Corso di biomatematica Corso di biomatematica Lezione 2:Lezione 2:

Probabilità e distribuzioni Probabilità e distribuzioni di probabilitàdi probabilità

Davide Grandi

Sommario•Definizione di probabilità •la frequenza•Assiomi•Definizioni

•Distribuzioni di probabilità:•Valor medio e varianza•Discrete - esempi

La probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli F (al realizzarsi di E) ed il numero di casi N possibili, giudicati egualmente possibili (stesso peso)

P(E)=F/N con 0 P(E) 1 [N finito]

Se F=0 non esistono casi favorevoli, e l’evento è IMPOSSIBILE ovvero P(E)=0Se F=N ovvero tutti i casi sono favorevoli, l’evento è CERTO e P(E)=1.

N.B. difficile determinare l’eguaglianza di tutti i casi possibili

La probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• definizione di frequenzadefinizione di frequenzaSi definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto tra il numero v delle prove in cui l’evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate:

f=v/n con 0 f 1

f=0 evento mai verificato, f=1 evento sempre verificatoLa frequenza dipende dal numero di proveSe il numero di prove è sufficientemente alto il rapporto f=v/n tende a stabilizzarsi

La probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• legge empirica del casolegge empirica del casoIn una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza “tende” ad assumere valori prossimi alla probabilità dell’evento e l’approssimazione è tanto maggiore quanto più sono numerose le prove eseguite.Definizione frequestista di probabilità:La probabilità di un evento è la frequenza relativa ad un numero “elevato” di prove.

Assiomi della probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• definizione matematica di probabilità definizione matematica di probabilità (Kolmogorov)(Kolmogorov)

Sia S un insieme di possibili risultati (Ai) di un esperimento,

cioè S{A1, A2, A3,……An} se tali eventi sono mutualmente

escludentesi allora per ognuno di essi esiste una probabilità

P(A) rappresentata da un numero reale che soddisfa le

seguenti proprietà:• P(A) 0• Se come abbiamo ipotizzato A1, A2, A3,……

sono eventi mutualmente escludentesi, allora deve valere:

P(A1 oppure A2) = P(A1) + P(A2)Dove P(A1 oppure A2) è la probabilità di

avere il risultato A1 o il risultato A2

Assiomi della probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

i P(Ai) = 1 dove la sommatoria è estesa su tutti gli eventi mutualmente escludentesi

Le conseguenze dei tre assiomi sono:• P(non Ai) = 1 P(Ai) ovvero la probabilità

di non ottenereAi é uno meno la probabilità di ottenerlo• P(Ai) 1La probabilità è un numero reale compreso

tra 0 e 1, ovvero in pratica 0 P(Ai) 1 dove 1 rappresenta

la certezza diottenere l’evento e 0 di non ottenerlo

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Evento Evento Nel calcolo delle probabilità si definisce

evento ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere

oppure no. Ad ogni evento è associato un numero reale che è

tanto maggiore quanto più elevata è la possibilità che si

verifichi: chiamiamo tale evento probabilità dell’evento.• Eventi dipendenti ed indipendentiEventi dipendenti ed indipendentiSia dice che l’evento A è dipendente

dall’evento B, se la probabilità dell’evento A dipende dal fatto

che l’evento B si sia verificato o meno. A è indipendente da B

se la probabilità dell’evento A non dipende dal verificarsi di

B

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Eventi certi e impossibiliEventi certi e impossibiliDefiniamo evento certo quell’evento che in

seguito ad un esperimento DEVE obbligatoriamente

verificarsi. Esso costituisce l’unità di misura della

probabilità: gli si attribuisce probabilità uguale all’unità.

Tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, avranno probabilità

minore dell’unità.L’evento contrario all’evento certo è detto

impossibile, ossia NON può accadere nella prova in questione.

Ad esso è associata una probabilità uguale a zero.

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Eventi mutualmente escludentesiEventi mutualmente escludentesiSi dicono eventi mutualmente escludentesi

o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono

verificarsi simultaneamente in una data prova (es

moneta).• Eventi equiprobabiliEventi equiprobabiliDegli eventi casuali si dicono equiprobabili

in una data prova se la simmetria dell’esperimento

permette di supporre che NESSUNO di essi sia più probabile di un

altro ( ad esempio lancio di UN dado)

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Eventi contrariEventi contrariSi dicono eventi contrari due o più eventi

mutualmente escludentesi che formano un gruppo

completo.• Somma degli eventiSomma degli eventiSi dice somma di due eventi A e B l’evento C

che consiste nel verificarsi dell’evento A o dell’evento B o di

entrambe. La probabilità dell’evento C si scrive come:P(C)= P(AB)=P(A+B) =P(A oppure B)

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Prodotto degli eventiProdotto degli eventiSi chiama prodotto di due eventi A e B

l’evento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B.

La probabilità dell’evento C si indica così: P(C)=P(AB) = P(AxB) = P(A e B)• Probabilità condizionataProbabilità condizionataLa probabilità che si verifichi l’evento A

calcolata a condizione che si verifichi l’evento B si dice

appunto probabilità condizionata e si denota con:P(A|B)

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Gruppo completo di eventiGruppo completo di eventiSi dice che eventi casuali formano un

gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve

definitivamente accadere (da 1 a 6 per il dado).• Variabili aleatorieVariabili aleatorieSi dicono variabili aleatorie quelle

grandezze che possono assumere nel corso di una prova un valore

sconosciuto a priori. Si distinguiono tra discrete (numero

finito) e continue (riempino densamente un intervallo), e

miste.

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Valore atteso di una variabile aleatoriaValore atteso di una variabile aleatoriaSi dice valore atteso o speranza matematica

la somma di tutti i possibili valori della variabile per la

probabilità.Il valore atteso è legato al valor medio per

un gran numero di prove poichè la media tende alla speranza

matematica.

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Prodotto delle probabilitàProdotto delle probabilitàSi intende il verificarsi simultaneamente di

due eventi (esempio estrazione del due ed estrazione

di picche da un mazzo di carte…. ovvero il due di picche!)

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)oppureP(AxB) =P(A) + P(B) P(A+ B)

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Addizione delle probabilitàAddizione delle probabilitàSi intende il verificarsi di due (o più) eventi

sia che accadano insieme oppure in alternativa

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) oppureP(A+B) =P(A) + P(B) P(AXB)

Definizioni

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Probabilità compostaProbabilità compostaLegato al teroema di moltiplicazione delle

probabilità, dice che: la probabilità del prodotto di due

eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno degli

eventi per la probabilità condizionata dell’altro, calcolata

a condizione che il primo abbia luogo ovvero:P(AB) = P(A) P(B|A)=P(B)P(A|B)Se gli eventi sono mutualmente

escludentesi, abbiamo che P(B|A)=P(B) e P(A|B)=P(A) e quindiP(AB) = P(A) P(B)

Distribuzioni di probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Gli assiomi (3°) della probabilità ci dicono che

i P(Ai) = 1 Dato un insieme di valori possibili

mutualmente escludentisi, quindi questa probabilità si distribuisce in

un certo modo tra i valori della variabile.Per descrivere una variabile aleatoria dal

punto di vista probabilistico specifichiamo questa

distribuzione, ovvero stabiliamo la legge di distribuzione della

variabile aleatoria.

La legge di distribuzione è quindi una relazione che stabilisce

una corrispondenza tra i valori possibili di tale variabile e la

loro probabilità

Distribuzioni di probabilità

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

Il fatto che una variabile aleatoria si distribuisca secondo

una data distribuzione ci permette di trarre alcune

conclusioni importanti tra cui la possibilità di definire quello

che viene chiamato livello di confidenzalivello di confidenza : ovvero la

probabilità che l’affermazione a cui esso si riferisce sia vera.

Le distribuzioni per variabili aleatorie si distinguono in

• Discrete• Continue

Distribuzioni discrete

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Valor medio e varianzaValor medio e varianzaPer una distribuzione discreta di

probabilità, di variabile casuale xi il valor medio è dato da:

Lo scarto del valore xi dalla media è:

Si dice varianza (o scarto quadratico medio) 2 il valor

medio del quadrato degli scarti, cioè:

)(1 xxx i

n

i ip

22

1

2

1

22)()( xxxpxxxp i

n

ii

n

i i i

xxii

Distribuzioni discrete

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Teorema di Bienaymè-CebicevTeorema di Bienaymè-CebicevFissiamo il valore di uno scarto come

riferimento, posso mettere in relazione con questo valore gli

altri scarti i con esso e con la varianza 2 , infatti detto

uno scarto in esame vale:

Ovvero la probabilità che la distanza di un dato dalla media

sia superiore ad un valore predefinito NON SUPERA il

rapporto tra la varianza e il quadrato del valore stesso

2

2

P

Distribuzioni discrete

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6

1Pi

16

1 i iP

NPi

1 12

12

Nm12

12

Nm

• Distribuzione uniformeDistribuzione uniformeUn esempio tipico è il lancio di un dado (o di

una moneta): i sei eventi possibili sono i sei punteggi, a

ciascuno corrisponde il valore di probabilità

Per il terzo assioma della probabilità:

In generale avremo

Distribuzioni discrete

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Teorema delle prove ripetuteTeorema delle prove ripetuteSia p=P(E) la probabilità dell’evento E e sia

q la probabilità dell’evento complementare Ec, ci chiediamo

qual è la probabilità che su n esperimenti l’evento E

si verifichi k volte (con k<=n)Per il principio della probabilità composta

abbiamo che la probabilità di una specifica combinazione di

k eventi E e di (n-k) eventi Ec è

E questa combinazione è realizzata da

disposizioni ovvero

!!!knk

n

qpknk

qpPknk

kn

nk

,

Distribuzioni discrete

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Distribuzione binomiale o di BernoulliDistribuzione binomiale o di BernoulliDati i valori n e p, il teorema precedente

può essere interpretato come una funzione di una

variabile casuale, k, con k che assume valori tra 0 ed n, e quindi

come funzione di distribuzione discreta detta binomiale o

bernoulliana, essa

gode della seguente proprietàed il valor medio ed il valor medio dei

quadrati saranno

Da cui e

qpkBknkn

k

10 )(

n

k kB

npkkBkn

k 0 )( nppnnpkBkk

n

k

222

0

2

)(2

npqnpnp 22 npq

Distribuzioni discrete

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Distribuzione di PoissonDistribuzione di PoissonUn caso tipico è il decadimento di un

elemento radioattivo, il numero di prove è costituito dal numero di

nuclei che potenzialmente possono decadere (molto

grande, per una mole sono circa 1023) mentre la probabilità

di “successo” è molto piccola. Si suppone che la probabilità

p di decadimento sia costante e che la

probabilità di successo inun intervallo [t, t+t] sia in prima

approssimazione proporzionale a t. Una variabile aleatoria si

distribuisce inmodo poissoniano se

eaPa

m

m m

!

Distribuzioni discrete

Davide Grandi - Dottorato in Biologia

• Distribuzione di PoissonDistribuzione di PoissonDove la grandezza a è detta parametro della

legge di Poisson e rappresenta la frequenza media di

accadimento dell’evento osservato.Ad esempio la probabilità di ottenere due

successi è

La probabilità di ottenere tre successi, e cosi’ via

Valor medio e deviazione standard sono

eaPa

!2

2

2

am am

eaPa

!3

3

3