TERMINOLOGIA DE REDES

5/10/2018 TERMINOLOGIA DE REDES - slidepdf.com

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TERMINOLOGIA DE REDES

Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unenciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices; por ejemplo, la

red de la figura 9.1 tiene siete nodos representados por siete círculos. Laslíneas se llaman arcos o ligaduras, aristas o ramas; por ejemplo la red del lafigura 9.1 tienen 12 arcos que corresponden a los 12 caminos del sistema delparque. Los arcos se etiquetan para dar nombre a los nodos en sus puntosterminales; por ejemplo en la figura 9.1, AB es el arco entre los nodos A y B.

Figura 9.1 Sistema de caminos del Seervada Park

Los arcos de una red pueden tener un flujo de algún tipo que pase por ellos;por ejemplo; el flujo de camionetas sobre los caminos de Seervada Park en lasección 9.1. L a tabla 9.1 proporciona varios ejemplos de flujo en redes. Si elflujo a través de un arco se permite solo en una dirección, como en una calle deun sentido, se dice que el arco es un arco dirigido. La dirección se indica alagregar una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.Cuando se etiqueta un arco dirigido con el nombre de los nodos que une

siempre se pone primero el nodo de donde viene y después el hacia donde va,esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y nocomo BA. Otra manera de etiquetarlo es A → B.

Tabla 9.1 componentes de redes representativas

Nodos Arcos Flujo

CrucerosAeropuertosPuntos de conmutaciónEstaciones de bombeoCentros de trabajo

CaminosLíneas AéreasCables, canalesTuberíasRutas de manejo demateriales

VehículosAvionesMensajesFluidosTrabajos

5

2

1

4

1

4

725

7

43

E

A

C

B D

T

O



Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra encualquier dirección, se supone que ese flujo será solo en una dirección, en laseleccionada, y no se tendrán flujos simultáneos en direcciones opuestas.(Este último caso requiere usar un par de arcos dirigidos en direcciones

opuestas). En el proceso de toma de decisiones sobre el flujo de un arco nodirigido, se permite hacer una serie de asignaciones de flujos en direccionesopuestas, pero en el entendido de que el flujo real será el flujo neto, ladiferencia de los flujos asignados en las dos direcciones. Por ejemplo, si seasigna un flujo de10 en una dirección y después un flujo de 4 en la direcciónopuesta, el efecto real es la cancelación de 4 unidades de la asignaciónoriginal, lo que reduce el flujo en la dirección original de 10 a 6. Aun en el casode un arco dirigido, en ocasiones se usa la misma técnica como una maneraconveniente de reducir un flujo asignado con anterioridad. En particular, sepuede hacer una asignación ficticia de flujo en la dirección “equivocada” através de un arco dirigido para registrar una reducción en esa cantidad del flujo

que va en la dirección “correcta”Una red que tiene solo arcos dirigidos se llama red dirigida. De igual manera,si todos sus arcos son no dirigidos, se dice que se trata de una red no dirigida.Una red con una mezcla de arcos dirigidos y no dirigidos o incluso una contodos sus arcos no dirigidos se puede convertir en una red dirigida, si se desea,mediante la sustitución de cada arco no dirigido por una par de arcos dirigidosen direcciones opuestas. (Después se puede optar por interpretar los flujos através de cada par de arcos dirigidos como flujos simultáneos en direccionesopuestas o de proporcionar un flujo neto en una dirección, según convenga elcaso.)Cuando dos nodos no están unidos por un arco es valido preguntar si estánconectados por una serie de arcos. Una trayectoria entre dos nodos es unasucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de lastrayectorias que conectan a los nodos O y T en la figura 9.1 es la sucesión dearcos OB-BD-DT (O → B → D → T), y viceversa. Cuando algunos o todos losarcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectoriasdirigidas y trayectoria no dirigidas. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo jes una sucesión de arcos cuya dirección (si la tiene) es hacia el nodo j, demanera que el flujo del nodo i al nodo j através de esta trayectoria es factible.Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuyadirección (si la tiene) puede ser hacia o desde el nodo j. (obsérvese que una

trayectoria dirigida también satisface la definición de trayectoria no dirigida peroel inverso no se cumple.). Con frecuencia una trayectoria no dirigida tendráunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde el – es decir, hacia el nodo i-. En las secciones 9.5 y 9.7 se vera que tal vez de manera sorprendente lastrayectorias no dirigidas juegan un papel muy importante en el análisis de lasredes dirigidas.Para ilustrar estas definiciones, la figura 9.2 muestra una red dirigida común.(Sus nodos y arcos son los mismos que los de la figura 3.13, donde los nodosA y B representan dos fabricas y los nodos D y E representan dos almacenes,en nodo C es un centro de distribución y los arcos representan las rutas deembarque). La sucesión de arcos AB-BC-CE es una trayectoria dirigida

(A→B→C→E) del nodo A al nodo E, puesto que el flujo hacia el nodo E en todaesta trayectoria es factible. Por otro lado, BC-AC-AD (B→C→A→D) no es una



trayectoria dirigida del nodo B la nodo D, por que la dirección del arco AC esdesde el nodo B (sobre esta trayectoria). No obstante, B→C→A→D es unatrayectoria no dirigida del nodo B al nodo D, debido a que la secuencia de BC-AC-AD conecta a estos dos nodos- aun cuando la dirección del arco AC evita elflujo a través de esta trayectoria-.

Como ejemplo de la relevancia de las trayectorias no dirigidas, suponga que sehabían asignado dos unidades de flujo del nodo A al nodo C al arco AC. Enrazón de esta asignación previa, ahora es factible asignar un flujo maspequeño, por ejemplo una unidad, a la trayectoria no dirigida B→C→A→D,aunque la dirección de AC evite un flujo positivo através de C→A. la razón esque esta asignación de flujo en la dirección “equivocada” para el arco AC enrealidad solo reduce el flujo en la dirección “correcta” en una unidad. Lassecciones 9.5 y 9.7 hacen un uso amplio de esta técnica de asignación deflujos a través de una trayectoria no dirigida que incluye arcos cuya dirección esopuesta al flujo, y en la que el efecto real para estos arcos es una reducción delos flujos positivos asignados antes en la dirección “correcta”.

Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En unared dirigida un ciclo puede ser dirigido y no dirigido, según la trayectoria encuestión sea dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es nodirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no escierto) por ejemplo, en la figura 9.2 de DE-ED es un ciclo dirigido. Por elcontrario, AB-BC-CA no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco ACes opuesta a la de los arcos AD y BC. Por otro lado, AB-BC-AC no es un ciclodirigido por que A→B→C→A es una trayectoria no dirigida. En la red nodirigida que se muestra en la figura 9.1 existen muchos ciclos. Por ejemplo,OA-AB-BC-CA. De cualquier forma observe que la definición de trayectoria –una sucesión de arcos distintos- elimina la posibilidad de retroceder al formar un ciclo. Por ejemplo, OB-BO en la figura 9.1 no califica como ciclo, por que OBy BO son dos etiquetas del mismo arco (ligadura). Por otra parte, en la figura9.2, DE-ED es un ciclo (dirigido) por que DE y ED son arcos distintos.Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos unatrayectoria no dirigida entre ellos. (Observe que no es necesaria que latrayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida). Una red conexa es unared en la que cada par de nodos esta conectado entonces como las redes delas figuras 9-1 y 9.2 son ambas conexas. La ultima red no seria conexa si seeliminara los arcos AD y CE.Considere una red conexa con n nodos – por ejemplo, los n = 5 nodos de la

figura 9.2 – en la que han sido eliminados todos los arcos. Se puede “hacer crecer” un “árbol” si se agrega un arco- o “rama”- a la vez a partir de la redoriginal de cierta manera. El primer arco puede ir en cualquier lugar de modoque conecte algún par de nodos. De ahí en adelante, cada arco nuevo debeagregarse entre un nodo que haya sido conectado a otros nodos y a un nuevonodo no conectado. Si se agregan arcos de esta manera, se evita que se formeun ciclo y además se asegura que el número de nodos conexos sea uno masque el numero de arcos. Cada nuevo arco crea un árbol mas grande, que esuna red conexa-para algún subconjunto de n nodos- que no contiene ciclos nodirigidos. Una vez agregado el (n-1)-esimo arco, el proceso se detiene por queel árbol resultante se expande (conecta) hacia todos los n nodos. Este árbol,

que se llama árbol de expansión que es una red conexa para los n nodos quecontienen ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene exactamente n-1



arcos puesto que este es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo numero posible para que no haya ciclos nodirigidos.En la figura 9.3 se muestra los 5 nodos y alguno de los arcos de la figura 9.2para ilustrar este proceso de hacer crecer un árbol mediante la colocación de

un árbol (rama) a la vez, hasta que se obtiene un árbol de expansión. En cadaetapa del proceso existen varias alternativas para el nuevo arco por lo que lafigura 9.3 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol deexpansión en este caso. Sin embargo observe como cada nuevo arco que seagrega satisface las condiciones especificadas en los párrafos anteriores. Losárboles de expansión se estudiaran más a fondo en la sección 9.4. losárboles de expansión tienen un papel clave en el análisis de muchas redes.Por ejemplo, forman la base del problema del árbol de minima expansión quese presentan en la sección 9.4. Otro ejemplo es que los árboles de expansión(factibles) corresponden a las soluciones BF del método simple de redes quese analizan en la sección 9.7.

Por último será necesario producir terminología adicional sobre los flujos enredes. La cantidad máxima de flujo (quizá infinito) que puede circular en unarco dirigido se conoce como capacidad del árbol. Entre los nodos se puededistinguir aquellos que son generadores de flujo, absorbedora netos o ningunode los dos. Un nodo fuente- o nodo origen –tiene la propiedad de que el flujoque sale del nodo supera al que entra a el caso inverso es un nodo demanda-o nodo destino-, donde el flujo que llega excede a al que sale de el. Un nodo detransbordo (o intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el flujoque entra es igual al que sale.



Figura 9.3Ejemplo de hacer crecer un árbol poniendoUn arco a la vez en la red de la figura 9.2 (a).Los nodos sin arcos;(b) árbol con un arco; (c)

Árbol con dos arcos;(d) árbol con tres arcos;(e)Árbol de expansión.

A D

B

C

E

a)

E

DA

C

A D

B

A

C

D

E

D

A D

B

C

E

E

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