TEORÍA DE CONJUNTOS Prof. Ofelia Nazario Bao. Es la agrupación o colección de objetos llamados elementos. Usualmente los conjuntos se denotan con letras

TEORÍA DE

CONJUNTOS

Prof. Ofelia Nazario Bao

Es la agrupación o colección de objetos llamados elementos.

Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos van separados por comas y encerrados entre llaves { }.

Ejemplo: A= { 1, 2, 3, 4 }

Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto será utilizado el símbolo (pertenece a).

CONCEPTO DE CONJUNTO


EJEMPLO:

7,5,4,3,2A

A

A

A

8

3

2 Se lee “ 2 pertenece a A”

Se lee “ 3 pertenece a A”

Se lee “ 8 no pertenece a A”


Un conjunto queda determinado por “Extensión”, cuando se nombran uno a una sus elementos.

Un conjunto queda determinado por “Comprensión”, cuando sus elementos se definen por medio de una propiedad la cual deben satisfacer.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS


1) A=Conjunto de los números: 1, 4. A={0,4} por extensión A={x/ x (x-4)=0} por compresión

2) B= Conjunto de las letras: a, m, o, r. B={a, m, o, r} por extensión B={x : x es una letra de la palabra

“roma”} por comprensión

EJEMPLOS


Un conjunto es finito si su número de elementos se puede contar; en caso contrario se dice que es infinito.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

1) CONJUNTOS FINITOS A={x : x es un mes del año} B= Conjunto de alumnos de la FIA

2) CONJUNTOS INFINITOS C= Conjunto de los números pares D={x / -4 < x < 4}

EJEMPLOS:


Los conjuntos numéricos mas importantes que se estudian en matemáticas son:

N = Conjunto de los números Naturales. = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

Z = Conjunto de los números Enteros = {……,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…..}

Z+ = Conjunto de los Enteros Positivos ={1, 2, 3, 4, ……..}

Z- = Conjunto de los Enteros Negativos ={-1, -2, -3, -4,…..}

CONJUNTOS NUMÉRICOS


Q = Conjunto de los números Racionales = { a/b : a Z, bZ, b 0 }

Q´= Conjunto de los números Irracionales. = {x : x tiene representación infinita no

periódica}.

R = Conjunto de los números Reales = Conjunto formado por los elementos

de Q y Q´.

C = Conjunto de los números Complejos. ={a+bi : a R y b R ; i= -1}


UNITARIO: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

VACÍO: Es aquel que no tiene elementos. Se denota por la letra griega ().

UNIVERSAL: Es el conjunto que tiene todos los elementos de un determinado problema. Se denota por la letra U.

CONJUNTOS ESPECIALES


1) CONJUNTOS UNITARIOSA1={xN: 0<x<2}={1}A2={x : x es la capital del Perú}

2) CONJUNTOS VACÍOSB1={xN: 2x+3=0}=B2={xR: x2=-1}

3) CONJUNTO UNIVERSAL U={xZ: -1x4} es el universo de C1={xZ: x2-1=0} C2={x : x3U}

EJEMPLOS


R}x3x1:N{xD d)

N}n:Nn

6n{C c)

10)x7(x:~Z x{B b)

0}27x-3x:N{xA a)

:conjuntos siguientes

losextension por Determinar 1.

2

2

2. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) A={1, 4, 7, 10, 13 }b) B={2, 4, 8, 14, 22 }c) C={1/2, -1/4, 1/8, -1/16, 1/32 }

EJERCICIOS DE APLICACION


infinito. conjuntoun es

0}1)x2R/(x{xC c)

vació.conjuntoun es

7}x:Z{xB b)

unitario. conjuntoun es

6}n3 N,n:3n9n

{A a)

:esafirmacion siguientes

las de verdadde valor el Establecer 3.

2

2


RELACIONES ENTRE

CONJUNTOS


Un conjunto A esta incluido o contenido en otro B, si todo elemento de A es elemento de B. Indicamos esto escribiendo AB o BA. Formalmente:

ABx: xAxBNegando la definicion anterior tenemos:

AB x: xA xB

INCLUSIÓN

EJEMPLOS

1. El conjunto A={xR: x2=1} es un subconjunto de B={xZ:-1x2}.2. El conjunto N es subconjunto de Z.3. El conjunto A={1,2} es subconjunto de B={2,1}.


Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos. Esto es:

A=B (x: xAxB)Tambien:

A=B (AB BA)

NOTA: Si A B A B, se dice que A es subconjunto propio de B.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

EJEMPLO

Son iguales, los conjuntos: A={xN :x2+2x-3=0} y B={3}.


1) A: AA (reflexiva)2) (AB BA) A=B (antisimétrica)3) (AB BC) AC (transitiva)4) A: A

1) A: A=A (reflexiva)2) A=B B=A (simétrica)3) (A=B B=C)A=C (transitiva)

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD


Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común.Simbólicamente:(A y B son disjuntos) (no x: xA xB)

CONJUNTOS DISJUNTOS

EJEMPLOS

Los siguientes conjuntos son disjuntos:1.A={xR: x3-x=0} y B={-2, 2, 4}.

2. El conjunto de los números racionales (Q) y los irracionales (Q’).


Dos conjuntos no vacíos A y B se dice que son equivalentes o coordinables si se pueden formar parejas de tal manera que cada pareja este formada por un elemento de cada conjunto empleando todos los elementos de ambos conjuntos una sola vez.Si A y B son equivalentes se escribirá: A B.

CONJUNTOS EQUIVALENTES

EJEMPLOS: Son equivalentes los conjuntos: 1. A={xN:-1<x-1< 2} y B={4, 7} 2. Los naturales impares y los naturales pares.NOTAS:

i) A = B implica que A Bii) A B no implica que A=B


Se dice que dos conjuntos A y B son comparables si AB BA. Simbólicamente:(A y B son comparables) ( A B B A )

EJEMPLOS

CONJUNTOS COMPARABLES

Son comparables:1. Los conjuntos A={ 1, 2} y B={xZ:(x-1)(x2-4)=0}.2. Los conjuntos numéricos N y Z.


Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los subconjuntos de A. Se denota por P(A).Simbólicamente: P (A):= {X / XA }Es decir: XP(A) XA

CONJUNTO POTENCIA

EJEMPLO:Hallar P(A) para A={-1, 0, 1}


1) P ()={}

2) A B P (A) P(B)

3) A=B P (A)=P (B)

4) Si n es el número de elementos de A,

entonces P(A) tiene 2n elementos.

PROPIEDADES DEL CONJUNTO POTENCIA


1. Dados los conjuntos A={2,3 5,6,8} B={0,1,2,4,5,7,9}; si m es el número de

subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y n el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A, hallar m+n.

2. Dado A = {a, b,{a, b},{a,{a, b}}}Si a b, ¿ cuales de las siguientesafirmaciones son verdaderas?a) p: {a, b} Ab) q: {a, {a, b}} P (A)c) r: {{a, b}, b} P (A)



3. Dados los conjuntos: A = {x Z : ~(x -3x>3) } B = {y Z+ : y es par y<10 } C = {z Z : ~(-2>z z>28) } D = {x Z : x C } Determinar el valor de verdad de: a) p: B A b) q: C B c) r: B y C son comparables d) s: C y D son equivalentes


4. Si A = {, { }, {a, }, a}Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:a) p: A P (A)b) q: P () A P (A)c) r: n (P (A))=16 {}=d) s: X P (A) / a Xe) t: {, { }} P (A)

5. Dados los conjuntos A={a2+b2-5,-3,-4a } y B={ b-2c-8, a2+4}.

Si {a, b, c } {x Z:x2 1 } y A=B , hallar el conjunto potencia de C= { a+c, b2+c }


6. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique sus respuestas.

a)

b) Si A={x Z / 3x2=x} P (A)=

c)

d) P (P ())={} P ()=

Q2}- ,64 ,81{

'}21 ,16 ,25{ Q


7. Dado el conjunto A = {0,2,{0,2},{0,{0, }}}. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) p: {0, 2} Ab) q: {0, {0, 2}} P (A)c) r: {{0, 2}, 2} P (A)d) s: p (A) y { 2, {0, {0,2}} } son comparables


REPRESENTACIÓN DE

CONJUNTOS


Son representaciones de los conjuntosa través de figuras geométricas cerradas (círculos, elipses, etc.), en cuyo interior se ubican a los elementos mediante puntos.El conjunto universal suele representarse por un rectángulo.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

A B

UCBA

.4.3

.a.1

.b

.m.c

.2


DIAGRAMA DE VENN-EULER DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.

N

R

Q

ZQ´

C

1. El conjunto de los números complejos C es el conjunto universal.

2. NZQRC.

3. El conjunto Q’ es disjunto respecto de los conjuntos N, Z y Q.

1.2.

3.

i21.

54.

21

.

i21.

27.

π.

2.1.

i9.

i.

...12,0.

7.

i11.

0.

2.

4. 7.

i5.


OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS


La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.Simbólicamente se indica por

A B= {x / xA xB }Es decir: x AB (xA xB )

AB=parte sombreada

UNIÓN DE CONJUNTOS

A B

B

B AA

SIMBÓLICAMENTE


EJEMPLOSDados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos:

A B={1,2,3,4,5,6}, B C ={2,4,5,6,7},

A C={1,2,3,4,5,6,7}

A B

CC AB

.5.4.3

.2.6 .7.5

.4

.2

.4.2

.7.6

.5

.3

.1 .1

.7.6

AB BC AC

GRÁFICAMENTE


Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que comunes de A y B.En símbolos se tiene:

A B= {x / xA xB }Es decir: xA B (xA xB )

AB= parte sombreada

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

GRÁFICAMENTE

A BBB

AA


EJEMPLOSDados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos:AB={2,4,}, B C={5,6,7}, A C={ }

A B

CC AB

.5.4.3

.2.6 .7.5

.4

.2

.4

.2

.7.6

.5

.3

.1 .1

.7.6

AB BC AC

GRÁFICAMENTE


La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.En simbolos se tiene:

A-B= {x / xA xB }Es decir: xA-B (xA xB)

A-B= parte sombreada

A BBB

AA

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

GRÁFICAMENTE



A-B={1,3}, B-C={2,4}, A-C={1,2,3,4}GRÁFICAMENTE

A B

CC AB

.5.4.3

.2.6 .7.5

.4

.2

.4.2

.7.6

.5

.3

.1 .1

.7.6

A-B B- C A- C


El complemento de A respecto de B es el conjunto formado por los elementos de B y que no son de A.En símbolos:

CB(A)= B-A= {x / xB xA }Es decir: x CB (A) x B x A

A BBB

AA

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS

GRÁFICAMENTE:

CB(A) = parte sombreada


EJEMPLOS

Dados los conjuntos A={1,2,3,4}, B={2,4,5,6,7} y C={5,6,7}, tenemos:

CB(A)=B-A={5,6,7}, CC(B)=C-B= { },

CC(A)=C-A={5,6,7}

A B

CC AB

.5.4.3

.2.6 .7.5

.4

.2

.4.2

.7.6

.5

.3

.1 .1

.7.6

CB(A) CC(B) CC(A)

GRÁFICAMENTE


Si B=U=conjunto universal, entonces el complemento de A respecto de U , se denota por: C(A)=A’ =AC , y se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A; esto es:

A’=U-A={x/xU xA}

NOTA

AU

A’

EJEMPLO

Si U={1,2,3,4,5,6,7} es el universo de A={2,4,6} entonces:

A’=U-A={1,3,5,7}

.5

.7.3

.1

.6

.4.2


La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de los conjuntos (A-B) y (B-A).Simbólicamente:

A B = (A-B) (B-A) = (A B)-(A B)

A B= parte sombreada

BB

AAA B

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

GRÁFICAMENTE


A B


AB={1,3,5,6,7}, BC={2,4},

AC={1,2,3,4,5,6,7}

CC AB

.5.4.3

.2.6 .7.5

.4

.2 .1

.7.6

AB BC AC

GRÁFICAMENTE

.4

.2

.7

.6.5

.3

.1


1. Sea U={x Z:-2x x3} el universo de este ejercicio y los conjuntos A={x Z:~[ x-4 x3 ]} B={x N:~[-1x5 x=3 ]} C={xZ: x2+3x+2=0} { xN: 12/x N}

Determinar por extensión los conjuntos:a) (A-B)’ C b) C (A B)



2. Sean A={ 2x2, 12y-2x} y B={9y-1, x3} Si x, y N, y A B es un conjunto unitario, hallar A B.

3. Sea {x, y, z} Z-{-1,1 }. Si A={x+y+z:-x=x2-2 x2+y2=13 y-2z=5} Hallar: P( A {-x: x A} )

4. Sean A={a,, {}} Y B={{},{{}}}. Determinar el valor de verdad de:a) P (A B)={{{ }},}b) A B={a,,{{}}}c) {{a},{{}}}P(AB)d) {{{a},{}},{}}P(A)


ALGEBRA DE CONJUNTOS


A U ,BU ,CU se cumple:

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

IDEMPOTENCIA: AA=AAA=A

1


3. ASOCIATIVIDAD: AB C=(AB)C=A(B C) ABC=(AB)C=A(BC) ABC=(AB)C=A(BC)

2. CONMUTATIVIDAD: AB=B A AB=B A AB=B A


5. LEYES DE MORGAN: (AB)’ = A’B’(AB)’ = A’B’

4. DISTRIBUTIVIDAD: A(BC)=(AB)(AC)

A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)


7. LEYES DE IDENTIDAD:A=AA=AU=UAU=A

6. LEYES DE ABSORCIÓN: A(AB)=AA(AB)=AA(A’B)=AB

A(A’B)=AB


9. LEYES DE LA DIFERENCIA:A-B=AB’A-A= A-=A-A=

8. LEYES DEL COMPLEMENTO:AA’=UAA’=U’=’=U(A’)’ = A


11. OTRAS:A B B’ A’

A B A C B CA B A C B CA B A B = BA B A B = A

10. LEYES DE LA INCLUSIÓN:A ABAB AA-B A


1. Demostrar las siguientes igualdades para conjuntos:a) (A-C) A-(BC) = A-Cb) (A-B’) (B’-A) –B

B- (AB)(AB)’ = A’

2. Simplificar los siguientes conjuntos: a) (AB)C’ ’ (B C)

rpta: BC b) C(B-A’) B-(CA)’ rpta: BC



3. Si AB, simplificar el siguiente conjunto: A (BA)CB’ A’ B’

rpta:

4. Si AB y CA=, simplificar la expresión: A(B-C)B(C–A){(A-B)C

rpta: BC


5. Si CB=C y (BC)A=, simplificar el siguiente conjunto aplicando álgebra de conjuntos: (AB)’(A-C)B’ ’’- (C’-B’)-A’ ’

rpta:

6. Si AB, simplificar el siguiente conjunto: (A’-B)’–(B-A’) (A’ B’)(A-B’ )

rpta: U


7. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: A: (AA’ )A=A q: A, B: (AB)’= A’ B’ r: A,B,C:A(BC)=(AC)(BC) s: A,B: (AB)-(BA)=(A-B)(B-A)

t: A,B,C:ABA(BC)=(AB)C

8. Usando el siguiente diagrama de Venn-Euler, simplificar:

{[(E-A’)(E-D)][(DB)(C-E)]}E

DCB

A


CARDINAL DE UN CONJUNTO


Sea A un conjunto finito. Se dice que n es el número de elementos o número cardinal de A si y solo si A es equivalente al conjunto de enteros positivos {1,2,3,..,n}.Y se denota por: card(A)=n o n(A)=n.

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

EJEMPLOS

Si A={a,b,c} y B={o,e,{o},{e,{o}}} entonces: n(A)=3 y n(B)=4.

Tambien: n[P(A)]=23=8 y n[P(B)]=24=16 Prof. Ofelia Nazario Bao

PROPIEDADES

2. Si A y B son conjuntos cualesquiera entonces:

n(A-B)=n(A)-n(AB)

1. Si A y B son conjuntos disjuntos, esto es AB= entonces:

n(AB)= n(A)+n(B) BA

n2n1

BA

n3n2n1


4. Si A,ByC son conjuntos tales que ABC, entonces n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)- -n(AC)-n(BC)+n(ABC)

3. Si A y B son conjuntos tales que AB, entonces: n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)

BA

n3n2n1

C

BA

n1n7

n6

n5

n4

n3

n2


1. Si A es un conjunto que tiene 8m elementos, B un conjunto con 5m elementos y se sabe que los dos tienen 2m-1 elementos en común, hallar la suma del numero de elementos que tienen cada uno de los siguientes conjuntos:

a) (AB)(A-B)b) (AB)(A-B) Rpta: 6m+1

2. Si n[P(A)]=128, n[P(B)]=16 y n[P(AB]=8, hallar n[P(AB)].

Rpta: 256



3. Si n(A)=8 y n(B)=8; n(C)= 5 y n(D)=5. Hallar el producto del máximo número de elementos de AC y del máximo número de elementos de BC.

Rpta: 65

4. Si n(U)=360, n(A)=120, n(B)=150, n(C)=100, n(AC)=20, n(AB)=30, n(BC)=25, n(ABC)=10, hallar n(EF), sabiendo que E={xU:xAxB} y F={xU:xAxB}.

Rpta:280


5. Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 voley. Además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Hallar la diferencia entre el total de personas que practican exactamente un deporte y el total de personas que practican exactamente dos deportes.

Rpta: 12


6. En una encuesta realizada sobre un determinado numero de profesionales se observa que: El 52% son físicos, el 72% matemáticos, el 37% químicos, el 32% físico-matemático, el 12% físico-químico, el 22% matemáticos-químicos y el 2% físico-matemáticos-químicos. Hallar:

a) El porcentaje de encuestados que siguen una solo carrera.

Rpta: 35%b) El porcentaje de encuestados que tienen

otras carreras. Rpta: 3%


7. De un grupo de turistas 9 conocen Cuzco o Piura, pero no Arequipa; de estos 9; 8 conocen Cuzco y 4 Piura. Además 25 han visitado Arequipa o Piura, de los cuales 7 conocen Cuzco pero no Piura, y 2 han visitado Piura y Arequipa pero no Cuzco. Si 4 turistas conocen las 3 ciudades ¿ A cuantos turistas se hizo referencia ?

Rpta: 30


8. En una batalla intervinieron 300 hombres, de los cuales:54 fueron heridos en la cabeza48 ‘’ ‘’ ‘’ el brazo58 ‘’ ‘’ ‘’ la pierna8 ‘’ ‘’ ‘’ la cabeza y brazo20 ‘’ ‘’ ‘’ la pierna y brazo12 ‘’ ‘’ ‘’ la cabeza y piernaSi el 42% de los que intervinieron en la batalla fueron heridos, averiguar cuántosn fueron heridos en los tres lugares.

Rpta: 6


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