TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/pmism/kinetostatyka1.pdf · jedynie obserwacja ruchu z geometrycznego punktu widzenia, dynamika ustala

Automatyka i Robotyka Podstawy Modelowania i Syntezy Mechanizmów Analiza statyczna i kinetostatyczna mechanizmów CZ.1. 1

Opracował: J. Felis

CZ.1. ANALIZA STATYCZNA I KINETOSTATYCZNA MECHANIZMÓW Dynamika jest działem mechaniki zajmującej się badaniem ruchu członów, mechanizmów

i maszyn wywołanego działaniem układu sił. W odróżnieniu od kinematyki, której celem jest jedynie obserwacja ruchu z geometrycznego punktu widzenia, dynamika ustala związki przyczynowo skutkowe pomiędzy układem sił przyłożonych do mechanizmów, stanowiącymi przyczyny ruchu, a realizowanym przez te mechanizmy ruchem czyli skutkami działania sił.

Pierwsze zadanie dynamiki – Dla zadanych kinematycznych równań ruchu mecha-

nizmu, gdy znane są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia członów, należy wyznaczyć układ sił przyłożonych do członów mechanizmu, które ten ruch wywołują.

Drugie zadanie dynamiki – Gdy znany jest układ sił przyłożonych do członów mechanizmu i warunki początkowe ruchu czyli prędkość i położenie początkowe mechanizmu, należy wyznaczyć kinematyczne równania ruchu czyli przyspieszenia, prędkości i przemieszczenia członów.

Problematyka zawarta w pierwszym zadaniu dynamiki jest przedmiotem tzw. Analizy Kinetostatycznej Mechanizmów. Natomiast zagadnienia zawarte w drugim zadaniu dynamiki będą rozpatrywane w zakresie równań ruchu maszyny i ich całkowania.



Rodzaje i charakterystyka sił przyłożonych do członów mechanizmu

Siłą uogólnioną nazywamy siłę skupioną powodującą przemieszczenie liniowe bryły lub parę sił

powodującą przemieszczenie kątowe bryły. Przemieszczenia liniowe lub kątowe nazywamy również przemieszczeniami uogólnionymi.

Podział sił według kilku wybranych kryteriów: 1) Ze względu na miejsce przyłożenia sił działających na mechanizm dzielimy je na siły wewnętrzne i zewnętrzne. Przez siły wewnętrzne rozumiemy wyłącznie siły reakcji występujące w parach kinematycznych mechanizmu. Wszystkie pozostałe siły nazywamy zewnętrznymi.

Siły wewnętrzne reakcji mają tylko składowe normalne do powierzchni styku członów, gdy tarcie pomijamy, lub składowe normalne i styczne w przypadku, gdy tarcie uwzględniamy. Siły zewnętrzne są przyłożone w dowolnych punktach członów, poza obszarem bezpośred-niego styku w parze kinematycznej. 2) Ze względu na moc siły uogólnionej, siły możemy podzielić na siły czynne czyli napędzające, których moc jest dodatnia )0N( oraz siły bierne czyli siły oporu, których moc jest ujemna )0N( .



Siły czynne są z reguły siłami zewnętrznymi i są to najczęściej siły rozwijane przez silniki napędowe np. spalinowe, elektryczne, pneumatyczne i hydrauliczne i wiatrowe, wodne i inne. Siły bierne są to zewnętrzne siły oporów użytecznych nazywane siłami oporów technologicznych lub siły oporów szkodliwych np. zewnętrzny opór ruchu samochodu lub wewnętrzny opór tarcia w parze kinematycznej. Przykładami użytecznych zewnętrznych oporów technologicznych są np. opory skrawania w obrabiarkach, opory kruszenia w kruszarkach, siły oporów sprężania w pompach, sprężarkach itp.

3) Ze względu na przyczynę powstawania siły działające na mechanizmy można podzielić na: - siły ciężkości, czyli siły pola grawitacyjnego )gmG( zgodnie z prawem grawitacji

zależne od położenia, w przypadku małych przemieszczeń przyjmujemy je jako stałe ponieważ przyspieszenie ziemskie przyjmujemy constg ,

- siły tarcia suchego, których wartość jest w przybliżeniu stała a zwrot zależny od prędkości względnej członów zgodnie z prawem Coulomba,

- siły tarcia wiskotycznego proporcjonalne do prędkości (pierwszej pochodnej przemieszczenia),

- siły bezwładności proporcjonalne do przyspieszenia (drugiej pochodnej przemieszcze-nia),

- siły zależne równocześnie od szeregu parametrów np. czasu, przemieszczenia pręd-kości, przyspieszenia itp.



Rys. 1d – wszystkie siły zewnętrzne przyłożone do mechanizmu w tym również moment równoważący

1rM , przyłożony do członu napędzającego.

Rys. 1. Siły zewnętrzne przyłożone do członów mechanizmu korbowo-suwakowego

Rys. 1b - siły ciężkości 321 G,G,G przyłożone do poszczególnych członów mechanizmu.

Rys. 1c – siły bezwładności członów ,B,B,B 321 oraz moment

od sił bezwładności - 2BM , przyłożony do członu 2.

Rys. 1a - Siła oporów użytecznych 3P .

Jest to siła bierna oporów sprężania.



Rys. 2. Siły wewnętrzne w parach kinematycznych mechanizmu korbowo- suwakowego

Siły wewnętrzne czyli reakcje w parach kinematycznych oznaczono symbolami, które można ogólnie zapisać jako klR . Indeks dolny symbolu siły wskazuje numery członów,

które na siebie oddziaływają. Przykładowo symbol 12R , oznacza reakcję z jaką człon 1 działa na człon 2 , a symbol 01R , oznacza reakcje pod-stawy na człon 1.



Zasada d’Alemberta dla członów mechanizmów w ruchu płaskim Równania dynamiczne ruchu płaskiego i – tego członu o masie im oraz o masowym momencie

bezwładności względem środka masy siJ mają postać:

(1)siiii amRP (2)isiRiPi JMM Równanie (1) jest dynamicznym równaniem Newtona postępowego ruchu unoszenia członu

natomiast równanie (2) jest dynamicznym równaniem Newtona obrotowego ruchu względnego członu wokół jego środka masy.

iP - wektor główny sił zewnętrznych przyłożonych do członu i,

iR - wektor główny sił reakcji w parach kinematycznych członu i,

Sia - przyspieszenie środka masy członu i,

PiM - moment główny sił zewnętrznych działających na człon i,

RiM - moment główny sił reakcji w parach kinematycznych członu i,

i - przyspieszenie kątowe członu i. Po przeniesieniu wyrazów równań (1) i (2) na lewą stronę otrzymamy:

(3)0amRP Siiii (4)0JMM iSiRiPi

Oznaczymy: (5)Siii amB oraz (6)iSiBi JM



Ostatecznie równania (1) i (2) przyjmą postać :

(7)0BRP iii (8)0MMM BiRiPi

Siłę iB nazywamy siłą bezwładności, natomiast moment BiM , momentem od sił bezwładno-ści lub parą sił bezwładności. Siłę i moment sił bezwładności nazywamy również siłami d’Alemberta. Są to siły, w sensie uogólnionym, o wartości równej odpowiednim iloczynom mas i przy-spieszeń, w sensie uogólnionym, o zwrotach przeciwnych do zwrotów tych przyspieszeń.

Zasada d’Alemberta. W czasie ruchu dowolnego członu mechanizmu siły zewnętrzne działające na ten człon równoważą się z odpowiednimi siłami reakcji w parach kinematycznych oraz siłami bezwładności.

Równania (7) i (8) przedstawiają zasadę d’Alemberta: pierwsze dla ruchu postępowego a drugie dla

ruchu obrotowego. Zgodnie z zasadą d’Alemberta zagadnienia dynamiki zapisane równaniami (1) i (2) zostały sprowa-

dzone do zagadnień statyki czyli równowagi statycznej układu sił, zapisanych równaniami (7) i (8). Na podstawie równań (7) i (8) przeprowadza się analizę kinetostatyczną mechanizmu. Jeżeli siły

bezwładności są małe i pomijamy je w rozważaniach wówczas równania te przyjmują postać:

(9)0RP ii (10)0MM RiPi Na podstawie równań (9) i (10) przeprowadza się analizę statyczną poruszającego się mechanizmu.



Analiza kinetostatyczna mechanizmów bez uwzględnienia tarcia

Cel i założenia analizy kinetostatycznej

Celem analizy sił przyłożonych do członów poruszających się mechani-zmów jest wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz uogólnionej si-ły równoważącej (siły rP lub momentu rM ) przyłożonej do członu napędzają-cego przy zadanym prawie ruchu mechanizmu i układzie sił zewnętrznych.

W mechanizmach i maszynach wolnobieżnych, gdzie siły bezwładności są

małe w porównaniu z pozostałymi siłami zewnętrznymi często w obliczeniach przybliżonych są one pomijane i wówczas analiza siłowa nosi nazwę analizy statycznej.

W mechanizmach i maszynach szybkobieżnych siły bezwładności są duże

i nie mogą zostać pominięte. Analiza siłowa mechanizmów z uwzględnieniem sił bezwładności nosi nazwę analizy kinetostatycznej.



Co należy zrobić, w celu przyłożenia uogólnionych sił bezwładności do członów mechanizmu? 1) Określić (obliczyć lub przyjąć w przypadku syntezy mechanizmu) masy i momenty bezwładności członów mechanizmu. 2) Wyznaczyć środki mas członów. 3) Wyznaczyć przyspieszenia środków mas członów i przyspieszenia kątowe członów. 4) Obliczyć wartości sił bezwładności i momentów od sił bezwładności dla poszczególnych członów ze wzorów:

Siii amB 0MM RiPi 5) Przyłożyć siły bezwładności w środkach mas członów na kierunku przyspiesze-

nia, ze zwrotem przeciwnym do zwrotu przyspieszenia. 6) Przyłożyć momenty od sił bezwładności do członów ze zwrotem przeciwnym do zwrotu przyspieszenia kątowego. W trakcie analizy kinetostatycznej, uogólnione siły bezwładności należy traktować tak samo jak inne siły przyłożone do członów mechanizmu: siły ciężkości, siły opo-rów technologicznych np. siły skrawania, sprężania, tłoczenia itp.



const1

Zasady wyznaczania sił bezwładności w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Najprostszym mechanizmem, którego człony wykonują wszystkie możliwe ruchy na płaszczyźnie

jest mechanizm korbowo-suwakowy.

Rys. 3. Mechanizm korbowo-suwakowy oraz przyspieszenia jego członów

W celu wyznaczenia sił i momentów sił bezwładności konieczne jest wyznaczenie przyspieszeń liniowych środków mas członów oraz przyspieszeń kątowych członów



Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu obrotowym Przypadek ogólny przedstawiony na Rys. 4 dotyczy sytuacji, gdy człon 1 wykonuje ruch obroto-

wy zmienny: const1 , 01 i środek masy członu nie leży na osi obrotu - 0AS1 . Znana

jest masa członu 1m oraz jego moment bezwładności względem środka masy 21S11S imJ , gdzie 1Si

- promień bezwładności.

Rys. 4 Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu obrotowym Przypadki szczególne obciążenia członu siłami bezwładności:

a) człon wykonuje ruch jednostajny const1 , 01 i środek masy nie leży na osi obrotu

b) 0AS1 ; wtedy n11S11 BamB , oraz 0M 1B ,

c) człon wykonuje ruch jednostajny const1 , 01 i środek masy leży na osi obrotu 0AS1 ;

wtedy 0B1 , oraz 0M 1B ,

d) człon wykonuje ruch zmienny const1 , 01 i środek masy leży na osi obrotu ;

wtedy 0B1 , oraz 11S1B JM .

(11)t1

n1

t1S

n1S11S11 BB)aa(mamB

(12)11S1B JM



Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu płaskim Człon 2 wykonuje ruch płaski, znana jest masa członu m2 oraz jego moment bezwładności wzglę-

dem środka masy 22S22S imJ , gdzie 2Si - promień bezwładności.

Rys. 5. Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu płaskim

Siły bezwładności przyłożone do członu w ruchu postępowym Człon 3 wykonuje ruch postępowy zmienny po prostoliniowej prowadnicy 0a 3S , znana jest masa

członu 3. Siły bezwładności wynoszą:

Rys. 6. Siła bezwładności przyłożona do członu w ruchu postępowym prostoliniowym

W przypadku szczególnym, kiedy człon porusza się ruchem postępowym jednostajnym po prostoli-

niowej prowadnicy tzn. 0aSi , wtedy 0Bi .

(13)2S22 amB

(14)22S2B JM

(15)3S33 amB

(16)00JM 3S3B



W celu obliczenia wartości liczbowych sił bezwładności i momentów od sił bezwładności należy do-

kładnie określić masę członu, położenie środka masy oraz wartość masowego momentu bezwładności obliczonego względem osi przechodzącej przez środek masy

Rys. 7. Przykład wyznaczania masy, położenia środka masy i momentu bezwładności członu w programie typu CAD.



Zasady uwalniania od więzów członów mechanizmów płaskich Uwalnianie członów od więzów polega na ich odrzuceniu i zastąpieniu

siłami oddziaływania sąsiednich członów, które nazywamy siłami reakcji. Siły reakcji są siłami wewnętrznymi, które zgodnie z trzecim prawem Newtona,

nazywanym zasadą akcji i reakcji, równoważą się nawzajem. Wprowadzimy następującą umowę:

klkl M,R - jest to siła uogólniona z jaką człon k działa na człon l,

lklk M,R - jest to siła uogólniona z jaką człon l działa na człon k.

(18)lkkl

lkkl

MMRR

(17)0MM0RR

lkkl

lkkl



Para kinematyczna klasy 5 - obrotowa - przegub walcowy Jeżeli pominiemy tarcie to kierunek reakcji przechodzi przez oś przegubu i jest do niej prostopadły.

Nieznane są: kierunek reakcji oraz jej wartość (dwie niewiadome). a) c) b)

Rys. 8. Uwalnianie od więzów członów w parze kinematycznej obrotowej

a) dwa człony k i l połączone przegubo-wo pomiędzy którymi działa siła reakcji

lkkl RR , b) dwa rozłączone człony oraz sposób

przyłożenia sił reakcji xlk

xkl RR ,

ylk

ykl RR

stosowany w analitycznej metodzie kinetostatyki, c) dwa rozłączone człony oraz sposób

przyłożenia sił reakcji, nlk

nkl RR ,

tlk

tkl RR

stosowany w grafoanalitycznej meto-dzie kinetostatyki, składowe reakcji są

odpowiednio równoległe (nklR ) oraz pro-

stopadłe (tklR ) do członu k lub l.



Para kinematyczna klasy 5 - postępowa (suwak i prowadnica) Możliwe są trzy warianty uwalniania od więzów pary postępowej. Wariant A Znany jest punkt przyłożenia siły reakcji w środku suwaka oraz jej kierunek, który

w przypadku pominięcia tarcia jest prostopadły do prowadnicy. Nieznane są wartość siły oraz wartość momentu pary sił, który musimy przyłożyć aby układ był

w równowadze (dwie niewiadome).

a) b) c) Rys. 9. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu A: a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której przyłożona są siły reakcji lkkl RR , oraz momenty pary sił lkkl MM . b, c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.

kP to dowolna siła zewnętrzna przyłożona do członu k.



Wariant B Zakłada się, że suwak k styka się z prowadnicą l jedynie na swoich krawędziach w punktach M i N.

Znane są kierunki reakcji, które są prostopadłe do prowadnicy (w przypadku gdy tarcie nie występuje).

Nieznane są wartości dwóch sił reakcji (dwie niewiadome). Proponowany sposób oswobadzania od więzów jest wygodny przy rozwiązywaniu zadań z uwzględnieniem

tarcia oczywiście po odchyleniu reakcji o kąt tarcia.

a) b) c) Rys. 10. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu B

a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której przyłożone są siły reakcji Mlk

Mkl RR ,

oraz Nlk

Nkl RR w punktach M i N, b, c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.



Wariant C W wariancie tym, który stosowany jest najrzadziej przyjmuje się, że znamy kierunek reakcji, który

jest prostopadły do prowadnicy (w przypadku gdy tarcie pominięto). Nieznane są: wartość siły oraz jej punkt przyłożenia (dwie niewiadome).

a) b) c) Rys. 11. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu C a) para kinematyczna , suwak k i prowadnica l, w której przyłożone są siły reakcji , w punkcie B, b,c) dwa rozłączone człony z przyłożonymi siłami reakcji.

Mlk

Mkl RR



Warianty A, B, C uwalniania od więzów pary postępowej są równoważne i można przejść od jedne-go wariantu do drugiego. W tym celu wystarczy porównać równania momentów napisane dla skraj-nych punktów suwaka leżących na osi prowadnicy jak to pokazano na Rys. 12.

a) b) c)

Rys. 12. Równoważność wariantów uwalniania od więzów pary postępowej



Wariant D (przypadek szczególny pary kinematycznej suwak-prowadnica) Znany jest punkt przyłożenia reakcji w środku przegubu i jej kierunek prostopadły do

prowadnicy (w przypadku gdy tarcie nie występuje).

Nieznana jest wartość reakcji (jedna niewiadoma).

a) b) c) Rys. 13. Uwalnianie od więzów członów w parze postępowej wg wariantu D a) para kinematyczna, suwak k i prowadnica l, w której przyłożone są siły reakcji , b, c) dwa rozłączone człony oraz przyłożone siły reakcji.

lkkl RR



Para kinematyczna kl. 4 (wyższa) W tym przypadku znany jest punkt przyłożenia reakcji oraz jej kierunek. Punktem przyłożenia

reakcji jest punkt styku, kierunek reakcji leży na prostej n-n normalnej do obydwu krzywizn i przecho-dzącej przez ich środki. Taki kierunek reakcji dotyczy przypadku analizy z pominięciem tarcia.

Nieznana jest natomiast wartość siły reakcji – (jedna niewiadoma).

a) b) c) Rys. 14. Uwalnianie od więzów członów w parze wyższej kl. 4 a) para kinematyczna dwie krzywki k i l, w której przyłożone są normalne siły reakcji lkkl RR , b, c) rozłączone krzywki oraz przyłożone siły reakcji.



Warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego Jak wynika z analizy reakcji, w każdej parze klasy 5-tej przy wyznaczaniu reakcji wystąpią dwie

niewiadome, natomiast w każdej parze klasy czwartej wystąpi jedna niewiadoma.

Jeżeli zatem w mechanizmie mamy p5 par kinematycznych klasy 5 oraz p4 par kinematycznych

klasy 4, to liczba niewiadomych reakcji wynosi 45 pp2 . Przekształcimy wzór na ruchliwość mecha-

nizmu płaskiego i zapiszemy go w postaci:

(19)wp2pn3 54

Równanie (19) można interpretować następująco: - 3n - liczba równań równowagi mechanizmu płaskiego o n członach ruchomych, ponieważ dla każ-

dego członu możemy napisać 3 warunki równowagi,

- 54 p2p - liczba niewiadomych dotyczących reakcji więzów,

- w - liczba szukanych sił równoważących rP lub momentów równoważących rM przyłożonych do członów napędzających, gdyż liczba członów napędzających jest równa ruchliwości mechanizmu w

Jeżeli w mechanizmie zastąpimy pary kinematyczne kl. 4 parami kl. 5, to równanie (19) przyjmie postać:

(20)wp2n3 5



Odłączamy od mechanizmu „w” członów napędzających a pozostałą część łańcucha kinematycznego podzielimy na grupy strukturalne. Ruchliwość grupy jak wiadomo wynosi 0p2n3w 5 Stąd otrzymujemy dla grupy równanie:

(21)5p2n3 Równanie (19) przestawia warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego

zawierającego pary kl. 4 i kl.5. Równanie (20) przedstawia warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu płaskiego

zawierającego wyłącznie pary kinematyczne kl.5, natomiast równanie (21) jest warunkiem statycznej wyznaczalności grupy strukturalnej.

Jak z tego wynika, że statycznie wyznaczalny jest cały mechanizm albo

grupa strukturalna. Pojedynczy człon wyodrębniony z mechanizmu nie jest statycznie wyznaczalny.

Jeżeli równania (19), (20) i (21) są spełnione to oznacza, że układ równań, z których

wyznaczamy niewiadome siły reakcji jest układem oznaczonym. Wtedy liczba niewiado-mych jest równa liczbie warunków równowagi.



Analityczna metoda wyznaczania reakcji dynamicznych w parach kinematycznych

Wyznaczanie sił reakcji w parach kinematycznych mechanizmów płaskich metodą anali-

tyczną zawiera następujące etapy: - określenie ruchliwości i analiza strukturalna mechanizmu, - sprawdzenie warunku statycznej wyznaczalności mechanizmu, - analiza kinematyczna mechanizmu, określenie przyspieszeń liniowych środków mas oraz

przyspieszeń kątowych członów, - obliczenie sił ciężkości, - obliczenie sił bezwładności oraz momentów od sił bezwładności, - określenie pozostałych sił zewnętrznych, momentów sił zewnętrznych, - oswobodzenie od więzów każdego członu, - zapisanie algebraicznych równań równowagi dla każdego członu w postaci:

(22)n

1i)j(i

n

1iy)j(i

n

1ix)j(i 0M,0P,0P

gdzie j – numer ruchomego członu mechanizmu. - rozwiązanie układu równań algebraicznych i wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych

oraz sił (momentów) równoważących.



Przykład 1 Należy wyznaczyć reakcje w parach kinematycznych mechanizmu czworoboku oraz moment

równoważący przyłożony do członu napędzającego 1 dla zadanego układu sił zewnętrznych Rys. 15. Przeprowadzić analizę statyczną z pominięciem sił ciężkości i bezwładności.

Rozwiązanie Sprawdzamy warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu (P1.1)wp2n3 5

3 3 = 2 4 + 1 = 9. Warunek jest spełniony. Zadanie może zostać rozwiązane analitycznie. Wymaga napisania dziewięciu warunków równowagi.

Rys. 15. Czworobok przegubowy z zadanym układem sił zewnętrznych



Uwalniamy od więzów poszczególne człony mechanizmu (Rys. 16) a następnie piszemy warunki równowagi (P1.1) Rozwiązujemy układ dziewięciu równań równowagi, z których wyznaczamy reakcje: )R,R(R y

01x0101 , )R,R(R y

12x1212 , )R,R(R y

32x3232 , )R,R(R y

03x0303

oraz moment równoważący przyłożony do członu 1 - 1rM .

(P1.2)0M,0P,0P

0M,0P,0P

0M,0P,0P

)3(iCy)3(ix)3(i

)2(iBy)2(ix)2(i

)1(iAy)1(ix)1(i

Rys. 16. Uwalnianie od więzów członów mechanizmu czworoboku przegubowego. Metoda analityczna.



Rys. 17. Rozwiązanie zadania w programie ForceEffect dla położenia mechanizmu jak na rys.16



Rys. 18. Rozwiązanie zadania w programie ForceEffect dla położenia mechanizmu jak na rys.16



Grafoanalityczna metoda wyznaczania uogólnionych sił reakcji i uogólnionych sił równoważących

Przykład 2. Mechanizm jarzmowy z jarzmem w ruchu płaskim Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu jarzmowego metodą grafoanalityczną w poło-

żeniu zadanym na Rys. 19. Wyznaczyć reakcje dynamiczne w parach kinematycznych oraz moment równoważący 1rM przyłożony do korby 1. Tarcie w parach kinematycznych należy pominąć.

Dane: prawo ruchu członu napędzającego const1 , długości AB, BC, BD, 2ABAS1 , 2BS , masy

członów: 1m , 2m , momenty bezwładności członów względem środków mas: 1SJ , 2SJ , siła użyteczna

3P . Zakładamy 0Jm 3S3 . Mechanizm porusza się w płaszczyźnie poziomej. a) b)

Rys. 19. Mechanizm jarzmowy: a) schemat kinematyczny, b) plan przyspieszeń mechanizmu



Rozwiązanie Mechanizm podobnie jak poprzednie składa się z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej

(2, 3). Ruchliwość 1w . Mechanizm spełnia warunek statycznej wyznaczalności.

człon 1: 1S11 amB , 1S11 amB , 0JM 11S1B , 0M 1B

człon 2: 2S22 amB , 2S22 amB , 22S2B JM , 22S2B JM

człon 3: 0B3 , 0B3 , 0M 3B , 0M 3B

Rys. 20. Mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi bez momentu równoważącego,



Na Rys. 21. przedstawiono uwolnioną od więzów grupę strukturalną (2, 3) z przyłożonymi siłami reak-

cji: 03R , t12R ,

n12R . Warunek równowagi sił działających na grupę ma postać:

(P2.1)0RPBRRP 0322t12

n123,2i

Wykorzystując warunek równowagi momentu wszystkich sił względem punktu C obliczamy wartość

reakcji t12R :

0M 3,2ic ; (P2.2)0hPMhBBCR 222B12t12

(P2.3)BC

MhBhPR 2B1222t12

Rys. 21. Układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3)



Następnie przyjmujemy podziałkę sił k 1R i rozwiązujemy graficznie równanie wektorowe (P2.4)

wyznaczając reakcje 03n12 R,R oraz 23R i 32R

a) b)

Rys. 22. Analiza sił przyłożonych do grupy strukturalnej (2, 3), a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3), b) plan sił grupy (2, 3)

mmN

)P(Pk2

21R

(P2.4)0)R()P()B()R()R(P 0322t12

n123,2i



Równanie równowagi sił przyłożonych do członu napędzającego ma postać:

(P2.5)0RRBR t01

n01121

a jego rozwiązanie wykreślne po przyjęciu podziałki sił 2Rk przedstawia Rys. 11b.

a) b)

Rys. 23. Analiza sił przyłożonych do członu napędzającego a) uwalnianie od więzów członu napędzającego, b) plan sił członu napędzającego

Z równania równowagi momentów względem punktu A sił przyłożonych do członu 1 wyznaczamy

moment równoważący 1rM .

stąd (P2.7)3211r hRM

0MiA (P2.6)0hRM 3211r



Rys.24. Model mechanizmu jarzmowego w programie ForceEffect i analiza kinetostatyczna dla przyjętego

układu sił zewnętrznych w zadanym położeniu mechanizmu

1rM

01R

3203 RR



Przykład 3. Analiza statyczna napędu koparki Rys. 25. Mechanizm napędu koparki

Mechanizm napędu łyżki koparki przestawia rysu-nek 25. Znane są wymiary członów mechanizmu i ciężar łyżki wraz z urobkiem G . Masy pozosta-łych członów pominąć. Należy wyznaczyć reakcje w parach kinematycznych oraz siły równoważące potrzebne do napędu koparki. Zadanie rozwiązać metodą graficzną wykorzystując twierdzenie o trzech siłach

Twierdzenie o trzech siłach, wygodnie jest sto-sować wtedy gdy rozważany układ mechaniczny pozostaje w równowadze po przyłożeniu trzech sił nierównoległych. Zadanie można rozwiązać jeżeli znane są kierunki dwóch sił i wartość jednej z nich. Wyznaczymy kierunek trzeciej siły prowadząc prostą przechodzącą przez jej punkt przyłożenia i punkt przecięcia dwóch znanych kierunków. Następnie napiszemy równanie równowagi i rozwiążemy je wykreślnie rysując zamknięty trójkąt sił. W ten sposób znajdziemy wartości dwóch nieznanych sił.



Rozwiązanie Sprawdzamy ruchliwość mechanizmu 2w,8p,0p,6n 54 Mechanizm ma dwa stopnie swobody czyli wymaga zastosowania dwóch napędów. W analizowa-nym mechanizmie napędy są realizowane przez dwa siłowniki hydrauliczne złożone odpowiednio z członów ruchomych 2 i 3 oraz 4 i 5. Przeprowadzamy analizę statyczną mechanizmu koparki w dwóch etapach. W pierwszym etapie przeprowadzimy analizę sił przyłożonych do łyżki koparki 6. Układ sił przyłożonych do łyżki jest układem środkowym o środku w punkcie S1 i pozostaje w równowadze zgodnie z równaniem Równanie (P2.1) rozwiążemy wykreślnie Rys. 26. Mechanizm napędu koparki

(P3.1)0RRGB1IIS

36D1IIS

1616R

36R



Rys. 27. Mechanizm napędu koparki. Plan sił układu środkowego ośrodku w punkcie S1

(P3.2)0RRGB1IIS

36D1IIS

16 )()()(36R

16R



W drugim etapie przeprowadzamy analizę sił przyłożonych do wysięgnika 1. Ten układ sił jest również układem środkowym

o środku w punkcie 2S . Równanie równowagi sił przyłożonych do członu 1 przy unieruchomionym siłowniku (2,3) ma postać

Ponadto zachodzą związki

Dodając stronami równania (P3.4) otrzymamy

0RR 1263 lub (P3.5)2163 RR

Na podstawie (P3.2) mamy (P3.6)3661 RGR Rys. 26 (powtórzony)

(P3.3)0RRGA2IIS

01E2IIS

51

(P3.4)0RR

0RR

1232

2363

01R

51R

61R



a) b)

Rys. 28. Analiza statyczna mechanizmu koparki: a) schemat kinematyczny koparki: b) wspólny plan sił członu 6 i członu 1

Równanie (P.3.3) rozwiązujemy wy-kreślnie na rysunku 28. Siły równowa-żące wymagane na tłokach siłowników hydraulicznych wynoszą odpowiednio

(P3.7)362r511r RPRP ;

(P3.3)0RRGA2IIS

01E2IIS

51 )()(

51R01R

36R

16R



Rys. 29a. Model i analiza statyczna koparki w programie w programie ForceEffect

Siła równoważąca w siłowniku 4,5

Siłownik 4,5

Siłownik 2,3

01R5104 RR 5104 RR

01R



Rys. 29b. Model i analiza statyczna koparki w programie w programie ForceEffect

Siła równoważąca w siłowniku 2,3

36R

21R

61R



Rys. 30. Model i analiza statyczna kleszczy w programie w programie Working Model (widoczne dwa środkowe układy sił)

Środek układu sił

Środek układu sił

1N



Rys. 31. Model i wyznaczenie siły równoważącej kleszczy (cięgno 7) w programie w programie SAM



METODA CULMANA

Metoda Culmana umożliwia rozwiązanie graficzne zagadnienia równowagi czterech sił o znanych kierunkach leżących w jednej płaszczyźnie, nie tworzących układu środkowego ani równoległego, z których tylko jedna siła jest znana co do wartości a trzy są nieznane. Warunkiem wystarczającym równowagi takiego układu sił jest, aby wypadkowa dwóch dowolnie wybranych sił była w równowadze z wy-padkową dwóch pozostałych sił nierównoległych. Obie wypadkowe leżą na prostej Culmana łączącej punkty przecięcia pierwszej i drugiej dwójki sił nierównoległych.



Przykład 4 Wyznaczyć graficznie metodą Culmana wartości sił 2P , 3P , 4P , które pozostają w równowadze

ze znaną siłą 1P .

Dane: Wartość, kierunek i zwrot siły 1P , kierunki sił 2P , 3P , 4P

Rys. 32. Dowolny układ czterech sił pozostających w równowadze



Rozwiązanie

1. znajdujemy odcinek prostej Culmana MN łączący punkt przecięcia prostej działania znanej siły 1P

oraz kierunku nieznanej siły 2P (punkt M) oraz punkt przecięcia prostych działania nieznanych sił

3P i 4P (punkt N), Rys. 33,

2. znajdujemy wykreślnie siłę 2P oraz wypadkową 2,1W

takie, że spełnione jest równanie: 2,121 WPP , a 2,1W leży na prostej Culmana,

3. znajdziemy wypadkową 4,3W korzystając z równania 0WW 4,32,1 ,

4. rozkładamy wypadkową 4,3W na kierunki sił 3P i 4P

5. zgodnie z równaniem: 434,3 PPW . 6. Znajdujemy wykreślnie wartości sił 3P i 4P . Wyznaczone siły spełniają równanie:

Rys. 33. Rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego dowolnego układu czterech sił metodą Culmana z wykorzystaniem pomocniczej siły wypadkowej

(P4.1)0PPPP 4321



Na Rys. 34 przedstawiono rozwiązanie tego samego zadania przyjmując, że w punktach M i N mamy dwa środkowe układy sił pozostające w równowadze: Siły leżące na prostej Culmana pozostają w równowadze Rys. 34. Rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego dowolnego układu czterech sił metodą Culmana z wykorzystaniem dwóch środkowych układów sił.

Rozwiązując wykreślnie równanie (P4.2) otrzymamy wartości NMC i 2P a następnie rozwiązując

równanie (P4.3) otrzymamy wartości 3P i 4P . Wyznaczone siły spełniają warunek równowagi :

Należy zwrócić uwagę, że w obydwu rozważanych rozwiązaniach wartości sił leżących na prostej Culmana są identyczne lecz różnią się zwrotem tzn. 2,1NM WC , 4,3MN WC .

(P4.2)0CPP NM21

(P4.3)0PPC 43MN

0CC MNNM

(P4.4)0PPPP 4321



Przykład 5. Mechanizm krzywkowy. Analiza statyczna metodą Culmana. Przeprowadzić analizę statyczną mechanizmu krzywkowego metodą Culmana.

Dane: siła 2P , wymiary geometryczne mechanizmu. Tarcie w parach należy pominąć. Wyznaczyć reakcje w punktach C, B i F oraz moment równoważący 1rM .

a) b)

Rys. 35. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego: a) mechanizm krzywkowy z popychaczem ostrzowym,

b) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzywkowego, wyznaczanie prostej Culmana

Wyznaczamy prostą Culmana „c”, która przechodzi przez punkty przecięcia

znanej siły 2P i reakcji F02R (punkt M)

oraz reakcji 12R i C02R (punkt N),

rys. 34



Rozwiązanie

a) b) Rys. 36. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego a) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzyw-

kowego, b) plany sił popychacza mechanizmu krzywkowego

W etapie pierwszym znamy siłę 2P i wyznaczamy siły F02R , NMC zgodnie z równaniem:

(P5.1)0CRP NMF022

W etapie drugim znamy siłę MNC i wyznaczamy siły 12R , C

02R zgodnie z równaniem:

(P5.2)0RRC C0212MN



Równanie równowagi sił przyłożonych do krzywki 1 ma postać:

(P5.4)0RR 2101

stąd: 0RR 2101

Moment równoważący przyłożony do krzywki wyznaczamy z warunku równowagi momentu

względem punktu A: 0M )1(iA ; 0hRM 1211r ostatecznie : (P5.5)1211r hRM

Po dodaniu stronami równań (P5.1) i (P2.2) otrzymamy równanie równowagi sił działających na popychacz 2 w postaci:

(P5.3)0RRRP C0212

F022

Rys. 37. Plan sił popychacza zgodnie z równaniem (P5.3)



01R

C02R

1201 RR

F02R

1rM

12R

Rys. 38. Model mechanizmu krzywkowego (schematu zastępczego) i analiza statyczna w programie ForceEffect

Interpretacja prostej Culmana w ForceEffect



METODA MOCY CHWILOWYCH

)(230Nn

1ichwi

lub

)()( 240MMvBvPn

1iiBiiPiiiii

Zasada mocy chwilowych wyrażona równaniem (10) stanowi podstawę metody oblicze-

niowej nazywanej dalej metodą mocy chwilowych, pozwalającej wyznaczyć uogólnioną siłę równoważącą działającą na mechanizm bez konieczności wyznaczania reakcji w pa-rach kinematycznych.

Zasada mocy chwilowych. Jeżeli mechanizm złożony z członów sztywnych połączonych ze sobą więzami dwustronnymi jest w równo-wadze dynamicznej pod działaniem sił zewnętrznych: czynnych, bier-nych, ciężkości i bezwładności, to suma mocy chwilowych tych sił jest równa zeru co zapisujemy:



Przykład 6. Metoda mocy chwilowych w zastosowaniu do mechanizmu jarzmowego

Wyznaczyć metodą mocy chwilowych moment równoważący 1rM dla mechanizmu jarzmowego dla danych jak w Przykładzie 2. Rozwiązanie

Aby zapisać równanie mocy chwilowych dla mechanizmu, obciążamy go wszystkimi obliczonymi siłami zewnętrznymi a do członu napędzającego przykładamy dodatkowo moment równoważący 1rM .

W celu obliczenia mocy wszystkich uogólnionych sił konieczne jest zaznaczenie prędkości liniowych wszystkich punktów przyłożenia sił oraz prędkości kątowych wszystkich członów mechanizmu zgodnie z planem prędkości dla tego mechanizmu. Rys. 38b.

a) b)

Rys. 39. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodą mocy chwilowych: mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi i momentem równoważącym, b) plan prędkości punktów przyłożenia siły



Równanie mocy chwilowych (24) ma dla powyższego mechanizmu postać:

(P6.1)0vPMvBvBM D222B2S21S111r

Po rozpisaniu w (P6.1) iloczynów skalarnych mamy: (P6.2)0vPMMvBvBMM 3D222B22B22S211S111r11r cos),(coscoscos),(cos

Na podstawie Rys. 39 odczytujemy wartości kątów: o

11r 0),M( , o22B 0),M( , o

1 90 , 1472 ,o

3 180 .

Ostatecznie poszukiwany moment równoważący wynosi:

(P6.3)1

3D222B22S21r

vPMvBM coscos

Rys. 40. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodą mocy chwilowych



Wyznaczony metodą mocy chwilowych moment równoważący 1rM winien

być identyczny z momentem obliczonym innymi metodami. Metodę tę moż-na traktować jako sprawdzającą.

W równaniu mocy chwilowych zakłada się, że uogólniona siła równoważą-ca ma zwrot zgodny z uogólnionym przemieszczeniem członu napędzające-go. W rozpatrywanym przykładzie (równanie (P9.1)) założono, że moment

1rM ma zwrot zgodny z 1 i otrzymany wynik obliczeń potwierdzi to w ten sposób, że otrzymamy dodatnią wartość obliczanego momentu po podsta-wieniu wartości liczbowych kątów 1 , 2 , 3 .

Jeżeli w wyniku obliczeń uzyskamy ujemną wartość uogólnionej siły rów-noważącej oznacza to, że zwrot tej siły jest przeciwny do zwrotu uogólnio-nego przemieszczenia członu napędzającego.

Mamy wtedy przypadek siły hamującej lub momentu hamującego

Documents

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓW - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/pmism/kinetostatyka1.pdf · jedynie obserwacja ruchu z geometrycznego punktu widzenia, dynamika ustala