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Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brando2

Contedo de aula Profa. Silvia Fernanda M. Brando1

Induo e Recorrncia

Elementos de Deduo Lgica

Em geral, um resultado expresso na forma de uma implicao, a partir, de uma afirmao verdadeira; o qual se chama teorema, tal como "Se P ento Q", sendo P e Q sentenas quaisquer, por exemplo: "Se chover ento o cho ficar molhado". Assim, teremos as sentenas P = chover e Q = o cho ficar molhado.

Em um teorema da forma "Se P ento Q" devemos deduzir Q de P, utilizando "axiomas" e "regras" de inferncia lgica. Em geral, deseja-se demonstrar teoremas cujo significado importante para um determinado tema em particular, por exemplo: Algoritmos, lgebra booleana, Teoria de Compiladores, Teoria dos Grafos, etc. Para deduzir a sentena Q a partir de P, faz-se necessrio, utilizar uma seqncia lgica de passos que se iniciam em P e finalizam em Q; cada passo da seqncia um axioma lgico ou um axioma especfico ou ainda um passo que pode ser logicamente inferido a partir do(s) passo(s) anterior(es). Geralmente, no fcil reconhecer qual assunto especfico ser til para preparar uma seqncia de passos que levem logicamente da sentena P sentena Q. Infelizmente, no existe uma frmula para construir demonstraes e nem algoritmos gerais ou programas de computador para demonstrarem teoremas.

Um teorema da forma "Se P ento Q" ou verdadeiro ou falso, no podendo ser verdadeiro e falso simultaneamente. Para mostrar que uma afirmao da forma "Se P ento Q" falsa basta exibirmos um exemplo em que sentena P seja verdadeira e a sentena Q seja falsa, no qual denominaremos de contra-exemplo, a ttulo de ilustrao considere a afirmao "Todo inteiro maior que 10 menor que 5", que pode ser expresso atravs do seguinte teorema "Se um nmero inteiro menor que 10 ento ele menor que 5", um contra-exemplo para o teorema o nmero inteiro 4, pois 4 menor que 10, porm no maior que 5. claro que existem outros contra-exemplo para o teorema em questo, mas um nico contra-exemplo suficiente para negar a afirmao.

Exemplo:

Fornea contra-exemplos para as seguintes afirmaes:

Todos os animais que vivem nos oceanos so peixes.

R. Baleia.

Todo peixe possui escamas;

R. Tubaro

Os dados de entrada para um programa de computador so sempre fornecidos por meio do teclado.

R. Caneta ptica.

Para demonstrar que um teorema verdadeiro, podemos utilizar alguns tipos de provas: Direta, Contraposio, Contradio ou Induo matemtica.

Tipos de Prova

Em matemtica, uma prova uma demonstrao de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse necessariamente verdadeiro.

Na lgica e na matemtica, a implicao, ou condicional a indicao do tipo "SE...ENTO", indicando que uma condio deve ser satisfeita necessariamente para que a outra seja verdadeira. Por exemplo, a expresso: "Se Joo esquia, Maria nada" uma implicao.

Na lgica booleana, as implicaes retornam FALSO se, e somente se, o antecedente VERDADEIRO e o conseqente FALSO.

Tabela Verdade SE...ENTO / SI...TUNC / IF...THEN

Entrada1

Entrada2

Sada

VERDADEIRO

VERDADEIRO

VERDADEIRO

VERDADEIRO

FALSO

FALSO

FALSO

VERDADEIRO

VERDADEIRO

FALSO

FALSO

VERDADEIRO

Existe um caso especial de implicao em que as duas condies precisam ser mutuamente satisfeitas para serem verdadeiras, como por exemplo, a expresso: "Joo esquia, se, e somente se, Maria nada".

Tabela Verdade SE E SOMENTE SE / SI ET SOLITER SI / IF AND ONLY IF

Entrada1

Entrada2

Sada

VERDADEIRO

VERDADEIRO

VERDADEIRO

VERDADEIRO

FALSO

FALSO

FALSO

VERDADEIRO

FALSO

FALSO

FALSO

VERDADEIRO

Direta

Uma maneira de demonstrar que um teorema (ou conjectura) da forma "P ento Q" verdadeira utilizando-se da tcnica de demonstrao direta, que consiste em assumir a hiptese, P, como uma premissa verdadeira e deduzir a tese Q, utilizando-se de inferncias lgicas e/ou matemticas.

Exemplo:

Demonstre que: Se um nmero inteiro divisvel por 6, ento ele divisvel por 3.

Podemos escrever o teorema acima da seguinte forma:

n IN tal que 6|n 3|n.

Hiptese: n IN tal que 6|n

Tese: 3|n

Demonstrao:

n NI tal que 6|n k1 Z tal que n = k1 . 6 n = k1 (2 . 3) = (2 . k1) 3 n = k . 3, com k Z 3|n.

Observe que a demonstrao consistiu em assumir a hiptese verdadeira e deduzir a tese (com o auxlio de uma seqncia lgica de fatos verdadeiros).

Contraposio

A demonstrao por contraposio ou indireta uma variante da tcnica de, demonstrao direta, ela consiste em demonstrar um teorema da forma "P ento Q", utilizando-se para isso o mtodo direto ao seguinte teorema "no Q ento no P", equivalente ao teorema "P ento Q", muitas vezes os smbolos "~" ou " ' " so utilizados para indicar a negao de uma sentena, por exemplo: no P ~P P'.

Exemplos:

a) Demonstre por contraposio: Se um nmero inteiro divisvel por 6, ento ele divisvel por 3.

Hiptese: x no divisvel por 3

Demonstrao:

x K k . 3 para algum inteiro kx K (2 . k1) . 3 para algum inteiro k1

x K k1 . (2 . 3) para algum inteiro k1x K k1 . 6 para algum inteiro k1

Portanto x no divisvel por 6.

b) Demonstre por contraposio: Se o quadrado de um nmero mpar ento o nmero tambm o .

Demonstrao:

Seja x um nmero parx = 2 . k1 para algum inteiro k1. Se multiplicarmos por x teremos:

x . x = x2 = (2 . k1) . (2 . k1) = 2 (2 . k12)x2 = 2 . k para algum inteiro k Logo, x2 um nmero par.

Reduo ao Absurdo (Contradio)

Alm das tcnicas de demonstrao direta e contraposio, podemos destacar a tcnica de demonstrao por contradio (tambm conhecida como demonstrao indireta). Esta tcnica consiste em: Dado um teorema da forma "P ento Q", assumir a hiptese, P, e a negao da tese, ~Q, verdadeiras e utilizando a tcnica de demonstrao direta nos deparamos com uma contradio (ou absurdo).

Exemplo:

Prove que: Se um nmero somado a ele prprio resulta no prprio nmero ento o nmero zero.

Demonstrao:

Suponha x + x = x, com x diferente de zero. Logo 2x = x. Como x diferente de zero, ento 2 = 1. Absurdo! Assim, x + x = x apenas quando x = 0.

Exerccios:

Prove ou d um contra-exemplo:

A soma de quaisquer trs nmeros inteiros positivos consecutivos par.

O produto de quaisquer trs nmeros inteiros consecutivos par.

O produto de um nmero inteiro pelo seu quadrado par.

A soma de um nmero inteiro com o seu cubo par.

O consecutivo do produto de dois nmeros impares consecutivos o quadrado da mdia destes.

Se x e y so mpares, prove que o produto xy mpar. (Demonstrao direta).Prove que se xy mpar ento x e y so, individualmente, mpares. (Demonstrao por contraposio).Dizemos que a divide x, denotado, a|x, se existe b tal que a . b = x. Mostre que se a|x e a|(x + y) ento a|y. (Demonstrao direta).Prove que a soma de trs nmeros inteiros e consecutivos divisvel por 3. (Demonstrao direta).

Se e somente se

Se e somente se, em matemtica, lgica e filosofia, uma forma de expresso para um teorema: Se A ento B, e se B ento A; ou A se e somente se B. O correspondente smbolo lgico .

Seja a afirmao:

Se um inteiro x par, ento x + 1 mpar, e se x + 1 impar, ento x par.

Existem maneiras concisas de expressar afirmaes da forma A implica B e B implica A, nas quais no necessrio descrever as condies de A e B duas vezes cada uma. A expressao-chave para tais formas se e somente se.

Um inteiro x par se e somente se x + 1 mpar.

Sobre as condies de A e B, elas podem ser, cada uma delas, verdadeira ou falsa, havendo assim, quatro possibilidades. Se a afirmao A se e somente se B verdadeira, temos a seguinte tabela:

Condio A

Condio B

Verdadeira

Verdadeira

Possvel

Verdadeira

Falsa

Impossvel

Falsa

Verdadeira

Impossvel

Falsa

Falsa

Possvel

impossvel a condio A ser verdadeira quando B falsa, porque A B. Da mesma forma, impossvel a condio B ser verdadeira quando A falsa, porque B A. Assim as duas condies A e B devem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.

No exemplo acima a condio A x par e a condio B x + 1 mpar. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B so ambas verdadeiras (6 par e 7 impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condies so falsas (9 no par e 10 no mpar).

Observaes

A sse B (abreviada); A necessrio e suficiente para B; A equivalente a B (a condio A vlida exatamente nas mesma circunstncias em que a condio B ); A B .

Princpio de Induo

Sempre que desejamos demonstrar que alguma propriedade vlida para todo nmero natural n, uma forma de demonstrao atravs do uso do Princpio de Induo Matemtica. Para utilizarmos a INDUO MATEMTICA como tcnica de demonstrao devemos verificar a seguinte proposio:

"Seja a N e suponhamos que a cada nmero natural esteja associada uma afirmao P(n). Admitamos ainda que seja possvel provar o seguinte:

Verificar que P(a) verdadeira para algum a N;(Base de Induo)Assumir que P(k) verdadeira;(Hiptese de Induo)Provar que P(k+1) verdadeira, utilizando-se a Hiptese de Induo (ii);Ento P(n) verdadeira pra todo n a".

A idia da demonstrao por induo simples. Devido a (i) P(a) verdadeira. De (ii) segue ento que P(a+1) verdadeira. Ainda por (ii) decorre que P(a+2) verdadeira. E assim, por diante.

Em outras palavras, estabelecemos inicialmente a veracidade da sentena inicial, denominada por P(a), chamada BASE DE INDUO para a demonstrao dedutiva. Estabelece-se a HIPTESE DE INDUO que implica em assumir que P(k) verdadeira, com o intuito de demonstrar que P(k+1).

Exemplos a serem resolvidos durante a aula:

Prove que a equao 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n - 1) = n2, verdadeira.Prove que: 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 2n = 2n+1 - 1.Prove que: 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = n(n+1)/2Prove que 2n > n. Para todo n 0.Prove que: 22n - 1 divisvel por 3.Prove que 2n+1 < 3n. Para todo n 2.

Exerccios Propostos

Fornea uma demonstrao direta de que a soma de inteiros pares par.Prove por contradio que a soma de inteiros pares par.Prove que a soma de dois nmeros inteiros mpares par.Prove que o produto de quaisquer dois nmeros inteiros consecutivos par.Prove que para qualquer inteiro n, o nmero 3(n2 + 2n + 3) 2n2 um quadrado perfeito.Prove que a soma de um nmero inteiro e do seu quadrado par.Prove que soma de quaisquer trs nmeros inteiros consecutivos divisvel por 3.Nos exerccios a seguir, use induo matemtica para demonstrar que os resultados so vlidos para qualquer inteiro positivo n.

a) 2 + 6 + 10 + 14 + . . . + (4n 2) = 2n2

b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n(n + 1)

c) 1 + 5 + 9 + 13 + . . . + (4n 3) = n(2n 1)

d) 1 + 3 + 6 + . . . +

6

)

2

)(

1

(

2

)

1

(

+

+

=

+

n

n

n

n

n

e) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n 1) 2 =

3

)

1

2

)(

1

2

(

+

-

n

n

n

f) 1 + a + a2 + . . . + an-1 =

1

1

-

-

a

a

n

Prove que n2 > n + 1, para n > 1Prove que 2n > n2, para n 5.Prove que 23n 1 divisvel por 7.Prove que 7n 2n divisvel por 5Prove que xn 1 divisvel por x 1, para x 1.

Problemas Recorrentes

A torre de Hani

Dado uma torre com n discos, inicialmente empilhados por tamanho decrescente em um dos trs pinos (vide figura).

O objetivo transferir a torre inteira para um dos outros pinos, movendo apenas um disco de cada vez e nunca colocando um disco maior sobre um menor. Chamemos T(n) o nmero mnimo de movimentos que permite a transferncia de n discos de um pino para o outro segundo as regras acima.

Considere

Para n = 0 T(0) = 0

Para n = 1 T(1) = 1 = 2 (0) + 1

Para n = 2 T(2) = 3 = 2 (1) + 1

Para n = 3 T(3) = 7 = 2 (3) + 1

Para n = 4 T(4) = 15 = 2 (7) + 1

Para n = 5 T(5) = 31 = 2 (15) + 1

Para n = 6 T(6) = 63 = 2 (31) + 1

. . .

Para n = k T(k) = 2 (Tk-1) + 1

Portanto tem-se:

n = 0 T(0) = 0

n = 1 T(1) = 1 = 2 (0) + 1 = 2 - 1 = 21 - 1

n = 2 T(2) = 3 = 2 (1) + 1 = 4 - 1 = 22 - 1

n = 3 T(3) = 7 = 2 (3) + 1 = 8 - 1 = 23 - 1

n = 4 T(4) = 15 = 2 (7) + 1 = 16 - 1 = 24 - 1

n = 5 T(5) = 31 = 2 (15) + 1 = 32 - 1 = 25 - 1

n = 6 T(6) = 63 = 2 (31) + 1 = 64 - 1 = 26 - 1

. . .

n = k T(k) = 2 (Tk-1) + 1 = 2k - 1

Assim, podemos inferir que Tn = 2n - 1. Observe que no podemos, ainda, garantir que a frmula fechada, Tn = 2n - 1, nos d o nmero de movimentos necessrios para transportar n discos de um pino para outro, segundo as regras citadas, verdadeira para n>6. Para isso, devemos provar por induo, sobre n, que a frmula, Tn = 2n - 1, vlida para n > 6.

Exemplo: Prove, por induo sobre n, que: T(n) = 2n 1.

O Problema de Josephus

Suponha que n pessoas numeradas de 1 a n esto dispostas sobre um crculo. Suponha, ainda, que se partindo da pessoa nmero 1 devemos eliminar a segunda pessoa a partir da pessoa eliminada at sobrar uma nica pessoa.

Determine o nmero da pessoa sobrevivente, por exemplo, se n = 10.

A ordem se eliminao ser: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1 e 9. Logo a pessoa n 5 ser a sobrevivente. Chamemos de J(n) o nmero da pessoa sobrevivente, quanto temos n pessoas, assim:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

J(n)

1

1

3

1

3

5

7

1

3

5

7

9

Suponhamos ento que temos 2n, originalmente. Assim, aps a primeira volta teremos a 3 pessoa ser a prxima a ser eliminada. Logo podemos escrever: J(2n) = 2 J(n) -1 p/ n 1. No caso em que temos (2n + 1) pessoas, a pessoa n 1 ser eliminada logo aps a pessoa de n 2n. Assim, podemos escrever: J(2n + 1) = 2J(n) + 1 p/ n 1.

Observe:

Caso 2n:

Caso (2n + 1):

n = 1 J(2 . 1) = 1 = J(2) = 2(1) - 1 = 2 J(1) - 1

n = 1 J(2(1)+1) = 3 = J(3) = 2(1) + 1 = 2 J(1) + 1

n = 2 J(2 . 2) = 1 = J(4) = 2(1) - 1 = 2 J(2) - 1

n = 2 J(2(2)+1) = 3 = J(5) = 2(1) + 1 = 2 J(2) + 1

n = 3 J(2 . 3) = 5 = J(6) = 2(3) - 1 = 2 J(3) - 1

n = 3 J(2(3)+1) = 7 = J(7) = 2(3) + 1 = 2 J(3) + 1

n = 4 J(2 . 4) = 1 = J(8) = 2(1) - 1 = 2 J(4) - 1

n = 4 J(2(4)+1) = 3 = J(9) = 2(1) + 1 = 2 J(4) + 1

n = 5 J(2 . 5) = 5 = J(10) = 2(3) - 1 = 2 J(5) - 1

n = 5 J(2(5)+1) = 7 = J(11) = 2(3) + 1 = 2 J(5) + 1

n = 6 J(2 . 6) = 9 = J(12) = 2(5) - 1 = 2 J(6) - 1

n = 6 J(2(6)+1) = 11 = J(13) = 2(5) + 1 = 2 J(5) +1

A relao de recorrncia anterior nos permite escrever a seguinte tabela de valores:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

J(n)

1

1

3

1

3

5

7

1

3

5

7

9

11

13

15

1

Conclui-se que:

J(2.1) = 1

J(3) = 2(1) + 1

J(5) = 2(1) + 1

J(9) = 2(1) + 1

J(2.2) = 1

J(6) = 2(1) + 1

J(10) = 2(2) + 1

J(2.3) = 1

J(7) = 2(1) + 1

J(11) = 2(3) + 1

J(2.4) = 1

J(12) = 2(4) + 1

J(13) = 2(5) + 1

J(14) = 2(6) + 1

J(15) = 2(7) + 1

Dessa maneira podemos escrever: J(2m + r), sendo que:

2m : a maior potncia de 2 que no seja maior que n; m0

r : o que sobrou; 0 r 2m

Prove por induo sobre m que J(2m + r) = 2 r + 1

Demonstrao:

Base de Induo (m = 0);

m = 0 r = 0 J(20 + 0) = J(1) = 2(0) + 1 = 1

Hiptese de Induo, m = k;

J(2k + r) = 2 r + 1

Provar que vale para m = k + 1

J(2k+1 + r) = J(2 . 2k + r) = 2 J(

2

r

2

.

2

k

+

) - 1 = 2 J(

2

r

2

k

+

) - 1 = 2 J(2k + r') - 1 = = 2(2 r' + 1) - 1 = 2(2 r') + 1 = 2 r + 1

Assim, por (i), (ii) e (iii) fica provado que J(2m + r) = 2 r + 1, com m0 e 0 r 2m.

O Problema da Pizza (Exerccio)

Quantas fatias de pizzas uma pessoa pode obter fazendo-se n cortes retos com uma faca de pizza?

Exerccios Propostos

Encontre uma soluo da forma fechada para a relao de recorrncia sujeita a:

T(1)=1

T(n)=T(n -1) + 3 para n >1

Determine os 6 primeiros termos da seqncia gerada pela relao de recorrncia a seguir:

Q

Q

x

Q

Q

Q

para

n

n

n

n

0

1

1

2

0

1

1

1

=

=

=

+

+

>

-

-

Sejam x e y inteiros positivos. Suponha a funo Q definida recursivamente como segue:

Q

x

y

x

x

y

Q

x

y

y

y

(

,

)

(

,

)

=

n 3, n 10;

n! > 3n, n 7.

Determinar

n

u

sabendo que

1

1

u

=

e que

1

3

kk

uu

-

=+

para todo nmero natural

1

k

>

.Demonstrar que

(i)(ii)

2

2

1

1...

1

n

n

x

xxx

x

+

-

++++=

-

,

1

x

,

1

n

.

(iii)

123234345...(1)(2)

nnn

++++++

(1)(2)(3)

4

nnnn

+++

=

,

1

n

.

(iv)

1111

...

133557(21)(21)21

n

nnn

++++=

-++

,

1

n

.

(v)

1111

...

1447710(32)(31)31

n

nnn

++++=

-++

,

1

n

.

(v)

11111

...

1559913(43)(41)41

nnn

++++=

-++

,

1

n

.

(v)

2222

123(1)

...

133557(21)(21)2(21)

nnn

nnn

+

++++=

-++

,

1

n

.

Demonstrar que a soma dos cubos de trs nmeros naturais sucessivas divisvel por 9.Defina, por recorrncia, uma funo f: N N tal que f(1) = 3 e f(n+1) = 5.f(n) + 1. D uma formula explcita para f(n).D uma frmula explcita para f: N N sabendo que f(1)=1, f(2)=5 e f(n+2)=3f (n+1) 2f (n).