Upload
fadelmochammadfadhly
View
90
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
@. PENDAHULUAN
Metoda Elemen Hingga adalah suatu prosedur numerik untuk pemecahan
permasalahan phisik yang diatur oleh suatu persamaan diiferensial atau suatu dalil
energi. Terdapat dua karakteristik yang membedakannya dari prosedur numerik
lainnya :
a. Metode menggunakan suatu perumusan integral untuk menghasilkan suatu
sistem persamaan secara aljabar.
b. Metoda menggunakan fungsi mulus piecewise kontinu untuk memperkirakan
jumlah atau kuantitas tak dikenal.
@. Persamaan Eliptik
Pemecah elliptik memberikan persamaan jenis lain untuk kurang lebih
dengan mudah diterapkan. Di bawah ini, kita menunjukkan bagaimana persamaan
parabolik dapat direduksi ke persamaan pemecahan elliptik. Ini dilaksanakan oleh
toolbox fungsi parabolic.
Pertimbangkan persamaan
Dengan syarat awal
dan syarat batas sama halnya untuk persamaan elliptik pada
Mencari solusi numerik persamaan parabolik dengan menggunakan Metode
Elemen Hingga dan PDE Tools Matlab.
@. Persamaan Parabolik
Pertimbangkan persamaan
Dengan syarat awal
1
dan syarat batas sama halnya untuk persamaan elliptik pada
Persamaan panas
dalam kehadiran kehilangan panas didistribusikan ke lingkungan. adalah
kepadatan, kapasitas termal C, daya konduksi termal k, koefisien selaput h,
temperature ambient , dan sumber panas f.
Karena koefisien independent-waktu, solusi posisi mantap dari persamaan
itu adalah solusi terhadap persamaan elliptik standar kita
Mengasumsikan suatu mata jala bersegi tiga terpasang dan pada setiap
waktu , memperluas solusi terhadap PDE (sebagai fungsi x) dalam basis
Metode Elemen Hingga.
Isi perluasan ke dalam PDE, mengalikan dengan suatu fungsi test ,
mengintegrasikan atas , dan menerapkan rumusan Green dan syarat batas
menghasilkan:
2
Dalam notasi matriks, kita harus memecahkan system ODE tipis, besar dan linear
Metoda ini secara tradisional disebut metoda bentuk semidiscretisasi.
Pemecahan ODE dengan nilai awal
menghasilkan solusi kepada PDE pada masing-masing node dan waktu t.
Bahwa K dan F adalah matriks kekakuan dan sisi tangan kanan masalah elliptic.
dengan syarat batas original sedang M adalah hanya matriks massa dari masalah
Ketika kondisi-kondisi Dirichlet adalah bergantung waktu, F berisi kontribusi
dari derivative waktu dan r. Derivative ini dievaluasi oleh beda hingga data
yang ditetapkan-pemakai
Sistem ODE adalah kasus dikondisikan. Integrator waktu eksplisit dipaksa
oleh kebutuhan stabilitas ke langkah-langkah waktu sangat pendek sedang
pemecah implisit dapat mahal karena mereka memecahkan suatu masalah elliptik
pada setiap kali melangkah. Integrasi numerik sistem ODE dilakukan oleh fungsi
deretan MATLAB ODE, yang mana adalah efisien untuk permasalahan kelas ini.
Time-Step dikendalikan untuk mencukupi suatu toleransi atas error, dan
faktorisasi matriks koefisien dilakukan hanya ketika perlu. Saat koefisien adalah
bergantung waktu, keperluan perihal menfaktorisasi dan mengevaluasi matriks
masing-masing time-step boleh masih membuat mengkonsumsi waktu solusi,
walaupun parabolik mengevaluasi dengan pengecualian dengan waktu yang
bervariasi. Dalam kasus tertentu suatu matriks (t) Dirichlet Time-Dependent
boleh menyebabkan kendali kesalahan untuk gagal, sekalipun masalah itu nampak
secara mathematik dan solusi u(t) adalah halus. Ini dapat terjadi karena integrator
3
ODE melihat hanya pada solusi direduksi v dengan u = Bv + ud. Saat berubah,
skema pivoting dipekerjakan untuk stabilitas numeric boleh mengubah order
eliminasi dari satu langkah ke yang berikutnya. Berarti bahwa B,v dan ud semua
perubahan secara discontinu, walaupun u sendiri tidak.
@. Penyelesaian dengan PDE TOOL
Mulailah dengan pdetool GUI dan pilih mode aplikasi Heat Transfer.
Pada mode draw, atur sumbu x- dan sumbu y- terbatas pada dan
pilih pilihan Axis Equal dari menu Options. Daerah persegi memiliki
sudut-sudut (0,0), (3,0), (3,3), dan (0,3). Daerah yang berbentuk berlian
memiliki sudut (1.5,0.5), (2.5,1.5), dan (0.5,1.5).
Temperature dijaga pada titik 0 pada semua batas luar, jadi kita tidak harus
mengubah syarat batas yang telah ditetapkan. Bergeraklah untuk
mendefinisikan parameter-parameter PDE (pastikan bahwa mode aplikasi
Heat Transfer dipilih) pada mode PDE dengan mengklik dua kali pada
masing-masing dari dua daerah dan masukkan parameter PDEnya. Kita ingin
menyelesaikan persamaan panas parabolic, pastikan bahwa pilihan Parabolic
terpilih. Pada daerah persegi, masukkan kepadatan 2, kapasitas panas 0.1,
koefisien konduksi panas 10. Tidak ada sumber panas, sehingga atur ia sama
dengan 0. Pada daerah berbentuk berlian, masukkan kepadatan 1, kapasitas
panas 0.1, koefisien konduksi panas 2. Masukkan 4 pada field edit untuk
sumber panasnya. Istilah perpindahan panas transversal h . (Text - T) tidak
digunakan, sehingga atur h, koefisien perpindahan panas konvektif, menjadi 0.
Karena kita sedang menyelesaikan PDE dinamik, kita harus
mendefinisikan nilai awal, dan waktu dimana kita ingin menyelesaikan PDE.
Buka kotak dialog Solve Parameters dengan memilih parameter-parameter…
dari menu Solve. Dinamisasi dari masalah ini sangat cepat-temperaturnya
mencapai keadaan setimbang kira-kira di unit waktu 0.1. Untuk menangkap
bagian menarik dari dinamisasi, masukkan logspace(-2,-1,10) sebagai vector
waktu yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas. Logspace (-2,-
4
1,10) memberikan bilangan logaritma basis 10 antara 0.01 dan 0.1. Atur nilai
awal dari temperature adalah 0. Jika syarat batas dan nilai awal berbeda,
rumusan masalah mengandung diskontinuitas.
Selesaikan PDE. Pada dasarnya, distribusi temperature pada waktu yang
lalu terplot. Cara yang paling baik untuk memvisualisaikan tindakan dinamik
pada temperature adalah menganimasi solusinya. Ketika penganimasian,
aktifkan pilihan Height (plot 3-D) untuk animasi suatu plot 3-D. juga, pilih
pilihan Plot in x-y grid. Penggunaan grid persegipanjang sebagai pengganti
grid segitiga mempercepat proses animasi secara signifikan.
Visualisasi menarik lainnya dibuat dengan memplot garis isothermal
dengan menggunakan plot contour, dan dengan memplot vector perubahan
panas yang terus menerus dengan panah.
@. Penyelesaian dengan Command LINE
% program heat transfer % inisialisasi mesh[p,e,t]=initmesh('crackg');figure(1);pdeplot(p,e,t); % refine mesh[p,e,t]=refinemesh('crackg',p,e,t);
5
figure(2);pdeplot(p,e,t); % hitungtlist=0:0.1:10;u=parabolic(0,tlist,'crackb',p,e,t,1,0,0,1); % plot hasilnewplot;n=max(size(tlist)); % n = frameM=moviein(n)for i=1:n,pdeplot(p,e,t,'xydata',u(:,i),'mesh','off','colormap','jet',... 'contour','on','levels',20);M(:,i)=getframe;end movie(M,10)
Persamaan panas : Balok Logam Terpanaskan
Masalah parabolik yang umum adalah persamaan panas :
Kasus ini meneliti tentang suatu balok logam tang dipanaskan dengan sebuah
lubang dan ce lah berbentuk persegi panjang. Sisi kiri dari balok dipanaskan
hingga 1000. Pada sisi kanan balok logam, panasnya mengalir dari balok sampai
udara disekitarnya pada level konstan. Batas-batas balok lainnya terisolasi. Hal ini
menuntun kita kepaa himpunan syarat batas (ketika penskalaan t yang seharusnya
dipilih)
u = 100 pada ruas kiri (syarat Dirichlet)
= -10 pada ruas kanan (syarat Neumann)
= 0 pada batas-batas lainnya (syarat Neumann)
6
Untuk persamaan panas dibutuhkan suatu nilai awal, yaitu temperature
balok logam pada waktu awal t0. Pada kasus ini, temperature balok adalah 00 pada
waktu kita memulai pemakaian panas.
Akhirnya, untuk melengkapi rumusan masalah, kita khususkan bahwa waktu
awal samadengan 0 dan bahwa kita ingin meneliti distribusi panas selama 5 detik
pertama.
@. Menggunakan Interface Grafis
Pertama, jalankan pdetool GUI dan pilihlah mode Generic Scalar, menggambar
model CSG dapat diselesaikan dengan sangat cepat. Gambar persegi (R1)
dengan sudut pada x = [-0.5 0.5 0.5 -0.5] dan y = [-0.8 -0.8 0.8 0.8]. gambar
persegi yag lain (R2) untuk mewakilkan lubang persegipanjang. Sudut-sudutnya
seharusnya memiliki koordinat x = [-0.05 0.05 0.05 -0.05] dan y = [-0.4 -0.4 0.4
0.4]. Untuk membantu dalam menggambar lebar sempitnya persegi yang
mewakili lubang, buka kotak dialog Grid Spacing dari Options dan masukkan x-
axis extra ticks pada -0.05 dan 0.05. Kemudian aktifkan grid dan “snap-to-grid”.
Lubang persegi panjang dengan dimensi yang benar lebih mudah untuk digambar.
7
Model CSG balok logam sekarang dinyatakan secara sederhana sebagai
himpunan rumus R1-R2. Tinggalkan mode Draw dan masuk pada mode
Boundary dengan menekan tombol dan lanjutkan dengan memilih batas-batas
dan mengkhususkan syarat batas. Gunakan pilihan Select All dari menu Edit dan
kemudian mendefinisikan syarat Neumann = 0 untuk semua batas pertama
adalah ide yang bagus karena hal itu hanya menyisakan batas yang paling kiri dan
yang paling kanan untuk didefinisikan sendiri. Langkah selanjutnya adalah
membuka kotak dialog PDE Specification dan masukkan koefisien PDE.
PDE generic parabolic yang PDE Toolbox selesaikan adalah :
,
Dengan nilai awal u0 = u(t0) dan waktu untuk menghitung solusi khusus dalam
bentuk tersusun daftar t.
Untuk kasus ini, kita memiliki d = 1, c = 1, a = 0, dan f = 0.
Inisialisasi mesh dengan menekan tombol . Jika ingin, kita dapat
mencari kembali mesh dengan menekan tombol Refine.
Nilai awal u0 = 0, dan daftar waktu dimasukkan sebagai MATLAB array
[0;0.5;5]. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dialog Solve Parameters, yang
diakses dengan memilih Parameters… dari menu Solve.
Sekarang masalahnya dapat diselesaikan. Menekan tombol = menyelesaikan
persamaan panas pada 11 waktu yang berbeda dari 0 hingga 5 detik.
Cara yang lebih menarik untuk menvisualisasikan dinamika proses distribusi
panas adalah dengan menganimasi solusinya. Untuk memulai animasinya, berikan
8
tanda pada kotak tanda Animation pada kotak dialog Plot selection. Selain itu,
pilih colormap hot. Tekan tombol Plot untuk memulai perekaman plot-plot solusi
pada jendela pemisahan figure. Animasi yang terekam kemudian dimainkan lima
kali.
Cobalah untuk mengubah koefisien kapasitas panas d dan aliran panas pada
batas paling kanan untuk melihat bagaimana merekamempengaruhi distribusi
panas.
@. Menggunakan Fungsi Command-Line
Pertama, kita harus membuat syarat geometri dan batas file-M. Geometri balok
logam digambarkan dalam crackg.m dan syarat batas dapat ditemukan dalam
crackb.m.
Untuk membuat suatu initial mesh, panggil initmesh:
>> [p,e,t] = initmesh (‘crackg’);
9
Untuk menghitung solusinya, panggil parabolic:
» u=parabolic(0,0:0.5:5,'crackb',p,e,t,1,0,0,1);
Solusi u ditampilkan dalam bentuk matriks dengan 11 kolom, yang mana
setiap kolom berkoresponden dengan solusi pada 11 titik pada waktu 0,0.5,
…,4,5,50. Plot solusi pada t = 5.0 detik dengan menggunakan pembuat bayangan
terinterpolasi dan mesh tersembunyi. Gunakan hot colormap :
» pdeplot(p,e,t,'xydata',u(:,11),'mesh','off',...'colormap','hot')
Distribusi Panas pada Balok Radiaktif
Masalah distribusi panas ini adalah suatu contoh dari masalah persamaan
differensial parsial parabolic 3-D yang tereduksi menjadi masalah 2-D dengan
menggunakan koordinat silinder.
Misalkan sebuah balok radioaktif silinder. Pada ujung kiri, panas bertambah
secara kontinu. Ujung kanan tersimpan pada temperature yang konstan. Pada
batas yang lebih luar, panas berubah dengan sekitarnya dengan transfer. Pada
waktu yang sama, panas diproduksi secara seragam dalam lubang balok selama
proses radioaktif. Asumsikan bahwa temperature awal adalah nol. Hal ini berarti
masalah di bawah ini:
adalah kepadatannya, C adalah kapasitas panas balok, k adalah
konuktivitas panas, dan f adalah sumber panas radioaktif.
Kepadatan untuk balok logam ini adalah 7800 kg/m3, kapasitas panasnya
500 Ws/kgoC, dan konduktivitas panasnya 40 W/ moC. Sumber panasnya 20000
W/m3. Temperature pada ujung kanan adalah 100oC. Temperature di sekitarnya
pada batas yang lebih luar adalah 100, dan koefisien pergantian panas 50 W/ m2 oC
. perubahan panas pada ujung kiri adalah 5000 W/ m2.
10
Tapi ini adalah masalah silinder, jadi kita perlu untuk mentransformasi
persamaan, menggunakan koordinat silinder r, z, dan . Karena simetris,
solusinya tidak bergantung pada , sehingga persamaan yang tertransformasi
adalah
t-syarat batasnya adalah :
ñ . = 5000 pada ujung kiri balok (syarat Neumann). Karena syarat
Neumann yang digeneralisasi pada PDE Toolbox adalah ñ . + qu =
g, dan c bergantung pada r pada masalah ini (c=kr), syarat batas ini
dinyatakan sebagai ñ . = 5000r.
u = 100 pada ujung kanan balok (syarat Dirichlet)
ñ . = 50(100-u) pada batas lebih luar (syarat Neumann
tergeneralisasi). Pada PDE toolbox ini pasti dinyatakan sebagai ñ .
+ 50r . u = 50r . 100.
Axis silinder r = 0 bukan sebuah batas dalam masalah original, tapi ia
menjadi batas dalam hambatan 2-D kita. Kita harus memberikan syarat
batas artificial ñ . = 0.
Nilai awalnya adalah u(t0) = 0.
Menggunakan Pemakai Interface Grafis
11
Selesaikan masalah ini dengan pdetool GUI. Modelkan balok sebagai persegi
panjang dengan dasarnya sepanjang sumbu-x, dan misalkan sumbu-x sebagai arah
z dan sumbu-y sebagai arah r. persegi panjang dengan sudut pada (-1.5,0), (1.5,0),
(1.5,0.2), dan (-1.5, 0.2) akan kemudian memodelkan suatu balok dengan panjang
3 dan radius 0.2.
Masukkan syarat batasnya dengan mengklik dua kali pada batas-batas untuk
membuka kotak dialog Boundary Condition. Untuk ujung kiri, gunakan syarat
Neumann dengan 0 untuk q dan 5000*y utuk g. untuk ujung kanan, gunakan
syarat Dirichlet dengan 1 untuk h dan 100 untuk r. utuk batas lainnya. Gunakan
syarat Neumann dengan 50*y untuk q da 50*y untuk g. untuk sumbu-x, gunakan
syarat Neumann dengan 0 untuk q dan g.
Masukkan koefisiennya ke dalam kotak dialog PDE Specificaton : c adalah
40*y, a adalah nol, d adalah 7800*500*y, dan f adalah 20000*y.
Animasi solusinya di atas rentang 20000 detik(hitung solusi setiap 1000 detik).
Kita dapat melihat bagaimana panas mengalir di atas sebelah kanan dan di batas
yang lebih luar sepanjang u < 100, dan keluar ketika u > 100. Kita dapat juga
membuka kotak dialog PDE Specificaton, dan ubah tipe PDE ke Elliptic. Ini
menunjukkan bahwa solusi ketika u tidak bergantung pada waktu, seperti solusi
setimbang. Pengaruh yang sangat besar dari pendinginan pada batas-batas luar
dapat di demonstrasikan dengan mengatur koefisien pergantian panas menjadi nol.
KESIMPULAN
1. Metode Elemen Hingga sangat baik dalam memberikan solusi numerik untuk
persamaan diferensial parsial parabolik.
2. Penggunaan PDE Tools menarik dan memudahkan dalam penentuan solusi
numerik.
12
DAFTAR PUSTAKA
Kreyszig E, 1999, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc.,
New York.
Nakhle H. A, 2005, Partial Differential Equations With Fourier Series and
Boundary Value Problem, Person Prentice Hall, New Jersey.
Smith. I. M, Griffiths. D.V. 1997. Programming the finite element method. Third
edition. John Wiley & Sons.
The MathWorks,Inc, 1995, Partial Differential Equation Toolbox User’s Guide.
13