20

Click here to load reader

The method of infinite descent in geometry

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: The method of infinite descent in geometry

̸» Ó»¬¸±¼ ±º ײº·²·¬» Ü»­½»²¬ ײ Ù»±³»¬®§

ͪ»¬±­´¿ª Ö±® Þ·´½¸»ª

Ý»²¬®» ±º ß°°´·»¼ Ó¿¬¸»³¿¬·½­ ¿²¼ ײº±®³¿¬·½­ô л¼¿¹±¹·½¿´ Ú¿½«´¬§ô

˲·ª»®­·¬§ ±º α«­­»ôÞ«´¹¿®·¿

Û󳿷´æ ­¿´ª§à¿³·ò®«ò¿½¿¼ò¾¹

Ó¿®·²¿ ͪ»¬ò Þ·´½¸»ª¿

Ú¿½«´¬§ ±º Ó¿¬¸»³¿¬·½­ ¿²¼ ײº±®³¿¬·½­ô

˲·ª»®­·¬§ ±º É¿¬»®´±±ôÝ¿²¿¼¿

Û󳿷´æ ³­¾·´¬à§¿¸±±ò½±³

̸»®» ¿®» ¼·ºº»®»²¬ ¬§°»­ ±º °®±±º­ó¿²¿´§¬·½¿´ô ­§²¬¸»¬·½¿´ô ¼»¼«½¬·ª»ô·²¼«½¬·ª»ô °®±±º­ ¾§ ½±²¬®¿¼·½·¬·±²ô°®±±º­ ´»¿¼·²¹ ¬± ¿ ª·±´¿¬·±²ô ¿²¿¾­«®¼ô ·ò»òò ̸» °«®°±­» ±º ¬¸·­ ®»°±®¬ ·­ ¬± ¹»¬ ¬¸» ®»¿¼»® ¿½¯«¿·²¬»¼ ©·¬¸ ¿³»¬¸±¼ º±® ¿ °®±±º ´»¿¼·²¹ ¬± ¿² ¿¾­«®¼ñª·±´¿¬·±²ó ¬¸¿¬ ·­ ³»¬¸±¼ ±º ¬¸» ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ò ̸·­ ¬»®³·²±´±¹§ ©¿­·²¬®±¼«½»¼ ¾§ ¬¸» º¿³±«­ Ð×ÛÎÎÛÚÛÎÓßÌ øïêðïóïêëë÷ò ̸» ³»¬¸±¼ ©¿­«­»¼ º±® ¬¸» ª»®§ º·®­¬ ¬·³» ·² ¬¸» ïí

¬¸

½»²¬«®§ ¾§ ¿ ³¿¬¸»³¿¬·½·¿² ²¿³»¼ÕßÓÐßÒÑ ©¸»² °®±ª·²¹ ¬¸» ·®®¿¬·±²¿´·¬§ ±º ¬¸» ¹±´¼»² ­»½¬·±²ò ײ ¬¸» °¿°»® ¬¸·­ ³»¬¸±¼ º·²¼­¿°°´·½¿¬·±²­ ·² ¼·ºº»®»²¬ ±´§³°·¿¼¹»±³»¬®·½ °®±¾´»³­ò ̸»®» ¿®» ¬©±´»ª»´­ ±º °®±¾´»³­ � ¶«²·±® ¿²¼ ­»²·±®òÍ°»½·¿´ ¿¬¬»²¬·±² ·­ °¿·¼ ¬± ¬¸» ­±´«¬·±²

ëç

Page 2: The method of infinite descent in geometry

±º ±²» ¾»¿«¬·º«´ °®±¾´»³ ¬¸¿¬ ·­ ®»´¿¬»¼¬± ¬¸» ¼»º·²·¬·±² ±º ¿ ½´¿­­ ±ºÐ§¬¸¿¹±®»¿² ¬®·¿²¹´»­ô ¬¸¿¬ ´»¼­ ¬±ÐÛÔÔ�­ Ü·±°¸¿²¬·²» »¯«¿¬·±²ò

×ò Û­­»²½» ±º ¬¸» Ó»¬¸±¼

Ю±±º­ ½¿² ¾» ¿²¿´§¬·½¿´ô ­§²¬¸»¬·½¿´ô ·²¼«½¬·ª»ô ¿²¼ ¼»¼«½¬·ª»å °®±±º­

¾§ ½±²¬®¿¼·½¬·±² ¿²¼ °®±±º­ ´»¿¼·²¹ ¬± ¿¾­«®¼·¬§ò ̸» °«®°±­» ±º ¬¸·­

°¿°»® ·­ ¬± ·´´«­¬®¿¬» ±²» ¬§°» ±º °®±±º­ ´»¿¼·²¹ ¬± ·®®¿¬·±²¿´·¬§ � ¬¸»

³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ò з»®®» Ü» Ú»®³¿¬ øïêðï � ïêëë÷

·²¬®±¼«½»¼ ¬¸·­ ¬»®³·²±´±¹§ º·®­¬ò ̸» ¾¿­·½­ «²¼»®´§·²¹ ¬¸·­ ³»¬¸±¼

¿®» ·´´«­¬®¿¬»¼ ¸»®» ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ °®±¾´»³ ø ÅèÃô ÅçÃ÷ æ

Ю±¾´»³ ïæ Ю±ª» ¬¸¿¬ î ·­ ·®®¿¬·±²¿´ò

É» ¼± ²±¬ µ²±© ©¸± °®±ª»¼ ¬¸» ·®®¿¬·±²¿´·¬§ ±º î º·®­¬ô ¾«¬ ©»

¾»´·»ª» ¬¸» °®±±º ©¿­ ¼±²» ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ³¿²²»®æ

Ю±±º ï øÙ»±³»¬®·½ °®±±º÷ æ

Í«°°±­» î ·­ ¿ ®¿¬·±²¿´ ²«³¾»®ò Ô»¬ «­ ´±±µ ¿¬ ¬¸» ­¯«¿®» Ü

©·¬¸ ´»²¹¬¸ ±º ·¬­

­·¼» ¿²¼ ´»²¹¬¸ ±º ·¬­ ¼·¿¹±²¿´ ¼ò

êð

Page 3: The method of infinite descent in geometry

Ú±® ¬¸» ¬®·¿²¹´» ô ©» ¸¿ª»æ

¿î õ ¿

î ã ¼

î

î¿î ã ¼

î å îåî

î

î

¿

¼

¿

¼ ò

É» ­«°°±­»¼ ¬¸¿¬ î ·­ ®¿¬·±²¿´ô ¸»²½» ²

³

¿

¼ô ©¸»®» ³ ¿²¼ ² ¿®»

·²¬»¹»®­ò

̸»² ©» ¹»¬æ

²½¿³½¼½²

¿

³

¼òåòô

Ù»±³»¬®·½¿´´§ô ¬¸·­ ·³°´·»­ ¬¸¿¬ ¬¸»®» »¨·­¬­ ¿ ­»¹³»²¬ ©·¬¸ ´»²¹¬¸ ½

­«½¸ ¬¸¿¬ ¼ ã ½ò³ ¿²¼ ¿ ã ½ò² ò

É» ¼®¿© ±² ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ¬¸» ­»¹³»²¬ ­± ¬¸¿¬ ã ò

É» ¼®¿© ±² ¬¸» ­»¹³»²¬ ­± ¬¸¿¬ ã ò

Ô»¬ «­ ´±±µ ¿¬ ¬®·¿²¹´» ¿²¼ ¬®·¿²¹´» ò ̸»­» ¬®·¿²¹´»­ ¸¿ª» ¿

½±³³±² ¿²¹´» ò ׺ ©» °®±ª» ¬¸¿¬ ßÝ

ÞÝ

ÛÝ

ÕÝ ô ·¬ ©±«´¼ º±´´±©

¬¸¿¬ ¬¸» ¬®·¿²¹´» ·­ ­·³·´¿® ¬± ¬¸» ¬®·¿²¹´» ò

Ú®±³ ã ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ ã � å ã ¼ � ¿ ò

Ú®±³ ã ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ ã � å ã ¿ � ø ¼ � ¿ ÷ ã

î¿ � ¼ ô

îî

îî

î

î

î

î

ìì

î

÷îø

÷ø

¼¿¼¿

¿¿¼¼

¼¿

¿¼

ÛÝ

ÕÝ

Þ«¬ ¼î ã î¿

îô ¸»²½»

î

ï

÷îíøî

îí

ìê

îí

îìì

îîî

î

î

î

îî

îî

î

î

¿¼¿

¿¼¿

¿¼¿

¿¼¿

¿¿¼¿

¿¿¼¿

ÛÝ

ÕÝ

ßÝ

ÞÝ

ÛÝ

ÕÝ

ßÝ

ÞÝ

ÛÝ

ÕÝ

¿

¿

¼

¿

ßÝ

ÞÝ

å

î

ï

î

î

î

î

î

î

î

î

î

î

î

êï

Page 4: The method of infinite descent in geometry

̸·­ °®±ª»­ ¬¸» º¿½¬ ¬¸¿¬ ¬®·¿²¹´» ·­ ­·³·´¿® ¬± ¬¸» ¬®·¿²¹´»

·­ ¿ ®·¹¸¬ ¿²¼ ·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´»ò Ѳ ¸·­ ­·¼»­ô ©» ½¿² ¼®¿©

­»¹³»²¬­ ¿²¿´¿¹±«­ ¬± ¬¸±­» ©» ¼·¼ ¬± ¬®·¿²¹´» æ

É» ¼®¿© °±·²¬ ï ­± ¬¸¿¬ ï ã ò

É» ¼®¿© °±·²¬ ï ­± ¬¸¿¬ ï ã ï ò

Í·³·´¿®´§ô ©» °®±ª» ¬¸¿¬ ¬®·¿²¹´» ï ï ·­ ®·¹¸¬ ¿²¼ ·­±­½»´»­ò Ú±® ¬¸¿¬

¬®·¿²¹´» ©» ½¿² ³¿µ» ¬®·¿²¹´» î î ¿²¼ ­± ±² ¿² ·²º·²·¬» ²«³¾»® ±º

¬·³»­ô »¿½¸ ¬·³» §·»´¼·²¹ ¿ ­³¿´´»® ¿²¼ ­³¿´´»® ¬®·¿²¹´» ¶Õ¶Ýô ¾«¬

±²´§ »¿½¸ ¬·³» ¬¸» °±·²¬­ ¶ ¿²¼ Õ¶ ©·´´ º¿´´ ±² ¬¸» ·²·¬·¿´ °±·²¬­ ±º

¬¸» ¼·ª·¼·²¹ ±º ¿²¼ ò ̸±­» °±·²¬­ ¿®» ¿ º·²·¬» ²«³¾»®ô ©¸·´»

¬¸» ¬®·¿²¹´»­ ¶Õ¶Ý ¿®» ·²º·²·¬»´§ ³¿²§ò ̸·­ ·­ ¿ ½±²¬®¿¼·½¬·±²ô ¬¸«­

±«® ·²·¬·¿´ ¸§°±¬¸»­·­ ©¿­ ·²½±®®»½¬ô ·ò»ò î ·­ ·²¼»»¼ ·®®¿¬·±²¿´ò

ߺ¬»® ­±³» ¬·³» °¿­­»¼ô ¿²±¬¸»® ¿´¹»¾®¿·½ °®±±º ±º ¬¸·­ °®±¾´»³ ©¿­

¼·­½±ª»®»¼ô ©¸·½¸ ©¿­ ³«½¸ ´»­­ ½±³°´·½¿¬»¼ ¬¸¿² ¬¸» ±²» ¿¾±ª»ò

Ю±±º î øß´¹»¾®¿·½ °®±±º÷æ

ß¹¿·² ©» ´»¬ î ¾» ¿ ®¿¬·±²¿´ ²«³¾»®ô ·ò»ò ²

³î

î³

ô ©¸»®» ³ ¿²¼ ²

¿®» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ò É» ¹»¬ æ ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»®

³ ·­ ¿´­± »ª»²ò ײ ¬¸¿¬ ½¿­»

îîôî²³

³ ã î³ï ©¸»®» ³ï ·­ ¿ ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®ò

Í«¾­¬·¬«¬» ³ ·² ³î ã î²

î ¿²¼ ¹»¬æ

ì³ïî ã î²

î

î³ïî ã ²

î

Ú®±³ ¸»®» ©» ­»» ¬¸¿¬ ² ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»® ² ã î²ïò

É» ­«¾ ·² ¿²¼ ©» ¹»¬æ

î³ïî ã ì²ï

î

³ïî ã î²ï

î

̸» ¸§°±¬¸»­·­ ´»¿¼­ ¬± ³ ã î³ï ©¸·½¸ ·² ¬«®² ´»¿¼­ ¬± ³ î³ïò ׺

©» ½±²¬·²«» ·² ¬¸» ­¿³» ³¿²²»®ô ©» ©·´´ ¹»¬ ¿² ·²º·²·¬» ­»¯«»²½»æ

³ ³ï ³î �

Þ«¬ ¬¸» ­»¬ ±º ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ´»­­ ¬¸¿² ³ô ·­ º·²·¬»ò ̸«­ ¬¸»

½±²¬®¿¼·½¬·±² ©» ¹»¬ ­¸±©­ ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±² ³î ã î²

­ ²± ²¿¬«®¿´

²«³¾»® ­±´«¬·±²­ô º®±³ ©¸·½¸ ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ î ·­ ¿² ·®®¿¬·±²¿´

²«³¾»®ò

êî

Page 5: The method of infinite descent in geometry

ײ ¾±¬¸ °®±±º­ ±«® ¬®¿·² ±º ¬¸±«¹¸¬ º±´´±©»¼ ¬¸» ­¿³» ·¼»¿æ ­«°°±­·²¹

¬¸¿¬ ¬¸» °®±¾´»³ ¸¿­ ¿ ­±´«¬·±²ô ©» ½±²­¬®«½¬»¼ ­±³» ·²º·²·¬»

°®±½»­­ ¿²¼ ¿¬ ¬¸» ­¿³» ¬·³» º±® ¬¸» °®±¾´»³ ¬± ³¿µ» ­»²­»ô ¬¸·­

°®±½»­­ ¸¿¼ ¬± »²¼ ­±³»¸±©ò ̸·­ ¬§°» ±º ³»¬¸±¼ ·­ ½¿´´»¼ ¬¸»

³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ò Ѻ¬»² ¬·³»­ ¬¸·­ ³»¬¸±¼ ·­ ¿°°´·»¼ ·² ¿

­·³°´»® º±®³¿¬æ ·º ©» ­«°°±­» ¬¸¿¬ ©» ¸¿ª» ®»¿½¸»¼ ¬¸» ²¿¬«®¿´

»²¼·²¹ ±º ¬¸·­ °®±½»­­ô ©» ­»» ¬¸¿¬ ©» ½¿²²±¬ °±­­·¾´§ °«¬ ¿ �­¬±°�

¬± ·¬ò

Ю±±º í ø̸» ³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬÷æ

Ô»¬ ¨ ã ³ ô § ã ² ¾» ­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨î ã î§

î ¿²¼ ´»¬ ¨ ¾»

¬¸» ­³¿´´»­¬ °±­­·¾´»ò

É» ¸¿ª»æ ³î ã î²

î

³ ã î³ï

ì³ïî ã î²

î

î³ïî ã ²

î

Ú®±³ ¸»®» ·¬�­ ±¾ª·±«­ ¬¸¿¬ ¨ ã ² ô § ã ³ï ¿®» ¿´­± ­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸»

·²·¬·¿´ »¯«¿¬·±²ò

Ú®±³ ³î ã î ²

î ³ ²ô ©¸·½¸ ½±²¬®¿¼·½¬­ ¬¸» ¸§°±¬¸»­·­ ¬¸¿¬ ¨ ·­

¬¸» ­³¿´´»­¬ °±­­·¾´»ò

Ú®±³ ¬¸·­ ¿°°®±¿½¸ ¬± ¬¸» °®±±ºô ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º

·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ·­ ­·³·´¿® ¬± ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º ³¿¬¸»³¿¬·½¿´

·²¼«½¬·±²ò ̸» ¬©± ³»¬¸±¼­ ¿®» ¾¿­»¼ ±² ¬¸» º¿½¬ ¬¸¿¬ ¿²

¿®¾·¬®¿®§ ²±²ó»³°¬§ ­»¬ ±º ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ¸¿­ ¿ ³·²·³¿´

»´»³»²¬ò ̸» ³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ·­ ³±­¬ ­«·¬¿¾´» º±® °®±ª·²¹

�­»´ºó»¨½´«¼·²¹� ¬¸»±®»³­ò

××ò ̸» Ó»¬¸±¼ ±º ײº·²·¬» Ü»­½»²¬ ·² ß´¹»¾®¿·½ Ю±¾´»³­

Ю±¾´»³ ïò æ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±²ìììì

îìè ¬¦§¨ ¸¿­ ²±

·²¬»¹»® ­±´«¬·±² øÅèÃ÷ò

ͱ´«¬·±² æ Í«°°±­» ¬¸» ®»´¿¬·±² ¸¿­ ¿ ­±´«¬·±²æ

¨ ã ³ å § ã ² å ¦ ã ° å ¬ ã ® ô ©¸»®» ³ ô²ô °ô ® ¿®» ²¿¬«®¿´

²«³¾»®­ò

É» ­«°°±­» ¬¸¿¬ ¬¸» ­±´«¬·±² ·­ ©·¬¸ ¬¸» ­³¿´´»­¬ °±­­·¾´» ¨ ò

êí

Page 6: The method of infinite descent in geometry

Ú®±³ ¬¸» »¯«¿¬·±² ·¬ ½¿² ¾» ­»»² ¬¸¿¬ ® ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»®ô ·ò»ò ® ã

î®ïò

É» ­«¾ ¬¸·­ ®»­«´¬ ·² ¬¸» »¯«¿¬·±²æ

è ò ì

ï

ììì ïêîì ®°²³

Ú®±³ ¸»®» ·¬ ½¿² ¾» ­»»² ¬¸¿¬ ° ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»® ô ïî °°

òì

ï

ì

ï

ìì

ì

ï

ì

ï

ìì

ìèî

èïêîì

®°²³

®°²³

Ò±© ·¬ ·­ ½´»¿® ¬¸¿¬ ² ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»®ô ·ò»ò ô ïî²²

ìè³ ô ³ ã î³

ì

ï

ì

ïï

ì

ì

ï

ì

ï

ì

ï

ì

îì

ìèïêî

®°²

®°²³

ï »ª»² ²«³¾»®ò

É» ¹»¬æ

ì

ï

ì

ï

ì

ï

ì

ï

ì

ï

ì

ï

ì

ï

ì

ï

îìè

îìèïê

®°²³

®°²³

ײ ¬¸·­ ©¿§ ¨ ã ³ï å § ã ²ï å ¦ ã °ï å ¬ ã ®ï ·­ ¿´­± ¿ ­±´«¬·±² ¬± ±«®

»¯«¿¬·±²ò Ú®±³ ¬¸» ¸§°±¬¸»­·­ ³ ã î³ï ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ ³ â ³ï ô

©¸·½¸ ´»¿¼­ «­ ¬± ¿ ½±²¬®¿¼·½¬·²¹ ½¸±·½» ±º ±«® ³·²·³¿´ ¨ò

É·¬¸ ¬¸·­ ¬¸» °®±±º ·­ ¼±²»ò

Ô»¬ «­ ´±±µ ¿¬ ¿ ³±®» ½±³°´»¨ °®±¾´»³ æ

Ю±¾´»³ îò æ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨§¦««¦§¨ îîîîî

¸¿­ ²± ²¿¬«®¿´ ²«³¾»® ­±´«¬·±² øÅçÃ÷ò

ͱ´«¬·±² æ Ô»¬ ¨ ô § ô ¦ ô « ¾» ­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸·­ °®±¾´»³ò

Ú®±³ ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ·­ ¿² »ª»²

²«³¾»®ò Þ«¬ ©¸¿¬ ¿®» ¬¸» ²«³¾»®­ ¨ô §ô ¦ô « á ײ ¿²§ ½¿­»ô ¿³±²¹­¬

¬¸»³ ¬¸»®» ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»® ±º ±¼¼ ²«³¾»®­ô »·¬¸»® ¿´´ ²«³¾»®­ ¿®»

±¼¼ô ±® ¬¸»®» ¿®» î ±¼¼ ²«³¾»®­ô ±® ¿´´ ²«³¾»®­ ¿®» »ª»²ò

îîî§¨

Ý¿­» ïæ ׺ ¨ ô § ô ¦ ô « ¿®» ±¼¼ ²«³¾»®­ô ¬¸»² ¨ õ § ·­ »ª»² ¿²¼ ¦ õ §

·­ »ª»² ¿­ ©»´´

êì

Page 7: The method of infinite descent in geometry

î

ï

î

î

­«¦

­§¨

ͯ«¿®» ¾±¬¸ »¯«¿´·¬·»­ ¿²¼ ¿¼¼ ¬¸»³ «° ¬± ¹»¬ æ

îî ¦§¨

÷øî÷øì

÷øìîî

ìì÷ø÷ø

îï

îîîî

îï

îî

î

î

î

ï

îî

¦«¨§­­«¦§¨

­­¦«¨§«

­­«¦§¨

Í·²½» ¨ ô § ô ¦ ô « ¿®» ±¼¼ ²«³¾»®­ô ¬¸»² ¨ò§ ¿²¼ ¦ò« ¿®» ¿´­± ±¼¼ò

̸»®»º±®» ¨ò§õ¦ò« ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»®ò Ô»¬ ¨§õ¦«ãî°ò É» ¹»¬æ

î ÷øì

îòî÷øì

îï

îîî

îï

îîîî

°­­«¦§¨

°­­«¦§¨

Ø»²½» ·­ ¼·ª·­·¾´» ¾§ ìô ¾«¬ ·­ ²±¬

¼·ª·­·¾´» ¾§ ì ¿®» ²±¬ ­·³«´¬¿²»±«­´§ ±¼¼ ²«³¾»®­ò

îîîî «¦§¨

«¦§¨ ôôô

¨§¦«î

Ý¿­» îæ ׺ ¨ ô § ¿®» ±¼¼ ²«³¾»®­ô ¾«¬ ¦ ô « ¿®» »ª»²ô ¬¸»²æ

ô «¨§¦«¦¨§¨§¦« ïï ìîòîî

·ò ò ¦« ·­ ¼·ª·­·¾´» ¾§ ìò

î¦

í

î

ï

î

î

­«

­

­§¨

ͯ«¿®» ¿²¼ ¿¼¼ ¿´´ ¬¸®»» »¯«¿¬·±²­æ

ò ¨§­­­«¦§¨ î÷øî íîï

îîîî

Í·²½» ¨§ ·­ ¿² ±¼¼ ²«³¾»®ô ¬¸» ­«³ ·­ ²±¬

¼·ª·­·¾´» ¾§ ì ¸»²½» ¬¸·­ ½¿­» ¼±»­ ²±¬ ¸±´¼ò

îîî§¨

̸» ½¿­» ¬¸¿¬ ·­ ´»º¬ ·­ ±²´§ ¬¸» ½¿­» ·² ©¸·½¸ ¿´´ ±º ¨ ô § ô ¦ ô « ¿®»

»ª»²ò

¨ ã î¨ï å § ã î§ï å ¦ ã î¦ï å « ã î«ï ò

ɸ»² ­«¾­¬·¬«¬·²¹ ·² ¬¸» ·²·¬·¿´ »¯«¿¬·±²ô ©» ¹»¬æ

ïïïï

î

ï

î

ï

î

ï

î

ï

ïïïï

ìî

ï

î

ï

î

ï

î

ï

è

òîòîìììì

«¦§¨«¦§¨

«¦§¨«¦§¨

ß­ ¾»º±®»ô ©» ­»» ¬¸¿¬ ¿´´ º±«® ²«³¾»®­ ½¿²²±¬ ¾» ±¼¼ô ±¬¸»®©·­»ô

·­ ²±¬ ¹±·²¹ ¬± ¾» ¼·ª·­·¾´» ¾§ èò ̸»§ ½¿²²±¬ ¾»

¬©± »ª»² ¿²¼ ¬©± ±¼¼ ²«³¾»®­ô ¾»½¿«­» ¬¸»² ·­

²±¬ ¹±·²¹ ¬± ¾» ¼·ª·­·¾´» ¾§ èò

î

ï

î

ï

î

ï

î

ï «¦§¨î

ï

î

ï

î

ï

î

ï «¦§¨

êë

Page 8: The method of infinite descent in geometry

ß²¼ ¬¸¿¬ ·­ ¸±© ©» ¹»¬ ¬¸¿¬ ¿´´ ²«³¾»®­ ¿®» »ª»²ô ·ò ò

ò îïîïîïîï îåîåîåî ««¦¦§§¨¨

ߺ¬»® ­«¾­¬·¬«¬·²¹ô ©» ¹»¬æ îî í§¨ ò îîîîî

î

îî

î

î «¦§¨

Ë­·²¹ ¬¸» ­¿³» ®»¿­±²·²¹ ¿­ ¾»º±®»ô ©» ±¾¬¿·² ¬¸¿¬ ¿®»

»ª»² ²«³¾»®­ ¿²¼ ­± ±²ò Ѫ»®¿´´ ·¬ ·­ ±¾ª·±«­ ¬¸¿¬ô º±® »ª»®§ ²¿¬«®¿´

²«³¾»® ­ ©» ¸¿ª»æ

îîîî ôôô «¦§¨

ô ­­­­

­

­­­­ «¦§¨«¦§¨ ïîîîîî î

·ò ò º±® ¿² ¿®¾·¬®¿®§ ²¿¬«®¿´ ²«³¾»® ­ ¬¸» ²«³¾»®­­­­­

«¦§¨

îå

îå

îå

î

¿®» ·²¬»¹»®­ò Þ«¬ ¬¸·­ ·­ ·³°±­­·¾´» ©·¬¸ ­±³» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ¨ ô § ô ¦

ô « ò

Ô»¬�­ ¿°°´§ ¬¸·­ ³»¬¸±¼ ·² ¿ ¬»¨¬ � ¾¿­»¼ °®±¾´»³ æ

Ю±¾´»³ íò æ É» ¸¿ª» î² õï ¾¿´¿²½»­ô »¿½¸ ±²» ±º ©¸·½¸ ©»·¹¸­ ¿²

·²¬»¹»® ²«³¾»® ±º ¹®¿³­ò ׬ ·­ µ²±©² ¬¸¿¬ ¿®¾·¬®¿®·´§ °·½µ»¼ î² ±º

¬¸»³ ½¿² ¾» °«¬ ±² ¿ ­½¿´»ô ² ±² »ª»®§ ­·¼»ô ­± ¬¸¿¬ ¾¿´¿²½» ·­

¿½¸·»ª»¼ò Ю±ª» ¬¸¿¬ ¿´´ ¾¿´¿²½»­ ¸¿ª» ±²» ¿²¼ ¬¸» ­¿³» ©»·¹¸¬

øÅèÃ÷ò

ͱ´«¬·±² æ ׬ ·­ ½´»¿® ¬¸¿¬ ¿´´ ¾¿´¿²½»­ ¸¿ª» ­·³«´¬¿²»±«­´§ »·¬¸»® »ª»²ô

±® ±¼¼ ©»·¹¸¬æ ¿´´ ¿®¾·¬®¿®§ î² ¾¿´¿²½»­ ¿®» ©·¬¸ »ª»² ²«³¾»®»¼

©»·¹¸¬ò É» ­»°¿®¿¬» ¬¸» ´·¹¸¬»­¬ ¾¿´¿²½» ø±® ­»ª»®¿´ ·º ¬¸»®» ¿®» ³¿²§÷ò

̸» ½±²­¬®«½¬»¼ ­§­¬»³ ±º ¾¿´¿²½»­ ¿´­± ­¿¬·­º·»­ ¬¸» ¸§°±¬¸»­·­ ±º ¬¸»

°®±¾´»³ô ³±®»±ª»®ô ¿³±²¹­¬ ¬¸» ¾¿´¿²½»­ ¬¸»®» ¿®» �¾¿´¿²½»­� ©·¬¸

¦»®± ©»·¹¸¬ò ̸¿¬ ·­ ©¸§ ©» ¿®®·ª» ¿¹¿·² ¿¬ ¬¸» ½±²½´«­·±² ¬¸¿¬ô ¬¸»

©»·¹¸¬ ±º ¿´´ ¾¿´¿²½»­ ·­ ¿² »ª»² ²«³¾»®ô »¬½ò ¹±·²¹ º±®©¿®¼ò Ú®±³

¬¸·­ ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ ¿´´ ¾¿´¿²½»­ ¿®» ©·¬¸ ¦»®± ©»·¹¸¬ô

¾«¬ ¬¸¿¬ ·³°´·»­ ¬¸¿¬ô ¬¸¿¬ ¿´´ ·²·¬·¿´ ¾¿´¿²½»­ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ©»·¹¸¬ò

×××ò ̸» Ó»¬¸±¼ ±º ײº·²·¬» Ü»­½»²¬ ·² Ù»±³»¬®§ Ю±¾´»³­ò

Ю±¾´»³ ìòæ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ±º ¬¸» ­¯«¿®» ·­

·²½±³³»²­«®¿¾´» ©·¬¸ ¸·­ ­·¼»ò

êê

Page 9: The method of infinite descent in geometry

Üî

Üí

ï

Þï

Üï

Ü

Þß

Ý

ͱ´«¬·±² øÅçÃ÷ò Ѳ ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ÞÜ ©» ½±²­¬®«½¬ ¬¸» ­»¹³»²¬ ÞÜï ­±

¬¸¿¬ ÞÜï ã Þßò ̸®±«¹¸ Üï ©» ½±²­¬®«½¬ ­»¹³»²¬ Þï Üï ­± ¬¸¿¬

òÞÜÜÞ ïï

É» ´±±µ ¿¬ ¬®·¿²¹´» ï ¿²¼ ¬®·¿²¹´» ïÜïò ̸±­» ¬®·¿²¹´»­ ¿®»

·¼»²¬·½¿´ô ¾»½¿«­» ¬¸»§ ¿®» ®·¹¸¬ ó ¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»­ô ­·¼» ï ·­

½±³³±² ¿²¼ ã Üï � ¾§ ½±²­¬®«½¬·±²ò Ø»²½» ßÞï ã ÜïÞïò

É» ´±±µ ¿¬ ¬®·¿²¹´» ÞïÜïÜò ß²¹´» ÞïÜÜï ã ìëfô ¾»½¿«­» ÞÜ ·­ ¬¸»

¼·¿¹±²¿´ ·² ¬¸» ­¯«¿®»ò Ø»²½» ¬¸» ¿²¹´» ÜïÞïÜ ã ìëfò ¸»² ¬®·¿²¹´»

ÞïÜïÜ ·­ ·­±­½»´»­ô ·ò ò ÞïÜï ã ÜïÜò É» °®±ª»¼ ¬¸¿¬ ßÞï ã ÞïÜï ã

ÜïÜ ÜÜï ä ÜÝò

Ô»¬�­ ¼®¿© ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ¬¸®±«¹¸ Ü ¬± ÞÜ ¿²¼ ½±²­¬®«½¬ ¬¸»

­»¹³»²¬ Üßï ã ÞïÜïò Ѳ ½±²²»½¬·²¹ ï ©·¬¸ ïô ©» ¹»¬ ¿ ­¯«¿®»

ßïÞïÜïÜ ©·¬¸ ¼·¿¹±²¿´ ÞïÜò ̸» °®±½»­­ ±º ½±²­¬®«½¬·²¹ ­¯«¿®»­

½¿² ½±²¬·²«» ·²º·²·¬»´§ò Ó±®»±ª»®ô ©» ¹±¬ ¿² ·²º·²·¬» ­»¯«»²½» ±º

­»¹³»²¬­ æ

ÜÜï â ÜÜî â ÜÜí â � â ð ò

׬ ·­ ®»´¿¬·ª»´§ »¿­§ ¬± »¨°®»­­ ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸»­» ­»¹³»²¬­ æ

ÜÜï ã ÞÜ ó ßÞ

ÜÜî ã ÞïÜ � ßïÞï

�������òò

Í«°°±­» ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ¿²¼ ¬¸» ­·¼» ±º ¬¸» ·²·¬·¿´ ­¯«¿®» ¿®»

½±³³»²­«®¿¾´»ò ̸»² ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ÞÜ ¿²¼ ßÞ ½¿² ¾» »¨°®»­­»¼

©·¬¸ ·²¬»¹»®­ò ײ ¬¸¿¬ ½¿­» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º

ÜÜï ã ÞÜ � ßÞ ·­ ¿² ·²¬»¹»® ²«³¾»® ¿­ ©»´´å ¿²¼ ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ÞïÜ

ã ßÜ � ßÞï ã ãßÞ � ÜÜï ·­ ¿² ·²¬»¹»® ²«³¾»®ò

ß²¼ ¿­ ·¬ ¬«®²­ ±«¬ ©» ¸¿ª» ¾«·´¬ ¿² ·²º·²·¬» ­»¯«»²½»

êé

Page 10: The method of infinite descent in geometry

ÞÜ â ÜÜï â ÜÜî â � âð ô

©¸·½¸ ½±²­·­¬­ ±º ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ¿²¼ ½¿²²±¬ ¾» ·²º·²·¬»ò ̸»

½±²¬®¿¼·½¬·±² ©» ¸¿ª» ¶«­¬ ®»¿½¸»¼ ¶«­¬ °®±ª»­ ·²½±³³»²­«®¿¾·´·¬§ ±º

¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ·² ¬¸» ­¯«¿®» ¿²¼ ¸·­ ­·¼»ò

Ю±¾´»³ ëòæ Ý¿² ¿ ½«¾» ¾» ¼·ª·¼»¼ ·²¬± ­»ª»®¿´ ¼·­¬·²½¬ ½«¾»­

øÅèÃ÷á

ͱ´«¬·±² æ Ô»¬ «­ ²±¬» ¿² ±¾ª·±«­ º¿½¬ ·² ¬¸» ¾»¹·²²·²¹ò Ô»¬ ±²» ­¯«¿®»

¾» ¼·ª·¼»¼ ·²¬± ¿ º·²·¬» ²«³¾»® ±º ¼·­¬·²½¬ ­¯«¿®»­ò ̸»² ¬¸» ­³¿´´»­¬

±º ­¯«¿®»­ ¼±»­ ²±¬ ¬±«½¸ ¬¸» ¾·¹ ­¯«¿®»�­ ­·¼»ò

Ô»¬ «­ ­«°°±­» ¬¸¿¬ ©» ¸¿ª» ­«½½»»¼»¼ ·² ¼·ª·¼·²¹ ±²» ½«¾» Ï ·²

¼·­¬·²½¬ ½«¾»­ ϶ò Ô»¬ ¾» ¿ ­¯«¿®» ¬¸¿¬ ®»°®»­»²¬­ ¬¸» ­·¼» ±º ­±³»

½«¾» ϶ô ¾±®¼»®·²¹ ©·¬¸ ½«¾» Ïò É» ½¿² ¼·ª·¼» ·² ¼·­¬·²½¬ ­¯«¿®»­ò

Ô»¬ ï ¾» ¬¸» ­³¿´´»­¬ ±²» ±º ¬¸»³ô ¿²¼ Ïï � ¬¸» ½±®®»­°±²¼·²¹ ½«¾»ò

ï ·­ ²±¬ ¿¼¶¿½»²¬ ¬± ¬¸» ­·¼»­ ±º ô ¸»²½» ·¬ ·­ ­«®®±«²¼»¼ ¾§ ¾·¹¹»®ó

­·¦» ­¯«¿®»­ò ̸» ½±®®»­°±²¼·²¹ ½«¾»­ º±®³ ¿ �©»´´�ô ·² ©¸·½¸ Ïï

½¿² ¾» º±«²¼ò Ô»¬ ï� ¬¸» �¬±°� ¾±®¼»® ø±°°±­·¬» ±º ï÷ ±º ¬¸» ½«¾»

Ïïò ̸»² ï� ½¿² ¾» ¼·ª·¼»¼ ·²¬± ­»ª»®¿´ ¼·­¬·²½¬ ­¯«¿®»­ò ̸» ­³¿´´»­¬

­¯«¿®»ô ²¿³»´§ îô ½¿² ¾» º±«²¼ ±² ¿¹¿·² ¬¸» ·²­·¼» ±º ï�ò ̸» ½«¾»­

­«®®±«²¼·²¹ ¬¸» ½±®®»­°±²¼·²¹ ±²» ±º î ½«¾»ô ²¿³»´§ Ïîô º±®³ ¿

�©»´´� ¿¹¿·²ò ݱ²¬·²«·²¹ ·² ¬¸» ­¿³» ³¿²²»®ô ©» ¹»¬ ·²º·²·¬»´§ ³¿²§

­³¿´´ ½«¾»­ô ©¸±­» ¼·³»²­·±²­ ¹»¬ ­³¿´´»® ¿²¼ ­³¿´´»®å ¸±©»ª»®ô

¬¸¿¬ ·­ ·³°±­­·¾´»ò Ø»²½» ¿ ½«¾» ½¿²²±¬ ¾» ¼·ª·¼»¼ ·²¬± ­»ª»®¿´

¼·­¬·²½¬ ­³¿´´ ½«¾»­ò

Ю±¾´»³ êòæ DZ« ¿®» ¹·ª»² ¿ ­¸»»¬ ±º ­¯«¿®»ó´·²»¼ °¿°»®ò Ю±ª»

¬¸¿¬ º±® ² ì ¬¸»®» ¼±»­ ²±¬ »¨·­¬ ¿² ²ó¹±² ©·¬¸ ª»®¬»¨»­ ·² ¬¸»

°±·²¬­ ±º ¬¸» ´¿¬¬·½» øÅèÃ÷ò

ͱ´«¬·±²æ Ú·®­¬ô ©» ¸¿ª» ¬± °®±ª» ¬¸¿¬ô ¬¸»®» ¼±»­ ²±¬ »¨·­¬ »¯«·´¿¬»®¿´

¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ª»®¬»¨»­ ·² ¬¸» °±·²¬­ ±º ¬¸» ´¿¬¬·½»ò Í«°°±­» ­«½¸ ¿

¬®·¿²¹´» ¼±»­ »¨·­¬ ¿²¼ ¼»²±¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ·¬­ ­·¼» ¾§ ò ̸»² ¾§ ¬¸»

Ч¬¸¿¹±®»¿² ̸»±®»³ ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬î ·­ ¿ ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®ò ̸» ¿®»¿

±º ¬¸·­ ¬®·¿²¹´» ·­ì

íî¿ ô ·ò»ò ¿² ·®®¿¬·±²¿´ ²«³¾»®ò Ѳ ¬¸» ±¬¸»® ¸¿²¼ô

·¬ ·­ ±¾ª·±«­ ¬¸¿¬ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¿² ¿®¾·¬®¿®§ ² ó ¹±² ©·¬¸ ª»®¬»¨»­ ·² ¬¸»

°±·²¬­ ±º ¬¸» ´¿¬¬·½» ·­ ¿ ®¿¬·±²¿´ ²«³¾»®ò ̸«­ ©» ¸¿ª» ½±³» ¬± ¿

½±²¬®¿¼·½¬·±²ô ©¸·½¸ ±²´§ ­¸±©­ ¬¸¿¬ ±«® ¸§°±¬¸»­·­ ©¿­ ·²½±®®»½¬ò

êè

Page 11: The method of infinite descent in geometry

É·¬¸ ¬¸¿¬ ©» ¸¿ª» °®±ª»¼ ¬¸¿¬ ¬¸»®» ¼±»­ ²±¬ »¨·­¬ ¿² »¯«·´¿¬»®¿´

¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ª»®¬»¨»­ ·² ¬¸» °±·²¬­ ±º ¬¸» ´¿¬¬·½»ò

Í·²½» ·² ¬¸» ®»¹«´¿® ­»¨¿¹±² ·­ °±­­·¾´» ¬± ·²­½®·¾» ¿² »¯«·´¿¬»®¿´

¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ª»®¬»¨»­ ·² ¸·­ ª»®¬»¨»­ô ¸»²½» º±® ² ã ê ¬¸» ­¬¿¬»³»²¬

©·´´ ¿´­± ¸±´¼ò

Ô»¬ ² í ô ì ô êò Í«°°±­» ¬¸¿¬ ï î òòò ² ·­ ¿ ®»¹«´¿® ² ó ¹±² ©¬¸

ª»®¬»¨»­ ·² ¬¸» °±·²¬­ ±º ¬¸» ´¿¬¬·½»ò Ô»¬ «­ ¼®¿© º®±³ ¬¸» °±·²¬­ ïô

îô òòò ô ² ª»½¬±®­ô ®»­°»½¬·ª»´§ »¯«¿´ ¬± ¬¸» ª»½¬±®­ î í ô í ì ô òòò ô

ï îò ̸» ²»© °±·²¬­ º¿´´ »¨¿½¬´§ ·² ¬¸» °±·²¬­ ±º ¬¸» ´¿¬¬·½» ¿²¼ º±®³

¿ ®»¹«´¿® ² � ¹±² ·² ¬¸» ·²·¬·¿´ ±²»ò É·¬¸ ¬¸» ²»© ² ó ¹±² ©» ½¿²

°®±½»»¼ ·² ¬¸» ­¿³» ³¿²²»® ¿²¼ ­± ±² ¬± ·²º·²·¬§ò Þ«¬ ¬¸» ­¯«¿®» ±º

¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ² � ¹±² ­·¼» ·­ ¿ ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®ô ¿²¼ ·² ±«® ½¿­» ¬¸·­

²«³¾»® ¼»½®»¿­»­ ¬± ·²º·²·¬§ò ß¹¿·²ô ©» ®»¿½¸»¼ ¿ ½±²¬®¿¼·½¬·±²ô

¸»²½» ·¬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ ¿ ®»¹«´¿® ² � ¹±² ©·¬¸ ª»®¬»¨»­ ·² ¬¸» °±·²¬­ ±º

¬¸» ´¿¬¬·½» ¼±»­ ²±¬ »¨·­¬ò

×Êò Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬®·¿²¹´»­ ©·¬¸ ­·¼»­ ½±²­»½«¬·ª» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ò

É» ½±²­·¼»® ­»ª»®¿´ °®±¾´»³­ ½±²½»®²·²¹ Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬®·¿²¹´»­ò

̸»®» ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ¿°°´·»¼ ¿¹¿·² øÅïà � ÅëÃ÷ò

Ю±¾´»³ éò øÝ¿­» ï÷ æ ß ®»½¬¿²¹«´¿® ¬®·¿²¹´» ·­ ¹·ª»² ©·¬¸ ­·¼»­

©¸·½¸ ¿®» ½±²­»½«¬·ª» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ò Ú·²¼ ·¬­ ­·¼»­ øÅïÃ÷ò

ͱ´«¬·±² æ É» ¸¿ª» ¾§ Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬¸»±®»³

ø²óï÷î õ ²

î ã ø²õï÷

î ô

êç

Page 12: The method of infinite descent in geometry

¸»²½»

²î � î² õ ï õ ²

î ã ²

î õî² õï ô

²î � ì² ã ð ô

²ø²óì÷ ã ð ô

² ã ð ·­ ²±¬ ¿ ­±´«¬·±² ò

Ø»²½»ô ² ã ì ò

̸»®»º±®» ©» ±¾¬¿·² øí ô ì ô ë÷ ®»­°»½¬·ª»´§ º±® ¬¸» ­·¼»­ò

Ю±¾´»³ èò øÝ¿­» î÷ æ ß ®»½¬¿²¹«´¿® ¬®·¿²¹´» ·­ ¹·ª»²ô ¬©± ±º ¬¸»

­·¼»­ ¿®» ½±²­»½«¬·ª» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ¿²¼ ¬¸» ¬¸·®¼ ·­ ¿®¾·¬®¿®§ò

Ú·²¼ ¬¸» ­·¼»­ò

ͱ´«¬·±² æ Þ§ Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬¸»±®»³ ©» ¸¿ª»

¿î õ ²

î ã ø²õï÷

î ô

¸»²½»

¿î õ ²

î ã ²

î õ î² õ ï ô

¿î ã î² õ ï ò

׬ ·­ ½´»¿® ¬¸¿¬ ¿ ·­ ¿² ±¼¼ ²«³¾»®

¿ ã î³ õ ï ò

Ы¬¬·²¹ ¬¸·­ »¨°®»­­·±² ·² ¬¸» »¯«¿¬·±² ¿¾±ª»ô ©» ¹»¬

øî³ õ ï÷î ã î² õ ï ô

ì³î õ ì³ õ ï ã î² õ ï ô

î² ã ì³î õ ì³ ô

² ã î³ø³ õ ï÷ ò

̸»®»º±®»ô ¬¸» ­·¼»­ ¿®» ¿­ º±´´±©­ æ

¿ ã î³ õ ï ô ¾ ã î³ø³ õ ï÷ ô ½ ã î³ø³ õ ï÷ õ ïô

©¸»®» ³ â ð ·­ ¿² ¿®¾·¬®¿®§ ·²¬»¹»®ò

Û¨¿³°´»­ æ

³ ã ï øí ô ì ô ë÷ ô

³ ã î øë ô ïî ô ïí÷ ô

³ ã í øé ô îì ô îë÷ ô

³ ã ì øç ô ìð ô ìï÷ ô

³ ã ë øïï ô êð ô êï÷ ò

Ю±¾´»³ çò øÝ¿­» í÷ æ ß ®»½¬¿²¹«´¿® ¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ½¿¬¸»¬«­� ô

©¸·½¸ ¿®» ½±²­»½«¬·ª» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ¿²¼ ¬¸» ¸§°±¬»²«­» ·­ ¿²

¿®¾·¬®¿®§ ²«³¾»®ô ·­ ¹·ª»²ò Ú·²¼ ¬¸» ­·¼»­ øÅïÃô ÅîÅô ÅíÃ÷ò

éð

Page 13: The method of infinite descent in geometry

ͱ´«¬·±² æ Þ§ ¬¸» Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬¸»±®»³ ©» ¸¿ª»

øï÷ ²î õ ø² õ ï÷

î ã ½

î ô

¸»²½»ô

²î õ ²

î õ î² õ ï ã ½

î ô

î²î õ î² õ ï ã ½

î ò

Ô»¬ «­ ³«´¬·°´§ ¬¸» ¬©± ­·¼»­ ±º ¬¸·­ »¯«¿¬·±² ¾§ î æ

ì²î õ ì² õ î ã î½

î ô

¬¸»®»º±®»

øî÷ øî² õ ï÷î � î½

î ã óï

±®

øí÷ ¨î � î§

î ã óï ø ̸» ÐÛÔÔ�­ ÛÏËßÌ×ÑÒ ô Åïà ÷ò

Ø»²½»ô

¨î ã î§

î � ï ±® ¨ ã î² õ ï

¿²¼ øî÷ º±´´±©­ º®±³ øí÷ ò

ͱ´«¬·±²­ ±º øí÷ æ

ø¨ ô §÷ ã øï ô ï÷ ô

ø¨ ô §÷ ã øé ô ë÷ ô

ø¨ ô §÷ ã øìï ô îç÷ ô

ø¨ ô §÷ ã øîíç ô ïêç÷ ò

Ò±© ©» ©·´´ ´±±µ ¿¬ ¬¸» º±´´±©·²¹ ´»³³¿ æ

Ô»³³¿ ïò æ ׺ ø¨ ô §÷ ·­ ¿ ­±´«¬·±² ±º øí÷ ô ¬¸»² øí¨ õ ì§ ô î¨ õ í§÷ ·­

¿´­± ­±´«¬·±² ±º øí÷ò

Ю±±º æ É» °«¬ ¨ ¾§ í¨ õ ì§ ¿²¼ § ¾§ î¨ õ í§ ·² øí÷ ¿²¼

©» º·²¼ æ

øí¨ õ ì§÷î � îøî¨ õ í§÷

î ã óï ô

ç¨î õ î쨧 õ ïê§

î � îøì¨

î õ ï õ ç§

î÷ ã óï ô

ç¨î õ î쨧 õ ïê§

î � è¨

î � î쨧 � ïè§

î ã óï ô

¨î � î§

î ã óï ò

Þ«¬ ¨î � î§

î ã óï ·­ ¬®«»ô ¬¸»®»º±®» øí¨ õ ì§ ô î¨ õ í§÷ ·­ ¿´­± ¿

­±´«¬·±²ò

Û¨¿³°´»­ æ

øïôï÷ øíòïõìòï ô îòïõíòï÷ øéôë÷ øíòéõìòë ô îòéõíòë÷ øìïôîç÷

øíòìïõìòîç ô îòìïõíòîç÷ øîíçôïêç÷ øíòîíçõìòïêç ô îòîíçõíòïêç÷

øïíçíôçèë÷ ò�ò

Ô»³³¿ îò ø¾¿½µ©¿®¼ °®±½»­­÷ æ ׺ ø¨ ô §÷ ·­ ¿ ­±´«¬·±² ±º øí÷ ô

¬¸»² øí¨ � ì§ ô í§ � î¨÷ ·­ ¿´­± ¿ ­±´«¬·±² ±º øí÷ò

éï

Page 14: The method of infinite descent in geometry

Ю±±º æ É» ½±³°«¬» æ

øí � ì ÷î � îøí � î ÷

î ã óï ô

çî � îì õ ïê

î �îøç

î � ïî õ ì

î÷ ã óï ô

çî � îì õ ïê

î � ïè

î õ îì � è

î ã óï ô

î � î

î ã óï ô

©¸·½¸ ·­ ¬®«» ¿²¼ ¸»²½» ©» °®±ª»¼ô ¬¸¿¬ øí � ì ô í � î ÷ ·­ ¿

­±´«¬·±²ò

Ô»³³¿ í æ øí � ì ô í � î ÷ ä ø ô ÷ ò

Ю±±º æ Í·²½» ¬¸» ­±´«¬·±²­ ±º »¯«¿¬·±² øí÷ ¿®» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ô ¬¸»²

©» ¸¿ª»æ

í � ì â ð ¿²¼ í � î â ð æ

í¨ � ì§ â ð

í â ì§ ñ î ô

ç¨î â ïê§

î ô

¾«¬î ã î

î � ï ¿²¼

çøîî � ï÷ â ïê§

î

ïè§î � ç â ïê§

î

î§î â ç ô

º® ³ ©¸»®» ·¬ º±´´±©­ô ¬¸¿¬ â î ò

í§ � î¨ â ð

í§ â î¨ ñ î ô

ç§î â ì¨

î ô

ç§î â ìøî§

î � ï÷ ô

§î â ó ì ô ©¸·½¸ ·­ º«´º·´´»¼ º±® »¿½¸ ò

Ò±©ô ©» ½±³» ¬± ¬¸» »­­»²½» ±º ¬¸» °®±±º æ

í � ì ä ¨ ô

¨ ä î§ ñ î ô ¨

î ä ì§

î ô î§

î � ï ä ì§

î ô î§

î â óï

ó ©¸·½¸ ¸±´¼­ º±® »¿½¸ ò

í � î ô

î î ô ôî î

ôî

îî � ï ô ï

î

ó ¬®«» º±® »¿½¸ ò

éî

Page 15: The method of infinite descent in geometry

Û¨¿³°´»­æ

øîíçôïêç÷ øíòîíç � ìòïêç ô íòïêç � îòîíç÷ øìïôîç÷

øíòìï � ìòîç ô íòîç � îòìï÷ øéôë÷ øíòé � ìòë ô íòë � îòé÷

øïôï÷ò

ß´´ ¬¸·­ ½¿² ¾» ¹»²»®¿´·¦»¼ ¿­ º±´´±©­ æ

É» ­»»µ ¿ ­±´«¬·±² ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² î � î

î ã óï ·² ¬¸» ­»¬ ±º ¬¸»

²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ò É» ¸¿ª» °®±ª»¼ ¬¸¿¬ øí õì ô î õí ÷ ·­ ¿

­±´«¬·±² ¿²¼ ¬¸«­ ©» ±¾¬¿·²»¼ ·²º·²·¬» ­»¯«»²½» ±º ­±´«¬·±²­ò Ò±©ô

¾§ ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º ¬¸» ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ©» ©·´´ ­¸±©ô ¬¸¿¬ ¬¸»

»¯«¿¬·±² ¸¿­ ²± ±¬¸»® ­±´«¬·±²­ò

É» ¸¿ª» °®±ª»¼ ¬¸¿¬ øí � ì ô í � î ÷ ¿®» ¿´­± ­±´«¬·±²­ô ·ò»ò º®±³

ø ô ÷ ©» ½¿² ±¾¬¿·² ­±´«¬·±²­ øøï÷

ôøï÷

÷ ·² ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ¿²¼ øï÷

ä ¿²¼øï÷

ä ò

̸»®»º±®»ô ¬¸» ­±´«¬·±² øøî÷

ôøî÷

÷ ©·´´ ¾» ­«½¸ ¬¸¿¬ â øï÷

â øî÷

¿²¼ â øï÷

â øî÷

ò

̸·­ ½¿² ²±¬ ¾» ½±²¬·²«»¼ ¬± ·²º·²·¬§ô ¾»½¿«­» ¬¸» ­»¬ ±º ¬¸» ²¿¬«®¿´

²«³¾»®­ ·­ ¾±«²¼»¼ ¾»´±©ò É» ©·´´ ½±³» ¿¬ ¬¸» ³±³»²¬ô ·² ©¸·½¸

øø²÷

ô §ø²÷

÷ ã øïôï÷ô ·ò ò ©» ±¾¬¿·²»¼ ¬¸» ¿´®»¿¼§ ©»´´óµ²±©² °¿·® ±º

­±´«¬·±²­ô ©¸·½¸ ©» ¸¿¼ ·² ¬¸» ±¾¬¿·²»¼ ·² Ô»³³¿ ï ­»¯«»²½»ò

Í·³·´¿®´§ô ©» ½¿² ½±²­·¼»® ¿²±¬¸»® °®±¾´»³ æ

Ô»³³¿ ï�ò æ ׺ ø ô¾ô ÷ ·­ ¿ Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬®·°´»ô ¬¸»²

øî õ¾õî ô õî¾õî ô î õî¾õí ÷ ·­ ¿´­± ¿ Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬®·°´»ò

Ю±±º æ

øî õ¾õî ÷î õ ø õî¾õî ÷

î � øî õî¾õí ÷

î ã

ãìîõ¾

îõì

îõì ¾õè õì¾ õ

îõì¾

îõì

îõì ¾õì õè¾ óì

îóì¾

îóç

îó

è ¾óïî óïî¾ ã

ãî õ ¾

î õ

î ã ðò

Ô»³³¿ î�ò ø¾¿½µ©¿®¼ °®±½»­­÷ æ ׺ ø ô¾ô ÷ ·­ ¿ Ч¬¸¿¹±®»¿²�­

¬®·°´»ô ¬¸»² øî õ¾óî ô õî¾óî ô óî óî¾õí ÷ ·­ ¿´­± ¿

Ч¬¸¿¹±®»¿²�­ ¬®·°´»ò

éí

Page 16: The method of infinite descent in geometry

̸» °®±±º °®±½»»¼­ ¿²¿´±¹·½¿´´§ ­·³·´¿®´§ ¬± ¬¸» ´¿­¬ ±²» æ

É» ¿´­± ¸¿ª» æ î õ ¾ � î ð

î õ ¾ î ñ î

ìî õì ¾ õ ¾

î ì

î

ìî õ ì ¾ õ ¾

î ìø

î õ ¾

î÷

ì ¾ í¾î

ì í¾

ì² íø²õï÷

² í

¿ õ î¾ � î½ â ð

¿ õ î¾ â î½ ñ î

¿î õ 쿾 õ ì¾

î â ì½

î

¿î õ 쿾 õ ì¾

î â ìø¿

î õ ¾

î÷

쿾 â í¿î

ì¾ â í¿

ìø² õï÷ â í²

² õ ì âð ó ¬®«» º±® »¿½¸ ²¿¬«®¿´ ²ò

ó î¿ � î¾ õ í½ â ð

í½ â î¿ õ î¾ ñ î

ç½î â ìø¿

î õ  õ ¾

î÷

çø¿î õ ¾

î÷ â ìø¿

î õ  õ ¾

î÷

ëø¿î õ ¾

î÷ â 迾ô ¾«¬

ëø¿îõ ¾

î÷ ëò â 迾 ø¬®«» ÿ÷ ò

׬ ·­ ·²¬»®»­¬·²¹ ¬¸¿¬ æ øëôïîôïí÷ øóìôíôë÷ ÿ

î¿ õ ¾ � î½ ä ¿ ¿ õ î¾ � î½ ä ¾

¿ õ ¾ ä î½ ¿ õ ¾ ä î½

¿ õ ¾ ä î½ ñ î

¿î õ  õ ¾

î ä ìø¿

î õ ¾

î÷

 ä íø¿î õ ¾

î÷ ø¬®«» ÿ÷

óî¿ �î¾ õ í½ ä ½

î½ ä î¿ õ î¾

½ ä ¿ õ ¾

½î ä ø¿ õ ¾÷

î

¿î õ ¾

î ä ¿

î õ ¾

î õ  ø¬®«» ÿ÷

Þ§ ¬¸·­ ·² ¿¼¼·¬·±² ©» °®±ª»¼æ

éì

Page 17: The method of infinite descent in geometry

Ô»³³¿ í� æ øî¿ õ ¾ � î½ ô ¿ õ î¾ � î½ ô óî¿ � î¾ õ í½÷ ä ø¿ô¾ô½÷ ÿ

É» ½¸»½µ æ ïî õ î

î ã ë

î

îî õ í

î ã ïí

î

íî õ ì

î ã ë

î ã ² í ÿ

Ô»¬ «­ ¼»²±¬» æ ø¿øð÷

ô ¾øð÷

ô ½øð÷

÷ ø¿ô ¾ô ½÷ô

ø¿øï÷

ô ¾øï÷

ô ½øï÷

÷ øî¿õ¾óî½ ô ¿õî¾óî½ ô óî¿óî¾õí½÷ ò

̸»®»º±®» º±® íô º®±³ ¬¸» ­±´«¬·±² ø¿øð÷

ô¾øð÷

ô½øð÷

÷ ·² ²¿¬«®¿´

²«³¾»®­ ©» ¹»¬ ¬¸» ­±´«¬·±² ø¿øï÷

ô¾øï÷

ô½øï÷

÷ ·² ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ­«½¸

¬¸¿¬ æ

ø¿øï÷

ô¾øï÷

ô½øï÷

÷ ä ø¿øð÷

ô¾øð÷

ô½øð÷

÷ ò

Í·²½» ¬¸·­ °®±½»­­ ½¿² ²±¬ ¾» ½±²¬·²«»¼ ¬± ·²º·²·¬§ô ¬¸»² ©» ©·´´ ½±³»

¬± ¿ ­±´«¬·±²

ø¿ø²÷

ô ¾ø²÷

ô ½ø²÷

÷ ô ©¸»®» ¿ø²÷

í ô ¾«¬ í ¿ø²÷

ã í ô ¾ø²÷

ã ì ô ½ø²÷

ã

ë ò ß¹¿·² ©» ±¾¬¿·²»¼ øíôìôë÷ ó ¬®·°´» ±º ¬¸» °®»ª·±«­´§ ½±²­¬®«½¬»¼

­»¯«»²½»ò

Êò Í¿³°´» °®±¾´»³­

Ю±¾´»³ ï æ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¬¸» ¾¿­» ßÞ ¿²¼ ¬¸» ­·¼»­ ßÝ ã ÞÝ ·² ¿²

·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ¿²¹´» íê ¿¬ ¬¸» ª»®¬»¨ Ý ¿®» ·²½±³³»­«®¿¾´»ò

Ю±¾´»³ î æ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¬¸» ²«³¾»® é ½¿²²±¬ ¾» ®»°®»­»²¬»¼ ¿­ ¬¸»

­«³ ±º ¬¸» ­¯«¿®»­ ±º ¬¸®»» ®¿¬·±²¿´ ²«³¾»®­ò

Ю±¾´»³ í æ Ú·²¼ ¿² ·²¬»¹»® ­±´«¬·±² ¬± ¬¸» º±´´±©·²¹ æ

¿÷í � í

í � ç¦

í ã ðô

¾÷ ëí õ ïï

í õ ïí¦

í ã ð ò

Ю±¾´»³ ì æ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±²­ æ

÷î õ

î õ ¦

î ã î ¦ô

¾÷ ì õ

ì ã ¦

ì ò

¼±²�¬ ¸¿ª» ¿ ­±´«¬·±² ·² ¬¸» ­»¬ ±º ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ò

Ю±¾´»³ ë æ Ú·²¼ ¿ ²¿¬«®¿´ ­±´«¬·±² ¬± ¬¸» º±´´±©·²¹ æ

÷î õ ø õ ï÷

î ã

î õ ïô

¾÷ íî � é

î õ ï ã ðô

½÷ ø õ ï÷í �

í ã

î ò

Ю±¾´»³ ê æ Ю±ª» ¬¸¿¬ ¿ ²«³¾»® ±º ¬¸» µ·²¼ ì²øèµóï÷ô ©¸»®» µ ¿²¼

² ¿®» ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ô ½¿²²±¬ ¾» ¿ ½±³°´»¬» ­¯«¿®» ±® ½¿²²±¬ ¾»

®»°®»­»²¬»¼ ¿­ ¬¸» ­«³ ±º î ±® í ­¯«¿®»­ ±º ·²¬»¹»® ²«³¾»®­ò

Ю±¾´»³ é æ Ô»¬ ïô îô òòò ô ² ·­ ¿ ­»¯«»²½» ±º ²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ ø

² â î ÷ò Ú®±³ ¬¸·­ ­»¯«»²½» §±« ½¿² ¹»¬ ¿²±¬¸»® ­»¯«»²½»

éë

Page 18: The method of infinite descent in geometry

îô

îôòòòòòòòô

îô

î

ïïíîîï ¿¿¿¿¿¿¿¿ ²²² å º®±³ ¬¸¿¬ ±²» � §±« ¹»¬ ¬¸»

²»¨¬ ­»¯«»²½» º±´´±©·²¹ ¬¸» ­¿³» ®«´»ô »¬½ò Ю±ª» ¬¸¿¬ ¿º¬»® ­»ª»®¿´

­¬»°­ §±« ©·´´ ¹»¬ ¿ ­»¯«»²½» º±® ©¸·½¸ ²±¬ ¿´´ ²«³¾»®­ ¿®» ·²¬»¹»®­ò

Ю±¾´»³ è æ DZ« ¿®» ¹·ª»² ¿ ½±²ª»¨ °±´§¸»¼®±² ¿²¼ ¿ °±·²¬ ·²­·¼» ·¬ò

͸±© ¬¸¿¬ ¿¬ ´»¿­¬ ±²» ±º ·¬­ °»®°»²¼·½«´¿®­ô °¿­­·²¹ ¬¸®±«¹¸ ¬¸¿¬ °±·²¬

¬± °´¿²»­ ±º ·¬­ º¿½»­ô ·²¬»®­»½¬ ¬¸» ½±®®»­°±²¼»²¬ º¿½»ò ×­ ¬¸¿¬ ¿ ¬®«»

º¿½¬ º±® ²±²½±²ª»¨ °±´§¸»¼®±²á

Ю±¾´»³ ç æ Ô»¬ ¿ ¾» ¿² ¿®¾·¬®¿®§ ­»¯«»²½» ½±²­·­¬·²¹ ±º

²¿¬«®¿´ ²«³¾»®­ò Ю±ª» ¬¸¿¬ ©» ½¿² º±®³ ¿ ²»© ­»¯«»²½» «­·²¹ ¬¸»

®«´» ¬¸¿¬

²¿¿îîï ôòòòôô

ïïîôîôòòòôîôï ¿¿ ²

²

µ

¾îï ô

½î ôòòòôô

ï ôµ¿¿ µµ

²¾î

ôòòòô

²½î

¾ ô ¿º¬»® º®±³ ¬¸»

­»¯«»²½» ¾ «­·²¹ ¬¸» ­¿³» ®«´» ©» ½¿² º±®³ ¿²±¬¸»®

­»¯«»²½» ô ¿²¼ ¿º¬»® ¿ º»© ­·³·´¿® ­¬»°­ ©» ¹»¬ ¿ ­»¯«»²½»

½±²·­¬·²¹ ±º ¦»®±­ ±²´§ò

½ï

Ê×××ò ݱ²½´«­·±²

ß­ ©» ¸¿ª» ­»»² ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º ¬¸» ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ½¿² ¾» ¿°°´·»¼

·² ª¿®·±«­ °®±¾´»³­ ·² ¿´¹»¾®¿ô ¿­ ©»´´ ¿­ ·² ¹»±³»¬®§ò ׬ ½¿² ¾»

½±²­·¼»®»¼ ¿­ ¿ ½±³¾·²¿¬·±² ±º ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º ³¿¬¸»³¿¬·½¿´

·²¼«½¬·±² ¿²¼ °®±±º ´»¿¼·²¹ ¬± ½±²¬®¿¼·½¬·±²ò

̸» ³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ¸¿­ ¾»»² «­»¼ º®±³ ¬¸» ¿²½·»²¬

¹®»»µ ³¿¬¸»³¿¬·½·¿²­ò ײ Ê××ó¬¸

½»²¬«®§ з»®®» Ü» Ú»®³¿¬ ¸¿­

¹·ª»² ¬¸» ³»¬¸±¼ ¬¸·­ ²¿³»ô ©¸·´» ¿¬¬»³°¬·²¹ ¾§ «­·²¹ ·¬ ¬± º·²¼

²±²¦»®± ­±´«¬·±²­ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ì õ §

ì ã ¦

ì � ¿ °®±¾´»³ ¬±±

¼·ºº·½«´¬ ¿²¼ ½±³°´·½¿¬»¼ò

̸» ³»¬¸±¼ ±º ·²º·²·¬» ¼»­½»²¬ ¹·ª»­ ­·¹²·º·½¿²¬´§ ­¸±®¬»® ¿²¼ »¿­·»®

­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸±­» ¼·ºº·½«´¬ °®±¾´»³­ò Ò¿³»´§ ¬¸·­ ·­ ª»®§ ­·¹²·º·½¿²¬ô

¾»½¿«­» ¬¸» »­­»²¬·¿´ ³¿¬¸»³¿¬·½­ ½±²­·­¬­ ·² ¬¸» ­µ·´´ ¬± ±¾¬¿·²

²±²¬®·ª·¿´ ®»­«´¬­ ©·¬¸ ¬¸» ¸»´° ±º ¬¸» ­·³°´»­¬ °±­­·¾´» ³¿¬¸»³¿¬·½¿´

¬±±´­ò

éê

Page 19: The method of infinite descent in geometry

ÎÛÚÛÎÛÒÝÛÍ

ïò α­»² Õò Øòô øïççí÷ôÛ´»³»²¬¿®§ Ò«³¾»® ̸»±®§ ¿²¼ ׬­

ß°°´·½¿¬·±²­ô ß¼¼·­±² � É»­´»§ Ы¾´·­¸·²¹ ݱ³°¿²§ô ëìì °¿¹»­ò

îò ß²¼®»»­½« Ìòô Üò ß²¼®·½¿ô øîððî÷ô ß² ײ¬®±¼«½¬·±² ¬± Ü·±°¸¿²¬·²»

Û¯«¿¬·±²­ô Ù×Ô Ð«¾´·­¸·²¹ ر«­»ô α³¿²·¿ô ïçè °¿¹»­ò

íò Ò¿¹»´´ Ì®§¹ª»ô øïçéï÷ô ß² ײ¬®±¼«½¬·±² ·² ¬¸» ̸»±®§ ±º Ò«³¾»®­

øÞ«´¹¿®·¿²÷ô ͽ·»²½» ¿²¼ ß®¬ô ͱº·¿ô îêï °¿¹»­ò

ìò Ù»´º±²¼ ßò Ñòô øïçèí÷ô ͱ´«¬·±² ±º Û¯«¿¬·±²­ ·² ײ¬»¹»® Ò«³¾»®­

øΫ­­·¿²÷ô Óô ͽ·»²½»ô ÙÎÚÓÔô °°ò îíô íðô íí � ìêò

ëò Í»®°·²­µ·· Êòô з¬¸¿¹±®»¿² Ì®·¿²¹´»­ô Óòô ˽¸°»¼¹·¦ô ïçëçò

êò Ѿ®»­¸µ±ª Òòô ×ò Ü«·½¸»ªô Ô»±²¿®¼ Û«´»® øÞ«´¹¿®·¿²÷ô ͱº·¿ô

Ò¿®±¼²¿ Ю±­ª»¬¿ô ïçëèò

éò Ê·²±¹®¿¼±ª ×ò Óòô øïçêë÷ô ̸» Þ¿­» ±º ¬¸» ̸»±®§ ±º Ò«³¾»®­ô

ͽ·»²½» Ы¾´òô ÙÎÚÓÔô Óòô ïéî °¿¹»

èò Õ«®´§¿²¼½¸·µ Ôòô Ùò ᦻ²¾´§«³ô øïçéè÷ô ̸» Ó»¬¸±¼ ±º ײº·²·¬»

Ü»­½»²¬ øΫ­­·¿²÷ô ÕÊßÒÌô Ò±ò ïô °°ò îì � îéò

çò Ë­¸¿µ±ª Êò Êòô ̸» Ó»¬¸±¼ ±º ײº·²·¬» Ü»­½»²¬ øΫ­­·¿²÷ô

ÕÊßÒÌò

éé

Page 20: The method of infinite descent in geometry

éè