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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DOCTORAL
PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR DURANTE LA CONSTRUCCIÓN DE
POZOS PETROLEROS: PROBLEMA INVERSO
ASESORES DE TESIS
Presentada por:
U L I S E S O L E A G O N Z A L E Z
Como requisito para la obtención del grado de:
DOCTOR EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECÁNICA
DR. ALFONSO GARCÍA GUTIERREZ
DIRECTOR DE TESIS
DR. GILBERTO ESPINOSA PAREDES
CO-DIRECTOR DE TESIS
Cuernavaca, Morelos, México 16 de Agosto de 2007
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DOCTORAL
Procesos de Transferencia de Calor Durante la Construcción de Pozos Petroleros: Problema Inverso
ASESORES DE TESIS
Presentada por:
Ulises Olea González
Como requisito para la obtención del grado de:
Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica DR. ALFONSO GARCÍA GUTIERREZ
DIRECTOR DE TESIS
DR. GILBERTO ESPINOSA PAREDES
CO-DIRECTOR DE TESIS
Jurado
Dra. Sara Lilia Moya Acosta – Presidenta Dr. Alfonso García Gutiérrez - Secretario
Dr. Javier Siqueiros Alatorre – 1er Vocal Dr. Octavio Cázarez Candia – 2º Vocal
Dr. Pedro Anguiano Rojas – 3er Vocal
Cuernavaca, Morelos, México 16 de Agosto de 2007
El conocimiento de lo básico y fundamental te sacará de muchos
problemas por enfrentar
Gilberto Espinosa P.
Para las personas creyentes, Dios está al principio. Para los científicos está al final de todas sus reflexiones.
Max Planck (1858-1947) Físico alemán
¿Por qué esta magnífica tecnología científica, que ahorra trabajo y nos hace la
vida más fácil, nos aporta tan poca felicidad? La repuesta es simplemente: porque aún no hemos aprendido a usarla con tino.
Albert Einstein (1879 – 1955) Científico estadounidense de origen alemán
Toda idea nueva, pasa inevitablemente por tres fases:
Primero es ridícula, después es peligrosa
y después… todos la sabían!
Anónimo
Ninguna ciencia, en cuanto a ciencia, engaña; el engaño esta en quien no sabe.
Miguel de Cervantes sabe. Miguel de Cervantes
AGRADECIMIENTOS
A la Dirección Ejecutiva de Perforación y Exploración del INSTITUTO MEXICANO DEL PETRÓLEO, por permitir iniciar y terminar el periodo doctoral sin ningún incoveniente laboral y por todo el apoyo brindado hasta su conclusión, el agradecimiento se extiende desde las personas que originalmente gestaron este proyecto de vida conmigo. Gracias a la Dra. Alma América Porres, Ing. Tomás Ramírez, Ing. Armando Méndez, Ing. Lenin Ulín, Ing. Rodolfo Almanza, Ing. Eusebio Capitanachi (q.e.p.d), Raúl Cruz, Dr. Pedro Anguiano; además a quienes durante el proceso doctoral se agregaron para brindarme su amistad y apoyo, Quim. Alicia Muñoz, Ing. Luis Orozco, Ing. Diego Bautista y un sin numero de personas que saben que independientemente del orden de aparición u omisión, existen en mi mente. Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por el apoyo técnico y administrativo para el buen desempeño del proyecto doctoral. Extendiendo el agradecimiento a las personas que conocí durante ese periodo y que indudablemente estuvieron presentes en todo el proceso doctoral. Particularmente al Lic. Luis Viades. Al Departamento de Ingeniería de Procesos e Hidráulica de la Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa por el apoyo recibido durante la estancia doctoral, al Ing. Alejandro Vázquez y la Sra. Marielena, al Dr. Gilberto Espinosa, asesor y ahora amigo. Agradecimiento al Dr. Alfonso García, asesor vitalicio desde que inicié el programa de maestría y cuya amistad se ha mantenido. Al jurado revisor por que gracias a sus comentarios y aportaciones técnicas, el proyecto doctoral no solo cubrió los objetivos originales, sino que los mejoró notablemente, obteniéndose un producto de calidad. Un agradecimiento especial para el Dr. Pedro Anguiano (asesor interno del Instituto Mexicano del Petróleo) por su gran soporte técnico y apoyo incondicional.
DEDICATORIAS Fundamentalmente va la dedicatoria de este proyecto a quienes en el inicio del mismo, físicamente aún no existían… excepto en mi imaginación, a mis hijos: Ulises y Uriel, quienes durante el proceso doctoral no entendían de mis ausencias y solo se limitaban a sonreír y esperar esos periodos cortos de dedicación para sus juegos y paseos los fines de semana. La extensión del periodo doctoral se vio coronada con la llegada de mi mayor logro en la vida, mi nena Natalia… tres grandes razones de vida fortalecidas por una extraordinaria mujer: Margarita…gracias por tu paciencia y apoyo incondicional. Dedicado a mis hermanos Betty y Fide, a mi abuela y sobre todo a la memoria de mi abuelo Lino, que ya no tuvo tiempo de festejar conmigo el final de este proyecto. Indudablemente, el gran apoyo de mi amigo y ahora también Doctor, Jesus Muñoz, con quien compartí grandes charlas técnicas y desvelos durante los respectivos estudios doctorales. A mi compadre Jose Luis por su inyección de ánimo constante y a Carlos Rivera por ser simplemente mi amigo.
RESUMEN
En la industria petrolera y durante la perforación y terminación de pozos
petroleros, es indispensable contar con estimaciones confiables de
temperaturas de la formación; su relevancia y aplicación se encuentra en
muchas áreas de la geofísica, de la ingeniería de yacimientos y de la
ingeniería petrolera. Desafortunadamente, las temperaturas registradas
durante las corridas normalmente son más bajas que la temperatura real de
formación, esto se debe a que los tiempos de paro y circulación de fluidos en
el pozo son demasiado cortos de forma que no permiten que el lodo en el
fondo del pozo alcance el equilibrio térmico, lo cual requiere usualmente de
varios días o semanas, situación económicamente no factible para
determinar perfiles de temperatura, ya que los tiempos y costos de servicios
de perforación sobrepasarían los límites técnico econonómicos
programados.
Para afrontar este proceso crítico se desarrolló un código numérico, el cual
consiste en una solución analítica y numérica de las ecuaciones de
transferencia de calor que gobiernan un sistema pozo formación, las cuales
se utilizan para modelar la estabilización térmica de un pozo petrolero
después de que el fluido de perforación se ha detenido, suponiendo que la
formación consiste en un medio poroso homogéneo. En el contexto
matemático se trata de encontrar las condiciones iniciales del conjunto de
ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan los fenómenos de
transferencia de calor en el pozo y yacimiento. Dichas ecuaciones forman un
modelo bidimensional en estado transitorio. El modelo matemático se
establece para cuatro regiones en el sistema pozo-formación y las
condiciones de frontera e inicial vinculan a las ecuaciones diferenciales
parciales tanto para el pozo como para la formación.
Con lo anterior se obtiene una metodología general para determinar el
campo de temperaturas de formación. Posteriormente, se propone un análisis
particular en función de las propiedades termofísicas, de la geometría del
pozo, de las condiciones de frontera y de la condición inicial, parámetro que
es precisamente la incógnita del problema.
De conocer con anticipación la solución analítica del problema, suponiendo
que todas las variables del problema (directo) son conocidas, es posible
predecir, mediante métodos inversos, a la condición inicial de la formación
supuesta en el problema directo. Para lo cual se exploran tres métodos
inversos, el Método de Levenberg Marquardt (MLM), un Método de Control
Proporcional Integral (PI) y uno referido a Inteligencia Artificial (IA). Para
proponer la solución, cada uno de los métodos utiliza en su función objetivo
los registros a pozo cerrado y a profundidad constante, que servirán para
efectuar el ajuste de la temperatura de formación.
La estructura del algoritmo MLM, además de estimar la condición inicial de
formación, permitió explorar los eigenvalores y eigenvectores de la matriz
Jacobiana, con lo que se identificó la variación de los parámetros de
sensibilidad durante el proceso de convergencia en la estimación de la
temperatura de formación; se determinó que la viscosidad del fluido, el flujo
volumétrico y las pérdidas de circulación fueron los parámetros que mayor
variación mostraron durante el proceso de optimización. De acuerdo a la
literatura investigada en el ámbito petrolero, no existen publicaciones que
aborden el tema de análisis de sensibilidad paramétrica durante un proceso
de optimización de condiciones iniciales de formación.
ii
El método IA resultó un modelo excelente para efectos de comparación, ya
que el criterio de convergencia se controló mediante una función S utilizada
para modelar el grupo de diferencias de temperaturas en un intervalo
cerrado [Tmin, Tmax] para acercarse a la vecindad de la condición inicial de
formación obtenida del MLM, teniendo en cuenta que no da información de
cómo se modifican las variables termofísicas durante las iteraciones.
El modelo PI fue una aportación del proyecto, ya que se agrega la parte
Integral al modelo Proporcional tal que corrija cualquier compensación del
error que pueda ocurrir entre el valor de la temperatura deseada (setpoint) y
el valor de la temperatura medida. El resultado mostró que los efectos de las
pérdidas de circulación fueron bien modelados y el campo de temperaturas
del subsuelo se reprodujo satisfactoriamente.
Puede concluirse que los perfiles dinámicos de temperatura obtenidos en
cinco regiones del sistema pozo formación, son una herramienta que puede
aplicarse como apoyo en el control geológico de la perforación, en el
análisis de los factores que impiden el avance durante la perforación de
pozos cuando se trata de efectos térmicos relevantes, en la implementación
de programas de contingencia o cambio del diseño de la reología de los
lodos de perforación, en el control y calidad de los fluidos utilizados y en la
simulación de las zonas con pérdidas de circulación con efecto de reducir los
tiempos ocasionados por el periodo de estabilización, disminución de los
volúmenes de lodo y ayuda en análisis de geopresiones, entre otros.
iii
CONTENIDO Pág.
Resumen …………………………………………………………………………… i Lista de Figuras …………………………………………………………………… vii Lista de Tablas …………………………………………………………………… x Nomenclatura …………………………………………………………………… x Capitulo
1 Introducción ……………………....…………………………………… 1 1.1 Antecedentes de métodos de estimación de temperaturas de
formación ……..………………………………………………………. 3
1.2 Antecedentes del uso de las propiedades termofísicas …….…… 7 1.3 Objetivo de la investigación …..…………………………………….. 10 1.4 Alcance de la investigación ..……………………………………….. 11 1.5 Hipótesis ………………………………………….……………… 11 1.6 Metodología …………………………………………………………. 12
2 Preliminares del problema inverso ……………….………………….… 15
2.1 Aplicaciones del problema inverso ………………………..…………. 16
2.2 Métodos de solución para los problemas inversos ………..……… 18
2.3 Antecedentes en el uso de técnicas inversas …………….………… 19
3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático …………….……… 24
3.1 Planteamiento del problema directo de transferencia de calor ……. 24
3.1.1 Modelo físico y consideraciones …..……………..…………. 25
3.1.2 Modelo matemático ……………………………….………… 26
3.2 Formulación genérica ………………………………….………….....… 29
3.2.1 Formulación matemática: tubería de perforación (región 1) 31
3.2.2 Formulación matemática: pared de la tubería de perforación (región 2) ………………………..………..
32
Contenido
3.2.3 Modelado del proceso de pérdidas de circulación ……..… 33
3.2.4 Formulación matemática: región anular (región 3) ……..... 34
3.2.5 Formulación matemática: Interfase entre la pared del pozo y la región anular del fluido de retorno. (región 4) ……..
36
3.2.6 Formulación matemática: Formación rocosa (región 5) 37
3.2.7 Coeficientes convectivos de transferencia de calor ……... 38
3.3 Solución numérica …………………………………………….……… 39
3.4 Algoritmo de solución ……………………………………….………… 42
3.5 Validación del modelo numérico ……………………..….…………. 42
3.6 Planteamiento del problema inverso …………………..….………… 46
3.6.1 Problema directo ……………………………..………………. 48
3.6.2 Problema inverso ……………………………..…….……….. 49
3.6.3 Procedimiento iterativo ………. …..………..………………. 51
3.6.4 Criterio de convergencia……………………….…………… 54
3.6.5 Algoritmo computacional ……………………..……………. 55
3.6.6 Método de inversión basado en mínimos cuadrados …… 58
3.7 Concepto del coeficiente de sensibilidad ………………..…….……. 60
4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temperaturas en un pozo petrolero: Problema directo……………
63
4.1 Información del pozo petrolero …...………………..………………… 63
4.2 Análisis de sensibilidad ..………………………..…………………… 66
4.2.1 Influencia de la temperatura del fluido de perforación a la entrada ……………………..…………..…………….….
67
4.2.2 Influencia de la densidad del fluido de perforación …….... 70
4.2.3 Influencia del índice de flujo del fluido de perforación …… 71
4.2.4 Influencia de la viscosidad del fluido de perforación ……... 72
v
Contenido
4.2.5 Influencia del calor especifico del fluido de perforación … 77
4.2.6 Influencia de la conductividad térmica del fluido de perforación ………………………………………..…………...
78
4.2.7 Influencia del gradiente geotérmico ……………..………… 79
4.2.8 Influencia del efecto de la permeabilidad en pérdidas de circulación ……………………………….…………….…..
81
5 Métodos de solución empleados en el problema inverso y resultados. ……………………………………………………………………..
90
5.1 Método inverso al aplicar el Método de Levenberg Marquardt (MLM) ……………………….……………….……..……………..……
90
5.1.1 Resultados MLM ……..……………...……..……………….. 91
5.2 Método inverso al aplicar un algoritmo de control (PI) …………... 106
5.2.1 Resultados PI …..……………………………..…..……….. 112
5.3 Método inverso al aplicar un Sistema de Inteligencia Artificial (IA) 115
5.3.1 Resultados IA …..…………………..……………………... 121
5.4 Efectos de la generación de calor por la barrena ……..….……… 123
5.5 Comentarios finales ……………………………………………….. 126
6 Conclusiones y recomendaciones ……………….................................. 129
____________________________________________________
Referencias……………………………………………………………………. 135
Apéndices ………………………………………………………………….…..
A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis. 145
B Derivación de las ecuaciones diferenciales parciales que describen el
flujo de calor transitorio en el sistema pozo formación.
156
C Vectores de coeficientes. 159
D Solución matemática de las ecuaciones de flujo de calor. 164
E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación. 167
F Datos de simulación para el pozo 3007. 177
vi
Contenido
Lista de figuras Figura Descripción
1.1 Proceso de circulación de lodo de perforación en un pozo petrolero. 2
1.2 a.- Porosidad primaria, b.- Porosidad secundaria 9
2.1 Planteamiento de solución del problema directo vs problema inverso. 15
2.2 Modelo físico para la estabilización de la temperatura en la sección basal de un pozo.
22
3.1 Proceso de perforación en un pozo petrolero. Se muestran las 5
regiones de flujo de calor. 25
3.2 Diagrama esquemático del modelo radial del sistema pozo
formación. 30
3.3 Funciones de Bessel, obtenidas por aproximación polinomial. 44
3.4 Perfiles de temperatura (simulado y analítico) en un cilindro hueco
con condición de frontera convectiva. 45
3.5 Diagrama de flujo del MLM. 57
4.1 Estado mecánico del pozo 3007. 64
4.2 Plano estructural. 66
4.3 Variación de la temperatura durante el retorno del fluido por la región
anular durante el periodo de circulación. 69
4.4 Perfil de tres temperaturas del fluido de perforación dentro de la
sarta de perforación. 69
4.5 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes
densidades del fluido de perforación. 70
4.6 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes
caudales de fluido de perforación. 71
4.7 Sensibilidad de los perfiles de temperatura del fluido de circulación a diferentes flujos volumétricos de inyección.
72
4.8
Variación de la viscosidad del fluido de perforación con la temperatura para los HTDFS-3, HTDFS-6, HTFDS-7 HTFDS-8 y HTFDS-11.
74
vii
Contenido
Figura Descripción
4.9 Variación de la viscosidad en función del tiempo y temperatura, HTDFS-4.
74
4.10 Variación de la viscosidad en función del tiempo y temperatura,
HTDFS-6. 75
4.11 Sensitividad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes
viscosidades de fluido de perforación. 76
4.12 Recuperación térmica del pozo después de 24 horas de reposo para
diferentes viscosidades del fluido de perforación. 77
4.13 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a valores
diferentes de calor específico del lodo de perforación. 78
4.14 Sensibilidad de la temperatura de fondo de pozo a diferentes
conductividades térmicas del lodo de perforación. 79
4.15 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes
gradientes geotérmicos. 80
4.16 Modelo de pérdidas de fluido. 81
4.17 Curvas de pérdidas de circulación de fluido como función de la
profundidad de la barrena, con daño de formación S = 0. 84
4.18 Curvas de pérdidas de circulación de fluido como función de la
profundidad de la barrena, con daño de formación S=20. 84
5.1 Registros de temperatura a pozo cerrado para 24, 18, 12 y 6 h 94
5.2 Perfiles de temperatura de lodo simulado vs. registrado. 94
5.3 Comparación de temperaturas registradas y simuladas a 24 h de
relajación térmica y la temperatura de formación inicial (Tyac) vs. la temperatura de formación simulada (SFTsim).
95
5.4 Comparación de la temperatura de formación simulada (SFTsim) vs.
gradientes geotérmicos estimados por cuatro modelos analíticos. 95
5.5 Eigenvalores (λ) de la matriz JTJ. 97
5.6 Eigenvectores (V) asociados con los eigenvalores (λ) mas
pequeños. 99
5.7 Variación de la densidad durante el problema inverso. 103
viii
Contenido
Figura Descripción 5.8 Variación del flujo volumétrico durante el problema inverso. 103
5.9 Variación de la viscosidad durante el problema inverso. 104
5.10 Variación del calor específico durante el problema inverso. 104
5.11 Variación de la conductividad térmica durante el problema inverso. 105
5.12 Variación de las pérdidas de circulación durante el problema inverso. 105
5.13 Respuesta global del algoritmo PI. 108
5.14 Funcionamiento de la acción proporcional. 109
5.15 Funcionamiento de la acción integral. 109
5.16 Algoritmo de control (PI) para resolver el problema inverso. 112
5.17 Estimación de la temperatura estática de la formación (SFTsim)
mediante el algoritmo PI. 113
5.18 Comparación de la temperatura de formación estática simulada vs.
métodos analíticos.
114
5.19 Gradiente geotérmico de referencia vs. los estimados por el método
de Horner. 115
5.20 Modelo cognitivo de aprendizaje. 116
5.21 Diagrama de datos para obtener un perfil de temperaturas. 118
5.22 Función S para modelar diferencias de temperaturas. 120
5.23 Estimación de la temperatura de formación mediante el modelo
cognitivo de aprendizaje.
122
5.24 Temperaturas estáticas de formación estimadas por tres métodos
inversos. 123
5.25 Efecto térmico generado por la barrena durante el periodo de
circulación. 126
ix
Contenido
Lista de Tablas Tabla Descripción Página
1.1 Métodos simples para estimar temperaturas de formación. 4
1.2 Matriz de trabajos relacionados a la estimación de TF mediante
simulación. 8
4.1 Fluidos de perforación empleados. 64
4.2 Distribución de tuberías de revestimiento. 65
4.3 Registros geofísicos tomados en zonas de interés. 65
4.4 Variables utilizadas en el análisis de sensibilidad. 67
4.5 Temperaturas y viscosidades obtenidas de pruebas reológicas. 73
4.6 Columna geológica real, pozo 3007. 83
4.7 Estimación de pérdidas de fluido en función del factor de daño bajo
condiciones particulares.
85
4.8 Código numérico para determinar la permeabilidad de la formación 85
Nomenclatura Símbolo Descripción Unidades
Ai área interfacial entre la formación y el fluido. m2
Ad área de sección transversal que atraviesa el flujo. m2
B.L. base de liner (tubería colgante). m
Cp calor específico. J/kg K
CF condición de frontera. _
CI condición inicial. _
DHT tiempo adimensional de Horner. _
Dh diámetro hidráulico. m
h coeficiente convectivo de transferencia de calor. W/m2 °C
IA algoritmo de Inteligencia Artificial.
J(P) Jacobiano o matriz de sensitividad, ⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
TTT (P)P
k conductividad térmica. W/m °C
x
Contenido
Símbolo Descripción Unidades
MLM Método Levenberg Marquardt. _
Np varianza – covarianza. _
Nu número adimensional de Nusselt, hhDk
_
PI algoritmo Proporcional Integral. _
Pr número adimensional de Prandtl, μpCk
_
Pj parámetros desconocidos en el problema inverso. _
q flujo de calor por unidad de área. J/s-m2
R distancia de invasión térmica. m
Re número adimensional de Reynolds, ρμ
hv D _
r coordenada radial. m
S’’ término de generación de energía. W/m 2s varianza. _
t tiempo. h
Ti temperatura de formación estática, SFT. °C
Tsim temperatura simulada. °C
Treg temperatura real registrada. °C
T1 temperatura en la región 1:Tubería de perforación. °C
T2 temperatura en la región 2: pared de la tubería. °C
T3 temperatura en la región 3: Región anular. °C
T4 temperatura región 4: interfase entre la región anular y la
pared del pozo.
°C
T5 temperatura en la región 5: formación. °C
TC transferencia de calor. _
TP tubería de perforación. _
TR tubería de revestimiento. _
U matriz de n eigenvectores ortonormales de JJT
_
V matriz de n eigenvectores ortonormales de JTJ _
v velocidad. m/s
z coordenada axial. m
xi
Contenido
Símbolos griegos Símbolo Descripción Unidades
α difusividad térmica de la formación, k/ ρ Cp m2/s
ε tolerancia prescrita por el usuario. ºC
jλ eigen valores. _
ρ densidad. kg/m3
Λk matriz diagonal. _
φ porosidad de la formación. % μ viscosidad dinámica. cp
ξ k escalar positivo, llamado parámetro de amortiguamiento. _
Iτ tiempo integral. h
ΔX incremento de la coordenada espacial. _
regTΔ registro de temperaturas. °C
Subíndices y superíndices Símbolo Descripción Unidades
j numero de nodo ó celda. _
f formación _
m lodo de perforación. Kg/cm3
s sólido. _
t tiempo anterior. h
t+Δt tiempo actual. h
xii
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN
En la industria petrolera y durante la perforación y terminación de pozos, es
indispensable contar con estimaciones confiables de temperaturas de formación, la
temperatura de formación es la referida a la temperatura presente en el interior de la
tierra y que es medida de manera directa durante las actividades de perforación de
pozos, sin embargo los procesos de perforación alteran considerablemente el campo
de temperaturas de la formación que rodea al pozo y por consecuencia los valores
medidos divergen de la temperatura real (Eppelvaum, 2006). Su relevancia y
aplicación se encuentra en la ingeniería de yacimientos, en operaciones de
terminación de pozos, en interpretación de registros de temperatura, en estudios
geofísicos, en la determinación de propiedades físicas de fluidos en los yacimientos,
en la estimación de factores de volumen de aceite-gas en la formación y solubilidad
de gas entre otros. Desafortunadamente, las temperaturas registradas durante las
corridas normales con línea de acero son normalmente más bajas que la temperatura
real de formación, esto se debe a que los tiempos de paro y circulación de fluidos en
el pozo son demasiado cortos de tal forma que no permiten que el lodo en el fondo
del pozo alcance el equilibrio térmico, lo cual usualmente requiere de varios días o
semanas. (Bullard, 1947; Luheshi, 1983).
Los procesos críticos más comunes de la perforación y terminación de pozos son: las
pérdidas parciales o totales de fluidos de perforación, tuberías pegadas,
cementaciones inadecuadas, asentamiento de tuberías de revestimiento y presencia
de altas temperaturas, entre los más relevantes. Aunque todos estos problemas
tienen impacto sobre el costo total de perforación, las pérdidas de circulación y la
estimación de temperaturas de formación son problemas que la industria petrolera
esta resolviendo, debido a que tiene influencia directa sobre la mayoría de las
actividades del desarrollo y explotación de pozos petroleros. El uso de simuladores
para el diseño e ingeniería de la perforación de pozos ayuda a predecir y minimizar
Capitulo 1 Introducción
2
los riesgos de los problemas antes mencionados, sin embargo; el mejoramiento de
los simuladores estará en función de mejorar los modelos de transferencia de calor y
de la calidad de los registros geofísicos, en donde los valores de temperatura son
variables de importancia.
La descripción del fenómeno físico se refiere al proceso de perforación y a los
problemas que se presentan durante el mismo, como es el caso de las pérdidas de
circulación y los cambios de temperatura de formación cuando existen procesos
combinados de transferencia de calor por conducción y convección.
En el proceso de perforación, el fluido llamado lodo de perforación, circula de forma
descendente a través de la tubería de perforación (TP) y en forma ascendente a
través del espacio anular formado por la TP y el agujero que se perfora. Como se
muestra en la figura 1.1, la temperatura de la formación rocosa a través del cual el
agujero se perfora sufre cambios debido al flujo de lodo de perforación (Raymond,
1969). El proceso térmico durante la circulación del lodo se puede analizar en 3
regiones principales.
Temperatura del fluidoa la entrada T1(0,t)
Temperatura del fluido a la salida T2 (0,t)
Figura 1.1 Proceso de circulación de lodo de perforación en un pozo petrolero.
Capitulo 1 Introducción
3
En la región 1 el lodo entra a la tubería de perforación a una temperatura conocida T1
(0,t). Como el fluido desciende por la TP en dirección axial (z), su temperatura se
determina por procesos convectivos asociados con la circulación descendente de los
lodos por la TP y el intercambio de calor con el fluido del ánulo a cualquier tiempo
T1(z,t). La región 2 se centra en el fondo del pozo (z=L) y supone que la temperatura
del lodo a la salida de la TP es igual a la temperatura a la entrada del espacio anular,
de manera que T1(L,t) = T2(L,t). En la región 3 el lodo asciende por el espacio anular
y su temperatura se determina principalmente por la velocidad de convección de
calor ascendente, la velocidad de intercambio de calor entre el espacio anular y la
TP, la velocidad de intercambio de calor entre la formación adyacente al espacio
anular y el lodo que fluye en el espacio anular y de las propiedades del fluido. El lodo
retorna a la superficie a una temperatura T2(0,t).
Sin embargo, si se presentan pérdidas de circulación, la temperatura del lodo
también es función del tiempo de circulación y del volumen de pérdidas. Bajo este
contexto, el modelo de transferencia de calor se complica en razón de que el lodo
perdido por el proceso de perforación y ganado por la formación, afecta
considerablemente a las temperaturas de formación circundante debido
principalmente a que se involucran procesos convectivos en el sistema pozo-
formación.
1.1 Antecedentes de métodos de estimación de temperaturas de formación.
Para estimar la temperatura de formación se han desarrollado dos clases de modelos
que simulan el disturbio térmico y que están asociados con la perforación y la
relajación térmica durante periodos de cierre: Los modelos denominados simples o
analíticos que se concentran en la región profunda del pozo en donde se toman las
mediciones de temperatura y que son usualmente de naturaleza conductiva (Bullard,
1947; Lachenbruch et al., 1959; Dowdle et al., 1975; Middleton, 1982; Leblanc et al.,
1981; Shen et al., 1986). La segunda clase se refiere a los modelos denominados
métodos de simulación, que intentan reproducir la historia térmica completa del pozo
Capitulo 1 Introducción
y la formación circundante (Jaeger, 1961; Edwarson et al., 1962; Holmes et al., 1970;
Keller et al., 1973; Wooley, 1980).
Los modelos utilizados por estos simuladores solamente representaron el proceso de
circulación del lodo sin pérdidas de circulación, con lo que su limitación queda de
manifiesto al utilizar procesos de transferencia de calor netamente conductivos.
Como referencia de los trabajos previos para estimar temperaturas de formación, la
Tabla 1.1 muestra las características de los métodos analíticos, como se indica, solo
dos modelos son conductivos convectivos: Hassan y Kabir, 1994 y Albright, 1975.
Ningún modelo incluye análisis de medios porosos homogéneos o fracturados.
Tabla 1.1 Métodos simples para estimar temperaturas de formación.
4
1.- Evalua perdidas d econvec. de TC en lodos
no disponibles
Calculos complejos, gran cantidadde inf. necesariaHassan &
Kabir (1994)CONDUC. CONVEC.
CILINDRICA RADIAL
1.- Tiempos cortos de paro de circ.2.- estima TF en el fondo del pozo.
1. Metodo de 2 puntos 2.-tiempo de circulacionadimensional para tiemposlargos de paro
circ. 2.-coef.
Ascencio et al. (1994) CONDUC. ESFERICO RADIAL
No requiere tiempos explícitosde circulacion
No incluye el efecto de las pérdidasde circulación.
Kritikos & Kutasov (1988) CONDUC. CILINDRICA RADIAL
CILINDRICA RADIAL1. Versión adimensional deHorner. 2.- Tiempos cortos y largos de paro.
conocimiento apropiado deconductividad, Calor específico densidad.
1.- Analiza la difusividad (α=0.35x10-6 m2/s
Basado en consideraciones deotros modelos, aplicación en pozosprofundos objetable 2. 0 disturbio ytc
Albright (1975) CONDUC. CONVEC.
CILINDRICA RADIAL
1.- Disturbio térmico condecaimiento exp. 2.- norequiere de parametros dificiles
1.- para intervalos cortos 2.-requiere muchos registros
CILINDRICA RADIALLe-blanc (1982)
FLUJOAUTOR MODELO GEOM. REQUERIMIENTOS LIMITACIONES
Dowdle & Cobb (1975)
2 temp.medidas a la mismaprofund. y dif. tiempos de paro
1.Subestima la TF en 30% enpozos geoterm. 2. Sin pérdidas decirc. 3.-periodos cortos de circ.
CONDUC. CILINDRICA RADIAL
ESTIMA TEMP.
Aplicación a pozos petroleros errores del orden del 10% en temp. con tiempo de reposo menor en 2 o 3 veces el tiempo de circulación.Drury (1984) CONDUC. CILINDRICA RADIAL
Middleton (1979) CONDUC.
Roux (1979) improved Horner
CONVEC.
CONDUC.
RECTANGULO RADIAL1.- Enfriamiento súbito. 2.-Difusividad térmica sistema lodo-formación
1.-baja circulación de fluidos 2.-ignora el tiempo de perforacion y circulacion 3. 0 disturbio y tc
erfckt
2 4 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝ ⎛ Δ + = a T T T L
⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ+ = 1
4 exp2
αt a
T T T L
ws ( ) D DB i t T m T T ⋅+ = * '
⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
−+=
1 0 ln 4 t t
t Q
K T T π
⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎝ ⎛
−+=
1 0 ln 4 t t
t QK T T
π
( ) ( )ttceTTTT −−−=− '''0
''0
( )212 wswswsi TTFTT −+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−=
tmTTws
1'1
( ) ([ ]DDDiws tttCTT Δ−Δ+−= ξξ"0 )
Capitulo 1 Introducción
5
La mayoría de los trabajos mencionados anteriormente, son esencialmente modelos
de tipo conductivo, por lo que el modelo del proceso físico es limitado así como su
aplicación. De esta manera, los efectos de las pérdidas de circulación que son factor
importante en la estimación de las temperaturas de formación, implicó que los
efectos convectivos debieran incluirse en los modelos de transferencia de calor de la
formación. Lo anterior dio origen al desarrollo de modelos matemáticos que tomaran
en cuenta tanto a las pérdidas mencionadas como a los efectos convectivos dentro
de la formación. (Takahashi et al., 1997; García et al., 2000; Espinosa-Paredes et al.,
2001, García et al., 2002; Osato et al., 2003). Respecto a los modelos desarrollados
recientemente, se sabe que la estimación de temperaturas de yacimiento presenta
dos alternativas en función de la información que se tenga disponible. Una alternativa
se refiere al trabajo desarrollado por Takahashi et al. (1997) y la segunda opción se
debe a García et al. (2002)
La primera alternativa la exploraron Takahashi et al. (1997), quienes estimaron las
temperaturas de formación en función de la entrada y salida de los lodos mientras se
perfora, primero simulan un precálculo de las temperaturas dentro del pozo que
servirá como información de entrada con el fin de obtener las temperaturas
imperturbadas o condiciones iniciales de la formación. En su modelo, el proceso
iterativo se fortalece con el algoritmo de optimización no lineal modificado de
Levenberg – Marquardt (Marquardt, 1963). Consideran una simetría cilíndrica y utiliza
un método de diferencias finitas integrales para calcular el flujo dentro del yacimiento
(Narasimhan et al., 1976). Así mismo, consideran al proceso de pérdidas de
circulación como un término fuente de masa y energía dentro de la formación, donde
el flujo de fluidos obedece la Ley de Darcy. El modelo considera pérdidas parciales
de circulación, ya que en el caso de perdidas totales no se tiene información de
temperaturas de lodos a la salida del pozo para validar el modelo. Matemáticamente
es un problema de tipo inverso, debido a que no se conoce la condición inicial del
modelo, la cual es precisamente la temperatura del yacimiento, por lo tanto su
solución no es única y puede tener infinidad de soluciones si no se particularizan las
condiciones de frontera.
Capitulo 1 Introducción
6
Takahashi et al. (1997) analizan dos parámetros: El flujo convectivo dentro de la
formación y las pérdidas de circulación. Sus resultados mostraron que una vez
alcanzada la profundidad de pérdida de circulación, la recuperación de la
temperatura es más lenta conforme el volumen de pérdida es más alto. Este
fenómeno es consistente con los registros de temperatura que muestran
temperaturas anormales en la zona de pérdidas. Sus resultados los obtuvieron al
variar la permeabilidad de la roca, encontrando que los efectos del cambio de
permeabilidad en la recuperación de la temperatura de fondo es relativamente de
efecto muy pequeño, mientras que el efecto referido a las perdidas de circulación lo
determinan realizando cambios de volumen de inyección.
Osato et al. (2003) continuó bajo el mismo escenario de análisis de temperaturas de
formación y en lugar de utilizar el código GEOTEMP3 y el algoritmo de inversión
MWDTEMP3 desarrollado por Takahashi et al. (1997) obtuvo los códigos
comerciales TOUGH2 y MINC en los cuales consideró un medio poroso fracturado.
Los resultados fueron casi idénticos a los obtenidos por Takahashi et al. (1997). Sin
embargo, su publicación no menciona el entorno matemático ni el modelo numérico
bajo el cual establece las bases del programa propuesto. La desventaja del modelo
propuesto por Takahashi et al. (1997) consiste, en que tiene que formar un registro
de temperaturas a lo largo del pozo en condiciones de circulación mediante un
precálculo y posteriormente utilizarlo como un registro de temperaturas para efectuar
la comparación entre los valores simulados y registrados. De manera obvia obtiene
un resultado aceptable ya que la solución esta en función del precálculo que el
mismo programa propone.
La segunda alternativa la proponen García et al. (2002), quienes evitan el precálculo
y utilizan registros de temperatura directamente para validar su modelo, ajustando las
temperaturas simuladas a dichos registros de temperatura. El problema que
resuelven es también de tipo inverso y consiste en modelar y simular el proceso de
circulación y paro subsecuente a lo largo del pozo, toman como referencia una
condición inicial supuesta (temperatura de yacimiento) y ajustan por mínimos
Capitulo 1 Introducción
7
cuadrados no lineales las temperaturas medidas por registros y las simuladas por el
código. El proceso iterativo se basa en un algoritmo de optimización no lineal
denominado Levenberg – Marquartd, utilizado también por Takahashi et al. (1997).
El código de García et al. (2002) aplica un balance de masa en diferentes nodos
donde puedan ocurrir las pérdidas de circulación, ya que los registros de temperatura
se toman a pozo cerrado con profundidad fija y con condiciones de lodo de
perforación conocidas. Las consideraciones generales de su modelo proponen: 1)
geometría cilíndrica, 2) formación isotrópica y porosidad homogénea, 3) las
propiedades termofísicas de la formación, cemento y metal de la tubería son
constantes (conductividad térmica, calor específico y densidad) para cada etapa de
perforación, 4) fluido incompresible, con propiedades térmicas y de transporte
constantes, 5) los efectos de disipación viscosa y de expansión térmica son
despreciables.
1.2 Antecedentes del uso de las propiedades termofísicas.
La consideración de que las propiedades termofísicas y de transporte son constantes
para resolver un problema de transferencia de calor por métodos directos
(condiciones iniciales y de frontera conocidas) se basa en el trabajo de Santoyo
(1997), quien realizó un estudio de los efectos reológicos de los fluidos durante la
perforación de pozos geotérmicos, analiza diferentes fluidos no newtonianos y su
dependencia con la temperatura. Santoyo (1997) menciona que la densidad, el calor
específico y la conductividad térmica de los fluidos de perforación varían ligeramente
con la temperatura (menos del 15%), es decir, la difusividad térmica que es el
resultado del efecto combinado de los tres parámetros mencionados, puede
considerarse como propiedad constante [Le-blanc, 1982] y utilizar los datos
experimentales reportados para lodos (Wooley, 1980; Santoyo et al., 2001, Santoyo
et al. 2003, Amaro, 2001) o bien, aproximarse mediante las correspondientes
correlaciones para lodos base agua. Agrega además que las temperaturas de los
fluidos de perforación son altamente dependientes de los fluidos empleados de
manera particular y el grado de enfriamiento del pozo varía ampliamente de un lodo
utilizado a otro. Para el caso de fluidos cementantes, la dependencia de la
Capitulo 1 Introducción
8
temperatura en las propiedades reológicas no afecta significativamente la predicción
de perfiles de temperatura de la formación. Sin embargo, durante el análisis del
problema inverso, existe una variación de las propiedades termofisicas del modelo y
se establecerá cual o cuales son las propiedades que tienen un impacto significativo
en la estimación de la temperatura estática del yacimiento.
Los procesos de transferencia de calor (TC) involucrados en la estimación de
temperaturas de formación se estudian a través de modelos matemáticos y en forma
clásica se resuelve el problema directo, para ello se establece un modelo riguroso
que incluya condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF) tal que obtenga
una solución particular, como un campo o perfil de temperaturas para un pozo
petrolero o geotérmico.
En la mayoría de los casos las CI no se conocen antes de perforar la formación
geológica, por lo que se tienen que proponer a través del desarrollo de métodos
confiables. Las técnicas inversas son una herramienta útil para este tipo de
problemas de transferencia de calor. Debido a que es difícil conocer con certeza y a
priori el valor de las temperaturas de formación, el uso de métodos inversos son
necesarios para su estimación y optimización. El carácter mal planteado del
problema representa un área de interés tanto científica como práctica para la
industria de la perforación de pozos petroleros. La Tabla 1.2, muestra los trabajos
desarrollados para estimar temperaturas iniciales de formación en donde se utiliza
además de las soluciones analíticas, el uso de métodos numéricos para su
evaluación. La última fila se refiere a la propuesta del presente trabajo, y se
considera la columna de medio fracturado, esto implica que se conoce la
permeabilidad del medio fracturado mediante prueba de laboratorio o pruebas de
pozo para construir modelos ideales de fracturas, pero que ayudan a proponer
nuevas alternativas de solución de regiones particulares en la formación porosa.
Capitulo 1 Introducción
9
Tabla 1.2 Matriz de trabajos relacionados a la estimación de TF mediante simulación
La formación geológica que se estudia en este trabajo se refiere a la ubicada en el
Golfo de México, particularmente en la zona de Cantarell, en donde se tiene en
general un yacimiento naturalmente fracturado. Las fracturas proveen el conducto
mediante el cual los fluidos fluyen en la zona intersticial de la roca que de otra
manera podría ser impermeable. Las rocas menos compactas tales como las
areniscas y ciertos tipos de calizas pueden permitir la circulación de fluido a través de
ellas. Por lo tanto, las rocas en los yacimientos fracturados pueden presentar dos
tipos de porosidad, la porosidad primaria que es de tipo intergranular formado por los
espacios de poro entre el grano de la roca y una porosidad secundaria formada por
los espacios huecos creados por las fracturas (figura 1.2).
Figura 1.2
a.- Porosidad primaria b.- Porosidad secundaria
Capitulo 1 Introducción
10
La porosidad primaria (φ) usualmente se localiza en rocas sedimentarias tales como
arenas, dolomitas y calizas, mientras que las porosidad secundaria esta
normalmente asociada con las rocas densas ígneas que han experimentado
actividades fuertemente tectónicas.
Con lo expuesto anteriormente se definirá un modelo físico que describa los
procesos de flujo que ocurren en el pozo en condiciones de circulación de fluido de
perforación y paro, considerando la presencia de pérdidas de circulación en una
formación porosa homogénea. Se propone un modelo matemático, que incluya las
ecuaciones de los diversos procesos de flujo de masa y energía involucrados en el
pozo-formación. La deducción de las ecuaciones de transporte de masa y energía
para la formación se hace en dos dimensiones en estado transitorio, tomando en
cuenta los efectos convectivos por las pérdidas de circulación. De conocer con
anticipación la solución analítica del problema directo y de aplicar técnicas inversas,
se predicen las condiciones iniciales de la temperatura de formación, además se
estudia la influencia que tienen los parámetros de la función paramétrica propuesta
para definir la función objetivo a optimizar. Dichos parámetros son la temperatura del
fluido, la densidad, la viscosidad, el gasto del fluido de perforación, el calor específico,
la conductividad térmica y el gradiente geotérmico.
1.3 Objetivo de la investigación. El objetivo de la investigación consiste en estimar las temperaturas de formación
imperturbadas en un pozo petrolero mediante técnicas inversas. Rigurosamente
hablando en el contexto matemático es encontrar las condiciones iniciales (CI) del
conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan los fenómenos de
transferencia de calor en el yacimiento. Para lo cual se establece un modelo físico y
matemático con geometría cilíndrica en estado transitorio de un pozo petrolero en
una formación porosa, con condiciones de frontera convectivas conocidas.
Posteriormente desarrollar un código numérico para simular las CI que deberán
generar un ajuste más cercano a la temperatura de formación real de la formación.
Capitulo 1 Introducción
11
1.4 Alcance de la investigación.
Obtener un modelo de transferencia de calor bidimensional en estado transitorio,
aplicando técnicas inversas para evaluar perfiles de temperatura en cinco regiones
delimitadas en un sistema pozo formación, al considerar que la condición inicial
referida a la región cinco es la temperatura de formación imperturbada y que se
propone desconocida.
En virtud de que la simulación de las temperaturas de formación mediante técnicas
inversas no tiene solución única, se obtiene primero la solución analítica del
problema directo y posteriormente se aplica una aproximación mediante técnicas
inversas para minimizar una función objetivo, tal que sugieran un vector de
temperaturas estimadas mediante un procedimiento iterativo que pueda ser
comparado contra los valores de temperatura registrada. El vector de temperaturas
resultante debe cumplir con un análisis de sensibilidad paramétrica aplicado a seis
variables termofísicas, el resultado de este análisis permitirá evaluar el impacto al
variar de manera conjunta todas las variables del fluido en función de la profundidad
de perforación. Se aplica el método de Levenberg Marquardt como primer método
inverso y posteriormente se exploran dos métodos inversos mas, el Controlador
Proporcional Integral y uno de Inteligencia Artificial, finalmente se efectúa la
comparación de las tres propuestas térmicas.
1.5 Hipótesis.
Las técnicas inversas como la referida a la del tipo Marquardt son apropiadas para
estimar la temperatura de formación en un pozo petrolero. La influencia y la variación
de los parámetros termofísicos del lodo de perforación pueden utilizarse para
efectuar el ajuste de la temperatura de formación, además de determinar el grado de
incertidumbre que podría presentarse durante el proceso de optimización.
Capitulo 1 Introducción
12
1.6 Metodología.
Una solución particular de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que
representan la transferencia de calor en un sistema pozo formación se conoce de
García et al. (1998), ésta solución representa las mediciones en el fondo del pozo
petrolero que son tomadas durante la perforación, sin embargo la condición inicial
(CI) no se conoce. Desde el punto de vista matemático se trata de un problema mal
planteado. En este trabajo se utiliza inicialmente un método basado en un algoritmo
de optimización del tipo Marquardt para encontrar dicha CI, la cual representa la
temperatura de formación (TF), posteriormente se aplica un segundo método basado
en inteligencia artificial y finalmente se propone uno referido a un método de control.
El procedimiento general para resolver el problema inverso de transferencia de calor
con condiciones de frontera conocidas y la condición inicial supuesta, puede
ordenarse en los siguientes pasos básicos:
1. Resolver el problema directo, considerando que todas las variables del
problema de transferencia de calor, son conocidas.
2. Plantear el problema inverso, al suponer que la condición inicial referida al
campo de temperaturas del subsuelo es inferida solamente por los registros
geofísicos, pero irreal en su sentido básico y fundamental, al entender que dicha
temperatura registrada se toma cuando ya hubo un previo disturbio térmico durante
la perforación.
3. Las ecuaciones diferenciales parciales que representan el fenómeno físico y
que reflejan los fenómenos de transferencia de calor en el sistema pozo formación,
se transformaran en ecuaciones discretas al utilizar la técnica de diferencias finitas
en forma implícita, posteriormente las ecuaciones algebraicas no lineales que se
generen se resuelven mediante un procedimiento iterativo.
Capitulo 1 Introducción
13
4. El proceso iterativo del análisis en conjunto de todas las ecuaciones se basará
en un criterio de convergencia, mismo que dependerá de tres variables de influencia
para determinar la mejor proyección del campo de temperaturas de formación real,
las variables básicas de influencia en la estimación de la temperatura de formación
son la porosidad del yacimiento, las perdidas de circulación y la temperatura medida
por registros geofísicos. En función de estas tres variables, el programa detendrá el
proceso iterativo hasta obtener el ajuste más cercano a la temperatura real de la
formación.
5. Como se mencionó al principio, se utilizan tres algoritmos computacionales, uno
referido al Levenberg- Marquardt, cuyo esquema de solución permitirá además de
encontrar la TF, aprovechar la formulación matemática para desarrollar un análisis de
sensibilidad y observar los efectos de seis variables termofísicas elegidas a
diferentes profundidades durante el proceso de optimización de la TF.
Posteriormente se utilizara un algoritmo de control Proporcional Integral, este
algoritmo utiliza la misma plataforma de análisis que el Levenberg-Marquardt en su
primer etapa de análisis referido al problema directo, para luego plantear una
innovadora propuesta de solución del problema inverso y encontrar la TF. Finalmente
un algoritmo computacional basado en inteligencia artificial es aplicado, en donde el
trabajo principal reside en alimentar al simulador con los perfiles de temperatura
obtenida de registros geofísicos y que servirán como soporte para la obtención de un
perfil de temperatura de formación apropiado, el cual estará en función de la decisión
del experto en controlar el criterio de convergencia.
En resumen, para obtener una formulación completa del modelo matemático que
describa los procesos de flujo que ocurren en el pozo en condiciones de circulación
de fluido y paro, se propone un modelo que incluye las ecuaciones de los diversos
procesos de flujo de masa y energía involucrados en el sistema pozo formación, así
como de ecuaciones complementarias, de correlaciones de transferencia de calor y
de propiedades termofísicas, lo anterior se plantea en el Capitulo 3.
Capitulo 1 Introducción
14
Las CF y la CI se establecen de acuerdo al problema físico y con la información
completa de la descripción del pozo petrolero se obtiene la solución numérica del
problema directo. El Capitulo 4 muestra la validación del modelo matemático y
plantea el problema inverso para estimar una mejor aproximación de la CI propuesta
en el método directo. El problema inverso implica efectuar un análisis de sensibilidad
al variar seis parámetros termofísicos durante el criterio de convergencia, y utilizan
como valor inicial la última predicción del problema directo. Los parámetros
termofísicos que forman la matriz de sensibilidad son la densidad del lodo, la
conductividad térmica del lodo, la viscosidad, el flujo volumétrico de inyección de
fluido de perforación, el calor específico del lodo y las pérdidas de circulación.
Finalmente la aplicación del algoritmo computacional utilizado muestra el
comportamiento de la temperatura de formación y su comparación con un perfil
obtenido del gradiente geotérmico. Se exploran tres algoritmos de solución, un
algoritmo computacional tipo Marquardt (MLM), un segundo algoritmo de control (PI)
basado en un controlador Proporcional Integral y un último algoritmo basado en
inteligencia artificial (IA). Los procedimientos de solución y los resultados numéricos se
muestran en el capitulo 5. Finalmente se obtienen las conclusiones y
recomendaciones del trabajo (Capitulo 6).
Teniendo en cuenta que el presente estudio del problema inverso esta dirigido hacia
la industria petrolera, este proyecto aborda un modelo conductivo-convectivo en
donde exista la presencia de pérdidas parciales de circulación, las cuales pueden
ocurrir a través de fracturas atravesadas por el pozo (porosidad secundaria) o por la
porosidad intergranular de la formación (porosidad primaria). Para describir este
proceso es necesario considerar en forma combinada los mecanismos de TC por
convección y conducción, tanto en el pozo como en la formación.
CAPITULO 2
PRELIMINARES DEL PROBLEMA INVERSO
En este capitulo se presenta la teoría relacionada a los problemas inversos en la
conducción y convección de calor IHCCP (por sus siglas en inglés Inverse Heat
Conduction & Convection Problems), se mencionan algunas aplicaciones prácticas,
su clasificación de acuerdo a la naturaleza de los procesos de transferencia de calor
involucrados y los antecedentes que preceden el presente proyecto.
Los problemas inversos en la conducción y convección de calor se asocian
generalmente con la estimación de condiciones de frontera desconocidas, con flujos
de calor, así como con condiciones iniciales, para su análisis utilizan como referencia
a las mediciones de temperatura registradas más allá de la frontera o de la
superficie. Cuando en un problema clásico de conducción de calor se conoce la
causa (flujo de calor en la frontera o la CF), el efecto es determinado de manera
directa (distribución de temperaturas en el cuerpo). En cambio el problema inverso
consiste en estimar la causa que originó el efecto ya conocido. La figura 2.1 indica
que mientras en un modelo directo el objetivo es determinar un efecto con
características causales dadas (por ejemplo la distribución de temperaturas), en el
problema inverso la idea es estimar una o mas de esas características causales
desconocidas.
causas efectosC E
MODELO DIRECTO MODELO INVERSO?
Parámetros o modelos Datos u observaciones
causas efectosC E
MODELO DIRECTO MODELO INVERSO?
Parámetros o modelos Datos u observaciones
Figura 2.1 Planteamiento de solución del problema directo vs problema inverso
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
16
Los IHCCP dependen en cierta forma de las mediciones de temperatura y/o del flujo
de calor, que son necesarios para estimar cantidades desconocidas que intervienen
en el análisis de problemas físicos en ingeniería térmica. Una ventaja en su
utilización es que mantienen una relación mas estrecha entre los experimentos y los
análisis teóricos, lo anterior es con el propósito de extraer la mayor información
posible del problema físico bajo estudio. Los problemas inversos son
matemáticamente clasificados como “mal condicionado” en el sentido mas general,
debido a que su solución no es única.
2.1 Aplicaciones del problema inverso.
Inicialmente los IHCCP no tenían un interés físico debido a su carácter mal
planteado, de ahí que algunos métodos heurísticos para la solución de problemas
inversos fueran desarrollados en los años cincuenta, los cuales se basan más en una
aproximación intuitiva que en un formalismo matemático. Posteriormente, en los años
sesenta y setenta muchos de estos métodos comúnmente usados a la fecha, fueron
formalizados en términos de sus capacidades para tratar problemas mal
condicionados. La base de estos métodos reside en la idea de reformular el
problema inverso como un problema bien planteado al utilizar técnicas de
regularización. Tikhonov (1975 y 1977), Alifanov (1974,1994) y Beck (1962 y 1985)
son algunos pioneros en esta área que encontraron diferentes formas de afrontar las
inestabilidades de los problemas inversos.
La teoría y aplicación de los IHCCP se encuentra en muchas ramas de la ciencia y la
ingeniería, como la mecánica, aeroespacial, química y nuclear. Matemáticos,
astrofísicos y estadísticos tienen relación con este tema y cada grupo con diferentes
aplicaciones en mente. Un ejemplo es cuando se pretenden mediciones directas de
flujo de calor en la superficie de una pared sujeta a un calentamiento extremo
mediante el uso de métodos convencionales, lo cual es una materia difícil, pero
puede ser evaluado mediante un análisis inverso al utilizar registros de temperaturas
transitorias tomadas en localizaciones específicas mas allá de la superficie
calentada.
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
17
Algunas aplicaciones prácticas para estimar condiciones de frontera desconocidas
son extremadamente difíciles o imposibles de plantearse mediante el uso de técnicas
convencionales, las técnicas utilizadas en IHCCP pueden resolver problemas como:
1) La estimación de propiedades termofísicas de materiales, cuando existe una
variación significativa de su valor en función de la temperatura y posición.
2) Estimación de propiedades referidas a la radiación y las condiciones de frontera
en materiales semitransparentes, que emiten, absorben o dispersan energía.
3) Control del movimiento de la interfase sólido-líquido durante la solidificación.
4) Estimación de condiciones de entrada y flujo de calor en la frontera con presencia
de convección forzada en el interior de ductos.
5) Estimación de conductancias en la interfase entre superficies periódicamente en
contacto.
6) Propiedades de radiación de superficies reflectivas o calentadores y paneles
criogénicos, y
7) Estimación de calor liberado durante la fricción de dos sólidos, entre otros.
Los problemas inversos también pueden clasificarse de acuerdo a la naturaleza de
los procesos de transferencia de calor:
1) Conducción.
2) Convección (natural o forzada).
3) Radiación en superficies, radiación en medios participativos.
4) Conducción y radiación simultánea.
5) Conducción y convección simultánea y
6) Cambio de fase.
Otra clasificación puede basarse en el tipo de características causales a estimar:
1) Condiciones de frontera.
2) Propiedades termofísicas.
3) Condiciones iniciales.
4) Término fuente y
5) Características geométricas de un cuerpo calentado.
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
18
2.2 Métodos de solución para los problemas inversos.
El problema inverso consiste en la estimación y optimización de valores puntuales
que generalmente requieren de la solución del problema directo asociado, Özisik et
al. (2000). Los métodos pueden clasificarse en los siguientes grupos:
• Por inversión directa (Artyukhin et al.,1988)
• Métodos de regulación (Tikhonov, 1967)
• Método de ecuación integral (Beck, 1968)
• Técnicas de transformada integral (Abramovich et al., 1979).
• Solución en series (Buggraf, 1964; Makhin et al., 1973; Langford, 1976)
• Aproximación polinomial (Frank, 1963; Mulholland et al.,1973 y 1975)
• Transformación de la ecuación de conducción de calor en una ecuación
hiperbólica (Novikov, 1981)
• Métodos numéricos: diferencias finitas, volumen finito y elementos de frontera.
(Garifo et al., 1975 ; Randall, 1976 ; Hore, et al. 1977)
• Métodos de filtrado iterativo (Matsevityi , 1980)
• Método secuencial de Beck, especificando una función (Beck, 1977)
• Método de Levenberg-Marquardt para la minimización de la norma de
mínimos cuadrados (Frank, 1963; Marquardt, 1963)
• Métodos iterativos de regulación para estimación de parámetros o funciones
(Alifanov, 1974; Alifanov et al., 1978)
• Algoritmos genéticos (Wooddbury, 1990)
• Redes neuronales (Shiguemori et al. 2002; Mirko et al. 2000)
La teoría del problema inverso en su sentido más amplio ha sido desarrollada por los
investigadores que trabajan con métodos geofísicos. La razón es que dichos
investigadores tratan de entender el interior de la tierra solo a partir de datos
obtenidos desde la superficie. Sin embargo, como se mencionó, el problema inverso
aparece en muchas ramas de las ciencias físicas, como puede ser la tomografía
médica, el procesado de imagen o el ajuste de curvas. En nuestro caso lo serán las
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
19
temperaturas del subsuelo donde los datos de entrada serán los registros de
temperaturas.
En la mayoría de los métodos listados anteriormente, es necesario el uso de análisis
estadísticos. El apéndice A muestra los procedimientos generales y los conceptos
relacionados en la identificación de parámetros o funciones mediante técnicas
inversas.
2.3 Antecedentes en el uso de técnicas inversas.
Diversos autores han utilizado técnicas de inversión para estimar propiedades
termofísicas. Por citar brevemente a algunos, Terrola (1989) estimó la temperatura
en geometrías regulares y su dependencia con la conductividad térmica y obtuvo la
solución mediante el uso de métodos de optimización. Huang y Özisik (1992)
evaluaron conductancias durante la fundición o aleación de metales, en virtud de no
contar con mediciones a esas temperaturas de fundición, utilizan el método inverso
para estimar los valores de conductancias.
Lin (1998) evalúa de manera simultánea la conductividad térmica, el calor específico
y el coeficiente de transferencia de calor en la superficie de una placa sólida, como
referencia utiliza mediciones de temperatura en puntos particulares. Huang y Cao
(1997) desarrollaron modelos numéricos que incluyen algoritmos de Levenberg-
Marquardt y del gradiente conjugado, los cuales se aplicaron para identificar
fronteras desconocidas en problemas de TC en estado estable. Huang y Tsai (1998)
extendieron el estudio de Huang y Cao (1997) para problemas transitorios en donde
la tarea fue identificar la configuración de fronteras irregulares basada en mediciones
de temperaturas externas.
Huang y Chen (1998) utilizaron métodos inversos para estimar temperaturas de
fondo en un pozo geotérmico y utilizaron mediciones transitorias de temperatura
tomadas dentro del pozo suponiendo condiciones de frontera desconocidas.
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
20
Prud’homme y Nguyen (1998), Huang y Wang (1999) utilizaron el método del
gradiente conjugado para estimar el flujo de calor y la temperatura en un cilindro
hueco en 3 dimensiones, mencionan que conforme se tengan más puntos de
medición la estimación de temperatura es más congruente con la solución exacta.
Park y Chung (1999) estiman la generación interna de calor y los efectos de la
convección natural en un cilindro mediante técnicas inversas. Monde (2000) y Monde
et al. (2000) utilizaron un método analítico basado en la técnica de la transformada
de Laplace y lo aplicaron en un problema inverso de conducción de calor en un
cuerpo finito en una dimensión. Demostraron que la temperatura o bien el flux de
calor en la superficie puede estimarse con una buena aproximación al utilizar
técnicas inversas. Posteriormente, Monde y Mitsutake (2001) proponen un nuevo
método basado en las soluciones analíticas de Monde et al. (2000), con lo que
determinan de forma numérica valores de difusividad térmica y conductividad térmica
con mejor aproximación que con una solución directa.
Los IHCCP que utilizan la simulación para obtener soluciones térmicas, requieren
modelar lo mejor posible los procesos de flujo de fluidos y calor dentro y fuera del
pozo, durante periodos de perforación o circulación del lodo y el subsecuente
calentamiento a pozo cerrado. Los modelos resultantes implican resolver varias
ecuaciones diferenciales parciales en todo el sistema pozo-formación en régimen
transitorio. Para ello requieren de una vasta información referida al proceso de
perforación y de tiempos de circulación y paro, de la geometría del pozo,
características termofísicas de los lodos, cementos y formación, etc. Sin embargo,
esta información es conocida parcialmente en la mayoría de los casos, lo cual limita
la exactitud de las estimaciones.
Diversos autores (Kéller et al., 1973; Wooley, 1980; García et al., 1998a-b; Espinosa-
Paredes et al., 2001) han desarrollado simuladores para mejorar la predicción de
temperaturas mediante el acoplamiento de un modelo de flujo de calor transitorio en
el pozo con un modelo conductivo de calor transitorio en la formación. Cao (1988)
utilizó técnicas inversas para modelar la estabilización térmica del fondo del pozo
después de que la circulación ha cesado y estima 5 parámetros geofísicos mediante
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
21
simulación numérica: 1) la temperatura real de la formación, Tf, 2) la temperatura del
lodo de perforación al tiempo en que la circulación se detiene, Tm, 3) la distancia de
invasión térmica, R, dentro de la formación antes de que la formación mantenga la
Tf, 4) la conductividad térmica, K, de la formación perpendicular al pozo y 5) el factor
de eficiencia, F, para el calentamiento del lodo en el pozo después de que el lodo de
circulación se ha detenido.
Su modelo utilizó como datos de entrada a las temperaturas registradas a pozo
cerrado con profundidades fijas, a la temperatura del lodo en la superficie cuando el
tiempo de circulación se detiene, el radio del pozo, la densidad y el calor específico
del lodo de perforación y de la formación. La solución analítica presentada por Cao
(1988) fue para resolver la ecuación de transferencia de calor por conducción, su
modelo se basó en principios matemáticos y físicos de la estabilización de
temperaturas a fondo de pozo y de una implementación numérica. Las
consideraciones básicas para su modelo de estimación de temperaturas de
formación las plantea como sigue: 1) El flujo de calor es dominantemente radial, y la
transferencia de calor de la formación al pozo después de que el lodo de circulación
se detiene es solamente mediante conducción, 2) el gradiente de temperatura
vertical es despreciable.
Las condiciones iniciales se basan en que: A1) la temperatura del lodo es constante
durante la circulación a la profundidad donde la temperatura fue medida y A2) antes
del paro de circulación, la formación se enfría por conducción debido al lodo de
perforación (Jaeger, 1961). Las condiciones de frontera se basan en: B1) La
existencia de una zona de invasión térmica cercana al pozo, en donde la formación
fuera de esta zona no es afectada por el enfriamiento, y B2) El lodo dentro del pozo
se esta calentando uniformemente. La figura 2.2 muestra el diagrama esquemático
del modelo físico de la estabilización de temperatura en la sección basal de un pozo.
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
22
El modelo se describe mediante la ecuación de conducción de calor:
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ρ = + ≥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
f f 2T T 1 Tc K , rt r r r
a
≤ ≤
(2.1)
Condición inicial (por secciones):
= ≤mT(r) T , 0 r a, t 0 (2.2)
( ) ( )( )
= + − < < ≤m f m
ln r aT(r) T T T , a r R, t 0
ln R a
(2.3)
= ≤fT(r) T , R r , t 0≤ ∞ ≤ (2.4)
Condiciones de frontera
=
∂ ∂⎛ ⎞ρ π = π ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠2
m mr a
T TC a F 2 a Kt r
(2.5)
= →fT(r) T , r ∞ (2.6)
Tm < T < Tf Tm < T < Tf
ρf cf ρf cf
Tm
ρm
Cm
formación
lodo de perforación
Flujo de calor radial
r
a a R R
Tf Tf
Figura 2.2 Modelo físico para la estabilización de la temperatura en la sección basal de un
pozo.
En las ecuaciones (2.1) – (2.6) y en la figura 2.2. La letra t es el tiempo transcurrido
después de que el lodo de perforación se ha detenido, medido en horas; K es la
conductividad térmica de la formación perpendicular al pozo, W/m°C; Cm es el calor
específico del lodo, J/kg °C; Cf, calor específico de la formación, J/kg°C; F es la factor
de eficiencia por el calentamiento del lodo, cuando la circulación se detiene; Tm es la
temperatura del lodo a t=0, °C; a es el radio del pozo, m; ρ la densidad, kg/m3.
Capitulo 2 Preliminares del problema inverso
23
De acuerdo a Cao (1988) y siguiendo la descripción general de Carslaw y Jaeger
(1959) y Luikov (1978), de utilizar la técnica de la Transformada de Laplace, la
solución de la ecuación (2.1) con la condición inicial de (2.2) a (2.4) y condiciones de
frontera (2.5) y (2.6), toman la siguiente forma:
( ) ( )( )
∗
∗
⎡ ⎤ε τ= + − − =⎢ ⎥
ε τ⎢ ⎥⎣ ⎦m f m
I t; ,F ,T(t) T T T 1 , r a
I 0; ,F ,
(2.7)
con
( )( ) [ ]{ }
e d−τ
∞
ε∗ ∗
ε τ =⎡ ⎤− + −⎣ ⎦
∫
2s t
* 2 230 1 0 1
sI t; ,F ,s sJ s F J (s) sY (s) F Y (s)
(2.8)
Donde J0, J1, Y0 e Y1 son funciones Bessel de primer y segundo orden,
respectivamente, ε es un parámetro de escala que relaciona la distancia R de
invasión térmica y τ es la escala en el tiempo de difusión.
En la solución de la ecuación (2.7) se tienen 5 parámetros libres: Tf, Tm, ε, y τ, Cao
(1988) utiliza el método inverso para determinarlos en función de un grupo de
mediciones de temperaturas de fondo.
*F
La mejor aproximación para Tf y Tm puede hallarse mediante la técnica de mínimos
cuadrados al utilizar un grupo N de mediciones de temperaturas de fondo Ti tomadas
a tiempos ti ( i=1,2,...,N) con ε, y τ supuestas. La función objetivo, F.O. se plantea
como:
*F
( )N 2
i ii 1
1F. O. T (medida) T , , F , tN 2 ∗
=
= − τ⎡ ⎤⎣ ⎦− ∑ iε (2.9)
Cao (1988) concluye que al aplicar un procedimiento inverso con información de
campo como datos de entrada, las temperaturas estimadas tanto de la formación
como la del lodo se aproximan en un 0.4% y un 5% respectivamente de sus valores
de referencia, mientras que la conductividad térmica, la distancia de invasión térmica
y el factor de eficiencia pueden ser estimados con gran aproximación a sus valores
originales, siempre y cuando la veracidad de los datos disponibles tengan errores de
medición despreciables.
CAPITULO 3
MODELO FÍSICO Y DESARROLLO DEL MODELO
MATEMÁTICO
La primera parte del capitulo se refiere al modelo físico del problema a resolver, se
plantean las consideraciones y se acotan las limitaciones. Además, se establecen las
ecuaciones que represente el fenómeno físico y se plantea numéricamente la solución
al problema directo de transferencia de calor para determinar un perfil de temperaturas
de formación. Se presenta la validación del modelo numérico y se comparan los perfiles
de temperatura con una solución analítica.
Posteriormente se plantea la función objetivo para resolver el problema inverso,
considerando que las temperaturas de formación son parámetros desconocidos que
deberán estimarse y optimizarse respecto a los valores utilizados por registros
geofísicos.
3.1 Planteamiento del problema directo de transferencia de calor. El modelo físico del problema de transferencia de calor se basa en la geometría y
consideraciones físicas de un pozo petrolero, particularmente del referido al pozo
marino 3007 de la zona Noreste del Golfo de México. La idea fundamental es encontrar
el perfil de la distribución de temperaturas de formación y describir los efectos de la
transferencia de calor en un pozo petrolero cuando existen periodos de perforación y
paro de circulación. El perfil de temperaturas obtenido con los diferentes métodos
analíticos se compara con el gradiente geotérmico. De acuerdo al esquema mostrado
en la figura 3.1 el proceso de perforación de un pozo petrolero se muestra en cinco
regiones del sistema pozo formación y que resulta ser mas completo que el propuesto
por Cao (1988) en la figura 2.2.
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
Figura 3.1. Proceso de perforación en un pozo petrolero. Se muestran las 5 regiones de flujo de
calor
Cem
ent
Formation
Region 3
Drill pipeCasing
Wellcenterline
T3
r
r
r
1
2
3
v z,3
Region 2T2
Region 1T1
Region 4T4
Region 5T5
z,1v
Formación
Tubería de perforación
Eje Z del pozo
3.1.1 Modelo físico y consideraciones.
El modelo físico de la circulación del fluido de perforación y las pérdidas de circulación
hacia la formación se mostró en la figura 3.1. En donde el fluido de perforación llamado
normalmente lodo, circula hacia abajo a través de la tubería de perforación y hacia
arriba por el espacio anular formado por la tubería de perforación y el agujero
perforado. La temperatura de la formación rocosa a través del cual el agujero se está
perforando sufre cambios debido al flujo de lodo de perforación (Raymond, 1969;
Arnold, 1990; Beirute, 1991), dichos cambios térmicos son los que se pretende simular.
Las consideraciones para el modelo son:
1. Geometría cilíndrica y flujo radial, la distribución de temperaturas radial es
simétrica respecto al eje del pozo.
2. La transferencia de calor de la formación al pozo es conductiva después de que
el lodo de circulación se detiene.
3. El lodo de perforación en el fondo en contacto con la formación es homogéneo.
25
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
4. La roca se considera como un cuerpo infinito, tal que si r→ ∞ la temperatura para
la formación a cierta distancia del pozo no se afecta, la formación rocosa es
isotrópica y con porosidad homogénea.
5. La conservación de masa considera flujo incompresible.
6. Propiedades térmicas y de transporte constantes.
7. Régimen transitorio.
8. La interfase pozo – formación se considera como un medio poroso a través del
cual el fluido puede perderse (pérdidas de circulación) hacia la formación.
9. No hay flujo de agua, aceite o gas del medio poroso hacia el pozo.
3.1.2 Modelo matemático.
El planteamiento matemático consiste en utilizar un grupo de ecuaciones diferenciales
parciales de transferencia de calor tal que describan un perfil de temperaturas en dos
dimensiones y estado transitorio T(r,z,t). La solución considera que el efecto de la
transferencia de calor convectiva se encuentra explicito en las condiciones de frontera.
Condición inicial (C.I.): La temperatura del lodo es constante durante la circulación a la
profundidad donde la temperatura es medida. Después del periodo de circulación, la
formación se enfría por conducción debido al contacto con el lodo de circulación.
Condiciones de frontera (C.F.): La existencia de una zona de invasión térmica en el
fondo del pozo y sujeta a un proceso convectivo durante la pérdida de circulación entre
el sistema pozo-formación.
Una vez que se toman en cuenta los mecanismos importantes que pudiesen afectar el
transporte de energía entre el pozo y la formación circundante, se puede aplicar un
balance macroscópico de energía para calcular las temperaturas transitorias en todas
las regiones. La formulación matemática general referida a las ecuaciones diferenciales
parciales necesarias para aplicar un balance de energía dentro del sistema pozo-
formación se describe en el Apéndice B. De acuerdo al modelo físico y a las
consideraciones fundamentales mencionadas en la sección 3.1.1, las ecuaciones
gobernantes del modelo matemático son (García et al., 1998b):
26
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
( )⎡ ⎤∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦
r zp r z
rqT T T 1 qC v v S"t r z r r z
(3.1)
donde r y z son coordenadas cilíndricas en la dirección radial y axial, T es la
temperatura, v es la velocidad lineal, q es el flujo de calor por unidad de área, ρ es la
densidad, Cp es el calor específico y S” es un término fuente de calor referido al efecto
de la barrena y que se aplicará posteriormente solo en la región 1 que comprende el
análisis térmico en el interior de la tubería de perforación.
De aplicar la definición de flujo de calor:
∂ ∂= − = −
∂ ∂r zT Tq k , q kr z
(3.2)
se obtiene:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2
p r z 2 2
T T T T k TC v v S" k kt r z r r r
Tz
(3.3)
La ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas para flujo incompresible se
muestra como:
( )∂ ∂+ =
∂ ∂r zrv1 v 0
r r z
(3.4)
Las condiciones inicial y de frontera para las ecuaciones (3.3) y (3.4) son:
C.I. = ∀( , , ) ( , ) en t=0 r y zT r z t f r z (3.5)
C.F.1 ( )∂⎛ ⎞= − = − ∀⎜ ⎟∂⎝ ⎠ s m i
i
Tq k h T T en Ar
t
∞
(3.6)
C.F.2 = ≤3( , ) r r< , t>0fT r z T (3.7)
C.F.3 ρ
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 zd
Wv en zA
∀t (3.8)
27
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
28
tC.F.4 ( )φ ρ= ∀i, , , , en A r loss m lv f W W A (3.9)
donde Ts es la temperatura del sólido y Tm es la temperatura del fluido, Ai es el área
interfacial entre la roca de formación y el fluido, W es el flujo volumétrico del fluido de
perforación, Ad es el área de sección transversal que atraviesa el flujo, φ es la
porosidad de la formación y Al es el área de flujo lateral.
El efecto térmico del calor generado por la barrena se considera como un término
fuente en el balance global de calor, aunque el análisis se desarrolla a profundidad
constante y sin avance de perforación, su influencia será considerada en un apartado al
final del análisis como un valor agregado, suponiendo que la rotación de la barrena a
fondo de pozo contribuye en el incremento de calor durante el proceso térmico de
circulación del lodo en el interior de la tubería de perforación. Por otro lado, el
transporte de recortes, conocido también como limpieza del agujero, es un problema
intrínseco durante la perforación de pozos, y se ha convertido en un problema mayor
debido a las prácticas de perforación no convencionales, tal como la perforación
direccional y la perforación horizontal, [Salazar, 2004]. De investigaciones
experimentales han encontrado que la limpieza del agujero depende de los siguientes
factores:
a) velocidad del fluido en el espacio anular,
b) ángulo de inclinación del pozo,
c) propiedades del fluido de perforación,
d) excentricidad del espacio anular,
e) velocidad de penetración,
f) rotación de la tubería de perforación y
g) características de los recortes.
Sin embargo el modelo presentado en este trabajo no contempla los efectos adversos
en una limpieza inadecuada del agujero, ya que la zona de interés se concentra en el
fondo del pozo y es precisamente en esa región donde se presentan las pérdidas de
circulación, por lo que la velocidad del fluido de perforación en el espacio anular que es
la que domina el transporte de recortes, se ve afectada notablemente por diferencias en
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático el incremento o decremento del flujo volumétrico del flujo de fluidos, dejando en otro
escenario un análisis de eficiencia en la remoción de recortes de perforación.
El conjunto de ecuaciones (3.3)-(3.9) definen en forma genérica el problema a resolver.
3.2 Formulación genérica.
El proceso térmico durante la circulación del lodo se analiza en 5 regiones y el
diagrama esquemático de la figura 3.2 indica las regiones radiales físicas en que se
divide el pozo para su análisis. La región 1 se refiere a la tubería de perforación, en
donde el lodo entra a una temperatura específica T1(0,t) y que se rige por procesos
convectivos asociados con la circulación descendente del fluido de perforación y el
intercambio de calor con el fluido del ánulo a cualquier tiempo T1(z,t). La región 2 se
refiere a la temperatura en la pared de la tubería de perforación. La región 3 se refiere a
la región anular y supone que la temperatura del lodo a la salida de la tubería de
perforación en el fondo, es la misma que a la entrada del espacio anular, de manera
que T1(L,t)=T2(L,t). La región 4 es la interfase entre la región anular y las paredes del
pozo (cemento o roca de formación), su temperatura se determina por la velocidad de
convección ascendente, la velocidad de intercambio de calor entre el espacio anular y
la tubería de perforación, la velocidad de intercambio de calor ente la formación
adyacente al espacio anular y el lodo que fluye por el espacio anular, asi como de las
propiedades del fluido.
Si existen perdidas de circulación, la temperatura del lodo también es función del
tiempo y de las pérdidas del lodo de perforación. Bajo estas condiciones, el flujo
másico total del lodo presente en el pozo esta dado por: W1 = W2 + W3
donde W1 y W2 son los flujos másicos de entrada y salida del lodo respectivamente y
W3 es la cantidad de lodo perdido durante la circulación. Finalmente la región 5 se
refiere a la formación.
29
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
r0 ≤ r ≤ r1 Región 1: tubería de perforación
r1 ≤ r ≤ r2 Región 2: pared de la tubería de perforación
r2 ≤ r ≤ r3 Región 3: anular
r = r3 Región 4: anulo roca o interfase cemento
r > r3 Región 5: formación rocosa
r0 r1 r2 r3 r4 r5 … rn-1 rn 1
2
3
4
5
n-1
n
Figura 3.2 Diagrama esquemático del modelo radial del sistema pozo formación
La figura 3.2 define también la malla de valores nodales de temperatura que pueden
estimarse en el sistema pozo – formación. Matemáticamente cada nodo representa una
región en la posición radial y su valor de temperatura se localiza en el centro de la
celda. El primer nodo es para el fluido de perforación, el cual estima la temperatura del
fluido circulante o bien la temperatura existente en el eje del pozo en condiciones de
paro de circulación. El segundo nodo calcula la temperatura en la pared de la tubería de
perforación. El tercer nodo estima la temperatura del fluido en la región anular durante
la circulación o paro. El cuarto nodo sirve como una interfase entre el pozo y la
formación. La dimensión de las celdas se define en base a la geometría del pozo
(número de etapas o tuberías de revestimiento cementadas). Para la posición axial, el
número de nodos puede variarse permitiendo tamaños de paso grandes en regiones
someras para evitar tiempo de computo innecesario y refinar el mallado en zonas de
alta permeabilidad.
La formulación matemática para cada región se presenta a continuación.
30
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.1 Formulación matemática: tubería de perforación (región 1). Esta formulación calcula la distribución de temperatura en la tubería de perforación. Las
fronteras físicas son:
• temperatura del fluido de perforación (Ti), la cual es una condición de frontera del
modelo
• flujo másico del fluido de perforación (W) para el cálculo de la velocidad del fluido
(condición de frontera C.F.3).
• temperatura en la pared metálica de la tubería de perforación (T2) se calcula
mediante el modelo de la región 2.
Como frontera conceptual se necesita el coeficiente de transferencia de calor h1 el cual
se estima en otro modulo y las propiedades del fluido se definen en forma externa. En
virtud de que el flujo fluye en dirección axial, el problema de valores a la frontera de las
ecuaciones (3.3)-(3.9) se simplifica a:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 21 1 1 1 1
1 p1 z1 1 12 2
T T T k TC v S" k kt z r r r
1Tz
(3.10)
∂=
∂z1v 0z
(3.11)
donde S” es un termino fuente referido al calor generado por la barrena, el subíndice 1
indica el nodo radial donde se calcula la temperatura y a ese punto corresponden las
propiedades termodinámicas y de transporte. Las condiciones iniciales y de frontera
definidas anteriormente son válidas para la solución del problema excepto la C.F.4
[ecuación (3.9)]. La primera condición de frontera se reescribe como:
C.F.1.1 ( )∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 1
1 2 1 tr
Tk h T Tr
∀ (3.12)
El coeficiente convectivo de transferencia de calor del fluido de perforación h1 se calcula
mediante el uso de correlaciones apropiadas las cuales subsecuentemente se
mencionarán. Como se observa, solo se cambiaron los subíndices para indicar que se
refieren a la región comprendida por el tubo de perforación.
31
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.2 Formulación matemática: pared de la tubería de perforación (región 2).
Esta formulación calcula la distribución de temperatura en la pared de la tubería de
perforación. Las fronteras físicas de la pared del tubo se definen como:
• temperatura de la pared del tubo de perforación en la superficie (Ta) en z=0
• T1 calculada por el modelo de la región 1
• temperatura que circula por el anulo (T3), se calcula en la región 3.
• Flujo másico del fluido de perforación (W) que es condición de frontera.
En la frontera conceptual se necesita el coeficiente de transferencia de calor h1 para el
fluido de perforación y h2 para el fluido de retorno por la región anular. Como antes, las
propiedades físicas del fluido se definen mediante un archivo de entrada.
Debido a que la región 2 se refiere a un sólido, los términos de velocidad radial y axial
desaparecen y el problema de valores a la frontera de las ecuaciones (3.3)-(3.9) se
reduce a:
∂ ∂ ∂ ∂ρ = + +
∂ ∂ ∂ ∂
2 22 2 2 2
2 p2 2 22 2
T T k TC k kt r r r
2Tz
(3.13)
el subíndice 2 indica que los cálculos se realizan en el metal del tubo de perforación. La
condición inicial C.I., asi como C.F.1 y C.F.2 son válidas, mientras que C.F.3 y C.F.4 no
son necesarias para esta región. Durante la solución, C.F.1 se aplica dos veces: en la
interfase r=r1 y r=r2. Matemáticamente:
C.F. 1.2 ( )∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 1
11 1 2 1 1 r=r t
r
Tk h T T enr
∀ (3.14)
C.F. 1.3 ( )∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 3
33 2 2 3 2 r=r t
r
Tk h T T enr
∀ (3.15)
los subíndices denotan la región particular bajo consideración. Si existen pérdidas de
circulación, la velocidad en el anulo se ve afectada y, por lo tanto, el coeficiente de
transferencia de calor h2. Estos efectos adversos son considerados en la formulación.
32
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.3 Modelado del proceso de pérdidas de circulación.
Las pérdidas de circulación se determinan en el modelo de la región 2. Para estimar el
coeficiente convectivo de transferencia de calor en el anulo h2 a r=r2, la velocidad del
fluido en el anulo vz3 debe conocerse. El flujo másico que fuga en cualquier punto de la
formación rocosa, se considera como función lineal del flujo másico de circulación,
entonces las pérdidas de circulación (Wloss) se contabilizan de acuerdo a:
= φlossW W (3.16)
donde W es la condición de frontera de flujo másico de circulación y φ es un
multiplicador que toma valores entre 0 y 1. Si φ=0 no existen pérdidas, pero si φ=1
todo el fluido de perforación se pierde en la formación. Conociendo el flujo másico que
fuga, puede calcularse la velocidad en la dirección axial aplicando la ecuación (3.4). El
valor de se utiliza de los registros geofísicos tomadas durante la perforación. φ
33
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.4 Formulación matemática: región anular (región 3).
Esta formulación estima la distribución de temperatura en la región anular. Las fronteras
físicas de este modelo son:
• temperatura en el fondo del pozo (T1) calculada en la región 1.
• flujo másico del fluido de perforación (W) que es condición de frontera.
• temperatura de la pared del tubo de perforación (T2) estimada en la región 2.
• temperatura en la interfase entre el fluido de la región anular y la pared del pozo
con o sin cemento (T4), región 4.
• Las propiedades físicas del fluido se definen en forma externa mediante un
archivo de entrada.
Como frontera conceptual se necesitan los coeficientes de transferencia de calor de la
pared del tubo en r=r2, denotada como h2 y en r=r3 denotada como h3 y calculadas al
despejar la ecuación (3.29) para diferentes patrones de flujo. Debido a que el
movimiento del flujo es en la dirección axial, el problema de valores a la frontera de las
ecuaciones (3.3)-(3.9) se simplifica a:
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
23 3
3 p3 z3 3 2
T TC v kt z
3Tz
(3.17)
( )∂ ∂+ =
∂ ∂r z3rV v1 0
r r z
(3.18)
C.F. 1.4 ( )∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 2
33 2 2 3 2 r=r para toda t
r
Tk h T T enr
(3.19)
C.F. 1.5 ( )∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 3
*33 4 3 3 r=r para toda t
r
Tk h T T enr
(3.20)
donde el coeficiente convectivo de transferencia de calor en r3 debería ser h3, sin
embargo se decide utilizar un coeficiente efectivo de transferencia de calor, h*, ya que
se relaciona con el efecto de porosidad de la formación, en el sentido conceptual el
coeficiente convectivo efectivo se refiere a una región o área particular, en donde la
34
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático porosidad varía de una región cementada (100 % de saturación de poro) a una región
abierta.
( )φ*3h =h 1- (3.21)
donde es la porosidad de la formación, cuyo rango de valores esta entre 0 y 1. El
valor de la porosidad se utiliza de los registros geofísicos en valor porcentual.
φ
φ = ⎫⎬φ ≠ ⎭
3*
0 region cementada ---- h zona impermeable0 region abierta ---- h zona permeable.
35
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.5 Formulación matemática: Interfase entre la pared del pozo y la región anular del fluido de retorno (región 4).
Esta formulación calcula la distribución de temperatura en la interfase entre la pared del
pozo y la región anular del flujo de retorno. La interfase es importante por que
matemáticamente acopla las condiciones de la formación rocosa con el flujo en el anulo
y debe garantizar continuidad en el flujo de calor durante periodos de circulación y paro
de circulación. Básicamente esta región se propone como una Condición de Frontera y
sus fronteras físicas son:
• temperatura en la región anular (T3) estimada en la región 3.
• temperatura de la formación rocosa con o sin cementar (T5) estimada en la
región 5.
• flujo másico o velocidad ascendente por la región anular (W) que es una
condición de frontera
Como frontera conceptual se necesita el coeficiente de transferencia de calor h3, y las
propiedades físicas del fluido se definen en forma externa a través de un archivo de
entrada. Con el propósito de satisfacer la condición de continuidad de flujo de calor bajo
condiciones de circulación y paro, la ecuación particular de energía para la interfase es:
C.F.1.6 ( )∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 3
3 53 4 3 ef
r
T=k r=r ref
r
Tk h T T enr 3
(3.22)
( ) ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠5 3
ef 4 3 ef 3Th =k + r
TT T kr
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ef 5 3 3
4 3ef ef
k T= +h r h
k TT Tr
(3.23)
donde kef y hef son la conductividad térmica efectiva y el coeficiente convectivo de
transferencia de calor efectivo (en zona permeable) que depende de la porosidad y de
las conductividades térmicas de la formación y fluido de perforación. La condición de
frontera C.F. 1.6 se propone para garantizar continuidad en el flujo de calor, en
condiciones de paro de circulación hef es cero, de otra manera su valor se estima con la
ecuación (3.20). 36
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.6 Formulación matemática: Formación rocosa (región 5)
Este modelo calcula la distribución radial y axial de temperatura en la formación rocosa
con o sin sección cementada. Las fronteras físicas son:
• temperatura ambiente (Ta) en z=0 , la cual es una condición de frontera
• temperatura en la interfase con la pared del pozo (T4) estimada en la región 4.
El problema de valores a la frontera de las ecuaciones (3.3)-(3.9) se simplica como:
( ) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 25 5 5 ef 5
p r ef ef2 2ef
T T T k TC v k kt r r r r
5Tz
(3.24)
( )∂=
∂rrv
0r
(3.25)
Vr se calcula como la C.F. 3 pero con las condiciones particulares de C.F. 4.
Las propiedades físicas de la formación están dadas por Luheshi (1983) como: ( )−φφ= 1
3 5efk k k (3.26)
( ) ( ) ( ) ( )φ φp p pef 5 3ρC = ρC 1- + ρC (3.27)
Los subíndices 3 y 5 corresponden a las propiedades del fluido de retorno de
circulación por la región anular y a las propiedades de la formación, respectivamente.
Es necesario enfatizar que si la porosidad φ=0, se recuperan las ecuaciones originales.
El término convectivo de la ecuación (3.24) implica que las pérdidas de fluido hacia la
formación se mueven radialmente y su velocidad dependerá de la porosidad de la
formación. La conductividad térmica efectiva se obtiene de la ecuación (3.26) que
relaciona al fluido de perforación que atraviesa por la región anular y la conductividad
referida a la formación, dicha ecuación se conoce como el modelo de la media
geométrica, su uso en procesos de transferencia de calor es aplicable de manera
práctica aunque no tiene un significado físico [Luheshi, 1983]. Por su parte, la densidad
en la región anular se obtiene de la ecuación (3.27), conocida como regla de la palanca
debido a que el valor del primer término actúa como un contrapeso cuando el valor de
la porosidad en regiones no cementadas toma valores diferentes de 0. 37
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.2.7 Coeficientes convectivos de transferencia de calor
El modelo matemático requiere del conocimiento de los coeficientes convectivos de
transferencia de calor en el tubo de perforación y en la región anular tanto para flujo
laminar como turbulento. Para flujo laminar del fluido en la región anular se utiliza la
correlación de Seider-Tate (1936), [ver http://www.cbu.edu/~rprice/lectures/htcoeff.html]:
( ) μμ
⎛ ⎞⎛ ⎞= <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 0.1431
31.86 RePr para Re 2300h
w
DNuL
(3.28)
Donde Nu es el número de Nusselt, Re es el número de Reynolds, Pr el número de
Prandtl, Dh es el diámetro hidráulico y L es la longitud de la tubería. La relación de
viscosidades es aproximadamente 1. La viscosidad en la pared μw tiene dependencia
con la temperatura y las propiedades del fluido pueden evaluarse con una temperatura
promedio Tb , misma que se obtiene de la media aritmética entre las temperaturas de
entrada, Te y salida, Ts, Tb= (Te – Ts)/2. Los números adimensionales están definidos
como:
= hhDNuk
(3.29)
ρμ
=Re hvD (3.30)
μ=Pr pC
k
(3.31)
La correlación (3.28) es válida para:
>RePr 10hDL
(3.32)
Para flujo laminar en el interior del tubo de perforación, se utiliza la solución analítica:
= <4.364 para Re 2300Nu (3.33)
Para flujo turbulento y de transición, se aplica la correlación de Gnielinski (1976):
( )( )
−= >
+ −2 / 3
( / 8) Re 1000 Pr para Re 2300
1 12.7 ( / 8) Pr 1f
Nuf
(3.34)
38
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático donde el factor de fricción f se define como:
[ ]−= −21.82log(Re) 1.64f (3.35)
La correlación (3.34) se aplica en el tubo de perforación y en la región anular del flujo
de retorno.
3.3 Solución numérica
Para la solución del problema presentado en este proyecto, el pozo petrolero y la
formación adyacente se establecen como un sistema bidimensional con un mallado con
elementos radiales y verticales, en donde las ecuaciones gobernantes del sistema se
escriben para cada elemento de la malla. Las ecuaciones diferenciales descritas
anteriormente se transforman en ecuaciones discretas al utilizar la técnica de
diferencias finitas en forma implícita. Al intercambiar los operadores diferenciales por la
aproximación de diferencias finitas en forma implícita, se obtiene un conjunto de
ecuaciones algebraicas no lineales que se resuelve mediante técnicas iterativas para
encontrar su solución.
Al considerar un esquema de diferencias finitas centrales en forma implícita, la
discretización espacial de primer orden se define como:
XTT
XT tt
mtt
m
Δ−
≈∂∂ Δ+Δ+
+1 (3.36)
Donde T es la variable dependiente, t+Δt indica que la variable corresponde al tiempo
actual, m indica el número de celda y ΔX es el incremento de la coordenada espacial.
La convención al aplicar la ecuación anterior es la siguiente: dirección radial: m=i y X=r
dirección axial: m=j y X=z
La discretización espacial que se aplica para derivadas de segundo orden se define
como:
39
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
( )
+Δ +Δ ++ −∂ − +
≈∂ Δ
21 1
22
2t t t t t tm m mT T T T
X X
Δ
(3.37)
La discretización temporal en la celda m se define como: +Δ∂ −
≈∂ Δ
t t tm mT T T
t t
(3.38)
Donde t es el tiempo, es la variable calculada en el tiempo anterior, es la
variable calculada en el tiempo actual y
tmT +Δt t
mT
Δt es el paso de integración.
El cálculo de temperaturas para cada región se obtiene al aplicar sistemáticamente las
ecuaciones de diferenciales finitas (3.36) a (3.38) a los operadores diferenciales del
modelo matemático. Con lo que se obtiene la siguiente ecuación recurrente en forma
vectorial: +Δ +Δ +Δ− ++ + =1 1
t t t t t tm m maT bT cT d (3.39)
a, b y c son vectores de coeficientes, +Δt tT es el vector solución y d es un vector de
constantes. La forma matemática de la ecuación (3.39) es el de una matriz tridiagonal
que puede resolverse por el algoritmo de Thomas (Patankar, 1980). Este algoritmo es el
más eficiente desde el punto de vista computacional. La ecuación (3.39) se aplica
directamente a las regiones 1, 2 y 3
En la formación circundante al pozo, se considera que el fenómeno de transferencia de
calor se presenta en dos dimensiones espaciales, axial y radial en estado transitorio. Su
solución se obtiene al utilizar el algoritmo de direcciones alternantes (ADI), que consiste
en determinar la temperatura en una dirección espacial en forma implícita, manteniendo
explícita la otra dirección espacial. Posteriormente, para el mismo incremento del paso
de integración, la dirección que se había resuelto en forma implícita se cambia a la
forma explícita y viceversa. De forma matemática las ecuaciones se resuelven como:
Implícito en z(j) y explícito en r(i): +Δ +Δ +Δ− ++ +/ 2 / 2 / 2
, 1 , , 1t t t t t t
z i j z i j z i j za T b T c T d= (3.40)
Implícito en r(i) y explícito en z(j):
40
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
41
=+Δ +Δ +Δ− ++ +/ 2 / 2 / 21, , 1,
t t t t t tr i j r i j r i j ra T b T c T d (3.41)
Los coeficientes a, b, c y d de las ecuaciones (3.39) a (3.41) se definen de forma
explícita para cada región en el Apéndice C.
La velocidad en la tubería de perforación está definida por la ecuación (3.11), al aplicar
el método numérico se obtiene:
−=1, 1, 1j jv v (3.42)
donde el subíndice 1 indica el nodo radial y j los nodos axiales. La velocidad se puede
expresar en términos del flujo de inyección de acuerdo a la ecuación de frontera (3.8)
de manera que:
ρ−
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
1, 11
0 jd
Wv en zA
∀t (3.43)
Esta velocidad se estima en la región 1, de manera que la velocidad solamente cambia
si la densidad o el área de flujo cambian, ya que el flujo másico es constante. La
velocidad en la región anular no es la misma que la ecuación (3.43) debido a que el
área de flujo es diferente que en la tubería, además existe la posibilidad de que existan
pérdidas de circulación. Para estimar la velocidad se aplica el método numérico de
solución y se recurre a la ecuación (3.18) referida a la región 3, obteniendo:
( )− +
Δ= − ≥
−3
3, 3, 1 1,2 23 2
2 para 2 jj
j j i j
r zv v v i
r r∀
(3.44)
La velocidad radial se puede obtener como función de las pérdidas de circulación:
+ =ρ π Δ φ1,
3 3
para 2 2
lossi j
j
Wvr z
≥ ∀i j (3.45)
La velocidad en la formación rocosa definida por la ecuación (3.25) de la región 5, al
aplicarle el método de solución numérica se obtiene:
−−= 1
, 1, para 4 ii j i j
i
rv v ir
≥ ∀j (3.46)
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.4 Algoritmo de solución.
El algoritmo de solución se centra en la región 5, ya que es la temperatura de formación
estática la variable a estimar. Los demás módulos se resuelven en forma secuencial.
Se describe el procedimiento primero para el caso implícito en z(j) y explícito en r(i). Los
pasos principales son:
1. Se asigna un valor de inicio a las variables 0ijT
2. Se calculan los coeficientes definidos por las ecuaciones (C.24) a (C.29) presentados
en el Apéndice C.
3. Se resuelve la matriz tridiagonal para la solución en el tiempo actual, +Δt tijT
4. Se verifica el criterio de convergencia: +Δ− ≤0 t t
i,j i,jT T 1
t
5. Si el criterio anterior no se cumple, se asignan temperaturas, es decir: +Δ=0 t
i,j i,jT T
y se inicia nuevamente los cálculos desde el punto 2, si el criterio se cumple, se inicia el
calculo para el caso implícito en r(i) y explícito en z(j), iniciando del paso 1.
3.5 Validación del modelo numérico. La simulación del problema de transferencia de calor con condiciones de frontera
requiere validarse con el propósito de establecer que ambas soluciones tanto la
matemática como la numérica estén formuladas apropiadamente, además de que las
ecuaciones diferenciales parciales se resuelvan correctamente durante la solución
numérica.
Con este objetivo en mente, se utiliza el análisis desarrollado por Cao et al. (1988) y
que previamente en el Capítulo 2 se mencionó, su modelo se basó en principios
matemáticos y físicos de la estabilización de temperaturas a fondo de pozo y de una
implementación numérica. Las ecuaciones que propone en su modelo se resumen en
las ecuaciones previas (2.7) y (2.8).
42
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
En su trabajo utiliza un método inverso para estimar cinco parámetros libres (Tf, Tm, ε,
F* y τ) para ser determinados de un grupo de mediciones de temperaturas de fondo.
Para efectos de validación, solo se utilizan las ecuaciones (2.7) y (2.8) suponiendo que
todas las variables presentes en el modelo son conocidas, que es la forma de plantear
un problema directo.
Los datos comparativos para estimar el perfil de temperaturas en la validación y que se
refieren a los parámetros termofísicos y la geometría del pozo, se toman de la última
sección del pozo bajo análisis y se muestran en el capítulo 4. A continuación se
reescriben dichas ecuaciones y su solución matemática se presenta en el Apéndice D.
( ) ( )( )
∗
∗
⎡ ⎤ε τ= + − − =⎢ ⎥
ε τ⎢ ⎥⎣ ⎦m f m
I t; ,F ,T(t) T T T 1 , r a
I 0; ,F ,
con
( )( ) [ ]{ }
e d−τ
∞
ε∗ ∗
ε τ =⎡ ⎤− + −⎣ ⎦
∫
2s t
2 230 1 0 1
sI t; ,F,s sJ s F J (s) sY (s) F Y (s)
donde J0, J1, Y0 e Y1 son funciones Bessel de primer y segundo orden,
respectivamente. En virtud de que la solución analítica requiere del conocimiento de
funciones Bessel, se verifica su implementación mediante un código en Fortran.
Las aproximaciones utilizadas se basan en las aproximaciones polinomiales de
Abramowitz (Abramowitz, 1972).
La figura 3.3 muestra el comportamiento de las funciones Bessel obtenidas de la
aproximación polinomial y que son similares a las gráficas reportadas por Abramowitz
(1972) y Özisik (1993).
43
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
Figura 3.3 Funciones de Bessel, obtenidas por aproximación polinomial.
La figura 3.4 muestra las curvas de ambos modelos, el analítico–numérico de Cao
(1988) y el propuesto en este trabajo de tesis. Se aprecia que ambas curvas mantienen
un comportamiento asintótico similar. Después de alcanzar los 100°C la solución
simulada tiende a retrasar la estabilidad térmica y sigue incrementando paulatinamente
su valor térmico en función del tiempo, no obstante las curvas mantienen un
comportamiento similar. La solución propuesta por Cao (1988) referida a una geometría
cilindra hueca por su similitud con un pozo petrolero es parecida al modelo general
propuesto en este trabajo, por lo que puede validarse que el modelo propuesto puede
ser aplicado y proceder a plantear el problema inverso, bajo la premisa fundamental de
que la temperatura de formación inicial es alterada por los procesos de perforación y se
deberá estimar suponiéndose como condición inicial desconocida.
44
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5020
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Solución simuladaSolución analítica [Cao et al. (1988)]
Te = 22 °C
Tf = 120 °C
Tem
pera
tura
(°C
)
Paro de circulación (h)
Figura 3.4 Perfiles de temperatura (simulada y analítica) en un cilindro hueco con condición de
frontera convectiva.
Similar a las EDP presentes en este trabajo, García et al. (1998b) presentaron una
solución particular de las EDP de un sistema pozo formación (condiciones de frontera
diferentes) y validan su modelo numérico contra un analítico propuesto por Carslaw y
Jaeger (1959). Utilizan la geometría de un cilindro hueco infinitamente largo por donde
fluye lodo a temperatura constante y de aplicar la ecuación de distribución radial de
temperatura propuesta por Beirute (1991) efectúan la validación del modelo.
( ) ( )( ) ( )
⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
lnln
1 lnb a a ma
b am a m
T h T k b ah bT T Tk h k b a r
donde T representa la temperatura a una posición radial r; km es la conductividad
térmica del fluido; a y b son los radios interior y exterior del cilindro.
45
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.6 Planteamiento del problema inverso. Como se mencionó en la metodología, se utilizarán tres algoritmos computacionales:
uno referido al Levenberg- Marquardt (MLM), cuyo esquema de solución permitirá
además de encontrar la TF, aprovechar la formulación matemática para desarrollar un
análisis de sensibilidad y observar los efectos de seis variables termofísicas elegidas a
diferentes profundidades durante el proceso de optimización de la TF. Posteriormente
se utilizará un algoritmo de control Proporcional Integral (PI), el cual utiliza la misma
plataforma de análisis que el MLM en su primera etapa de análisis referido al problema
directo, para luego plantear una innovadora propuesta de solución del problema inverso
y encontrar la TF. Finalmente se aplica un algoritmo computacional basado en
inteligencia artificial (IA), en donde el trabajo principal reside en alimentar al simulador
con los perfiles de temperatura obtenida de registros geofísicos y que servirán como
soporte para la obtención de un perfil de temperatura de formación apropiado, el cual
estará en función de la decisión del experto en controlar el criterio de convergencia.
El problema inverso consiste en la estimación y optimización de valores puntuales que
generalmente requieren de la solución del problema directo asociado (Özisik et al.,
2000). En la sección 2.2 se mencionaron los grupos en que se clasifican los diferentes
métodos de solución del problema inverso. De ellos se decide explorar al MLM como
primer opción, el cual es un método iterativo para resolver problemas no lineales de
estimación de parámetros por mínimos cuadrados.
Para describir en forma general y simple el problema inverso, se usa como ejemplo al
MLM en esta sección, en el Capítulo 5 se plantearan las formulaciones y las
consideraciones de los 2 métodos subsecuentes (PI e IA).
MLM: La técnica fue derivada primero por Levenberg al modificar la suma de mínimos
cuadrados. Posteriormente, Marquardt derivó la misma técnica mediante una estrategia
diferente, la idea fue obtener un método que tendiera al método de Gauss en la
vecindad del mínimo de la norma ordinaria de mínimos cuadrados y que a su vez
tendiera al método de descenso infinito en la proximidad de la consideración inicial. El
46
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático MLM ha sido aplicado en la solución de una variedad de problemas inversos que
involucran la estimación de parámetros termofísicos desconocidos. (Beck y Arnold,
1977; Beck et al., 1985; Özisik, 1993; Takahashi et al., 1997; Osato et al. 2003; Cortes,
2004).
La técnica ha sido probada y es eficiente para resolver problemas lineales y no lineales
de estimación de parámetros. Sin embargo, puede generar dificultades en problema no
lineales de estimación que involucren un gran número de parámetros desconocidos,
provocando mayor tiempo de cómputo en el cálculo de la matriz de sensibilidad.
El MLM, fue diseñado para la solución de problema no lineales en la estimación de
parámetros, pero ha sido aplicado exitosamente en la solución de problemas lineales
que son mal condicionados (Özisik, 2000) y que no permiten la aplicación de algoritmos
lineales. El procedimiento para resolver el problema inverso de transferencia de calor
con condiciones de frontera, puede ordenarse en los siguientes pasos básicos:
3.6.1 Problema directo
3.6.2 Problema inverso
3.6.3 Procedimiento iterativo
3.6.4 Criterio de convergencia
3.6.5 Algoritmo computacional
A continuación se muestran los detalles de cada uno de estos pasos conforme se
apliquen a la solución del problema inverso de transferencia de calor.
47
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.6.1 Problema directo.
El problema directo se rige por el fenómeno físico que previamente se mencionó en la
sección 3.1 La descripción se refiere al proceso de perforación y de los problemas que
se presentan durante el mismo, particularmente las pérdidas de circulación y los
cambios de temperatura de formación cuando existen procesos combinados de
transferencia de calor por conducción y convección. La figura 1.1 del primer capitulo
muestra el proceso de circulación de lodo de perforación en un pozo petrolero y el
problema directo se planteo matemáticamente de acuerdo a la formulación general de
las ecuaciones de transferencia de calor (3.3) a (3.9) y que a continuación se
reescriben:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2
p r z 2 2
T T T T k TC v v S" k kt r z r r r
Tz
(3.47a)
( )∂ ∂+ =
∂ ∂r zrv1 v 0
r r z
(3.47b)
C.I. = =( , , 0) ( , )T r z t f r z (3.48a)
C.F.1 ( )∂⎛ ⎞= − = − ∀⎜ ⎟∂⎝ ⎠
s m ii
Tq k h T T en Ar
t (3.48b)
C.F.2 = ∞3( , ) r <r< , t>0fT r z T (3.48c)
C.F.3
ρ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 zd
Wv en zA
∀t
t
(3.48d)
C.F.4 ( )= φ ρ ∀i, , , , en A r loss m lv f W W A (3.48e)
En la formulación del problema directo, todas las variables involucradas son conocidas,
con lo que el problema se establece formalmente y es posible estimar un perfil de
temperaturas.
48
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.6.2 Problema inverso.
El problema inverso implica que la condición de frontera representada por la ecuación
(3.48c) se desconoce, mientras que cuando se resolvió el problema directo fue
considerado como un valor de temperatura conocido. De manera que la condición inicial
puede representarse de forma parametrizada como:
=
= ∑1
( , , ) ( )N
j jj
f r z t PC t =? (3.49)
donde Pj son parámetros desconocidos, Cj(t) son funciones de prueba conocidas y N es
el número total de parámetros también conocido. Se decide utilizar una función de
prueba de forma polinomial, para confirmar el comportamiento de los coeficientes de
sensibilidad (ver sección 3.7) y se toma como: . Entonces la ecuación (3.49)
con N= 6 toma la forma:
(j-1)jC (t) = t
=
= = + + + + +∑ 2 3 4 51 2 3 4 5 6
1( , , ) ( )
N
j jj
f r z t PC t P P t P t P t P t P t (3.50)
El problema dado por las ecuaciones (3.47) y (3.48a-e) con la condición inicial
desconocida aunque parametrizada, es un problema inverso de conducción de calor en
el cual los coeficientes Pj se estimarán. La solución de este problema inverso de
conducción de calor para la estimación de los N parámetros desconocidos Pj,
j=1,2,…,N, se basa en la suma de mínimos cuadrados dada por:
( )2
⎡ ⎤⎣ ⎦∑I
i ii=1
S(P) = Y - T P (3.51)
donde S es la suma de los cuadrados de la función objetivo o error, P es el vector de
parámetros desconocidos, Ti(P) es la temperatura estimada al tiempo ti, Yi es la
temperatura medida al tiempo ti, N es el número total de parámetros desconocidos e I
es el número total de mediciones, donde I≥N.
Las temperaturas estimadas Ti(P) se obtienen a partir de la solución del problema
directo y de utilizar el estimado actual de los parámetros desconocidos Pj, j=1,2,…,6. La
49
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático ecuación anterior puede plantearse desde un punto de vista práctico como si ésta fuera
la comparación entre temperaturas medidas y temperaturas simuladas. Esto se hace
automáticamente por medio de un algoritmo de optimización, el cual minimiza una
función objetivo hasta lograr un ajuste satisfactorio entre las temperaturas del lodo
(registros de temperatura) y las calculadas (por el problema directo). Cuando se tenga
una comparación satisfactoria de acuerdo a un criterio de convergencia asignado por el
usuario, entonces se toma la última versión de la temperatura inicial como la predicción
final de la temperatura de yacimiento.
∑I
21 med,i sim,i yac
i=1FO(x ) = (T - T ) = f(T )
(3.52)
donde FO(x1) es el error o función objetivo a minimizar, I es el número de pares de
temperaturas medidas (registros) y estimadas, Tmed, i es la temperatura medida, Tsim, i es
la temperatura simulada y x1 es la variable independiente o de ajuste (temperatura de
formación Tyac). La ecuación (3.51) puede escribirse de manera matricial como:
[ ] [ ]TS(P) = Y - T(P) Y - T(P) (3.53)
donde el superíndice T indica la transpuesta y [ ]Y - T(P) T se define como:
[ ] [ ]T1 1 2 2 I IY - T(P) = Y - T , Y - T ... Y - T (3.54)
Hasta este momento, se ha definido un modelo físico que describe los procesos de flujo
que ocurren en el pozo en condiciones de circulación de fluido de perforación y paro, se
propuso un modelo matemático para cada región del sistema pozo-formación con las
ecuaciones de los diversos procesos de flujo de masa y energía involucrados. Para ello
se utiliza ecuaciones complementarias, correlaciones de transferencia de calor y
propiedades termofísicas para obtener la formulación completa. Las ecuaciones
diferenciales descritas se transformaron en ecuaciones discretas al utilizar la técnica de
diferencias finitas en forma implícita, las ecuaciones algebraicas no lineales que se
generan se resuelven mediante un proceso iterativo.
50
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
3.6.3 Procedimiento iterativo.
Para minimizar la norma de mínimos cuadrados mostrada en la ecuación (3.53), es
necesario igualar a cero las derivadas de S(P) respecto a cada uno de los parámetros
desconocidos [P1 P2 … PN], esto es:
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂1 2 N
S(P) S(P) S(P)= = ... = =P P P
0 (3.55)
Tal condición es necesaria para la minimización de S(P) y que puede representarse en
notación matricial igualando a cero el gradiente de S(P) con respecto al vector de
parámetros P, es decir:
[ ]⎡ ⎤∂∇ = − − =⎢ ⎥∂⎣ ⎦
TT (P)S(P) 2 Y T(P) 0P
(3.56)
donde
[ ]
∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂
∂ ⎢ ⎥∂= ⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂⎣ ⎦
1
T
2 1 2 I
N
P
T (P) P T ,T ,...,TP
P
(3.57)
La matriz Jacobiana o de sensibilidad, J(P), se define como la transpuesta de la ecuación
(3.57), esto es:
⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦
TTT (P)J(P)P
(3.58)
De forma explícita, la matriz de sensibilidad se escribe como:
51
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
1 1 1 1
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
3 3 3 3
1 2 3
1 2 3
( )( )
N
NTT
N
I I I I
N
T T T TP P P PT T T TP P P PT T T TT PJ PP P P PP
T T T TP P P P
∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥
⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤∂
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.59)
Los elementos de la matriz de sensibilidad se llaman Coeficientes de Sensibilidad. Por lo
que el coeficiente de sensibilidad Jij se define como la primera derivada de la temperatura
estimada en el tiempo ti con respecto al parámetro Pj, es decir:
∂=
∂i
i jj
TJP
(3.60)
De utilizar la definición de la matriz de sensibilidad dada en la ecuación (3.58), la ecuación
que representa el gradiente de S(P) en la ecuación (3.56), queda como:
[ ]∇ = − − =TS(P) 2J (P) Y T(P) 0 (3.61)
En los problemas inversos lineales la matriz de sensibilidad no es una función de los
parámetros desconocidos (Beck y Arnold, 1977). En tal caso, la ecuación (3.61) puede
resolverse en forma explícita para el vector de parámetros desconocidos P, como:
( )−=1T TP J J J Y (3.62)
En el caso de un problema inverso no lineal, la matriz de sensibilidad tiene dependencia
funcional sobre el vector de parámetros desconocidos P. De ahí que la solución de la
ecuación (3.61) para problemas de estimación no lineales requiera de un procedimiento
iterativo, el cual se obtiene al linealizar el vector de temperaturas estimadas, T(P),
mediante el desarrollo en series de Taylor alrededor de la solución actual Pk en la iteración
k. La linealización esta dada por:
52
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
= + −k k kT(P) T(P ) J (P P ) (3.63)
donde T(Pk) y Jk son las temperaturas estimadas y la matriz de sensibilidad evaluadas en
la iteración k, respectivamente. La ecuación (3.63) se sustituye en la ecuación (3.61) y la
expresión resultante se reacomoda para generar el siguiente procedimiento iterativo y
obtener el vector de parámetros desconocidos P [Beck y Arnold, 1977]:
53
⎤⎦−+ ⎡ ⎤ ⎡= + −⎣ ⎦ ⎣1k 1 k k T k k T kP P (J ) J (J ) Y T(P ) (3.64)
El procedimiento iterativo dado en la ecuación (3.64) es llamado Método de Gauss y es
una aproximación del Método de Newton Raphson, [Bard, 1974]. Por otro lado, la
ecuación dada en (3.62), así como la implementación del procedimiento iterativo dado en
la ecuación (3.64), requieren que la matriz JTJ no sea singular, es decir:
≠TJ J 0 (3.65)
La ecuación (3.65) se conoce como Condición de Confiablilidad, es decir, si el
determinante de JTJ = 0 ó incluso es muy pequeño, los parámetros Pj para j=1,…,N, no
pueden determinarse mediante el uso del procedimiento iterativo de la ecuación (3.64).
Así, los problemas que satisfacen esta condición 0TJ J ≈ se denominan mal
condicionados.
Los problemas inversos de transferencia de calor generalmente son mal condicionados,
especialmente cerca de la suposición inicial utilizada para los parámetros desconocidos,
es decir, los valores estimados en la primera iteración, creando dificultades en la
aplicación de las ecuaciones (3.63) y (3.64). El MLM (Marquardt, 1963; Bard, 1974; Beck,
1977; Özisik, 1993) reduce dichas dificultades al utilizar un procedimiento iterativo de la
forma:
( ) ( )−
+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + ξ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
1T Tk 1 k k k k k k kP P J J Λ J Y T(P ) (3.66)
donde kξ es un escalar positivo llamado parámetro de amortiguamiento y Λk es la matriz
diagonal.
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
El propósito del término kξ Λk en la ecuación anterior es para amortiguar las oscilaciones y
las inestabilidades debidas al carácter mal condicionado del problema, y se consigue al
hacer que sus componentes sean mas grandes en comparación con las componentes de
JTJ si es necesario. El parámetro de amortiguamiento se hace grande al inicio de las
iteraciones, debido a que el problema es por lo general mal condicionado en la región
alrededor de la condición inicial utilizada para el procedimiento iterativo, la cual bien puede
estar bastante alejada de los parámetros exactos. Con dicha estrategia, no es necesario
que la matriz JTJ no sea singular al inicio de las iteraciones, con lo que el MLM tiende al
Método de Descenso Infinito, esto es, se toma un intervalo muy pequeño en la dirección
negativa del gradiente. El parámetro kξ se reduce entonces gradualmente conforme el
procedimiento de iteración avanza hacia la solución del problema de estimación de
parámetros y el MLM tiende al Método de Gauss dado por la ecuación (3.64). El
procedimiento iterativo requiere un criterio de convergencia.
3.6.4 Criterio de convergencia.
El siguiente criterio es sugerido por Dennis y Schnabel, 1983, para detener el
procedimiento iterativo del MLM de la ecuación (3.64), es como sigue:
( )+ < εk 11S P (3.67a)
( ) ( )⎡ ⎤− <⎣ ⎦Tk k
2J Y T P ε (3.67b)
+ − < εk 1 k3P P (3.67c)
en donde ε1, ε2 y ε3 son tolerancias preescritas por el usuario y ⋅ es la norma. Con
cualquiera de los tres criterios que se cumpla el programa se detendrá e imprimirá los
resultados. El criterio dado por la ecuación (3.67a) verifica si la norma de mínimos
cuadrados es suficientemente pequeña, lo que se espera suceda en la vecindad de la
solución del problema. De manera similar, la ecuación (3.67b) confirma si la norma del
gradiente de S(P) es lo suficientemente pequeño, debido a que se espera que
desaparezca en el punto donde S(P) es mínimo, aunque tal condición de que el gradiente 54
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático desaparezca también es válido para los máximos y los puntos de inflexión de S(P), pero
es muy difícil que el MLM converja en dichos puntos. El último criterio dado en la ecuación
(2.67c) resulta del hecho de que cuando el método converge los cambios en el vector de
parámetros son muy pequeños. Puede usarse también un criterio de convergencia basado
en pequeños cambios de la norma de mínimos cuadrados (Beck y Arnold, 1977; Dennis y
Schnabel, 1983). La última etapa para plantear el problema inverso es formular un
algoritmo computacional.
3.6.5 Algoritmo computacional. Diferentes versiones del MLM aparecen en la literatura, dependiendo de la elección de la
matriz diagonal Λk y de la forma elegida para la variación del parámetro de
amortiguamiento kξ . Ilustramos aquí un procedimiento con la matriz Λk [Özisik y Orlande,
2000] tomada como:
( )⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦Tk kΛ diag J Jk (3.68)
Suponiendo que las mediciones de temperatura Y = (Y1, Y2,…,YI) están dadas a tiempos
ti, i=1,…I. Se suponen conocidos valores iniciales de P0 para el vector de parámetros
desconocidos P y 0ξ = 0.001 con k=0 [Özisik y Orlande, 2000].
En resumen: se describen los pasos a seguir para establecer el problema inverso de
transferencia de calor:
PASO 1
Se resuelve el problema directo de conducción de calor dado por las ecuaciones (3.47a) y
(3.47b) con la condición inicial y de frontera (3.48a-e) suponiendo disponible un valor de
Pk con el propósito de obtener el vector de temperaturas T(Pk)=( T1, T2, …,TI).
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2
p r z 2 2
T T T T k TC v v k kt r z r r r
Tz
55
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
PASO 2
Computar el valor de S(Pk) de la ecuación (3.53)
[ ] [ ]= − −S(P) (P) (P)TY T Y T
PASO 3
Computar la matriz de sensibilidad Jk definida previamente en la ecuación (3.58) y
posteriormente la matriz Λk dada por (3.68) al utilizar el valor actual de Pk.
⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦
TTT (P)J(P)P
( )⎡ ⎤Λ = ⎢ ⎥⎣ ⎦Tk kdiag J Jk
PASO 4
Resolver el sistema lineal de ecuaciones algebraicas, obtenido mediante el procedimiento
iterativo del MLM dado por la ecuación (3.66).
( ) ( )⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
-1T Tk+1 k k k k k k kP =P + J J + ξ Λ J Y-T(P )
( ) ( ) ( )⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ξ Λ Δ = −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦T Tk k k k k k kJ J P J Y T P
Para calcular +Δ = −k k 1P P Pk
PASO 5
Calcular la nueva estimación Pk+1 como:
+ = + Δk 1 k kP P P
PASO 6
Resolver el problema directo propuesto en el paso 1 con la nueva estimación Pk+1 y
encontrar T(Pk+1). Posteriormente calcular S(Pk+1) definida en el paso 2.
PASO 7
56
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
Si S(Pk+1) ≥ S(Pk), reemplazar kξ por el valor de 10 kξ [Özisik y Orlande, 2000] y
regresar al paso 4, que es en donde aparece kξ
PASO 8
Si S(Pk+1) < S(Pk), aceptar la nueva estimación Pk+1 y reemplazar kξ por el valor de 0.1 kξ
[Özisik y Orlande, 2000].
PASO 9
Verificar el criterio de convergencia dado por las ecuaciones (3.67a-c). Detener el
procedimiento iterativo si cualquiera de ellos se satisface, en caso contrario, reemplazar
k por k+1 y regresar al paso 3. El diagrama de flujo del MLM se muestra en la figura 3.5.
Condiciones iniciales:Y: Temperaturas medidas por registroP: Temperaturas estimadasξ0=0, k=0De suponer conocida a P,
se calcula el vector detemperaturas (Ec. 3.54)
INICIOY P k
CalcularT(Pk)
CalcularS(Pk)
CalcularJk Λk
Calcular
CalcularT(Pk+1) S(Pk+1)
S(Pk+1) ? S(Pk)
FIN
Sustituirk por k+1
( ) ( ) ( )⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ξ Λ Δ = −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦T Tk k k k k k kJ J P J Y T P
( )( ) ( )
11
2
13
k
Tk k
k k
S P
J Y T P
P P
ε
ε
ε
+
+
<
⎡ ⎤− <⎣ ⎦
− <
≥
<
NO
SI
0ξ
0.1k kporξ ξ
Sustituir
10k kporξ ξ
Sustituir
Ec. (3.53)
Ec. (3.58)Ec. (3.68)
Ec. (3.66)
+ = + Δk 1 k kP P P
Condiciones iniciales:Y: Temperaturas medidas por registroP: Temperaturas estimadasξ0=0, k=0De suponer conocida a P,
se calcula el vector detemperaturas (Ec. 3.54)
INICIOY P k
CalcularT(Pk)
CalcularS(Pk)
CalcularJk Λk
Calcular
CalcularT(Pk+1) S(Pk+1)
S(Pk+1) ? S(Pk)
FIN
Sustituirk por k+1
( ) ( ) ( )⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ξ Λ Δ = −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦T Tk k k k k k kJ J P J Y T P
( )( ) ( )
11
2
13
k
Tk k
k k
S P
J Y T P
P P
ε
ε
ε
+
+
<
⎡ ⎤− <⎣ ⎦
− <
≥
<
NO
SI
0ξ
0.1k kporξ ξ
Sustituir
10k kporξ ξ
Sustituir
Ec. (3.53)
Ec. (3.58)Ec. (3.68)
Ec. (3.66)
+ = + Δk 1 k kP P P
Figura 3.5 Diagrama de flujo del MLM
57
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático 3.6.6 Método de inversión basado en mínimos cuadrados.
Puesto en forma matricial, el problema es determinar la distribución de temperaturas a
partir del sistema de ecuaciones:
ΣΔZ=SΔ (3.69)
Si la matriz S es cuadrada (P datos = Q incógnitas) la solución se obtiene simplemente
invirtiendo la matriz de sensibilidad -1ΔΣ=S ΔZ (3.70)
Pero en general no tiene por que haber el mismo número de medidas que celdas de
temperaturas consideradas en la malla computacional.
Si P > Q el sistema es sobredeterminado y no tiene por que existir una solución exacta. Si
definimos el vector error de predicción o residuo como
e = ΔZ -SΔΣ (3.71)
Y su norma L2 (también conocida como cuadrática o euclídea) como
( ) ( )TE e e= = TΔZ - SΔΣ ΔZ - SΔΣ (3.72)
( )-1T TΔΣ = S S S ΔZ (3.73)
Si P < Q el sistema es indeterminado y existen soluciones infinitas. Para obtener una
única solución es necesario incorporar información a priori. Una forma de hacerlo es
minimizando la norma cuadrática de la solución obteniéndose la solución con la norma
mínima.
( )-1T TΔΣ = S SS ΔZ (3.74)
La dificultad surge cuando S, STS o SST no existen (son singulares). Aún existiendo,
puede que sean casi singulares, lo que provoca que pequeños errores en los datos
generen grandes variaciones en la solución. Este concepto queda más claro si se
descompone la matriz S con la técnica SVD (Singular Value Descomposition).
58
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático
TS = UΛV (3.75)
donde U (P x P) y V(Q x Q) son matrices ortogonales, la primer matriz referida a n
eigenvectores SST y la segunda matriz referida a los eigenvectores STS. Λ= diag (i,…,n) ∈
ℜPXQ con n= min {P, Q} y I ≥ 2 ≥… ≥ n ≥ 0. El número de condicionamiento se define
como la relación entre el mayor y el menor valor propio. El rango r de S es el número de
valores propios diferentes de cero. La matriz S también se puede expresar como:
T
r r rS =U Λ V (3.76)
donde Λr es una matriz diagonal r x r cuyos elementos son raíces cuadradas no negativas
de STS (llamada matriz de eigenvalores de la matriz original S), UP y VP son las primeras r
columnas de U y V respectivamente. La matriz inversa generalizada (natural) S+ de S se
define como:
59
T+ -1r r rS = V Λ U (3.77)
y la solución natural es + -1 T
r r rΔΣ = S ΔZ = VΛ U ΔZ (3.78)
Si P = Q, S+ = S1.
Si P > Q = r el sistema es sobredeterminado, ( )-1+ TS = S S ST y la ec. (3.78) es equivalente
a (3.73).
Si Q > P = r el sistema es indeterminado, ( )-1+ T TS = S SS y la ec. (3.78) es equivalente a
(3.74)
Si la matriz S esta bien condicionada (numero de condicionamiento pequeño) la solución
es estable. (Golub y Reinsch, 1970). Sin embargo, si algunos valores propios son muy
pequeños, sus recíprocos en S-1 serán de valor elevado y el error presente en los datos
también se verá amplificado por esos factores, dominando la solución. (Ver figura 5.6 de
los resultados del Capitulo 5).
El programa de inversión obtiene la descomposición de valores singulares al utilizar la
subrutina SVD del paquete de software IMSL/MATH/LIBRARY.
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático De conocer el resultado numérico de la matriz diagonal de Λ, que básicamente se refieren
al conocimiento de los parámetros desconocidos P planteados en forma matricial. Es
posible estimar cual es el impacto de cada uno de los parámetros termofísicos en la
estimación del perfil de temperaturas del yacimiento. Los resultados mostrados en el
capitulo 5, muestran que al aplicar una desviación standard al perfil de temperaturas
estimado durante el problema directo, permite proponer una envolvente de resultados del
problema inverso, ya que no existe una solución única del problema de transferencia de
calor inversa propuesta en esta tesis.
3.7 Concepto del coeficiente de sensibilidad.
La matriz de sensibilidad mostrada en la ecuación (3.59) tiene un papel importante en
problemas de estimación de parámetros, por lo que se presenta una discusión del
significado físico y matemático de sus coeficientes y los métodos para su estimación.
El coeficiente de sensibilidad Jij, como se definió en la ecuación (3.60), es la medida de la
sensibilidad de la temperatura estimada Ti con respecto a los cambios en los parámetros
Pj.
∂=∂
iij
j
TJP
Un pequeño valor en la magnitud de Jij indica que existen grandes cambios en Pj y que
generan pequeños cambios en Ti. Por lo que la estimación de los parámetros Pj son
extremadamente difíciles en tales casos, debido básicamente a que el mismo valor de la
temperatura podría obtenerse para un amplio rango de valores de Pj. De hecho, cuando
los coeficientes de sensibilidad son muy pequeños, se tiene que 0TJ J ≈ y el problema
inverso está mal condicionado. De otra manera, puede decirse que TJ J es nulo si
cualquier columna de J puede expresarse como una combinación lineal de las otras
columnas [Beck y Arnold, 1977]. Por lo tanto, es deseable que se tengan coeficientes de
sensibilidad Jij linealmente independientes, tal que el problema inverso no sea muy
sensible a los errores de temperaturas medidas y pueda obtenerse una estimación de
los parámetros con mayor aproximación.
60
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático Generalmente, la variación del tiempo en los coeficientes de sensibilidad y de TJ J
pueden ser examinados antes de se evalúe la solución del problema inverso. Tal revisión
previa, da una indicación de cual puede ser la mejor localización de un sensor y que
tiempos de medición pueden utilizarse para el análisis inverso, los cuales correspondan a
valores de coeficientes de sensibilidad linealmente independientes con valores absolutos
grandes y magnitudes largas de TJ J .
Como se mencionó anteriormente, se trata de un problema inverso de conducción de calor
de valores a la frontera, el cual puede desarrollarse mediante la diferenciación del
problema directo original con respecto a los coeficientes desconocidos.
De manera que al diferenciar las ecuaciones del problema directo (3.47) y (3.48a-e) con
respecto a los parámetros Pj al utilizar los coeficientes de sensibilidad de la ecuación
(3.60): ∂=∂
iij
j
TJP
, obtenemos el problema gobernante de los coeficientes de sensibilidad Jj
como:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2i i i i i
p r z 2 2
J J J J k JC v v k kt r z r r r
iJz
(3.79)
C.I. = =( , , 0) ( , )T r z t J r z (3.80a)
C.F.1 ( )∂⎛ ⎞− = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
s m ii
Jk h T T en Ar
∀t (3.80b)
C.F.2 ∂⎛ ⎞ = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠0 0 iJ en r t
r∀
(3.80c)
C.F.3 y C.F.4 no incluyen el término de temperatura en su análisis. El problema paralelo
de las ecuaciones (3.79) y (3.80a-c) requiere resolverse N veces con el propósito de
computar los coeficientes de sensibilidad con respecto a cada parámetro Pj y su solución
requiere al igual que para el problema directo, de técnicas numéricas, tales como
diferencias finitas. La primera derivada que aparece en la definición del coeficiente de
sensibilidad, ecuación (3.60), puede ser computada mediante diferencias finitas al utilizar
61
Capitulo 3 Modelo físico y desarrollo del modelo matemático diferencias hacia delante. El coeficiente de sensibilidad con respecto al parámetro Pj se
aproxima mediante:
62
)( ) (≅ i 1 2 j j N i 1 2 j N
ijj
T P ,P ,...,P + εP,...,P - T P ,P ,...,P,...,PJ
εP (3.81)
donde ε≈10-5 o 10-6 [Özisik y Orlande, 2000]. Si la aproximación de primer orden dado por
la ecuación (3.81) no es lo suficientemente exacta, los coeficientes de sensibilidad pueden
ser aproximados mediante el uso de diferencias centrales de la forma:
( ) ( )≅ i 1 2 j j N i 1 2 j j N
ijj
T P ,P ,...,P + εP,...,P - T P ,P ,...,P - εP,...,PJ
2εP (3.82)
La aproximación para los coeficientes de sensibilidad dado por la ecuación (3.81)
requiere del cómputo de N soluciones adicionales del problema directo, mientras que la
ecuación (3.82) requiere de 2N soluciones adicionales del problema. Por lo tanto, el
computo de los coeficientes de sensibilidad mediante el uso de diferencias finitas puede
requerir mucho tiempo computacional para su solución y el criterio de convergencia
intenta controlar dicha solución, además de que el tamaño de paso en la dirección
vertical del problema es controlado, para que evite nodos innecesarios en regiones
someras del pozo.
CAPITULO 4
APLICACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO PARA LA
ESTIMACIÓN DE TEMPERATURAS EN UN POZO
PETROLERO: PROBLEMA DIRECTO
La primera parte del capitulo se refiere a la selección del pozo petrolero, a la
información técnica, geometría del pozo, fluidos de perforación, estado mecánico e
informes de perforación del pozo. Después de mostrar la información técnica del
pozo petrolero, la segunda parte se refiere al análisis de sensibilidad paramétrica
aplicada en ocho variables para observar el comportamiento del simulador bajo
condiciones particulares y utiliza un rango de tres valores diferentes para cada
parámetro de análisis (Tabla 4.4).
4.1 Información del pozo petrolero.
El pozo petrolero que se utiliza para el análisis inverso es el pozo 3007 de la Región
Marina Noreste de la Sonda de Campeche México, terminado en el año 2005 y
actualmente en producción. La decisión de utilizar este pozo como ejemplo de
simulación fue por tratarse de un pozo exploratorio y la información de perforación,
registros geofísicos y de seguimiento a la perforación y terminación cuenta con
mayor información que el de la perforación de un pozo petrolero en una zona ya en
desarrollo. Como referencia del proceso de perforación la figura 4.1 muestra el
estado mecánico del pozo y la figura 4.2 se refiere al plano estructural. Las Tablas
4.1, 4.2 y 4.3 indican la distribución de tuberías de revestimiento (TR), los fluidos de
perforación empleados durante la perforación y los registros geofísicos tomados
durante el proceso de perforación, respectivamente.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
64
Liner 9 5/8” @ 2904 m
2847-2830 m
Prof. @ 2920 m
T.R. 16” @ 801 m
Conductor30” @ 180 m(Hincado)
BL 9 5/8” @ 2107.49 m
T.R. 11 7/8” @ 2195 m
2847-2830 m
Liner 9 5/8” @ 2904 m
2847-2830 m
Prof. @ 2920 m
T.R. 16” @ 801 m
Conductor30” @ 180 m(Hincado)
BL 9 5/8” @ 2107.49 m
T.R. 11 7/8” @ 2195 m
2847-2830 m
Figura 4.1 Estado mecánico del pozo 3007
Tabla 4.1 Fluidos de perforación empleados
Etapa Prof. Inicio (m)
Prof. Term. (m)
Densidad (kg/m3)
Salinidad (ppm)
Tipo de fluido
1 180 800 1050 – 1140 12,000 Bentonítico – Salado 2 801 2197 1500 180,000 Emulsión inversa 3 2197 2920 870 1,300-1,500 Baja densidad 4
Volumen perdido (m3)
2197 2920 Baja densidad
11,106.53 m3 consumidos en la
formación
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
65
Tabla 4.2 Distribución de tuberías de revestimiento
Diám.
Exterior (pg)
Grado Peso (lb/pie)
Diámetro Interior
(pg)
Resistencia Presion
interna (psi)
Resistencia colapso
(psi)
Resistencia tensión
(lbs)x1000
Distribución (m.d.b.m.r.)
*
30 X-52 309 28 3030 1630 4738 0 – 150 16 N-80 84 15.01 4330 1480 1929 0 – 800
11 7/8 TRC-95 71.8 10.711 8330 5410 1962 0 – 2195 9 5/8 TRC-95 53.5 8.535 9410 7340 1477 2107- 2904
* metros debajo de base de mesa rotaria
Tabla 4.3 Registros geofísicos tomados en zonas de interés
Intervalo (m.d.b.m.r.) Registro Observaciones
de a 150 803 GR-SP
SDT-ITT-HNGL Se tomó para control estratigráfico
GR: Gamma Ray SP: Spontaneous potential SDT:Sonic Digital Tool
801 2197 DIL – GR –DSI Se tomó para control estratigráfico
HNGL: Hostile environmnet Natural Gamma Ray Log
1879 2197 LWD Se tomó para definir asentamiento de T.R.
DIL: Dual Induction Log DSI: Dipole Shear sonic Imager
2200 2508 LWD Se tomó en tiempo real durante la perforación de la etapa
LWD: Logging While Drilling DLL: Dual LateroLog MSFL: MicroSpherically Focussed Log
2197 2880 DLL-MSFL-LDL CNL-NGT
Se tomaron en agujero descubierto
LDL: LithoDensity Log CNL: Compensated Neutron Log NGT: Natural Gamma Tool
2197 2920 FMI-SDT Se tomaron en agujero descubierto
FMI: Formation Micro Imagen SDT: Sonic digital Tool
1510 2910 VSP Se tomaron en agujero descubierto
VSP: Vertical Sismic Profile
730 1430 CHECK SHOT Se tomaron en agujero descubierto
0 2853 GIROSCÓPICO Se tomó al final del pozo
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
66
3 0 07
Figura 4.2 Plano estructural
En resumen, la información técnica del pozo 3007 se muestra en forma de reporte,
mismo que se generó por el simulador y se presenta en el apéndice F.
4.2 Análisis de sensibilidad. Una gran cantidad de variables se involucran en el cálculo de la temperatura de
formación durante condiciones de circulación y paro. Como se mencionó, el análisis
de sensibilidad se refiere a mostrar los efectos de la variación de los siguientes
parámetros termofísicos y de transporte:
a) la temperatura a la entrada del fluido de perforación
b) la densidad del fluido de perforación
c) el flujo del fluido de perforación
d) la viscosidad
e) el calor específico del fluido de perforación
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
67
f) la conductividad térmica del fluido
g) el gradiente geotérmico
h) pérdidas de circulación
Para determinar la importancia de cada variable y su efecto en la simulación del perfil
de temperaturas del lodo de perforación, un análisis de sensibilidad paramétrica se
practica para cada variable y se simula tanto para periodos de circulación y paro,
manteniendo constantes el resto de las mismas.
La tabla 4.4 muestra las variables utilizadas, en donde se indica una variación en el
rango que considera tres valores diferentes a simular.
Tabla 4.4 Variables utilizadas en el análisis de sensibilidad * Variable Unidad Rango
4.2.1 Temperatura del fluido, entrada:Te °C 20 – 22 - 40
4.2.2 Densidad del fluido: ρf kg/m3 870 – 1050- 2000
4.2.3 Gasto: Qf gpm 800 – 1000 - 2000
4.2.4 Viscosidad del fluido: μ cp 1 – 45 - 50
4.2.5 Calor específico del fluido: Cp J/Kg °C 1990 – 2500 – 3500
4.2.6 Conductividad térmica del fluido: Κf W/m °C 0.23 -1.5 – 5.0
4.2.7 Gradiente geotérmico: G °C/m 0.01 – 0.03 – 0.05
4.2.8 Pérdidas de circulación: m3 2000 – 12000
* Sección de capítulo
4.2.1 Influencia de la temperatura del fluido de perforación a la entrada.
Los efectos de la temperatura del fluido a la entrada y que generan el perfil de
temperatura en la región anular y en el interior de la tubería se presentan en las
figuras 4.3 y 4.4. La figura 4.3 muestra la variación de la temperatura durante el
retorno del fluido por la región anular durante el periodo de circulación cuando se
tenía perforada la primera etapa hasta 801 m.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
68
La temperatura del fluido a la entrada se simula para 20, 22 y 40°C. Se observa en la
figura 4.3 que a 16 horas de circulación se alcanza la temperatura mas alta para un
flujo con temperatura de entrada de 40°C, mientras que cuando se utilizan
temperaturas de 20 y 22°C las temperaturas mas altas se consiguen en tiempo de 12
horas, iniciando ahí la estabilización de la temperatura. Se puede mencionar que
para valores de temperaturas del fluido a la entrada de 20 y 22°C mantienen un
aumento de 3°C después de 24 horas de circulación, mientras que para la alta
temperatura de entrada con 40°C, el incremento es mas notable y conserva 6°C
después del mismo periodo de circulación. Sin embargo, la temperatura del lodo de
perforación con 22°C a la entrada se utiliza para densidades máximas de lodo de
1980 kg/m3 en regiones con alta presión principalmente cuando atraviesa
formaciones del Oligoceno y Eoceno Superior. Por lo que el escenario de fluidos con
alta temperatura de entrada es de carácter comparativo.
La figura 4.4 muestra que después de simular a la profundidad total y cuando se
llega a 1300 metros, el efecto térmico de la temperatura mas alta del fluido tiene un
gradiente mínimo, mientras que los cambios mas notables se identifican de la mitad
de la profundidad del pozo hacia el fondo, en donde el periodo de reposo simulado
no es suficiente para lograr la estabilidad térmica para las mismas variaciones de
temperatura de entrada. El fluido se calienta conforme fluye hacia la parte profunda y
mantiene un comportamiento aceptable, con lo que se confirma el buen
comportamiento del simulador bajo las mencionadas consideraciones térmicas del
modelo, sobre todo para las condiciones de operación de 20 y 22°C, rango
operativamente más común en las actividades de perforación costafuera.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
69
0 4 8 12 16 20 24
20
25
30
35
40
45
50
T 3 (°C
)
Tiempo circulación (h)
etapa @ 801 m 20° C 22° C 40° C
Figura 4.3 Variación de la temperatura del fluido por la región anular en la salida del
pozo.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Tiempo en reposo: 24 h
GradienteGeotérmico
Temperatura del fluido perforación (°C)
Pro
fund
idad
(m)
40° C 22° C 20°C
Figura 4.4 Perfil de tres temperaturas del fluido de perforación dentro de la sarta de
perforación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
70
4.2.2 Influencia de la densidad del fluido de perforación. El efecto de la densidad del fluido en la temperatura del pozo se ilustra en la
figura 4.5. En ella se muestra la variación de la temperatura de fondo con
información de la temperatura del fluido en la tubería de perforación durante
periodos de circulación, para densidades de fluido de 870, 1050 y 2000 kg/m3. La
temperatura de fondo decrece mas rápido y tiene un valor final mas bajo con
fluido de baja densidad, como fue el caso de la última etapa de perforación de 9
⅝” con lodo de baja densidad de 870 kg/m3. Mientras que para densidad de 2000
kg/m3 la temperatura de fondo mantiene valores térmicos más estables y con un
retraso en su enfriamiento, comportamiento esperado por la diferencia de
densidades. El fluido con densidad de 870 kg/m3 indica 84.5°C como temperatura
de fondo después de 24 h de circulación, con densidad de 1050 kg/m3 muestra
85.6°C y a 2000 kg/m3 de densidad refiere 88.3°C. De considerar una diferencia
entre el valor bajo y alto de densidad que implican el 140% de cambio, provocan
una variación final de 4.5% en la temperatura de fondo después de 24 horas de
circulación.
0 5 10 15 20 2580
85
90
95
100
105
110
Densidad fluido de perforación:
Tem
pera
tura
de
fond
o (°
C)
Tiempo de circulación (h)
870 kg/m3 1050 kg/m3 2000 kg/m3
Figura 4.5 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes densidades del fluido
de perforación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
71
4.2.3 Influencia del flujo volumétrico del fluido de perforación.
La figura 4.6 muestra la importancia del flujo volumétrico del fluido en la
simulación del pozo 3007. Se grafican los perfiles transitorios de temperatura de
fondo para caudales de 800, 1000 y 2000 gpm en la primera etapa de
perforación. A bajos caudales la temperatura de fondo disminuye lentamente
hasta 65°C después de 24 horas de circulación, mientras que un proceso de
enfriamiento rápido ocurre a altos caudales de inyección de 2000 gpm. En este
caso la temperatura resultante fue de 26°C después de 24 horas de circulación.
De la figura 4.7 se puede mencionar que cuando se inyectan altos caudales de
fluido, los tiempos cortos de circulación no son suficientes para que el fluido en el
pozo intercambie energía con la formación. Por consecuencia, la temperatura de
formación tiene un efecto pequeño en la temperatura del fluido para altas
caudales de inyección de fluido de perforación. Al considerar la diferencia entre
los valores de flujo mas bajo y mas alto (150%) generan una variación final de
aproximadamente 39°C de diferencia en la temperatura de fondo del fluido de
circulación después de 24 horas de circulación.
0 5 10 15 20 25
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Inyección de fluido
Tem
pera
tura
de
fond
o (°
C)
Tiempo de circulación (h)
800 gpm 1000 gpm 2000 gpm
Figura 4.6 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes caudales de fluido de
perforación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
72
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
20 40 60 80 100 120
2000 gpm 800 gpm
Gradientegeotérmico0.03°C/m
Temperatura fluido de perforación (°C)
Pro
fund
idad
(m)
Figura 4.7 Sensibilidad de los perfiles de temperatura del fluido de circulación a diferentes
caudales de inyección.
4.2.4 Influencia de la viscosidad del fluido de perforación.
La viscosidad del fluido es una de variables más importantes que afectan el proceso
de transferencia de calor convectivo durante los procesos de perforación de un pozo.
Las correlaciones numéricas para la estimación de los coeficientes de transferencia
de calor tienen una fuerte dependencia con la viscosidad del fluido y su variación con
la temperatura y se reflejan en los parámetros de flujo adimensional como el número
de Reynolds, Prandtl, Nusselt y Peclet. [Santoyo, 1997, Santoyo et al., 2001]. Se han
reportado varios estudios para calcular los coeficientes de transferencia de calor
convectiva (Raymond, 1969; Keller et al., 1973; Marshall y Bentsen, 1982; Arnold,
1990; Beirute, 1991; García et al., 1998a). Desafortunadamente en la mayoría de los
procedimientos numéricos, las correlaciones adimensionales se estimaron
asumiendo que el lodo de perforación es un fluido newtoniano, consideración que
sugiere que las propiedades del agua fueron usadas para el calculo de los
coeficientes de transferencia de calor convectiva.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
73
García et al. (2004), efectúan una evaluación reológica y caracterizan químicamente
a once fluidos típicos de perforación HTDFS (por sus siglas en inglés: High
Temperature Drilling Fluid Systems) base agua, y determinan entre otras variables a
la viscosidad en función de la temperatura para un rango de 25 – 180°C a presión de
yacimiento constante. Como resultado del experimento reológico, obtienen
viscosidades dinámicas y temperaturas para 11 HTDFS que se muestran en la Tabla
4.5.
Tabla 4.5 Temperaturas y viscosidades obtenidas de pruebas reológicas
Temperatura °C
Viscosidad (cp)
De la tabla 4.5 se observa que para 25°C la viscosidad mas baja se obtiene para la
composición química referida al fluido HTDFS-3 con 2.3 cp y su perfil viscoso es el
más próximo a valores de viscosidad para el agua. Como se muestra en la figura 4.8,
la composición química y mineral de los lodos de perforación, permite un amplio
margen de viscosidades, dependiendo del porcentaje de material químico y de los
aditivos agregados al lodo de perforación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
74
Vis
cosi
dad
delf
luid
ode
perf
orac
ión
(cp)
Temperatura (°C)
Figura 4.8 Variación de la viscosidad del fluido de perforación con la temperatura para los
HTDFS-3, HTDFS-6, HTFDS-7 HTFDS-8 y HTFDS-11
Curva viscosidad Curva temperatura
punto - gel
Vis
cosi
dad
del f
luid
o de
per
fora
ción
(cp)
Tem
pera
tura
(°C
)
Tiempo (min)
Figura 4.9 Variación de la viscosidad en función del tiempo y temperatura, HTDFS-4
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
75
punto - gel
Vis
cosi
dad
del f
luid
o de
per
fora
ción
(cp)
agua
Temperatura (°C)
Figura 4.10 Variación de la viscosidad del fluido de perforación con la temperatura para
HTDFS-2, HTDFS-4, HTDFS-5 Y HTDFS-9.
Los efectos de la viscosidad del fluido en la distribución de temperaturas en el pozo
petrolero considerado en este trabajo bajo condiciones de circulación se ilustran en la
figura 4.11, la viscosidad mas alta del fluido (fluido no Newtoniano) tiende a aislar la
región donde está la tubería de perforación originado por la disminución del
coeficiente convectivo de transferencia de calor. Como resultado, el fluido frío no
logra calentarse rápidamente (como a bajas viscosidades) por el efecto térmico de la
formación hacia el pozo. Para confirmar el comportamiento del perfil de temperaturas
a diferentes viscosidades, es conveniente inspeccionar el número adimensional de
Nusselt el cual correlaciona al número adimensional de Reynolds y Prandtl para flujo
turbulento. El coeficiente convectivo de transferencia de calor (el cual se incluye en el
número adimensional de Nusselt) depende de la viscosidad del fluido de manera
compleja.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
76
Análisis detallados de las ecuaciones asociadas con el cálculo de coeficientes
convectivos han mostrado que conforme la viscosidad del fluido se incrementa, el
valor del coeficiente convectivo de transferencia de calor disminuye. Además, es
menos efectivo para remover calor de la formación que con fluidos de baja
viscosidad (como el agua).
0 5 10 15 20 25
50
60
70
80
90
100
110
120
130Viscosidad - fluido de perforación:
Tem
pera
tura
de
fond
o (°
C)
Tiempo de circulación (h)
1 cp 45 cp 50 cp
Figura 4.11 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes viscosidades de
fluido de perforación.
El perfil térmico se refleja también en el proceso de recuperación térmica del pozo y
la figura 4.12 lo muestra, después de 24 horas en reposo, el fluido de baja viscosidad
exhibe una mayor temperatura, mientras que el fluido con mayor viscosidad mantiene
la temperatura en condiciones térmicas más estables.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
77
50 60 70 80 90 100 110 120 1303000
2800
2600
2400
2200
200050 60 70 80 90 100 110 120 130
50 cp45 cp
1 cp
gradientegeotérmico
últim
a se
cció
n, p
rofu
ndid
ad d
el p
ozo
(m)
Temperatura de fondo (°C) Figura 4.12 Recuperación térmica del pozo después de 24 horas de reposo para diferentes
viscosidades del fluido de perforación
4.2.5 Influencia del calor específico del fluido de perforación.
El efecto del calor específico en la distribución de temperaturas de un pozo bajo
condiciones de circulación se muestra en la figura 4.13, en donde se grafican la
variación de la temperatura de fondo con el tiempo de circulación para calores
específicos del fluido de 1990, 2500 y 3500 J/kg K. Se observa que la temperatura
de fondo decrece de manera proporcional a lo mencionado en el caso de las
viscosidades y para este caso las ultimas mediciones puntuales para 1990 J/kg K es
de 62.3°C, para 2500 J/kg K es de 54°C y para 3500 J/kg K termina en 43°C. No
obstante, por regla general la temperatura de un cuerpo se incrementa conforme se
le aporte energía en forma de calor, bajo estas condiciones, el valor mas alto de Cp
alcanza una temperatura fija en un tiempo menor de circulación que el calor
específico con un valor mas bajo. De considerar la diferencia entre el valor mínimo y
máximo de Cp (76%), estos exhiben una variación final del 45% en la temperatura de
fondo del fluido de circulación después de 24 horas de circulación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
78
0 5 10 15 20 2540
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Calor específico
Temperatura de formación imperturbada
Tem
pera
tura
de
fond
o (°
C)
Tiempo de circulación (h)
1990 J/kg°C 2500 J/kg°C 3500 J/kg°C
Figura 4.13 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes valores de calor
específico del lodo de perforación.
4.2.6 Influencia de la conductividad térmica del fluido de perforación.
El efecto de la conductividad térmica del fluido de perforación en el perfil de
temperaturas de un pozo petrolero bajo condiciones de circulación se indica en la
figura 4.14, en donde se grafican la variación de la temperatura de fondo con tiempos
de circulación para conductividades térmicas de 0.23, 1.5 y 5 W/m°C. Se observa
que después de 24 horas de circulación la temperatura de fondo decrece de manera
uniforme de 127°C hasta 62°C para conductividad térmica de 0.23 W/m°C, de 127°C
a 92°C para 1.5 W/m°C y de 127°C a solo 117°c para la conductividad mas alta de 5
W/m°C, Bajo estas condiciones particulares, la conductividad térmica mas alta tiende
a incrementar el intercambio de calor entre la región de la tubería de perforación y la
formación, generando que el perfil de temperaturas mas frío corresponda al valor
mas bajo de la conductividad térmica del lodo de perforación.
De considerar la diferencia entre los valores de conductividad térmica entre 0.23 y
1.5 W/m°C (550%), la variación final entre esta diferencia es del 38% en la
temperatura de fondo del lodo de perforación después de 24 horas de circulación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
79
0 5 10 15 20 25
60
70
80
90
100
110
120
130
5 w/m°C
1.5 w/m°C
0.23 w/m°C
Tem
pera
tura
de
fond
o (°
C)
Tiempo de circulación (h) Figura 4.14 Sensibilidad de la temperatura de fondo de pozo a diferentes conductividades
térmicas del lodo de perforación.
4.2.7 Influencia del gradiente geotérmico. El gradiente geotérmico es un parámetro importante como dato inicial en la
simulación ya que la temperatura estática verdadera es la temperatura de formación
presente antes de que el pozo sea perforado. Normalmente, los registros de
temperatura son de valores más bajos que la temperatura estática real. Si los
registros de temperatura se utilizan como datos de entrada en el simulador, la
temperatura de circulación estimada pudiera ser subestimada, por lo que es
conveniente que para la simulación se tenga información veraz y de varios registros
como comparación, sobre todo en regiones de mayor sensibilidad a cambios
térmicos importantes como las áreas con pérdidas parciales de circulación, siendo
necesario a veces extrapolar valores para largos periodos de circulación y obtener
temperaturas pseudo estáticas que pudieran compararse con soluciones analíticas
(Dowdle y Cobb, 1975; Ascencio et al., 1994; Hassan y Kabir, 1994). Estas
aproximaciones pueden ayudar en los análisis de la predicción de temperaturas
estáticas y son una buena herramienta para obtener una mejor aproximación en la
estimación de temperaturas estáticas reales.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
80
En la figura 4.15 se grafica el perfil transitorio de la temperatura de fondo en el pozo
para gradientes geotérmicos de 0.01, 0.03 y 0.05 °C/m. Siendo el gradiente de 0.03
°C/m el más apropiado para pozos de la región marina del Golfo de México. De
acuerdo a los registros de temperatura a profundidad constante, la temperatura de
fondo para la última TR cementada fue de 120°C, y los perfiles resultantes para cada
uno de los gradientes se muestran en la figura 4.15.
Suponiendo un caudal de inyección constante, la temperatura de fondo a 24 horas de
circulación es mas baja para el gradiente geotérmico de 5°C/m, la diferencia térmica
puede reducirse en función del tiempo, ya que se requiere mayor tiempo de
circulación para enfriar el flujo con bajos gradientes geotérmicos.
0 5 10 15 20 2530
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130Gradiente geotérmico:
Tem
pera
tura
de
fond
o si
mul
ada
(°C
)
Tiempo de circulación (h)
0.05°C/m 0.03 °C/m 0.01°C/m
Figura 4.15 Sensibilidad de la temperatura de fondo del pozo a diferentes gradientes
geotérmicos.
El gradiente geotérmico no es un valor constante puesto que depende de las
características físicas que presente el material en cada punto del interior de la tierra,
es decir, de las condiciones geológicas locales algunas de las cuales son: la relación
presión con temperatura, la composición química y las reacciones que se produzcan,
la existencia de material radiactivo, la presencia de movimientos convectivos y
rozamientos y un largo etcétera.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
81
4.2.8 Influencia del efecto de la permeabilidad en pérdidas de circulación.
Las pérdidas de circulación pueden ser un serio problema durante actividades de
perforación, especialmente en pozos profundos. Cuando las pérdidas son
detectadas, el ingeniero de perforación decide si el caudal de pérdida de fluido es
tolerante sin cambios en el programa de lodos de perforación o si el lodo debe
tratarse con grandes cantidades de material químico. La figura 4.16 muestra un
diagrama de la perforación de un pozo en presencia de pérdidas de circulación. De
acuerdo a la figura mencionada al tiempo t=0, la barrena alcanza la cima de la zona
de filtración h=h0 y conforme la perforación continua el lodo se filtra en la zona
denotada entre h0 y h1. El caudal de pérdida de fluido se incrementará hasta que la
barrena pase la zona de filtrado hasta el punto h1 debido a que el área expuesta a la
filtración se incrementa con la profundidad.
Posteriormente, tanto la zona de penetración como el caudal de pérdidas
gradualmente disminuyen debido a que a cualquier profundidad la pérdida de lodo
por unidad de longitud decrece con el tiempo, además de que la zona de filtrado
tiene área constante.
h0= cima de zona filtrada h1= fondo de zona filtrada hb= posición de la barrena hc = profundidad de zapata de casing rw= radio del pozo rs= radio de daño
Figura 4.16 Modelo de pérdidas de fluido
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
82
Durante las actividades de perforación, la porosidad y permeabilidad de la zona
naturalmente fracturada son desconocidas y solamente el caudal de pérdidas del
fluido de perforación (q) es registrado por el perforador. Si se considera que la
densidad del lodo es constante para una etapa de perforación y que la zona de
filtrado es uniforme en un medio homogéneo con alta permeabilidad, entonces la
figura 4.17 es una representación de un grupo de curvas a diferentes “q” como
función de la profundidad de la barrena registrada para diferentes propiedades de la
zona fracturada. De acuerdo a Kutasov (1984), la permeabilidad y porosidad de la
zona fracturada puede estimarse al utilizar métodos convencionales de ajuste de
curvas.
Del resumen de perforación del pozo 3007 [García-López, 2004] la última etapa de
perforación con barrena de 10 ⅝” de 2195 m a 2920 m presentó pérdidas de
circulación parcial y total en diferentes profundidades del pozo, y la Tabla 4.1 anterior
lo menciona. La correlación geológica con pozos vecinos (1005, 1007A, 3023D y
1027) y la litología mostrada en la tabla 4.6, suponen una alta permeabilidad en esa
región y por lo tanto la presencia de pérdidas de circulación. De acuerdo al registro
SDT (Sonic Digital Tool ver Tabla 4.3) tomado en agujero descubierto y de utilizar
los tiempos de tránsito se utiliza una porosidad promedio de 0.25 y un rango
probable de permeabilidad entre 300 md y 800 md, el factor de daño es 0 (sin
material químico para el taponamiento de poros).
Una herramienta gráfica para estimar la porosidad se encuentra en:
http://content.slb.com/Docs/connect/reference/Chartbook/graphics/04_por_3-1_3-
28.p3.gif y en
http://content.slb.com/Docs/connect/reference/Chartbook/graphics/04_por_3-1_3-
28.p5.gif
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
83
Tabla 4.6 Columna geológica real, pozo 3007
Formación Profundidad
vertical (m.v.b.m.r.)
ProfundidadDesarrollada(m.d.b.m.r)
Espesor (m.v.) Litología.
Paleoceno Inferior
2275 2275 30 lutita gris verdosa a café rojiza bentonítica y calcárea, con esporádicas intercalaciones de calcita blanca.
Brecha TPKS 2305 2305 124
dolomía blanca y crema, en partes gris, mesocristalina y packestone dolomitizado, café claro a crema, intraclastos.
Cretácico Medio 2429 2429 117
dolomía blanca y crema, en partes gris, mesocristalina y packestone dolomitizado, café claro a crema, intraclastos.
Cretácico Inferior 2546 2546 182
dolomía café clara y oscura, mudstone-wackestone café claro a crema, arcilloso y fracturado, con nódulos aislados de pedernal negro.
Jurásico Sup. Tithoniano
2728 2728 87 Lutita negra de aspecto bituminoso calcáreo, intercalado con mudstone arcilloso café claro microcristalino.
Jurásico Sup. Kimeridgiano
2815 2815 105
Limolita café rojizo, anhidrita cristalina, dolomía de color crema claro, con intercalaciones de lutita bentonítica gris oscuro.
Profundidad total 2920 2920
De acuerdo a la información de campo se conoce que a 2600 m se perdieron 670
gpm, la figura 4.17 muestra que la permeabilidad puede aproximarse a 550 md.
Como se espera, la mayor pérdida de circulación se presenta cuando la barrena
atraviesa la parte inferior de la zona fracturada a 2800 m. La figura 4.18 muestra el
efecto en las curvas de pérdidas de circulación a diferentes permeabilidades al
utilizar un daño en la formación de 20. Al incrementar el factor de daño,
drásticamente se reduce la dependencia de la permeabilidad en las pérdidas de
fluido. La tabla 4.7 muestra un cálculo de pérdidas de fluido al considerar diferentes
factores de daño, en donde se observa la reducción de pérdidas conforme el factor
de daño aumenta. Aunque la intención del presente proyecto no incluye los efectos
adversos de daños en la formación, dicho parámetro se complementa para la
estimación de permeabilidades de formación.
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
84
3000
2800
2600
2400
2200
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
factor de daño S=0porosidad: 0.25diametro barrena: 10 5/8"densidad lodo: 870 kg/m3viscosidad: 30 cp
Permeabilidad:
Tasa de filtración (gpm)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
500 md 550 md 600 md 650 md 700 md 750 md 800 md
Figura 4.17 Curvas de pérdidas de circulación de fluido como función de la profundidad de la
barrena, con daño de formación S = 0
3000
2900
2800
2700
2600
2500
2400
2300
2200
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Permeabilidad:
factor de daño: S=20porosidad: 0.25diametro de barrena: 10 5/8"densidad lodo: 870 kg/m3viscosidad: 30 cp
Tasa de filtración (gpm)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
500 md 550 md 600 md 650 md 700 md 750 md 800 md
Figura 4.18 Curvas de pérdidas de circulación de fluido como función de la profundidad de la
barrena, con daño de formación S=20
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
85
Tabla 4.7 Estimación de pérdidas de fluido en función del factor de daño bajo condiciones
particulares Factor de daño Pérdidas de fluido
(gpm)
0 970.1
1 926.6
2 831.9
3 754.8
4 690.8
5 636.8
6 590.7
8 515.9
10 457.9
12 411.7
15 357.5
20 293.2
25 248.5
30 215.7
Se utiliza el valor de 650 md de
permeabilidad de formación @ 2800 m
El código numérico para estimar la permeabilidad (PE) y el caudal de filtración se
presenta en la Tabla 4.8
Tabla 4.8. Código numérico para determinar la permeabilidad de la formación
PROGRAM FLUIDLOSS
c Programa para determinar la tasa de perdidas de fluido
c durante la perforación. Se utilizan formulas empíricas
c y el modelo físico se presentan en: Kutasov, I. M.,and
c Bizanti, M.S., 1984, "Fluid losses while drilling".
c Society of Petroleum Engineers,paper 13963
C --------------------------------------------------------------
C Flow = Rate of fluid losses, gpm
c VE = Penetration rate, fr/h
c DB = Bit diameter, in
c Ra = Effective well radius, ft
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
86
c H1 = Depth of the thief zone bottom, ft
c HO = Depth of the thief zone top, ft
c HB = Position of the bit, ft (HB>H0)
c DEM = Drilling mud density, ppg
c DEPO = Pore fluid density, ppg
c PE = Permeability, md
c PO = Porosity, fraction
c CO = Compressibility, 1/psi
c VI = Viscosity, cp
c S = skin factor
c ------------------------------------------------------------------
double precision S,VE,PO,VI,CO,DEM,DEPO,DB,HO,H1,F,ARG1(90,7)
DOUBLE PRECISION HB(90),HBD(90),AA(7),AB(7),PAR(7),Q0(7),HDA(90,7)
DOUBLE PRECISION ARG0(90,7),X0(90,7),X03(90,7),X02(90,7),PE(7)
DOUBLE PRECISION E0(90,7),E03(90,7),E02(90,7),FLOW(90,7)
DOUBLE PRECISION X1(90,7),E1(90,7),E13(90,7),X13(90,7),X12(90,7)
DOUBLE PRECISION E12(90,7),X04(90,7),E04(90,7),X14(90,7),E14(90,7)
EXTERNAL F
DATA A0,CE,D,AQ /.000263679,.69315,1.5708,50.70/
DATA A3,A2 /1.38629,.405465/
OPEN(UNIT=5, FILE='FLOSS.DAT')
OPEN(UNIT=6, FILE='FLOSS.OUT')
READ(5,*) NA,(PE(N),N=1,NA)
READ(5,*) JA,(HB(N),N=1,JA)
READ(5,*) S,VE,PO,VI,CO
READ(5,*) DEM,DEPO,DB
READ(5,*) HO,H1
RA=DB/24*Dexp(-S)
HOD=HO/RA
H1D=H1/RA
DO 220 N=1,NA
PAR(N)=PE(N)/(VE*PO*VI*CO)
AA(N)=PAR(N)/RA
AB(N)=(PE(N)*(DEM-DEPO)*RA*RA)/VI
Q0(N)=(AQ*AB(N))/(AA(N)*AA(N))
DO 20 J=1,JA
HBD(J)=HB(J)/RA
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
87
HDA(J,N)=HBD(J)*D*D*AA(N)*A0
ARG0(J,N)=DSQRT(A0*PAR(N)*(HB(J)-HO))/RA
X0(J,N)=DLOG(1.+D*ARG0(J,N))
X03(J,N)=3.*X0(J,N)
X02(J,N)=2.*X0(J,N)
X04(J,N)=4.*X0(J,N)
E0(J,N)=F(X0(J,N))
E03(J,N)=F(X03(J,N))
E02(J,N)=F(X02(J,N))
E04(J,N)=F(X04(J,N))
IF (HBD(J).GT.H1D) GO TO 139
FLOW(J,N)=Q0(N)*(HDA(J,N)*(-E0(J,N)+E02(J,N)-CE)-(E04(J,N)-A3-E0(
& J,N))+3.*(E03(J,N)-E02(J,N)-A2))
GO TO 20
139 ARG1(J,N)=DSQRT(A0*AA(N)*(HBD(J)-H1D))
X1(J,N)=DLOG(1.+D*ARG1(J,N))
X13(J,N)=3.*X1(J,N)
X14(J,N)=4.*X1(J,N)
X12(J,N)=2.*X1(J,N)
E1(J,N)=F(X1(J,N))
E13(J,N)=F(X13(J,N))
E12(J,N)=F(X12(J,N))
E14(J,N)=F(X14(J,N))
FLOW(J,N)=Q0(N)*(HDA(J,N)*(E02(J,N)-E12(J,N)-E0(J,N)+E1(J,N))+E14(
& J,N)-E04(J,N)+E0(J,N)-E1(J,N)+3.*(E03(J,N)-E02(J,N)-E13(J,N)+E12(
& J,N)))
C
20 CONTINUE
220 CONTINUE
WRITE(6,715)S
WRITE(6,615)VE*0.305
WRITE(6,717)CO
WRITE(6,618)DB
WRITE(6,719)HO*0.305
WRITE(6,619)H1*0.305
WRITE(6,716)PO,VI
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
88
WRITE(6,718)DEPO,DEM
WRITE(6,811)
WRITE(6,999)
WRITE(6,111)
WRITE(6,999)
WRITE(6,11) (PE(N),N=1,NA)
WRITE(6,999)
DO 550 J=1,JA
550 WRITE(6,121) HB(J),(FLOW(J,N),N=1,NA)
811 FORMAT(//,20X,'Filtration rate, GPM ')
715 FORMAT(5X,'Skin factor =',F8.2)
615 FORMAT(5X,'Penetration rate, m/h =',F6.2)
716 FORMAT(5X,'Porosity =',F4.3,17X,'Viscosity, cp =',F8.1)
717 FORMAT(5X,'Compressibility, 1/psi =',F12.9)
718 FORMAT(5X,'Pore fluid dens., ppg ='F8.2,8X,'Mud dens., ppg ='F8.2)
618 FORMAT(5X,'Bit diameter, inches =',F7.3)
719 FORMAT(5X,'Top of the "thief" zone, ft =',1F11.1)
619 FORMAT(5X,'Bottom of the "thief" zone, ft =',1F11.1)
111 FORMAT(/,2X,'Depth, ft',11X,'"Thief" zone permeability, md ')
11 FORMAT(/,7X,' ',7(F7.0,2X))
121 FORMAT(F8.0,2X,7(F7.1,2X))
999 FORMAT('-------------------------------------')
STOP
END
C CALCULO DE Ei(+X)
C La formula para la función Ei(x) SE TOMO DE "Mathematical
c Handbook for Scientists and Engineers", G.A. Korn y T.M. Korn,
c McGraw-Hill Book Company, 1968.
c Ei(x) = gamma + ln(x) + integral de 0 a x[(e**t - 1)/t dt =
c gamma + ln(x) + SUMA(n=1..inf)x**n/(n*n!)
C FUNCION ESPECIAL: http://www.math2.org/math/integrals/es-
specialfuns.htm
C
FUNCTION F(x)
DOUBLE PRECISION F,X,Y1,Y2,YY1,YY2,YY3,YY
IF(x.GT.1.00) GO TO 39
Capitulo 4 Aplicación y validación del modelo para la estimación de temps. en un pozo petrolero
89
F=0.5772+Dlog(x)+x+0.25*X*x+0.055556*x**3+x**4/96
GO TO 40
39 IF(x.GT.3.6) GO TO 59
Y1=0.5772+DLOG(x)+x+0.25*X*x+0.055556*x**3+x**4/96
Y2=1.0+0.015*(x-1.)**2.26
F=Y1*Y2
GO TO 40
59 IF(x.GT.5.0) GO TO 79
Y1=DEXP(x)/x
Y2=1.+1./x+2./x/x+6./x**3+24./x**4
Y3=0.7153+0.2051*(x-3.)**0.4262
F=Y1*Y2*Y3
GO TO 40
79 YY1=x-DLOG(x)
YY2=1.+1./x+2./x/x+6./x**3+24./x**4
YY3=DLOG(YY2)
YY=YY1+YY3
F=DEXP(YY)
40 CONTINUE
RETURN
END
Una vez que se observó el comportamiento del simulador al efectuar análisis de
sensibilidad al utilizar 8 variables termofísicas durante el problema directo y después
de observar que los perfiles de temperatura tienen comportamientos aceptables de
acuerdo a la física del problema y no presentan puntos de inflexión, el siguiente
capítulo se refiere a la estimación de la temperatura estática de la formación
mediante métodos inversos, bajo las condiciones operativas previamente
presentadas y bajo el modelo matemático mencionado en el Capitulo 3.
CAPITULO 5
MÉTODOS DE SOLUCIÓN EMPLEADOS EN EL PROBLEMA
INVERSO Y RESULTADOS
El Capitulo se refiere a la estimación de la temperatura de formación estática. Después
de resolver el problema directo del problema de transferencia de calor que gobierna el
sistema pozo formación, se efectúa el análisis inverso al utilizar en primera instancia el
método de Levenverg Marquardt (MLM), posteriormente se utiliza como segunda opción
un algoritmo de control (PI) para estimar la temperatura de formación y finalmente como
tercera alternativa se aplica un método cognoscitivo basado en inteligencia artificial (IA).
Se comparan los tres métodos y se presentan resultados.
5.1 Método inverso al aplicar el Método de Levenberg Marquardt (MLM). Como se mencionó en el Capitulo 3, el problema inverso consiste en la estimación y
optimización de valores puntuales que generalmente requieren de la solución del
problema directo asociado (Özisik et al.,2000). El procedimiento para resolver el
problema inverso de transferencia de calor con condiciones de frontera bajo el esquema
del MLM, puede ordenarse en los siguientes pasos básicos, los detalles de cada uno de
estos pasos ya fueron descritos en la sección 3.6, y son:
• Problema directo
• Problema inverso
• Procedimiento iterativo
• Criterio de convergencia
• Algoritmo computacional
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
El planteamiento del MLM desde un punto de vista práctico, se refiere a la comparación
entre temperaturas medidas y temperaturas simuladas. Esto se hace automáticamente
por medio de un algoritmo de optimización, el cual minimiza una función objetivo hasta
lograr un ajuste satisfactorio entre las temperaturas del lodo (registros de temperatura)
y las calculadas (por el problema directo). Cuando se tenga una comparación
satisfactoria de acuerdo a un criterio de convergencia asignado por el usuario, entonces
se toma la última versión de la temperatura inicial como la predicción final de la
temperatura de yacimiento.
5.1.1 Resultados MLM. En base a la solución numérica del modelo desarrollado para resolver el problema
directo, la segunda etapa de resultados consiste en simular las temperaturas
registradas en el pozo petrolero y observar su comportamiento mediante métodos
inversos. Se tienen registros T/18 a 6 h, T/19 a 12 h, T/20 a 18 h y T/21 a 24 h en
periodo de relajación térmica. La figura 5.1 muestra los perfiles obtenidos, en donde
solo se reproduce la información y que posteriormente se utilizará para efectuar la
comparación con la simulación de los mismos mediante el modelo numérico.
Con efecto de evitar confusión, la figura 5.2 muestra solamente los perfiles de
temperatura de los registros T/21 y T/18 y se comparan con los perfiles simulados. Al
considerar de manera particular la geometría y propiedades de transporte y termo
físicas del lodo, cemento y metal, las discrepancias entre los valores registrados y
simulados son mínimas, de manera que la respuesta del modelo bajo las condiciones
de operación del pozo es aceptable. Las pérdidas de circulación se indican y se aprecia
que el efecto térmico es más notorio en la última etapa de perforación del pozo. La línea
punteada se refiere a la proyección de la temperatura de formación que podría
presentarse en el campo, antes de que térmicamente se perturbe debido a la
perforación del pozo. De acuerdo a la información obtenida para los análisis geofísicos
de la formación en esa zona el gradiente geotérmico es de 3° C/100 m.
91
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
La figura 5.3 indica además de la distribución y asentamientos de las tuberías de
revestimiento del pozo 3007, la comparación puntual del registro T/21 vs. la
temperatura del lodo simulada a 24 h de reposo, se nota que el ajuste del proceso
iterativo es aceptable y reproduce el comportamiento del registro de temperaturas
considerando que las perdidas de circulación en el pozo están presentes. Se muestran
además un par de perfiles de temperatura, la temperatura proyectada por el gradiente
geotérmico y la temperatura de formación simulada, en este caso, es aceptable el
hecho de que no se presente un ajuste en su comparación, ya que precisamente el
efecto térmico originado por las pérdidas de circulación y la inyección de lodo adicional
provocan un cambio térmico en la zona afectada generando que la transferencia de
calor sea mas intensa en esa región.
El yacimiento es naturalmente fracturado y las cavidades o cavernas son situaciones
adversas que originan que el fluido de perforación se pierda en la formación, no
obstante los programas de lodos de perforación prevén esta situación e intentan
controlarla, para lo cual se utilizan cambios de densidad apropiadas además del apoyo
de registros geofísicos de pozos de correlación que ayuden a conocer la litología de la
formación. El conocimiento del valor de la porosidad y los caudales de inyección
variable son parámetros que alimentan al simulador durante las diferentes etapas de
perforación y que durante el proceso iterativo permite que el análisis de la temperatura
de formación en la parte profunda del pozo sea bien modelada.
La estimación de temperaturas de formación mediante métodos analíticos es una tarea
investigada por diversos autores desde los años cincuentas iniciado por Horner (1951) y
el apéndice E muestra un resumen de los principales trabajos teóricos y las bases
fundamentales que los soportan. Tomando en cuenta la literatura mencionada en el
apéndice E, la figura 5.4 muestra los valores puntuales obtenidos de modelos
conductivos de Horner, Ascencio y Kritikos, así como el modelo de Hassan que
combina la transferencia de calor mediante procesos de conducción – convección.
Además, se comparan dichas temperaturas estabilizadas (valores puntuales
representados en 3 puntos a lo largo del pozo en cada cambio de etapa de perforación)
contra el perfil de temperatura de formación simulada.
92
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Los modelos analíticos mencionados anteriormente requieren como datos de entrada el
conocimiento de al menos dos registros de temperatura tomados a la misma
profundidad a diferentes tiempos de reposo. La temperatura de fondo escasamente se
conoce y sus valores puntuales se obtienen a la profundidad donde hubo cambio de
etapa de perforación, de ahí que solo 3 valores de temperatura se grafican para cada
modelo, en donde se indica mediante una figura geométrica cada temperatura
estabilizada correspondiente a ese intervalo de perforación. Para obtener los valores
puntuales de cada modelo analítico se utiliza el código STATIC-TEMP desarrollado por
Santoyo et al. (2000).
Las temperaturas estabilizadas calculadas a 500 m de profundidad por los diferentes
modelos analíticos mantienen valores próximos a la temperatura simulada, Hassan con
40.5 °C, Ascencio con 42°C, Horner con 43°C y Kritikos que se aleja del perfil simulado
con 46°C, de observar la figura 5.4 a 500 m existe una diferencia aproximada de 7°C
entre la SFTsim y el modelo propuesto pro Kritikos. A partir de la segunda serie de
valores puntuales registrados a la profundidad de 2200 m en el asentamiento de la TR
de 11 ⅞”, el modelo que mas se aproxima a la temperatura simulada (90°C) es el
referido a Hassan con 91°C, que como se mostró en la tabla 2.1 del Capítulo 2, es el
modelo que después del propuesto en este trabajo, es el que más información requiere
para su análisis, incluyendo valores de inyección de fluido y valores específicos de las
propiedades del lodo, de la formación y del cemento. En orden de proximidad numérica
(2°C de diferencia) le sigue el modelo propuesto por Ascencio quien mantiene a su vez
una diferencia de 4°C respecto al modelo de Horner, el modelo referido a Kritikos
(método de 2 puntos) es el que mayor discrepancia tiene respecto al resto de los
modelos con 9°C de diferencia entre la temperatura simulada y su valor. Se nota que
una vez presente la pérdida de circulación en la última etapa de perforación, la
tendencia en la estimación de gradientes geotérmicos de los modelos bajó
notablemente y esto se debe básicamente a tratarse de modelos conductivos en su
mayoría, a excepción del modelo de Hassan quien ajusta su proyección con un
gradiente geotérmico mas alto que el resto de los modelos.
93
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
3000
2500
2000
1500
1000
500
020 30 40 50 60 70 80 90 100 110
gradiente geotérmicoreferencia: 3°C/100 m
Temperatura (°C)
Pro
funf
idad
del
poz
o(m
)
24 h (shut-in time, reg T/21) 18 h (shut-in time, reg T/20) 12 h (shut-in time, reg T/19) 6 h (shut-in time, reg T/18)
Figura 5.1 Registros de temperatura a pozo cerrado para 24, 18, 12 y 6 h.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Pérdidas de circulación (m3/h)gradiente geotérmicoreferencia: 3°C/100 m
10 20 30 40 50
Temperatura (°C)
Prof
undi
dad
del p
ozo
(m)
6 h (shut-in time, Tsim) 6 h (shut-in time, reg T/18) 24 h (shut-in time, Tsim) 24 h (shut-in time, reg T/21)
Fig.5.2 Perfiles de temperatura de lodo simulados vs. registrados
94
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Gradiente geotérmico
Zona convectiva
Zona conductiva
LINNER 9 5/8"
TR 11 7/8"
TR 16"
TR 30"
Temperatura (°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
24 h (shut-in time , reg T/21) 24 h Tsim SFTsim
Figura 5.3 Comparación de temperaturas registradas y simuladas a 24 h de relajación térmica y
la temperatura de formación inicial (Tyac) vs. la temperatura de formación simulada (SFTsim).
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
P a l e o c e n o I n f .
B r e c h a T P K S
C r e t á c i c o M e d i o
C r e t á c i c o I n f e r i o r
J u r á s i c o S u p . T h i t .
J u r á s i c o S u p . K h m e r .
Efectoconvectivo
Modelos:
Temperatura (°C)
Prof
undi
dad
del p
ozo
(m)
SFTsim (MLM) Tascencio et al. [1994] Thassan et al. [1994] Thorner [1951] Tkritikos et al. [1988]
Figura 5.4 Comparación de la temperatura de formación simulada (SFTsim) vs. temperaturas
estabilizadas estimadas por cuatro modelos analíticos.
La figura 5.4 refleja el perfil de la temperatura de formación estática simulada, cuya
validación se fundamenta en los siguientes puntos:
95
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
1. Las ecuaciones de transferencia de calor que gobiernan el sistema pozo -
formación están planteadas matemáticamente de manera rigurosa, así como sus
condiciones de frontera, las cuales reflejan el entorno físico del pozo petrolero.
2. Se resuelve el problema directo, suponiendo que todas las variables del
problema son conocidas y por consecuencia, se obtiene una solución numérica.
3. Se aplicó un análisis de sensibilidad que consistió en valorar el efecto de los
parámetros termofísicos al modificar solo una variable y mantener constante las
demás (tabla 4.4), con lo cual se confirmó el buen comportamiento del simulador
al representar los perfiles de temperatura sin puntos de inflexión relevantes.
No obstante, la solución de un problema inverso implica considerar la premisa de que,
por tratarse de un problema mal planteado, no existe solución única del problema.
Como se mencionó en las secciones 3.6.3 y 3.6.6, el algoritmo computacional de la
versión utilizada en el MLM para resolver el problema inverso, permite evaluar los
eigenvalores y eigenvectores de la matriz Jacobiana J en la ultima iteración, lo cual se
obtiene al computar la matriz de sensibilidad Jk (ecuación 3.58), y posteriormente la
matriz Λk (ecuación 3.68) al utilizar el valor actual de Pk. Recordando las ecuaciones
mencionadas:
⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦
(P)J(P)P
TTT ; ( )⎡ ⎤Λ = ⎢ ⎥⎣ ⎦J J
Tk kdiag k
Es necesario entonces analizar 2 situaciones: La primera se refiere a determinar cual
de los parámetros de sensibilidad P (representados de forma implícita en la matriz
diagonal) inciden de manera relevante en la estimación de la temperatura de formación,
lo que puede conocerse al utilizar la descomposición de valores singulares de la matriz
implícita en . En segundo lugar, utilizar el concepto estadístico de desviación
Standard y explorar la estructura de los eigenvalores y su efecto al asociarse con los
eigenvectores de la matriz (ecuación 3.75).
TJ J Λ
TS=UΛV
96
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Estimación de las Derivadas de Fréchet
En esta sección se analiza como obtener las derivadas de Fréchet de manera eficiente, tal
que el proceso inverso pueda acelerarse. Se sabe que el problema de mínimos cuadrados
se resuelve para estimación de parámetros o para incremento en los parámetros tal que
minimice una función objetivo, donde el operador utilizado es la matriz J (matriz
Jacobiana) el cual se compone de diferentes derivadas de Fréchet de la función objetivo,
respecto a los diferentes parámetros y posiciones puntuales de la temperatura. Esto
significa que para cada iteración en el problema inverso, se deben computar esas
derivadas de Fréchet. Existen dos formas de computar las derivadas mencionadas para el
problema inverso: a) obtenerlas de forma numérica o b) al ajustar el modelo incluyendo el
ruido en la señal, ya sea con valores sintéticos o registros de temperaturas de pozo
(errores de medición incluidas). De acuerdo al inciso a, se utiliza una matriz Amxn = A56x24
donde m representa los nodos o datos del registro de temperatura y n al número de
parámetros (6 parámetros por 4 secciones del pozo), con lo que se genera una matriz
Jacobiana y que se resuelve mediante la descomposición de valores singulares. El
programa de inversión que obtiene la descomposición de valores singulares es la
subrutina SVD del paquete de software IMSL/MATH/LIBRARY, el valor numérico resultante
de los eigenvalores que forman la diagonal principal Λ de la matriz A24x24 (Anguiano, 1995)
están explícitos aunque imperceptibles en la figura 5.5.
3 6 9 12 15 18 21 241020 0
0000000000000
Variables termofísicas
5006007008009001000
12001100
130014001500160017001800
Eig
enva
lore
s (A
dim
ensi
onal
)
Figura 5.5 Eigenvalores (λ) de la matriz JTJ
97
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Los eigenvalores por si solos no tienen un significado físico, no obstante, de una
interpretación visual de la figura anterior, se aprecian tres eigenvalores pequeños
comparados con el resto. Cuando la matriz se invierte, entonces estos
eigenvalores contribuyen con un mayor peso en los eigenvectores asociados, (VΛ-1) lo
cual se muestra en la figura 5.6. El orden en que se utilizan los parámetros en SVD es
como sigue:
TJ J
Tabla 5.1 Orden de los parámetros en la subrutina SVD
Nodo Parámetro Concepto Información de análisis1 Qfuga1 Pérdidas de circulación 1 Etapa 1 del pozo2 K2 Conductividad térmica 1 Etapa 1 del pozo
3 Cp3 Calor específico 1 Etapa 1 del pozo4 M4 Viscosidad 1 Etapa 1 del pozo5 Qi5 Flujo volum. de inyección1 Etapa 1 del pozo6 D6 Densidad 1 Etapa 1 del pozo7 Qfuga7 Pérdidas de circulación 2 Etapa 2 del pozo8 K8 Conductividad térmica 2 Etapa 2 del pozo9 Cp9 Calor específico 2 Etapa 2 del pozo10 M10 Viscosidad 2 Etapa 2 del pozo11 Qi11 Flujo volum. de inyección2 Etapa 2 del pozo12 D12 Densidad 2 Etapa 2 del pozo13 Qfuga 13 Pérdidas de circulación 3 Etapa 3 del pozo14 K 14 Conductividad térmica 3 Etapa 3 del pozo15 Cp15 Calor específico 3 Etapa 3 del pozo16 M16 Viscosidad 3 Etapa 3 del pozo17 Qi 17 Flujo volum. de inyección3 Etapa 3 del pozo18 D18 Densidad 3 Etapa 3 del pozo19 Qfuga 19 Pérdidas de circulación 4 Etapa 4 del pozo20 K20 Conductividad térmica 4 Etapa 4 del pozo21 Cp 21 Calor específico 4 Etapa 4 del pozo22 M22 Viscosidad 4 Etapa 4 del pozo23 Qi 23 Flujo volum. de inyección4 Etapa 4 del pozo24 D24 Densidad 4 Etapa 4 del pozo
98
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
1
12
23
1357911131517192123
0.00E+00
2.00E-01
4.00E-01
6.00E-01
8.00E-01
1.00E+00
1.20E+00
1.40E+00
Eigenvectores
Figura 5.6 Eigenvectores (V) asociados con los eigenvalores (λ) mas pequeños
Cada parámetro Pj en la figura 5.6 se conoce en 4 nodos axiales en toda la profundidad
del pozo y se refiere a las 4 etapas de perforación, es decir, se conocen cuatro grupos
de seis parámetros. Los componentes de los eigenvectores 19, 22 y 23 son ahora los
más notables y están asociados a la influencia del caudal de fuga o pérdidas de
circulación, a la viscosidad y al caudal de inyección, (lo anterior se determinó
visualmente de evaluar el orden de los parámetros termofisicos en la matriz resultante).
Se puede mencionar entonces que los efectos de los parámetros termofísicos
mencionados anteriormente son los de mayor incertidumbre (debido a los pequeños
eigenvalores asociados), mientras que el resto de los parámetros contribuyen casi en la
misma proporción para ajustar el perfil de temperaturas.
Un problema discreto mal definido debe cumplir dos condiciones: primero, que el
número de condicionamiento sea muy grande (por tanto la matriz S este mal
condicionada y la solución sea muy sensible al error en los datos) y segundo, que los
valores propios de la matriz S disminuyan gradualmente a cero. Este segundo criterio
implica que no se puede aplicar ningún precondicionamiento a la matriz S para que esté
99
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
bien condicionada. Las dos condiciones se cumplen en nuestro problema y por tanto el
problema esta mal definido.
Para expresar esta idea de manera mas clara, nos referimos a la expresión de la
ecuación (3.66) referida al procedimiento MLM
( ) ( )ξ−
+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + Λ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
11 kP P J J J Y-T(P )
T Tk k k k k k k
( ) ( )−
+
Δ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = + ξ Λ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
1T Tk 1 k k k k k k k
vector de parametros vectoDescomposicion de valores(variables termofisicas)singulares: eigenvalores y p eigenvectores
[P P ] J J J Y T(P )
Δ
r de datos(registro de temp.) d
(5.0)
Y de expresar a J en la forma (referido a la descomposición de valores
singulares, ver sección 3.6.6), entonces la solución general de mínimos cuadrados de la
ecuación 5.0 con un parámetro de amortiguamiento
TS=UΛV
ξ =0, toma la forma: −Δ = Δ1Λ Tp V U d ,
donde Λ-1 es la matriz diagonal con elementos 1
iλ. Analizando el producto −Λ 1V , se
encuentra entonces que los pequeños eigenvalores de JTJ son ahora los elementos más
grandes en la matriz diagonal de Λ-1 al aplicar el producto, conclusión basada en que los
elementos 1
iλ multiplican a los eigenvectores asociados. De conocer el resultado
numérico de la matriz diagonal de Λ, que básicamente se refieren al conocimiento de los
parámetros desconocidos P planteados en forma matricial, fue posible estimar cual es el
impacto de cada uno de los parámetros termofísicos en la estimación del perfil de
temperaturas del yacimiento.
Estimación de varianza e incertidumbre de parámetros
Para estimar la relevancia de cada parámetro en la solución del problema inverso,
utilizamos las herramientas estadísticas, por lo que la varianza del problema se expresa
en este caso como:
100
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
( ) ( )Δ Δ=
−
T
reg reg2 T Ts
m n
(5.1)
donde es el registro de temperaturas, m es el número de temperaturas medidas
en forma vertical, n es el número de parámetros y m-n es el número de grados de
libertad del problema. La estimación de la varianza del problema nos permite obtener la
matriz varianza – covarianza de los parámetros (Anguiano, 1995) y se propone como:
( regTΔ )
( ) 12ˆcov s−
⎡ ⎤= ⎣ ⎦P TJ J (5.2)
La desviación Standard para (P)i se obtiene como ( )1
2covii
P⎡ ⎤⎣ ⎦ , al utilizar el valor de la
raíz cuadrada de los elementos de la diagonal principal de la matriz varianza
covarianza, es decir el valor numérico no negativo de los elementos de la diagonal
indicará la desviación Standard de los 24 parámetros termo físicos, con lo que se
propondrá una región finita de veracidad.
Las figuras 5.7 a 5.12 muestran gráficamente el concepto anterior referido a cada uno
de los 24 parámetros termofísicos, la sensibilidad de los resultados mas relevantes se
refieren invariablemente a los previamente identificados en el histograma de la figura
5.6. El apéndice F muestra los datos de simulación requeridos para el pozo 3007.
De resolver el problema inverso mediante la técnica MLM, se toma la última iteración y
todos los parámetros termofísicos se varían en un rango de operación real generando
una envolvente de probables valores de operación bajo el cual, el problema puede ser
resuelto. Por orden de importancia la figura 5.12 indicó que las pérdidas de circulación
tiene la incertidumbre más grande durante el proceso de ajuste del perfil de
temperaturas estáticas de la formación, situación que se incrementa en la parte
profunda del pozo, la relación que existe entre las pérdidas de circulación hacia la
formación y la inyección de fluido de perforación al pozo están operativamente ligadas,
de ahí que la figura 5.8 muestre también alta variación en los rangos de inyección sobre
todo en la región final del pozo.
101
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Se debe conocer el tipo y características de las bombas de lodos para determinar el
caudal adecuado. Un caudal excesivo puede provocar derrumbes, agujeros
erosionados, disminución en la vida de la barrena y aumento en la densidad equivalente
de circulación. Un gasto bajo o deficiente ocasiona limpieza ineficiente del agujero,
remolienda de recortes, embolamiento de la barrena y precipitación de recortes. De ahí
que el valor promedio sugerido en la figura 5.8 sería el apropiado para procesos de
optimización.
La viscosidad del fluido es una de variables más importantes que afectan el proceso de
transferencia de calor convectivo durante los procesos de perforación de un pozo y sus
efectos se presentan en la figura 5.9, la última etapa de perforación se trabajo con lodo
de baja densidad como se indicó en la figura 5.7, por lo que se esperaría que la
viscosidad en esa región debiera mantener bajas tasas en condiciones de circulación, la
viscosidad mas alta del fluido (fluido no newtoniano) tiende a aislar la región donde esta
la tubería de perforación, originado por la disminución del coeficiente convectivo de
transferencia de calor. Como resultado, el fluido frío no logra calentarse rápidamente
(como a bajas viscosidades) por el efecto térmico de la formación hacia el pozo.
El coeficiente convectivo de transferencia de calor (implícito en el número adimensional
de Nusselt) depende de la viscosidad del fluido de manera compleja. Análisis detallados
de las ecuaciones asociadas con el cálculo de coeficientes convectivos han mostrado
que conforme la viscosidad del fluido se incrementa, el valor del coeficiente de
transferencia de calor disminuye. Además, es menos efectivo para remover calor de la
formación que con fluidos de baja viscosidad (como el agua). Por lo tanto, la figura 5.9
muestra que los valores de viscosidad en la última etapa de perforación tienen un
margen muy amplio, por lo que no es conveniente tomar una decisión a partir de esta
Figura para buscar correlaciones con los demás resultados mostrados. Se sabe que
las correlaciones numéricas para la estimación de los coeficientes de transferencia de
calor tienen una fuerte dependencia con las viscosidad del fluido y su variación con la
temperatura, por lo que sería necesario inspeccionar sus efectos en los parámetros de
flujo adimensional como Reynolds, Prandtl, Nusselt y Peclet, Santoyo (1997).
102
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
3000
2500
2000
1500
1000
500
0800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
Valor promedio Valor mínimo Valor máximo
Densidad (kg/m3)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
Figura 5.7 Variación de la densidad durante el problema inverso
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Valor promedio Valor mínimo Valor máximo
Gasto (gpm)
Pro
fund
idad
(m)
Figura 5.8 Variación del gasto durante el problema inverso
103
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
3000
2500
2000
1500
1000
500
018 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
Valor promedio Valor mínimo Valor máximo
Viscosidad (cp)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
Figura 5.9 Variación de la viscosidad durante el problema inverso
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
3000
2500
2000
1500
1000
500
01800 2100 2400 2700 3000 3300 3600
Valor promedio Valor mínimo Valor máximo
Cp (J/Kg°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
Figura 5.10 Variación del calor específico durante el problema inverso
104
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
3000
2500
2000
1500
1000
500
00.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Valor promedio Valor mínimo Valor máximo
Conductividad térmica del lodo (w/m°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
Figura 5.11 Variación de la conductividad térmica durante el problema inverso
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
3000
2500
2000
1500
1000
500
00 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Valor promedio Valor mínimo Valor máximo
formación circundante
Pérdidas de circulación (m3)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
Figura 5.12 Variación de las pérdidas de circulación durante el problema inverso
105
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Una matriz de correlación es necesaria para mostrar la dependencia estadística entre
los diferentes parámetros del modelo, su representación matemática es como sigue:
( )( )
( ) ( )1 1
2 2
cov
cov covij
ij
jj ii
Pcor P
P P
⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(5.3)
La solución de la ecuación (5.3) indicará en forma matricial que valores numéricos son
los mas cercanos a la diagonal principal (con valores unitarios), lo que implicaría
determinar la codependencia de parámetros y decidir si la variación de un parámetro
referido por ejemplo al caudal de fuga tiene una relación estrecha con otro parámetro
referido a la densidad, por ejemplo.
5.2 Método inverso al aplicar un Algoritmo de Control (PI).
Este método de simulación para obtener perfiles de temperatura de formación estática
en un pozo petrolero, se basa en un algoritmo de control (PI) que resuelve el problema
inverso (Espinosa, 2005). Similar al MLM, el cual resuelve numéricamente en su
primera fase el problema directo de transferencia de calor (suponiendo un perfil inicial
de temperatura de formación para arrancar la simulación), utiliza como herramienta
computacional el programa GEOTRANS desarrollado por García et al. (2000), es decir,
el problema directo es resuelto, bajo la suposición de que todas las variables
termofísicas y de transporte del pozo son conocidas, así como las condiciones de
frontera y condiciones iniciales (supuestas).
El algoritmo de control PI se basa en minimizar el error entre las temperaturas medidas
y las temperaturas obtenidas numéricamente (simuladas). El código numérico auxiliar
GEOTRANS que resuelve el problema directo, incluye las formulaciones matemáticas
que proporcionan la interacción dinámica de la temperatura simulada, tal que permita
efectuar la comparación entre las temperaturas de registro conocidas y obtenga el error
mínimo mediante un proceso iterativo.
106
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Los algoritmos de control se utilizan en procesos industriales desde los años 50’s, ya
que proporciona un excelente control de operación en planta a pesar de la variedad de
características dinámicas que implican un proceso. Como el nombre lo sugiere, el
algoritmo PID en su versión completa consiste en tres modos básicos: El modo
Proporcional, el modo Integral y el modo Derivativo. Es cuestión del experto decidir que
modo aplicar: P, I ó D y entonces especificar los parámetros para cada modo.
Generalmente se utilizan tres algoritmos básicos: P, PI ó PID.
En este trabajo, el algoritmo de control para la estimación de la temperatura de
formación estática se basa en un controlador Proporcional Integral PI, que relaciona a la
temperatura real registrada y la simulada, así como la temperatura inicial sugerida como
datos iniciales. El modo Derivativo actúa en las mediciones y no en los errores de ajuste
del modelo, por lo que no es considerado aquí como modelo base, ya que durante la
solución del problema directo las temperaturas medidas por registro fueron previamente
analizadas. Así, el control de la temperatura se propone en un tipo proporcional y uno
integral y su representación matemática es de la forma:
1( ) ( )PI
PI K e t e t dtτ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦∫
(5.4)
donde Kp es la ganancia proporcional obtenida por el modelo y Iτ es el tiempo integral,
parámetros que son ajustados por el control PI.
Esta propuesta representa una extensión de la idea original de Espinosa (2005), el cual
consideró únicamente la acción Proporcional. Ahora la propuesta considera también la
acción Integral. En términos generales la nueva temperatura propuesta se basa en la
siguiente ecuación recursiva
( , , )p Ie τKT = T (5.5)
donde es la señal de error, Kp es la contribución proporcional para el ajuste de la
temperatura tal que ayuda a reducir el error pero no lo elimina y
e
Iτ , que es el modo
107
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
integral agregado que corrige cualquier compensación del error que pueda ocurrir entre
el valor de temperatura deseada (setpoint) y el valor de la temperatura medida.
La idea fundamental es que la temperatura simulada (Tsim) siga a la temperatura real
registrada (Treg), para ello propone una nueva temperatura de formación hasta que un
error predefinido sea un valor aceptable desde un punto de vista de la ingeniería.
La justificación de usar un esquema del tipo PI en lugar de un esquema P como lo hizo
Espinosa (2005), se muestra en forma esquemática en la figura 5.13, en donde la
acción proporcional utilizada en un modelo P mantiene un comportamiento próximo a
una Treg (setpoint) sin llegar a ajustarse, mientras que al incorporar la acción integral, el
error recurrente en el modelo P es minimizado al utilizar el parámetro Iτ , tal que permita
que la convergencia en el modelo se incremente linealmente y que la respuesta del
controlador PI sea mas acertada.
Tsim
tiempo0 Iτ
Temperatura de magnitudproporcional Kp e(t).Controlador P
Respuesta del controladorPI
Treg
Tsim
tiempo0 Iτ
Temperatura de magnitudproporcional Kp e(t).Controlador P
Respuesta del controladorPI
Treg
Figura 5.13 Respuesta global del algoritmo PI
Para obtener una mejor aproximación de la temperatura simulada (Tsim) que se mostró
en la figura 5.13, se define un error instantáneo entre la temperatura registrada (Treg) y
la temperatura simulada (Tsim). Lo cual se expresa como:
( )e(t) = −reg simT T (5.6)
El propósito de la ecuación (5.6) es la de disminuir el error entre la temperatura
simulada y la registrada al reducir la distancia entre ambas.
108
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Es conveniente identificar los efectos del error en la parte proporcional e integral de la
ecuación (5.4). Así, el error referido a la acción proporcional actúa directamente
conforme el error se incrementa, esto ocasiona problemas de estabilidad en la
convergencia del algoritmo. Esta acción Proporcional se comporta como una línea recta
con una pendiente igual a la ganancia Kp y se intercepta en cero con la ordenada del
error, esto se muestra en la figura 5.14. Se debe mencionar que el término de la acción
Proporcional por si sola genera un error estacionario y oscilante, tal que el error de la
ecuación (5.6) se acerca solo en la vecindad del valor original y la convergencia del
algoritmo daría resultados de baja aproximación (Controlador P).
Acci
ónpr
opor
cion
al
pendiente = Kp
Tiempo
Error e(t)
Acci
ónpr
opor
cion
al
pendiente = Kp
Tiempo
Error e(t)
Figura 5.14 Funcionamiento de la acción proporcional
Por esta razón el objetivo de agregar el término referido a la acción Integral es la de
compensar el error y obtener un mínimo, donde el parámetro de ajuste es el tiempo
integral Iτ que es una constante de tiempo del proceso, asignado durante el proceso
iterativo y controlado en función del periodo de paro ó circulación del fluido.
El comportamiento de la acción Integral se indica en la figura 5.15. Para un error
constante, la convergencia en el modelo se incrementa linealmente y se indica en la
pendiente con un valor de ( )p
I
k e tτ
Tiempo
pendiente = I
eτpk t( )
Acci
ónin
tegr
al
Tiempo
pendiente = I
eτpk t( )
Acci
ónin
tegr
al
Figura 5.15 Funcionamiento de la acción integral
109
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
El error proporcionado por la parte integral durante el proceso iterativo se plantea como:
tee
dtde ttt
Δ−
≈Δ+
(5.7)
Se utiliza el subíndice para indicar que esta asignado en un tiempo anterior, mientras
que t indica que esta localizado en un tiempo actual.
t
t+Δ
Esta teoría matemática se aterriza para estimar una temperatura controlada Tc, al
efectuar la comparación entre las temperaturas registradas y las temperaturas
simuladas, lo cual se hace automáticamente por medio del algoritmo de control PI hasta
lograr un ajuste satisfactorio entre ambas. Cuando se tiene una comparación
satisfactoria, entonces se toma la última temperatura de formación calculada por el
algoritmo como la predicción final de la temperatura del yacimiento.
Implementación del control PI
La diferencia entre las temperaturas registradas y simuladas las cuales se definen
conforme la ecuación de error (5.6), retroalimentan el controlador PI y generan una
“acción de control” tal que permita encontrar el perfil de temperaturas de formación
estática del pozo bajo análisis. Aplicando de forma discreta el control PI (Ästrom, 1995),
el proceso iterativo con la acción Proporcional Integral puede representarse como: +Δ+ = + t tk k
for forT T PI1 (5.8)
donde
d tdt
+Δ ⎛ ⎞= + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠
t t t PIPI PI ;
e e(t)τ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
pp
I
KdPI dKdt dt
(5.9)
(5.10)
Aquí representa un valor nuevo en la iteración y Δt es el incremento del tiempo.
Estas ecuaciones se aplican para todos los nodos de la malla axial en donde se tienen
valores puntuales del registro de temperatura para cada iteración k+1.
+kforT 1
110
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Algoritmo de control PI
La teoría de control utilizada para estimar la temperatura de formación estática se
menciona a continuación:
1. La condición inicial se asume conocida al inicio del proceso de simulación y las
ecuaciones aplicadas se establecieron en (3.3) a (3.9).
2. El termino kforT de la ecuación (5.8) y el termino Tsim de la ecuación (5.6), se
obtienen del modelo numérico para la solución del problema directo
3. El error instantáneo dado en la ecuación (5.6) se computa.
Si 0e ε≤ no se satisface, un nuevo valor de Tfor se calcula de acuerdo a la
ecuación (5.8).
0ε es la tolerancia, considerada en este trabajo como 5°C.
4. La Tfor calculada en el paso 2, por ejemplo a una iteración k+1, se reasigna a la
Tfor anterior, es decir +=k k y el proceso se reinicia desde el paso 2 hasta que
0e
for forT T 1
ε≤ se satisfaga, lo que implica que el sistema llego a una convergencia
aceptable.
La idea básica del proceso de ajuste se muestra en la figura 5.16, para lo cual se debe
disponer del mismo orden de datos de campo (temperaturas de registro) y de datos
calculados (temperaturas simuladas) para hacer la comparación puntual de ambas
temperaturas. El caso de estudio se refiere de igual forma al pozo 3007 y la información
operativa ya se indicó en secciones anteriores.
111
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
INICIO
Código numérico
SI
NO
Informaciónpozo petrolero
Problema directoObtiene:
Tsim
Treg( ) j j
e t = reg simT - T
ResultadosTfor
Nueva temperatura de
formaciónTfor(k)=Tfor(k+1)
0e ε≤
EcuacionesTransferencia de calor
C.F. Y C.I.
e e(t)τ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
pp
I
KdPI dKdt dt
t+Δt tde e edt t
−Δ
kforT
+ Δ+ = + t tk kfo r forT T P I1
INICIO
Código numérico
SI
NO
Informaciónpozo petrolero
Problema directoObtiene:
Tsim
Treg( ) j j
e t = reg simT - T
ResultadosTfor
Nueva temperatura de
formaciónTfor(k)=Tfor(k+1)
0e ε≤
EcuacionesTransferencia de calor
C.F. Y C.I.
e e(t)τ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
pp
I
KdPI dKdt dt
t+Δt tde e edt t
−Δ
kforT
+ Δ+ = + t tk kfo r forT T P I1
Figura 5.16 Algoritmo de control PI para resolver el problema inverso.
5.2.1 Resultados PI.
El modelo PI tomó en su primera fase los resultados de las temperaturas del lodo de
perforación y los simuló mediante el código numérico, por lo que los perfiles del lodo
resultantes tanto para el modelo MLM y el PI se desarrollan bajo el mismo esquema,
quedando la segunda fase referida al código de inversión mostrado en la figura 5.16 la
que generó los resultados por el algoritmo PI y cuyos resultados se muestran a
continuación. La figura 5.17 muestra la comparación de temperaturas registradas a 24
horas del registro T/21 y la simulada por el código numérico a las mismas condiciones,
su comportamiento a lo largo del pozo es aceptable, siendo mas exacta en la región
somera del pozo y con una diferencia de temperaturas mas calientes para el perfil
simulado respecto al registro T/21 en la última etapa de perforación.
112
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Además, se aprecia que el perfil de temperatura de formación simulado SFT tiende a
ser menor que la temperatura proyectada por el gradiente de temperatura hasta la
mitad de la profundidad del pozo, después el decaimiento es mas notorio y se mantiene
con esa tendencia hasta la profundidad total. La mayor diferencia se acota en la
profundidad de 2300 a 2750 m, región que sufrió pérdidas de circulación de acuerdo a
los valores mostrados en la figura 5.2, para después restablecerse gradualmente.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Temperatura (°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
24 h, shut-in time, reg T/21 24 h Tsim SFTsim (PI) Gradiente 3°C/100 m
Figura 5.17 Estimación de la temperatura estática de la formación (SFT sim) mediante el algoritmo
PI
En la figura 5.18 se muestra del lado izquierdo el asentamiento de las tuberías de
revestimiento del pozo 3007, lo anterior con efecto de apreciar las profundidades a las
cuales hacen referencia los valores puntuales de las temperaturas de fondo registradas
y que sirven para determinar la temperatura de formación estática mediante el método
de Horner y el método de la esfera, métodos utilizados de manera práctica y recurrente
para estudios térmicos en pozos tanto petroleros como geotérmicos.
Se aprecia también de la misma figura que la temperatura de formación estática
simulada (SFT sim) es muy cercana en el primer punto a los métodos analíticos, mientras
que los valores Horner a la profundidad de asentamiento de 11 ⅞” y 9 ⅝” se alejan de
la correspondiente a la temperatura simulada, lo anterior es consistente, en virtud de
113
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
que la zona profunda del pozo presentó pérdidas de circulación originando un efecto
térmico convectivo mas pronunciado que en la parte somera del pozo. A diferencia de
los métodos analíticos que proponen temperaturas de fondo de pozo en donde solo se
requiere de dos valores de temperatura estática tomados a la misma profundidad pero a
diferentes periodos de reposo, la temperatura de formación estática simulada, nos
permite conocer con mayor certeza los valores de temperatura en toda la trayectoria del
pozo.
Para complementar la información anterior, la figura 5.19 muestra el valor del gradiente
geotérmico de referencia (3°C/100m) para efectuar la simulación de la SFTsim y lo
compara con los correspondientes gradientes geotérmicos estimados mediante el
método de Horner. En la parte profunda del pozo el método de Horner indica un
gradiente de 0.005°C/m, valor que difiere notablemente del gradiente de referencia,
motivo que origina la divergencia entre el perfil de temperatura simulado y el punto
estimado por el método de Horner.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
LINNER 9 5/8"
TR 11 7/8"
TR 16"
TR 30"
Temperatura (°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
24 h (shut-in time, reg T/21) 24 h Tsim SFTsim (PI) Horner [1951] Ascencio et al. [1994]
Figura 5.18 Comparación de la temperatura de formación estática simulada vs. métodos
analíticos
114
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
3000
2500
2000
1500
1000
500
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Gradiente geotérmicoreferencia: 0.03 °c/m
0.005 °c/m
0.033°C/m
0.030°C/m
Temperatura (°c)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
SFT sim Horner [1951]
Figura 5.19 Gradiente geotérmico de referencia vs. los estimados por el método de Horner
5.3 Método inverso al aplicar un Sistema de Inteligencia Artificial (IA).
Un modelo cognitivo de aprendizaje fue utilizado para resolver un problema de
transferencia de calor inversa y estimar temperaturas de formación estática al tomar
como referencia los registros geofísicos de temperaturas de un pozo petrolero. Un
modelo cognitivo es la representación simplificada de la realidad, la esencia del modelo
es ayudar en la toma de acciones apropiadas con la ayuda del conocimiento humano
bajo ciertas incertidumbres, la cual incorpora el aspecto deliberativo a partir de un
razonamiento subjetivo del experto (lógica difusa) con respecto a la toma de decisiones.
La inteligencia artificial se combina con una máquina de aprendizaje que conforme se le
almacene mayor información, el problema y su solución puede mejorarse. La figura 5.20
muestra un modelo cognitivo de aprendizaje.
115
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Nueva información
Conocimiento previo: En forma de red organizada
Recuperación delconocimiento
específicamente aprendido
Elaboración de conexiones entre y que aumente la correlación
entre la nueva información y la información a priori
Aprendizaje, toma lugar cuandola nueva información comienza aformar parte del conocimiento de
la red. Cuando se integra, el nuevo conocimiento empieza a ser significativo
y útil. Nuevos conocimientos pueden ajustarse a la red o modificarla.
Construcción de conocimiento noaprendido específicamente
pero inferido del conocimiento dered
Conectividad-comprensión-
Nueva información
Conocimiento previo: En forma de red organizada
Recuperación delconocimiento
específicamente aprendido
Elaboración de conexiones entre y que aumente la correlación
entre la nueva información y la información a priori
Aprendizaje, toma lugar cuandola nueva información comienza aformar parte del conocimiento de
la red. Cuando se integra, el nuevo conocimiento empieza a ser significativo
y útil. Nuevos conocimientos pueden ajustarse a la red o modificarla.
Construcción de conocimiento noaprendido específicamente
pero inferido del conocimiento dered
Conectividad-comprensión-
Figura 5.20 Modelo cognitivo de aprendizaje
Los sistemas de enseñanza inteligente son sistemas que incorporan técnicas de
inteligencia artificial en su desarrollo con el propósito de emular una enseñanza
personalizada.
La computación basada en agentes representa una nueva perspectiva para las ciencias
de la computación y específicamente para la inteligencia artificial. Es una nueva teoría
que ha innovado el análisis, diseño e implementación de los sistemas de software
(Jennings, 2000).
Un problema que tiene esta metodología es que existe poco sobre la forma de realizar
este análisis y diseño, básicamente se basa en la experiencia del diseñador y el
dominio del problema, aunque existen herramientas bien definidas que pueden
contribuir al desarrollo del análisis y diseño (d’Inverno y Luck, 2001; Ryder y Reeding,
1990; Laureano y de Arriaga, 2000).
116
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
El punto importante en esta nueva teoría es que puede modelar conductas reactivas
basadas en agentes y con ello problemas complejos del mundo real, donde esto
significa que es software especializado ubicado en un mundo cargado de incertidumbre.
Además estos agentes cuentan con un grado de autonomía que les permite alcanzar
sus objetivos.
El análisis requiere de la combinación tanto de un modelo matemático como de un
modelo cognitivo.
Modelo matemático: se basa en un grupo de ecuaciones diferenciales parciales que
describen un perfil de temperaturas transitorias en dos dimensiones y que previamente
se indicaron en las ecuaciones (3.3) a (3.9).
Modelo Cognitivo: El primer paso es el análisis de los diferentes parámetros que se
involucran en la decisión del experto (referido a la arquitectura del programa). Con esos
parámetros se diseña el modelo mental que el experto utilizará para tomar una decisión.
Posteriormente, un grupo de datos ficticios (lógica difusa) se consideran valores
constantes. La existencia de parámetros modificados en el modelo requiere de la
construcción de una arquitectura lógica del programa que permita combinar la decisión.
Los datos del proceso se definen como:
1) Un grupo de temperaturas existentes (TMod), que serán modificadas conforme el
proceso iterativo se aproxime a la solución. Las temperaturas se denotan en tres
formas: Modelo propuesto (al inicio del proceso), modelo modificado (durante las
iteraciones hasta converger) y temperaturas resultantes (como resultado del
proceso).
2) Un grupo de temperaturas registradas. Estos son datos de campo del pozo
petrolero, información que mejora el problema ya que no utiliza datos sintéticos.
3) Un grupo de temperaturas simuladas. Datos que se obtienen del modelo
matemático previamente discutido y que representan el ambiente virtual. La
figura 5.21 muestra la arquitectura del modelo.
117
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Decisión experta
Modelo matemático(ambiente/virtual)
Modelomodificado
Temperaturade formación
Modelo propuesto(utilizado una vez)
Proceso iterativo de acuerdoa los parámetros propuestos
Geometría del pozoRegistros geofísicosProps. termo físicas EDP, CI
Función S para modelardiferencia de temperaturas
Decisión experta
Modelo matemático(ambiente/virtual)
Modelomodificado
Temperaturade formación
Modelo propuesto(utilizado una vez)
Proceso iterativo de acuerdoa los parámetros propuestos
Geometría del pozoRegistros geofísicosProps. termo físicas EDP, CI
Función S para modelardiferencia de temperaturas
Figura 5.21 Diagrama de datos para obtener un perfil de temperaturas
Laureano-Cruces y Espinosa-Paredes (2005) establecieron dos agentes: un autónomo
y uno no autónomo, lo que implica una solución distribuida del problema al encontrar el
perfil de temperaturas resultantes del modelo, su modelo considera diferentes
escenarios que puedan presentarse en el ambiente virtual tal que evalué y ofrezca
respuestas emergentes al sistema.
El perfil de temperaturas del pozo petrolero se modeló como la diferencia entre las
temperaturas simuladas por el ambiente virtual y las temperaturas registradas, bajo la
premisa de la percepción humana. Es decir, en el ejemplo del pozo petrolero el valor de
ese error es de 3° C de temperatura, lo cual es normalmente aceptable por expertos en
el campo. En otras palabras, la diferencia puede no afectar la decisión técnica hecha
por un experto.
118
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Mientras que los expertos trabajan con un rango de valores que dependen de
diferencias absolutas entre dos valores de temperatura Tsim y Treg (denotado como
variación numérica en la figura 5.22), la diferencia fue clasificada como: muy pequeño,
pequeño, medio, grande y enorme. El objetivo fue el de determinar un valor de
incremento/decremento para ajustar la Tsim. En donde el valor de Tsim es parte del
proceso de convergencia.
De acuerdo a la experiencia del experto, una función S fue utilizada para modelar el
grupo de diferencias de temperaturas en un intervalo cerrado de [3,65]. La decisión de
la magnitud de la variación numérica fue implementada mediante un grupo de valores
ficticios que reflejen la distribución experta. La determinación de la función asociada S
fue hecha mediante un experimento estadístico llamado método general (Li y Yen,
1998) en el cual se le cuestiona a diez expertos acerca de que entienden por intervalo
de diferencia de temperaturas (muy pequeño, pequeño, medio, grande y enorme). Los
niveles utilizados para caracterizar la variación numérica corresponden al siguiente
rango:
Variación numérica:
muy pequeño: 3-16,
pequeño: 17-28,
medio: 29-40,
grande: 41-52 y
enorme: 53-65.
La figura 5.22 muestra la distribución de la función S para éste caso. Una vez que el
valor de S se obtiene, el experto clasifica la variación numérica con el propósito de
establecer un factor de veracidad. El resultado final es un valor que represente el grado
utilizado para ajustar la temperatura inicial (Tsim) como decremento o incremento en el
caso que el pozo sea enfriado (proceso de circulación) o calentado (proceso de paro),
respectivamente.
119
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 10 20 30 40 50 60 7
Variación numérica (C)
Fact
or S
0
Figura 5.22 Función S para modelar diferencias de temperaturas
De acuerdo a la clasificación de la variación numérica, el factor de veracidad puede
tomar los siguientes valores:
Factor de veracidad:
muy pequeño: 3,
pequeño: 15,
medio: 20,
grande: 25 y
enorme: 35
Como ejemplo, si la diferencia entre Tsim y Treg es 65, el correspondiente valor de S es 1
y el valor de incremento/decremento utilizado para afectar a Tsim es 35. Una vez que la
variación numérica se caracteriza mediante el valor de S, el valor de
incremento/decremento utilizado para enfriar o calentar el pozo se establece al
multiplicar el valor de S por el factor de veracidad.
120
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
5.3.1 Resultados IA.
Para estimar la temperatura de formación el nivel utilizado para caracterizar la variación
numérica corresponde al rango: muy pequeño: 3-16, sin embargo; durante el proceso
iterativo la variación numérica oscila en el extremo superior del rango, por lo que el
factor de veracidad toma un valor de incertidumbre entre valores mínimos de 15
(pequeño) y 20 (medio).
La figura 5.23 muestra la estimación de la temperatura de formación SFTsim (IA) y toma
como referencia el gradiente geotérmico de 3°C/m, para llegar a este resultado el
modelo determinó que en la parte profunda del pozo había una máxima diferencia de
temperaturas entre la medida y la simulada de 17°C, un rango muy alto en el proceso
de convergencia, esto se debe probablemente a que el modelo no identifica que la
región con pérdidas de circulación implica además de un disturbio térmico importante,
un periodo de circulación mas prolongado, debiendo aislar esa región para seccionar el
análisis en 2 etapas, una con un valor máximo de diferencia de temperaturas sin
pérdidas de circulación y otro con el escenario contrario. Sin embargo el código del
programa esta fuera del alcance del presente proyecto.
El modelo IA implicó además, alimentar una base de datos referidos al registro de
temperaturas del pozo, de manera que inicialmente se cargaron registros geofísicos de
pozos vecinos, el resultado fue incierto, ya que se obtuvo un perfil térmico de la
temperatura de formación inicial pero para todo el campo, lo cual es impreciso, ya que
la información litológica y de perforación de cada pozo debe ser considerada para un
modelo global que estime la temperatura de formación inicial. Propuesta que puede ser
una continuidad de este proyecto. Finalmente se decide utilizar los perfiles térmicos
obtenidos por los modelos MLM y PI como base de datos y se desarrolla la simulación
IA.
121
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
La conclusión anterior no implica que el resultado sea desfavorable, ya que la decisión
del experto esta en función de conocimiento previo del problema. De manera que el
comportamiento del perfil de temperaturas resultante fue apropiado, ya que forma parte
de una envolvente de resultados probables y que en la figura 5.24 se complementa, en
ésta imagen se muestra los comportamientos de la temperatura de formación estática
(SFT) modelada mediante los tres métodos inversos:
PI: algoritmo de control Proporcional Integral,
IA: algoritmo de Inteligencia Artificial y
MLM: Método de Levenberg Marquardt.
Además, se muestra la temperatura estabilizada estimada por diferentes autores y que
previamente se plantearon en la figura 5.4. La figura 5.24 muestra visiblemente que los
tres modelos del problema inverso mantienen comportamientos similares, a excepción
del modelo de inteligencia artificial que en la parte profunda indica valores térmicos mas
fríos que el resto, sin embargo la aplicación del modelo en la solución del problema de
transferencia de calor inversa es exitoso.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Gradiente geotérmico
Temperatura (°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
SFTsim (IA)
Figura 5.23 Estimación de la temperatura de formación mediante el modelo cognitivo de
aprendizaje
122
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Temperatura (°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
SFT-PI SFT-IA SFT-MLM Asencio et al. Hassan et al. Horner Kritikos et al.
Figura 5.24 Temperaturas estáticas de formación estimadas por tres métodos inversos
5.4 Efectos de la generación de calor por la barrena. Los análisis inversos permiten como ya se mencionó, la estimación de una condición
inicial o de frontera desconocida. De manera que una vez que se conoce el perfil de
temperaturas en cada una de las cinco regiones bajo análisis, es posible ahora explorar
una nueva incógnita en el balance de calor para estimar el efecto de un término fuente
de calor, sin embargo el análisis que se presenta es para profundidad constante sin
avance de perforación. Así, la energía generada por fricción de la barrena y entregada
al fluido de perforación durante la circulación, es un término fuente que se aplica para la
región 1.
Para su estimación se utiliza la información obtenida mediante mediciones de
temperatura transitoria que se toman en la posición z=zmed en los tiempos ti, i=1,2,…,I.
Nuevamente, para la solución del problema inverso, se considera la función
desconocida de generación de calor S” parametrizada en la siguiente forma lineal:
=∑ j j
1S" = PC (t)
N
j (5.11)
123
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
donde Pj son los parámetros desconocidos, Cj(t) son funciones de prueba conocidas y
se tiene N parámetros definidos. Si se considera una aproximación polinomial con 5
parámetros para la función de prueba:
−= ( 1)C ( ) j
i t t (5.12)
Sustituyendo (5.12) en la expresión (5.11), para N=5
= ∑N
2 3j j 1 2 3 4 5
j=1" PC (t)=P +P t+P t +P t +P tS 4
(5.13)
El problema dado por la ecuación (3.10) con S” desconocido pero parametrizado por la
ecuación (5.13) es un problema inverso de conducción de calor en el cual los
coeficientes Pj serán estimados, e integrados en la solución. La ecuación (3.10) queda
en forma general como:
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 21 1 1 1 1
1 p1 z1 1 12 2
T T T k TC v S" k kt z r r r
1Tz
(5.15)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤ρ + + = + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
22 3 41 1 1 1 1
1 p1 z1 1 2 3 4 5 1 12 2
T T T k TC v P +P t+P t +P t +P t k kt z r r r
21T
z
(5.15)
Después de transformar la ecuación (5.15) en una ecuación discreta mediante la
técnica de diferencias finitas en forma implícita y de intercambiar los operadores
diferenciales por la aproximación de diferencias finitas, se obtiene una ecuación
algebraica no lineal que se resuelve mediante técnicas iterativas. La solución numérica
implicó esta vez, agregarle el término S” al vector de constantes D de la ecuación (C.4)
del apéndice C. El resto de las ecuaciones permanece sin cambios. Transcribiendo la
ecuación del apéndice C que se modificó:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ ρ⎝ ⎠⎝ ⎠
t t1 1 1j 1, j 2 , j2 2
in j in 1 p1
h k k tD T 2 2 3 T Sr z r C
" (5.16)
El siguiente paso es determinar los valores de los parámetros Pj, la técnica inversa del
MLM lo aborda y el procedimiento se mostró en la figura 3.5.
124
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
Como resultado, el calor agregado en términos de temperatura se muestra en la figura
5.25, suponiendo una temperatura del fluido a la entrada del pozo de 22°C y simulando
un periodo de circulación de 10 h, se aprecia que el perfil dinámico de la temperatura
dentro del pozo petrolero tiene un efecto térmico mayor cuando existe una contribución
provocada por la fricción de la barrena durante la perforación. La diferencia térmica
entre los valores simulados con efecto del calor generado por la barrena y sin efecto,
son del orden de 6.5°C @ 1920 m, 7°C @ 2550 m y 8.9°C @ 2845 m. En periodos de
paro (sin avance de perforación), el calor generado por la barrena no contribuye de
manera significativa, ya que en esas circunstancias las condiciones del pozo deben
mantenerse estables circulando lodo para evitar problemas de pegadura de la tubería
por presión diferencial o bien para controlar la estabilidad del agujero si no hay tubería
de revestimiento.
Sin embargo se sabe que en la última etapa de perforación, el pozo exhibió pérdidas de
circulación hacia la formación, por lo que el efecto convectivo entre el pozo y la
formación contribuye a que el perfil de temperatura en la parte profunda se incremente
aún más de su valor original. El análisis se presentó para la ecuación diferencial parcial
de la región 1, de manera que cuando el proceso de transferencia de calor continua
hacia la región anular y posteriormente hacia la formación, el efecto térmico de la
barrena deja de ser un factor relevante para el caso particular que nos concierne
referido a la estimación de la temperatura inicial de la formación. Sin embargo el estudio
particular presentado para determinar el efecto térmico de la barrena pudiera
extenderse para determinar efectos de desgaste prematuro en las diferentes
aleaciones de barrenas.
125
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Fluido entra @ 22°C
Temperatura en la tubería de perforación (°C)
Pro
fund
idad
del
poz
o (m
)
Con efecto del calor generado por la barrena Sin efecto del calor generado por la barrena
Figura 5.25 Efecto térmico generado por la barrena durante el periodo de circulación.
5.5 Comentarios finales.
El sistema estudiado comprendió el sistema del pozo (tubería de perforación y región
anular) la interfase pozo formación y el sistema formación que rodea al pozo. En ambos
sistemas se consideraron las formas de trasporte calor por conducción y/o convección.
La formación (rocosa, arcillosa) se modeló considerando un medio poroso y se aplicó
un modelo en equilibrio termodinámico con pseudo propiedades o de propiedades
efectivas. El concepto de medio poroso nos permitió aproximar los fenómenos
relacionados con pérdidas de fluido de perforación del pozo hacia la formación, el cual
tiene un impacto importante en los resultados encontrados. El acoplamiento desde el
punto de vista térmico entre el sistema pozo-formación se llevo a cabo con las
condiciones de frontera entre la formación y el ánulo y el ánulo con la tubería de
perforación.
Para el desarrollo de este sistema se realizó la investigación necesaria para estudiar los
fenómenos de transporte de masa y energía relacionados con el proceso de pérdidas
de circulación, de manera que previo a la selección del pozo candidato a evaluar, se
126
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
analizaron registros de temperatura de los pozos petroleros concentrados en esa
misma plataforma; se observó que en todos los pozos hubo presencia de pérdidas de
circulación y que el comportamiento térmico era complejo en todos los casos. El análisis
dependió de un gran número de variables y efectos, por lo que se pone de manifiesto
que un simulador es una herramienta limitada ya que para el caso de los fluidos, no se
cuenta con una caracterización adecuada de las propiedades de los lodos y cementos,
ni de la variación de éstas con la temperatura en todas las etapas de perforación.
Los resultados más relevantes que obtenemos con estos métodos aplicados a un pozo
petrolero mexicano se resumen a continuación:
Primero, se efectúa una intercomparación de métodos simples contra métodos de
simulación inversa, el resultado fue el esperado, que tanto los métodos simples
conductivos como uno convectivo son limitados en su análisis al no considerar las
perdidas de circulación, no utilizan un modelo en 2D y no requieren información de las
variables termofísicas, entre otros. Estas soluciones analíticas han sido ampliamente
aceptadas en la industria geotérmica y petrolera, no obstante son modelos simplificados
y por lo tanto sus soluciones son de tipo lineal (puntuales) y no incluyen los procesos de
transporte como función de una variable independiente espacial, por lo que sus
soluciones generalmente no contabilizan de forma adecuada las complejidades del
problema.
La figura 5.4 mostró la comparación de la temperatura de formación simulada (SFTsim)
vs. las temperaturas estabilizadas estimadas por los modelos analíticos mencionados.
Entre los modelos conductivos, el modelo de Ascencio et al. (1994 y 2006) con una
geometría esférica y flujo radial mostró la mejor aproximación respecto a la SFTsim, muy
próximo a sus valores el modelo de Horner (1951) con geometría cilíndrica y flujo radial
se superpone en el punto analizado a profundidades someras y se separa casi apenas
perceptible en la región profunda donde los efectos convectivos se presentaron debido
a las pérdidas de circulación, finalmente el modelo propuesto por Kritikos et al. (1988)
es el de mayor discrepancia respecto a los anteriores. Por su parte, el modelo de
Hassan et al. (1994) quien desarrollo una extensa teoría de flujo de calor basada en los
127
Capitulo 5 Métodos de solución del problema inverso y resultados
procesos de intercambio de calor transitorio que ocurren entre el lodo y la formación,
fue el que tuvo la mejor aproximación, mejorando a los modelos puramente conductivos
y acercándose mas al propuesto por la SFTsim.
Finalmente, los perfiles dinámicos propuestos por las técnicas de inversión son mas
apropiados ya que consideran: La complejidad del problema de transferencia de calor al
permitir utilizar los parámetros termofísicos tanto para el lodo, el metal, el cemento y la
formación; el utilizar una ecuación diferencial parcial para cada región, el aplicar un
modelo transitorio en dos dimensiones y permitir que los valores de porosidad en
regiones no cementadas puedan utilizarse para dar mas realismo a la estimación de
permeabilidades y propiedades efectivas de la conductividad y densidad en la región
anular.
La solución del problema inverso implicó considerar la premisa de que, por tratarse de
un problema mal condicionado, no existe solución única del problema. Un análisis de
sensibilidad fue necesario para observar cuales son las variables de influencia y que
deberían considerarse como parámetros independientes. Lo anterior se aplicó en el
modelo MLM y de resolver la matriz mostrada en la ecuación (3.59): ∂=∂
iij
j
TJP
permitieron
observar que con un pequeño valor en la magnitud de Jij existían grandes cambios en Pj y
que generaban pequeños cambios en Ti, debido básicamente a que el mismo valor de la
temperatura podría obtenerse para un amplio rango de valores de Pj.
128
CAPITULO 6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este trabajo de tesis doctoral se estudiaron los fenómenos de transferencia de calor
en un pozo petrolero durante la perforación, se determinaron los perfiles dinámicos de
temperatura en cinco regiones del sistema pozo – formación de un pozo del Golfo de
México. Lo anterior se consigue al aplicar las ecuaciones de balance de transferencia
de calor, las cuales desde un punto de vista matemático consisten en un problema de
valores en la frontera.
Desde el punto de vista termodinámico, el proceso de perforación de un pozo petrolero
es un problema altamente complejo que relaciona procesos combinados de
transferencia de calor por conducción y convección cuando se presentan pérdidas de
circulación, bajo esta premisa se considera medio poroso y naturalmente fracturado,
además, el considerar la existencia de propiedades reológicas de diferentes lodos en
función de la etapa de perforación, las lechadas de cementación diseñadas para cada
etapa y la litología particular para cada yacimiento, entre otras características, su
simulación es también compleja.
Con el desarrollo del simulador numérico se obtuvo un esquema general para
determinar perfiles térmicos de cualquier pozo petrolero, aunado a la aplicación de
técnicas inversas para estimar la temperatura de formación. Para particularizar el
análisis térmico tanto en procesos de paro y circulación de lodo, solo se modificó la
base de datos de la geometría del pozo y de las propiedades termofísicas del lodo,
metal, cemento y formación.
El estudio térmico global de un pozo petrolero bajo condiciones de perforación y de
estabilidad térmica, permitió mejorar el entendimiento de la problemática asociada a la
reproducción numérica de los perfiles reales, medidos en presencia de pérdidas de
circulación, lo que permitirá el estudio térmico de pozos petroleros en forma rápida,
eficiente e ingenieril. Conforme se estudien más casos con datos reales de las
Capitulo 6 Conclusiones y recomendaciones
130
condiciones de perforación, se conseguirá ganar experiencia y se confirmará la
certidumbre de las variables de influencia en los análisis de sensibilidad paramétrica.
No obstante, se pudieron interpretar los perfiles de temperatura que fueron estudiados.
De utilizar un modelo de yacimiento poroso en la cara del pozo en su sección
descubierta, se analizaron las zonas de pérdidas de circulación y la cantidad de flujo
que se pierde hacia la formación. Además, de la información obtenida en cada
segmento del pozo con presencia de pérdidas de circulación (longitud, porosidad,
cantidad de flujo perdido), se estimó la permeabilidad en diferentes etapas de
perforación, correspondientes a diferentes litologías de formación.
Al resolver el problema directo, las propiedades termofísicas se controlaron
numéricamente en función de la física del problema, es decir, el aspecto físico y real del
problema siempre se mantuvo como premisa fundamental. Desde el punto de vista de
la ingeniería y durante el diseño de la perforación del pozo, se sabe que las
propiedades termofísicas controladas del lodo de perforación, son las que impiden que
la sarta de perforación y sobre todo la barrena, sufran un sobrecalentamiento y un
desgaste prematuro, ya que algunas de las funciones principales del fluido de
perforación son 1) lubricar y enfriar la barrena de perforación, 2) mantener la presión
dentro del agujero descubierto de tal forma que no exista un colapso y/o flujo de fluidos
del yacimiento al pozo, 3) transportar los recortes de perforación fuera del agujero
descubierto y 4) evitar daño en la formación. De ahí que la densidad del fluido se
diseñe en función de esos objetivos.
Un parámetro complejo de analizar que depende de la composición química y de la
caracterización de los fluidos de perforación disponibles fue la viscosidad, su
composición química generó como consecuencia que el coeficiente convectivo de
transferencia de calor (que depende de las condiciones del fluido), se estimara y
corrigiera con el valor de la porosidad para obtener un valor más realista. Sin embargo,
es deseable contar un coeficiente que considere efectos bifásicos, ya que el actual
modelo considera solo una fase en régimen laminar o turbulento. La estimación del
coeficiente convectivo se encuentra implícito en el número adimensional de Nusselt,
calculado en la tubería de perforación y en la región anular, mientras que la viscosidad
Capitulo 6 Conclusiones y recomendaciones
131
y la densidad se encuentran agrupadas en los números adimensionales de Reynolds y
Prandtl.
Aunque el análisis durante el avance de perforación de este proyecto no proporciona
suficiente información para validar el modelo inverso, ya que las temperaturas estáticas
a fondo de pozo se obtienen a pozo cerrado durante procesos de recuperación térmica,
el resultado fue exitoso. No obstante, el efecto térmico generado por la barrena de
perforación mostró un incremento adicional del orden del 15.6% de temperatura en su
punto máximo, principalmente en la parte profunda del pozo, situación que puede servir
en estudios térmicos para determinar desgastes prematuros en barrenas, en sus
aleaciones y en la litología en donde se utilice para perforar.
De acuerdo a la hipótesis, el análisis de la estructura matemática del modelo de
transferencia de calor, indicó que se trataba de un problema mal planteado (solución
mediante técnicas inversas), ya que no se conocía la condición inicial, misma que
representa la temperatura de formación, las temperaturas medidas en el pozo
representan la solución particular. Para aterrizar el modelo matemático, el sistema se
aplicó satisfactoriamente al estudio del pozo petrolero 3007 ubicado en el Golfo de
México, en donde la geometría, propiedades termofísicas del lodo, cemento, metal y
formación fueron utilizadas (Apéndice F), así como el uso de registros de temperatura
tomados durante la perforación y en periodos de estabilidad térmica.
Se exploraron dos métodos conocidos en la literatura: Levenberg Marquardt MLM, e
Inteligencia Artificial IA y se propone en este proyecto doctoral uno basado en la teoría
de control: Controlador Proporcional Integral PI, el cual es un refinamiento de uno
propuesto usando un Controlador Proporcional sin la parte integral. Todos los modelos
resuelven en su primera fase el problema directo de transferencia de calor y
posteriormente determinan la temperatura de formación inicial generando tres
propuestas de solución.
La experiencia ha demostrado que es necesario un modelo computacional para
contabilizar dichas complejidades de transferencia de calor en un pozo y determinar
Capitulo 6 Conclusiones y recomendaciones
132
rigurosamente la distribución de temperaturas en espacio y tiempo como variables
independientes.
Los métodos IA y PI tienen una particularidad, que solo requieren un punto de medición
a fondo de pozo para estimar la TF, mientras que el esquema del MLM requieren de
varias temperaturas a fondo de pozo para estimar una temperatura de formación.
Indudablemente esto parece ser una ventaja desde el punto de vista de aplicación, sin
embargo el MLM considera otros parámetros como son la porosidad y el flujo de fuga
como parámetros de búsqueda, por ejemplo se puede estimar una distribución de
porosidades, además de la temperatura.
El método PI resultó ser altamente eficaz en su convergencia, debido a que incluye la
parte integral que sigue exactamente la temperatura medida. Para conseguir resultados
con alta aproximación, recurre al análisis y ajuste de tres variables: la señal de error
instantáneo entre la temperatura registrada (Treg) y la temperatura simulada (Tsim), la
contribución proporcional tal que ayude a reducir el error pero no lo elimina ya que
mantiene un error estacionario y solo permite acercarse a la vecindad del valor original,
y la tercer variable referida a Iτ que es el modo integral agregado, que corrige cualquier
compensación del error que pueda ocurrir entre el valor de temperatura deseada
(setpoint) y el valor de la temperatura medida. La idea fundamental del PI se basó en
que la temperatura simulada (Tsim) siga a la temperatura real registrada (Treg), para ello
propone una nueva temperatura de formación hasta que un error predefinido sea un
valor aceptable desde un punto de vista de la ingeniería.
La precisión del método IA se basa en que tan experto es el especialista en pozos y por
lo tanto lo hace el menos preciso respecto a los anteriores, sin embargo para este tipo
de aplicaciones es una herramienta de comparación. De manera que mas que
ingresarle una gran cantidad de registros geofísicos al simulador, se aplica la lógica
difusa y se manipula el criterio de convergencia (agente no autónomo) en función de los
resultados del perfil dinámico obtenido del MLM y PI para aproximar lo mejor posible la
solución del modelo.
Capitulo 6 Conclusiones y recomendaciones
133
El algoritmo computacional de la versión utilizada en el MLM para resolver el problema
inverso, permitió evaluar los eigenvalores y eigenvectores de la matriz Jacobiana J en
la ultima iteración, con lo cual se determinó cuales son los parámetros de sensibilidad P
(representados de forma implícita en la matriz diagonal) que inciden de manera
relevante en la estimación de la temperatura de formación. La figura 5.6 mostró la
estructura de los eigenvectores asociados a los eigenvalores y resultó ser en orden de
importancia que el componente λ19 asociado al eigenvector que representa a las
pérdidas de circulación fue el más representativo y reflejó una mayor variación en el
proceso de convergencia (3,000 -12,000 m3), de manera particular la figura 5.12 refleja
esta conclusión. Como se mencionó en los resultados, existe una estrecha relación
entre las pérdidas de circulación hacia la formación y la inyección de fluido de
perforación al pozo, de ahí que el gasto de inyección sea el segundo parámetro de
relevancia en el análisis y la figura 5.8 exhibe la alta variación en los rangos de
inyección sobre todo en la región final del pozo (1700-3800 gpm).
Del análisis de sensibilidad se determinó que la pérdida de circulación es una variable
incierta a fondo de pozo y debe considerarse como una variable de ajuste. Conclusión
que se deriva del hecho de que la temperatura imperturbada de formación se determina
al establecer que la función objetivo (F.O.) a optimizar es función de la porosidad, de la
pérdida de circulación y de la temperatura inicial tomada de registros para encontrar la
temperatura simulada. Es decir:
F.O. = (Tmed – Tsim)2 = f(Tinicial, porosidad, perdida de circulación)
Las pérdidas de circulación que se dirigen a la formación están en función del gasto de
inyección, por lo que este término de inyección fue también una de las variables más
sensibles durante la simulación del problema inverso.
Capitulo 6 Conclusiones y recomendaciones
134
RECOMENDACIONES A partir del presente estudio y de los resultados presentados, se encontró que es
recomendable continuar trabajando bajo las siguientes líneas de investigación:
Aplicar el sistema al estudio de más pozos petroleros con y sin pérdidas de circulación
para ganar experiencia en el estudio térmico de los procesos de transferencia de calor,
así como su aplicación bajo diferentes condiciones, tales como estudios durante la
reparación mayor o menor de pozos petroleros y durante tratamientos de estimulación.
La experiencia ganada en el uso de técnicas inversas para la solución de problemas de
transferencia de calor transitorio, permiten explorar otro tipo de condiciones de frontera
o condiciones iniciales para estimar una nueva variable de influencia además de la
porosidad y de las pérdidas de circulación. En función de los parámetros termofísicos
conocidos tanto del lodo de perforación, de la tubería de perforación, de cementos y de
la formación, sería conveniente efectuar simulaciones in-situ durante cada etapa de
perforación para comparar información de registros geofísicos y proponer esta
herramienta computacional como apoyo en la toma de decisiones, además, durante los
procesos de paro y circulación de fluidos obtener curvas de temperatura vs. tiempo para
mejorar la certidumbre de los datos de campo y realizar ajustes en los procesos de
convergencia del simulador.
En cuanto al análisis de sensibilidad, una vez que se obtuvo la descomposición de
valores singulares, una parte estadística puede agregarse que tome en cuenta la matriz
de correlación entre parámetros termofísicos, tal que pueda determinarse la
dependencia estadística entre ellos. De manera que pueda decidirse en cambiar los
parámetros elegidos por otros referidos a características del cemento, metal, formación,
además del fluido de perforación elegido en este trabajo.
Finalmente, evaluar la dependencia de las propiedades termofísicas y de transporte de
los cementos para incluir su variación en versiones posteriores en análisis de
sensibilidad.
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APÉNDICE A
Estimación de parámetros: Integración de mediciones y
análisis
En éste apéndice se proporciona una revisión de los procedimientos generales y los
conceptos relacionados en la identificación de parámetros o funciones mediante
técnicas inversas. Se presenta una discusión de errores, las implicaciones en la
selección de una función apropiada y su minimización mediante procedimientos
inversos.
Los problemas inversos son el contraste de los problemas directos. En los problemas
directos, las soluciones analíticas o numéricas se encuentran para ecuaciones
diferenciales parciales u ordinarias con condiciones iniciales y de frontera conocidas,
así como con constantes conocidas dentro de las ecuaciones que gobiernan el
fenómeno y que pueden ser la conductividad térmica, el calor específico, la
viscosidad, la densidad y los coeficientes de fricción, entre otras. El punto importante
es que en los problemas directos, la velocidad, la temperatura y otras variables
dependientes en las ecuaciones, son cantidades de interés y se calculan como
funciones del tiempo o la posición. Las mediciones no entran en la solución, excepto
posiblemente para mostrar condiciones de frontera.
Sin embargo, para la estimación de parámetros o funciones se requiere tanto de un
modelo como de mediciones. Al menos dos dificultades se presentan en la solución
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
146
de un problema inverso. Una de ellas ocurre si más de un parámetro es requerido y
se correlaciona con otros parámetros para identificarlo, un ejemplo es la
determinación de propiedades térmicas de un cuerpo semi-infinito que se calienta
con un flujo de calor conocido. El registro de temperaturas en superficie es una
función del producto de la conductividad térmica y del calor específico, por lo que
estos parámetros son confundidos por su multiplicación, lo que significa que no son
independientes, es decir; están correlacionados. Para regiones internas, la
temperatura registrada es función tanto de la conductividad térmica como del calor
específico y son parámetros independientes.
La segunda dificultad puede incrementarse por la naturaleza mal planteada de varios
problemas cuando una función se va a determinar, un ejemplo de esos problemas
puede ser la estimación del flujo de calor en la superficie de un cuerpo como función
del tiempo para generar un perfil de temperaturas en el interior del cuerpo calentado.
El mal planteamiento de un problema de estimación de funciones se incrementa
debido a la alta sensitividad de la solución del problema inverso al alterar los datos
medidos. Si los datos son medidos con precisión, el problema inverso de estimación
de funciones puede ser complicado, por lo tanto, la presencia de errores de medición
reducen la dificultad durante la inversión.
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
147
A.1 Errores de medición: Selección de la función objetivo
La solución de un problema inverso requiere del conocimiento de los errores en el
equipo de medición. Es importante corregir cualquier parcialidad para reducir el error
de valores aleatorios. Aunque los errores de medición son desconocidos, algunas
características generales son conocidas y pueden describirse en términos
estadísticos. Con base al conocimiento de los errores de medición, es posible elegir
de forma apropiada la función objetivo a minimizar.
A.2 Dificultades en la solución de los IHCP
La solución del problema inverso es muy sensible a los errores de medición de los
datos de entrada, ya que depende de la posición del sensor y de las oscilaciones.
Debido a que la exactitud de la solución obtenida mediante el análisis inverso es
alterada por los errores involucrados en las mediciones de temperatura, se
mencionan las ocho suposiciones generales propuestas por Beck et al. (1985)
referidas a la descripción estadística de dicho errores.
1. Los errores son aditivos, esto es:
= + εi iY T i (A.1)
donde Yi es la temperatura medida, Ti es la temperatura actual y εi es el error
aleatorio.
2. Los errores de temperatura εi tienen una media de cero, esto es:
( )ε =iE 0 (A.2)
donde E(·) es el operador del valor esperado. Se dice que los errores son neutrales.
3. Los errores tienen una varianza constante, esto es:
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
148
( ){ }⎡ ⎤σ = − = σ =⎣ ⎦22 2
i i iE Y E Y cons tan te (A.3)
Lo que significa que la varianza de Yi es independiente de la medición.
4. Los errores asociados con mediciones diferentes no están correlacionados. Dos
errores de medición εi y εj donde i≠j, no están correlacionados si la covarianza de
εi y εj es cero, esto es:
( ) ( ) ( ){ }⎡ ⎤⎡ ⎤ε ε ≡ ε − ε ε − ε = ≠⎣ ⎦ ⎣ ⎦i j i i j jcov , E E E 0 para i j (A.4)
5. Los errores de medición tienen una distribución normal (Gaussiana). Al tomar en
consideración las suposiciones anteriores 2, 3 y 4, la función de distribución de
probabilidad de εi está dada por:
2
221( ) 2
i
if eεσε
σ π
−
= (A.5)
6. Los parámetros estadísticos que describen a εi, tal como σ, son conocidos.
7. Las únicas variables que contiene errores aleatorios son las mediciones de
temperatura. Los tiempos y posiciones medidos, las dimensiones del sistema y toda
otra cantidad que aparece en la formulación del problema inverso son todas
conocidas.
8. No existe información a priori respecto a las cantidades a estimar, las cuales
pueden ser parámetros o funciones. Si tal información existe, puede utilizarse para
obtener mejores estimaciones.
Las ocho suposiciones anteriores rara vez se aplican en su totalidad en experimentos
reales. Por ejemplo, si las magnitudes de los errores de medición son
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
149
)
considerablemente desiguales o si las desviaciones estándar σi son también
diferentes.
Si las consideraciones mencionadas anteriormente son válidas entonces el problema
inverso se resuelve al minimizar una función objetivo con algún método de
estabilización utilizada en el procedimiento de estimación. La función objetivo S, que
provee la mínima variación de la estimación es la suma ordinaria de mínimos
cuadrados (Beck y Arnold, 1977) definida como:
( ) ( )= − −TS Y T Y T (A.6)
donde Y y T son vectores que contienen a las temperaturas medidas y estimadas
respectivamente, el superíndice T indica que es la transpuesta del vector. Las
temperaturas estimadas se obtienen de la solución del problema directo. Se
presentan tres casos particulares:
a) Cuando en el análisis inverso se utilizan se utilizan las lecturas transitorias Yi
de un único sensor tomadas en los tiempos ti, i=1,…,I. La transpuesta del
vector de residuos (Y-T)T , esta dada por:
( ) (− = − − −T
1 1 2 2 I IY T Y T ,Y T ,...,Y T (A.7)
y la suma de mínimos cuadrados, ecuación (A.6) puede escribirse como:
( ) ( ) ( )= − − = −∑T 2i iS Y T Y T Y T (A.8)
b) Cuando en el análisis inverso se utilizan las lecturas transitorias Yi de múltiples
sensores, la transpuesta del vector de los residuos esta dada por:
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
150
⎞⎟
)
( )→ → → → → →⎛ ⎞− = − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠T
1 1 2 2 I IY T Y T ,Y T ,...,Y T (A.9)
Para el tiempo ti, es un vector columna de longitud igual al número de
sensores M, esto es:
→ →⎛ −⎜⎝ ⎠
i iY T
( )→ →⎛ ⎞− = − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠i i i1 i1 i2 i2 iM iMY T Y T ,Y T ,...,Y T
(A.10)
En la ecuación (A.10) el primer subíndice se refiere al tiempo ti y el segundo al
número del sensor. Así, la forma ordinaria de mínimos cuadrados, ecuación
(A.6), puede escribirse como:
( ) ( ) (= =
= − − = −∑∑M I
T 2im im
m 1 i 1S Y T Y T Y T
(A.11)
c) Si los valores de las desviaciones estándar de las mediciones son muy
diferentes, el método ordinario de mínimos cuadrados no tenderá a un
estimado mínimo de la varianza. En tal caso, la función objetivo esta dada por
la norma ponderada de mínimos cuadrados, Sw, definida como:
( ) ( )= − −T
wS Y T W Y T (A.12)
donde W es una matriz diagonal ponderada y se toma comúnmente como la
inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición, en los casos donde
las ocho hipótesis estadísticas anteriormente mencionadas sean válidas.
Suponiendo que se tienen mediciones disponibles de un solo sensor, la matriz
ponderada W esta dada entonces como:
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
151
⎡ ⎤σ⎢ ⎥σ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥
σ⎢ ⎥⎣ ⎦
21
22
2I
011
W
0 1
(A.13)
y Sw de la ecuación (A.12) puede escribirse en forma explícita como:
( )=
−=
σ∑2I
i iw 2
i 1 i
Y TS
(A.14)
donde σi es la desviación estándar de la medición Yi al tiempo ti. De manera similar
para casos que incluyan M sensores, la ecuación (A.12) puede escribirse como:
( )= =
−=
σ∑∑2M I
im imw 2
m 1 i 1 im
Y TS
(A.15)
donde σim es la desviación estándar de la medición Yim del sensor m al tiempo ti.
Si el problema inverso de transferencia de calor requiere de estimar solo unos
cuantos parámetros desconocidos, como puede ser la estimación de un valor de la
conductividad térmica a partir de las mediciones transitorias de temperatura en un
sólido, el uso de la suma de mínimos cuadrados dada por las ecuaciones (A.8) o
(A.11) puede ser estable. Sin embargo, si el problema inverso implica la estimación
de un gran número de parámetros, tales como la recuperación de los componentes
desconocidos de flujo de calor transitorio f(ti) ≡ fi en los tiempos ti, i=1,…,I, pueden
ocurrir oscilaciones y desviaciones en la solución.
Un método para reducir tales inestabilidades es utilizar el procedimiento llamado
regularización de Tikhonov (Tikhonov y Arsenin, 1977), el cual modifica la suma de
mínimos cuadrados al aumentarle un término tal que:
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
152
[ ] ( )= − + α∑ ∑I I
2 * 2i i i
i iS f(t) Y T f
(A.16)
Donde α* (>0) es el parámetro de regularización y la segunda suma del lado derecho
de la ecuación (A.16) es el término de regularización de orden cero en el dominio
completo. fi es el flujo de calor al tiempo ti, el cual se supone constante en el intervalo
Δ⎛ ⎞ ⎛− < < +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
i itt t t
2 2Δ ⎞
⎟⎠
t , dondeΔ es el intervalo de tiempo entre dos mediciones
consecutivas. Conforme la minimización de la ecuación (A.16) se realiza, los valores
elegidos para el parámetro de regularización influyen en la estabilidad de la solución.
t
Conforme α* →0 la solución puede mostrar un comportamiento oscilatorio y
convertirse inestable, esto debido a que la suma de los términos de pueden
alcanzar valores grandes y las temperaturas estimadas tienden a ser del mismo
orden de las temperaturas medidas. Mientras que para valores grandes de α* la
solución se amortigua y se desvía del resultado exacto.
2if
El procedimiento de regularización de primer orden en dominio completo para un solo
sensor, involucra la minimización modificada de la siguiente suma de mínimos
cuadrados:
( ) ( ) ( )−
+⎡ ⎤ = − + α −⎣ ⎦ ∑ ∑2I I 1
2 *i i i 1 i
i iS f t Y T f f
(A.17)
Cuando se realiza la minimización de S[f(t)] y α* →0, se obtienen valores del mismo
orden entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas, con lo que el
problema inverso se comporta inestable. Para valores grandes de Conforme α*, el
segundo sumando de la ecuación (A.17) es dominante, los componentes de flujo de
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
153
calor fi tienden a convertirse en constantes para i=1,2,…,I, esto es, que la primera
derivada de f(t) tiende a cero y la solución del problema inverso se estabiliza.
Las inestabilidades en la solución pueden relajarse mediante una selección
adecuada del valor de α*. Tikhonov y Arsenin (1977) sugieren que el valor de α* debe
elegirse de tal forma que el valor mínimo de la función objetivo fuera igual a la suma
de los cuadrados de los errores esperados para las mediciones.
El método de regularización descrito arriba puede derivarse en otros métodos, como
el referido al de mínimos cuadrados desarrollado por Levenberg y Marquartd (1963),
llamado Método de Levenberg-Marquartd (MLM), que es una potente técnica iterativa
para estimación de parámetros no lineales aplicado en diversos problemas de
transferencia de calor.
Un método alternativo para el esquema de regularización mencionado anteriormente
es el uso del Método de Regularización Iterativa de Alifanov (1994). En ambos
métodos, el número de iteraciones juega el papel del parámetro de regularización α*
y el criterio de convergencia se elige de modo que se obtengan soluciones
razonablemente estables. Por lo tanto, no hay necesidad de modificar la función
objetivo original, contrario al Método de Tikhonov.
Alifanov fue el pionero en estudios de regularización iterativa en la transferencia de
calor. En éste método, en lugar de agregar el término de regularización de Tikhonov
para regularizar el procedimiento como ya se mencionó, se utiliza una aproximación
gradual para conseguir la minimización. Las iteraciones se aplican hasta que Sw
empieza a decrecer en función del conocimiento de los errores de medición y se
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
154
detiene cuando un mínimo es localizado, si las iteraciones continúan Sw decrece pero
las demás componentes de la ecuación estimada pueden ser inestables.
El método de regularización iterativa es eficiente y se aplica con mayor frecuencia
que el de Tikhonov, sin embargo los programas de cómputo para ambos métodos
pueden ser muy similares.
Existen métodos para determinar cuales son los parámetros a estimar y que
mediciones son necesarias, algunos de ellos se refieren al estudio de los
“coeficientes de sensitividad”. Los coeficientes de sensitividad pueden definirse
genéricamente como la derivada de la función estimada (por ejemplo la temperatura)
respecto a los cambios en los parámetros de interés.
Gavrus et al. (1998), Dowding y Blackwell (1998), Scott et al. (1998) y Emery y
Nenarokomov (1998) abordan el tema del análisis de sensitividad en sus trabajos.
A.3 Construcción de modelos
Después que la estimación de parámetros se ha realizado, es importante examinar
los resultados para determinar la adecuación del modelo. Especialmente los
residuales resultantes entre el modelo de cómputo y los datos medidos. Idealmente
los residuales podrían estar cerca del cero pero no es real, por lo que es preferible
que los residuales tengan un orden aleatorio y que no estén expuestos a
correlaciones ni a señales características.
Apéndice A Estimación de parámetros: Integración de mediciones y análisis
155
La correlación se caracteriza por que los residuales son o valores positivos o
negativos en varias iteraciones. Para N mediciones si el número de valores cambia
de signo y es considerablemente menor que N/2, las mediciones pueden ser
correlacionadas.
Los errores correlacionados se presentan cuando los residuales cambian de
experimento a experimento. Es conveniente que las desviaciones estándares
estimadas de los residuales sean próximas a los valores de los errores esperados,
los cuales se conocen de la caracterización del perfil de mediciones.
APÉNDICE B
Derivación de las ecuaciones diferenciales parciales que describen el flujo de calor transitorio en el sistema pozo
formación.
La primera ley de la termodinámica postula que la ecuación de energía para un
sistema abierto, en estado transitorio, dado por un elemento de volumen (ΔxΔyΔz) a
través del cual un fluido esta fluyendo a un tiempo dado (ver figura 3.2.1 de Bird et
al., 1960), puede representarse como:
⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎪ = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎪
⎩ ⎭
acumulación detérmino convectivo (entra) término convectivo (sale)
energía interna y energía interna y cinética energía interna y cinética
cinética
⎧ ⎫ ⎧−⎨ ⎬ ⎨
⎩ ⎭ ⎩
calor agregado trabajo entregado por el sistema+
por conducción al ambiente
⎫
⎭
⎫⎬⎭
Ésta ecuación de energía puede escribirse en notación vector – tensor como:
( ) ( ) ( ) (⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ρ + = ∇ ρ + − ∇ − ∇ τ − ∇ + ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦i i i i i2 21 1ˆ ˆU v U q p
t 2 2v v v v )igv
(B.1)
Los términos del lado derecho representan: (i) la tasa de energía entrante por unidad
de volumen debido a la convección, (ii) la tasa de energía entrante por unidad de
volumen debido a la conducción, (iii) la tasa de trabajo entregado por el fluido por
unidad de volumen debido a las fuerzas viscosas, (iv) la tasa de trabajo entregado
por el fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de presión y (v) la tasa de
trabajo entregado por el fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas
gravitacionales, respectivamente.
Apéndice B. Derivación de las EDP que describen el flujo de calor transitorio en el sistema pozo-formación
157
El término del lado izquierdo corresponde a la tasa de ganancia de energía por
unidad de volumen (acumulación). Los términos de energía interna para un volumen
de control constante (a presión constante) pueden expresarse como:
= pdU C dT (B.2)
Aplicando este concepto a la ecuación de energía (B.1), se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )∂ ∂⎛ ⎞ρ = ∇ ρ − ∇ − τ ∇ + + ρ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠i i p
p pp
DCln DpC T C T q : Tt lnT Dt Dt
vv v (B.3)
Despreciando la disipación viscosa y el efecto de expansión térmica así como la
variación de la presión en el pozo, la ecuación (B.3) se reduce a lo siguiente:
( ) ( ) ( )∂ ⎡ ⎤ρ = − ∇ ρ − ∇⎣ ⎦∂i ip pC T C T q
tv
(B.4)
Expandiendo las derivadas parciales de la ecuación de energía considerando
coordenadas cilíndricas por la similitud con la geometría del pozo, y asumiendo que
la transferencia de calor en el pozo se presenta en la dirección axial y radial con una
distribución de temperaturas axisimétrica, es decir:
( )∂=
∂θT z,r,t
0 (B.5)
La ecuación de energía (B.4) puede representarse como:
( ) ( ) ( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ρ = − ρ + ρ − +⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣z
p r p z p r1 qC T v C T v C T rq
t r z r r∂ ⎤
⎥∂ ⎦z
(B.6)
Considerando que las componentes del flux de energía (q) en la dirección radial y
vertical se representan como:
Apéndice B. Derivación de las EDP que describen el flujo de calor transitorio en el sistema pozo-formación
158
∂= −
∂rTq kr
(B.7a)
∂= −
∂zTq kz
(B.7b)
De aplicar la regla de la cadena para derivar una ecuación de energía general que
proporcione la variación de las propiedades termo físicas con la temperatura como
variable a analizar, la ecuación (B.6) puede representarse como:
∂⎛ ⎞∂ρ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + ρ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + + + ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎤∂⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
pp p r z
2 2
2 2
C T T TC T C T v vT T t r z
T k T k T T k T k kr T r r r z T z ⎦
Tz
(B.8)
Finalmente, asumiendo que las propiedades termo físicas ( ) son
constantes, una ecuación de energía simplificada se deriva como sigue:
ρ p, C y k
( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ρ + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
p r z 2 2
T T T T k TC v v k kt r z r r r z
T
(B.9)
Que es la ecuación (3.3) mostrada en el Capítulo 3.
APÉNDICE C
Vectores de coeficientes
En esta sección se definen en forma explícita los coeficientes de las ecuaciones
(3.39) a (3.41) y que corresponden a cada una de las 5 regiones del sistema pozo –
formación.
Región 1, tubería de perforación.
ρ⎛ ⎞ ⎛Δ Δ
= − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜Δ Δ⎝ ⎠ ⎝1
1 21 12j j
⎞⎟⎟⎠j p j
t k tA vz C z
(C.1)
ρ⎛ ⎞ Δ
= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠1 1 1
2 21 1
1 2 2 3jin j in p
h k k tBr z r C
(C.2)
⎛ ⎞ ⎛Δ Δ= −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜Δ ρ Δ⎝ ⎠ ⎝
1j 1 j 2
⎞⎟⎟⎠j 1 p1 j
t k tC v2 z C z
(C.3)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ ρ⎝ ⎠⎝ ⎠
t t1 1 1j 1, j 2 , j2 2
in j in 1 p1
h k k tD T 2 2 3 Tr z r C
(C.4)
Estas ecuaciones se aplican para j=2, 3, 4,…, n siendo n el número total de nodos en
la dirección axial. Para aplicar el algoritmo de Thomas (Patankar, 1980) se necesita
definir:
= −' t2 2 2D D A T1,1
,n
(C.5)
= −' tn n n 1D D C T (C.6)
=t1,1 eT T (C.7)
donde Te es la temperatura del fluido de perforación en z=0. en estas ecuaciones el
primer subíndice de las temperaturas indica el nodo radial 1, en condiciones de
operación de paro de circulación (recuperación térmica) la condición de frontera es:
=t t1,1 2,1T T (C.8)
Apéndice C Vectores de coeficientes
Región 2. Metal de tubería de perforación
ρ⎛ ⎞Δ
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠2
22 2
jp j
k tAC z
(C.9)
( )ρ
⎛ ⎞⎜ ⎟+ Δ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟Δ −−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
1 22 122 2
2 22
221 212 2
in extj
j ext ia extin
h r h rk kBz r rr rr
2n p
tC
(C.10)
⎛ ⎞Δ= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ Δ⎝ ⎠
2j 2
2 p 2 j
k tCC z
(C.11)
( ) ( ) ( ) ( )⎡ ⎤⎢ ⎥+ + − ⎛ ⎞Δ⎢ ⎥= + + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ + −− ρ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎥−⎛ ⎞ ⎝ ⎠++ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎦⎢ ⎝ ⎠⎣
t t t t t t1 in 1,j 2 ext 3,j 1 1,j 3,j 1 3,j 1,jt
j 2,j 22 22a ext a extext in 2 p22 a extinin
2 h r T 2 h r T 2k T T k T T tD Tr r r rr r Cr r rr 2 22
(C.12)
En la ecuación (C.7) se consideró que k1 = k3. Estas ecuaciones se aplican para j =
1,3,4,…, n siendo n el número total de nodos en la dirección axial. Para aplicar el
algoritmo de Thomas (Patankar, 1980), se necesita definir:
= −' t1 1 1 2D D A T ,1
,n
(C.13)
= −' tn n n 2D D C T (C.14)
Este conjunto de ecuaciones algebraicas aplican en condiciones de recuperación y
circulación, sin aplicar alguna restricción.
160
Apéndice C Vectores de coeficientes
Región 3. Zona anular
ρ⎛ ⎞ ⎛Δ Δ
= − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜Δ Δ⎝ ⎠ ⎝3
3 23 32j j
⎞⎟⎟⎠j p j
kt tA vz C z
(C.15)
( )ρ
⎛ ⎞⎜ ⎟+ Δ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟− Δ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2 3 3 322 2 2
3 3
2 2 21
2
ext aj
a ext j pa ext
h r h r k kBr r z Cr r
t
(C.16)
⎛ ⎞ ⎛Δ Δ= − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜Δ ρ Δ⎝ ⎠ ⎝
3j 3 j 2
⎞⎟⎟⎠j 3 p3 j
kt tC v2 z C z
(C.17)
( )( ) ( )
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞Δ⎢ ⎥= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− ρ−⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥ −⎛ ⎞Δ Δ⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− ρ ⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎝ ⎠ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
t t2 ext 3j 3,j 2,j22 2
a ext 3 p3a ext
t t3 4,j 2,jt3 a 3
4,j22 2a ext 3 p3a ext
a ext ext a ext
2h r k tD T Tr r Cr r
2
k T T2h r k t t T1r r Cr r r r r r r22
ρ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠3 p3C
(C.18)
Estas ecuaciones se aplican para j = 1,3,4,…,n-1 siendo n el número total de nodos
en la dirección axial. Para aplicar el algoritmo de Thomas (Patankar, 1980), se
necesita definir:
= −' t1 1 1 3D D A T ,1
t
(C.19)
− − −= −' tn 1 n 1 n 1 3,nD D C T (C.20)
+Δ=t t3,n 1,nT T (C.21)
donde es la temperatura del fluido de perforación en el fondo del pozo. En
estas ecuaciones el primer subíndice de las temperaturas indica el nodo radial 1, 2, 3
y 4. En condiciones de paro de circulación (recuperación térmica), la condición de
frontera es:
+Δt t1,nT
=t t3,n 4,nT T (C.22)
161
Apéndice C Vectores de coeficientes
Región 4. Zona interfacial
Debido a que se trata de una condición de frontera, se resuelve directamente sin
recurrir al algoritmo de Thomas, como en los casos anteriores.
+Δ +Δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 ef3
t t t t t3 44,j 3,j 5,j
ef 3 ef 33 3
4 3 4 3
k khr rT Tk k k kh h
r r r r
T
(C.23)
donde kef esta definida por la ecuación (3.26).
Región 5. Formación
Implícito en z(j) y explícito en r(i) [ecuación (3.40)]:
( )ef
j 2p jef
kA t2 C z
= − Δρ Δ
(C.24)
( )ef
j 2p jef
kB 12 C z
= + Δρ Δ
t (C.25)
( )ef
j 2p jef
kC t2 C z
= Δρ Δ
(C.26)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 tefj 5, j i 1 5, j i 1, j2 2
p i 1 ief
t tefi 1, j i 1, j2 2
p i 1 ief
kD T T 2T TC r r
k T T tC r r
+ −−
+ −−
⎡ ⎤⎢ ⎥= + − + Δρ Δ + Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥+ −ρ Δ + Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
0 t t
Δ
(C.27)
donde es la variable sobre la que se aplica el proceso iterativo. Estas ecuaciones se
aplican para j=1,3,4,…,n siendo n el número total de nodos en la dirección axial y para
i=5,6,7,…,m-1 siendo m el número total de nodos en lla dirección radial. Para aplicar el
algoritmo de Thomas (Patankar, 1980) se necesita definir:
05, jT
' t1 1 1 i,1D D A T para i 5= − ≥ (C.28)
' tn n n 1 i,n 1D D C T para i 5− += − ≥ (C.29)
162
Apéndice C Vectores de coeficientes Implícito en r(i) y explícito en z(j) [ecuación (3.41)]:
( ) ( )ef
j 2 2p i 1 ief
kA tC r r−
= − Δρ Δ + Δ
(C.30)
( ) ( )ef
j 2 2p i 1 ief
2kB 1C r r−
= + Δρ Δ + Δ
t (C.31)
( ) ( )ef
j 2 2p i 1 ief
kC tC r r−
= Δρ Δ + Δ
(C.32)
( ) ( )
( ) ( )
0 t 0efj i, j i, j 1 i, j i, j 12
p jef
efi, j 3 p3
i t ti, j 1 i, j 1
p jef
kD T T 2T T2 C z
k v Cr
T T t2 C 2 z
+ −
+ −
⎡ ⎤⎢ ⎥= + − + Δ
ρ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞
− ρ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ρ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
t t
Δ
j
(C.33)
donde es la variable sobre la que se aplica el proceso iterativo. Estas ecuaciones
se aplican para j=1,3,4,…,n siendo n el número total de nodos en la dirección axial y
para i=5,6,7,…,m-1 siendo m el número total de nodos en la dirección radial. Para
aplicar el algoritmo de Thomas (Patankar, 1980), se necesita definir:
0i, jT
' t5 5 5 4,D D A T= − (C.34)
' tm 1 m 1 m 1 m, jD D C T− − −= − (C.35)
En estas ecuaciones aparecen y efk ( )p efCρ las cuales están definidas por las ecuaciones
(3.26) y (3.27).
163
APÉNDICE D
Solución matemática de las ecuaciones de flujo de calor
La solución del conjunto de ecuaciones (2.1)-(2.5) bajo la restricción de que el lodo
en se calienta de manera uniforme de acuerdo a la invasión térmica
conductiva, es como sigue:
≤ ≤0 r a
El modelo se describe mediante la ecuación de conducción de calor.
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ρ = + ≥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
f f 2
T T 1 Tc K , rt r r r
a
≤
(2.1)
Condiciones iniciales:
= ≤ ≤mT(r) T , 0 r a, t 0 (2.2)
( ) ( )( )
= + − < < ≤m f m
ln r aT(r ) T T T , a r R, t 0
ln R a
(2.3)
= ≤ ≤ ∞fT(r) T , R r , t 0≤ (2.4)
Condiciones de frontera
=
∂ ∂⎛ ⎞ρ π = π ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠2
m mr a
T Tc a F 2 a Kt r
(2.5)
= →fT(r) T , r ∞ (2.6)
de la ecuación (2.5) que representa un flujo de calor radial:
=
∂⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ρ ∂⎝ ⎠∫t
m 0m m r a
2FK TT(r) T dt, r aa C r
(D.1)
donde Tm es la temperatura del lodo a t=0 y F es la eficiencia del calentamiento del
lodo, para este caso se considera un valor igual a 1.
De seguir la descripción general de Carslaw y Jaeger (1959) y Luikov (1968), la
transformada de Laplace de la ecuación (2.1):
Apéndice D Solución matemática de las ecuaciones de flujo de calor
( ) ( ) ⎛ ⎞∂ ∂− = = +⎜ ⎟ρ ∂ ∂⎝ ⎠
2
2f f
K T 1 TpT r,p T r,t 0C r r r
(D.2)
donde es la transformada de Laplace de (T r,p) ( )T r,t
La solución general de la ecuación (D.2) con el límite de r=∞ es:
( ) ( ) ( ) ( )== + o
T r,t 0T r,p A p K qr
p
(D.3)
Con . Kv(x) es una función de Bessel de segundo tipo y orden v y
argumento x, A(p) es una función arbitraria que se determina en función de las
condiciones de frontera del problema.
= ρf fq K / C p
De la ecuación (D.3) y de la definición de la transformada inversa de Laplace, se
tiene:
( ) ( ) ( )+ ∞
− ∞= + =
π ∫c i pt
0c i
1T r,t T r A(p)K qr dp t 02 i
e (D.4)
De utilizar la condición de frontera (D.1) en r=a y de Kv(qr)= K0 (qr)+K1(qr), se
propone la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )−⎡ ⎤⎛ ⎞+ =⎢ ⎥⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠⎣ ⎦
f m0 1 2
m m m m
T T2FKq qa 2FKA p K qa Ka C p p a C p a (R /a)ln
(D.5)
Para tiempos , se tiene: ≥t 0
( ) ( ) ( )( )
−+ ∞
−− ∞
−= = +
π⎡ ⎤ ⎡ρ + ρ⎣ ⎦ ⎤⎣ ⎦
∫pt 2c if m 0
2 1c im m 0 1 m m
2FK T T K (qr)p dp1T r,t T r,t 0 2 ia C (R / a) K (qa) 2FKqK (qa) a C p
eln
(D.6)
Con efecto de simplicar la ecuación (D.6) y considerando que el tiempo de difusión
de la temperatura en la formación es:
τ = ρ2 f fa C /K (D.7)
Además se propone que , y ≡ − τ2s p
165
Apéndice D Solución matemática de las ecuaciones de flujo de calor
( )( )∗
ρ=
ρf f
m m
CF 2FK
C
(D.8)
La temperatura en la pared del pozo con r=a se indica como:
( ) ( )[ ]
− τ∗
∗
−= −
π +∫2s t /
f m 0m 3
0 1
T T F K (is) ds1T a,t T(R / a) i s K (is) FK (is) / is
eln
(D.9)
Nuevamente de seguir la prescripción dada por Carslaw y Jaeger (1959), escribimos
las funciones de Bessel modificadas en términos de funciones de Bessel de primer y
segundo tipo para cambiar la ecuación (D.9) en la forma de las ecuaciones (2.7) y
(2.8) del Capítulo 2.
166
APÉNDICE E
Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
1) Método de Línea-Fuente o de Horner.
El Método de Horner es uno de los métodos mas comúnmente utilizados para
estimar la temperatura estática de formación SFT en la industria geotérmica y
petrolera (Horner, 1951; Dowdle and Cobb, 1975). Este método consiste en graficar
el incremento de la temperatura versus el logaritmo del tiempo adimensional de
Horner (DHT). El método refleja el concepto matemático de una fuente de calor
constante y de longitud infinita en una sección transversal, que representa la
perforación y los procesos de paro. Tal concepto sugiere que la temperatura (T) del
pozo se incrementa con respecto al tiempo (t) y que su solución analítica puede
aproximarse mediante el uso de la ecuación de difusividad térmica bajo condiciones
de flujo de calor radial:
α⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
2
2
1 1T Tr r r t∂
T (E.1)
Donde r y α son el radio del pozo y la difusividad térmica de la formación,
respectivamente. De acuerdo a Dowdle and Cobb (1975) una aplicación de la teoría
de la línea fuente indica que la solución simplificada de la ecuación (E.1) es:
+ Δ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠log c
ws it tT T m
t
(E.2)
donde es conocido como el tiempo adimensional de Horner (DHT), tc y
Δt son el tiempo de circulación antes del paro y el tiempo transcurrido durante el
paro de circulación, respectivamente. De ahí que una gráfica de Tws ó BHT versus
( )[ tttc ΔΔ+ / ]
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
168
el Log DHT sea una relación lineal, con Ti y m como la intercepción y la pendiente,
respectivamente.
La extrapolación de la línea a un tiempo infinito de paro refleja la temperatura de
formación estática Ti.
El método de Horner requiere de por lo menos dos o más mediciones de
temperatura (Tws) practicadas a la misma profundidad pero a diferentes tiempos de
paro.
Aun así, el método de Horner es ampliamente usado en la industria petrolera y
geotérmica, sin embargo, su aplicación no es totalmente aceptada en el área
geotérmica por que generalmente subestima las SFT, por lo que su utilización
exitosa es limitada cuando se consideran gradientes de temperatura bajos y se
tienen periodos cortos de circulación. (Dowdle and Cobb, 1975).
2) Método Mejorado de Horner.
Roux et al. (1980) demostró que el método convencional de Horner tiende a
subestimar las SFT a menos que los periodos de paro de circulación sean
considerablemente mas grandes que el periodo de circulación. Tal característica
podría implicar que las mediciones de BHT se realicen en tiempos prolongados de
paro, lo cual no es económicamente factible durante la perforación. (Capuano, 1992).
Considerando esta restricción, Roux et al. (1980) desarrollo una versión mejorada del
método de Horner para calcular las SFT para el caso de periodos cortos de paro de
circulación. El consideró que la distribución de la temperatura dinámica en la
formación alrededor del pozo puede describirse usando una versión adimensional de
la ecuación (E.1):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
1 D D
D D D D
T Tr r r t
DT (E.3)
La ecuación (E.3) representa un flujo convectivo de calor radial en un sistema
infinito. Su solución utiliza un factor de corrección empírico en la pendiente de la
línea trazada en la grafica de Horner al considerar un tiempo de circulación
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
169
adimensional (tD) y el tiempo de paro desde que se detiene la circulación del fluido.
Esta característica permite que las SFT puedan determinarse para tiempos cortos y
largos de circulación.
El método mejorado se aplica después de que la aproximación de Horner es hecha
para obtener una aparente temperatura final [Ti, en la intercepción de la
ecuación (E.2)] mediante la extrapolación a un tiempo de paro de circulación infinito.
Así, el valor corregido de las SFT (Ti’) se calcula como:
*wsT
( )= + ⋅' *i ws DB DT T m T t (E.4)
donde m es la pendiente de la línea trazada en el Horner original de la ecuación
(E.2) y TDB es el factor de corrección adimensional que depende tanto del
parámetro de tD como de DHT. TDB se calculó de ecuaciones reportadas en Roux et
al. (1979) mientras que el termino tD se estima de:
( )ρ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
D c2w
kt t c r
(E.5)
Como se observa, se requiere de un conocimiento apropiado de las propiedades
termofísicas de la formación: conductividad (k), calor específico (c) y densidad (ρ).
Para el caso de que estas propiedades no estén disponibles, Roux et al. (1980)
sugiere utilizar un valor promedio para ( )[ ]2/ wrck ρ de 0.4h-1 utilizado comúnmente en
la litología geotérmica.
3) Método de 2 puntos.
Kritikos and Kutasov (1988) desarrollaron el método denominado de 2 puntos para
calcular la SFT, y utilizan mediciones de BHT tomadas para tiempos cortos de paro
de circulación una vez terminada la perforación del pozo. Ellos propusieron un
modelo de flujo de calor radial basado en la ecuación de difusividad, de donde
derivan 2 ecuaciones para calcular la distribución de temperaturas tanto en el eje x
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
170
del pozo como en la formación. De estas ecuaciones, una solución simplificada es
aplicada para un grupo de 2 mediciones de BHT’s (Tws1 y Tws2) y sus
correspondientes periodos de paro de circulación (Δt1 y Δt2) cuya deducción se
muestra:
( )( )− + −−
=− − + −
i 1 t1 t1 2ws1 i
ws2 i i 1 t2 t2 2
E D /F lnF DT T T T E D /F lnF D
(E.6)
donde D1 y D2 son constantes cuyos valores son 1.195 y 0.7532, respectivamente.
De esta forma, Kritikos and Kutasov (1988) resolvieron la ecuación (E.6) para Ti y
propusieron una ecuación mas simple para calcular el valor de las SFT (Ti). La
solución se muestra en la siguiente ecuación:
( )= + ⋅ −i ws2 ws1 ws2T T F T T (E.7)
donde
( )( ) ( ) ( )
− + −=
− − − +i i t1 t2 2
i i t2 i 1 t1 t2 t1
E D /F lnF DF
E D /F E D /F ln F /F
(E.8)
Relaciones adicionales para determinar el resto de las variables utilizadas en las
ecuaciones (E.6) y (E.8) se describen en el trabajo original.
4) Método de flujo de calor radial y esférico.
Ascensio et al. (1994) desarrollo un nuevo método analítico para calcular las SFT,
las cuales involucran diferentes consideraciones relacionadas al patrón de flujo de
calor que gobiernan en las operaciones de terminación de un pozo geotérmico.
Básicamente, estas consideraciones asumen un modelo conductivo de flujo de calor
radial/esférico en la formación a condiciones de fondo. Tal consideración requiere
que la formación sea tratada como una esfera de radio R, infinito, homogéneo e
isotrópico con propiedades termofísicas constantes.
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
171
Con estas consideraciones, Ascensio et al. (1994) propuso que el proceso de
conducción de calor total mostrado en coordenadas esféricas y radiales, puede
describirse mediante la siguiente ecuación de forma adimensional: 2
2
2 D D
D D D D
T Tr r r t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛∂ ∂+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
DT ⎞∂⎟∂ ⎠
(E.9)
0 < rD < ∞
Para una solución simplificada al centro de la esfera (cuando rD → 0) y para tiempos
suficientemente largos, se aplica la ecuación:
1 D
D
Ttπ
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(E.10)
En término de variables reales, como mediciones de temperaturas del pozo (Tws) y
con periodos de paro (Δt), la ecuación (E.10) se representa como:
' 1ws iT T m
t⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
(E.11)
La ecuación (E.11) representa una línea recta al graficar T versus tΔ/1 . Por lo
tanto, la Ti se obtienen al interceptar la línea con la ordenada x (Δt → ∞), por
ejemplo cuando se logra establecer la temperatura en equilibrio, m’ representa la
pendiente. Para este método, el tiempo de circulación no es necesario. En la Figura
E1 se muestran las diferentes geometrías de flujo en un pozo.
5) Método de fuente de calor de flujo cilíndrico.
Hasan y Kabir (1994) desarrollaron una extensa teoría de flujo calor basada en los
procesos de intercambio de calor transitorio que ocurren entre el lodo y la
formación. Asumieron un modelo físico basado en una fuente de calor cilíndrico que
representa el proceso de recuperación de calor térmica de un pozo perforado. Los
mecanismos de flujo de calor conductivo y convectivo fueron representados
mediante las siguientes tres ecuaciones.
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
172
Figura E1.- Geometría de flujo de calor cilíndrico (a) y flujo de calor esférico (b)
1).- La primera ecuación analiza la transferencia de calor existente entre el pozo y la
formación, considerando pérdidas de calor (Qw) por unidad de tiempo (t) y por
unidad de longitud (z), se representa como:
= wswpm
dTdQ m c dz dt
(E.12)
donde m es la masa de lodo, Cpm es el calor específico del lodo y Tws es la
temperatura del fluido.
2).- La segunda ecuación describe la transferencia de calor (o el gasto de calor
ganado) desde el centro del pozo a las paredes del mismo, mediante la Ley de
Fourier para conducción de calor:
( )π= − −wws we
dQ 2 rU T T dz
(E.13)
Vista lateral
Fronterasadiabáticas
Vista superior R
a b
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
173
donde r es el radio del pozo y Twe es la temperatura de interfase entre el pozo y la
formación. Aquí, el lodo es considerado solamente como un elemento de resistencia
para la transferencia de calor en el pozo, mientras que U representa el coeficiente
convectivo de transferencia de calor total.
3).- La tercera ecuación analiza la transferencia de calor referida a la diferencia de
temperaturas entre las paredes del pozo (interfase pozo-formación, Twe) y la SFT o
Ti como:
( )π
−= − we iw
eD
T TdQ 2 k dz T
(E.14)
donde TD es la solución de la ecuación de difusividad térmica adimensional para
una fuente de calor en coordenadas cilíndricas. (Hasan y Kabir, 1991).
Hasan y Kabir (1994) combinaron las tres ecuaciones anteriores para obtener una
ecuación diferencial simplificada que describa la variación de la temperatura del
fluido de perforación respecto al tiempo:
( )−= − ws iws T TdT
dt A ''
(E.15)
donde A” fue definida como un parámetro de tiempo de relajación, la cual es
estimada mediante la siguiente ecuación:
π⎛ ⎞⎛ ⎞ +
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
pm e D
e
m C k r U TA " 2 r U k
(E.16)
TD puede estimarse mediante un grupo de correlaciones reportadas en Hasan y
Kabir (1991, 1994). De esta forma, la ecuación (E.15) fue reordenada e integrada
para periodos breves de paro de circulación (tD < 1.5). De este procedimiento
matemático Hasan y Kabir (1994) propusieron una solución rigurosa para estimar
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
174
las temperaturas del lodo (Tws) con ΔtD desde que se detiene la circulación del lodo.
Lo representan matemáticamente como:
( ) ( )ξ ξ⎡ ⎤= − + Δ − Δ⎣ ⎦''
ws i 0 D D DT T C t t t (E.17)
Esta ecuación sugiere que, de graficar el valor de la temperatura medida en el pozo
(Tws) o BHT como función del tiempo ( ) ( )[ ]DDD ttt Δ−Δ+ ξξ muestra como resultado
una línea recta la cual es interceptada en un punto por el valor de la temperatura
real de la formación (Ti) o SFT, mediante la pendiente, C0”.
La aplicación directa de esta formulación fue considerada como un método analítico
realista para inferir las SFT, sin embargo; los cálculos necesarios para aplicar esta
solución son demasiado extensos y complejos y podrían ser imprácticos en algunos
casos por que requieren de una considerable cantidad de información de un pozo
en perforación.
Bajo este contexto, Hasan y Kabir (1994) mencionan que el conocimiento de los
coeficientes convectivos de transferencia de transferencia de calor para un lodo
específico podrían presentar un problema por que no se tiene correlaciones
disponibles veraces que permitan su utilización para los cálculos. De hecho existen
pocas publicaciones aisladas que muestran las propiedades termofísicas de los
lodos o de transporte de los mismos (Santoyo et al., 1996; Kiyohashi et al., 1996).
Considerando tales restricciones, Hasan y Kabir (1994) simplificaron su solución y
derivaron 3 métodos analíticos adicionales para la estimación de la SFT. Esos
métodos fueron definidos como aproximaciones exponenciales, logarítmicas-
lineales y con valores de tiempo representados como raíz cuadrada. Para ello,
utilizaron un grupo de pruebas de validación y demostraron su exitosa aplicación
para el caso de la primera y segunda aproximación mencionada anteriormente. La
tercera aproximación (raíz cuadrada del tiempo) fue parcialmente recomendada por
que generaba valores de SFT poco realistas para periodos cortos de paro de
circulación.
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
175
La base analítica de los primeros 2 métodos mencionados anteriormente se
presentan a continuación:
5.1) Método de la Aproximación Exponencial.
Esta aproximación fue el resultado de considerar que el parámetro del tiempo de
relajación (A”) mostrado en la ecuación (E.13), sea constante. Hasan y Kabir (1994)
mencionan que tal consideración puede ser valida para la combinación de valores
pequeños de tD y bajos coeficientes convectivos de calor de lodo de perforación.
Para este caso, la integración de la ecuación (E.15) para t = 0 (en Ti) hasta t = t (en
Tws) y de aplicar el principio de superposición para contabilizar el lodo de circulación
antes del paro, generan la siguiente ecuación simplificada:
[ ] ( )= − − − −Δ"ws i 0 cT T C exp( t / A ") 1 exp t / A " (E.18)
De aquí, una gráfica del valor de las mediciones de temperatura (Tws) versus el exp
(-Δt/A”) muestra una línea recta y a las SFT (Ti) como la intercepción de la misma
[Hasan y Kabir (1994)].
5.2) Método de la aproximación Logarítmica-Lineal.
Esta aproximación esta basada en consideraciones muy similares a las hechas con
el Método de Horner, referido a periodos cortos de circulación de lodo. El valor de la
temperatura adimensional (TD) se estima mediante una aproximación logarítmica
cuando tD > 1.5. De igual forma, la temperatura de lodo al centro del pozo (Tws) es
considerada como un valor igual al a temperatura de interfase pozo-formación (Twe)
lo cual es valido solamente para el caso de lodos con altos coeficientes de
transferencia de calor, esto permite establecer una ecuación para Tws y TD de
acuerdo a lo siguiente:
= −ws i 0 DT T B T (E.19)
Apéndice E Métodos analíticos para estimar temperaturas estáticas de formación
176
La pendiente B0 esta dada mediante la ecuación:
π= ⋅w
0e
dQ 1B dz 2 k
(E.20)
después de combinar la ecuación (E.20) con la correlación correspondiente a TD
para periodos largos de circulación (tD > 1.5), una ecuación logarítmica lineal
simplificada es derivada:
+ Δ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠c
ws i 0t tT T 0.5B ln
t
(E.21)
Una gráfica logarítmica de Tws vs. DHT, puede ser representada como una relación
lineal. En la intersección de DHT = 1.0 ( por ejemplo con largos Δt) podría obtenerse
la SFT (Ti).
APÉNDICE F
Datos de simulación para el pozo 3007
****** SIMULACIÓN: POZO PETROLERO 3007 ********
DIAMETRO DEL AGUJERO SECCION SUPERIOR = 30.00 pg
DIAMETRO DE LA TUB. (1) 9.6258 pg
DIAMETRO DE LA TUB. (2) 11.8350 pg
DIAMETRO DE LA TUB. (3) 16.1745 pg
********* CARACTERISTICAS DEL POZO **********
SECCIONES EN QUE SE DIVIDE EL POZO: 4
LONGITUD DE LA SECCION:(1) 150.00 m
DIAM. DEL AGUJERO SECCION:(1) 30.00 pg
NUMERO DE SEGMENTOS PARA ESTA SECCION : 10
DELTA DE Z PARA ESTA SECCION: 15.0 m
LONGITUD DE LA SECCION:(2) 651.00 m
DIAM. DEL AGUJERO SECCION:(2) 18.55 pg
NUMERO DE SEGMENTOS PARA ESTA SECCION : 15
DELTA DE Z PARA ESTA SECCION: 43.4 m
LONGITUD DE LA SECCION:(3) 1394.00 m
DIAM. DEL AGUJERO SECCION:(3) 14.60 pg
NUMERO DE SEGMENTOS PARA ESTA SECCION : 25
DELTA DE Z PARA ESTA SECCION: 55.76 m
LONGITUD DE LA SECCION:(4) 725.00 m
DIAM. DEL AGUJERO SECCION:(4) 10.66 pg
NUMERO DE SEGMENTOS PARA ESTA SECCION : 25
DELTA DE Z PARA ESTA SECCION: 29.0 m
CONDUCTIVIDAD TERMICA DEL CEMENTO: 0.7000[W/m oC]
CALOR ESPECIFICO DEL CEMENTO :2000.0000 J/kg oK
DENSIDAD DEL CEMENTO : 1500.00 kg/m3
Apéndice F Datos de simulación para el pozo 3007
********** CARACTERISTICAS DE LA TUBERIA DE PERFORACION **********
DIAMETRO DE LA TUBERIA DE PERFORACION : 5.122 pg
ESPESOR DE LA TUBERIA DE PERFORACION : 1.9700 pg
CONDUCTIVIDAD TERMICA DEL METAL: 43.3000 W/m oC
CALOR ESPECIFICO DEL METAL : 440.0000 J/kg oK
DENSIDAD DEL METAL : 7800.00 kg/m3
********* CARACTERISTICAS DEL YACIMIENTO **********
CONDUCTIVIDAD TERMICA DE LA ROCA: 1.6800W/m oC
CALOR ESPECIFICO DE LA ROCA :1700.0000 J/kg oK
DENSIDAD DE LA ROCA : 2620.00 kg/m3
TEMPERATURA DE LA SUPERFICIE : 28.00 oC
GRADIENTE GEOTERMICO : 3.00 oC/100m
****** PROPIEDADES FISICAS DEL FLUIDO ******
FLUJO MASICO DE ENTRADA : 18.60 Kg/hr
TEMPERATURA DEL FLUIDO AL ENTRAR : 22.00 oC
CONDUCTIVIDAD TERMICA DEL FLUIDO: 0.2300W/m oC
CALOR ESPECIFICO DEL FLUIDO :1990.0000 J/kg oK
DENSIDAD DEL FLUIDO : 870.00 kg/m3
VISCOSIDAD DEL FLUIDO : 34.0 cp
AREA DE FLUJO DEL TUBO DE PERFORACION: 0.0007 m2
AREA DE FLUJO EN EL ESPACIO ANULAR: 0.0261 m2
VELOCIDAD DEL FLUIDO EN EL TUBO DE PERFORACION: 30.2456 m/s
VELOCIDAD DEL FLUIDO EN EL ESPACIO ANULAR: 0.8180 m/s
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