Tesina Atmosfera

8202019 Tesina Atmosfera

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Universitagrave degli Studi di LrsquoAquila

Tesina di Fisica dellrsquoAtmosfera

Circolazione Atmosferica Tropicale

Autore

Maddalena Cataldo

Professore

Guido Visconti

5 agosto 2014



Indice

1 Introduzione 2

2 Circolazione di Hadley 4

21 Circolazione simmetrica non lineare 5

22 Grafici ed altre considerazioni 1023 Vorticitagrave 1224 Grafici 15

3 Risoluzione per via numerica 17

31 Programma 1732 Risultati 19

4 Appendice 25

41 Vento termico 2542 Approssimazione di Shallow Water 26

43 Metodo Perturbativo 2744 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica 2745 Media Zonale 29

5 Bibliografia 30

1



1 Introduzione

La regione equatoriale della Terra egrave maggiormente insoleggiata rispetto alle regioni polariquesto provoca un maggiore riscaldamento dellrsquoatmosfera che si trova al di sopra di essaLa differenza di temperatura rispetto allrsquoaria che si trova a quote maggiori fa sigrave che lrsquoariacalda piugrave leggera tenda a salire in quota in questo suo movimento viene perograve deviata dalla

accelerazione di Coriolis provocata dal moto di rotazione della Terra che la trasporta versolatitudini maggiori Cosigrave vengono a generarsi dei getti di corrente detta zonale nella zonasubtropicale che rimane localizzata al di sotto del tropico

Esaminando lrsquoemisfero nord si osserva che la forza di Coriolis provoca una deviazioneverso destra di questa massa di aria Lrsquoaria che egrave salita di quota nel suo percorso tendea raffreddarsi arrivata intorno a 30 gradi Nord tende nuovamente a ridiscendere essendodiventata piugrave pesante il movimento della discesa viene deviato e si sviluppa in direzioneequatoriale Il moto di questa massa drsquoaria contrario al primo genera dei caratteristiciventi chiamati alisei

Il processo completo rappresenta un moto convettivo della massa drsquoaria che prende il

nome di circolazione di Hadley e ne parleremo nel prossimo paragrafoLo stesso processo si sviluppa nellrsquoemisfero meridionale con delle celle convettive la cuiestensione partendo dallrsquoequatore arriva fino al tropico del Sud e rimane al di sopra diquesto fino a circa 30 gradi Sud Il moto di circolazione complessivo risulta simmetricorispetto alla linea equatoriale e localizzato nella fascia tropicale Nel moto convettivo sigenerano due celle macroscopiche denominate celle di Hadley

La regione in cui le due circolazioni settentrionale e meridionale si incontrano non coin-cide esattamente con il parallelo zero La simmetria non egrave esattamente rispetto allrsquoequatorein quanto ci sono diversi altri effetti che ne provocano delle variazioni Questa regione vienedenominata zona di convergenza intertropicale generalmente abbreviata con ITCZ I suoispostamenti sono variabili annualmente la posizione media dellrsquoITCZ si trova leggermentea Nord dellrsquoEquatore ma nel mese di Ottobre si sposta verso Sud e nel mese di Aprile versoNord Nella figura sono riportati i due diversi andamenti della linea ITCZ a seconda delperiodo dellrsquoanno

2



Figura 1 Differenti andamenti della linea di ITCZ durante i mesi di giugno (linea continua)e di luglio (linea tratteggiata) messi a confronto fra loro

3



2 Circolazione di Hadley

Il nome della cella egrave stato assegnato in onore di George Hadley un avvocato inglese emeteorologo amatoriale del 1700 che per primo interpretograve correttamente la causa delladirezione prevalentemente occidentale degli alisei nelle regioni subtropicali Come abbiamovisto la circolazione complessiva egrave quasi interamente determinata dagli effetti della forza di

CoriolisI venti che spirano da queste aree sono costanti e diretti verso lrsquoEquatore dove esiste

una fascia di basse pressioni a causa dellrsquoelevatissima temperatura Essi subiscono unadeviazione verso Ovest che li orienta da Nord-Est nellrsquoemisfero settentrionale e da Sud-Estnellrsquoemisfero meridionale si tratta rispettivamente degli Alisei di Nord-Est che soffianoregolarmente nellrsquoemisfero settentrionale e degli Alisei di Sud-Est che soffiano regolarmentenellrsquoemisfero meridionale per tutto lrsquoanno con velocitagrave pressocheacute costante intorno ai 12nodi

Spirano con direzione opposta alla rotazione della terra e tendono quindi a rallentarla Ilmomento angolare totale deve essere infatti costante La circolazione cosigrave descritta egrave anche

detta diretta percheacute dovuta al riscaldamento differenziale dei tropiciNellrsquoimmagine seguente egrave riportato uno schema delle celle di Hadley che si sviluppano

simmetricamente rispetto allrsquoequatore e che si estendono fino ad una latitudine di circa 30o

Sud e 30o Nord Si vede inoltre il sistema di riferimento che verragrave utilizzato durante tuttala trattazione

Mentre in quella successiva viene riportato un dettaglio del processo che fa sigrave che la celladi Hadley si metta in moto osserviamo come il tutto sia provocato dalla forza di Coriolische agisce sulle masse drsquoaria in moto verso quote piugrave basse o piugrave alte

Figura 2 Schema della circolazione di Hadley simmetrica rispetto allrsquoequatore Viene inoltre

presentato il sistema di coordinate che viene utilizzato in tutta la trattazione

4



Figura 3 Semplice schema dei processi che danno origine alla circolazione di Hadley Notia-mo lrsquoeffetto della forte insolazione nella zona equatoriale e gli spostamenti simmetrici dellemasse drsquoaria in seguito allrsquoazione della forza di Coriolis

21 Circolazione simmetrica non lineare

Il modello della circolazione simmetrica non lineare egrave stato proposto nel 2001 da Sobel et alper studiare la circolazione di Hadley Si basa sullrsquoapprossimazione di Debole Gradiente di

Temperatura generalmente abbraviata con WTG (Weak Temperature Gradient ) che rappre-senta un modello di equilibrio caratteristico dei tropici Questa approssimazione impone cheil gradiente di temperatura ai tropici sia molto basso e viene posto nullo al fine di risolverele equazioni in maniera semplificata

Il problema di cui ci occupiamo egrave ricavare lrsquoequazione del moto di una generica cella diHadley durante la convezione basandoci su un modello molto esemplificato che non rispecchiala realtagrave ma che fornisce unrsquoidea delle linee generali del processo

La soluzione piugrave semplice egrave ricavata escludendo in un primo momento lrsquoattrito viscosodella cella di Hadley con il suolo terrestre

Premettiamo che in questo scritto svilupperemo la trattazione utilizzando sempre le coor-dinate locali (xyz ) e non quelle sferiche (φ z ) per una questione di comoditagrave e soprattuttodal momento che verragrave ribadita piugrave volte lrsquoapprossimazione di piccoli angoli per cui vale lasemplice relazione dy ≃ adφ

La prima equazione necessaria egrave quella del vento termico che viene ricavata dalle equazionidi vento geostrofico

minusf partu

partz =

g

T

partT

party

dove u egrave la velocitagrave al livello piugrave in alto T egrave la temperatura g lrsquoaccelerazione di gravitagrave ed f

il parametro di Coriolis definito come f = 2Ωsinφ Integrando fino ad unrsquoaltezza H costante

5



otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party

dove T 0 egrave la temperatura al livello zero Assumo ora lrsquoapprossimazione del piano β in cuif = f 0 + βy ed essendoci posti vicino allrsquoequilibrio allora vale f 0 ≃ 0 da cui lrsquoequazionediventa

minusβyu = gH T 0

partT party

La seconda equazione deriva dalla conservazione dellrsquoimpulso o legge del moto

partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx

in cui p egrave la pressione e ρ la densitagrave del fluido Applichiamo la media zonale (vedi Appendice(35)) e valutiamo lo stato stazionario viene cosigrave eliminata la derivata rispetto alla coordinatax e rispetto al tempo

v983080

partuparty minus f

983081 = 0

Lrsquoultima equazione necessaria per la risoluzione egrave quella relativa alla termodinamica del siste-ma che determina la variazione totale della temperatura potenziale θ (definita nellrsquoAppendice34)

Dθ

Dt =

θE minus θ

τ

Abbiamo assunto cosigrave lrsquoapprossimazione di Cooling Newtoniano in cui il profilo della tempe-ratura di equilibrio egrave θE e il sistema tende a rilassare fino a questa in un tempo caratteristico

indicato con τ Questo determina che in zone in cui la temperatura effettiva θ egrave maggiore diquella di equilibrio allora la derivata completa egrave positiva e il sistema si raffredda e viceversase la θ egrave minore di θE il sistema si scalda per arrivare allrsquoequilibrio (vedi Fig4)

Esplicitando la derivata totale e ponendoci in condizioni stazionarie si ottiene u partθpartx

+v partθparty

=θEminusθτ

Sapendo che partupartx

+partvparty

= 0 allora si ottiene facilmente che lrsquoequazione precedente egrave uguale

a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ

imponendo poi la media zonale si elimina la derivata in x Integrandodalla latitudine zero fino ad H e supponendo che il termine θE minus θ sia costante con la quotae che il primo membro sia diverso da zero nello spessore di aria δ che egrave quello che si trova inalta quota rispetto alla complessiva altezza della troposfera e di cui stiamo considerando ilmoto otteniamo

δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)

dove ∆z egrave la differenza di temperatura potenziale tra la superficie e lo strato superiore dialtezza H Tenendo presente che la temperatura T egrave legata alla temperatura potenziale dallarelazione seguente

T = θ( ptps)RC p

Dove pt e ps sono rispettivamente i valori delle pressioni della superficie e della tropopausalrsquoequazione risulta corretta

Abbiamo allora presentato le equazioni fondamentali Le soluzioni che descrivono ilproblema sono gli andamenti della velocitagrave meridionale v della temperatura potenziale θ (che

6



successivamente indicheremo con η) della velocitagrave zonale u in funzione della coordinata yLa risoluzione numerica viene presentata nel prossimo capitolo in questo invece ne otteniamola soluzione analiticamente

La prima equazione egrave possibile integrarla banalmente ottenendo la semplice equazionedella conservazione del momento angolare

u = 1

2βy2 + cost

Infatti sostituendo β = 2Ωcosφa sim 2Ωa e y sim asinφ dove a rappresenta il raggio terrestre

u = 1

2

2Ω

a (asinφ)2 = Ωasin2φ

e ricordando lrsquoequazione del momento angolare Ωa2 = acosφ(Ωacosφ + u) vediamo chericavando la velocitagrave u ed imponendo il limite di angoli piccoli per cui sinφ sim φ si ottieneesattamente la stessa equazione

u = aΩsin2φcosφ ≃ Ωaφ2

Dalle osservazioni sulla temperatura si evince che lrsquoandamento del rapporto tra θE e unatemperatura di riferimento θ0 in funzione della coordinata y egrave approssimabile ad una funzioneanalitica del tipo

θE (φ z )

θ0= 1minus 2

3∆yP 2(sinφ) + ∆z

983080 z

H minus 1

2

983081Dove P 2 egrave il secondo polinomio di Legendre P 2(sinφ) = (3sin2φminus 1)2 ∆y egrave la differenza ditemperatura tra il polo e lrsquoequatore Per cui si vede che per z = H2 e nellrsquoapprossimazionedi piccoli angoli y = asinφ

≃aφ e una volta applicata una media verticale

θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172

espressione che puograve essere anche scritta come

θE = θE 0 minus ∆θy

2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y

Tornando allrsquoequazione del vento termico che avevamo trovato possiamo ora integrarla

imponendo le condizione al contorno Fissiamo che oltre una determinata latitudine indicatacon yH la cella di Hadley non puograve sconfinare perciograve per y ge yH vale v = 0 Alla stessalatitudine vale inoltre che θ = θE Lrsquoequazione del vento termico integrata egrave

minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0

2gH β 2y3 = minus T 0

2L4ρ

y3

dove con Lρ = (radic

gHb)12 indichiamo il raggio di Rossby equatoriale Lrsquointegrazione su ye la sostituzione di T con la sua espressione in funzione della temperatura potenziale ci dagrave

unrsquoequazione per questrsquoultimaθ = C minus Dy4

7



dove C egrave la costante che deriva dallrsquointegrazione determinata imponendo le precendenticondizioni e D egrave definita come

D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ

Ricaviamo cosigrave lrsquoespressione totale della θ

θ = θE (yH ) + D(y4H + y4) = θE 0 minus ∆θ

983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)

In questo modo posso ricavare la velocitagrave meridionale v in funzione di y sostituendo laprecedente espressione

v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)

la costante di integrazione egrave stata posta nulla percheacute allrsquoequatore per ragioni di simmetriav = 0 Inoltre come giagrave detto v = 0 anche per y = yH da cui si ottiene

yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112

Imponendo che oltre la cella di Hadley la velocitagrave zonale egrave quella che corrisponde allatemperatura di equilibrio q E otteniamo

uE = gH ∆y

Ωθ0a

In questo modo abbiamo trovato anche lrsquoandamento delle velocitagrave in quota dove vieneconservato il momento angolare mentre ora vogliamo trovare lrsquoandamento di quella zonalein prossimitagrave della superficie terrestre In questa regione perograve entra in gioco lrsquoattrito conil suolo e bisogna includere la sua influenza sulle equazioni del moto e termodinamiche Inquesta regione stiamo quindi trattando il moto degli alisei

Riscriviamo allora lrsquoequazione del moto sostituendo la derivata della velocitagrave v rispettoalla latitudine y

partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081

Questa equazione puograve essere vista come se al parametro di Coriolis f si vada a sostituireun parametro di Coriolis formato da un termine aggiuntivo f + utanφa Ricordiamoche il parametro f vale f = 2Ωsinφ e che quindi allrsquoequatore va a zero In questo modo iltermine aggiuntivo presente fa sigrave che le forze di Coriolis e di pressione non sono piugrave bilanciateSecondo questa visione la forza di Coriolis ha assunto quindi il valore pari a uvacosφ

partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081

Il termine al secondo membro reppresenta la derivata del flusso della quantitagrave di moto Il

fluido al suo interno presenta un gradiente di velocitagrave partupartz questo provoca quindi un flussodi quantitagrave di moto dalla superficie verso il fondo Per la legge di diffusione consideriamo il

8



flusso come proporzionale al gradiente di velocitagrave con costante K La derivata si giustificapoicheacute si osserva che il primo membro dellrsquoequazione rappresenta la divergenza del momentoassociato allrsquoatomosfera Infatti sappiamo che lrsquoequazione complessiva deve rappresentare laconservazione del momento angolare totale del sistema aria-superficie terrestre che si indicain generale con la divergenza del momento angolare posta uguale a zero

nabla middotM = 0

di conseguenza nel nostro caso il primo membro rappresenta la divergenza del momentodellrsquoatmosfera e il secondo membro il momento dissipato dalla superficie In altre parole egravelrsquouguaglianza tra la divergenza orizzontale e quella verticale

Possiamo ora riscrivere lrsquoequazione utilizzando la divergenza e ricordando che nabla middot u = 0

nabla middot (uu) minus uv

a tanφ minus f v minus part

partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)

percheacute osserviamo che nabla middot (uu) = u middot nablau + unabla middot u = u middot nablau = u(partupartx) + v(partuparty)

Lrsquoespressione del momento M egrave M = Ωa2

cos2

φ+uacosφ da questo e dal fatto che M prop usi ottiene che lrsquoequazione precedente puograve essere riscritta nel seguente modo

nabla middot (uM ) = K part 2M

partz 2 (3)

Integrando questa equazione rispetto alla quota z ed indicando con U la velocitagrave u integratatra gli estremi z = 0 e z = H

nabla middot (UM ) = K partM

partz

che equivale a scrivere

U partM partx

+ V part M party

= K partM partz

e facendo la media zonale si elimina la derivata in x In questo modo possiamo ricavarelrsquoandamento della velocitagrave u in prossimitagrave del suolo u(0) Innanzitutto osserviamo che

V part M

party =

partvM

party

e per la definizione del momento angolare si ottengono le seguenti uguaglianze

part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)

dove abbiamo imposto le condizioni al contorno in superficie e alla sommitagrave per cui la velocitagravezonale risulta nulla In questo modo si ottiene che lrsquoeffetto dellrsquoattrito relativo allrsquointerazionecon la superficie terrestre egrave proporzionale al raggio della Terra a e alla velocitagrave in prossimitagravedel suolo u(z = 0) Ricaviamo allora lrsquoandamento di questrsquoultima in funzione della latitudinederivando lrsquoequazione della velocitagrave v che avevamo precedentemente ricavato

Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)

Abbiamo cosigrave ricavato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in prossimitagrave della superficie

9



22 Grafici ed altre considerazioni

Riportiamo nel primo grafico lrsquoandamento della temperatura potenziale in funzione dellalatitudine y Nel secondo grafico egrave presentato lrsquoandamento della velocitagrave zonale in quota esulla superficie terrestre rispettivamente di colori rosso e blu

Egrave stato utile normalizzare le grandezze tramite degli opportuni fattori La velocitagrave zonale

in quota viene divisa per il valore di uE precedentemente ricavato

uE = gH ∆y

Ωθ0a

mentre sulla superficie viene normalizzata tramite il fattore

5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m

p e r a t u r e ( K )

Figura 4 Temperatura potenziale Viene riportata in questo grafico il profilo di temperatura

potenziale della cella di Hadley in funzione della coordinata y e il profilo di temperatura diequilibrio indicato con thetaE Entrambi non sono normalizzati la temperatura egrave misuratain gradi Kelvin

10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)

Figura 5 Velocitagrave zonale normalizzata Viene riportata in questo grafico la velocitagrave zonalenormalizzata con i coefficienti appena presentati nei due andamenti a quota H (linea rossa)e al livello del mare di altitudine 0 (linea blu) Si noti nel primo plot inizialmente lrsquoandamentoparabolico e successivamente la discontinuitagrave in corrispondenza della latitudne limite dellacella di Hadley (il valore del quale in questo grafico non egrave indicato percheacute non indicativonelle dimensioni del plot in questione ma che successivamente verragrave ricavato)

Osserviamo nel primo grafico la latitudine limite indicata nello scritto come yH (nonindicata sul grafico) punto in cui le due temperature si uguagliano dopo delle appenaaccennate oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio Nel secondo grafico osserviamoinnanzitutto lrsquoandamento della velocitagrave in quota che per il tipo di equazione introdottarisulta avere una discontinuitagrave proprio nel punto yH dopo del quale assume il valore costante10 essendo normalizzata ad uE Nello stesso grafico osserviamo poi la differente scala dellavelocitagrave zonale sulla superficie che pur con la costante di normalizzazione diversa risultaessere di intensitagrave molto minore In particolare di questo plot si osserva la presenza di valori

positivi e negativi questi ultimi rappresentano le masse drsquoaria che prendono il nome di alisei

A questo punto prima di procedere egrave interessante evidenziare la validitagrave dei risultatiottenuti tramite lrsquointroduzione di alcuni dati osservativi Dallrsquoarticolo di Sobel e Schneider(vedi Bibliografia) pervengono i seguenti valori

τ = 37days H = 16km δ = 4km T 0 = 300K ∆z = 60K ∆y = 100K θ0 = 330K

sostituendoli otteniamoyH ≃ 27000Km

che tramite lrsquoequazione del cambio di coordinate definisce la latitudine limite come φH ≃ 24oQuesto egrave abbastanza importante perchegrave riconferma lrsquoipotesi di piccoli angoli che avevamo

11



introdotto inizialmente La cosa ci induce allora ad una ulteriore semplificazione infatti nel-lrsquoespressione della velocitagrave meridionale (1)si possono facilmente trascurare i termini di ordinesuperiore al primo nello sviluppo in polinomi evidenziando cosigrave in prima approssimazioneuna linearitagrave in funzione della coordinata y

23 VorticitagravePer giungere ad un modello che sia piugrave vicino alla realtagrave crsquoegrave bisogno di eliminare la disconti-nuitagrave nella velocitagrave zonale risultato solo di un limite del modello stesso e non rappresentanteun effettivo dato osservativo A tal fine egrave piugrave utile introdurre la vorticitagrave e la sua equazionedi conservazione

Riccorriamo ad una riformulazione della cella di Hadley in cui includiamo anche lrsquoeffettodellrsquoattrito interno del fluido

Partiamo dalle equazioni del moto in approssimazione di Shallow Water (Appendice 32)

Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party

applicando la media zonale vengono eliminate le derivate in x A questo punto includiamolrsquoespressione di un generico attrito viscoso la cui forza egrave proporzionale alla velocitagrave del fluidocon un parametro α uguale per entrambe le componenti

Per semplificare le equazioni conviene normalizzarle per renderle adimensionali Il fattoredi normalizzazione per le lunghezze e i tempi

L =

radic g

f

T = 1

f

Allora la velocitagrave normalizzata saragrave

vprime = f 2radic

gv

Chiamo nuovamente v la velocitagrave normalizzata vprime e riscrivo le equazioni normalizzate

partu

partt + v

partu

party minus f v = minusαu

partvpartt

+ v partvparty

+ f u = minusg parthparty minus αv (5)

A queste equazioni giagrave trovate va aggiunta una ultima equazione che egrave quella che indicala variazione dellrsquoaltezza del fluido h Viene fornita dallrsquoequazione di continuitagrave

parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0

Normalizzo anche questa equazione dividendo tutto per lrsquoaltezza massima H e ridefiniscolrsquoaltezza normalizzata come η = hH

partηpartt

+ part partx

[(1 + η) u] + part party

[(1 + η) v] = 0 (6)

12



Aplicando la media zonale si elidono le derivate in xQuesta equazione viene ora utilizzata per ricavare una dipendenza dalla temperatura nel

sistema che stiamo considerando Infatti supponendo ragionevolmente che lrsquoaltezza totaledellrsquoatmosfera sia direttamente proporzionale alla temperatura in questo modo definisco unospessore geopotenziale

h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0

983081poicheacute T prime = T + T 0 dove la temperatura T 0 ricordiamo essere quella dello strato zero Allorane deduco che vale la seguente uguaglianza

1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0

In questo modo lrsquoequazione (3) rappresenta la variazione della temperatura Poniamo oraun termine forzante che generalmente indichiamo con Q e per lrsquoapprossimazione di Cooling

Newtoniano la supponiamo essere della stessa forma definita nel paragrafo precedente

partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv

party + f u = minusg

parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)

In questa trattazione ci occupiamo della risoluzione delle equazioni stazionarie La riso-luzione delle equazioni dipendenti dal tempo necessita di una risoluzione numerica basata su

algoritmi piugrave complessi di quelli utilizzati qui

vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)

A questo punto possiamo ulteriormente semplificare dividendo per f che ha le dimensioni di

un tempo alla meno uno

vpartu

party minus v = minusαu

vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)

Introduciamo a questo punto la vorticitagrave Ricordiamo la definizione della vorticitagrave relativae facciamo in modo che compaia nelle equazioni precendenti per averne una espressione piugravesemplice

ζ = partvpartx minus partuparty

13







Le linee tratteggiate mostrano i grafici a diversi valori del parametro di attrito α Siosserva come allrsquoaumentare di questo le funzioni presentino delle decrescite a zero semprepiugrave lente e discostate dalle funzioni ricavate fissando α = 0

16



3 Risoluzione per via numerica

Prima di procedere alla risoluzione vera e propria facciamo delle considerazioni sulle equazioniche ci si presentano Consideriamo quelle indipendenti dal tempo del sistema seguente

vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)

dove indichiamo h = 1 + η ed esplicitiamo ηE e quindi h come segue

ηE (y) =

983163H E per |y| lt yE

0 per |y| gt yE (11)

Che egrave la stessa definizione riportata nellrsquoarticolo Polvani e Sobel del 2001 (si veda Bibliogra-fia) in cui yE egrave una latitudine indicativa che rappresenta il limite della zona in cui agisce laforzante del sistema Allora le tre equazioni possono essere riscritte come segue

partu

party = 1minus α

u

v

vpartv

party + u = minuspartη

party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)

Il sistema puograve essere allora risolto per le derivate

partu

party = 1 minus α

u

vpartv

party = minus 852059uv + αv2 + Q

852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)

Per risolvere il sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine sono stati utilizzatii programmi i cui listati vengono riportati nella prossima sezione

31 Programma

Di seguito egrave presentato lo script utilizzato per la risoluzione numerica del sistema di equazioniindipendenti dal tempo t Il linguaggio utilizzato egrave Octave il programma egrave stato tradottoa partire dallo script in Matlab trovato nel capitolo 12 di cui egrave riportato il riferimento nellabibliografia I commenti dettagliati indicano le funzioni dei vari comandi I riferimentiprincipali per le risoluzioni numeriche sono stati lrsquoarticolo Polvani-Sobel (2001) specialmenteper i valori dei parametri e il capitolo 12 in particolare il programma in Matlab I valoridei parametri introdotti sia nel programma Octave Matlab che in quello Fortran90 (di cuiparleremo in seguito) sono stati

H = 10 yE = 01 τ = 10

17



Valori adimensionali da cui si ricava yH in funzione di H e yE

yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave

function xdot = hadley(t x)

Inizializzazione della funzione xdot e dei parametri

alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)

Definizione della funzione Q

if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux

xdot(2) = - (x(1) x(2) + alfa x(2) x(2) + q) aux1

xdot(3) = ((1 + x(3)) (alfa x(2) + x(1)) + q x(2)) aux1

end

Opzioni per lrsquoalgoritmo ode45

options = odeset(

rsquoInitialSteprsquo 1e-3

rsquoMaxSteprsquo 1e-3

rsquoAbsTolrsquo [1e-4 1e-4 1e-5]

)

tmax = 07

[t x] = ode45(hadley [0 tmax] [0 0001 017] options)

newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot

h = plot(t x(1)) axis([0 tmax 0 035])



Caratteristiche dei plot

set(h(1) linewidth 3)set(h(1) color b)

18



xlabel(rsquoyrsquo)

ylabel(rsquov(y)rsquo)

print -deps -color v07beps

bull Matlab

function xdot=hadley(tx) xdot=zeros(31)

alfa=10 xdot(1)=1-alfax(1)x(2) if(tlt01)

q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux

xdot(2)=-(x(1)x(2)+alfax(2)x(2)+q)aux1

xdot(3)=((1+x(3))(alfax(2)+x(1))+qx(2))aux1

The following instructions run the program and plot the results

[tx]=ode45(rsquohadleyrsquo[0 095][00001017])

plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati

Di seguito i grafici relativi al programma in Octave La prima serie rappresenta la velocitagrave

zonale la seconda la velocitagrave meridionale e la terza la temperatura che abbiamo indicatocon η i grafici sono relativi rispettivamente a valori di α pari a 00 03 05 10

0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

Innanzitutto i grafici relativi agli andamenti della velocitagrave zonale e della temperatura so-no molto soddisfacenti riproducendo perfettamente lrsquoandamento del modello di riferimentoprefissato sia qualitativamente che quantitativamente Si vede come al crescere del parame-tro α infatti le due funzioni subiscono via via uno schiacciamento ed unrsquoespansione fino acoprire tutta lrsquoasse delle ascisse Mentre per quanto riguarda la velocitagrave meridionale crsquoegrave dacompiere un discorso piugrave accurato

Si osserva immediatamente come nel caso per α = 00 il grafico della velocitagrave meridionaletende a discostarsi sempre piugrave dal limite corretto a grandi distanze (Figura 6) Si vede infatti

nei grafici presentati precedentemente che la funzione in questione dovrebbe tendere a zeroanche oltre il limite della cella di Hadley indipendentemente dal valore del parametro αIn questa trattazione ho tentato di riprodurre i valori dei grafici di riferimento sia con ilprogramma fornito dallrsquoautore stesso sia traducendo questo nel linguaggio Octave sia infineriscrivendo un programma in Fortran90 per risolvere il sistema In particolare questrsquoultimo egravestato basato sullrsquoalgoritmo per le equazioni differenziali di Eulero Il programma egrave riportatodi seguito I commenti dettagliati indicano anche qui le funzioni dei vari comandi

bull Fortran90

program tesinaimplicit none

21



real8 y dy u v etaE eta yH yE HE f y0 amp

Q a tau unext vnext etanext Q0 v0 u0 amp

eta0 f_u f_v f_eta

open(unit=1file=rsquotesinadatrsquostatus=rsquoreplacersquo)

inizializzazione dei parametria = 00

dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)

inizializzazione della posizione y e delle tre funzioni

y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0

inizializzazione della funzione Q

Q0 = (HE - eta0) tau

Q = Q 0 algoritmo risolutivo

do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if

unext = u + dy f_u(a u v)

vnext = v + dy f_v(u v eta Q a)

etanext = eta + dy f_eta(u v eta Q a)

Q = (etaE - etanext) tau

scrittura sul file dei dati

write(1) y unext vnext etanext

riaggiornamento delle variabili

y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program

Definiamo le funzioni differenziali per u v e eta

Function f_u(alpha u v)

real8 u v alpha f_u

f_u = 1 - alpha (u v)

returnend Function f_u

Function f_v(u v eta Q alpha)

real8 u v eta Q alpha f_v

f_v = - (u v + alpha v20 + Q) (v20 - 1 - eta)(-10)

return

end Function f_v

Function f_eta(u v eta Q alpha)

real8 u v eta Q alpha f_etaf_eta = (((1 + eta) (alpha v + u) + Q v)

(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta

Tutti e tre i programmi presentano lo stesso tipo di problemi Ovvero una divergenzadellrsquoandamento della velocitagrave meridionale per valori di α diversi da 10 in particolare piugrave ilvalore del parametro diventa basso e si avvicina a zero piugrave la discrepanza risulta accentuataLa conclusione a cui sono giunta allora egrave che egrave evidente che il problema non egrave relativo al

tipo di implementazione ed egrave tuttavia da imputarsi al tipo di modello costruito per queiparticolari valori del parametro di attrito Questo infatti presenta necessariamente unadiverganza della velocitagrave meridionale per valori prossimi a alla latitudine limite della cellazona in cui il modello cessa di essere affidabile ed applicabile al caso fisico

Per completezza riportiamo di seguito anche il grafico della velocitagrave v(y) con parametroα = 0 ricavato con il programma Fortran90 Lrsquoandamento egrave in tutto uguale a quello ricavatocon il programma Octave

23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y

rsquovdatrsquo using 13

Figura 7 Velocitagrave meridionale con parametro drsquoattrito nullo ricavato con il programmaFortran 90

Nota Voglio infine specificare che lrsquoalgoritmo scelto per il programma in Fortran90

egrave Eulero sebbene io fossi a conoscenza della sua minore stabilitagrave rispetto allrsquoalgoritmo diRunge-Kutta Questa scelta egrave stata dettata dal comportamento della funzione ode45 pre-definita in Octave che utilizza internamente lrsquoalgoritmo di Runge-Kutta (come si puograve legge-re sulla documentazione della funzione ode45 disponibile su httpoctavesourceforge

netodepkgfunctionode45html)

24



4 Appendice

41 Vento termico

Come si vede nella figura supponiamo di disporre di un fluido con una stratificazione ditemperatura che si estenda cosigrave In cui ci sono due diverse regioni abbastanza delimitate di

aria calda ed aria fredda La figura si presenta come una sezione orizzontale del sistema chevogliamo analizzare Tra due punti che si trovano alla stessa quota esisteragrave un gradiente dipressione che tende a spingere lrsquoaria dalla zona di pressione maggiore a quella di pressioneminore Il gradiente in questione egrave direttamente indotto da quello di temperatura Questospostamento viene controbilanciato dallrsquoaccelerazione di Coriolis dovuta alla forza omonimagenerata dal moto di rotazione della Terra Questa accelerazione saragrave dunque diretta indirezione opposta al moto come indicato in figura Il moto risultante della massa drsquoariaprende il nome di vento termico poicheacute generato dalla differenza di temperatura interna alfluido

Per rivare lrsquoequazione che descrive questa situazione partiamo dal geopotenziale Φ ericordando lrsquoequazione dei gas perfetti p = ρRT

dΦ = gdz = minusdp

ρ dΦ = minusαdp rArr dΦ = minusRT

dp

ρ

allora ne deduciamo che part Φpartp = minusRTρ Richiamiamo le equazioni del vento geostrofico

vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)

Applico la derivata rispetto alla pressione p ed inverto le derivate (ed egrave consentito percheacute leequazioni iniziali sono ricavate a pressione costante) ottenendo

partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25



A questo punto sostituisco lrsquoespressione della derivata del geopotenziale precedentementetrovata e ricavo le equazioni del vento termico finali

partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)

Osserviamo infine come sia semplice passare da questa equazione per u a quella che poiabbiamo effettivamente utilizzato nella nostra trattazione dal momento che

dp = minusgρdz

sostituendo ricaviamo esattamente

minusf partu

partz =

g

T

partT

party

42 Approssimazione di Shallow Water

Adattiamo le equazioni del moto generiche che conosciamo al caso particolare utilizzatonella nostra trattazione cioegrave lrsquoaprossimazione di Shallow Water Innanzitutto consideriamolrsquoequazione di continuitagraveă partu

partx + partv

party + partw

partz = 0 supponendo che partu

partx e partv

party siano indipendenti

dalla coordinata z Fissiamo il suolo a z = 0 e secondo la teoria delle perturbazioni di cuiparleremo in seguito fisso la coordinata della profonditagraveă z = H + η con H lrsquoaltezza mediaed η lrsquoelevazione Integro questa equazione in dz da 0 a H + η

(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0

Ora fisso la velocitagraveă nulla in z = 0 ed osservo che w(H + η) = w(η) dal momento chew(H + η) = D(H +η)

Dt = Dη

Dt dato che H egrave costante e non varia nel tempo

w(η) = partηpartt + partηpartx u + part ηparty v

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part

party[v(H + η)] = 0

Se H gtgt η cioegrave lrsquoaltezza media egrave molto maggiore delle variazioni allora trascuro η nellasomma con H

partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0

Cosigrave ho ricavato la nuova equazione di continuitagrave in approssimazione di Shallow Water

26



Adesso considero la equazione del moto divisa lungo le due componenti x ed y e consideroinoltre che le componenti del gradiente di pressione presente al secondo membro in questocaso posso scriverle cosigrave partP

partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη

party Inoltre sviluppando il prodotto vettoriale

tra la velocitagraveă e la vorticitagraveă ottengo due termini di questo tipo ( Ω timesv )x = minus2Ωvsenφ( Ω timesv )y = 2Ωusenφ dove con φ indico lrsquoangolo che egrave la coordinata dellrsquoelementino generico

che ruota Definisco adesso come f = 2Ωsenφ = 2| nabla timesv |senφ il fattore comune che prendeil nome di Parametro di Coriolis Mettendo insieme queste considerazioni allora ho

Du

Dt minus f v = minus1

ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party

dove le derivate maiuscole rappresentano le derivate complete definite in modo generico come

DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF

partz A questo punto considero le approssimazioni appena descritte ed in piugrave anche il metodoperturbativo trascurando allora le perturbazioni del secondo ordine In conclusione leseguenti sono le equazioni di shallow water valide per fluidi in cui la profonditagraveă mediaegrave piccola rispetto alle lunghezze drsquoonda tipiche delle onde che vi si generano allrsquointerno

partu

partt minus f v = minusg

partη

partxpartv

partt + f v = minusg

partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0

43 Metodo Perturbativo

In tutta la trattazione abbiamo considerato per semplicitagraveă ogni variabile composta da unaparte costante rispetto allo spazio e al tempo che rappresenta il valor medio della variabilee una parte invece che rappresenta le variazioni intorno a questo valore dipendente da ted x yz Per esempio per la componente rispetto ad x della velocitagraveă scrivo u = u + uprimeUtilizzando queste considerazioni si possono fare delle semplificazioni utili in espressioni deltipo

u partupartt

= (u + uprime) part (u + uprime)partt

≃ upartu prime

partt

In cui so che la derivata di u egrave nulla essendo questa costante ed inoltre ho potuto consideraretrascurabili tutti i termini che presentano il prodotto di due perturbazioni cioegrave del secondoordine poicheacute piccoli rispetto a quelli del primo ordine

44 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica

Per ricavare lrsquoequazione della termodinamica partiamo col considerare lrsquoequazione di statodei gas perfetti

P V = mM RT

27



con mM egrave indicato il numero di moli Ricordiamo che per lrsquoaria secca la costante universaledei gas specifica vale R = RM con α volume specifico posso riscrivere lrsquoequazione cosigrave

p

ρ = RT

sostituendo il volume specifico α = 1ρ allora

P α = RT

Ora per semplicitagrave richiamo R = R e posso proseguire In condizioni adiabatiche troviamoil gradiente di temperatura nablaT dal primo principio

δQ = cvdT + pdV = 0

dove cv egrave la capacitagrave termica a volume costante divido per la massa m e posso allorariscrivere

δq = C v

dT + pdα = 0

dove C v ora egrave il calore specifico a volume costante Dallrsquoequazione di stato T = αpR quindiil suo differenziale saragrave dato da

pdα + αdp = RdT

che sostituito nellrsquoequazione precedente dagrave C vdT + RdT minusαT = 0 Sapendo che il calorespecifico a pressione costante egrave legato a C v da C p = C v + R il primo principio diventa

C pdT = αdp

In condizioni di equilibrio statico sappiamo che vale dp = minusρgdz rArr C pdT = minusαρgdz (con

α = 1ρ) quindi ottengo il Gradiente di Temperatura Adiabatico che egrave costantedT

dz = Γd =

g

C p

Che sostituendo i valori risulta essere pari a Γd ≃ 10oCkm Adesso definiamo la temperatura

potenziale Partendo dal primo principio della termodinamica dividendo per T entrambi imembri e sostituendo lrsquoequazione del gas perfetto giungiamo alla seguente espressione

dT

T minus

R

C p

dp

pIntegrando otteniamo la relazione

lnT = R

C plnp + cost

Che ci definisce come varia la temperatura con la pressione nel caso di un sistema in cui tutele trasformazioni siano adiabatiche Fissando le condizioni al contorno definisco la costanteLa condizione egrave che se la pressione assume il valore p0 allora la temperatura risulta ugualead un generico θ

cost = lnθ minus R

C p lnp0

28



la relazione finale egrave quindi

lnT

θ =

R

C pln

p

p0

Da cui infine ricavo lrsquoespressione di θ la temperatura potenziale definita in basa alla tempe-ratura e alla pressione

θ = T 983080

p p0

983081 RC p

Egrave una quantitagrave che si conserva nei sistemi adiabaticiPer giungere allrsquoequazione della termodinamica utilizzata in questa trattazione partiamo

dal primo principio e ne facciamo la derivata totale di entrambi i membri (chiamo la derivatatotale della pressione ω che egrave proporzionale alla velocitagrave lungo z del fluido ω = DpDt =minuswρg)

Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT

partt + u middot nablaT =

partT

partT + u middot nablahT + w

partT

partz

dove con nablah si indica il gradiente orizzontale Unendo infine le due equazioni si ottienefacilmente lrsquoequazione di variazione locale della temperatura

partT

partt =

Q

C pminus (u middot nablah)T + ω

983080α minus part T

partp

983081

Ricordando che Q = DQDt questa egrave lrsquoequazione complessiva da cui abbiamo poi ricavato la

variazione totale del calore Q in particolare come piugrave volte ribadito trascurando i gradientiorizzontali

45 Media Zonale

In tutto lo scritto abbiamo fatto ampiamente uso della media zonale Di seguito riportiamola sua definizione per una generica quantitagrave A che varia con la latitudine e longitudine al disopra della superficie terrestre

A = 1

2π

int A(λ)dλ

dove λ indica la longitudine di conseguenza con un cambio di coordinate lrsquointegrale appenascritto equivale al seguente

A = 1

2πacosφ

int A(x)dx

In cui trovandoci sulla superficie terrestre la coordinata x varia tra [0 2π] Nelle medie zonalida noi considerate per esempio nel caso della pressione la derivata rispetto alla coordinatax in questo modo si annulla sempre poicheacute integrando su tutto il parallelo lrsquoestremo inizialee finale coincidono perciograve int 2π

0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





Indice

1 Introduzione 2

2 Circolazione di Hadley 4

21 Circolazione simmetrica non lineare 5

22 Grafici ed altre considerazioni 1023 Vorticitagrave 1224 Grafici 15

3 Risoluzione per via numerica 17

31 Programma 1732 Risultati 19

4 Appendice 25

41 Vento termico 2542 Approssimazione di Shallow Water 26

43 Metodo Perturbativo 2744 Temperatura potenziale ed equazione Termodinamica 2745 Media Zonale 29

5 Bibliografia 30

1



1 Introduzione







2




3














4











minusf partu

partz =

g

T

partT

party



5



otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party


minusβyu = gH T 0

partT party


partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx


v983080

partuparty minus f

983081 = 0


Dθ

Dt =

θE minus θ

τ




+v partθparty

=θEminusθτ


+partvparty


a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ


δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)


T = θ( ptps)RC p



6





u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





1 Introduzione







2




3














4











minusf partu

partz =

g

T

partT

party



5



otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party


minusβyu = gH T 0

partT party


partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx


v983080

partuparty minus f

983081 = 0


Dθ

Dt =

θE minus θ

τ




+v partθparty

=θEminusθτ


+partvparty


a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ


δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)


T = θ( ptps)RC p



6





u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






3














4











minusf partu

partz =

g

T

partT

party



5



otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party


minusβyu = gH T 0

partT party


partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx


v983080

partuparty minus f

983081 = 0


Dθ

Dt =

θE minus θ

τ




+v partθparty

=θEminusθτ


+partvparty


a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ


δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)


T = θ( ptps)RC p



6





u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29
















4











minusf partu

partz =

g

T

partT

party



5



otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party


minusβyu = gH T 0

partT party


partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx


v983080

partuparty minus f

983081 = 0


Dθ

Dt =

θE minus θ

τ




+v partθparty

=θEminusθτ


+partvparty


a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ


δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)


T = θ( ptps)RC p



6





u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29













minusf partu

partz =

g

T

partT

party



5



otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party


minusβyu = gH T 0

partT party


partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx


v983080

partuparty minus f

983081 = 0


Dθ

Dt =

θE minus θ

τ




+v partθparty

=θEminusθτ


+partvparty


a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ


δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)


T = θ( ptps)RC p



6





u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





otteniamo

minusf u = gH

T 0

partT

party


minusβyu = gH T 0

partT party


partu

partt + u

partu

partx + v

partu

party = f v minus 1

ρ

partp

partx


v983080

partuparty minus f

983081 = 0


Dθ

Dt =

θE minus θ

τ




+v partθparty

=θEminusθτ


+partvparty


a part (uθ)partx

+ part (vθ)party

= θEminusθτ


δ ∆zpartv

party =

H

τ (θE minus θ)


T = θ( ptps)RC p



6





u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29







u = 1

2βy2 + cost


u = 1

2

2Ω





θE (φ z )

θ0= 1minus 2


983080 z

H minus 1

2



θE θ0

= 1 + 1

3∆y minus∆y

(y

2

10486172



2

2

in cui θE 0 = θ0(1 + ∆y3) e ∆θ = θ0∆y



minus1

2β 2y3 =

gH

T 0

partT

party rArr

partT

party = minus T 0


2L4ρ

y3




7




D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






D =

983080 ps pt

983081RC p T 08L4

ρ



983080yH a

2983081

+ D(y4H + y4)


v(y) = H

δ ∆zτ

983131∆θ

a2

983080y2H y minus

y3

3

983081+ D

983080y5

5 minus y4

H y

983081983133 (1)


yH =

983080 5∆θ

6a2D

98308112


uE = gH ∆y

Ωθ0a



partu

partt + v

partu

party minus uv

a tanφ = f v +

part

partz 983080K partu

partz 983081


partu

partt + v

partu

party minus v

(u

atanφ + f

1048617 =

part

partz

983080K

partu

partz

983081



8




nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






nabla middotM = 0





partz

983080K

partu

partz

983081 = 0 (2)



cos2



partz 2 (3)



partz


U partM partx

+ V part M party

= K partM partz


V part M

party =

partvM

party


part (vM )

party sim part

party (vau) = K

partM

partz = K

partau

partz = minusaCu(0)


Ottenendo infine

u(0) = minus 5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

1048667983080

y

yH 9830812

minus 10

3 983080 y

yH 9830814

+ 7

3 983080 y

yH 98308161048669

(4)


9







uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29









uE = gH ∆y

Ωθ0a


5

24

H 2δ 2yy2H β

∆zτ y41DC

y

theta

Etheta

340

330

320

310

T e m




10



15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





15

10

05

y

00

u(0)

u(H)








11







Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29









Du

Dt minusf v =

minus

1

ρ

partP

partx

=

minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party



L =

radic g

f

T = 1

f


vprime = f 2radic

gv


partu

partt + v

partu


partvpartt

+ v partvparty



parth

partt +

part

partx

9831319830801 +

h

H

983081u

983133+

part

party

9831319830801 +

h

H

983081v

983133 = 0


partηpartt

+ part partx


[(1 + η) v] = 0 (6)

12





h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29







h + H = RT prime

g rArr H

9830801 + h

H

983081 = RT 0

g

9830801 + T

T 0


1 + h

H = 1 + η = 1 +

T

T 0



partu

partt + v

partu


partv

partt + v

partv


parth

party minus αv

partη

partt +

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(7)



vpartu


vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(8)



vpartu


vpartv

party + u = minusg

parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(9)



13








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29










16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29








16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






16





vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29







vpartu

party minusf v =

minusαu

vpartv


parth

party minus αv

part

party [(1 + η) v] =

ηE minus η

τ

(10)


ηE (y) =




partu

party = 1minus α

u

v

vpartv


party minus αv

vpartη

party + (1 + η)

partv

party = Q

(12)


partu

party = 1 minus α

u

vpartv


852061 852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

partη

party = [(1 + η)(αv + u) + Qv]

852059v2 minus (1 + η)

852061minus1

(13)


31 Programma


H = 10 yE = 01 τ = 10

17




yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






yH = (3HyE )1

3

ed η0 comeη0 = H

yE yE

bull Octave



alfa = 00

xdot = zeros(3 1)

xdot(1) = 1 - alfa x(1) x(2)


if(t lt 01)q= 1 - x(3)

else

q= - x(3)

end

Equazioni

aux = x(2) x(2) - (1 + x(3))

aux1 = 1 aux



end


options = odeset(




)

tmax = 07


newt = tmax + 1e-4

t = [t tmax]

x = [x [0 02 02]]

Opzioni dei plot






18



xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





xlabel(rsquoyrsquo)



bull Matlab



q=1-x(3)

else

q=-x(3)

end

aux=x(2)x(2)-(1+x(3))

aux1=1aux





plot(tx(1)tx(2)tx(3)) axis([0 1 0 1])

32 Risultati



0

002

004

006

008

01

012

014

0 005 01 015 02

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 02 04 06 08 1

u ( y )

y

19



0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

005

01

015

02

025

03

035

0 01 02 03 04 05 06 07

u ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 005 01 015 02 025 03 035 04

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

0

002

004

006

008

01

012

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y )

y

20



0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e

t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y

0

005

01

015

02

0 01 02 03 04 05 06 07

e t a ( y )

y




bull Fortran90


21





eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29







eta0 f_u f_v f_eta



dy = 00001

yE = 01

HE = 10

tau = 10

yH = (30 HE yE )(1030)

y0 = 00

u0 = 00v0 = 00000000000000000001

eta0 = HE (yE yH)


y = y 0

u = u 0

v = v 0

eta = eta0




do while(yle08)

if (yleyE) then

etaE = HE

else

etaE = 0

end if








y = y + dy

u = unext

v = vnext

eta = etanext

end do

22



end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





end program



real8 u v alpha f_u






return

end Function f_v



(v20 - (1 + eta))(-10))

return

end Function f_eta




23



0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





0

001

002

003

004

005

006

007

008

0 01 02 03 04 05 06 07

v ( y

)

y






24



4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





4 Appendice

41 Vento termico




dΦ = gdz = minusdp


dp

ρ


vg = minus 1f

983080part Φpartx

983081 p

ug = 1

f

983080part Φ

party

983081 p

(14)


partvgpartp

= minus 1

f

part

partx

983080part Φ

partp

983081partug

partp = 1

f part

party

983080part Φpartp

983081 (15)

25




partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






partvgpartp

= 1

f

R

ρ

983080part Φ

partp

983081partug

partp = minus1

f

R

rho983080part Φ

partp983081 (16)


dp = minusgρdz


minusf partu

partz =

g

T

partT

party



partx + partv

party + partw


partx e partv



(H + η)983080partu

partx +

partv

party983081

= minus int H +η

0

partw

partz dz

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

int H +η0

dw = 0

(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+ w(H + η) minus w(0) = 0


Dt = Dη



(H + η)

983080partu

partx +

part v

party

983081+

partη

partt +

partη

partxu +

partη

partyv = 0

partη

partt +

part

partx[u(H + η)] +

part



partη

partt

+ H 983131partu

partx

+ partv

party983133 = 0


26




partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






partx = ρg partη

partx partP

party = ρg partη




Du


ρ

partP

partx = minusg

partη

partxDv

Dt + f v = minus1

ρ

partP

party = minusg

partη

party


DF (txyz )

Dt

= partF

partt

+ dx

dt

partF

partx

+ dy

dt

partF

party

+ dz

dt

partF


partu


partη

partxpartv


partη

party

partηpartt

+ H 983131

partupartx

+ part vparty

983133 = 0



u partupartt


≃ upartu prime

partt




P V = mM RT

27




p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






p

ρ = RT


P α = RT




δq = C v

dT + pdα = 0


pdα + αdp = RdT


C pdT = αdp



dz = Γd =

g

C p



dT

T minus

R

C p

dp


lnT = R

C plnp + cost


cost = lnθ minus R

C p lnp0

28




lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29






lnT

θ =

R

C pln

p

p0


θ = T 983080

p p0

983081 RC p



Q = C pDT

Dt minus αω

Ricordiamo ora che

DT

Dt =

partT


partT


partT

partz


partT

partt =

Q



partp

983081



45 Media Zonale


A = 1

2π

int A(λ)dλ


A = 1

2πacosφ

int A(x)dx


0

partp

partxdx =

int 2π0

dp = 0

29





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