Theoretical Mechanics

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主讲教师黄璟

第一篇静力学

第二章汇交力系

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§2-1§2-1 　汇交力系的合成　汇交力系的合成

§2-2§2-2 　汇交力系的平衡　　汇交力系的平衡　

　　

第二章汇交力系目录


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F3

F2

F4

F1

2.1 汇交力系的合成2.1.1 几何法


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F1

FR

FR2

FR1

F4

F3

F2

用力多边形法则求四个力的合力

使各力首尾相接，其封闭边即为合力 FR 。



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设汇交于 A 点的力系由 n 个力 Fi （ i = 1 、 2 、…、 n ）组

成。记为 F1 、 F2 、…、 Fn 。根据平行四边形法则，将各

力依次两两合成， FR 为最后的合成结果，即合力。汇交力

系合力的矢量表达式为

n

ii

1R FF

汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。



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结　　论

•合力矢 FR 与各分力矢的作图顺序无关

•各分力矢必须首尾相接

•合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端

•按力的比例尺准确地画各力的大小和方向


汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系

中各力的矢量和，其作用线通过各力的汇交点


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力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积

在直角坐标系中力 F 的

eF eF

直角坐标系 Oxyz 的单位矢量为 i 、 j 、 k ，力 F 在各轴上投影

cos

cos

cos

FF

FF

FF

z

y

x

kF

jF

iF

F = Fx i + Fy j + Fz k

2.1 汇交力系的合成2.1.2 解析法


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1 、直接投影法

cos

cos

cos

FF

FF

FF

z

y

x

kF

jF

iF

2 、二次投影法

sin

sincos

coscos

FF

FF

FF

z

y

x


力在直角坐标轴上的投影：


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222zyx FFFF

F

F

F

F

F

F zyx cos,cos,cos

已知力 F 在直角坐标轴上的三个投影，其大小和方向分别为



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将力 F 沿直角坐标轴方向分解

F = Fx + Fy + Fz

力 F 沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有如下关系

Fx = Fx i, ， Fy = Fy j ， Fz = Fz k

值得注意 : 以上各式是在直角坐标系中推导的，在非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一个重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由几何运算转换为代数运算。



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由汇交力系合成的几何法知：

任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为

代入上式，得

由矢量相等的概念有

izRz

iyRy

ixRx

FF

FF

FF

合力投影定理 : 汇交力系的合力在某轴上的投

影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。

n

i 1iR FF

kjiFR RzRyRx FFF kjiFi iziyix FFF

kjikji )()()( iziyixRzRyRx FFFFFF



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NFFFF zyx 100,0,0 1111

力 F2 在各坐标轴上的投影：

NF

NFF

FF

z

y

x

0

310030cos

N10060cos

2

22

22

力 F3 在各坐标轴上的投影： N15030sin

67545cos30cos

67545sin30cos

33

33

33

FF

NFF

NFF

z

y

x

例 2-1 图中 a = b = m ， c = m 。力 F1 = 100N ， F2 = 200

N ， F3 = 300N ，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。 3 2

解：力 F1 在各坐标轴上的投影：

2.1 汇交力系的合成例题


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汇交力系平衡的几何条件：

汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零

01

n

iiR FF即

2.2 汇交力系的平衡2.2.1 几何法


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即为汇交力系的平衡方程。

2.2 汇交力系的平衡2.2.2 解析法

汇交力系的平衡方程：由汇交力系平衡的几何法知：汇交力系平衡的充要条件是力系的合力等于零。即：

0kjikji )()()(F iziyixRzRyRxRx FFFFFF

得

0

0

0

iz

iy

ix

F

F

F

特例：平面汇交力系平衡方程

0

0

iy

ix

F

F


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2.2 汇交力系的平衡例题

例 2-2 ：求图示平面刚架的支反力。

P

A B

AF NBF

解Ⅰ：几何法

以刚架为研究对象，受力如图。由于刚架受三力平衡，所以力三角形封闭。

P

A Bm4

m8

由几何关系，

5

52cos,

5

5sin

解得 PPFPP

F NBA 2

1cot,

2

5

cos

PAF

NBF


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2.2 汇交力系的平衡

P

A B

AF NBFx

y

解Ⅱ：解析法

以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

0sin:0

0cos:0

NBAy

Ax

FFF

PFF

P

A Bm4

m8

由几何关系5

52cos,

5

5sin

解得 PFPF NBA 2

1,

2

5

例题


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A

B

C

DE

P

A

B

C

DE

P

TDF

TCFS

x y

z

例 2- ３：重为 P 的物体用杆 AB 和位于同一水平面的绳索 AC 与 AD 支承，如图。已知 P=1000N ， CE=ED=12cm ，EA=24cm ，，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。

45

解：以铰 A 为研究对象，受力如图，建立如图坐标。

0sinsin:0 TDTCx FFF0sincoscos:0 SFFF TDTCy

0cos:0 PSFz 由几何关系：

5

2

2412

24cos

22

解得： NS 1414 NFF TDTC 559

2.2 汇交力系的平衡例题

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