Terminale STI2D - Exercices corrigés Marc Bizet sti2d/01/pdf/t-01-exercices... · Le déplacement angulaire θ radians d’une roue varie selon le temps t (secondes) et est déterminé

Terminale STI2D - Exercices corrigés Marc Bizet

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Compléments de calculs de dérivées - exercices

Exercice 1

Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes, au point d’abscisse spécifié :

a. ( ) 3f x x x= − ( )1x =

b. ( ) ( )sing x x x π= =

Exercice 2

Déterminer la dérivée de chaque fonction (spécifier l’intervalle de dérivation) :

a. : 7 521 4 5f x x x− +֏

b. :2

7

5f x

x +֏

c. ( ): 231 2

4f x x x

− +

֏

d. ( )

:2

1

1 2f x

x−֏

e. :2

2

3 2

4 5

x xf x

x

− ++

֏

Exercice 3

Déterminer la dérivée de chaque fonction (spécifier l’intervalle de dérivation) :

a. : 12

xf x −֏

b. : cos 24

f x xππ +

֏

c. :2

1f x

x

−−

֏

d. :sin

1

2 2f x

x+֏

e. :6

4 5

3

xf x

+

֏

Classe de Terminale STI2D - Exercices corrigés Marc Bizet

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Exercice 4

Determiner une équation de la tangente aux courbes d’équations données, au point d’abscisse

spécifié :

1. : 32 5f x x −֏ at 2x =

2. :4

2

xf x

x

−+

֏ at 2x =

3. ( ): cos 2f x x֏ at 6

xπ=

Exercice 5

Trouver le nombre dérivé de la courbe d’équation 4 32 3 4y t t t= + − + aux points ( );0 4 et ( );1 8 .

Exercice 6

Trouver les coordonnées des points de la courbe d’équation 25 3 1y x x= − + dont le nombre dérivé

vaut 2 .

Exercice 7

Calculer ds

dt, 210− près, en

6t

π= , sachant que ( ) ( )sin 3s t t t= − + .

Exercice 8

a. Dériver ( ) ( ) ( )( )2

2θ 2 θ 2 cos 5θ 3 sin 2θ

θy = + − + .

b. Calculer θ

dy

d sachant que θ

2

π= , arrondi à 2

10−

près.

Exercice 9

La longueur l mètres d’une barre de métal à température θ C° is given by :

, , 21 0 000 05 θ 0 000 000 4 θl = + +

Déterminer la variation de température de la longueur, en mm/°C, quand la température est de

100 C° .

Exercice 10

L’intensité lumineuse I candelas (unité) d’une lampe avec une tension variable V est donnée par : 2 2

4 10I V−= × .

Determiner la tension à laquelle la lumière augmente à la vitesse de ,0 6 candelas par volt.

Exercice 11

Un courant alternatif de i amperes, est défini par ( )10 sin 2i f tπ= , où f est la fréquence en hertz

et t le temps en secondes. Determiner la vitesse de changement du courant quand 20 mst = ,

sachant que 150 Hzf = .


- 3 -

Exercice 12

Un train passe de l’arrêt à une vitesse de 25 m/s en 30 secondes. Quelle est son accélération ?

Rappel : l’accélération moyenne entre 1

t et 2

t est obtenue ainsi : ( ) ( )2 1

2 1

v t v t

t t

−

−.

Exercice 13

Le déplacement angulaire θ radians d’une roue varie selon le temps t (secondes) et est déterminé

par l’équation 2 3θ 9 2t t= − . Determiner :

a. La vitesse angulaire et l’accélération de la roue lorsque 1t = s .

b. Le temps où l’accélération angulaire est nulle (la vitesse ne varie plus).

Exercice 14

Un missile est tiré du sol et atteint la hauteur de x mètres en t secondes et ( ) 225100

2x t t t= − .

Trouver :

a. La vitesse initiale du missile ;

b. le moment où la hauteur du missile est maximale ;

c. la hauteur maximale atteinte ;

d. la vitesse du missile lorsqu’il touche à nouveau le sol.

Exercice 15

La distance d en mètres parcourue par une voiture en t secondes après que le conducteur ait

appuyé sur la pédale de freins est ( ) , 225 2 5x t t t= − . Trouver :

a. la vitesse de la voiture lorsque le conducteur appuie sur les freins (en km/h) ;

b. la distance parcourue par la voiture avant qu’elle ne s’arrête.

Exercice 16

Le déplacement angulaire θ d’un cylindre est défini par : θ 6 sin4

t =

, où t est le temps en

secondes. Determiner :

a. la vitesse angulaire à 3

10−

près du cylindre en ,1 5t = s ;

b. l’accélération angulaire à 3

10−

près du cylindre en ,5 5t = s ;

c. la première fois (en secondes) où la vitesse angulaire est nulle.


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Compléments de calculs de dérivées - exercices corrigés

Exercice 1 - correction

a. On calcule la dérivée de f : ( ) 2' 3 1f x x= −

Puis ( ) 2' 1 3 1 1 2f = × − = .

b. On calcule la dérivée de g : ( ) ( )' cosg x x=

Puis ( ) ( )' cos 1g π π= =−


- 5 -


a. ( ) 6 4 6 4' 21 7 4 5 147 20f x x x x x= × − × = −

On utilise : ( ) 1n nx n x −′ = × et ( )( ) ( )u x u xλ λ′ ′=

Intervalle de dérivabilité : I =ℝ .

b. ( )( ) ( )

2 22 2

2 14' 7

5 5

x xf x

x x

−= × =−

+ +

On utilise : ( )

( )

( )( )2

1 u x

u x u x

′ ′ =−

Intervalle de dérivabilité : I =ℝ car 2, 5 0x x∀ ∈ + >ℝ .

c. ( ) ( )2 2 2 23 3 3 3 3 9 32 1 2 2 2

4 4 4 2 2 4 2f x x x x x x x x x

′ = × + + − × = + + − = − +

On utilise : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x′ ′ ′× = × + ×

Intervalle de dérivabilité : I =ℝ .

d. ( )( )

( ) 2

2

11 2

1 2f x x

x

−= = −−

( ) ( ) ( )( )

3

3

42 2 1 2

1 2f x x

x

−′ =− × − × − =

−

On doit avoir 1

1 2 02

x x− ≠ ⇔ ≠ , l’intervalle de dérivabilité est 1

\2

I =

ℝ .

e. ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 3 2 3 2

2 22 2

6 1 4 5 3 2 8 24 30 4 5 24 8 16

4 5 4 5

x x x x x x x x x x xf x

x x

− × + − − + × + − − − + −′ = =

+ +

( )( )

2

22

4 14 5

4 5

x xf x

x

+ −′ =

+

Intervalle de dérivabilité : I =ℝ car 2, 4 5 0x x∀ ∈ + >ℝ


- 6 -


a. ( )

1

12

2 1 4 12 2

f xx x

′ = =

− −

On utilise : ( )( ) ( )

( )2

u xu x

u x

′′=

On doit avoir 1 0 22

xx− > ⇔ > : l’intervalle de dérivabilité est ] [2 ;+∞ .

b. ( ) 2 sin 2 2 sin 24 4

f x x xπ π

π π π π ′ = × − + =− +

On utilise : ( )( ) ( )cos sinx x′ =− et ( )( )( ) ( ) ( )( )u v x v x u v x′ ′ ′= ×

L’intervalle de dérivabilité est I =ℝ

c. ( ) ( )1

22

2 11

f x xx

−−= = − × −−

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 31

2 23

2

1 1 12 1 1 1

2 1 11

f x x xx xx

− − − ′ =− × − × − = × − = = − −−

On doit avoir 1 0 1x x− > ⇔ > L’intervalle de dérivabilité est ] [1 ;+∞

d. ( )( )

( )( )2

2cos 2

2 sin 2

xf x

x′ =−

+

On utilise : ( )( ) ( )sin cosx x′ =

Comme ( ) ( ): 1 sin 2 1 alors 1 2 sin 2 3x x x∀ ∈ − ≤ ≤ ≤ + ≤ℝ .

L’intervalle de dérivabilité est I =ℝ .

e. ( )6 1 5

4 4 5 4 56 8

3 3 3

x xf x

− + + ′ = × × = ×

L’intervalle de dérivabilité est I =ℝ .


a. ( ) 32 2 2 5 11f = × − =

( ) 2 22 3 6f x x x′ = × =

( ) 22 6 2 24f ′ = × =

( ) ( ) ( )

( )2

2

2

: 2 2 2

: 24 2 11

: 24 37

T y f x f

T y x

T y x

′= × − +

= − +

= −

Rappel : ( ) ( ) ( ):aT y f a x a f a′= × − +

b. ( )2 4 1

22 2 2

f−

= =−+

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 4 1 2 4 6

2 2 2

x x x xf x

x x x

× + − − × + − +′ = = =

+ + + { }\ 2I = −ℝ


- 7 -

( )( )

2

6 6 32

16 82 2f ′ = = =

+

( )( ) ( )

( )

2

2

2

2

: 2 2 2

3 1: 2

8 2

3 3 1:

8 4 2

3 5:

8 4

T y f x f

T y x

T y x

T y x

′= − +

= − −

= − −

= −

c. 1

cos 2 cos6 6 3 2

fπ π π = × = =

( ) ( )2sin 2

32sin 2 2sin 2 3

6 6 3 2

f x x I

fπ π π

′ =− =

′ =− × =− =− × =−

ℝ

6

6

6

:6 6 6

1: 3

6 2

3 1: 3

6 2

T y f x f

T y x

T y x

π

π

π

π π π

π

′= − +

=− − +

=− + +


On pose par commodité d’écriture : ( ) 4 32 3 4f t t t t= + − + .

( )

( )

( )

3 2 3 2

3 2

2 4 3 3 1 8 9 1

0 1

1 8 1 9 1 1 16

f t t t t t

f

f

′ = × + × − = + −

′ =−

′ = × + × − =

Le nombre dérivé en 0 vaut 1− , le nombre dérivé en 1 vaut 16


On pose ( ) 25 3 1f x x x= − + .

( ) 5 2 3 10 3f x x x′ = × − = −

( )5 1

2 10 3 210 2

f x x x x′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

21 1 1 1 3 3

5 3 1 5 12 2 2 4 2 4

f − = × − × + = × − + =

Le seul point de la courbe d’équation 25 3 1y x x= − + dont

le nombre dérivé vaut 2 a pour coordonnées 1 3

;2 4

.


- 8 -


( ) ( )1

cos2

1cos 1,56

6 62

6

dst s t

dt t

sπ π

π

′= − =

′ = − ≃


a. On calcule la dérivée :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

3

3

2 1θ 2 2 2 5sin 5θ 3 2cos 2θ

θ 2 θ

4 110sin 5θ 12cos 2θ

θ θ

y − ′ = × + × − − − + ×

=− − + −

b. 3

4 110sin 5 12cos 2 10,17

2 2 2

22

yπ π π

ππ

′ =− − + × − ×

≃


On calcule la dérivée : ( )θ 0,000 05 2 0,000 000 4 θ 0,000 05 0,000 000 8 θl ′ = + × = +

( )100 0,000 05 0,000 000 8 100 0,000 13l ′ = + × =

La variation de la longueur de la barre de métal est de 0,000 13m C 0,13mm C° = °


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24 10 2 0,08dI

V VdV

−= × × =

0,60,08 0,6 7,5

0,08V V= ⇔ = = .

Lorsque la tension est de 7,5 V, la vitesse d’augmentation de la lumière est de 0,6 candelas par volt


( ) ( ) ( )10 2 cos 2 20 cos 2di

f f t f f t i tdt

π π π π ′= × × = =

20 ms 0,02 s=

( ) ( )

( )

0,02 20 150 cos 2 150 0,02

3 000 cos 6

3 000

i π π

π π

π

′ = × × × ×

=

=

La vitesse du changement du courant est de 3 000 A sπ (ampères par seconde) au temps 20 mst = .


On utilise une formule de calcul de variation :

( ) ( ) 230 0 25

0,83m s30 0 30

v va

−= =

−≃


a. ( )2 2θ9 2 2 3 18 6 θ

dt t t t t

dt′= × − × = − =

( ) 2θ 1 18 1 6 1 18 6 12 rad s′ = × − × = − =

La vitesse angulaire vaut 12rad s lorsque 1 st = .

( )2

2

θ18 6 2 18 12 θ

dt t t

dt′′= − × = − =

( ) 2θ 1 18 12 1 6 rad s′′ = − × =

L’accélération angulaire vaut 2

6 rad s lorsque 1 st = .

b. ( )18

θ 0 18 12 0 1,5 s12

t t t′′ = ⇔ − = ⇔ = = .

La vitesse se stabilise en 1,5 s.


a. ( )25

100 2 100 252

dxt t x t

dt′= − × = − =

( )0 100 25 0 100 m sx′ = − × =

La vitesse initiale du missile est 100 m s


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b. le moment où la hauteur du missile est maximale correspond au moment où la vitesse

s ‘annule :

( )100

0 100 25 0 4 s25

x t t t′ = ⇔ − = ⇔ = =

La hauteur du missile est maximale au bout de 4 s.

c. ( ) 2254 100 4 4 200

2x = × − × =

La hauteur maximale atteinte est de 200 m.

d. ( ) 2250 100 0

2x t t t= ⇔ − =

2 solutions : 0t = et 8t = .

Le missile touche le sol au bout de 8 secondes.

( )8 100 25 8 100x′ = − × =−

Le résultat est négatif car le missile retombe.

La vitesse au moment où le missile touche le sol est 100 m s (identique au lancer).


a. ( )25 2,5 2 25 5dx

t t x tdt

′= − × = − =

( )0 25 5 0 25x′ = − × =

25m s 0,025 3 600 90 km h= × =

Au moment où il freine, le conducteur est à 90 km h .

b. ( )25

0 25 5 0 5 s5

x t t t′ = ⇔ − = ⇔ = =

Il n’a plus de vitesse, donc s’arrête au bout de 5 secondes.

( ) 25 25 5 2,5 5 62,5x = × − × = .

Il a alors parcouru 62,5 mètres.


a. ( )θ 1 3

6 cos cos θ4 4 2 4

d t tt

dt

′= × × = =

( )3 1,5

θ 1,5 cos 1,396 rad s2 4

′ = ≃

La vitesse angulaire du cylindre à 1,5t = s est d’environ 1,396 rad s .

b. ( )2

2

θ 3 1 3sin sin θ

2 4 4 8 4

d t tt

dt

′′= × × − =− =

( ) 23 5,5θ 5,5 sin 0,368 rad s

8 4

′′ =− − ≃

L’accélération angulaire du cylindre au temps 5,5t = s est d’environ 20,368 rad s− (elle

décélère)

c. ( ) ( )3

0 cos 0 cos 02 4 4 4 2

t t tt k k

πθ π

′ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ

( )2 4t k kπ π⇔ = + ∈ℤ

La première fois où la vitesse angulaire est nulle est obtenue pour 0k = (sinon la vitesse est

négative), donc pour 2 st π=

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