Testy a úlohy z matematiky - files.matpod.webnode.skfiles.matpod.webnode.sk/200000018-4e7795166d/Testy a ulohy z matematiky. Typ 1.pdf9 P VSTUPNÝ TEST FORMA A Milí študenti, v

Testy a úlohy z matematiky

Spracovala a zostavila: c© Mgr. Hedviga Soósová 2008

Vydavateľ: Copyright c© VARIA PRINT, s. r. o. 2008. Prvé vydanie.

Kontakt: VARIA PRINT, s. r. o.Mgr. Marta VarsányiováUl. františkánov 8945 01 Komárnotel.: 035/77 20 249e-mail: [email protected]

Kniha sa môže zakúpiť iba formou priamej objednávky na uvedených kontaktných adresách, dodávasa poštovou zásielkou, v kníhkupectvách sa nepredáva.

Všetky práva vyhradené.

Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

ISBN 978-80-89181-20-9

3

OBSAH

RADY, AKO SPRÁVNE PÍSAŤ TESTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Vstupný test – Forma A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Vstupný test – Forma B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1. KAPITOLA: POperácie s reálnymi číslami

Mocniny a odmocniny

Úlohy na precvičovanie učiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Kontrolný test č. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kontrolný test č. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. KAPITOLA: PÚprava algebraických výrazov


Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Kontrolný test č. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Kontrolný test č. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Kontrolný test č. 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Kontrolný test č. 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3. KAPITOLA: PLineárna funkcia

Priama a nepriama úmernosť


Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Kontrolný test č. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Kontrolný test č. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4

4. KAPITOLA: PLineárne rovnice a nerovnice

Sústavy lineárnych rovníc

Slovné úlohy


Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Kontrolný test č. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Kontrolný test č. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Kontrolný test č. 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Kontrolný test č. 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Kontrolný test č. 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Kontrolný test č. 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5. KAPITOLA: PPytagorova veta a jej použitie

Obvody a obsahy základných rovinných útvarov

Kruh, kružnica

Úlohy na precvičovanie učiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Kontrolný test č. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Kontrolný test č. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6. KAPITOLA: PGoniometria ostrého uhla


Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7. KAPITOLA: PPodobnosť trojuholníkov


Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5

8. KAPITOLA: PObjem a povrch telies


Kontrolný test č. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Kontrolný test č. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Kontrolný test č. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Kontrolný test č. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Kontrolný test č. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

GEOMETRICKÉ VZORCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

RIEŠENIA ÚLOH A KONTROLNÝCH TESTOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6

Rady, ako správne písať testy

• Najdôležitejšou radou, ako správne písať testy, je, že na písanie testu sa treba precízne pripraviťa dôkladne si precvičiť učivo. Test vždy odhalí vaše medzery vo vedomostiach, spoliehať sa ibana šťastie by bola veľká chyba.

• Je dôležité, aby ste sa naučili preukázať svoje vedomosti i pri písaní testov, pretože táto formaoverovania vedomostí a schopností je stále častejšia – od úspešného zvládnutia testov závisínapr. prĳatie na strednú školu, neskôr na vysokú školu, mnohé vysoké školy zaviedli už skúšanieformou testov, takisto aj získanie najlepších pracovných miest závisí od dosiahnutého počtubodov. Napriek tomu, že neúspech môže mať vážne dôsledky, pri písaní testu treba zachovaťpokoj, zbaviť sa trémy a nervozity.

• Pri písaní testov sa celý čas treba maximálne sústrediť na zadania a ich riešenie, nič vás nesmierozptyľovať – hľadaním pomôcok iba zbytočne stratíte drahocenný čas. Preto pripravte si už deňvopred perá, ceruzky: ak máte iba jedno pero, môže sa vypísať práve uprostred testu, taktiež ješkoda strácať čas strúhaním ceruzky. Pripravte si aj ostatné pomôcky, ktoré smiete používať,pravítka, kružidlo, gumu, tabuľky, kalkulačku (takú, ktorej funkcie dobre poznáte), papier napomocné výpočty.

• Písanie testu si vyžaduje maximálnu koncentráciu, pozornosť, zadanie a pokyny si nestačí ibaprebehnúť, napr. ak v pokynoch je uvedené, že pri každej otázke je správna iba jedna z ponúka-ných možností, nesmie sa vyznačiť viac ako jedna možnosť, pretože takáto odpoveď sa považujeza neplatnú!

• V cvičeniach a testových úlohách tejto zbierky nie sú podčiarknuté (ako to býva pri Monitoroch)také dôležité výrazy, od ktorých závisí správnosť výberu odpovede, ako napr. správne, nesprávne,patrí, nepatrí, platí, neplatí, je, nie je a pod., preto si musíte zadanie viackrát pozorne prečítať,v opačnom prípade dosiahnete v testoch zlé výsledky, predsa nie je jedno, či máte určiť správnu,alebo, práve naopak, nesprávnu z uvedených možností! Pre nepozornosť by ste opäť zbytočnestratili body.Porovnajte nasledujúce dve úlohy:

Ktorá z nasledujúcich rovností neplatí?(A) (a + b)2 = a2 + b2

(B) 4a2 − 1 = (2a + 1) · (2a− 1)

(C) (1− x)2 = −2x + 1 + x2

(D) a3b + b2 = b · (a3 + b)

Výraz (4a− 1)2 sa rovná(A) 4a2 + 1.(B) 4a2 − 1.(C) 16a2 − 8a + 1.(D) 16a2 − 1.

7

• Častou chybou je nesprávne narábanie s časom, veď v teste, ktorý má 10 i viac úloh, sa žiadnaúloha nemôže riešiť 5–10 minút, pri písaní testu treba neustále sledovať čas, je dobré vopred sivypočítať čas na jednu úlohu.

• Pri písaní testov nie je čas na to, aby ste dlho rozmýšľali nad jednou otázkou, resp. na to, abyste sa snažili získať informácie od susedov, testy sú zostavené tak, že ak chcete dosiahnuť dobrývýsledok, máte čas iba na prečítanie, pochopenie otázky, na výpočet, resp. na výber správnejmožnosti v testoch a na jej zapísanie do odpoveďovej tabuľky.

• Odpoveď na testové otázky do odpoveďovej tabuľky píšte vždy veľkými tlačenými písmenami A,B, C, D (pri písaných malých písmenách sa písmeno a a c často nedá rozlíšiť, čím môžete stratiťbod).

• Dávajte pozor na to, aby ste odpoveď zapísali do správneho riadku, resp. do správnej kolónky,radšej si ešte raz skontrolujte číslo otázky (najmä pri úlohách, ktoré sú na iných stranách než jeodpoveďová tabuľka).

• Odpoveď zapíšte do odpoveďovej tabuľky až vtedy, keď už ste presvedčení o jej správnosti,nečitateľné, viackrát prepísané, dočarbané odpovede sa nemôžu uznať za správne (boli by toopäť zbytočne stratené body).

• Správne riešenia A, B, C, D sa striedajú celkom náhodne, môže sa stať, že aj trikrát aleboštyrikrát za sebou bude správna odpoveď A alebo C, pri testoch Vás to nikdy nesmie pomýliť.

• Výhodnejšie je neriešiť testy v tom poradí, ako sú uvedené v teste, ale najskôr vyriešiť tie, naktoré okamžite viete odpoveď, potom tie, nad ktorými musíte istý čas rozmýšľať, a napokonpokúsiť sa vyriešiť zvyšok, avšak pri tomto postupe (ak neriešite otázky v danom poradí), trebadávať pozor pri zapisovaní odpovedí do odpoveďového hárku (odpoveďovej tabuľky), aby steomylom nezapísali niektorú odpoveď do nesprávneho riadku alebo aby ste niektorú z otázoknevynechali.

• Ak spočiatku nedosiahnete v testoch vynikajúce, ba ani len dobré výsledky, nezúfajte, pri ďalšíchto už bude určite lepšie. Veď skúšky, pohovory, úlohy, konkurzy, testy odpovedajú v najlepšomprípade na otázku, čím je človek teraz, ale nie, čím bude. No každá ľudská bytosť je dynamickásústava, schopná sa rozvíjať.

UPOZORNENIE: VO VŠETKÝCH TESTOVÝCH ÚLOHÁCH TEJTO ZBIERKYPPPPPPPPPPPPPPPJE SPRÁVNA VŽDY IBA JEDNA Z UVEDENÝCH MOŽNOSTÍ!

8

P

9

P

VSTUPNÝ TEST

FORMA A

Milí študenti,

v teste, ktorý máte pred sebou, je 10 otázok s výberom odpovede a 5 otázok s tvorbou odpovede.Pri otázkach s výberom odpovede je správna vždy iba jedna z uvedených možností. (Taká odpoveď,pri ktorej vyznačíte viac ako jednu z uvedených možností, sa považuje za neplatnú!)

Pri otázkach s výberom odpovede označte v odpoveďovej tabuľke krížikom tú možnosť (A, B, Calebo D), ktorú považujete za správnu, pri otázkach s tvorbou odpovede napíšte výsledok do príslušnejkolónky.

10

Vstupný test – Forma A

1. Aká je rovnica priamej úmernosti, ak jej graf prechádza bodom A

[49;

43

]?

2. Riešte rovnicu x +x + 1

4= 2x +

5− 3x

2− x− 3

8v množine racionálnych čísel.

3. Akú číselnú hodnotu má výraz (a + b)2 − (a− b)2

b, ak a = −1

4; b =

32

?

4. Podstava kolmého trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého prepona má dĺžku 13 cma jedna odvesna má dĺžku 5 cm. Výška hranola je 1

3dĺžky dlhšej odvesny. Aký je objem hranola?

5. Akou priemernou rýchlosťou musí ísť auto záchrannej služby k dopravnej nehode, ak lekárskapomoc má byť poskytnutá do 20 minút? Nehoda je vo vzdialenosti 22 km od stanovišťa sanitieka svedok telefonoval 5 minút po nehode.

6. Na ktorom z obrázkov je znázornená množina všetkých riešení nerovnice 5x

4+ 1 5 2x− 1

2?

(A) 0 2

(B) 0-2

(C) 0-2

(D) 0 2

11

7.23 ·

(12

)2

· (−2)2[− (−2)4

]3·(−1

4

)3 =

(A) 32

(B) 132

(C) −18

(D) 18

8. Na obrázku je znázornený graf lineárnej funkcie

(A) y = −32x− 3.

(B) y =23x− 3.

(C) y = −23x− 2.

(D) y =32x− 3.

-2

-3

0

9. Čísla x, y sú koreňmi sústavy rovníc x + 32

− y − 23

= 2

x− 14

+y + 1

3= 4

. Potom

(A) xy = −40.(B) y − x = 3.(C) x + y = −3.

(D) x

5=

6y

.

10. Na jednej farme žĳú bažanty a zajace. Spolu majú 100 nôh a 36 hláv. Koľko bažantov je nafarme?

(A) 14(B) 22(C) 24(D) 26

11. Lanovka stúpa pod uhlom 15◦ a spája hornú a dolnú stanicu. Výškový rozdiel dvoch staníc je450 m. Pomocou ktorého vzťahu sa dá vyjadriť dĺžka dráhy lanovky d?

(A) d =450

cos 15◦

(B) d =450

tg 15◦

(C) d = 450 · cos 15◦

(D) d =450

sin 15◦

12

12. Rovnoramenný trojuholník ABC má základňu a = 6 cm a rameno b = 5 cm. TrojuholníkA′B′C ′ má výšku na základňu v′

a = 10 cm. Trojuholníky ABC a A′B′C ′ sú podobné. Základňatrojuholníka A′B′C ′ má dĺžku

(A) 15 cm.

(B) 152

cm.

(C) 252

cm.

(D) 12 cm.

13. Číselný výraz(√

20−√

5)2 sa rovná

(A) 5.(B) 15.(C) 25.(D) 10.

14. Tretina žiakov triedy chodí do školy autobusom. Z ďalších žiakov polovica chodí električkou azvyšných 10 žiakov chodí pešo. Koľko je v triede žiakov?

(A) 27

(B) 30

(C) 33

(D) Žiadna z uvedených možností nie je správna.

15. Kosoštvorec má stranu 20 cm a kratšiu uhlopriečku 24 cm dlhú. Aká dlhá je druhá uhlopriečka?

(A) 16 cm(B) 32 cm(C) 23,3 cm

(D) 30 cm

Odpoveďová tabuľka

5.

4.

3.

2.

1.

10.

9.

8.

7.

6.

15.

14.

13.

12.

11.

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

D

D

D

D

D

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

D

D

D

D

D

Body Body Body

13

P

VSTUPNÝ TEST

FORMA B

Milí študenti,

v teste, ktorý máte pred sebou, je 10 otázok s výberom odpovede a 5 otázok s tvorbou odpovede.Pri otázkach s výberom odpovede je správna vždy iba jedna z uvedených možností. (Taká odpoveď,pri ktorej vyznačíte viac ako jednu z uvedených možností, sa považuje za neplatnú!)

Pri otázkach s výberom odpovede označte v odpoveďovej tabuľke krížikom tú možnosť (A, B, Calebo D), ktorú považujete za správnu, pri otázkach s tvorbou odpovede napíšte výsledok do príslušnejkolónky.

14

Vstupný test – Forma B


− y − 23

= 2

x− 14

+y + 1

3= 4

. Potom

(A) xy = −40.(B) y − x = 3.(C) x + y = −3.

(D) x

5=

6y

.


(A) 14(B) 22(C) 24(D) 26


4+ 1 5 2x− 1

2?

(A) 0 2

(B) 0-2

(C) 0-2

(D) 0 2


(A) y = −32x− 3.

(B) y =23x− 3.

(C) y = −23x− 2.

(D) y =32x− 3.

-2

-3

0

5.23 ·

(12

)2

· (−2)2[− (−2)4

]3·(−1

4

)3 =

15

(A) 32

(B) 132

(C) −18

(D) 18

6. Tretina žiakov triedy chodí do školy autobusom. Z ďalších žiakov polovica chodí električkou azvyšných 10 žiakov chodí pešo. Koľko je v triede žiakov?

(A) 27

(B) 30

(C) 33


7. Kosoštvorec má stranu 20 cm a kratšiu uhlopriečku 24 cm dlhú. Aká dlhá je druhá uhlopriečka?(A) 16 cm(B) 32 cm(C) 23,3 cm

(D) 30 cm


(A) d =450

cos 15◦

(B) d =450

tg 15◦

(C) d = 450 · cos 15◦

(D) d =450

sin 15◦


20−√

5)2 sa rovná

(A) 5.(B) 15.(C) 25.(D) 10.

10. Rovnoramenný trojuholník ABC má základňu a = 6 cm a rameno b = 5 cm. TrojuholníkA′B′C ′ má výšku na základňu v′

a = 10 cm. Trojuholníky ABC a A′B′C ′ sú podobné. Základňatrojuholníka A′B′C ′ má dĺžku

(A) 15 cm.

(B) 152

cm.

(C) 252

cm.

(D) 12 cm.

16





[49;

43

]?


b, ak a = −1

4; b =

32

?


4= 2x +

5− 3x

2− x− 3



5.

4.

3.

2.

1.

10.

9.

8.

7.

6.

15.

14.

13.

12.

11.

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

D

D

D

D

D

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

D

D

D

D

D

Body Body Body

17

P

18

P

19

Kapitola 1

Operácie s reálnymi číslamiMocniny a odmocniny

20 1. KAPITOLA

Úlohy na precvičovanie učiva

1. Vypočítajte:(213− 3

5

):1315

2. Vypočítajte:(59− 1

3

)· 12

3. Vypočítajte:

37

+52

:356

4. Vypočítajte:

334− 5

4:103

5. Zlomok 5 · 24 + 13 · 24 + 5

v základnom tvare je

(A) 117

.

(B) 12177

.

(C) 34

.

(D) 78

.

6. Vypočítajte:(√214−√

14

): 10

7. Určte hodnotu výrazu:

a) 2a− 3a + 1

− 3a + 2a− 1

, pre a = 3

b) −3ab + 18ab2 − a3, pre a = 2; b =23

c) 4a2 + 12ab + 9b2, pre a = −1; b = 3

8. Vypočítajte hodnotu výrazu:

(x− 1) ·(

x− 6x

)pre x =

32

9. Ak x = −5, tak výraz (−x + 5)2 sa rovná

(A) 0.(B) 50.(C) 100.(D) 20.

1. KAPITOLA 21

10. Aká je číselná hodnota výrazu 3 · (x− y) + x2

2xypre x = −1

2a y = −2?

(A) 178

(B) 198

(C) −178

(D) −298

11. Pomer dvoch čísel je 2 : 3. Ich súčet je 75. Ktoré sú tieto dve čísla?

(A) 25 a 50(B) 22 a 55(C) 35 a 40(D) 30 a 45

12. Kráľ rozdelil trom synom stádo koní v pomere 7 : 6 : 4. Ten, ktorý dostal najviac, dostal 63koní. Koľko koní bolo v stáde?

(A) 164(B) 153(C) 182(D) 116

13. Aký je pomer |AB| : |CD|, ak úsečka AB má dĺžku 6 cm a úsečka CD má dĺžku 3,6 cm?

(A) 53

(B) 35

(C) 54

(D) 16

14. Cyklista sa rozhodol prejsť za 2 dni 160 km. Prvý deň prešiel 45 % celej cesty. Koľko kilometrovcesty musí prejsť druhý deň?

15. 4 kg kávy rozdelili do balíčkov po 80 g. Koľko balíčkov na to potrebovali?

(A) 5(B) 320(C) 20(D) 50

16. Určte číslo, ktorého 75 % je 150.

17. V decembri dostal zamestnanec firmy odmenu vo výške 15 % svojho platu, čo bolo 2 418 korún.Aký bol v tomto mesiaci jeho plat?

18. Za 16 hodín urobíme 30 % práce. Za koľko hodín bude hotových 75 % práce?

22 1. KAPITOLA

19. V triede je 24 žiakov. Keby štyri dievčatá odišli, tvorili by chlapci 75 % žiakov. Koľko chlapcovchodí do triedy?

(A) 12(B) 15(C) 16(D) 18

20. Akú veľkosť má uhol pri základni rovnoramenného trojuholníka, ak veľkosť uhla ležiaceho oprotizákladni sa rovná 40 % uhla pri základni?

(A) 60◦

(B) 65◦

(C) 70◦

(D) 75◦

21. Aký veľký je najväčší uhol trojuholníka, ak druhý uhol je o 10◦ väčší ako dvojnásobok prvého atretí je o 30◦ menší ako druhý?

(A) 82◦

(B) 84◦

(C) 86◦

(D) 88◦

22. Zo 660 žiakov školy je 60 % dievčat. 25 % dievčat chodí do 7. ročníka. Koľko dievčat tejto školychodí do 7. ročníka?

23. 30 % čísla x sa rovná 40 % čísla y. Aký je pomer x : y?

24. Na detské predstavenie prišlo do divadla 500 divákov. Z nich bolo dospelých 15 %, ostatné bolideti. Z detí bolo 60 % chlapcov. Koľko dievčat bolo v divadle na predstavení?

(A) 235(B) 170(C) 255(D) 200

25. Koľko stojí 25 dkg šunky, ak 4,5 kg stojí 954 korún?

26. Riešte nerovnice a výsledok znázornite na číselnej osi:

a) −2x + 1 5 x− 2

b) 4x− 2 5 −10x + 8

c) 8 · (x− 4)− 3 · (x− 4) 5 5 · (x− 4)

d) 3x− 5 > 3 · (x− 5)

27. Napíšte všetky celé čísla a, pre ktoré platí: −2,7 5 a < 2.

28. Daná je nerovnica 5 · (x− 2) + 6 5 2 · (2x− 1).

a) Určte všetky prirodzené čísla, ktoré sú jej riešením.b) Určte všetky celé čísla, ktoré sú jej riešením.c) Určte všetky reálne čísla, ktoré sú jej riešením.

1. KAPITOLA 23

29. Riešte nerovnice v R a výsledky znázornite na číselnej osi:

a) 5x− 14

> 2

b) 3x− 2 · (4x + 3) 5 9

c) 3 + 2x

5< 2

30. Rozhodnite, či číslo u =12

vyhovuje riešeniu nerovnice 3u− 2 · (u + 1) 5 3.

(A) Áno.(B) Nie.

31. Doplňte znak >; <; = tak, aby platilo tvrdenie:

a) ak x > 8, potom (x + 3) 33 10,

b) ak x > y, potom (y + 2) 33 (x + 5).

32. Zistite výpočtom, ktorej z nasledujúcich nerovníc nevyhovuje žiadne reálne číslo (nemá riešeniev R).

(A) 3 · (x + 2) <x− 3

2

(B) 4x

35

23

+ x

(C) 7x + 5 · (x− 2) > 12x− 20

(D) 5x− 3 + 2x < 7x− 9

33. Určte najväčšie prirodzené číslo, ktoré vyhovuje nerovnici 2 + 27x

65

52

+12x + 1

3.

34. Koreňmi nerovnice −3x < −2 sú reálne čísla x, pre ktoré platí, že

(A) x < −23

.

(B) x >32

.

(C) x >23

.

(D) x <23

.

35. Pre ktoré najväčšie kladné celé číslo d má výraz 2d− 16 zápornú hodnotu?

36. Vypočítajte spamäti druhé mocniny čísel:

a) 6; 60; 600; 0,6; 0,06; 0,006

b) −7; −70; −700; −0,7; −0,07; −0,007

c) 12; 1,2; 120; −12; −1,2; −120

37. Určte spamäti tretie mocniny čísel:

a) 2; 20; 200; 0,2; 0,02

b) 4; 40; 400; 0,4; 0,04

c) −5; −50; −500; −0,5; −0,05

24 1. KAPITOLA

38. Určte druhé odmocniny čísel spamäti:

a)√

4;√

400;√

40 000;√

0,04;√

0,0004

b)√

121;√

12 100;√

1,21;√

0,0121;√

1 210 000

c)√

49

;√

10081

;√

2549

;√

1100

;√

12136

39. Vypočítajte spamäti tretie odmocniny čísel:

a) 1; 8; 125; 64; 1 000; 27

b) 8 000; 125 000; 64 000; 1 000 000; 27 000

c) 0,001; 0,008; 0,125; 0,064; 0,027

d) 18

; 278

; 1125

; 12564

; 8125

40. Napíšte mocninu, ktorej základ je 2x a mocniteľ je 5.

41. Mocnina (2,5a)3 sa dá zapísať ako súčin

(A) 2,5 · a3.(B) 2,5a · 2,5a.(C) 2,5a · 2,5a · 2,5a.(D) 2,53 · a.

42. Mocnina, ktorej základ je 10x a exponent je 3, sa dá zapísať ako

(A) 10x3.(B) 10 · 3

√x.

(C) 3√

10x.(D) (10x)3.

43. Mocnina, ktorej základ je −4y a exponent je 6, sa dá zapísať ako

(A) −4y6.(B) −(4y)6.(C) (−4y)6.(D) (4y)6.

44. Doplňte znaky >,<,= tak, aby zápisy boli pravdivé tvrdenia:a) (−3)2 33 −(3,3)2

b) 0,42 33 (−0,4)2

c) −(−3,5)2 33 −(−4,5)2

d) −3,52 33 (−3)2

45. Určte, či bude výsledok kladný alebo záporný:

a)(−5

2

)10

b) (−4)7

c) (4− 7)11

d) (3− 2 · 5)6

1. KAPITOLA 25

46. Doplňte znaky <,>,= tak, aby zápisy boli pravdivé tvrdenia:

a)(−14)4 33 0

b) 4,910 33 0

c) (−5)7 33 0

d) (−0,1)4 33 03

e) (−3)5 33 (−4)2

f) 0,14 33 (−0,1)4

g) 05 33 08

h) 05 33 (−3)7

47. Určte, aké znamienko bude mať výsledok mocniny:

a) (9− 14 + 5− 7)45

b) (−347 + 520− 100)17

c) [4 · (4− 14)]6

d) (−17− 4 + 5)7

48. Vypočítajte:

a) (7− 8)30

b) (17− 16)4 + (8− 9)6

c) (52 · 22 − 99)8

d) (2 · 32 − 19)31

49. Ktoré z uvedených čísel je najmenšie?

(A) 13,23

(B) (−500)3

(C) 5003

(D) (−13,2)3

50. Ktoré z uvedených čísel je najväčšie?

(A) 132

(B) (−100)2

(C) 0,72

(D) (−1,1)2

51. Vypočítajte:

a) 22 + 32

2 · 52

b) 22 − 32

(2 · 3)2

c) (2 + 3)2

(2 · 3)2

d)(

12

+ 4)2

26 1. KAPITOLA

52. 22 − (52 + 32)2 · 3

=

(A) 5(B) −5

(C) 2(D) −2

53. Vypočítajte:

a) 1 +(

14

)3

b) (−2)3 −(

12

)3

c)(

2− 13

)3

d) 78

+(

12

)3

54. Vypočítajte:

a) 2 ·√

36 + 3 ·√

9

b)√

1962

+√

25

c) 3 ·√

100−√

144

d)√

25− 9 +√

1

55. 8 · 22 −√

64 : 8 + 17 ·√

36 =

(A) 105(B) 133(C) 102(D) 130

56. Vynásobte:

a) y4 · y2

b) 3x · 4x2

c) 25 · 22

d) −2q4 · qe) 0,5x2 · 4x3

f) 23y · 9y2

g) −6a2 · 2a5

h) 0,2y4 · 5y2

1. KAPITOLA 27

57. Vynásobte:

a) 5x2y · 2xy

b) (−3x2) · (2xy)

c) −3xy3 · (−2x5)

d) 5x2y3 · 2xy · 7xy2

58. Ktorý zo zápisov je správny?

(A) 2a · (−3ab2) · 4b = 24a2b3

(B) 2a · (−3ab2) · 4b = −24a2b2

(C) 2a · (−3ab2) · 4b = −24a2b3

(D) 2a · (−3ab2) · 4b = −24a3b2

59. Dosaďte za x také číslo, aby platila rovnosť:

a) x · 53 = 57

b) 63 · 64 = 6x

c) 38 · 3x = 310

d) 23 · x4 = 27

60. Vydeľte:

a) 85 : 83

b) 1010 : 102

c) x5 : x3

d) −30k4 : 6k

e) 8a2 : 8a

f) 15m4 : 3m2

g) −10y4 : 5y2

h) −10x6 : (−2x4)

61. Vydeľte:

a) x4 : x8

b) 102 : 105

c) y4 : y5

d) 18x4 : 9x6

62. Výrazom 5ax2 deľte výrazy:

a) 10a3x3

b) 10a2x2

c) 5ax2

d) 5ax

63. Dosaďte za x také číslo, aby platila rovnosť:

a) 157 : 152 = 15x

b) 38 : 3x = 35

c) 105 : 100 = 10x

d) 10x : 1 000 = 10

28 1. KAPITOLA

64. Umocnite:

a) (5z)2

b) (10x)3

c) (−4y)3

d) (−0,5a)2

e) (2xy)3

f) (0,3ab)2

g) (10xy)4

h) (−3abc)3

65. Vypočítajte:

a)(

2x

)2

b)(

2x

3

)3

c)(

2x

y

)3

d)(xy

10

)2

66. Umocnite mocninu:

a)(23)2

b) (102)5

c) (10x2)3

d) (−4x3)2

e) (−5x2)3

f) (4a2b3)3

g) (2ab5)2

h) (−x4)3

67. Zjednodušte:

a) (3xy2z3)3

b) (−2ab2c3)2

c)(

x3

y2

)2

d)(

4x2

2

)3

68. Výraz(

4ab3

5b4

)2

sa dá upraviť na tvar

(A) 4a2b5

25b6.

(B) 4a2b5

52b6.

(C) 16a2b3

25b8.

(D) 16a2b6

25b8.

1. KAPITOLA 29

69.(− 2a

3b2c

)3

=

(A) 2a3

3b5c3

(B) − 2a3

9b5c3

(C) − 8a3

27b5c3

(D) − 8a3

27b6c3

70.(−ab2

2

)3

=

(A) a3b5

4

(B) a3b6

8

(C) −a3b5

4

(D) −a3b6

8

71. Ktorá z nasledujúcich rovností neplatí?

(A) (−5)3 = −53

(B) −54 = (−5)4

(C) (53)2 = (52)3

(D) 5 · 53 = (52)2

72. (−k2)3 =

(A) k5

(B) −k5

(C) −k6

(D) k6

73. 7,7 · 104 − 4 · 102 − 5 · 101 − 7 · 100 =

(A) 76 543

(B) 76 550

(C) 76 553

(D) 77 453

74. 70 miliónov korún v tvare a · 10n; kde 1 5 a < 10, n ∈ N ; je

(A) 70 · 106.(B) 70 · 105.(C) 7 · 107.(D) 7 · 106.

30 1. KAPITOLA

75. Povrch Zeme je 510 220 000 km2, čo zapísané v tvare a · 10n; kde 1 5 a < 10, n ∈ N ; je

(A) 5,1022 · 104 km2.

(B) 5,1022 · 108 km2.

(C) 5,122 · 109 km2.

(D) 51 022 · 104 km2.

76. Štvorec má obsah S = 144 cm2. Jeho obvod je

(A) 40 cm.

(B) 48 cm

(C) 24 cm.

(D) 60 cm.

77. Do kocky s hranou a = 10 cm sa zmestí

(A) 1000 l vody.

(B) 1 l vody.

(C) 100 l vody.

(D) 10 l vody.

78. Na výrobu betónovej kocky spotrebovali 151,39 dm3 materiálu. Aká dlhá je hrana betónovejkocky?

79. Aký veľký je povrch kocky, ktorej objem je 512 litrov? (Výsledok vyjadrite v dm2.)

80. Objem hranola je 422 litrov. Aká je dĺžka hrany kocky s rovnakým objemom?

(A) 141 cm

(B) 75 cm

(C) 7,5 cm

(D) 20,54 dm

81. Dĺžky hrán dvoch kociek sú v pomere 2 : 3. V akom pomere sú ich povrchy?

(A) 4 : 6

(B) 4 : 9

(C) 8 : 27

(D) 8 : 9

82. Nádoba má tvar kocky, ktorej povrch je 2 400 cm2. Koľko litrov vody sa do nej zmestí?

(A) 4 l

(B) 8 l

(C) 12 l

(D) 10 l

83. Akú dĺžku má hrana kocky v centimetroch, ak jej povrch je rovnaký ako jej objem?

84. Obsah jednej steny kocky je 1 600 cm2. Koľko litrov vody by sa do takejto kocky zmestilo?

1. KAPITOLA 31

85. Koľkokrát sa zmenší objem kocky, ak sa hrana kocky zmenší dvakrát?

(A) 2-krát(B) 4-krát(C) 8-krát(D) 16-krát

86. Zmestí sa do nádoby tvaru kocky s hranou 45 cm 92 litrov vody?

(A) Áno.(B) Nie.

32 1. KAPITOLA

Kontrolný test č. 1

1. Zistite, či platí nasledujúca rovnosť:

(−3x2 · y3) · (5x3y4) = −15x6y12

(A) Áno.(B) Nie.


12a− 12b, pre a =

43

; b =34

3. Maliar potrebuje zmiešať zelenú a žltú farbu v pomere 4 : 7. Koľko litrov žltej farby musí pridaťdo 28 litrov zelenej farby?

4. Ktorý z uvedených výrazov má výsledok 0,24?

(A) (0,7 + 0,5)2

(B) (−0,7)2 − (−0,5)2

(C) (−0,7)2 + (−0,5)2

(D) 0,72 + 0,52

5. Koľko je jedna tretina zo 67

?

(A) 27

(B) 72

(C) 221

(D) 187

6. Koľko je osmina z čísla 87?

(A) 17

(B) 81

(C) 77

(D) 86

1. KAPITOLA 33


4+ 1 5 2x− 1

2?

(A) 0 2

(B) 0-2

(C) 0-2

(D) 0 2

8. Objem kvádra je 245 cm3. Každá dĺžka hrany kvádra sa dá vyjadriť prirodzeným číslom väčšímako 1 cm. Povrch tohto kvádra je

(A) 245 cm2.(B) 238 cm2.(C) 200 cm2.(D) 119 cm2.

9. Ktorá z uvedených nerovností platí pre čísla: a = 20% z 27; b = 400% z 0,3; c =13

z 2,5?

(A) a < b < c

(B) b < c < a

(C) c < a < b

(D) c < b < a

10. Ktorý zo zápisov je nesprávny?

(A) 34 · 315 = 319

(B) 2x2 · 3x4 = 6x6

(C) 5a2y3 · 2ay5 = 10a3y7

(D) 15xy2 · (−2x2y) = −30x3y3

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

34 1. KAPITOLA


1. Rozhodnite, či platí: 23

z 30 je menej ako 20 % zo 60.

(A) Áno.(B) Nie.


b) 1− x

1 + x, pre x =

12

3. Ktorou číslicou treba nahradiť hviezdičku, aby vzniklo päťciferné číslo deliteľné súčasne tromaa štyrmi?

86 5∗4

4. Ktorý z uvedených výrazov má výsledok 0,28?

(A) 0,82 + (−0,6)2

(B) (0,8 + 0,6)2

(C) (−0,8)2 − (−0,6)2

(D) (−0,8)2 + (−0,6)2

5. Za 16 hodín urobíme 30 % práce. Koľko percent práce urobíme za 20 hodín?

(A) 34,5 %

(B) 36 %

(C) 37,5 %

(D) 39 %

6. 37

:27− 1

14=

(A) 2

(B) 514

(C) 914

(D) 107

1. KAPITOLA 35

7. Ktorá z rovností neplatí?

(A) (−3)5 = −35

(B) (−32)2 =[(−3)2

]2(C) (−3) · (−3)3 = (−3)4

(D) (−3) · (−3)5 = −36

8. Strany obdĺžnika sú v pomere 7 : 3. Obvod obdĺžnika je 60 cm. Aký je jeho obsah?

(A) 21 cm2

(B) 7,56 dm2

(C) 600 cm2

(D) 1,89 dm2

9. Na ktorom z obrázkov je znázornená množina všetkých riešení nerovnice 4x− 7 5 2x− 35

?

(A) 0 3,2

(B) 0 3,2

(C) 0 3,2

(D) 0 3,2

10. Výraz(

2x2

y3

)3

sa dá upraviť na tvar

(A) 6x6

y6.

(B) 8x5

y6.

(C) 6x6

y9.

(D) 8x6

y9.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

36 1. KAPITOLA


1. Akú hodnotu má výraz (−x + 4)2, ak x = −4?

2. Trojnásobkom ktorého čísla sú dve pätiny?

3. Vypočítajte:

(−2)2 · (−1)3 · (x3 · y)2 · 1(2x)2

=

4. Ktorému číslu sa rovná výraz 34x2 − 10y − 5xy, ak x = −6; y = 0,2?

(A) 31(B) 30(C) 19(D) 23

5. Koľko kociek s hranou dlhou 2 cm sa zmestí do kvádra s rozmermi 6 cm, 8 cm, 10 cm?

(A) 60(B) 80(C) 120(D) 240

6. Číslo 26 je výsledkom

(A) 22 + 24.(B) 28 − 22.(C) 24 · 22.(D) 212 : 22.

1. KAPITOLA 37

7. Chlapci tvoria 35

žiakov triedy. Koľko percent žiakov tejto triedy tvoria dievčatá?

(A) 20 %

(B) 30 %

(C) 40 %

(D) 60 %

8. Na ktorom z obrázkov je znázornená množina všetkých riešení nerovnice 2− 4x

4= 0?

(A) (C)

0 12

0−12

(B) (D)

0 12

0−12

9. Ktorá z uvedených hmotností je najväčšia?

(A) 2 · 108 g

(B) 2 · 105 dkg

(C) 2 · 104 kg

(D) 2 t

10. Výraz (−m5) · (−7m3) · (−m2) · 2m3 sa dá upraviť na tvar

(A) 14m90.(B) −14m90.(C) −14m13.(D) 14m13.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

38 1. KAPITOLA


1. Akú najmenšiu dĺžku v decimetroch má špagát, ktorý môžeme rozstrihať na 18 rovnakých častía aj na 27 rovnakých častí?

2. Určte hodnotu výrazu:(−5x2 + 2x− 3

)· 2x, pre x = −1

3. Súčet dĺžok hrán kvádra, ktoré prechádzajú tým istým vrcholom, je 42 cm, ich pomer je 7 : 5 : 2.Aký je objem kvádra?

4. Koľkokrát sú 23

väčšie ako 16

?

(A) 2-krát.

(B) 12

-krát.

(C) 4-krát.

(D) 14

-krát.

5. Koľko je šestina z čísla 66?

(A) 16

(B) 61

(C) 65

(D) 56

6. Výraz a + 4a− 4

− 2− 3a

a− 5má pre a = −4 hodnotu

(A) 1.(B) 0.

(C) −149

.

(D) 149

.

1. KAPITOLA 39

7. Zlomok (−3)2 − (−2)2 − 52

−38· (−16) + 0,5 · (−4) · (−5)

možno upraviť na tvar

(A) −54

.

(B) −18

.

(C) −45

.

(D) −34

.

8. Ktorý obrázok znázorňuje množinu všetkých riešení nerovnice 5− 3x

2< 5− x?

(A) 0-5

(B) 0-5

(C) 0 5

(D) 0 5


(A) (−17)2 = 172

(B)(

35

)2

=32

52

(C) −5,12 = (−5,1)2

(D) −43 = (−4)3

10. Koľko je 1 000% z 1 000?

(A) 1

(B) 100

(C) 1000

(D) 10 000

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

40 1. KAPITOLA


1. Aká je hodnota výrazu x + 1x− 1

v bode x =13

?

2. Vypočítajte:

23

3·(−1

2

)3

+34− 1

4·√

36

3. Súčet dvoch za sebou nasledujúcich celých čísel je −17. Ktoré z nich je menšie?

4. Číslo m je párne. Najbližšie väčšie párne číslo je

(A) m + 1.

(B) m + 2.

(C) 2m.

(D) 2 · (m + 1).

5. Milan a Norbert chytili na rybačke spolu 20 rýb. Chytili ich v pomere 2 : 3. Koľko percent rýbchytil Norbert?

(A) 40 %

(B) 60 %

(C) 30 %

(D) 70 %


(A) (−4,3)2 = 4,32

(B)(

25

)2

=22

52

(C) −33 = (−3)3

(D) −502 = (−50)2

1. KAPITOLA 41

7. Ktoré z uvedených porovnaní hmotností m1 = 1,1 · 103 t a m2 = 6,7 · 105 kg je správne?

(A) m1 = m2

(B) m1 > m2

(C) m1 < m2

(D) Tieto hmotnosti sa nedajú porovnať.

8.23 ·

(12

)2

· (−2)2[− (−2)4

]3·(−1

4

)3 =

(A) 32

(B) 132

(C) −18

(D) 18

9. Ktorému číslu sa rovná výraz c2 − 2b

2a, ak a = −4; b = 2,5; c = 3?

(A) 12

(B) −0,5

(C) −2

(D) −38

10. Výsledok ktorej nerovnice je znázornený na obrázku?

0 1

∞

(A) 6x− 4 < 2

(B) 3x + 12 > 9

(C) 5x− 2 > 3

(D) 21− 3x < 24

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

42 1. KAPITOLA


1. Aká je hodnota výrazu −3x3 − 2x2 + x v bode x = −2?

2. Vypočítajte:ad

bc, ak a

b= 10 a c

d= 2

3. Ktoré číslo je podielom najmenšieho spoločného násobku a najväčšieho spoločného deliteľa čísel12 a 18?

4. Ktorá z uvedených vzdialeností je najkratšia?

(A) 7,2 · 102 km

(B) 7,2 · 107 mm

(C) 7,2 · 106 dm

(D) 7,2 · 105 m

5. Zlomok 323

je väčší ako zlomok

45− 1

325

o

(A) 52

.

(B) −156

.

(C) 76

.

(D) 113

.

6. Pre ktoré reálne čísla je výraz 3z − (z − 2) kladný?

(A) Pre z > −1.(B) Pre z > 1.(C) Pre z < −1.(D) Pre z < 1.

1. KAPITOLA 43

7. (−2)2 · (8− 4 : 2)− (−3) =

(A) 21(B) −11

(C) 27(D) 11

8. Ktoré číslo je najväčšie?

(A) 35

z 518

(B) 56

zmenšené o 13

(C) päťnásobok 115

(D) 25% zo 43

9. Hodnota výrazu (−3)2 :14−(

2− 14

)· (−2)2 − 32 je

(A) −20.(B) 20.(C) 38.(D) 52.

10. Aká je číselná hodnota výrazu x = 1− 14·{

1− 14·[1− 1

4·(

1− 15

)]}?

(A) −45

(B) 14

(C) 0

(D) 45

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

44

P

45

Kapitola 2

Úprava algebraických výrazov

46 2. KAPITOLA


1. Zapíšte ako výrazy:

a) K päťnásobku čísla x pripočítame y.

b) Číslo desaťkrát väčšie než k zmenšíme o 3.

c) Číslo trikrát menšie než s vynásobíme číslom t.

d) Číslo 3b vydelíme ôsmimi a k podielu pripočítame a.

2. Zapíšte ako výrazy:

a) Súčet čísel 1 a y vynásobený číslom x.

b) Desaťnásobok súčtu čísla k a 2p.

c) Súčin čísel 2k a l zväčšený o číslo m.

d) Pätinu súčtu čísel x a y zväčšenú o tri.

3. Sčítajte výrazy:

a)(y2 + 5y − 6

)+(2y2 − 3y + 3

)b)(x2 + 3x− 7

)+(7− 5x + 4x2

)c)(6z2 + 2z − z3

)+(z3 + 9z − 5z2

)d)(7a3 − 7a− 2a2

)+(−2a3 + 2a2 + 6a

)4. Odčítajte výrazy:

a)(5y2 + 3x

)−(2y2 + 5x

)b)(4x2 + 4y2

)−(2x2 − y2

)c)(2b3 − b2

)−(5b3 − b2

)d)(2a3 + 5a− 17

)−(a3 − a− 10

)5. Vypočítajte súčet a rozdiel uvedených výrazov:

a) (7a3 + 2a− 5); (3a3 − 4a− 7)

b) (a2 − b2 − 1); (2 + 7a2 − 5b2)

c) (3a2 + 2ab− 2b2); (4a2 + 9ab− 2b2)

d) (2b2 + 7a2 − b3 + 4a); (a2 + 10a + 5b2 − b3)

6. Upravte výraz a vypočítajte jeho hodnotu pre a = −1.

9a2 − (3a2 + 6a− 7) + (3a− 3)− 6a− a2

7. Zjednodušte výrazy:

a) 3 · (x + y)− 2 · (x− y)

b) 1− 5 · (z − 1) + 3z

c) 5 · (u + 2v)− (3u− v) · 4

d) (x + y) · y − (x + y) · x

2. KAPITOLA 47

8. Vynásobte dvojčleny:a) (3x + 1) · (1− 2x)

b) (0,5− y) · (4y − 0,2)

c) (2a + 3b) · (2a− b)

d) (−2z + 5) · (−z − 1)

9. Zjednodušte:a) (x + y + 1) · (x− y)

b) (2m2 − 5m− 4) · (m− 1)

c) (k − 1) · (k2 + k + 1)

10. Zjednodušte výraz a vypočítajte jeho hodnotu pre x = −1, y = 2.−2x + 0,5y · (4x− 6) + (2y − 1) · 5x

11. Upravte výrazy:a)(4x− 3x2 + 5

)−(4− 2x + 2x2

)−(x2 − 3x + 1

)b)(2− a2 + 5a

)· (−2a) +

(3a− a2 + 7

)· (−a)

c) (2x + 3) ·(3x2 − 6x + 5

)d)(4x2 + x− 2

)·(2x2 + 3x + 1

)e) (a− b) · (a + b) ·

(a2 + b2

)f) [2 · (x + 1)− 3x + 1] · (1− x)

12. Vyjmite pred zátvorku najväčšieho spoločného deliteľa z výrazov:a) 3x− xy

b) 4a2 + a

c) 12x2 − 18xy

d) 12ab + 4a− 8a2

e) 21x− 7xy + 14y

f) 8a2 − 16a3 − 8a5

13. Rozložte na súčin pomocou vynímania pred zátvorku:a) 3b4 + 15b2 − 9b3

b) 2xy + 2xz + 4xy2

c) 3 · (x + y) + z · (x + y)

d) x · (3z + 1) + y · (3z + 1) + z · (3z + 1)

14. Z jedného dvojčlena vyjmite −1 a potom rozložte na súčin:a) 4 · (x− y) + 7z · (y − x)

b) q · (p− 4)− r · (4− p)

c) y · (2− x)− (x− 2)

d) a2 · (2a− 3) + b · (3− 2a)

15. Doplňte chýbajúci výraz tak, aby platila rovnosť:a) −3x2 − 6xy − 12zx = HHH · (x + 2y + 4z)

b) −3x2 − 6xy − 12zx = HHH · (−x2 − 2xy − 4zx)

c) −3x2 − 6xy − 12zx = HHH · (3x2 + 6xy + 12zx)

d) −3x2 − 6xy − 12zx = HHH · (−x− 2y − 4z)

48 2. KAPITOLA

16. Upravte výrazy na súčin:

a) a4 + a2b

b) 6x2y − 2x3y2

c) 6a3b2 − 9a2b3 + 12ab

d) 24x3y2 − 28x3y

e) x · (b− 3)− 2 · (b− 3)

f) 4x · (2 + 3y)− 3 · (2 + 3y)

g) a2 · (x + 2y) + 3 · (2y + x)

h) 3a · (x− 5)− 5a · (−5 + x)

17. Umocnite použitím vzorca (a + b)2:a) (3y + 1)2

b) (x + 4y)2

c) (0,6s + 1,1t)2

d)(

12

+13x

)2

18. Umocnite použitím vzorca (a− b)2:a) (x− 5)2

b) (6z − 7)2

c) (0,5v − 1,2u)2

d)(

23− 1

2a

)2

19. Upravte použitím vzorcov:

a) (x + 2y)2

b) (5a + b)2

c) (6a− 5b)2

d) (−x + 2y)2

e)(

12a + 2b

)2

f) (−2x− y)2

g)(4a2 − 5b5

)2h) (−3x + 2y)2

20. Vypočítajte použitím vzorca a2 − b2:a) (5a− 1) · (5a + 1)

b)(

x− 14

)·(

x +14

)c) (4x + 3y) · (4x− 3y)

d) (5b + 0,4) · (5b− 0,4)

21. Upravte použitím vzorca:

a) (x + 3) · (x− 3)

b) (5− x) . (5 + x)

c)(

x +12

)·(

x− 12

)d)(√

3− 1)·(√

3 + 1)

e)(√

5−√

2)·(√

5 +√

2)

f) (3a + 5b) · (3a− 5b)

g)(

13x− 1

4y

)·(

13x +

14y

)h)(5− x

√3)·(5 + x

√3)

22. Vynásobte a upravte:a) (x− 3) · (x + 3)− (x + 3)2

b) (a− 2)2 − (a + 2)2

2. KAPITOLA 49

23. Zjednodušte ľavú stranu rovnice a vypočítajte neznámu a:(a + 5)2 − (a + 2) · (a− 2) = −1

24. Vypočítajte pomocou vzorcov:a) (3a− b)2 − (3a + 2b) · (3a− 2b) + (a + 2b)2 − (a− b)2

b) (4x− y) · (4x + y) + (2x− y)2 − (5x + 2y) · (5x− 2y)

25. Doplňte chýbajúci člen tak, aby každý výraz predstavoval druhú mocninu dvojčlena:a) a2 − 2ab + HH

b) 9x2 + HH + 16

c) HH − 14xy + y2

d) 4v2 + HH + u2

26. Doplňte chýbajúce členy tak, aby platila rovnosť:

a)(x + D

)2= x2 + 20xy + D

b)(

D + D)2

= a2 + D + 25y2

c)(9u− D

)2= D − 108uv + 36v2

d)(8x− D

)2= D − D + 4y2

27. Doplňte chýbajúce výrazy tak, aby platila rovnosť:

a) x2 − 30 =(

30 − 4)·(

30 + 30)

b) 25a2 − 30 =(5a− 30

)·(

30 + 3n)

c)(2x + 30

)2= 30 + 20xy + 30

d)(

30 − 3y)2

= 49x2 − 30 + 30

e)(

30 + 30)2

= 25a2b4 + 30 + 4

f)(

30 − 5)2

= 30 − 30x + 30

g)(

30 − 30)2

=116

x4 − 30 + 9y2

h) 30 − 4y2 =(3x− 30

)·(

30 + 30)

28. Rozložte na súčin pomocou vzorcov:a) 16b2 − a2; a2 − 4y2; 81a2 − b2; 25y2 − x2

b) p2 + 2p + 1; 16 + 8z + z2; 36x2 + 12x + 1; 9a2 + 12ab + 4b2

c) r2 − 6rs + 9s2; x2 − 24x + 144; 16y2 − 8xy + x2; d2 − 14d + 49

d) 25y2x2 − 100; 9u2v2 − 6uv + 1; 16 + 56xy + 49x2y2

29. Upravte na súčin:

a) x2 − 4y2

b) 49x2 − 16y2

c) (x− 1)2 − 25

d) (2x− y)2 − z2

e) 81x2 − (x− 2)2

f) −1 + 9a2

g) 16x2 − 25y4z2

h) (x + 2)2 − (x− 3)2

50 2. KAPITOLA


a) a2 + 4ab + 4b2

b) 25x2 + 10x + 1

c) 4a2 + 9b2 − 12ab

d) a2b2 + 12ab + 36

e) 16x2 + 88x + 121

f) −9− 12x− 4x2

g) 81x2 − 90xy + 25y2

h) 14x2 − xy + y2


a) 3c2 − 6cd + 3d2

b) 12x2 − 48y2

c) 3x3 + 18x2 + 27x

d) (a− b)2 − (a− 2b)2

e) 4x− x · (x− 2)2

f) 4a2b− 32ab + 64b

g) 81− x2 − y2 + 2xy

h) a3 − 4a2b + 4ab2


a) a · (x− 1) + x− 1

b) x · (a− b)− a + b

c) x · (3m− 2)− 2y · (−2 + 3m)

d) 2a · (5− x)− 3b · (x− 5)

e) a2 + 2ab + b2 − c2

f) x2 − a2 + 6a− 9

g) x2 − y2 + 4x + 4y

h) x3 − 8x2 − x + 8


a) a3 + a2 + a + 1

b) am + bm + an + bn

c) 35 + 5x + 7y + xy

d) 6a2x− 9ax + 2a− 3

e) 8a2x− b2y + 4a2y − 2b2x

f) 15ax− 10ay + 6bx− 4by

g) a2 − 5a− ax + 5x

h) xy + 4y − 4x− 16

34. Dĺžka strany štvorca je 2x− 4. Aký je jeho obvod a obsah?

35. Zistite, či sú výrazy (2x + y)2 − 2 · (2x + y) · (x− y) + (x− y)2 a (x + 2y) · (x + 2y) rovnaké.

36. Vypočítajte súčin troch po sebe nasledujúcich prirodzených čísel, ak najmenšie prirodzené čísloje n.

37. Aký je obvod štvorca, ak jeho obsah S je a2 + 4a + 4?(A) 4a + 2

(B) 4a + 8

(C) a + 8

(D) a + 2

38. Jožko umocňoval pomocou vzorcov. Pomýlil sa iba raz. Viete, v ktorom prípade?(A) (4a− 2b)2 = 16a2 − 16ab + 4b2

(B) (1− x)2 = 1− 2x + x2

(C) (0,7 + y)2 = 0,49 + 0,7y + y2

(D)(

12x + y

)2

=14x2 + xy + y2

2. KAPITOLA 51

39. Ktorá z uvedených rovností neplatí?(A) x2 − 4y2 = (x− 2y) · (x + 2y)

(B) (2a− 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2

(C) (1 + z)2 = 1 + z + z2

(D) (c− 5d)2 = c2 − 10cd + 25d2

40. Výraz (3a− 2b)2 sa rovná(A) 3a2 − 2b2.(B) 9a2 − 4b2.(C) 9a2 − 12ab + 4b2.(D) (3a + 2b) · (3a− 2b).

41. Výraz (−3x + 0, 5y)2 sa rovná(A) 9x2 − 0, 25y2.(B) 9x2 + 0, 25y2.(C) 9x2 + 3xy + 0, 25y2.(D) 9x2 − 3xy + 0, 25y2.

42. Zjednodušte dané výrazy a určte podmienky:

a)(

x2 − 4x− 3

:x− 2

2

)· x2 − 3x

x + 2

b) 6y2 − 4xy

(x− y)2 − (x− 2y)2

c) a2 + 2ab + b2

a2 − b2·(a2 − ab

)d) 3x2 − 3y2

12x− 12y

e) 6x2 − 4x

24x + 6x2· x + 49x2 − 12x + 4

f) a2 + a

b− 3:

a3 − a

b2 − 6b + 9

g) x2 − 93x− x2

:x2 + 6x + 92x3 + 6x2

h) 25− c2

2c2 − 10c· 20c + 4c2

25 + 10c + c2

43. Pre ktoré reálne čísla x, y nemá daný výraz zmysel?

a) x + 33x2 − 3xy

b) 9− x2

4x− 2 · (5− x)

c) x2 − 149− 16x2

d) 7x + 14(2x− 3) · (5x + 1)

44. Určte podmienky, za ktorých výraz má zmysel:

a) 16x− 44x2 − 2x

b) 16− 2x

2x2 − 8y2

c) 2x + 4(3− x) · (x + 1)

d) 3x

9x− 3 · (8− x)

45. Vypočítajte, pre ktoré x, y reálne čísla nadobúda výraz nulovú hodnotu, a určte podmienky:

a) 2x2 − 2y2

2x + y

b) 81x2 − 64x + 1

c)13x− 1

4x + 2

d) x2 − 42x2 − 8x + 8

e)(x2 + x

).(y2 − 6y + 9

)x− 2

f) 16− 4x

x + 2:16− x2

2x + 3

52 2. KAPITOLA

46. Aký výraz treba doplniť miesto ∗, aby platila rovnosť?

a) 2x + 1x + 3

=∗

2x + 6

b) 3x

x + 2=

∗x2 − 4

c) x + 3x− 3

=∗

x2 − 6x + 9

d) 2x− 5x2 − 25

=∗

25− x2

e) x2 − 2x

2x2y − x3y=

∗xy

f) 4− x

4 + x=

16− x2

∗

47. Upravte výrazy a určte podmienky:

a) 3a + b

− 2a− 2b

a2 − b2

b) 5a

a− 3+

a

a + 3− 2a2

a2 − 9

c) x2

x− y·(

1x− 1

y

)

d) x

x + y− x2 − xy

(x− y)2

e)(

x + 1y + 1

− x

y

):x2 − y2

y + 1

f)(

11− d

− 1)

:(

2d2

1− d− d

)g)(

x

x + 1+ 1)

:(

1− 3x2

1− x2

)h) x− 1

y − y2 − y

xy − x

48. Upravte výrazy a určte podmienky:

a) 1 +1

x− 1− x + 1

x

b) 1y + 1

− y − 1y

+ 1

c)(

x

x + y+

y

x− y

)·(

1− 2xy

x2 + y2

)d)(

11− x

− 1)

:(

x− 1− 2x2

1− x+ 1)

e) x + 1x2 − 2x

+x + 1

x2 + 2x− 2x

x2 − 4

f)(

1− x

x− 2y

):(

x2

4y2 − x2+ 1)

49. Aký výraz treba doplniť miesto ∗, aby platila rovnosť?

a) x− y

x2y=

∗x3y − x2y2

b) r2 − 4r

r2 − 4:

∗r − 2

=r

r + 2

c) 5xy

2ab· ∗10xy2

=3x

2y

d) m2 − 2m + 15m

:1−m

∗=

3− 3m

5

e) a2 − 2a

2a2b− a3b=

∗ab

f) a2 + 2a + 1a2 − 1

· ∗a2 + a

=1a

50. Vyjadrite zo vzorca neznámu uvedenú v hranatej zátvorke:

a) V = a · b · c [c]

b) S = 2 · (ab + ac + bc) [a]

c) S =(a + c)

2· v [c]

d) S = πr · (r + s) [s]

e) V =13a2 · v [v]

f) T = 2π ·√

lg [l]

51. Pre ktoré reálne čísla x je daný výraz kladný?

a) 42x + 1

b) −x + 32

c) −2x− 2

d) −x− 1−2

2. KAPITOLA 53

52. Pre ktoré reálne čísla x je daný výraz záporný?

a) 42 + x

b) 25− 2x

c) −39− x

d) −43x + 2

53. Pre ktoré reálne čísla x je daný výraz nezáporný?

a) 2x− 13

b) 3 + x

−4

c) −4x + 1−3

d) 2− x

4

54. Pre ktoré reálne číslo x nadobúda výraz

a) 3x2 − 27x2 − 6x + 9

hodnotu 5?

b) 4x2 − 162x + 4

hodnotu 6?

c) 12− 20x

25x2 − 9hodnotu −1

2?

d) 9x2 − 6x + 16x− 2

hodnotu −2?

(Poznámka: Výrazy najskôr zjednodušte.)

55. Výraz (v + 2)2 − v2 sa rovná(A) 4v − 4.(B) 2v.(C) 4.(D) 4v + 4.

56. Pre ktoré x je výraz 9− 3x

4kladný?

(A) Pre x > −3.(B) Pre x > 3.(C) Pre x < 3.(D) Pre x < −3.

54 2. KAPITOLA


1. Zjednodušte ľavú stranu rovnice a vypočítajte neznámu a.

(5 + a)2 − (a + 2) · (a− 2) = −1

2. Doplňte výraz tak, aby platila rovnosť:

1− b

2=

1− b2

aaa

3. Vypočítajte:(√8−

√2)2

4. Ak k rozdielu čísla 8 a výrazu 3b pripočítame súčet čísla 4 a 2b, potom dostaneme výraz

(A) 4 + 5b.(B) 4− b.(C) 12 + b.(D) 12− b.

5. Zjednodušte výraz 5x− (6− 8x) + [3x− (9x− 8)]. Hodnota tohto výrazu pre x =17

je

(A) 3.

(B) −237

.

(C) 27

.

(D) −13.

2. KAPITOLA 55

6. (−7y2 + 5y + 8)− (3 + 2y − 7y2) =

(A) 7y + 5

(B) 14y2 + 3y + 5

(C) 3y + 5

(D) −14y2 + 7y + 5

7. Katka umocňovala dvojčlen pomocou vzorcov. Správny výsledok mala len jeden. Ktorý to bol?

(A)(

x

3+

12

)2

=x2

9+

23x +

14

(B) (3a− 4b)2 = 9a2 − 12ab + 16b2

(C) (0,5y + x)2 = 0,25y2 + yx + x2

(D) (10a− 8)2 = 10a2 − 160a + 64

8. V ktorom prípade je výraz (4− y) · 5 + 2x · (y − 4) správne rozložený na súčin?

(A) (4− y) · (5 + 2x)

(B) (y − 4) · (5 + 2x)

(C) (y − 4) · (5− 2x)

(D) (4− y) · (5− 2x)

9. O koľko je obsah štvorca so stranou a + 3 väčší ako obsah štvorca so stranou a− 2?

(A) O (2a + 5).(B) O (2a− 5).(C) O (10a + 5).(D) O (2a + 13).

10. Zistite, ktorý výraz je nesprávne rozložený na súčin.

(A) y2 + 4xy + 4x2 = (y + 2x) · (y + 2x)

(B) a2 − 6a + 9 = (a− 3) · (a− 3)

(C) 9− 14x2 =

(3− 1

4x

)·(

3 +14x

)(D) −21a2b + 7a + 14ab3 = −7a · (3ab− 1− 2b3)

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

56 2. KAPITOLA


1. Vypočítajte:3x− 3y

57x− 7y

10

2. Zjednodušte ľavú stranu rovnice a vypočítajte neznámu k.

(4k + 3) · (k + 2)− (2k + 1)2 = 12

3. Doplňte výraz tak, aby platila rovnosť:x + y

x=

x2 − y2

aaa

4.(√

2 +√

50)2

=

(A) 52(B) 72(C) 2 504

(D) 200

5. V ktorom prípade je výraz (3y − 2)− 4x · (2− 3y) správne rozložený na súčin?

(A) (3y − 2) · (1 + 4x)

(B) (3y − 2) · (1− 4x)

(C) (2− 3y) · (1− 4x)

(D) (2 + 3y) · (1− 4x)

6. O koľko je obsah štvorca so stranou x− 1 menší ako obsah štvorca so stranou x + 2?

(A) O (2x + 5).(B) O (2x + 3).(C) O (x2 + 2x + 1).(D) O (6x + 3).

2. KAPITOLA 57

7. Zistite, ktorý z nasledujúcich zápisov je správny.

(A) 100− b2 = (100− b) · (100 + b)

(B) 81k2 + 18kl + 4l2 = (9k + 2l)2

(C) 4x2 − 2xy + 8xy2 = 2x · (2x− y + 4y2)

(D) a2 + 14a + 49 = (a− 7)2

8. Ak k súčtu čísla 10 a výrazu 2y pripočítame rozdiel čísla 4 a výrazu 5y, potom dostaneme výraz

(A) 14 + 7y.(B) 6 + 3y.(C) 14− 3y.(D) 6− 3y.

9. Zjednodušte výraz 4 · (2d + 1)− [(2− 4d) + (9d− 5)]. Hodnota tohto výrazu pre d =13

je

(A) 8.

(B) 73

.

(C) −10.

(D) 83

.

10. Jožko umocňoval pomocou vzorcov. Pomýlil sa iba raz. Viete, v ktorom prípade?

(A) (2x− 6y)2 = 4x2 − 24xy + 36y2

(B) (0,5x + 1,2y)2 = 0,25x2 + 1,2xy + 1,44y2

(C)(

13− m

2

)2

=19− 2

3m +

m2

4

(D) (5m− 1)2 = 25m2 − 10m + 1

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

58 2. KAPITOLA


1. Doplňte chýbajúci člen tak, aby platila rovnosť.

(7x− 2y)2 = 49x2 − HH + 4y2

2. Aký výraz treba doplniť miesto ? , aby platila rovnosť?

x− 23

=2x2 − 8

?

3. Určte hodnotu výrazu pre číslo uvedené v zátvorke:17

+ 4x

(x =

57

)

4. 11a2 − (−6a) + (−5a2)− (2a + 3a2) =

(A) 3a2 − 4a

(B) 3a2 + 4a

(C) 9a2 + 4a

(D) 9a2 − 4a

5. V ktorom prípade je zápis nesprávny?

(A) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

(B) (5a− b)2 = 25a2 − 10ab + b2

(C) (4 + 0,5x)2 = 16 + 4x + 0,25x2

(D)(

14− 3x

)2

=116

+32x + 9x2

6. Pre ktoré x je výraz 12− 4x

5záporný?

(A) Pre x < 3.(B) Pre x > 3.(C) Pre žiadne x.(D) Pre x > −3.

2. KAPITOLA 59

7. Výraz (x + 3)2 − (2 + x)2 sa rovná

(A) 2x + 5.(B) 2x2 + 5.(C) 2x2 − 2x + 5.(D) 2x2 + 10x + 5.

8. Ktorý z uvedených výrazov je nesprávne upravený?

(A) 4g5 −[−2g5 − (g4 − 4g5)− 8g5

]− 2g4 = 10g5 − g4

(B) (7a3 − 4a4)− (a2 − 4a4) + (8a3 − 2a2) = 15a3 − 3a2

(C) (2x2 + 5y2) + (2x− 5y2)− (x2 + 2x) = 2x2

(D) 4b + 2a− [(5b− a) + (2a− 3b)] = 2b + a

9. Výraz a2 − 2ab + b2

a2 − b2· a2 + ab

a− b, ak a 6= ±b, sa dá upraviť na tvar

(A) a.

(B) 1a

.

(C) a

a− b.

(D) a · (a + b).

10. Ak k dvojnásobku súčtu čísel x, y pridáme trojnásobok ich rozdielu, dostaneme

(A) 5x− y.(B) 5x + 5y.(C) 5x + y.(D) 5x− 5y.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

60 2. KAPITOLA


1. Určte hodnotu výrazu pre čísla uvedené v zátvorkách:

(2t− 1,3) · s (t = 5,2; s = 8)

2. Doplňte chýbajúci člen tak, aby platila rovnosť.

(3y + 5)2 = 9y2 + HH + 25

3. Zo vzorca % =m

Vvyjadrite objem V .

4. (2xy + xz)− (3yz + 10xz)− (−xy + 3yz) =

(A) xy − 9xz

(B) 3xy − 9xz + 6yz

(C) xy + 11xz − 6yz

(D) 3xy − 9xz − 6yz

5. Ktorý z nasledujúcich zápisov je nepravdivý?

(A) 39x2 − 78x5 + 117x4 = 39x2 · (1− 2x3 + 3x2)

(B) 12a3 − 6a2 + 9a = 3a · (4a2 − 2a + 3)

(C) 3ab− 12ac = −3a · (4c− b)

(D) 6x3 − 18x2y = 6x2 · (x− 3xy)

6. Výraz 5x2 − 5y2

25x2 − 50xy + 25y2, ak x 6= y, sa dá upraviť na tvar

(A) x + y

5x− 5y.

2. KAPITOLA 61

(B) 5 · (x + y)x− y

.

(C) x− y

5 · (x + y).


7. Dĺžka jednej strany obdĺžnika je 3x− 2y, dĺžka druhej strany je x− y. Obvod obdĺžnika je

(A) 8x− 2y.(B) 8x− 6y.(C) 8x + 2y.(D) 8x + 6y.

8. 13y2 − (3y + 6y2)− (−5y) + (−7y2) =

(A) 2y

(B) 8y2 − 2y

(C) 3y2 + 2y

(D) 12y2 + 2y

9. V ktorom zápise neplatí rovnosť?

(A) (2x− 1) · (3x + 1) = 6x2 − x− 1

(B) (4− b2) · (2 + b2) = 8 + 2b2 + b4

(C) (5 + 3z) · (−1− 3z) = −5− 18z − 9z2

(D) (k + 2l) · (k − 2l) = k2 − 4l2

10. Pre ktoré reálne čísla x je výraz 2− x

3kladný?

(A) Pre x > 0.(B) Pre x < 2.(C) Pre x > 2.(D) Pre x = 2.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

62 2. KAPITOLA


1. Upravte výraz x2 − y2

2xy: (x + y); ak x 6= 0, y 6= 0, x 6= −y.

2. Určte hodnotu výrazu pre čísla uvedené v zátvorke:

(u + v) · (u− v)(

u =35; v =

12

)

3. Zapíšte pomocou výrazu a potom zjednodušte: K rozdielu čísel 10 a 8b pripočítajte súčet čísel14 a 5b.

4. Výraz a2 − 4a

a2 − 4:4− a

a− 2; ak a 6= ±2, a 6= 4; sa dá upraviť na tvar

(A) − a

a + 2.

(B) a

a− 2.

(C) a

a + 2.

(D) − a

a− 2.

5. Ktorý výraz treba doplniť miesto ∗, aby platila rovnosť 2a + b

a− b=

∗a2 − b2

?

(A) 2a2 − ab− b2

(B) 2a2 + 3ab + b2

(C) a + b

(D) 2a2 − ab + b2

6. Zo vzťahu 1R

=1

R1+

1R2

pre R1 platí

(A) R1 =R2 −R

RR2.

2. KAPITOLA 63

(B) R1 =R−R2

R2 + R.

(C) R1 =RR2

R2 −R.

(D) R1 =RR2

R2 + R.

7. Výraz [x− (y − z)]− [(x− y)− z] sa po úprave rovná

(A) 2y.(B) 2z.(C) −2y.(D) −2z.

8. Výraz x− 3x3 − x

nemá zmysel, ak

(A) x = 3.(B) x = 0.(C) x = 0 alebo x = 1 alebo x = −1.(D) x = 0 alebo x = 1.

9. Obsah obdĺžnika je S = 3x2 + 9x, jedna strana je x. Aký je obvod tohto obdĺžnika?

(A) 5x + 9

(B) 8x + 9

(C) 4x + 9

(D) 8x + 18

10. (x + 1)2 − (x− 3)2 =

(A) −4x + 10

(B) 8 · (x− 1)

(C) 10

(D) −4x + 4

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

64 2. KAPITOLA


1. Aký výraz musíte pripočítať k výrazu 4y2 + 2y − 3, aby ste dostali výraz 6y2 − 4y − 6?


b, ak a = −1

4; b =

32

?

3. Určte hodnotu výrazu pre čísla uvedené v zátvorke:

6x− 2y

7(x = −5; y = −1)


20−√

5)2 sa rovná

(A) 5.(B) 15.(C) 25.(D) 10.

5. Rozdielom výrazov 2x− 7 a 11x + 3 je výraz

(A) 9x− 4 .(B) 13x− 4.(C) −9x− 10.(D) 9x + 10.

6. Výraz 3a + 6a− 2

:(

2 +a2 + 4a− 2

), ak a 6= 0; a 6= ±2, sa dá upraviť na tvar

(A) 3 · (a− 2)a

.

(B) 3 · (a− 2)a + 2

.

(C) 3 · (a + 2)a

.

(D) 3a

.

2. KAPITOLA 65

7. Ktorá z uvedených podmienok platí pre výraz 16− y2

xy + 4y − 4x− 16?

(A) x 6= 0 y 6= 0(B) x 6= 4 y 6= −4(C) x 6= −4 y 6= 4(D) x 6= 4 y 6= 4

8. Obsah obdĺžnika je S = 4x2 − x, jedna strana je x. Aký je obvod tohto obdĺžnika?

(A) 10x− 1

(B) 5x− 1

(C) 10x− 2

(D) 4x2 + x

9. Pre ktoré x reálne čísla je výraz 2− 6x

3nezáporný?

(A) x =13

(B) x 5 3

(C) x 513

(D) x = 3

10. (2x + y)− (3z + 8y)− (x− 3z) =

(A) 3x + 9y

(B) x− 6z − 7y

(C) x + 9y

(D) x− 7y

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

66 2. KAPITOLA


1. Zjednodušte výraz a2 + a

b− 3· b2 − 6b + 9

a3 − a; ak b 6= 3, a 6= 0, a 6= ±1.

2. Zjednodušte výraz (5x+2y−4)− (2x+3y +2)+(7−6x) a vypočítajte jeho hodnotu pre x =13

,y = −2.

3. Obsah rovinného obrazca na obrázku je 99 m2. Aký je jeho obvod?

(A) 50 m

(B) 56 m

(C) 53 m

(D) 51 m

x

3

x + 2

x

5alkfdjdkagjeo

4. Výraz (4a− 1)2 sa rovná

(A) 4a2 + 1.(B) 4a2 − 1.(C) 16a2 − 8a + 1.(D) 16a2 − 1.

5. Pre ktoré čísla x zlomok x

(2− x) · (x + 3)nemá zmysel?

(A) Pre x = 0 alebo x = −3.(B) Pre x = 0 alebo x = 2.(C) Pre x = 0 alebo x = 2 alebo x = −3.(D) Pre x = 2 alebo x = −3.

6. Základňa a vyjadrená zo vzorca pre obsah lichobežníka S =(a + c) · v

2je

(A) a =v

v · c− 2 · S.

(B) a =v

2 · S − v · c.

2. KAPITOLA 67

(C) a =v · c− 2 · S

v.

(D) a =2 · S

v− c.

7.(3x3 − 2y2

)2 =

(A) 6x6 − 6x3y2 + 4y4

(B) 9x5 − 6x3y2 + 4y4

(C) 9x6 − 6x3y2 + 4y2

(D) 9x6 − 12x3y2 + 4y4

8. Určte číslo x, pre ktoré nadobúda výraz 2x2 − 7212− 2x

hodnotu 2. (Výraz najskôr upravte.)

(A) 4(B) −8

(C) −4

(D) 8

9. Pre ktoré x sa hodnota zlomku (2x + 6) · (x2 − 3x)9− x2

rovná nule?

(A) Pre x = 0.(B) Pre x = 3.(C) Pre x = 3 alebo x = −3.(D) Pre x = −3 alebo x = 3 alebo x = 0.

10. Na ktorý z uvedených súčinov sa dá rozložiť výraz 2 · (a− 3) + b · (3− a)?

(A) (a− 3) · (2 + b)

(B) (2− b) · (a− 3)

(C) 2− b · (a− 3)

(D) (−a− 3) · (2− b)

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

68 2. KAPITOLA


1. V množine celých čísel riešte rovnicu: x2 = 16 + (x− 2)2

2. Doplňte chýbajúci člen tak, aby platila rovnosť:

300000 −4x2 = (2x + 5y) · (5y − 2x)

3. Výraz (x− 2y)2 + (2x + y)2 − 2 · (x + y) · (x− y) sa dá upraviť na

(A) −2y2 + 7x2.(B) 4x2 − 2y2 − 2xy.(C) 3x2 + 7y2.(D) −2x2 + 4y2.

4. Hodnota výrazu x2 − xy

y2 − xy; ak x 6= y, y 6= 0; sa pre x = −2 a y = 3 rovná

(A) 49

.

(B) 215

.

(C) −23

.

(D) 23

.

5. Ktorá z rovností neplatí?

(A) x2 − 16 = (x− 4) · (x + 4)

(B) 4 + 8x + x2 = (2 + x)2

(C) x2 − 10x + 25 = (5− x)2

(D) 9x2 − 4y2 = (3x− 2y) · (3x + 2y)

6. Na ktorý z uvedených súčinov sa dá rozložiť výraz 81x2 − 4y2z2?

(A) (9x− 2yz) · (9x− 2yz)

(B) (9x + 2yz) · (2yz − 9x)

(C) (9x− 2yz) · (9x + 2yz)

(D) (9x + 2yz) · (9x + 2yz)

2. KAPITOLA 69

7. Dvaja bratia, Peter a Pavol, vážia spolu 84 kg. Peter je ťažší od Pavla o p kilogramov. Koľkokilogramov váži Pavol?

(A) 842− p

(B) 42− p

2

(C) 42− p

2(D) 42− p

8. Výraz(

1− x

x− 2y

):(

x2

4y2 − x2+ 1)

; ak x 6= ±2y, y 6= 0; sa dá upraviť na tvar

(A) −2y + x

2y.

(B) −2y + x

2y.

(C) 2y − x

2y.

(D) 2y + x

2y.

9. Koľkokrát je väčší súčet výrazov 1 + x

ya 1 + x

xyako ich súčin?

(A) 1x

-krát

(B) (x + 1)-krát(C) y-krát

(D) 1y

-krát

10. Pre ktoré reálne číslo x sa hodnota výrazu

14x− 2

x− 1rovná nule?

(A) Pre 0.(B) Pre 8.(C) Pre 1.

(D) Pre 12

.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

70

P

71

Kapitola 3

Lineárna funkciaPriama a nepriama úmernosť

72 3. KAPITOLA


1. V pravouhlej sústave súradníc znázornite obdĺžnik ABCD, ak poznáte súradnice vrcholov A[2; 0],B[6; 4], D[−1; 3]. Určte súradnice vrcholu C.

2. Výpočtom zistite, či body A[2; −3], B[2,6; 5], C[1,4; 2,1] ležia na grafe priamej úmernostiy = 1,5x, keď platí 0 5 x 5 2.

3. V jednej sústave súradníc zostrojte nasledujúce grafy priamej úmernosti:

a) y = x pre x ∈ {0; 1; 2; 3}

b) y = 2,5x pre x ∈ {0; 1; 2}

c) y = 0,5x pre x ∈ {0; 2; 4; 6}

4. Priama úmernosť je daná tabuľkou. Napíšte rovnicu priamej úmernosti a doplňte tabuľku.

y 8

x 0,1 0,2 0,5 0,8

5. Podľa grafov určte koeficienty a zapíšte rovnice priamych úmerností.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

a)b)

c)

d)

y

1

2

3

4

6. Pomocou obrázka určte:

a) súradnice vrcholov,

b) obvod obdĺžnika ABCD,

c) obsah obdĺžnika ABCD,

d) dĺžku uhlopriečok,

e) vzdialenosť bodu D od začiatku sústavy súradníc 0.

3. KAPITOLA 73

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

3

4

y

A B

CD

j = 1 cm

7. Je daná rovnica nepriamej úmernosti y =84x

. Zostavte tabuľku hodnôt x a y

pre x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 12}.

8. V rovnici nepriamej úmernosti y =k

xvypočítajte koeficient k, ak

a) x = 3, y = 2,b) x = 10, y = 0,1.

9. Zostrojte vo vhodnej mierke graf a tabuľku nepriamej úmernosti y =5x

pre x ∈ {0,5; 1; 2; 5; 10}.

10. Graf nepriamej úmernosti prechádza bodom A[1; 4]. Zapíšte jej rovnicu a zostavte tabuľkunepriamej úmernosti pre x ∈ {2; 4; 5}.

11. Železničná trať má na priamom úseku dlhom 25 km rovnomerné stúpanie 45 m. Určte, koľko-metrové stúpanie má trať na 5., 10., 15. a 20. kilometri.

12. Obdĺžnik obsahu 36 cm2 má dĺžku x a šírku y.

a) Napíšte rovnicu závislosti šírky obdĺžnika od jeho dĺžky pri tom istom obsahu.b) Zostavte tabuľku pre x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10}.

13. Aká je rovnica priamej úmernosti, ak jej graf prechádza bodom A[4; 6]?

14. Ktorá z uvedených rovníc nie je rovnicou priamej úmernosti?(A) y = 3x

(B) y = x

(C) y =12x

(D) y =2x

74 3. KAPITOLA

15. Ktorý z uvedených bodov neleží na grafe priamej úmernosti y = 0,4x?

(A) K[2; 0,8]

(B) L[4; 16]

(C) M [0; 0]

(D) N [10; 4]

16. Zostrojte v pravouhlej súradnicovej sústave grafy nasledujúcich lineárnych funkcií:

a) y = 3x− 2

b) y = −3x + 2

c) y =15x− 2

d) y = 2x +12

e) y = 5x

f) y = −4x

17. Doplňte chýbajúcu súradnicu bodov, ktoré ležia na grafe lineárnej funkcie y = 2x + 1:

a) A [2; y]

b) B[4; y]

c) C[−2; y]

d) D[−3; y]

e) E

[−1

2; y

]

f) F

[23; y

]18. Doplňte chýbajúcu súradnicu bodov, ktoré ležia na grafe lineárnej funkcie y = 2x− 7:

a) A[x; −7]

b) B[x; −1]

c) C[x; −9]

d) D[x; 1]

e) E

[x; −1

2

]f) F [x; 0]

19. Zistite, ktorý z nasledujúcich bodov leží a ktorý neleží na grafe lineárnej funkcie y =12x− 2.

a) A[−2; −4]

b) B[2; −1]

c) C

[23; −5

3

]d) D[4; 1]

e) E

[32; −5

4

]f) F

[27;

157

]20. Vypočítajte číslo q v lineárnej funkcii y = 3x + q, ak jej graf prechádza bodom:

a) A[0; −2]

b) B[3; 4]

c) C[−3; −5]

d) D[1; 3]

e) E

[13;

43

]

f) F

[−2

3; −13

5

]

3. KAPITOLA 75

21. Určte číslo k v lineárnej funkcii y = kx− 2, ak jej graf prechádza bodom:

a) A[1; −4]

b) B[2; 4]

c) C[−3; −5]

d) D

[12; 4]

e) E[1; 0]

f) F

[−1

2;

14

]22. V ktorom bode pretína daná lineárna funkcia os x?

a) y = 3x− 2

b) y = 4x + 1

c) y = 5x

d) y = −2x + 3

e) y =12x− 2

3

f) y = −5x− 52

23. V ktorom bode pretína daná lineárna funkcia os y?

a) y = 4x− 3

b) y = 3x− 13

c) y = 4− 3x

d) y = 3x + 2

e) y = −2x

f) y = −23− 1

3x

24. Ktorá z daných lineárnych funkcií je rastúca a ktorá je klesajúca?

a) y = 3 + 5x

b) y = 0,2x− 1

c) y = 2− 3x

d) y = 0,3− 0,2x

e) y = −5x

f) y = −0,5 + 0,1x

25. V tabuľke sú zapísané niektoré hodnoty lineárnej závislosti. Doplňte čísla v tabuľke a napíšterovnicu lineárnej funkcie, ktorá patrí k tabuľke:

a) dsladkf;sldfk;sdlfk

x

y 5 8

1 2 3 4 5

b)dsladkf;sldfk;sdlfk

x

y 5 7

1 2 3 4 5

c)dsladkf;sldfk;sdlfk

x

y 7 11 15

2 3 4 5 6

d)dsladkf;sldfk;sdlfk

x

y 0 3

0 1 3 4 5

e)dsladkf;sldfk;sdlfk

x

y 60 30 0

−4 2

f)dsladkf;sldfk;sdlfk

x

y 5 4185

3 −2

76 3. KAPITOLA

26. Vypočítajte súradnice priesečníka P grafov lineárnych funkcií. Úlohu riešte aj graficky.

a) y = −x + 5y = 2x− 1

b) y = 8− x

2y = −3x + 18

c) y =x + 7

3y = 4x− 5

d) y = −32x

y = −23x +

53

e) y = 2x− 6

y =4x− 3

2

f) y = 3x− 2

y =6x− 4

2

27. Určte rovnicu lineárnej funkcie, ktorá prechádza bodmi:

a) A[−3; −2], B[4; 5]

b) A[1; 3], B[2; −4]

d) A[2; 3], B[4; 4]

e) A[−2; 7], B[4; −8]

c) dsladkf;sldfk;sdlfk

-2 0

-3

y

x

f) dsladkf;sldfk;sdlfk

0 5

2

y

x

28. Doplňte do tabuľky chýbajúce súradnice bodov grafu funkcie y = 5− 3x.

x

y 4

312

29. Daná je funkcia y =2− x

5.

a) Narysujte graf tejto funkcie.b) Určte súradnice priesečníkov grafu funkcie s osami x, y.c) Aká je hodnota funkcie pre x = −13?d) Pre aké x nadobúda funkcia hodnoty menšie ako 5?e) Zistite, či body A[−3; 1], B[3; −5] patria do grafu tejto funkcie.f) Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú priesečníky grafu s osami x a y a začiatok

súradnicovej sústavy (počítajte v cm).

3. KAPITOLA 77

dsladkf;sldfk;sdlfk

78 3. KAPITOLA


1. Zásoba potravín vystačí 6 turistom na 15 dní. Na koľko dní im vystačia potraviny, ak jedenturista pre chorobu ostal doma?

2. Aká je chýbajúca súradnica bodu A

[−3

4; y

], ak leží na grafe funkcie y =

23x + 1?

3. Určte číslo q, ak lineárna funkcia y = kx + q prechádza bodmi A [1; 3] a B[−2; 9].

4. V pravouhlej sústave súradníc vyznačte body A [−1; −2], B [4; −2], C [4; 3], D [−1; 4].Aký rovinný útvar vznikne, ak body pospájate?

(A) Obdĺžnik.

(B) Lichobežník.

(C) Štvorec.

(D) Kosoštvorec.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1234

-1-2

y

x

5. Určte, ktorá z uvedených rovníc nie je rovnicou priamej úmernosti.

(A) y = 0,5x

(B) y =35x

(C) y =3x

(D) y = x

6. Súradnice priesečníka grafu funkcie y =2x

3− 2 s osou x sú

(A) [0; 2].(B) [0; −2].(C) [3; 0].(D) [−3; 0].

3. KAPITOLA 79

7. Ktorý z nasledujúcich bodov neleží na grafe lineárnej funkcie y = 4x− 3?

(A)[23; −1

3

](B)

[−1

2;−1

](C)

[14; −2

](D) [2; 5]

8. Z 5 kg zelenej kávy vyrobia 4,25 kg praženej kávy. Koľko kg zelenej kávy museli upražiť, akvyrobili 6,8 kg praženej kávy?

(A) 8 kg(B) 7,05 kg(C) 5,98 kg(D) 5,78 kg

9. Aké súradnice má priesečník P grafov lineárnych funkcií y = 2x− 3 a y = −6x + 5?

(A) P [2; 1]

(B) P [1; −1]

(C) P [−1; −5]

(D) P

[12; −2

]

10. Ktorý z uvedených bodov neleží na grafe nepriamej úmernosti?

(A) [2; 24]

(B) [3; 8]

(C) [5; 4,8]

(D) [6; 4]

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

80 3. KAPITOLA


1. Auto spotrebuje na 100 km 8 litrov benzínu. Koľko litrov benzínu spotrebuje, keď prejde 60 km?

2. Zapíšte rovnicu priamej úmernosti, ktorá prechádza bodom A[1; 3], a doplňte súradnice bodovležiacich na grafe priamej úmernosti K[x; 9], L[2; y].

3. Bod [3; −3] leží na grafe lineárnej funkcie y = −2x + q. Určte číslo q.

4. V tabuľke sú zapísané niektoré hodnoty priamej úmernosti. Ktoré číslo má byť na mieste otáz-nika?

(A) 12(B) 4(C) 28(D) 32

x

y

2

8

5

20

8

?

5. Aké súradnice má priesečník P grafov lineárnych funkcií y = x + 2 a y = 2x− 3?

(A) P [−4; 2]

(B) P [3; 5]

(C) P [5; 7]

(D) P [−3; −1]

6. Ktorý z uvedených bodov leží na grafe lineárnej funkcie y = 2x + 1?

(A)[−3

4; −4

](B)

[−1

2; −2

](C) [−2; −3]

(D) [2; 3]

3. KAPITOLA 81

7. V pravouhlej sústave súradníc vyznačte body A[−3; −1], B[3; −1], C[0; 3], D[−2; 3]. Aký ro-vinný útvar vznikne, ak body pospájate?

(A) Obdĺžnik.

(B) Lichobežník.

(C) Štvorec.

(D) Kosoštvorec.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1234

-1-2

y

x

8. Rozhodnite, ktorá z uvedených rovníc nie je rovnicou priamej úmernosti.

(A) y = −2x

(B) y =x

2

(C) y = −13x

(D) y =2x

9. Usušením 3 kg čerstvých sliviek sme získali 750 g sušených sliviek. Koľko kg čerstvých sliviektreba usušiť, aby sme získali 1,5 kg sušených sliviek?

(A) 4 kg(B) 6 kg(C) 5 kg(D) 7 kg

10. V ktorom bode pretína graf lineárnej funkcie y = −3x + 6 os y?

(A) [−2; 0]

(B) [2; 0]

(C) [0; −6]

(D) [0; 6]

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

82 3. KAPITOLA


1. Zapíšte rovnicu priamej úmernosti, ktorej graf prechádza bodom A[3; 18].

2. Leží bod A

[45;

15

]na grafe lineárnej funkcie y =

12x− 3

5?

(A) Áno.(B) Nie.

3. Auto idúce priemernou rýchlosťou 80 km/h spotrebuje 8 l benzínu na 100 km. Koľko litrovbenzínu spotrebuje, ak prejde 240 km?

4. V ktorej z uvedených možností je správne zapísaná rovnica grafu nepriamej úmernosti prechá-dzajúceho bodom A[7; 1]?

(A) y = 7x

(B) y = x− 7

(C) y =7x

(D) y =x

7

5. Graf ktorej rovnice je znázornený na obrázku?

(A) y = 4x

(B) y =x

4

(C) y = x + 3

(D) y =4x

0 1 2 3 4 5 x

1234

y

6. Ktorá z uvedených funkcií nie je lineárnou funkciou?

(A) y =3x

(B) y =x

3(C) y = 3x

(D) y =3 + x

3

3. KAPITOLA 83


(A) y = −32x− 3.

(B) y =23x− 3.

(C) y = −23x− 2.

(D) y =32x− 3.

-2

-3

0

8. Murárske práce majú podľa plánu 8 murári splniť za 25 dní. O koľko viac murárov musí pracovať,aby práca bola splnená o 5 dní skôr?

(A) O 10 viac.(B) O 2 viac.(C) O 4 viac.(D) O 6 viac.

9. Graf lineárnej funkcie y = k · x + 2,4 prechádza bodom M [2,4; 12]. Číslo k sa rovná

(A) −4.(B) 2,4.(C) 6.(D) 4.

10. V rovnici priamej úmernosti y = kx, ak x = 0,5 a y = 4, má koeficient k hodnotu

(A) 2.(B) 8.(C) 0,8.(D) 0,2.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

84 3. KAPITOLA


1. Aká je chýbajúca súradnica bodu B [x; −2], ak leží na grafe funkcie y =25x− 3?

2. Jeden robotník by vykonal určitú prácu za 45 dní. Určte, ako závisí čas potrebný na prácu odpočtu robotníkov rovnakej výkonnosti.

3. Koľko litrov benzínu spotrebuje auto na 100 km, ak na 37,5 km spotrebovalo 3 litre a na 75 km6 litrov?

4. Výpočtom zistite, ktorý z uvedených bodov neleží na grafe nepriamej úmernosti y =3x

.

(A) [0,5; 6]

(B) [9; 3]

(C) [3; 1]

(D) [6; 0,5]

5. Aká je rovnica priamej úmernosti, ktorej graf prechádza bodom A = [3; 1]?

(A) y = 3x

(B) y = x + 3

(C) y =3x

(D) y =x

3

6. Ktorý z bodov C

[56; 11

], D

[23; −1

]leží na grafe lineárnej funkcie y = −3x + 1?

(A) Na grafe funkcie leží len bod C.(B) Na grafe funkcie neleží ani jeden z uvedených bodov.(C) Na grafe funkcie ležia obidva body.(D) Na grafe funkcie leží len bod D.

3. KAPITOLA 85

7. Ktorá z uvedených funkcií je lineárnou funkciou?

(A) y =1x

+ 4

(B) y =2x− 1

x

(C) y =x + 4

3(D) y = 3x2 + 2

8. Peter rúbe drevo. Keby denne rúbal pol hodiny, práca by mu trvala 9 dní. Peter však potrebujeprácu skončiť o 3 dni skôr. Koľko minút musí denne rúbať?

(A) 40 minút(B) 60 minút(C) 33 minút(D) 45 minút

9. Aký je plošný obsah štvorca KLMN , ktorého vrcholy sú dané súradnicami K[2; 3], L[4; 3],M [4; 5], N [2; 5]? (Počítajte v cm.)

(A) 2 cm2

(B) 4 cm2

(C) 6 cm2

(D) 8 cm2

10. Ktoré z nasledujúcich tvrdení je nepravdivé?

(A) Lineárna funkcia y = 3x prechádza začiatkom súradnicovej sústavy.(B) Lineárna funkcia y = −3x− 1 je klesajúca.(C) Grafom lineárnej funkcie je priamka.(D) Graf lineárnej funkcie y = −3x− 1 prechádza bodom [0; 1].

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

86 3. KAPITOLA



[49;

43

]?

2. Napíšte rovnicu výkonu tkáčky závislého od počtu zmien, keď za zmenu natká 12,5 m látky.

3. Bod [−2; 5] leží na grafe lineárnej funkcie y = kx + 3. Určte číslo k.

4. Graf ktorej rovnice je znázornený na obrázku?

(A) y = 2x

(B) y = x + 2

(C) y =2x

(D) y =x

2

0 1 2 3 4 5 6

1234

y

x

5. Výpočtom zistite, ktorý z uvedených bodov neleží na grafe nepriamej úmernosti y =4x

.

(A) K[2; 2]

(B) L[1; 4]

(C) M [8; 10]

(D) N [0,8; 5]

6. V ktorom bode pretína graf lineárnej funkcie y = −2x− 3 os x?

(A) [0; −3]

(B)[12; 0]

(C)[−3

2; 0]

(D)[32; 0]

3. KAPITOLA 87

7. Bod P [p; 1] je priesečníkom grafov lineárnych funkcií y = 7 − 3x a y = kx + 2. Pre čísla p a kplatí

(A) p = 2; k =12

.

(B) p = 2; k = −12

.

(C) p = 4; k = −14

.

(D) p = 2; k =32

.

8. V pravouhlej sústave súradníc vyznačte body E[−1;−1]; F [5;−1]; G[4; 1]; H[−2; 1]. Aký rovinnýútvar vznikne, ak pospájate body?

(A) Štvorec.

(B) Obdĺžnik.

(C) Lichobežník.

(D) Kosodĺžnik.

0 1

y

x

9. Lineárna funkcia, na grafe ktorej ležia body A[−2; 7] a B[3; −3], má tvar

(A) y = −3x + 1.(B) y = −2x− 3.(C) y = −2x + 3.(D) y = −3x + 6.

10. Ktorá z lineárnych funkcií je klesajúca?

(A) y =3x + 1

2(B) y = −0,2 + 0,3x

(C) y =−1 + 3x

2

(D) y =−4 + x

−3

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

88 3. KAPITOLA


1. Leží bod B

[−3

5; −1

]na grafe lineárnej funkcie y =

13x− 4

5?

(A) Áno.(B) Nie.

2. Spotreba benzínu v litroch podľa počtu prejdených kilometrov je daná funkciou y = 0,08x. Koľkokilometrov prešlo auto, ak spotrebovalo 2,4 l benzínu?

3. V ktorej z uvedených možností je správne zapísaná rovnica grafu priamej úmernosti prechádza-júceho bodom A[3; 1]?

(A) y = 3x

(B) y = x− 3

(C) y =x

3

(D) y =3x

4. Aká je druhá súradnica bodu A

[253

; y

], ak leží na grafe lineárnej funkcie y = −2x− 3?

(A) −593

(B) 413

(C) −413

(D) 593

5. Osemnásť turistov má zásobu potravín na 6 dní. Na koľko dní by pri rovnakej spotrebe vystačilatá istá zásoba potravín pre 12 turistov?

(A) Na 4 dni.(B) Na 8 dní.

(C) Na 9 dní.(D) Na 12 dní.

6. V rovnici nepriamej úmernosti y =k

x; ak x = 4 a y = 0,2; koeficient k má hodnotu

(A) 2.(B) 8.(C) 0,8.(D) 20.

3. KAPITOLA 89

7. Lineárna funkcia y = ax + b je daná bodmi A[−1; 7] a B[2; 2]. Potom platí:

(A) Lineárna funkcia je daná rovnicou y =163

x− 53

.

(B) Lineárna funkcia je klesajúca a pretína os y v bode 5.(C) Lineárna funkcia je klesajúca a pretína os x v bode 3.

(D) Lineárna funkcia je daná rovnicou y = −53x +

163

.

8. V tabuľke sú zapísané niektoré hodnoty priamej úmernosti. Ktoré číslo má byť na mieste otáz-nika?

(A) 40(B) 0,4(C) 8(D) 13

y 1 0,5 4

x 10 5 ?

9. Aký je plošný obsah trojuholníka KLM , ak je daný bodmi so súradnicami K[1; 2], L[5; 6],M [1; 6]? (Počítajte v cm.)

(A) 8 cm2

(B) 10 cm2

(C) 14 cm2

(D) 16 cm2

10. Ktorá z uvedených lineárnych funkcií je rastúca?

(A) y = 0,5− 2x

(B) y = −4 + 3x

(C) y = 4− 0,3x

(D) y = −4x + 0,2

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

90

P

91

Kapitola 4

Lineárne rovnice a nerovniceSústavy lineárnych rovnícSlovné úlohy

92 4. KAPITOLA


1. Dosadením do rovnice zistite, ktoré číslo z čísel uvedených v zátvorke je jej koreňom:

a) 4 · (3 + x)− 2 = 2 · (2− x) (0; 1;−1; 2)

b) 8 · (2x− 1)− 3 · (2x− 1) = x + 4 (0; 1;−1; 2)

2. Riešte rovnice a urobte skúšky správnosti:

a) 25− 10 · (3x− 5) = 60− 15x

b) 13− (x + 18) = 2 · (x− 1) + 3 · (x + 1)

c) 13x− (8x + 1) + (2x− 19) = 22

d) 3x− (6x + 2)− (2x + 1) = x + 9


a) 0,1− (5− 2,32x) = 6,42x− 9

b) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x

c) 10,5x− (2,1 + 3,5x) = 4,9

d) 0,4x + 1,3x− 2 = 18,4

4. V rovnici �x + 6 = 7x je číslo pri neznámej x zakryté. Riešením tejto rovnice je číslo 3.Aké číslo je zakryté?

5. Vypočítajte:

x + 12

− x− 16

= 2

6. Riešte rovnicu a urobte skúšku správnosti:

−3 ·(

d

3+ 1)− 2 = 4 · (1− d)

7. Riešte rovnicu v množine reálnych čísel:

x +4− x

2= 3− x− 2

3

8. Riešte rovnice a výsledky overte skúškou správnosti:

a) 2x +1− x

4=

154

b) 3− x + 22

= 5− x

c) 5x

4− 30− 3x

4=

12

d) 3x + 2− 5x

−2− (1 + 2x) = −1

4. KAPITOLA 93

9. Pre ktoré číslo x sa hodnota výrazu

a) x− 94

rovná 8?

b) x

3rovná výrazu 1 +

x

4?

10. Riešte rovnice a výsledky overte skúškou správnosti:

a) 5x

8− x

2= 2 +

3x

8

b) 5− x

3=

3x

2− x

c) 13

+x

2=

54x− 3− x

3

d) x + 34

− 2 =x− 4

5


a) (2x− 5) · (3− x) + 2x2 = 9x + 1

b) y · (y + 3) + y · (5− y) = −32

c) 5 · (z − 1) · (7 + z) = 5z2 + 25z + 5

d) 2 · (a− 1)2 − 2a · (a− 5) = −10

12. Vyjadrite z uvedených vzorcov ostatné premenné:

a) V = a · b · cb) S = a · bc) S = πr2

d) V = πr2v

13. Aká je hmotnosť telesa, ktorého objemová hmotnosť je 7,8g

cm3a objem je 5 cm3? Hmotnosť

najskôr vyjadrite zo vzťahu % =m

Va potom počítajte.

14. Teplo prĳaté telesom pri tepelnej výmene vypočítame podľa vzťahu Q = mc (t2−t1). Zo vzťahuvyjadrite:

a) teplotu t1,b) teplotu t2,c) hmotnosť m.

15. Ktorá z nasledujúcich rovností má práve jedno riešenie?

(A) 5y − 4 = 5y

(B) 17y = 7y + 10

(C) 4 · (x− 1) = (2x− 5) · 2 + 6

(D) 3x

2= 1,5x + 2

94 4. KAPITOLA

16. Ktorá z uvedených rovníc má riešenie číslo 2?

(A) 14− x

2= 10

(B) 5y − 9 = 7y − 13

(C) 17 = 3 · (5− a) + 7

(D) y

2= 5

17. Dosadením do rovnice zistite, ktoré z uvedených čísel je koreňom rovnice 5 ·(3−x) = −2 ·(x−3).

(A) −3

(B) 1

(C) 0

(D) 3

18. Riešením rovnice 2x− (8x− 1)− 5 · (2 + x) = 9 je

(A) −4.

(B) 1811

.

(C) −1811

.

(D) −2011

.

19. Riešením rovnice 83x + 2 = 1 + 4x− 4

3x

(A) nie je žiadne reálne číslo.

(B) je 0.

(C) je 1.

(D) je každé reálne číslo.

20. Koreňom rovnice 3x− 1− 1− x

5= 0 je

(A) x = 1.

(B) každé reálne číslo.

(C) x =38

.

(D) x =12

.

21. Rozhodnite dosadením, či číslo 12 je riešením rovnice 23x− 1 =

34x− 2.

(A) Áno.

(B) Nie.

4. KAPITOLA 95

22. Ktoré číslo je koreňom rovnice 2 · (x− 1)− 3 · (x− 2) + 4 · (x− 3) = 2 · (x + 5)?

(A) 18

(B) 25

(C) 30

(D) Žiadna z uvedených možností.

23. Riešením rovnice 5x + 32

− 6 =8− 3x

4

(A) je x ∈ R.

(B) je x = 2.

(C) je x ∈ �.


24. Na číselnej osi sú znázornené všetky čísla, ktoré vyhovujú nerovnici

(A) −1 < x 5 2.

(B) −1 < x < 2.

(C) −1 5 x 5 2.

(D) −1 5 x < 2.

-1 0 1 2

;slfgk;dlfkg;alkf;glka;g;slfgk;dlfkg;alkf;glka;g;slfgk;dlfkg;alkf;glka;g

;slfgk;dlfkg;alkf;glka;g




25. Rovnice riešte v množine reálnych čísel, výsledok zapíšte ako zlomok v základnom tvare a urobteskúšku správnosti:

a) 0,24− 0,25x = 0,34

b) 1,36− 0,8x = 2,48

c) 3x− 44x− 3

=32

d) 32x− 2

3x + 3 = 0

26. Rovnice riešte v množine reálnych čísel a urobte skúšku správnosti:

a) x · (3x− 5)4

= 0

b) x

2· x− 1

3· x + 2

9= 0

c) (x + 5) · x

12·(

x− 13

)= 0

d) x · (x− 1) · (x− 2)x− 2

= 0

27. Rovnice riešte v množine celých čísel a urobte skúšku správnosti:

a) 34x− (2x− 5) = 5− 2

3x

b) 1− 4 · (3− 2x)5

= 3x− x + 110

c) x + 12

+x + 2

4+

x + 38

= x

d) x + 43

− x− 44

= 1 +x− 1

2

e) 3x + 12

− x− 15

= x + 0,7

f) 3x

5− x− 2

2= 2− (2x− 6)

96 4. KAPITOLA

28. Rovnice riešte v množine celých čísel a urobte skúšku správnosti:

a) 15x− 3 · {4x− 2 · [4x− 3 · (5− 2x)]} = 351

b) (3− x)2 − 25· (x + 1) = (x− 5) · (x + 5) + 8

c) 2x− 23· (x− 16)− 26

5= 2,8− x + 2

3

d) 32· (x + 2)− 7x− 2

3= 6− 4 · (x + 3)

5

29. Rovnice riešte v množine reálnych čísel, určte podmienky riešiteľnosti a urobte skúšku správnosti:

a) x + 11x− 7

+x + 7x− 11

= 2

b) 25x + 15

=1

x + 3

c) x

x− 4+

x + 4x

= 2

d) 5 +96

x2 − 16=

2x− 1x + 4

− 3x− 14− x

e) 7x

+32

=4x

+53

f) 5x + 48x− 9

=79

g) 9x− 79x + 14

=811

h) x− 3x− 5

=2x + 12x− 5

i) 1x− 2

=1

x− 3+

3x− 13(x− 2) · (x− 3)

j) 5x− 5

+3

x− 3=

34(x− 3) · (x− 5)

30. Rovnice riešte v množine reálnych čísel a urobte skúšku správnosti:

a) 9x + 72

−(

x− x− 27

)= 36

b) x− 17

− x− 235

= 7− 4 + x

4

c) (−2 + x)2 = (x + 1) · (x− 4)− 3x− 62

d) 1x− 2

+2

x + 3=

3x + 1

e)(

23− x

)· (10 + x) = 2− x2

f) 2x− 12· (3x− 2) =

74− x

g) x + 2 · [x− 3 · (x− 4)] = 24− 3x

h) x + 2 · [x− 3 · (x− 4)] = 25− 3x

31. Akým číslom treba nahradiť písmeno A, aby rovnica

a) 12− 2x− 15

= x + A mala koreň x = 8?

b) x

9− A− 2x

3= 1− 2

9− x mala koreň x = 1?

c) 34x + A =

16x mala koreň x = 36?

d) x− 35

+ A =x− 1

3mala koreň x = 58?

e) 5x−A · (x + 1) = 6 mala koreň x = 4,5?

f) x

10+

x

4− x

A=

32

mala koreň x = 10?

4. KAPITOLA 97

32. Riešte nerovnice v R:

a) (x− 2)2 + 4 > x2 − 5x + 4

b) (2x− 1)2 > x · (2x− 3)− (−2x2)

33. Pre ktoré reálne čísla x je hodnota výrazu 4x− 88

väčšia ako hodnota výrazu x− 15

?

34. Vypočítajte, pre ktoré reálne čísla x je výraz 2x− 15

nezáporný.

35. Vypočítajte, pre ktoré reálne čísla s je výraz 10 + 5s

5nekladný.

36. Pre ktoré najväčšie kladné celé číslo m má výraz 3m− 18 zápornú hodnotu?

37. Riešte sústavy rovníc sčítacou metódou:

a) x + y = −23x + 2y = 0

b) 5x + 2y = 292x− 3y = 4

c) 3x + 2y = 45x− 4y = −8

d) 5x− 3y = 42x− 4y = 10

e) x + 32

− y − 23

= 2

x− 14

+y + 1

3= 4

f) x + 15

− 2− y

3= 0

x + 37

− y − 56

= 2

38. Riešte sústavy rovníc dosadzovacou metódou:

a) x + 2y = 33x + 6y = 1

b) x + 4y = 372x + 5y = 53

c) x + y

3+ x = 5

y − y − x

5= 6

d) x + y

3+ x =

53− 2y

y − y − 3x

5= x− 2

e) 5x− 32

− 4y − 35

= x + y

x− 5y − 13

= y − 3x− 14

f) x− 25

+ 4y + 1 = 0

−2x− y − 63

− 8 = 0

98 4. KAPITOLA

39. Riešte sústavy rovníc:

a) 3 · (x− 1) = 2 · (y + 2)x− y

2= 3

b) x + 32

− y − 23

= 2

3 · (x− 1) + 4 · (y + 1) = 30

c) x− 16

+y − 112

= 1

3x− 16

+4y + 3

9= 1

d) 3x− 42

− 2y + 23

= 3

5x− 74

+3y − 3

6= −7

4

40. Ak pripočítame k neznámemu číslu číslo 3, dostaneme práve toľko, ako keď od dvojnásobku tohočísla odčítame 4. Ktoré je to číslo?

41. Žiaci cvičili v radoch. Keď bolo v každom rade 9 žiakov, zvyšovali 2 žiaci. Keby bolo prirovnakom počte radov v každom rade 10 žiakov, bolo by v poslednom rade o 2 žiakov menej.Koľko bolo radov a koľko žiakov?

42. V jednej nádobe je 23 l vody, v druhej 7 l vody. Keď prilejeme do oboch nádob rovnaké množstvovody, potom v prvej nádobe bude dvakrát toľko vody ako v druhej nádobe. Koľko vody prilejemedo každej nádoby?

43. Súčet polovice a štvrtiny čísla je o 21 väčší ako rozdiel jeho tretiny a šestiny. Ktoré je to číslo?

44. Petra sa pýtali, koľko má rokov. Odpovedal: „O 10 rokov budem dvakrát taký starý, ako sombol pred 4 rokmi.” Koľko má Peter rokov?

45. Otec má 52 rokov a jeho synovia 24 a 18 rokov. O koľko rokov bude mať otec toľko rokov akojeho synovia spolu?

46. Matka je trikrát staršia ako jej dcéra. Pred deviatimi rokmi bola matka šesťkrát staršia akodcéra. Koľko rokov má teraz matka a koľko dcéra?

47. Koľko rokov má Katka, ak je od svojej štvorročnej mladšej sestry toľkokrát staršia, koľkokrát jestarší od nej jej 25-ročný brat?

48. Na ihrisko prišlo trikrát viac chlapcov ako dievčat. Z ihriska odišlo 6 chlapcov a 6 dievčat.Potom zostalo na ihrisku päťkrát viac chlapcov ako dievčat. Koľko chlapcov a koľko dievčatprišlo na ihrisko?

49. Daniel si chcel kúpiť horský bicykel. Nasporil si 60 % ceny bicykla, 38

potrebnej sumy mu dalotec a zvyšných 155 korún dostal od babičky. Koľko korún stál bicykel?

4. KAPITOLA 99

50. Vierka prečítala knihu za 4 dni. Prvý deň prečítala tretinu knihy, druhý deň šestinu knihy, tretídeň polovicu zvyšných strán. Štvrtý deň prečítala posledných 30 strán. Koľko strán mala kniha?

51. V autoškole spotrebovali prvý deň 20 % zásob benzínu, druhý deň tretinu zo zvyšku. Tretía štvrtý deň spotrebovali zvyšok, ktorý bol 480 litrov. Koľko litrov benzínu mala autoškolapôvodne?

52. V autobuse je 36 cestujúcich. Žien je o 7 viac než mužov, detí je o 22 menej než dospelých.Koľko mužov, koľko žien a koľko detí je v autobuse?

53. Jedna strana obdĺžnika je o 1,6 cm kratšia ako druhá. Obvod obdĺžnika je trojnásobkom dĺžkyväčšej strany. Aký je obsah tohto obdĺžnika?

54. Cyklista prejde za 1 minútu 300 metrov. Koľko metrov prejde

a) za štvrťhodinu?b) za dve a pol hodiny?

55. Juraj zjedol z pagáčikov o 6 viac, ako bola ich jedna štvrtina. Takto z nich zostalo ešte 60 %.Koľko bolo pagáčikov?

56. 15 % žiakov sa zúčastnilo súťaže Športovec roka. Stanovené podmienky splnilo 20 % zúčastnenýchžiakov, čo je o 582 žiakov menej, ako je počet všetkých žiakov školy. Aký je počet žiakov školy?

57. Čitateľ zlomku je o 2 menší ako menovateľ. Ak sa čitateľ zmenší o 1 a menovateľ sa zväčší o 3,zlomok sa bude rovnať jednej štvrtine. Aký je pôvodný zlomok?

58. Cena pulóvra sa dvakrát zvyšovala, prvýkrát o 15 %, druhýkrát o 10 %. Po druhom zdraženístál pulóver 1 518 korún. Aká bola pôvodná cena pulóvra?

59. Andrej zarobil 1 200 korún, Boris o 20 % viac ako Cyril a Cyril o 30 % menej ako Andrej. Koľkozarobil Boris a koľko Cyril?

60. Súčet dvoch čísel je 45. 6 % prvého čísla sa rovná 9 % druhého čísla. Ktoré sú tieto dve čísla?

61. 45 % Katkiných korún je presne toľko ako 60 % Petriných korún. Koľko korún majú spolu, akich rozdiel je 250 Sk?

62. Účtovník priniesol z banky 15 500 Sk, a to v 179 bankovkách. Časť bola stokorunových a časťdvadsaťkorunových. Koľko bankoviek bolo z každého druhu?

63. Pokladníčka rozmenila zákazníkovi stokorunovú bankovku na 16 mincí, ktoré mali 5- a 10-korunovú hodnotu. Koľko mincí ktorého druhu použila?

100 4. KAPITOLA

64. V turistickej ubytovni je ubytovaných 51 hostí v 15 štvormiestnych a trojmiestnych izbách. Koľkoje ktorých izieb, ak po ubytovaní zostali dve miesta voľné?

65. Z dvoch druhov čajov v cene 150 Sk a 210 Sk za 1 kg sa má pripraviť 20 kg zmesi v cene 165 Skza 1 kg. Koľko kilogramov z každého druhu čaju sa má zmiešať?

66. Koľko litrov 16-percentného a koľko litrov 7-percentného vína treba zmiešať, aby sme dostali 30litrov 10-percentného vína?

67. Zmes dvoch druhov jabĺk predávali po 22 Sk za 1 kilogram. V akom pomere boli zmiešané, akcena jedného druhu je 30 Sk a druhého druhu 20 Sk za jeden kilogram?

68. Na horskej chate majú zásoby jedla pre 15 osôb na 6,5 dňa. Ako dlho im vydržia zásoby, akdvaja hostia neprišli?

69. Adam s Braňom chceli vymaľovať izbu. Ak by ju maľoval Adam sám, trvalo by mu to 4 hodiny.Braňovi by to trvalo 3 hodiny. Koľko by im trvalo vymaľovanie izby, ak by pracovali spolu?

70. Prvý traktorista by sám zoral pole za 15 hodín. Druhý traktorista by výkonnejším traktoromsám zoral to isté pole o 5 hodín skôr. Určte, koľko hodín budú orať toto pole spoločne.

71. Postrekovanie ovocného sadu starým postrekovačom trvá 12 hodín. Postrekovanie novým po-strekovačom trvá len 6 hodín. Koľko hodín by trvalo postrekovanie ovocného sadu, ak by sapoužili súčasne?

72. Vodu zo zatopenej pivnice odčerpajú jedným čerpadlom za 10 hodín. Druhým, výkonnejším, za6 hodín. Aby sa predišlo vážnemu poškodeniu domu, je potrebné vodu odčerpať do 4 hodín.Stihnú odčerpať vodu, ak ju budú odčerpávať obidvoma čerpadlami naraz?

73. Do nádrže vedú dve potrubia. Potrubím A sa nádrž naplní za 35 dní, potrubím B za 50 dní.Jeden deň bolo otvorené len potrubie A, potom otvorili aj potrubie B. Za koľko dní sa nádržnaplnila?

74. Otec by porýľoval celú záhradu za 2 hodiny, synovi by to trvalo 3 hodiny. Otec prišiel synovi napomoc po hodine. Ako dlho musia ešte spolu pracovať, aby bola celá záhrada porýľovaná?

75. Akou priemernou rýchlosťou musel ísť vodič, ak vzdialenosť 182 km prešiel od 8·15 do 10·30 aak počas cesty sa na 15 minút zastavil na čerpacej stanici?

76. Kabína výťahu sa pohybuje rýchlosťou 5 m/s. Za koľko sekúnd vystúpi na 24. poschodie, ktoréje vo výške 70 m?


4. KAPITOLA 101

78. Akú vzdialenosť preletí za 5 minút vojenské stíhacie lietadlo F–15E pri maximálnej rýchlosti3 000 km/h?

79. Za aký čas prejde vodič kamióna 1 700 km priemernou rýchlosťou 85 km/h, ak každé 4 hodinymá 30-minútovú prestávku?

80. Dve lietadlá štartujú v rovnakom čase k cieľu vzdialenému 400 km. Jedno letí rýchlosťou800 km/h, druhé 1000 km/h. O koľko minút neskôr priletí prvé lietadlo pri bezvetrí do cieľa?

81. O aký čas sa stretnú dvaja kamaráti, ktorí vyšli súčasne oproti sebe zo susedných obcí vzdialených14 km, keď jeden z nich ide pešo rýchlosťou 4,5 km/h a druhý na bicykli rýchlosťou 16,5 km/h?

82. Zo stanice vypravili dva vlaky s dvojhodinovým rozdielom. Nákladný vlak šiel rýchlosťou48 km/h a osobný vlak šiel rýchlosťou 60 km/h. O aký čas dohoní osobný vlak nákladný aakú vzdialenosť pritom prejdú?

83. Vypočítajte vzdialenosť medzi cyklistami po 10 minútach jazdy, ak sa po štarte pohybujú rých-losťou 24 km/h a 30 km/h.

84. Za aký čas prejde celý vlak tunelom, ak ide priemernou rýchlosťou 10 m/s? Dĺžka vlaku je 150 ma tunel meria 600 m.

85. Tibor a Laco bývajú 800 m ďaleko od seba. O koľko minút sa stretnú, ak Tibor prejde 45 metrova Laco 55 metrov za minútu? Z domu sa pohli o 14·00 hodine a cestou sa nikde nezastavili.

86. V akej najmenšej vzdialenosti od miesta priechodu pre chodcov musí byť auto, ktoré prichádzarýchlosťou 58 km/h, aby sme bezpečne prešli cez ulicu, ak potrebujeme 10 s na prejdenie?

87. Adam chce chodiť cvičiť do posilňovne, ktorá má nasledujúce cenové tarify:

1. tarifa – za každú hodinu 50 Sk,2. tarifa – paušálne 1000 Sk a za každú hodinu 10 Sk.

Najmenej koľkokrát musí ísť Adam cvičiť, aby bola 2. tarifa výhodnejšia?

102 4. KAPITOLA



x +4− x

2= 3− x− 2

3

2. Dvojnásobok ktorého čísla je o 14 väčší ako najmenšie dvojciferné číslo?

3. Cyklista prejde za hodinu 10 km, osobné auto 60 km. Cyklista šiel 3 hodiny. Ako dlho trvá táistá cesta osobnému autu?

4. Súčin koreňov rovníc 4− (3x− 5) = 27 a 2− 3x + 45

=12

je

(A) −296

.

(B) −367

.

(C) −7.(D) 7.

5. Pre ktoré reálne čísla r je výraz 3r + 17

menší ako 1?

(A) Pre žiadne reálne číslo.(B) Pre všetky reálne čísla.(C) Pre r väčšie ako 2.(D) Pre r menšie ako 2.

6. Obsah lichobežníka je daný vzorcom S =(a + c) · v

2. Potom

(A) a =2S − c

v.

(B) a =2S

v− c.

(C) a = 2S − cv.

(D) a =2S + cv

v.

4. KAPITOLA 103

7. Vodná nádrž sa naplní prvým prívodom za 10 hodín, druhým za 12 hodín a tretím za 15 hodín.Za aký čas sa naplní, ak budú otvorené všetky prívody naraz?

(A) Za 3,3 hodiny.(B) Za 4 hodiny.(C) Za 5 hodín.(D) Za 6,66 hodín.

8. Z B do M je 2 400 km. Akou rýchlosťou letelo lietadlo, ak vzlietlo o 8·00 hod. a pristálo o 10·30hod. v ten deň?

(A) 800 km/h(B) 860 km/h(C) 960 km/h(D) 900 km/h

9. Koreňom rovnice 6 + 7x

3− 5x− 3

6= 2− x + 3

2v množine reálnych čísel je číslo

(A) −12

.

(B) −1.

(C) 56

.

(D) −3.

10. Jana usporila spolu 50 päťkorunových a dvojkorunových mincí. Takto mala 190 Sk. Koľko päť-korunových mincí usporila?

(A) 26

(B) 28

(C) 20

(D) 30

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

104 4. KAPITOLA



6x + 77

− 3 =5x− 3

8

2. Ktoré číslo je o 2 menšie ako jeho tretina?

3. Z miest A a B vyštartovali oproti sebe dva traktory rýchlosťou 40 km/h a 30 km/h. Určte, okoľko hodín sa traktory stretnú a koľko kilometrov prejde dovtedy každý z nich, ak vzdialenosťvýchodiskových miest je 210 km?

4. Riešením rovnice 4x− 53x + 1 =

73x + 1

(A) nie je žiadne reálne číslo.

(B) je 0.

(C) je 1.

(D) je každé reálne číslo.

5. Riešením nerovnice 3y − 2 · (y + 1) + 3 · (1− y) = 0 je

(A) y 5 2,5.

(B) y ∈ R.

(C) y =12

.

(D) y 512

.

4. KAPITOLA 105

6. Pre dráhu vyjadrenú zo vzorca na výpočet priemernej rýchlosti v =s

tplatí

(A) t =s

v.

(B) s =v

t.

(C) s = v · t.(D) t = s · v.

7. Vaňa sa naplní z prvého kohútika za 15 minút, z druhého za 12 minút. Za koľko minút sa naplníoboma kohútikmi súčasne?

(A) 9,6 min(B) 8,4 min(C) 13,5 min(D) 6,66 min

8. Víťaz na 400 m vyštartoval o 8 h 12 min 20 s a dobehol do cieľa o 8 h 13 min 14 s. Jeho priemernárýchlosť bola

(A) 7,2 m/s.(B) 7,4 m/s.(C) 7,6 m/s.(D) 7,8 m/s.

9. Súčet koreňov rovníc x

4+

x

3=

712

a x

10+

x

4− x

5= 1,5 je

(A) 32

.

(B) 10.(C) 2.(D) 11.

10. Jurko nasporil 850 Sk. Keby mal Peter o polovicu a o pätinu viac než má, vtedy by mal toľkopeňazí ako Jurko. Koľko korún má Peter?

(A) 400 Sk(B) 350 Sk(C) 500 Sk(D) 450 Sk

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

106 4. KAPITOLA


1. Riešte rovnicu 34x− 4 =

x

5+ 18 v množine reálnych čísel.

2. V rade stojíme tridsiati siedmi. Predo mnou je trikrát viac ľudí ako za mnou. Ktorý v poradísom ja?

3. Pokladník mal na výdavky 6 000 Sk v 100- a 50-korunových bankovkách. Spolu dostal 88 ban-koviek. Koľko z nich bolo päťdesiatkorunových?

4. Ktorá z uvedených rovníc má riešenie číslo 3?

(A) 10− a

3= 8

(B) 2 · (x + 3) = x + 8

(C) 3x− 5 = 7x− 17

(D) 5x = 3x

5. Pre stranu a vyjadrenú zo vzorca na výpočet obvodu obdĺžnika o = 2 · (a + b) platí

(A) a =o

2− b.

(B) a = 2o− b.

(C) a =o− b

2.

(D) a = (o− b) : 2.

6. Pre ktoré reálne čísla q je výraz 3q − 14

väčší ako 2?

(A) Pre q < 3.(B) Pre q > 3.(C) Pre q < −3.(D) Pre q > −3.

4. KAPITOLA 107

7. Poštové lietadlo letelo z Paríža do Bratislavy 132 minút priemernou rýchlosťou 500 km/h. Akáje vzdialenosť medzi Bratislavou a Parížom?

(A) 1 150 km(B) 1 000 km(C) 1 100 km(D) 1 200 km

8. Traja maliari majú vymaľovať školu. Prvý maliar by prácu vykonal za 5 dní, druhý za 6 dní atretí za 7,5 dňa. Za koľko dní vymaľujú školu, ak budú od začiatku pracovať spoločne?

(A) Za 1,5 dňa.(B) Za 2,5 dňa.(C) Za 3 dni.(D) Za 2 dni.

9. Ak a je riešením rovnice a+4− a

2= 3− a− 2

3a b je riešením rovnice 2 · (b− 4)− 6b = 8, potom

a− b =

(A) 2.(B) −6.(C) 6.(D) −2.

10. Z garáže vyrazilo osobné auto priemernou rýchlosťou 80 km/h a súčasne s ním nákladné autoopačným smerom priemernou rýchlosťou 50 km/h. O koľko hodín budú autá od seba vzdialené195 km?

(A) O 1,5 hodín.(B) O 1,2 hodiny.(C) O 1,4 hodiny.(D) O 1,6 hodín.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

108 4. KAPITOLA


1. Riešte rovnicu 7− (2 + x) = 2 · (x− 5) v množine reálnych čísel.

2. Zlatník predal 5 strieborných náušníc a 2 zlaté náušnice, vcelku za 15 600 Sk. Aká bola cenazlatých náušníc, ak stáli toľko, koľko štyri strieborné náušnice?

3. Tretinou ktorého čísla sú dve pätiny?

4. Ktorá z nasledujúcich rovností neplatí?

(A) x

2+

x

3=

5x

6

(B) 40x

2 · 5= 4x

(C) x− (5 + x) = −5

(D) 10x + 52

= 5x + 5

5. Pre hmotnosť m vyjadrenú zo vzťahu na výpočet objemovej hmotnosti % =m

Vplatí

(A) m =%

V.

(B) m =V

%.

(C) m = % + V .(D) m = % · V .

6. Pre ktoré reálne čísla p je výraz 4p− 35

väčší ako 1?

(A) Pre žiadne reálne číslo.(B) Pre p väčšie ako 2.(C) Pre všetky reálne čísla.(D) Pre p menšie ako 2.

4. KAPITOLA 109

7. Do mesta vzdialeného 27 km vyšiel autobus priemernou rýchlosťou 54 km/h. O 6 minút poodchode autobusu vyšiel za ním z toho istého miesta motocykel. Aká bola priemerná rýchlosťmotocykla, keď došiel do cieľa súčasne s autobusom?

(A) 75,5 km/h(B) 67,5 km/h(C) 62 km/h(D) 59,5 km/h

8. Vodojem sa naplní veľkým čerpadlom za 20 hodín, stredným za 24 hodín a malým za 30 hodín.Za koľko hodín sa vodojem naplní, ak sú zapnuté všetky čerpadlá súčasne?

(A) Za 6 hodín.(B) Za 7 hodín.(C) Za 8 hodín.(D) Za 9 hodín.

9. Ak x je riešením rovnice 6x − (4x − 8) = 6 a y je riešením rovnice 2y − 3− y

4=

154

, potomy + x =

(A) 3.(B) −1.(C) 1.(D) 9.

10. Jedno číslo je o 24 väčšie ako druhé. 75 % menšieho čísla sa rovná polovici väčšieho čísla. Ktoréje väčšie z týchto čísel?

(A) 72(B) 68(C) 76(D) 48

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

110 4. KAPITOLA


1. Riešte rovnicu 1− 2x− 56

=3− x

6v množine reálnych čísel.

2. Polovica čísla zmenšená o štvrtinu toho istého čísla sa rovná tretine najväčšieho dvojcifernéhočísla. Určte hľadané číslo.

3. Strany trojuholníka sú tri za sebou idúce prirodzené čísla. Jeho obvod je 42 cm. Akú veľkosťmá najdlhšia strana trojuholníka?

4. Pre výšku va vyjadrenú zo vzorca na výpočet obsahu trojuholníka S =a · va

2platí

(A) va =S · a

2.

(B) va =2 · S

a.

(C) va =2 · aS

.

(D) va =S

2 · a.

5. Riešením sústavy rovníc x + 4 = 2y

2x = 2y + 4sú čísla x, y, pre ktoré platí, že

(A) xy = −48.(B) x− y = −2.(C) x + y = −2.

(D) x

y=

43

.

6. Tretina žiakov triedy chodí do školy autobusom. Z ďalších žiakov polovica chodí električkoua zvyšných 10 žiakov chodí pešo. Koľko je v triede žiakov?

(A) 27

4. KAPITOLA 111

(B) 30

(C) 33


7. Hodnota výrazov 7− 3x

5− x + 1

2a 3− 7x

10+ 1 je rovnaká, ak x sa rovná

(A) 12.

(B) 74

.

(C) 1,5.(D) −1.

8. Z kovovej tyče zhotovili tri súčiastky. Na prvú súčiastku spotrebovali polovicu tyče, na druhú2/3 zvyšku, tretia súčiastka mala hmotnosť 3 kg. Akú hmotnosť mala celá kovová tyč?

(A) 18 kg(B) 21 kg(C) 16 kg(D) 24 kg

9. Rovnica 3x− {4x− [5x− (6x− 7)]} = 11 má v množine reálnych čísel koreň

(A) x = 2.(B) x = −9.(C) x = −2.(D) Rovnica nemá riešenie.

10. Lietadlo poprašovalo pole počas 40 minút pri priemernej rýchlosti 252 km/h. Koľko kilometrovpritom nalietalo?

(A) 168 km(B) 189 km(C) 63 km(D) 198 km

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

112 4. KAPITOLA



6 +x− 5

5= x− x + 2

4

2. Myslím si číslo. Vynásobím ho dvoma sedminami a takto dostanem číslo 14. Na aké číslomyslím?

3. Niekoľko žiakov sa rozhodlo ísť na výlet. Ak sa zložia po 700 korún, bude im chýbať 300 korún.Ak sa zložia po 800 korún, zvýši im 400 korún. Koľko žiakov ide na výlet, a koľko výlet stojí?

4. Čísla x, y sú koreňmi sústavy rovníc x + 3y = 64x + 5y = −4

; potom 5x + 8y sa rovná

(A) −28.(B) 58.(C) 2.(D) 4.

5. Ak pomocou Pytagorovej vety vyjadríme veľkosť uhlopriečky štvorca, potom pre dĺžku stranyštvorca a platí

(A) a =√

u

2.

(B) a =u2

2.

(C) a =u√2

.

(D) a =u

2.

6. Akým číslom treba nahradiť písmeno m v rovnici m+2x− 7

2− 3x + 1

5= 5− x + 6

2, ak jej koreň

je x = 3?

(A) 3(B) −3

4. KAPITOLA 113

(C) 2(D) −2

7. V košíku bolo 15 jabĺk. Červených jabĺk bolo o 4 menej ako zelených a žltých o štvrtinu menejako červených. Koľko červených jabĺk bolo v košíku?

(A) 8(B) 6(C) 4(D) 3

8. Koreňom rovnice x− 6x + 310

=12

v množine reálnych čísel je číslo

(A) −2.

(B) 12

.

(C) 2.

(D) −12

.

9. Keď gepard začal prenasledovať antilopu, bola medzi nimi vzdialenosť 120 m. Napriek tomu,že antilopa bežala rýchlosťou 72 km/h, gepard ju dobehol za 12 sekúnd. Akou rýchlosťou bežalgepard?

(A) 120 km/h(B) 98 km/h(C) 108 km/h(D) 114 km/h


(A) 14(B) 22(C) 24(D) 26

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

114 4. KAPITOLA


1. Pre ktoré nezáporné celé čísla x je hodnota zlomku 7− 2x

6väčšia ako hodnota zlomku 3x− 7

12?

2. Číslo 140 rozložte na dva sčítance tak, aby sa osmina prvého sčítanca rovnala dvanástine druhého.Ktoré sú to sčítance?

3. Trojnásobok neznámeho čísla je o toľko väčší ako 40, o koľko je jeho polovica menšia ako 51.Ktoré je to číslo?

4. Aké číslo je koreňom rovnice 12x− 6

=1

3− x?

(A) x = 3

(B) x = −3

(C) Rovnica nemá riešenie.(D) Rovnica má nekonečne veľa riešení.

5. Pomer rokov matky a dcéry je 5 : 2. O sedem rokov bude tento pomer 2 : 1. Pred koľkými rokmisa narodila dcéra?

(A) Pred 12 rokmi.(B) Pred 14 rokmi.(C) Pred 16 rokmi.(D) Pred 10 rokmi.

6. Pracovník vykoná opravárenské práce za 20 dní. Jeho pomocník by tieto práce sám urobil za 60dní. Koľko dní by pracovali spoločne?

(A) 12 dní.(B) 15 dní.(C) 16 dní.(D) 18 dní.

4. KAPITOLA 115

7. Čísla x, y sú koreňmi sústavy rovníc 3 · (x− 1) = 2 · (y + 2)x− y

2= 3

. Potom 2x− 3y sa rovná

(A) 43.(B) −43.(C) −23.(D) 23.

8. Mama napiekla palacinky. Adam so sestrou Beátou zjedli z palaciniek o štyri viac ako bola ichštvrtina. Takto z nich ešte dve tretiny zostali. Koľko palaciniek napiekla mama?

(A) 24(B) 36(C) 40(D) 48

9. Súčinom koreňov rovníc x− 23

+5 + 4x

5= 6 a x

2+

x

4+

x

8= 14 je číslo

(A) 10.(B) 80.(C) 21.(D) 7.

10. Zo vzorca pre povrch pravidelného štvorbokého hranola S = 2a2 + 4av pre výšku v platí

(A) v = S − a

2.

(B) v =S − 2a2

4a.

(C) v =S − a

2.

(D) v =S

4a− 2a2.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

116 4. KAPITOLA



4= 2x +

5− 3x

2− x− 3


2. Firma A splní zákazku za 9 mesiacov, firma B splní tú istú zákazku za 6 mesiacov. Za koľkomesiacov by splnili zákazku spoločne?

3. Jedno číslo je o tri väčšie ako dvojnásobok druhého čísla. Ktoré sú to čísla, ak ich rozdiel je 9?

4. Koľko kladných celočíselných koreňov má nerovnica x− 5x + 22

=2x− 3

5− 8?

(A) 3(B) 4(C) Nekonečne veľa.(D) Ani jeden.

5. Súčet dvoch čísel je 112. Ak menšie číslo vydelíme štyrmi a väčšie dvanástimi, tak súčet ichpodielov bude 16. Aké je menšie z týchto čísel?

(A) 48(B) 44(C) 40(D) 36

6. Akému číslu sa rovná m, ak 2x + 3 =x

2a x = m + 1?

(A) −3

(B) −1

(C) −2

(D) 1

4. KAPITOLA 117

7. Zmiešali sme 200 g 14-percentného a 800 g 4-percentného roztoku hroznového cukru. Koľkopercentná bude zmes roztokov?

(A) 12 %

(B) 10,5 %

(C) 9 %

(D) 6 %

8. Martin má sedemkrát viac korún ako Peter. Ak by Martin dal 65 korún Petrovi, tak by mal užlen dvakrát viac korún ako Peter. Koľko korún majú Martin a Peter spolu?

(A) 312 Sk(B) 104 Sk(C) 120 Sk(D) 208 Sk

9. Koreňom rovnice 5x− (12− 2x) = 3 · (x− 5)− 2 · (−x− 11) je číslo

(A) 9,5.(B) 6,5.(C) 6.(D) −12,5.

10. Ak x je riešením rovnice −3 · (2− 6x) = −96 a y je riešením rovnice y

3+

12

=y

2, potom x + y =

(A) 8.(B) −2.(C) 2.(D) 1.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

118 4. KAPITOLA


1. Riešte rovnicu x

9− 3− 2x

3=

79− x v množine celých čísel.

2. Na dvore boli sliepky a zajace. Spolu mali 22 hláv a 54 nôh. Koľko bolo sliepok a koľko zajacov?

3. Marek prečítal knihu za 4 dni. Prvý deň prečítal 13

knihy, druhý deň 16

a tretí deň 14

. Naposledný deň mu zostalo ešte 30 strán. Koľko strán mala kniha?

4. Ktorá z uvedených rovníc má nekonečne veľa riešení?

(A) 2 + 2x

8=

x− 74

− x

(B) 5a− 26

− a

2=

a− 43

(C) y + 25

+y − 1

4=

9y + 320

(D) b− 13

+2 + b

2= 9

5. Jeden plecniak, jeden pár kopačiek a jeden mobilný telefón stoja spolu 7 220 korún. Kopačkystoja o 200 korún menej, ako je dvojnásobok ceny plecniaka. Mobil stojí 2,5-krát viac, ako jecena kopačiek. Koľko stoja kopačky?

(A) 990 Sk(B) 1 780 Sk(C) 1 430 Sk(D) 1 349 Sk

6. Riešením rovnice 112x + 0,5 · (2− x) = 3x− 2 · (x− 1)

(A) nie je žiadne reálne číslo.(B) je 0.(C) je každé reálne číslo.(D) je 1.

4. KAPITOLA 119


− y − 23

= 2

x− 14

+y + 1

3= 4

. Potom

(A) xy = −40.(B) y − x = 3.(C) x + y = −3.

(D) x

5=

6y

.

8. Otec a syn vykonali spoločne prácu za 6 hodín. Otec by ju sám vykonal za 10 hodín. Za koľkohodín by ju vykonal syn, ak by pracoval sám?

(A) Za 4 hodiny.(B) Za 15 hodín.(C) Za 12 hodín.(D) Za 8 hodín.

9. Elektrický odpor drôtu pri teplote t je určený vzťahom R1 =R0(1+αt). Pre teplotu t vyjadrenúz tohto vzťahu platí

(A) t =R1 −R0

α.

(B) t =

(R1

R0− 1)

α.

(C) t =R1 − 1R0 α

.

(D) t =R1

R0− 1

α.

10. Jediným riešením rovnice 4 · (x + 3)5

+5x− 4

3= 6− 3 · (x− 2)

2je číslo

(A) 58119

.

(B) 2.(C) −2.(D) 4,1.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

120 4. KAPITOLA


1. Riešte rovnicu 2 ·(

x− 12

)− 5 · (x− 1) = −1 v množine reálnych čísel.

2. Pre ktoré číslo platí, že jeho tri štvrtiny sú o dve väčšie ako jeho dve tretiny?

3. Manžel je starší o 17 rokov od manželky. V čase sobáša mali spolu 59 rokov. Koľko rokov malvtedy manžel?

4. Z nasledujúcich rovníc majú s výnimkou jednej všetky rovnaké korene. Ktorá je výnimkou?

(A) 2x + 6 = 26

(B) 2x + 112

− 184

=x + 2

7+

142

(C) 12x + 24 = 14x + 7

(D) 7 · (2x + 1)− 1 = 12 · (x + 2) + 2

5. Peter maľuje plot. Keby denne maľoval pol hodiny, skončil by robotu o 9 dní. Peter však pot-rebuje prácu skončiť o 3 dni skôr. Koľko minút musí denne maľovať?

(A) 45 minút.(B) 60 minút.(C) 33 minút.(D) 40 minút.

6. Zo vzorca pre povrch kužeľa S = πr · (r + s) pre nezmámu s platí

(A) s =S − πr2

r.

(B) s =S − πr2

πr.

(C) s =S

πr+ r.

(D) s =πr

S− r.

4. KAPITOLA 121

7. Gabriel minul 65 % svojho vreckového a ešte 14 korún. Takto mu zostala ešte tretina celéhovreckového. Koľko korún mal?

(A) 720(B) 780(C) 900(D) 840

8. Riešením sústavy rovníc

x + y

3+ x = 15

y − y − x

5= 6

sú čísla x, y, pre ktoré platí

(A) x · y = 50.

(B) x

y= 6.

(C) y − x = 5.(D) x + y = 9.

9. Na hokejovom zápase bolo spolu 1 208 divákov. Mužov bolo dvakrát viac ako žien, študentovprišlo trikrát viac ako žien. Vojakov bolo o 56 menej ako mužov v civile. Koľko bolo študentov?

(A) 316

(B) 474

(C) 158

(D) 260

10. Ak x je riešením rovnice (2x+1) · (4−3x) = 1−6x2 a y je riešením rovnice y

4− 3y

5= 14, potom

x− y =

(A) −39,4.(B) −40,6.(C) 41.(D) 39,4.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

122

P

123

Kapitola 5

Pytagorova veta a jej použitieObvody a obsahy základných rovinnýchútvarovKruh, kružnica

124 5. KAPITOLA


1. Ktorá trojica čísel udáva dĺžky strán trojuholníka?

(A) (1, 4, 5)

(B) (2, 5, 6)

(C) (3, 5, 9)

(D) (1, 3, 5)

2. Ktorá trojica čísel udáva dĺžky strán pravouhlého trojuholníka?

(A) (6, 8, 4)

(B) (6, 4, 10)

(C) (10, 8, 4)

(D) (10, 6, 8)

3. Je trojuholník ABC so stranami 5 cm, 12 cm, 13 cm pravouhlý?

(A) Áno.(B) Nie.

4. Na obrázku sú pravouhlé trojuholníky. Aká dlhá je ich tretia strana?

a)

6 cm

8 cm

c =?

b)

15 cm

25 cm

a =?

c)

6,5 dm

60 cm

b =?

5. KAPITOLA 125

5. Vypočítajte dĺžku tretej strany pravouhlého trojuholníka s odvesnami k, l a preponou m.

a) l = 12 cm; m = 13 cm

b) k = 14 cm; l = 48 cm

c) k = 12 cm; m = 15 cm

d) l = 120 cm; m = 123 cm

6. Pravouhlý trojuholník ABC má odvesnu 2,4 dm a preponu 35 cm dlhú. Vypočítajte obvod aobsah trojuholníka.

7. Rozmery odvesien pravouhlého trojuholníka sú a = 30 cm, b = 40 cm. Aký je jeho obvod?

(A) 150 cm

(B) 120 cm

(C) 96 cm

(D) 50 cm

8. Rovnoramenný trojuholník má základňu z = 100mm a výšku vz = 120mm. Určte dĺžku ramien.

9. Vypočítajte výšku a obsah rovnostranného trojuholníka, ktorého obvod je 72 cm.

10. Vypočítajte obvod a obsah obdĺžnika, ktorý má uhlopriečku 26 cm a jednu stranu 15 cm dlhú.

11. Koľko árov má obdĺžniková parcela, ktorej uhlopriečka má dĺžku 34 m a jedna strana je 16 mdlhá?

(A) 0,92 á

(B) 6,01 á

(C) 4,8 á

(D) 5,44 á

12. Kosoštvorec má stranu a a uhlopriečky e, f . Vypočítajte chýbajúci údaj:

a) a = 8 cm, e = 3 cm, f =?

b) e = 8 cm, f = 6 cm, a =?

13. Kosoštvorec má stranu 20 cm a kratšiu uhlopriečku 24 cm dlhú. Aká dlhá je druhá uhlopriečka?

(A) 16 cm

(B) 32 cm

(C) 23,3 cm

(D) 30 cm

14. Daný je obdĺžnik so stranami 7 cm a 10 cm a štvorec so stranou 8,2 cm. Porovnajte veľkosťuhlopriečok obdĺžnika a štvorca.

126 5. KAPITOLA

15. Vypočítajte chýbajúci údaj v rovnoramennom trojuholníku:

a) a = 10 cm

b =?

m = 12 cm

b

b) a = 96 cm

b = 5 dm b = 5 dmm =?

c) a =?

b = 5,2m b = 5,2 m

m = 2 m

16. Základne rovnoramenného lichobežníka sú dlhé 8 m a 12 m a jeho výška je 7 m. Obvod lichobež-níka je(A) 43,68 m.(B) 72,8 m.(C) 34,56 m.(D) 306 m.

17. Vypočítajte výšku a obsah pravouhlého lichobežníka ABCD, ak viete, že AB = a = 12 m,BD = f = 20 cm, CD = c = 5m, α = 90◦.

18. O stenu je opretý rebrík. Steny sa dotýka vo výške 240 cm a jeho spodný koniec je od stenyvzdialený 100 cm. Aký dlhý je rebrík?

19. Dvojitý rebrík je 8,5 m dlhý. Je postavený tak, že jeho dolné konce sú od seba vzdialené 3,5 m.Do akej výšky dosahuje horný koniec rebríka?

20. Rebrík dĺžky 1,7 m je opretý o múr. Jeho spodný koniec sa opiera o zem vo vzdialenosti 80 cmod múru. Do akej výšky múru siaha horný koniec rebríka?

(A) 187,8 cm

(B) 112,5 cm

5. KAPITOLA 127

(C) 170 cm

(D) 150 cm

21. Obvod obdĺžnika je 48 cm a dĺžky jeho strán sú v pomere 3 : 5. Vypočítajte obsah obdĺžnika aveľkosť jeho uhlopriečky.

22. Vypočítajte dĺžku neónovej trubice potrebnej na výrobu reklamných písmen, ak rozmery obdĺž-nika sú 12 cm a 24 cm.

23. Vypočítajte dĺžku strany štvorca, ak polomer kružnice opísanej tomuto štvorcu je 12,5 dm.

24. Daná je kružnica s priemerom d = 28 cm. Dá sa zostrojiť štvorec so stranou 20 cm vpísaný dotejto kružnice?

25. Turista išiel 12 km priamo na sever, potom 5 km presne na západ a potom sa priamočiaro vrátilspäť. Koľko km prešiel spolu?(A) 28 km(B) 13 km(C) 30 km(D) 34 km

26. Aká je výška štítu domu, ktorý má tvar rovnoramenného trojuholníka so základňou 8,4 m aramenami 6,5 m?

27. Aký je obsah kvetinového záhona, ktorý má tvar rovnostranného trojuholníka, ak obvod kveti-nového záhona je 72 dm?

28. Kolmo rastúci strom víchrica nalomila vo výške 6 m nad zemou. Jeho vrchol dopadol na zem vovzdialenosti 8 m od stromu. Určte pôvodnú výšku stromu.

29. Sily s veľkosťou 10 N a 24 N majú spoločné pôsobisko a smery ich pôsobenia zvierajú pravý uhol.Určte ich výslednicu.

30. Vypočítajte veľkosť telesovej uhlopriečky kocky s hranou dlhou 28 dm.

31. Vypočítajte veľkosť telesovej uhlopriečky pravidelného štvorbokého hranola, ak dĺžka podstavnejhrany je 6 cm a výška hranola v je 15 cm.

32. Kváder má štvorcovú podstavu s dĺžkou hrany 4 cm a telesovú uhlopriečku dlhú 9 cm. Aká jevýška kvádra?

33. Podstava kolmého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého prepona má dĺžku 10 cm a jednaodvesna dĺžku 6 cm. Výška hranola je 5

8obvodu podstavy.

Vypočítajte:a) dĺžku druhej odvesny,b) výšku hranola,c) objem hranola,d) povrch hranola.

128 5. KAPITOLA

34. Podstava kolmého trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého prepona je dlhá 13 cma jedna odvesna je dlhá 5 cm. Výška hranola je 3

5obvodu podstavy. Aký je objem a povrch

hranola?

35. Kocka ABCDEFGH má hranu dĺžky 4 cm. Jej telesová uhlopriečka AG meria

(A) 2 ·√

3 cm.(B) 4 ·

√5 cm.

(C) 4 ·√

2 cm.(D) 4 ·

√3 cm.

36. Kolmý štvorboký hranol má kosoštvorcovú podstavu s uhlopriečkami e = 10 cm, f = 24 cm.Plášť tvorí 52 % povrchu hranola. Vypočítajte:a) podstavnú hranu hranola,b) výšku hranola,c) povrch hranola,d) objem hranola.

37. Trojboký hranol, ktorého podstava je pravouhlý trojuholník s preponou dlhou 1,3 m a s odvesnoudlhou 50 cm, má objem 120 dm3. Aká je výška tohto hranola?

(A) 3 dm(B) 40 dm(C) 4 dm(D) 30 dm

38. Nad pavilónom štvorcového pôdorysu so stenou a = 12 m je strecha tvaru ihlana s výškouv = 4,5 m. Koľko m2 plechu treba na zakrytie tejto strechy?

39. Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak jeho podstavná hrana a =√

18 cm a bočnáhrana b = 5 cm?

40. Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak jeho povrch S = 576 cm2 a podstavná hranaa = 16 cm?

41. Podstavou kolmého trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník s jednou odvesnou dlhou 9 cm.Výška hranola je 10 cm a obsah najväčšej steny plášťa je 150 cm2. Aký je objem hranola?

(A) 1 080 cm3

(B) 720 cm3

(C) 540 cm3

(D) 810 cm3



43. Povrch pravidelného štvorbokého ihlana je 360 cm2. Jeho podstavná hrana má dĺžku 10 cm. Akáje výška ihlana?

(A) 10,8 cm

(B) 6,5 cm

(C) 12 cm

(D) 13 cm

5. KAPITOLA 129

44. Čo je väčšie: obvod polkruhu s r1 = 3m, alebo obvod štvrťkruhu s r2 = 6m?

45. Zlatá rybka pláva tesne pri stene kruhového bazéna s polomerom 10 m. Koľko metrov prepláva,ak urobí dva kruhy v bazéne?

46. Kruhová bežecká dráha má polomer 50 m. Koľko okruhov musí bežec urobiť, aby prebehol 5 km?

47. Pretekár beží po kruhovej dráhe s polomerom 86 metrov. Koľko metrov prebehne počas piatichokruhov?

48. Ťažné koleso výťahu mrakodrapu má priemer 3 m. O koľko metrov vystúpi (klesne) kabínavýťahu, keď sa koleso otočí tým istým smerom 10-krát?

49. Vypočítajte priemer a obsah priečneho kruhového rezu kmeňa buku, ktorého obvod je 190 cm.

50. Priemer kolesa pretekárskeho bicykla je 71 cm. Koľkokrát sa koleso bicykla otočí na kruhovejdráhe, ktorej polomer je 45 m?

51. Vypočítajte dĺžku kružnicového oblúka, ak r je polomer kružnice a α je stredový uhol patriacikružnicovému oblúku:

a) r = 20mm, α = 45◦

b) r = 15 cm, α = 135◦

52. Veľká ručička nástenných hodín má dĺžku 15 cm a malá 12 cm. Akú dlhú cestu opíšu koncehodinových ručičiek

a) za 2 hodiny?

b) za 15 minút?

c) za deň?

53. Minútová ručička budíka má dĺžku 3,5 cm. Akú dlhú dráhu opíše hrot ručičky za 1/2 hodiny?

(A) 19,2 cm

(B) 11 cm

(C) 5,5 cm

(D) 9,5 cm

54. V parku plánujú kruhový trávnik s priemerom 10 m. Koľko m2 plochy potrebujú zasiať?

(A) 62,8 m2

(B) 78,5 m2

(C) 314 m2

(D) 157 m2

55. Otáčavý zavlažovač má dostrek 18 m. Akú rozlohu pôdy môže zavlažiť z jedného miesta?

(A) 1 017,4 m2

(B) 113 m2

(C) 2 034,7 m2

(D) 1 330m2

130 5. KAPITOLA

56. Záhon s tulipánmi má tvar kruhu s polomerom 1 m. Kruhový záhon s narcismi má dvakrát väčšípolomer. Koľkokrát väčšiu rozlohu má záhon s narcismi ako tulipánový záhon?

(A) 2-krát väčšiu.(B) 4-krát väčšiu .(C) 6,28-krát väčšiu.(D) 3,14-krát väčšiu.

57. Čo je viac: 34

obsahu kruhu s r1 = 5 cm, alebo obsah polkruhu s r2 = 6 cm?

58. Na obrázku je znázornené športové ihrisko, po okraji ktorého je jedna bežecká dráha.

a) Aká dlhá je táto bežecká dráha?b) Koľko m2 plochy zasejú, ak chcú celé ihrisko pokryť trávou?

10m

10m

90 m

59. Vypočítajte obsah vyfarbenej časti štvorca s rozmerom 4 cm:

a) b) c) d)

60. Zo štvorcového plechu sa má vystrihnúť kruh, ktorého obsah je 7 dm2. Vypočítajte dĺžku stranynajmenšieho štvorca, z ktorého možno vystrihnúť takýto kruh.

61. Aký veľký je obsah kruhového výseku, ktorý opíše minútová ručička 14 cm dlhá za 40 minút?

(A) 205 cm2

(B) 68,4 cm2

(C) 58,6 cm2

(D) 410,3 cm2

62. Aký je obsah kruhového výseku ASB so stredovým uhlom α = 90◦ a polomerom 10 m?

(A) 78,5 m2

(B) 15,7 m2

(C) 31,4 m2

(D) 56,4 m2

63. Papierový šarkan má tvar kruhového výseku so stredovým uhlom 40◦ a polomerom 35 cm. Koľkopapiera sa spotrebuje na jeho zhotovenie, ak na zahnutie treba pridať 10 % papiera?

(A) 96,2 cm2

(B) 24,4 cm2

(C) 427 cm2

(D) 470 cm2

5. KAPITOLA 131

64. Golier na šatách má tvar medzikružia 6 cm širokého. Obvod vnútorného kruhu je 31,4 cm.Koľko cm2 látky treba na jeden golier?

65. Daná je kružnica k(S; 3 cm) a priamka, ktorá má od stredu S vzdialenosť:

a) v = 3 cm,b) v = 2,5 cm,c) v = 4 cm.

Pomenujte vzájomnú polohu priamky a kružnice.

66. Uveďte spoločné body kružnice k(S; r) a jednotlivých priamok; porovnajte polomer r a vzdia-lenosť v jednotlivých priamok od bodu S, doplňte znaky <,>,=; pomenujte vzájomnú polohukaždej z priamok vzhľadom na kružnicu.

S

r

vT

A

B

n m l

k

a) k⋂

n = ; v 33 r; n je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b) k

⋂m = ; v 33 r; m je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) k⋂

l = ; v 33 r; l je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67. Narysujte kružnicu k(S; 2,8 cm) a jej najdlhšiu tetivu AB. Zostrojte dotyčnice kružnice k s bodmidotyku A,B. Aká je vzájomná poloha týchto dotyčníc?

68. Narysujte kružnicu k(S; 3,5 cm), zvoľte si ľubovoľnú priamku a, ktorá je nesečnicou kružnice k.Zostrojte dotyčnicu kružnice k rovnobežnú s priamkou a. Koľko dotyčníc sa dá zostrojiť?

69. Daná je priamka t a mimo nej bod S. Zostrojte kružnicu so stredom S tak, aby priamka t boladotyčnicou kružnice.

70. Akú vzdialenosť od stredu kružnice k(S; 5,5 cm) má tetiva, ktorá je 8,8 cm dlhá?

71. Kruhový zavlažovač s dostrekom 5 m je umiestnený 3 m od rovného chodníka. Akú dĺžku chod-níka poleje voda?

72. Daný je trojuholník ABC so stranami a = b = 6 cm a c = 8 cm. Zostrojte kružnicu k vpísanúdo trojuholníka ABC a meraním zistite jej polomer r.

73. Zostrojte kružnicu k opísanú trojuholníku ABC, ak c = 6 cm, α = 60◦, β = 45◦, a meranímurčte jej polomer r.

132 5. KAPITOLA

74. Zostrojte trojuholník ABC, v ktorom c = 4 cm, α = 80◦ a polomer kružnice opísanej trojuhol-níku r = 3,5 cm. Meraním zistite dĺžky zvyšných strán trojuholníka.Obvod trojuholníka ABC je

(A) 11 cm.(B) 17,5 cm.(C) 18,8 cm.(D) 14 cm.

75. Pre kružnice k1(S1; r1) a k2(S2; r2) a ich stredy S1 a S2 platí:

a) r1 = 3,5 cm; r2 = 3 cm; |S1; S2| = 6 cmb) r1 = 3 cm; r2 = 4 cm; |S1; S2| = 8 cmc) r1 = 2,5 cm; r2 = 3,5 cm; |S1; S2| = 6 cmd) r1 = 4 cm; r2 = 3 cm; |S1; S2| = 1 cm

Určte vzájomnú polohu kružníc a potom kružnice narysujte.

76. Narysujte kružnicu k(A; 4 cm) a zvoľte bod B tak, aby |AB| = 1 cm. Zostrojte kružnicu l sostredom B tak, aby s kružnicou k

a) nemala ani jeden spoločný bod.b) mala spoločný práve jeden bod.c) mala spoločné dva body.

77. Aký je obsah trojuholníka ABC na obrázku, ak polomer |AS| = 5 cm a tetiva |BC| = 6 cm?

(A) 24 cm2

(B) 30 cm2

(C) 32 cm2

(D) 40 cm2

AS

B

C

78. Ku kružnici s priemerom 6 cm vedieme dotyčnicu z bodu, ktorý má vzdialenosť od stredu kružnice5 cm. Aká je vzdialenosť tohto bodu od bodu dotyku?

(A)√

61 cm

(B)√

34 cm

(C) 4 cm(D)

√11 cm

79. Narysujte úsečku AB dlhú 5 cm a kružnicu k(A; 4 cm). Zostrojte z bodu B dotyčnicu ku kruž-nici k. Odmerajte vzdialenosť bodu B od dotykového bodu T . Ktorá z uvedených možností jesprávna?

(A) |BT | = 3 cm (B) |BT | = 3,5 cm (C) |BT | = 3,6 cm (D) |BT | = 3,3 cm

5. KAPITOLA 133

feher

134 5. KAPITOLA


1. Uhlopriečka obdĺžnika je dlhá 10 cm a jedna strana obdĺžnika je dlhá 6 cm. Aký je obsah tohtoobdĺžnika?

2. Priemer bicyklového kolesa je 66,5 cm. Koľko metrov prejde po 100 otáčkach? (Výsledok zao-krúhlite na jednotky.)

3. Aký je povrch pravidelného štvorbokého ihlana, ak jeho podstavná hrana a = 6 cm a bočnáhrana b = 5 cm?

4. Objem rotačného kužeľa je 324π dm3, jeho výška je 12 dm. Aký je povrch kužeľa?

(A) 216π dm2

(B) 162π dm2

(C) 108π dm2

(D) 72π dm2

5. Okolo kruhového záhona s polomerom 2 m je chodník široký 80 cm. Koľko m2 má chodník?

(A) 12,1 m2

(B) 24,6 m2

(C) 10,2 m2

(D) 32,5 m2

6. Povrch kvádra je 192 cm2. Hrany podstavy kvádra majú dĺžky a = 3 cm, b = 4 cm. Aká je dĺžkatelesovej uhlopriečky kvádra?

(A) 13 cm(B) 14 cm(C) 15 cm(D) 16 cm

5. KAPITOLA 135

7. Akú veľkosť má uhol ϕ?

(A) 30◦

(B) 40◦

(C) 50◦

(D) 60◦

150◦

120◦

ϕ

8. Výstražná dopravná značka má tvar rovnostranného trojuholníka so stranou a = 50 cm. Koľkom2 plechu treba na zhotovenie 100 značiek, keď zanedbáme odpad?

(A) 14 m2

(B) 10,83 m2

(C) 468 m2

(D) 12,5 m2

9. Ak dve protiľahlé strany štvorca zmenšíme o 2 cm a dve ďalšie protiľahlé strany zväčšíme o 2 cm,tak dostaneme obdĺžnik s obsahom

(A) rovnakým ako obsah štvorca.(B) o 2 cm2 menším ako obsah štvorca.(C) o 4 cm2 väčším ako obsah štvorca.(D) o 4 cm2 menším ako obsah štvorca.

10. Aký je obsah kruhového výseku ASB so stredovým uhlom α = 60◦ a polomerom 3 cm?

(A) 4,71 cm2

(B) 3,14 cm2

(C) 9,42 cm2

(D) 12,56 cm2

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

136 5. KAPITOLA


1. Akú veľkosť má úsečka AD, ak |AC| = 12 cm, |DE| = 8 cm a |EB| = 6 cm?

A D B

E

C

12cm

8 cm

6cm

2. Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak hrana podstavy má dĺžku 8 cm a výška bočnejsteny je 5 cm?

3. Aká je dĺžka tetivy, ktorá je od stredu kružnice s polomerom 20 cm vzdialená 12 cm?

4. Koleso bicykla má priemer 80 cm. Koľkokrát sa toto koleso otočí na dráhe dlhej 2 512m?(π = 3,14)

(A) 1 000-krát(B) 500-krát(C) 314-krát(D) 100-krát

5. Dve kružnice s polomermi 4 cm a 3 cm majú stredy vzdialené 1 cm. Koľko spoločných bodovmajú tieto kružnice?

(A) Majú práve 2 spoločné body.(B) Majú viac ako 2 spoločné body.(C) Majú práve 1 spoločný bod.(D) Nemajú žiaden spoločný bod.

6. Obsah rovnoramenného lichobežníka s dĺžkami strán 20 cm, 10 cm, 13 cm a 13 cm je

(A) 150 cm2.(B) 180 cm2.(C) 140 cm2.(D) 130 cm2.

5. KAPITOLA 137

7. Nádrž má tvar hranola s podstavou rovnoramenného trojuholníka, ktorého základňa má dĺžku6 m a rameno 5 m. Nádrž je vysoká 30 m. Aký je objem tejto nádrže?

(A) 3 600 hl(B) 36 000 hl(C) 720 hl(D) 7 200 hl

8. Červený štvorec má stranu dlhú 6 cm. Obsah žltého štvorca sa rovná štvrtine obsahu červenéhoštvorca. Akú dlhú má žltý štvorec stranu?(A) 3 cm(B) 4 cm(C) 2 cm(D) 12 cm

9. Aká veľká je plocha medenej podložky s kruhovým otvorom? (Údaje sú v centimetroch.)

(A) 112,5 cm2

(B) 85,3 cm2

(C) 105,4 cm2

(D) 140,7 cm2

a = 13

9

lkasdfjglakdjgorĳvlkmnlskjvalkvdvl




10. Stred kružnice vpísanej do ľubovoľného trojuholníka je

(A) priesečníkom výšok trojuholníka.(B) priesečníkom osí strán trojuholníka.(C) priesečníkom osí vnútorných uhlov trojuholníka.(D) priesečníkom ťažníc trojuholníka.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

138 5. KAPITOLA


1. Koľkokrát je obsah kruhu s polomerom 6 dm väčší ako obsah kruhu s polomerom 2 dm?

2. Obsah plášťa rotačného kužeľa s polomerom r =√

3 dm sa rovná dvojnásobku obsahu podstavy.Aký je objem kužeľa?

3. Akú plochu trávy môže postriekať automatický postrekovač, ak je nastavený na postrekovanies uhlom 120◦ a voda dostriekne do vzdialenosti najviac 5 metrov?

4. Aký je obvod pravouhlého lichobežníka, ktorého základne merajú 14,5 cm, 10 cm a dlhšie ramenomá veľkosť 7,5 cm?

(A) 38 cm

(B) 91, 8 cm

(C) 41 cm

(D) 32 cm

5. Z pohára vyčnieva 5 cm dlhá časť slamky. Aká je dĺžka celej slamky?

9 cm

12 cm

(A) 20 cm

(B) 15 cm

(C) 19 cm

(D) 18 cm

6. Priamky c, d sú rovnobežné. Uhol α má veľkosť 52◦30′, uhol β má veľkosť 64◦40′. Akú veľkosťmá uhol γ?

(A) 64◦40′

(B) 62◦50′

(C) 127◦30′

(D) 117◦10′

γ

α

β

d

c

5. KAPITOLA 139

7. V pravidelnom štvorbokom ihlane ABCDV podstavná hrana a = 6 cm a výška bočnej stenyvs = 5 cm. Aký je objem ihlana v cm3?

(A) 30(B) 48(C) 60(D) 96

8. Podstava trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky 6 dm a 0,8 m.Výška hranola je dvakrát dlhšia ako najdlhšia hrana podstavy. Aký je jeho povrch?

(A) 480 dm2

(B) 504 dm2

(C) 348 dm2

(D) 528 dm2

9. Kruhový park má rozlohu 31 400m2. Naprieč cez stred parku vedie chodník. Aký je dlhý?

(A) 100 m(B) 1 000 m(C) 200 m(D) 500 m

10. V ktorej z uvedených možností sú správne pomenované všetky vzájomné polohy každých dvochkružníc na obrázku?

AB

Ckl

m

(A) Kružnice k a l sa nepretínajú; l a m sa pretínajú.(B) Kružnice l a m sa pretínajú; m a k majú vonkajší dotyk; k a l sa nepretínajú.(C) Kružnice k a m majú vnútorný dotyk; k a l sa nepretínajú; l a m sa pretínajú.(D) Kružnice k a l sú sústredné kružnice; l a m sa pretínajú; k a m sa dotýkajú.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

140 5. KAPITOLA


1. Podstava kolmého trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník s odvesnou dlhou 12 cm a spreponou dlhou 1,5 dm. Povrch hranola je 342 cm2. Aký je objem hranola?

2. Obdĺžniku so stranami 6 cm a 4,5 cm je opísaná kružnica. Vypočítajte dĺžku tejto kružnice.

3. Vypočítajte chýbajúci údaj v načrtnutom trojuholníku:

16 m

10 m 10 m

v =?

4. Záhrada tvaru pravouhlého trojuholníka má dĺžky odvesien a = 30m, b = 40m. Aká je spotrebapletiva potrebného na oplotenie záhrady?

(A) 150 m

(B) 120 m

(C) 100 m

(D) 50 m

5. Na hriadeli s kolesom je upevnené lano s vedrom. Priemer hriadeľa je 40 cm. O koľko metrovklesne vedro, ak kolesom otočíme sedemkrát?

(A) O 8,79 m.(B) O 17,6 m.(C) O 87,92 m.(D) O 14,4 m.

6. Aký je objem kocky v litroch, ak stenová uhlopriečka us =√

50 cm?

(A) 0,125 l(B) 5 l(C) 12,5 l(D) 1,25 l

5. KAPITOLA 141

7. V pravidelnom štvorbokom ihlane ABCDV podstavná hrana a = 6 cm a výška v = 4 cm. Akýje povrch ihlana v cm2?

(A) 48(B) 84(C) 96(D) 144

8. Zo štvorcovej dosky so stranou 4 dm vyrezali 4 zhodné kruhy. Koľko % tvorí odpad?

(A) 15,5 %

(B) 21,5 %

(C) 20 %

(D) 18,5 %

9. Vonkajší uhol trojuholníka ABC pri vrchole A je 71◦40′, vonkajší uhol pri vrchole B je 136◦50′.Akú veľkosť má vnútorný uhol trojuholníka pri vrchole C?

(A) 28,5◦

(B) 21◦20′

(C) 27◦30′

(D) 34,5◦

10. Stred kružnice opísanej ľubovoľnému trojuholníku sa určí ako

(A) priesečník výšok trojuholníka.(B) priesečník osí strán trojuholníka.(C) priesečník osí vnútorných uhlov trojuholníka.(D) priesečník ťažníc trojuholníka.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

142 5. KAPITOLA


1. Podstava kolmého hranola je taký pravouhlý trojuholník, ktorého jedna odvesna má dĺžku 0,8 dma prepona je dlhá 10 cm. Objem hranola je 264 cm3. Aký je jeho povrch?

2. Aký je povrch kvádra, ktorého jedna z hrán podstavy je o 7 cm dlhšia ako druhá, obvod obdĺž-nikovej podstavy je 34 cm a telesová uhlopriečka má dĺžku 85 cm?

3. V parku s plochou 1 440m2 vybudovali kruhovú fontánu s priemerom 5 m. Koľko % plochy parkuzaberá fontána?

4. Koľko metrov pletiva treba na oplotenie obdĺžnikovej záhrady, ktorej uhlopriečka má dĺžku 34 ma jedna strana dĺžku 30 m?

(A) 128 m

(B) 150,7 m

(C) 120,4 m

(D) 92 m

5. Polomer vyjadrený zo vzorca na výpočet obsahu kruhu S = πr2 je

(A) r =S

π.

(B) r =√

π

S.

(C) r =

√S

π.

(D) r = S : πr.

6. Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak hrana podstavy a = 12 cm a výška bočnejsteny vs = 10 cm?

(A) 256 cm3

(B) 400 cm3

(C) 480 cm3

(D) 384 cm3

5. KAPITOLA 143

7. Na kruhový stôl s priemerom 78 cm treba ušiť obrus, ktorý má dokola presahovať stôl o 10 cm.Koľko cm stuhy treba kúpiť na obrúbenie obrusa?

(A) 245 cm(B) 308 cm(C) 277 cm(D) 553 cm

8. Je daný pravouhlý trojuholník s pravým uhlom pri vrchole C. Platí: |AC| = 6 cm; |BC| = 8 cm.Aká je veľkosť ťažnice tc?

(A) 6 cm

(B) 4,5 cm

(C) 5 cm

(D) 5,5 cm

9. Rovnoramenný lichobežník má obsah 64 cm2. Akú dĺžku má jeho dlhšia základňa, ak rozdieldvoch základní je 4 cm a výška lichobežníka je 4 cm?

(A) 14 cm(B) 16 cm(C) 18 cm(D) 20 cm

10. Vyberte správne tvrdenie o vzájomnej polohe kružnice a priamok.

S

a b

(A) Priamky a, b sú sečnice kružnice.(B) Priamka a je sečnica, b je nesečnica.(C) Priamka a je sečnica, b je dotyčnica.(D) Priamky a, b sú dotyčnice kružnice.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

144 5. KAPITOLA


1. V trojuholníku ABC poznáme strany AC = 8 cm, BC = 10 cm a výšku vc = 6,5 cm. Vypočítajtedĺžku strany AB.

2. Javisko má tvar pravidelného šesťuholníka so stranou 4 m. Stačí 1 600 kusov parkiet na pokrytiepodlahy javiska, ak na 1 m2 treba 40 parkiet?

3. Aký je objem rotačného kužeľa, ak jeho povrch S = 300π cm2 a polomer podstavy r = 12 cm?

4. Dĺžky dvoch základní a výška rovnoramenného lichobežníka sú v pomere a : c : v = 5 : 3 : 2,obsah lichobežníka je 128 cm2. Akú dĺžku má kratšia základňa lichobežníka?

(A) 6 cm(B) 9 cm(C) 12 cm(D) 15 cm

5. Aká je dĺžka gumeného pása dopravníka? (Rozmery sú v centimetroch.)

1650

250

(A) d = 4870 cm

(B) d = 3800 cm

(C) d = 4885 cm

(D) d = 4085 cm

6. Aká je dĺžka tetivy AB, ktorá je od stredu S kružnice k(S; 10 m) vzdialená 6 m?

(A) 14 m(B) 8 m(C) 16 m(D) 23,4 m

5. KAPITOLA 145

7. Aký je obsah vyfarbenej časti štvorca so stranou a = 4 cm?

(A) 6,58 cm2

(B) 9,42 cm2

(C) 13,86 cm2

(D) 12,86 cm2

8. Aký je povrch pravidelného štvorbokého ihlana, ak jeho podstavná hrana a = 10 cm a bočnáhrana b = 13 cm?

(A) 360 cm2

(B) 220 cm2

(C) 230 cm2

(D) 340 cm2

9. V ktorej z uvedených možností sú správne pomenované všetky vzájomné polohy každých dvochkružníc na obrázku?

k

l

m

C

B

A

(A) Kružnice k a l sa nepretínajú; l a m sa pretínajú.(B) Kružnice l a m sa pretínajú; m a k majú vonkajší dotyk; k a l sa nepretínajú.(C) Kružnice k a m majú vnútorný dotyk; k a l sa nepretínajú; l a m sa pretínajú.(D) Kružnice k a l majú vonkajší dotyk; m a l sa pretínajú; m a k majú vnútorný dotyk.

10. Obsah kruhu s priemerom d je

(A) πd.

(B) πd2.

(C) πd2

4.

(D) 2πd.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

146

P

147

Kapitola 6

Goniometria ostrého uhla

148 6. KAPITOLA


1. Narysujte uhly α, β, ak:

a) sinα =34

; sinα = 0,5; sinβ =23

; sinβ = 0,25

b) cos α =35

; cos α = 0,5; cos β = 0,4; cos β =13

c) tg α =65

; tg α =73

; tg β = 0,7; tg β = 0,5

2. Akú veľkosť má odvesna a ležiaca oproti uhlu α v pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c,ak

a) α = 30◦, c = 10 cm?b) β = 60◦, c = 20 cm?c) α = 45◦, b = 6 cm?d) β = 45◦, b = 7 cm?ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,

ldsfk;a;dlk;.v,

α

β

a

b

c

C A

B

3. Aká je veľkosť druhej odvesny a prepony c pravouhlého trojuholníka ABC, ak

a) α = 60◦, a = 4 cm?b) β = 60◦, b =

√3 cm?

4. Akú veľkosť má uhol α a uhol β v pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c, ak

a) a =√

3, b = 3 cm?b) a =

√2 cm, c = 2 cm?

c) b =√

3 cm, c = 2 cm?d) vc = 6 cm, a = 12 cm?

5. Aké sú dĺžky strán a veľkosť uhla β v pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c, ak

a) α = 32◦, c = 18 cm?b) α = 30◦, b = 20 cm?

6. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú dané

a) prepona c = 12 cm a sinα =35

,

b) prepona c = 13,5 cm a cos α =23

.

Aké sú dĺžky odvesien trojuholníka?

6. KAPITOLA 149

7. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú dané

a) odvesna b = 30 cm a tg α =512

,

b) odvesna b = 15 cm a tg β =57

.

ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,

ldsfk;a;dlk;.v,

α

β

a

b

c

C A

B

Aká je dĺžka prepony a aká je dĺžka druhej odvesny tohto trojuholníka?

8. V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c veľkosť uhla α je 30◦ a odvesna a = 4 cm.Akú dĺžku má prepona trojuholníka?

α

β

a

b

c

C A

B

9. V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c veľkosť uhla α je 30◦ a prepona c = 2 cm.Aká je veľkosť

a) odvesny a?b) odvesny b?

10. Aká je dĺžka strany rovnostranného trojuholníka ABC, ak jeho výška je√

3 cm?(Úlohu riešte pomocou goniometrických funkcií.)

11. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú dané odvesny a = 6 cm,b = 8 cm. Vypočítajte:

a) sinα + cos β

b) cos α− tg β

c) tg α− sinβ

d) cos β + tg α

ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,

ldsfk;a;dlk;.v,

α

β

a

b

c

C A

B

150 6. KAPITOLA

12. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú dané odvesny a = 4 cma b = 3 cm. Bod D je stredom strany BC, α = ^CAD, β = ^ABC. Vypočítajte:

a) 5 · cos β + 6 · tg α

b) 2 · tg β − 3 · tg α

c) 4 · sinβ − 2 · tg β

d)√

13 · (sinα + 3 · cos α)

ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,ldsfk;a;dlk;.v,

ldsfk;a;dlk;.v,

α

β

2

2

3

√13

C A

B

D

13. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C má uhol CAB veľkosť 30◦

a |BC| = 6 cm. Aký má polomer r kružnica opísaná tomuto trojuholníku?

A S30◦

C

B

6cm

6. KAPITOLA 151

kjhkdsjfh

152 6. KAPITOLA


1. Aká je dĺžka odvesny a pravouhlého trojuholníka ABC s preponou c, ak uhol α pri vrchole Amá veľkosť 30◦ a prepona c má dĺžku 5 cm?

2. V pravouhlom trojuholníku KLM s pravým uhlom pri vrchole M je veľkosť vnútorného uhlapri vrchole L 45◦ a dĺžka odvesny k je 56 cm. Aká je dĺžka druhej odvesny?

3. V pravouhlom trojuholníku ABC prepona c = 8 cm a odvesna b = 4 cm. Aká je veľkosť uhla α?

4. V pravouhlom trojuholníku ABC prepona c = 14 cm a cos α =47

. Odvesna b sa rovná

(A) 7 cm.(B) 8 cm.

(C) 492

cm.

(D) 74

cm.

5. V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c odvesna a = 6 cm a sinα =35

. Akú dĺžku máodvesna b?

(A) 8 cm(B) 10 cm

(C) 185

cm

(D) 20 cm

6. Aká je dĺžka strany rovnostranného trojuholníka ABC, ak jeho výška je v = 3√

3 cm? (Rieštepomocou goniometrických funkcií.)

(A) 9 cm(B) 8 cm(C) 6 cm(D) 3

√3 cm

6. KAPITOLA 153

7. Základne rovnoramenného lichobežníka ABCD majú dĺžku 9,5 cm a 5,5 cm. Uhol ramena adlhšej základne lichobežníka má veľkosť 36◦. Pomocou ktorého vzťahu sa dá vypočítať výška v?

(A) v =tg 36◦

2(B) v = 2 tg 36◦

(C) v = 2 sin 36◦

(D) v =sin 36◦

2


(A) d =450

cos 15◦

(B) d =450

tg 15◦

(C) d = 450 · cos 15◦

(D) d =450

sin 15◦

9. V obdĺžniku ABCD strana a = |AB| = 7 cm, strana b = |BC| = 10 cm. Uhol α zviera stranaAB s uhlopriečkou u = AC. Uhlopriečka u sá dá vyjadriť ako

(A) u =10

sinα.

(B) u =7

sinα.

(C) u =sinα

10.

(D) u =sinα

7.

10. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C dĺžka odvesny a = |BC| = 1 cm,dĺžka odvesny b = |AC| =

√3 cm. Uhol α je pri vrchole A, uhol β pri vrchole B. Potom

4 · sinα + tg β sa rovná

(A) 9√3

.

(B) 3 ·√

3.(C) 2 +

√3.

(D) 1 +√

32

.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

154 6. KAPITOLA


1. Aká je dĺžka prepony c pravouhlého trojuholníka ABC, ak veľkosť uhla α pri vrchole A je 30◦

a odvesna a = 3 cm?

2. V pravouhlom trojuholníku DEF s preponou f = 12 cm má vnútorný uhol pri vrchole D veľkosť60◦. Aká je dĺžka odvesny e?

3. V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c dĺžka odvesny b = 4,5 cm a tg α =23

. Aká jedĺžka odvesny a?

4. V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c odvesna a = 9 cm a sinα =13

. Akú má dĺžkuprepona c?

(A) 3 cm(B) 18 cm(C) 27 cm(D) 6 cm

5. V pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c odvesna b = 16 cm a cos α =45

. Akú dĺžku máodvesna a?

(A) 20 cm(B) 6 cm(C) 15 cm(D) 12 cm

6. Aká je dĺžka ramena rovnoramenného trojuholníka ABC, ak uhol pri základni α = 45◦ a jehovýška na základňu je 4

√2 cm?

(A) 10 cm(B) 8 cm(C) 6 cm(D) 4

√2 cm

6. KAPITOLA 155

7. Základne rovnoramenného lichobežníka ABCD majú dĺžku 9,5 cm a 5,5 cm. Uhol ramena adlhšej základne lichobežníka má veľkosť 52◦. Pomocou ktorého vzťahu sa dá vypočítať dĺžkaramena b?

(A) b = 2 · cos 52◦

(B) b =2

sin 52◦

(C) b =2

cos 52◦

(D) b = 2 · sin 52◦

8. Trať pozemnej lanovky spájajúca dolnú a hornú stanicu má dĺžku 10 km a rovnomerne stúpapod uhlom 9◦. Výškový rozdiel medzi dvoma stanicami sa dá vyjadriť pomocou vzťahu

(A) v = 10 · tg 9◦.

(B) v =10

cos 9◦ .

(C) v = 10 · cos 9◦.(D) v = 10 · sin 9◦.

9. V obdĺžniku ABCD strana b = |BC| = 6 cm, uhlopriečka u = |AC| = 11 cm. Uhol α zvierastrana AB s uhlopriečkou AC. Strana a = AB sa dá vyjadriť ako

(A) a =6

tg α.

(B) a =11

tg α.

(C) a =tg α

6.

(D) a =tg α

11.

10. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C dĺžka odvesny a = |BC| = 1 cm,dĺžka odvesny b = |AC| =

√3 cm. Uhol α je pri vrchole A, uhol β pri vrchole B. Potom

tg β + 2 · cos α sa rovná

(A)√

3 + 1.(B) 2 ·

√3.

(C)√

6.

(D) 5√3

.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

156 6. KAPITOLA


1. Aká je dĺžka prepony c pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole C, ak uholα pri vrchole A má veľkosť 30◦ a odvesna a = 7 cm?

a

b

c

C A

B

2. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C je odvesna b = 12 cm acos α =

45

. Aká je dĺžka odvesny a?

a

b

c

C A

B

3. Dotyčnice t1 a t2, vedené z bodu M ku kružnici k(S; r = 4 cm), zvierajú uhol 60◦. Aká je veľkosťúsečky MS?

t1

t2

M

S

60◦

4. Dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka je 5,2 cm. Jedna z odvesien má dĺžku 2,6 cm. Aká jeveľkosť najmenšieho uhla tohto trojuholníka?

(A) 25◦

(B) 30◦

(C) 35◦

(D) 40◦

5. Polomer podstavy rotačného kužeľa má dĺžku 3 dm, uhol strany kužeľa s rovinou podstavy je45◦. Aký je objem kužeľa?

(A) 3π dm3

(B) 6π dm3

(C) 9π dm3

(D) 18π dm3

6. KAPITOLA 157

6. V pravouhlom trojuholníku sa podiel veľkosti kratšej odvesny a prepony rovná 0,6. Druháodvesna má veľkosť 40 cm. Aký je obvod trojuholníka?

(A) 120 cm(B) 210 cm

(C) 150 cm(D) 160 cm

7. Deti púšťali šarkana na šnúre dlhej 50 m. V istej chvíli odhadli uhol napnutej šnúry od vodorovnejroviny na 30◦. Ako vysoko letel šarkan v tej chvíli?

(A) 45 m(B) 40 m

(C) 30 m(D) 25 m

8. Povrch rotačného kužeľa je 48π dm2, priemer podstavy je 80 cm. Aký uhol zviera strana kužeľas rovinou podstavy?

(A) 60◦

(B) 45◦

(C) 40◦

(D) 30◦

9. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C je dĺžka prepony 15 cm, uholβ = 40◦. Pomocou ktorého vzťahu sa dá vypočítať dĺžka strany b = AC?

(A) sin 40◦ =b

15

(B) cos 40◦ =b

15

(C) sin 40◦ =15b

(D) cos 40◦ =15b

10. Pravouhlý lichobežník ABCD má kolmé rameno AD, |AD| = 4 cm. Menšia základňa je CD,|CD| = c. Väčšia základňa má dĺžku |AB| = a = 8 cm. Potom uhol β pri vrchole B sa dávypočítať zo vzťahu

(A) cos β = 2− c

4.

(B) tg β =8− c

4.

(C) tg β =4

8− c.

(D) sinβ =4

8− c.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

158 6. KAPITOLA


1. V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C je odvesna b = 6 cm a tg β =34

.Akú dĺžku má prepona c?

a

b

c

C A

B

2. Aká je dĺžka ramena rovnoramenného trojuholníka ABC, ak uhol pri základni je 45◦ a výškana základňu je

√2 cm?

45◦

√2

A B

C

3. Aký je polomer podstavy kužeľa, ktorého strana s = 8 cm zviera s rovinou podstavy uhol α == 60◦?

4. Aká je dĺžka odvesny b pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole C, aksin α =

35

a prepona c má dĺžku 15 cm?

5. Rovnoramenný lichobežník ABCD má základne a = 18 cm, c = 12 cm. Uhol pri vrchole A máveľkosť 60◦. Aký je obvod lichobežníka?

(A) 40 cm(B) 42 cm

(C) 44 cm(D) 54 cm

6. V rovnoramennom trojuholníku, ktorý má obsah 12 cm2, je dĺžka základne 6 cm. Pre vnútornýuhol α pri základni platí

(A) α = 30◦.

(B) sinα =43

.

(C) sinα =45

.

(D) sin α =35

.

6. KAPITOLA 159

7. Začiatočná stanica lanovky je v nadmorskej výške 1 500 m, konečná stanica lanovky je v nad-morskej výške 2 100 m. Aká je vzdušná vzdialenosť dvoch staníc lanovky, ak uhol stúpania je30◦?

(A) 1 039 m(B) 519,6 m

(C) 692,8 m(D) 1 200 m

8. Vrchol továrenského komína stojaceho na vodorovnom teréne vidíme vo vzdialenosti 95 m odpäty komína pod uhlom 40◦. Pomocou ktorého vzťahu vieme vypočítať jeho výšku?

(A) v = 95 · sin 40◦

(B) v = 95 · tg 40◦

(C) v =95

tg 40◦

(D) v =95◦

cos 40◦

9. Aký objem má kužeľ s polomerom podstavy r, ak strana kužeľa zviera s podstavou uhol 60◦?

(sin 60◦ =√

32

, cos 60◦ =12

, tg 60◦ =√

3)

(A)√

33

πr3

(B)√

36

πr3

(C) πr3

6

(D)√

32

πr3

r

v

60◦

10. V rovnoramennom trojuholníku ABC je dĺžka základne a = 6 cm a dĺžka ramena b = 5 cm. Preuhol pri základni trojuholníka platí

(A) sinα =35

.

(B) cos α =53

.

(C) sinα =53

.

(D) cos α =35

.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

160

P

161

Kapitola 7

Podobnosť trojuholníkov

162 7. KAPITOLA


1. V trojuholníku MED sú dĺžky strán m = 4 cm, e = 5 cm, d = 8 cm. Trojuholník M ′E′D′ jes ním podobný, pomer podobnosti je k =

34

. Aké dĺžky strán má trojuholník M ′E′D′?

2. Dva trojuholníky V LK a PES sú podobné (na obrázku). Vypočítajte veľkosti chýbajúcich strána pomer podobnosti, ak je dané:

a) k = 13,5 cm, l = 21 cms = 4,5 cm, p = 5 cm

b) v = 125mm, k = 75mmp = 75mm, e = 30mm

P

S

Ee

p

s

V

K

Ll

v

k

3. Daný je trojuholník ABC, v ktorom a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. Určte, ktorý z nasledujúcichtrojuholníkov je s ním podobný. V prípade podobnosti trojuholníkov určte pomer podobnosti:

a) 4KLM

k = 6 cm

l = 9 cm

m = 9,6 cm

b) 4DEF

d = 3 cm

e = 4,5 cm

f = 6 cm

c) 4MNP

m = 12 cm

n = 18 cm

p = 28 cm

d) 4PQR

p = 10 cm

q = 15 cm

r = 24 cm

4. Rozhodnite, či sú dva trojuholníky ABC a A′B′C ′ s danými prvkami podobné:

a) a =83

cm, b =73

cm, γ = 55◦

a′ = 4 cm, b′ =72

cm, γ′ = 55◦

b) b = 15 cm, c = 17 cm, α = 75◦40′

b′ = 10 cm, c′ = 11 cm, α′ = 75◦40′

5. Rozhodnite, či sú trojuholníky ABC a XYZ podobné, ak je dané:

4ABC

a = 12,6 cm

b = 9,9 cm

c = 8,4 cm

4XYZ

x = 25,2 cm

y = 19,8 cm

z = 16,8 cm

Ak áno, určte pomer podobnosti, pomer podobnosti ich obvodov a porovnajte tieto dva pomery.

6. Strany trojuholníka ABC sú a = 2 cm, b = 3 cm, c = 2,5 cm. Aké sú strany k, u, s trojuholníkaKUS, ktorý je podobný s trojuholníkom ABC, a ktorého obvod je 12 cm?

7. KAPITOLA 163

7. Obvod trojuholníka ABC je 20 cm, jeho najkratšia strana má dĺžku 4 cm. Aký má obvod troj-uholník A′B′C ′, ak jeho najkratšia strana má dĺžku 10 cm a trojuholníky ABC a A′B′C ′ súpodobné?

8. Trojuholníky LES a RAJ sú podobné. Aká je veľkosť výšky vl na stranu l trojuholníka LES?Aká je veľkosť výšky vr na stranu r trojuholníka RAJ? Aký je obsah trojuholníka RAJ , ak

a) obsah trojuholníka LES je 21 cm2, |ES| je 7 cm, pomer podobnosti je k =43

?

b) obsah trojuholníka LES je 30 cm2, |ES| je 6 cm, pomer podobnosti je k = 1, 5?

9. Obsah pravouhlého trojuholníka HRA s pravým uhlom pri vrchole A je 30 cm2 a dĺžka jehoodvesny h je 10 cm. Trojuholníky HRA a LUK sú podobné s pomerom podobnosti k =

43

. Akésú dĺžky odvesien l, u trojuholníka LUK? Aký je obsah trojuholníka LUK?

10. Určte pomer podobnosti trojuholníkov LES a RAJ z príkladu č. 8. Vypočítajte obsahy obidvochtrojuholníkov a určte pomer podobnosti obsahov týchto trojuholníkov. Porovnajte tieto pomery.Podobne porovnajte pomer podobnosti a pomer podobnosti obsahov trojuholníkov z príkladuč. 9.

11. Rozhodnite, či sú rovnoramenné trojuholníky ABC a DEF podobné, ak základňa c = |AB| == 24 cm, vc = 16 cm, základňa f = |DE| = 72 cm, |DF | = 60 cm. Ak sú podobné, určtepomer podobnosti, dĺžku strany AC, výšku vf na stranu DE. Vypočítajte obsahy obidvochtrojuholníkov a pomer obsahov týchto trojuholníkov.

12. Najdlhšia strana trojuholníka IBA je dlhá 7,5 cm a najkratšia 3 cm. Trojuholník IBA je podobnýs trojuholníkom LEN a jeho najkratšia strana je dlhá 4,5 cm. Akú veľkosť má jeho najdlhšiastrana?

13. Daný je rovnoramenný trojuholník ABC so základňou a = 6 cm a ramenom b = 5 cm. Troj-uholník A′B′C ′ je podobný s trojuholníkom ABC, pričom výška na základňu a′ je v′

a = 10 cm.Akú dĺžku má základňa a′ a rameno b′ trojuholníka A′B′C ′?

14. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom A′B′C ′. V trojuholníku ABC je a = 3 cm,b = 5 cm, c = 6 cm. V trojuholníku A′B′C ′ má najkratšia strana dĺžku 9 cm. Akú dĺžku majúďalšie dve strany trojuholníka A′B′C ′? Aký je pomer podobnosti?

15. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom DEF . Trojuholník ABC má obvod 100 cm adĺžky strán trojuholníka DEF sú postupne o 8 cm, 14 cm a 18 cm dlhšie než strany trojuholníkaABC. Aké sú dĺžky strán oboch trojuholníkov?

164 7. KAPITOLA


1. Trojuholník ABC má strany a = 6 cm, b = 8 cm, c = 4 cm a trojuholník A′B′C ′ má stranya′ = 15 cm, b′ = 20 cm, c′ = 10 cm. Sú tieto trojuholníky podobné?

(A) Áno.(B) Nie.

2. Sú ľubovoľné dva rovnostranné trojuholníky podobné?

(A) Áno.(B) Nie.

3. Pravouhlý trojuholník má jeden uhol veľkosti 70◦, ďalší pravouhlý trojuholník má jeden uholveľkosti 30◦. Sú tieto dva trojuholníky podobné?

(A) Áno.(B) Nie.

4. V trojuholníku XY Z je |^ZXY | = 38◦, |^XY Z| = 92◦. Trojuholník STU je podobný s troj-uholníkom XY Z. Aká je veľkosť uhla SUT?

(A) 92◦

(B) 130◦

(C) 50◦

(D) 70◦

5. Najdlhšia strana trojuholníka ABC je dlhá 10 cm a najkratšia strana 5 cm. Trojuholník A′B′C ′

je podobný s trojuholníkom ABC a jeho najkratšia strana je dlhá 2 cm. Jeho najdlhšia stranamá dĺžku

(A) 25 cm.(B) 4 cm.(C) 5 cm.(D) Žiadna z uvedených možností nie je správna.

6. Trojuholník HRA je podobný s trojuholníkom LOS s pomerom podobnosti k = 3. Aký je pomerobvodov týchto trojuholníkov?

(A) 3(B) 6(C) 9(D) Žiadna z uvedených možností nie je správna.

7. KAPITOLA 165

7. Trojuholník ABC má strany dlhé 6 cm, 8 cm a 10 cm. Trojuholník A′B′C ′ má obvod 60 cm a jepodobný s trojuholníkom ABC. Pomer podobnosti k sa rovná

(A) 3.(B) 2,5.(C) 6.(D) 1,5.

8. Pravouhlý trojuholník ZEM s odvesnami 3 cm a 4 cm je podobný s pravouhlým trojuholníkomLAD, ktorého prepona je dlhá 2 cm. Odvesny trojuholníka LAD majú v centimetroch veľkosť

(A) 12

a 32

.

(B) 1 a 43

.

(C) 34

a 1.

(D) 65

a 85

.

9. Úsek AD na obrázku je rozdelený na 7 rovnakých častí. Úsečka AC meria 14 cm. Aká je dĺžkaúsečky AB?

(A) 9 cm

(B) 10 cm

(C) 8 cm

(D) 7 cm

AC

D

B

10. Vzdialenosť dvoch miest na mape s mierkou 1 : 40 000 je 7,5 cm. Skutočná vzdialenosť týchtomiest je

(A) 30 km.(B) približne 5,3 km.(C) 0,3 km.(D) 3 km.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

166 7. KAPITOLA


1. Sú podobné dva trojuholníky na obrázku?

(A) Áno.

(B) Nie.

sa;lsdka;l

sa;lsdka;lα

β

α = 28◦, β = 100◦τ

ω

τ = 100◦, ω = 52◦

2. Trojuholník ABC má strany a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm a je podobný s trojuholníkom KLM ,ktorého dve strany sú k = 9 cm, l = 6 cm. Aký je pomer podobnosti? Akú dĺžku má strana m?

3. Trojuholník ABC má strany a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm. Trojuholník MNP má stranym = 12 cm, n = 8 cm, p = 5, 5 cm. Sú tieto trojuholníky podobné?

(A) Áno.(B) Nie.

4. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom TUZ v pomere 5 : 3. Ak uhol α trojuholníkaABC má veľkosť 35◦, tak veľkosť uhla τ pri vrchole T trojuholníka TUZ je

(A) 45◦.(B) 25◦.(C) 35◦.(D) 55◦.

5. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom A′B′C ′. Pomer podobnosti je k =52

. Obsahtrojuholníka ABC je 24 cm2 a |BC| = 8 cm. Veľkosť výšky v′

a v centimetroch je

(A) 65

.

(B) 152

.

(C) 125

.

(D) 15.

6. Zvislá tyč dlhá 1 m vrhá pri slnečnom osvetlení na vodorovnú rovinu tieň dlhý 60 cm. Aký jevysoký zvislý stĺp, ktorého tieň je v tom istom čase dlhý 2,4 m?

(A) 40 m

(B) 4 m

7. KAPITOLA 167

(C) 2,5 m

(D) 25 m

7. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom DEC (na obrázku), pričom |AB| = 12 cm, |DE| == 8 cm, |CD| = 6 cm. Úsečka AD je dlhá

(A) 3 cm.

(B) 1,5 cm.

(C) 2 cm.

(D) 1 cm.

12

B

A

C

D

E

68

8. Na mape s mierkou 1 : 400 000 sú dve mestá vzdialené 5 cm. Koľko kilometrov je to v skutočnosti?

(A) 5 km(B) 2 km(C) 20 km(D) 50 km

9. Odvesny pravouhlého trojuholníka ABC majú dĺžky 3 cm a 4 cm. Prepona pravouhlého troj-uholníka A′B′C ′, ktorý je podobný s trojuholníkom ABC, je 2,5 cm dlhá. Kratšia odvesnatrojuholníka A′B′C ′ má dĺžku

(A) 2 cm.(B) 1,5 cm.(C) 1,2 cm.(D) 1,6 cm.

10. Rovnoramenné trojuholníky DOM a LES sú podobné. Obsah trojuholníka DOM je 9 cm2 aobsah trojuholníka LES je 36 cm2. Výška trojuholníka DOM je 6 cm. Akú dĺžku má základňatrojuholníka LES?

(A) 12 cm(B) 9 cm(C) 6 cm(D) 3 cm

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

168 7. KAPITOLA


1. Uhly trojuholníka sú v pomere 3 : 4 : 5. Uhly iného trojuholníka majú veľkosti 45◦, 60◦ a 75◦.Sú tieto trojuholníky podobné?

(A) Áno.(B) Nie.

2. Tieň stromu je dlhý 18 m a tieň metrovej tyče má v tom istom čase dĺžku 150 cm. Aká je výškastromu?

3. Aké sú dĺžky strán s, t, o trojuholníka STO, ktorý je podobný s trojuholníkom ABC, ak obvodtrojuholníka STO je 100 cm a strany trojuholníka ABC sú a = 8 cm, b = 14 cm a c = 18 cm?

4. Pravouhlý trojuholník ABC s odvesnami a = 3 cm a b = 4 cm je podobný s pravouhlým troj-uholníkom POD, ktorého prepona d = 10 cm. Akú dĺžku majú odvesny p, o trojuholníka POD?

5. Akú veľkosť má uhol ϕ?

(A) 30◦

(B) 40◦

(C) 50◦

(D) 60◦

150◦

120◦

ϕ

6. Rovnoramenný trojuholník ABC má základňu a = 6 cm a rameno b = 5 cm. Trojuholník A′B′C ′

má výšku na základňu v′a = 10 cm. Trojuholníky ABC a A′B′C ′ sú podobné. Základňa troj-

uholníka A′B′C ′ má dĺžku

(A) 15 cm.

(B) 152

cm.

(C) 252

cm.

(D) 12 cm.

7. KAPITOLA 169

7. Na mape s mierkou 1 : 25 000 je vzdialenosť dvoch dedín 7,2 cm. Skutočná vzdialenosť týchtodvoch dedín je

(A) 18 km.(B) 1,8 km.(C) 3,47 km.(D) 180 km.

8. Na pláne s mierkou 1 : 10 000 sú dve mestá vzdialené 8,5 cm. Akú vzdialenosť budú mať namape s mierkou 1 : 25 000?

(A) 6,8 cm(B) 6,5 cm(C) 4,3 cm(D) 3,4 cm

9. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom KLM , strana |AB| = 7 cm, |KL| = 3 cm, |AC| == 3 cm, |LM | = 4 cm. Strana BC má dĺžku

(A) 214

cm.

(B) 97

cm.

(C) 127

cm.

(D) 283

cm. A B

C

K L

M

10. Na pláne domu má balkón dĺžku 2 cm. Akú má dĺžku v skutočnosti, ak plán domu je zhotovenýv mierke 1 : 300?

(A) 6 m(B) 1,5 m(C) 3 m(D) Žiadna z uvedených možností nie je správna.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

170 7. KAPITOLA


1. Tieň veže je dlhý 75 m a tieň metrovej tyče má v tom istom čase dĺžku 150 cm. Aká je výškaveže?

2. Pravouhlý trojuholník PES má odvesny dlhé 3 cm a 4 cm. Pravouhlý trojuholník V LK mápreponu dlhú 20 m a jednu odvesnu dlhú 12 m. Sú trojuholníky PES a V LK podobné? Ak áno,určte pomer podobnosti.

(A) Áno.(B) Nie.

3. Trojuholník ABC má dĺžky strán a = 11 cm, b = 5 cm, c = 13 cm. S ním podobný trojuholníkA′B′C ′ má obvod 87 cm. Akú dĺžku má najdlhšia strana trojuholníka A′B′C ′?

4. Aký je pomer |AB| : |CD|, ak úsečka AB má dĺžku 6 cm a úsečka CD má dĺžku 3,6 cm?

(A) 53

(B) 35

(C) 54

(D) 16

5. Trojuholníky na obrázku sú zhodné. Akú veľkosť má uhol α?

5cm

52◦

73◦

5 cm73◦

α

(A) 52◦

(B) 55◦

(C) 65◦

(D) 73◦

7. KAPITOLA 171

6. V akej mierke je zhotovená mapa, ak vzdialenosti 30 km zodpovedá na tejto mape úsečka dlhá6 cm?

(A) 1 : 500

(B) 1 : 5 000

(C) 1 : 50 000

(D) 1 : 500 000

7. Na pláne v mierke 1 : 1 400 meria časť ulice 15 cm. Koľko meria v skutočnosti?

(A) 21 000 m(B) 2 100 m(C) 210 m(D) 21 m

8. Rovnoramenné trojuholníky RYS a LEV sú podobné. Základňa trojuholníka RYS má dĺžku8 cm a výška trojuholníka je 9 cm. Obsah trojuholníka LEV je 144 cm2. Výška na základňutrojuholníka LEV je

(A) 36 cm.(B) 32 cm.(C) 18 cm.(D) 16 cm.

9. Detské ihrisko má rozmery 50 m a 24 m. Na pláne mesta je toto ihrisko zobrazené ako obdĺžniks obvodom 7,4 cm. V akej mierke je plán mesta?

(A) 1 : 20

(B) 1 : 200

(C) 1 : 2 000

(D) 1 : 2 500

10. Priama cesta rovnomerne stúpa každé 2 m o 10 cm. O koľko metrov stúpne cesta na vzdialenosti1 250 m?

(A) O 62,5 m.(B) O 625 m.(C) O 6 250 m.(D) O 6,25 m.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

172

P

173

Kapitola 8

Objem a povrch telies

174 8. KAPITOLA


1. Vypočítajte povrch kocky,

a) ktorej hrana a = 3,2 dm.b) ktorej objem V = 216 cm3.c) ktorej telesová uhlopriečka ut =

√27 cm.

d) ktorá má obsah jednej steny 9 cm2.

2. Aký je objem kocky,

a) ktorej hrana a = 4 cm?b) ktorej povrch S = 486 cm2?c) ktorej telesová uhlopriečka ut = 9 ·

√3 cm?

d) ktorá má obsah jednej steny 25 cm2?

3. Akú dlhú hranu v centimetroch má kocka, ktorej objem je 712

jej povrchu?

4. Aký je objem kocky, ktorej povrch je 25 % povrchu kocky s hranou a = 40 cm?

5. Aký je povrch kocky, ktorej objem je osemkrát menší ako objem kocky s hranou a = 12 cm?

6. Ak sa hrana kocky zväčší trikrát, koľkokrát sa zväčší

a) povrch kocky?b) objem kocky?

7. Aká je hmotnosť kocky s hranou dlhou 2 m, ak kocka z toho istého materiálu s hranou dlhou1 m má hmotnosť 250 kg?

8. Pomer povrchu kocky k jej objemu je 2 : 1. Vypočítajte:

a) dĺžku hrany kocky v cm,b) objem kocky v cm3,c) povrch kocky v cm2,d) dĺžku stenovej a telesovej uhlopriečky v cm.

9. Aký je povch kocky v dm2, ak súčet dĺžok všetkých jej hrán je 120 cm?

10. Kváder má rozmery a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Vypočítajte:

a) objem kvádra,b) povrch kvádra,

8. KAPITOLA 175

c) dĺžku uhlopriečky podstavy a telesovej uhlopriečky,d) uhol telesovej uhlopriečky s uhlopriečkou podstavy.

11. Povrch kvádra je 162 dm2. Hrany podstavy majú dĺžky a = 2dm, b = 3dm. Vypočítajte:

a) dĺžku tretej hrany kvádra,b) objem kvádra,c) dĺžku uhlopriečky podstavy.

12. Hrana kocky a má dĺžku 4 dm. Aký je objem takého kvádra, ktorého objem sa rovná

a) 75 % objemu kocky?b) 25 % objemu kocky?

c) 78

objemu kocky?

d) 316

objemu kocky?

13. Koľko litrov vody je v nádrži tvaru kvádra s rozmermi a = 1 m, b = 1,2 m a c = 2,4 m, ak jenaplnená do

a) 14

svojej výšky?

b) 38

svojej výšky?

c) 56

svojej výšky?

d) 23

svojej výšky?

14. Aký je objem kvádra, ak jeho steny majú obsah 30 cm2, 35 cm2, 42 cm2?

15. Jedna stena kvádra je štvorec so stranou 8 cm, povrch kvádra je 704 cm2. Aký je objem tohtokvádra?

16. Pomer hrán kvádra je 1 : 2 : 2, kváder má dvakrát väčší povrch ako objem. Aké sú dĺžky hránkvádra v centimetroch?

17. Vypočítajte objem a povrch kvádra ABCDA′B′C ′D′, ak je dané:

a) us = |AC| = 10 cm|^AC ′C| = 45◦

b = |BC| = 8 cm

b) a = |AB| = 3 cmb = |BC| = 4 cmut = |AC ′| = 13 cm

18. Koľko litrov vody je v bazéne s rozmermi 25 m, 12 m a 280 cm, ak je naplnený do 27

svojej hĺbky?

176 8. KAPITOLA

19. Akvárium má tvar kvádra s rozmermi dna a = 75 cm, b = 3 dm. Naplnené je do 35

svojej výškya takto je v ňom 27 l vody. Akú výšku má akvárium?

20. Koľko litrov vody sa zmestí do nádrže tvaru kvádra, ktorého hrany sú v pomere 3 : 4 : 5 a súčethrán a + b + c = 36dm?

21. Rozmery podstavy kvádra a, b sú v pomere a : b = 2 : 3. Výška kvádra je o 2 dm väčšia akodlhšia hrana podstavy. Obsah podstavy je 6 dm2. Aký je objem kvádra?

22. Nádrž na olej je naplnená do dvoch tretín. Po odčerpaní 680 l oleja bude nádrž naplnená dodvoch pätín. Aký je objem nádrže?

23. Koľko litrov vody sa nachádza v nádrži tvaru pravidelného štvorbokého hranola, ak dĺžka pod-stavnej hrany je 80 cm, výška nádrže je 1,5 m a naplnená je do 45 % objemu?

24. Obvod podstavy pravidelného štvorbokého hranola sa rovná výške tohto hranola. Hranol máobjem 500 dm3. Aký má povrch?

25. Objem kvádra je 216 cm3. Akú dĺžku majú jeho hrany, ak jedna hrana má dĺžku 23

druhej hranya 150 % tretej hrany?

26. Plavecký bazén tvaru kvádra je 50 m dlhý a 16 m široký. Je v ňom napustených 14 400 hl vody.Aká je skutočná hĺbka bazéna, ak je napustený vodou do 90 % svojho objemu?

27. Bazén tvaru kvádra je naplnený vodou do 34

svojej výšky. Ak doň vpustíme ešte 500 hl vody,

bude naplnený do 78

svojej výšky. Aký objem má celý bazén?

28. Koľko kusov obkladačiek (10 cm x 10 cm) treba na obloženie dna a bočných stien bazéna srozmermi dna 20 m a 5 m, ak sa do bazéna zmestí 120 000 l vody?

29. Jednu hranu kocky zmenšíme o 50 %, druhú zväčšíme o 50 %, tretia zostane nezmenená. O koľkopercent sa zmení objem telesa?

30. V akváriu tvaru kvádra s rozmermi dna 25 cm a 30 cm je 15 litrov vody. Aký je súčet obsahovplôch (vrátane dna), ktoré sú namočené vo vode?

31. Aký je objem valca, ak r je polomer podstavy, d je priemer podstavy a v je jeho výška?

a) r = 4dm, v = 12dm

b) d = 6dm, v = 3dm

c) r = 2 ·√

2 dm, v = 10dm

d) d = 12dm, v =14

dm

8. KAPITOLA 177

r

v

32. Aký je povrch valca, ak r je polomer podstavy, d je priemer podstavy a v je jeho výška?

a) r = 1dm, v =12

dm

b) r =12

dm, v = 4dm

c) d = 4 ·√

5 dm, v =√

5 dm

d) r =38

dm, v =43

dm

33. Objem rotačného valca V = 12π dm3 a polomer podstavy r =√

3 dm. Aká je jeho výška v?

34. Objem rotačného valca V =365

π dm3 a výška valca je 2 cm. Aký je polomer podstavy?

35. Povrch rotačného valca S = 192π cm2, obsah plášťa je 120π cm2.

a) Aký je polomer jeho podstavy?b) Aká je jeho výška?c) Aký je jeho objem?

36. Nádoba tvaru valca má priemer podstavy d = 20 cm a obsah podstavy rovný obsahu plášťa. Akýje objem valca?

37. Obsah plášťa valca sa rovná súčtu obsahov jeho podstáv. Aký je objem valca v litroch, ak povrchvalca je 256π dm2?

38. Polomer podstavy valca je r, jeho výška je v. Ako sa zmení objem valca, ak

a) polomer zväčšíme dvakrát?b) výšku zmenšíme dvakrát?c) polomer zväčšíme štyrikrát a výšku zmenšíme dvakrát?d) priemer podstavy zväčšíme dvakrát a výšku zmenšíme štyrikrát?

39. Polomer podstavy valca r = 6 cm. Medzi výškou valca v a polomerom r platí vzťah2v + 3r = 30 cm. Aký je

a) povrch valca?b) objem valca?

178 8. KAPITOLA

40. O koľko centimetrov treba zväčšiť výšku valca s polomerom podstavy 10 cm, aby sa jeho objemzväčšil o 628 cm3? (π = 3,14)

41. Priemer podstavy valca sa rovná jeho výške. Povrch valca je 1 884 cm2. Aký je polomer valca?(π = 3,14)

42. Koľkokrát sa zmenší objem valca, ak sa jeho výška zväčší o 13

a priemer podstavy sa zmenší o50 %?

43. Valcovitá nádoba s priemerom dna 2 m obsahuje 1 000 l vody. Do akej výšky siaha voda?(π = 3,14)

44. Sud tvaru valca má polomer podstavy 30 cm a výšku 0,8 m. Koľkými päťlitrovými vedrami honaplníme do 3

4jeho výšky? (π = 3,14)

45. Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak a je hrana podstavy, v je výška ihlana, vs jevýška steny ihlana a α je uhol roviny BCV s rovinou podstavy?

a) a = 5dm, v = 15dm

b) a = 16dm, vs = 10dm

c) a = 12dm, α = 45◦

d) v = 4dm, vs = 6dm A B

CD

vs

b

v

α

V

a

46. Aký je povrch pravidelného štvorbokého ihlana, ak a je hrana podstavy, v je výška ihlana, vs jevýška steny ihlana, α je uhol roviny BCV s rovinou podstavy a V je objem ihlana?

a) a = 6dm, vs = 3dm

b) a =√

3 dm, v =52

dm

c) V = 750 dm3, a = 15dm

d) v =√

3 dm, α = 60◦

47. V pravidelnom štvorbokom ihlane ABCDV je výška bočnej steny dvakrát väčšia ako hranapodstavy. Obsah bočnej steny je 25 cm2. Vypočítajte:

a) povrch ihlana,b) veľkosť uhla steny BCV s rovinou podstavy.

8. KAPITOLA 179

48. Aký je objem rotačného kužeľa, ak r je polomer podstavy, v je výška kužeľa, s je dĺžka stranykužeľa a α je uhol strany kužeľa s rovinou podstavy?

a) r = 5 ·√

5 cm, v = 9 cm

b) r = 9 cm, s = 15 cm

c) r = 2 ·√

3 cm, α = 60◦

d) v = 4,5 dm, s = 7,5 dm

49. Polomer podstavy rotačného kužeľa je r, V je objem kužeľa, v je výška kužeľa, s je dĺžka stranykužeľa a uhol α je uhol strany kužeľa s rovinou podstavy. Vypočítajte povrch kužeľa, ak

a) r =√

2 dm, s =√

8 dm.

b) r = 2dm, v =√

5 dm.

c) V =32π dm3, r =

32

dm.

d) V = 128π dm3, v = 6 dm.

e) α = 60◦, s = 7 dm.

f) α = 60◦, v = 4.√

3 dm.

α

V

v s

r

50. Na hornej podstave valca s polomerom r = 50 cm a s výškou v = 3,5 dm je postavený kužeľ stakou istou podstavou. Aká je výška tohto kužeľa, ak jeho objem je 1

5objemu valca?

51. Obal tvaru rotačného kužeľa má objem 1 liter a výšku 12 cm. Aká je spotreba plechu na zhoto-venie jeho podstavy v dm2?

52. Kužeľ má polomer r = 3dm a výšku v = 3,14 dm. Aký je objem kužeľa? (π = 3,14)

180 8. KAPITOLA


1. Nádoba má tvar kvádra s rozmermi 20 cm, 30 cm, 10 cm. Koľko litrov vody treba na naplneniedvoch tretín nádoby?

2. Pravidelný štvorboký hranol má objem 16 cm3 a obsah podstavy 16 cm2. Aký má povrch?

3. Aký je povrch rotačného kužeľa, ktorého polomer podstavy r = 4dm a strana s = 20 cm?(π = 3,14)

4. Objem kocky je 1 000 cm3. Ktoré z tvrdení je správne?

(A) Hrana kocky má dĺžku 1 cm.(B) Obsah jednej steny kocky je 10 dm2.(C) Povrch kocky je 600 cm2.(D) Objem kocky je 10 litrov.

5. Nádrž tvaru valca má polomer podstavy r a objem V . Pre výšku v platí

(A) v =V

πr2.

(B) v =V

π· 1r2

.

(C) v =πr2

V.

(D) v =V

r2· π.

8. KAPITOLA 181

6. Rotačný kužeľ a rotačný valec majú rovnaký objem a rovnakú výšku. Je polomer kužeľa väčšíako polomer valca?

(A) Áno.(B) Nie.

7. Do kocky so stranou 6 cm je vpísaný valec. Aký je objem valca?

(A) 108π cm3

(B) 54π cm3

(C) 27π cm3

(D) 18π cm3

8. Tri steny kvádra majú obsah 6 cm2, 10 cm2 a 15 cm2. Objem tohto kvádra je

(A) 30 cm3.(B) 60 cm3.(C) 62 cm3.(D) 90 cm3.

9. Povrch valca s priemerom podstavy 1 meter a s výškou 1 meter je

(A) 4π m2.(B) π m2.(C) 3π m2.

(D) 32π m2.

10. Koľko stien má hranol, ktorého podstava je sedemuholník?

(A) 14(B) 9(C) 8(D) 7

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

182 8. KAPITOLA


1. Nádoba tvaru kocky je naplnená vodou do 12

svojej výšky. Ak dolejeme 20 l vody, bude nádoba

naplnená do 34

svojej výšky. Aký je objem celej nádoby?

2. Objem valca je 150π dm3, priemer podstavy je 100 cm. Aká je výška valca?

3. Aký je povrch pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV , ktorého podstavná hrana a = 3dm avýška bočnej steny vs = 5dm?

4. Do kocky s hranou dĺžky 20 cm je vpísaný valec. Aký je jeho povrch?

(A) 600π cm2

(B) 2 000π cm2

(C) 200π cm2

(D) 400π cm2

5. Obsah podstavy pravidelného šesťbokého hranola je 6 cm2 a obsah jednej steny je 10 cm2. Akýje povrch celého hranola?

(A) 60 cm2

(B) 72 cm2

(C) 16 cm2

(D) 66 cm2

8. KAPITOLA 183

6. Pravidelný štvorboký ihlan má objem 24 dm3 a výšku 45 cm. Dĺžka hrany podstavy je

(A) 3 dm.(B) 4 dm.(C) 4,5 dm.(D) 6 dm.

7. Bazén tvaru kvádra s rozmermi dna 15 m a 50 dm a s výškou 200 cm treba obložiť dlaždicami.Koľko dlaždíc treba použiť, ak sa na 1 m2 použĳe 40 dlaždíc?

(A) 6 000

(B) 6 200

(C) 9 200

(D) 9 000

8. Plášť valca má rovnaký obsah ako je obsah jeho podstavy. Valec je vysoký 4 dm. Aký polomermá podstava tohto valca?

(A) 8 dm(B) 6 dm(C) 4 dm(D) 2 dm

9. Dĺžky hrán kvádra sú tri po sebe idúce prirodzené čísla. Aká je dĺžka najkratšej hrany, ak objemkvádra je 120 cm3?

(A) 3 cm(B) 4 cm(C) 5 cm(D) 6 cm

10. Koľko vrcholov má pravidelný štvorboký hranol?

(A) 4(B) 12(C) 10(D) 8

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

184 8. KAPITOLA


1. Rozdiel povrchov dvoch kociek je 288 cm2. Väčšia kocka má dvakrát dlhšiu hranu ako menšia.Aká je dĺžka hrany väčšej kocky?

2. Aký je povrch rotačného valca, ktorého polomer podstavy r = 2dm a výška v = 3dm? (π = 3,14)

3. Obsah podstavy pravidelného štvorbokého ihlana je 7 cm2, obsah jednej steny je 5 cm2. Aký jepovrch ihlana?

4. Pravidelný štvorboký hranol má štvorcovú podstavu s hranou dlhou 15 cm, povrch hranola je16,5 dm2. Aký je objem hranola?

5. Povrch kocky je 54 cm2. O koľko musíme zväčšiť hranu kocky, aby sa jej povrch zväčšil o0,42 dm2?

(A) O 1 cm.(B) O 2 cm.(C) O 3 cm.(D) O 4 cm.

8. KAPITOLA 185

6. Kváder s rozmermi 8 cm, 50 cm, 20 cm a s hmotnosťou 160 kg sme otesali na kváder polovičnýchrozmerov. Aká je jeho hmotnosť teraz?

(A) 80 kg(B) 40 kg(C) 20 kg(D) 10 kg

7. Obsah plášťa rotačného kužeľa je 48π cm2, dĺžka strany kužeľa je 12 cm. Aký je povrch kužeľa?

(A) 84π cm2

(B) 96π cm2

(C) 56π cm2

(D) 64π cm2

8. Ako sa zmení objem valca, ak sa priemer podstavy zväčší dvakrát a výška sa zmenší štyrikrát?

(A) Zmenší sa dvakrát.(B) Zväčší sa dvakrát.(C) Nezmení sa.(D) Zväčší sa štyrikrát.

9. Akvárium je naplnené na 80 % svojho objemu. Je v ňom 324 l vody. Jeho rozmery sú v pomere1 : 5 : 3. Aký je jeho najväčší rozmer?

(A) 25 dm(B) 10 dm(C) 20 dm(D) 15 dm

10. Aká je výška pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou a = 0,6 dm, ktorý márovnaký objem ako kváder s rozmermi 4 cm, 5 cm, 12 cm?

(A) 40 cm(B) 30 cm(C) 20 cm(D) 10 cm

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

186 8. KAPITOLA


1. Dno akvária v tvare hranola má rozmery 30 cm a 50 cm. Do akej výšky sa akvárium naplní, akdo neho nalejeme 60 l vody?

2. Aký je objem rotačného kužeľa, ktorého polomer podstavy r =√

5 dm a výška v = 9dm?(π = 3, 14)

3. Obsah podstavy kvádra je 60 cm2, povrch kvádra je 324 cm2 a kratšia podstavná hrana má dĺžku5 cm. Aký je objem kvádra?

4. Aká je výška pravidelného štvorbokého ihlana, ak jeho podstavná hrana má dĺžku 1 dm a jehoobjem je 100 cm3?

(A) 1 cm(B) 3 cm(C) 10 cm(D) 30 cm

5. Povrch kocky je o 96 dm2 väčší ako je povrch kvádra s hranami dlhými 6 dm, 9 dm a 3 dm. Akýje objem kocky?

(A) 258 dm3

(B) 216 dm3

(C) 343 dm3

(D) 512 dm3

8. KAPITOLA 187

6. Valec má objem 250π cm3. Jeho podstava má polomer 5 cm. Aký je povrch valca?

(A) 200π cm2

(B) 150π cm2

(C) 125π cm2

(D) 100π cm2

7. Do bazéna tvaru kvádra s rozmermi dna 5 m a 12 m pritečie za hodinu 100 hl vody. Do akejvýšky sa bazén naplní za 3 hodiny?

(A) 3 m(B) 5 m(C) 0,5 m

(D) 1,6 m

8. Valec a kváder majú rovnako veľké obsahy podstáv a rovnakú výšku. Ktoré tvrdenie je správne?

(A) Ich objemy sú rovnaké.(B) Valec má väčší objem ako kváder.(C) Kváder má väčší objem ako valec.(D) Z daných údajov sa nedá jednoznačne určiť, ktoré teleso má väčší objem.

9. V pravidelnom štvorbokom ihlane ABCDV sa výška bočnej steny rovná dĺžke hrany podstavy.Obsah bočnej steny je 32 cm2. Aký je povrch ihlana v cm2?

(A) 48(B) 128(C) 512(D) 192

10. Počet uhlopriečok v kocke je

(A) 6.(B) 12.(C) 16.(D) 20.

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

188 8. KAPITOLA


1. Polomer podstavy kužeľa r = 3√

2 dm a výška v = 5dm. Aký je objem kužeľa?

2. Objem kocky je 1 m3. Aký veľký je jej povrch?

3. Aký je objem pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV , ktorého podstavná hrana a = 3·√

2 dma telesová výška je 5 dm?

4. Aký je objem rotačného valca, ktorého polomer podstavy r = 2dm a výška v = 3dm? (π = 3,14)

5. Aký objem má hranol štvorcovej podstavy s hranou dlhou 5 cm, ak je dvakrát taký široký akovysoký?

(A) 250 cm3

(B) 31,25 cm3

(C) 125 cm3

(D) 62,5 cm3

8. KAPITOLA 189

6. Balík má tvar kvádra. Podstava má rozmery 3 dm a 5 dm. Objem balíka je 60 dm3. Aký je jehopovrch?

(A) 94 dm2

(B) 47 dm2

(C) 74 dm2

(D) 84 dm2

7. Akvárium je naplnené do 34

svojej výšky. Ak pridáme 2 l vody, bude naplnené do 78

výšky. Akýje objem akvária?

(A) 8 l(B) 15 l(C) 16 l(D) 20 l

8. Na výkrese je nakreslený valec v mierke 2 : 1. Objem tohto valca v skutočnosti je

(A) dvakrát menší.(B) štyrikrát menší.(C) šesťkrát menší.(D) osemkrát menší.

9. Valec má objem 500π cm3. Jeho podstava má polomer 10 cm. Aký je povrch tohto valca?

(A) 150π cm2

(B) 200π cm2

(C) 300π cm2

(D) 600π cm2

10. Koľkokrát sa zväčší objem kvádra, ak jeden jeho rozmer zväčšíme dvakrát, druhý rozmer zväčšímetrikrát, a tretí rozmer zmenšíme štyrikrát?

(A) 1,5-krát(B) 24-krát(C) 3-krát(D) 2,5-krát

Koniec testu


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

190

Geometrické vzorce

tg α

√3

31

√3

cos α

√3

2

√2

212

sinα12

√2

2

√3

2

α 30◦ 45◦ 60◦

KV

AD

ER

KO

CK

A

MODEL POVRCH OBJEMINE

VELICINY

u1

u3

u2

ut

utus

S=

2·(

ab+

ac+

bc)

V=

abc

ut=√

a2

+b2

+c2

u3

=√

b2+

c2

u2

=√

a2

+c2

u1

=√

a2

+b2

S=

6a2

V=

a3 u

t=

a√

3u

s=

a√

2

a

b

c

a

a

a

191

P

KU

ZE

LIH

LA

NVA

LE

CH

RA

NO

L

MODEL POVRCH OBJEMINE

VELICINY

v

r

s

A B

CD

V

a

2a

2

a

2u

2

vvs

b

a

r

v

a

v

Sp

S

S=

πr2

+πrs

V=

1 3πr2

v

r=√

s2−

v2

v=√

s2−

r2

s=√

v2

+r2

S=

a2

+2a

v s

V=

1 3a2v

v s=

√ ( a 2

) 2 +v2

b=

√ ( a 2

) 2 +v2 s

b=

√ ( u 2

) 2 +v2

S=

2πr2

+2π

rv

V=

πr2

v

S=

2Sp

+S

pl

V=

Sp·v

192 RIEŠENIA ÚLOH A KONTROLNÝCH TESTOV

RIEŠENIA ÚLOH A KONTROLNÝCH TESTOV

1. KAPITOLA: Operácie s reálnymi číslami; Mocniny a odmocniny

1. 2

2. 19

3. 67

4. 278

5. A

6. 0,1

7. a) −194

; b) 4; c) 49

8. −54

9. C

10. B

11. D

12. B

13. A

14. 88 km

15. D

16. 200

17. Plat bol 16 120 korún.

18. Za 40 hodín.

19. B

20. D

21. C

22. 99

23. 4 : 3

24. B

25. 53 korún

26. a) x = 1; b) x 557

; c) x ∈ R; d) x ∈ R

27. a = −2; −1; 0; 1

RIEŠENIA ÚLOH A KONTROLNÝCH TESTOV 193

28. a) 1; 2; b) všetky celé, záporné čísla a 0; 1; 2; c) x 5 2

29. a) x >95

; b) x = −3; c) x < 3, 5

30. (A) Áno

31. a) >; b) <

32. D

33. 5

34. C

35. d = 7

36. a) 36; 3 600; 360 000; 0,36; 0,0036; 0,000 036; b) 49; 4 900; 490 000; 0,49; 0,0049; 0,000 049;c) 144; 1,44; 14 400; 144; 1,44; 14 400

37. a) 8; 8 000; 8 000 000; 0,008; 0,000 008; b) 64; 64 000; 64 000 000; 0,064; 0,000 064;c) −125; −125 000; −125 000 000; −0,125; −0,000 125

38. a) 2; 20; 200; 0,2; 0,02; b) 11; 110; 1,1; 0,11; 1 100; c) 23

; 109

; 57

; 110

; 116

39. a) 1; 2; 5; 4; 10; 3; b) 20; 50; 40; 100; 30; c) 0,1; 0,2; 0,5; 0,4; 0,3; d) 12

; 32

; 15

; 54

; 25

40. (2x)5

41. C

42. D

43. C

44. a) >; b) =; c) >; d) <

45. a) kladný; b) záporný; c) záporný; d) kladný

46. a) >; b) >; c) <; d) >; e) <; f) =; g) =; h) >

47. a) mínus; b) plus; c) plus; d) mínus

48. a) 1; b) 2; c) 1; d) −1

49. B

50. B

51. a) 1350

; b) − 536

; c) 2536

; d) 814

= 2014

52. B

53. a) 6564

; b) −658

; c) 12527

; d) 1

54. a) 21; b) 12; c) 18; d) 5

55. B

56. a) y6; b) 12x3; c) 27; d) −2q5; e) 2x5; f) 6y3; g) −12a7; h) y6

57. a) 10x3y2; b) −6x3y; c) 6x6y3; d) 70x4y6


58. C

59. a) 54; b) 7; c) 2; d) 2

60. a) 82; b) 108; c) x2; d) −5k3; e) a; f) 5m2; g) −2y2; h) 5x2

61. a) 1x4

; b) 1103

; c) 1y

; d) 2x2

62. a) 2a2x; b) 2a; c) 1; d) 1x

63. a) 5; b) 3; c) 3; d) 4

64. a) 25z2; b) 1 000x3; c) −64y3; d) 0,25a2; e) 8x3y3; f) 0, 09a2b2; g) 10 000x4y4; h) −27a3b3c3

65. a) 4x2

; b) 8x3

27; c) 8x3

y3; d) x2y2

100

66. a) 26; b) 1010; c) 1 0006; d) 16x6; e) −125x6; f) 64a6b9; g) 4a2b10; h) −x12

67. a) 27x3y6z9; b) 4a2b4c6; c) x6

y4; d) 8x6

68. D

69. D

70. D

71. B

72. C

73. A

74. C

75. B

76. B

77. B

78. 5,33 dm

79. 384 dm2

80. B

81. B

82. B

83. 6 cm

84. 64 litrov

85. C

86. B; V = 91,125 l



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

B) Nie −253 49 l B A D D B D C

1 2 1 2 2 1 3 3 3 2

Bodové hodnotenie: 20 – 18 výborný17 – 15 chválitebný14 – 10 dobrý

9 – 5 dostatočný4 – 0 nedostatočný

Poznámka: Stupnica platí pre všetky kontrolné testy.


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

B) Nie 13 4 C C D D D A D

1 2 2 2 2 1 2 3 2 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

64215

−x4 · y2 A A C C A A C

1 1 2 3 2 1 2 3 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

54 dm 20 1 890 cm3 C C D A A C D

1 2 1 2 1 3 3 3 2 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

−2 −1312

−9 B B D B D C C

1 2 1 1 2 2 2 3 2 3



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

14 5 6 B A A C B B D

2 1 2 2 3 1 1 3 2 3

2. KAPITOLA: Úprava algebraických výrazov

1. a) 5x + y; b) 10k − 3; c) s

3· t; d) 3b : 8 + a

2. a) (1 + y) · x; b) 10 · (k + 2p); c) 2k · l + m; d) x + y

5+ 3

3. a) 3y2 + 2y − 3; b) 5x2 − 2x; c) z2 + 11z; d) 5a3 − a

4. a) 3y2 − 2x; b) 2x2 + 5y2; c) −3b3; d) a3 + 6a− 7

5. Súčet: a) 10a3 − 2a− 12; b) 8a2 − 6b2 + 1; c) 7a2 + 11ab− 4b2; d) 7b2 + 8a2 − 2b3 + 14aRozdiel: a) 4a3 + 6a + 2; b) −6a2 + 4b2 − 3; c) −a2 − 7ab; d) −3b2 + 6a2 − 6a

6. 5a2 − 9a + 4; 18

7. a) x + 5y; b) 6− 2z; c) −7u + 14v; d) y2 − x2

8. a) −6x2 + x + 1; b) −4y2 + 2, 2y − 1; c) 4a2 + 4ab− 3b2; d) 2z2 − 3z − 5

9. a) x2 − y2 + x− y; b) 2m3 − 7m2 + m + 4; c) k3 − 1

10. 12xy − 3y − 7x; −23

11. a) 3x · (−2x + 3); b) a ·(3a2 − 13a− 11

); c) 6x3− 3x2− 8x + 15; d) 8x4 + 14x3 + 3x2− 5x− 2;

e) a4 − b4; f) x2 − 4x + 3

12. a) 3x · (1− y); b) a · (4a + 1); c) 6x · (2x− 3y); d) 4a · (3b− 2a + 1); e) 7 · (3x− xy + 2y);f) 8a2 ·

(1− 2a− a3

)13. a) 3b2 ·

(b2 + 5− 3b

); b) 2x ·

(y + z + 2y2

); c) (x + y) · (3 + z); d) (3z + 1) · (x + y + z)

14. a) (x− y) · (4− 7z); b) (p− 4) · (q + r); c) (2− x) · (y + 1); d) (2a− 3) ·(a2 − b

)15. a) −3x; b) 3; c) −1; d) 3x

16. a) a2 ·(a2 + b

); b) 2x2y ·(3− xy); c) 3ab·

(2a2b− 3ab2 + 4

); d) 4x3y ·(6y − 7); e) (b− 3)·(x− 2);

f) (2 + 3y) · (4x− 3); g) (x + 2y) ·(a2 + 3

); h) −2a · (x− 5)

17. a) 9y2 + 6y + 1; b) x2 + 8xy + 16y2; c) 0,36s2 + 1,32st + 1,21t2; d) 14

+13x +

19x2

18. a) x2 − 10x + 25; b) 36z2 − 84z + 49; c) 0,25v2 − 1,2uv + 1,44u2; d) 49− 2

3a +

14a2

19. a) x2+4xy+4y2; b) 25a2+10ab+b2; c) 36a2−60ab+25b2; d) x2−4xy+4y2; e) 14a2+2ab+4b2;

f) 4x2 + 4xy + y2; g) 16a4 − 40a2b5 + 25b10; h) 9x2 − 12xy + 4y2

20. a) 25a2 − 1; b) x2 − 116

; c) 16x2 − 9y2; d) 25b2 − 0,16


21. a) x2 − 9; b) 25− x2; c) x2 − 14

; d) 2; e) 3; f) 9a2 − 25b2; g) 19x2 − 1

25y2; h) 25− 3x2

22. a) −6x− 18; b) −8a

23. a = −3

24. a) 8b2; b) −5x2 − 4xy + 4y2

25. a) b2; b) 24x; c) 49x2; d) 4uv

26. a) 10y; 100y2; b) a; 5y; 10ay; c) 6v; 81u2; d) 2y; 64x2; 32xy

27. a) x2 − 16 = (x− 4) · (x + 4); b) 25a2 − 9n2 = (5a− 3n) · (5a + 3n);c) (2x + 5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2; d) (7x− 3y)2 = 49x2 − 42xy + 9y2;e)(5ab2 + 2

)2 = 25a2b4 + 20ab2 + 4; f) (3x− 5)2 = 9x2 − 30x + 25;

g)(

14x2 − 3y

)2

=116

x4 − 32x2y + 9y2; h) 9x2 − 4y2 = (3x− 2y) · (3x + 2y)

28. a) (4b− a) · (4b + a); (a + 2y) · (a− 2y); (9a− b) · (9a + b); (5y − x) · (5y + x)

b) (p + 1) · (p + 1); (4 + z) · (4 + z); (6x + 1) · (6x + 1); (3a + 2b) · (3a + 2b)

c) (r − 3s) · (r − 3s); (x− 12) · (x− 12); (4y − x) · (4y − x); (d− 7) · (d− 7)

d) (5xy − 10) · (5xy + 10); (3uv − 1) · (3uv − 1); (4 + 7xy) · (4 + 7xy)

29. a) (x−2y) · (x+2y); b)(

23x− 4y

)·(

23x + 4y

); c) (x−6) · (x+4); d) (2x−y−z) · (2x−y+z);

e) 4 · (4x + 1) · (5x− 1); f) (3a− 1) · (3a + 1); g) (4x− 5y2z) · (4x + 5y2z); h) 5 · (2x− 1)

30. a) (a+2b)2; b) (5x+1)2; c) (2a−3b)2; d) (ab+6)2; e) (4x+11)2; f) −(3+2x)2; g) (9x−5y)2;

h)(

12x− y

)2

31. a) 3 · (c− d)2; b) 12 · (x− 2y) · (x + 2y); c) 3x · (x + 3)2; d) b · (2a− 3b); e) x2 · (4− x);f) 4b · (a− 4)2; g) (9− x + y) · (9 + x− y); h) a · (a− 2b)2

32. a) (x− 1) · (a + 1); b) (a− b) · (x− 1); c) (3m− 2) · (x− 2y); d) (5− x) · (2a + 3b);e) (a+b−c) ·(a+b+c); f) (x−a+3) ·(x+a−3); g) (x+y) ·(x−y+4); h) (x−8) ·(x+1) ·(x−1)

33. a) (a + 1) · (a2 + 1); b) (a + b) · (m + n); c) (7 + x) · (5 + y); d) (2a− 3) · (3ax + 1);e) (2x + y) · (2a + b) · (2a− b); f) (5a + 2b) · (3x− 2y); g) (a− 5) · (a− x); h) (x + 4) · (y − 4)

34. o = 8x− 16; S = 4x2 − 16x + 16

35. Áno

36. n3 + 3n2 + 2n

37. B

38. C

39. C

40. C

41. D

42. a) 2x; x 6= 3, ±2; b) −2; x 6= 32y, y 6= 0; c) a2 + ab; a 6= ±b; d) x + y

4, x 6= y;

e) 19x− 6

; x 6= 0, x 6= −4, x 6= 23

; f) b− 3a− 1

; b 6= 3, a 6= 0, ±1; g) −2x; x 6= 0, x 6= ±3;h) −2; c 6= 0, c 6= ±5


43. výraz nemá zmysel pre: a) x = 0, x = y; b) x =53

; c) x = ±74

; d) x =32

, x = −15

44. výraz má zmysel, ak: a) x 6= 0, x 6= 12

; b) x 6= ±2y; c) x 6= 3, x 6= −1; d) x 6= 2

45. a) pre x = ±y, y 6= −2x; b) pre x = ±89

, x 6= −1; c) pre x =34

, x 6= −2; d) pre x = −2, x 6= 2;

e) pre x = 0,−1, y = 3, x 6= 2; f) pre žiadne x; x 6= −32

, x 6= −2, x 6= ±4

46. a) 4x + 2; b) 3x2 − 6x; c) x2 − 9; d) 5− 2x; e) −1; f) (4 + x)2

47. a) 1a + b

; a 6= ±b; b) 4a

a− 3; a 6= ±3; c) −x

y; x 6= 0, y 6= 0, x 6= y; d) −2xy

x2 − y2; x 6= ±y;

e) − 1y · (x + y)

; x 6= ±y, y 6= 0, y 6= −1; f) 13d− 1

; d 6= 0, d 6= 1, d 6= 13

;

g) 1− x

1− 2x; x 6= ±1, x 6= ±1

2; h) x

y; x 6= 0, x 6= 1, y 6= 1, y 6= 0

48. a) 1x · (x− 1)

; x 6= 1, x 6= 0; b) 2y + 1y · (y + 1)

; y 6= −1, y 6= 0; c) x− y

x + y; x 6= ±y, x 6= y 6= 0;

d) 1x

; x 6= 1, x 6= 0; e) 2x2 − 4

; x 6= 0, x 6= ±2; f) x + 2y

2y; x 6= ±2y, y 6= 0

49. a) (x− y)2; b) r − 4; c) 6abx; d) 3m; e) −1; f) a− 1

50. a) c =V

a · b; b) a =

S − 2bc

2 · (b + c); c) c =

2S

v− a; d) s =

S − πr2

πr; e) v =

3V

a2; f) l =

T 2 · g4π2

51. a) x > −12

; b) x < 3; c) x < 2; d) x > −1

52. a) x < −2; b) x >52

; c) x < 9; d) x > −23

53. a) x =12

; b) x 5 −3; c) x =14

; d) x 5 2

54. a) x = 12; b) x = 5; c) x = 1; d) x = −1

55. D

56. C


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

−3 2 + 2b 2 D A C C D C C

1 1 2 1 2 2 3 2 3 3



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

67 1 x(x− y) B A D C C A C

1 2 1 2 2 3 3 1 2 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

28xy 6(x + 2) 3 B D B A C A A

1 2 1 1 2 2 2 3 3 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

72,8 30y V =m

% D D A B A B B

1 1 1 2 3 3 2 2 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

x− y

2xy0,11 24− 3b A B C B C D B

1 1 1 3 3 3 2 2 2 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2y2 − 6y − 3 −1 −4 A C D C C C D

2 3 1 2 1 3 3 2 2 1



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

b− 3a− 1 2 B C D D D B A B

1 1 2 1 2 3 2 3 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

5 25y2 C D B C C D C B

1 1 2 3 1 2 2 3 3 2

3. KAPITOLA: Lineárna funkcia; Priama a nepriama úmernosť

1. C[3; 7]

A

B

C

D

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

y

x

2. A,B neležia, C leží na grafe

3. YYUb)

a)

c)

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

2,5

y

x


4. y = 10 · x

y 1 2 5 8x 0,1 0,2 0,5 0,8

5. a) y = 3x; b) y = x; c) y =x

2; d) y =

x

4

6. a) A [2; 1]; B [10; 1]; C [10; 5]; D [2; 5]; b) o = 24 cm; c) S = 32 cm2; d) u.= 8,9 cm; e) v

.= 5,4 cm

7. jhkl

y 84 42 28 21 16,8 14 12 8,4 7x 1 2 3 4 5 6 7 10 12

8. a) k = 6; b) k = 1

9. y =5x

y 10 5 2,5 1 0,5x 0,5 1 2 5 10

0 1 2 5 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

x

10. y =4x

y 2 1 0,8x 2 4 5

11. Trať má na 5. kilometri 9-metrové, na 10. 18-metrové, na 15. 27-metrové, na 20. kilometri36-metrové stúpanie.

12. a) y =36x

;

b)

y 36 18 12 9 7,2 6 4,5 4x 1 2 3 4 5 6 8 9

13. y =32x

14. D

15. B


16. a) b) c)

0 1

1

2

-2

y

x 0

1

2

-1

y

x

0

5

-1-2

y

x

d) e) f)

0 1

12

52

y

x

0 1

5

y

x0

1

-4

y

x

17. a) y = 5; b) y = 9; c) y = −3; d) y = −5; e) y = 0; f) y =73

18. a) x = 0; b) x = 3; c) x = −1; d) x = 4; e) x =134

; f) x =72

19. a) A neleží; b) B leží; c) C leží; d) D neleží; e) E leží; f) F neleží

20. a) q = −2; b) q = −5; c) q = 4; d) q = 0; e) q =13

; f) q = −35

21. a) k = −2; b) k = 3; c) k = 1; d) k = 12; e) k = 2; f) k = −92

22. a)[23; 0]; b)

[−1

4; 0]; c) [0; 0]; d)

[32; 0]; e)

[43; 0]; f)

[−1

2; 0]

23. a) [0;−3]; b)[0;−1

3

]; c) [0; 4]; d) [0; 2]; e) [0; 0]; f)

[0;−2

3

]24. a) rastúca; b) rastúca; c) klesajúca; d) klesajúca; e) klesajúca; f) rastúca

25. a) y = 11; y = 14; y = 17y = 3x + 2

b) y = 9; y = 11; y = 13y = 2x + 3

c) y = 19; y = 23y = 4x− 1

d) y = 9; y = 12; y = 15y = 3x

e) x = 8y = −5x + 40

f) x = −4

y =15x +

225


26. a) P [2; 3] b) P [4; 6]

0 1 2

1

2

3

4

5

y

x

y=

2x−

1

y =−x+

5

P

0 3 4 6 8

P

9

6

45

y

x

y = 8− x2

y=−

3x+

18

c) P [2; 3] d) P [−2; 3]

-1 0 1 2

2

3

-1

y

x

P

y =x + 7

3

y=

4x−

5

-1 0-2 21 2

-3

3

1

y

x

P

y=− 3

2 x

y = − 23 x + 5

3

e) Priamky nemajú priesečník, sú rovnobežné. f) Priamky majú všetky body spoločné, súPdklaldfk;aldkf;sldkf;sldfk;sldkf;sdlfks;ldkf;sdllllllkkfk totožné.

10 2 4

12

−32-2

2

y

x

y=

4x−

32

y=

2x−

6

10

1

-2

y

x

y=

6x−

42

y=

3x−

2;


27. a) y = x+1; b) y = −7x+10; c) y = −32x−3; d) y =

12x+2; e) y = −5

2x+2; f) y = −2

5x+2

28. lfdk;ldgk;flgka;dlfgka;flgka;lf

x

y −4 4 312

313

12

29. a)

20-1

-2

y

x7

y = 2− x5

b) priesečník s osou x: [2; 0], priesečník s osou y: [0;25]; c) pre x = −13 je y = 3;

d) pre x > −23; e) bod A patrí do grafu funkcie, bod B nepatrí do grafu funkcie; f) S =25

cm2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

18 dnı12 5 B C C B A B A

2 1 2 1 1 2 3 2 3 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

4,8 lL[2; 6]K[3; 9]y = 3x

3 D C C B D B D

2 2 2 1 3 3 1 1 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

y = 6xNie

(B)19,2 l C D A A B D B

2 2 2 1 2 1 3 3 3 1



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

52

y =45x

8 l B D D C D B D

2 2 2 1 1 3 1 3 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

y = 3x y = 12,5x −1 D C C B D C D

3 2 1 2 2 2 3 1 3 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ano

(A)30 km C A C C D A A B

2 2 1 2 2 2 3 2 3 1

4. KAPITOLA: Lineárne rovnice a nerovnice; Sústavy lineárnychrovníc; Slovné úlohy

1. a) −1; b) 1

2. a) 1; b) −1; c) 6; d) −2

3. a) 1; b) 4; c) 1; d) 12

4. 5

5. 4

6. 3 Ľ = P = −8

7. 2

8. a) 2; b) 6; c) 4; d) −1

9. a) 41; b) 12

10. a) −8; b) 2; c) 8; d) 9

11. a) 8; b) −4; c) 8; d) −2

12. a) a =V

bc; b =

V

ac; c =

V

ab; b) a =

S

b; b =

S

a; c) r =

√S

π; d) v =

V

πr2; r =

√V

πv

13. m = % · V ; m = 39 g


14. a) t1 = t2 −Q

mc; b) t2 =

Q

mc+ t1; c) m =

Q

c(t2 − t1)

15. B

16. B

17. D

18. C

19. A

20. C

21. (A) Áno

22. A

23. B

24. A

25. a) x = −25

; b) x = −75

; c) x =16

; d) x = −185

26. a) x = 0, x =53

; b) x = 0, x = 1, x = −2; c) x = −5, x = 0, x =13

; d) x = 0, x = 1

27. a) x = 0; b) x = −1; c) x = 11; d) v množine celých čísel nemá riešenie (x = 4,4); e) x = 0;

f) v množine celých čísel nemá riešenie(

x =103

)28. a) x = 7; b) x = 4; c) x = −2; d) x = 2

29. a) x = 9; x 6= 7, x 6= 11; b) nemá riešenie; x 6= −3; c) x = 2; x 6= 4, x 6= 0;d) x = 8; x 6= 4, x 6= −4; e) x = 18; x 6= 0; f) x = 9; x 6= 9

8; g) x = 7; x 6= −14

9;

h) x = 10; x 6= 5, x 6= 52

; i) x = 4; x 6= 2, x 6= 3; j) x = 8; x 6= 5, x 6= 3

30. a) x = 9; b) x = 8; c) x = −10; d) x = 17; x 6= 2, x 6= −3, x 6= −1; e) x =12

; f) x =12

;g) rovnica má nekonečne veľa riešení; h) rovnica nemá riešenie

31. a) A = 1; b) A = 3; c) A = −21; d) A = 8; e) A = 3; f) A = 5

32. a) x > −4; b) x < 1

33. x >83

34. x = 0,5

35. s 5 −2

36. 5

37. a) x = 4, y = −6; b) x = 5, y = 2; c) x = 0, y = 2; d) x = −1, y = −3; e) x = 5, y = 8;f) x = 4, y = −1

38. a) sústava nemá riešenie; b) x = 9, y = 7; c) x = 2, y = 7; d) x = 3, y = −1; e) x = 3, y = 2;f) x = −3, y = 0

39. a) x = −5, y = −11; b) x = 3, y = 5; c) x = 15, y = −15; d) x = 2, y = −4


40. 7

41. 4 rady, 38 žiakov

42. 9 litrov

43. 36

44. 18

45. o 10 rokov

46. Matka má 45 rokov, dcéra 15 rokov.

47. Katka má 10 rokov.

48. Na ihrisko prišlo 12 dievčat a 36 chlapcov.

49. Bicykel stál 6 200 korún.

50. Kniha mala 120 strán.

51. 900 litrov

52. V autobuse je 11 mužov, 18 žien a 7 detí.

53. Obsah obdĺžnika je 5,12 cm2.

54. a) 4 500m; b) 45 000m

55. Pagáčikov bolo 40.

56. Počet žiakov školy je 600.

57. Pôvodný zlomok je 35

.

58. Pôvodná cena pulóvra bola 1 200 Sk.

59. Boris zarobil 1 008 korún, Cyril zarobil 840 korún.

60. 27; 18

61. 1 750 korún

62. 30 ks 20-korunových a 149 ks 100-korunových bankoviek

63. 4 ks 10-korunových a 12 ks 5-korunových mincí

64. 8 štvormiestnych a 7 trojmiestnych izieb

65. Zmiešať sa má 15 kg čaju po 150 Sk a 5 kg čaju po 210 Sk.

66. Treba zmiešať 10 litrov 16-percentného vína a 20 litrov 7-percentného vína.

67. 1 : 4

68. Zásoby vydržia na 7,5 dní.

69. 157

hodiny

70. 6 hodín

71. 4 hodiny


72. áno, za 3 hod. 45 min.

73. za 21 dní

74. 48 minút

75. 91 km/h

76. za 14 sekúnd

77. 88 km/h

78. 250 km

79. 20 + 2 = 22 hod.

80. o 6 minút

81. o 40 minút

82. o 8 hodín, s = 480 km

83. s = 1km

84. t = 75s

85. o 8 minút

86. 161,1 m

87. 26-krát


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

L=P=32 12 0,5 hod. C D B B C B D

2 1 1 2 1 2 3 2 3 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

L=P=47 −3

S2 = 90 kmS1 = 120 km

3 hod.D D C D B D C

2 2 3 1 2 1 1 3 2 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

40 28 . 56 C A B C D C A

1 1 3 1 1 2 2 3 3 3



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

5 4 800 Sk65 D D B B C C A

1 3 1 1 1 2 3 2 3 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

8 132 15 cm B D B D A C A

1 2 1 1 3 3 2 3 3 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

L=P=7

1049

5 200 Sk

7C C A C C C B

2 1 3 2 1 2 3 1 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

0, 1, 2 56; 84 26 C B B D D B B

1 2 2 1 2 2 2 3 3 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

3 3,6 15; 6 B C A D A A B

2 1 2 2 3 1 3 3 1 2



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

1zaj. = 5sl. = 17 120 C B A B B B B

1 2 1 3 3 2 3 1 2 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

53 24 38 C A B D A B D

1 1 2 1 2 2 3 3 3 2

5. KAPITOLA: Pytagorova veta a jej použitie; Obvody a obsahyzákladných rovinných útvarov; Kruh, kružnica

1. B

2. D

3. (A) Áno

4. a) c = 10 cm; b) a = 20 cm; c) b = 25 cm

5. a) k = 5 cm; b) m = 50 cm; c) l = 9 cm; d) k = 27 cm

6. o.= 84,5 cm; S

.= 306 cm2

7. B

8. a = 130mm

9. v = 20,78 cm; S = 249,4 cm2

10. o.= 72,5 cm; S

.= 318,6 cm2

11. C

12. a) f.= 15, 7 cm; b) a = 5 cm

13. B

14. u1 = 12,2 cm; u2 = 11,6 cm, uhlopriečka obdĺžnika je dlhšia

15. a) b = 13 cm; b) m = 14 cm; c) a = 9,6 m

16. C

17. v = 16m; S = 136m2

18. 260 cm

19. v.= 8,3 m


20. D

21. S = 135 cm2, u.= 17,49 cm

22. spolu = 290,6 cm (V .= 49,5 cm, A.= 55,5 cm, N

.= 74,8 cm, E = 54 cm, K = 56,8 cm)

23. a.= 17,7 cm

24. Áno

25. C

26. v.= 5m

27. S.= 249,36 dm2

28. 16 m

29. 26 N

30. ut.= 48,5 dm

31. ut = 17,23 cm

32. v = 7 cm

33. a) 8 cm; b) 15 cm; c) 360 cm3; d) 408 cm2

34. V = 540 cm3, S = 600 cm2

35. D

36. a) a = 13 cm; b) v = 5 cm; c) S = 500 cm2; d) V = 600 cm3

37. C

38. 180 m2

39. V = 24 cm3

40. V = 512 cm3

41. C

42. V = 120 cm3

43. C

44. Obvody sú rovnaké.

45. 125,6 m

46. približne 16 okruhov

47. 2 700m

48. o 94,2 m

49. d = 60,5 cm; S.= 28,7 dm2

50. približne 127-krát

51. a) 15,7 mm; b) 35,3 cm

52. a) 188,4 cm; 12,56 cm b) 23,55 cm; 1,57 cm; c) 2 260,8 cm; 150,72 cm


53. B

54. B

55. A

56. B

57. S1 = 58,875 cm2 > S2 = 56,52 cm2

58. a) 211,4 m; b) 978,5 m2

59. a) S = 12,56 cm2; b) S = 4,56 cm2; c) 9,12 cm2; d) 3,44 cm2

60. 3 dm

61. D

62. A

63. D

64. 301,44 cm2

65. a) dotyčnica; b) sečnica; c) nesečnica

66. a) k⋂

n = {A, B}; v < r; n je sečnica kružnice

b) k⋂

m = T ; v = r; m je dotyčnica kružnice

c) k⋂

l = �; v > r; l je nesečnica kružnice

67. dotyčnice sú rovnobežné, lebo tetiva AB je priemer

68. dajú sa zostrojiť dve dotyčnice

69. priamka ST ⊥ t; k(S; r = |TS|)

70. vzdialenosť v = 3,13 cm

71. 8 m

72. polomer vpísanej kružnice je 1,8 cm

73. polomer opísanej kružnice je 3,1 cm

74. B

75. a) majú spoločné dva body; b) ležia mimo seba, nemajú spoločný bod

c) majú vonkajší dotyk v jednom bode; d) majú vnútorný dotyk v jednom bode

76. polomer kružnice bude

a) r < 3 cm, alebo r > 5 cm; b) r = 3 cm, alebo r = 5 cm; c) 3 cm < r < 5 cm

77. A

78. C

79. A



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

48 cm2 209 m 84 cm2 A A A D B D A

1 1 2 3 2 3 1 3 3 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

5 cm 64 cm3 32 cm A C B A A C C

2 2 2 1 1 2 3 3 3 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

9-krat 3π dm3 26,16 m2 A A D B D C C

1 3 1 1 2 2 3 3 2 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

351 cm3 23,55 cm 6 cm B A A C B A B

3 2 1 1 2 2 3 3 2 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

312 cm2 2 976 cm2 1,36% D C D B C C C

3 3 2 2 1 2 1 2 3 1



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

12,3 cm1 661 ks

Nie240π dm3 C D C A D D C

2 2 3 3 2 1 2 3 1 1

6. KAPITOLA: Goniometria ostrého uhla

1. a’;dlf’s;dlf’s;dfla’s;dlf’;lg

a) α

3 4

α

1 2

β

2

3

β

1

4

b)α

3

5

α1

2β

2 5β

1 3

c)α

6

5α

7

3

β

10

7

β

2

1

2. a) a = 5 cm; b) a = 10 cm; c) a = 6 cm; d) a = 7 cm

3. a) b =4√3

cm, c =8√3

cm; b) a = 1 cm, c = 2 cm

4. a) α = 30◦, β = 60◦; b) α = 45◦, β = 45◦; c) β = 60◦, α = 30◦; d) β = 30◦, α = 60◦

5. a) β = 58◦, a.= 9,54 cm, b

.= 15,26 cm; b) β = 60◦, a.= 11,55 cm, c

.= 23,1 cm

6. a) a = 7,2 cm, b = 9,6 cm; b) a = 10,06 cm, b = 9 cm

7. a) c = 32,5 cm, a = 12,5 cm; b) c = 25,8 cm, a = 21 cm


8. c = 8 cm

9. a) a = 1 cm; b) b =√

3 cm

10. a = 2 cm

11. a) 65

; b) − 815

; c) − 120

; d) 2720

12. a) 8; b) −12

; c) 910

; d) 11

13. r = |AS| = 6 cm


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

52

cm 56 cm 60◦ B A C B D A C

1 1 1 2 2 2 2 3 3 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

6 cm 6 cm 3 cm C D B C D A B

1 1 1 2 2 2 2 3 3 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

14 cm 9 cm 8 cm B C A D A A C

1 1 2 1 2 3 2 3 2 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

10 cm 2 cm 4 cm 12 cm B C D B A D

2 1 1 2 2 3 3 2 3 1

7. KAPITOLA: Podobnosť trojuholníkov

1. m′ = 3 cm; e′ =154

cm; d′ = 6 cm


2. a) kp = 3, v = 15 cm, e = 7 cm; b) kp =53

, l = 50mm, s = 45mm

3. a) nie; b) áno, k =34

; c) nie; d) nie

4. a) sú podobné, k =32

; b) nie sú podobné

5. sú podobné, k = 2 =o′

o

6. kp = 1,6, k = 3,2 cm, u = 4,8 cm, s = 4 cm

7. k =52

, o′ = 50 cm

8. a) vl = 6 cm, vr = 8 cm, SRAJ =1123

cm2; b) vl = 10 cm, vr = 15 cm, SRAJ = 67,5 cm2

9. l =403

cm, u = 8 cm, SLUK =1603

cm2

10. príklad č. 8: a) SRAJ =1123

cm2, k2 =SRAJ

SLES=

169

; b) SRAJ = 67,5 cm2, k2 =SRAJ

SLES= 2,25

príklad č. 9: k2 =SLUK

SHRA=

330

=169

11. sú podobné, k = 3, |AC| = 20 cm, vf = 48 cm, SABC = 192 cm2, SDEF = 1 728 cm2, k2 =

=SDEF

SABC= 9

12. Najdlhšia strana má veľkosť 11,25 cm.

13. a′ = 15 cm, b′ =252

cm

14. b′ = 15 cm, c′ = 18 cm; k = 3

15. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 45 cm, a′ = 28 cm, b′ = 49 cm, c′ = 63 cm


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ano

(A)

Ano

(A)

Nie

(B)C B A B D C D

1 1 2 2 2 2 2 3 2 3


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ano

(A)

4,5 cm

k = 1,5

Nie

(B)C D B A C B C

1 1 2 2 2 2 2 2 3 3



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ano

(A)12 m

o = 45 cmt = 35 cms = 20 cm

o = 8 cm

p = 6 cmD A B D D A

1 1 2 2 1 3 3 3 2 2


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

50 mk = 400

A 39 cm A B D C C C A

1 2 2 1 1 2 2 3 3 3

8. KAPITOLA: Objem a povrch telies

1. a) S = 61,44 dm2; b) S = 216 cm2; c) S = 54 cm2; d) S = 54 cm2

2. a) V = 64 cm3; b) V = 729 cm3; c) V = 729 cm3; d) 125 cm3

3. a = 3,5 cm

4. V = 8000 cm3

5. S = 216 cm2

6. a) 9-krát; b) 27-krát

7. 2 000 kg

8. a) 3 cm; b) V = 27 cm3; c) S = 54 cm2; d) us =√

18 cm, ut =√

27 cm

9. S = 6dm2

10. a) V = 60 cm3; b) S = 94 cm2; c) up = 5 cm, ut =√

50 cm; d) α = 45◦

11. a) c = 15dm; b) V = 90dm3; c) up =√

13 dm

12. a) V = 48dm3; b) V = 16dm3; c) V = 56dm3; d) V = 12dm3

13. a) V = 720 l; b) V = 1080 l; c) V = 2400 l; d) V = 1920 l

14. V = 210 cm3

15. V = 1152 cm3

16. a = 2 cm, b = 4 cm, c = 4 cm

17. a) V = 480 cm3, S = 376 cm2; b) V = 144 cm3, S = 192 cm2

18. V bazéne je 240 000 l vody.

19. 2 dm

20. Do nádrže sa zmestí 1 620 l vody.


21. V = 30dm3

22. V = 2550 l

23. V nádrži sa nachádza 432 l vody.

24. S = 450 dm2

25. a = 9 cm, b = 6 cm, c = 4 cm

26. Hĺbka bazéna je 2 m.

27. V = 4000 hl

28. Na obloženie treba 16 000 obkladačiek.

29. Objem kocky sa zmenší o 25 %.

30. Súčet obsahov plôch je 29,5 dm2.

31. a) V = 192π dm3; b) V = 27π dm3; c) V = 80π dm3; d) V = 9π dm3

32. a) S = 3π dm2; b) S =92π dm2; c) S = 60π dm2; d) S =

4132

π dm2

33. v = 4dm

34. r = 6dm

35. a) r = 6 cm; b) v = 10 cm; c) V = 360π cm3

36. V = 500π cm3

37. V = 512π l

38. a) Objem sa zväčší štyrikrát. b) Objem sa zmenší o polovicu. c) Objem sa zväčší osemkrát.d) Objem sa nezmení.

39. a) S = 144π cm2; b) V = 216π cm3

40. Výšku treba zväčšiť o 2 centimetre.

41. r = 10 cm

42. Objem valca sa zmenší trikrát.

43. Voda siaha do výšky 31,8 cm.

44. Možno ho naplniť 34 vedrami.

45. a) V = 125 dm3; b) V = 512 dm3; c) V = 288 dm3; d) V =3203

dm3

46. a) S = 72dm2; b) S = 3 + 2 ·√

21 dm2; c) S = 600 dm2; d) S = 12dm2

47. a) S = 125 cm2; b) α = 75◦31′

48. a) V = 375π cm3; b) V = 324π cm3; c) V = 24π cm3; d) V = 54π dm3

49. a) S = 6π dm2; b) S = 10π dm2; c) S = 6π dm2; d) S = 144π dm2 e) S =1474

π dm2;f) S = 48π dm2

50. v = 2,1 dm

51. Na zhotovenie podstavy treba 2,5 dm2 plechu.

52. V = 29,58 dm3



c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

4 l 48 cm2 75,36 dm2 C BAno

(A)B A D B

1 2 2 2 2 2 3 2 3 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

80 l 6 dm 39 dm2 A B B B A B D

2 2 1 3 2 2 3 3 1 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

8 cm 62,8 dm2 27 cm2 4,5 dm3 A C D C D C

3 1 1 3 3 2 2 2 2 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

40 cm 47,1 dm3 360 cm3 B C B C A D C

2 1 2 1 3 3 2 2 3 1


c. otazky:

odpoved:

body:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

30π dm3 6 m2 30 dm3 37,68 dm3 D A C D C A

1 1 1 1 3 2 2 3 3 3

P

Testy a úlohy z matematiky

Prepis textov do počítača: Zuzana Kucsorová

Zodpovedná redaktorka: Mgr. Marta Varsányiová

ISBN 978-80-89181-20-9

Documents

Testy a úlohy z matematiky - files.matpod.webnode.skfiles.matpod.webnode.sk/200000018-4e7795166d/Testy a ulohy z matematiky. Typ 1.pdf9 P VSTUPNÝ TEST FORMA A Milí študenti, v