacitet.
Integraljenjem izraza: dTcq n=∂ , dobija se da je izmenjena toplota prilikom politropske promene stanja:
)( 122,1
2
1
TTcdTcq n
T
T
n −== ∫ .
Iz prethodnog izraza se vidi da je nc negativan, ako je: χ≤≤n1 , što znači da se prilikom politropske ekspanzije uprkos dovođenju toplote, temperatura snižava, odnosno da se prilikom politropske kompresije uprkos odvođenju toplote, temperatura povisuje.
Da bi se odredio rad prilikom politropske promene stanja, može se upotrebiti prvi zakon termodinamike:
dTn
nncdTcdTcduqwwduq vvn
−+−−=−=−∂=∂⇒∂+=∂
1
1χ, odnosno:
dTn
cw v
−−−=∂
1
1χ.
Integraljenjem izraza dobija se da je rad prilikom politropske promene stanja:
( )122,1 1
1
1
12
1
TTn
cdTn
cw v
T
T
v −
−−−=
−−−= ∫
χχ, odnosno:
( )212,1 1
1TT
ncw v −
−−= χ
.
Daljim transformacijama jednačine može se napisati da je na osnovu jednačine:
1−=
χR
cv , rad jednak:
64
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
22
11222,1
2
122,1
11
22112,1
1
212,1
−−
=
−−
=
−−
=
−−
=
vp
vp
n
vpw
T
T
n
RTw
vp
vp
n
vpw
T
T
n
RTw
.
Uvrštanjem jednačina: n
nn
p
p
v
v
T
T1
1
2
1
2
1
1
2
−−
=
= u prethodne jednačine, mogu se dobiti
dalji izrazi za rad:
)1(1
)1(1
)1(1
)1(1
1
2
122,1
1
1
222,1
1
1
212,1
1
2
112,1
−
−
=
−
−
=
−
−=
−
−=
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
p
p
n
RTw
v
v
n
RTw
p
p
n
RTw
v
v
n
RTw
.
Ako se za količinu toplote može napisati da je: ( )212,1 1TT
n
ncq v −
−−= χ
, a za rad:
( )212,1 1
1TT
ncw v −
−−= χ
, može se napisati da je:
( )
( ) 11
11
21
21
2,1
2,1
−−=
−
−−
−
−−
=χχ
χ
χn
TTn
c
TTn
nc
w
q
v
v
.
Ovaj odnos omogućava brzo izračunavanje jedne veličine kada je poznata druga.
U suštini sve do sada posmatrane promene stanja, mogu se smatrati za politropske sa različitim vrednostima eksponenta politrope n. Za: constpvn = sledi:
constvnizohora
constpvnadijabata
constppvnizobara
constpvpvnizoterma
=⇒∞==⇒=
==⇒=
==⇒=
...
...
0...
1...0
1
χχ.
65
Ako se napiše diferencijalna jednačina politrope: 01 =+
v
dv
p
dp
n i uvrsti: ∞=n ,
dobija se da je: constvdvv
dv =⇒=⇒= 00 , što dokazuje da je izohora politropa sa
eksponentom ∞=n (Slika 25).
Slika 25 Politropske promene stanja
Sve prethodno izvedene jednačine pretpostaljvaju da specifični toplotni kapaciteti ne zavise od temperature. Ako se specifični toplotni kapaciteti menjaju sa temperaturom, to se mora uzeti u obzir prilikom izvođenja jednačina.
n=0 (p=const)
n=1 (pv=const)
n=χ (pvχ=const)
n= (v=const)∝
p
v
66
8.8. Povratni iPovratni i nepovratninepovratni procesiprocesi
U dosadašnjim izlaganjima, pretpostavljeno je da su promene stanja bile povratne, odnosno da su bile takve da bi u slučaju izvođenja promena stanja u suprotnom smeru radno telo prošlo kroz iste faze, odnosno stanja, ali obrnutim redosledom. To bi bilo moguće samo onda kada bi između radnog tela i okoline koja učestvuje u procesu postojala toplotna, hemijska i mehanička ravnoteža, a proces bi se sastojao iz niza ravnotežnih stanja. To bi značilo da ne postoje konačne razlike između veličina stanja radnog tela i okoline, odnosno da su sve veličine stanja nakon obrnute promene stanja iste kao i na početku procesa.
Za sve prirodne pojave kod kojih se prilikom procesa ne pojavljuje toplota to se može postići. Neka se za primer uzme vertikalni hitac tela u bezvazdušnom prostoru gde nema trenja. Ako telo na početnoj visini ima brzinu 0v , po zakonu o održanju energije (kinetička energija se u potpunosti pretvara u potencijalnu energiju) brzina mu se postepeno smanjuje sa porastom visine sve dok telo ne dostigne maksimalnu
visinu h : g
vhmgh
vm
22
20
20 =⇒= , kada mu je brzina nula. Posle toga telo počinje da
pada i prolazi kroz iste faze (povećanje brzine sa smanjivanjem visine) obrnutim redosledom, sve dok ne dođe na početnu visinu, kada po zakonu o održanju energije
ima brzinu: 0
20
2
222
2v
g
vgghv
vmmgh ===⇒= . Pošto je: 0vv = a ni u okolini
nije nastala nikakva promena, prethodni proces je povratan.
U stvarnosti se kod svih procesa pojavljuje toplota usled trenja, ili se toplota razvija prilikom hemijske reakcije...
Ako se za primer ponovo uzme vertikalni hitac tela, ali sada u vazduhu (postoji trenje između tela i vazduha, koje je iskazano članom trE ), telo na početnoj visini ima brzinu 0v . Po zakonu o održanju energije, brzina mu se postepeno smanjuje sa porastom visine sve dok telo ne dostigne maksimalnu visinu rh . Pošto između tela i vazduha postoji trenje, deo kinetičke energije će se pretvoriti u toplotu usled trenja, pa
se može napisati da je: ↑↑ +=⇒+=
trrtrpk Emghmv
EEE2
20
0. Ako se radi jasnosti
67
prikaza napiše da je: 2
~2
↑↑
trtr
mvE 33, sledi da je: h
g
vvh tr
r <−
= ↑
2
220 . Nakon
postizanja maksimalne visine, telo počinje da pada. Sada se može napisati da je:
↓↓ −=⇒−= trrtrpk Emghmv
EEE2
2
. Ako se radi jasnosti prikaza napiše da je:
2~
2
↓↓
trtr
mvE , sledi da je:
( ) 0222
02
2202
222 vvvvv
g
vvgvghv trtrtr
trtrr <+−=−
−=−= ↓↑↓
↑↓ . Pošto je: 0vv < ,
to znači da ovakav proces, u kojem se pojavljuje trenje jeste nepovratan, odnosno ne može se izvesti povratno.
Nepovratni procesi su oni koji se ne mogu izvesti u suprotnom smeru a da pri tome sva tela koja učestvuju u procesu prođu obrnutim redosledom kroz iste faze kroz koje su prethodno prošla.
Skoro svi procesi u prirodi su nepovratni. Najčešće nepovratne pojave su trenje i prelaz toplote sa tela više na telo niže temperature. U nepovratne pojave spadaju i difuzija gasova, širenje sabijenog gasa bez vršenja spoljašnjeg rada u evakuisan sud, prigušivanje, zračenje, nagle hemijske promene, sagorevanje...
8.1. Povratnost promena stanja
8.1.1. Povratnost izobarne (izohorne) promene stanja
Ako se radno telo zagreva pri stalnom pritisku (ekspanzija gasa u cilindru sa pokretnim klipom bez otpora i sa konstantnim opterećenjem) od temperature 1t do temperature 2t , potrebno je za zagrevanje oduzimati toplotu od nekog rezervoara toplote34 temperature: 2ttrg > (rezervoar toplote više temperature). Za suprotan proces potrebno je za hlađenje gasa toplotu predavati nekom rezervoaru toplote temperature: 1ttrd < (rezervoar toplote niže temperature). Ako se posmatra ceo sistem koji učestvuje u procesu, vidi se da ova pojava nije povratna, jer je toplota prešla sa jednog na drugi rezervoar toplote. Proces bi mogao da se izvede na povratan način ako bi za svaki položaj klipa postojao rezervoar toplote iste temperature (ili beskonačno malo različite) kao i gas. Beskonačno malo povišenje temperature rezervoara toplote izazvalo bi prelaz toplote na gas, a beskonačno malo povišenje temperature gasa izazvalo bi prelaz toplote na rezervoar toplote. Proces bi mogao da
33 Ovakav način zapisa koristi se samo da bi se prikazalo da se deo kinetičke energije izgubi trenjem, i ne predstavlja izraz za izračunavanje gubitaka usled trenja.34 Pojam rezervoara toplote će se objasniti u nastavku.
68
teče u oba smera samo kada bi temperaturna razlika težila nuli, odnosno kada bi postojala toplotna ravnoteža35.
8.1.2. Povratnost izotermske promene stanja
Izotermska promena stanja je povratna, ako toplotni rezervoar i radno telo imaju istu temperaturu, odnosno kada je u svakom trenutku sistem u toplotnoj ravnoteži.
8.1.3. Povratnost adijabatske promene stanja
Neka se pretpostavi da se adijabatska promena stanja izvodi pomoću mehanizma koji omogućava beskonačno mali poremećaj mehaničke ravnoteže između izolovanog cilindra sa pokretnim klipom bez trenja u kome se nalazi radno telo i okoline u oba smera. Tada se proces odvija veoma sporo, te se u svakom zapreminskom delu gasa uvek uspostavlja isto stanje koje odgovara položaju klipa, odnosno proces je povratan.
8.2. Kružni procesi, ciklusi
Promene stanja, odnosno procesi o kojima je prethodno bilo reči, mogu se ponoviti samo kada se radno telo vrati u isto početno stanje. Za tehničku primenu, ponavljanje procesa od izuzetne je važnosti. Toplotne mašine uglavnom rade ritmično ponavljajući promene stanja, odnosno procese, kojih može biti više.
Da bi se neki proces mogao ponoviti, mora se vratiti u početno stanje. Ako je radno telo izvršilo ekspanziju (Slika 26) od tačke 1 do tačke 2, izvršilo je duž puta a neki rad. Ako se rad ponovo želi izvršiti, potrebno je na neki način radno telo vratiti u tačku 1. Put kojim se radno telo vraća u početno stanje mora da se razlikuje od puta a, jer bi u suprotnom bio utrošen upravo onoliki rad za izvršenje suprotnog procesa, koliki je dobijen promenom stanja duž putanje a. Ako se za vraćanje u početno stanje odabere put b iz dijagrama se vidi da je izvršeni rad za vraćanje u početno stanje manji od dobijenog rada. Sveukupno dobijeni rad je: ba www −= , koji je u dijagramu predočen površinom koju zatvara prikazani zatvoreni, odnosno kružni proces. Ovakav kružni proces naziva se još i ciklusom.
35 Slično razmatranje moglo bi da se izvede i za izohornu promenu stanja.
69
W
p
p 1
p 2
v 1 v 2 v
a
b
1
2
Slika 26 Kružni proces
Ako promena stanja u pv dijagramu teče u smeru kretanja kazaljki na satu, proces je desnokretni (prav), a ukupan, koristan rad je pozitivan. Ako promena stanja teče suprotno od kretanja kazaljki na satu, proces je levokretni (obrnut, suprotan), a ukupan, koristan rad je negativan, odnosno za izvršenje procesa mora se rad utrošiti.
Da bi se kružni proces izvršio, mora se izmenjivati toplota, odnosno u jednom delu procesa mora se dovoditi toplota, a u drugom se delu toplota mora odvoditi. Da bi se uvidela potreba izmenjivanja toplote, kružni proces se postavlja između dve adijabate (Slika 27), na način da proces u po jednoj tački, tačka A i tačka B, dodiruje (tangira) obe adijabate. Pošto su ove dve tačke na adijabati, u njima nema izmene toplote, dok se u svim drugim delovima procesa odvija izmena toplote. Kod desnokretnog procesa se od tačke A do tačke B dovodi toplota, a od tačke B do tačke A odvodi toplota, dok je kod levokretnog procesa slučaj obrnut.
Ako se napiše prvi zakon termodinamike: WUQ +∆= , za kružni proces se mogu izvesti sledeći zaključci:
1. Pošto se na kraju ciklusa radno telo vraća u početno stanje, konačna promena unutrašnje energije tela je: 0=∆U ;
2. Sveukupna izmena toplote je: odvdov QQQ −= .
Na osnovu ovoga, može se napisati prvi zakon termodinamike kao:
odvdov QQW −= ,
odnosno može se reći da je kod kružnih procesa rad jednak razlici dovedene i odvedene toplote.
Kružni proces može se sastaviti iz različitog broja, ali najmanje tri različite promene stanja, ali najčešće se nailazi na cikluse koji su sastavljeni iz dva para istovrsnih promena stanja (na primer: Joule-ov ciklus koji se sastoji iz dve izobare i dve adijabate, odnosno Otto ciklus koji se sastoji iz dve izohore i dve adijabate...).
70
p
v
q = 0
q = 0
A B
q > 0
q < 0
Slika 27 Kružni proces
8.2.1. Rezervoari toplote
Radno telo ne može samo od sebe da izvrši kružni proces, odnosno da dobavlja ili utroši rad, nego su za izvršenje procesa potrebni toplotni rezervoari (izvori toplotne energije), koji dobavljaju toplotu, odnosno koji preuzimaju toplotu, te oni sa radnim telom predstavljaju učesnike procesa.
8.2.2. Stepen korisnog dejstva
Iz prethodnog razmatranja, može da se zaključi da se ne može celokupna toplota koja stoji na raspolaganju pretvoriti u rad, već se deo toplote odvodi od radnog tela neiskorišćeno. Odnos iskorišćene toplote prema ukupno dovedenoj toploti predstavlja meru kvaliteta ciklusa i pokazuje koliki se deo raspoložive (dovedene) toplote pretvori u koristan mehanički rad. Ovaj odnos naziva se stepen korisnog dejstva:
dov
odvdov
Q
QQ −=η .
Što je stepen korisnog dejstva viši, mašina je ekonomičnija, odnosno potrebno joj je manje toplotne energije, odnosno manje goriva za dobijanje odgovarajuće količine mehaničkog rada.
71
8.2.3. Carnot-ov ciklus
1824. godine Nicolas Léonard Sadi Carnot predložio je ciklus, koji se sastoji iz dve izoterme i dve adijabate (Slika 28).
1
2
3
4
q = 04 , 1
q = 02 , 3
q 3 , 4
q 1 , 2
v
p
t
t 0
t o p l o t n i r e z e r v o a r
t o p l o t n i r e z e r v o a r
Slika 28 Carnot-ov ciklus
Ako se pođe od stanja 1, radnom telu temperature t , dovodi se toplota, koja se dobavlja iz nekog rezervoara toplote36 temperature: ttrg > , te radno telo ekspandira pri konstantnoj temperaturi. U stanju 2 prekida se dovođenje toplote, a radno telo dalje ekspandira adijabatski do stanja 3. Usled adijabatske ekspanzije temperatura radnog tela se snizila na 0t . Nakon toga započinje izotermska kompresija do stanja 4, prilikom koje se radnom telu odvodi toplota koju preuzima rezervoar toplote temperature: 0ttrd < . U stanju 4 prekida se odvođenje toplote, a radno telo se dalje komprimuje adijabatski do početnog stanja 1.
Iz navedenoga se vidi, da je osim radnog tela, za izvršenje Carnot-ovog ciklusa potrebno postojanje dva rezervoara toplote različitih temperatura: ttrg ≥ i 0ttrd ≤ 37.
Rezervoari toplote ograničavaju kružni proces, odnosno ciklus, jer se on mora odvijati između dve temperature rezervoara toplote, ako se želi da se ciklus odvija u željenom smeru. Radno telo je samo posrednik, dok je pravi dobavljač rada izmenjena toplota, koja je omogućena postojanjem dva rezervoara toplote.
Carnot-ov ciklus može se vršiti suprotno. Tada se od tačke 4 do tačke 3, radnom telu dovodi toplota: 0ttrd ≥ , a od tačke 2 do tačke 1, radnom telu se odvodi toplota:
36 Rezervoari toplote su dovoljno veliki da im se temperatura primetno ne menja prilikom izmene toplote.37 Temperature toplotnih rezervoara i temperature radnog tela pri izotermskim promenama stanja su kod povratnih promena stanja jednake.
72
ttrg ≤ . Na taj se način toplota prenosi sa rezervoara niže temperature na rezervoar više temperature, ali uz utrošak mehaničkog rada (takozvana dizalica toplote).
Ako se Carnot-ov ciklus odvija povratno, može se napisati da je: Tttrg == i
00 Tttrd == .
Stepen korisnog dejstva povratnog Carnot-ovog ciklusa za idealne gasove može se izračunati na sledeći način. Dovedena toplota pri izotermskoj ekspanziji je:
1
22,12,1 ln
v
vRTwq ⋅== . Odvedena toplota pri izotermskoj kompresiji je:
4
304,34,3 ln
v
vRTwq ⋅== 38. Na osnovu ovoga može se napisati da je:
1
2
4
30
1
2
2,1
4,32,1
ln
lnln
v
vT
v
vT
v
vT
q
⋅
⋅−⋅=
−=η . Pošto je za adijabatsku ekspanziju moguće
napisati da je: 1
2
3
0
−
=
χ
v
v
T
T, a za adijabatsku kompresiju da je:
1
1
4
0
−
=
χ
v
v
T
T, sledi
da je: 1
2
4
3
1
4
2
3
1
1
4
1
2
3
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v =⇒=⇒
=
−− χχ
, pa je za povratan Carnot-ov ciklus za
idealne gasove stepen korisnog dejstva:
T
TT 0−=η 39.
Za idealne gasove, stepen korisnog dejstva Carnot-ovog ciklusa zavisi od najviše i od najniže temperature u ciklusu. Ako je ciklus nepovratan, stepen korisnog dejstva je
manji, jer su temperature: neprg
pov TTT >= i neprd
pov TTT 00 <= , pa sledi da je:
neppov TT > i neppov TT 00 < , odnosno: nep
nep
nep
nepnepnep
T
T
T
TT 00 1−=−=η i
pov
pov
pov
povpovpov
T
T
T
TT 00 1−=−=η , odakle sledi da je:
povnep ηη < .
38 To je apsolutna vrednost odvedene toplote. U daljim razmatranjima će se često koristiti apsolutne vrednosti pojedinih veličina bez posebnog naglašavanja.39 Kasnije će se pokazati da jednačina vredi bez obzira da li je gas idealan ili ne.
73
9.9. Drugi zakonDrugi zakon termodinamiketermodinamike
Prethodna razmatranja, odnosno iskustvo, pokazuju da toplota, odnosno toplotna energija, spontano prelazi sa tela više na telo niže temperature, dok prelaz toplote sa tela niže na telo više temperature nikada ne nastupa bez učešća okolnih tela i utroška mehaničkog rada. Ova činjenica prestavlja Clausius-ov postulat koji glasi: „Toplota nikada ne može prelaziti sama od sebe sa tela niže na telo više temperature“.
Za pretvaranje toplotne energije u rad kod toplotnih mašina, potrebna su osim radnog tela dva rezervoara toplote različitih temperatura.40
Na osnovu prvog zakona termodinamike, vidi se da se toplota i mehanička energija mogu pretvarati jedna u drugu, ali se iz prvog zakona termodinamike ne vidi koliki deo toplote može da se pretvori u rad. Kada bi postojala mašina koja bi mogla pretvarati toplotu u rad sa samo jednim rezervoarom toplote, toplota bi se mogla uzimati na primer iz okeana, koji predstavlja praktično beskonačno veliki izvor toplote. To ne bi bilo u suprotnosti sa prvim zakonom termodinamike, te takva mašina ne bi bila perpetuum mobile prve vrste41, ali bi za čovečanstvo bila od istoga značaja, jer je rezervoar toplote okoline praktično neiscrpan. Wilhelm Ostwald je takvu mašinu nazvao perpetuum mobile druge vrste.
Ako bi se posmatrao Carnot-ov proces za takav slučaj (Slika 29), gde jedan rezervoar toplote temperature T služi i za dovođenje i za odvođenje toplote, stepen korisnog
dejstva bi bio: 0=−=T
TTη , odnosno takva mašina ne bi vršila nikakav rad.
Max Karl Ernst Ludwig Planck je drugi zakon termodinamike definisao na sledeći način: „Nije moguće proizvesti cikličnu mašinu, koja ne bi ništa drugo proizvodila, osim dizanja nekog tereta uz hlađenje jednog toplotnog rezervoara“ (nemoguće je ostvariti perpetuum mobile druge vrste).
40 Nasuprot tome, moguće je mehaničku energiju pretvoriti u toplotu (na primer trenjem) i nju predati nekom rezervoaru toplote, odnosno za ovaj proces pretvaranja rada u toplotu dovoljan je jedan rezervoar toplote.41 Perpetuum mobile (u bukvalnom prevodu mašina koja bi se večito kretala bez utroška rada) je mašina koja vrši mehanički rad, a pri tome ne troši nikakvu energiju. Prema zakonu o održanju energije, nemoguće je napraviti takvu mašinu.
74
p
v
w = 0
2( 4 )
3
q 4 , 1
q 1 , 2
q = 02 , 3
q = 03 , 4
T = c o n s t
Slika 29 Carnot-ov ciklus sa jednim toplotnim rezervoarom
William Thomson je drugi zakon termodinamika definisao na sledeći način: „Nemoguće je napraviti mašinu, koja bi od jednog tela uzimala toplotu i pretvarala je u mehanički rad, a da pri tome na ostalim telima ne nastupe nikakve promene“.
U suštini i Ostwald, kao i Thomson i Planck iskazuju isto na osnovu Calusisu-ovog postulata.
U suštini je moguće da se toplotna energija uzima samo od jednog rezervoara toplote i da se u potpunosti pretvori u rad i to bez pada temperature, ali samo ako se pri takvom procesu barem na jednom od učesnika izvrši neka trajna promena (na primer pri izotermskoj ekspanziji gasa pritisak je na kraju procesa niži od početnog pritiska, te je to trajna promena).
9.1. Nepovratnost i dobijanje rada
Neka postoje dva rezervoara toplote temperatura T i 0T i neka je: 0TT > . Ako radno telo koje vrši kružni proces prima toplotu Q od toplijeg toplotnog rezervoara, u zavisnosti od vrste ciklusa dobiće se manje ili više rada W , a ostatak toplote 0Q će se predati hladnijem rezervoaru.
Neka se posmatraju dva različita proizvoljna povratna ciklusa, koji se odvijaju između zadatih toplotnih rezervoara i neka za isti dobijeni rad troše različite količine toplote (Slika 30), na primer: 21 WW = i 21 QQ > . Ako je tako, mogao bi se drugi ciklus (kao desnokretni) iskoristiti za pokretanje prvog ciklusa (kao levokretnog), a rezultat bi bio taj, da bi se toplijem rezervoaru toplote vratilo više toplote, nego što mu je oduzeto: 21 QQQ −=∆ . Toplota bi se oduzela od hladnijeg rezervoara. Pošto bi se oba ciklusa na kraju vratila u početno stanje, to bi značilo da je toplota prešla sa
75
hladnijeg na topliji rezervoar toplote, a da se sa učesnicima u procesu i u okolini nisu dogodile nikakve trajne promene, što se protivi drugom zakonu termodinamike. Na osnovu ovoga, dolazi se do zaključka da ciklusi bilo koje vrste, izvedeni bilo kakvim sredstvom (radnim telom) dobavljaju isti rad ako su povratni i ako se izvode između istih toplotnih rezervoara uz utrošak iste količine toplote.
- W 1
V
p
Q 0
Q 1
W 2
V
p
Q 0
Q 2
Q 1 > Q 2
Slika 30 Nepovratnost i dobijanje rada
Neka se sada posmatraju dva različita proizvoljna ciklusa, od kojih je jedan povratan a jedan nepovratan, koji se odvijaju između zadatih toplotnih rezervoara i neka za isti dobijeni rad troše iste količine toplote, na primer: 21 WW = i 21 QQ = . Ako je tako, mogao bi se nepovratni ciklus (kao desnokretni) iskoristiti za pokretanje povratnog ciklusa (kao levokretni), a rezultat bi bio taj, da bi se oba ciklusa na kraju vratila u početno stanje, a toplotni rezervoari bi imali istu količinu toplote kao na početku procesa. Pošto se na učesnicima u procesu i u okolini nisu dogodile nikakve trajne promene, to bi značilo da je nepovratan ciklus povratan.
Neka se sada posmatraju dva različita proizvoljna ciklusa, od kojih je prvi povratan a drugi nepovratan, koji se odvijaju između zadatih toplotnih rezervoara i neka za istu utrošenu količinu toplote nepovratni ciklus daje više rada od povratnog: 21 WW < . Ako je tako, mogao bi se nepovratni ciklus (kao desnokretni) iskoristiti za pokretanje povratnog ciklusa (kao levokretni), a rezultat bi bio taj, da bi se toplijem rezervoaru toplote vratilo više toplote, nego što mu je oduzeto: 21 QQQ −=∆ . Toplota bi se oduzela od hladnijeg rezervoara. Pošto bi se oba ciklusa na kraju vratila u početno stanje, to bi značilo da je toplota prešla sa hladnijeg na topliji rezervoar toplote, a da se sa učesnicima u procesu i u okolini nisu dogodile nikakve trajne promene, što se protivi drugom zakonu termodinamike.
Na osnovu ovoga, indirektno se može zaključiti da nepovratni ciklusi bilo koje vrste, izvedeni bilo kakvim sredstvom (radnim telom) dobavljaju manji rad od povratnih, ako se izvode između istih toplotnih rezervoara uz utrošak iste količine toplote, odnosno da je svaka nepovratnost povezana sa određenim gubitkom rada.
76
9.2. Analitička formulacija drugog zakona termodinamike
Ako je toplotno stanje tela određeno sa po dve nezavisne veličine stanja, na primer sa pritiskom i specifičnom zapreminom, može se napisati prvi zakon termodinamike u diferencijalnom obliku kao: dvpvpdfq ⋅+=∂ ),( , gde je: duvpdf =),( .
Neka se pretpostavi da postoje takve funkcije stanja x i y: ),(1 vpfy = i ),(2 vpfx = , da se pomoću njih prvi zakon termodinamike može pisati u obliku:
),(),(),( 21 vpdfvpfdvpvpdfq =⋅+=∂ , odnosno: dxyq ⋅=∂ 42. U tom slučaju y i x su veličine stanja, jer su funkcije samo dve nezavisne veličine stanja. Može se
napisati da je: dxy
q =∂, odnosno da je leva strana jednačine potpuni diferencijal, jer
je i desna strana jednačine potpuni diferencijal. Na ovaj način nepotpuni diferencijal
q∂ prelazi u potpuni diferencijal: dxyq =∂
, odnosno: ∫ ∫ −==∂2
1
12
2
1
xxdxy
q, što
znači da izraz zavisi samo od veličina stanja (u početnom i krajnjem stanju), a ne i od
načina prelaza iz stanja 1 u stanje 2, što olakšava određivanje integrala ∫∂2
1 y
q.
x
y 2
y 1
x 2x 1
y
1
2
q 1 , 2
Slika 31 Promena stanja tela
Ako se funkcije y i x uzmu kao koordinate za dijagram, stanje tela može se definisati pomoću vrednosti y i x (jer su one veličine stanja) i predstaviti kao tačka u dijagramu
42 Postojanje funkcija neće se dokazivati.
77
(kao kod pV dijagrama). Promena stanja tela biće prikazana kao neprekinuta kriva u dijagramu (Slika 31).
Korisnost novog dijagrama ogleda se u činjenici da je izmenjena toplota:
∫ ⋅=2
1
2,1 dxyq površina ispod krive u dijagramu, što se kod pV dijagrama nije
moglo prikazati.
9.2.1. Carnot-ov ciklus u xy dijagramu
Pošto se Carnot-ov ciklus sastoji iz izotermi i adijabata, potrebno je odrediti njihov oblik u prethodnom dijagramu. Za adijabatu može da se napiše da je:
constxdxdxyq =⇒=⇒=⋅= ∫ 00 , pa se može zaključiti da je ona u dijagramu
predstavljena vertikalnom linijom. Za sada neka se izoterma prikaže kao neka kriva linija (Slika 32). Ako se posmatra desnokretni Carnot-ov ciklus, može se reći da se kod više temperature t dovodi toplota, a da se kod niže temperature 0t odvodi toplota. Razlika dovedene i odvedene toplote predstavlja rad koji izvrši radno telo, odnosno dovedena toplota je veća od odvedene, što znači da se izoterme viših temperatura u dijagramu nalaze iznad izotermi nižih temperatura. Kod kružnih pocesa vidljivo je da površina koju zatvara kriva promene stanja predstavlja rad. Rad je pozitivan ako se promene stanja odvijaju u smeru kretanja kazaljke na satu. Izmenjena toplota je pozitivna ako se promena stanja odvija u smeru pozitivne x ose.
Svi povratni procesi koji se odvijaju između toplotnih rezervoara stalnih temperatura t i 0t , pretvaraju jednak deo toplote u mehanički rad. Za ove procese stepen korisnog dejstva je jednak, bez obzira na vrstu ciklusa i na vrstu radnog tela koje se koristi. Iz ovoga proizlazi da stepen korisnog dejstva tada zavisi samo od temperatura toplotnih rezervoara. Ako se ova činjenica primeni kod xy dijagrama, proizlazi da bez obzira pri kojim vrednostima x se Carnot-ov proces odvija, stepen korisnog dejstva mora biti isti. Za neki beskonačno uzani Carnot-ov ciklus može se napisati da je:
y
y
y
yy
dxy
dxydxy
dq
dqdq
dov
odvdov 000 1−=−=⋅
⋅−⋅=−=η (Slika 33).
Pošto je za zadane temperature toplotnih rezervoara: const=η , sledi da je i odnos:
constyy =0 duž čitavog dijagrama za odgovarajuće temperature, bez obzira na radno
telo.
Ako se za neku temperaturu t može napisati za tok izoterme: ( )xfy = , tada se za
neku drugu temperaturu 0t može na osnovu: consty
y =0 napisati da je:
( )xfayconsty 00 =⋅= (Slika 34).
78
x
y
q = 04 , 1
1 2
4 3
t 0
t
q 3 , 4
q 1 , 2
q = 02 , 3
W
Slika 32 Carnot-ov ciklus
Slika 33 Carnot-ov ciklus
79
x
y
t = c o n s t y = f ( x )
t = c o n s t y = a f ( x )
0
0
Slika 34 Izoterme
Na osnovu prethodnog razmatranja, može se uopšteno napisati da je: ( )xafy = , gde je konstanta: ( )ta ϕ= , odnosno zavisna je samo od temperature.
Sada se može napisati da je: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dxxftqdxxftdxyq ϕϕ =∂⇒=⋅=∂ . Ako se prethodni izraz istovremeno integrali i diferencira (te dve operacije se međusobno poništavaju), može se napisati da je: ( ) ( )[ ] ( ) ( )xdtdxxfdtq Φ==∂ ∫ ϕϕ . Ako se napiše da je: ( ) sx =Φ , tada je: ( )dstq ϕ=∂ . Veličina s je veličina stanja, jer zavisi samo od x koja je isto definisana kao veličina stanja.
Iz prethodnog proizlazi da je: ( ) ( )tydstdxy ϕϕ =⇒=⋅ . Pošto je y funkcija od temperature, a za izotermu je temperatura konstantna, proizlazi da za izotermu vredi da je: ( ) constty ==ϕ , odnosno u xy dijagramu je izoterma prikazana horizontalnom linijom, pa je Carnot-ov ciklus u xy dijagramu prikazan kao pravougaonik (Slika 35).
Ako se sada napiše izraz za stepen korisnog dejstva Carnot-ovog ciklusa, dobija se: ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( )t
t
t
tt
dst
dstdst
dq
dqdq
dov
odvdov
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕη 000 1−=−=−=−= . Funkcija ( )tϕ ne zavisi
od izabranog radnog tela (na taj način je izveden prethodni postupak), pa je dovoljno da se odredi za neko telo, da bi važilo za sve. Veličina s je zavisna od tela koje se posmatra, jer je funkcija stanja tela (veličina stanja), te se za svako telo mora posebno odrediti.
Za određivanje funkcije ( )tϕ odabraće se idealni gas. Ako se jednačina stanja:
RTpv = logaritmuje i diferencira, dobiće se:
+=⇒=+v
dv
p
dpTdT
T
dT
v
dv
p
dp.
80
Ako se napiše prvi zakon termodinamike: dvv
RTdTcdvpduq v +=⋅+=∂ ,
kombinovanjem prethodna dva izraza dobija se:
( )
+=
++=+
+=∂v
dvc
p
dpcT
v
dvRc
p
dpcT
v
dvRTT
v
dv
p
dpcq pvvvv .
x = s
y = ty = T
1 2
34
S 1S 2
t
t o
q d o v
q o d v
w
Slika 35 Carnot-ov ciklus
Daljom transformacijom dobija se da je: ( )constvcpcdTq pv ++⋅=∂ lnln , što se poklapa sa izrazom: ( )dstq ϕ=∂ . Na osnovu ovoga proizlazi da je: ( ) Tt =ϕ , gde bi T bila apsolutna temperatura koja je pominjana kod promena stanja idealnih gasova. S obzirom na način izvođenja, funkcija temperature ( )tϕ vredi sasvim uopšteno, odnosno temperatura T ne zavisi ni od vrste radnog tela (stepen korisnog dejstva
Carnot-ovog ciklusa je uvek isti bez obzira na radno telo: T
Tc
01−=η ) ni od
instrumenta kojim se temperatura meri (jer je odnos dov
odv
Q
Q uvek isti).
Svi tehnički ciklusi koji rade između temperatura T i 0T imaju stepen korisnog dejstva koji je niži od Carnot-ovog, jer se ne mogu izbeći nepovratnosti, odnosno Carnot-ov stepen korisnog dejstva predstavlja granični slučaj koji se ne može ni postignuti ni premašiti.
Pošto se može napisati da je:
dsTq ⋅=∂ ,
sledi da je izmenjena toplota prilikom promene stanja radnog tela od stanja 1 do stanja 2:
81
∫ ⋅=2
1
2,1 dsTq .
Izraz predstavlja integralni izraz drugog zakona termodinamike.
9.3. Entropija
Veličina stanja s naziva se po Clausius-u entropija, odnosno veličina pretvaranja. Pomoću nje, može se analitički izraziti drugi zakon termodinamike i odrediti kvantitativno stepen nepovratnosti različitih procesa, odnosno oceniti savršenost pretvaranja toplote u mehanički rad.
Po James Clerk Maxwell-u, može se reći da entropija sveta kao ograničenog sistema teži svom maksimumu. Svaka promena koja u svetu nastaje, dovodi svet iz stanja manje entropije u stanje veće entropije.
Entropija se može shvatiti kao mera istrošenosti nekog sistema. Što je više nepovratnih procesa proteklo, to je entropija sistema veća i on je više istrošen. Kada entropija dostigne svoju najveću vrednost, koja se postiže kod zadatih spoljnih uslova, sistem je potpuno istrošen i svaka dalja promena stanja je nemoguća, jer je postignuto stanje ravnoteže.
9.3.1. Entropija i nepovratnost
Za izmenu toplote potrebna su najmanje dva tela, jedno kome se odvodi toplota i drugo kojem se toplota dovodi. Na osnovu izraza: dsTq ⋅=∂ , vidi se da se prilikom dovođenja toplote entropija povećava, a da se prilikom odvođenja toplote ona smanjuje. Neka se posmatra prelaz toplote q∂ sa tela više temperature 1T , na telo niže temperature 2T . Takav prelaz toplote predstavlja tipičan nepovratan proces. Za
prvo telo može se napisati da je promena entropije: 1
1 T
qds
∂−= pošto se toplota
odvodi, a za drugo telo da je promena entropije: 2
2 T
qds
∂= pošto se toplota dovodi.
Prirast entropije sistema (oba tela) jeste:
011
122121 >⇒∂
−=∂+∂−=+= dsq
TTT
q
T
qdsdsds , pošto je:
01111
121221 >−⇒>⇒>
TTTTTT , odnosno entropija sistema raste, mada se entropija
jednog učesnika smanjila. Ako bi prelaz toplote bio povratan, temperature tela bi bile jednake i tada bi promena entropije bila jednaka nuli.
Na osnovu prethodnog izlaganja može se zaključiti da ukupna entropija nekog sistema u kojem se odvija nepovratan proces raste, a da se ukupna entropija nekog sistema ni u kom slučaju ne može smanjivati, odnosno:
82
0≥ds .
9.3.2. Gubici usled nepovratnosti
Za nepovratne procese, pokazano je da ukupna entropija sistema raste, odnosno da se prirast ukupne entropije sistema može uzeti kao merilo nepovratnosti procesa. S druge strane značajno je naglasiti da je rezultat nepovratnosti nekog procesa u suštini gubitak rada u odnosu na isti ali povratan proces. Na osnovu prethodnog razmatranja može se uspostaviti veza između prirasta entropije i gubitka rada.
Neka se svi učesnici u procesu, odnosno ceo sistem, podele na dve grupe; prvu grupu koju čini okolina (veličine vezane za okolinu će se označiti indeksom o) i drugu grupu, koju čine ostali učesnici u procesu (radno telo, toplotni rezervoari...) i koji neka se nazovu radnim sistemom.
Ako se radni sistem prevede iz nekog stanja 1 u neko stanje 2, ta promena se može izvršiti povratno ili nepovratno, pri čemu se entropija radnog sistema menja sa 1S na
2S , dok promena entropije okoline pri povratnoj promeni stanja iznosi revoS −∆ , a pri nepovratnoj promeni stanja iznosi irevoS −∆ .
U slučaju povratne promene stanja ukupna entropija celog sistema sistS je konstantna, odnosno: revorevorevsist SSSSSSS −−− ∆−=−⇒=∆+−=∆ 1212 0 .
U slučaju nepovratne promene stanja ukupna entropija celog sistema raste, odnosno: 012 >∆+−=∆ −− irevoirevsist SSSS .
Na osnovu prethodne dve jednačine, može se napisati da je promena ukupne entropije celog sistema usled nepovratnosi: revoirevosist SSS −− ∆−∆=∆ .
Prilikom povratnog procesa, može se između radnog sistema i okoline izmeniti toplota: revoorev STQ −∆= , a prilikom nepovratnog procesa: irevooirev STQ −∆= . Višak izmenjene toplote pri nepovratnom procesu jeste:
( ) sistorevoirevoorevirev STSSTQQQ ∆=∆−∆=−=∆ −− .
Pošto je ceo sistem zatvoren, može se za njega napisati prvi zakon termodinamike za povratan proces kao: revrev WQUU +=− 21 , jer se izmenjena toplota i dobijeni rad mogu dobiti samo na račun promene unutrašnje energije radnog sistema. Za nepovratan proces prvi zakon termodinamike glasi: irevirev WQUU +=− 21 .
Ranije je pokazano da je za nepovratan proces rad manji nego za isti takav povratan proces, a razlika predstavlja gubitak rada usled nepovratnosti W∆ . Ako se prethodne jednačine oduzmu dobija se da je: revirevirevrev QQWWW −=−=∆ , odnosno:
sisto STW ∆=∆ ,
što znači da je gubitak rada nekog nepovratnog procesa jednak umnošku apsolutne temperature okoline i ukupnog prirasta entropije celog sistema usled nepovratnosti.
83
9.3.3. Opšti analitički izraz drugog zakona termodinamike
Potrebno je naći analitički izraz drugog zakona termodinamike za sistem, kod kojeg promene stanja ne teku ravnotežno, već nepovratno, uz mogućnost odvijanja hemijskih procesa. Osim toga sistem može izmenjivati toplotu sa okolinom.
Ako sistem temperature T prelazi iz stanja 1 u stanje 2, pri čemu se stanja samo neznatno razlikuju, tada mu se unutrašnja energija promeni za dU , a entropija za dS . Ako promena stanja teče povratno dobiće se neki rad revdW , a sa okolinom će se izmeniti toplota revdQ , te se može napisati: revdWdUTdS += . Ako promena stanja teče nepovratno, dobiće se neki rad dW , koji je na osnovu prethodnih izlaganja manji od revdW , dok se i izmenjena toplota dQ razlikuje od revdQ , te se može napisati da je: dWdUTdS +≥ , gde se rad može pojaviti u vidu mehaničkog
rada mehdW , ili u nekom drugom obliku ∑i
idW , gde su sumom obuhvaćeni oni
oblici energije koji se za razliku od toplotne energije u potpunosti mogu pretvoriti u mehanički rad. (na primer u obliku električne energije kao kod akumulatora...). Na osnovu ovoga može se napisati:
∑++≥i
imeh dWdWdUTdS ,
što predstavlja najopštiji izraz drugog zakona termodinamike za bilo koji sistem, kod kojeg promene stanja mogu biti i veoma burne, uključujući i hemijske procese.
9.3.4. Maksimalan rad
Pre razmatranja vezanih za maksimalan rad, potrebno je definisati kada se uopšte iz nekog sistema može dobiti rad. Rad se može dobiti samo iz sistema koji nije u ravnoteži sa svojom okolinom. Pošto je za vršenje rada potrebno menjati stanje sistema, ako bi on bio u ravnoteži sa okolinom, sve bi mirovalo, te se ne bi mogla izvršiti bilo kakva promena, odnosno ne bi se mogao vršiti rad.
Okolina u kojoj živimo ima stanje koje je praktično nepromenljivo, odnosno može se pretpostaviti da je okolina toplotni rezervoar temperature 0T i pritiska 0p , koji su praktično nezavisni od tehničkih procesa koji se sprovode. Na ovaj način se za dobijanje rada mora obezbediti samo još jedan toplotni rezervoar (za dobijanje rada potrebna su dva toplotna rezervoara), čija će se temperatura i pritisak razlikovati od temperature i pritiska okoline. Iz dva toplotna rezervoara, rad se može dobijati sve dok oni nisu u ravnoteži.
Neka se učesnici u izmeni energije nazovu davaoci rada (toplotni rezervoar i radno telo), a učesnici koji su u neposrednom kontaktu sa njima neka se nazovu okolina. Ovakav sistem može se smatrati zatvorenim, izolovanim sistemom.
Neka su veličine stanja davaoca rada na početku procesa: 11111 ,,,, VSTpU , a na kraju procesa: 22222 ,,,, VSTpU . Veličine stanja okoline su na osnovu prethodnih razmatranja: oT i op , ali su unutrašnja energija i entropija okoline na početku procesa: 11, oo SU , a na kraju procesa 22 , oo SU .
84
Ako se za ovakav izolovani sistem ( 0=Q ) napiše prvi zakon termodinamike:
0'" ==+− QWUU , dobija se da je rad: "' UUW −= , gde je:
11'
oUUU += , unutrašnja energija sistema na početku procesa, a: 22''
oUUU += , unutrašnja energija sistema na kraju procesa.
Na osnovu ovoga može se napisati da je: ( ) ( )020121 UUUUW −+−= .
Tokom procesa, odnosno promene stanja, davalac rada će se proširiti i izvršiće rad nad okolinom potiskujući okolni medij: )( 1200 VVpW −= , koji se kao rad potiskivanja uzima od davaoca rada i predaje okolini, čime se povećava unutrašnja energija okoline.
Tokom procesa okolini će se od davaoca prada predavati i određena količina toplote: )( 12 oooooo SSTSTQ −=∆= , čime se takođe povećava unutrašnja energija okoline.
Na osnovu ovoga može se napisati da je promena unutrašnje energije okoline: )()( 121212 VVpSSTWQUU oooooooo −+−=+=− , odnosno:
)()( 121221 VVpSSTUU oooooo −−−−=− .
Ako se uzme u obzir da je ukupna promena entropije sistema: 012 ≥−+∆=∆ SSSS osist , na osnovu čega proizlazi da je: 2112 SSSS oo −≥− ,
maksimalan rad koji se može dobiti jeste:
)()()( 122121max VVpSSTUUW oo −−−−−= .
Rad W koji se može dobiti jeste:
maxWW ≤ .
Za postizanje maksimalnog rada svejedno je kojim putem davalac rada menja stanje od 1 do 2, ako je proces povratan, ali se ni na koji način ne može dobiti rad koji je veći od prethodno izračunatoga.
Da bi se radna sposobnost davaoca rada u potpunosti mogla iskoristiti, potrebno je njegovo stanje izjednačiti sa stanjem okoline.
Ovim razmatranjima, dolazi se do zaključka da se maksimalan rad može dobiti ako davalac rada na kraju procesa bude u ravnoteži sa okolinom i ako se proces vrši povratno.
Maksimalan rad nekog sistema za neko zadato stanje okoline, zavisi samo o početnom stanju i fizičkim svojstvima davaoca rada (na primer specifičnog toplotnog kapaciteta...).
Kod otvorenih sistema, prilikom određivanja maksimalnog tehničkog rada u obzir se uzima entalpija strujajućeg radnog tela i njegova kinetička energija. Na osnovu ovoga može se napisati izraz za maksimalni tehnički rad:
)(2
)()( 22
212121max ww
mSSTHHW oteh −+−−−= .
Tehnički rad tehW koji se može dobiti jeste:
maxtehteh WW ≤ .
85
9.3.5. Eksergija
Neka se posmatra slučaj, kada je proces povratan, gde je maksimalan rad koji se kod zatvorenih sistema može dobiti: )()()( 1202121max VVpSSTUUW o −−−−−= , a
kod otvorenih sistema: )(2
)()( 22
212121max ww
mSSTHHW oteh −+−−−= .
Ovi izrazi su bitni prilikom određivaja sposobnosti vršenja rada davaoca rada. Pošto se maksimalni rad može dobiti ako se promena stanja vrši do stanja okoline, veličine stanja davaoca rada na kraju promene stanja odgovaraju okolini ooooo HSTpU ,,,, , te se za zatvorene sisteme može napisati:
)()()( 1211max VVpSSTUUW oooo −−−−−= , odnosno za otvorene sisteme: 2
111max 2)()( w
mSSTHHW oooteh +−−−= , jer je 02 == oww .
Ako se posmatra izraz za otvorene sisteme i ako se zanemari kinetička energija davaoca rada, za jediničnu količinu davaoca rada može se napisati:
)()( 11max oooteh ssThhw −−−= . Ovaj tehnički rad naziva se eksergija. Ako je temperatura okoline nepromenljiva, tada se vidi da je eksergija e veličina stanja:
)()( 01001 ssThhe −−−= ,
koja ukazuje na sposobnost vršenja rada davaoca rada za zadate veličine stanja okoline ( 00 , sT ).
9.3.6. Proračun entropije za idealne gasove
Entropija za idealne gasove uz konstantne vc i pc iznosi na osnovu prethodnih razmatranja:
constvcpcs pv ++= lnln .
Integraciona konstanta nije određena i zavisi od posmatranog tela, ali u okviru kursa neće se određivati, već će se pretpostaviti neko osnovno stanje 0s za koje će se uzeti da je entropija nula, te se neće računati apsolutni iznos entropije, već samo promena entropije tela.
Ako se za osnovno stanje napiše da je: 0lnln 000 =++= constvcpcs pv , sledi da je: 000 lnln svcpcconst pv +−−= . Ako se izraz uvrsti u izraz za entropiju, dobija se da
je: 000
000 lnlnlnlnlnln sv
vc
p
pcsvcpcvcpcs pvpvpv ++=+−−++= , odnosno da
je:
000 lnln
v
vc
p
pcsss pv +=∆=− .
Ako se iskoristi jednačina stanja idealnih gasova: RTpv = , te odnos: Rcc vp =− , dobijaju se sledeći izrazi za promenu entropije:
86
00
0
00
000
0
0
lnlnlnln
lnlnlnln
p
pR
T
Tc
p
Tp
T
cp
pcs
v
vR
T
Tc
v
vc
vTv
T
cs
ppv
vpv
−=+=∆
+=+=∆
.
9.4. Promene stanja idealnih gasova u Ts dijagramu
9.4.1. Izohorska i izobarska promena stanja u Ts dijagramu
Ako se izraz: 00
0 lnlnv
vR
T
Tcss ii
vi +=− antilogaritmuje pretpostavljajući izohorsku
promenu stanja: 01ln10
=⇒=v
vi dobija se izraz: v
i
v
i
c
ss
iic
ss
eTTT
Te
00
00
−−
=⇒= . Ako se
izraz: 00
0 lnlnp
pR
T
Tcss ii
pi −=− antilogaritmuje pretpostavljajući izobarsku promenu
stanja: 01ln10
=⇒=p
pi dobija se izraz: p
i
p
i
c
ss
iic
ss
eTTT
Te
00
00
−−
=⇒= .
Na osnovu prethodnih izraza, vidi se da su krive izohorske i izobarske promene stanja eksponencijalne, ali da je kriva izohorske promene stanja strmija, jer je:
p
i
v
i
c
ss
c
ss 00 −−> , zbog: pv cc < (Slika 36).
87
T
s
Slika 36 Izohorska i izobarska promena stanja
9.4.2. Politropska promena stanja u Ts dijagramu
Za politropsku promenu stanja može se napisati da je: dsT
dTcTdsdTcdq nn =⇒== ,
gde je politropski specifični toplotni kapacitet:
−−=
1n
ncc vn
χ. Ako se izraz integrali
od nekog polaznog stanja 0, do nekog stanja i, dobija se da je:
( ) 000
00
0
lnlnln ssT
TcssTTcds
T
dTc i
in
i
iin
i
n −=⇒−=−⇒= ∫∫ i ako se izraz
antilogaritmuje dobija se izraz:
−−
−−−
=⇒=⇒= 100
0
0
00
n
nc
ss
ic
ss
iic
ssv
i
n
i
n
i
eTTeTTT
Te
χ. Na
osnovu prethodnog izraza, vidi se da je kriva politropske promene stanja eksponencijalna.
Promenom koeficijenta politrope n, mogu se ucrtati različite promene stanja u Ts dijagramu (Slika 37).
88
T
s
Slika 37 Ts dijagram
9.5. Prigušivanje
Zbog značaja u tehničkoj primeni, prikazaće se promena stanja prilikom prigušivanja. Prigušivanje je adijabatska promena stanja, pri kojoj nema vršenja rada.
Neka se zamisli jedan izolovani cevovod (Slika 38) kroz koji struji gas ili tečnost, koji ima naglo suženje, odnosno prigušenje. Posledica strujanja kroz prigušenje je nagli pad pritiska iza prigušilišta.
Neka ispred prigušilišta (presek 1) telo struji i ima stanje ( 1111 ,,, tVvp ), a iza prigušilišta (presek 2) stanje ( 2222 ,,, tVvp ). Neka se stanja tela posmatraju u presecima koji su relativno daleko od prigušilišta, da bi posmatrana stanja bila ustaljena, odnosno strujanje jednolično. Neka se brzine strujanja u oba preseka razlikuju toliko malo, da se može zanemariti promena kinetičke energije.
U ustaljenom stanju ka i od prigušilišta dolaze i odlaze iste količine gasa, odnosno u nekom vremenu prostruje zapremine: 11 mvV = i 22 mvV = . Za potiskivanje zapremine 1V utroši se rad: 111 VpW = , a potiskivanjem zapremine 2V vrši se rad: 222 VpW = . Pošto je cevovod izolovan, za vreme prigušivanja nema ni dovođenja ni odvođenja toplote, pa se prema prvom zakonu termodinamike može napisati: 12120 WWUU −+−= , odakle sledi da je: 2211 WUWU +=+ ili:
89
2211 pVUpVU +=+ , odnosno može se reći da prilikom prigušivanja entalpija tela ostaje nepromenjena, odnosno:
21 HH = 43.
p 1
V 1
v 1
t 1
p 2
V 2
v 2
t 2
1
1
2
2
Slika 38 Prigušenje
43 Promena stanja prilikom prigušivanja može se objasniti činjenicom, da prilikom prostrujavanja gasa kroz prigušilište, njegova brzina značajno poraste. To povećanje brzine dovodi do povećanja kinetičke energije gasa, a pošto je sistem izolovan, kinetička energija nastaje na uštrb unutrašnje energije. Rad potreban za ubrzavanje gasa dovodi do pada pritiska i do povećanja specifične zapremine. Nakon prigušilišta usled proširenja cevovoda, brzina gasa novog stanja opada na polazno stanje. Smanjenje brzine dovodi do smanjenja kinetičke energije gasa, a pošto je sistem izolovan, kinetička energija se pretvara u toplotnu energiju. U suštini nema vršenja rada, jer je kinetička energija na početku i kraju promene stanja identična. Ova promena stanja je nepovratna, što se između ostaloga vidi i iz činjenice da se tokom prigušivanja kinetička energija pretvara u toplotnu energiju.
90
10.10. PrimeriPrimeri ciklusaciklusa
Osnovna funkcija toplotne mašine je pretvaranje toplotne energije u mehanički rad, iskorištavajući temperaturnu razliku između „grejača“ i „hladnjaka“. Toplotna energija se kreće iz „grejača“ posredstvom radnog tela do „hladnjaka“, a tokom procesa izmene toplote jedan njen deo se pretvara u rad (Slika 39).
R A D N O T E L OT T 0
T > T 0
W
Q Q 0
Slika 39 Pretvaranje toplotne energije u mehanički rad
Što je temperaturna razlika između toplotnih rezervoara („grejača“ i „hladnjaka“) veća, viši je stepen korisnog dejstva toplotne mašine, što je prethodno prikazano. Hladniji toplotni rezervoar, obično je ograničen temperaturom okoline ( KTo 300≈ ), a topliji toplotni rezervoar karakteristikama materijala od kojih je načinjena toplotna mašina.
Teoretski najviši stepen korisnog dejstva dat je jednačinom: T
T0max 1−=η , gde su T
i 0T temperature toplijeg i hladnijeg toplotnog rezervoara respektivno. Herbert B. Callen je 1985. godine dao bolji izraz za stepen korisnog dejstva, jer prethodni važi samo za povratni Carnot-ov ciklus. Za ciklus je izabran onaj sa interno povratnim promenama stanja (bez gubitaka), ali sa nepovratnom izmenom toplote sa toplotnim rezervoarima usled konačne temperaturne razlike (endoreverzibilni ciklus), te je
91
dobijen sledeći izraz: T
T01−=η (na primer, za nuklearnu elektranu sa: KT 573=
i KT 2980 = , sledi da je teoretski stepen korisnog dejstva: 48.0max =η , da je endoreverzibilni stepen korisnog dejstva: 28.0=η , a realni stepen korisnog dejstva:
3.0=realη ).
U ovom će se poglavlju analizirati pojedini ciklusi toplotnih mašina i pretpostaviće se da su svi ciklusi povratni. Ranije je pokazano da Carnot-ov ciklus ima najpovoljniji stepen korisnog dejstva. U praksi je najviši stepen korisnog dejstva oko polovine vrednosti povratnog Carnot-ovog ciklusa. Odabir ciklusa vrši se na osnovu stepena korisnog dejstva, veličine uređaja, potreba za snagom, složenosti, troškova izgradnje i održavanja...
10.1. Carnot-ov ciklus
Carnot-ov ciklus razmatran je ranije. Bitno je naglasiti da je on relativno teško ostvariv u praksi. Ako se pogleda Carnot-ov ciklus u pV dijagramu (Slika 40), vidi se da je dijagram uzak i dugačak, a da je površina koja odgovara dobijenom radu relatino mala. Maksimalni pritisak je visok, a zapremina radnog tela je na kraju ekspanzije velika. Ciklus za visoke pritiske i velike zapremine daje relativno malo rada, odnosno odnos između korisno dobijenog rada i ukupnog dobijenog rada je mali, mada apsolutno dobijen koristan rad jeste maksimalan, što znači da bi ovakva mašina bila glomazna, a davala malo rada, pa se ne koristi. U praksi je puno lakše radno telo grejati ili hladiti uz približno konstantan pritisak ili zapreminu.
v
p m a x
v m a x
p
w
Slika 40 Carnot-ov ciklus
92
10.2. Brayton-Joule-ov ciklus
Brayton-Joule-ov ciklus je idealni ciklus za zatvoreni ciklus gasne turbine (Slika 41). Mada je ciklus gasne turbine, kao i ostali ciklusi sa unutrašnjim sagorevanjem otvoreni ciklus, radi termodinamičke analize posmatra se kao zatvoreni ciklus, odnosno kao ciklus u kojem bi se izduvni gasovi ponovo koristili kao ulaz u sistem.
1 2
34
ω
q 1 , 2
T r g
q 3 , 4
T r d
Slika 41 Zatvoreni ciklus gasne turbine
Ovaj ciklus sastavljen je iz dve izobare i dve adijabate (Slika 42). Iz rezervoara toplote više temperature (grejača), radnom telu se dovodi toplota 2,1q (sagorevanjem goriva) prilikom izobarske ekspanzije iz stanja 1 u stanje 2. Nakon toga sledi adijabatska ekspanzija od stanja 2 do stanja 3 (turbina). Nakon toga se rezervoaru toplote niže temperature (hladnjaku) odaje toplota 4,3q prilikom izobarske kompresije iz stanja 3 u stanje 4. Nakon toga sledi adijabatska kompresija od stanja 4 do stanja 1 (kompresor). U realnom slučaju, temperatura toplijeg toplotnog rezervoara mora biti viša od najviše temperature u ciklusu 2TTrg > , a temperatura rashladnog toplotnog rezervoara mora biti niža od najniže temperature u ciklusu 4TTrd < .
Ako se pretpostavi da radno telo struji stacionarno tokom ciklusa, može se napisati da je rad koji se odvodi od turbine: ( )32323,2 TTchhw p −=−= , da je rad koji se dovodi
kompresoru: ( )14141,4 TTchhw p −=−= , da je toplota dovedena u grejaču: ( )12122,1 TTchhq p −=−= , a da je toplota odvedena u hladnjaku: ( )43434,3 TTchhq p −=−= .
93
p
v
T
s
T 2
T 1
2
3
4
1
q 3 , 4
q 1 , 2
q = 0
s 1s 2v 3
v 2v 4v 1
1 2
34
p = p = p1 2
p = p = p3 4 0
q = 0
q = 0q = 0
q 1 , 2
q 3 , 4
Slika 42 Brayton-Joule-ov ciklus
Za stepen korisnog dejstva može se napisati: ( )( ) 12
43
12
43
2,1
4,3 111TT
TT
TTc
TTc
q
q
p
p
−−−=
−−
−=−=η . Ako se napiše da je za promenu stanja
idealnih gasova po adijabati: 4
1
1
0
1
3
2
3
2
T
T
p
p
p
p
T
T =
=
=
−−χ
χχ
χ
, sledi da je:
χχ 1
032
−
=
p
pTT i
χχ 1
041
−
=
p
pTT , pa se dobija da je:
χχ
χχ
χχη 1
0
1
04
1
03
43 111 −−−
−=
−
−−=
p
p
p
pT
p
pT
TT
, što znači da stepen korisnog dejstva
zavisi samo od odnosa pritisaka. Što je odnos pritisaka, odnosno kompresioni odnos veći, to je viši stepen korisnog dejstva. U praksi je zbog gubitaka stvarni stepen korisnog dejstva niži.
10.3. Otto ciklus
Otto ciklus je standardni idealni ciklus sa vazduhom za benzinski ili gasni motor i sastoji se iz dve adijabate i dve izohore (Slika 43).
Ako je toplota dovedena uz konstantnu zapreminu: ( )233,2 TTcq v −= , a toplota
odvedena uz konstantnu zapreminu: ( )141,4 TTcq v −= , može se napisati da je stepen
korisnog dejstva: ( )( ) 23
14
23
14
3,2
1,4 111TT
TT
TTc
TTc
q
q
v
v
−−−=
−−−=−=η . Ako se napiše da je za
promenu stanja idealnih gasova po adijabati: 1
01
2
−
=
χ
vv
TT
i 1
04
3
−
=
χ
v
v
T
T, i ako se
94
uzme da je: vrv
v =0
kompresioni odnos, može se napisati da je: 112
−= χvrTT i
143
−= χvrTT , odnosno: ( ) 11
14
141
11
4
14 1111 −−−− −=
−−−=
−−−= χχχχη
vvvv rrTT
TT
rTrT
TT,
što znači da veći kompresioni odnos daje viši stepen korisnog dejstva.
p
v
2
3
4
1
q 2 , 3
q 4 , 1
v = v2 0v = v = v1 4
Slika 43 Otto ciklus
10.4. Diesel ciklus
Standardni idealni ciklus sa vazduhom za dizel motore sastoji se iz dve adijabate, jedne izobare i jedne izohore (Slika 44).
Ako je toplota dovedena uz konstantni pritisak: ( )233,2 TTcq p −= , a toplota odvedena
uz konstantnu zapreminu: ( )141,4 TTcq v −= , može se napisati da je stepen korisnog
dejstva: ( )( ) 23
14
23
14
3,2
1,4 1111
TT
TT
TTc
TTc
q
q
p
v
−−⋅−=
−−−=−=
χη . Na osnovu promene stanja
idealnih gasova pri konstantnom pritisku, može se napisati da je:
β==⇒=2
3
2
3
3
3
2
2
T
T
v
v
T
v
T
v, gde je β odnos specifičnih zapremina prilikom izobarskog
dovođenja toplote. Ako se izraz za stepen korisnog dejstva podeli sa 2T i u brojiocu i
95
u imeniocu, dobija se sledeći izraz: 1
11
1
11 2
1
2
4
2
3
2
1
2
4
−
−⋅−=
−
−⋅−=
βχχη T
T
T
T
T
TT
T
T
T
. Na osnovu
dijagrama promene stanja može se napisati sledeći odnos: βv
v
r
v
v
v
v
v
vr
v
v =⇒⋅==3
4
2
3
3
4
0
.
Ako se napiše da je za promenu stanja idealnih gasova po adijabati: χχχ
β
−−−
=
=⇒
=
1
3
1
3
434
1
3
4
3
4 vrTv
vTT
v
v
T
T, a: ( ) χ−= 1
2
1vrT
T, sledi da je stepen
korisnog dejstva:
( ) 1
11
1
2
1
3
1
111
1
11
1
11 −
−−
−
−
−−⋅−=
−
−
⋅−=−
−
⋅−= χ
χχ
χχ
χ
ββ
χββ
β
χβ
β
χη
v
vv
v
v
r
rr
rT
rT
Jednačina pokazuje da stepen korisnog dejstva zavisi od kompresionog odnosa kao i od dovedene toplote, što je iskazano odnosom β.
p
v
p = p2 3
p 4
p 1
2 3
4
1
q 2 , 3
q 4 , 1
v = v2 0v = v = v1 4
Slika 44 Diesel ciklus
10.5. Stirling-ov i Ericsson-ov ciklus
Ovi ciklusi imaju stepen korisnog dejstva identičan kao Carnot-ov ciklus, ali su superiorni nad Carnot-ovim ciklusom, jer imaju veći odnos između korisno dobijenog rada i ukupno dobijenog rada.
96
Stirling-ov ciklus sastoji se iz dve izoterme i dve izohore (Slika 45) i predstavlja ciklus sa spoljašnjim sagorevanjem (radni gas unutar cilindra je zaptiven, a toplota se izmenjuje sa okolinom.
p
v0 v
q 2 , 3
q 4 , 1
q 3 , 4
q 1 , 2
1
2
3
4
v
Slika 45 Stirling-ov ciklus
Toplota koja se odvodi, odnosno dovodi prilikom izohornih promena stanja, predaje se odnosno oduzima se od regeneratora koji predstavlja deo mašine44, te se ne izmenjuje sa okolinom i stoga se za izmene toplote posmatraju samo izoterme kao kod Carnot-ovog ciklusa, te odatle proizlazi i isti stepen korisnog dejstva.
Ericsson-ov ciklus sastoji se iz dve izoterme i dve izobare (Slika 46).
Posmatrajući prethodne dijagrame promena stanja (za Stirling-ov i Ericsson-ov ciklus), može se napisati da je dovedena toplota prilikom izotermske ekspanzije:
003,2 lnln
v
vRT
p
pRTq == , a toplota odvedena prilikom izotermske kompresije:
00
001,4 lnln
v
vRT
p
pRTq == .
Ako se napiše izraz za stepen korisnog dejstva: 3,2
1,411q
q
q
q
dov
odv −=−=η , dobija se da je:
T
T
vv
RT
v
vRT
0
0
00
1ln
ln1 −=−=η za Stirling-ov ciklus odnosno:
T
T
pp
RT
p
pRT
0
0
00
1ln
ln1 −=−=η
za Ericsson-ov ciklus.
44 Neće se posebno razmatrati.
97
p
v
pq 2 , 3
q 4 , 1
q 3 , 4
q 1 , 2
1 2
340
p
Slika 46 Ericsson-ov ciklus
10.6. Ciklus između stalnih pritisaka
Neka se pretpostavi cikus koji koristi pneumatski čekić (isti ciklus koji bi se odvijao levokretno, bio bi onaj koji koristi kompresor). Radno telo (vazduh), dobavlja se iz rezervoara stalnog pritiska, a neka se pretpostavi da je pneumatski alat jedan cilindar sa pokretnim klipom i usisnim, odnosno izduvnim ventilom (Slika 47).
Otvaranjem usisnog ventila, radno telo pritiska p ulazi u cilindar, koji ekspandira od tačke 4 do tačke 1. Ova promena zapremine pri stalnom pritisku ne treba se shvatiti kao promena stanja od tačke 4 do tačke 1, već kao strujanje radnog tela pri konstantnom pritisku (punjenje cilindra odgovarajućom količinom vazduha) pri čemu
se dobija rad: ∫ ⋅=1
4
1,4 dvpw . Nakon punjena cilindra, usisni ventil se zatvara, a
cilindar ekspandira uz promenu stanja od tačke 1 do tačke 2 pritiska 0p (pritisak okoline), odnosno do uspostavljanja mehaničke ravnoteže sa okolinom, pri čemu se
dobija rad: ∫ ⋅=2
1
2,1 dvpw . Nakon ekspanzije otvara se izduvni ventil i radno telo se
izobarski komprimuje od tačke 2 do tačke 3. Ova promena zapremine pri stalnom pritisku 0p ne treba se shvatiti kao promena stanja od tačke 2 do tačke 3, već kao strujanje radnog tela pri konstantnom pritisku (pražnjenje cilindra) pri čemu se izvrši
rad: ∫ ⋅=3
2
3,2 dvpw . Ako se pretpostavi da je radno telo nakon kompresije u potpunosi
istisnuto iz cilindra: 0=v , zatvaranjem izduvnog ventila i otvaranjem usisnog ventila
98
pritisak poraste sa 0p na p , odnosno odvija se promena stanja od tačke 3 do tačke 4 izohorno pri čemu nema vršenja rada: 04,3 =w .
p
v
p 3
41
2
Slika 47 Ciklus između stalnih pritisaka
Ukupno dobijeni rad prikazan šrafiranom površinom predstavlja tehnički rad tehnw , koji je opisan ranije. Šrafirana površina može se odrediti kao suma radova pojedinih
delova ciklusa: ∫∫∫∫ ⋅=⋅+⋅+⋅== dvpdvpdvpdvpww tehn
3
2
2
1
1
4
. Na osnovu
posmatranja pV dijagrama, šrafirana površina može se interpretirati i kao ∫ ⋅2
1
dpv ,
odakle se dobija da je: ∫ ⋅−=2
1
dpvwtehn , što je i ranije izvedeno.
Ako je promena stanja za idealne gasove od tačke 1 do tačke 2 izotermska, može se napisati da je: dpvdvpconstpv ⋅−=⋅⇒= , odnosno rad pri izotermskoj ekspanziji odgovara tehničkom radu pri izotermskoj ekspanziji.
Ako je promena stanja za idealne gasove od tačke 1 do tačke 2 drugačija, jednakost ne važi.
99
11.11. Izmena toploteIzmena toplote
U nastavku će se izučavati samo prostiji slučajevi izmene toplote, a usled složenosti matematičkog izvođenja pojedinih jednačina, čije rešavanje prevazilazi programom predviđeno gradivo, daće se samo krajnji izrazi za proračun izmene toplote.
Radi jasnijeg prikaza, u nastavku će se ponegde dati pojašnjenja pojedinih pojmova od značaja za izučavanje procesa izmene toplote.
11.1. Mehanizmi izmene toplote
Na osnovu drugog zakona termodinamike, može se reći da toplota uvek sama od sebe prelazi sa tela više temperature na telo niže temperature, ili sa „toplijih“ na „hladnije“ slojeve tela.
Teorija izmene toplote daje odgovore na sledeće probleme:
- održavanje temperature tela u propisanom temperaturnom intervalu (na primer održavanje odgovarajuće temperature tople vode u toplovodu, ili održavanje odgovarajuće temperature u kuhinjskom frižideru...);
- određivanje temperaturnog polja u nekom telu;
- dređivanje brzine zagrevanja ili hlađenja tela ili neke tačke tela.
Toplota se izmenjuje (širi) na tri osnovna načina:
1. Provođenjem, odnosno kondukcijom kroz čvrsta tela, tečnosti i gasove;
2. Strujanjem, odnosno konvekcijom tečnih i gasovitih čestica;
3. Zračenjem, odnosno radijacijom, koja se odvija bez materijalnog posrednika, jer se kod ovog načina izmene toplote radi o talasnim pojavama elektromagnetne prirode.
100
11.1.1. Kondukcija
Mehanizam provođenja toplote vrši se pod uticajem temperaturnog gradijenta (razlike temperature), bez primetnog kretanja čestica. Toplota se izmenjuje prelazom kinetičke energije sa jednog molekula na drugi molekul45.
Kod metala, toplota se provodi i kretanjem slobodnih elektrona. Kod tečnosti i gasova toplota se izmenjuje provođenjem kada oni miruju ili se kreću bez mešanja čestica tečnosti po strujnicama, kao na primer poprečno provođenje toplote pri laminarnom strujanju tečnosti.
11.1.2. Konvekcija
Mehanizam izmene toplote konvekcijom vrši se komešanjem različito temperiranih čestica tečnosti. Čestice su male, ali su u poređenju sa molekulima velike. Usled uskomešanosti, različito temperirane čestice na svojim putanjama koje zavise od načina strujanja, dolaze u međusobni kontakt izmenjujući pri tome određenu količinu toplote, te se može reći da je izmena toplote konvekcijom zasnovana na mnoštvu direktnih kontakata čestica različitih temperatura. Izmena toplote konvekcijom u direktnoj je vezi sa pojavama strujanja.
Konvekcija može biti prirodna, odnosno slobodna, ako je posledica strujanja tečnosti usled razlike u gustoći, koja je posledica razlike temperatura čestica. Ako je strujanje tečnosti izazvano veštački (na primer ventilatorom, pumpom...), tada je konvekcija prisilna, odnosno prinudna. Jasno je da je prilikom prisilne konvekcije izmena toplote intenzivnija, jer se ostvaruje više kontakata različito temperiranih čestica u istom vremenu.
11.1.3. Radijacija
Mehanizam izmene toplote radijacijom, odvija se u obliku toplotnih zraka koji se prenose u formi elektromagnetnih talasa. Naime, svako telo zadane temperature zrači toplotu, koja se u obliku elektromagnetnih talasa širi do drugog tela (na primer širenje toplote od Sunca ka Zemlji)46.
45 Ranije je navedeno da je prosečna brzina molekula veća ako je temperatura viša, pa se brži molekuli toplijeg dela tela prilikom sudara sa sporijim molekulima usporavaju, dok se sporiji molekuli hladnijeg dela tela ubrzavaju, pri čemu se prosečne brzine molekula nastoje izjednačiti, odnosno teži se uspostavljanju toplotne ravnoteže.46Izmena toplote radijacijom neće se posebno razmatrati, ali je na ovom mestu korisno spomenuti Stefan-Boltzmann-ov zakon koji glasi: Ukupna energija *j kojom crno telo zrači u jediničnu površinu prostora u jedinici vremena, proporcionalna je četvrtom stepenu termodinamičke temperature crnog
tela:
=
sm
JTj
24* ...εσ , gde ε predstavlja emisioni koeficijent crnog tela i za apsolutno crno
101
Postoje suštinske razlike između izmene toplote kondukcijom i konvekcijom prema izmeni toplote radijacijom. Kondukcija i konvekcija su vezane za materiju kao posrednika, a radijacija se može odvijati i u vakuumu, jer nije vezana za materiju, mada se mora naglasiti da je izvor energije zračenja materija. Osim navedenoga, kondukcijom i konvekcijom toplota se izmenjuje uvek u smeru monotonog temperaturnog pada, dok pri radijaciji energija može da prolazi kroz područja više i niže temperature od temperatura tela koja izmenjuju toplotu.
11.2. Izmena toplote kondukcijom
11.2.1. Temperaturno polje
Svaka fizička pojava obično je praćena promenom fizičkih veličina u vremenu i prostoru. Pošto je kondukcija moguća samo u slučaju različitih temperatura pojedinih tela ili delova tela, tada je ona praćena promenom temperature u vremenu i prostoru.
Vremensko prostorna promena temperature može se analitički izraziti na sledeći način: ( )τ,,, zyxft = , gde su ( )zyx ,, prostorne koordinate bilo koje tačke a τ vreme. Jednačina: ( )τ,,, zyxft = predstavlja nestacionarno temperaturno polje, jer se temperatura bilo koje tačke menja sa vremenom.
Ako se temperature ne menjaju sa vremenom: 0=∂∂τt
, temperatura se izražava na
sledeći način: ( )zyxft ,,= , te jednačina predstavlja prostorno stacionarno temperaturno polje.
Ako je stacionarno temperaturno polje funkcija samo jedne koordinate, govori se o jednodimenzionalnom temperaturnom polju: ( )xft = .
telo iznosi: 1=ε , a konstanta proporcionalnosti:
⋅= −
428...106704.5
sKm
Jσ predstavlja
Stefan-Boltzmann-ovu konstantu.
102
11.2.2. Koeficijent toplotne provodnosti
Koeficijent toplotne provodnosti
=
mK
W
mKsm
Ws111
...2
λ jeste fizičko svojstvo
tela. U opštem slučaju on zavisi od temprerature, pritiska i vrste posmatrane materije. Najčešće se određuje eksperimentalno. Koeficijent toplotne provodnosti brojčano je jednak količini toplote [ ] [ ]WsJ = koja prođe kroz jediničnu (izotermnu) površinu [ ]2m u jedinici vremena [ ]s pri jediničnom temperaturnom gradijentu
(temperaturnoj razlici)
m
K.
Uticaj temperature presudan je na koeficijent toplotne provodnosti.
11.2.3. Jednodimenzionalno provođenje toplote (kondukcija) kroz jednoslojnu ravnu ploču uz konstantne temperature na spoljnim površinama
Ako se posmatra ravna homogena ploča debljine δ i konstantnog koeficijenta toplotne provodnosti λ , uz konstantne temperature na spoljnim površinama ploče
1st i 2st (spoljne površine su izoterme) i ako se izmena toplote vrši samo u smeru
ose x (Slika 48), tada se gustina toplotnog toka
=
22...
m
W
sm
Jqx , gde je gustina
toplotnog toka definisana kao količina toplote [ ]J koja prođe kroz jediničnu površinu [ ]2m u jedinici vremena [ ]s , može izračunati na osnovu sledećeg izraza:
( )21 ssx ttq −=δλ
.
Izraz može da se napiše i kao: ( )
λδ
21 ssx
ttq
−=, te se može povući analogija sa Ohm-
ovim zakonom:
=
R
UI , a na osnovu toga može se reći, da odnos debljine ploče i
koeficijenta toplotne provodnosti predstavlja takozvani toplotni otpor (analogno omskom otporu u Ohm-ovom zakonu) provođenju toplote kroz jednoslojnu ravnu
ploču:
=
W
KmR
2
...λδ
. Na osnovu ovoga, može se napisati da je:
R
tq s
x
∆= ,
odnosno da je gustina toplotnog toka proporcionalna razlici temperatura spoljnih površina ploče, a obrnuto proporcionalna toplotnom otporu provođenju toplote.
103
Temperatura u bilo kojoj tački ploče duž ose x (temperaturno polje) može se
izračunati na osnovu sledeće jednačine: xtt
tt sssx δ
211
−−= iz kojih se vidi linearna
zavisnost između temperature i položaja.
t
x
t S 1
t S 2
t = f ( x )
λ
x 1 δ
x 2
q x
Slika 48 Jednodimenzionalno provođenje toplote
11.2.4. Jednodimenzionalno provođenje toplote (kondukcija) kroz višeslojnu ravnu ploču uz konstantne temperature na spoljnim površinama
Ako se posmatra ravna višeslojna, na primer troslojna ploča debljina slojeva 321 ,, δδδ i konstantnih koeficijenta toplotne provodnosti 321 ,, λλλ , uz konstantne
temperature na spoljnim površinama slojeva 1st , 2st , 3st i 4st i ako se izmena toplote vrši samo u smeru ose x, tada gustina toplotnog toka u stacionarnom stanju mora biti konstantna i jednaka kroz svaki pojedinačni sloj (Slika 49).
104
t
x
t S 1
t S 2t = f ( x )
λ 2
δ 2
q x
δ 1 δ 3
λ 1
λ 3
t S 3
t S 4
Slika 49 Jednodimenzionalno provođenje toplote
Ako se izraz za gustinu toplotnog toka napiše za svaki sloj, dobija se da je: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )433
3
3
3
43
322
2
2
2
32
211
1
1
1
21
ssxss
x
ssxss
x
ssxss
x
ttqtt
q
ttqtt
q
ttqtt
q
−=⇒−=
−=⇒−=
−=⇒−=
λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
. Ako se prethodni izrazi saberu, dobija se da je
gustina toplotnog toka uz poznate konstantne temperature na spoljnim površinama
ploče:
( ) ( )321
41
3
3
2
2
1
1
41
RRR
ttttq ssss
x ++−=
++
−=
λδ
λδ
λδ .
Za n slojeva ploče, može se napisati da je:
( ) ( )∑∑
=
+
=
+ −=
−= n
ii
nssn
i i
i
nssx
R
ttttq
1
)1(1
1
)1(1
λδ .
105
11.2.5. Jednodimenzionalan prolaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz jednoslojnu ravnu ploču
Sveukupni prelaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz čvrsto telo koje razdvaja fluide naziva se prolaz toplote (sa toplijeg fluida toplota prelazi na kontaktnu, odnosno spoljnu površinu čvstog tela konvekcijom, kroz čvrsto telo toplota se širi provođenjem do druge kontaktne, odnosno spoljne površine čvrstog tela, a zatim prelazi na hladniji fluid konvekcijom).
Ako se posmatra ravna homogena ploča debljine δ , konstantnog koeficijenta toplotne provodnosti λ , uz konstantne temperature na spoljnim površinama ploče
1st i 2st , i uz konstantne temperature fluida koji je okružuju sa jedne i druge strane
at i bt , te konstantnih koeficijenata prelaza toplote aα i bα 47 i ako se izmena toplote vrši samo u smeru ose x, može se utvrditi da toplota prelazi od fluida temperature at ka fluidu temperature bt (Slika 50).
t
x
t S 1
t S 2
t = f ( x )
λ
δ
q x
t a
t b
a b
Slika 50 Jednodimenzionalni prolaz toplote
Padovi temperature 1sa tt − i bs tt −4 uslovljeni su postojanjem toplotnog otpora kroz slojeve fluida koji se formiraju neposredno uz spoljne površine ploče. Takvi slojevi
47 Pojam koeficijenta prelaza toplote načelno će se opisati u nastavku.
106
fluida nazivaju se granični slojevi48, a intenziteti izmena toplote u graničnim slojevima a i b, opisani su odgovarajućim koeficijentima prelaza toplote.
Gustina toplotnog toka u stacionarnom stanju mora biti konstantna i jednaka, te se
mogu napisati sledeći izrazi:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )bsb
xbsbx
ssxss
x
saa
xsaax
ttq
ttq
ttqtt
q
ttq
ttq
−=⇒−=
−=⇒−=
−=⇒−=
22
2121
11
αα
λδ
λδ
αα
. Ako se prethodni izrazi
saberu, dobija se da je gustina toplotnog toka uz poznate konstantne temperature fluida:
( ) ( )ba
ba
ba
bax RRR
ttttq
++−=
++
−=
αλδ
α11 ,
gde sabirci u imeniocu predstavljaju pojedinačne toplotne otpore pri prolazu toplote sa toplijeg na hladniji fluid.
Ako se zbir toplotnih otpora označi sa: bak αλ
δα
111 ++= , tada se može napisati da je
gustina toplotnog toka:
( )bax ttkq −= ,
gde veličina
Km
Wk
2... predstavlja koeficijent prolaza toplote.
11.2.6. Jednodimenzionalan prolaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz višeslojnu ravnu ploču
Na osnovu razmatranja u prethodna tri potpoglavlja i na osnovu slike (Slika 51), može se za troslojnu ravnu ploču napisati da je gustina toplotnog toka:
( ) ( ) ( )baba
ba
ba
bax ttk
RRRRR
ttttq −=
++++−=
++++
−=321
3
3
2
2
1
1 11
αλδ
λδ
λδ
α,
gde je koeficijent prolaza toplote:
ba
k
αλδ
λδ
λδ
α11
1
3
3
2
2
1
1 ++++=
.
Za n slojeva ploče, može se napisati da je:
48 Pojam graničnog sloja neće se posebno razmatrati, jer prevazilazi predviđeni obim gradiva.
107
( ) ( ) ( )ba
b
n
iia
ban
i bi
i
a
bax ttk
RRR
ttttq −=
++
−=++
−=∑∑
== 11
11
αλδ
α,
gde je koeficijent prolaza toplote: ∑=
++= n
i bi
i
a
k
1
111
αλδ
α.
t
x
t S 1
t S 2
q x
t a
t b
a b
t S 3
t S 4
Slika 51 Jednodimenzionalni prolaz toplote
11.2.7. Jednodimenzionalno provođenje toplote kroz jednoslojni zid cilindra uz konstantne temperature na spoljnim površinama
Neka se posmatra zid šupljeg cilindra, odnosno cevi unutrašnjeg poluprečnika 1r , spoljašnjeg poluprečnika 2r i konstantnog koeficijenta toplotne provodnosti λ , uz konstantne temperature na spoljnim (cilindričnim) površinama cilindra 1st i 2st (spoljne površine su izoterme) i neka se izmena toplote vrši samo u smeru poluprečnika cilindra r (Slika 52).
108
t s 1
t r
r 1
r 2
r
t
Slika 52 Jednodimenzionalno provođenje toplote kroz zid cilindra
Temperatura u bilo kojoj tački cilindra duž poluprečnika r (temperaturno polje) može
se izračunati na osnovu sledeće jednačine: ( )
1
2
1211
ln
ln
r
rr
r
tttt sssr −−= iz kojih se vidi
logaritamska zavisnost između temperature i položaja, odnosno logaritamski karakter temperaturnog polja.
Na osnovu razmatranja da je količina energije koja prođe kroz unutrašnju površinu cilindra identična količini energije koja prođe kroz spoljašnju površinu cilindra (količina energije mora ostati ista), dolazi se do zaključka da gustina toplotnog toka ne može biti konstantna duž poluprečnika cilindra, već da se ona mora smanjivati s povećavanjem poluprečnika.
Gustina toplotnog toka svedena na unutrašnji poluprečnik, odnosno unutrašnju
površinu cilindra 1A može izračunati na osnovu sledećeg izraza:
( )
1
21
211
lnr
rr
ttq ss −= λ
, a
gustina toplotnog toka svedena na spoljašnji poluprečnik, odnosno spoljašnju
površinu cilindra 2A može se izračunati na osnovu sledećeg izraza:
( )
1
22
212
lnr
rr
ttq ss −= λ
.
109
Za razliku od gustine toplotnog toka, toplotni tok
Φ
s
J... , odnosno količina toplote
koja prođe u jedinici vremena ostaje konstantna, odnosno toplotni tok je dat izrazom: ( ) ( ) ( )
1
2
212
1
22
211
1
21
212211
ln22
ln2
lnr
rtt
LLr
r
rr
ttLr
r
rr
ttAqAq ssssss −=−=−⇒==Φ λππλπλ
, odnosno:
( )
1
2
21
ln2
1
r
r
L
tt ss
λπ
−=Φ,
gde L predstavlja visinu cilindra, a izraz: Rr
r
L=
1
2ln2
1
λπ toplotni otpor pri
provođenju toplote kroz jednoslojni zid cilindra.
11.2.8. Jednodimenzionalno provođenje toplote kroz višeslojni zid cilindra uz konstantne temperature na spoljnim površinama
r 1
r 2
r 3
r 4
Slika 53 Višeslojni cilindar
Na osnovu razmatranja u prethodnim potpoglavljima i na osnovu slike (Slika 53), može se za troslojni cilindrični zid napisati da je toplotni tok:
110
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )433
3
4
3
4
433
322
2
3
2
3
322
211
1
2
1
2
211
2
ln
ln2
2
ln
ln2
2
ln
ln2
ssss
ssss
ssss
ttL
r
r
r
rtt
L
ttL
r
r
r
rtt
L
ttL
r
r
r
rtt
L
−=Φ
⇒−=Φ
−=Φ
⇒−=Φ
−=Φ
⇒−=Φ
λπλπ
λπλπ
λπλπ
, odakle sabiranjem prethodnih jednačina
proizlazi da je toplotni tok:
( ) ( )321
41
3
4
32
3
21
2
1
41
ln2
1ln
2
1ln
2
1 RRR
tt
r
r
Lr
r
Lr
r
L
tt ssss
++−=
++
−=Φ
λπλπλπ,
gde sabirci u imeniocu predstavljaju toplotne otpore slojeva zida cilindra pri provođenju toplote.
Za n slojeva zida cilindra, može se napisati da je:
( ) ( )i
nss
n
i i
i
i
nss
R
tt
r
r
L
tt )1(1
1
1
)1(1
ln1
21
+
=
+
+ −=
−=Φ
∑λπ.
11.2.9. Jednodimenzionalan prolaz toplote sa toplijeg na hladniji fluid kroz zid cilindra
Na osnovu razmatranja u prethodnim poglavljima, može se napisati da je toplotni tok:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )bsb
bsb
ssss
saa
saa
ttLr
ttLr
ttL
r
r
r
rtt
L
ttLr
ttLr
−=Φ⇒−=Φ
−=Φ
⇒−=Φ
−=Φ⇒−=Φ
22
22
211
2
1
2
21
11
11
22
2
ln
ln2
22
λαπαπ
λπλπ
λαπαπ
,
111
odakle sabiranjem prethodnih jednačina proizlazi da je toplotni tok:
( ) ( )ba
ba
ba
ba
RRR
tt
rr
r
rL
tt
++−=
++
−=Φ
αλαπ 21
2
1
1ln
11
2
1 ,
gde sabirci u imeniocu predstavljaju pojedinačne toplotne otpore pri prolazu toplote sa toplijeg na hladniji fluid.
Ako se zbir toplotnih otpora označi sa:
++=
baii rr
r
rLAk αλαπ 21
2
1
1ln
11
2
11, tada se
može napisati da je toplotni tok:
( )baii ttAk −=Φ ,
gde veličina ik predstavlja koeficijent prolaza toplote koji je sveden na i-tu površinu zida cilindra iA , odakle sledi da je i-ti koeficijent prolaza toplote:
++
=
++
⋅=
bai
ba
ii
rr
r
rr
rr
r
rL
Lrk
αλααλαππ
21
2
121
2
1
1ln
11
1
1ln
11
2
1
1
2
1
, gde veličina
ir predstavlja i-ti poluprečnik plašta cilindra, a vrednost mu se nalazi u intervalu
21 rrr i ≤≤ .
Za n slojeva zida cilindra, može se napisati da je:
( ) ( )
b
n
iia
ba
bn
n
i i
i
ia
ba
RRR
tt
rr
r
rL
tt
++
−=
++
−=Φ∑∑
=+=
+
111
1
1
1ln
11
2
1
αλαπ,
gde sabirci u imeniocu predstavljaju pojedinačne toplotne otpore pri prolazu toplote sa toplijeg na hladniji fluid. Izraz za toplotni tok može se napisati i kao:
( )baii ttAk −=Φ ,
gde je i-ti koeficijent prolaza toplote:
++
=
+=
+∑bn
n
i
i
iai
i
rr
r
rr
k
αλα 11 1
1
1
1ln
11
1
.
11.2.10. Kritični poluprečnik cilindričnog zida
Ako se posmatra izraz za toplotni tok kroz zid cilindra: ( )
++
−=Φ
ba
ba
rr
r
rL
tt
αλαπ 21
2
1
1ln
11
2
1 , vidi se da izraz u imeniocu
112
++
ba rr
r
rL αλαπ 21
2
1
1ln
11
2
1 predstavlja toplotni otpor pri prolazu toplote. Ako se
sve vrednosti osim spoljnjeg poluprečnika 2r uzmu kao konstantne, tada toplotni otpor zavisi samo od spoljašnjeg poluprečnika. Iz prethodnog izraza, vidi se da vrednost drugog sabirka raste sa povećanjem poluprečnika 2r , a da vrednost trećeg sabirka opada sa povećanjem poluprečnika 2r . Ostatak izraza se ne menja. Na osnovu ovoga može se zaključiti da postoji neki kritični poluprečnik: kritrr =2 , kada je ukupan toplotni otpor minimalan. Ako se izraz u zagradi derivira po 2r i izjednači
sa nulom, dobija se: 0
110
1ln
11
2222
21
2
1 =−⇒=
++
rrdr
rr
r
rd
b
ba
αλαλα . Odavde sledi
da je kritični poluprečnik: b
kritrrαλ==2 . Ako je poluprečnik cilindra manji:
kritrr <2 toplotni otpor opada sa povećanjem 2r . U tom slučaju je veći uticaj na
toplotni otpor usled povećanja spoljašnje površine (član br α2
1), nego usled
povećanja debljine zida (član 1
2ln1
r
r
λ ) (Slika 54).
Slika 54 Kritični poluprečnik
i
rkrit
1/r1 aα
1/r2 aα
r
Σ
Ri
113
ΣR
11.2.11. Jednoslojno izolovan zid cevi
Prethodno opisana pojava, od značaja je prilikom izbora toplotne izolacije cevi, odnosno cevovoda. Neodgovarajuća, previše tanka izolacija, dovešće do suprotnog efekta, do boljeg provođenja toplote.
Ako se posmatra izraz za toplotni tok kroz izolovan zid cilindra: ( )
+++
−=Φ
ba
ba
rr
r
r
r
rL
tt
αλλαπ 32
3
1
2
1
1ln
1ln
11
2
1 (Slika 55) i ako su sve vrednosti osim
spoljašnjeg poluprečnika izolacije 3r zadate i konstantne, potrebno je odrediti koji je minimalni poluprečnik izolacije 3r potreban, da bi toplotni tok bio manji nego bez izolacije.
Ako je toplotni tok kroz zid cilindra bez izolacije:
( )
++
−=Φ
ba
ba
rr
r
rL
tt
αλαπ 21
2
1
1ln
11
2
1 ,
tada je potrebno prethodne izraze izjednačiti i izraziti 3r , što će predstavljati minimalno potreban spoljašnji poluprečnik izolacionog sloja, što je prikazano u nastavku:
( ) ( )
++
−=
+++
−
ba
ba
bia
ba
rr
r
rL
tt
rr
r
r
r
rL
tt
αλαπαλλαπ 21
2
132
3
1
2
1
1ln
11
2
11ln
1ln
11
2
1 , odnosno:
bbi rrr
r
ααλ 232
3 11ln
1 =+ . Na osnovu prethodnog izraza sledi da je:
223
3 ln111
ln1
rrr
rbb λααλ
+=+ . Ako se napiše da su: a=λ1
, bb =α i
crr b
−=+ 22
ln11
λα , gde su a, b i c konstante, može se napisati da je:
01
ln3
3 =++ cbr
ra 49, odakle se može izračunati minimalan poluprečnik izolacije 3r
koji je potreban, da bi toplotni tok bio isti, odnosno manji nego bez izolacije.
49 Ova jednačina rešiva je na primer primenom programskog paketa Matlab, koji daje sledeće rešenje: ( )( )( )( )acaeabLambertW ac
er ///13
/ −⋅−= . Rešenje se neće posebno razmatrati.
114
0 r 1 r 2 r 3
i z o l a c i j aλ 1 λ 2
Φ
Slika 55 Potrebna debljina izolacije
11.3. Izmena toplote konvekcijom
Vrlo važan način izmene toplote u tehnici jeste prelaz toplote od fluida u kretanju na neko čvrsto telo i obrnuto. Praktični način proračuna koji je ranije korišten kod proračuna prolaza toplote zasnovan je na Newton-ovom zakonu: ( )dAttd s ∞−=Φ α , koji pokazuje da je diferencijal toplotnog toka Φd koji se konvekcijom izmeni s čvrstog tela elementarne površine dA , temperature st na fluid temperature ∞t , proporcionalna razlici temperatura, odnosno temperaturnom padu u graničnom sloju fluida koji se formira neposredno uz spoljnu površinu čvrstog tela.
Koeficijent proporcionalnosti
Km
W2...α definiše se kao lokalni koeficijent prelaza
toplote. On izražava uslove pod kojima se praktično odvija prelaz toplote, odnosno izražava intenzitet izmene toplote. Zavisi od više faktora i u opštem slučaju je funkcija veličine i oblika tela, načina strujanja tečnosti, brzine tečnosti, temperature i drugih fizičkih svojstava tečnosti.
Za prelaz toplote pri slobodnom ili pri prinudnom strujanju, važna je konvekcija koja označava pojavu pri kojoj se toplije čestice kreću od spoljnje površine čvrstog tela u jezgro strujanja gde se hlade mešajući se s hladnim fluidom, a hladne čestice dolaze na topliju površinu tela gde se zagrevaju i ponovo se vraćaju u jezgro strujanja fluida. Drugim rečima, izmena toplote konvekijom uslovljena je mnoštvom međusobnih
115
kontakata različito temperiranih čestica tečnosti. Što je tih kontakata više, biće izmena toplote konvekcijom intenzivnija. To ukazuje na činjenicu da na prelaz toplote sa površine čvrstog tela na fluid ili obrnuto, način strujanja fluida ima veliki uticaj.
U osnovi postoje dva tipa strujanja tečnosti: laminarno i turbulentno. Kod laminarnog strujanja pojedine čestice tečnosti u strujnici međusobno se ne mešaju sa česticama iz drugih strujnica, te se izmena toplote poprečno na laminarne slojeve odvija samo mehanizmom provođenja, isto kao kod tečnosti u mirovanju. Poprečno kretanje čestica karakteristično je za turbulentno strujanje. Što je turbulencija veća, veće je i mešanje čestica, pa je i konvekcija izuzetno značajna.
116
12.12. Isparavanje iIsparavanje i kondenkondenzacijazacija
Pošto su u praksi česte pojave isparavanja i kondenzacije, u nastavku će se dati kraća analiza pojava koje se javljaju tokom pomenutih procesa.
Neka se posmatra tečnost (na primer voda) određenog pritiska, zapremine i temperature, koja je zatvorena u sudu u kojem je osiguran konstantan pritisak. Ako se vodi dovodi toplota, njena temperatura raste, ali se zapremina samo neznatno menja (na primer povećava). Pri određenoj temperaturi, koja zavisi od pritiska, tečnost počinje da vri. Merenjem je ustanovljeno da tečnost i proizvedena para (na primer vodena para) imaju istu temperaturu. Daljim zagrevanjem voda isparava u vodenu paru, čime se pri konstantnom pritisku značajno menja (povećava) zapremina. Temperatura se za vreme isparavanja ne menja, bez obzira na intenzitet dovođenja toplote. Kada sva tečnost ispari, temperatura počinje da raste i para se dalje rasteže kao i svaki drugi gas (Slika 56).
G G
G
G
QQ Q Q
Slika 56 Isparavanje
12.1. Linija napetosti
Svakom pritisku odgovara jedna i samo jedna temperatura vrenja. Pripadajuće vrednosti temperature i pritiska vrenja nazivaju se temperatura zasićenja i pritisak
117
zasićenja (zasićeno područje). Ako se vrednosti temperatura i pritisaka nanesu na pT dijagram, dobija se funkcionalna zavisnost: )(Tfp = , koja predstavlja
takozvanu liniju napetosti, koja je svojstvena svakoj materiji (Slika 57).p
T
K
T e č n o s t
P a r a
Slika 57 Linija napetosti
Desno od linije napetosti, nalazi se područje pare, a levo se nalazi područje tečnosti.
Na osnovu prethodnog izlaganja, može se zaključiti da u zasićenom području pritisak i temperatura nisu međusobno nezavisne veličine stanja, već da jedna određuje drugu. Ovo predstavlja načelnu razliku među stanjima koja se sastoje od dva agregatna stanja koja se nalaze u heterogenoj ravnoteži (u ovom slučaju se neka fizička svojstva bitno razlikuju, na primer gustina pare i gustina tečnosti), u odnosu na stanja nekog homogenog tela (jedno agregatno stanje).
12.2. Granične linije
Ako se na odgovarajući dijagram nanesu vrednosti temperatura i specifičnih zapremina očitanih kod isparavanja tečnosti pri različitim stalnim vrednostima pritisaka, dobija se vt dijagram prikazan na sledećoj slici (Slika 58).
Ako se posmatraju stanja pri pritisku 1p , vidi se da je u stanju '1 tečnost dostigla temperaturu zasićenja 1t i specifičnu zapreminu 'v . Prilikom isparavanja, u zasićenom području nalazi se smeša tečnosti i pare, a specifična zapremina smeše zavisi od odnosa količine tečnosti i pare. Ovakva smeša naziva se vlažna ili zasićena para. Kada tečnost u potpunosti ispari nastaje suvo-zasićena para, što je prikazano stanjem ''1 , dok je specifična zapremina ''v . Ako se povežu tačke koje pri različitim pritiscima predstavljaju početak isparavanja tečnosti, dobija se donja granična kriva.
118
Ako se povežu tačke koje pri različitim pritiscima predstavljaju završetak isparavanja tečnosti, dobija se gornja granična kriva.
v
t
kt k
v ’ v ”
1 ”1 ’
p 1
p 2
p 3
k
p 4
p
Slika 58 Granične linije
Između graničnih krivih leži područje zasićenosti. Levo od donje granične krive, nalazi se područje tečnosti, dok se desno od gornje granične krive, nalazi područje pregrejane pare50.
12.3. Kritično stanje
Ako se na prethodnoj slici posmatraju granične krive, može se zaključiti da je
prilikom isparavanja tečnosti, povećanje zapremine '" vv −
tim manje, što je pritisak viši. Kod određenog pritiska povećanje zapremine jednako je nuli. Ovaj pritisak naziva se kritični pritisak.
50 Pregrejana para se u svojim svojstvima ne razlikuje od realnog gasa. Ako se izaberu odgovarajući niski pritisci, svojstva pregrejane pare približavaju se svojstvima idealnih gasova. Uobičajeno je one gasove nazivati parama sa čijim se tečnim fazama (agregatnim stanjima) susreće u svakodnevnom životu. Na primer, govori se o vodenoj pari, a o vazduhu se govori kao o gasu, mada se i vazduh pri izuzetno niskim temperaturama može prevesti u tečno stanje.
119
Ako se posmatra gas u sudu konstantne temperature na primer 1t i ako se postepeno povisuje pritisak u sudu, doći će do smanjivanja specifične zapremine gasa. Kada
specifična zapremina dostigne vrednost "v , doći će do pojave kondenzacije
gasa (doći će do zamagljivanja u sudu). Nakon početka kondenzacije, pritisak dalje neće rasti i pored daljeg smanjivanja specifične zapremine, sve dok se gas u potpunosti ne kondenzuje, odnosno dok specifična zapremina ne dostigne vrednost
'v . Ako se eksperiment ponavlja pri različitim temperaturama, dobiće se pv dijagram posmatrane materije (Slika 59).
v
p
k
t 1
t 2
t 3
t k
p k
t
v ’ v ”
Slika 59 Granične linije
Sa pv dijagrama se vidi, da se kroz prelomne tačke izotermi mogu ucrtati granične linije, te da postoji određena temperatura kod koje izoterma više nema lom, već samo tačku infleksije, odnosno gde se više ne može registrovati magljenje. Ova temperatura naziva se kritična temperatura, a tačka infleksije kritična tačka K sa parametrima
kkk vtp ,, .
Kod još viših temperatura, ne može se označiti granica između tečne i gasovite faze, te se ne mogu razlikovati dve faze, odnosno u ovom se slučaju tečnost i para međusobno ne razlikuju.
Da bi se neki gas mogao kondenzovati, mora ga se ohladiti ispod granične temperature, inače se neće moći kondenzovati ni pod kojim uslovima51.
51 Kritični parametri vode su: kg
mvCtatp kkk
3
00326.0,15.374,65.225 === .
120
12.4. Topljenje, sublimacija
Linija napetosti prekida se u kritičnoj tačci (Slika 57). Postavlja se pitanje, šta se događa ako se pritisak i temperatura snižavaju.
Može se uočiti, da se snižavanjem pritiska, pri određenoj temperaturi tečna faza materije počinje pretvarati u čvrstu fazu (čvrsto agregatno stanje). Ako je za postignutu temperaturu pritisak jednak pritisku zasićenja, tada se u tom stanju (samo pri tom pritisku i temperaturi) mogu istovremeno pojaviti sve tri faze (agregatna stanja) materije. To se stanje naziva trojna tačka (Slika 60).
T
p
K
Č v r s t o s t a n j e
T e č n o s t
T r o j n a t a č k a
P r aa
T o p l j e n j e
I s p a r a v a n j e
S u b l i m a c i j a
2 7 3 . 1 6 K6 1 1 . 7 3 aP
Slika 60 Trojna tačka
Kod pritiska koji je niži od pritiska u trojnoj tačci, može postojati samo čvrsta i gasovita faza. Linija napetosti ispod trojne tačke, prikazuje stanja u kojima su čvrsta i gasovita faza u ravnoteži, odnosno mogu istovremeno postojati.
Promena iz čvrste u gasovitu fazu naziva se sublimacija52.
Ako se zagrevanje čvrste faze vrši na pritiscima višim od pritiska u trojnoj tački, promena će se vršiti iz čvrste u tečnu fazu, što se naziva topljenje. Linija napetosti između čvrste i tečne faze prikazuje stanja pri kojima su obe faze u ravnoteži, odnosno mogu istovremeno postojati.
52 Ako se na primer otvori ventil boce sa ugljen dioksidom, koji se u boci nalazi u tečnoj fazi pod pritiskom koji je iznad trojne tačke (~5.28ata) i ako je temperatura ispod kritične temperature ugljen dioksida (~31°C), tada iz boce ne teče ugljen dioksid, već se pojavljuje smeša pare i čvrstog (sneg) ugljen dioksida, jer je atmosferski pritisak niži nego pritisak trojne tačke.
121
12.5. Toplota isparavanja53
Za isparavanje tečnosti mora se dovoditi toplota. Unutrašnja energija pare razlikuje se od unutrašnje energije tečnosti, pa se dovođenjem toplote mora obezbediti taj prirast energije. Osim toga, mora se izvršiti i rad potiskivanja protiv spoljašnjeg pritiska usled povećanja zapremine prilikom isparavanja.
Toplota isparavanja funkcija je pritiska i temperature isparavanja.
Može se napisati da je toplota isparavanja po jediničnoj količini materije r, na osnovu:
∫=⇒=∂ dsTqTdsq za: .constT = (Slika 61):
)( '" ssTr −= .
s
T
k
23
4
1
s ’ s ’ ’
r
Slika 61 Toplota isparavanja
Po zakonu o održanju energije, za proces isparavanja, odnosno kondenzacije, može se napisati: vdpdhq −=∂ . Pošto je pri isparavanju pritisak konstantan, može se napisati da je: dhq =∂ , odnosno:
53 U nastavku će se razmatrati samo zasićeno područje, jer će se detaljna analiza procesa koji se odvijaju prilikom izmene toplote kod isparavanja dati u okviru drugih predmeta.
122
'" hhr −= ,
gde je 'h entalpija vrele vode, a "h entalpija suvo-zasićene pare, što znači da
se toplota isparavanja troši na povećanje entalpije. Može se napisati da je:
)( ''""'" pvupvuhhr +−+=−= , odakle sledi da je:
)()( '''''' pvpvuur −+−= , gde )( ''' uu − predstavlja latentnu (unutrašnju ili skrivenu) toplotu isparavanja, a )( ''' pvpv − rad koji se vrši usled povećanja zapremine.
12.5.1. Sadržaj pare
Za označavanje stanja u zasićenom području, odnosno stanja vlažne pare, potrebno je osim poznavanja pritiska i temperature, poznavati još neku veličinu, jer u ovom slučaju pritisak i temperatura nisu međusobno nezavisne. Kao zgodna veličina pokazao se sadržaj pare x, koji označava onu količinu suvo zasićene pare, koja se nalazi u vlažnoj pari (vlažna para se sastoji iz vrele vode i suvo zasićene pare). Za vrelu vodu sledi da je: 0=x , a za suvo zasićenu paru: 1=x . Ako se sadržaj vode obeleži sa y, može se napisati da je: xy −=1 .
Na osnovu ovoga, može se odrediti specifična zapremina vlažne pare:
"')1( xvvxv +−= , odnosno:
)( '''' vvxvv −+= .
12.5.2. Entalpija, unutrašnja energija i entropija vlažne pare
Za poznate veličine 'h i "h , gde je 'h entalpija vrele vode, a "h
entalpija suvo-zasićene pare, entalpija vlažne pare h sadržaja suvo-zasićene pare x, može se izračunati na sledeći način:
)( '''' hhxhh −+= .
123
Za poznate veličine 'u i "u , gde je 'u unutrašnja energija vrele vode, a
"u unutrašnja energija suvo-zasićene pare, unutrašnja energija vlažne pare u
sadržaja suvo-zasićene pare x, može se izračunati na sledeći način:
)( '''' uuxuu −+= .
Za poznate veličine 's i "s , gde je 's entropija vrele vode, a "s
entropija suvo-zasićene pare, entropija vlažne pare s sadržaja suvo-zasićene pare x, može se izračunati na sledeći način:
)( '''' ssxss −+= .
12.6. hs dijagram vodene pare
Kod kružnih procesa, odnosno ciklusa kod kojih je radno telo vodena para, najčešće promene stanja su izmene toplote pri konstantnom pritisku i adijabatske promene stanja. Usled ove činjenice, ukazala se potreba da se proračuni pojednostave upotrebnom dijagrama sa kojih će se jednostavno očitati entalpija, te je uveden hs dijagram (Slika 62), kojeg je predložio Richard Mollier, te se i naziva Mollier-ov dijagram.
124
Slika 62 Mollier-ov dijagram
125
13.13. Realni gasoviRealni gasovi
Kod realnih gasova jednačina stanja idealnih gasova ne daje zadovoljavajuće rezultate. Kod niskih pritisaka, odstupanja od realnih vrednosti mogu se zanemariti, ali kod viših pritisaka odstupanja su značajna.
13.1. Van der Waals-ova jednačina stanja
Opštu jednačinu stanja: 0),,( =tvpf , koja mora zadovoljiti promene stanja realnih gasova objavio je Johannes Diderik Van der Waals 1873. godine.
Ako se pretpostavi da su gasovi sastavljeni od molekula, pritisak gasa na zidove posude nastaje kao rezultat udaraca velikog broja molekula. Osim sa zidovima posude, molekuli se sudaraju i međusobno. U odnosu na veličinu (dimenzije) molekula, dužina leta molekula između dva sudara je veoma velika. Molekul zauzima neki prostor u koji drugi molekul ne može prodreti. To znači da za kretanje molekuli imaju na raspolaganju manji prostor od ukupnog prostora koji zauzima gas. Ova činjenica se uzima u obzir veličinom b koja predstavlja zapreminu koju zauzimaju molekuli, pa se slobodan prostor za kretanje molekula umanjuje na )( bv − , što znači da jednačina stanja poprima oblik: RTbvp =− )( .
Ako se osim ovoga u obzir uzmu i međudejstva molekula (sile koje deluju između molekula – kohezione sile), može se pretpostaviti da na molekule koji se nalaze u blizini zidova posude deluju sile koje ih privlače prema unutrašnjosti, što rezultuje manjim pritiskom na zidove posude. Ove privlačne sile su tim veće što je gustina gasa
v
1 veća. Osim toga, broj molekula koji udaraju o zidove posude je isto
proporcionalan sa gustinom gasa, pa je uticaj privlačenja molekula prema
unutrašnjosti srazmeran kvadratu gustine gasa 2v
a, gde je a iskustveni faktor. Na
osnovu iznetoga, može se napisati da je pritisak p koji se može meriti (pritisak na
zidove) manji od unutrašnjeg pritiska up , te se može napisati da je: 2v
appu += .
Pošto je za jednačinu stanja merodavan stvarni, unutrašnji pritisak, jednačina stanja poprima oblik:
RTbvv
ap =−+ ))((
2 ,
126
što predstavlja jednačinu stanja Van der Waals-a, gde su konstante a i b svojstvene svakoj materiji i potrebno ih je odrediti merenjima.
Ova jednačina je postavljena na osnovu jednostavnih pretpostavki, ali dobro prikazuje ponašanje materija u čitavom području promena stanja, te je kao takva poslužila kao osnovni oblik drugim jednačinama koje su predlagane od strane drugih istraživača radi olakšavanja proračuna.
127
![termodinamika - PMF Naslovnica4].pdf · 1 kemijska termodinamika termodinamika – proučavanje izmjena energije kao što su rad i toplina kemijska termodinamika – proučavanje](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5a9d2ae97f8b9a032a8c233c/termodinamika-pmf-naslovnica-4pdf1-kemijska-termodinamika-termodinamika-.jpg)
