The Coordinated Max-Median Rule

8/4/2019 The Coordinated Max-Median Rule

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C o n n e x i o n s m o d u l e : m 3 2 5 2 3 1

T h e C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n R u l e

f o r P o r t f o l i o S e l e c t i o n

R i c a r d o A n i t o

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

A b s t r a c t

A p a r t i a l s u m m a r y o f t h e w o r k p e r f o r m e d b y o n e C o m p u t a t i o n a l F i n a n c e P F U G [ u n d e r R i c e U n i -

v e r s i t y ' s V I G R E S u m m e r R e s e r a c h P r o g r a m ] i s p r o v i d e d i n t h i s m o d u l e . V I G R E ( V e r t i c a l l y I n t e g r a t e d

G r a n t s f o r R e s e a r c h a n d E d u c a t i o n ) i s f u n d e d b y t h e N S F ( N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n ) . E m p i r i c a l

R e s e a r c h w a s g e a r e d t o w a r d s a s s e s s i n g t h e p e r f o r m a n c e o f a n " i m p r o v e d " n - a t - a - t i m e s t o c k s e l e c t i o n r u l e

f o r p o r t f o l i o c o n s t r u c t i o n . T h e " C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n " a l g o r i t h m d e v e l o p e d i s d e s c r i b e d i n d e t a i l

a l o n g w i t h i t s c o m p u t a t i o n a l c h a l l e n g e s . A l s o i n c l u d e d a r e v a r i o u s e v a l u a t i o n s p e r f o r m e d w i t h r e a l w o r l d

d a t a ( S & P 5 0 0 I n d e x ) . T h i s C o n n e x i o n s M o d u l e s u m m a r i z e s t h e d e t a i l s o f s u c h r e s e a r c h .

1 M o t i v a t i o n

1 . 1 T h e M a x - M e d i a n R u l e f o r P o r t f o l i o S e l e c t i o n

P r e v i o u s r e s e a r c h s u g g e s t s t h a t t h e r e e x i s t s t r a t e g i e s t h a t , w h e n i m p l e m e n t e d o v e r a l o n g p e r i o d o f t i m e ,

m i g h t p r o v i d e h i g h e r r e t u r n s t h a n o v e r a l l m a r k e t p e r f o r m a n c e ( s e e , e . g . [ 1 ] ) . O n e o f t h e s e s t r a t e g i e s , n a m e l y

t h e M a x - M e d i a n R u l e , w a s i n v e s t i g a t e d b y T h o m p s o n a n d B a g g e t t ( s e e [ 2 ] ) , a n d s e r v e d a s a g e n e r a l

m o t i v a t i o n f o r t h i s r e s e a r c h . B y s e l e c t i n g a h a n d f u l o f s t o c k s , a c c o r d i n g t o s o m e r o b u s t c r i t e r i o n ( e . g . t h e

m e d i a n ) a n d r e b a l a n c i n g c o n s i s t e n t l y w i t h o u t s t r a y i n g a w a y f r o m t h e s t r a t e g y , v i r t u a l l y a n y i n v e s t o r c o u l d

e a s i l y m a n a g e h i s o r h e r p o r t f o l i o q u i t e r e a s o n a b l y . O v e r t h e l o n g - h a u l , t h i s s t r a t e g y w o u l d p r o v i d e d e c e n t

r e t u r n s w h e n c o m p a r e d t o a b e n c h m a r k i n d e x ( e . g . t h e S & P 5 0 0 I n d e x ) . I t i s w o r t h w h i l e n o t i n g t h a t

i n s t r a t e g i e s s u c h a s t h e s e , t i m e i s a m a j o r c o n s i d e r a t i o n ( a n d o n e w h i c h i n v e s t o r s c a n c o n t r o l , e . g . w h e n

i n v e s t i n g r e t i r e m e n t f u n d s s u c h a s a 401K) , a n d t h a t t h e s e m e t h o d s d o n o t c o n s t i t u t e d a y - t r a d i n g s t r a t e g i e s , a n d s h o u l d b e a d h e r e d - t o c o n s i s t e n t l y o v e r a g i v e n p e r i o d .

S e v e r a l s a l i e n t p o i n t s o f t h i s m o t i v a t i n g i n v e s t m e n t s t r a t e g y a r e :

1 . I t i s a c c e s s i b l e t o a n y i n d i v i d u a l i n v e s t o r .

2 . O v e r a n e x t e n s i v e t i m e - p e r i o d f o r w h i c h i t w a s e x a m i n e d ( i . e . 3 7 y e a r s - 1 9 7 0 t h r o u g h 2 0 0 6 ) i t

o u t p e r f o r m e d t h e S & P 5 0 0 I n d e x b y a b o u t 5 0 % .

3 . I t w a s s l i g h t l y m o r e v o l a t i l e o n a y e a r l y - b a s i s . A n e e c t t h a t c a n , t o a r e a s o n a b l e e x t e n t , b e u s e d t o

a n i n v e s t o r ' s a d v a n t a g e i n l o n g e r - t e r m i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s .

V e r s i o n 1 . 1 : O c t 1 9 , 2 0 0 9 1 : 4 6 a m G M T - 5

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 3 . 0 /

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 3 2 5 2 3 / 1 . 1 /


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T h e s e p o i n t s c l e a r l y s e r v e u s a s a m o t i v a t i o n f o r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n a n d p o t e n t i a l i m p r o v e m e n t s . I n

p a r t i c u l a r , t h r o u g h r e c o g n i z i n g t h a t t h e e x i s t i n g s t r a t e g y , a l b e i t w e l l - p e r f o r m i n g , i s i n h e r e n t l y a o n e - a t - a -

t i m e s t r a t e g y a n d t h e r e f o r e d o e s n o t c a p t u r e a n y c o r r e l a t i o n - r e l a t e d d y n a m i c s t h r o u g h i t s s e l e c t i o n c r i t e r i a .

L a s t l y , w e w e r e a l s o m o t i v a t e d t o i n v e s t i g a t e ( a t l e a s t i n i t i a l l y ) e q u a l l y - w e i g h t e d p o r t f o l i o s . A n i n t e r e s t i n g

n d i n g ( s e e , e . g . W o j c i e c h o w s k i , B a g g e t t , a n d T h o m p s o n [ 3 ] ) , i s t h a t f o r t h e 3 3 y e a r s f r o m 1 9 7 0 t h r o u g h

2 0 0 2 , n o t s i m p l y a u k i s h f e w , b u t a s t a g g e r i n g 6 5 p e r c e n t o f t h e p o r t f o l i o s s e l e c t e d r a n d o m l y f r o m t h e

1 , 0 0 0 l a r g e s t m a r k e t c a p s t o c k s l i e a b o v e t h e C a p i t a l M a r k e t L i n e ( C M L ) . A l s o , i t h a s b e e n s h o w n ( s e e [ 2 ] )

t h a t a n y i n d i v i d u a l w h o i n v e s t e d e q u a l l y i n t h e S & P 5 0 0 C o n s t i t u e n t s ( t i m e p e r i o d o f 1 9 7 0 t h r o u g h 2 0 0 6 )

w o u l d h a v e m a d e , o n a y e a r l y a v e r a g e , 1 3 . 7 % , a s o p p o s e d t o 8 . 9 % w i t h a c o m p e t i n g m a r k e t - c a p w e i g h t e d

s t r a t e g y . B o t h o f t h e s e e m p i r i c a l r e a l i t i e s m a k e , a t l e a s t p r e l i m i n a r i l y , a c a s e a g a i n s t c o n s i d e r i n g l o n g - t e r m

m a r k e t - c a p w e i g h t e d s t r a t e g i e s .

2 T h e C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n R u l e

2 . 1 I n t r o d u c t i o n

W e n o w c o n s i d e r a s t r a t e g y w h i c h a l l o w s u s t o i m p l i c i t l y c a p t u r e t h e j o i n t p e r f o r m a n c e o f s e c u r i t i e s a s p a r t

o f o u r s e l e c t i o n c r i t e r i a . O u r g o a l i s t o p i c k , f r o m t h e u n i v e r s e o f i n v e s t i b l e s t o c k s , a m e a n i n g f u l h a n d f u l

o n w h i c h t o e q u a l l y a l l o c a t e a g i v e n i n v e s t m e n t q u a n t i t y o n a y e a r l y b a s i s . A s a r s t s t e p , w e c o n s i d e r t h e

S & P 5 0 0 c o n s t i t u e n t s t o b e o u r u n i v e r s e o f s t o c k s f r o m w h i c h c a n s e l e c t a c r i t i c a l f e w ( a n u m b e r w h i c h w e

h a v e s e t i n i t i a l l y , a n d s o m e w h a t a r b i t r a r i l y , t o 2 0 . T h i s q u a n t i t y s e e m e d b o t h a p p e a l i n g a n d r e a s o n a b l e i n

t e r m s o f b e i n g n a n c i a l l y m a n a g e a b l e a n d c o m p u t a t i o n a l l y f e a s i b l e ) . I t i s a l s o w o r t h w h i l e n o t i n g , t h a t w e

r e g a r d l i m i t i n g a n i n v e s t o r t o s e l e c t f r o m t h e S & P 5 0 0 ( o r a n y o t h e r w e l l - k n o w n i n d e x ) a s b o t h a r e a s o n a b l e

a n d s o u n d l y r e s t r i c t e d s t a r t i n g p o i n t . F u r t h e r m o r e , w e a l s o k n o w t h a t s t o c k s l i s t e d i n t h e S & P 5 0 0 a r e

r e p r e s e n t a t i v e o f v a r i o u s m a r k e t s e c t o r s ( i n h e r e n t l y d i v e r s i e d ) a s w e l l a s o f v a r i o u s r e a s o n a b l e c o m p a n y

s i z e s ( i n t e r m s o f m a r k e t c a p i t a l i z a t i o n ) . A d d i t i o n a l l y , o t h e r l t e r i n g c r i t e r i a i n h e r e n t i n a r e a s o n a b l e - s i z e

i n d e x ( i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f c o n s t i t u e n t s ) , s e e m t o p r o v i d e a g o o d b a s e l i n e b o t h a s a b e n c h m a r k ( t o

o u t p e r f o r m ) a n d a s a s e n s i b l e c o n s t r a i n t t o t h e u n i v e r s e o f a l l p o t e n t i a l l y - c o n s i d e r e d s t o c k s .

2 . 2 P r e l i m i n a r y S e t u p

O u r r s t s t e p i s t o s e l e c t a s u b s e t o f s t o c k s f r o m a g i v e n i n d e x i n w h i c h t o a l l o c a t e a g i v e n i n v e s t m e n t a t

a n y g i v e n p o i n t i n t i m e . H e r e , a n d i n g e n e r a l , w e c a n s t a r t b y c o n s i d e r i n g a s u b s e t o f n s t o c k s f r o m a g i v e n

i n d e x I w i t h K c o n s t i t u e n t s . O u r e v a l u a t i o n s c o n s i d e r e d I = S & P 5 0 0 ( f o r w h i c h K = 500 ) a n d a s s e m b l i n g b a s k e t s o f n = 20 e a c h t i m e . B a s e d o n t h i s s e t u p , t h e r e i s a t o t a l o f C500

20 2.667 1035 u n i q u e b a s k e t s

o f r a n d o m l y s e l e c t e d s e c u r i t i e s t h a t w e c o u l d p o t e n t i a l l y c o n s i d e r . C l e a r l y , i f w e r e q u i r e e v a l u a t i n g s o m e

o p t i m a l o b j e c t i v e f u n c t i o n o v e r a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s , t h i s b e c o m e s c o m p u t a t i o n a l l y i n f e a s i b l e .

I n s t e a d , w e p r o c e e d b y s e l e c t i n g s t o c k s a c c o r d i n g t o s o m e p l a u s i b l e r o b u s t c r i t e r i o n t h a t c a n b e a p p l i e d

t o a n y r a n d o m l y a s s e m b l e d b a s k e t ( t h e m o s t a p p e a l i n g , b o t h i n t e r m s o f i n t e r p r e t a t i o n a n d p r i o r r e s u l t s ,

b e i n g t h e m e d i a n o f t h e p o r t f o l i o d a i l y - r e t u r n s ) . W e a l s o n o t e , a n d q u i t e e m p h a t i c a l l y s o , t h a t t o b o t h

e v a l u a t e a m e a n i n g f u l a m o u n t o f p o r t f o l i o s a s w e l l a s t o a s s e s s p r o c e d u r e r e p e a t a b i l i t y , w e c l e a r l y n e e d t o

p a r a l l e l i z e t h i s e o r t .

2 . 3 A l g o r i t h m

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m :

S t e p 1 . P i c k n - s t o c k s ( e . g . n = 20 ) f r o m t h e S & P 5 0 0 I n d e x a t r a n d o m . S t e p 2 . F o r m P o r t f o l i o j ( s t a r t w i t h j = 1 ) a t t i m e t = 0 , i . e . Pj (t = 0), b y e q u a l - w e i g h t i n v e s t m e n t i n t h e s e

n - s t o c k s .



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S t e p 3 . O n a d a y - t o - d a y b a s i s ( a n d f o r T t r a d i n g d a y s i n a n y g i v e n y e a r ) c o m p u t e t h e d a i l y - r e t u r n s f o r P o r t f o l i o

j :

rj (t) :=Pj (t) Pj (t 1)

Pj (t 1); t = 1, 2,...,T ( 1 )

S t e p 4 . S o r t t h e s e f o r t h e y e a r s t r a d i n g d a y s .

S t e p 5 . C a l c u l a t e t h e m e d i a n d a i l y - r e t u r n f o r P o r t f o l i o j , l e t Pj := median (Pj) .S t e p 6 . R e p e a t S t e p s ( 1 - 5 ) a b o v e f o r j = 1, 2,...,J ( e . g . J= 10, 000) a d d i t i o n a l r a n d o m l y s e l e c t e d p o r t f o l i o s .

S t e p 7 . P i c k t h e p o r t f o l i o w i t h t h e h i g h e s t m e d i a n , i . e . Pj s . t . j = argmax

j{1,2,...,J}

Pj

.

S t e p 8 . I n v e s t e q u a l l y i n Pj .

S t e p 9 . H o l d f o r o n e y e a r , t h e n l i q u i d a t e .

S t e p 1 0 . R e p e a t S t e p s ( 1 - 9 ) , y e a r l y , o v e r t h e t i m e - f r a m e o f i n t e r e s t .

W e p i c k a s u b s e t o f n = 20 y e a r l y i n v e s t i b l e s t o c k s a c c o r d i n g t o t h e a f o r e d e s c r i b e d c r i t e r i o n a t t h e e n d o f a n y g i v e n y e a r ( u s i n g t h e m o s t r e c e n t o n e - y e a r d a t a ) . W e t h e n a l l o c a t e o u r i n v e s t m e n t q u a n t i t y i n t h i s

p o r t f o l i o , o n t h e r s t t r a d i n g d a y o f t h e s u b s e q u e n t y e a r , h o l d i n g i t f o r o n e y e a r a n d c o n c u r r e n t l y c o l l e c t i n g

d a t a d u r i n g t h i s y e a r t o r e p e a t t h i s p r o c e d u r e a t t h e e n d o f t h e y e a r . W e e s s e n t i a l l y k e e p o n r e p e a t i n g t h i s

p r o c e d u r e o v e r t h e p e r i o d f o r w h i c h w e w a n t t o e v a l u a t e t h e s t r a t e g y .

I t i s a l s o i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t u n d e r t h e p r e v i o u s m o t i v a t i n g r u l e ( i . e . t h e M a x - M e d i a n R u l e ) , w e

w o u l d a l w a y s g e t a n e x a c t a n s w e r r e g a r d i n g w h i c h s t o c k s h a d t h e s i n g l e h i g h e s t m a x - m e d i a n s , i n a n i t e ,

r a t h e r s h o r t , a m o u n t o f t i m e ( a n e s s e n t i a l l y NP- c o m p l e t e p r o b l e m ) . T h i s i m p l i e d d e t e r m i n i s m , i n t h e

s e n s e t h a t a n y s u b s e q u e n t r u n s w o u l d p r o d u c e t h e s a m e r e s u l t s , a m o u n t s t o a v a r i a n c e o f z e r o . H o w e v e r ,

i t i s r a t h e r e v i d e n t t h a t o u r m o d i e d a l g o r i t h m i s i n h e r e n t l y s t o c h a s t i c a s w e c a n n o t e v a l u a t e a l l p o s s i b l y

i m a g i n a b l e c o m b i n a t i o n s o f p o r t f o l i o s . A s a d i r e c t c o n s e q u e n c e , a n d b y r a n d o m l y s e l e c t i n g a r e a s o n a b l e

n u m b e r o f p o r t f o l i o s f o r e v a l u a t i o n w e e x p e c t t o o b s e r v e s o m e n a t u r a l v a r i a t i o n , i n t h e s e n s e o f t h e p r o c e d u r e ' s

r e p e a t a b i l i t y ( e a c h r u n w i l l b e e s s e n t i a l l y u n i q u e ) . I t i s p o s s i b l e ( a n d r a t h e r i n t e r e s t i n g ) t o e x p l o i t t h i s n a t u r a l

v a r i a t i o n t o a s s e s s t h e o v e r a l l r e p e a t a b i l i t y o f t h i s m o d i e d p r o c e d u r e .

2 . 4 D a t a S u m m a r y a n d D e s c r i p t i o n

D a t a w e r e o b t a i n e d f r o m t h e U n i v e r s i t y o f P e n n s y l v a n i a W h a r t o n / W R D S R e p o s i t o r y [ 4 ] . T h e f o l l o w i n g

d a t a w e r e u t i l i z e d f o r o u r e v a l u a t i o n s :

1 . S & P 5 0 0 D e c e m b e r C o n s t i t u e n t s ' G V K E Y s , 1 9 6 5 t o 2 0 0 6 ( C o m p u s t a t ) .

2 . S & P 5 0 0 D a i l y D a t a [ i n c l u d i n g : R e t u r n s w i t h D i v i d e n d s , S h a r e P r i c e , S h a r e s O u t s t a n d i n g , A d j u s t m e n t

F a c t o r s , P E R M N O s ( C R S P ) ] .

3 . M a p p i n g T a b l e f r o m G V K E Y s t o P E R M N O s .

D a t a w e r e a l s o o b t a i n e d f r o m Y a h o o ! F i n a n c e :

1 . C o m p a n y T i c k e r s f o r S & P 5 0 0 D e c e m b e r 2 0 0 7 C o n s t i t u e n t s .

2 . I n d e x R e t u r n s f o r S P X ( S & P 5 0 0 M a r k e t - C a p W e i g h t e d ) .

3 . I n d e x R e t u r n s f o r S P X . E W ( S & P 5 0 0 E q u a l l y W e i g h t e d , a v a i l a b l e f r o m m i d - 2 0 0 3 t o p r e s e n t ) .

F o r o u r e v a l u a t i o n s w e n o t e t h a t o u r y e a r l y r e t u r n s w i t h d i v i d e n d s w e r e c a l c u l a t e d f r o m t h e r s t t r a d i n g d a y

t o t h e l a s t t r a d i n g d a y p e r y e a r a n d t h a t d i v i d e n d s w e r e i n c l u d e d . A l s o t h e s i z e o f t h e d a t a l e s a n a l y z e d

w a s a p p r o x i m a t e l y 9 0 0 M B .

2 . 5 P a r a l l e l P r o c e s s i n g E n v i r o n m e n t a n d S o f t w a r e

I t i s w o r t h w h i l e m e n t i o n i n g s o m e g e n e r a l d e t a i l s r e g a r d i n g t h e o v e r a l l p a r a l l e l i z e d i m p l e m e n t a t i o n o f t h i s

p r o c e d u r e . I t w a s s u c c e s s f u l l y i m p l e m e n t e d u s i n g t h e s o f t w a r e R , w i d e l y a n d f r e e l y a v a i l a b l e f r o m t h e C o m -

p r e h e n s i v e R A r c h i v e N e t w o r k ( C R A N ) . S e v e r a l p a c k a g e s a v a i l a b l e f o r R , m a k e a p a r a l l e l i z e d i m p l e m e n t a t i o n o f



4/11


t h e a l g o r i t h m v e r y s t r a i g h t f o r w a r d . I n p a r t i c u l a r , w e m a d e u s e o f s n o w ( s e e , e . g . [ 5 ] a n d [ 6 ] ) , a n d s n o w f a l l

( s e e [ 7 ] ) , b o t h r u n n i n g o v e r o p e n - M P I . S o m e o f t h e r e a s o n s f o r c h o o s i n g t h i s i m p l e m e n t a t i o n w e r e :

1 . F r a m e w o r k p r o v i d e s a p o w e r f u l p r o g r a m m i n g i n t e r f a c e t o a c o m p u t a t i o n a l c l u s t e r ( s u c h a s t h o s e a v a i l -

a b l e a t R i c e U n i v e r s i t y , e . g . S U G @ R a n d A D A ) .

2 . F r e e l y a v a i l a b l e u n d e r t h e C o m p r e h e n s i v e R A r c h i v e N e t w o r k ( C R A N ) .

3 . E a s i l y d i s t r i b u t e s c o m p u t a t i o n s o f e x i s t i n g f u n c t i o n s ( a f t e r p e r t i n e n t m o d i c a t i o n s ) t o v a r i o u s c o m p u -

t a t i o n n o d e s .

4 . E x c e l l e n t f o r e m b a r r a s s i n g l y - p a r a l l e l i m p l e m e n t a t i o n s a n d c o m p u t a t i o n s .

I n e s s e n c e , t h i s a p p r o a c h w a s v e r y a p p e a l i n g i n t e r m s o f p e r f o r m a n c e , d e v e l o p m e n t t i m e , a n d c o s t ( e s s e n t i a l l y

f r e e ) . A l t h o u g h f a s t e r a n d m o r e e c i e n t i m p l e m e n t a t i o n s a r e p o s s i b l e ( e . g . C / C + + a n d F o r t r a n w i t h

o p e n - M P I , t h e a f o r e m e n t i o n e d i m p l e m e n t a t i o n w a s s u c i e n t f o r o u r p u r p o s e s ) .

T h e c o d e u t i l i z e d w a s i n i t i a l l y d e v e l o p e d f o r s e q u e n t i a l e x e c u t i o n ( i n S A S ) a n d t h e n c o n v e r t e d t o R w i t h

s i m i l a r p e r f o r m a n c e . I t w a s s u b s e q u e n t l y c o n v e r t e d f r o m s e q u e n t i a l t o p a r a l l e l t o e x p l o i t t h e b e n e t s o f a

p a r a l l e l R - i m p l e m e n t a t i o n . T h e s t a n d a r d s t e p s f o r t h i s c o n v e r s i o n p r o c e s s a r e p r e t t y s t a n d a r d , e s s e n t i a l l y :

1 . W e i d e n t i f y t h e l o o p s w h i c h c a r r y i n d e p e n d e n t c o m p u t a t i o n s . w e h a v e t w o m a i n l o o p s . F i r s t l y , s i m -

u l a t i n g J p o r t f o l i o s c a n b e r e g a r d e d a s J i n d e p e n d e n t o p e r a t i o n s , w h i c h w e c a n e x e c u t e c o n c u r r e n t l y .

S e c o n d l y , r u n n i n g t h e a l g o r i t h m o v e r a n u m b e r o f N y e a r s , c a n b e r e g a r d e d a s N i n d e p e n d e n t c o m p u -

t a t i o n a l e o r t s .

2 . V e c t o r i z e l o o p s ( W o r k h o r s e F u n c t i o n s ) .

3 . G a t h e r r e s u l t s ( C o m b i n e / G a t h e r F u n c t i o n s ) .

4 . D i s t r i b u t e E x e c u t i o n ( C a l l f u n c t i o n s w i t h s n o w ) .

S e v e r a l 6 4 p r o c e s s o r j o b s w e r e s u b m i t t e d t o R i c e ' s C r a y X D 1 R e s e a r c h C l u s t e r ( A D A ) - o c c u p y i n g 1 6

n o d e s , e a c h w i t h a t o t a l o f 4 p r o c e s s o r s . T h e j o b s w o u l d t a k e l e s s t h a n 2 0 h o u r s t o c o m p l e t e , f o r a b o u t 6 4

s i m u l a t e d t r a c k s o f 4 0 y e a r s e a c h .

3 R e s u l t s

3 . 1 P r e l i m i n a r y R e s u l t s

S e v e r a l s i m u l a t i o n s w e r e r u n w i t h o b s e r v e d , a b o v e a v e r a g e p e r f o r m a n c e ( n u m b e r o f p o r t f o l i o s i n s p e c t e d p e r

s i m u l a t i o n w a s i n t h e r a n g e o f J = 25, 000 t o J = 50, 000) . F i g u r e 1 s h o w s a s i m u l a t i o n o f J = 50, 000p o r t f o l i o s p e r y e a r o v e r a p e r i o d o f 4 3 y e a r s . S e v e r a l i n t e r e s t i n g f e a t u r e s c a n b e n o t e d t h r o u g h t h i s g u r e .

W e c a n a p p r e c i a t e t h a t a n y i n v e s t o r t h a t m a d e u p a p o r t f o l i o w i t h a n i n i t i a l i n v e s t m e n t o f $ 1 0 0 , 0 0 0 i n 1 9 7 0

a n d s e l e c t e d t h e s a m e s t o c k s c h o s e n b y o u r a l g o r i t h m w o u l d h a v e a l l o w e d h i s o r h e r p o r t f o l i o t o c o m p o u n d t o

a t o t a l o f $ 3 . 7 M ( b y t h e e n d o f 2 0 0 8 ) , w h i c h p e r f o r m e d b e t t e r t h a n b o t h a n e q u a l - i n v e s t m e n t s t r a t e g y i n t h e

S & P 5 0 0 I n d e x ( a b o u t $ 2 . 7 M ) o r a m a r k e t - c a p w e i g h t e d i n v e s t m e n t s t r a t e g y i n t h e S & P 5 0 0 I n d e x ( s l i g h t l y

b e l o w $ 1 M ) . O f c o u r s e , w e c a n i m a g i n e t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l p o w e r t h a t w a s u s e d w a s n o t a v a i l a b l e i n

t h e e a r l y s e v e n t i e s , b u t m o v i n g f o r w a r d i t w i l l b e a n d t o a n e x t e n t t h i s i s w h a t m a t t e r s . A l s o i t i s c l e a r l y

s e e n t h a t t h e C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n R u l e i s i n h e r e n t l y a m o r e v o l a t i l e r u l e ( a s c o m p a r e d t o t h e S & P

5 0 0 ) . N e x t , F i g u r e 2 d e s c r i b e s 1 o f 3 p i l o t r u n s t h a t w e r e e v a l u a t e d w i t h v a r i o u s m e a s u r e s s u g g e s t i n g t h e

s u p e r i o r i t y o f t h e m a x - m e d i a n ( a s o p p o s e d t o , s a y f o r i n s t a n c e t h e m e a n , a s w e l l a s t h e b e n e t o f u s i n g t h e

m a x r a t h e r t h a n t h e m i n ) . T h i s s e e m s p l a u s i b l e , a t l e a s t h e u r i s t i c a l l y , a s t h e m e d i a n i s m o s t r o b u s t ( t h e

m e a n i s l e a s t r o b u s t ) , a n d i n s o m e s e n s e t h e p r e v i o u s y e a r s b e s t p e r f o r m i n g c o m p a n i e s a r e m o r e l i k e l y t o

p e r f o r m b e t t e r n e x t y e a r t h a n t h e p r e v i o u s y e a r s w o r s t p e r f o r m i n g c o m p a n i e s ( i n t e r m s o f r e t u r n s ) .



5/11


F i g u r e 1 :

C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n R u l e

( S i n g l e R u n ) 5 0 , 0 0 0 P o r t f o l i o s E v a l u a t e d p e r Y e a r



6/11


F i g u r e 2 :

C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n R u l e

( S i n g l e R u n ) 2 5 , 0 0 0 P o r t f o l i o s E v a l u a t e d p e r Y e a r w i t h

a d d i t i o n a l e v a l u a t i o n s

3 . 2 R e c e n t E v a l u a t i o n s a n d R e s u l t s

R e c e n t e v a l u a t i o n s h a v e b e e n m o s t l y f o c u s e d o n e v a l u a t i n g t h e f o l l o w i n g :

1 . R e p e a t a b i l i t y o f t h e p r o c e d u r e i n t e r m s o f t h e v a r i a b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h i t s p o s s i b l e t r a c k s f o r e a c h

r e a l i z a t i o n .

2 . D e t e r m i n i n g a n y a d d i t i o n a l g a i n ( i f a n y ) i n t e r m s o f r e t u r n s a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f p o r t f o l i o s

e v a l u a t e d ( J ) a t a n y g i v e n y e a r .

3 . T h e e x i s t e n c e o f a n y i n d i c a t i o n s b e t w e e n c u r r e n t y e a r p o r t f o l i o s ' m e d i a n s a n d s u b s e q u e n t y e a r ( s a m e

p o r t f o l i o ) p e r f o r m a n c e . A r e t h e r e a n y a s s o c i a t i o n s a n d i f s o h o w w e a k o r s t r o n g a r e t h e s e ?

4 . I n v e s t i g a t i n g a s t a b l e a n d p l a u s i b l e s t o p p i n g r u l e a n d a s s e s s i n g h o w b e n e c i a l i t m i g h t b e t o r u n t h e

r a n d o m s e a r c h u n t i l t h i s c o n d i t i o n i s m e t .

S e v e r a l e x p e r i m e n t s w e r e s e t u p t o d e t e r m i n e i f i t w o u l d b e w o r t h w h i l e t o i n s p e c t m o r e r a n d o m l y s o u g h t

p o r t f o l i o s o n a y e a r l y b a s i s a s p a r t o f t h e o v e r a l l p r o c e d u r e . A j o b s i m u l a t i n g a t o t a l o f 1 0 4 t r a c k s ( e a c h

c o n s i s t i n g o f J = 25, 000 p o r t f o l i o s p e r y e a r o v e r a 4 3 y e a r p e r i o d , 1 9 6 5 t h o u g h 2 0 0 8 ) w a s s u b m i t t e d t o A D A a n d t o o k a p p r o x i m a t e l y t h r e e d a y s t o c o m p l e t e . S e v e r a l i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n s c a n b e m a d e f r o m

t h e o u t c o m e s o f t h e s e s i m u l a t i o n s ( s h o w n i n F i g u r e s 3 a n d 4 , b e l o w ) . W e n o t e t h a t , h e r e , w e c a n e x p l o i t

t h e i n d e p e n d e n c e r e g a r d i n g t h e p o r t f o l i o s e v a l u a t e d t o g e t 5 2 t r a c k s o f J = 50, 000 p o r t f o l i o s e a c h b y c o m b i n i n g p a i r s o f J = 25, 000 t r a c k s a n d s e l e c t i n g t h e m a x i m u m o f t h e p a i r ( s i m p l y t h e m a x i m u m o f a



7/11


l o n g e r e x e c u t i o n ) . E s s e n t i a l l y t h i s g i v e s u s i n f o r m a t i o n r e g a r d i n g w h a t w o u l d h a v e h a p p e n e d ( i n t e r m s o f

t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s t r a t e g y s h o u l d w e h a v e r u n i t f o r t w i c e a s l o n g ) . A n a l o g o u s l y , t r a c k s f o r J = 100, 000a n d J = 200, 000 p o r t f o l i o s w e r e c o n s t r u c t e d . F i n a l l y , s o m e o v e r a l l d i s c u s s i o n o f t h e r e s u l t s i s g i v e n a f t e r t h e g u r e s .

F i g u r e 3 : P r o c e d u r e R e p e a t a b i l i t y a n d N u m b e r o f P o r t f o l i o s S a m p l e d S i m u l a t i o n ( L e f t :

J = 25, 000

t r a c k s , R i g h t :

J = 50, 000 t r a c k s )



8/11


F i g u r e 4 : P r o c e d u r e R e p e a t a b i l i t y a n d N u m b e r o f P o r t f o l i o s S a m p l e d S i m u l a t i o n ( L e f t :

J = 100, 000

t r a c k s , R i g h t :

J = 200, 000t r a c k s )

T h e t o t a l p o r t f o l i o v a l u e w a s e v a l u a t e d a t t h e e n d o f b o t h y e a r s 2 0 0 6 a n d 2 0 0 8 a n d c o n t r a s t e d t o b o t h

m a r k e t p e r f o r m a n c e ( b l u e t r a c k ) a n d t h e p e r f o r m a n c e o f a s i n g l e t r a c k o f a w h o p p i n g J = 2, 600, 000p o r t f o l i o s c o n s i d e r e d y e a r l y ( g r e e n t r a c k ) . A s e x p e c t e d t h e v a r i a b i l i t y o f t h e p r o c e d u r e c o m p o u n d s a s a

f u n c t i o n o f t i m e , a n d b y c h a n c e w e m i g h t u n d e r - p e r f o r m t h e m a r k e t . H o w e v e r , m o r e o f t e n t h a n n o t t h e

p r o c e d u r e o u t - p e r f o r m e d t h e m a r k e t a n d b y a q u i t e r e a s o n a b l e a m o u n t . T h e p r o p o r t i o n o f p o r t f o l i o - t r a c k s

s i m u l a t e d t h a t w e r e o v e r a n e q u a l l y - w e i g h t e d a l t e r n a t i v e a t t h e e n d o f 2 0 0 6 w a s o v e r 8 0 % ( f o r t h e c a s e s w h e r e

J= 25, 000 a n d J= 50, 000) a n d o v e r 9 0 % ( f o r t h e c a s e s w h e r e w e a s s e s s e d m o r e r a n d o m l y s o u g h t p o r t f o l i o s , i . e . J = 100, 000, a n d J = 200, 000) . A l s o , t h e r e i s w e a k e v i d e n c e s u g g e s t i n g t h a t , a l t h o u g h r u n n i n g a s m a n y a s J = 2, 600, 000 p o r t f o l i o s m i g h t a t t i m e s o u t p e r f o r m t h e m a r k e t , t h i s a p p r o a c h i s g e n e r a l l y n o t c o n s i s t e n t l y h i g h e r o n - a v e r a g e t h a n c o n s i d e r i n g t r a c k s c o n s i s t i n g o f l e s s y e a r l y - e v a l u a t e d p o r t f o l i o s .

A n o t h e r r a t h e r i n t e r e s t i n g o b s e r v a t i o n i s m a d e t h r o u g h t h e s c a t t e r - g r a m s p r o d u c e d ( s e e F i g u r e 5 , b e l o w )

a s s e s s i n g t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n c u r r e n t y e a r p o r t f o l i o m e d i a n a n d ( s a m e p o r t f o l i o ) n e x t y e a r p e r f o r m a n c e

c o n t r a s t e d t o t h e p e r f o r m a n c e o f t h e S & P 5 0 0 i n d e x . T h e n u m b e r o f p o r t f o l i o s e v a l u a t e d f o r t h i s p u r p o s e w a s

2, 000, 000 a n d t h e t h o s e t h a t a r e h i g h l i g h t e d a s p r o d u c i n g t h e m a x i m u m o f t h e m e d i a n s r e p r e s e n t ( < 0.1%,i . e . < 2, 000) . T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s e o r t w a s t o a s s e s s a n y a s s o c i a t i o n s b e t w e e n t h e c u r r e n t y e a r m e d i a n s a s a f o r w a r d - l o o k i n g m e a s u r e o f p o r t f o l i o p e r f o r m a n c e ( a s w e i n t e n d t o p i c k t h e m a x i m u m a n d b y

c h a n c e w e c a n p i c k p o r t f o l i o s o f p e r f o r m a n c e s i m i l a r t o t h o s e i n t h e t o p 0 . 9 9 9 p e r c e n t i l e ) . A s e x p e c t e d t h e

a s s o c i a t i o n s a r e w e a k , t h o u g h n o t e x t r e m e l y w e a k ( c o r r e l a t i o n s a r e 0.209 f o r t h e r s t c a s e a n d 0.182 f o rt h e s e c o n d ) , h o w e v e r c a n b e n o t i c e d a n d d e p e n d h i g h l y o f t h e y e a r e v a l u a t e d .

M o r e o f t e n t h a n n o t , w e o b s e r v e d a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n f o r t h e y e a r s i n s p e c t e d ( t h e s t r o n g e s t c o r r e l a t i o n s

a r e t h o s e s h o w n i n t h e g u r e s b e l o w ) . I t t u r n s o u t t h a t f o r c e r t a i n y e a r s ( t h o s e w i t h a n e g a t i v e c o r r e l a t i o n ) ,

w e o u g h t t o u t i l i z e t h e m i n - m e d i a n a s a s e l e c t i o n c r i t e r i o n . H o w e v e r , t h i s c a n n o t b e k n o w n e x - a n t e , a n d

t h e b e s t w e c a n d o i s u t i l i z e a m e a s u r e t h a t m o r e o f t e n t h a n n o t , p r o d u c e s a b o v e - a v e r a g e r e s u l t s . H e r e

a g a i n , w e c a n a p p r e c i a t e h o w t h e s e c o n i c t i n g e e c t s w o u l d a v e r a g e - o u t w i t h t i m e i n a f a v o r a b l e d i r e c t i o n ,

r e i t e r a t i n g t h e f a c t t h a t a s t r a t e g y s u c h a s t h i s o n e , i f c o n s i d e r e d , s h o u l d b e e v a l u a t e d o v e r t h e l o n g - h a u l .



9/11


F i g u r e 5 : N e x t Y e a r P o r t f o l i o P e r f o r m a n c e s v s . C u r r e n t Y e a r P o r t f o l i o M e d i a n s ( L e f t : 1 9 9 8 v s . 1 9 9 7 ,

R i g h t : 2 0 0 1 v s . 2 0 0 0 )

L a s t l y , s e v e r a l e v a l u a t i o n s w e r e p e r f o r m e d c o m p a r i n g t h e v a r i o u s m a x - m e d i a n s o f t h e p o r t f o l i o s s i m u l a t e d

a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f p o r t f o l i o s r u n ( i . e . J ) a n d c o m p a r e d t o t h e s i n g l e - s t o c k m a x - m e d i a n ( S e e

F i g u r e 6 b e l o w ) , w h i c h c o u l d , a t l e a s t h e u r i s t i c a l l y , s e r v e a s a n u p p e r b o u n d . T h i s r e s u l t e d ( e m p i r i c a l l y ) t o

b e s o m e w h a t u n s t a b l e a s t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t a n y t h r e s h o l d s s e t i n t e r m s o f p e r c e n t a g e t o t h e b o u n d

c o u l d b e a t t a i n e d i n a n y r e a s o n a b l e c o m p u t i n g t i m e , m a i n l y d u e t o t h e f a c t t h e a f t e r a r e a s o n a b l e a m o u n t o f

s i m u l a t i o n s ( n a m e l y J= 500, 000 a n d u p t o J= 2, 000, 000) t h e p e r c e n t a g e s o f t h i s s i n g l e - s t o c k m a x - m e d i a n a t t a i n e d d e p e n d e d c o n s i d e r a b l y o n t h e y e a r i n s p e c t e d , m a k i n g a g e n e r a l i z a t i o n i m p o s s i b l e . T h e m o s t r e c e n t

e v a l u a t i o n s w e r e p e r f o r m e d w i t h s t o p p i n g a f t e r 5 t i c k s p a s t J = 10, 000 s i m u l a t i o n s , w h i c h s e e m s s t a b l e , h o w e v e r b a s e d o n a f o r e m e n t i o n e d r e s u l t s i t s e e m s t o n o t p r o v i d e a n y i n c r e m e n t a l b e n e t w h e n c o n t r a s t e d

t o , f o r i n s t a n c e a h a r d - c o d e d c o n s t a n t J s t o p p i n g r u l e .



10/11

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 3 2 5 2 3 1 0

F i g u r e 6 : M a x - M e d i a n S e a r c h e s a s a f u n c t i o n o f

J

( L e f t : 1 9 8 4 , R i g h t : 1 9 9 1 )

3 . 3 F u t u r e D i r e c t i o n s

S e v e r a l i t e m s a r e o p e n a t t h i s p o i n t t h a t m i g h t b e w o r t h w h i l e i n v e s t i g a t i n g i n f u t u r e r e s e a r c h . A m o n g s t

t h e m a r e t h e f o l l o w i n g ( t o m e n t i o n a f e w ) :

1 . T h e i d e n t i c a t i o n a n d i n v e s t i g a t i o n o f a n y e x o g e n o u s v a r i a b l e s c o n t r i b u t i n g t o a n y o b s e r v a b l e a s s o c i a -

t i o n s b e t w e e n c u r r e n t - y e a r p o r t f o l i o m e d i a n s a n d n e x t - y e a r p o r t f o l i o p e r f o r m a n c e s . T h i s i s o f p a r t i c u l a r

i n t e r e s t a s i t w o u l d p r o v i d e u s w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f m e a n i n g f u l l y m o d i f y i n g t h e s i m p l e - c r i t e r i o n t o

m a k e m o r e i n f o r m e d d e c i s i o n s b a s e d o n e m p i r i c a l e v i d e n c e .

2 . C o n s i d e r i n g d a t a f r o m p r e v i o u s y e a r s t o m a k e t h e d e c i s i o n a t a g i v e n y e a r ( r a t h e r t h a n o n l y c o n s i d e r i n g

d a t a f r o m t h e p r e v i o u s y e a r ) a s w e l l a s i n v e s t i g a t i n g a n y r o b u s t - t y p e i n t e r p o l a t i o n s ( e . g . m e d i a n o r

q u a n t i l e r e l a t e d r e g r e s s i o n m e t h o d s ) .

3 . A s s e s s i n g t h e r e p r o d u c i b i l i t y o f t h e p r o c e d u r e ( o r i n g e n e r a l i t s p e r f o r m a n c e ) i n o t h e r m a r k e t s ( i n t e r -

n a t i o n a l ) a n d o r o t h e r i n d e x e s ( S & P 1 0 0 , R u s s e l 1 0 0 0 , N A S D A Q , e t c . )

4 . I n v e s t i g a t i n g a m o r e m e a n i n g f u l r u l e r e g a r d i n g w h e n t o s t o p t h e r a n d o m - s e a r c h , a n d h o w i t r e l a t e s t o

o v e r a l l p r o c e d u r e p e r f o r m a n c e .

4 C o n c l u s i o n s

I n t h i s m o d u l e , w e h a v e p r e s e n t e d t h e d e t a i l s o f a m o d i e d v e r s i o n o f t h e e x i s t i n g M a x - M e d i a n R u l e a l l o w i n g

f o r t h e j o i n t s e l e c t i o n o f s e c u r i t i e s w i t h i n t h i s l o n g - t e r m i n v e s t m e n t s t r a t e g y . T h i s m o d i e d r u l e , n a m e l y t h e

C o o r d i n a t e d M a x - M e d i a n R u l e , e s s e n t i a l l y b a s e s t h e m e d i a n s e l e c t i o n c r i t e r i o n o n t h e j o i n t p o r t f o l i o p e r -

f o r m a n c e , r a t h e r t h a n o n s i n g l e - s t o c k i n d i v i d u a l p e r f o r m a n c e s . W e s a w t h a t t h e s e m o d i c a t i o n s c a m e w i t h

a c o s t o f i n c r e a s e d c o m b i n a t o r i a l c o m p l e x i t y a n d t h a t d u e t o t h e i m p o s s i b i l i t y o f e v a l u a t i n g a l l p o t e n t i a l l y -

i n v e s t i b l e p o r t f o l i o s , a p a r a l l e l i z e d c o m p u t a t i o n a l a p p r o a c h h a d t o b e c o n s i d e r e d t o a s s e s s a s a t i s f a c t o r y

n u m b e r o f p o r t f o l i o s o n a y e a r l y b a s i s f o r p o t e n t i a l i n v e s t m e n t . T h e a l g o r i t h m ' s i m p l e m e n t a t i o n w a s d i s -

c u s s e d , a n d s e v e r a l c o n c l u s i o n s w e r e d r a w n , t h e m o s t s i g n i c a n t b e i n g t h a t o u r m o d i e d a l g o r i t h m , m u c h

m o r e o f t e n t h a n n o t , s e e m s t o o u t - p e r f o r m t h e m a r k e t ( i n t e r m s o f t h e S & P 5 0 0 I n d e x ) w h e n a d i s c i p l i n e d

i n v e s t o r a d h e r e s t o i t f o r a r e a s o n a b l e a m o u n t o f t i m e . T h e d a t a s u g g e s t t h a t o n e o f t h e c o n t r i b u t i n g f a c t o r s



11/11

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 3 2 5 2 3 1 1

f o r t h i s o n - a v e r a g e h i g h e r p e r f o r m a n c e , a t l e a s t i n p a r t , a r e t h e c o r r e l a t i o n s b e t w e e n c u r r e n t y e a r p o r t f o l i o

m e d i a n s a n d n e x t y e a r p o r t f o l i o p e r f o r m a n c e , w h i c h s e e m b o t h w e a k a n d n o t a l w a y s p o s i t i v e . W e n o t e d

t h a t , m o r e o f t e n t h a n n o t , t h e s e c o r r e l a t i o n s t e n d t o b e p o s i t i v e , a n e e c t t h a t s e e m i n g l y a v e r a g e s o u t i n a

p o s i t i v e d i r e c t i o n o v e r t h e l o n g - h a u l . W e h a v e a l s o e v a l u a t e d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e d e s c r i b e d p r o c e d u r e o n

r e a l - w o r l d S & P 5 0 0 d a t a c o n s i s t i n g o f 4 3 y e a r s , a n d s e v e r a l p o t e n t i a l f u t u r e i m p r o v e m e n t s , s u c h a s f u r t h e r

w o r k r e g a r d i n g a m o r e r o b u s t s t o p p i n g r u l e a n d t h e a s s e s s m e n t o f t h e p r o c e d u r e r e p r o d u c i b i l i t y w i t h o t h e r

i n d e x e s a n d o r m a r k e t s , w e r e d i s c u s s e d .

5 A c k n o w l e d g e m e n t s

S p e c i a l t h a n k s a r e g i v e n t o D r s . J a m e s T h o m p s o n a n d S c o t t B a g g e t t , a s w e l l a s t o D r s . L i n d a D r i s k i l l

a n d T r a c y V o l z , f o r t h e i r o v e r a l l h e l p a n d c o a c h i n g t h r o u g h o u t t h i s s u m m e r r e s e a r c h p r o j e c t . I n p a r t i c u l a r

s p e c i a l t h a n k s a r e g i v e n t o b o t h t h e N S F a n d V I G R E f o r m a k i n g t h i s r e s e a r c h a r e a l i t y .

6 B i b l i o g r a p h y

1 . O ' S h a u g h n e s s y , J a m e s P . ( 2 0 0 3 ) . W h a t W o r k s o n W a l l S t r e e t . A G u i d e t o t h e B e s t - P e r f o r m i n g

I n v e s t m e n t S t r a t e g i e s o f A l l T i m e ( T h i r d E d i t i o n ) .

2 . T h o m p s o n , J a m e s R . , B a g g e t t , L . S c o t t ( 2 0 0 5 ) . E v e r y m a n ' s M a x - M e d i a n R u l e f o r P o r t f o l i o S e l e c t i o n .

3 . T h o m p s o n , J a m e s R . , B a g g e t t , L . S c o t t , W o j c i e c h o w s k i , W i l l i a m C . a n d W i l l i a m s , E d w a r d E . ( 2 0 0 6 ) .

N o b e l s f o r N o n s e n s e . T h e J o u r n a l o f P o s t K e y n e s i a n E c o n o m i c s , F a l l , p p . 3 - 1 8 .

4 . W h a r t o n R e s e a r c h D a t a S e r v i c e s ( U R L : h t t p : / / w r d s . w h a r t o n . u p e n n . e d u / )

5 . R o s s i n i , A . , T i e r n e y , L . , a n d L i , N . ( 2 0 0 3 ) . S i m p l e p a r a l l e l s t a t i s t i c a l c o m p u t i n g . i n R . U W B i o s t a t i s t i c s

w o r k i n g p a p e r s e r i e s , P a p e r 1 9 3 , U n i v e r s i t y o f W a s h i n g t o n .

6 . T i e r n e y , L . , R o s s i n i , A . , L i , N . , a n d S e v c i k o v a , H . ( 2 0 0 4 ) . T h e s n o w P a c k a g e : S i m p l e N e t w o r k o f

W o r k s t a t i o n s . V e r s i o n 0 . 2 - 1 .

7 . K n a u s , J o c h e n ( 2 0 0 8 ) . D e v e l o p i n g p a r a l l e l p r o g r a m s u s i n g s n o w f a l l


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