Upload
samuela-puglisi
View
224
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Teoria della relatività-1 17 dicembre 2012
Postulati della teoria
Sincronizzazione degli orologi
Relatività della simultaneità (approccio qualitativo)
Trasformazioni di Galileo e di Lorentz, trasformazioni inverse
Spazio-tempo, quadri-vettori
222
Fondamenti
• La teoria della relatività si fonda su due postulati
• Il principio di relatività: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali
• La costanza della velocità della luce nel vuoto: ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali
333
Fondamenti
• Il secondo postulato significa che esiste una velocità limite massima per la trasmissione di segnali
• Esso distingue la fisica classica, in cui non esiste un limite massimo alla velocità, da quella relativistica
• Ha come conseguenza la relatività della simultaneità per sistemi inerziali in moto relativo
444
Sincronizzazione degli orologi
• Per poter eseguire misure di grandezze fisiche in un sistema di riferimento (inerziale) è indispensabile che gli orologi di osservatori posti in luoghi diversi del sistema siano tra loro sincronizzati
• Bisogna quindi trovare una procedura di sincronizzazione adeguata
555
Sincronizzazione degli orologi
• Consideriamo due punti P1 e P2 del sistema S
• Per sincronizzare gli orologi si può procedere come segue
• Si misura la distanza L tra i due punti
• Si invia un segnale luminoso, ad es. da P1 verso P2 convenendo che al momento dell’invio da P1 il tempo dell’orologio in P1 sia posto uguale a zero e che al momento della ricezione in P2 il tempo dell’orologio in P2 sia posto uguale a
L
c
666
Sincronizzazione degli orologi
• Supponiamo che l’osservatore (cioè lo sperimentatore) si trovi nel punto O di un sistema inerziale S e riceva un segnale da un punto differente P di S, distante L da O
• Se vuole conoscere quando il segnale è stato spedito deve sottrarre al tempo segnato dal proprio orologio nell’istante della ricezione il tempo di percorrenza
• E quindi a parità di tempo di ricezione, il tempo di invio è tanto più indietro nel passato, quanto più P è lontano O
tinvio P tricezione O L
c
777
Sincronizzazione degli orologi
• Il ritmo degli orologi è però uguale nei diversi punti di S
• La sincronizzazione è indispensabile per poter definire la simultaneità di due eventi che avvengono in punti differenti dello spazio
tP tP(2) tP
(1) tO(2)
L
c
tO
(1) L
c
tO
O P
888
Misure di lunghezza• La sincronizzazione è necessaria per eseguire misure di
lunghezza di oggetti in movimento• Infatti, affinche’ la misura sia sensata, occorre che la
posizione degli estremi sia misurata simultaneamente
• Poiché, come vedremo, la simultaneità dipende dal sistema di riferimento, ne segue che misure di uno stesso oggetto effettuate in sistemi in moto relativo, danno risultati diversi
v
xx1 x2
999
Relatività della simultaneità
• È conseguenza della finitezza della velocità limite
• Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in moto relativo con velocità v
• In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo, e disposto parallelamente al moto
vS’
S
101010
Relatività della simultaneità
• Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S e di trovarci in O
• Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo (in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto B (e l’altro regolo nel punto B’)
• A e B siano equidistanti da O
vA’ B’ S’
SOA B
A’ B’
111111
Relatività della simultaneità
• Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo dire che i due fulmini hanno colpito simultaneamente se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello stesso istante
• Se questo è il caso, allora possiamo concludere che per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’ e B’ i due eventi non sono simultanei
S’
SOA B
O’A’ B’
121212
Relatività della simultaneità • Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da
A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B
vS’
SO
O’
A B
vS’O’
SOA B
vS’O’
SOA B
t0
t1
t2
131313
Relatività della simultaneità
• L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale da B’ e successivamente quello da A’
• Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli eventi, simultanei in S, non lo sono in S’
• È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa raggiungerebbe sia O che O’, sia da dx che da sx, in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero simultanei sia in S che in S’
vS’
SO
O’
A
A’
B
B’
141414
Trasformazione di coordinate
• Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali S(x,y,z,t) e S’ (x’,y’,z’,t’) i cui assi siano paralleli e il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo la direzione comune dell’asse x, x’
x
y
z
x’
y’
z’
v
151515
Trasformazioni di Galileo
• In fisica classica le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi inerziali sono quelle di Galileo
tt
zz
yy
vtxx
'
'
'
'
• L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema di riferimento
161616
Trasformazioni di Lorentz
• In relativita`, dai due postulati della teoria si deduce un insieme di trasformazioni di coordinate di tipo diverso, le trasformazioni di Lorentz (TdL)
• ove
xc
vtt
zz
yy
vtxx
2'
'
'
'
1
1 2
1
1 v
c
2
v
c
171717
Trasformazioni di Lorentz
• Le trasformazioni inverse per passare dal sistema S’ al sistema S si possono ottenere invertendo il sistema lineare precedente
• Si possono anche ottenere più semplicemente osservando che S si muove con velocità -v rispetto a S’
''
'
'
''
2x
c
vtt
zz
yy
vtxx
181818
Trasformazioni di Lorentz
• Queste eqq. diventano più simmetriche se si introduce la variabile x0=ct, nel qual caso, dette x1=x, x2=y, x3=z, abbiamo
33
22
101
100
'
'
'
'
xx
xx
xxx
xxx
x0 '
x1'
x2 '
x3 '
0 0
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x0x1x2x3
L
x0x1x2x3
• E in forma matriciale
• Ove L è la matrice associata alla TdL
191919
Spazio-tempo
• Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la quaterna (x0, x1, x2, x3) come un vettore in tale spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4-vettore)
• Le TdL trasformano le componenti di questo vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio e il tempo