TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS - — OCW - UC3Mocw.uc3m.es/historico/elasticidad-y-resistencia-ii/...RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS El material compuesto presenta un comportamiento

TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS

Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Para definir el laminado se emplearán los siguientes criterios:

- Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado.

- Se indicará con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de

referencia y, mediante un subíndice, el número de láminas seguidas que poseen esta orientación.

- Cuando se defina la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado se empleará el

subíndice T para indicar que, el laminado, ha sido definido en su totalidad.

- Cuando se trate de un laminado simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los

lados y utilizaremos el subíndice S para indicar que el laminado es simétrico.

LAMINADOS

PLANO MEDIO DEL LAMINADO

Un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y otra a +45º puede nombrarse de las siguientes maneras alternativas:

- [903, 02,-45,+45,+45,-45,02,903]T- [903, 02,-45,+45]S- [903, 02,-45,+452,-45,02,903]T

Un laminado puede, también, estar constituido por una secuencia de "sublaminados" que se repiten.

Así, por ejemplo, un laminado realizado a base de sublaminados, podría ser:

- [02,60,+453]2S

- [02,60,+452}S- [02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45]T

Ejemplos de nomenclatura:

LAMINADOS

Si laminado anterior tuviera una lámina justo en el plano de simetría que, por ejemplo,

presentara una orientación de sus fibras de 90º, su nomenclatura sería:

• [903, 02,-45,+45,90,+45,-45,02,903]T• [903, 02,-45,+45,90]S

ANTES DEL PROCESO DE CURADO

DESPUES DEL PROCESO DE CURADO

Laminado no simétrico Laminado simétrico

Laminados simétricos:

LAMINADOS

Posibles secuencias de apilamiento simétricas para evitar la pérdida de planitud del laminado una vez que la resina ha curado:

0o

90o

0/90/90/0 [0,90]s

90/0/0/90 [90,0]s

LAMINADOS

PLACAS LAMINADAS

PLACAS LAMINADAS

TEORIA CLASICA DE LAMINADOS

¡Cada lámina se supone trabajando

en tensión plana!

RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS

El material compuesto presenta un comportamiento elástico-lineal hasta rotura

El laminado tiene un espesor pequeño (laminado delgado)

La deformación de cualquier lámina es igual a la del laminado

(comportamiento solidario de todas las láminas)

Hipótesis:


z

x

z

x

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

NNN

NVector de cargas (N/m):


x

yz

NxNx

Ny

Ny

Nyx

Nxy

Nyx

Nxy

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

τσσ

σ

{ } { }0

0

0

0

εγεε

γεε

ε =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

xy

y

x

Vector de tensiones:

Vector de deformaciones:{ } { } [ ]{ }dzQdzN

h

h

h

h

εσ 2

2

2

2∫∫

−−

==/

/

/

/

{ } [ ] { }

{ } [ ] { } N/m

0

02

2

enAN

A

dzQNh

h

ε

ε

⋅=

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−∫

43421

/

/


RIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS


Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado.2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte.

Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.

Hipótesis:

El comportamiento del material se supone elástico lineal.

Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras

No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana

Hipótesis (Cont.):



Campo de desplazamientos:

u=u (x,y,z)

v=v (x,y,z)

w=w (x,y,z)

x, u

y, v z, w

Plano medio

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

MMM

M


Vector de cargas (Momentos, N.m/m):

x

y z

Mx

Mx

My

My

MxyMxy

Myx

Myx


x

z

O

PzP

u0

w0

ββO

PuPzPβ

βPOP zuu −=x

wO

∂∂β =

xwzuu O

OP ∂∂

−=

De la misma manera podríamos llegar a que:

ywzvv O

OP ∂∂

−=

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS EN EL LAMINADOUtilizando las hipótesis de Kirchhoff y llamando u0, v0 y w0 a los desplazamientos del plano medio:

Dado que la deformación εz es nula:

OP ww =

2

2

xwz

xu

xu OOP

x ∂∂

∂∂

∂∂ε −==

2

2

ywz

yv

yv OOP

y ∂∂

∂∂

∂∂ε −==

yxwz

xv

yu

xv

yu OOOPP

xy ∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ

2

2−+=+=

CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:


0=zε

0=xzγ

0=yzγ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

oxy

oy

ox

xy

y

x

zκκκ

γεε

γεε

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xv

yu

yvx

u

OO

O

O

oxy

oy

ox

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

γεε

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yxw

ywxw

O

O

O

xy

y

x

∂∂∂∂

∂∂

∂

κκκ

2

2

2

2

2

2


Vector de deformaciones

en el plano medioVector de curvaturas

Laminado simétrico sometido a flexión pura:

0=== oxy

oy

ox γεε

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

zκκκ

γεε


{ } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { }κκεσ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫∫∫

−

dz z Q dz z Q dz z Q =dz z 2h/2

h/2-

2h/2

h/2-

h/2

h/2-

2

2

/

/

h

h

M


z

x x

z

M

[ ]D

{ } [ ]{ }κDM =

[ ] [ ] N.m)(en dz z Q D 2h/2

h/2-∫=


{ } [ ] { }0 ε⋅= AN [ ] [ ] N/m)(en 2

2

dzQAh

h∫

−

=/

/

{ } [ ]{ }κDM =

RIGIDECES DE LAMINADOS SIMÉTRICOS

Rigidez en el plano:

Rigidez a flexión:

RIGIDEZ A FLEXION DE LAMINADOS NO SIMETRICOS

{ } { } { }κεε zo +=

{ } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }{ }44 344 2144 344 21

kB

kQ

oA

QQNh

h

h

h

oh

h

h

h

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−− ∫∫∫∫ +===2

2

2

2

2

2

2

2dz z dz dz dz

/

/

/

/

/

/

/

/

ε

εεσ

{ } { } [ ]{ } [ ]{ }{ }

[ ]{ }{ }44 344 2144 344 21

kD

kQ

B

QQMh

h

h

h

oh

h

h

h

o⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−− ∫∫∫∫ +===2

2

22

2

2

2

2

2dz z dz z dz z dz z

/

/

/

/

/

/

/

/

ε

εεσ


{ } [ ]{ }εσ Q=z z

xxM

N

1

izi

zi-1

z0=h/2

N

h

b

zy

x


2z1 z2

{ } [ ]{ } [ ]{ } N/m)en (k N o BA += ε

{ } [ ]{ } [ ]{ } N)en (k M o DB += ε

[ ] [ ] [ ] N/m)(en zz Q 1(i)(i)m

1=i

)( −−= ∑ iA

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] N)(en zz Q 21 212(i)

(i)m

1=i

)( −−= ∑ iB

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] N.m)(en zz Q 31 313(i)

(i)m

1=i

)( −−= ∑ iD


⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

κκκγεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy0

y0

x0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x

DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA

MMMNNN



⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

κ

ε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ 0

DB

BA

M

N

[ ]

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }κ

ε

0

0

0

0

0

DMAN

D

A

M

N

B

==

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

κ

ε=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

En resumen:

Si el laminado fuese simétrico:

Quedan desacoplados loscomportamientos en el planoy a flexión

•Simétrico•Antimétrico•Balanceado•Cuasi-Isótropo•Láminas cruzadas (Cross-Ply laminate)•Láminas a α (Angle-Ply laminate)• Ortotrópico

±

TIPOS DE LAMINADOS


•Láminas del mismo material, espesor, y orientación, dispuestas simétricamente respecto al planomedio •Ejemplo: [+θ/−θ/−θ/+θ]•Característica principal:

Bij=0•Característica mecánica:

No existe acoplamiento entre cargas en el plano y flexión

LAMINADOS SIMETRICOS:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

κκκγεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy0

y0

x0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x


MMMNNN


•Las láminas que ocupan posiciones simétricas tienen orientaciones del mismo ángulo pero con signo distinto, son del mismo material y espesor.•Ejemplo: [+θ/-θ/+θ/-θ]•Característica importante:

A16=A26=0D16=D26=0

•Característica mecánica: Difíciles de analizar porque B16 y B26 no son nulos.

LAMINADOS ANTIMETRICOS:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

κκκγεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy0

y0

x0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x


MMMNNN


•Descripción: Por cada lámina + θ, hay otra a -θ, y por cada una a 0° hay otra a 90°•Ejemplo: [0/45/90/-45]•Características:

Q16(θ )=-Q16(-θ)Q26(θ )=-Q26(-θ)

•Característica importante:A16=A26=0D16=D26=0B11=B22=B12=0

•Característica mecánica:Nx=B16κxy

LAMINADO BALANCEADO

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

κκκγεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy0

y0

x0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x


MMMNNN


•El laminado se comporta como una placa isótropa•Su comportamiento en el plano es similar al de los materiales isótropos•La rigidez a flexión es diferente a la de las placas con materiales isótropos•Se define como:

donde k es el número de lámina, N=el número total de láminas (>=3) y θ0es un ángulo arbitrario•Igual número de láminas a

–0, 45, -45, 90 o–0, 60, -60

•La matriz A es independiente de la orientación de aplicación de las cargas•Sin embargo, B y D sí que dependen de dicha orientación

0k Nk

θ+π

=θ

LAMINADO CUASI-ISOTROPO


•Láminas cruzadas: láminas a 0° y 90°, solamente: [D] =0Fácil de analizar si es simétrico ([B]=0)

•Laminado a ±θ°: láminas con esas dos orientacionesSi es simétrico: A16=A26=0; Bij=0; D16≠0; D26≠0Si es antimétrico: A16=A26=0; D16=D26=0; B16≠0; B26≠0

LAMINADO DE LAMINAS CRUZADAS Y LAMINADO ±θ°


LAMINADO ESPECIALMENTE ORTÓTROPO

•Laminado de láminas cruzadas o giradas θ

Tejidos bidireccionalesA16=A26=0D16=D26=0B16= B26 =0


•Módulos equivalentes: Ex, Ey, Gxy, νxy

Definido para laminados simétricos y balanceados

Propiedades de una placa ficticia equivalente que se comporta de manera análoga al laminado bajo cargas en el plano

No utilizables para casos de flexión

puesto que: D16≠0; D26≠022

12xy

66xy

11

2122211

y

22

2122211

x

AA

tAG

tAAAAE

tAAAAE

=ν

=

−=

−=

MODULOS EQUIVALENTES DEL LAMINADO:


•Pasos:

1) Calcular las deformaciones que sufre el laminado a partir de las cargas en el plano y momentos a él aplicados

2) Referir las deformaciones obtenidas a los ejes materiales en cada lámina

3) Calcular las tensiones dentro de cada lámina en el sistema de ejes materiales

4) Aplicación del criterio de rotura a cada lámina

CALCULO DE LAMINADOS


[ ]

{ } { } { }κ+ε=ε

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

κε

z

MN

F

o

o

Paso 1: Cálculo de deformaciones globales en el laminado


Paso 2: Cálculo de las deformaciones en cada lámina en

ejes materiales:

{ } { }xy1

12 ]R][T][R[ ε=ε −

Paso 3: Cálculo de las tensiones en cada lámina en ejes materiales:

{ } { }1212 ]Q[ ε=σ


Paso 4: Aplicación del criterio de rotura a cada lámina


Rotura de la primera lámina:- En ella se alcanza un estado tenso-deformacional que verifica el criterio de rotura empleado.

- El laminado seguiría trabajando pero se debe eliminar (o ir degradando sus propiedades) la

lámina rota, suponiendo que cada una de las otras láminas conserva sus propiedades y

su posición original.

- Hay que determinar las nuevas matrices A,B y D sin considerar la lámina rota (o considerándola

con unas propiedades “degradadas”) y repetir el proceso de cálculo para obtener las nuevas

tensiones y deformaciones en cada una de las láminas restantes.

Repitiendo este proceso, podríamos ir eliminando láminas a medida

que se van rompiendo hasta llegar a la rotura de la última lámina.

1. Suponer elásticamente cargado el laminado.2. Calcular las tensiones y deformaciones en cada lámina.3. Aplicar el criterio de rotura a cada lámina.4. Incrementar la carga hasta que se produzca la rotura de

la primera lámina. 5. Modelizar el comportamiento postrotura de la lámina.6. Recalcular las matrices de rigidez del laminado y

redistribuir las cargas entre las láminas que siguen trabajando.

7. Continuar el proceso hasta que rompa la siguiente lámina.8. Volver al paso 5 y continuar así hasta que rompan todas

las láminas del laminado.


( )TotalxN

)3(xN

)2(xN

)1(xN

1n = 2n = 3n =

Rotura primera lámina, k=1

Rotura segunda lámina, k=2

Rotura tercera lámina, k=3

Roturaúltimalámina

)1(xε )2(

xε )3(xε

( )Totalxε

Deformación

Car

ga


•Si una lámina rompe, su matriz de rigidez de hace nula

•La lámina rota NO SOPORTA ninguna carga. Por tanto, la carga total aplicada es absorbida por el resto de láminas y las tensiones se redistribuyen. Esta redistribución puede llevar a la rotura inmediata de otras láminas. Cuando la redistribución de cargas cause la rotura de todas las láminas, diremos que el laminado ha roto.


HIPÓTESIS MÁS SIMPLE:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∑

∑

=

=

n0

n0

nn

nn

n

n

n

k n0

n0

Total0

0

n

k n

n

Total

κ

ε

DB

BA

M

N

κ

ε

κ

ε

M

N

M

N

1

1


( ) ( ) ( )

( )( )[ ]

bajando.siguen tra que láminas las deQ rigidez de matrices las deDependen

1-nla de rotura la de después rigidez de

smodificada matrices lasson

n

ésima .

,, nnn DBA

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