6
There Exists No (15,5,4) RBIBD* Petteri Kaski, Patric R. J. O È sterga Êrd Department of Computer Science and Engineering, Helsinki University of Technology, HUT, Finland E-mail: petteri.kaski@hut.®; patric.ostergard@hut.® Received August 17, 2000; accepted November 27, 2000 Abstract: An n; M; d q code is a q-ary code of length n, cardinality M, and minimum distance d. We show that there exists no (15,5,4) resolvable balanced incomplete block design (RBIBD) by showing that there exists no (equidistant) 14; 15; 10 3 code. This is accomplished by an exhaustive computer search using an orderly algorithm combined with a maximum clique algorithm. # 1999 John Wiley & Sons, Inc.J Combin Designs 9: 357±362, 2001 Keywords: equidistant code; maximum clique; orderly algorithm; resolvable balanced incomplete block design 1 INTRODUCTION A v; k; balanced incomplete block design (BIBD) is a family of k-subsets, called blocks, of a v-set of points, such that each pair of points of the v-set is contained in exactly blocks. The number of blocks is denoted by b and the number of blocks in which any point occurs is denoted by r. A BIBD is said to be resolvable (and called an RBIBD) if the blocks can be partitioned into parallel classes, each of which in turn partitions the v-set of points. [For an extensive survey of resolvable designs, see [6].] Basic counting arguments give the following necessary conditions for a v; k; BIBD to exist: v 1 0 mod k 1; vv 1 0 mod kk 1: It is known that these conditions are suf®cient for v; 5; 4 BIBDs. For a design to be resolvable, we have the additional necessary condition that v be divisible by k . Correspondence to: P. Kaski, petteri.kaski@hut.® Supported by the Academy of Finland under grant 44517. *Due to printer's errors, this article, originally published in Volume 9, No. 3, pp. 227±232, 2001, is being reprinted in this issue in its correct form. # 2001 John Wiley & Sons, Inc. 357

There exists no (15,5,4) RBIBD

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: There exists no (15,5,4) RBIBD

����� ����� � � ������ ������

������� ���� ������ � � �� ������������������� ������� ������ ��� �������������������� ���������� ��������� ���� �������������� ������� �����!��� "# ������ ��������!��� "

�������� ���� � � ����� �������� �������� � � ����

��������� �� ����� ��� ���� �� ��� ���� � ������ �� ����������� �� ������� �������

�� �� ���� ��� ����� ������ �� �������� ��������� ������ ����� ���� ����! ������ �"#$#%�

�� ������� ��� ����� ������ �� ��&��������� ���� ��� �'�( ����� )��� �� ���� ������ �� �

��������� ��� ���� ����� ����� � ������� �������� �������� ���� ������ ���&��

��������� � ���� ���� ����� !��� "��#� $����� %��� �& '( )'*�� ����

*�������+ ���������� ���� ��� � ������ ������� �������� � ���������� ������ �� �����

���� �����

� ������������

� ��� �� �� ������ �� ����� ���� ����� +,",%- � � .����� �. �/����� ����������0� �. � �/�� �. ������ ��� ���� ���� ���� �. ����� �. ��� �/�� � ��������� ���1����� � ����0# 2�� ������ �. ����0 � ������� �� � ��� ��� ������ �. ����0 ��3���� ��� ����� ����� � ������� �� �# � ,",% � ��� �� �� ���������� +��� �������� �,",%- �. ��� ����0 ��� �� ����������� ���� �������� ����� ���� �. 3���� �� ������������� ��� �/�� �. �����# 45�� �� �1������ ����� �. ��������� ����� �� 4*6#6,��� ������� ������� ��� ��� .����3�� ������� ��������� .�� � ��� �� ��

,",% �� �1��&

��� � �� � � ���� � � ������� � �� � ���� ��� � ���

"� � 0��3� ���� ���� ��������� ��� �.7����� .�� ��� (� 8� ,",%# 5�� � ���� ���� ���������� 3� ���� ��� ���������� ������� ��������� ���� � �� �������� �� �#

����������� ��� 9# :�0�� �������#0�0�;���#7

!�������� �� ��� ������� �. 5������ ����� ���� 88(� #

<%�� �� �������= ������ ��� �������� ��������� �������� �� >����� �� ��# '� ��# �� )�'�� ����� � ���� ��������� ��

��� ��� �� �� ������� .���#

� ���� ���� ����� !��� "��#

��

Page 2: There exists no (15,5,4) RBIBD

��������� �� ��� ������� � �� ��� � ������� ��� ����� ��� � ��� �� �� ����� ������ �� ��� � � � ��� ��� �� ����� ��� ��� ����� �� �� ��� � �� � �!�"�������� ��� � � #� �� ������$� ��� � � �#�� #%�� #&�� #'�� #'��( �� )#�*�%+�� �� ������,� ��� $��� �� ��� ���� �� � !� �� �� �� ������ ��� �� ����� �� �#�� �� ��������

�� �!� ����!��-�� ������ � !� � ���,����, �$������ ��� ���� �� ������!�� ������ �����-��-������ .� ����� �!� � ���� �"����$�� � !��$�/ � ��-��-���������� �� ���� ������ �� ������ ����-��������� �� �� .�� ����-���� �� �� ���!�� �� 0����� *� 1� ��� ���� ��� ���� ����$��� ��������2����� �$��� � �����$ ��$ �$�� �( � ������ �� �� 3!� �$�� �� ����� � �� 0����� %� �� 0����� � � ���� �$������ �� ���!�� � 4 !� �� �� �$��$������ �� ������!�� ��3!� �$�� ������$ �� �� �� ��� �� ����$� � �� � !����� �����!� �$�3! �$������� . ����!������� �� � ��!$��� ������ ��� ������� �� �#�� �� �� ������ �� ���!�� �� 0����� ��

� �������������� ����� � ������

4 !� � ��$$����� ���� �� �������� ��� �� �� 5� �� ��� � ����� #� � � � � �� #�� �� $� ��

� � � �� �� �$$ �-�!�$� ���� �� � � ��� . 6������ ������ ���� �� ���� ��� ��� �� � �� �� �� � �!��� �� ���� ����� �� ����� ����� . �����!� ������ �� � �� � ��

� �� ���� �� ��������� � ������� ���1� ����� ��� �� � �� � �� � ��

� ��� �� ��� ���$��� � �� �����!� �������� 1 �� �� ��� �� � 3!� ������ �� ���� �� � ���� ��� �$$ ������� �� � � ��

0��,� �� 7��� 8 )##+ ��� ��� �� �� � ��-��-�� �������� ������ ������ �� ������ ����-��������� �� �( � ���� �� ��� ��!$� ��� �� �� �� � �� � ��$$����� ����� �4 ��$� �� � ���� �� � $��-��-�������$�������� ��� �� �!�"���� ��� !�� �� � ��� ������ �������� �� �� � ����$$�� !� �� ������!�� ������ ���� 3!� ������ �� ���

������� �� �� � ����� � ��� �� �� ���� ���� � ������ � ����� �� �� � �� � ����� �� ���������� ��� �� � � ����� ��� �

1 ����$�/����� �� ��� ��!$�� ��� ��� � ���$� �� � ���� � �$��� �����$ ��$ ������� �$��, ����� �9����� ��� � ��!� �� ��� )�+�

.��� # �$$� !� ��� �� � �#�� �� �� ����� ������ �� �� 3!� �������#�� #�� #��% �� ������ :3!� ������ �� �!� � �� �$�� ��$$��� ���� � �-���9$��,�� ��!� ���� ��� )�+��

������� � �� � ����� �� ����� ��� ��� � �� �

��� � #�� � *����*

���

���#

��� #

�����

�� � �� � ��� ������ ������� ������ �� ��� �� ����������� ��� �� ������ ����� � ���� � �� � ��������� �� !�� �� � �"�������# ����� �� $�� � � �� ���� � � ���

.��� * �� � �� � ������$ ������� �� � �#�� #�� #��% �� ; �� ��� ���� ������ �!�� � " �� �� �� � �� ���� ���� �$!�� . ��� �� � ���� �� �� �� ��� � ��� ��� ��� ��������� �� �!� � �� �

��� ����� ��� �� ���� ��

Page 3: There exists no (15,5,4) RBIBD

� ���� ���������

��� ����� ��� ����� �� �������� � ��� ��� � � ����� ��� ��� ���� � ���������� �� ��� ��������� ��� � ���������� �� ��� ������ �� ��� ��� �� ������������� ���� ���������� ����� � ������� ����� � � ���� �� �� ���������� ���������� ������ ������ ��� ������ ��� ����� ������ ��� ��� �� ��������� � �� ���� � �������� ������� ���� � ��� �� ������� ��� ��� � �� ���� ������� ��������� ������

��� � �� ������ ��� ��� �� ������ ��� ����� ������ ��� ��� ��� ��� � �������� �� �� ����� ��� ���� � � � ���� � � ���� ���� ������� ��� �������� ��� � ���� ��� �� ���� ��� �� ������ ��� ���� �� � �� �� �� ������ ��

��� � ������ ��� ���� ���� ���� �� � ���� � � � �� � ������� ��� ���� ����������� ��� ��� ������ �� �� � ��� �������� �� ���� ��� ������ ���� � � ��

��������� � ���� ����� � � � � ���� ���� �� � ��� !�� � ��� ������ ����������� ���� ��� ���������� ����� �� ����������"

#� � ���� � � � �� ��� ���� ������ ��� �$�� ��� � � ����� � ����� �������� �� � �� � �� ��� ���� �� ��� ��� ��� ��� �� ������ �������� � %% � � � %� � � � % � � � �� &������� � ����� ��� �� � �� � ��'���� � �� � ���� � ������ � ���� � � � �� � � �������� ��� � � � ����� ��� ���������� ������ ���� �� ��� �� � � �� ��������� �� � ��� �� �� �� � ����� ����� � ���

� ���� � �������� ��� ��� ��� �������� ���� ������ ������� ������ �������� ����� �� ����� �� ����������� ��� �� �������

����� �� � ���� � � � �� �� �� ������ ��� �� �� ��� �� ��� ������ � ����� ��� �� �� ����� ��� ���� � ���� �� �� �� �� ������ ��� ��� �����% �

����� � � ���� � � � �� �� �� ������ ��� ��� �� ��� ���� �� ��� �� ��� !!�� �� ������������ �������!��� ������ � � � %% � � � %� � � � % � � � �

�� %% � � � % � � � %� � � � �

����� � � ���� � � � �� �� �� ������ ��� ��� �� �� ��� ��� � ��� ����!������� �� ��������� ��� � �� �� ������ ��� ���� !������� �� ��������� ��� ��������� � � �

��� ����� ��������

�� ����� ��� ������ ��� ��� ��������� ����� ��� ���� ������ � �������� ������ � ���������� ���� � ������� ����� ������� ��� ������ �(������ ���������� ������ �� ��� ����� �� ����� �������� �������� � )��� *%+,�

-���� �������� ��� ������ �� ������� ��� ��� �������� ��� � � ����������� ������ ��� ����� � ��� � � ��

� � �� !���� ���� � � �� ����������� � � �� � � � �������������� ��� ���� �� � ��

��� ����� ������� �� �������� ��� �� ������ ��� ��� � �� �������� � ������� ���� �� ��� #� �� � +� ���� � ������ ���� ��� ���� �� �������������� %� ��� ���� ���� � �������� ���� ������ ��� ���� ��� ��� ���$.���� �� �������� � ����� /"�

����� ������ � �� � �� ����� ���

Page 4: There exists no (15,5,4) RBIBD

For 0 < M0 < M, given an equidistant �n;M0; d�q code matrix AM0 2 MM0�n incanonical form as input, the algorithm considers all words w 2 Zn

q compatible withAM0 . For each such word, the algorithm constructs a matrix AM0�1 2 M�M0�1��n byplacing w after the last row of AM0 . If AM0�1 is in canonical form, the search proceedsdepth ®rst to augment AM0�1 with a new word. Otherwise, the next compatible word istried. When all compatible words have been considered, the algorithm backtracks.

By Lemma 1 it is clear that it suf®ces to consider only augmentations of codematrices in canonical form. By Lemma 2 it can be seen that the set of extensions canbe restricted to the set of compatible codewords.

Canonicity is tested using a backtrack search that for a given matrix A 2 Mm�n

attempts to construct a counterexample for the canonicity of A. Algorithm 4 gives thecanonicity predicate in pseudocode. It was developed starting from an idea for codeequivalence tests presented by Kapralov [8].

Algorithm 1 Canonicity predicate for an m� n matrix

function canonsearch�lvl;A0;R; ��1: if R � ; then2: return 03: end if4: for all r 2 R do5: �0 :� �6: for all i 2 f1; . . . ; ng7: if �0�i��A�r��i�� � undef then8: �0�i��A�r��i�� :� min f0; . . . ; qÿ 1g n f��i��j� : j 2 f0; . . . ; qÿ 1gg9: end if10: end for11: A00 :� A0

12: Append row �0�1��A�r��1��; . . . ; �0�n��A�r��n�� to A00.13: Sort columns of A00 to nondecreasing lexicographic order, store the result in B.14: � :� w�B� ÿ w�A�1; . . . ; lvl��1; . . . ; n��15: if � < 0 then16: return �17: end if18: if � � 019: � :� canonsearch�lvl� 1;A00;R n frg; �0�20: if � < 0 then21: return �22: end if23: end if24: end for25: return 0function canonical �A�26: � :� canonsearch�1; empty; f1; . . . ;mg;undef)27: if � < 0 then28: return false29: end if30: return true

360 KASKI AND OÈ STERGAÊ RD

Page 5: There exists no (15,5,4) RBIBD

For each column j of the constructed matrix A0, ��j��� contains the permutation ofthe values of Zq that minimizes the lexicographic value a01j � � � a0mj of the column andmakes it satisfy Lemma 3.

The correctness of the algorithm follows from the following observations. A groupelement 2 G can be decomposed and taken as a permutation of the rows 0

followed by a permutation of the coordinate values 1 which intern is followed by apermutation of the columns 2. If there exists a such that A < A, we can ®nd it byexhaustively searching through all 0, 1, and 2. Fortunately, exhaustive search isnot needed for 1 and 2. Namely, having ®xed 0, by lemma is 2 and 3 it issuf®cient to ®rst permute the coordinate values according to Lemma 3 and then sortthe columns to nondecreasing lexicographic order.

Even if 0 2 Sm, it is often necessary to consider only a fraction of the symmetricgroup: As soon as the matrix being constructed differs from A we have suf®cientinformation to determine whether the (partial) permutation of rows will necessarilyextend to a counterexample �� < 0�, or cannot possibly be extended to acounterexample �� > 0�.

5 THE RESULTS

Using a C implementation of the algorithm described in Section 4, we constructed allequidistant �14; 5; 10�3 code matrices in canonical form with the restriction that the®rst column of the matrix be 00000. Namely, we know that the ®rst column must have5 zeros, and by Lemma 2 these must occur in the ®rst ®ve rows. Using an extensiveamount of CPU time, one could proceed to even larger subcodes to ®nally solve thisproblem. However, it turned out that a solution could be obtained considerably fasterin the following way.

Let C�C� be the set of all codewords compatible with a �n;M0; d�q subcode C.De®ne the compatibility graph of C to be the graph with vertex set C�C� such thatx; y 2 C�C� are adjacent iff d�x; y� � d. Now the largest clique in the compatibilitygraph gives the largest number of words that can be augmented to the subcode C. Inour case we know that starting from the aforementioned equidistant �14; 5; 10�3 codeswith 0s in the ®rst coordinate, the 10 remaining words must have a 1 or a 2 in the ®rstcoordinate. Only such words are considered for the compatibility graph. (The idea ofcombining a partial classi®cation with a clique search has earlier been used for otherproblems in, for example, Ref. [12].)

There are 74 inequivalent equidistant �14; 5; 10�3 codes with 0s in the ®rstcoordinate. For each of these codes, the compatibility graph was constructed and themaximum clique problem was solved using a maximum clique algorithm developedby the second author [9]. The size of the largest cliques obtained was 7, and hencethere exists no �14; 15; 10�3 code and therefore no �15; 5; 4� RBIBD.

Theorem 3. There exists no �15; 5; 4� RBIBD.The computation took about 10 min on a 450MHz Pentium III; most of the time

was used to solve the maximum clique problems on graphs with between 1,752 and2,298 vertices.

We can get a slightly stronger result for ternary error-correcting codes. Namely, ifa �14; 14; 10�3 code exists, then it is equidistant by the Plotkin bound (Theorem 2).

THERE EXISTS NO {15,5,4} RBIBD 361

Page 6: There exists no (15,5,4) RBIBD

��������� ��� ���� ��� �� �������� ��� �� � ������ �� � ��� ���� � ���� �� ����� ���� ��� � ��� ��� � � ��� ���� ��������� � �� � ��� � �� ������ �� ��� ����� ���� ������ ��� � ��� ��� ������� �� ��������� ��� ���� ����� ����� � ���� ���� �� �� �� � �� ���� �� ���� ��� ���� ��� ������ ��� ����� �� ����� ������� � � � �� ���� �� ����� ��� ��� ������ ��� !�" �� ���� �����# � ������ ��� � ��� ���� � �����$ �%�����

������� �� �# � ������ ��� � ���

������������

&�� � ����� ��� �� ����' ( ��� )��� �� ������� *��+ ��� ���%� � �������� ���� ������

���������

!�" ,� (� ,� )���� %������� ���� �������

!#" ,� (� ,� )��� �� �� -� ���� ..,��������� �� ���� ���������� ��+���// &�� -,-������' �� ����������� ��+��� -� (� -���� �� �� (� 0� 1��2 34����5� -,- 6�����7��� ,����� �889� %%� :;<8��

!�" ,� (� ,� )���� *� *�� �� *��+� �� �� =� � ,��������� ������� ����%���� ����'���+�� ��� ����' �2� �� � ����� ��� % ��������

!�" *� &� 7�+������ )� 4� 7�� ���� �� >� ?�%������ �� 6� ,� (� @A ����+�B�� 4����C��������+���� ���� �� ��%����� �� �� � ��������� 1��� -��� -�$%��+��� �� �%%����

!�" )� 4� 7�� ���� 0� @� 0�A���A��A���� 6� ,� (� @A ����+�B�� �� >� (� )� ������� 7� �� ����� ����$D������$ ����� E444 &���� E����� &����$ �� 3�88:5� ���<�9��

!9" �� ���� F� ���� �� (� F�� ����� �� ���������� ��+��G H���� ������ ������ ����������� -,- 6����� 7��� ,����� �889�

!;" 0� 0����� 7������ ����%���� ����' ��+�� �� ������ ��+��� 1������ ���� ��3�8;�5� #��<�98�

!:" ?� �� ?�%������ ..&�� ����������� �� ������$ 3������;5 �����// 6���� ������������������ ���'���% �� ��+����� �� ����������� ���+ �����$ 3)--&/#���5�7���'�� 7 �+��� �:<#� ( ��� #���� %%� �:8<�8#�

!8" 6� ,� (� @A ����+�B�� ) ���� ��+����� ��� ��� ���� � ��� � %������� � ����� ���% ��������

!��" ,� -� ,��� 4���$ ��� � ����� �� 0�� �� ��� �����%��� ������ ���� ������+ �+����������� ����+ ������� )��� 1������ ���� # 3�8;:5� ��;<�#��

!��" >� I� ����'�� �� I� )� =���/��� 4� ����� �C��$ ���� ��� ������ ������ ������������ ������� ����%���� ����' ��+��� 3� , ����5� 6���� 6������ E����� �3#5�>�� # 3�89:5� �<���

!�#" 4� �%����� &�� ���%���� ����������� �� ������ �$����� �#� �� #��� (� -���� 1��+��� 3�8895� #8�<����

��� ����� ��� �� ���� ��