~ FERNANDO GAMARRA MORALES TACNA - 2004 30 60 60 30 2X X 3X 40 20 20 3 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 2 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 3 INTRODUCCIN El presente trabajo se realiza para que el alumno tenga un material de fcil acceso y comprensin de los temas de geometra que se desarrollan en matemtica; los mtodos de induccinydeduccin,queeldocentefcilmentepuedeutilizarconelpresente,otorgaal alumnoeldesarrollodelapercepcindesurealidad,aplicandoestosprocedimientosa diversos campos del quehacer humano. Lamatemticadecuartoaodesecundaria,estcargadadeconocimientos geomtricosqueperfeccionalagraficacin,exactitudypulcrituddelestudiante,elementos bsicos para prepararse a una vida en permanente cambio. EstetrabajoseconstituyedeestamaneraenunTEXTODIDCTICOyaqueesta formadopordiversostemasdegeometraparaqueelalumno,conlaayudadeldocente, puedacompletaryalavezcomprenderacabalidadlapartetericasustancialdelos diferentes temas. Cada tema est acompaado de suficientes ejemplos pertinentes, incompletos o sin resolver, muchos de ellos tomados en exmenes de admisin a diferentes universidades del pas,desdelosmssencilloshastalosmscomplejosparaquepuedanresolverse progresivamente,deestamaneraelprofesoralmomentodecompletarlaresolucinen clase pueda asegurar en el alumno una mejor comprensin de los mismos y generar hbitos derutinamatemticaquelepermitirresolverconxitolosnumerososejerciciosquese proponen. LafinalidaddeesteTEXTODIDCTICOesproporcionarconocimientosbsicosde geometraquerequierenlosalumnosparaaccederanivelessuperioresdeestudio, contribuyendoaldesarrollodenivelesmsaltosdelaestructuradelpensamiento;ental sentidosehadadopreferenciaalaspectooperativosindejardeconsiderarelrigor matemtico en la formulacin de conceptos fundamentales. Profesor: Fernando Gamarra Morales. 4 CONTENIDO UNIDAD I: ELEMENTOS GEOMTRICOS -Trminos no definidos. -Subconjuntos de rectas. -Posiciones de rectas y planos -ngulos en el plano. Clasificacin -ngulos formados por dos rectas paralelas y una secante. UNIDAD II: POLGONOS. -Relaciones fundamentales de un polgono convexo. -Tringulos. Lneas Notables. -Tringulos Rectngulos Notables. -Relaciones mtricas en el tringulo. -Relaciones mtricas en el tringulo (II parte).-Cuadrilteros. Propiedades. UNIDAD III: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA -Segmentos entre paralelas. Teorema de Thales. -Teoremas de bisectrices en el tringulo. -Semejanza de tringulos. -Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo. -Teorema de Pitgoras. -Generalizacin del Teorema de Pitgoras. -Circunferencia y crculo. UNIDAD IV: REAS -rea del rectngulo. -rea del tringulo. -rea del paralelogramo: romboide y rombo. -rea del trapecio. -rea del tringulo (II parte). -rea de polgonos regulares. -rea del crculo. UNIDAD V: REAS Y VOLMENES. -Slidos geomtricos. -Poliedros. -Prismas. -Pirmides. -Cuerpos de revolucin. -Cilindro. -Cono. -Esfera. Profesor: Fernando Gamarra Morales. 5 UNIDAD I: ELEMENTOS GEOMETRICOS NOCIONES.- Punto: Recta: Plano: TERMINOS NO DEFINIDOS PUNTO.- AXIOMA 1: RECTA.- AXIOMA 1: AXIOMA 2: AXIOMA 3: AXIOMA 4: AXIOMA 5: Profesor: Fernando Gamarra Morales. 6 PLANO.- AXIOMA 1: AXIOMA 2: AXIOMA 3: AXIOMA 4: AXIOMA 5: AXIOMA 6: Profesor: Fernando Gamarra Morales. 7 SUBCONJUNTOS DE RECTAS SEGMENTO: SEGMENTOS ABIERTOS Y SEMIABIERTOS: RAYO Y SEMIRRECTA: EJEMPLOS 1.Teniendo en cuenta estos cuatro puntos, denota seis segmentos. 2.Nombra todos los rayos trazados, cuyo origen sea uno cualquiera de los puntos siguientes: N, S, R, P, T, U. A B C D G H DNR A ES T B FPUC IJ Profesor: Fernando Gamarra Morales. 8 3.Observa la figura y completa: a)E FF E=c)E FF E= e) E F - F E= b)E FF E=d)E FF E=f) E F - F E= NOTA.- ABrepresenta la longitud del segmentoAB. CDrepresenta la longitud del segmentoCD. Por lo tanto: AB, CD, EF, ............. etc. representan nmeros reales. 4.Sobre una recta, se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de tal manera que: AC + BD + CE = 44 m. Calcular AB si AE = 25 myDE = 2 AB Solucin: AB +BC + CD + DE=AE

2 (AB +BC + CD + DE)=2 AE 2 AB + 2 BC + 2 CD + 2 DE=2 AE AB + AB + BC + BC + CD + CD + DE + DE = 2 AE. AB + +++ DE =2 AE. AB ++ DE=2 ( ). + 2 AB = AB = 5.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC = 12 y el valor del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD es igual a 16. Hallar BD. EFG A B CD E Multiplicando ambos miembros por 2 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 9 6.Sobreunarecta,setomanlospuntosA,B,C,D,EyFconsecutivamente,demodoquese verifique: 8 BE=5 AFyAC + BD + CE + DF = 39 m .Hallar AF. Solucin: Dato:AC+BD+CE+ DF = 39 AB +BC+ + + + + + = 39 AF +BC+CD+ DE=39 AF+= 39 8 AF+8 = 8 x 39 8 AF + =8 x 39 AF= 7.Se sabe que A, B, C, D, E y F son puntos consecutivos de una recta y que AC + BD + CE + DF = 28 m. Adems se sabe queBE AF25= . Hallar AF. A B CD E F Multiplicando por 8 ambos miembros A B C DE F Profesor: Fernando Gamarra Morales. 10 8.SedanlospuntosconsecutivosA,B,C,DyE;siendoAC+BD+CE=60m.HallarAE,si AE BD87= . 9.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que AC + BD = 10,5 cmy BC = 3 m. Hallar AD. 10.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, donde AB = BD = 3 CD. Hallar la longitud del segmento CD, si la longitud de AD = 12 m. Solucin: AB=3(CD) AB=3 X= A B C D x 3x Profesor: Fernando Gamarra Morales. 11 11.Se tienen los puntos colineales sobre una recta A, B, C y D. Hallar la longitud de BC si AC = 34 m, BD = 60 m y AD = 70 m. Solucin: Dato: AB+ X +CD = 70 AB= 34 -CD = 60 - Reemplazando en el dato, tenemos: X= 12.Sobre una recta se toman los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D siendo AC = BD = 6m;AD = 8 m. Hallar la longitud del segmento BC. Solucin: 13.En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que AC = 28 cm, BD = 36cm.CalcularlalongituddelsegmentoMN,siendoMyNpuntosmediosdeAByCD respectivamente. Solucin: A B CD x AB C D AMB C N D m m qnn Profesor: Fernando Gamarra Morales. 12 14.En una lnea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo AC + BD = 40 m. Hallar PQ si P es medio de AB y Q es medio de CD. Solucin: 15.Se dan cuatro puntos colineales A, B, C y D; se sabe que BC excede a AB en 9 cm y que es 12 cm menos que CD. Hallar la longitud del segmento mayor, si AD = 75 cm. Solucin: Datos: BC = AB + 9AB=BC = CD 12 CD = AB+BC+CD=75 cm 16.A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 11 cm, BD = 12 cm yCD BC31= , entonces la longitud de AB es: 17.Los puntos P y Q estn situados en el segmentoAB , ambos del mismo lado del punto medio M deAB ,enelordenindicado,ydemaneraque 32=PBAP;si 43=QBAQyPQ=2,entoncesla longitud del segmentoABseria:(Admisin UNMSM 98)

A) 75 B) 70 C) 80 D) 85E) 90 ABC D Profesor: Fernando Gamarra Morales. 13 18.Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C de modo que AB BC = 12 cm.HallarlalongituddelsegmentoquetieneporextremoselpuntoByelpuntomediodel segmento que se forma al unir los puntos medios de AB y BC. (Admisin UNJBG 2000-II) A) 1 B) 2C) 3D) 4 E) 5 19.SobreunalnearectaseconsideranlospuntosconsecutivosA,B,C,DyEdemodoquelos puntos B, C y D son puntos medios de AC, AE y BE respectivamente. Hallarsi CD = 6 cm. (Admisin UNJBG 2000-II) A) 36B) 60 C) 24 D) 12 E) 48 20.Se dan cuatro puntos colineales A, B, C y D de modo que C es punto medio de BD. Cul de las relaciones es verdadera? (Admisin UNJBG 2000-II) A)CD BC AC + =B) 2AD ABAC+=C)BC AC 2 =D)BC BD 3 =E)N.A. PRACTICA N 1 TEMA: Segmentos de recta. 1.EnlafiguraOespuntomediodeAB. Entonces: MA MB, es igual a: O AMB A) MOB) MBC) 2MOD) 2MB E) AO 2.Sobreunarectasetoman consecutivamentelospuntosA,B,CyD tales que: AC = 17, BD = 25. Calcular PQ, siendoPyQlospuntosmediosdeABy CD respectivamente. A) 8 B) 42C) 21D) 35E) 14 3.Sobreunarectasetomanlospuntos consecutivos A, B, C y D, s AB = 7 y CD = 3. Calcular BC, si AB CD = BD. A) 0,5 B) 0,8 C) 1 D) 1,2E) 1,5 4.Sobreunarectaseconsideranlospuntos consecutivosA,ByC.Oespunto medio de AC. Calcular BO, si: BC AB = 4. A) 1 B) 2 C) 3 D) 0,5 E) 4 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 14 5.Sobre una recta se tienen los puntos A, O, C y D consecutivos. Si: AD = 2(OC) y AO + CD = 12. Calcular AD. A) 12B) 18C) 24 D) 36E) 20 6.Dados los puntos colineales y consecutivos A,B,CyDtalque:AB=BCyAD= 7BC. Calcular: AB, si CD = 15. A) 2B) 3C) 4 D) 5 E) 2,5 7.Se tienen los puntos alineados A, B y C en eseorden,talqueMespuntomediode BC, si AB + AC = 16. Calcular AM. A) 5B) 6C) 8D) 12E) 9 8.Setienenlospuntoscolinealesy consecutivosA,B,CyDtalque:AB= 2CDyadems3ACBC=20.Calcular AD. A) 5B) 15C) 10D) 20E) 20/3 9.DadoslospuntosA,ByCcolinealesy consecutivostalqueAC=6y ( )2 22 BC AB AB AC = . Calcular AB. A) 2B) 3C) 4D) 6E)2 2 10.M, A, B y C son cuatro puntos de una recta talque:MA=3;MB=5y4AB+AC 2BC = 6. Calcular MC. A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9 11.Se tienen los puntos consecutivos A, B y C sobreunalnearectaquecumplenla condicin:

52 1 1= AC AB. Calcular: AB, si BC = 8. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5 12.Enunalnearecta' XX ,seubicanlos puntos consecutivos A, B , C y D, si: AD = 10yBC=4.Calcularlalongituddel segmentoquetieneporextremoslos puntos medios de AB y CD. A) 6B) 7C) 8D) 14 E) 12 13.Enunarectasetienenlospuntos consecutivos A, B, C y D, siendo: CD=2BC=4AB;AD=42yluegose consideranlospuntosmediosMyN de Ab y MC respectivamente. Hallar BN. A) 3,5B) 4C) 4,5 D) 5E) 5,5 14.Enunalnearectaseubicanlospuntos consecutivos A, M, R y F, si: AF = 6, MF = 4 y RF2 = AR x MR. Calcular RF. A) 2,1 B) 2,2 C) 2,3 D) 2,4E) 2,5 15.En una lnea recta se consideran los puntos consecutivosA,B,CyD,siendo2BC= AB+CD;CD=5AByAC(ADCD)= BC. Calcular BC. A) B) 5/16C) 7/16 D) 16/3 E) 9/16 16.En una lnea recta se consideran los puntos consecutivosA,B,CyD.Si: 3 2 1CD BC AB= = yBC = 2. Calcular la longituddelsegmentoquetienepor extremos los puntos medios de AC y BD. A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5 17.Enunalnearectaseubicanlospuntos consecutivosA,M,RyV;siendo: 51 1 1= RV MRyAM AV AR =2. Calcular AR. A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5 18.En una lnea recta se consideran los puntos consecutivosA,MyR,sean:AM=2y MR = 5. Calcular la longitud del segmento AC,siCMR,adems:MC>CRyAM CR1 1= . A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 19.Seconsideranlospuntosconsecutivosen unalnearectaqueson:A,B,CyD; siendo: 5 2 1CD BC AB= = yBC2=AD. Calcular: AB + CD. A) 2 B) 6 C)5 D) 16 E) 12 20.Enunalnearectasetienenlospuntos consecutivosA,MyR;siendoBy C puntosquepertenecenaAMyMR respectivamente donde: BM = 2AB, MC = 2CR y AR = 12. Calcular BC. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10E) 14 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 15 POSICIONES DE RECTAS Dos rectas diferentes coplanares (en el mismo plano), pueden ser secantes o paralelas. a)Dos rectas son secantes, si su interseccin es un punto y slo uno. b)Dos rectas son paralelas, si no son secantes. Dos rectas diferentes no coplanares son cruzadas o alabeadas, si su interseccin es vacio. POSICIONES DE UNA RECTA Y UN PLANO a)Una recta es secante al plano, si ............................................ Profesor: Fernando Gamarra Morales. 16 b)Una recta es paralela al plano, si no es secante. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS a)Dos planos son secantes, si su interseccin es una y slo una ............................. b)Dos planos son paralelos, si no son ...................... ANGULOS EN EL PLANO Definicin.- ............................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... VERTICE: O LADOS: OA y OB O B A Sentido horarioSentido antihorario Profesor: Fernando Gamarra Morales. 17 MEDICION DE ANGULOS.- SistemaSexagesimal:(elmsantiguo)Dividealacircunferenciaen360partesiguales(grados sexagesimales). Las unidades inferiores a un grado (1 ) son: 1= 60(un grado es igual a sesenta minutos). 1 = 60( un minuto es igual a sesenta segundos). Ejemplo 1: Un ngulo mide 12,28 . Expresa dicha medida en grados, minutos y segundos. G M S Profesor: Fernando Gamarra Morales. 18 Ejemplo 2: Expresa8 429 en grados, minutos y segundos. Sistema Radial: Longitudde la circunferencia:R 2 R 2360 RX 1802 360= =Rx RX 1801 = RADIAN RADIANES= 2 RADIANES = Divide a la circunferencia en ............................... Ejemplo1: Expresa 75en radianes. R R R Profesor: Fernando Gamarra Morales. 19 Ejemplo 2: Expresa 50 25 en radianes. Ejemplo 3: Expresa83 radianes. En grados sexagesimales. Ejemplo 4: Expresa 50 2512 en radianes. PRACTICA N2 Expresa cada medida como mltiplo deradianes. a)45 b)30 c)15 d)75 e)25 f)60 g)120 h)270 i)315 j)90 k)80 30 l)125 15 m)60 50 n)380 25 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 20 Expresa cada medida en unidades del sistema sexagesimal. a) 3 b) 4 c) 15 d) 92 e) 3f) 32 g) 43 h) 65 i) 125 j) 613 k) 107 l) 5 , 2 m) 6 , 3 n) 157 o) 5 , 0 CLASIFICACIN DE ANGULOS Bisectriz de un ngulo.-...................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. 90 180 O A B D Profesor: Fernando Gamarra Morales. 21 Ejemplo1: En la figura anterior, la medida delAOD es 495218. Cunto mide el AOB ? Ejemplo2:Siunngulomide45 ,cuntomedirelnguloformadoporunodesusladosyla bisectriz de dicho ngulo? Ejemplo 3: Del ejemplo anterior; si la medida del ngulo fuese 47 2330 Ejemplo4: En la siguiente figura: AOB = 124 OC es bisectriz delAOB OD es bisectriz delCOB Cunto mide elCOD ? A) 36 B) 24C) 31D) 28 Ejemplo 5: En la figura OM es bisectriz delBOC AOM = 54 MOD -COD =16 la medida delAOB es: A) 34B) 36C) 38D) 32E) N.A. O A B D C A B M C D O Profesor: Fernando Gamarra Morales. 22 Ejemplo 6: En la figura OE es bisectriz delDOC OF es bisectriz delBOA El nguloEOF mide 118 elBOC mide A) 49 B) 52 C) 48D) 56 E) N.A. ngulos consecutivos: ....................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ngulos complementarios: ................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... El complemento de un ngulo, es lo que el falta para llegar a 90 . Ejemplo: El complemento de 60es ................ porque: El complemento de ............... es 16 ; porque: ngulos suplementarios: ................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ R S T U O A B C D D C B A O F E Profesor: Fernando Gamarra Morales. 23 El suplemento de un ngulo es ........................................................ El suplemento de ............... es 150 , porque: El suplemento de 125es ..............., porque: Ejemplo 1: La medida de un ngulo A es 48 3425. Halla su complemento. Cul es su suplemento? Ejemplo 2: La medida de un ngulo es: 112 2348. Halla su suplemento. ngulos Adyacentes: ...................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ngulos opuestos por el vrtice: Ejemplo 1: En la figura NOP = 32 QOR = 124 TOP es: A) 156 B) 138 C) 146D) 158 E) N.A. O 124 32 R S T QP N Profesor: Fernando Gamarra Morales. 24 Ejemplo 2: En la figura a+c es: A) 70B) 68C) 60D) 72E) N.A. Rectas perpendiculares: ................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... Rectas oblicuas: .............................................................................................................................. ........................................................................................................................................................ ENUNCIADOS -La medida de un ngulo: -El suplemento de un ngulo: -El complemento de un ngulo: -La suma de dos ngulos: -El suplemento de la suma de dos ngulos: ba c 4x 34 120- 2x x 14 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 25 -El complemento de la suma de dos ngulos: -Los ngulos x e y son complementarios: -El doble del suplemento de un ngulo: -El cuadrado del complemento de un ngulo: -La mitad del complemento de un ngulo: -Los tres quintos de un ngulo: -La mitad de un ngulo: EJEMPLOS 1.Dos ngulos son suplementarios. Si uno de ellos mide los 7/8 del otro, cunto mide cada uno? 2.Dos ngulos suplementarios estn en la relacin de 3 a 5. Cunto mide cada ngulo? 3.Dosnguloscomplementariosestnenlarelacinde 4 a 11. Hallar el valor del ngulo formado por el lado comn y la bisectriz del ngulo mayor. 4.El suplemento del complemento del suplemento de un ngulo es 300 . Cul es el ngulo? 5.El suplemento del suplemento de un ngulo es 27 , cul es el ngulo? 6.El complemento del suplemento de un ngulo es 15 , cunto mide el ngulo? 7.El suplemento del complemento de un ngulo es 105 , cunto mide el ngulo? Profesor: Fernando Gamarra Morales. 26 8.Cunto mide el ngulo que mide igual que su complemento? 9.La diferencia de dos ngulos complementarios es de 11 32. Cunto miden los ngulos? 10.Cul es el ngulo que es igual a 1/8 de su complemento? 11.Elcomplementodeunnguloesigualalos4/13 del suplemento del mismo ngulo. Cul es su valor? 12.Un ngulo mide los 3/5 de un ngulo recto; otro ngulo mide los 7/9 de un ngulo recto. Cul es el complemento de su diferencia? 13.Si a uno de dos ngulos suplementarios le disminuimos 29 40 para agregarle al menor, ambos se igualan. Cunto mide cada ngulo? 14.La diferencia de dos ngulos suplementarios es /5. Hallar el menor ngulo. (Admisin PUCP 99-I) A) 54 B) 70C) 80D) 72E) 36 15.Calcular los valores de dos ngulos que se diferencian en 5 , siendo la suma de sus complementos 125 (Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 58y 53 B) 35y 40 C) 45y 40D) 25y 30 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 27 16.El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de X es igual a 5/2 de la diferencia entre el suplemento de X y el suplemento del suplemento de X. Hallar X.(Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A)60 B) 90C) 75 D) 60 17. En la figura halla elAOB(Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) 18.Dos ngulos complementarios estn en la relacin 4 a 11. Hallar el valor del ngulo formado por el lado comn y la bisectriz del ngulo mayor. (Admisin UNJBG 2000-II) A) 66 B) 44 C) 24 D) 33 E) 12 19.Ladiferenciadelosngulosformadosporlasbisectricesdesusngulossuplementariosyelladocomn mide 8 . Cunto mide el complemento del menor ngulo suplementario?(Admisin UNJBG 2000-II) A) 4 B) 6C) 8D) 16E) 24 20.DadosdosngulosconsecutivosAOByBOC,siendoBOC=AOB+36 .SiOXeslabisectrizelngulo BOC, OY es la bisectriz del ngulo AOB y OZ la bisectriz del ngulo XOY, calcular el ngulo BOZ. (Admisin UNJBG 2000-II) A) 6 B) 8C) 12D) 18E) N.A. 130 O AB X Y Profesor: Fernando Gamarra Morales. 28 PRCTICA DE MATEMTICA N3 Tema: Problemas de ngulos 1.SetienelosngulosconsecutivosAOBy BOCcuyadiferenciaes40 .Hallarel nguloformadoaltrazarlabisectrizde AOC con el lado comn OB. 2.Sobre una recta XY se toma un punto O, y a unmismoladodeellasetrazanlas semirrectas OB y OA. Si OM es la bisectriz de YOB,ONlabisectrizde XOA y MON mide 120 . Hallar el valor de AOB. 3.EnunngulorectoAOBsetrazauna secanteMONsisecumpleque MOB-MOA = 10 . Hallar elAON. 4.Ladiferenciadelosngulosformadospor las bisectrices de los ngulos par lineal y el ladocomnes8 .Hallarelmenorngulo del par lineal. 5.Dados los ngulos consecutivos AOB, BOC yCODquesuman180 .Hallarelngulo queformanlasbisectricesdelosngulos AOC y BOD si el ngulo BOC mide 110 . 6.SedanlosngulosconsecutivosAOB, BOCyCODcuyasumaes90 .Hallarel nguloformadoporlasbisectricesdelos ngulosAOByCOD,sabiendoque BOC = 42 . 7.Se tiene un ngulo recto AOB y una secante COD,sielnguloAOC=3(BOD).Hallar elBOD 8.Alrededor de un punto O se trazan los rayos OA,OB,OC,ODyseformancuatro nguloscuyasumaes360 ,siAOC= 3 AOB,COD=2 BOC, DOA=2 COD. HallarCOD. 9.Tres ngulos que suman 180se encuentran enprogresinaritmticacuyaraznes 12 25. Hallar el menor. 10. Hallarelvalordeunngulosabiendoque elsuplementodesucomplementoes6 veces dicho ngulo. 11. Culeselngulocuyosuplemento disminuidoenlamitaddelcomplemento nos da 111 ? 12. Ladiferenciaentreelsuplementoyel complementodeunnguloes seis veces el ngulo.Hallarelsuplementodel complemento del ngulo. 13. Se tienen dos ngulos suplementarios, si al menorselequita15 26paraponrseloal mayor,lamedidadeesteestresveceslo que queda del otro. Hallar el menor. 14. Sialsuplementodeunngulosele disminuyeelsextuplodesucomplemento, resulta la mitad del valor del ngulo. Hallar elsuplementodelsuplementodel compementodelcomplementodel complemento del ngulo. 15. Lasumadedosnguloses80 ,el complementodelprimeroeseldobledel segundo. Hallar el suplemento del mayor. 16. Ladiferenciaentreelsuplementoyel complementodeunnguloes seis veces la medida del ngulo. Hallar el suplemento del complemento del ngulo. 17. Lasumadelcomplementodeunngulo conelsuplementodesungulodoble equivalealcomplementodesungulo mitad.Encontrarelcomplementodelos 54de dicho ngulo. ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE L3 L1 L2 12 3 4 5 6 78 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 29 -Angulos alternos internos:3 y6 y -Angulos alternos externos:1 y8 y -Angulos correspondientes:1 y 5 y y y -Angulos conjugados internos:3 y5 y -Angulos conjugados externos:1 y 7 y Ejemplo 1: En la figura L1 y L2 son paralelas. Ejemplo 2: En la figura L1 // L2. Halla el valor de los ocho ngulos. Ejemplo 3: PA // QC// RF;PB // QD//RE; = 132 18 Cunto miden losP,Qy R? y por qu? a)Hallarlamedidadedosngulos conjugadosinternos,sabiendoque unodeellostienecomomedidala cuarta parte del otro. b)Hallarlamedidadecadaunodelos dems ngulos. x y 12 3 4 5 6 L1 L2 T L1 L2 L3 x + 10 3x - 30 Q P E A C R D D F Profesor: Fernando Gamarra Morales. 30 Ejemplo 4: En la figura L // M. Halla la medida del ngulo A. Ejemplo 5: Si AB // CD, entonces hallar X= (Admisin UNJBG 98-II) Ejemplo 6: En la figura L1 // L2, calcular x A) 60B) 75 C) 85 D) 95E) 105 290 340 X 20 65 12 X A B 78 30 L M X+10 30 - X 2 X+20 70 - X 3 X+ 30 A B C D Profesor: Fernando Gamarra Morales. 31 Ejemplo 7: Calcular el valor de x, si ABC es un tringulo equilteroy L1 // L2 (Admisin UNJBG 200-fase1) A) 110B) 125C) 135D) 145E) 155 Ejemplo 8: En la siguiente figura las rectas m y n son paralelasSi 236 = + , calcular x(Admisin UNJBG 2000-II fase II) A) 120B) 62C) 90 D) 124 E) N.A. L1 L2 A B C x 15 m n x Profesor: Fernando Gamarra Morales. 32 Ejemplo 9: Si m//n//r. Hallar x(Admisin UNJBG 2000-II fase II) A) 4B) 3 C) 5 D) 6 E) 2 Ejemplo 10: En la figura, si m//n//l y AB//CD. Hallar x (Admisin UNJBG 2000-II) A) 4B) 5C) 2D) 3E) 6 Ejemplo 11: En la figura L1 // L2 y m // n. Calcular x A) 62,5B) 67,5 C) 43,5 D) 45E) 80 34X L1 L2 n m m n l x+1 2x a b C A E B D m n l r 2 2y +1 y6 x 3x + 2 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 33 Ejemplo 12: SiL1 // L2// L5yL3 // L4 , calcular x A) 140 B) 115 C) 130D) 100E) 90 Ejemplo 13: Del grfico, hallar X, si L1 // L2(Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 92g B) 88gC) 88D) 92 10 140 X L1 L2 L5 L3 L4 X 110 20g Profesor: Fernando Gamarra Morales. 34 ELEMENTOS GEOMETRICOS NOCIONES RECTAPUNTO SUBCONJUNTOSSECANTES SEGMENTOSSEMIRRECTARAYO ABIERTOSEMIABIERTO ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS CONJUGADOS INTERNOS CONJUGADOS EXTERNOS CORRESPONDIENTES OPUESTOS POR EL VERTICE CONSECUTIVOS COMPLEMENTARIOS SUPLEMENTARIOS SISTEMAS DE MEDIDAS SEXAGESIMALRADIAL parten de CLASIFICAN RECTO AGUDOLLANO NULO ADYACENTES OBTUSO de pueden ser pueden ser pueden ser tiene forman forman pueden ser se tienen PLANO PERPENDICULARES PARALELAS OBLICUAS forman ANGULOS Profesor: Fernando Gamarra Morales. 35 UNIDAD II: POLIGONOS Definicin: ...................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................ Clasificacin.- A)De acuerdo a su regin interior.- 1.Convexos: Si est formado por ngulos convexos. 2.No convexos: (Cncavos) si tienen por lo menos un ngulo no convexo. B)De acuerdo al nmero de lados.- NOMBRELADOSNOMBRELADOSNOMBRELADOS Tringulo. Cuadriltero. Pentgono. Hexgono. Heptgono. Octgono. Nongono. Decgono. Undecgono. Dodecgono Pentadecgono. Icosgono. C)De acuerdo a sus medidas: Equiltero: Si todos sus lados son congruentes (de igual medida) Equingulo: Si todos sus ngulos son congruentes. Regulares: Si son equilteros y equingulos. Irregulares: Si no son regulares. RELACIONES FUNDAMENTALES DE UN POLIGONO CONVEXO 1).............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................... Si = 180(n 2) Profesor: Fernando Gamarra Morales. 36 NOTA.- La suma de los ngulos externos de todo POLGONO CONVEXO es 360 Ejemplo1:Lasumadelosngulosdeunpolgonodenladosesiguala180 (n -2).Culserel nmero de lados de un polgono cuyos ngulos suman 1800 ? (Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua). A) 6B) 8 C) 10 D) 12 Ejemplo 2: El polgono regular cuya suma de sus ngulos internos y la suma de sus ngulos externos estn en la relacin como 8 es a 2, se denomina:(Admisin UNSA 99) A) DecgonoB) DodecgonoC) EnegonoD) Endecgono E) Icosgono 2) ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... Ejemplo 1: Cada ngulo interno de un tringulo regular (equiltero) mide: Ejemplo 2: Cunto mide cada ngulo interno de un pentgono regular? ( )nnai2 180 = Profesor: Fernando Gamarra Morales. 37 Ejemplo3:Elnguloformadoporlasmediatrices(segmentoperpendiculartrazadodesdeelpunto mediodelladodeunpolgono)dedosladosconsecutivosdeunpolgonoregulares18.Hallarel nmero de lados.(Admisin U. de Lima 99-I) A) 18B) 20C) 12 D) 24 E) N.A. 3) ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... Ejemplo 1: Cunto mide cada ngulo exterior de un tringulo equiltero (regular)? Ejemplo 2: Cunto mide cada ngulo exterior de un octgono regular? 4) El nmero mximo de diagonales de un POLGONO CONVEXO de n lados es: Ejemplo1: Cuntas diagonales como mximo tiene un hexgono? nae 360= ( )23 =n nD Profesor: Fernando Gamarra Morales. 38 Ejemplo2:Sialduplicarelnmerodeladosdeunpolgono,sunmerodediagonalesqueda multiplicado por 7. El polgono se llama:(Admisin UNFV 99) A) Octgono B) ExgonoC) Decgono D) DodecgonoE) Pentgono Ejemplo3:Cmosellamaelpolgonoregularenelcualsepuedetrazarcomomximo135 diagonales? Cunto mide cada ngulo interno? Cunto mide cada ngulo externo? Cul es la suma de sus ngulos internos? Cul es la suma de sus ngulos externos? PRCTICA N4 Tema: Polgonos 1. Sielnmerodeladosdeunpolgonoregular aumentaen10cadangulodelnuevopolgono es 3mayor que cada ngulo del original. A)25 B) 27C) 20 D) 16 E) 30 2. Cunto mide cada uno de los ngulos interiores de un polgono regular de 18 lados? A)138 B) 160 C) 120 D) 118E) 145 3. Culeselpolgonoconvexoenelqueel nmerodediagonalesesmayoren133queel nmero de lados? A)El de 19 lados.B) El de 23 lados. C) El de 16 lados.D) El de 24 lados. E) El de 25 lados. 4. Lasumadelosngulosinternosdecierto polgonoregularexcedealasumadelos ngulosexternosen900 .Cuntosladostiene el polgono? A)16 B) 18C) 9D) 12E) 5 5. Cuntosladostieneelpolgonoquetiene119 diagonales? A)13 B) 15 C) 17 D) 14 E) 16 6. Lamedidadelngulointeriordeunpolgono regular de 24 lados, es: A)125 B) 145 C) 165 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 39 D) 105 E) 115 7. Hallarelnmerodeladosdeunpolgono regular,deladoiguala4cmsielnmerode diagonalesescuatrovecessupermetro, expresado en centmetros. A)35 B) 30 C) 25 D) 32E) 28 8. Cuntosladostieneepolgonoregularcuyo ngulointernoes(p+15)veceselngulo exterior,yademssesabequeelnmerode diagonales es 135p.A)80B) 85C) 90D) 95 E) 100 9. Dadas las siguientes proposiciones: (I)Cadanguloexteriordeunhexgonomide 120 . (II) Eneldecgonosepuedentrazar36 diagonales. (III) Elpolgonoregularcuyosngulos exteriores miden 36es un decgono. Son verdaderas: A)Slo I y III B) Slo II C) Slo I y II D) Slo III E)Slo II y III 10. Setieneunpolgonoregularcuyo semipermetro es P y en el cual el nmero que expresasupermetroeselmismoqueelque expresasunmerodediagonales.Ademssu ngulointeriorespvecessunguloexterior. Cunto mide el lado del polgono regular? A) 1/3 B) 1/5 C) 1 D) E) 11. Un ngulo exterior de un polgono regular mide 1 730. Cuntos lad os tiene el polgono? 12. Elpolgonoconvexocuyonmerode diagonalessemultiplicapor7alduplicarel nmero de lados es: 13. Hallar el nmero de lados de un polgono en el quesiseaumentara12 acadangulointerno, resultaraunpolgonodeunladoms. Profesor: Fernando Gamarra Morales. 40 POLGONO TRES LADOSTRES NGULOS CLASIFICAN LADOS NGULOS EQUILTEROISSCELESESCALENORECTNGULOOBLICUNGULO Sustres ladosson congruentes. Slodos desus ladosson congruentes. Ningn parde ladosson congruentes. Unode sus ngulos mide 90 . Noes rectngulo. OBTUSNGULO Unode sus ngulos midems de 90 Sustres ngulos son agudos. que tiene se segn segn sisisisisi si si TRINGULO es un SUBCLASIFICAN ACUTNGULO se en Profesor: Fernando Gamarra Morales. 41 SEGN SUS LADOS SEGN SUS NGULOS -Equiltero: -Rectngulo: -Issceles: -Escaleno -Oblicungulo: a)Obtusngulo: b) Acutngulo: LINEAS NOTABLES EN EL TRIANGULO 1.LA MEDIANA: ........................................................................................................................................................ ....................................................................................................................................................... Profesor: Fernando Gamarra Morales. 42 2.LA ALTURA: .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................... 3.LA MEDIATRIZ: .................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... Profesor: Fernando Gamarra Morales. 43 4.LA BISECTRIZ: ...................................................................................................................... .................................................................................................................................................. CEVIANA: .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... TEOREMA: Enel tringulo equiltero, las lneas notables relativas a cualquier lado son

......................................................................................................................................................... TEOREMA:Eneltringuloissceles,laslneasnotablesrespectoalladonocongruente (base) ........................................................................................................................................................ Profesor: Fernando Gamarra Morales. 44 TEOREMA: En un tringulo rectngulo, la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, es igual a la mitad de la hipotenusa. Ejemplo1:Lalongituddelahipotenusadeuntringulorectngulomide160cm.Culesla longitud de la mediana relativa a la hipotenusa? Ejemplo2:Uncatetodeuntringulorectngulomide120cmylalongituddelamediana relativa a la hipotenusa es 75 cm. Cul es la longitud de la hipotenusa? Ejemplo 3: Si 30 = , entonces =? (Admisin UNJBG 2000- fase 1) A) 30B) 60 C) 45D) 90 E) 53 Ejemplo4:Enuntringulorectnguloladistanciadelortocentroalcircuncentroes10cm. Cunto mide la hipotenusa? (Concurso Escolar de Matemtica99 Moquegua) A) 20 cm B) 18 cm C) 16 cmD) 5 cm A B C r o Profesor: Fernando Gamarra Morales. 45 TRINGULOS NOTABLES Resuelve los siguientes tringulos notables.- 45 5 60 3 53 24 8 45 30 9 37 53 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 46 Ejemplo 1: En un tringulo rectngulo EFG, recto en G, el ngulo E mide 30 . Si EG mide 60 cm, entonces FG mide: A)3 30 cmB)3 20 cmC)3 60cmD)3 40E) N.A. Ejemplo2:LalongituddelahipotenusadeuntringulorectnguloABC,rectoenC,esde 2 8 m. Si el ngulo B es de 60 , entonces AC mide: A)6 4 mB)2 4 m C)3 4 m D)5 4 m E) N.A. Ejemplo 3: La longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo e issceles es de2 6 cm. Entonces cada cateto mide: A)2 3 cm B)6 C) 6 cm D)6 3 cm E) N.A. Ejemplo4:Sicadacatetodeuntringulorectnguloisscelesmide8 4 m,entoncesel permetro, en metros, del tringulo es de: A) 16 +8 B) 8 +2 16C)( ) 2 1 8 +D)( ) 2 1 16 +E) N.A. 3 230 2 253 45 4 3 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 47 Ejemplo 5: La altura de un tringulo equiltero mide 8 m. Halla el lado. Ejemplo 6: Los ngulos iguales de un tringulo issceles miden 30y los lados iguales miden 8 m. Halla la base. Ejemplo 7: La hipotenusa de un tringulo rectngulo de ngulos de 30y 60mide 20 6 . Halla el permetro del tringulo. Ejemplo 8: Un tringulo rectngulo issceles tiene por base la hipotenusa y su altura respecto a ella es de 10 m. Halla el cateto. Ejemplo 9: En un tringulo rectngulo issceles de 20 2 u de hipotenusa, la suma de sus tres alturas es: (Admisin UNSA 99) A)( ) u 2 4 10 B)( ) u 2 4 10 +C)( ) u 2 3 10 +D)( ) u 2 3 10 E)( ) u 2 5 10 + Profesor: Fernando Gamarra Morales. 48 Ejemplo 10: Si M es punto medio de BC, hallar MN en la figura: (Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 2 2B)2 C) 2D) 2,5 2 Ejemplo 11: Se tiene un tringulo ABCrecto en Cde manera que el ngulo A mide 60 . Si la altura relativa al ladoAB mide 89, hallar la longitud de la mediana que parte de C. (Admisin PUCP 99-II) A)3B) 23C) 33D) 23 3 E) 35 Ejemplo12:Setieneunacircunferenciaderadio10circunscritaauntringuloequiltero. Hallarelradiodelacircunferenciainscritaeneltringulo.(Admisin PUCP 99-II) A) 10B) 15 C)10D) 5E)3 5 A C B M N 3045 . Profesor: Fernando Gamarra Morales. 49 Ejemplo 13: En un tringulo rectngulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide lo mismo que un cateto. Uno de los ngulos agudos mide:(Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 45 B) 20C) 15 D) 30 Ejemplo 14: Halle el valor del segmento X. Si el tringulo ABC es equilt ero, de lado igual a 16 3m y P es el punto medio del segmento AB. (Admisin UNFV 99) Ejemplo 15: En un tringulo ABC, BC mide 2 m. Determinar AC si la medida de los ngulos A y C son 45y 60respectivamente.(Admisin U. de Lima 99-I) A)3 +1 B)3 -1C) 1,5 D)2 +1 E) N.A. A)5 3m. B)4 3m. C)12 m. D)15 m. E)10 m. A B C R S T P X Profesor: Fernando Gamarra Morales. 50 Ejemplo 16: O es el centro de la circunferencia y elFOK = 45 . Hallar la relacin JKKL. (Admisin PUCP 99-I) A) 4-2 B) 22 4 C) 3 - 2 2D)2- 1E) 22 2 3

Ejemplo17:SetieneuntringuloequilteroABC.SiPesunpuntointeriorarbitrariodel tringulo,desdeelcualsetrazanlasperpendicularesPD,PEyPFalosladosBC,CAyAB, respectivamente. Qu valor numrico tendr la relacin: AF CE BDPF PE PD+ ++ +? (Admisin UNSA 99) A) 22B) 32C) 23D) 33E) 36 PRCTICA N5 Tema: Tringulos Notables 1.En la figura CB = 45. El segmento RS vale aproximadamente: CS3060A RB A) 26,5 B) 20,7 C) 25D) 26 E) 27 2.Uno de los lados de un tringulo es el doble deotroyelngulocomprendidomide60 . Entonces, los otros dos ngulos miden: A) 75y 45B) 80y 40C) 70y 50D) 30y 90E) N.A. 3.Elpermetrodeuntringuloequiltero mide144pulgadas;desdeelvrtice superior se traza la altura correspondiente y L J O F K Profesor: Fernando Gamarra Morales. 51 desdeelpiededichaaltura,setrazaasu vezlaperpendicularacualquieradelos otrosdosladosdeltringulo.Hallarla longitudaproximadadeestaltima perpendicular. 24,40 pulg.B) 54,00 pulg. C) 20,54 pulg.D) 20,70 pulg. E)20,56 pulg. 4.Dentrodeuntringuloequilteroseha tomado un punto arbitrario P, desde el cual se han bajado las perpendiculares PD, PE y PFalosladosBC,CAyAB respectivamente. Hallar:

PD PE PFBD CE AF+ ++ + A) 13B)3C) 13 D) 12E) 12 5.En un tringulo ABC, la base: AB=20 m; el ngulo A=30y el ngulo B=105 . Calcular la longitud de la altura relativa al lado AB, base del tringulo. 12,65 m B) 14,25 m C) 12,25 m D) 13,65 m E) 13,75 m 6.EnuntringuloABC,labaseAB=12m, A=30 yB=105 .Hallarlalongitud, enmetros,delaalturarelativaalladoAB del tringulo. A) 8,19 mB) 8,4 m C) 9,19 mD) 8,2 m E) 7,2 m 7.En un tringulo ABC, AC = 10 cm,A = 2 B, y la longitud desde el pie de la altura trazadadelvrticeChastaelpuntoBes igual a 15 cm, luego el ngulo C vale: A)38B)34C) 2 D)25E)37 8.Alresolvereltringulosiguiente(donde AM: mediana). El ngulo x es: A x3015BMC 45B) 30C) 60D) 75E) 15 RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO 1.TEOREMA.- ...................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................

Ejemplo1:Unngulodeuntringulomide84 yelotro /5radianes.Hallarlamedidadeltercer ngulo en radianes. (Admisin PUCP 99-II) A) 7 /5 B) 2 /3C) /3D) /6 E) N.A. B AC yx Profesor: Fernando Gamarra Morales. 52 Ejemplo 2: En la figura, calcular el valor del ngulo X si AD y BC son bisectrices de los ngulos A y C respectivamente. (Admisin UNMSM 99) A)130 B) 100C)120D) 70E) 110 Ejemplo 3: En la figura, calcular la medida del ngulo , si L1 es paralela a L2. (Admisin UNFV 99) A)30B) 20 C) 15D)25 E) 10 Ejemplo4:EnuntringuloABCdehipotenusaBC,labisectrizAMmideigualqueelcatetoAB. Determinar la medida del ngulo C.(Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 30B) 37 30C) 22 30 D) 18 30 Ejemplo 5: En el polgono regular de la figura, hallar la medida del ngulo m.(Admisin PUCP 99-II) A)36B) 108C) 72 D) 48 E)120 80 245 L1 L2 20 60 X A B C D m Profesor: Fernando Gamarra Morales. 53 Ejemplo 6: En la figura hallar el valor de X. Si L // M.(Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 20 B) 15 C) 18 D) 12 Ejemplo 7: En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior BP. Si AB = BP = PC. Cunto mide el ngulo A? (Concurso Escolar de Matemtica 99 Moquegua) A) 72 B) 64C) 36D) 32 Ejemplo8:OeselpuntodeinterseccindelasrectasAD,BEyCF .Hallarlasumadelos ngulos A, B, C, D, E y F.(Admisin PUCP 99-I) A) B) 2C) 4 D) 3 E) 4 /3 Ejemplo 9: En la figura el tringulo ABC es equiltero y L1 es paralela a L2. Hallar el ngulo x.(Admisin U. del Callao 99-II) A) 45 B) 50 C) 30D) 60E) 90 3x 4x 3x x L M O F A B C D E L1 L2 5x 4x A B C Profesor: Fernando Gamarra Morales. 54 Ejemplo10:EnuntringuloABCsetrazadesdeBlaalturaBE,luegodesdeEsetrazanlas perpendiculares EF y EG a los lados AB y BC respectivamente. Se desea saber la medida del ngulo FGE, conociendo adems que el ngulo ABC mide 82y que el ngulo EFG mide 25 . Ejemplo 11: En la siguiente figura se tiene: FE = BE. SiEFB = 72 , calcular x: (Admisin UNJBG 2000-II) A) 72 B) 144 C) 108 D) 54E) 90 Corolario: ........................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. Ejemplo1:Enuntringuloissceles,elnguloopuestoalabasemide114 .Hallarlamedidadel ngulo formado por la bisectriz de uno de los ngulos de la base y la altura relativa a dicha base. A D C E B F 72 X Profesor: Fernando Gamarra Morales. 55 Ejemplo2:EneltringuloABC,B=38 yC=21 .DesdeBsetrazalaalturaquecortaala prolongacin de CA en D y desde C se traza la altura que corta a la prolongacin de BA en E. Ambas alturas se cortan en F. Cumplidas estas condiciones elF mide: A) 56 B) 54C) 59D) 60 E) 58 2.TEOREMA.- ..................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ Corolario: ........................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................. Ejemplo1:Elngulonocongruentedeuntringuloisscelesmide36 40.Lamedidadelngulo externo del tringulo formado por la prolongacin de la base y un lado congruente es: A) 108 30 B) 106 20 C) 106 40D) 108 20E) N.A. Ejemplo2: En un tringulo ABC se traza la alturaCMy la bisectriz exterior del ngulo C que corta a la prolongacin de BA en P. SiA B = 26 ; calcular PCM.(Admisin U. de Lima 99-I) A) 64 B) 56C) 77 D) 88 E) N.A. A B C A B C Profesor: Fernando Gamarra Morales. 56 Ejemplo3:EnlafigurahallarelnguloBDAsabiendoqueelnguloBC=70 yqueADes bisectriz del ngulo A.(Admisin UNSA 98) A) 60 B) 55 C) 110D) 70 E) 50 Ejemplo4:Eneldibujo,lasemirrectaOB esbisectrizdelnguloAOCylasemirrectaOC es bisectriz del ngulo BOD. Hallar la medida del ngulo CAO. El ngulo en D mide 30y el ngulo en F mide 120 . (Admisin PUCP 99-II) A) 15B) 30C) 45 D) 75 E) 60 Ejemplo 5: En una circunferencia con centro en M y radio r se traza una cuerdaAB que no contiene a M. Se prolongaABhasta C de modo que BC = r y se prolongaCM hasta D sobre la circunferencia. SiD C A t D M A = , entonces t es igual a: (Admisin UNI 99-II) A) 3/2B) 2C) 5/2D) 3 E) 7/2 B A C D ABCD F O L L L // L 30 120 . Profesor: Fernando Gamarra Morales. 57 Ejemplo 6: Si L1 // L2, calcular XA) 65B) 130 C) 115D) 120 E) 160 Ejemplo 7: Si L1 // L2, calcular XA) 90B) 72 C) 60D) 100 E) 120 Ejemplo 8: En la figura ABBD ,DBC = 33, AOD = ? A) 72 B) 74 C) 71 D) 70 E) 73 X 40 2 2 X L1 L2 X X X A B D C E O Profesor: Fernando Gamarra Morales. 58 3.TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Ejemplo 1: En un tringulo ABC se trazan las bisectrices de los ngulos A y C. Hallar la medida del ngulo formado por las dos bisectrices, sabiendo que la suma de los ngulos externos de A y C es de 284 . 4.TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. X X Profesor: Fernando Gamarra Morales. 59 Ejemplo1:EnuntringuloABC,elnguloformadoporlabisectrizinteriordelAylabisectriz exterior del C mide 28 . Se sabe que A -C = 22 . Entonces el mide: A) 52 B) 53C) 54 D) 51E) N.A. 5.TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. 6.TEOREMA.- ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. X X Profesor: Fernando Gamarra Morales. 60 Ejemplo 1: En el tringulo ABC, BD es bisectriz; BE es altura. BF y CF son bisectrices exteriores. m F = 62 ,m EBD = 9, mACB = ? A)36B) 37 C) 39 D) 38E) N.A.

Ejemplo 2: En el tringulo ABC, BO y AO son bisectrices. AP es altura;A = 54 , B = 84 . Por lo tantoAQO es: A) 48B) 47C) 44D) 49 E) N.A. TEOREMA.- Si en elABC AC > AB B es opuesto a AC C es opuesto a AB EntoncesB> C Si ............................................................................................................................................................ Entonces ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... X A B C P Q O A C B A ED B C F Profesor: Fernando Gamarra Morales. 61 TEOREMA DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DE UN TRIANGULO.- Entodotringulolasumadelaslongitudesdedosladoscualesquieraesmayorquelalongituddel tercer lado Si en el ABC las longitudes de los lados AB, BC y AC son los nmeros c, a, y b respectivamente. Entonces COROLARIO: En todo tringulo la longitud de un lado cualesquiera, es mayor que la diferencia de los otros dos lados. Ejemplo1:Detodoslostringulos,dosdecuyosladosmiden2cmy4cm,hallelosquetienenla propiedaddequesutercerladotieneporlongitudunnmeroenteroysealeUd.aqueesigualla suma de los permetros de los tringulos hallados.(Admisin UNMSM 91) A) 28 cm B) 30 cmC) 24 cmD) 26 cm E) 25 cm Ejemplo2: Cul es el mayor valor entero de la variable x para que el tringulo de la figuraexista?(Admisin UNJBG 2000-II) A)5 B) 6 C)4 D) 7 E) 8 A B C a c b AB C 23 12 x Profesor: Fernando Gamarra Morales. 62 Ejemplo3:Culeselpermetrodelmayortringuloequilterocuyosladossonnmerosenteros construidos sobre el lado mayor de un tringulo cuyos otros lados miden 2m y 9m? (Admisin UNJBG 2000-II) A) 27B) 24C) 30 D) 33 E) 36 PRCTICA N6 Tema: Relaciones mtricas en el tringulo (I parte) 1.Enciertotringuloissceles,elngulo opuesto a la base mide 162 . Cunto mide el ngulo agudo formado por la bisectriz de unodelosngulosigualesdeltringulo, con la altura relativa a la base? A) 85 B) 75 C) 75 30D) 85 30 E) 81 2.La bisectriz del ngulo recto de un tringulo rectnguloylamediatrizdesuhipotenusa forman un ngulo de 12 30. Cunto mide elnguloqueformanlahipotenusaconla bisectriz del ngulo menor? A) 22 30 B) 16 15 C) 18 45 D) 25 E) 12 30 3.EnuntringuloABC,ladiferenciadelos ngulos A y B es de 76 30. La bisectriz del ngulo C corta al lado opuesto en D. Hallar elnguloformadoporlabisectrizyel segmento DB. A) 38 15 B) 47 30C) 51 45 D) 54 45 E) 56 45 4.AByACsonlosladosigualesdeun tringuloisscelesABCenelquese inscribeuntringuloequilteroDEFcon vrticeDsobreAB,EsobreACyFsobre BC.SiaeselnguloBFD,beselngulo ADE y c es el ngulo FEC: A)ba c=+2B)ba c=2

C)ab c=2D)ab c=+2 E)ab c=+ 22 5.Labisectrizdeunodelosngulosdeun tringuloescalenoformaconellado opuestodosngulosquesonentrecomo 7:13.Determinarelmenordelosngulos deltringulo,asumiendoquelamedidaen grados de cada uno de los tres es un nmero entero menor que 80 . A) 76B) 25 C) 79D) 78 E) 24 6.ElnguloABCdeuntringuloABCmide 70 yelnguloBCAmide 13 . Cul es el menornguloqueformanentresi,las alturas bajadas de los vrtices B y C? A) 83 B) 76C) 72 D) 68E) N.A. 7.Elngulodelvrticedeuntringulo issceles mide 42 28. Cul es el valor del nguloexteriorformadoporunodelos lados iguales y la prolongacin de la base? A) 68 46B) 111 14C) 111 D) 68E) 70 46 8.Losngulosagudosdeuntringulo rectngulo, estn en la relacin3/5. El valor delnguloqueformanlamedianayla alturaquepartendelvrticedelngulo recto, es: A) 30 B) 22,5C) 42,5 D) 32 E) NA 9.EnuntringuloABClabisectrizinterior trazadaporAformaconlabisectriz exteriordelnguloCunngulode36 , sabiendoqueA-C=20 .Calcular C A) 44 B) 88C) 36D) 64E) 72 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 63 10. En un tringulo ABC, la medida del ngulo exteriorenelvrticeBeseltripledela medida delC, la mediatriz de BC corta a ACenelpuntoF.SiendoFC=12m. Calcular AB. A) 24B) 16C) 12D) 8E) 10 11. Enelsiguientetringulo,calcularelvalor delnguloqueeselcomplementodel suplemento de B40

AC A) 40B) 20 C) 110D) 220E) 80 12. Enlafigura;RSbisecaelnguloPRQ, luego podemos afirmar: RE T N pqPSQ M A)( ) = 12p q B)( ) = +12p qC)( ) = 12q pD) =12 E)( ) = + + 1215 p . 13. Los ngulos interiores de un tringulo son: , , y esotrongulotalque: + = 180 .Adems: = 15 y = 15 . Entonceses: A) 54 15 B) 56 30 C) 56 15 D) 62 30 E) 56 12 14. En el tringulo issceles ABC de la figura, dondeAB=BC,secumple que + = 60 ,siendoAN yBMbisectricesdelosngulosAyB, respectivamente.Determinarlamedidade ( ) + . B A) 20 B) 15C) 40N D) 32E) 35

AM C 15. EnuntringuloABCsetieneque: ABC=3 ACB.AH:Alturatrazada desdeA.AD:BisectrizdelnguloBAC. Entonces la medida del ngulo HAD es:A)ACBB) 3 ACB C) ACBD) 2/3ACB E)2ACB 16. SeaeltringuloABCenelcualelngulo ABC=64 ,elnguloACB=72 ysean BM y CP bisectrices de los ngulos ABC y ACBrespectivamente,BMyCPsecortan en el punto Q; BH es la altura trazada desde B.HallarlamedidadelosngulosBQCy MBH. A) 112y 16 B) 120y 12C)110y 14D) 110y 12E)112y 14 17. Sedandosrectasoblcuasayb,una secantequelascortaenlospuntosAyB, formandoconellasngulos correspondientesde85 y75respectivamente.EscogiendosobreAB (ms cercano de B que de A) un punto X y tomando sobre la recta a el segmento AY = AX y sobre la recta b el segmento BZ = BX amboshaciadondeconvergenaybla medida del ngulo ZXY, ser : A) 75B) 80C) 100D) 90 E) 95 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 64 RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO (II PARTE) 1.TEOREMA.- SI en el ABC E AB;AEEB L//AC;L corta a BC en F ENTONCESBFFC SI ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ENTONCES .......................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................ 2.TEOREMA.- SI en el ABC E y F son puntos medios ENTONCESEF =21 AC ............................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. -Ejemplo 1: En la figura, BE y BF son perpendiculares a las bisectrices de A y C respectivamente. Si AB = 36 m,BC = 35 m y AC = 30 m; entonces EF mide: A) 20,5B) 24 m C) 21,5 D) 22 m E) N.A. (Sug.BAK es issceles?, AB = BK; pero AC = 30; BCH es issceles?, BC = HC, AC = 30; E y F son puntos medios?...........) A B C EF L A B C EF B F CKH A E Profesor: Fernando Gamarra Morales. 65 3.TEOREMA.- SI en el ABC, B = 90 ENTONCES BE = 21AC 4.TEOREMA.- SI en el ABC AB BC AD es altura PQAB;PRBC. ENTONCES PQ + PR = AD -Ejemplo1:EnuntringuloisscelesAB BC.PorunpuntoPdelladoACsetrazaPEBC, PFAB, AGBC. Si PE = 4 m y PF = 6 m Cul es la longitud de AG? A) 12 mB) 9 mC) 11 m D) 10 m E) N.A. -Ejemplo 2: En la figura el tringulo ABC es rectngulo. BD es mediana, EF = 10 m, EG = 12 m. Entonces BH mide: A) 20 m B) 21 mC) 18 mD) 22 mE) N.A. A B C HD F G E Profesor: Fernando Gamarra Morales. 66 5.TEOREMA.- SI el ABC es equiltero. OE, OF y OG son segmentos perpendiculares BH es la altura del tringulo ENTONCES ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6.TEOREMA.- SI en el ABC AE y CF son medianas O es el baricentro ENTONCES OE = 31AE OA =AE32 -Ejemplo 1: En el tringulo rectngulo ABC, BD y AE son medianas. Si AC = 180 m, entonces FB mide: A) 120 m B) 110 m C) 90 mD) 100 m E) N.A. PRCTICA N7 Tema: Relaciones mtricas en el tringulo (II parte) 1.Resolver el tringulo: a = 21 m ,b = 32m ,A = 115 . A) c = 40 m, B = 30 , C = 35 .B)c = 35 m,B = 25,C = 40 .C)Faltan datos. D) c = 28 m ,B = 35,C = 30 .E)No hay solucin, es imposible. A B C O Profesor: Fernando Gamarra Morales. 67 2.LaestatuadePizarro,enundadeverano arrojaunasombramayorquesualtura.El ngulo formado por los rayos solares con la horizontal, ser menor que: A) 45 B) 40C) 60D) 30E) 35 3.Culdelassiguientesafirmacioneses falsa?Untringulosepuederesolversise conocen: A) 1 lado, 2 ngulos. B)2 lados y el ngulo comprendido. C)Los tres lados. D) 2ladosyelnguloopuestoaunode ellos. E)3 ngulos. 4.EneltringuloABC,AB=12,AC=7y BC=10.SilaslongitudesAByACse duplican,mientrasqueBCpermanece constante, entonces se cumple: A) La altura trazada desde A, se duplica. B)La nueva figura no es un tringulo. C)El rea del tringulo se duplica. D) El rea del nuevo tringulo es 4 veces el rea original. E)LamedianatrazadadesdeAqueda invariable. 5.EltringuloABCesissceles;ellado desigualesBC.Laalturatrazadadesdeel vrticeCmide12cmPesunpunto cualquieraenelladoBC.Lasumadelas distancias de P a los lados iguales, es: A)16 cm B) 14 cmC) 12 cmD) 10 cm E) 8 cm 6.Se selecciona un punto al azar dentro de un tringuloequiltero,ydesdetalpuntose trazan perpendiculares a los lados. La suma de estas perpendiculares es: A) Mnimacuandoel punto es el centro de gravedad del tringulo. B)Mayor que la altura del tringulo. C)Igual a la altura del tringulo. D) La mitad del permetro del tringulo. E)Mxima cuando el punto es el centro de gravedad del tringulo. 7.Sidesdeunpuntocontenidoenun tringulo,trazamosperpendicularesados delosladosdeltringulo.Elnguloque formanestosdosladosdeltringuloyel nguloqueformanlasperpendiculares trazadas, son entre si: A) Iguales. B)Complementarios. C)Suplementarios. D) Conjugados. E)No existe relacin entre ellos. 8.Enlafigura;seaeltringuloABC;AC BC;seaPunpuntocualquieradeAB,y XPACyYPBC.Si:XP=5,YP = 8. Hallar la longitud de la altura BT. C TYXA PBA)15B)13C)304D)263E)10

9.Los lados de un tringulo miden 10,12 y 14 metros.Setrazandos bisectrices exteriores ydesdeeltercervrticesetrazan perpendiculares a estas bisectrices. Hallar el segmentoqueunelospiesdelas perpendiculares.A) 18 m B) 20 m C) 16 m D) 22 mE) 14 m 10. UntringuloescalenoABC,setrazala mediana CM. El tringulo BMC se traza la medianaBN=9m.SobreAC,setomaun puntoF,demodoqueMFseaparaleloa BN. Hallar MF. A) 6 mB) 10 mC) 4 m D) 8 mE) 5 m 11. Enlafigura,ADyBMsonmedianasdel tringulorectnguloABCyAC=30m. Entonces,laslongitudesxey,enmetros, son respectivamente: A M y xB DC A) 11 y 4 B) 9 y 6 C) 10 y 5 D) 8 y 7 E) 9,5 y 5,5 CUADRILATERO CLASIFICAN PARALELOGRAMOTRAPECIOTRAPEZOIDE es un de se Susdos paresde lados opuestosson paralelos. Slounpar delados opuestosson paralelos. Ningnparde ladosopuestos son paralelos. sisisi ROMBOIDERECTNGULOROMBOCUADRADOISSCELESESCALENORECTNGULO Tienedos lados consecutivosno congruen- tes. Tiene cuatro ngulos rectos. Suscuatro ladosson congruentes. Es rectnguloy romboa la vez. Suslados no paralelos son congruentes. Suslados no paralelos sonno congruentes. Slo tienedos ngulos rectos. si sisi si sisisi en POLGONO CUATRO LADOS CUATRO NGULOS se en se en SUBCLASIFICAN Profesor: Fernando Gamarra Morales. 69 Subclasificacin de cuadrilteros convexos.- PARALELOGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES a)ROMBOIDE: b)RECTANGULO: c)ROMBO: d)CUADRADO: a)ISSCELES: b)ESCALENO: c)RECTANGULO: Propiedad fundamental de los cuadrilteros convexos.- La suma de los ngulos internos o externos de todo cuadrilteros es igual a 360 . Profesor: Fernando Gamarra Morales. 70 Teorema de la mediana de un trapecio.- SiABCD es un trapecio. M y N son puntos medios de AB y CD respectivamente Entonces MN // AD // BC Teorema del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio.- (o Segmento de Mediana) SI ABCD es un trapecio AC y BD son las diagonales. E y F son puntos medios de las diagonales. ENTONCES Propiedades.- PROPIEDAD GRAFICO 1.Losladosyngulosopuestosdeun paralelogramo son .......................................... 2.Las diagonales de un paralelogramo se cortan en ........................................... 3.Lasdiagonalesdeunrectnguloson ..................................... y ...................................... A B C D N M A B C D EF Profesor: Fernando Gamarra Morales. 71 PROPIEDAD GRAFICO 4.Lasdiagonalesdeunromboson............................ y .......................................... 5.Lasdiagonalesdeuncuadradoson ................................ y ...................................... 6.Lasdiagonalesdeuncuadradoson .................................. y ................................... 7.Lasdiagonalesdeuntrapecioisscelesson congruentesyseintersecanenunpuntodel segmentoqueunelospuntosmediosdelas bases. 8.Enuntrapecioissceleslosngulos adyacentes de una misma base son congruentes. Ejemplo 1: Si la altura del trapecio es igual a la base menor y AD BC = 18 m. Hallar el lado AB. (Concurso de Matemtica 99 Moquegua) A) 15B) 10C) 12D) 18 A B C D 53 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 72 Ejemplo 2: El permetro de un paralelogramo es de 52 m. El lado menor es excedido por el lado mayores6m.Silalongituddelos4ladosfueranigualesaladelladomenor,entoncesel permetro sera:(Concurso de Matemtica 99 Moquegua) A) 46 m B) 60 mC) 40 mD) 36 m Ejemplo 3: Se tiene un trapecio rectngulo ABCD (ngulo C es obtuso). El ngulo formado por las bisectrices de los ngulos A y D mide 97,5 . Determinar el ngulo C si A y B son rectos. (Admisin U. de Lima 99-I) A) 115,5 B) 109,5 C) 105D) 135 E) N.A. Ejemplo 4: Si las diagonales de un rombo miden 8 m y 6 m, hallar el lado del cuadrado inscrito. (Admisin U. de Lima 99-I) A) 3,53 mB) 4,01 mC) 2,97 mD) 3,05 m E) N.A. Ejemplo 5: En un trapecio issceles ABCD, cuya base menor AB mide 20 m y el ngulo C = 60 , desde el vrtice D se traza el segmento DB la cual resulta ser bisectriz del ngulo correspondiente. Hallar la longitud de los lados no paralelos.(Admisin PUCP 99-I) A) 10 3m B) 20 3m C) 20 m D) 15 3mE) 40 m Profesor: Fernando Gamarra Morales. 73 Ejemplo6:Enlafigura,hallarlalongituddelsegmentoqueunelospuntosmediosdelas diagonales. (Admisin U. del Callao 99-II) A) 12 mB) 4 m C) 2 mD) 6 m E) 10 m PRACTICA N8 Tema: Cuadrilteros 1.El permetro de un paralelogramo es de 40 cmelladomayorexcedealmenoren4 cm.Silalongituddelos4ladosfueran igualesaladelladomayor,entoncesel permetro sera: A) 44 cmB) 50 cm C) 48 cmD) 52 cm 2.EnunparalelogramoABCD,lasmedidas delosngulosconsecutivosAyBson5x 20 y4x+60 respectivamente. Entonces A +2 1320 es:A) 60 B) 58C) 61D) 59 3.Lamedidadecadanguloagudodeun rombopuedeexpresarsedeestaforma5x +12 odeesta3x+28 .Lamedidade cada ngulo obtuso es: A) 124B) 118 C) 128 D) 114 4.Las bases de un trapecio issceles estn en larelacinde3esa4.Silasumadesus ladosnoparalelosesde16cmysisu permetroesde44cm,entonceslabase menor mide: A) 12 cmB) 14 cm C) 11 cmD) 9 cm 5.Cadaladonoparalelodeuntrapecio isscelesmide18cm.Supermetroesde 70 cm. La longitud de su mediana es de: A) 11 cm B) 18 cm C) 19 cm D) 17 cm 6.ABCDesunparalelogramo;permetro= 40 cm; x = ?,y = ? 7.ABCD es un paralelogramo. x = ?y = ? 45 12 m B A C D A B CD 2y - 2 2x 3x A B CD x + 40 y 3x - 20 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 74 8.ABCD es un rombo; x = ?y = ? 9.ABCD es un paralelogramo x = ?y = ? 10.ABCD es un trapecio x = ?y = ? 11.ABCD es un rombo x = ?y = ? 12.Lasmedidasdelosngulosdeun cuadrilteroABCDestnrelacionadasde la siguiente manera: La medida del ngulo B es mayor en 25a la del ngulo D, pero menoren14 aladelnguloC.Siel ngulo A mide 47menos que el ngulo C, entonces el mayor de los ngulos mide: A) 101 B) 112C) 115 D) 121 E) N.A. (Sug.1A+ B+C+ D=3602 D =B - 25; C= ...) 13.EnuncuadrilteroconvexoEFGHse trazanlasbisectricesdelosngulos externos E y H, las que se intersecan en P. Si la suma de las medidas de los ngulos F y G es de 206 , entonces el ngulo P mide: A) 76 B) 77C) 78D) 79 E) N.A. (Sug.1SuponesqueelPmidex;quelos ngulosexternosEyHmiden2 y2 respectivamente.2Enel EPHaplicasla suma de loss internos.3 En el cuadriltero EFGH E +H = ?. 4 Aplicas la suma de los 3 ngulos consecutivos con vrtice E y la suma de los 3 ngulos consecutivos con vrtice H.Sumasestasdosigualdadesydespejas + . 5...) 14.ABCDesunparalelogramoenelque BD CD. M es punto medio de AD. Por A yBsetrazanparalelasaBMyCm respectivamente,lasqueseintersecanen P.SilalongituddeBCesde32cm, entonces AP mide: A) 6 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 5,8 cmE) N.A. (Sug.1Segunlosdatos, BDCy ABD son...2Enel ABD,AM=?,MD=?, BM=?3ProlongaBPyDAhastaquese intersequenenE,EBCMes...,?EM=?4 Enel EBMaplicasegmentoqueunelos puntos medios...,.....) 15.EneltrapecioisscelesABCDenelque BC//AD,lamedianaMNmide72myel ngulo CDA es de 60 . Si las longitudes de lasbasessoncomo3esa5,entoncesel permetro del trapecio es de: A) 220 m B) 214 mC) 218 m D) 216 m E) N.A. (Sug.1TrazaslasalturasBEyCF; BAE=?2SuponesqueBC=3x,AD=5x. EntoncesAE=?EF=?,FD=?3Enel A BC D 105 3y 9x+5 2x+10 AB C D y + 20 x A B C D BD C A y A BC D Profesor: Fernando Gamarra Morales. 75 CFDaplicascatetoopuestoa60 4 Aplicas el T. De la mediana. 5...) 16.EnuntrapecioABCDlabasemenorBCmide 16m,elnguloBesde135 yelnguloCes de 150 . Si la altura del trapecio mide igual que labasemenor,entonceselpermetro,en metros, del trapecio es; A) 80 + 16 2B) 60 + 16 ( ) 3 2 +C) 80 +16 ( ) 3 2 + D) 60 +3(Sug.1TrazaslasalturasBEyCF;BE=?,EF =? 2 ABE=?, AEB es...; AE =?, AB=? 3 FCD=?, CD=?, FD=? 4 ...) PRCTICA N9 Tema: Cuadrilteros (II parte) 1.LosladosAB,BCyCDdeuntrapecio ABCD son iguales. Si AD es paralelo a BCytieneeldobledelalongitudde BC; la diagonal AC: A) Es perpendicular a la diagonal BD. B)Es bisectriz del ngulo A. C)Tieneporlongitudelpromediode las longitudes de AB y AD. D) Tienecomolongitudelpromediode las longitudes de AB y BD. E)Divideenpartesigualesala diagonal. 2.EnuntrapecioABCD,labasemenor AB es igual a la altura BH; el ngulo A =135 yelnguloB=150 .Hllese el permetrodeestetrapecioteniendo presente que AB = 20 cm. A) 195,920 cmB) 200 cm C) 182,920 cmD) 162,920 cm E)170,500 cm 3.EnuncuadrilteroconvexoABCD,el nguloA=9 yelnguloB=4 . Calcularelvalordelnguloformado por las bisectrices de los ngulos C y D.

A) 6 30 B) 7 20 C) 7 59C) 9 00 E) 12 00 4.Enlafigura,losladosAByCDson paralelos, si: AB = 5 y BC = 12. Hallar la longitud del segmento CD.

C 2 D B A 5.Dadouncuadrado,alunirlospuntos mediosdesusladosseobtieneotro cuadrado;siseefectaeste procedimientocuatrovecesms,se tendruncuadradomspequeo.Se pidelaraznentrelosladosdel cuadradoinicialyelltimoquese obtuvo. A)2 B)2 2C)3 2D) 4 2E)5 2 6.Setieneuncuadradodelado2cm. Uniendo los puntos medios de los lados enformaconsecutivaseobtieneun2cuadrado;haciendolomismoconel2se obtiene un 3y as sucesivamente. La raznentreelladodelprimercuadrado y el noveno, es: A) 2 B)22 C)23 D) 24 E) 25 7.La figura 1 es un cuadrado de lado 4 m, tomando los puntos medios de los lados AB y BC se construye la figura 2. En el segundopaso,tomandolospuntos mediosdelossegmentosAP1,PQ1 1, A) 15 B)16 C)18 D) 17 E)10 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 76 Q R1 1 yR C1 se construye la figura 3. Si seefectaesteprocedimiento10veces, calcular la longitud de la escalera que se obtiene.

A BD Cfig. 1

A P1 Q1 R1D Cfig. 2 AD Cfig. 3 A) 4 2 m B) 10 2 m C)40 2 m D) 4 10 mE) 8 m 8.Enlafigurasemuestranloscuadrados A, B y C. Hallar: Perimetrode A Perimetrode BPerimetrodeC+

A B C A) 14 B)12 C) 1 D) 4 E) No puede determinarse. UNIDAD III: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA SEGMENTOS ENTRE PARALELAS TEOREMA.- Si tres o ms paralelas determinan en una secante segmentos congruentes, Entonces determinan tambin segmentos congruentes en cualquier otra secante. Si L1 // L2 // L3 Son intersecadas por T1 en A,B y C respectivamente. tal que AB BC. Entonces COROLARIO 1: Sisedivideunladodeuntringuloensegmentoscongruentesyporlospuntosdedivisinse trazan paralelas a uno de los otros dos lados. Entonces el tercer lado queda dividido en igual nmero de segmentos congruentes. T1 A B C L1 L2 L3 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 77 COROLARIO 2: Si en un trapecio se divide un lado no paralelo en partes congruentes y por los puntos de divisin se trazan paralelas a las bases. Entonces el otro lado tambin queda dividido en igual nmero de lados congruentes entre ellos. TEOREMA DE THALES.- Si dos secantes son cortadas por tres o ms paralelas. Entonces ...................................................................... COROLARIO:Todarectaparalelaaunladodeuntringuloquecortaalosotrosdoslados , determina sobre ellos segmentos proporcionales. . . . . Profesor: Fernando Gamarra Morales. 78 Ejem. 1.- En la figura, las rectas L1,L2 y L3 DE = 7,5 cm EF = 9 m Halla la longitud de AB y de BC. Ejem. 2: En el EFG se tiene: EA = 8 cm; AF = 3 cm y EG = 16,5 cm A qu distancia de E debemos ubicar B para que AB //FG? Ejem. 3: En un tringulo issceles ABC, los lados congruentes AB y BC miden 20 cm cada uno. Si por un punto P de la base AC se trazan los segmentos PE // BC y PF //AB, hallar el permetro del polgono PEBF. F GE A B B AC E F P L1 L2 L3 A B C D E F Profesor: Fernando Gamarra Morales. 79 PRCTICA N10 Tema: Segmentos entre paralelas. 1.En la grfica AD // BE // CF. En cada caso halla el nmero x. a)BC = 8; DE = 6; EF = 12; AB = x b)AB = 5,6 ; DE = 4; EF = 6,8; AC = x c)AB = 8; BC = 15; EF = 22,5; DE = x d)AC = 42; AB= 12; EF= 22,5; DF = x e)AB=10x+14;BC = 6x; DE = 16x-15; EF = x + 4. f) AB = 5x - 5; BC = 2x +1; DE = 7; EF = 4. AD BEC F 2.En el tringulo ABC, PQ // AC. En cada caso halla el nmero x. a)BQ= 18; QC= 12; BP= 9; PA = x b)PA= 8; AB = 18; BQ = 6; QC = x c)BC= 15; PA= 8 QC = 10; AB = x d)PB=3,8;BC=12,4;PA=4,2;BQ = x. e)BP=x;PA=24-x;BQ=5;BC= 12. f) QC=5x+2;BC=7x+82;PA=3; PB=10. B P QA C 3.EneltringuloEFG,SR//CM//EG.En cada caso halla los nmeros x e y. a)FR = 4; RM = 7; MG = 5; SC = 6; SF = x; CE = y b)FM = 18; FS = 9; SC = 21; MG = 6; FR = x; CE = y. c)FG=36;RG=20;SE=15;MG=8; CE = x; SF = y. F S RC ME G 4.Tresrectasparalelasdeterminanenuna secante S los segmentos AB = 8 cm y BC = 24cm.EnotrasecanteSdeterminanlos segmentosDEyEF.SielsegmentoDF= 27 cm. La longitud del segmento EF es: A) 20,5 cm B) 20,25 cm C) 20,15 cm D) 20,1 cmE) N.A. 5.Dosrectasparalelasdeterminaendos secantes S y Slos segmentos AB y CD de 50 cm y 40 cm respectivamente. Si a 18 cm delpuntoAseubicaunpuntoEenel segmento AB, y por E se traza una paralela a las dos anteriores, entonces, las longitudes delossegmentosenlosquesehadividido el segmento CD son: A) 14,4 y 25,6 cmB) 14 y 25 cm C) 12 y 24,5 cmD) 12,5 y 24,5 cm E) N.A. 6.Los lados no paralelos de un trapecio miden 6my9mrespectivamente.Unarecta paralelaalasbases,divideaunadiagonal enlaraznde3a4.Estamismaparalela divide,alladonoparalelodemenor longitudensegmentoscuyasmedidasen cm son: A) 167227yB) 1517237yC) 1817257y D) 187247yE)N.A. (Sug. La paralela tambin divide a cada lado no paralelo segn la razn de 3 a 4) 7.Los lados no paralelos de un trapecio miden 15my37,5mrespectivamente.Unarecta paralela a las bases, divide al lado de 15 m enlaraznde2a3.Laslongitudesdelos Profesor: Fernando Gamarra Morales. 80 segmentos en los que queda dividido el lado 37,5 m son: A) 14 y 23,5 m B) 16 y 21,5 m C) 15 y 22,5 mD) 17 y 20,5 m E)N.A. 8.EnuntringuloABCsetraza un segmento EFtalqueEeselementodeAByFes elementodeBC.Silaslongitudesdelos segmentosAE,EB,BFyFCson7cm,4 cm,15cmy6cmrespectivamente.Esel segmentoEFparaleloalladoAC?Por qu? TEOREMA DE LOS SEGMENTOS DETERMINADOS POR LA BISECTRIZ INTERIOR.- Si ABC es un tringulo BD es bisectriz interior Entonces Ejemplo1:LosladosdeuntringuloABCseconocen;a=7m,b=5myc=4m.Hallalos segmentos determinados sobre el lado a por la bisectriz trazada desde el ngulo A. TEOREMA DE LOS SEGMENTOS DETERMINADOS POR LA BISECTRIZ EXTERIOR.- A B C c a D A B C Profesor: Fernando Gamarra Morales. 81 TEOREMA DEL INCENTRO(PUNTO DE INTERSECCION DE BISECTRICES).- SEMEJANZA DE TRINGULOS HOMOTECIA.- O A B C SIABC es un tringulo BD es bisectriz I es incentro (interseccin de bisectrices) ENTONCESA B C D .I Profesor: Fernando Gamarra Morales. 82 SEMEJANZA DE FIGURAS.- Ejemplo: SEMEJANZA DE TRINGULOS.- .......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... CASOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS.- -TEOREMA: ANGULO-ANGULO-ANGULO (A A A) Dos tringulos son semejante si.................................................................................................... -TEOREMA: LADO LADO LADO (L L L) Dos tringulos son semejantes si................................................................................................. 7 7 3 3 2,55 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 83 -TEOREMA: LADO ANGULO LADO (L A L) Dos tringulos son semejantes si................................................................................................. Ejem. 1: Se tiene un tringulo ABC y una paralela al lado AC. Halla BQ y QC si PQ =5 m; AC = 16 m y BC = 24 m B CA P Q Profesor: Fernando Gamarra Morales. 84 Ejem. 2: SiCD EB //y2 = AB ;18 = BC ;3 = BE . = CD ? (Admisin UNJBG 2000-fase 0) A) 27 B) 30C) 32D) 36E) 38 Ejem.3:Losladosparalelosdeuntrapeciomiden24y30cmrespectivamenteylosladosno paralelos 6 y 10 cm. Halla las longitudes de los lados del tringulo menor que resulta de prolongar los lados no paralelos del trapecio. Ejem.4:Unjovende1,60mdealturaestdepieyproyectaunasombrade1,2m.Qualtura tendr un poste que en ese instante proyecta una sombra de 18 m? A BC D E Profesor: Fernando Gamarra Morales. 85 Ejem. 5: En la figura: AB // CDyBC // DE OA = 6 m OE = 24 m OC = ? Ejem. 6: Los lados de un tringulo rectngulo ABC miden AB = 5 m, BC = 12 m y AC = 13 m. Halla la mediatriz de la hipotenusa. Ejem. 7: Se da un tringulo ABC cuyo lado BC mide 16 m. Sobre el lado AC se toman los puntos E y G de modo que ED // FG // BC. Adems ED = 4 m, EG = 6 m y GC = 3 m. Halla FG. A B C O A B C D E Profesor: Fernando Gamarra Morales. 86 Ejem. 8: CD = (Admisin UNJBG 98-II) A) 8B) 10 C) 12D) 15E) 20 Ejem. 9: P es punto de tangencia, X = (Admisin UNJBG 99) A) 7 B) 8 C) 9D) 7,5 E) N.A. Ejem.10:SeaABCDuncuadradocuyosladostienenlongitudl. Por el vrtice B pasa una recta que no es paralela a ninguno de los lados. Si las distancias de los puntos A y C a la recta que pasa por B son 12 m y 9 m, respectivamente, el valor de l es: (Admisin UNI 99-II) A) 20 m B) 12 m C) 15 m D) 25 mE) 18 m TEOREMA:Cuandodostringulossonsemejantes,laraznentresuspermetroseslamisma razn que hay entre dos de sus lados homlogos (correspondientes). TEOREMA: Cuando dos tringulos son semejantes, la razn entre sus alturas es la misma razn que hay entre dos lados homlogos (correspondientes). 10 8 6 X 515 A B C D Profesor: Fernando Gamarra Morales. 87 Ejem. 1: El permetro de un tringulo es de 48 cm, las longitudes de sus lados estn en la relacin: 3 es a 4 es a 5. La longitud del lado menor es: Ejem.2:Losladosdeuntringulomidenrespectivamente:15cm,18cmy24cm.Siellado menor de un tringulo semejante a este mide 6 cm, entonces la longitud del lado mayor es de: Ejem. 3: Dos tringulos son semejantes. Los lados de uno miden respectivamente 20 m, 24 m y 30 m. Cul es la longitud del lado mayor de otro tringulo, sabiendo que sus medidas son menores que las del anterior y que la razn de semejanza es de 2/5? A B C G F M Profesor: Fernando Gamarra Morales. 88 Ejem. 4: Las longitudes de los lados de un tringulo estn en progresin aritmtica cuya razn es 2. El permetro de un tringulo semejante a ste es de 60 cm y es el cudruplo que el del primero. La longitud del lado menor del primer tringulo es de: Ejem. 5: Las longitudes de los lados de un tringulo se diferencian en 3 cm el primer y el segundo lado; y en 6 cm el primer y tercer lado. El permetro de un tringulo semejante al primero es de 21 cm y es un tercio de su permetro. La longitud del lado mayor del primer tringulo es de: Ejem. 6: En un tringulo rectngulo (recto en B) se traza la mediatriz de la hipotenusa que corta a BC en Q. Hallar BQ si AB y BC miden 3 m y 4 m respectivamente.(Admisin U. de Lima 99-I) A) 1,2 mB) 0,72 mC) 0,88 m D) 0,5 m E) N.A. PRCTICA N11 Tema: Tringulos semejantes (I parte) 1.Elpermetrodeuntringuloesde48cm. Laslongitudesdesusladosestnenla relacin:3esa4esa5.Lalongituddel lado menor es de: A) 10 cmB) 14 cm C) 9 cmD) 12 cm 2.Losladosdeuntringulomiden respectivamente: 15 cm, 18 cm y 24 cm. Si Profesor: Fernando Gamarra Morales. 89 elladomenordeuntringulosemejantea stemide6cm,entonceslalongituddel lado mayor es de: A) 9,8 cm B) 8,5 cm C) 9,6 cm D) 8,8 cm 3.Dos tringulos son semejantes. Los lados de uno miden respectivamente 20m, 24 m y 30 m.Culeslalongituddelladomayorde otrotringulo,sabiendoquesusmedidas sonmenoresquelasdelanterioryquela razn de semejanza es de 2/5? A) 12 m B) 10 m C) 8 mD) 9 m 4.Las longitudes de los lados de un tringulo estnenprogresinaritmticacuyarazn es 2. El permetro de un tringulo semejante a ste es de 60 cm y es el cudruplo que el del primero. La longitud del lado menor del primer tringulo es de: A) 4 cmB) 3 cm C) 6 cm D) 5 cm 5.Las longitudes de los lados de un tringulo se diferencian en 3 cm, el 1y 2lados; y en 6cmel1 y3 lados.Elpermetrodeun tringulo semejante al primero es de 21 cm y es un tercio del permetro del primero. La longituddelladomayordelprimer tringulo es de: A) 21 cmB) 26 cmC) 24 cmD) 22 cm 6.En la figura: EF // AB ;GF // BC. GA = 24 cm ;AC = 36 cm ; EF = 12 cm. Halla FC. CEFB G A 7.AB = 9 m ;BC = 11 m MK + RN = 7 m .Halla KM.

BKRMNAC 8.AResbisectriz.RS//AB;RC=12m;RB = 2m ;RS = 6 m. Halla AC BRACS 9.ABCDesuntrapeciorectngulo.BC=18 m;AD=50m;BDAC.HallaAB. (Sug.: ABC ABD ~ ). BCAD 10. ABCD es un paralelogramo. BC=6,8m;BG=3,8m;HC=2m;AF = 5,4 m. Halla AE. BGC120EH120A D F 11. ABC es un tringulo rectngulo. EDDC ;DC = 3 m ;EC = 5 m ;AD = 10 m. Halla BE.

BEACD 12. EnuntringuloABC,ACmide50cmy BCmide38cm.Enlaprolongacindel ladoABaseubicaelpuntoPtalqueBP= BC.AltrazarelsegmentoPEquecortaa BCensupuntomedioM,ysiendoEun Profesor: Fernando Gamarra Morales. 90 punto de AC, el segmento EC mide 18 cm. Cumplidas estas condiciones AB mide: BAC A) 26,8 cm B) 26 cm C) 28 cm D) 29,5 cm E) N.A. (Sug.1 SuponesqueAB=x.2 PorBtrazas BF//AC.3 Comparaseltring.BMFconel tring. CME. Entonces BF = 4Comparas el tring.BPFconeltring.APE.Aplicas semejanza de tringulos). 13. EnuntringuloMNS,porunpuntoAde MN y un punto B de NS se traza AB // MS. EntoncesMA=8cm,BS=14cm,AB= 10cmyMS=24cm.Deacuerdoaesta informacin,elpermetrodeltringulo MNS es de: A) 62 cm 63,4 cm C) 61,7 cm D) 62,8 cm (Sug.1 CmosonlostringulosANBy MNS? 2Supones que AN = x. Entonces MN = ,suponesqueNB=y,entoncesNS=3Aplicassemejanzadetringulos,hallasx. Aplicassemejanzadetringulos;hallasy.4) 14. Eltring.ABCesrectngulo.Besel ngulorecto.LoscatetosAByBCmiden 28cmy52cmrespectivamente.De acuerdo a estas condiciones, la bisectriz BK mide: B 2852AC K A) 24B) 25,8C) 26 D) 23 E) N.A. (Sug.1 ABK=?; KBC=?2 SuponesqueBK=xcm3TrazasKR//AB, entoncestring.KRBesBKR=?4 ComparaBRconKRelcatetoopuestoal ngulode45 esKR=;BR=;RC= 5Comparaeltring.KRCconeltringABC. Aplica semejanza de tringulos,) 15. EnuntringuloMNSsetrazalabisectriz ME, y por E se traza una paralela a MS que cortaaMNenF.SesabequeFE=9cm, NS = 12 cm y que ES = 8 cm. De acuerdo a esta informacin, el permetro del tringulo FNE es de: A) 14,8B) 16,5 C) 17,5 D) 18,2 (Sug.1SuponesquelosngulosFMEyEMS miden,cadauno, .EntoncesFEM= Portanto,eltring.MFEes;MF=2 EN=?3ComparaeltringFNEconel tring. MNS, luego FN = 4 ) 16. EneltringuloABC,BKesbisectriz;BF esbisectrizexterior.SiAK=33m;KC= 17 m entonces CF mide: A) 55 mB) 54,2 mC) 52 m D) 53,1 m E) 51 m B xA FKC (Sug.1SuponesqueCFesx.2AplicaselT. de la bisectriz interior, luego despejas BC // AB. 3 AplicaselT.delabisectrizexterior. Despejas BC // AB 4 Igualas 2y 3 ) 17. EFGH es un trapecio cuyas bases FG y EH miden20cmy24cmrespectivamente.La altura del trapecio es de 18 cm. Conforme a estascondicionesladistanciadeP,punto de interseccin de las prolongaciones de los lados no paralelos a la base EH es de: A) 104 B) 108 C) 106D) 102E) NA (Sug.1SuponesquePReselsegmentocuya longitud debes hallar, y que PR corta a FG en A. Supones que PA = x; entonces PR = 18 + 2Comparaseltring.FPGconeltring.EPH. AplicassemejanzadetringulosLas alturas son proporcionales a los lados) 18. MPQR es un trapecio rectngulo en el que PMMR. Las bases PQ y MR miden 6 m y14mrespectivamente.PorE,punto medio de PM se trazan los segmentos EQ y ER.SielnguloQEResde90 ,entonces PM mide: A) 16,5B) 14,8C) 18,3D) 20,5 (Sug.1ComparaelPEQconelERM; entonces cmo son los tring. EPQ y RME? 2 Profesor: Fernando Gamarra Morales. 91 AplicasemejanzadetringulosPE/MR=; pero PE = PM/2 y EM = PM/2, entonces) 19. EnuntrapecioABCD,cuyasbasesBCy AD miden 12 m y 20 m respectivamente, se traza EF en el que EAB y FCD. Dicho segmento da origen a que BEEACFFD= =37. Entonces EF mide: A) 14,4 B) 12,2 C) 16 D) 15 E) NA B CAD (Sug.1SegnlosdatossuponesqueCF=3a, FD=7a.2PorCtrazasCK//ABquecortea EF en S AK = ; KD = 3 Supones que SF = x 4 Compara al tring. SCF con el tring. KCD. Aplicas T. de Thales. 5) 20. EnelparalelogramoABCDsetrazala diagonalBDyporAsetrazaunrayoque cortaaBDenS,aBCenRyala prolongacindeDenM.SiAS=30my SR = 18 m, entonces RM mide: A) 32B) 28C) 30D) 31E) N.A. (Sug.1SuponesqueRM=xmetros2 ObservalostringulosASByMSD comparandoBAS conDMS;BSA con DSM;ABSconMDS.Luegoaplica semejanzadetringuloshaciendointervenir a BS/SD.3Comparalos tringulos BSR y DSA. Aplicasemejanzadetringuloshaciendo intervenir a BS/SD. 4) 21.Dos postes, uno de 2,5 m y el otro de 6 m dealturaestna24mdeseparacin. Entonceslaalturadelpuntode interseccindelasrectasqueunenel extremodecadaposteconlabasedel poste opuesto es de: A) 1,4 m B) 1,8 m C) 1,5 mD) 1,7 m (Sug.1Representaalospostesconlos segmentosAByCD.TrazalossegmentosAD yBCqueseintersequenenE.Bajala perpendicularEF.SuponesqueEF=x.2 SuponesqueBF=m,FD=n.3EF//CD? CmosonlostringulosBFEyBDC?4 Aplicasemejanzadetringuloshaciendo interveniraloscatetos.5Cmosonlos tringulosDFEyDBA?Aplicasemejanzade tringulos haciendo intervenir a los catetos.6 Suma 4y 5...) 22.EnunrectnguloABCDsetrazala diagonalACydesdeBsetrazauna perpendicularaACquecortaaADenN. SilalongituddeADeselcudruplede CD, y si ND = 15 m, entonces el permetro de ABCD es de: A) 38 mB) 44 m C) 36 mD) 40 m (Sug.1SuponesqueAN=x;AD=?, CD=?,AB=?2Observalos tringulos BAN y ADC; compara sus ngulos: ABNyDAC;ANByDCA.Por tanto, 3Aplicasemejanzade tringulos,) 23. EFGHesuntrapecioconbasesFGyEH. EHmide50cm.PorI,puntode interseccindesusdiagonalessetrazan paralelasalosladosnoparalelosdel trapecio, que cortan en A y B al lado EH. Si AB mide 16 cm, entonces EA mide: A) 14 cmB) 17 cmC) 18 cmD) 15 cm (Sug. 1 Por I trazas MN // EH; N EF y M GH.2SuponesqueEA=X;entoncesBH=; NI=;IM= 3ComparaselnguloFNIcon elnguloFEH.Entoncescmosonlos tringulos NFI y EFH? 4 Supones que la altura del tringulo NFI es h, y la del tringulo EFH es h.Aplicasluegosemejanzadetringulos: h/h = 5ComparaselnguloGMIconel nguloGHE.CmosonlostringulosIGMy EGH?6QualturatieneeltringuloIGMy quel tringulo EGH? 7 Aplica semejanza de tringulos: h/h= ) 24. En el tringulo ABC la altura desde b es de 24m.ElladoACmide50m.SiSMNPes unacuadrado,entoncescadaunodesus lados mide: A) 15 mB) 18 mC) 16,2 mD) 15,6 m E) N.A.

B M N AS PC (Sug.1Suponesquecadaladodelcuadrado mide x. Entonces cul es la altura desde B del Profesor: Fernando Gamarra Morales. 92 tringuloMBN?2ComparaeltringuloMBN coneltringuloABCyaplicasemejanzade tringulosLasalturassonproporcionalesa sus lados) 25. EltringuloABC,ladiferenciadelas medidas de los ngulos A y C es de 90 . Al trazarlaalturaBHseobtiene:HA=14m; HC=48 m. Entonces BH mide: B A C A) 26,2 m B) 27 m C) 24 m D) 25,9 mE) N.A. (Sug. 1 Supones que elC mide , entonces elnguloA= 2TrazasBHyhallasenel tringulo HBA elexterno A= 3 De 1y 2obtienesqueelHBA= 4Comparael tringuloAHBconeltringuloCHB.5 SuponesqueBH=X;aplicassemejanzade tringulos, ) 26. EneltringuloABC,elladoABmide75 m y AC mide 32 m. Se toma el punto E de ABtalque ECA B.EntoncesEB mide:A) 62,5 m B) 63,2 mC) 64,1 m D) 61,3 mE) N.A. (Sug.1SuponesqueEB=X,entoncesAE=2 Observa los tringulos AEC y ABC cuntos nguloscongruentestiene?Portanto, 3 Aplica semejanza de tringulos, ) 27. EnunromboABCDsetrazanlas diagonales AC y BD que se cortan en O. El segmentoBM,siendoMpuntomediode CD,cortaaCAenE;yelsegmentoAM cortaaBDenF.Sicadaladodelrombo mide 48 cm, entonces EF mide: A) 18 cm B) 16 cm C) 15cm D) 12cm (Sug.1SuponesqueEF=X.2Observael tringuloBCDQunombresselesdaaBMy CO? Entonces E es el ;Por tanto EM/BM= 3 Observa en el tringulo ADC a los segmentos DOyAM.EntoncesFesel;portanto MF/AM= 4De2 y3 deducesquelos tringulos EMF y BMA son 5 ) 28. Las longitudes de los lados de un tringulo ABCsonAB=20m,BC=18m,AC=16m. EntonceslalongituddelsegmentoEFque pasaporelincentroI,yqueademses paralelo a AC, es de: A) 11,2 mB) 12,1 mC) 13,5 m D) 8,5 m (Sug.1TrazaslabisectrizBD.Suponesque EF=X 2Como EF//AC, entonces los tringulos EBFyABCson;portant oBI/BD= 3 Aplica el T. del incentro. 4 ) 29. En un tringulo acutngulo ABC, se trazan las alturas BE y CF. Se sabe que AF=20 cm yAE=12cm.SiAB+BC=64cm,entonces AB mide: A) 18 cmB) 16 cm C) 22 cmD) 24 cm (Sug.1ComparaelFBEconelngulo FCA.EntonceslostringulosAEByAFCson PortantoAB/AC=;esdecirAC= 2Sustituyes AC en AB+AC=64, ) 30. MNSPesuntrapeciorectngulo(MyN sonlosngulosrectosenelquelas diagonalesMSyNPsonperpendiculares. SiNS=27myMP=73m,entoncesla altura del trapecio es de: A) 44,3 mB) 42,4 mC) 41,2 m D) 40,8 mE) N.A. (Sug.1Suponesquelaalturaesh.2Observa lostringulosMNSyPMN;comparasus ngulos:NSMyMNP;NMSy MPN.Entonceslostringulosson 3Aplica semejanza de tringulos, ) 31. EnuntrapecioACDBdebasesCDyAB, lasdiagonalesADyCBsecortanenE.Si 4CD=3AB,ysiAE+EB=36m, entonces CE + DE es: A) 24 mB) 26 mC) 25 m D) 27 m (Sug.1CD/AB=? 2Observalostringulos CEDyBEA.Comparasusngulos:ECDcon EBA;CDEconDAB;CEDcon BEA.Portantolostringulosson3Aplica semejanzadetringulosyformatresigualdades conlosladoscorrespondientes.4 Igualalas igualdades de 3con la del 1 .5) Profesor: Fernando Gamarra Morales. PRCTICA N12 Tema: Tringulos semejantes (II parte) 1. Las longitudes de los catetos de un tringulo son4,7y10cm.Siotrotringulo semejante al primero, tiene un permetro de 147cm.Culeslalongituddesulado menor? A) 28 cmB) 24 cmC) 32 cm D) 20 cmE) 48 cm 2.LosladosAByBCdeuntringuloABC midenrespectivamente18metrosy30 metros. Por un cierto punto M del lado AB setrazaunaparalelaquecortaalladoAC en N. Si MN mide 5 metros, a que distancia est M de A. A) 3 mB) 15 m C) 6 m D) 2,50 m E) 9 m. 3.Losladosdeuntringulotienenpor longitudes: AB = 20, AC = 30, BC = 40. Se trazaaBClasparalelasXeYque determinansobreelprimerladodesdeel vrticeA,tressegmentosigualesa9,7,4. Calcularlossegmentos determinados sobre AC y las longitudes de las paralelas. A) 13,5 ;10,5 ;6 ;x = 18 ;y = 32. B) 9 ;7 ;4 ;x = 15 ;y = 35 C) 20 ;15 ;10 ;x = 9 ;y = 16 D) 25 ;20 ;15 ;x = 15 ;y = 30 E) Ninguna de las anteriores. 4. En un trapecio ABCD (BC//AD y BC