Teoria Do Ensemble - O Ensemble Microcanônico

  • View
    25

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Teoria Do Ensemble - O Ensemble Microcanônico

  • Teoria de Ensemble - O ensemblemicrocanonico

    Fsica Estatstica

    UFPel

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Sistema isolado

    o numero de partculas N e constante

    o volume V e fixo

    a energia E e uma constante de movimento

    Ensemble NVE

    Estado do sistema

    caracterizado por 3N coordenadas canonicas q1, q2, . . . , q3Ncaracterizado por 3N momentos canonicos p1, p2, . . . , p3N6N variaveis canonicas (p, q)a dinamica do sistema e governada pelas equacoes de Hamilton

    H(p, q)pi

    = qi

    H(p, q)qi

    = pi

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Espaco de configuracao

    espaco de 6N dimensoes

    cada ponto representa um possvel estado do sistema

    superfcie de energia E :

    formada por todos os pontos que satisfazemH(p, q) = E

    durante a evolucao temporal, os pontos descrevem um caminho sobre asuperfcie de energa constante E

    Sistema macroscopico

    1 caracterizado por um numero pequeno de propriedades

    N partculasvolume Venergia entre E e E + E

    2 um numero muito grande de estados satisfazem estas condicoes

    teoria de ensemble de Gibbs

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Ensemble de Gibbs

    Colecao de um numero grande de copias mentais do sistema, todas identicasmacroscopicamente (mesmo valor de N, V e E), mas que diferem nos seus detalhesmicroscopicos.

    Como caracterizar o ensemble?

    Atraves de uma distribuicao de pontos no espaco , representada por uma funcaodensidade (p, q, t)

    (p, q, t) d3Np d3Nq numero de pontos representativos

    No equilbrio, a funcao densidade nao depende explicitamente do tempo

    (p, q, t) = (p, q)

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Postulado da igual probabilidade a priori

    Quando um sistema macroscopico esta em equilbrio, e igualmente provavel deencontra-lo em qualquer um de seus estados acessveis, todos condizentes com ascondicoes macroscopicas que definem o ensemble.

    Para o ensemble microcanonico

    (p, q) =

    constante se E < H(p, q) < E + E

    0 para outros casos

    Media de ensemble do observavel A

    A

    d3Np d3Nq A(p, q)d3Np d3Nq (p, q)

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Sistema isolado em equilbrio

    Sistema com energia entre E e E + E, definido pelo numero de microestados (E)acessveis ao sistema, compatveis com o vnculo de energia fixa

    Sistema de 3 partculas fixas

    H = H3

    i=1

    j

    Microestado: (+ + +)

    1 + + + +3 3H2 + + + H3 + + + H4 + + + H5 + +H6 + +H7 + +H8 3 +3H

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Condicao macroscopica

    Ensemble de energia total H

    (+ + ) (+ +) ( + +)

    Probabilidade de que o primeiro spin seja + : P+ = 23

    P(yk) =(E; yk)

    (E)

    Valor medio do parametro y

    y =

    k

    (E; yk) yk

    (E).

    Volume (adimensional) ocupado pelo ensemble microcanonico no espaco

    (E) =1

    h3N

    E

  • Ensemble microcanonico

    Sistema isolado em equilbrio :

    Vnculos mantem o sistema inicialmente com um numero de estados i.

    retirando os vnculos, o numero de estados deve aumentar f i

    Para um sistema isolado, se retirarmos alguns dos vnculos ao sistema, seusparametros tendem a se reajustarem de tal forma que (y1, y2, . . . , yn) tende paraum valor maximo.

    Reversibilidade e irreversibilidade em termos do numero de estados acessveis:

    1 Se f = i : os sistemas dentro do ensemble ja estao distribudos com igualprobabilidade. O sistema estaria em equilbrio e o processo e dito reversvel.

    2 Se f > i : o sistema tende para a distribuicao mais provavel de equilbrio,quando o numero de estados e f . O processo e dito irreversvel.

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Interacao termica entre sistemas macroscopicos

    Sistema isolado : A + A

    = A(0)

    Energia constante : E + E

    = E(0)

    (E) : numero de estados acessveis de A,no intervalo E e E + E

    (E) : numero de estados de A

    , entre E

    e E+ E

    A e A

    estao em equilbrio entre si

    Postulado de igual probabilidade a priori noequilbrio :

    A(0) pode ser encontrado em qualquer um dosseus estados acessveis

    P(E) = C(0)(E)

    P(E) = C(E)(E) = C(E)(E(0) E)

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Interacao termica entre sistemas macroscopicos

    Sistema isolado : A + A

    = A(0)

    Energia constante : E + E

    = E(0)

    (E) : numero de estados acessveis de A,no intervalo E e E + E

    (E) : numero de estados de A

    , entre E

    e E+ E

    A e A

    estao em equilbrio entre si

    Postulado de igual probabilidade a priori noequilbrio :

    A(0) pode ser encontrado em qualquer um dosseus estados acessveis

    P(E) = C(0)(E)

    P(E) = C(E)(E) = C(E)(E(0) E)

    P(E) apresenta um maximo:

    ln PE

    =1PPE

    = 0

    ln P(E) = ln C+ln (E)+ln (E)

    ln (E)E

    + ln (E)

    EEE

    = 0

    Como E = E(0) E,

    ln (E)E

    ln (E)

    E = 0

    (E) = (E)

    (E) ln E

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Interacao termica entre sistemas macroscopicos

    (E) ln E

    (E) inverso de energiaparametro adimensional T

    kBT 1 ,

    onde kB e uma constante positiva comdimensao de energia, chamada deconstante de Boltzmann,

    1kBT

    = ln E

    1T

    =kB ln E

    =SE

    ,

    Entropia do sistema :

    S kB ln Com isto, a condicao de equilbrio entreA e A, expressa pelo maximo daprobabilidade P(E),

    ln P(E) = ln C + ln (E) + ln (E)

    pode tambem ser expressa em termosda entropia,

    S + S = maximo

    ou, em termos do parametro T,

    T = T

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Algumas propriedades derivadas

    S = kB ln

    como S e maxima

    2 ln E2

    < 0

    como = ln E

    E

    < 0

    se =1

    kBT T

    E> 0

    A temperatura absoluta aumenta com aenergia!

    Obs. Sistemas de spins fixos nao obedecem a esta

    propriedade

    Sistema num estado r

    Er = Er(x1, x2, . . . , xn)

    processo quasi-estatico x x + dx

    dEr =n=1

    (Erx

    )dx

    Trabalho infinitesimal

    dWr = dEr =n=1

    X, r dx

    Forca generalizada no estado r

    X, r = Erx

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Trabalho macroscopico quasi-estatico

    dW =n=1

    X dx X = Erx

    Forca generalizada media

    Numero de microestados

    = (E, x1, x2, . . . , xn)

    d ln = ln E

    dE +n=1

    ln x

    dx

    kB d ln = kB ln E

    dE+kBn=1

    ln x

    dx

    d(kB ln ) = kB dE +n=1

    (kB ln x

    )dx

    Primeira lei da termodinamica

    dS =1T

    dE +1T

    n=1

    X dx

    Como S = kB ln

    kB ln x

    =1T

    X

    ou seja ln x

    = X

    x = V X = px = N X =

    p = ln V

    = ln N

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Gas ideal monoatomico classico

    = BVNE3N/2

    ln = ln B + N ln V +3N2

    ln E

    p = ln V

    p =NV

    pV = NkBT

    = ln E

    =3N2

    1E

    E = 32

    NBT

    N osciladores classicos unidimensionais

    (E) = CEN2

    ln = ln C + (N 2) ln E

    = ln E

    = (N 2) 1E

    E NBT

    CV = T(ST

    )V

    = BT( ln T

    )V

    CV = BT(N 2)

    E

    (ET

    )V

    CV BT NNBT NB CV = NB

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico

  • Ensemble microcanonico

    Obtencao do equilbrio

    A(0) = A + A E(0) = E + E

    (0) = (E, V) (E, V)

    ln (0) = ln (E, V) + ln (E, V)

    S(0) = S + S

    Entropia e maxima no equilbrio

    d ln (0) = d (ln + ln ) = 0

    d ln = d ln

    d ln = ln E

    dE + ln V

    dV

    ln x

    = X

    d ln = dE + p dV

    d ln = dE + p dV

    Como

    dE = dE e dV = dV( ) dE + ( p p) dV = 0

    ou seja, no equilbrio

    = e p = p

    Fsica Estatstica Teoria de Ensemble - O ensemble microcanonico