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Teoria della probabilit - Descrivere lo Spazio di Probabilit (ovverosia lo Spazio Campionario,la Famiglia di eventi e la Distribuzione di Probabilit) del lancio contemporaneo di due dadi a quattro facce Si definisce Spazio di probabilit una qualsiasi terna (,,Pr) costituita da: 1. Uno Spazio Campionario (insiemi degli esiti di un dato fenomeno casuale) 2. Una Famiglia di Eventi (insieme di sottoinsiemi di , chiuso a tutte le operazioni) 3. Una Distribuzione di probabilit Pr (definita su a valori reali) SPAZIO CAMPIONARIO: insieme che racchiude tutti gli esiti di un dato esperimento casuale. Nel caso in cui un esperimento sia composto da pi operazioni dallesito casuale, lo spazio campionario sar composto dal prodotto cartesiano delle singole operazioni. = 1 x 2 = {1,2,3,4} x {1,2,3,4}

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Card (X)= 4= 16 X=X x X= {1,2,3,4} x {1,2,3,4}= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} FAMIGLIA DI EVENTI:simbolicamente rappresentata da , un qualsiasi insieme di eventi chiuso a tutte le operazioni insiemistiche (campo di eventi). Ovvero un insieme di sottoinsiemi di dove, compiendo una qualsiasi operazione insiemistica tra qualsiasi due insiemi (eventi), il risultato (evento risultante ) presente tra gli elementi che compongono la Famiglia di Eventi. Se non specificato si pu intendere come linsieme potenza dello spazio campionario P(). = P()= { ,{(1,1)}, {(1,2)}, {(1,3)},{(1,4)}, {(2,1)}, {(2,2)},, {(1,1),(1,2)},{(1,1),(1,3)},, {(1,1),(1,2),(1,3)},, {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)},, { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} }

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DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA(o misura di probabilit): Si definisce come una qualsiasi funzione Pr con dominio la famiglia di eventi e codominio i numeri reali R che soddisfi le tre seguenti propriet: 1. a : Pr(a) 0 (non-negativit) 2. Pr() = 1 (normativit) 3. a; b : (a/b = ) Pr(a [ b) = Pr(a) + Pr(b) (additivit) Per determinare la probabilit di verificarsi di un evento semplice dentro uno spazio campionario considereremo soltanto lapproccio classico: Ogni esito di un dato esperimento ha la stessa probabilit di verificarsi degli altri; si parla quindi di esiti equiprobabili. : equiprobabile : Pr({}) = 1/ ||

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Pr({})=0 Pr ({(1,1)})= 1/ ||= 1/16 Pr ({(1,2)})= 1/ ||=1/16 Pr ({(1,3)})= 1/ ||=1/16 Pr ({(1,4)})= 1/ ||=1/16 Pr ({(1,1),(1,2)})= Pr ({(1,1)}) + Pr ({(1,2)})=1/16 +1/16= 2/16= 1/8 Pr ({(1,1),(1,2),(1,3)})= Pr ({(1,1)}) + Pr ({(1,2)})+ Pr ({(1,3) })=1/16 +1/16+ 1/16= 3/16 Pr ({(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)})= Pr ({(1,1)}) + Pr ({(1,2)})+ Pr ({(1,3),(1,4)})= 1/16+1/16+1/16+1/16= 4/16=1/4 Pr({(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),( 2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4)} }= 16/16= 1 Graficamente

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{} {(1,1)} 1 {(1,1),(1,2)} {(1,1),(1,2),(1,3)} {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)} . {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), 1/4 (3,3),(3,4),(4,1), 3/16 (4,2),(4,3) 1/8,(4,4)} 1/16 0 R

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E ora??? . 2. Partendo da tale spazio di probabilit, rappresentare con un grafico la variabile casuale X che associa ad ogni esito la somma dei valori registrati e rappresentare infine la funzione cumulativa e quella di massa della variabile casuale X. Dobbiamo prima definire lo spazio di probabilit euclideo

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SPAZIO DI PROBABILITA Standard- Euclideo

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Spazio di probabilit euclideo una qualsiasi terna (R;B; Pr) costituita da: 1. Uno Spazio Campionario R (qualsiasi numero reale `e un potenziale esito) 2. Una Famiglia di Eventi B (insieme di sottoinsiemi di R chiuso a tutte le operazioni) 3. Una Distribuzione di probabilit`a Pr (definita su B a valori reali) detta Spazio di Probabilit Euclideo Unidimensionale. Similmente, una qualsiasi terna (R n ;B n ; Pr) costituita da: 1. Uno Spazio Campionario R n (qualsiasi numero reale `e un potenziale esito) 2. Una Famiglia di Eventi B n (insieme sottoinsiemi di R chiuso a tutte le operazioni) 3. Una Distribuzione di probabilit Pr definita su B a valori reali) detta Spazio di Probabilit Euclideo n-dimensionale.

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Le Variabili casuali Dati uno spazio di probabilit (,, Pr) e spazio di probabilit euclideo (R;B; Pr), si chiama Variabile Casuale una qualsiasi funzione V con dominio e codominio R tale per cui: V(B) Quindi una funzione che associa ad ogni esito dello spazio campionario un valore in R. Dallo Spazio campionario ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4)} }

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Devo associare ad ogni esito la somma dei valori, quindi: {(1,1)}=2, {(1,2),(2,1)}=3, {(1,3),(3,1),(2,2)}=4, {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}=5, {(2,4),(3,3),(4,2)}= 6, {(3,4),(4,3)}= 7, {(4,4)}=8;

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R 2 3 4 5 6 7 8 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4, 3),(4,4)}

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FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA Si chiama funzione di distribuzione cumulativa, ed genericamente indicata con la lettera F, una qualsiasi funzione a valori reali definita su che soddisfi le seguenti condizioni: (x

FUNZIONE DI MASSA Si chiama funzione di massa, ed genericamente indicata con la lettera f, una qualsiasi funzione a valori reali definita su per la quale esista un insieme M f c di cardinalit inferiore o uguale a N(|M f | N 0 ) tale per cui le seguenti condizioni siano soddisfatte: 1. >0 x M f f (x) =0 x M f x 2. f (x) =1 Gli elementi dellinsieme Mf sono detti Punti Massa. Quindi considerando i punti massa

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F(2)=F(2)=Pr{(1,1)}= 1/16 F(3)=Pr{(1,2),(2,1)}= 2/16 F(4)=Pr{(1,3),(3,1),(2,2)}= 3/16 F(5)=Pr{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}= 4/16=1/4 F(6)=Pr{(2,4),(3,3),(4,2)}= 3/16 F(7)=Pr{(3,4),(4,3)}= 2/16 F(8)=Pr{(4,4)}= 1/16 4/16 3/16 2/16 1/16 2 3 4 5 6 7 8

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Teoria della probabilit.. parte II Sia X una raccolta di dati (su scala a intervalli) di un campione di 28 studenti di psicologia sul tempo mediamente impiegatone preparare un esame: X = {15, 20, 20, 20, 30, 35, 45, 45, 50, 50, 50, 65, 75, 80, 90, 90, 90, 95, 95, 100,100, 100, 100, 100, 100, 110, 120, 120}

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a) compilare una tabella delle frequenze e calcolare tutte le statistiche significanti su tale scala (tra cui il 13 e il 78 percentile).

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INDICI DELLA TENDENZA CENTRALE MODA: Allinterno di un insieme di misurazioni di un dato sistema relazionale empirico quel valore che compare con la massima frequenza Md = 100 (frequenza = 6) MEDIANA: Allinterno di un insieme di misurazioni disposte in ordine crescente quel valore che occupa la posizione centrale ovvero il dato al di sopra e al di sotto del quale si trovano il 50% dei dati. Se il numero n delle osservazioni pari: i = n/2 e la successiva allinterno dei dati i = 28/2 = 14 e la successiva ovvero 15 Mdn (X) = Mdn( 15, 20, 20, 20, 30, 35, 45, 45, 50, 50, 50, 65, 75, 80, 90, 90, 90, 95, 95, 100,100, 100, 100, 100, 100, 110, 120, 120 ) = 85 MEDIA: la statistica che associa allinsieme X il numero che si ottiene sommando tutti gli n dati e dividendo il valore ottenuto per n. Media = 71.7

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Indici di posizione QUARTILI: - primo quartile (Q1), quel valore che ha il 25% dei dati a lui uguali o inferiori: i = (n+1) i = (28+1) =7,25 Q1 = 45 - secondo quartile (Q2), coincide con la mediana: i = (n +1) i = (28+1) =14,5 Q2 = 80 - terzo quartile (Q3), quel valore che ha il 75% dei dati a lui inferiori: i = (n+1) i = (28+1) =21,7 Q3 = 100 - quarto quartile (Q4) il valore pi alto della serie ordinata: i = n i = 29 Q4 = 120 PERCENTILI (Pm): quel valore al di sotto del quale cade una percentuale di dati pari ad m: i = (nm)/100 i = (28 13) / 100 = 3,64 posizione 3 20 i = (28 78) / 100 = 21,84 posizione 21 100

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RANGHI PERCENTILI: quel numero che rappresenta la percentuale di dati uguali o inferiori a lui: Rp (xi) = (k/n)100

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Indici di dispersione o di variabilit CLASSI DI EQUIVALENZA: Valore che indica il numero di classi di equivalenza riscontrate a livello del sistema relazionale empirico NdE = 14 GAMMA: statistica che associa allinsieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore minimo al valore massimo degli elementi di X. G = 120-15= 105 DIFFERENZA INTERQUARTILICA: la statistica che associa allinsieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore del primo quartile al terzo quartile. DI = 89 - 28 = 61 SEMIDIFFERENZA INTERQUARTILICA: si ottiene dividendo a met la differenza interquartilica. SI = 61/2 = 30,5 VARIANZA: la statistica che associa allinsieme X il numero che si ottiene sommando il quadrato di tutte le differenze di ogni dato dalla media di X e dividendo il risultato per n. s = =1 (xi media) n s = 1082,5 (Varianza) DEVIAZIONE STANDARD: la radice quadrata della varianza

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- 0,244,89- 6,7165 - 0,6470,89- 21,7350 - 0,8712,89- 26,7245 - 1,11346,89- 36,7135 - 1,21738,89- 41,7130 - 1,52672,89- 51,771,7320 - 1,732,93214,89- 56,771,7115 Punti zs ==1 (xi - media) n f(Xi-media)( xi media)MediafXi

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Calcoliamo: *= {15, 20, 30, 35, 45, 50, 65, 75, 80, 90, 95, 100, 110, 120} N.B. * indica lo Spazio Campionario con gli eventi non ripetuti 2. La famiglia di Eventi coincide con linsieme potenza P(*) = = P(*) = {,{15}, {20}, {30}, {35},, {15, 20}, {15, 30},, {15, 20, 30},} Gli esiti dello spazio campionario sono equiprobabili, ovvero lesito di un dato esperimento ha la stessa probabilit di verificarsi degli altri. La probabilit di accadere di un certo evento uguale alla cardinalit dellinsieme che esprime tale evento diviso la cardinalit dello spazio campionario: per ogni e Pr(e) = |e| / | |

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Dunque: Pr({ 15 }) = Pr({ 30 }) = Pr({ 35 }) = Pr({ 65 }) = Pr({ 75 }) = Pr({ 80 }) = Pr({ 110 }) = 1/28 = 0.03 Pr({ 20}) = Pr({ 50 }) = Pr({ 90 }) = 3/28 = 0.1 Pr({ 45}) = Pr({ 95 }) = Pr({ 120 }) = 2/28 = 0.07 Pr({ 100 }) = 6/28 = 0,2 Pr ({15, 20 }) = Pr({15 }) + Pr({20 }) = 1/28 + 3/28 = 4/28 = 0,14 Pr ({15, 45 }) = Pr({15 }) + Pr({45}) = 1/28 + 2/28 = 3/28 = 0,1 Pr ({15,100 }) = Pr({15 }) + Pr({100}) = 1/28 + 6/28 = 7/28 = o,25 Pr ({15, 20,45 }) = Pr({15 }) + Pr({20 }) + Pr({45}) = 1/28 + 3/28 + 2/28 = 6/28 = 0,2 Pr ({15, 20,45, 100 }) = Pr({15 }) + Pr({20 }) + Pr({45})+ Pr({100}) = 1/28 + 3/28 + 2/28 + 6/28 = 12/28 = 0,42

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{15},{20},{30},, {15,20}, , {15, 20,120} {15, 20,45 100} {15,20,45} {15,100} {15,45} {15, 20} {100} {45} {20} {15} 1 0,42 0,25 0,2 0,14 0,1 0,07 0,03 0 Pr R Distribuzione di probabilit

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Teoria della probabilit.. parte III Sia V una variabile casuale che associa ad ogni studente il tempo mediamente impiegato per preparare un esame. Descrivere la distribuzione di probabilit indotta da tale variabile casuale.

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DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA INDOTTA Dati uno spazio di probabilit (,,Pr), uno spazio di probabilit euclideo ( ,B,Pr), e una variabile casuale V, si chiama distribuzione di probabilit indotta da Pr mediante la variabile casuale V e indicata simbolicamente da Pr V, la funzione cos definita: B B Pr V (B) = Pr(V -1 (B))

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X = (15, 20, 20, 20, 30, 35, 45, 45, 50, 50, 50, 65, 75, 80, 90, 90, 90, 95, 95, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 110, 120, 120) 0 15 20 30 35 45 50 65 75 80 90 95 100 110 120 X x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 V

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Spazio campionario teorico: = X Famiglia degli eventi: = P(), | | = 2 28 Spazio campionario effettivo: * = {15,20,30,35,45,50,65,75,80,90,95,100,110,120} Famiglia degli eventi: = P(*), | | = 2 14 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA INDOTTA DA V Per semplicit calcoliamo solo le probabilit degli intervalli punti campione in B: Pr V ([15]), ([30]), ([35]), ([65]), ([75]), ([80]), ([110]) = 1/28 Pr V ([45]), ([95]), ([120]) = 2/28 Pr V ([20], ([50]), ([90]) = 3/28 Pr V ([100]) = 6/28 La distribuzione di probabilit indotta Pr V per ognuno dei rimanenti elementi di si otterr sommando le singole probabilit dei punti campione. Esempio: Pr V ({15,20}) = 1/28 + 3/28 = 4/28