Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Théorie financière Travaux pratiques – Session 6 « Relation risk-return - CAPM» Ex. : Aunt Agatha – CAPM
Titulaire : Professeur Kim Oosterlinck
« Aunt Agatha » « CAPM »
3
Aunt Agatha Rappel théorique 1 – Le risque
• Il n’y a pas uniquement l’espérance de rentabilité qui importe lors de l’évaluation d’un actif, en effet, il faut également tenir compte de la variance de la rentabilité.
• Préféreriez vous 50 avec certitude ou une loterie dont les résultats sont 10000 avec une probabilité de 0.5% et 0 avec une proba 99.5%?
TE R
TV R
4
Aunt Agatha Rappel théorique 2 – La diversification
• Est-ce vraiment la volatilité des actions qui importe?
• Non. Car une partie de du risque d’une action peut-être diversifiée.
• Dans l’exemple, on parvient à obtenir des portefeuilles à la rentabilité plus élevée pour un risque moindre.
5
Aunt Agatha Rappel théorique 3 – La diversification
• En combinant les actions, on obtient des portefeuilles qui présentent un risque minimum pour un return donné : frontière efficiente.
6
Aunt Agatha Rappel théorique 4 – Diversification
7
Aunt Agatha Rappel théorique 5 – Diversification
Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
30.00%
35.00%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
# stocks in portfolio
Po
rtfo
lio
sta
nd
ard
de
via
tio
n
Market risk
Unique risk
8
Aunt Agatha Rappel théorique 6 – Tobin
• En ajoutant un titre sans risque cela donne :
9
Aunt Agatha Rappel théorique 7 – Sharpe & Lintner
10
Aunt Agatha Rappel théorique 8 – Sharpe & Lintner
11
Aunt Agatha Rappel théorique 9 – CML
• Lorsque l’on a la CML, il suffit de choisir la combinaison qui maximise l’utilité :
12
Aunt Agatha Rappel théorique 10 – Le beta
13
Aunt Agatha Rappel théorique 11 – Le beta (A. Farber)
• Sachant que tout le monde détient le portefeuille de marché, quelle rentabilité allez vous exiger pour un titre?
• Sachant que la variance du portefeuille de marché est :
• La volatilité étant égale à:
• On continue à investir dans i tant que:
• A l’équilibre:
nMniMiMMM XXXX ......22112
1 21 2
1 1 1 2 2 2
... ...
... ...
iM nMM MM i n
M M M M
M M M i iM i n nM n
X X X X
X X X X
i F M F
iM i M
E R R E R R
i
iM ii F M F
M
E R R E R R
14
Aunt Agatha Questions 1 & 2
• 1) A) Rentabilité du portefeuille :
B) Volatilité du portefeuille :
• 2) Quel est le meilleur portefeuille?
0.2 0.14 0.8 0.06
7.6%
P S S T TR X R X R
2 2 2 2 2 2
0.2 0.16
3.2%
P A A B B A B AB
P
X X X X
2
2
,
. 7.6% 2 3.2%
7.395%
P P P PU R R a
U Port
2
100% 6% 0
100% 14% 2 16%
8.88%
U TB
U Stock
15
Aunt Agatha Question 2
16
Aunt Agatha Question 3
1P S S S T
P S S
R X R X R
X
S TP T P
S
R RR R
En présence d’un titre sans risque et d’un actif risqué, la rentabilité et
la volatilité du portefeuille sont : Ratio de Sharpe :
Rentabilité supplémentaire
par unité de risque
17
Aunt Agatha Question 4
2
2 2
Variance du port.Rentabilité du port.
,
1
P P P P
S S S T S S
U R R a
X R X R a X
2
2
2
,2
2
14% 6%
2 0.2 0.16
7.81
P P
S T S S
S
S T
S S
dU RR R aX
dX
R Ra
X
a
a
Quelle est l’aversion au risque que devrait avoir Agathe pour que le portefeuille 20% Stock – 80% TB soit celui qui maximise son utilité?
Première étape : plaçons la contrainte dans la fonction d’utilité:
Deuxième étape : maximisons:
18
Aunt Agatha Question 5
• 5) Quel est son portefeuille optimal connaissant son aversion au risque?
Vérification:
2
2
2
8%
2 2 16%
0.78125
S TS
S
R RX
a
2
0.781 14% 0.219 6%
12.25%
0.781 16% 12.5%
, 12.25% 2 12.5%
9.13%
P
P
P P
R
U R
1
0,21875
TB SX X
19
Aunt Agatha Question 6
• Remarque : jusqu’ici, nous considérions que Tante Agathe détenait le portefeuille de marché, il suffisait donc de déterminer où allait-elle se trouver sur la CML. Dans la suite de l’exercice, nous allons essayer de déterminer le nouveau portefeuille de marché.
• 6) A) Rentabilité du portefeuille :
B) Volatilité du portefeuille :
0.25 0.08 0.75 0.14
12.5%
P S S B BR X R X R
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
12.39%
P S S B B S B B S BS
P S S B B S B B S BS
X X X X
X X X X
20
Aunt Agatha Question 7
7) A) 50% bonds et 50% actions
B) 75% bonds et 25% actions
9.5%
6.59%
P
P
R
11%
9.09%
P
P
R
21
Aunt Agatha Question 8
• 8) Comment déterminer le portefeuille qui doit être sélectionné?
On utilise le ratio de Sharpe
Le portefeuille ayant le ratio de Sharpe le plus élevé sera le portefeuille qui permettra d’obtenir la plus haute rentabilité pour un risque donné
1
2
3
12.5% 6%0.5247
12.39%
0.5501
0.531
i T
i
R R
P T PR R
22
Aunt Agatha Question 8
23
Aunt Agatha Question 9
• 9)
On connait maintenant le portefeuille optimal, on peut donc déterminer la frontière des possibilités d’investissement.
Mais quel portefeuille va-t-elle choisir sur sa frontière?
21.51
2
P TP
P
R RX
a
0.51TX
24
Aunt Agatha Question 9
A
B
Riskless rate
Optimal risky portfolio
Optimal asset allocation
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00
Risk ( standard deviation)
Ex
pecte
d r
etu
rn
« Aunt Agatha » « CAPM »
26
CAPM Questions 1 & 2
1) Rentabilité du portefeuille :
2) Variance des rentabilités du portefeuille :
0.2512 6% 0.2325 8% 0.1334 10% 0.3829 12%
9.3%
MR
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
AB
P A A B B B A B A AB
A A B A AB B B B A AB
A A A B AB B B B A AB
X X X X
X X X X X X
X X X X X X
2 cov , cov ,
cov , cov ,
cov ,
cov ,
A A B AB A B
A B
A B
AP
X X X A A X A B
A X A A X B
A X A X B
A P
2
P A AP B BPX X
27
CAPM Question 2
14.37%P
2 0.2512 0.01131 0.2325 0.01697 0.1334 0.02263
0.3829 0.02829
0.02064
P
Ce qui donne :
28
CAPM Questions 3 & 4 : Rappels (A. Farber)
• The measure of risk of an individual asset in a portfolio has to incorporate the impact of diversification.
• The standard deviation is not an correct measure for the risk of an individual security in a portfolio.
• The risk of an individual is its systematic risk or market risk, the risk that can not be eliminated through diversification.
• Remember: the optimal portfolio is the market portfolio.
• The risk of an individual asset is measured by beta.
• The definition of beta is:
22 )(
),(
M
iM
M
Mii
R
RRCov
29
CAPM Questions 3 & 4 : Rappels (A. Farber)
• Several interpretations of beta are possible:
• (1) Beta is the responsiveness coefficient of Ri to the market
• (2) Beta is the relative contribution of stock i to the variance of the market portfolio
• (3) Beta indicates whether the risk of the portfolio will increase or decrease if the weight of i in the portfolio is slightly modified
30
CAPM Questions 3 & 4
3) Calcul des bêtas :
Le bêta du portefeuille est égal à :
4) Vérifier le CAPM cela signifie:
2
iPi
P
1
2
3
4
0.011310.55
0.02064
0.82
1.1
1.37
0.2512 0.55 0.2325 0.82 0.1334 1.1 0.3829 1.37
1
P
i M iR rf R rf i
M
i
R rfR rf
31
CAPM Question 4
• Pour le premier titre cela signifie :
• Pour le deuxième titre cela signifie :
2% 9,3% 2% 0,55
6%
A M AR rf R rf
2% 9,3% 2% 0,82
8%
B M BR rf R rf
32
CAPM Question 4
33
CAPM Question 5
5) Le ratio de Sharpe est égal à :
Ce qui donne pour chacun des titres:
Alors que le ratio de Sharpe du portefeuille est égal à
i
i
R rf
1
2
3
4
0.267
0.24
0.267
0.4
0.508P
34
CAPM Question 5
• Pourquoi les ratios de Sharpe ne sont pas égaux?
35
CAPM Question 6
6) Changement de return et de risque suite à l’ajout d’1% d’une action :
Si l’on ajoute 1 % de A :
Si l’on ajoute 1 % de D :
j M jdR R R dX
2
jM M
j
M
d dX
6% 9.3% 1% 0.00033
0.01131 0.020641% 0.000649
0.1437
dR
d
0.000330.508
0.000649
12% 9.3% 1% 0.00027dR
0.02829 0.020641% 0.000533
0.1437d
36
Rappels (Slides de A. Farber) : Marginal contribution to risk: some math
• Consider portfolio M. What happens if the fraction invested in stock I changes?
• Consider a fraction X invested in stock i
• Take first derivative with respect to X for X = 0
• Risk of portfolio increase if and only if:
• The marginal contribution of stock i to the risk is
22222 )1(2)1( iiMMP XXXX
)(2 2
0
2
MiM
X
P
dX
d
2
MiM iM
37
CAPM Question 7 – 1
Expected Return 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 9.30%
Standard Deviation 14.10% 12.78% 12.68% 13.82% 15.95% 18.72% 21.90% 14.37%
Sharpe 0.28368794 0.39123631 0.47318612 0.5065123 0.5015674 0.48076923 0.456621 0.50800278
Peu importe la rentabilité que souhaite Tante Agathe, il faut sélectionner le
portefeuille optimal. Une fois que l’on connait le portefeuille optimal, on connait
les possibilités d’investissements, il suffit ensuite de choisir le portefeuille qui
donnera un return de 7%.
On détermine donc le portefeuille de marché :
38
CAPM Question 7
• Pour obtenir un return de 7%, il faut combiner le portefeuille de marché et l’actif sans risque pour obtenir une rentabilité de 7%:
La standard deviation de ce portefeuille est :
Ce qui est moins élevé que le portefeuille efficient qui nous était proposé (E(R)=7%, Std. Dev. = 12,78%).
• Pour obtenir du 12 %:
7% 1M M MX R X rf
0.685
0.315
M
rf
X
X
1.3698
0.3698
M
rf
X
X
0.685 0.1437
9.84%
P
39
CAPM Question 8
• 8)
2.017 6% 0.088 8% 0.227 10% 0.878 12%
0
MR
2.017 0.55 0.088 0.82 0.227 1.1 0.878 1.3
0.27
40
CAPM Question 7