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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO

TEREZINHA DE MEDEIROS SILVA

A Criatividade no Ensino do M.D.C. Atividades práticas para a sala de aula

CAICÓ - RN

2016

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TEREZINHA DE MEDEIROS SILVA

A Criatividade no Ensino do M.D.C. Atividades práticas para a sala de aula

Trabalho apresentado ao programa do Curso de Especialização em Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como exigência legal para a obtenção do título de Especialista.

Orientador: Prof. Me. Daniel Ecco

CAICÓ - RN 2016

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Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Silva, Terezinha de Medeiros. A criatividade no ensino do M.D.C.: atividades práticas para a sala de aula / Terezinha de Medeiros Silva. - Caicó, RN, 2016. 47 f. : il.

Orientador: Prof. Me. Daniel Ecco. Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

1. Máximo Divisor Comum – Monografia. 2. Ensino – Monografia. 3. Aprendizagem significativa – Monografia. 4. Modelagem matemática – Monografia. I. Ecco, Daniel. II. Título. RN/UF/BSE-CCET CDU: 511.172

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TEREZINHA DE MEDEIROS SILVA

Trabalho apresentado ao programa do Curso de Especialização em Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como exigência legal para a obtenção do título de especialista.

Banca examinadora:

Prof. Me. Daniel Ecco

Orientador

Prof. Esp. Luciana Viera Andrade Examinadora

Prof. Me. Odilon Júlio dos Santos Examinador

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Dedicatória

Ao meu esposo Vânio, companheiro das labutas cotidianas, pelo amor dedicado, pelo companheirismo exalado, pelo respeito dispensado, pela paciência cativa e pelo incentivo nas lutas da vida. Você emana a força que preciso para materializar tudo o que é necessário para acreditar em mim. Por tudo que és, te dedico além deste trabalho o meu pleno e infinito amor.

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Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por ser essencial em minha vida. Meu socorro em todas as horas.

Aos meus pais, por sempre acreditarem em mim e estarem sempre ao meu lado em todos os momentos.

A minha irmã, Sabrina, por estar mais próxima de mim nestes últimos meses, sempre me apoiando.

Agradeço ao meu esposo, Vânio, que mesmo distante, me deu força e coragem para concluir este trabalho.

Ao meu professor e orientador, Daniel Ecco, pela colaboração e as leituras tão valiosas.

Muito obrigada a todos que de alguma forma me ajudaram a chegar onde cheguei e em especial a minha companheira de curso, Andréa, que sempre me deu força.

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“Quem nunca cometeu um erro, nunca tentou algo novo.”

Albert Einstein

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Resumo

O alicerce deste trabalho está construído a partir das veredas reveladas pelo estudo do Máximo Divisor Comum e das múltiplas formas como este pode ser apresentado dentro de sala de aula possibilitando assim uma interação diferenciada no processo de ensino-aprendizagem dos conhecimentos matemáticos. Partimos dos princípios históricos que giram em torno da construção e definição do conceito de Máximo Divisor Comum como o conhecemos hoje. Jornada que começa nos primórdios da história humana, pois antes de conceituado o Máximo Divisor Comum já era utilizado amplamente em muitas civilizações desde a antiguidade. Depois de caminhar pelas estradas que levaram o conhecimento matemático ao patamar que ele se encontra hoje, passamos a ver as relações que o Máximo Divisor Comum mantém com outros elementos matemáticos como o Mínimo Múltiplo Comum. Desta forma, chegamos ao ponto central deste TCC que é o processo de ensino que se aplica em sala de aula para elucidar o Máximo Divisor Comum de forma inteiramente ligado ao mundo real e à realidade dos educandos. Infinitos são os caminhos que a Matemática e a criatividade humana oferecem para que um docente possa mostrar e criar uma aula dentro de um ambiente onde o foco principal é a construção de saberes de forma simultaneamente coletiva e individual. Exemplos podem ser atrativos e ao mesmo tempo lúdicos. Jogos, charadas, exemplos escritos, vale tudo na hora de buscar um ensinamento de maior qualidade.

Palavras chave: Máximo Divisor Comum. Ensino. Aprendizagem significativa. Modelagem matemática.

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Abstract

The foundation of this work is built from the paths revealed by the study of the

Greatest Common Divisor and the multiple ways in which this can be presented in the classroom thus enabling a different interaction in the teaching and learning of mathematical knowledge process. We leave the historic principles that revolve around the construction and definition of Greatest Common Divisor as we know it today. Journey that begins in the early days of human history, because before conceptualized the greatest common divisor was already used widely in many civilizations since antiquity. After walking the roads leading mathematical knowledge to the level it is today, we come to see the relationships that the greatest common divisor has with other mathematical elements such as the Common Multiple Min. Thus, we come to the central point of this TCC is the teaching process that applies in the classroom to elucidate the Greatest Common Divisor entirely on way to the real world and the reality of students. Infinite are the ways that mathematics and human creativity to offer a teacher can show and create a class within an environment where the main focus is the construction of both individual and collective form of knowledge. Examples can be attractive and playful at the same time. Games, riddles, written examples, anything goes when seeking a higher quality teaching.

Keywords: Greatest Common Divisor. Education. Significant learning.

Mathematical modeling.

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Sumário

Introdução ................................................................................................................ 10 1. Capítulo 1: Princípios históricos e teóricos do Máximo Divisor Comum .......... 12

1.1. Princípios históricos ........................................................................................... 12 1.2. Princípios teóricos .............................................................................................. 16

2. Capítulo 2: O m.d.c. e sua relação com o m.m.c. .................................................. 20

2.1. Definição de Mínimo Múltiplo Comum ............................................................. 20 2.2. Relação entre m.d.c. e m.m.c. ............................................................................ 21 2.3. Outro método para o cálculo do m.m.c. ............................................................. 23

3. Capítulo 3: O jogo de Euclides com a utilização do baralho ............................... 25

3.1. Princípios históricos do jogo de baralho ............................................................ 26 3.2. Baralho do m.d.c. ............................................................................................... 26

4. Capítulo 4: Atividades em sala com a utilização do m.d.c. .................................. 38

4.1. Atividade Destruindo mosaicos.......................................................................... 38 5. Conclusão ................................................................................................................. 46 6. Referências bibliográficas ....................................................................................... 47

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Introdução

Vamos pensar da seguinte forma, quais aspectos nos levam a dizer que conhecemos uma pessoa? O que precisamos saber dela para podermos concluir que fazemos parte da sua vida e ela faz parte da nossa vida? A resposta é bem óbvia. Não podemos conhecer algo ou alguém sem ao menos arranharmos a superfície da sua história e do seu processo de construção que lhe levou a tornar-se esse ser. Outro fator importante é que conhecemos e aprendemos bem com aqueles e aquilo que de alguma forma está ligado à nossa vida cotidiana, ou seja, ao nosso meio de convivência. Conviver e conhecer são, portanto, duas palavras que aqui funcionam como chaves para abrir as portas dos grandes salões do conhecimento. Talvez até seja possível aprender algo sem ligar este algo à realidade que está envolta do indivíduo que aprende. Todavia, este tipo de aprendizagem só pode ser formulada quando o aprendiz possui um escopo estrutural muito bem construído dentro do universo do saber que ele está aprendendo. O ponto de reflexão exalta-se quando o questionamento surge em torno daqueles que ainda estão construindo o seu escopo. Quando o conhecimento ainda é uma parte da base e a base nunca para de crescer. Pensar no ensino da matemática é ver uma estrada onde o professor é o mapa e os discentes são os exploradores. Nenhum mapa revela tudo sem que o seu leitor faça a sua parte. E, todo mapa guarda um segredo que desperta a curiosidade daquele que o ler. Metaforicamente, esta é a base de uma aula onde os alunos se vejam imersos no processo de construção do seu saber e do saber do grupo como um só corpo pensante. Regularmente, a base conceitual do Máximo Divisor Comum é ensinada na segunda etapa do ensino fundamental da educação básica brasileira. Contudo, sua utilização é para a vida toda. Este último fato pode ser questionado por muitos que defendem que alguns saberes matemáticos jamais estarão intricados na realidade de uma pessoa que não trabalha nem possui formação na área das Ciências Exatas. A verdade é que muitas vezes um ensino sem atrativos leva o educando a desvincular o saber matemático da sua realidade e a despi-lo dos seus atrativos. Para um aluno do ensino fundamental, sua visão da matemática já vem carregada de preconceitos e concepções formadas ao longo de um ensino mecanizado e meramente quantitativo. Quando novos métodos são mostrados, certamente serão

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questionados quanto a sua eficiência e veracidade frente ao objetivo de todo ensino que é a aprendizagem. Um jogo que trabalhe o m.d.c., um exemplo que leve o aluno a explorar além das paredes de sua sala de aula ou até mesmo uma atividade que instigue a sua criatividade são e sempre serão métodos que quebram um pouco a normalidade monótona do quadro, pincel e caderno. Desta forma nos deparamos com o objetivo principal que levou ao desenvolvimento deste trabalho que é explorar algumas formas inovadoras, atividades como o jogo de Euclides utilizando o baralho e o jogo Destruindo mosaicos, de se apresentar e ensinar o que é e como se utiliza o Máximo Divisor Comum dentro de problemas matemáticos e do dia a dia. Um velho amigo com uma nova roupagem sempre se enche de novos valores sem perder seus antigos e preciosos preceitos. Uma pequena caminhada que irá revelar grandes passos. Tendo em vista que o Máximo Divisor Comum é ensinado entre o sexto e o sétimo ano do Ensino Fundamental II, esses são os períodos educacionais para os quais este TCC está voltado.

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Capítulo 1 Princípios históricos e teóricos do Máximo Divisor Comum

“Um número é uma pluralidade composta de unidades.”

Euclides.

1.1 Princípios históricos

Pensar as origens históricas do m.d.c. é pensar conjuntamente nas origens do processo de divisão o que remonta ao próprio processo de contagem. Existe um conjunto unânime de pesquisadores que concordam que os primeiros seres humanos aprenderam as primeiras noções de contagem antes mesmo de aprenderem a falar ou a escrever. Daí percebe-se que o pensamento lógico matemático mais primitivo e básico é algo intrínseco da espécie humana podendo também ser observado em outras espécies de animais. O processo de contagem, no entanto, é algo que veio a surgir quando as sociedades nômades começaram a se organizar em conjuntos sociais mais complexos e, a partir de então, as necessidades foram se tornando cada vez maiores e com mais exigências. Antes a comida que alimentava cinco, agora deve ser dividida para alimentar dez. Tais necessidades exigiram que o ser humano fosse aos poucos sofisticando os seus processos de contagem para que desta forma pudesse manter algum controle sobre o seu meio social e de sobrevivência. Como propulsor no desenvolvimento do processo de contagem, e por consequência nas operações ligadas a ele, tem-se o fato de que em um dado momento o homem passou a comparar conjuntos para poder ter a noção de quantidade. Era dobrando os dedos da mão que um pastor podia conferir se o seu rebanho estava completo. Caso o número de animais no rebanho fosse superior aos dez dedos da mão usava-se um conjunto maior como um monte de pedras ou entalhes num bastão. O interessante aqui aparece quando se observa que estas foram as primeiras relações entre conjuntos na história humana. Um dos mais antigos registros históricos sobre o processo de contagem que se conseguiu tomar conhecimento é o Osso de Ishango. Este artefato arqueológico foi encontrado na região de Ishango que se localiza na fronteira entre o Congo e Uganda.

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Suas inscrições revelam os primeiros registros de inscrições de natureza numérica. O osso em si carrega três faces onde foram gravados três conjuntos de ordem numérica que ao serem analisados e perto revelam um conhecimento um tanto sofisticado dado a sua idade histórica de mais de 20 000 anos.

Figura 1.1: As faces do Osso de Ishango – Institutroyaldessciencesnaturelles de Belgique

Para cada face foi designado um conjunto numérico. Em uma das faces é possível distinguir o conjunto 9, 19, 21, 11. Em outra se tem os números 19, 17, 13 11. Na terceira face tem-se 7, 5, 5, 10, 8, 4, 6, 3. Este último conjunto apresenta soma 60, o que pode ser um forte indício de uma relação com os meses lunares. Outra coisa importante observada nos entalhes do Osso de Ishangosão os números primos sequenciais 11, 13, 17 e 19. Com isso, é possível prever que mesmo nessa época já se havia um gradual conhecimento dos números em sua forma primitiva o que não deixa de dar abertura para que o processo de divisão fosse desenvolvido de forma prática.1 A Matemática em si ainda não estava sendo desenvolvida oudescoberta, mas esses primeiros ensaios nos processos de contagem proporcionaram às sociedades organizadas como a Mesopotâmica e a Egípcia uma base sólida para que estas aventurassem seus primeiros passos no universo dos números. A matemática mesopotâmica já dispunha de um método de registro feito através da escrita cuneiforme. Os conhecimentos matemáticos desenvolvidos na sociedade mesopotâmica eram de caráter extremamente prático, com algumas exceções, e voltado para questões de cunho comercial e econômico. Tal fato é compreensível quando se olha pela ótica de que as cidades da sociedade mesopotâmica eram centro comercias em sua maioria.

1Mol, Rogério S. Introdução à história da Matemática. UFMG, 2013.

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Pela natureza de suas questões comerciais e econômicas, os babilônicos, povo da Babilônia que era a cidade mais desenvolvida de toda a Mesopotâmia, estudaram e desenvolveram-se muito em cima do processo de divisão. O trabalho com taxas de juros, câmbio de moedas e divisão de colheitas exigia operações matemáticas de natureza diversa. As tábuas de divisão eram frequentemente consultadas para a verificação de resultados. Tais tábuas ou tabuletas eram feitas de barro onde eram cunhados os resultados e operações matemáticas e depois eram cozidos para aumentar sua durabilidade.

Figura 1.2: Tábua babilônica com elementos matemáticos

Considerando o pressuposto das divisões de colheitas entre outras divisões de bens comercias que compunha o universo econômico babilônico, elucida-se que, apesar de não registrado, os Babilônicos realizavam operações de comparação entre divisores de dois ou mais números e, desta forma, fincavam mais uma base para a conceituação do Máximo Divisor Comum de dois números ou duas grandezas. Outra grande civilização que deixou suas marcas na história humana foi a sociedade Egípcia. Esta ficou marcada por suas grandes construções arquitetônicas que foram grandes basilares para o crescimento fértil de muitos conhecimentos matemáticos. Pela construção das grandes pirâmides do Egito fez-se necessário o desenvolvimento de um grande estoque de registros matemáticos. Os egípcios dispunham de um grande conhecimento em relação às operações com grandezas.

A determinação de divisores de um número, bem como a própria operação de divisão, realizado pelos egípcios se dava a partir de um processo conhecido como “duplicação”. Isto ocorria devido ao fato de que os egípcios concebiam a adição como a operação fundamental da aritmética da qual todas as outras derivavam.

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O maior aprofundamento das divisões matemáticas e das determinações de divisores ocorre quando ao fim de cada cheia do rio Nilo era preciso dividir as terras novamente aos seus proprietários.

Muitos registros de problemas matemáticos elaborados e resolvidos pelos egípcios chegaram aos dias de hoje através dos papiros escritos em hieróglifos. Tais problemas envolvem as mais diversas áreas da matemática hoje conhecida. Em suma são problemas de ordem geométrica e aritmética voltados para situações reais que requisitaram tais conhecimentos. A ideia de múltiplos e divisores aparece com alguma frequência dentro de muitos dos problemas.

O mais famoso dos registos matemáticos da sociedade egípcia é o papiro de Rhind. Este papiro ficou assim conhecido por ter sido adquirido pelo egiptólogo escocês Alexander Rhind no ano de 1858. Sua datação é de 1650 a. c. O conteúdo do papiro consta de 84 problemas de ordem aritmética e geométrica com suas respectivas soluções.2

Figura 1.3: O papiro de Rhind

Todo o conhecimento matemático que foi desenvolvido nas primeiras sociedades organizadas foi sendo registrado e passado de um povo para outro através das viagens comercias, principalmente. Com este processo de troca e aperfeiçoamento de conhecimentos, a sociedade Grega foi uma das principais impulsionadoras dos estudos matemáticos em torno dos mais variados ramos da ciência dos números. Foi na Grécia 2Mol, Rogério S. Introdução à história da Matemática. UFMG, 2013.

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que a Matemática conheceu seu primeiro grande apogeu de descobertas e estudos lógicos apurados. Muito se deve às grandes escolas gregas de estudos matemáticos. Escolas como a Sociedade pitagórica, como a Escola de Platão e como os Eleatas. Cada uma dessas organizações teve seu papel fundamental no desenvolvimento de toda a base matemática conhecida no período clássico. Nesses espaços de estudos os números eram adorados e muitas vezes até endeusados pelos seus estudiosos. O conhecimento matemático era algo visto como um conhecimento superior e acessível a poucos cidadãos da Grécia clássica. Quase que totalidade da produção matemática da Grécia chegou aos tempos atuais. No entanto, a mais famosa obra matemática grega é o conhecido compendio de livros escritos pelo grego Euclides de Alexandria. Tal compendio é denominado de Os elementos de geometria. A coleção de os Elementos é composta por treze livros ou capítulos que tratam entre outras coisas de um apanhado muito bem elaborado de proposições matemáticas sobre geometria e algumas de ordem aritmética. Sua influência pode ser sentida quando se analisa o fato de que Os elementos foi um dos textos que mais influenciaram no desenvolvimento da Matemática como se apresenta hoje. Por muito tempo foi um dos livros bases mais utilizados como livro-texto no ensino da matemática e considerado um dos mais lidos e editados também. O ponto interessante, para este trabalho, encontrado em umas das definições que compões Os elementos é fato de que esta é a primeira obra que traz uma linguagem lógica e concisa sobre muitos temas da matemática e, entre eles, encontra-se a primeira definição de Máximo Divisor Comum. Pouco se alterou da definição de . . . que reside no livro de Euclides para a definição de . . . que se estuda e ensina hoje em dia nos meios matemáticos e nas escolas. Em contraposição ao pouco que se alterou, tem-se o muito que foi construído e descoberto a partir da definição de divisores e de . . . deixadas por Euclides em sua obra. A base teórica em torno do . . . consta de séculos, mas sua importância jamais cairá nas brumas do tempo.

1.2. Princípios teóricos

A ideia de Máximo Divisor Comum passa a ser introduzida na educação básica desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Isto se dá pelo fato de que o estudo do

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m.d.c. auxilia de forma bastante direcionada o estudo de muitos outros conteúdos matemáticos além de ampliar os conceitos que os alunos possuem de divisibilidade e da relação que os números mantêm entre si. Inicialmente, será definido o . . . para o conjunto dos números naturais. Porém essa definição será expandida para o conjunto dos números inteiros no decorrer do desenvolvimento deste trabalho. 1.2.1. Definição. Sejam a e b números naturais, sendo que a e b não podem ser nulos simultaneamente. Chama-se um número natural d de Máximo Divisor Comum de a e b se, e somente se, são satisfeitas as seguintes condições:

i. d é divisor de a e d é divisor de b; ii. Se k é um divisor de a e k é um divisor de b, então k é um divisor de d;

Por convenção, sendo do máximo divisor comum de a e b, escreve-se que = ( , ).

Analisando a primeira condição para a existência do m.d.c. percebe-se que d sendo o máximo divisor comum de dois números, então qualquer outro divisor comum a estes números deverá ser estritamente menor do que d. Segue ainda que d deverá ser estritamente maior do que zero ( > 0).3 1.2.2. Propriedades do m.d.c. no conjunto dos números naturais

1. Se x é um número natural não nulo, então o ( , 0) = . Demonstração.

Seja a um número natural então pelo algoritmo da divisão segue que = . 1 + 0 e 0 = 0. + 0.

Portanto, | e |0. Se é um número natural tal que | e |0, então | ( , 0). Logo, ( , 0) = .

2. Dados números naturais não nulos simultaneamente. Se | então ( , ) = .

3Maier, Rudolf R. Teoria dos números. Texto de aula. Universidade de Brasília, 2005.

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Demonstração. Tem-se que | , pois = . 1 + 0 e | por hipótese. Se é um número natural de modo que | | , então | ( , ). Logo, ( , ) = .

1.2.3. O cálculo do mdc pelo Algoritmo de Euclides Até agora a noção de cálculo do . . . está inteiramente ligada ao conhecimento de todos os divisores dos números aos quais se quer conhecer o . . . No entanto, este se torna um método cansativo e demasiadamente longo quando se trata de números com mais de cinco dígitos. O algoritmo de Euclides permite o cálculo do

. . . de dois ou mais números sem que haja a necessidade de conhecerem-se todos os divisores de tais números. Proposição 1. (Algoritmo de Euclides) Sejam , , , números naturais com ≠ 0 e = . + , 0 ≤ < . Então ( , ) = ( , ). Demonstração. Seja = ( , ), então | . Por hipótese segue que = . + e sabendo que | tem-se como resultado que | . | . Ou seja, | | . Agora, seja um divisor de . Então, | . | o que implica que

|( . + ). Daí, | . Assim, é um divisor de o que implica que é um divisor de = ( , ). Logo, ( , ) = = ( , ), quando é o resto da divisão euclidiana de

por . É preferível tomar o maior número como dividendo e o menor como divisor. Note ainda que o processo fornecido pelo algoritmo de Euclides tem etapas finitas uma vez que este está ligado ao algoritmo da divisão que torna os restos limitados pelo divisor. A cada etapa os divisores são os restos e estes diminuem gradativamente. 1.2.4. Resultados relevantes

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1. O . . . de três números ou mais é calculado por etapas. Toma-se inicialmente dois dos números em questão e calcula-se o seu . . . O resultado encontrado fará par com o próximo número para um novo cálculo de . . . Ao fim de todas as etapas e quando não restar mais números, o

. . . encontrado por último será o válido para todos os números em questão.

2. Dois números são tidos como primos entre si ou relativamente primos quando o . . . desses dois números for igual a 1. Ou seja, sendo

números naturais, então são primos entre si se, e somente se, ( , ) = 1.

3. Proposição. Sejam , números naturais. Se = ( , ), então

= ( , ). 4. Proposição. Sejam , números naturais tais que = ( , ). Então

os quocientes das divisões de por e de por são números relativamente primos.

5. Proposição. Sejam , números naturais. Se | e ( , ) = 1 ,

então | . 6. Dentro do conjunto dos números inteiros o cálculo do . . . precede todas

as propriedades do cálculo do . . . no conjunto dos números naturais. 7. O . . . sempre será um número positivo não nulo o que implica em

( , ) = (| |, | |) para < 0 < 0.

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Capítulo 2 O m.d.c. e sua relação com o m.m.c.

2.1. Definição do Mínimo Múltiplo Comum

2.1.1 Definição. Sejam e números naturais. Um número natural

denomina-se mínimo múltiplo de e se, e somente se, são satisfeitas as condições: i. é múltiplo de e é múltiplo de ; ii. se é múltiplo de e é múltiplo de , então é múltiplo de . Por convenção, denota-se que ( , ) = sempre que for o mínimo múltiplo comum de e . A partir de agora, segue-se o uso desta notação para os problemas que se seguem. Analisando a primeira condição, concluímos que para que um número seja o mínimo múltiplo comum de dois números naturais e é preciso que este número seja simultaneamente múltiplo de e de . A segunda condição define que qualquer outro número que seja múltiplo de e também será múltiplo de . Desta forma, segue-se a minimalidade do . . . de dois números naturais. Outra observação importante sobre o . . . é que, assim como o . . ., a ordem dos números não interfere no resultado. Ou seja:

( , ) = ( , ) O trabalho de análise de cálculo e entendimento significativo do . . . consiste em conhecer os múltiplos de cada um dos números envolvidos no processo de determinação do . . . Com isso, o docente possui um leque amplo de abordagens de resolução de problemas relacionados ao . . . e suas aplicações. Abaixo segue um problema de ordem procedimental o que dá ao aluno uma ampla visão do que de fato são os múltiplos de um número e como ocorre a minimalidade de um múltiplo comum a dois números.

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2.1.2 Exemplo. Determine o menor número natural que é divisível simultaneamente pelos números 12 e 14. A ideia de passo inicial é que o docente conduza os educandos a escreverem separadamente uma lista de múltiplos de cada número. A tabela abaixo é formada pelos múltiplos do número 12.

12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 O próximo passo é escrever os múltiplos do número 14 como segue na tabela a seguir.

14 28 42 56 70 84 98 112 126 140

Após a determinação de certa quantidade de múltiplos de cada um dos números em questão o passo seguinte é a comparação das duas tabelas em uma terceira tabela como a tabela a seguir.

12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140

Pela simples observação da tabela acima é fácil identificar que o primeiro múltiplo que se apresenta comum aos números 12 e 14 é o número 84. Este é um processo analítico de determinação do . . . de dois números naturais ou inteiros. Com isso os alunos ampliam o entendimento dos conceitos de múltiplos e de determinação de múltiplos.

2.2. Relação entre m.d.c. e m.m.c.

Uma das mais interessantes faces da matemática é o fato de que tudo no universo matemático está interligado. Aos poucos as relações matemáticas entre duas grandezas vão sendo descobertas e devem ser explorados por pesquisadores e por professores. Nada no meio matemático está preso a um único caminho. Sempre existe

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mais de uma forma de expor um saber matemático e este sempre deve ser um ponto de alicerce para os professores de matemática. Em si tratando do ensino e da construção de uma aprendizagem com sentido e significado é preciso renovar e inovar a cada novo passo. O ensino do . . . pode e deve ser aliado ao ensino do . . . de muitas formas. No entanto, a principal delas consiste na proposição apresentada a seguir. Proposição. Sejam e números naturais não nulos. Então,

( , ). ( , ) = . Tal proposição nos diz que sabendo o . . . de dois números naturais é possível calcular o . . . destes números através da igualdade. Desta forma, temos um método mais rápido para o cálculo do . . . de dois números, pois, como já foi apresentado, pelo algoritmo de Euclides é possível encontrar o . . . dos números e depois basta utilizar a igualdade exposta na proposição acima. Exemplo. Dados os números 8 e 18. Calcular o . . . destes números. A ideia aqui é elucidar nos educandos a utilidade da relação entre o . . . e o

. . . e observar a sua praticidade. Assim, o primeiro passo é calcular o . . . de 8 e 18. Pelo algoritmo de Euclides temos que

18 2 0 8 4

Assim, após as divisões sucessivas do algoritmo de Euclides, chegamos ao resultado que (18,8) = 2. Agora, para o cálculo do . . . basta aplicar a igualdade

( , ) ( , ) = Aplicando, o educando poderá comprovar de forma prática a utilidade da igualdade em problemas que exijam as duas grandezas entre números naturais ou inteiros. Daí,

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2. (18,8) = 18.8 (18,8) = 72

Após encontrar o . . . e já tendo conhecimento do . . . os alunos podem fazer, separadamente, as multiplicações da igualdade da proposição para poderem verificar os resultados depois. Portanto,

(18,8) (18,8) = 18.8 (18,8) (18,8) = 2.72 = 144

18.8 = 144 Através desta verificação simples os educandos podem atribuir um significado a mais aos conceitos de Máximo divisor comum e de Mínimo múltiplo comum e a relação que eles mantêm entre si. Uma porta de novas possibilidades de estudos se abre a partir destes novos entendimentos.

2.3. Outro método para o cálculo do m.m.c.

Em si tratando de possibilidades, vale a pena mostrar mais um método que permite a determinação do . . . de dois números naturais ou inteiros sem que seja necessário o cálculo do . . . destes números. Tal método é conhecido como decomposição em fatores primos. Pela Teoria dos números e pelas proposições dos Elementos de Euclides, sabemos que todo número natural ou inteiro possui uma e somente uma decomposição em fatores primos. Essa é a base do método de decomposição em fatores primos. Após a decomposição de cada um dos números em fatores primos, basta selecionar os termos comuns e não comuns de cada decomposição que possuam o maior expoente ou que se repitam mais vezes nas decomposições. O exemplo abaixo dá corpo ao que foi dito. Exemplo. Calcular o (20,6). O docente aqui deve guiar os alunos a realizarem as decomposições separadamente nos primeiros problemas trabalhados, pois com esta separação os educandos poderão observar melhor os passos da decomposição em fatores primos e do seu papel no cálculo do . . . Sejam, as decomposições

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20 = 2 . 5 e 6 = 2.3 Utilizando o método de comparação das decomposições, separamos os termos que possuem os maiores expoentes nas decomposições. Assim,

(20,6) = 2 . 3. 5 = 60 Observando a última igualdade é possível verificar que o . . ., ao contrário do . . . , utiliza todos os fatores que aparecem nas decomposições. Uma vez familiarizados com o cálculo a partir das decomposições separadas, os discentes podem partir para a utilização da decomposição simultânea dos números. Utilizando os mesmos números, segue que

20 6 2 10 3 2 5 3 3 5 1 5 1 1 60

Este método de decomposição simultânea torna o cálculo do . . . ainda mais rápido e prático quando utilizado em alguns problemas como aqueles que envolvem frações de denominadores variados. Outra observação importante é que, assim como o . . ., o . . . pode ser determinado para mais de dois números naturais ou inteiros. O método da decomposição simultânea não tem um número restrito de números podendo ser aplicado para quantos números o problema exigir. Como já foi mencionado de outras formas, ensinar exige certas remodelagens a cada período de tempo. Inovar e renovar são verbos que devem ser bastante utilizados por docentes que almejam proporcionar aos seus aprendizes saberes que serão sempre os pilares para a elucidação de novos saberes a cada nova etapa na busca pelo conhecimento. Desta forma, os próximos capítulos serão construídos em cima de algumas atividades de modelagem e aplicação do conceito e cálculo do . . . O ponto principal é mostrar novas formas de ensinar o . . . nas séries iniciais do ensino fundamental.

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Capítulo 3 O jogo de Euclides com a utilização do baralho

“Jogo é uma palavra, uma maneira de expressar o mundo e, portanto de interpretá-lo. Precisamos, pois reconhecer que estamos tratando de uma concepção complexa na medida em que, em torno de um nó de significações, giram valores bem diferentes: a noção aberta a interpretações e, sobretudo, a novas possibilidades de análise. Pode-se descobrir um paradigma dominante em torno da oposição ao trabalho, mas também potencialidades diversas conforme se favoreça essa ou aquela direção de seu desenvolvimento.”

Santa Marli Pires dos Santos (1997, p. 90)

Trabalhar um jogo dentro do universo da sala de aula é dar aos alunos a oportunidade de terem uma nova perspectiva dos conteúdos trabalhos e da matemática em si. Um jogo traz consigo inúmeros objetivos fundidos ao seu desenvolvimento. Tais objetivos quando alcançados levam os alunos a elucidarem de uma nova maneira saberes já conhecidos. Há também o vértice da competição saudável. É natural do ser humano competir nos mais diversos âmbitos da vida social. Desde os primórdios a competição fez o ser humano aprender e evoluir com sua aprendizagem.4 Trabalhar o . . . através de um jogo é mostrar de forma interativa o processo de construção desta grandeza matemática. O jogo permite interação entre alunos e docentes e entre alunos e alunos. A ideia central deste capítulo é apresentar um jogo que consiste no cálculo do . . . através das cartas de um baralho moderno. Antes vamos entender um pouco da história do baralho. A realização deste jogo é indicada após os alunos já terem uma base formulada acerca dos conhecimentos sobre o m.d.c. Isto, pelo fato do jogo exigir um certo domínio do Algoritmo de Euclides. Daí, o jogo é mais uma forma de fixar e aprofundar os saberes em torno do . . . e da sua multiplicidade de aplicações dentro e fora do universo matemático. 4Ribeiro, Elcy Fernanda Ferreira. O ensino da Matemática por meio de jogos de regras, 2004.

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3.1. Princípios históricos do jogo de baralho Como a maioria dos jogos que se perpetuaram através dos tempos, as origens do Jogo de baralho estão envoltas em estórias e lendas que pouco datam e pouco falam dos seus criadores. Mas ainda assim alguns destes relatos históricos merecem ser registrados devido as suas fundamentações culturais dentro da história da humanidade. Por muito tempo, jogos de cartas foram proibidos na maioria das civilizações humanas devido ao fato de serem vistos como jogos que propiciavam a enganação e o azar daqueles que estavam envolvidos nas partidas. Os primeiros relatos conhecidos de jogos de cartas advêm da China antiga. Muitas pessoas foram presas e condenadas no império chinês devido o desenvolvimento de cartas. Contudo, muitas outras civilizações também desenvolveram jogos com base na utilização de cartas. Por exemplo, existem baralhos de origem coreana, persa e indiana. Cada jogo possui suas regras e seus objetivos. Em síntese, todos eles têm como plano de fundo a leitura das jogadas e a busca da vitória através do raciocínio lógico. Hoje, o baralho moderno, como o conhecemos, foi inicialmente criado na China por um imperador que o criou para distrair suas várias esposas. Essa é uma das lendas contadas, mas que não podem ser ligadas a um nome em específico. Historicamente, o que existe de concreto a respeito do baralho moderno de 52 cartas é que em meados de 1294 sua existência foi registrada na China. O percurso que o levou para a Europa permanece desconhecido até hoje, mas sabe-se que ele chegou por volta do século XIV trazido por mamelucos. Foi na Europa que o baralho assumiu a forma com a qual permanece até hoje e que oferece infinitas possibilidades de divertimento. Das infinitas possibilidades de utilização do baralho, sua utilização em sala de aula não poderia ser esquecida.

3.2. O baralho do MDC Objetivos do jogo O objetivo principal do baralho do . . . é desenvolver o cálculo do . . . de dois números naturais através de um jogo que exige além dos saberes matemáticos das operações um raciocínio lógico perspicaz e um pouco de sorte nas jogadas realizadas.

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Outro objetivo resida no incentivo a interação dos alunos entre si bem como dos alunos com novos materiais de estudo. Material necessário O jogo foi pensado para ser executado em duplas. Desta forma, o docente deve dispor de um número de baralhos de 52 cartas cada correspondente ao número de duplas que existir na turma de alunos onde a atividade será realizada. Regras

1. O baralho deve conter exatamente 52 duas cartas divididas em 4 naipes; 2. Cada jogador deverá sacar inicialmente cinco cartas; 3. O Baralho deve estar devidamente embaralhado para as cartas variarem os

naipes; 4. Para cada baralho devem ser apenas dois jogadores; 5. Após o saque inicial cada jogador terá direito de sacar quantas cartas forem

necessárias até conseguir o resto recorrente para ele encerrar sua jogada; 6. Caso as cartas do montante de saque se esgotem, ambos os jogadores devem

embaralhar novamente as cartas que possuem na mão e no montante de descarte para poder prosseguir com o jogo;

7. O jogo termina quando apenas um dos jogadores possuir resto na mesa; 8. Vence que estiver como o resto na mesa.

Desenvolvimento Vamos discorrer sobre o desenvolvimento e as regras do jogo através da elucidação de um exemplo aplicacional do próprio jogo. Antes de tudo é preciso conhecer os valores de cada carta do baralho. Conforme conhecido um baralho de jogo moderno é formado por quatro naipes: paus, espada, copas e ouro. Cada naipe é constituído por 13 cartas. Nove das cartas são numeradas de 2 a 10 e seus valores serão correspondentes a sua numeração. Existem também em cada naipe as cartas de ás, valete, dama e rei. Respectivamente, seus valores são 1, 11, 12 e 13. Os baralhos utilizados são conforme o representado na figura abaixo:

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Figura 3.1. Baralho moderno de 52 cartas5

Após o docente explicar aos alunos o valor de cada carta, o próximo passo é dividir as duplas para poder distribuir os baralhos entre as duplas. Caso o número de alunos presentes seja um número ímpar, o professor poderá ocupar lugar em uma dupla para que o número de jogadores se torne par e assim o jogo possa fluir. Embaralhar as cartas é um passo muito importante pois assim os valores das cartas se tornam aleatórios dentro do montante e o resultado do jogo fica indeterminado até o final da partida. Quando cada dupla embaralhar suas cartas, o professor deve orientar que o montante seja colocado com a face de valores oculta pela face rendada em desenhos. Então, cada aluno da dupla deve retirar cinco cartas do montante. No nosso exemplo, vamos definir dois jogadores: Jogador 1 e Jogador 2. O Jogador 1 faz sua retirada de cartas conforme a Figura 3.2.

Figura 3.2. Cartas do Jogador 16

5 Imagem do autor, 2016; 6 Imagem do autor, 2016;

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Em seguida, o Jogador 2 faz sua retirada conforme mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3.Cartas do Jogador 27

Agora que ambos os jogadores fizeram suas retiradas, o passo seguinte é definir os números que serão a base para o cálculo do . . ., ou seja, vamos definir e para poder calcular ( , ). Cada um dos números será definido pela soma dos valores de cada carta. Para o Jogador 1 temos os seguintes valores: 1, 6, 8, 9 e 12. Daí a soma vale 36. Para o Jogador 2 temos os seguintes valores: 1, 2, 6, 7, 10. Segue que a soma do Jogador 2 equivale a 26. Pela comparação dos valores obtidos pelas somas determinadas tem-se que o jogador que tiver o maior valor começa o jogo. Assim, o Jogador 1 é quem começa. O Jogador 1 deve dividir o valor das suas cartas pelo valor das cartas do Jogador 2. Segue que:

3626 = 1.26 + 10

Através da operação acima é possível perceber que temos o resto 10. Esse resto determinar que o Jogador 1 deve sacar cartas do montante até que possua em sua mão o valor 10. Vejamos a primeira carta puxada conforme a Figura 3.4. 7 Imagem do autor, 2016;

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Figura 3.4. Primeira carta sacada pelo Jogador 18

Como o valor ainda não corresponde ao resto da divisão, o Jogador 1 deve sacar mais uma carta do montante.

Figura 3.5. Cartas sacadas pelo Jogador 19

Das cartas sacadas pelo Jogador 1 segue que seus valores implicam que

7 + 3 = 10

Desta forma, o jogador 1 deve substituir suas cartas de soma 36 pelas cartas de soma 10. As cartas de soma 36 são descartadas em um montante separado do montante 8 Imagem do autor, 2016; 9 Imagem do autor, 2016;

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de saque. Com isso o Jogador 1 encerra sua jogada. Neste momento, o discente deve perceber que aquele que está jogando sempre possui o número maior definido pela soma de suas cartas. Da mesma forma que o Jogador 1 o Jogador 2 deve realizar a divisão do seu valor pelo valor do Jogador 1. Daí:

2610 = 2.10 + 6

Mais uma vez temos a existência de um resto na divisão. Agora, o Jogador 2 deve sacar cartas até conseguir uma soma igual a 6.

Figura 3.6. Primeiro saque do Jogador 210

10 Imagem do autor, 2016;

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Figura 3.7. Segundo saque do Jogador 211

Com os dois primeiros saques o Jogador 2 não obteve ainda uma soma igual a 6. Seus saques devem prosseguir então.

Figura 3.8. Terceiro saque do Jogador 212

11 Imagem do autor, 2016; 12 Imagem do autor, 2016;

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Figura 3.9. Quarto saque do Jogador 213

Figura 3.10. Quinto saque do Jogador 214

Figura 3.11. Resultado após sete saques do Jogador 215

13 Imagem do autor, 2016; 14 Imagem do autor, 2016;

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Com a realização de sete saques, o Jogador 2 consegue uma com valor 1 e outra com valor 5 o que lhe dá soma 6. Daí as cartas de soma 26 são descartadas no montante de descarte e no seu lugar são colocadas as cartas de soma 6 conforme a figura abaixo.

Figura 3.12. Cartas de soma seis16

Encerrada a jogada o Jogador 2 passa a vez para o Jogador 1. O Jogador 1 deve efetuar a operação seguinte:

106 = 1.6 + 4

Como o Jogador 1 não possui nenhuma carta sacada, ele deve sacar cartas até obter a soma 4. Segue a sequência de saques na figura 3.13.

15 Imagem do autor, 2016; 16 Imagem do autor, 2016;

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Figura 3.13. Sequência de saques do Jogador 117

Tendo conseguido uma carta de valor 4, o Jogador 1 substitui seu montante de valor 10 pela carta de valor 4 e encerra sua jogada.

Figura 3.14. Montante do Jogador 1 ao final da jogada atual18

O jogo será encerrado e o ganhador conhecido quando um dos jogadores não dispor mais de um resto para substituir o seu montante. Ou seja, quando o resultado da divisão for exato o que implica em resto igual a zero. Agora, o Jogador 2 inicia sua jogada com a operação de divisão para definir qual resto substituirá o seu montante atual. Pela operação determina-se que o resto da divisão de 6 por 4 é igual a 2. Feito isso é hora de conferir as cartas, resultantes dos saques anteriores, que o Jogador 2 17 Imagem do autor, 2016; 18 Imagem do autor, 2016;

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possui na mão. Pela figura 3.11. é possível notar que o Jogador 2 não possui cartas cuja soma seja igual a dois, então é necessário sacar para se obter tal soma.

Figura 3.15. Cartas da mão do Jogador 2 após o saque19

Agora, o Jogador 2 possui uma carta de valor 2 que será substituída pelo seu montante em jogo. Desta forma, o Jogador 2 encerra sua jogada e passa a vez para o Jogador 1 iniciar a sua jogada. O Jogador 1 realiza a operação abaixo mostrada:

42 = 2

O montante do Jogador 1 quando dividido pelo montante do Jogador 2 fornece um valor exato e não deixa resto de divisão. Com isso, o Jogador 1 fica impossibilitado de prosseguir sua jogada, pois seu montante de soma 4 é descartado o que implica que ele não terá mais montante para pôr no jogo. A conclusão do jogo é que o Jogador 2 vence a partida pelo fato deste ainda possuir seu montante de valor 2. Conforme observado no decorrer da descrição do exemplo elucidativo do baralho do . . ., os passos de cada jogada nada mais são do que os passos realizados pelo Algoritmo de Euclides para a determinação do . . . de dois números naturais quaisquer. O vencedor é aquele que possui o . . . das somas inicias ao final da partida. Logo, os discentes percebem que o . . . de 26 e 36 é igual a 2.

19 Imagem do autor, 2016;

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O jogo baralho do . . . pode ser desenvolvido de outras formas como, por exemplo, os jogadores podem iniciar uma nova partida tomando como base as cartas que possuem na mão que são resultado da última partida realizada. Ou seja, se o Jogador 1 e o Jogador 2 fossem iniciar uma nova partida tomando como base o critério das cartas na mão seus valores seriam 52 e 60. Respectivamente para o Jogador 1 e para o Jogador 2. Uma nova partida, novos valores, novas aprendizagens. Os discentes conseguem, a partir do jogo, iniciar a previsão dos passos e desta forma prever suas jogadas de modo a definir o . . . e vencer o jogo. Outra possibilidade de jogar é utilizar o produto dos valores das cartas como ponto de partida e como operação base na determinação dos montantes em cada jogada.

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Capítulo 4 Atividade em sala com a utilização do m.d.c.

Aqui abordaremos e apresentaremos atividades que envolvem a descoberta do m.d.c. através da utilização de objetos e ferramentas de caráter geométrico. O princípio básico é que os alunos utilizem o menor número possível de cálculos e que, ainda assim, cheguem a um resultado plausível para o cálculo do . . . Outro ponto chave é o fato do despendimento da ideia do Máximo Divisor Comum está somente ligado a problemas de ordem algébrica e de caráter meramente mecânico. Vale salientar ainda que esta é uma atividade prévia do conteúdo do . . . Ou seja, a partir desta atividade os educandos juntamente com o professor irão firmar as bases para os próximos estudos em torno dos conceitos e conteúdos que envolvem o

. . .

4.1. Atividade Destruindo mosaicos Objetivo da atividade A atividade constitui em uma forma lúdica e divertida de se reforçar o conceito e as aprendizagens que envolvem o . . . e os problemas que requerem o uso deste. Outro objetivo implícito na atividade é o incentivo ao desenvolvimento das relações entre os alunos de uma mesma turma, uma vez que, o processo de convivência quando flui de forma positiva é um fator fortificador do processo de ensino-aprendizagem em qualquer área do conhecimento. Segue ainda que de uma forma explicita ou implícita os saberes em torno do . . . sempre estarão sendo utilizados. O próprio Algoritmo de Euclides permeia tanto o Jogo com baralho quanto esta atividade com mosaicos. Material necessário

Folhas de papel A4 em branco na quantidade suficiente para que cada aluno possua sua folha individual;

Tesouras sem ponta em quantidade suficiente para os alunos da turma em questão;

Canetas esferográficas;

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Réguas com escala de 1 cm; Lápis de cor pode ser uma opção utilizável ou não.

Desenvolvimento do jogo

Inicialmente o professor irá distribuir o material para cada aluno. Quando cada um possuir em sua carteira uma folha de papel, uma tesoura, uma caneta ou lápis de cor vem o próximo passo. A ideia agora é que cada aluno pegue a folha de papel A4 e nela desenhe, com auxílio da régua e da caneta esferográfica, uma malha esquadrilhada de pequenos quadrados com um centímetro de lado cada quadrado. Tal malha deve ficar igual à apresentada na figura 4.1.1.

Figura 4.1.1. Malha que deve ser desenhada por cada aluno20

O processo de incentivo da criação da malha por parte dos alunos também serve de reforço nas habilidades de utilização de ferramentas de desenho geométrico como a régua. Após cada aluno criar a sua malha quadriculada ou seu plano cartesiano sem retas é hora de passar para a próxima etapa. Vale salientar que tal atividade ainda não teve a oportunidade de ser experimentada e aplicada dentro de um ambiente de sala de aula onde o verdadeiro objetivo se faz real e os ajustes aparecem para que a atividade torne-se cada vez melhor e mais lúdica. Em muitos lugares do espaço urbano nos deparamos com imagens constituídas pela sobreposição e superposição de figuras geométricas que juntas formam um panorama maior e trazem consigo o sentido e o significado de sua criação. Algumas 20 Imagem do autor, 2016;

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técnicas de artesanato como o Ponto de Cruz utilizam muito desses mosaicos para elaborarem aquilo que será transportado para o tecido. Esse é apenas um dos exemplos das muitas aplicações das formas geométricas na arte assim com em todos os âmbitos da cultura humana. São estes gráficos que utilizam apenas quadrados justapostos que caracterizaram a próxima etapa da atividade.

Figura 4.1.2. Exemplo de gráfico com mosaico de coruja21

Através da apresentação de gráficos de mosaicos como o apresentado na Figura 4.1.2 o professor deve instigar os alunos a criarem seus próprios desenhos com a utilização dos lápis de cor que foram fornecidos. Esta se consuma como a etapa seguinte da atividade. Dar um tempo para que cada aluno fertilize sua criatividade e pense em qual mosaico irá criar dentro da sua malha quadriculada é algo extremamente importante para que a realização da atividade seja bem sucedida. Terminado o tempo necessário para que cada aluno crie seu mosaico, o professor deve agora orientar que cada um deles recorte seu desenho no contorno eliminando assim o excesso de malha quadriculada que se encontra ao redor do mosaico. Vamos tomar como exemplo o mosaico de um barco e o mosaico de um coração, criados pelos alunos João e Maria, respectiva e hipoteticamente.

21 Disponível em: www.artesanatobrasil.net

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Figura 4.1.3. Mosaico de barco22

Figura 4.1.4. Mosaico de coração23

Assim que os alunos apresentarem suas artes em mosaicos matemáticos a todos da sala é hora de forma duplas para realizarem a etapa que iniciará com a determinação da máxima área comum que existe entre os dois mosaicos de cada membro da dupla. Tomemos que João e Maria formaram uma dupla. Assim, cada um deve saber qual a área em centímetros quadrados do seu mosaico. O professor deve conduzir os alunos ao fato de que sendo os mosaicos formados por pequenos quadrados de um centímetro de lado, sua área é obtida pela contagem total dos quadrados que constituem o mosaico como um todo. Ao realizarem suas contas de quantos quadrados cada um dos seus mosaicos possuem, João chegou ao número de sessenta e cinco quadrados de um centímetro de lado e Maria chegou ao número de oitenta e um quadrados de um centímetro de lado. 22 Imagem do autor, 2016; 23 Imagem do autor, 2016;

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Daí o mosaico de João possui sessenta e cinco centímetros quadrados de área e o mosaico de Maria possui 81 centímetros quadrados de área. O passo seguinte é dado pelo aluno da dupla que possuir o mosaico com a menor área. Desta forma, João irá iniciar o passo seguinte. O professor deve então repassar a orientação de que o aluno que possuir o mosaico com a menor área deverá analisar quantas vezes o seu mosaico cabe dentro do mosaico do colega e quanto de resto sobra. Em linguagem matemática, a maior área deve ser dividida pela menor e o resto da divisão, sempre que houver, deve ser guardado. Realizando esse processo, João verifica que seu mosaico de sessenta e cinco centímetros quadrados cabe exatamente uma vez dentro do mosaico de Maria e que gera um resto de dezesseis centímetros quadrados. A maneira modeladora de se fazer isso é recortar do mosaico maior a quantidade de quadrados de um centímetro de lado referente ao mosaico menor. Assim, João recorta do mosaico de Maria sessenta e cinco quadrados de um centímetro.

Figura 4.1.5. Recorte dos sessenta e cinco quadrados do mosaico de coração24

Assim que João realizar o recorte com o auxílio da tesoura sem ponta, a área removida deve ser descartada e o novo mosaico, restante do corte, deve ser devolvido a Maria.

24 Imagem do autor, 2016;

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Figura 4.1.6. Mosaico devolvido a Maria25

Agora é a vez de Maria realizar passo semelhante ao que João realizou no início. Primeiro ela deve observar que o seu novo mosaico possui um área de dezesseis centímetros quadrados. Daí, ela deverá ir removendo áreas de dezesseis centímetros quadrados do mosaico de João até que a área restante seja menor que a área do seu mosaico. Após alguns recortes, Maria irá remover sessenta e quatro quadrados do mosaico de João.

Figura 4.1.7. Recorte dos sessenta e quatro quadrados do mosaico de barco26

Com a remoção de sessenta e quatro quadrados de seu mosaico, João recebe ao fim da etapa um mosaico de apenas um quadrado como mostra a figura abaixo.

25 Imagem do autor, 2016; 26 Imagem do autor, 2016;

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Figura 4.1.8. Mosaico devolvido a João27

Na etapa seguinte, João irá destruir o mosaico de Maria pois como o seu mosaico possui apenas um centímetro quadrado de área, ele poderá remover todos os quadrados do mosaico de Maria e desta forma apenas ele permanecerá com um mosaico em mãos.

Figura 4.1.9. Remoção de todos os quadrados do mosaico de coração28

Com isso, João é o vencedor da etapa da atividade e a área do seu mosaico constitui o Máximo Divisor Comum entre as áreas iniciais dos dois mosaicos. O professor deve mostrar ao fim desta etapa que o . . . pode apresentar-se de diversas formas e que os meios geométricos também são um caminho viável para a interpretação do cálculo e da definição do que na verdade significa o . . . 27 Imagem do autor, 2016; 28 Imagem do autor, 2016;

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Os alunos constituintes da dupla devem observar que o Máximo Divisor Comum entre as áreas de oitenta e um centímetros quadrados e sessenta e cinco centímetros quadrados é de exatamente um centímetro quadrado, ou seja, essa área definiria por exemplo a quantidade de cores que deveria ser utilizada em cada quantidade de quadrados para que os dois mosaicos possuíssem cores homogêneas e iguais para um determinado agrupamento de quadrados. Olhar o desenvolvimento da descoberta do Máximo Divisor Comum sobre esta ótica torna a elucidação do conhecimento abordado algo mais palpável e lúdico dentro do ambiente de sala de aula e fora dele também. Pensar a distância comum entre dois lados ortogonais do muro da escola pode levar ao plantio homogêneo de árvores no decorrer de cada lado e de forma equidistante.

Portanto, chegamos à conclusão de que pode sim ser possível elucidar a determinação do . . . por métodos que utilizem ferramentas de caráter geométrico e não necessariamente a utilização da álgebra para o cálculo em questão. A atividade pode ser ampliada para outras formas de abordagem.

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Conclusão

Chegar ao ponto de inovar-se e renovar-se leva qualquer docente a parar e avaliar todo o percurso da sua atuação dentro de sala de aula. É buscar novas formas de ver o saber ensinar e ver o saber a ser ensinado. Pensar um conceito que foi elaborado séculos atrás de uma nova forma é sem sombra de dúvidas um desafio a ser tomado e explorado em todos os sentidos do princípio de ser professor. Novas abordagens geram novos questionamentos que consequentemente geram novas respostas. O produto de tudo isso são novas formas de aprendizagem e novas formas de ensinar. É prosseguir no rigor matemático sem, contudo, abandonar a ternura que a educação exige. O patamar que abriga os saberes em volta do contexto do . . . e de suas formas de ensino fornece grandes modelagens para a construção de saberes dentro da sala de aula. O professor que fica preso a um único método prende os seus alunos à monotonia das aulas mecânicas tão populares no século passado. Assim, criar e recriar aparatos de forma constante é sempre uma maneira de desprender-se do tradicional e de fornecer aos alunos opções diversas para o aprendizado em questão. O simples fato de parar e pensar em uma aula mais dinâmica e que ligue o saber ensinado à realidade dos discentes já faz com que qualquer docente amplie o seu campo de visão sobre a matéria prima de suas aulas. Tudo pode ser material para uma nova forma de se aplicar matemática. Quando se trata de ensinar, a dosagem de criatividade nunca deve ser medida.

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Referências bibliográficas

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POWELL, Arthur B. Captando, examinando e reagindo ao pensamento matemático. Gepen, nº 39, p. 73-84, setembro de 2001. RIBEIRO, Elcy Fernanda Ferreira. O ensino da Matemática por meio de jogos de regras. Universidade Católica de Brasília. Brasília: 2004.