The Transitional Quantum State of Matter

8/8/2019 The Transitional Quantum State of Matter

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T h e T r a n s i t i o n a l Q u a n t u m S t a t e o f M a t t e r

A d a p t e d f r o m t h e t h e o r y o f F r a n k Z n i d a r s i c

N o v 9 , 2 0 1 0

) > I J H = ? J

T h e e l d o f q u a n t u m m e c h a n i c s r e v o l v e s a r o u n d t h e s t a t i o n a r y q u a n -

t u m s t a t e s o l u t i o n s , b u t s a y s n o t h i n g o f t h e a c t u a l p h y s i c a l i n t e r a c t i o n s

w h i c h t a k e p l a c e i n o r d e r t o p r o d u c e t h e s e s t a t i o n a r y s t a t e s . T h i s p a -

p e r a t t e m p t s t o d e s c r i b e t h e s t a t i o n a r y s t a t e s o l u t i o n s b y m o d e l i n g t h e

b e h a v i o r o f t h e t r a n s i t i o n a l q u a n t u m s t a t e . T h i s n e w s o l u t i o n w i l l t h e n

b e s h o w n t o p r o d u c e S c h r o d i n g e r ' s E q u a t i o n , S p e c i a l R e l a t i v i t y , t h e F i n e

S t r u c t u r e c o n s t a n t , a s w e l l a s i n e r t i a l a n d g r a v i t a t i o n a l m a s s .

T h e V e l o c i t y o f N u c l e a r W a v e s

W e s t a r t b y c a l c u l a t i n g t h e s p e e d o f m e c h a n i c a l w a v e s i n s i d e t h e n u c l e u s b e -

g i n n i n g w i t h C o u l o m b ' s L a w t o c a l c u l a t e t h e F o r c e b e t w e e n a n e l e c t r o n a n d a

p r o t o n ,

F = keq1q2r2 r = ma

( 1 )

T h e c o u l o m b i c f o r c e p r o d u c e d b e t w e e n a n e l e c t r o n a n d a p r o t o n c o m p r e s s e d

t o w i t h i n 2rp e q u a l s 2 9 . 0 5 N e w t o n s , Fcoulomb = keq2

(2rp)2

T h e f o r c e p r o d u c e d b y a n a m o u n t o f e n e r g y e q u a l t o t h e r e s t m a s s o f t h e

e l e c t r o n c o n n e d t o w i t h i n 2rp i s a l s o 2 9 . 0 5 N e w t o n s , Fmax = 29.05NT h i s b a l a n c i n g c o n n e m e n t f o r c e

Fmax w a s q u a l i e d a s

Fmax =Mec2

2rp= 29.05N ( 2 )

T h e e l e c t r i c a l s p r i n g c o n s t a n t f o r a p r o t o n , w o u l d t h e n b e

Ke =29.05

rx=

Fmaxrx

T h e E n e r g y o f t h e e l e c t r i c a l s p r i n g c o n s t a n t w a s t e s t e d a t t w o r a d i i :

F i r s t , t h e r a d i u s

rx w a s s e t e q u a l t o t h e c l a s s i c a l r a d i u s o f t h e e l e c t r o n 2rp =2.82 1015m

1


2/19

U = 12

29.052rp

(2rp)2 = 14.525 2rp = 4.1 1014 ( 3 )

T h e e l a s t i c e n e r g y c o n t a i n e d b y a n e l a s t i c d i s c o n t i n u i t y o f d i s p l a c e m e n t o f

2rp e q u a l s t h e r e s t e n e r g y o f t h e e l e c t r o n E= Mec2

I f

rx i s s e t t o t h e B o h r r a d i u s rh = 5.291011 , w e g e t t h e R y d b e r g c o n s t a n t

U =1

2

29.05

rh(2rp)

2 = 2.18 1018 ( 4 )

B y c o n v e r t i n g E q 1 . i t i n t o t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r m , x + 2ox = 0 ,

W h e r e o = KeMe

i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r , w e c a n

t h e n c a l c u l a t e t h e s p e e d o f t h e s e m e c h a n i c a l w a v e s a s

Vt = o, W a v e l e n g t h

c a n b e t h e n b e e x p r e s s e d a s i n t e g e r m u l t i p l e s o f t h e c l a s s i c a l p r o t o n r a d i u s

= nrp

Vt =

KeMe

nrp

o r ,

Vt =

Fmax/rxMe

nrp

S o l v i n g f o r

rx , p r o d u c e s t h e r a d i i o f t h e h y d r o g e n a t o m .

rx = n2[Fmaxr2pV2t Me

]( 5 )

T h e q u a n t i t y w i t h i n t h e b r a c k e t s i s e q u a l t o t h e g r o u n d s t a t e r a d i u s o f t h e

h y d r o g e n a t o m . T h i s s i m p l i e s t o t h e m o d e r n p h y s i c s l a w ,

rx = n2r+h ( 6 )

I f t h e v e l o c i t y o f s o u n d i n t h e n u c l e u s

Vt i s t h e n s e t e q u a l t o t h e v e l o c i t y o f l i g h t i n t h e i m p e d a n c e m a t c h i n g e l e c t r o n o r b i t a l s 2ftr , w e g e t a p h o t o n w a v e l e n g t h

rm u l t i p l i e d b y t h e f r e q u e n c y o f t r a n s i t i o n . T h e w a v e l e n g t h o f l i g h t

c o u p l e s d i r e c t l y w i t h t h e w a v e l e n g t h s o f t h e o p t i c a l p h o n o n s w h i c h b i n d t h e

c o n d e n s a t e e l e c t r o n c l o u d a t e a c h d i s c r e e t o r b i t .

Vt =

Ke/Me2

(2nrp) = 2ftr = Vlight ( 7 )

I f w e t h e n s q u a r e , r e d u c e , a n d s o l v e f o r r w e g e t t h e a m p l i t u d e o f t h e t r a n s i - t i o n a l q u a n t u m s t a t e s q u a r e d . T h i s i s t h e w a v e l e n g t h o f t h e i n t e r a c t i n g p h o t o n

s q u a r e d .

2


3/19

r2 =Ken2r2p4Mef2

( 8 )

T h e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y ft o f t h e d a u g h t e r s t a t e i s a h a r m o n i c m u l t i p l e o f t h e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y o f t h e p a r e n t s t a t e .

T h e p r o d u c t o f t h e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y ft =Vt

2nrpa n d t h e i n t e g e r n c a n

b e f a c t o r e d t o p r o d u c e t h e a m p l i t u d e s o f t h e p a r e n t a n d d a u g h t e r s t a t e s .

r2 = [2Ker

3p

Vt](

n2

42Mef) ( 9 )

T h e e l a s t i c c o n s t a n t o f t h e e l e c t r o n

Ke c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f l e n g t h s

o f e n e r g e t i c a c c e s s i b i l i t y , Ke = FmaxnrpB y f a c t o r i n g i n t h e e l a s t i c c o n s t a n t o f t h e e l e c t r o n

Ke a n d m u l t i p l y i n g t h e t o p a n d b o t t o m b y 2 w e g e t

r2 = [4Fmaxr2p

Vt](

n

82Mef)

( 1 0 )

T h e f a c t o r s w i t h i n t h e b r a c k e t s e q u a l s P l a n c k ' s c o n s t a n t

h = [4Fmaxr

2

p

Vt]

T h e r e d u c t i o n o f t h e s e t e r m s p r o d u c e s H e i s e n b e r g ' s f o r m u l a t i o n f o r t h e a m -

p l i t u d e o f e l e c t r o n i c h a r m o n i c m o t i o n s q u a r e d

r2 =nh

82

Mef

( 1 1 )

T h i s f o r m u l a e x p r e s s e s t h e n u m e r i c a l i n t e n s i t y o f t h e e m i t t e d p h o t o n s . T h e

i n t e n s i t y o f a s p e c t r a l l i n e i s a f u n c t i o n o f t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s i t i o n . T h e

p r o b a b i l i t y o f t r a n s i t i o n i s p r o p o r t i o n a t e t o t h e p r o d u c t o f t h e t r a n s i t i o n a l a m -

p l i t u d e s o f t h e p a r e n t a n d d a u g h t e r s t a t e s .

T h e g r e a t s c i e n t i s t s d e s c r i b e d t h e e n e r g y o f a p h o t o n i n t e r m s o f i t s f r e -

q u e n c y . T h e e n e r g y o f c l a s s i c a l w a v e i s a f u n c t i o n o f i t s a m p l i t u d e , n o t i t s

f r e q u e n c y . T h i s d i s c r e p a n c y h a s b e e n a l o n g s t a n d i n g m y s t e r y . T h e p r i n c i p l e o f

q u a n t u m c o r r e s p o n d e n c e w a s i n v e n t e d i n a n a t t e m p t t o c i r c u m v e n t t h i s p r o b -

l e m . I t p r o p o s e s , w i t h s o m e s l i g h t o f h a n d , t h a t t h e f r e q u e n c y o f a q u a n t u m

s y s t e m a p p e a r s a s a m p l i t u d e i n a c l a s s i c a l s y s t e m . T h i s a u t h o r h a s r e j e c t e d

t h i s p r o p o s i t i o n a n d w i l l n o w s h o w t h a t t h e e n e r g y o f l i g h t i s a n e e c t o f t h e

l i g h t ' s d i s p l a c e m e n t . A n a l y s i s o f t h i s f o r m u l a t i o n r e v e a l s a n a n a l o g b e t w e e n t h e

i n t e n s i t y o f a q u a n t u m w a v e , a n d t h e a m p l i t u d e o f a c l a s s i c a l w a v e .

T h e c o n v e r g e n c e o f t h e m o t i o n c o n s t a n t s i s a n a e c t o f a n e q u a l i z a t i o n i n t h e

s t r e n g t h o f t h e m a g n e t i c c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c a l , g r a v i t a t i o n a l , a n d n u c l e a r

f o r c e s . T h e e q u a l i z a t i o n i n t h e s t r e n g t h o f t h e f o r c e s m a t c h e s t h e i m p e d a n c e

o f t h e i n t e r a c t i n g s t a t e s a n d a l l o w s t h e e l d s t o s l i p i n t o a n e w c o n g u r a t i o n .

E n e r g y o w s , t h e w a v e f u n c t i o n c o l l a p s e s , a n d t h e q u a n t u m t r a n s i t i o n p r o c e e d s .

3


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T h e F i n e S t r u c t u r e C o n s t a n t

T h e c o n s t a n t

Vt , l i k e P l a n c k ' s , h a s p r o d u c e d t h e a t o m i c e n e r g y l e v e l s a n d t h e i n t e n s i t y o f s p e c t r a l e m i s s i o n . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e m o t i o n c o n s t a n t s p r o v i d e s

a c l u e a s t o t h e o r i g i n o f

Vt . I t i s a c o n d i t i o n w h e r e t h e v e l o c i t y o f l i g h t w i t h i n t h e e l e c t r o n i c s t r u c t u r e o f t h e a t o m e q u a l s t h e v e l o c i t y o f m e c h a n i c a l w a v e s

w i t h i n t h e n u c l e a r s t r u c t u r e o f t h e a t o m .

T h e s p e e d

Vt i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e i n d u c t a n c e a n d c a p a c i t a n c e o f t h e s y s t e m .

Vt 1LC

( 1 2 )

T h i s a u t h o r h a s a l s o d e s c r i b e d t h e e n e r g y l e v e l s o f t h e a t o m s i n t e r m s o f a n

i m p e d a n c e m a t c h . E l e c t r i c a l i m p e d a n c e

i s a l s o a f u n c t i o n o f t h e c a p a c i t a n c e

a n d i n d u c t a n c e o f t h e s y s t e m .

=L/C ( 1 3 )

A c h a n g e i n t h e d i e l e c t r i c o f a m a t e r i a l e q u a l l y a e c t s t h e c h a r a c t e r i s t i c

i m p e d a n c e a n d t h e s p e e d o f l i g h t . T h e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s t e n d

t o v a r y a n d t h e m a g n e t i c p r o p e r t i e s r e m a i n m o s t l y c o n s t a n t . T h e p r i n c i p l e

q u a n t u m n u m b e r s a r e e e c t s o f a c h a n g e i n t h e e l e c t r i c a l c o n s t a n t . T h e p r i n c i p l e

s p e c t r a l l i n e s s p l i t i n t o s e v e r a l n e l i n e s u n d e r t h e i n u e n c e o f a m a g n e t i c e l d .

A r n o l d S o m m e r f e l d q u a l i e d t h e s e n e l i n e s t h r o u g h t h e i n t r o d u c t i o n o f a s e c o n d

q u a n t u m n u m b e r .

E q u a t i o n s ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) d i v e r g e u n d e r a c o n d i t i o n w e r e t h e m a g n e t i c p e r m e -

a b i l i t y o f t h e m a t e r i a l i s v a r i e d . S t a t e s o f m a t c h i n g i m p e d a n c e a r e n o l o n g e r a s -

s o c i a t e d w i t h s t a t e s o f m a t c h i n g s p e e d s . T h e n e s t r u c t u r e o f t h e a t o m e m e r g e s

u n d e r t h i s c o n d i t i o n . T h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e l e n g t h o f t h e l o n g e r n e l i n e

a n d t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e r n e l i n e d i v i d e d b y t h e l e n g t h o f t h e l o n g e r l i n e

y i e l d s t h e n e s t r u c t u r e c o n s t a n t .

T h e o r i g i n o f t h i s c o n s t a n t h a s l o n g b e e n a m y s t e r y . R i c h a r d F e y n m a n

s t a t e d , P h y s i c i s t s p u t t h i s n u m b e r u p o n t h e i r w a l l a n d w o r r y a b o u t i t . [ 1 6 ]

T h i s a u t h o r h a s c l a s s i c a l l y p r o d u c e d t h e n e s t r u c t u r e c o n s t a n t a s t h e r a t i o o f

t h e t r a n s i t i o n a l s p e e d t o t h e s p e e d o f l i g h t .

=2Vtc 1

137( 1 4 )

T h e f a c t o r o f

2a r i s e s f r o m t h e r e e c t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c w a v e w i t h i n

t h e n u c l e u s . T h e e l e c t r o n C o m p t o n w a v e r i d e s t h e r e e c t e d e l e c r o m a g n e t i c w a v e

t o a h i g h e r e n e r g y s t a t e , a n d t h e q u a n t u m t r a n s i t i o n p r o c e e d s .

E l e c t r o n s p i n c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t o t h i s m o d e l t o a c c o u n t f o r t h e n e

s t r u c t u r e s p l i t t i n g o b s e r v e d i n t h e g r o u n d s t a t e o f a t o m i c n u c l e i .

4


5/19

E i n s t e i n ' s P h o t o e l e c t r i c E e c t

T h e g e o m e t r y a p h o t o n e x p e r i e n c e s , d u r i n g a b s o r p t i o n o r e m i s s i o n , i s a p p r o x i -

m a t e l y t h a t o f a a t p l a t e c a p a c i t o r . T h e c a p a c i t a n c e C o f a a t p l a t e c a p a c i t o r o f a r e a

Aa n d s p a c i n g

Di s g i v e n b y

C=0A

D( 1 5 )

T h e a r e a A w a s s e t e q u a l t o t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e p h o t o n s q u a r e d 2 . T h e d i s p l a c e m e n t b e t w e e n t h e p e a k s i n t h e a m p l i t u d e s

De q u a l s o n e h a l f w a v e l e n g t h

.5. T h e c a p a c i t a n c e e x p e r i e n c e d b y a c y c l e o f l i g h t i s t h u s g i v e n b y C= 02

.5w h i c h r e d u c e s t o t h e c a p a c i t a n c e o f t h e c a p t u r e d p h o t o n .

C= 20t ( 1 6 )

S u b s t i t u t i n g f o r

t =Vtf y i e l d s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c a p a c i t a n c e a n d

t h e f r e q u e n c y o f t h e p h o t o n .

C=20Vtfn

( 1 7 )

T h e p o t e n t i a l e n e r g y

Eo f e l e c t r i c a l c h a r g e

qi s a f u n c t i o n o f c a p a c i t a n c e

C.

E=q2

2C( 1 8 )

T h e v o l t a g e p r o d u c e d b y a n e l e c t r i c a l c h a r g e i n c r e a s e s a s i t s c a p a c i t a n c e d e -

c r e a s e s . T h e e n e r g y o f a p h o t o n i s p r o p o r t i o n a t e t o t h e a m p l i t u d e o f i t s v o l t a g e .

T h e a c t i o n , o f t h i s v o l t a g e , r e p l a c e s t h e p r i n c i p l e o f q u a n t u m c o r r e s p o n d e n c e .

T h i s i s t h e s t a t e o f t h e l i g h t t h a t p r o d u c e s E i n s t e i n ' s p h o t o e l e c t r i c e e c t .

E= [q2

40Vt]f ( 1 9 )

T h e q u a n t i t y w i t h i n t h e b r a c k e t s i s e q u a l t o P l a n c k ' s c o n s t a n t .

E= hf ( 2 0 )

T h e a m p l i t u d e o f l i g h t i s t h u s e x p r e s s e d b y i t s c a p a c i t a n c e . T h e c a p a c i t a n c e

o f t h e i n i g h t p h o t o n i s i n d e t e r m i n a t e . I t s e n e r g y i s s t r i c t l y a f u n c t i o n o f i t s

m o m e n t u m a n d , a s s u c h , i t i s i n d e p e n d e n t o f t h e p h o t o n ' s d i s p l a c e m e n t . T h e

l a c k o f r e s t r i c t i o n a l l o w s t h e d i s p l a c e m e n t

t o v a r y . T h e g e o m e t r y , o f t h e

t r a v e l i n g p h o t o n , i s t h a t o f a b o u n d l e s s w a v e . T h i s v a r i a b i l i t y m a y p r o d u c e ,

a s E i n s t e i n c a l l e d i t , a s p o o k y i n t e r a c t i o n a t a d i s t a n c e . [ 7 ] T h e s t a t e o f t h e

i n i g h t p h o t o n i s , a s F e y n m a n c a l l e d i t , t h e s u m o f e v e r y p o s s i b l e h i s t o r y . [ 8 ]

T h i s i s t h e s t a t e o f t h e l i g h t t h a t s i m u l t a n e o u s l y p a s s e d t h r o u g h t h e t w o s l i t s

i n T h o m a s Y o u n g ' s e x p e r i m e n t .

5


6/19

D e B r o g l i e ' s M a t t e r W a v e

I n 1 9 2 4 P r i n c e L o u i s D e B r o g l i e p r o p o s e d t h a t m a t t e r h a s a w a v e l e n g t h a s s o c i -

a t e d w i t h i t . S c h r d i n g e r i n c o r p o r a t e d d e B r o g l i e ' s i d e a i n t o h i s h i s f a m o u s w a v e

e q u a t i o n . T h e D a v i s s i o n a n d G e r m e r e x p e r i m e n t d e m o n s t r a t e d t h e w a v e n a t u r e

o f t h e t h e e l e c t r o n . T h e e l e c t r o n w a s d e s c r i b e d a s b o t h a p a r t i c l e a n d a w a v e .

T h e c o n s t r u c t l e f t m a n y l i n g e r i n g q u e s t i o n s . H o w c a n t h e e l e c t r o n b e b o t h a

p a r t i c l e a n d a w a v e ? N i c k H e r b e r t w r i t e s i n h i s b o o k " Q u a n t u m R e a l i t y " P g .

4 6 ; [ 2 4 ]

T h e m a n n e r i n w h i c h a n e l e c t r o n a c q u i r e s a n d p o s s e s s e s i t s d y n a m i c

a t t r i b u t e s i s t h e s u b j e c t o f t h e q u a n t u m r e a l i t y q u e s t i o n . T h e f a c t o f

t h e m a t t e r i s t h a t n o b o d y r e a l l y t h e s e d a y s k n o w s h o w a n e l e c t r o n , o r

a n y o t h e r q u a n t u m e n t i t y , a c t u a l l y p o s s e s s e s i t s d y n a m i c a t t r i b u t e s . "

L o u i s d e B r o g l i e s u g g e s t e d t h a t t h e e l e c t r o n m a y b e a b e a t n o t e . [ 4 ] T h e f o r m a t i o n

o f s u c h a b e a t n o t e r e q u i r e s d i s t u r b a n c e s t o p r o p a g a t e a t l i g h t s p e e d . M a t t e r

p r o p a g a g e s a t v e l o c i t y v . D e B r o g l i e c o u l d n o t d e m o n s t r a t e h o w t h e b e a t n o t e f o r m e d . T h i s a u t h o r ' s m o d e l d e m o n s t r a t e s t h a t m a t t e r v i b r a t e s n a t u r a l l y a t

i t s C o m p t o n f r e q u e n c y . T h e l u m i n a l C o m p t o n w a v e i s p i n n e d i n p l a c e b y

r e s t r a i n i n g f o r c e s . T h e r e e c t e d w a v e d o p p l e r s h i f t s a s i t i s r e s t r a i n e d . T h e

d i s t u r b a n c e s c o m b i n e t o p r o d u c e t h e d y n a m i c D e B r o g l i e w a v e l e n g t h o f m a t t e r .

T h e g r a p h i c s h o w s t h e D e B r o g l i e w a v e a s t h e s u p e r p o s i t i o n o f t h e o r i g i n a l a n d

t h e D o p p l e r s h i f t e d w a v e s .

T h e h a r m o n i c v i b r a t i o n o f a q u a n t u m p a r t i c l e i s e x p r e s s e d b y i t s C o m p t o n

w a v e l e n g t h .

lc =h

mc

T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f r e q u e n c y

fa n d w a v e l e n g t h

l, i s e x p r e s s e d i n t e r m s

o f t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e w a v e , w h i c h i s

c.

c = fl

S u b s t i t u t i n g b a c k w e g e t t h e C o m p t o n F r e q u e n c y o f m a t t e r ,

fc =Mc2

h

6


7/19

A d o p p l e r s h i f t e d c o m p o n e n t o f t h e o r i g i n a l f r e q u e n c y i s p r o d u c e d b y t h e

r e s t r a i n t o n t h e w a v e f u n c t i o n . C l a s s i c a l d o p p l e r s h i f t i s g i v e n b y

f2 = f1(1 + / -vc )

A b e a t n o t e i s f o r m e d b y t h e m i x i n g o f t h e d o p p l e r s h i f t e d a n d o r i g i n a l

c o m p o n e n t s . T h i s b e a t n o t e i s t h e d e B r o g l i e w a v e o f m a t t e r .

A b e a t n o t e i s p r o d u c e d b y a d d i t i v e w a v e i n t e r f e r e n c e s u c h a s t h a t o f t w o

d i e r e n t w a v e s .

f(t) = sin(2pfc7 +p) + sin[2pfc(1 + / -vc t)]

f(t) = sin(2p(mc2

h )t +p) + sin[2pfc(mc2

h )(1 + / -vc t)]

R e f e r t o t h e g u r e a b o v e . A m i n i m u m i n t h e b e a t n o t e e n v e l o p e o c c u r s w h e n

t h e c o m p o n e n t w a v e s a r e o p p o s e d i n p h a s e . A t t i m e z e r o t h e a n g l e s d i e r b y

pr a d i a n s . T i m e z e r o i s a m i n i m u m i n t h e b e a t n o t e e n v e l o p e . A m a x i m u m

i n t h e b e a t e n v e l o p e o c c u r s w h e n t h e c o m p o n e n t w a v e s a r e a l i g n e d i n p h a s e .

T h e p h a s e s w e r e s e t e q u a l , t o d e t e r m i n e t h e t i m e a t w h i c h t h e a l i g n e d p h a s e

qc o n d i t i o n o c c u r s .

q1 = q22p(mc

2

h )t +p = 2p(mc2

h )t(1 + / -vc t)

ct = +

( h2mv

)

ld =hmv

T h e r e s u l t i s t h e d e B r o g l i e w a v e l e n g t h o f m a t t e r . R e e c t i o n s c o n t a i n a l u m i -

n a l c o m p t o n w a v e . T h e s u p e r p o s i t i o n o f t h e s e r e e c t i o n s i s t h e d e B r o g l i e w a v e

o f m a t t e r w h i c h r e l a t e s t h e w a v e l e n g t h

a n d f r e q u e n c y

ft o t h e m o m e n t u m

pa n d e n e r g y

E, i n t e r m s o f P l a n c k ' s c o n s t a n t

h = hp a n d f=

Eh

T h e s e c a n a l s o b e w r i t t e n i n t e r m s o f a n g u l a r c o m p o n e n t s

p = k a n d E= W h e r e h - b a r i s D i r a c ' s c o n s t a n t = h2 a n d k i s t h e a n g u l a r w a v e n u m b e r . T h i s a n g u l a r r e p r e s e n t a t i o n a l l o w s u s t o b e t t e r v i s u a l i z e t h e P o t e n t i a l a n d

K i n e t i c E n e r g y s o l u t i o n s w e g e t f o r o u r S c h r o d i n g e r d i e r e n t i a l w a v e e q u a t i o n s

a s w i l l b e s h o w n l a t e r . T h e E u l e r e q u a t i o n a l l o w s u s t o b e t t e r v i s u a l i z e t h e

t i m e a n d s p a c e c o m p o n e n t s o f w a v e s , i n a d d i t i o n t o p r o v i d i n g u s w i t h S p e c i a l

R e l a t i v i t y , w h i c h f a l l s o u t a s a r e s u l t o f t h i s r e f o r m u l a t i o n a n d d o e s n ' t n e e d t o

b e i n j e c t e d a d h o c i n t o t h e t h e o r y .

ei = cos + i sin o r

ei = cos i sin W h e r e = (kxt) i s t h e c l a s s i c a l w a v e e q u a t i o n f o r p l a n e t r a v e l l i n g w a v e s ,

w h i c h i s a g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e d i e r e n t i a l w a v e e q u a t i o n

d2

dx2 =1v2

2

t2

R e c o n c i l i n g S p e c i a l R e l a t i v i t y a n d Q u a n t u m M e -

c h a n i c s

M a s s E n e r g y (Em) i s a s t a n d i n g w a v e Em = Mc2 . A s t a n d i n g w a v e i s r e p r e - s e n t e d o n t h e

ia x i s o f a c o m p l e x p l a n e

7


8/19

T h e p h a s e o f a s t a n d i n g w a v e i s 9 0 d e g r e e s . A l l s t a n d i n g w a v e s a r e l o c a l i z e d

b y r e s t r a i n i n g f o r c e s .

A t r a v e l i n g w a v e h a s i t s k i n e t i c a n d p o t e n t i a l c o m p o n e n t s a l i g n e d i n p h a s e .

A n o c e a n w a v e i s a g o o d e x a m p l e o f t h i s t y p e o f h a r m o n i c m o t i o n . T h e w a v e ' s

h e i g h t ( p o t e n t i a l e n e r g y ) p r o g r e s s e s w i t h t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e w a v e .

T h e e n e r g y

Ec o n t a i n e d b y a w a v e c a r r y i n g m o m e n t u m

Pi s e x p r e s s e d a s

E= Pc

T h e t r a v e l i n g w a v e e x p r e s s e s i t s e l f t h r o u g h i t s r e l a t i v i s t i c m o m e n t u m P ,w h e r e

P =Mv1 v2c2

S u b s t i t u t i n g y e i l d s t h e a m o u n t o f e n e r g y t h a t i s i n m o t i o n

EqE n e r g y o w s a r e r e p r e s e n t e d o n t h e X a x i s o f a c o m p l e x p l a n e .

W e w i l l t h e n s h o w h o w t

Eq = Mvc1 v2c2

T h e v e c t o r s u m o f t h e s t a n d i n g w a v e

(Em) a n d t r a v e l i n g w a v e (Eq) c o m p o - n e n t s e q u a l s t h e r e l a t i v i s t i c e n e r g y

(Er) o f m o v i n g m a t t e r .

[Er]2 = [Em]

2 + [Eq]2

[Er]2 = [Mc2]2 + [

Mvc

1v2

c2

]2

Er =Mc21 v2c2

T h e r a t i o o f s t a n d i n g e n e r g y t o t h e r e l a t i v i s t i c e n e r g y

EmEr

r e d u c e s t o

1 v2c2

T h i s f u n c t i o n e x p r e s s e s t h e p r o p e r t i e s o f s p e c i a l r e l a t i v i t y .

8


9/19

= arcsin(

1 v

2

c2)

T h e p h a s e

e x p r e s s e s t h e a n g u l a r s e p a r a t i o n o f t h e p o t e n t i a l a n d k i n e t i c

e n e r g y o f m a t t e r . T h e p h y s i c a l l e n g t h o f a s t a n d i n g w a v e i s d e t e r m i n e d b y

t h e s p a t i a l d i s p l a c e m e n t o f i t s p o t e n t i a l a n d k i n e t i c e n e r g y . T h i s d i s p l a c e m e n t

v a r i e s d i r e c t l y w i t h t h e p h a s e .T h e p h a s e

v a r i e s i n v e r s e l y w i t h t h e g r o u p v e l o c i t y o f t h e w a v e . T h i s e e c t

p r o d u c e s t h e l e n g t h a n d c o n t r a c t i o n a s s o c i a t e d w i t h s p e c i a l r e l a t i v i t y a s s h o w n

b y Z e i g l e r w h o r s t s u s p e c t e d t h a t m a t t e r m o v e d w i t h p h a s e v e l o c i t y cT i m e i s r e p r e s e n t e d o n t h e

zo u t o f t h e p l a n e a x i s o n a c o m p l e x d i a g r a m .

T h e r o t a t i o n o f a v e c t o r a r o u n d t h e X a x i s i n t o t h e Z a x i s r e p r e s e n t s t h e c h a n g e

i n p o t e n t i a l e n e r g y w i t h r e s p e c t t o t i m e . T h e r o t a t i o n o f a v e c t o r a r o u n d t h e

Y a x i s i n t o t h e Z a x i s r e p r e s e n t s a c h a n g e i n p o t e n t i a l e n e r g y w i t h r e s p e c t t o

p o s i t i o n . R e l a t i v i s t i c e n e r g y i s r e e c t e d o n b o t h a x e s . T h e l o s s i n t i m e b y t h e

r e l a t i v i s t i c c o m p o n e n t

Er i s c o m p e n s a t e d f o r b y g a i n i n p o s i t i o n . T h e p h a s e o f a w a v e e x p r e s s e s t h e d i s p l a c e m e n t o f i t s p o t e n t i a l a n d t h e

k i n e t i c e n e r g y . W h e n p l a c e o n a c o m p l e x d i a g r a m t h e p h a s e d i r e c t l y d e t e r m i n e s

t h e r e l a t i v i s t i c m o m e n t u m , m a s s , t i m e , a n d l e n g t h . T h e s e e e c t s r e c o n c i l e

s p e c i a l r e l a t i v i t y a n d q u a n t u m p h y s i c s .

K i n e t i c a n d P o t e n t i a l E n e r g y w e r e r e p r e s e n t e d a s v e c o t r s o n a t w o d i m e n -

s i o n a l c o m p l e x p l a n e . T h e r o t a t i o n o f t h i s c o m p l e x p l a n e t h r o u g h a t h i r d d i -

m e n s i o n a d d e d t h e e l e m e n t o f t i m e t o t h e c o n s t r u c t . T h e i n c l u s i o n o f a d d i t i o n a l

d i m e n s i o n s s h o u l d e n a b l e t h i s m o d e l t o e x t e n d i n t o t h e r e a l m s o f h i g h e n e r g y

p h y s i c s .

S c h r o d i n g e r E q u a t i o n

W h i l e S c h r o d i n g e r w a s t o u t i n g t h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s o f t h e d e B r o g l i e

w a v e , P e t e D e b y e f a m o u s l y a s k e d w h e r e ' s t h e w a v e e q u a t i o n ? [ 2 5 ]

W e w i l l n o w g o t h r o u g h a s h o r t d e r i v a t i o n o f S c h r o d i n g e r ' s W a v e E q u a t i o n .

T h e C l a s s i c a l W a v e E q u a t i o n i s g i v e n b y :

2 = 1v2

d2

dt2

T h e w a v e e q u a t i o n f o r l i g h t c a n b e d e r i v e d f r o m M a x w e l l ' s E q u a t i o n s a s

f o l l o w s .

M a x w e l l s E q u a t i o n s a r e :

E= 2Bt2 , E= 0 , B = 0J+ 002Et2 , B = 0

I n a v a c u u m t h e r e i s n o c h a r g e s o = 0 a n d J = 0, s o E = 0 , a n d 0J= 0 m a k i n g B = 00

2Et2

L e a v i n g u s w i t h j u s t t w o e q u a t i o n s f o r e l e c t r o m a g e n t i c w a v e s i n s i d e t h e

v a c u u m

9


10/19

E= 2Bt2 a n d B = 00 2Et2

F r o m t h e s e e q u a t i o n s w e c a n s e e h o w t h e e l e c t r i c a n d m a g e n t i c e l d f e e d

b a c k i n t o o n e a n o t h e r i n t h e f o r m o f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n . W e c a n n d t h e

w a v e e q u a t i o n b y t a k i n g t h e c u r l o f a c u r l i n g e l e c t r i c e l d .

( E) = BU s i n g t h e B A C - C A B R u l e

A (B C) = B(A C) C(A B) ( E) = ( E)E( ) = (0) E(2) = 2ES i n c e t h e d i v e r g e n c e o f t h e e l e c t r i c e l d i s z e r o

E= 0i n t h e a b s e n s e o f

e l e c t r i c c h a r g e , w e a r e l e f t w i t h t h e L a p l a c i a n

2 = ( d2dx2 + d2

dy2 +d2

dz2 ) W h i c h m e a n s t h a t

2E= B

o r

d2

dx2E= 00

2

t2E

D i v i d i n g b o t h s i d e s b y E l e a v e s u s w i t h t h e w a v e e q u a t i o n f o r l i g h t . Y o u c a n g e t t h e s a m e f o r m u l a t i o n b y t a k i n g t h e c u r l o f a c u r l i n g m a g n e t i c e l d

(B) = Eu s i n g s i m i l a r s u b s t i t u t i o n s f o r M a x w e l l ' s e q u a t i o n s i n t h e

v a c u u m t o d e r i v e t h e w a v e e q u a t i o n f o r l i g h t .

d2

dx2= 00

2

t2

T h e c o n s t a n t

00 g i v e s u s t h e i n v e r s e s q u a r e o f t h e v e l o c i t y o f t h e w a v e , 00 =

1v2 o r c =

100

w h i c h i s a l s o t h e s p e e d o f l i g h t .

T h e w a v e e q u a t i o n d e s c r i b e s t h e c l a s s i c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v e l o c i t y , t i m e ,

a n d p o s i t i o n . T h e v e l o c i t y o f t h e w a v e p a c k e t i s v.

2(x, t) = 1v2

d2(x, t)

dt2

T h e e x p o n e n t i a l f o r m o f t h e s i n e f u n c t i o n eit i s i n t r o d u c e d a s a s o l u t i o n t o t h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n . T h e

ii n t h e e x p o n e n t s t a t e s t h a t t h e w a v e c o n t a i n s

r e a l a n d i m a g i n a r y c o m p o n e n t s . T h e p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e w a v e i s r e p r e s e n t e d

b y t h e r e a l c o m p o n e n t s a n d t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e w a v e i s r e p r e s e n t e d b y t h e

i m a g i n a r y c o m p o n e n t . I n a s t a n d i n g w a v e t h e s e c o m p o n e n t s a r e 9 0 d e g r e e s o u t

o f p h a s e . S t a n d i n g w a v e s a r e p r o d u c e d b y r e e c t i o n s .

T h e t i m e - i n d e p e n d e n t S c h r o d i n g e r e q u a t i o n .

(x, t) = (x)eit

T h e r e f o r :

2(x)eit = 1v2

d2(x)eit

dt2

A s o l u t i o n i s o b t a i n e d b y i n t e g r a t i n g b o t h s i d e s t w i c e w i t h r e s p e c t t o t i m e .

1 0


11/19

2

(x)eitdt = 1v2

d2(x)eit

dt2dt2

S t e p b y s t e p :

2(x, t)i

dt =

1

v2d(x)eit

dt

2(x, t)2 =

1

v2(x)ejt

A f t e r t h e d o u b l e i n t e g r a t i o n , t h e e q u a t i o n i s r e d u c e d

2(x) = 2

v2(x)

R e p l a c i n g a n g u l a r v e l o c i t y w i t h f r e q u e n c y f

2(x) = (42

l2)(x)

T h e S c h r o d i n g e r e q u a t i o n d e s c r i b e s t h e d e B r o g l i e w a v e o f m a t t e r . T h e d e -

B r o g l i e w a v e a n d P l a n c k ' s c o n s t a n t w e r e i n t r o d u c e d a d - h o c . W h e n S c h r o d i n g e r

T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e D e B r o g l i e w a v e w a s q u e s t i o n e d b y E i n s t e i n a n d L a n g e v i n .

T h e i n t r o d u c t i o n b e c a m e a c c e p t e d b e c a u s e i t m a t c h e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l

f a c t s .

" S c h r o d i n g e r a l s o h a d t o e x p l a i n h o w w a v e p a c k e t s c o u l d h o l d t o -

g e t h e r , e l a b o r a t e t h e m e a n i n g o f t h e w a v e f u n c t i o n , a n d d e m o n s t r a t e

h o w t h e d i s c o n t i n u i t i e s o f q u a n t u m p h e n o m e n a a r i s e f r o m a c o n t i n -

u o u s w a v e p r o c e s s e s . " T h e G r e a t E q u a t i o n s , R o b e r t P . C r e e s e , P g .

2 4 8 [ 2 2 ]

l2 =h

mv

2(x) = (42M2v2

h2)(x)

2(x) = (42M(Mv2)

h2)(x)

T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n k i n e t i c , t o t a l , a n d p o t e n t i a l e n e r g y i s e x p r e s s e d a s :

(Mv2) = 2(Total Potential)

1 1


12/19

S u b s t i t u t i n g

2(x) = (42M2(E U)h2

)(x)

S i m p l i f y i n g

h22(x)422M = (E U)(x)


= h2

22(x)2M

= (E U)(x)

T h e r e s u l t b e l o w i s t h e t i m e i n d e p e n d e n t S c h r o d i n g e r e q u a t i o n . T h e S c h r o d i n g e r

e q u a t i o n s t a t e s t h a t t h e t o t a l e n e r g y o f t h e s y s t e m e q u a l s t h e s u m o f i t s k i n e t i c

a n d p o t e n t i a l e n e r g y . E n e r g y i s a s c a l a r q u a n t i t y . S c a l a r q u a n t i t i e s d o n o t h a v e

d i r e c t i o n . T h i s t y p e o f e q u a t i o n i s k n o w n a s a H a m i l t o n i a n . T h e H a m i l t o n i a n

i g n o r e s r e s t r a i n i n g f o r c e s . T h e u n r e s t r a i n e d m a t t e r w a v e p r o p a g a t e s a t v e l o c -

i t y v . I t i s a n e r r o r t o a s s u m e t h a t a n u n r e s t r a i n e d w a v e p r o p a g a t e s w i t h o u t

d i s p e r s i o n .

[22

2M+ U](x) = E(x)

o r

H = E

A N e w A p p r o a c h

F r a n k Z n i d a r s i c d i s c o v e r e d t h e v e l o c i t y o f s o u n d w i t h i n t h e n u c l e u s Vt f r o m h i s o b s e r v a t i o n s o f c o l d f u s i o n a n d a n t i g r a v i t y e x p e r i m e n t s . T h e e l e c t r o n ' s

C o m p t o n f r e q u e n c y w a s c l a s s i c a l l y e x t r a c t e d f r o m t h i s v e l o c i t y .

Fc =Vt

2rp

T h e f r e q u e n c y i s k n o w n a s t h e C o m p t o n f r e q u e n c y o f t h e e l e c t r o n .

P l a n c k ' s q u a n t u m c o n s t a n t e m e r g e s a s a n a e c t o f t h i s c l a s s i c a l p h e n o m e n a .

T h e C o m p t o n a n g u l a r v e l o c i t y i s

c =Mc2

s q u a r i n g a n d f a c t o r i n g

2c =M(Mc4)

2

1 2


13/19

T h e s i m p l e h a r m o n i c m o t i o n i s o f a r e s t r a i n e d w a v e i s g i v e n b y

d2(x)

dt2= 2(x)

T h e C o m p t o n a n g u l a r v e l o c i t y s q u a r e d w a s s u b s t i t u t e d f o r

2b e l o w

d2(x)

dt2= [M(Mc

4)

2](x)

D i v i d i n g b y c2

d2(x)

dt21

c2= [M(Mc

2)

2](x)

H . Z e i g l e r p o i n t e d o u t i n a 1 9 0 9 d i s c u s s i o n w i t h E i n s t e i n , P l a n c k , a n d S t a r k

t h a t r e l a t i v i t y w o u l d b e a n a t u r a l r e s u l t i f a l l o f t h e m o s t b a s i c c o m p o n e n t s o f

m a s s m o v e d a t t h e c o n s t a n t s p e e d o f l i g h t . [ 2 3 ] F r a n k Z n i d a r s i c ' s w o r k i s b a s e d

o n t h e i d e a t h a t l o c a l e l d s a r e r e s t r a i n e d a t e l a s t i c d i s c o n t i n u i t i e s . D i s t u r -

b a n c e s w i t h i n t h e r e s t r a i n e d e l d s p r o p a g a t e a t l i g h t s p e e d . S u b s t i t u t i n g

2f o r

a c c e l e r a t i o n d i v i d e d b y l i g h t s p e e d s q u a r e d

ac2 =

d2xdt2

1c2 . T h i s s t e p e m b o d i e s

t h e i d e a t h a t d i s t u r b a n c e s i n t h e m a t t e r w a v e p r o p a g a t e a t l u m i n a r y v e l o c i t i e s .

T h i s p r o v i d e s f o r a u n i c a t i o n o f S p e c i a l R e l a t i v i t y a n d q u a n t u m p h y s i c s .

2(x) = [M(Mc2)

2](x)

M a s s e n e r g y i s e x p r e s s e d a s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e t o t a l e n e r g y a n d t h e

p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e m a t t e r w a v e .

Mc2 = 2(E U)


2(x) = [ 2M(E U)2

](x)

T h e r e s u l t b e l o w i s t h e t i m e i n d e p e n d e n t S c h r o d i n g e r e q u a t i o n

[22

2M+ U](x) = E(x)

T h e t i m e i n d e p e n d e n t S c h r o d i n g e r e q u a t i o n h a s b e e n d e r i v e d f r o m a s i m p l e

t e c h n i q u e . D i s t u r b a n c e s w i t h i n t h e m a t t e r w a v e p r o p a g a t e a t l u m i n a r y v e l o c i -

t i e s . R e s t r a i n i n g f o r c e s p r e v e n t d i s p e r s i o n . T h e d e B r o g l i e w a v e a r o s e n a t u r a l l y

f r o m t h e r e s t r a i n t o f t h e C o m p t o n w a v e .

1 3


14/19

I n e r t i a l M a s s

A n a n a l y s i s w a s d o n e t h a t d e s c r i b e d i n e r t i a l m a s s i n t e r m s o f a r e s t r a i n i n g f o r c e .

T h i s f o r c e r e s t r a i n s d i s t u r b a n c e s t h a t p r o p a g a t e a t t h e s p e e d o f l i g h t .

C o n s i d e r e n e r g y t r a p p e d i n a p e r f e c t l y r e e c t i n g c o n t a i n m e n t :

T h i s e n e r g y i n a c o n t a i n m e n t m o d e l i s a s i m p l i s t i c r e p r e s e n t a t i o n o f m a t t e r .

I n t h i s a n a l y s i s n o d i s t i n c t i o n w i l l b e m a d e b e t w e e n b a r y o n i c , l e p t o n i c , a n d

e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s .

T h e w a v e l e n g t h o f t h e e n e r g y r e p r e s e n t s t h e C o m p t o n w a v e l e n g t h o f m a t t e r .

T h e c o n t a i n m e n t r e p r e s e n t s t h e s u r f a c e o f m a t t e r . T h e e l d p r o p a g a t e s a t l i g h t

s p e e d . I t s m o m e n t u m i s e q u a l t o

E/c. T h e c o n t a i n m e n t i s a t r e s t . T h e

e n e r g y i s e j e c t e d f r o m w a l l A o f t h e c o n t a i n m e n t , i t ' s m o m e n t u m i s p1 . T h e e n e r g y n o w t r a v e l s t o w a l l

B , I t h i t s w a l l

Ba n d i m m e d i a t e l y b o u n c e s o .

I t s m o m e n t u m i s

p2 . T h e e n e r g y n o w t r a v e l s b a c k t o w a l l A, i m m e d i a t e l y b o u n c e s o , i t s m o m e n t u m i s a g a i n p1 . T h i s p r o c e s s r e p e a t s c o n t i n u o u s l y . I f t h e e n e r g y i n t h e c o n t a i n m e n t i s e v e n l y d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t t h e c o n t a i n m e n t , t h e

m o m e n t u m c a r r i e d b y t h i s e n e r g y w i l l b e d i s t r i b u t e d e v e n l y b e t w e e n t h e f o r w a r d

a n d b a c k w a r d t r a v e l i n g c o m p o n e n t s . T h e t o t a l m o m e n t u m o f t h i s s y s t e m i s

g i v e n b y

pt = (p1

2 p2

2)

T h e m o m e n t u m o f a o w o f e n e r g y i s g i v e n b y

p =E

c

o r

pt =E12c E2

2c

G i v e n t h e c o n t a i n m e n t i s a t r e s t . T h e a m o u n t o f e n e r g y i n t h e c o n t a i n m e n t

r e m a i n s x e d , t h e q u a n t i t y o f e n e r g y t r a v e l i n g i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n e q u a l s

t h e q u a n t i t y o f e n e r g y t r a v e l i n g i n t h e r e v e r s e d i r e c t i o n .

E1 = E2

W h i c h m e a n s

pt =E

2c

1 4


15/19

a n d g i v e s u s t h e t o t a l m o m e n t u m o f t h e s y s t e m a t r e s t . I f a n e x t e r n a l

f o r c e i s a p p l i e d t o t h e s y s t e m i t s v e l o c i t y w i l l c h a n g e . T h e f o r w a r d a n d r e v e r s e

c o m p o n e n t s o f t h e e n e r g y w i l l t h e n D o p p l e r s h i f t a f t e r b o u n c i n g o o f t h e m o v i n g

c o n t a i n m e n t w a l l s . T h e m o m e n t u m o f a n e n e r g y o w v a r i e s d i r e c t l y w i t h i t s

f r e q u e n c y . G i v e n t h a t t h e n u m b e r o f q u a n t u m ' s o f e n e r g y i s c o n s e r v e d , t h e

e n e r g y o f t h e r e e c t e d q u a n t u m ' s v a r i e s d i r e c t l y w i t h t h e i r f r e q u e n c y .

E2 = E(1)fffi

S u b s t i t u t i n g t h i s b a c k i n t o t h e p r e v i o u s e q u a t i o n g i v e s u s

Pt = (E

2c)[ff1fi1

ff2fi2

]

T h i s g i v e u s t h e m o m e n t u m o f t h e s y s t e m a f t e r a l l o f i t s e n e r g y b o u n c e s

o o f t h e c o n t a i n m e n t w a l l s . T h i s i s t h e m o m e n t u m o f a m o v i n g s y s t e m . T h e

r e a d e r m a y d e s i r e t o a n a l y z e t h e s y s t e m a f t e r s u c c e s s i v e b o u n c e s o f i t s e n e r g y .

T h i s a n a l y s i s i s q u i t e i n v o l v e d a n d u n n e c e s s a r y . M o m e n t u m i s a l w a y s c o n s e r v e d .

G i v e n t h a t n o e x t e r n a l f o r c e i s a p p l i e d t o t h e s y s t e m a f t e r t h e r s t b o u n c e o f

i t s e n e r g y , i t s m o m e n t u m w i l l r e m a i n c o n s t a n t .

R e l a t i v i s t i c D o p p l e r s h i f t i s g i v e n b y

fffi

=

1 v2

c2

1 + vc

S u b s t i t u t i n g t h i s b a c k i n t o o u r e q u a t i o n g i v e s u s

Pt =E

2c

1 v2c2

1 +v

c 1 v2c2

1 +v

c

=E

2c

(1 + vc )

(1 + vc )

(1 v2c2 )(1 + vc )

(1vc )

(1 vc )(1 v2c2 )(1 + vc )

=E

2c

1 v2c2 (1 + vc 1 vc )1 v2c2

= Ev

c2

1 v2c2S u b s t i t u t i n g M a s s f o r E n e r g y M= Ec2

Pt =Mv

1

v2

c2

T h e r e s u l t i s t h e r e l a t i v i s t i c m o m e n t u m o f m o v i n g m a t t e r . T h i s r s t a n a l y s i s

g r a p h i c a l l y d e m o n s t r a t e s t h e i n e r t i a l m a s s i s p r o d u c e d b y a c o n t a i n m e n t f o r c e

a t t h e s u r f a c e o f m a t t e r . A f u n d a m e n t a l c h a n g e i n t h e f r a m e o f r e f e r e n c e i s

p r o d u c e d b y t h e f o r c e o f c o n t a i n m e n t . T h i s c o n t a i n m e n t f o r c e c o n v e r t s e n e r g y ,

w h i c h c a n o n l y t r a v e l a t l i g h t s p e e d , i n t o m a s s , w h i c h c a n t r a v e l a t a n y s p e e d

l e s s t h a n l i g h t s p e e d .

1 5


16/19

G r a v i t a t i o n a l M a s s

( A v e r s i o n o f t h i s s e c t i o n w a s p u b l i s h e d i n " I n n i t e E n e r g y " V o l 4 , # 2 2 1 9 9 8 )

T h e m a t t e r w a v e f u n c t i o n i s c o m p o s e d o f v a r i o u s e l d s . P h o t o n s w e r e e m -

p l o y e d t o r e p r e s e n t t h e s e v a r i o u s e l d s . P h o t o n s e x h i b i t t h e u n d e r l y i n g r e l a -

t i o n s h i p b e t w e e n m o m e n t u m a n d e n e r g y o f a e l d ( s t a t i c o r d y n a m i c ) i n w h i c h

d i s t u r b a n c e s p r o p a g a t e a t t h e s p e e d o f l i g h t . C o n s i d e r p h o t o n s t r a p p e d i n a

m a s s - l e s s p e r f e c t l y r e e c t i n g b o x . T h e p h o t o n i n a b o x i s a s i m p l i s t i c r e p r e -

s e n t a t i o n o f m a t t e r . L i g h t h a s t w o t r a n s v e r s e m o d e s o f v i b r a t i o n a n d c a r r i e s

m o m e n t u m i n t h e d i r e c t i o n o f i t s t r a v e l . A l l t h r e e m o d e s n e e d t o b e e m p l o y e d

i n a t h r e e d i m e n s i o n a l m o d e l . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y t h i s a n a l y s i s c o n s i d e r s

o n l y a s i n g l e d i m e n s i o n . T h e p h o t o n s i n t h i s m o d e l r e p r e s e n t s t h e m a t t e r w a v e

f u n c t i o n a n d t h e b o x r e p r e s e n t s t h e p o t e n t i a l w e l l o f m a t t e r . A s t h e p h o t o n s

b o u n c e o o f t h e w a l l s o f t h e b o x m o m e n t u m " p" i s t r a n s f e r r e d t o t h e w a l l s o f t h e b o x . E a c h t i m e a p h o t o n s t r i k e s a w a l l o f t h e b o x i t p r o d u c e s a f o r c e .

T h i s f o r c e g e n e r a t e s t h e g r a v i t a t i o n a l m a s s a s s o c i a t e d w i t h t h e p h o t o n i n t h e

b o x . T h e g e n e r a l f o r m u l a o f g r a v i t a t i o n a l i n d u c t i o n , a s p r e s e n t e d i n t h e G e n e r a l

T h e o r y o f R e l a t i v i t y i s g i v e n b y

Eg = (G

c2r)(dp

dt)

T h i s i s t h e g r a v i t a t i o n a l e l d p r o d u c e d b y a f o r c e , w h e r e

Eg = t h e g r a v i t a t i o n a l e l d i n n e w t o n s / k g G

= t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t

r= t h e g r a v i t a t i o n a l r a d i u s

dpdt = f o r c e

E a c h t i m e t h e p h o t o n s t r i k e s t h e w a l l o f t h e b o x i t p r o d u c e s a g r a v i t a t i o n

e l d . T h e g r a v i t a t i o n a l e l d p r o d u c e d b y a n i m p a c t v a r i e s w i t h t h e r e c i p r o c a l o f

d i s t a n c e

1r . T h e g r a v i t a t i o n a l e l d p r o d u c e d b y m a t t e r v a r i e s a s t h e r e c i p r o c a l o f

d i s t a n c e s q u a r e d

1r2 . T h i s a u t h o r h a s a s c e r t a i n e d h o w t h e

1r2 g r a v i t a t i o n a l e l d

o f i s p r o d u c e d b y a f o r c e . T h e s u p e r p o s i t i o n o f a p o s i t i v e e l d t h a t v a r i e s w i t h

a n

1r r a t e o v e r a n e g a t i v e e l d t h a t v a r i e s w i t h a n

1r r a t e , p r o d u c e a c o m b i n e d

1r2 g r a v i t a t i o n a l e l d o f m a t t e r . A n e x a c t

( Gc2

)(dpdt

)m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f t h e

g r a v i t a t i o n a l e l d p r o d u c e d b y t h e p h o t o n i n t h e b o x w i l l n o w b e u n d e r t a k e n .

L= T h e d i m e n s i o n s o f t h e b o x

p= m o m e n t u m

1 6


17/19

t= t h e t i m e r e q u i r e d f o r t h e p h o t o n t o t r a v e r s e t h e b o x = 2 Lc

r= t h e d i s t a n c e t o p o i n t X

T h e f a r g r a v i t a t i o n a l e l d a t p o i n t X i s t h e v e c t o r s u m o f t h e e l d s p r o d u c e d

b y t h e i m p a c t s o n w a l l s A a n d B .T h i s e l d i s g i v e n b y b e l o w .

Eg a t x = (1r e l d f r o m w a l l A) - (

1r e l d f r o m w a l l B )

S h o w i n g t h e s u p e r - p o s i t i o n o f t w o e l d s .

Eg a t x = (G

[c2(r+L)])(dpdt ) ( G[c2r])( dpdt )

S i m p l i f y i n g .

Eg a t x = ( Gc2 )(dpdt )[ L(r2+rL) ]T a k i n g t h e l i m i t t o o b t a i n t h e f a r e l d .

Eg a t x = limrL( Gc2 )(dpdt )[ L(r2+rL) ]T h e r e s u l t , i s t h e f a r g r a v i t a t i o n a l e l d o f m a t t e r . F a r , i n t h i s e x a m p l e ,

m e a n s g r e a t e r t h a n t h e w a v e l e n g t h o f a n e l e m e n t a r y p a r t i c l e . I n t h e c a s e o f a

s u p e r c o n d u c t o r f a r m e a n s l o n g e r t h a n t h e l e n g t h o f t h e s u p e r c o n d u c t o r .

Eg a t x = ( Gc2 )(dpdt ) Lr2T h i s m o m e n t u m o f a n e n e r g y e l d t h a t p r o p a g a t e s a t l i g h t s p e e d i s g i v e n

b y

p = EcE= t h e e n e r g y o f t h e p h o t o n c

= l i g h t s p e e d

p= m o m e n t u m ( r a d i a t i o n p r e s s u r e )

T h e a m o u n t o f f o r c e (dpdt ) t h a t i s i m p a r t e d t o t h e w a l l s o f t h e b o x d e p e n d s o n t h e r o u n d t r i p t r a v e l t i m e o f t h e p h o t o n . T h e f o r c e o n t h e w a l l s o f t h e b o x

i s t h u s

dpdt = (

2E/c2L/c ) =

EL

N o t e : T h i s f o r c e i s 2 9 . 0 5 N e w t o n s a t t h e c l a s s i c a l r a d i u s o f t h e e l e c t r o n .

S u b s t i t u t i n g b a c k w e g e t t h e f a r g r a v i t a t i o n a l e l d p r o d u c e d b y e n e r g y

b o u n c i n g i n a b o x

Eg a t x = ( Gc2 )(EL )( Lr2 )F r o m w h i c h w e c a n s u b s t i t u t e f o r E i n s t e i n ' s r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a t t e r a n d

e n e r g y

M= Ec2S u b s t i t u t i n g m a s s f o r e n e r g y y i e l d s N e w t o n ' s f o r m u l a f o r g r a v i t y .

Eg a t x = GMr2F o r c e s a r e p r o d u c e d a s e n e r g y i s r e s t r a i n e d . T h e s e f o r c e s i n d u c e t h e g r a v i -

t a t i o n a l e l d o f m a t t e r .

C o n c l u s i o n :

T h e m o t i o n c o n s t a n t s o f a n e l e c t r o n o r b i t i n g a n u c l e u s r e s e m b l e s t h a t o f e l e c -

t r o m a g n e t i c s i n a s u p e r c o n d u c t o r , t h e d y n a m i c e l d s a r e e x p e l l e d w h i l e t h e

s t a t i c e l d s a r e c o n n e d . D u r i n g t h e q u a n t u m t r a n s i t i o n b e t w e e n e l e c t r o n o r -

b i t s , t h e r e i s a c o u p l i n g b e t w e e n t h e p h o t o n a n d t h e e l e c t r o n w h i c h o r b i t s t h e

n u c l e u s . D u r i n g t h i s p e r i o d o f q u a n t u m t r a n s i t i o n t h e v e l o c i t y o f l i g h t c h a n g e s ,

m u c h a s i t d o e s w h e n e n t e r i n g o r e x i t i n g a n y B o s e C o n d e n s a t e . D u r i n g t h i s

t r a n s i t i o n t h e s p e e d o f l i g h t c o u p l e s w i t h t h e s p e e d o f m e c h a n i c a l w a v e s i n -

s i d e t h e e l e c t r o n . T h i s a l l o w s a m e c h a n i s m f o r e n e r g y t r a n s f e r a s p h o t o n s a r e

1 7


18/19

a b s o r b e d a n d e m i t t e d . T h e c o n s t a n t s o f m o t i o n d u r i n g t h e t r a n s i t i o n a l q u a n -

t u m s t a t e t e n d t o w a r d t h o s e o f e l e c t r o m a g n e t i c s i n a B o s e C o n d e n s a t e b e i n g

s o n i c a l l y s t i m u l a t e d a t a d i m e n s i o n a l f r e q u e n c y o f 1 . 0 9 4 m e g a h e r t z - m e t e r s .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] P l a n c k , M . 1 9 0 1 . O n t h e L a w o f t h e D i s t r i b u t i o n o f E n e r g y i n t h e N o r m a l

S p e c t r u m , A n n a l o n d e r P h y s i k , 4 , 5 5 3 .

[ 2 ] E i n s t e i n , A . 1 9 0 9 . D e v e l o p m e n t o f O u r C o n c e p t i o n o f t h e N a t u r e a n d

C o n s t i t u t i o n o f R a d i a t i o n , P h y s i k a l i s c h e Z e i t s c h r i f t , 2 2 .

[ 3 ] E i n s t e i n , B . P o d o l s k y , a n d N . R o s e n , C a n Q u a n t u m - M e c h a n i c a l D e s c r i p -

t i o n o f P h y s i c a l R e a l i t y B e C o n s i d e r e d C o m p l e t e , P h y s . R e v . 4 7 , 7 7 7 - 7 8 0

( 1 9 3 5 )

[ 4 ] L o u i s D u c d e B r o g l i e , P h D t h e s i s , " R e c h e r c e s u r l a T h e o r i e d e s Q u a n t a " ,

U . o f P a r i s , ( 1 9 2 4 ) .

[ 5 ] B o h r , N . 1 9 1 3 . O n t h e C o n s t i t u t i o n o f A t o m s a n d M o l e c u l e s , P h i l o s o p h -

i c a l M a g a z i n e , 6 , 2 6 , 1 - 2 5 .

[ 6 ] M a x w e l l , J . C . 1 8 6 5 . A D y n a m i c a l T h e o r y o f t h e E l e c t r o m a g n e t i c F i e l d ,

P h i l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h e R o y a l S o c i e t y o f L o n d o n , V o l . 1 5 5 .

[ 7 ] B e l l , P h y s i c s 1 , 1 9 5 ( 1 9 6 4 ) , r e p r o d u c e d a s C h . 2 o f J . S . B e l l , S p e a k a b l e a n d

U n s p e a k a b l e i n Q u a n t u m M e c h a n i c s ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 8 7 )

[ 8 ] F e y n m a n , R . P . ( 1 9 4 8 ) . " T h e S p a c e - T i m e F o r m u l a t i o n o f N o n r e l a t i v i s t i c

Q u a n t u m M e c h a n i c s " . " R e v i e w s o f M o d e r n P h y s i c s " 2 0 : 3 6 7 3 8 7 . B e l l ,

1 9 6 4 : J . S .

[ 9 ] H e i s e n b e r g , W . ( 1 9 2 7 ) , " O v e r t h e D e s c r i p t i v e C o n t e n t s o f t h e Q u a n t u m

K i n e t i c s a n d M e c h a n i c s " , Z e i t s c h r i f t f r P h y s i k 4 3 : 1 7 2 1 9 8

[ 1 0 ] A . E i n s t e i n , " D o e s t h e I n e r t i a o f a B o d y d e p e n d u p o n i t s E n e r g y - C o n t e n t ? "

A n n a l e n d e r P h y s i k 1 8 6 3 9 - 6 4 1 ( 1 9 0 5 )

[ 1 1 ] Z n i d a r s i c , F . 2 0 0 5 . A R e c o n c i l i a t i o n o f Q u a n t u m P h y s i c s a n d

S p e c i a l R e l a t i v i t y , T h e G e n e r a l J o u r n a l o f P h y s i c s , D e c e m b e r ,

h t t p : / / w w w . w b a b i n . n e t / s c i e n c e / z n i d a r s i c . p d f .

[ 1 2 ] Z n i d a r s i c , F . 2 0 0 9 . T h e C o n t r o l o f t h e N a t u r a l F o r c e s

h t t p : / / w w w . w b a b i n . n e t / s c i e n c e / z n i d a r s i c 3 . p d f

[ 1 3 ] M a x B o r n , T h e S t a t i s t i c a l I n t e r p r e t a t i o n o f Q u a n t u m M e c h a n i c s , N o b e l

L e c t u r e s , 1 9 6 4

1 8


19/19

[ 1 4 ] A E i n s t e i n , B . P o d o l s k y , a n d N . R o s e s , C a n Q u a n t u m - M e c h a n i c a l D e s c r i p -

t i o n o f P h y s i c a l R e a l i t y B e C o n s i d e r e d C o m p l e t e , P h y s . R e v . 4 7 , 7 7 7 - 7 8 0

( 1 9 3 5 )

[ 1 5 ] A . S o m m e r f e l d , P r i n c i p l e s o f t h e Q u a n t u m T h e o r y a n d t h e B o h r A t o m i c

M o d e l , N a t u r w i s s e n s c h a f t e n ( 1 9 2 4 ) , 1 2 1 0 4 7 - 9

[ 1 6 ] R i c h a r d F e y n m a n , T h e S t r a n g e T h e o r y o f L i g h t a n d M a t t e r , 1 9 8 8

[ 1 7 ] T h e L e x F o u n d a t i o n , W h a t i s Q u a n t u m M e c h a n i c s , p a g e 1 8 9 , 1 9 9 6

[ 1 8 ] I . B e r n a r d C o h e n , H e n r y C r e w , J o s e p h v o n F r a u n h o f e r , D e W i t t B r i s t o l

B r a c , T h e W a v e t h e o r y , l i g h t a n d S p e c t r a . A y e r P u b l i s h i n g , 1 9 8 1

[ 1 9 ] R o b e r t B u n s e n , J o u r n a l o f t h e A m e r i c a n C h e m i c a l S o c i e t y , V o l u m e 2 2 ,

1 9 0 0

[ 2 0 ] L H a r t m a n n , J o h a n n J a k o b B a l m e r , P h y s i k a l i s c h e B l t t e r 5 ( 1 9 4 9 ) , 1 1 - 1 4

[ 2 1 ] W . R i t z , M a g n e t i s c h e A t o m f e l d e r u n d S e r i e n s p e k t r e n , A n n a l e n d e r P h y s i k ,

V i e r t e F o l g e . B a n d 2 5 , 1 9 0 8 , p . 6 6 0 6 9 6 .

[ 2 2 ] R o b e r t P . C r e e s e , T h e G r e a t E q u a t i o n s : B r e a k t h r o u g h s i n S c i e n c e f r o m

P y t h a g o r a s t o H e i s e n b e r g , P g . 2 4 8 , 2 0 0 8

[ 2 3 ] V e r n o n B r o w n , P r o t o n T h e o r i e s o f t h e U n i v e r s e ,

( h t t p : / / p h o t o n t h e o r y . c o m / E i n s t e i n / E i n s t e i n 0 6 . h t m l # Z i e g l e r ) Q u o t e

a t t r i b u t e d t o H . Z i e g l e r , 1 9 0 6

[ 2 4 ] N i c k H e r b e r t , " Q u a n t u m R e a l i t y : B e y o n d t h e N e w P h y s i c s " P g . 4 6 , 1 9 8 5

[ 2 5 ] M a x T e g m a r k & J o h n A r c h i b a l d W h e e l e r , 1 0 0 Y e a r s o f Q u a n t u m M y s t e r -

i e s , 2 0 0 1

1 9

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