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CRITERIOS DE ESTABILIDAD
Ing. Ricardo Cajo Díaz
C
ONTENIDO
Diagramas Polares.
Fundamentos de criterio de estabilidad de Nyquist.
Criterio de Nyquist con funciones de Fase Mínima.
Relación entre el lugar geométrico de las raíces y Nyquist.
Análisis de la estabilidad de Nyquist al añadir polos y
ceros.
Estabilidad relativa: margen de ganancia y margen de fase.
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DIAGRAMAS POLARES
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Es una representación de la magnitud y ángulo de fase deen
coordenadas polares al variar el valor de de cero ainfinito.
)( jG
La función de transferencia senoidal puede ser vista:• En su
representación de magnitud y fase:
)()()( jG jG jG • En expresarse en términos de sus parte real e
imaginaria.
)(Im)(Re)( jG jG jG
Re
Im)(Re jG
)( jG)( jG
0
)( jG )(Im jG
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DIAGRAMAS POLARES
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Pico de resonancia Mr es el valor máximo de |G( jω)|• Frecuencia
de resonancia ωr es la frecuencia en la que ocurreel pico de
resonancia.• El ancho de banda (BW) de una función de transferencia
secalcula teniendo como base el punto en que el módulo |G( jω
)|vale 1 /√ 2 de su valor G(0).
ESPECIFICACIONES EN FRECUENCIA
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DIAGRAMAS POLARES
Ing. Ricardo Cajo Díaz
APLICACIONES AL PAR DE POLOS
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DIAGRAMAS POLARES
Ing. Ricardo Cajo Díaz
APLICACIONES AL PAR DE POLOS
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Ejemplos de gráficas polares:
Solución. Como primer paso se cambia a variable compleja s por
j
j j jG
575
575
)(
El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo
para facilitar elcálculo). Para esto se multiplica y divide por el
complejo conjugado del denominador de )( jG
225
7537555
575
)(
j j j
j jG y se tiene
22 2575
25375)(Im)(Re)(
j jG jG jG
para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario
evaluar )( jG
en diferentes frecuencias desde hasta . Se evaluarán solopara
algunas de las frecuencias.
0
Obtener la grafica polar de: 575
)( s sG
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Ejemplos de gráficas polares:
0 Si entonces:
15)0(25
)0(75
)0(25
375)0(Im)0(Re)0( 22
j jG jG jG
Si
00)(25)(75
)(25375)(Im)(Re)( 22 j j jG jG jG
Si 5
5.75.7)5(25
)5(75
)5(25
375)5(Im)5(Re)5( 22 j j jG jG jG
88675.2 Si
49519.625.11)88675.2(25
)88675.2(75
)88675.2(25
375)88675.2( 22 j j jG
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Ejemplos de gráficas polares:
Si 66025.8
49519.675.3)66025.8(25
)66025.8(75
)66025.8(25
375)66025.8( 22 j j jG
Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la
gráficapolar, se necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.
Re
Im
66025.8
0
5 88675.2
Gráfica polar de.
575
)( s
sG
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Características del criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Además de proveer la estabilidad absoluta, provee información
sobre laestabilidad relativa; es decir que tan estable o inestable
es un sistema, e indicacomo se puede mejorar la estabilidad del
sistema.
La traza de Nyquist L(s) = G(s)H(s), se puede obtener fácilmente
con la
ayuda de un computador o calculadora gráfica.La traza de Nyquist
da información sobre las características del sistema en el
dominio de la frecuencia: Mr, BW, wr y otras.
La traza es útil para sistema con retardos puros que no se
pueden tratar conel criterio de Routh-Hurwitz, y que son difíciles
con el método del LGR
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Características del criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Para aplicar el criterio de Nyquist: Se define la trayectoria de
Nyquist Se construye la traza de L(s) en el plano L(s)
(correspondiente a la
trayectoria de Nyquist.
Se observa el valor de N, el número de encierros del punto (-1 ,
j0)hechos por la traza de L(s).
El criterio de Nyquist se obtiene de la ecuación
Donde:
N : número de encierros en el sentido de las manecillas del
reloj delpunto (-1, j0)Z : número de ceros de 1 + L(s) que están en
el semiplano derechoP : número de polos de L(s) que están en el
semiplano derecho.
N = Z - P
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Características del criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Criterios a Considerar • La gráfica de Nyquist de L(jw)
describirá un total de Nvueltas circundando el punto −1 + 0j. Si
esta(s) vuelta(s) seefectúa(n) en el sentido anti-horario, N se
caracterizará comopositivo. Si esta(s) vuelta(s) se efectúa(n) en
el sentidohorario, N será negativo y si finalmente no se realizan
vueltasentonces N = 0.Al examinar la estabilidad de los sistemas de
control lineales
mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, vemos que
sepueden presentar tres posibilidades.
1. El punto - 1 + j0 no está encerrado. Esto implica que
elsistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en elsemiplano
derecho del plano s; de lo contrario, el sistema esinestable.
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Características del criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Criterios a Considerar 2. El punto -1 + j0 queda encerrado una o
varias veces en
sentido contrario de las manecillas del reloj. En este caso,
elsistema es estable si la cantidad de encierros en
sentidocontrario de las manecillas del reloj es igual a la cantidad
depolos G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de
locontrario, el sistema es inestable.3. El punto -1 + j0 queda
encerrado una o varias veces en
sentido de las manecillas del reloj. En este caso el sistema
esinestable.
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Criterio de Nyquist para sistemas de fasemínima
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Un sistema es de fase mínima si no tiene ceros o polos en
elsemiplano derecho del plano s o sobre el eje jw , excepto
ens=0
Criterios a Considerar Para un sistema en lazo cerrado con
función de transferenciade lazo L(s),que es de tipo fase mínima, él
sistema es estableen lazo cerrado si la traza de L(s) que
corresponde a latrayectoria de Nyquist no encierra al punto critico
(-1,j0) en elplano L(s).
Para un sistema en lazo cerrado con función de transferenciade
lazo L(s),que es de tipo de fase mínima, el sistema esestable en
lazo cerrado si la gráfica de L(s) que corresponde ala trayectoria
de Nyquist no encierra l punto (-1,j0),si el punto(-1,j0) esta
encerrado por la traza de Nyquist el sistema esinestable.
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Características del criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
EjercicioAplicar el criterio de estabilidad de Nyquist a un
sistema queposee un cero en el semiplano de la derecha y dos
polosiguales en el semiplano de la izquierda.
2)1()2()(
s s K sGH
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La estabilidad relativa y el criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
El criterio de Nyquist proporciona una información
adecuadarelacionada con la estabilidad absoluta
Nyquist define la estabilidad absoluta en términos de
loscirculamientos al punto (-1 j0) del plano complejo
La proximidad del gráfico polar de GH(jw) al punto (-1 j0) esuna
medida de la estabilidad relativa del sistema
La ganancia del sistema produce alteraciones al gráfico polarde
GH(jw), de tal manera de alejarse o acercarse al punto(-1 j0),
introduciendo el criterio de un mejor o peor margenpara la
estabilidad; es decir, una idea de estabilidad relativa
Dada la dominancia de los sistemas de segundo orden,
seestablecerá una relación entre la respuesta a la frecuencia ysu
comportamiento dinámico en el dominio del tiempo
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La estabilidad relativa y el criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Margen de GananciaSea d la distancia desde el origen al punto de
intersección dela traza de Nyquist con la parte negativa del eje
real,entonces el margen de ganancia MG es:
MG = 20 log (1/ d ) [dB]
Si MG es positivo el sistemaes estable.Si MG es negativo
sistemainestable.
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La estabilidad relativa y el criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Margen de GananciaEs el recíproco de la magnitud G( j w) en la
frecuencia a la cualel ángulo de fase es -180 grados. Si se define
la frecuencia decruce de fase w1 como la frecuencia a la cual el
ángulo de
fase de la función de transferencia en lazo abierto es igual
a–180 grados, se produce el margen de ganancia Kg:
En termino de decibeles:
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La estabilidad relativa y el criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
Margen de FaseEl margen de fase es el ángulo que hay que rotar
la traza deNyquist alrededor del origen para que ésta atraviese el
punto(–1, j0) cuando la magnitud de la traza es uno.
Es decir, cuanto se debe rotar la traza de L(jw) para que
elcruce de ganancia pase por el punto ( –1, j0)
MF = 180+ Φ
Si MF es positivo el
sistema es estable.Si MF es negativosistema inestable.
Nota: Φ es negativo sentido horario
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La estabilidad relativa y el criterio de Nyquist
Ing. Ricardo Cajo Díaz
)42(5
)( 2 s s s sGH
Realice el grafico de Nyquist e indique si el sistema esestable
o inestable a través de su MF y MG.
Respuesta:MF=MG=4.08 dB
033.6
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Ing. Ricardo Cajo Díaz
La estabilidad relativa y el criterio de NyquistEjercicio
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La estabilidad relativa y el criterio de NyquistEjercicio
Ing. Ricardo Cajo Díaz
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La estabilidad relativa y el criterio de NyquistEjercicio
d í
