TEORÍA DE ERRORES

1

TEORÍA DE ERRORES

2

ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS

• Clasificación:

• Errores sistemáticos defectos intrínsecos

• Errores accidentales causas fortuitas, tratamiento estadístico

Valor verdadero

Valor verdadero

3

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

2

2

2exp

21

xx

y

68.27%2 95.45%3 99.73%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

N

xxN

ii

1

2)(

4

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x

= 0.5

= 1.068.27%

Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación del Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación del valor verdadero es la media aritméticavalor verdadero es la media aritmética

5

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que recorre el indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada; 0.01 A en cierto amperímetro

Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada. 100 A–1 en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad:

variación mínima de la magnitud que no es apreciada por el aparato (evidentemente es menor que la resolución)

6

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo resultado siempre que se mide la misma magnitud física en las mismas condiciones experimentales y distintas condiciones ambientales del aparato (temperatura, tensión de alimentación, ...).

PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente el error debido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento del fondo de escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión 2% del F.E.

7

De todas estas características, la precisión es la que más completamente indica el error de la medida debido intrínsicamente al aparato, es decir, que no puede rebajarse salvo que midamos con un aparato más preciso

Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, pero que pueden corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos para que den medidas correctas o corrigiendo sus escalas tras una confrontación con un patrón o un aparato más preciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otra cualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato que indica que es preciso y está bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite medidas exactas, pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.

PRECISIÓN y EXACTITUD

8

El error más típico que afecta a la exactitud de los aparatos es el “error de cero”. Causado por un defecto de ajuste del aparato, este da una lectura distinta de cero cuando lo que mide vale cero. Es fácilmente corregible reajustando el aparato o corrigiendo numéricamente las lecturas en la cantidad en que difieren el cero real y el de la escala.

7 mV

ERROR DE CERO

9

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• El número de cifras significativas de una El número de cifras significativas de una medida es el número de dígitos fiables que medida es el número de dígitos fiables que dicha medida contienedicha medida contiene.

• Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en recorrer UN MILLÓN de kilómetros...

scx

t 3333333333.3103

105

6

?

10

CIFRAS SIGNIFICATIVAS (2)

• Los ceros a la izquierda no son significativos, indican la colocación del punto decimal; así, 0.000345 tiene TRES cifras significativas.

• Los ceros a la derecha y después del punto decimal si son significativos; como ejemplo, 3.4120 tiene CINCO cifras significativas.

11

CIFRAS SIGNIFICATIVAS (3)

• En números enteros terminados en ceros, éstos pueden ser significativos o no; debe distinguirse si sólo sirven para localizar el punto decimal o son parte de la medida:

3·102 kg UNA cifra significativa

3.0·102 kg DOS cifras significativas

3.00·102 kg TRES cifras significativas

El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la cantidad menos exacta que interviene en el mismo.la cantidad menos exacta que interviene en el mismo.

12

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

N

iix

Nxx

Nx

121

1...)(

1

• Error del aparato • Serie de medidas: Error cuadrático medio

)1(

)(1

2

NN

xxx

N

ii

Nx

Resolución

Cuando sólo se presentan errores accidentales el mejor valor representativo del valor verdadero es el valor medio

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ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

• Error absoluto: sensibilidad • Error relativo: precisión

Determinación del error absolutoDeterminación del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidad con el error cuadrático medio. Se toma la mayor de ambas cantidades. Se expresa con una sola cifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyo caso se admiten dos cifras significativas.

xxx

Determinación del error relativoDeterminación del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

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EJEMPLO 1: Medida de una longitud

Sensibilidad:

Error cuadrático medio:

101.0 mm101622777.3 2L

mm107610149.4 2L

Valor aceptado:Valor aceptado: mm)05.064.635( LL

Media aritmética:

mm6400.635L

L (mm)

15

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

• Magnitud x que se determina a través de la medida de otras con las que mantiene una relación funcional

),...,( 21 Nxxxxx

Ley de propagación del error de Gauss

22

22

2

11

...

N

N

xxx

xxx

xxx

x

16

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

• La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del error absoluto de la magnitud medida en forma indirecta

El error máximo cometido se puede determinar sumando los valores absolutos de los errores individuales

17

Ejemplo 2. Valor promedio del error

• Determinación de la focal de una lente por el método de Bessel.

L

dLf

4'

22

d

Imagen

Posición 1 Posición 2

L

Objeto

18

Ejemplo 2 (cont.)

22

2

222

2441''

'

d

Ld

LL

dd

df

LLf

f

L

dLf

4'

22

19

VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)

• Si supusiéramos que cada variable xi es la única que influye en el error

ii

ii

xxx

xxx

x

2

El error máximo en la medida indirecta será la suma de los términos de error individual

NN

Máximo xxx

xxx

xxx

x

...2

21

1

20

CASO PARTICULAR 1: productos

• La función consta exclusivamente de La función consta exclusivamente de productos y/o cocientesproductos y/o cocientes

nN

ba xxxx ...21

Derivadas parciales

11 xx

axx

22 xx

bxx

NN xx

nxx

Error máximo (expresado como error relativo)

N

N

xx

nxx

bxx

axx

...2

2

1

1

21

CASO PARTICULAR 1: productos

• Fórmula de los logaritmos neperianos

NxLnnxLnbxLnaxLn ...21

N

N

xdx

nx

dxb

xdx

ax

dx ...2

2

1

1

N

N

xx

nxx

bxx

axx

...2

2

1

1

22

Ejemplo 3. Error en aumento lateral

• Formación de imagen real por lente convergente

y

y’

Objeto: y = 16±1 mmImagen: y’ = -12±1 mm

75.01612'

yy

m

15.01458.00625.00833.0161

121

''

yy

yy

mm

11.015.075.0 m 11.075.0 m

23

CASO PARTICULAR 2: error en la media

• Cálculo del error en la media empleando la ley Cálculo del error en la media empleando la ley de propagación de Gauss. de propagación de Gauss.

• Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de una magnitud, cada una afectada de un error individual x1, x2,...xN), como medidas directas a partir de las cuales se obtendrá la media como medida indirecta, siendo la relación funcional entre ellas

N

iix

Nx

1

1

24


• Propagación de Gauss: valor medio del error

22

2

2

11

...11

NxN

xN

xN

x

222

21 ...

1Nxxx

N

N

xN

xxxN

RMSN 22

22

1 ...1

xxRMSRMS Root Mean Square Root Mean Square

25


• Propagación de Gauss: valor máximo del error

N

N

xxx

xxx

xxx

x ...22

11

máx

NxxxN

...1

21

Error máximo: igual al promedio de los erroresError máximo: igual al promedio de los errores

26

EJEMPLO 4. Error en medida indirecta

• Determinación de la distancia Determinación de la distancia bb entre surcos consecutivos de una red de entre surcos consecutivos de una red de difracción. Los diversos valores de difracción. Los diversos valores de bb e e bb se han calculado en nm usando se han calculado en nm usando como fuente luminosa un láser He-Ne.como fuente luminosa un láser He-Ne.

• Media b = 3380 nm

• Media b = 28.3 nm

bRMS = 29.2 nm

• N = 6 b=29.2/6=12 nm

(valor medio del error) bmax=28.330 nm

(error máximo)

b b

338012 nm

338030 nm

27

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

x

y

28

0m

S 0

b

S

N

ii

N

ii yxbaN

11

(xi,yi)

y = b+mxyi -b-m xi

N

iii mxbyS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar S

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

(Ajuste lineal)

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1

29

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal de N puntos)

22 xNx

xyNyxm

22

2

xNx

xyxyxb

N

xx

N

yy

222

xy m

22

2

xxN

Nm

22

22

xxN

xb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

2222 11y

Nyx

Nx

Nyx

xyr

30

MÍNIMOS CUADRADOS (Ejemplo)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60

x

y

x x y y

50 2 10 2

40 2 21 2

30 2 31 2

20 2 43 2

10 2 54 2

09.010.1 m

365b

99967.0r

bmxy

x x y y xy x^2 y^2

150 10 159 10 3670 5500 6267

x x y y xy x^2 y^2

50 2 10 2 500 2500 100

40 2 21 2 840 1600 441

30 2 31 2 930 900 961

20 2 43 2 860 400 1849

10 2 54 2 540 100 2916

31

EJEMPLO 6: Índice de refracción

• Medida del índice de refracción de una lámina de vidrio

i

r

n

sen i = n sen r

32

i i r r

25 1 15 1

30 1 20 1

35 1 21 1

40 1 24 1

45 1 27 1

50 1 29 1

55 1 30 1

60 1 32 1

65 1 33 1

70 1 36 1

bmxy

x x y y

sen r sen r sen i sen i

1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158

2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151

3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143

4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134

5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123

6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112

7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100

8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087

9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074

10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060

Medidas en grados sexagesimales

Índice de refracción: medidas (2)

rni sinsin

iiii

ii

cossin

sin

09.069.1 m

04.004.0 b

99301.0r

rrrr

rr

cossin

sin

33

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

sen r

sen

i

09.069.1 m

04.004.0 b

99301.0r

Índice de refracción: gráfica (3)

Índice de refracción

34

AJUSTE DE CURVAS

35

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

CASO 1. EXPONENCIALES

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t (s)

V (volts)

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

/0

teVV

V )004.0008.5(0 V

s )2.05.251(

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t

eVV /0

Descarga de un condensador

36


CASO 1. Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos

1

1 a

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

t (s)

ln (V/V0)

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0t

VV )/ln( 0

taay 10

)002.0015.0(0 a1-

1 s )000004.0003930.0( a

37


s

s’

ss

f1

'1

'1

f’

sf

s1

'1

'1

Ecuación de las lentes: forma de Gauss

CASO 2. FUNCIONES INVERSAS

Focal de una lente

38

s (cm) s’ (cm) 1/s (cm-1) 1/s’ (cm-1)97.50 67.65 0.010256 0.014782

106.00 63.95 0.0094340 0.015637

113.50 61.50 0.0088106 0.016260

120.30 59.70 0.0083126 0.016750

126.80 58.20 0.0078864 0.017182

(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)


Focal de una lente: tabla de valores

39

1.45 10-2

1.50 10-2

1.55 10-2

1.60 10-2

1.65 10-2

1.70 10-2

1.75 10-2

7.50 10-3 8.00 10-3 8.50 10-3 9.00 10-3 9.50 10-3 1.00 10-2 1.05 10-2

1/s'

1/s

12 cm10003.0510.2'

1 f

a

004.0004.1 b

99998.0r

sb a

s

1

'

1

DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN


40


cm84.3910510.2

11'

2

a

f

cm05.0

10510.2

10003.01'

22

2

2

a

af

41

OTROS EJEMPLOS

AJUSTES DE FUNCIONES SENOIDALES

42

Ejemplo 7. Ley de Malus

cos I = I 20

43

Ley de Malus (2)0 161

10 12520 8730 5440 2845 1750 1055 660 465 770 1475 2280 3390 63

100 94110 130120 158130 190140 207150 214160 205170 179180 147

(º) I (lux)

0

50

100

150

200

250

0 40 80 120 160

I = m1 + m2 cos2(+m3)

m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux

m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924

44

2

0 ad2

ad2sen

D

DII

2a

D

d

D>>d

Ejemplo 8. Difracción por una rendija

45

Difracción por una rendija (2)

46


d (mm) dc (mm) Intensidad0 -11.75 0.31 -10.75 0.72 -9.75 2.33 -8.75 5.44 -7.75 10.15 -6.75 16.26 -5.75 23.07 -4.75 29.98 -3.75 36.39 -2.75 41.710 -1.75 45.711 -0.75 47.912 0.25 48.613 1.25 47.314 2.25 44.315 3.25 39.716 4.25 33.817 5.25 27.118 6.25 20.119 7.25 13.520 8.25 7.921 9.25 3.822 10.25 1.423 11.25 0.324 12.25 0.2

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Inte

nsi

dad

(un

idad

es a

rbit

rari

as)

distancia (mm)

d

= 1

1.7

5 m

m0

Figura E-1: Localizacion grafica del centro de la figura de difraccionLocalización gráfica del centro de la figura de difracción

47


0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0

Inte

nsid

ad (

unid

ades

arb

itrar

ias)

distancia corregida (mm)

)(20 mxsincII 2.03.490 I 1)0013.02545.0( mmm

48


D

am

2

mmDm

a 0513.01000108.6322545.0

26

)(20 mxsincII

2.03.490 I

1)0013.02545.0( mmm

nm)1.08.632( mmD )101000(

DmmDmDa maximo1

)2(

mm0008.010108.6232545.0101.010002545.00013.01000108.6321 666

mma )0008.00513.0(2

99955.0r

49

BIBLIOGRAFÍA

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W. Lichten, Am. J. Phys 57 (12), 1989

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