Tesis Doctoral Universidad de Cantabriarobertominguez.altervista.org/files/TesisPresentacion.pdf · Matemática Aplicada y Ciencias de La Computación 17/11/2005 17:16 Determinación

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Universidad de Cantabria

Universidad de Castilla-La Mancha

Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de La

Computación

Santander, 2003

Tesis Doctoral

Seguridad, Fiabilidad y Análisis de Sensibilidad en Obras de Ingeniería Civil Mediante Técnicas de Optimización por

Descomposición. Aplicaciones.Autor:Roberto Mínguez Solana

Director de tesis:Enrique Castillo Ron

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2 Universidad de CantabriaUniversidad de Castilla-La Mancha

Matemática Aplicada y Ciencias de La Computación 17/11/2005 17:16

Indice de la Presentación

1.- Estado del conocimiento.

1.1.- Fiabilidad.1.1.1.- Conceptos fundamentales, región de fallo y ecuación de estado

límite.1.1.2.- Niveles.

1.2.- Diseño ingenieril como problema de optimización.1.2.1.- Diseño clásico.1.2.2.- Diseño probabilista.

1.3.- Sensibilidad.1.3.1.- Motivación y justificación.1.3.2.- Métodos basados en la dualidad.

3



Indice de la Presentación2.- Contribuciones originales de esta tesis.

2.1.- Detección de problemas a resolver.• Cálculo de probabilidades de fallo.• Dilema entre coeficientes de seguridad y probabilidades de fallo.• Dificultades de la optimización basada en fiabilidad.

2.2.- Propuestas para el cálculo de las probabilidades de fallo.2.3.- Propuestas al dilema coeficientes de seguridad-

probabilidades de fallo.2.4.- Nuevo método de análisis de sensibilidad.2.5.- Propuestas a los métodos de resolución de problemas de

optimización.2.6.- Aplicaciones a la ingeniería civil.2.7.- Conclusiones.2.8.- Futuras líneas de investigación.2.9.- Publicaciones.

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PARTE 1:ESTADO DEL CONOCIMIENTO

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Fiabilidad


1.1.- Fiabilidad.1.1.1.- Conceptos fundamentales,

región de fallo y ecuación de estado límite.1.1.2.- Niveles.

1.2.- Diseño ingenieril como problema de optimización.

1.2.1.- Diseño clásico.1.2.2.- Diseño probabilista.


1.1.1.-Conceptos fundamentales, región de fallo y ecuación de estado límite.

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Conceptos Fundamentales

7



Conceptos Fundamentales

REGION DE FALLOg(x1, x2 )<0

C

C

REGION SEGURAg(x1, x2 )>0

g(x1, x2)=0

X1(Resistencia R)

X2 (Esfuerzo S)

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Fiabilidad


1.1.- Fiabilidad.1.1.1.- Conceptos fundamentales, región

de fallo y ecuación de estado límite.1.1.2.- Niveles de fiabilidad.




1.1.2.-Niveles de fiabilidad.

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Determinación de la Fiabilidad (Nivel I)

10



Determinación de la Fiabilidad (Nivel I)

REGION DE FALLO

REGION SEGURA

g(x1, x2 )=0

X1

(Resistencia R)

X2 (Esfuerzo S)

g*(x1 , x2 )-F=0

REGION SEGURA EXTRA

M á s peligroso

M áspeligroso

C

C

REGION DE FALLO

REGION SEGURA

g(x1 , x2 )=0

X1(Resistencia R)

X2 (Esfuerzo S)

Má s peligroso

Máspeligroso

(x1 , x2)

(γx1, γx2)

Punto de dise ño

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Determinación de la Fiabilidad (Nivel II)

s(esfuerzo)

r(resistencia)g (r, s)=0

fR(r)

fS(s)

fRS(r,s)

µR

µS

fRS(r,s)

REGION DEFALLO

g (r, s)<0

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Regi ón de fallo

fx(x)

Regi ón segura

x1

x2gx(x)=0

gL(x)=0

µx1

µx2

x*

Aproximaci ón lineal

σx1σx1

σx2

σx2

Contornos de lafunci ón de densidad

conjunta

β

Punto de dise ño


Regi ón de fallo

fz(z)

Regi ón segura

z1

z2

gz(z)=0

gL(z)=0

z*

Aproximaci ón lineal

β

Punto de dise ñoContornos de la

funci ón de densidadconjunta

α1

α2Vectornormal

Funci ón no lineal

13




0.15

0.10

0.05

0

-4

-2

0

2

4

z 2

-4

-2

0

2

4

z 1

β

Punto de m áximaverosimilitud opunto de dise ño

Regi ón de fallo

FORMAproximaci ón lineal

Regi ón segura

14



Determinación de la Fiabilidad (Nivel III)

15



Determinación de la Fiabilidad (FORM)

Conjunto inicialde variables

Transformaci ón de Rosenblatt

(X1, X2, ... ,X n)

Conjunto de variables uniformes

independientes

(U1, U2, ... ,U n) (Z1, Z2, ... ,Z n)

Conjunto devariablesnormales

Zi=φ-1(Ui)

16



Determinación de la Fiabilidad (SORM)

17



Diseño Ingenieril







1.2.-Diseño ingenieril como problema de optimización.

18



Diseño Ingenieril

19



Diseño Ingenieril







1.2.1.-Diseño clásico.

20



Diseño Clásico

21



Diseño Ingenieril







1.2.2.-Diseño probabilista.

22



Diseño Probabilista

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Sensibilidad







1.3.1.-Motivación y Justificación.

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SensibilidadHoy en día la gente no se contenta con las soluciones de los problemas, sino que se exige saber cómo cambian éstas con cambios en los datos e hipótesis, es decir, un análisis de sensibilidad. Esto implica una importante mejora en la calidad de estudios y proyectos.

Desde un punto de vista práctico los análisis de sensibilidad presentan importantes ventajas:

– Para el diseñador de códigos, ya que sabe en todo momento cómo varían el coste y las fiabilidades en función los requerimientos de seguridad y las hipótesis.

– Para el proyectista, ya que conoce cómo influyen todos los parámetros en el coste y en la fiabilidad del sistema.

– Para el constructor, porque conoce qué parámetros influyen más en el coste o en la seguridad.

25



Sensibilidad






1.3.- Sensibilidad.1.3.1.- Motivación y justificación.1.3.2.- Métodos basados en la

dualidad.

1.3.2.-Métodos basados en la dualidad.

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Dualidad en Optimización

27




xλ, µ

λ∗, µ∗

x∗

f(x*)=φ(λ ∗, µ∗)

(x, λ∗, µ∗)(x, λ, µ)

φ(λ, µ)

28




29



Ejemplo de Programación Lineal

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PARTE 2:CONTRIBUCIONES ORIGINALES

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2.3.3.-Diseño general global.2.3.4.-Diseño general parcial.

2.4.- Nuevo método de análisis de sensibilidad.2.5.- Propuestas a los métodos de resolución.

2.5.1.- Método de relajación.2.5.2.- Mejora de convergencia y de

sensibilidad.2.5.3.- Método de aproximación por

hiperplanos.2.5.4.- Descomposición de Benders.

2.6.- Aplicaciones a la ingeniería civil.2.7.- Conclusiones.2.8.- Futuras líneas de investigación.2.9.- Publicaciones.

Detección de Problemas a Resolver

2.1.1.-Cálculo de probabilidades de fallo.2.- Contribuciones originales.

2.1.- Detección de problemas a resolver.2.1.1.- Cálculo de probabilidades de

fallo.2.1.2.- Dilema entre coeficientes de

seguridad y probabilidades de fallo.2.1.3.- Dificultades de la optimización

basada en fiabilidad.2.2.- Propuestas para el cálculo de las

probabilidades de fallo.2.2.1.- Integración mediante politopos.2.2.2.- Integración recursiva por Gauss-

Legendre.2.3.- Propuestas al dilema C.S-P.F.

2.3.1.- Diseño mixto global.2.3.2.- Diseño mixto parcial.

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Detección de Problemas a ResolverLa resolución de la integral para el cálculo de la probabilidad de fallo de un diseño ingenieril, tiene dos dificultades principales:

1.-La complejidad de la función de densidad conjunta de los factores de proyecto.

2.-La complejidad de la ecuación de estado límite.

Pese a existir métodos de integración para un número reducido de variables, no hay métodos fiables para integrales n-dimensionales cuando el número de variables aumenta.

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Detección de Problemas a Resolver2.1.2.-Dilema entre coeficientes de seguridad y probabilidades de fallo.


2.4.- Nuevo método de análisis de sensibilidad. 2.5.- Propuestas a los métodos de resolución.





2.- Contribuciones originales.2.1.- Detección de problemas a resolver.

2.1.1.- Cálculo de probabilidades de fallo.2.1.2.- Dilema entre coeficientes de






34




Actualmente, para la resolución de problemas relacionados con la ingeniería civil hay dos corrientes:

1. La clásica, basada en coeficientes de seguridad, en la que se tratan los problemas como deterministas. De esta forma evitan la complicación de los métodos probabilistas y el problema de la sensibilidad a las hipótesis en las colas de las distribuciones.

2. La probabilista, basada en el cálculo de la probabilidad de fallo, que considera las variables como aleatorias. Así, se evita el desconocimiento de si se está cerca o lejos del fallo y la falta de invarianza de los coeficientes de seguridad.

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Detección de Problemas a Resolver2.1.3.-Dificultades de la optimización basada en fiabilidad.














36




37



Cálculo de Probabilidad de Fallo

2.2.1.-Integración mediante politopos.














38



Cálculo de Probabilidades de Fallo

39



Integración mediante Politopos

40




(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

A9

A1 A2 A3 A4 A5

A6

A7

A8

Regi ón defallo

Esferaunitaria

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)A9

A1A2A3A4A5

A6

A7

A8

Regi ónsegura

Esferaunitaria

Regiones segura y de fallo

Regiones aproximadas

Nodo inicial

Nodo final

(a) (b)

41




42




43



Ejemplo

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Cálculo de Probabilidad de Fallo

2.2.2.-Integración recursiva por Gauss-Legendre.











probabilidades de fallo.2.2.1.- Integración mediante politopos.2.2.2.- Integración recursiva por

Gauss-Legendre.2.3.- Propuestas al dilema C.S-P.F.


45



Integración mediante Gauss-Legendre

46




47




48




49



Propuestas al dilema

2.3.1.-Diseño mixto global.














50




51




Diseño mixto global

52




2.3.2.-Diseño mixto parcial.














53




Diseño mixto parcial

54




2.3.3.-Diseño general global.














55




Diseño general global

56




2.3.4.-Diseño general parcial.














57




Diseño general parcial

58



Nuevo Método de Análisis de Sensibilidad

2.4.-Nuevo método de análisis de sensibilidad.














59



Nuevo Método de Análisis de Sensibilidad

60



Propuestas a los métodos de resolución

2.5.1-Método de relajación.














61




62




63



Propuestas a los métodos de resolucióna

bT

Hγ

W

O

σmean

µW

Fallo porvuelco

Fallo pordeslizamiento

Fallo porhundimiento

64




65




66




67




ó

ó

68




69




70



Método de Relajación (Sensibilidad)

71



ó

ó


ó

ó

72




73




2.5.2-Mejora de convergencia y sensibilidad.












Legendre.2.3.- Propuestas al dilema.


74




75




Sólo se puede utilizar cuando se empleen coeficientes de seguridadglobales, por tanto el diseño mixto parcial y general parcial no se pueden resolver con este método.

76




77




2.5.3-Método de aproximación por hiperplanos.














78




79



Aproximación por Hiperplanos (Sensibilidad)

80




2.5.4-Descomposición de Benders.














81




82




Diseño ó ptimo

Aproximació n linealde la funció n de coste

en el punto (di)

d

Cost

Coste deconstrucción(C co)

Coste asociado alfallo( )

Coste total (Cto )

d*di

Cco(di)

Cβ (di)

Cto(di)

Aumento de la probabilidad de fallo

Cβ

83




84




85




Diseño ó ptimo

Aproximaci ó n linealde la funció n de coste

en el punto (di)

d

Cost

Coste deconstrucció n(C co)

Coste porfallo( )

Coste total (Cto )

d*di

Cco(di)

)

Cto (di)

Aumento de la probabilidad de fallo

Cβ (di

Cβ (di

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Aproximaciones linealesde la funci ón de coste total

(cortes de Benders)

d

Cost

d(i)

Cin(i)

Cco(i)

Cto(i)

Ω(i)

Ω(ν)

Cin(ν)

Cco(ν)

Cto(ν)

d(ν)d

Soluci ón delproblema maestro

Nuevos valores de las variablesde dise ño o complicaci ón

87




10

αs 45ο

Fc

DWL

h

H Ac

102

2

=20

Ru

88




1 2 3 4 5 6 7 8 9 105000

15000

10000

11 12

Cto

Iteraci ón

Cup

Clo

89




2.6.-Aplicaciones a la ingeniería civil.














90



Aplicaciones (Puentes Grúa)

L

b

hwtw

e

L/2

δσ τ

M T

(a) (b)

(c) (d)

91



Aplicaciones (Muros de Contención)

d

zt

a b

c

h2 h3

h1

γc

γs

q

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Aplicaciones (Puente mixto)

Carga en faja

wp

wd

ps

Sobrecargauniforme

Carga m óvil

bc

hw

As2

bl

As1tu

tl

tw

r1

r2 butc

d2 d1 d1 d1 d2

d3dcn

hcn

1 2 ... mtr

93



Aplicaciones (Diques de Escollera)

p

e

d fq

b

a

cαs αl

Fc

DWLba

r

s

b

n

t

H Ac

94



Aplicaciones (Estabilidad de Taludes)

95




u1 un+1

z2 z3 z4

zn

zn-1

z2z1 = z1

z3

z4

zn+znzn-1

v1v2 v3

v4

v1

vn-1

vn

u2 u3 u4 un-1 un

∆u ∆u ∆u ∆u ∆u ∆u

v1

v2

v3

v4

vn-1 vn

96




97




z(u)=arctan( πu)

π

0.5

-0.5

z

u1-1 1

0

1

2

3

4

0.1 0.2

N*= Nψ

F*= Fψ

β0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.5 1 1.5 2 2.5

ψ=tan( φ)

N= cγH

z(u)=arctan(πu)

π 0.5

-0.5

z

u1-11

ψ=tan(φ)

z(u)=arctan(πu)π

N*= Nψ

u

z

-1 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

N* = 1.

875

N*= 2.7

N* = 1.2

N* = 0.675N* = 0.3

N* = 0.

075

N*= 0.003

1 2 3

98




N

ψ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

ψ=tan(φ)

N= cγH

z(u)=arctan(πu)

π 0.5

-0.5

z

u1-11

Regi ón de fallo

F=1F=1.25

F=1.5

F=1.75

F=2F=2.5

F=3

F=4

F=5

F=6

F=7

F=8

99




100



Conclusiones

2.7.-Conclusiones.














101



ConclusionesTras una revisión exhaustiva del material expuesto en la tesis se puede llegar a las siguientes conclusiones:1.- La respuesta al dilema coeficientes de seguridad-probabilidades de fallo no es determinante con el método mixto.

2.- El método mixto proporciona una poderosa herramienta para resolver de forma óptima multitud de problemas ingenieriles con un doble control de la seguridad.

3.- Los métodos de optimización por descomposición permiten abordar problemas de optimización a largo plazo incluyendo costes de reparación, mantenimiento, etc.

4.- Los métodos de optimización por descomposición tienen las siguientes ventajas adicionales:

a) Evitan la utilización de complicados algoritmos anidados para el tratamiento de las restricciones probabilistas.

b) Aprovechan la potencia de los paquetes de optimización estándar, ampliamente contrastados en otras aplicaciones .

102



Conclusiones

5.- El uso de rutinas implementadas por especialistas en optimización permite abordar problemas de grandes dimensiones.

c) Se pueden añadir tantas restricciones como se quiera para poder simplificar el modelo.d) No es necesario invertir la transformación de Rosenblatt.

e) Las restricciones se pueden escribir de forma implícita o explícita.

f) No es necesario escribir la región de fallo en función de las variables normales estándar independientes.g) Son una herramienta muy útil para la calibración de códigos.

h) Los diseños obtenidos son automáticos, óptimos e independientes del diseñador.

6.- El método general de sensibilidad es una herramienta muy útil, con las siguientes ventajas:

a) Dado que los paquetes de optimización calculan la solución del problema dual son muy sencillas de obtener.

103



Conclusiones

7.- La metodología empleada para el cálculo de estabilidad de taludes presenta las siguientes ventajas:

b) Como se aborda en el punto óptimo, la convergencia está asegurada.

c) Se obtienen todas las sensibilidades posibles de la función objetivo del problema.

d) Se obtienen las sensibilidades con respecto a la fiabilidad del diseño.

a) El tratamiento adimensional y funcional permiten establecer los parámetros de los que depende el problema y resolver infinitos taludes.

b) Permite resolver el problema de forma clásica, moderna o combinada.

c) Asocia a cada conjunto de parámetros una línea de deslizamiento pésima.

d) La aproximación moderna sólo requiere dos variables aleatorias.

e) Puede aplicarse a cualquier terreno.

104



Futuras Líneas de Investigación

2.8.-Futuras líneas de investigación.














105



Futuras Líneas de InvestigaciónRespecto a las futuras líneas de investigación, algunas de las propuestas son las siguientes:

1.- Puesto que el trabajo expuesto se ha limitado a fiabilidad temporalmente invariante, habría que añadir la variabilidad temporal.

2.- Se podrían tratar de mejorar las aproximaciones de las fiabilidades mediante métodos SORM.

3.- Consideración de los diseños como sistemas que interactúan. Ya sea sistemas en serie o en paralelo.

4.- Aplicación a la elaboración de códigos, o a su calibrado.

5.- Respecto a la estabilidad de taludes se podría mejorar la fiabilidad combinando los resultados de esta tesis con los métodos existentes.

6.- Tratar de abordar problemas de elementos finitos con probabilidades de fallo.

106



Publicaciones

2.9.-Publicaciones.














107



Publicaciones

108



Publicaciones

109



Publicaciones

110



111



Futuras Líneas de Investigación

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