Teoremas de Extensión Armónica para Funciones y Distribuciones · 2017-04-19 · Capítulo 1 Funciones Armónicas en el Disco Unitario y Otros Dominios en Rn ConcØdeme, Seæor,

Teoremas de Extensión Armónicapara Funciones y Distribuciones

TESIS

que para obtener el grado académico de:

Maestro en Ciencias(Matemáticas)

presenta

Gabriel García Figueroa

Directora de tesis:

Dra. Martha Dolores Guzmán Partida

Hermosillo, Sonora

Septiembre, 2006

c 2006 por Gabriel García Figueroa.

A mi esposa, Sandra Elena,y a mis hijas, Sandra Gabriela y Abril.

Quiero expresar mi profunda y extensa gratitud a mi maestra y directora de tesis,Dra. Martha Guzmán, por su invaluable intercesión en el orígen, evolución y progresode este trabajo. Agradezco sobremanera sus diligentes atenciones, sus observaciones ysugerencias, así como el tiempo y la paciencia que dedicó en ayudarme a corregir miserrores una y otra vez. Mi deuda es grande no sólo por esto, sino por todas y cada unade sus extraordinarias clases. Debo a ella mucho más que la feliz culminación de estatesis.

Agradezco también, claro está, a toda mi familia. Y doy gracias al Creador portodas sus bondades.

Índice general

Preámbulo VII

1. Funciones Armónicas en el Disco Unitario y Otros Dominios en Rn 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Funciones armónicas en el disco unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. El núcleo de Poisson en el disco unitario . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Solución al problema clásico de Dirichlet en el disco unitario . 261.2.3. El problema de Dirichlet en versión Lp (T ) . . . . . . . . . . . . 271.2.4. Convergencia no tangencial y comportamiento frontera de inte-

grales de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3. Algunos resultados sobre funciones armónicas en dominios � Rn . . 381.4. El problema clásico de Dirichlet en bolas de Rn . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.1. El problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria . . . . . . . 471.4.2. El núcleo de Poisson en la bola unitaria . . . . . . . . . . . . . 481.4.3. Solución al problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria . . 511.4.4. El problema clásico de Dirichlet en cualquier bola BR (x0) . . . 53

2. Funciones Armónicas en Rn+1+ 592.1. El núcleo de Poisson para Rn+1+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2. Solución al problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ . . . . . . . . . . . . 742.3. Funciones subarmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4. Convergencia no tangencial en Rn+1+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3. Extensiones Armónicas de Distribuciones 1013.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.1. Motivación: un primer encuentro con la teoría de distribuciones 1023.2. El problema de Dirichlet en Rn+1+ versión distribuciones temperadas . 1083.3. Espacios óptimos para la S 0-convolución con el núcleo de Poisson Pt . 1243.4. Extensiones armónicas de distribuciones en !n+1D0L1 . . . . . . . . . . 132

Apéndices 139

A. La Función Gama 139

B. El Operador Maximal de Hardy-Littlewood 142

v

VI Índice general

C. Soluciones Fundamentales para el Laplaciano 148

D. Estimaciones Útiles 151

Bibliografía 154

Preámbulo

Un problema clásico en Matemáticas el cual involucra funciones armónicas es elbien conocido problema de Dirichlet. Se trata de un problema fundamental de valoresen la frontera para el Laplaciano, el cual surge con frecuencia en Física y Matemáticas:

Dado un dominio � Rn y una función f de�nida en su frontera @,determinar si existe una función u continua en tal que u sea armónicaen y u = f en @. Si tal función existe, determinar si es única.

Al parecer, fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien planteó por vez primeraeste problema en 1840, sin embargo, se dio en llamar a éste �el problema de Dirichlet�en honor al matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859),quien a mediados del s. XIX propuso una solución por medio de un método variacionalconocido hoy como el principio de Dirichlet. Su �argumento físico�de la existencia deuna solución única resulta plausible: cualquier distribución de carga sobre la fronteradebe, por las leyes de la electrostática, determinar un potencial eléctrico como solución.

Sin embargo, K. Weierstrass (1815-1897) encontró un error en su argumento yno fue sino hasta 1900 que se publicó una prueba rigurosa de la existencia de unasolución por parte de D. Hilbert (1862-1943). Resultó ser que la existencia de unasolución depende delicadamente de la suavidad de la frontera y de la función prescritaf .

El problema de Dirichlet ha atraído la atención de muchos de los grandes estudiososdel Análisis Matemático y ha motivado gran parte del desarrollo de la teoría de fun-ciones armónicas. El propio problema ha evolucionado y ha adquirido nuevas formas,de modo que se conocen muchas variantes del mismo. Es por eso que nos referiremosal enunciado que presentamos arriba como �el problema clásico de Dirichlet�.

C. Neumann (1832-1925) y H.A. Schwarz (1843-1921) fueron los primeros en con-siderar el problema clásico de Dirichlet con �métodos modernos�, pero mientras que elenfoque de C. Neumann condujo a la teoría de ecuaciones integrales, ha sido el traba-jo de H.A. Schwarz el que más ha in�uenciado las subsecuentes pruebas del problemade Dirichlet. Contenía ya la idea fundamental de construir clases muy generales desoluciones a partir de soluciones particulares dadas por la integral de Poisson parala esfera. Quince o veinte años más tarde, H. Poincaré (1854-1912) hizo grandes con-tribuciones en este campo, pero fue H. Lebesgue (1875-1941) quien en 1912 dio ungran salto al relacionar ciertos procesos convergentes con la propiedad del valor medioque caracteriza a las funciones armónicas.

A lo largo del s. XX el Análisis Armónico se desarrolló extraordinariamente enmúltiples direcciones. Nuevas escuelas, como la rusa (Lusin, Menchov, Fatou, Pri-

vii

VIII Preámbulo

valov,...), la polaca (Rachjman, Zygmund, Marcinkiewicz,...), así como la británi-ca (Hardy, Littlewood, Paley,...) primero y más tarde la norteamericana (Zygmund,Calderón, Stein,...) y la sueca (M. Riesz, Carleson,...) imprimieron una fuerza notableen este terreno que antes era monopolizado por franceses y alemanes.

Por otra parte, con la teoría de distribuciones, tal como aparece de forma de�nitivacon L. Schwartz alrededor de 1950, se abre la posibilidad de utilizar la transformadade Fourier en condiciones mucho más amplias que las permitidas hasta entonces. Lasdistribuciones pusieron de mani�esto el papel central de la convolución en el AnálisisArmónico y en sus conexiones con las ecuaciones en derivadas parciales.

Contenido

En el presente trabajo, abordaremos el problema de Dirichlet desde su forma máselemental y extenderemos luego nuestro estudio a algunos casos más generales hastallegar �nalmente a la siguiente versión del problema de Dirichlet para distribuciones:

Dada una distribución temperada T en Rn, encontrar una funciónarmónica u de�nida en el semiespacio superior Rn+1+ cuyo valor fronterasea justamente T .

El texto consta de tres capítulos como se describe a continuación:En el Capítulo 1 se caracteriza a la clase de funciones armónicas en el disco unitario

que son integrales de Poisson de funciones en Lp [��; �], con 1 < p � 1, o de medidasde Borel en M [��; �], y se examina el comportamiento frontera en las topologíascorrespondientes. Asimismo, se estudia el comportamiento puntual y no tangencialde esta clase de funciones armónicas. Posteriormente, usando resultados clásicos defunciones armónicas en dominios de Rn, se obtienen caracterizaciones similares a lasmencionadas antes, pero para funciones armónicas de�nidas en la bola arbitraria deRn. El análisis del comportamiento frontera en ambos casos conduce de manera naturala la solución del problema clásico de Dirichlet y generalizaciones de éste.

En el Capítulo 2 se extienden los resultados obtenidos previamente al caso delsemiespacio superior Rn+1+ . La diferencia principal en esta nueva situación es la faltade acotamiento del dominio. De nueva cuenta, se caracteriza a la clase de funcionesarmónicas en el semiespacio superior que son integrales de Poisson de funciones enLp (Rn), con 1 < p � 1, o de medidas de Borel en M (Rn), y se examina el com-portamiento puntual y no tangencial de esta clase de funciones armónicas. Igual queantes, este estudio permite encontrar soluciones al problema clásico de Dirichlet enRn+1+ y generalizaciones de éste.

En el Capítulo 3 se introduce la transformada de Poisson de distribuciones tem-peradas apropiadas. Puesto que el núcleo de Poisson no puede convolucionarse en elsentido de distribuciones con cualquier distribución arbitraria, se provee primero unade�nición apropiada de convolución, la llamada S 0-convolución. Posteriormente, secaracteriza a la clase de distribuciones temperadas que admiten S 0-convolución con elnúcleo de Poisson para el semiespacio superior. Esta clase de distribuciones resulta seruna versión con peso de la clásica familia de distribuciones integrables D0L1 , a saber,el espacio !n+1D0L1 . Provistos con esta familia de distribuciones se prueba que toda

Preámbulo IX

distribución integrable T en Rn tiene una extensión armónica al semiespacio supe-rior Rn+1+ que es la transformada de Poisson de T en el sentido de la S 0-convolución ycuyo valor en la frontera en la topología de !n+1D0L1 es la distribución T misma. Estogeneraliza la situación presentada en el Capítulo 2 y provee soluciones (no únicas) alproblema de Dirichlet donde la condición en el borde se entiende en términos de latopología de !n+1D0L1 .

Premisas y notación

Nuestro contexto siempre será algún subconjunto � Rn, y n se referirá siempre ala dimensión. Toda función f debe asumirse como compleja a menos que se especi�quelo contrario.

La notación usada en este trabajo es, en general, estándar. Así, por ejemplo, lossímbolos Ck, C1, Cc, C0, C1c , L

p, L1, Lploc, S, D0, E 0, S 0, etc., indican a los es-pacios usuales de distribuciones o funciones de�nidas en Rn. El símbolo j�j denotaa la norma euclideana en Rn, mientras que k�kp denota a la norma en el espacioLp. Cuando necesitamos enfatizar en qué dominio estamos trabajando, escribimosCk (D) ; C1 (Rn) ; k�kLp(K) ;S 0

�R2�, etc. En los dos primeros capítulos, las derivadas

parciales son denotadas, como es usual, por @k

@xkj. En el Capítulo 3, en el contexto de dis-

tribuciones, resulta conveniente usar una notación más compacta; usamos entonces lanotación multi-índice. Un multi-índice es una n-ada ordenada de enteros no negativos.Si � = (�1; : : : ; �n), escribimos j�j = �1 + � � � + �n y x� = x�11 � � �x�nn . Con esta no-tación, las derivadas parciales se denotan por @� o @�

@x� . Dada una función g denotamoscon eg a la función x 7! g (�x) mientras que, si f es una distribución indicamos con efa la distribución ' 7! hf; e'i. La transformada de Fourier y la transformada de Fourierinversa las denotamos, respectivamente, por F y F�1. La letra C denota usualmentea una constante positiva posiblemente diferente en distintas ocasiones. Cuando es im-portante señalar que la constante depende de uno o más parámetros, lo indicamosagregando subíndices a la constante C, como en Cn, C�;�, etc. Otras convencionespertinentes se establecen en su momento en el capítulo o sección correspondiente.

Debido a que los conjuntos abiertos y conexos juegan un papel importante enel desarrollo de esta teoría, éstos se designan frecuentemente mediante un términoespecial. Aun cuando su uso no es completamente estándar en la bibliografía, laspalabras región y dominio se usan ampliamente. En este texto, estos términos seránusados como sinónimos de un subconjunto abierto y conexo de Rn.

Hermosillo, Sonora GABRIEL GARCIA FIGUEROASeptiembre 2006

Capítulo 1

Funciones Armónicas en el DiscoUnitario y Otros Dominios en Rn

Concédeme, Señor, esta gracia en la tierra,

penetrar estos dominios,

franquear esta frontera.

1.1. Introducción

Las funciones armónicas que estudiaremos son siempre funciones de�nidas en algún

dominio del espacio euclideano Rn. En este capítulo, nos interesaremos, primera-mente, por las funciones armónicas en un dominio del plano R2 y después pasaremos aregiones más generales. Consideraremos, en especial, el caso en el que el dominio es el

disco unitario D = fz 2 C : jzj < 1g, cuya frontera es el toro T = fz 2 C : jzj = 1g =�eit : t 2 R

, es decir, el círculo unitario; así que estaremos particularmente intere-

sados en estos conjuntos. En este contexto, nos será especialmente útil considerar el

siguiente hecho:

Toda función f : T ! C induce otra función F : R! C, 2�-periódica,tomando F (t) = f

�eit�. Recíprocamente, toda función F : R ! C, 2�-

periódica, induce una función f : T ! C mediante f�eit�= F (t).

Haciendo la identi�cación f $ F , podemos pensar en f como en una función de�ni-

da en R, 2�-periódica. Más aún, f queda completamente determinada por sus valoresf�eit�con t 2 [��; �] (de hecho, basta considerar t 2 [��; �)). En consecuencia,

podemos pensar en f como en una función de�nida en el intervalo [��; �].

1

2 Funciones Armónicas en el Disco Unitario y Otros Dominios en Rn

Identi�caremos a T = fz 2 C : jzj = 1g =�eit : t 2 [��; �]

con [��; �] y llamare-

mos toro de manera indistinta tanto al conjunto fz 2 C : jzj = 1g como al intervalo[��; �]. De hecho, a ambos los denotaremos con la letra T . Resultará siempre claro,por el contexto, a cuál de ellos nos referimos.

Aparecerán también en juego los siguientes espacios de funciones:

C (T ) = ff : R! Cj f es continua y 2�-periódicag;

Lp (T ) = ff : T ! Cj f es medible y 1

2�

Z �

��jf (t)jp dt <1g, para 1 � p <1;

L1 (T ) = ff : T ! Cj f es esencialmente acotadag:

Como es usual, a Lp (T ) lo dotamos de la norma

kfkp =�1

2�

Z �

��jf (t)jp dt

� 1p

y a L1 (T ), de la norma

kfk1 = sup esx2T

jf(x)j :

De�nición 1.1 Sea F : ! C, una función de�nida en un dominio � Rn y convalores en los complejos. Decimos que F es armónica en si F 2 C2 () y satisfacela ecuación de Laplace �F = 0 en , donde � es el operador diferencial Laplaciano

� =

nXj=1

@2

@x2j:

Las funciones armónicas más simples que no son constantes son las funciones coor-

denadas xj ; por ejemplo, F (x) = x1 es armónica. Un ejemplo un poco menos simple,

pero también sencillo, es

u (x) = 2x21 � x22 � x23 + ix3 .

Debido a que el Laplaciano es un operador lineal, las sumas y los múltiplos escalares

de funciones armónicas son armónicos.

Para y 2 Rn y u una función en , la y-traslación de u es la función

uy (x) = u (x� y) para x 2 + y = fw + y : w 2 g :

Claramente, las traslaciones de funciones armónicas son armónicas.

Para un número positivo r y una función u en , la r-dilatación de u es la función

ur (x) = u (rx) para x 2 1r =

�1

rw : w 2

�:

Si u 2 C2 (), un cálculo muy sencillo muestra que �ur = r2 (�u)r en1r. En

consecuencia, las dilataciones de funciones armónicas son armónicas.

Funciones armónicas en el disco unitario 3

1.2. Funciones armónicas en el disco unitario

Muchos de los tópicos cubiertos por esta tesis tienen su origen en la estrecha relación

que guardan entre sí las propiedades de las funciones armónicas o las analíticas en el

disco unitario D del plano complejo y el Análisis de Fourier de sus valores frontera en el

toro T = @D. Sin duda, los problemas que surgen en este contexto fueron inicialmente

atacados con la ayuda de los poderosos métodos del Análisis Complejo, y ese enfoque

es el que seguiremos, en principio, en este capítulo. Aunque tales métodos no resultan

muy útiles en situaciones más generales en Rn, esperamos ganar cierta perspectivapara nuestro trabajo futuro discutiendo primero los problemas en su formulación más

simple.

Nuestro primer objetivo será resolver el siguiente caso particular del problema

clásico de Dirichlet.

El Problema Clásico de Dirichlet en el Disco: Dada una funcióncontinua f de�nida en @D = T (i.e., 2�-periódica en R), hallar una fun-ción u de�nida en D que sea armónica en D, continua en D y tal que

uj@D = f .

Para tal efecto, estudiaremos algunas de las propiedades que tienen las funciones

armónicas en el plano. Usaremos aquí las coordenadas complejas z = x+ iy, con x; y

reales. Existe una relación natural entre funciones armónicas y holomorfas en el plano:

Proposición 1.2 Toda función holomorfa es armónica.

Demostración. Sea F : ! C una función holomorfa, dada por F = u + iv, con u; v

funciones reales. Entonces, se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann8><>:@u

@x=@v

@y@v

@x= � @u

@y

o, equivalentemente, se veri�ca la ecuación�@

@x+ i

@

@y

�F = 0:

Por otra parte, el operador Laplaciano � = @2

@x2+ @2

@y2puede factorizarse como

� =

�@

@x� i @

@y

��@

@x+ i

@

@y

�:

Así,

�F =

�@

@x� i @

@y

��@

@x+ i

@

@y

�F = 0:

Por lo tanto, F es armónica.


Proposición 1.3 Sea F : ! C una función holomorfa en , dada por F = u+ iv,

con u; v funciones reales. Entonces, u; v son armónicas.

Demostración. De la Proposición 1.2, sabemos que

�F = 0:

Esto es, �@

@x� i @

@y

��@

@x+ i

@

@y

�F = 0:

Tomando conjugados complejos, obtenemos�@

@x+ i

@

@y

��@

@x� i @

@y

�F = 0

donde F = u� iv. Así,�F = 0;

de modo que F también es armónica. Como u = F+F2 y v = F�F

2i , se sigue que u y v

son armónicas.

Teorema 1.4 Sea � C un dominio simplemente conexo del plano complejo y sea

u : ! R una función real de clase C2 en . Entonces, u es armónica si y sólo siexiste una función F : ! C holomorfa tal que Re (F ) = u.

Demostración. Por la Proposición 1.3, ya sabemos que si F : ! C es una funciónholomorfa tal que Re (F ) = u, entonces u es armónica.

Para probar la recíproca, asumamos que u es armónica. Entonces

�u =@2u

@x2+@2u

@y2= 0:

Tomemos U; V : ! C de�nidas por

U =@u

@xy V = � @u

@y:

Así,@U

@x� @V

@y= 0:

Además, puesto que u 2 C2 () , tenemos que U; V 2 C1 () y, más aún,

@U

@y=

@2u

@y@x=

@2u

@x@y= � @V

@x;

de modo que se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para U y V . Luego, la

función g : ! C, dada por g = U + iV , es holomorfa en .

Funciones armónicas en el disco unitario 5

Por el teorema de existencia de antiderivadas en una región simplemente conexa

(ver por ejemplo, [17] p. 153), se sigue que existe una función G : ! C holomorfaen y tal que G 0 = g en . Es decir, la derivada (en el sentido complejo) de G en

es justamente g. Digamos que

G = T + iW

con T;W funciones reales. Entonces,

@T

@x� i@T

@y= G 0 = g =

@u

@x� i@u

@y

en . Luego,@T

@x=@u

@xy

@T

@y=@u

@y

en . Se sigue que

T = u+ c

para alguna constante c 2 C.Tomemos f = u + iW . Así, f = (T � c) + iW = G � c es holomorfa en . Y

Re (f) = u.

Proposición 1.5 Sea u una función armónica a valores reales de�nida en un discoD (0; R) = fz 2 C : jzj < Rg, donde R > 0. Entonces, u tiene una representación en

serie de la forma

u�rei�

�=

1Xk=�1

akrjkjeik� (1.1)

con 0 � r < R y �� , y esta serie converge uniformemente en subconjuntos

compactos de D (0; R).

Demostración. Por el Teorema 1.4, existe F : D (0; R)! C holomorfa tal que Re (F ) =u. Sea

F (z)=1Xk=0

ckzk

la representación en serie de potencias de F (i.e., la serie de Taylor de F alrededor

de 0), para z 2 D (0; R). Por el teorema de convergencia de series de potencias (ver[17] pp. 228-229), sabemos que esta serie converge uniformemente en subconjuntos

compactos de D (0; R).

Usando la forma polar z = rei�, con r = jzj y �� , tenemos

F�rei�

�=

1Xk=0

ckrkeik�


con 0 � r < R y �� .Luego,

u�rei�

�=F�rei�

�+ F (rei�)

2=1

2

" 1Xk=0

ckrkeik� +

1Xk=0

ckrke�ik�

#=

1Xk=�1

akrjkjeik�

donde

ak =

8><>:c�k2 si k < 0

12 (c0 + c0) = Re (c0) si k = 0

ck2 si k > 0

y donde 0 � r < R, �� .Además, la convergencia de esta serie es uniforme en subconjuntos compactos de

D (0; R), por ser la suma de dos series de potencias que convergen uniformemente en

subconjuntos compactos de D (0; R).

1.2.1. El núcleo de Poisson en el disco unitario

En la Proposición 1.5, obsérvese que si R > 1 entonces la representación en serie

de u dada en (1.1) vale, en particular, para r = 1 (i.e., para los puntos del disco

D (0; R) que se encuentran sobre el círculo unitario, cuya forma polar es z = ei�, con

�� ). Así,

u�ei��=

1Xk=�1

akeik�

con �� .Resulta, entonces, que los términos ak son los coe�cientes de Fourier de la función

' (t)= u�eit�. En efecto, para cada k 2 Z, tenemos

b' (k) = 1

2�

Z �

��e�ikt' (t) dt

=1

2�

Z �

��e�iktu

�eit�dt

=1

2�

Z �

��e�ikt

" 1Xk=�1

aneint

#dt

=

1Xn=�1

an1

2�

Z �

��e�ikteintdt

�por la convergenciauniforme de la serie

�=

1Xn=�1

an1

2�

Z �

��ei(n�k)tdt

= ak ;

El núcleo de Poisson en el disco unitario 7

de modo que, para cada k 2 Z,

ak =1

2�

Z �

��e�iktu

�eit�dt: (1.2)

Sustituyendo (1.2) en (1.1), obtenemos

u�rei�

�=

1Xk=�1

�1

2�

Z �

��e�iktu

�eit�dt

�rjkjeik�:

Pero, esto es lo mismo que

u�rei�

�=1

2�

Z �

��

1Xk=�1

rjkjeik(��t)

!u�eit�dt; (1.3)

siempre y cuando 0 � r < 1 (pues en tal caso, la serie converge uniformemente).Ahora bien, consideremos la serie

1Xk=�1

rjkjeikt ;

la cual converge uniformemente, siempre que 0 � r < 1. Obsérvese que

1Xk=�1

rjkjeikt = 1 +1Xk=1

rkeikt +1Xk=1

rke�ikt

= 1 + 2

1Xk=1

rk cos kt

= 2Re

"1

2+

1Xk=1

zk

#(1.4)

= 2Re

��12+

1

1� z

�= 2Re

�1 + z

2 (1� z)

�= 2Re

�(1 + z) (1� z)2 j1� zj2

�=1� jzj2

j1� zj2

=1� r2

1 + r2 � 2r cos t :

De�nición 1.6 Para 0 � r < 1, la función Pr : [��; �]! R tal que

Pr (t) =1X

k=�1rjkjeikt =

1� r21 + r2 � 2r cos t , para t 2 [��; �] ,

se llama núcleo de Poisson para el disco unitario D = fz 2 C : jzj < 1g.


Figura 1.1: El núcleo de Poisson en D para algunos valores de r.

Obsérvese que, para 0 � r < 1 y �� , se tiene

Pr (� � t) =1� r2

1 + r2 � 2r cos (� � t) =1X

k=�1rjkjeik(��t): (1.5)


u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t)u

�eit�dt: (1.6)

Hasta aquí, habíamos asumido que u era una función armónica a valores reales en

D (0; R) con R > 1. Sin embargo, nótese que la ecuación (1.6) vale incluso si u toma

valores en los complejos, pues en tal caso, basta descomponer a u en sus partes real

e imaginaria y aplicar a cada una de ellas el caso real. Establecemos, así, el siguiente

resultado:

Proposición 1.7 (Representación de Poisson en discos de radio > 1) Sea u

una función armónica de�nida en un disco D (0; R) = fz 2 C : jzj < Rg, donde R > 1.

Entonces,

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t)u

�eit�dt (1.7)

para 0 � r < 1 y �� .

La expresión (1.7) no es otra cosa que la convolución del núcleo de Poisson Prcon la función ' (t)= u

�eit�en el toro T =

�eit : t 2 R

(el cual identi�camos con el

intervalo [��; �]). Esto es,


u�rei�

�= (Pr � ') (�) : (1.8)

A esta expresión se le conoce como la integral de Poisson de ' y es una pieza clave

para la solución del problema clásico de Dirichlet en el disco. También se dice que u

es la representación de Poisson de ' y suele abreviarse como u = P (').

La siguiente de�nición generaliza este concepto.

De�nición 1.8 Sea f una función de�nida en el toro T . Para 0 � r < 1 y �� , diremos que la convolución

(Pr � f) (�) =1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt

es la integral de Poisson de f o la representación de Poisson de f , y la denotaremos

P (f).

Recordemos que, dada una función continua f de�nida en el toro T = @D, el

problema clásico de Dirichlet en el disco nos pide hallar una función u de�nida en D

que sea armónica en D, continua en D y tal que uj@D = f . Por lo expuesto hasta aquí,

un candidato natural es la integral de Poisson de f . Más adelante probaremos que, en

efecto, u = P (f) es una solución al problema clásico de Dirichlet en el disco y, más

aún, demostraremos que dicha solución es única.

Pero antes, vamos a probar algunas propiedades importantes que tiene el núcleo

de Poisson y que nos serán de gran utilidad en nuestro propósito.

Lema 1.9 El núcleo de Poisson, Pr (t), tiene las siguientes propiedades:

(i) Para cada r 2 [0; 1) �jo, Pr (t) es una función continua en el toro T = [��; �],2�-periódica, par y positiva.

(ii) Para cada r 2 [0; 1) �jo, se veri�ca 12�

R �� Pr (t) dt = 1:

(iii) Pr (t)! 0 cuando r ! 1 uniformemente en [��;��] [ [�; �] 8 � 2 (0; �).

(iv) Pr (t), visto como función de reit, es armónico en D.

Demostración.

(i) Dados r 2 [0; 1) y t 2 [��; �], tenemos 2r cos t � 2r. O bien,

�2r cos t � �2r:

Luego,

1 + r2 � 2r cos t � 1 + r2 � 2r:


Así,

1 + r2 � 2r cos t � (1� r)2 > 0;

de modo que el denominador de Pr (t) = 1�r21+r2�2r cos t nunca se anula. Por tanto, Pr (t)

es continuo en el toro T = [��; �].De hecho, vemos que el denominador de Pr (t) es positivo. Por otra parte, también

1� r2 > 0

ya que r 2 [0; 1). En consecuencia,

Pr (t) =1� r2

1 + r2 � 2r cos t > 0:

Además, dado que la función coseno es par y 2�-periódica, es claro que

Pr (�t) = Pr (t) y Pr (t+ 2k�) = Pr (t) 8k 2 Z:

(ii) Dado r 2 [0; 1), tenemos

1

2�

Z �

��Pr (t) dt =

1

2�

Z �

��

1Xk=�1

rjkjeiktdt

=

1Xk=�1

rjkj

2�

Z �

��eiktdt ( por la convergenciauniforme de la serie)

=1

2�

Z �

��dt = 1:

(iii) Sea � 2 (0; �) y sea t 2 [��;��] [ [�; �]. Entonces, � � jtj � �, de modo que

cos t = cos jtj � cos �

) 1� cos t � 1� cos �:

Luego,

1 + r2 � 2r cos t = (1� r)2 + 2r (1� cos t)

> 2r (1� cos �) :

Por consiguiente,

0 < Pr (t) =1� r2

1 + r2 � 2r cos t <1� r2

2r (1� cos �) :

Así,

sup��jtj��

Pr (t) �1� r2

2r (1� cos �) �!r!1 0:


Por tanto, Pr (t)! 0 cuando r ! 1 uniformemente en [��;��][ [�; �] 8 � 2 (0; �).

(iv) Tenemos, de acuerdo con (1.4), que

Pr (t) =1� r2

1 + r2 � 2r cos t = 2Re"1

2+

1Xk=1

zk

#, para z = reit,

y la serie converge uniformemente, siempre que 0 � r < 1. Así que Pr (t) es la parte

real de una función holomorfa en D, pues toda serie de potencias es holomorfa en el

interior de su círculo de convergencia ([17] p. 230). Por el Teorema 1.4, concluimos que

Pr (t) es armónico en D.

A continuación, mostraremos que la representación de Poisson de '(t) = u�eit�

obtenida en la Proposición 1.7, es decir

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t)' (t) dt = (Pr � ') (�) ;

sigue siendo válida para una clase mucho más amplia de funciones de�nidas en el toro.

Teorema 1.10 Sea u una función armónica en el disco unitario D = fz 2 C : jzj < 1gtal que

sup0�r<1

1

2�

Z �

��

��u �reit��p dt <1; (1.9)

para algún 1 < p <1 . Entonces, existe una función f 2 Lp (T ) tal que

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt � (Pr � f) (�)

para 0 � r < 1 y �� .(Es decir, u es la representación de Poisson de alguna función f 2 Lp (T )).

Demostración. Sea (rn)1n=1 una sucesión de reales positivos tal que rn " 1 (i.e., rn

converge a 1 en forma creciente). Para cada n 2 N, de�namos

fn (t) = u�rne

it�

para t 2 [��; �] :

Por hipótesis, existe K > 0 tal que

kfnkpp =1

2�

Z �

��

��u �rneit��p dt � K <1 8 n 2 N;

de modo que

fn 2 B �ng 2 Lp (T ) : kgkp � K

1p

o8 n 2 N:

Así, (fn)1n=1 es una sucesión en la bola cerrada B del espacio Lp (T ).


Pero, Lp (T ) es el dual de Lq (T ), donde q es el exponente conjugado de p (esto

es, 1p +1q = 1); o más exactamente, Lp (T ) es isomorfo a Lq (T )� (ver [11] p. 190).

De hecho, por el Teorema de Representación de Riesz para espacios Lp (ver [20] pp.

284-286), los espacios Lp (T ) y Lq (T )� son isométricamente isomorfos bajo la función

Lp (T )! Lq (T )� , g 7! �g

con �g de�nida por

�g (h) =

Z �

��h (t) g (t) dt 8 h 2 Lq (T ) :

Como Lp (T ) �= Lq (T )�, el Teorema de Banach-Alaoglu ([21] pp. 68-69) nos asegura

entonces que la bola cerrada B es compacta en Lp (T ) con la topología débil-�. Y, comoademás, Lq (T ) es separable, se sigue que B es metrizable en la topología débil-� (ver[21], teo. 3.16, p. 70).

Tenemos, pues, que la sucesión (fn)1n=1 se encuentra en la bola B compacta y

metrizable en la topología débil-� del espacio Lp (T ). En consecuencia, (fn)1n=1 poseeuna subsucesión convergente en B con la topología débil-�, la cual denotaremos delmismo modo para aligerar la notación. Así, existe f 2 B � Lp (T ) tal que

fn ! f en la topología débil- � de Lp (T ) �= Lq(T )�:

Esto es,

1

2�

Z �

��h (t) fn (t) dt �!

n!11

2�

Z �

��h (t) f (t) dt 8 h 2 Lq (T ) :

Por otra parte, por el Lema 1.9(i), sabemos que Pr (� � t), con � �ja, es una funcióncontinua en el toro T = [��; �]. Por lo tanto, Pr (� � t) 2 Lq (T ), pues C (T ) � Lq(T ).En consecuencia,

1

2�

Z �

��Pr (� � t) fn (t) dt �!

n!11

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt:

Ahora, para cada n 2 N, consideremos la dilatación un (z) = u (rnz) para z 2D�0; 1rn

�. Nótese que, para cada n 2 N, un es armónica en D

�0; 1rn

�y 1rn> 1. Por

la representación de Poisson en discos de radio > 1 (Proposición 1.7), tenemos

un

�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t)un

�eit�dt

8 n 2 N, 0 � r < 1 y �� . Es decir,

u�rnre

i��

=1

2�

Z �

��Pr (� � t)u

�rne

it�dt

=1

2�

Z �

��Pr (� � t) fn (t) dt


8 n 2 N, 0 � r < 1 y �� .Haciendo a n tender a 1, obtenemos

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt � (Pr � f) (�)

para 0 � r < 1 y �� .

En síntesis, este teorema nos dice que si u es armónica en D y está uniformemente

en Lp (T ), con 1 < p <1, entonces u = P (f) para alguna función f 2 Lp (T ).

De manera natural surgen las siguientes preguntas: ¿será también cierto que u =

P (f) para alguna función f 2 L1 (T ) cuando u cumple la condición (1.9) con p = 1? y,por otra parte, ¿existirá un resultado análogo para p =1? La respuesta es a�rmativapara p = 1, modi�cando apropiadamente la condición (1.9), lo cual haremos en elsiguiente teorema. El caso p = 1 lo analizaremos después de éste.


sup0�r<1

kurk1 <1; (1.10)

donde ur (t) = u�reit�. Entonces, existe una función f 2 L1 (T ) tal que

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt � (Pr � f) (�)

para 0 � r < 1 y �� .(Es decir, u es la representación de Poisson de alguna función f 2 L1 (T )).

Demostración. La prueba es esencialmente la misma que la del Teorema 1.10:

Sea (rn)1n=1 una sucesión de reales positivos tal que rn " 1. Para cada n 2 N,

de�namos

fn (t) = u�rne

it�= urn (t) para t 2 [��; �] :

Por hipótesis, existe K > 0 tal que

kfnk1 = kurnk1 � sup0�r<1

kurk1 � K <1 8 n 2 N;

de modo que

fn 2 B � fg 2 L1 (T ) : kgk1 � Kg 8 n 2 N:

Así, (fn)1n=1 se encuentra en la bola cerrada B del espacio L1 (T ).

Pero, L1 (T ) es el dual de L1(T ) ([11] p. 190) y L1 (T ) es separable. Por el mismo

argumento usado en la demostración del Teorema 1.10, se sigue el resultado.


Observación 1.12 En las demostraciones de los Teoremas 1.10 y 1.11 hemos usadoel hecho de que, para 1 < p � 1 y q el exponente conjugado de p, se tiene que Lp (T )

es el dual de Lq (T ). Sin embargo, en el caso p = 1, sucede que L1 (T ) no es un espacio

dual, debido a que L1 (T ) no tiene la propiedad de Radon-Nikodým y todo espacio dual

separable debe tener esta propiedad (consultar [9], pp. 79-81).

En vista de lo anterior, no podemos aplicar el argumento usado en la demostración

del Teorema 1.10 al caso p = 1. Para solventar esta situación, haremos lo siguiente:

Consideremos el espacio M (T ) formado por las medidas de Borel complejas en T

con la norma

k�k � 1

2�

Z �

��d j�j (t) = 1

2�j�j (T ) ;

donde j�j denota la variación total de �. [Dada � 2M (T ), la función conjuntista j�jes también una medida, de�nida en la �-álgebra de Borel B (T ) como

j�j (E) = supfEig

1Xi=1

j� (Ei)j , para E 2 B (T ) :

donde el supremo es tomado sobre todas las particiones fEig de E (ver [22], Capítulo

6, pp. 124-126)].

Se sabe que M (T ) es isomorfo a C (T )�, donde C (T ) es el espacio de funciones

continuas en T = [��; �], 2�-periódicas. De hecho, por el Teorema de Representaciónde Riesz-Markov ([11], p. 223), los espacios M (T ) y C (T )� son isométricamente iso-

morfos bajo la función

M (T )! C (T )� , � 7! ��

con �� de�nida por

��(h) =

Z �

��hd� 8 h 2 C (T ) :

Por otra parte, por el Teorema de Radon-Nikodým ([22], teo. 6.9, pp. 129-131),

tenemos que L1 (T ) ,! M (T ) (i.e., L1 (T ) está continuamente incluído en M (T )),

bajo la función f 7�! �f con �f de�nida por

�f (E) =

ZEf (t) dt 8 E 2 B (T ) ;

de modo que d�f (t) = f (t) dt.

Se puede demostrar que��f �� (E) = ZEjf (t)j dt 8 E 2 B (T ) ;


(ver [23], teo. 6.13, p.134) y, por tanto,

�f = 1

2�

��f �� (T ) = 1

2�

ZTjf (t)j dt = kfk1 :

Esto nos permitirá probar el siguiente resultado análogo a los Teoremas 1.10 y

1.11.


sup0�r<1

1

2�

Z �

��

��u �reit�� dt <1: (1.11)

Entonces, existe una medida de Borel � en T tal que

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) � (Pr � �) (�)

para 0 � r < 1 y �� .

Demostración. De nuevo, la prueba es similar a la del Teorema 1.10:

Sea (rn)1n=1 una sucesión de reales positivos tal que rn " 1. Para cada n 2 N,

de�namos

fn (t) = u�rne

it�

para t 2 [��; �]

y sea �fn 2 M (T ) de�nida por

�fn (E) =

ZEfn (t) dt 8 E 2 B (T ) :

Por hipótesis, existe K > 0 tal que �fn = kfnk1 = 1

2�

Z �

��

��u �rneit�� dt � K <1 8 n 2 N;

de modo que

�fn 2 B � f� 2M (T ) : k�k � Kg 8 n 2 N:

Así,��fn�1n=1

se encuentra en la bola cerrada B del espacio M (T ).

ComoM (T ) �= C (T )�, el Teorema de Banach-Alaoglu ([21] pp. 68-69) nos asegura

que la bola cerrada B es compacta enM (T ) con la topología débil-�. Y, como además,C (T ) es separable [porque los polinomios con coe�cientes racionales son densos en

C (T ) de acuerdo con el teorema de aproximación de Weierstrass ([23] pp. 131-132)],

se sigue que B es metrizable en la topología débil-� (ver [21], teo. 3.16, p. 70).

Tenemos, pues, que la sucesión��fn�1n=1

se encuentra en la bola B compacta y

metrizable en la topología débil-� del espacio M (T ). Por lo tanto,��fn�1n=1

posee una


subsucesión convergente en B con la topología débil-�, la cual denotaremos del mismomodo para aligerar la notación. Así, existe � 2 B �M (T ) tal que

�fn ! � en la topología débil- � de M (T ) �= C (T )� :

Esto es,

1

2�

Z �

��g (t) d�fn (t) �!n!1

1

2�

Z �

��g (t) d� (t) 8 g 2 C (T ) ;

o sea,1

2�

Z �

��g(t)fn (t) dt �!

n!11

2�

Z �

��g(t)d� (t) 8 g 2 C (T ) :

Por otra parte, por el Lema 1.9(i), sabemos que Pr (� � t), con � �ja, es una fun-ción continua en el toro T = [��; �] y 2�-periódica; es decir, Pr (� � t) 2 C (T ). Enconsecuencia,

1

2�

Z �

��Pr (� � t) fn (t) dt �!

n!11

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) :

Ahora, para cada n 2 N, consideremos la dilatación un (z) = u (rnz) para z 2D�0; 1rn

�. Nótese que, para cada n 2 N, un es armónica en D

�0; 1rn

�y 1rn> 1. Por

la representación de Poisson en discos de radio > 1 (Proposición 1.7), tenemos

un

�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t)un

�eit�dt

8 n 2 N, 0 � r < 1 y �� . Es decir,

u�rnre

i��

=1

2�

Z �

��Pr (� � t)u

�rne

it�dt

=1

2�

Z �

��Pr (� � t) fn (t) dt

8 n 2 N, 0 � r < 1 y �� .Haciendo a n tender a 1, obtenemos

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) � (Pr � �) (�)

para 0 � r < 1 y �� .

De�nición 1.14 Sea � una medida de Borel de�nida en el toro T . Diremos que laconvolución

(Pr � �) (�) =1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t)

es la integral de Poisson de � o la representación de Poisson de �, y la denotaremos

P (�). También es usual referirse a ésta como la integral de Poisson-Stieltjes de �.


En síntesis, el Teorema 1.13 nos dice que si u es armónica D y cumple la condición

(1.11), entonces u = P (�) para alguna medida � 2M (T ).

Proposición 1.15 Si u : D ! R es una función armónica y positiva, i.e., u � 0,

entonces existe una medida positiva � 2 M (T ) tal que u es la integral de Poisson de

�, esto es,

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) � (Pr � �) (�)

para 0 � r < 1 y �� .(El término �positiva�se usa aquí en el sentido de �no negativa�.)

Demostración. Sea r 2 (0; 1) y de�namos la dilatación ur (z) = u (rz) para z = �ei� 2D�0; 1r�. Nótese que ur es armónica en D

�0; 1r�y 1r > 1. Por la representación de

Poisson en discos de radio > 1 (Proposición 1.7), tenemos

ur

��ei�

�=1

2�

Z �

��P� (� � t)ur

�eit�dt

para 0 � � < 1 y �� . Es decir,

u�r�ei�

�=1

2�

Z �

��P� (� � t)u

�reit�dt

para 0 � � < 1 y �� . En particular, con � = 0, obtenemos

u (0) =1

2�

Z �

��P0 (� � t)u

�reit�dt

=1

2�

Z �

��u�reit�dt

=1

2�

Z �

��

��u �reit�� dty esto vale para cualquier r 2 (0; 1). Por otra parte, para r = 0, tenemos

1

2�

Z �

��

��u �reit�� dt = 1

2�

Z �

��u (0) dt = u (0)

1

2�

Z �

��dt = u (0) :

Por consiguiente,

1

2�

Z �

��

��u �reit�� dt = u (0) 8r 2 [0; 1) :

Luego,

sup0�r<1

1

2�

Z �

��

��u �reit�� dt = u (0) <1:

Por el Teorema 1.13, se sigue que existe � 2M (T ) tal que

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) � (Pr � �) (�)


para 0 � r < 1 y �� . Además, dado que u � 0 y Pr > 0, concluimos que

� � 0.

Nuestro siguiente objetivo es establecer resultados recíprocos para los Teoremas

1.10, 1.11 y 1.13. Con esto, habremos caracterizado a la clase de funciones armónicas en

el disco unitario que son integrales de Poisson de funciones en Lp (T ), con 1 < p � 1,o integrales de Poisson de medidas de Borel en M (T ). Para ello, introducimos el

siguiente concepto.

De�nición 1.16 Una identidad aproximada en el toro T = [��; �] es una familia defunciones ('�)�2I donde I es un conjunto dirigido y la familia satisface:

(i) Para cada � 2 I, se tiene 12�

R �� '� (t) dt = 1:

(ii) 9K > 0 tal que sup�2I

12�

R �� j'� (t)j dt � K <1:

(iii) 8 � 2 (0; �), se veri�caR

��jtj��j'� (t)j dt ! 0 cuando � �crece� en el conjunto

dirigido I.

Lema 1.17 La familia (Pr)0�r<1 es una identidad aproximada en T .

Demostración. Esencialmente, todo está hecho:

(i) En el Lema 1.9 probamos ya que para cada r 2 [0; 1), se veri�ca

1

2�

Z �

��Pr (t) dt = 1:

(ii) Por el mismo Lema 1.9, sabemos que Pr (t) > 0 8r 2 [0; 1). Por tanto,

sup0�r<1

1

2�

Z �

��jPr (t)j dt = sup

0�r<1

1

2�

Z �

��Pr (t) dt � 1 <1:

(iii) Y también por el Lema 1.9, sabemos que Pr (t)! 0 cuando r ! 1 uniformemente

en [��;��] [ [�; �] 8 � 2 (0; �). Así,

l��mr!1

Z��jtj��

jPr (t)j dt = l��mr!1

Z��jtj��

Pr (t) dt =

Z��jtj��

l��mr!1

Pr (t) dt = 0:


Teorema 1.18 Sea f 2 Lp (T ), con 1 � p � 1, y sea u la integral de Poisson de f ,esto es,

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt � (Pr � f) (�) ;

para 0 � r < 1 y �� . Entonces, u es armónica en el disco unitario D.

Además,

(a) si 1 � p <1 se tieneZ �

��

��u �reit��p dt � Z �

��jf (t)jp dt 8r 2 [0; 1) ;

(b) si p =1 se tiene

ju (z)j � kfk1 8z 2 D:

Demostración. Veamos que u es armónica en el disco D:

Consideremos primero el caso en que f toma sólo valores reales. Tenemos que

u�rei�

�=

1

2�

Z �

��

1Xk=�1

rjkjeik(��t)

!f (t) dt

=1X

k=�1

rjkjeik�

2�

Z �

��e�iktf (t) dt


�=

1Xk=�1

akrjkjeik�

donde

ak =1

2�

Z �

��e�iktf (t) dt = bf (k) 8k 2 Z:

En particular,

a0 =1

2�

Z �

��f (t) dt 2 R:

Luego,

u�rei�

�= a0 +

1Xk=1

akrkeik� +

1Xk=1

a�krke�ik�

= a0 +

1Xk=1

akrkeik� +

1Xk=1

akrkeik�

= Re

a0 + 2

1Xk=1

akrkeik�

!:

Esto muestra que, para z = rei�, se tiene

u (z) = Re

a0 + 2

1Xk=1

akzk

!


donde la función a0 + 2P1k=1 akz

k es holomorfa en D, ya que toda serie de potencias

es holomorfa en el interior de su círculo de convergencia ([17], p. 230).

Por el Teorema 1.4, concluimos que u es armónica.

Consideremos ahora el caso en que f toma valores en C, entonces

u�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t)Re f (t) dt+ i

1

2�

Z �

��Pr (� � t) Im f (t) dt

= v�rei�

�+ iw

�rei�

�donde

v�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t)Re f (t) dt y

w�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t) Im f (t) dt:

Dado que Re f (t) e Im f (t) son funciones reales, tenemos, por el caso anterior, que

v; w son armónicas. En consecuencia, u es armónica.

Pasemos, ahora, a la siguiente parte del teorema. Por hipótesis, tenemos

u�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt

=1

2�

Z �

��Pr (t) f(� � t)dt:

Luego:

(a) Si f 2 Lp (T ), con 1 � p < 1, entonces, por la desigualdad de Minkowski paraintegrales ([11], p. 194), tenemos u �rei��

p� 1

2�

Z �

��Pr (t) kf(� � t)kp dt

= kfkp1

2�

Z �

��Pr (t) dt

= kfkp :

(El punto � se usa para indicar a la variable con respecto a la cual se toma lanorma).

(b) Por otra parte, si f 2 L1 (T ), entonces��u�rei�� 1

2�

Z �

��Pr (t) jf(� � t)j dt

� kfk11

2�

Z �

��Pr (t) dt

= kfk1 :


Teorema 1.19 Sea � 2M (T ) y sea u la integral de Poisson de �, esto es,

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) � (Pr � �) (�) ;

para 0 � r < 1 y �� . Entonces, u es armónica en el disco unitario D yZ �

��

��u �reit�� dt � Z �

��d j�j (t) 8r 2 [0; 1) :

Demostración. La prueba es análoga a la del teorema anterior. Veamos que u es ar-

mónica en el disco D:

Consideremos primero el caso en que � toma sólo valores reales. Tenemos que

u�rei�

�=

1

2�

Z �

��

1Xk=�1

rjkjeik(��t)

!d� (t)

=

1Xk=�1

rjkjeik�

2�

Z �

��e�iktd� (t)


�=

1Xk=�1

akrjkjeik�

donde

ak =1

2�

Z �

��e�iktd� (t) 8k 2 Z:

En particular,

a0 =1

2�

Z �

��d� (t) 2 R:

Luego,

u�rei�

�= a0 +

1Xk=1

akrkeik� +

1Xk=1

a�krke�ik�

= a0 +1Xk=1

akrkeik� +

1Xk=1

akrkeik�

= Re

a0 + 2

1Xk=1

akrkeik�

!:

Por el mismo argumento de antes, concluimos que u es armónica.

Consideremos ahora el caso en que � toma valores en C, entonces

u�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d [Re� (t)] + i

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d [Im� (t)]

= v�rei�

�+ iw

�rei�

�


donde

v�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d [Re� (t)] y

w�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d [Im� (t)] :

Dado que Re� (t) e Im� (t) son medidas reales, tenemos, por el caso anterior, que

v; w son armónicas. En consecuencia, u es armónica.

Pasemos, ahora, a la siguiente parte del teorema. Por hipótesis, tenemos

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) :

Luego, por el Teorema de Fubini y por la propiedad (ii) del núcleo de Poisson

(Lema 1.9(ii)), tenemosZ �

��

��u�rei�� d� � 1

2�

Z �

��

�Z �

��Pr (� � t) d j�j (t)

�d�

=1

2�

Z �

��

�Z �

��Pr (� � t) d�

�d j�j (t) =

Z �

��d j�j (t) 8r 2 [0; 1) :

Examinaremos ahora el comportamiento frontera de las integrales de Poisson. Esto

nos permitirá resolver el problema clásico de Dirichlet en D y algunas variantes del

mismo por medio de integrales de Poisson. También adquiriremos una mejor noción

de cómo u determina a f en los Teoremas 1.10 y 1.11 o a � en el Teorema 1.13.

Teorema 1.20 Sea ('�)�2I una identidad aproximada en el toro T .

(a) Si f 2 Lp (T ), con 1 � p <1, entonces f � '� �! f en Lp (T ) :

(b) Si f 2 C (T ) entonces f � '� �! f uniformemente en T:

Demostración.

(a) Sea f 2 Lp (T ), con 1 � p < 1. Mostraremos que kf � '� � fkp ! 0 cuando �

crece en el conjunto dirigido I. Esto probará que

f � '� �! f en Lp (T ) :

Sea " > 0 y denotemos con � a la relación de orden que dirige al conjunto I. Pordemostrar que existe �0 2 I tal que kf � '� � fkp < " para todo � � �0.


Obsérvese que

(f � '�) (�)� f (�) =1

2�

Z �

��f (� � t)'� (t) dt�

1

2�

Z �

��f (�)'� (t) dt

=1

2�

Z �

��[f (� � t)� f (�)]'� (t) dt:

Tomando la norma k�kp y usando la desigualdad de Minkowski para integrales ([11],p. 194), obtenemos

kf � '� � fkp �1

2�

Z �

��kf (� � t)� fkp j'� (t)j dt: (1.12)

Bastará, entonces, probar que el miembro derecho de (1.12) puede hacerse tan

pequeño como se quiera.

Sabemos que ('�)�2I es una identidad aproximada en T , por tanto 9K > 0 tal

que

sup�2I

1

2�

Z �

��j'� (t)j dt � K <1:

Como f 2 Lp (T ) y el espacio C (T ) es denso en Lp (T ) ([22], teo. 3.14, p. 71),

existe g 2 C (T ) tal quekf � gkp <

"

8K:

Denotemos

gt (�) = g (� � t)� g (�) ; � 2 T:

Obsérvese que, por la continuidad de g,

gt ! 0 puntualmente, cuando t! 0:

Además, ��gt (�)�� 2 kgk1)

��gt (�)��p � 2p kgkp1 2 L1 (T ) :Por el Teorema de Convergencia Dominada ([11], pp. 54-55), se sigue que

l��mt!0

1

2�

Z �

��

��gt (�)��p = 1

2�

Z �

��l��mt!0

��gt (�)��p d� = 0:Así, gt

p! 0 cuando t! 0

y, por tanto, existe � 2 (0; �) su�cientemente pequeño tal que

si jtj < � entonces gt

p<

"

4K:


Luego,

kf (� � t)� fkp � kf (� � t)� g (� � t)kp + kg (� � t)� gkp + kg � fkp= 2 kf � gkp +

gt p< 2

� "

8K

�+

"

4K=

"

2K

si jtj < �.

Ahora, de�namos

I1 =1

2�

Zjtj��kf (� � t)� fkp j'�(t)j dt;

I2 =1

2�

Z�<jtj��

kf (� � t)� fkp j'�(t)j dt

de modo que la desigualdad (1.12) se expresa como

kf � '� � fkp � I1 + I2:

Obsérvese que

I1 <"

2K

1

2�

Z �

��j'� (t)j dt �

"

2K

�sup�2I

1

2�

Z �

��j'� (t)j dt

�="

2:

Por otra parte,

I2 �kfkp�

Z�<jtj��

j'� (t)j dt! 0

cuando � crece en el conjunto dirigido I, dado que ('�)�2I es una identidad aproxi-

mada en T . Por tanto, existe �0 2 I tal que

I2 = jI2j <"

2para todo � � �0:

En consecuencia,

kf � '� � fkp � I1 + I2 <"

2+"

2= " para todo � � �0:

Por lo tanto,

f � '� �! f en Lp (T ) :

(b) Supongamos ahora que f 2 C (T ). Por demostrar que f �'� �! f uniformemente

en T:

Sabemos que f es uniformemente continua en T = [��; �] por ser continua en uncompacto. Por consiguiente, dado " > 0 existe � > 0 tal que

si ju� vj < � entonces jf (u)� f (v)j < "

2K;


donde, de nuevo,

K � sup�2I

1

2�

Z �

��j'� (t)j dt <1:

Obsérvese que

j(f � '�) (�)� f (�)j �1

2�

Z �

��jf (� � t)� f (�)j j'� (t)j dt:

De manera similar al inciso anterior, de�namos

I1 =1

2�

Zjtj��jf (� � t)� f (�)j j'� (t)j dt;

I2 =1

2�

Z�<jtj��

jf (� � t)� f (�)j j'� (t)j dt

de modo que

j(f � '�) (�)� f (�)j � I1 + I2:

Pero,

I1 <"

2K

1

2�

Zjtj��j'� (t)j dt �

"

2

y, por otra parte,

I2 �kfk1�

Z�<jtj��

j'� (t)j dt! 0

cuando � crece en el conjunto dirigido I, dado que ('�)�2I es una identidad aproxi-

mada en T . Por tanto, existe �0 2 I tal que

I2 = jI2j <"

2para todo � � �0:

En consecuencia,

j(f � '�) (�)� f (�)j � I1 + I2 <"

2+"

2= " para todo � � �0

y esto vale para toda � 2 T . Por lo tanto,

f � '� �! f uniformemente en T:

Corolario 1.21 Sea f una función 2�-periódica en R y sea u = P (f), la integral de

Poisson de f .

(a) Si f 2 Lp (T ), con 1 � p <1, entonces

u�rei��!r!1

f en Lp (T ) :

(b) Si f 2 C (T ) entonces u�rei��!r!1

f uniformemente en T:

Demostración. El resultado se sigue de inmediato del teorema anterior ya que

u�rei�

�� (Pr � f) (�)

y (Pr)0�r<1 es una identidad aproximada en T , según vimos en el Lema 1.17.


1.2.2. Solución al problema clásico de Dirichlet en el disco unitario

El inciso (b) del Corolario 1.21 nos permite resolver el problema clásico de Dirichlet

en el disco: Dada una función continua f de�nida en @D = T (i.e., 2�-periódica en

R), hallar una función u de�nida en D que sea armónica en D, continua en D y tal

que uj@D = f .

Teorema 1.22 (Solución al problema clásico de Dirichlet en D) Sea u una fun-ción de�nida en D por

u =

(P (f) en D

f en @D(1.13)

es decir,

u�rei�

�=

((Pr � f) (�) si rei� 2 D

f (�) si r = 1:

Entonces u es una solución al problema clásico de Dirichlet en el disco, es decir,

u es armónica en D, continua en D y tal que uj@D = f .

(Más adelante veremos que esta solución es única).

Demostración. Claramente, u es armónica en D pues

�u = �(Pr � f) = �Pr � f = 0;

ya que el núcleo de Poisson es armónico en D. Además, uj@D = f , por de�nición. Sólo

falta ver que u es continua en @D = T .

Tomemos z0 = ei�0 2 @D. Entonces, para z = rei� 2 D se tiene

ju (z)� u (z0)j = ju (z)� f (�0)j

��u�rei�� f (�)��+ jf (�)� f (�0)j �! 0 cuando z ! z0

por el inciso (b) del Corolario 1.21 y por la continuidad de f en T . Así,

l��mz!z0

u (z) = u (z0)

y, por lo tanto, u es continua en @D.

Por brevedad, en lugar de la función (1.13), se dice que P (f) es la solución del

problema clásico de Dirichlet en el disco. Que la integral de Poisson de f es la única

solución al problema clásico de Dirichlet en el disco es un resultado que adelantamos

y que probaremos posteriormente con un carácter más general (ver Corolario 1.42).

No obstante el lector puede ensayar una prueba directa de la unicidad mostrando que

toda solución tiene necesariamente la misma serie de Fourier que la integral de Poisson

de f .

El problema de Dirichlet en versión Lp (T ) 27

1.2.3. El problema de Dirichlet en versión Lp (T )

Observación 1.23 El inciso (a) del Corolario 1.21 nos da también una solución auna �versión en Lp (T )�del problema de Dirichlet:

Dada una función f 2 Lp (T ), con 1 � p < 1, hallar una función u armónica enD tal que

u�rei��!r!1

f en Lp(T ):

De acuerdo con el Corolario 1.21(a), una solución es u = P (f).

Observación 1.24 Cabe decir, también, que u = P (f) es la única solución al pro-

blema de Dirichlet en versión Lp (T ), 1 < p < 1, con función frontera f , en el

siguiente sentido: si v es otra solución, entonces v = P (g) para alguna g 2 Lp (T ) talque g = f c.t.p.

Demostración. Supongamos que v es otra solución al problema de Dirichlet en versión

Lp(T ) con función frontera f . Entonces, v es armónica en D y tal que

v�rei��!r!1

f en Lp(T ): (1.14)

Para cada 0 � r < 1, consideremos la función vr (t) = v�reit�. De acuerdo con

(1.14), para " = 1 existe 0 < r0 < 1 tal que��kvrkp � kfkp�� kvr � fkp < 1 si r0 � r < 1:

Esto implica que

kvrkp < 1 + kfkp si r0 � r < 1:

Así,

supr0�r<1

1

2�

Z �

��

��v �reit��p dt <1:Por los mismos argumentos empleados en la demostración del Teorema 1.10, existe

una función g 2 Lp (T ) tal que v = P (g). Y, por el Corolario 1.21(a), se sigue que

v�rei��!r!1

g en Lp (T ) : (1.15)

De (1.14) y (1.15) se concluye que g = f c.t.p.

Un resultado análogo al Teorema 1.20 es el siguiente:

Teorema 1.25 Sea ('�)�2I una identidad aproximada en el toro T .

(a) Si f 2 L1 (T ) entonces f � '� �! f en la topología débil-� de L1 (T ) :

(b) Si � 2M (T ) entonces � � '� �! � en la topología débil-� de M (T ) :


Demostración.

(a) Sea f 2 L1 (T ).

Veamos primero que, efectivamente, f � '� 2 L1 (T ) 8� 2 I.

Como ('�)�2I es una identidad aproximada en T , sabemos que 9K > 0 tal

que

sup�2I

1

2�

Z �

��j'� (t)j dt � K <1:

Luego, 8� 2 I

j(f � '�) (�)j �1

2�

Z �

��jf (� � t)j j'� (t)j dt

� kfk11

2�

Z �

��j'� (t)j dt � K kfk1 <1;

de modo que, en efecto, f � '� 2 L1 (T ) 8� 2 I.

Ahora probaremos que f �'� �! f en la topología débil-� de L1 (T ). ComoL1 (T ) = L1(T )�, debemos mostrar que

1

2�

Z �

��(f � '�) (�) (�) d� �!

1

2�

Z �

��f (�) (�) d� 8 2 L1 (T ) : (1.16)

Por el Teorema de Fubini, tenemos

1

2�

Z �

��(f � '�) (�) (�) d� =

1

2�

Z �

��

�1

2�

Z �

��f (t)'� (� � t) dt

� (�) d�

=1

2�

Z �

��

�1

2�

Z �

��'� (� � t) (�) d�

�f (t) dt

=1

2�

Z �

��(e'� � ) (t) f (t) dt:

Así, �� 12�Z �

��(f � '�) (�) (�) d� �

1

2�

Z �

��f (�) (�) d�

��=

�� 12�Z �

��( � e'�) (t) f (t) dt� 1

2�

Z �

��f (t) (t) dt

�� 1

2�

Z �

��j( � e'�) (t)� (t)j jf (t)j dt

� kfk11

2�

Z �

��j( � e'�) (t)� (t)j dt

= k � e'� � k1 kfk1 :

El problema de Dirichlet en versión Lp (T ) 29

Pero, por el Teorema 1.20(a), sabemos que 8 2 L1 (T )

k � e'� � k1 ! 0

cuando � crece en el conjunto dirigido I. Por tanto,�� 12�Z �

��(f � '�) (�) (�) d� �

1

2�

Z �

��f (�) (�) d�

�� ! 0

cuando � crece en el conjunto dirigido I, lo cual prueba (1.16).

(b) La segunda parte del teorema es similar. Sea � 2M (T ). Observemos que, 8� 2 I,

1

2�

Z �

��j(� � '�) (�)j d� �

1

2�

Z �

��

�1

2�

Z �

��j'� (� � t)j d j�j (t)

�d�

� k'�k11

2�

Z �

��

�1

2�

Z �

��d�

�d j�j (t)

= k'�k11

2�

Z �

��d j�j (t) = k'�k1 k�k <1;

de modo que � � '� 2 L1 (Rn) ,!M (T ) 8� 2 I.

ComoM (T ) = C (T )�, para probar que ��'� �! � en la topología débil-�de M (T ), debemos mostrar que

1

2�

Z �

��g (�) (� � '�) (�) d� �!

1

2�

Z �

��g (�) d� (�) 8 g 2 C (T ) : (1.17)

Por el Teorema de Fubini, tenemos

1

2�

Z �

��g (�) (� � '�) (�) d� =

1

2�

Z �

��g (�)

�1

2�

Z �

��'� (� � t) d�(t)

�d�

=1

2�

Z �

��

�1

2�

Z �

��g (�)'� (� � t) d�

�d�(t)

=1

2�

Z �

��(e'� � g) (t)d�(t):

Así, �� 12�Z �

��g (�) (� � '�) (�) d� �

1

2�

Z �

��g (�) d� (�)

��=

�� 12�Z �

��(e'� � g) (t)d�(t)� 1

2�

Z �

��g(t)d�(t)

�� 1

2�

Z �

��j(g � e'�) (t)� g(t)j d j�j (t) �! 0

cuando � crece en el conjunto dirigido I, ya que

g � e'� ! g


uniformemente en T , de acuerdo con el Teorema 1.20(b). Por tanto,�� 12�Z �

��(f � '�) (�) (�) d� �

1

2�

Z �

��f (�) (�) d�

�� ! 0

cuando � crece en el conjunto dirigido I, lo cual prueba (1.17).

Corolario 1.26 .

(a) Si f 2 L1 (T ) y u = P (f), entonces u�rei��!r!1

f en la topología débil-� deL1 (T ) :

(b) Si � 2 M (T ) y u = P (�), entonces u�rei��!r!1

� en la topología débil-� deM (T ) :

Demostración. El resultado se sigue de inmediato del teorema anterior ya que

u�rei�

�� (Pr � f) (�)

y (Pr)0�r<1 es una identidad aproximada en T , según vimos en el Lema 1.17.

1.2.4. Convergencia no tangencial y comportamiento frontera de in-tegrales de Poisson

Vamos ahora a estudiar el comportamiento puntual de integrales de Poisson para

puntos en la frontera deD. Para tal efecto, es conveniente introducir la siguiente noción

de límite.

De�nición 1.27 Sea u una función de�nida en D y sea z0 = ei�0 2 @D = T . Diremos

que u tiene límite no tangencial L en z0 2 T si para cada c > 0 tenemos que u (z)! L

cuando z ! z0 estando siempre z = rei� dentro de la región

c (z0) =nrei� : j� � �0j < c (1� r)

o:

Denotaremos esto escribiendo

l��mzN:T:�!z0

u (z) = L

o bien,

u (z) �! L cuando z N:T:�! z0:

Convergencia no tangencial y comportamiento frontera... 31

Figura 1.2: c(z0), región de aproximación no tangencial a z0

Se usa el término �no tangencial�porque ninguna curva en c (z0) que se aproxime

a z0 puede ser tangente a @D.

Dada � 2M (T ), resultará también conveniente considerar la función

F (�) =

Z �

0d� (t) ;

la cual es de variación acotada en T . En efecto, si

�0 = �� < �1 < �2 < � � � < �m = �;

entonces, para 1 � k � m, tenemos

jF (�k)� F (�k�1)j =

��Z �k

0d� (t)�

Z �k�1

0d� (t)

�� =��Z �k

�k�1

d� (t)

��

Z �k

�k�1

d j�j (t) = j�j [�k�1; �k) :

Luego,

mXk=1

jF (�k)� F (�k�1)j �mXk=1

j�j [�k�1; �k) � j�j [0; 2�] <1 8m 2 N:

En consecuencia, F es de variación acotada.

Teorema 1.28 Sea � 2M (T ) y sea F (�) =R �0 d� (t). (Se sabe que F es una función

de variación acotada en T y, por tanto, F 0 (�) existe y es �nita para casi toda �, pues

todas las funciones de variación acotada tienen esta propiedad). Sea �0 uno de los

puntos donde F 0 (�0) existe y es �nita. Sea u = P (�) y sea z0 = ei�0. Entonces,

l��mzN:T:�!z0

u (z) = F 0 (�0) :


Demostración. La prueba se basa en integración por partes. Para simpli�car la no-

tación, podemos asumir que �0 = 0 (i.e., z0 = ei0 = 1).

Podemos suponer también, sin pérdida de generalidad, que F 0 (0) = 0. Por demostrar

que, en tal caso,

u�rei�

��! F 0(0) = 0 cuando rei� N:T:�! 1 = ei0: (1.18)

[Si probamos (1.18), entonces para el caso general bastará considerar la medida

d� (t) = d� (t)� F 0 (0) dt y la función U = P (�). En efecto, si de�nimos

G (�) =

Z �

0d� (t) =

Z �

0d� (t)�

Z �

0F 0 (0) dt

= F (�)�Z �

0F 0 (0) dt = F (�)� F 0 (0) �;

entonces

G0 (�) = F 0 (�)� F 0 (0) :

Así,

G0 (0) = 0:

Por (1.18) tendremos

U�rei�

��! 0 cuando rei� N:T:�! 1;

es decir,1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) �! 0 cuando rei� N:T:�! 1:

Pero,

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) =

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t)�

1

2�

Z �

��Pr (� � t)F 0 (0) dt

=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t)� F 0 (0) :

En consecuencia,

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) �! F 0 (0) cuando rei� N:T:�! 1;

i.e.,

u (z) �! F 0 (0) cuando z N:T:�! z0. ]

Sea c > 0. Para probar (1.18), debemos hacer u�rei�

�pequeño en módulo si

j�j < c (1� r) con r cerca de 1.


Sea " > 0. Sabemos que

0 = F 0 (0) = l��mt!0

F (t)� F (0)t

= l��mt!0

F (t)

t;

por tanto, existe � > 0 tal que

jF (t)j < " jtj si jtj < �: (1.19)

Restrinjamos nuestra atención a las r�s próximas a 1 tales que

c (1� r) < �

4

con rei� en la región de aproximación c (z0) =�rei� : j�j < c (1� r)

. Entonces,

j�j < �

4:

Luego,

u�rei�

�=

1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t)

=1

2�

Z�<jtj��

Pr (� � t) d� (t) +1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) = I1 + I2:

Ahora, obsérvese que

jI1j �1

2�

Z�<jtj��

Pr (� � t) d j�j (t) � sup�2<jtj��

Pr (t)1

2�

Z �

��d j�j (t)

= sup�2<jtj��

Pr (t) j�j ([��; �]) �!r!1

0

ya que Pr (t) �!r!1

0 uniformemente en��;� �2

�[��2 ; ��, según vimos en el Lema

1.9(iii).

Por consiguiente, sólo tenemos que preocuparnos por el término

I2 =1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) =

1

2�

Z �

��

1� r21 + r2 � 2r cos (� � t)d� (t) :

Integrando por partes, con

w =1� r2

1 + r2 � 2r cos (� � t) ; dv = d� (t) ;

dw =

�r2 � 1

�(2rsen (t� �))

(1 + r2 � 2r cos (� � t))2dt ; v = F (t) ;


tenemos

I2 =1

2�Pr (� � t)F (t)

�� + 1

�

Z �

��

�1� r2

�rsen (t� �)

(1 + r2 � 2r cos (� � t))2F (t) dt = A+B:

Pero,

jAj =

�� 12�Pr (� � t)F (t)��

�� = 1

2�jPr (� � �)F (�)� Pr (� + �)F (��)j

� 1

2�supjtj��jF (t)j (Pr (� � �) + Pr (� + �))

� 1

�

supjtj��jF (t)j

!0@ sup�2<jtj��

Pr (t)

1A �!r!1

0

ya que F es de variación acotada en T = [��; �] y Pr (t) �!r!1

0 uniformemente en��;� �2

�[��2 ; ��(de nuevo Lema 1.9(iii)).

En consecuencia, sólo necesitamos ocuparnos del término

B =1

�

Z �

��

�1� r2

�rsen (t� �)

(1 + r2 � 2r cos (� � t))2F (t) dt:

Asumamos, sin pérdida de generalidad, que � > 0. Entonces,

B =1

�

�Z 0

��+

Z 2�

0+

Z �

2�

� �1� r2

�rsen (t� �)

(1 + r2 � 2r cos (� � t))2F (t) dt = C +D + E:

Mostraremos que cada uno de estos términos tiende a 0 cuando r tiende a 1.

Por (1.19), para �� t � 0, tenemos

jF (t)j < " jtj = " (�t) < " (� � t) :

Así,

jCj � 1

�

Z 0

��

�1� r2

�r jsen (t� �)j

(1 + r2 � 2r cos (� � t))2jF (t)j dt

� 1

�

�1� r2

� Z 0

��

r jsen (t� �)j(1 + r2 � 2r cos (� � t))2

" (� � t) dt

� "

�

�1� r2

� Z �+�

�

r j�sensj(1 + r2 � 2r cos s)2

sds

� "

�

�1� r2

� Z �

0

rsent

(1 + r2 � 2r cos t)2tdt: (1.20)

Integrando otra vez por partes, con

w = t ; dv =r (sent)

(1 + r2 � 2r cos t)2dt ;

dw = dt ; v = �12

1

1 + r2 � 2r cos t ;


obtenemos

jCj � � "

2�

�1� r2

�t

1 + r2 � 2r cos t

��0+

"

2�

Z �

0

1� r21 + r2 � 2r cos tdt

= � "

2

�1� r2

�(1 + r)2

+"

2�

Z �

0Pr (t) dt

<"

2�

Z �

��Pr (t) dt = ":

Por otro lado, si 0 � t � 2�, entonces

jF (t)j < " jtj = "t y j� � tj < �:

De manera que

jDj � 1

�

Z 2�

0

�1� r2


(1 + r2 � 2r cos (� � t))2jF (t)j dt

� 1

�

Z 2�

0

�1� r2

�r jt� �j

(1 + r2 � 2r cos (� � t))2"tdt

� 1

�

Z 2�

0

�1� r2

�r

(1 + r2 � 2r)2�"tdt

� 1

�

Z 2�

0

(1� r) (1 + r) r(1� r)4

�"tdt

<1

�

Z 2�

0

2

(1� r)3�" (2�) dt

=8�3"

� (1� r)3<8c3"

�

pues j�j < c (1� r).Finalmente, para 2� � t � �, tenemos

jF (t)j < "t � 2" (t� �) :

De modo que

jEj � 1

�

Z �

2�

�1� r2


(1 + r2 � 2r cos(� � t))2jF (t)j dt

� 1

�

�1� r2

� Z �

2�

rsen (t� �)(1 + r2 � 2r cos(� � t))2

2" (t� �) dt

� 1

�

�1� r2

� Z ��

�

rsens

(1 + r2 � 2r cos s)22"sds

� 2"

�

�1� r2

� Z �

0

rsent

(1 + r2 � 2r cos t)2tdt:


Y, procediendo como lo hicimos con la integral (1.20), obtenemos

jEj < 2":

Observación 1.29 En síntesis, el Teorema 1.28 nos dice que si � 2 M (T ), F (�) =R �0 d� (t) y u = P (�), entonces

l��mzN:T:�!ei�

u (z) = F 0 (�) para casi toda � 2 T: (1.21)

En particular, existen los límites radiales casi en todas partes:

l��mr!1

u�rei�

�= F 0 (�) para casi toda � 2 T:

Corolario 1.30 Si u es armónica en D y u = P (f) con f 2 Lp (T ), 1 � p � 1,entonces


u (z) = f (�) para casi toda � 2 T:

Demostración. Obsérvese que f 2 L1 (T ), pues Lp (T ) � L1 (T ) para todo 1 � p � 1([11] p.186, prop. 6.12). Consideremos la medida d� (t) = f (t) dt. Entonces

F (�) =

Z �

0d� (t) =

Z �

0f (t) dt

Por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue ([11], p. 98),

F 0 (�) = f (�)

y el resultado se sigue por (1.21).

Observación 1.31 Combinando este corolario con los Teoremas 1.10 y 1.11 vemosque:

(i) si u es una función armónica en el disco D tal que

sup0�r<1

1

2�

Z �

��

��u �reit��p dt <1 para algún 1 0 tal que

ju (z)j �M 8z 2 D; (1.23)

entonces existe f 2 L1 (T ) tal que u = P (f) y



Observación 1.32 Similarmente, combinando los Teoremas 1.13 y 1.28 vemos que:si u es una función armónica en el disco unitario D tal que

sup0�r<1

1

2�

Z �

��

��u �reit�� dt <1; (1.24)

entonces existe una medida de Borel � en T tal que u = P (�) y


u (z) = F 0 (�) para casi toda � 2 T;

con F (�) =R �0 d� (t).

Como un caso particular de lo anterior se obtiene el siguiente resultado clásico:

Corolario 1.33 (Teorema de Fatou) Si F es una función holomorfa y acotada en

D, entonces existe l��mzN:T:�!ei�

F (z) para casi toda � 2 T:

Demostración. Como F es holomorfa y acotada en D, entonces F es armónica en D

y acotada en D. De acuerdo con la Observación 1.31(ii), existe f 2 L1 (T ) tal queu = P (f) y



Cuando u es una función armónica en D que satisface la condición (1.22) o la

condición (1.23), sabemos que podemos recuperar a u a partir de su función frontera

f por medio de u = P (f). En cambio, si u satisface sólo la condición (1.24), entonces

no necesariamente se puede recuperar a u por medio de su valor frontera F 0. De

hecho, sabemos que u = P (�) para alguna � 2 M (T ), pero no podemos a�rmar que

u = P (F 0). Por ejemplo, para

u�reit�= Pr (t) =

1� r21 + r2 � 2r cos t

tenemos que u es armónica en D y

1

2�

Z �

��

��u �reit�� dt = 1

2�

Z �

��Pr (t) dt = 1;


de modo que u está uniformemente en L1 (T ) y, por tanto, satisface la condición (1.24).

Su función frontera es 0, pues Pr (t) ! 0 cuando r ! 1 para cada t 6= 0 en [��; �].Sin embargo, u > 0, así que no puede ser la integral de Poisson de 0, la cual es

idénticamente 0.

Notemos, por otra parte, que

u = P (�)

donde � = 2�� y � es la medida de Dirac en 0. En efecto,

P (�)�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) d� (t) =

Z �

��Pr (� � t) d� (t) = Pr (�) = u

�rei�

�y

F (t) =

Z t

0d� (t) = � (0) = 1:

Nuestro siguiente propósito es salirnos un poco del disco y explorar regiones más

generales. Lo notable hasta aquí es que con la solución del problema de Dirichlet en el

disco y con el uso de teoremas de Variable Compleja se puede dar solución al problema

de Dirichlet en dominios planos muy generales.

1.3. Algunos resultados sobre funciones armónicas en do-minios � Rn

Extenderemos nuestro estudio ahora a regiones más generales de Rn. Empezaremoscon un par de proposiciones muy sencillas.

Proposición 1.34 Si ' es armónica en � Rn y ' 2 C1 (), entonces @'@xj

es

armónica en , para cualquiera de las coordenadas xj de Rn.

Demostración. Sea 1 � j � n y denotemos

� = �j +@2

@x2j, donde �j =

nXi=1i6=j

@2

@x2i:

Por hipótesis,

�j'+@2

@x2j' = 0 en :

Esto implica que@

@xj

"�j'+

@2

@x2j'

#= 0 en

) �j

�@

@xj'

�+

@2

@x2j

�@

@xj'

�= 0 en ;

Algunos resultados sobre funciones armónicas en dominios � Rn 39

i.e.,

�

�@

@xj'

�= 0 en :

Proposición 1.35 Para n > 2, la función radial f (x) = jxj2�n es armónica enRnn f0g.

Demostración. Tenemos que

@f

@xj=

@

@xj

0@ nXj=1

x2j

1A 2�n2

= (2� n)xj

0@ nXj=1

x2j

1A�n2

y

@2f

@x2j= �n (2� n)x2j

0@ nXj=1

x2j

1A�n�22

+ (2� n)

0@ nXj=1

x2j

1A�n2

= �n (2� n)x2j jxj�n�2 + (2� n) jxj�n :

Luego,

�f =

nXj=1

@2f

@x2j= �n (2� n) jxj�n�2

nXj=1

x2j + (2� n) jxj�n

nXj=1

1

= �n (2� n) jxj�n + n (2� n) jxj�n

= 0

para x 6= 0.

De manera similar a como lo hicimos en el toro, introducimos el siguiente concepto:

De�nición 1.36 Una identidad aproximada en Rn es una familia de funciones ('�)�2Idonde I es un conjunto dirigido y la familia satisface:

(i) Para cada � 2 I, se tieneRRn '� (x) dx = 1:

(ii) 9K > 0 tal que sup�2I

RRn j'� (t)j dt � K <1:

(iii) 8 � > 0, se veri�caRjxj>� j'� (x)j dx! 0 cuando � �crece�en el conjunto dirigido

I.

A continuación veremos que las funciones armónicas están caracterizadas por una

importante propiedad. Se trata de la llamada propiedad del valor medio (PVM), la

cual es bien conocida en el caso de dimensión n = 2, por aplicación de los resultados

para funciones holomorfas de una variable compleja.


Teorema 1.37 (Propiedad del Valor Medio para Funciones Armónicas) Seau una función continua en un dominio � Rn. Entonces, u es armónica en , u

satisface la propiedad del valor medio en , esto es, para cada x0 2 y para cada

r > 0 tal que

Br (x0) = fx 2 Rn : jx� x0j � rg �

se tiene

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d� (1.25)

donde �n�1 = fx 2 Rn : jxj = 1g es la esfera unitaria en Rn, d� es la medida deLebesgue en �n�1 y j�n�1j =

R�n�1

d�:

Demostración.

()) Supongamos que u es armónica en . Sean x0 2 y r > 0 tal que

Br (x0) = fx 2 Rn : jx� x0j � rg � :

Por demostrar que se cumple (1.25). Como u es continua en el compacto Br (x0),

tenemos que u es acotada en Br (x0). Es decir, existe K > 0 tal que

ju (x)j � K si x 2 Br (x0)

o bien,

ju (x0 + ty)j � K si y 2 �n�1 , t 2 (0; r] :

Para cada t 2 (0; r] sea

f(t) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + t�) d�:

Como consecuencia del Teorema de Convergencia Dominada, tenemos que f es

diferenciable en (0; r] y se puede derivar bajo el signo de la integral (ver [11], teo. 2.27,

pp. 54-56). Así,

f 0(t) =1

j�n�1j

Z�n�1

0@ nXj=1

@u

@xj(x0 + t�) � �j

1A d�:

Por la regla de la cadena, para ' (t) = x0 + t�, se tiene

D (u � ') (t) = Du (' (t))D' (t) = Du (' (t))'0 (t) :

Entonces,

f 0(t) =1

j�n�1j

Z�n�1

D�u (x0 + t�) d�


donde D�u (x0 + t�) es la derivada direccional de u en la dirección del vector normal

exterior en el punto x0 + t�.

Tomando el cambio de variable x = x0 + t� obtenemos

f 0(t) =1

tn�1 j�n�1j

Z@Bt(x0)

D�u (x) d� (x)

donde @Bt (x0) es la frontera de la bola Bt (x0) y d� es la medida de Lebesgue natural

en @Bt (x0).

Ahora, recordemos que si F es un campo vectorial suave de�nido en una región R

y n es la normal unitaria exterior a @R, entonces el Teorema de la Divergencia nos

asegura que ZRdivFdV =

Z@RF � ndS:

En particular, cuando F = rg =�@g@x1

; @g@x2 ; : : : ;@g@xn

�, con g función escalar, se

tiene divF =nXj=1

@g@xj

= �g y entonces

ZR�gdV =

Z@R

@g

@ndS:

Usando este hecho, tenemos

f 0(t) =1

tn�1 j�n�1j

ZBt(x0)

�u (x) dx = 0;

ya que u es armónica en Bt (x0) � .Puesto que esto vale para toda t 2 (0; r], se sigue que f es constante en (0; r].Esto implica que

f (t) = f (r) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d� 8t 2 (0; r] :

Pero, por otro lado, por el Teorema de Convergencia Acotada,

l��mt!0

f (t) = l��mt!0

1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + t�) d�

=1

j�n�1j

Z�n�1

l��mt!0

u (x0 + t�) d�

=1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0) d� = u (x0) :

Por lo tanto, concluimos que

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d�:


(() Caso 1: Supongamos que u 2 C2 () y satisface la propiedad del valor medio en. Probaremos que u es armónica en procediendo por contradicción.

Supongamos que u no es armónica en . Entonces, 9x0 2 tal que

�u (x0) 6= 0:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que

�u (x0) > 0:

Por continuidad, debe existir un r > 0 tal que

�u (x) > 0 8x 2 Br (x0) :

Más aún, podemos elegir tal r de modo que

Br (x0) � :

De�namos

f(t) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + t�) d� 8t 2 (0; r] :

Es decir,

f(t) = u (x0) 8t 2 (0; r] ;

ya que, por hipótesis, u satisface la PVM. Así, f es constante en (0; r] y, por lo tanto,

f 0(t) = 0 8t 2 (0; r] :

Por otra parte, por el mismo argumento de antes, obtenemos

0 = f 0(t) =1

tn�1 j�n�1j

ZBt(x0)

�u (x) dx > 0 8t 2 (0; r] :

Esta contradicción prueba que u debe ser armónica en .

Caso general: Asumamos únicamente que u es continua en y satisface la PVM.Dado que el problema es local (es decir, requerimos mostrar que �u = 0 en una

vecindad de cada punto x0 2 ), podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que es un dominio acotado y que u es acotada en .

Sea � 2 C1c tal que sop� = B1 (0), � � 0,RRn � = 1 y � es radial (i.e., � (x) =

(jxj), con continua. Por ejemplo, basta considerar

� (x) =

(e� 1

1�jxj2 si jxj < 10 si jxj � 1


y si M =RRn � > 0, entonces tomamos � =

1M�).

De�namos

�" (x) = "�n��x"

�para " > 0:

Obsérvese que (�")">0 es una identidad aproximada en Rn. Mostraremos que lafunción u � �" veri�ca la propiedad del valor medio en

" = fx 2 : d(x; @) > "g

y como u � �" es de clase C1, entonces será armónica en ", por el Caso 1.

Sea x0 2 " y sea r > 0 tal que Br (x0) � ". Entonces,1

j�n�1j

Z�n�1

(u � �") (x0 + r�) d�

=1

j�n�1j

Z�n�1

ZRnu (x0 � y + r�)�" (y) dy d�

=

ZRn

"1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 � y + r�) d�#�" (y) dy (1.26)

por el Teorema de Fubini. Pero, como Br (x0 � y) � y u satisface la propiedad delvalor medio en , sabemos que

1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 � y + r�) d� = u (x0 � y) : (1.27)


1

j�n�1j

Z�n�1

(u � �") (x0 + r�) d� =ZRnu (x0 � y)�" (y) dy = (u � �") (x0) :

Esto muestra que u ��" veri�ca la PVM en " y, por el Caso 1, u ��" es armónicaen " para todo " > 0.

Para demostrar que u es armónica en , tomemos x 2 =S">0". Entonces, x 2 "

para algún " > 0. Luego,

(u � �") (x) =

ZRnu (x� y)�" (y) dy

=

Z 1

0rn�1

Z�n�1

u (x� r�)�" (r�) d�dr�en coordenadas

polares

�= "�n

Z 1

0rn�1

Z�n�1

u (x� r�)��r�"

�d�dr;

Pero, como � (x) = (jxj), se sigue que

(u � �") (x) = "�nZ 1

0rn�1

"Z�n�1

u (x� r�) d�# �r"

�dr

= "�nZ 1

0rn�1 j�n�1ju (x)

�r"

�dr;


ya que u satisface la PVM en . Así,

(u � �") (x) = u (x)

Z 1

0rn�1 j�n�1j "�n

�r"

�dr

= u (x)

Z 1

0rn�1 j�n�1j�" (r�) dr

= u (x)

Z 1

0rn�1

Z�n�1

�" (r�) d�dr

= u (x)

ZRn�" (y) dy

= u (x)

dado que (�")">0 es una identidad aproximada en Rn. Esto muestra que

u = u � �"

y, por tanto u es armónica en ". Concluimos entonces que u es armónica en una

vecindad de cada punto x 2 .

Observación 1.38 La propiedad del valor medio, tal como aparece en el teorema an-terior, es equivalente al siguiente hecho: para cada x0 2 y para cada r > 0 tal

que

Br (x0) = fx 2 Rn : jx� x0j � rg �

se tiene

u (x0) =1

jBr (x0)j

ZBr(x0)

u (x) dx: (1.28)

Demostración. Supongamos que para cada x0 2 y para cada r > 0 tal que

Br (x0) = fx 2 Rn : jx� x0j � rg �

se tiene

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d�:

Entonces, 8s 2 (0; r]

u (x0) sn�1 =

sn�1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + s�) d�

) u (x0)

Z r

0sn�1 ds =

1

j�n�1j

Z r

0sn�1

Z�n�1

u (x0 + s�) d�ds

) u (x0)rn

n=

1

j�n�1j

ZBr(x0)

u (x) dx

) u (x0) =n

rn j�n�1j

ZBr(x0)

u (x) dx =1

jBr (x0)j

ZBr(x0)

u (x) dx:


Recíprocamente, si

u (x0) =1

jBr (x0)j

ZBr(x0)

u (x) dx

entonces

u (x0) =n

rn j�n�1j

Z r

0sn�1

Z�n�1

u (x0 + s�) d�ds:

Derivando ambos miembros con respecto a r, obtenemos

0 =n

rn j�n�1jrn�1

Z�n�1

u (x0 + r�) d� �n2

rn+1 j�n�1j

Z r

0sn�1

Z�n�1

u (x0 + s�) d�ds

o, equivalentemente,

n

r j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d� =n2

rn+1 j�n�1j

ZBr(x0)

u (x) dx

=n2

rn+1 j�n�1jjBr (x0)ju (x0) :

Por tanto,

1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d� =n

rn j�n�1jjBr (x0)ju (x0) = u (x0) :

Una consecuencia de la propiedad del valor medio es el Principio del Máximo, que

se enuncia como sigue:

Corolario 1.39 (Principio del Máximo para Funciones Armónicas) Sea u unafunción armónica a valores reales de�nida en una región � Rn. Entonces u no puedealcanzar un máximo en a menos que u sea constante en .

Demostración. Supongamos que u sí alcanza un valor máximo en ; es decir, 9� 2 tal que

u (x) � u (�) � m 8x 2 : (1.29)

Sea

A = fx 2 : u (x) = mg :

Nótese que A es no vacío, pues � 2 A. Mostraremos que A es abierto.Sea x0 2 A, de modo que

u (x0) = m (1.30)

y sea r > 0 tal que

Br (x0) � :


A�rmamos que Br (x0) � A. Si no, entonces 9y 2 Br (x0) tal que y =2 A. Esto

implica que u (y) < m.

Como Br (x0) es un conjunto abierto y u es continua en , 9� > 0 su�cientementepequeño tal que

B� (y) � Br (x0) y u (z) < m 8z 2 B� (y) : (1.31)

Puesto que u es armónica en , se cumple la propiedad del valor medio. Así,

u (x0) =1

jBr (x0)j

ZBr(x0)

u (x) dx

=1

jBr (x0)j

"ZB�(y)

u (x) dx+

ZBr(x0)�B�(y)

u (x) dx

#:

De (1.29) y (1.31), se sigue que

u (x0) <1

jBr (x0)j

"ZB�(y)

mdx+

ZBr(x0)�B�(y)

mdx

#

=1

jBr (x0)j

ZBr(x0)

mdx

= m:

Esto muestra que u (x0) < m, lo cual contradice a (1.30). Por lo tanto, debe

satisfacerse la contención Br (x0) � A. Y, en consecuencia, A es abierto.Por otra parte, el conjunto

�A = fx 2 : u (x) < mg

también es abierto pues, por la continuidad de u, dado x 2 � A existe � > 0

su�cientemente pequeño tal que

u (z) < m 8z 2 B� (x)

y entonces B� (x) � �A.Como A es no vacío y es conexo, se sigue que � A debe ser necesariamente

vacío. Consecuentemente, A = . Y así, u es constante en .

Con una argumentación análoga se demuestra el Principio del Mínimo para fun-

ciones armónicas:

Corolario 1.40 (Principio del Mínimo para Funciones Armónicas) Sea u unafunción armónica a valores reales de�nida en una región � Rn. Entonces u no puedealcanzar un mínimo en a menos que u sea constante en .

El problema clásico de Dirichlet en bolas de Rn 47

He aquí una consecuencia inmediata de los Principios del Máximo y del Mínimo:

Corolario 1.41 Sea un dominio acotado en Rn y sea u : ! R tal que u es

armónica en y continua en . Entonces, u alcanza su valor máximo y su valor

mínimo en la frontera @ (y sólo en la frontera @ si u no es constante).

Demostración. Puesto que u es continua en el compacto , sabemos que u alcanza su

máximo y su mínimo en . Así, 9x0; x1 2 tales que

u (x0) � u (x) � u (x1) 8x 2 :

De acuerdo con los principios del máximo y del mínimo, si u no es constante en ,

entonces x0; x1 no pueden estar en . En tal caso, x0; x1 2 � = @.

En cambio, si u es constante en entonces, por continuidad, u es constante en la

cerradura . En tal caso,

u (x0) = u (x) = u (x1) 8x 2

y, obviamente, u alcanza su máximo y su mínimo en cada punto de . En particular,

u alcanza su máximo y su mínimo en la frontera @.

Como consecuencia de este resultado, establecemos la unicidad de la solución del

problema clásico de Dirichlet (si existe) en dominios acotados de Rn. Enunciamos estocomo sigue:

Corolario 1.42 Sea un dominio acotado en Rn y sean u; v funciones continuas

en la cerradura y armónicas en tales que u (x) = v (x) 8x 2 @. Entonces,

u (x) = v (x) 8x 2 :

Demostración. Podemos asumir que u y v son funciones con valores reales. Es claro

que la función u � v es continua en la cerradura y armónica en . Luego, por el

Corolario 1.41, tenemos que u � v alcanza su valor máximo y su valor mínimo en lafrontera @.

Pero, por hipótesis, u� v = 0 en @. Por lo tanto, u� v = 0 en todo .

1.4. El problema clásico de Dirichlet en bolas de Rn

1.4.1. El problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria

En esta sección resolveremos el problema de Dirichlet en la bola unitaria de Rn, esdecir dada una función continua sobre la esfera unitaria

�n�1 = fx 2 Rn : jxj = 1g ;


veremos cómo extenderla a una función continua en la bola cerrada

B1 (0) = fx 2 Rn : jxj � 1g

y armónica en su interior

B1 (0) = fx 2 Rn : jxj < 1g :

Por simplicidad, denotaremos B = B1 (0).

En la Sección 1.2.2 resolvimos ya este problema para el caso n = 2. Dada f 2 C (T ),la solución en D es la integral de Poisson de la función frontera f , i.e.,

u�rei�

�=1

2�

Z �

��Pr (� � t) f (t) dt

donde

Pr (� � t) =1� r2

1 + r2 � 2r cos (� � t) =1�

��rei��2jeit � rei�j2

es el núcleo de Poisson en el disco.

En el caso general (n � 2), veremos que se obtiene una solución análoga.

1.4.2. El núcleo de Poisson en la bola unitaria

De�nición 1.43 Para x 2 B y s 2 �n�1 la función de�nida por

P (x; s) =1� jxj2

jx� sjn

se llama núcleo de Poisson para la bola unitaria B = B1 (0) de Rn.

Veremos que, en general,

u (x) =1

j�n�1j

Z�n�1

P (x; s) f (s) ds

es la solución del problema de Dirichlet en B con función frontera f continua en �n�1.

Para tal efecto, vamos a probar algunas propiedades importantes que tiene el núcleo

de Poisson en B.

Lema 1.44 Sea s 2 �n�1 �ja. Entonces P (�; s) es armónico en Rnn fsg.(En particular, P (�; s) es armónico en B.)

Demostración. Observemos que

P (x; s) =1� jxj2

jx� sjn = � jx� sj2�n � 2

n� 2

nXj=1

sj@

@sj

�jx� sj2�n

�:

El núcleo de Poisson en la bola unitaria 49

En efecto, para cada j = 1; : : : ; n se tiene

@

@sj

�jx� sj2�n

�= (n� 2) jx� sj�n (xj � sj)

y entonces

� jx� sj2�n � 2

n� 2

nXj=1

sj@

@sj

�jx� sj2�n

�= � jx� sj2�n � 2 jx� sj�n

nXj=1

sj (xj � sj)

= jx� sj�n8<:� jx� sj2 � 2

nXj=1

�xjsj � s2j

�9=;= jx� sj�n

8<:�nXj=1

(xj � sj)2 � 2nXj=1

�xjsj � s2j

�9=;= jx� sj�n

8<:�nXj=1

x2j +

nXj=1

s2j

9=;= jx� sj�n

�1� jxj2

�= P (x; s) :

Ahora bien, como consecuencia de la Proposición 1.35, para n > 2, la función radial

jx� sj2�n es armónica en Rnn fsg respecto a x. Además, obsérvese que las parciales@@sj

y los factores sj no afectan la armonicidad. Por lo tanto, P (x; s) es armónico en

Rnn fsg respecto a x.

Lema 1.45 El núcleo de Poisson, P (x; s), tiene las siguientes propiedades:

(i) P (x; s) � 0 y dados a; b 2 �n�1 se veri�ca P (ra; b) = P (rb; a) 80 � r < 1.

(ii) 1j�n�1j

R�n�1

P (x; s) ds = 1 para cada x 2 B.

(iii) 8 � > 0, l��mr!1

Rjs�aj>� P (ra; s) ds = 0 8a 2 �n�1 (i.e., uniformemente en �n�1).

Demostración.

(i) De la de�nición, es claro que P (x; s) � 0. Por otra parte, si a; b 2 �n�1 y 0 � r < 1,entonces,

jra� bj2 =

nXj=1

(raj � bj)2 =nXj=1

�r2a2j � 2rajbj + b2j

�= r2 jaj2 � 2r (a � b) + jbj2 = r2 � 2r (a � b) + 1:


Análogamente,

jrb� aj2 = r2 � 2r (b � a) + 1:

Así,

jra� bj = jrb� aj :

Luego,

P (ra; b) =1� r2jra� bjn =

1� r2jrb� ajn = P (rb; a) :

(ii) Sea s 2 �n�1 y de�namos us (x) = P (x; s) para cada x 2 B. Por el Lema 1.44,sabemos que us es armónica en B.

Por la PVM, 80 < r < 1 se veri�ca

us (0) =1

j�n�1j

Z�n�1

us�0 + rx0

�dx0:

Pero, por de�nición,

us (0) = P (0; s) = 1:

Así, 80 < r < 1 se tiene

1 =1

j�n�1j

Z�n�1

us�rx0�dx0 =

1

j�n�1j

Z�n�1

P�rx0; s

�dx0:

Más aún, esto vale también para r = 0, pues 1j�n�1j

R�n�1

dx0 = j�n�1jj�n�1j = 1.

Y, usando la igualdad del inciso (i), se sigue que,

1

j�n�1j

Z�n�1

P�rs; x0

�dx0 = 1 8s 2 �n�1 y 80 � r < 1:

O equivalentemente,

1

j�n�1j

Z�n�1

P�x; x0

�dx0 = 1 8x 2 B:

(iii) Sea � > 0. Entonces, 80 � r < 1 y 8 a; s 2 �n�1 tales que

js� aj > �

se tiene

� < ja� sj � ja� raj+ jra� sj = 1� r + jra� sj

) � � 1 + r < jra� sj

) 1

jra� sj <1

� � 1 + r :

Solución al problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria 51

Luego,Zjs�aj>�

P (ra; s) ds =

Zjs�aj>�

1� r2jra� sjnds <

Zjs�aj>�

1� r2(� � 1 + r)nds

� 1� r2(� � 1 + r)n

Z�n�1

ds =1� r2

(� � 1 + r)n j�n�1j �!r!1 0

independientemente de a 2 �n�1. Es decir,Zjs�aj>�

P (ra; s) ds �!r!1

0 uniformemente en �n�1:

1.4.3. Solución al problema clásico de Dirichlet en la bola unitaria

Teorema 1.46 (Solución al problema clásico de Dirichlet en B = B1 (0)) Seaf continua en �n�1. Entonces, la función u de�nida en B como

u (x) =

(1

j�n�1jR�n�1

P (x; s) f (s) ds x 2 Bf (x) x 2 �n�1

es continua en B y armónica en B. Por lo tanto, es la solución al problema clásico de

Dirichlet en B con función frontera f .

Demostración. Veamos primero que u es armónica en B. Sean x0 2 B y r > 0 tales

que

Br (x0) � B:

Como P (�; s) es armónico en B (Lema 1.44), sabemos que P (�; s) debe satisfacerla PVM en B; así, para cada s 2 �n�1, tenemos

P (x0; s) =1

j�n�1j

Z�n�1

P (x0 + r�; s) d�:

Luego,

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

P (x0; s) f (s) ds

=1

j�n�1j

Z�n�1

1

j�n�1j

Z�n�1

P (x0 + r�; s) d�

!f (s) ds

=1

j�n�1j

Z�n�1

1

j�n�1j

Z�n�1

P (x0 + r�; s) f (s) ds

!d�

=1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d�:


Esto muestra que u cumple la PVM en B y, por lo tanto, u es armónica en B.

Para demostrar la continuidad de u en B, sólo falta probar que u es continua en

�n�1. Bastará mostrar que

u�rx0��!r!1

f�x0�8x0 2 �n�1: (1.32)

Sea M = j�n�1j (1 + 2 kfk1)�1 :

Veamos: como f es uniformemente continua en el compacto �n�1, dado " > 0

existe � > 0 tal que

si ja� bj < � entonces jf (a)� f (b)j < "

M

y, por la propiedad (iii) del núcleo de Poisson (Lema 1.45(iii)),Zjs�x0j��

P�rx0; s

�ds <

"

M

si r está su�cientemente cerca de 1.

Luego,

��u �rx0�� f �x0�� =��

1

j�n�1j

Z�n�1

P�rx0; s

�f (s) ds� f

�x0� 1

j�n�1j

Z�n�1

P (x; s) ds

��=

�� 1

j�n�1j

Z�n�1

P�rx0; s

� �f (s)� f

�x0��ds

�� 1

j�n�1j

Zjs�x0j<�

+

Zjs�x0j��

!P�rx0; s

� ��f (s)� f �x0�� ds<

1

j�n�1j

"

M

Zjs�x0j<�

P�rx0; s

�ds+ 2 kfk1

Zjs�x0j��

P�rx0; s

�ds

!

� 1

j�n�1j

"

M

Z�n�1

P�rx0; s

�ds+ 2 kfk1

"

M

!=

1

j�n�1j(1 + 2 kfk1)

"

M= "

si r está su�cientemente cerca de 1. Esto prueba (1.32).

Por brevedad, decimos que

u (x) =1

j�n�1j

Z�n�1

P (x; s) f (s) ds

es la solución al problema clásico de Dirichlet en B con función frontera f .

El problema clásico de Dirichlet en cualquier bola BR (x0) 53

1.4.4. El problema clásico de Dirichlet en cualquier bola BR (x0)

Si queremos resolver el problema clásico de Dirichlet en cualquier bola BR (x0) de

Rn con función frontera f , i.e., f continua en @BR (x0), todo lo que tenemos que haceres reducir el problema al caso de la bola unitaria, usando traslaciones y dilataciones.

Teorema 1.47 (Solución al problema clásico de Dirichlet en cualquier bola)Sea f continua en @BR (x0). Entonces, la función

u (x) =Rn�2

j�n�1j

Z�n�1

R2 � jx� x0j2

jx� x0 �Rsjnf (x0 +Rs) ds (1.33)

es la solución al problema clásico de Dirichlet en BR (x0) con función frontera f .

Demostración. Obsérvese que, para x 2 BR (x0), tenemos x = x0 +Rx0, con x0 2 B =

B1 (0). Consideremos la función

g�x0�= f

�x0 +Rx

0� para x0 2 B

y resolvamos el problema de Dirichlet en la bola unitaria con función frontera g.

Sabemos que la solución es

v�x0�=

1

j�n�1j

Z�n�1

P (x; s) g (s) ds:

Luego, la solución del problema de Dirichlet original en BR (x0) con función frontera

f viene dada por

u (x) = v

�x� x0R

�=

1

j�n�1j

Z�n�1

P

�x� x0R

; s

�f (x0 +Rs) ds

=Rn�2

j�n�1j

Z�n�1

R2 � jx� x0j2

jx� x0 �Rsjnf (x0 +Rs) ds:

Observación 1.48 Una consecuencia inmediata del Teorema 1.47 es la siguiente:Supongamos que u es una función armónica en BR (x0) y continua en BR (x0), de

modo que u es, en particular, continua en @BR (x0). Entonces,

u (x) =Rn�2

j�n�1j

Z�n�1

R2 � jx� x0j2

jx� x0 �Rsjnu (x0 +Rs) ds: (1.34)

(Nótese que u misma es la función frontera). Se dice que (1.34) es la representación

de Poisson para u en BR (x0).


El Teorema 1.47 nos permite probar el siguiente resultado, que nos será de gran

utilidad.

Teorema 1.49 Supongamos que u es una función continua en una región � Rn

y satisface la siguiente condición: para cada x0 2 , existe una sucesión de númerospositivos (rj)

1j=1 tal que rj # 0 (la sucesión puede depender del punto x0) y tal que,

para cada rj,

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + rjs) ds:

Entonces, u es armónica en .

(Nótese que ésta es una versión débil de la propiedad del valor medio.)

Demostración. Sea x0 2 y elijamos r > 0 tal que

Br (x0) � :

Sea v la solución al problema de Dirichlet en Br (x0) con función frontera u.

Mostraremos que u = v en Br (x0) y, como v es armónica en Br (x0), entonces u

también. Puesto que x0 es un punto arbitrario de , el teorema estará probado.

Supongamos que u� v > 0 para algún punto de Br (x0) y sea

m = m�axnu (x)� v (x) : x 2 Br (x0)

o> 0:

Dado que u� v = 0 en la frontera @Br (x0), entonces el conjunto

K =nx 2 Br (x0) : (u� v) (x) = m

oes un subconjunto compacto de Br (x0), pues K no puede cortar a @Br (x0).

Ahora bien, como la función

d (x) = jx� x0j para x 2 K

es una función continua en el compacto K, existe x1 2 K de distancia maximal a x0.

Consecuentemente, existe j 2 N de modo que Brj (x1) � Br (x0) y al menos la

mitad de la esfera @Brj (x1) no intersecta a K, debido a la maximalidad de la distancia

jx1 � x0j.Ahora, por hipótesis,

u (x1) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x1 + rjs) ds:

Además, v cumple la propiedad del valor medio en Brj (x1) por ser armónica en

Br (x0). Así,

v (x1) =1

j�n�1j

Z�n�1

v (x1 + rjs) ds:


Luego,

m = (u� v) (x1) =1

j�n�1j

Z�n�1

(u� v) (x1 + rjs) ds: (1.35)

Pero,

(u� v) (x1 + rjs) < m

en al menos la mitad de la esfera @Brj (x1). Por lo tanto,

1

j�n�1j

Z�n�1

(u� v) (x1 + rjs) ds < m1

j�n�1j

Z�n�1

ds = m;

lo cual contradice a (1.35).

Si suponemos que u � v < 0 para algún punto de Br (x0), procedemos de forma

análoga usando el mínimo en lugar del máximo y obtenemos de nuevo una contradic-

ción. Por lo tanto, concluimos que u = v en Br (x0).

Teorema 1.50 (Principio de Re�exión) Sea � Rn un dominio simétrico res-pecto al hiperplano xn = 0, i.e.,

(x1; x2; : : : ; xn) 2 , (x1; x2; : : : ;�xn) 2 :

Sea u una función continua en , armónica en

+ = f(x1; x2; : : : ; xn) 2 : xn > 0g

e impar en la variable xn, esto es,

u (x1; x2; : : : ;�xn) = �u (x1; x2; : : : ; xn) 8x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 :

Entonces, u es armónica en .

Demostración. Será su�ciente mostrar que u satisface la propiedad del valor medio en

la forma expuesta en el teorema previo.

Caso 1: Si x0 2 + entonces 8r > 0 tal que Br (x0) � + se tiene

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + rs) ds

ya que u es armónica en + por hipótesis y, por tanto, satisface la PVM en +.

Caso 2: Si x0 = (x1; x2; : : : ; xn) 2 � = f(x1; x2; : : : ; xn) 2 : xn < 0g, entonces(x1; x2; : : : ;�xn) 2 +.

Para cada y = (y1; y2; : : : ; yn) 2 , de�namos y0 = (y1; y2; : : : ;�yn) 2 .


Figura 1.3: Un dominio simétrico respecto al hiperplano xn = 0

Así, tenemos que x00 2 +. Luego, como en el Caso 1, 8r > 0 tal que

Br (x00) � + se tiene

u�x00�=

1

j�n�1j

Z�n�1

u�x00 + rs

�ds:

O, equivalentemente,8r > 0 tal que Br (x0) � � se tiene

�u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

(�u)�x0 + rs

0� ds0i.e.,

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u�x0 + rs

0� ds0:Caso 3: Si x0 = (x1; x2; : : : ; 0) entonces u (x0) = �u (x0). Por tanto,

u (x0) = 0:

Por otra parte, 8r > 0 tal que Br (x0) � , se tiene

1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + rs) ds = 0

debido a que el valor de u en un punto x y en su simétrico son opuestos aditivos,

de modo que el promedio en la esfera es cero. Entonces,

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + rs) ds:


En cualquier caso, tenemos que si x0 2 entonces

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + rs) ds

si r > 0 es su�cientemente pequeño.

Por lo tanto, es claro que 8x0 2 , podemos construir una sucesión de númerospositivos (rj)

1j=1 tal que rj # 0 y tal que, para cada rj ,

u (x0) =1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + rjs) ds:

Por el Teorema 1.49, concluimos que u es armónica en .

Como una última aplicación de la propiedad del valor medio, probaremos una

extensión del tradicional Teorema de Liouville.

Teorema 1.51 (Teorema de Liouville Extendido) Sea u una función armónicay acotada en Rn, entonces u es constante.

Demostración. Por hipótesis, 9M > 0 tal que ju (x)j �M 8x 2 Rn.Sean x1; x2 2 Rn y sea d = jx1 � x2j. Elijamos r > d � 0. Entonces, por la PVM

(como la vimos en la Observación 1.38, ecuación (1.28)),

ju (x1)� u (x2)j =

�� 1

jBr (x1)j

ZBr(x1)

u (x) dx� 1

jBr (x2)j

ZBr(x2)

u (x) dx

��=

n

rn j�n�1j

��ZBr(x1)

u (x) dx�ZBr(x2)

u (x) dx

��=

n

rn j�n�1j

��ZBr(x1)�Br(x2)

u (x) dx�ZBr(x2)�Br(x1)

u (x) dx

�� n

rn j�n�1j

ZBr(x1)�Br(x2)

ju (x)j dx+ZBr(x2)�Br(x1)

ju (x)j dx!

� nM

rn j�n�1j

ZBr(x1)�Br(x2)

dx+

ZBr(x2)�Br(x1)

dx

!

=nM

rn j�n�1j(jBr (x1)�Br (x2)j+ jBr (x2)�Br (x1)j)

=2nM

rn j�n�1jjBr (x1)�Br (x2)j : (1.36)

Ahora, observemos que

jBr (x1)�Br (x2)j = jBr (x1)j � jBr (x1) \Br (x2)j

=rn j�n�1j

n� jBr (x1) \Br (x2)j : (1.37)


Figura 1.4: La región sombreada corresponde a jBr (x1)�Br (x2)j+jBr (x2)�Br (x1)j

Pero, dado que r > d = jx1 � x2j � 0, tenemos

jBr (x1) \Br (x2)j � jBr�d (0)j =(r � d)n j�n�1j

n=sn j�n�1j

n(1.38)

donde s = r � d � r. De (1.37) y (1.38), obtenemos

jBr (x1)�Br (x2)j �rn j�n�1j

n� sn j�n�1j

n

=j�n�1jn

(rn � sn)

=j�n�1jn

(r � s)�rn�1 + rn�2s+ � � �+ rsn�2 + sn�1

�� j�n�1j

nd�rn�1 + rn�1 + � � �+ rn�1 + rn�1

�| {z }n veces

= j�n�1j drn�1: (1.39)

De (1.36) y (1.39) resulta

ju (x1)� u (x2)j �2nMd

r:

Tomando el límite cuando r !1, se sigue que

u (x1) = u (x2)

y concluimos que u es constante.

Capítulo 2

Funciones Armónicas en Rn+1+

Permíteme, Señor, ampliar mis horizontes

y encontrar la armonía entre sus bordes.

El problema de Dirichlet puede también formularse para dominios no acotados.

Consideremos el espacio euclideano Rn+1, cuyos puntos denotaremos por (x; t) conx = (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn y t 2 R. En este capítulo, plantearemos el problema clásicode Dirichlet para el semiespacio superior de Rn+1; es decir, nuestro dominio será

Rn+1+ =�(x; t) 2 Rn+1 : x 2 Rn; t > 0

cuya frontera es

@Rn+1+ =�(x; 0) 2 Rn+1 : x 2 Rn

�= Rn:El Problema Clásico de Dirichlet en Rn+1+ : Dada una función continua f

de�nida en @Rn+1+ = Rn, se busca una función u (x; t) de�nida en Rn+1+ que sea

armónica en Rn+1+ , continua en

Rn+1+ =�(x; t) 2 Rn+1 : x 2 Rn; t � 0

y tal que

u (x; 0) = f (x) 8x 2 Rn:

Obsérvese que, en caso de existir una solución al problema clásico de Dirichlet en

Rn+1+ , ésta no es única, pues si u (x; t) es una solución entonces v (x; t) = u (x; t) + t

también lo es. En efecto, es claro que � [u (x; t) + t] = 0 y, además, es evidente que

v (x; 0) = f (x) 8x 2 Rn y v es continua en Rn+1+ por ser suma de continuas.

Sin embargo, podremos asegurar la unicidad siempre que la solución sea acotada.

Para probar esto requerimos el siguiente teorema:

59

60 Funciones Armónicas en Rn+1+

Teorema 2.1 Sea u una función continua y acotada en Rn+1+ y armónica en Rn+1+ .

Supongamos que u (x; 0) = 0 8x 2 Rn. Entonces, u � 0.

Demostración. De�namos v : Rn+1 ! C tal que

v (x; t) =

(u (x; t) si t � 0�u (x; t) si t � 0:

Así, v es continua en Rn+1, armónica en Rn+1+ (pues v = u para t > 0) e impar en

la variable t. Por el Principio de Re�exión, se sigue que v es armónica en todo Rn+1.Además, v está acotada porque u lo está. El Teorema de Liouville Extendido nos

asegura entonces que v es constante en Rn+1 y, como v (x; 0) = 0 8x 2 Rn, se sigueque v � 0 en Rn+1.

En consecuencia, u � 0.

Corolario 2.2 (Unicidad para soluciones acotadas) Si u es una solución acota-da para el problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ con función frontera f , entonces u

es la única solución acotada.

Demostración. Supongamos que v es otra solución acotada para el mismo problema.

Entonces, la función u� v de�nida en Rn+1+ es armónica en Rn+1+ , continua y acotada

en Rn+1+ . Además, (u� v) (x; 0) = u (x; 0)� v (x; 0) = f (x)� f (x) = 0 8x 2 Rn.Por el Teorema 2.1, concluimos que u� v � 0. Es decir, u � v.

2.1. El núcleo de Poisson para Rn+1+

La teoría de funciones armónicas en Rn+1+ tiene características notablemente dis-

tintas a las estudiadas en el Capítulo 1. Si queremos encontrar una solución para el

problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ , de entrada, se advierte que tendremos que tra-

bajar con el siguiente hecho importante: el dominio Rn+1+ no es acotado y su frontera

@Rn+1+ no es compacta. Esto nos obliga a observar cuidadosamente el comportamiento

de la función frontera f en in�nito.

En el capítulo anterior, cuando estudiamos el problema de Dirichlet en dominios

acotados, no se requería esto. Más aún, contabamos con otra gran ventaja: la función

frontera era acotada. En efecto, dado que f era una función continua en la frontera

@ de alguna región acotada en Rn, iba implícito este rasgo importante de f , puestoda función continua de�nida en un compacto K es acotada en K.

Mucho nos ayudaría aquí que el comportamiento de f en in�nito fuese �bonda-

doso�. Así que, para empezar la búsqueda de una solución al problema clásico de

El núcleo de Poisson para Rn+1+ 61

Dirichlet en Rn+1+ , impondremos una fuerte condición a f : a saber, que f esté en la

clase C1c (Rn).En lo que sigue, procederemos formalmente: Asumiendo que el dato (la función

frontera) es una función en C1c (Rn), queremos encontrar una función u (x; t) de�nidaen Rn+1+ , continua en Rn+1+ tal que

�u (x; t) = 0 para x 2 Rn; t > 0

y tal que

u (x; 0) = f (x) 8x 2 Rn:

Expresemos

� =

nXj=1

@2

@x2j+@2

@t2= �x +

@2

@t2:

Entonces, lo que queremos es(�xu (x; t) +

@2

@t2u (x; t) = 0 para x 2 Rn; t > 0

u (x; 0) = f (x) 8x 2 Rn:(2.1)

Nuestra herramienta será ahora la transformada de Fourier en Rn, así como lasseries de Fourier nos sirvieron para el caso del disco. En (2.1), tomemos transformadas

de Fourier con respecto a la variable espacial x:(F (��u (�; t)) (�) + F

�@2

@t2u (�; t)

�(�) = 0

F (u (�; 0)) (�) = bf (�) : (2.2)

De�namos

h (�; t) = F (u (�; t)) (�)

y observemos que

F�@2

@t2u (�; t)

�(�) =

ZRn

@2

@t2u (x; t) e�2�i��xdx

=@2

@t2

ZRnu (x; t) e�2�i��xdx

=@2

@t2F (u (�; t)) (�)

=@2

@t2h (�; t) :

Entonces, (2.2) es lo mismo que(F (��u (�; t)) (�) + @2

@t2h (�; t) = 0

h (�; 0) = bf (�) : (2.3)


Ahora, como �x =nXj=1

@2

@x2j, aplicando la fórmula

F (@�g) (�) = (2�i�)� bg (�) ;([11] p. 249), tenemos que

F (��u (�; t)) (�) =

24 nXj=1

(2�i�)2

35F (u (�; t)) (�) = �4�2 j�j2 h (�; t) :Por tanto, (2.3) es lo mismo que(

�4�2 j�j2 h (�; t) + @2

@t2h (�; t) = 0

h (�; 0) = bf (�) : (2.4)

Para cada �, ésta es una simple ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea

con coe�cientes constantes, de segundo orden, cuya ecuación característica (ver, por

ejemplo, [27] pp. 133-136) es

am2 + bm+ c = 0

con a = 1; b = 0; c = �4�2 j�j2. Las raíces son: m1 = 2� j�j y m2 = �2� j�j, de modoque la solución general de (2.4) es

h (�; t) = c1e�2�j�jt + c2e

2�j�jt:

Como h (�; t) = F (u (�; t)) (�) 2 C0 (Rn) (ver Lema de Riemann-Lebesgue, [11],teo. 8.22(f), p. 249), buscamos una solución acotada. La única posibilidad es entonces

h (�; t) = c1e�2�j�jt:

Luego, la condición h (�; 0) = bf (�) implica queh (�; t) = bf (�) e�2�j�jt:

Pero, por de�nición, h (�; t) = F (u (�; t)) (�). Cabe esperar, por tanto, que la trans-formada de Fourier inversa de esta función sea la solución u (x; t) que andamos bus-

cando. Supongamos, pues, que

u (x; t) = F�1 (h (�; t)) (x) con h (�; t) = bf (�) e�2�j�jt:Entonces,

u (x; t) =

ZRnbf (�) e�2�j�jte2�i��xd�

=

ZRn

�ZRnf (y) e�2�i��ydy

�e�2�j�jte2�i��xd�

=

ZRn

�ZRne�2�i��(y�x)e�2�j�jtd�

�f (y) dy: (2.5)


De�namos

P (x) = F�e�2�j�j

�(x) (2.6)

y sea

Pt (x) = t�nP�xt

�:

Así,

Pt (y � x) = t�nP

�y � xt

�= t�nF

�e�2�j�j

��y � xt

�= t�ntnF

�e�2�j�j

�(y � x) = F

�e�2�j�j

�(y � x)

=

ZRne�2�j�jte�2�i��(y�x)d�: (2.7)


u (x; t) =

ZRnPt (y � x) f (y) dy =

ZRnPt (x� y) f (y) dy

ya que la transformada de Fourier de una función radial también es radial (ver [26],

p.135).

En conclusión, nuestro candidato a solución para el problema de Dirichlet en Rn+1+

con función frontera f 2 C1c (Rn) es

u (x; t) =

ZRnPt (x� y) f (y) dy = (Pt � f) (x)

donde Pt (x) = t�nP�xt

�, con P (x) = F

�e�2�j�j

�(x).

Para t > 0, a la función Pt : Rn ! R tal que


�donde P (x) = F

�e�2�j�j

�(x) para x 2 Rn

se le llama el núcleo de Poisson para el semiespacio superior Rn+1+ (o para Rn). Daremosla de�nición formal después de determinar explícitamente a P (x) = F

�e�2�j�j

�(x).

Para n = 1 es muy simple obtener P (x):

P (x) = F�e�2�j�j

�(x) =

Z 1

�1e�2�j�je�2�i�xd�

=

Z 0

�1e�2�(��)e�2�i�xd� +

Z 1

0e�2��e�2�i�xd�

=

Z 1

0e�2��e2�i�xd� +

Z 1

0e�2��e�2�i�xd�

=

Z 1

0e�2��(1�ix)d� +

Z 1

0e�2��(1+ix)d�


=

�1

�2� (1� ix)e�2��(1�ix)

�10

+

�1

�2� (1 + ix)e�2��(1+ix)

�10

=1

2� (1� ix) +1

2� (1 + ix)

=1

�

1

1 + x2:

En consecuencia, para n = 1,

Pt (x) = t�1P�xt

�=1

�

t�1

1 +�xt

�2 = 1

�

t

t2 + x2: (2.8)

La solución propuesta es, en este caso:

u (x; t) = (Pt � f) (x) =Z 1

�1Pt (x� y) f (y) dy =

1

�

Z 1

�1

t

t2 + (x� y)2f (y) dy:

Para el caso general (n � 1), el cálculo de P (x) = F�e�2�j�j

�(x) es algo más

complicado. Necesitamos considerar primero las siguientes identidades:

1

1 + t2=

Z 1

0e�(1+t

2)udu y (2.9)

e�� =2

�

Z 1

0

cos�t

1 + t2dt 8� > 0: (2.10)

La igualdad (2.9) es obvia, mientras que la identidad (2.10) se obtiene aplicando

el Teorema del Residuo ([17], pp. 280-285) a la función ei�z=�1 + z2

�.

Combinando estas ecuaciones, tenemos 8� > 0

e�� =2

�

Z 1

0cos�t

�Z 1

0e�ue�ut

2du

�dt

=2

�

Z 1

0e�u

�Z 1

0e�ut

2cos�tdt

�du

=2

�

Z 1

0e�u

�1

2

Z 1

�1e�ut

2ei�tdt

�du

=2

�

Z 1

0e�u

��

Z 1

�1e�4�

2us2e�2�i�sds

�du

=2

�

Z 1

0e�u

�1

2

r�

ue�

�2

4u

�du;

i.e.,

e�� =1p�

Z 1

0

e�upue�

�2

4u du 8� > 0: (2.11)


Usando la identidad (2.11) podemos ahora sí calcular P (x):

P (x) = F�e�2�j�j

�(x) =

ZRne�2�j�je�2�i��xd�

=

ZRn

�1p�

Z 1

0

e�upue�

4�2j�j24u du

�e�2�i��xd�

=1p�

Z 1

0

e�upu

�ZRne�

4�2j�j24u e�2�i��xd�

�du

=1p�

Z 1

0

e�upu

�ru

�

�n2

e�ujxj2

!du

=1

�n+12

Z 1

0e�uu

n�12 e�ujxj

2

du

=1

�n+12

1�1 + jxj2

�n+12

Z 1

0e�vv

n�12 dv

=��n+12

��n+12

1�1 + jxj2

�n+12

donde � es la famosa función gama de Euler, de�nida para z 2 C tal que Re z > 0,

por

� (z) =

Z 1

0tz�1e�tdt:

(En el Apéndice A, presentamos una breve nota sobre algunos hechos relevantes de

esta función.)

Así,

P (x) = cn1�

1 + jxj2�n+1

2

; x 2 Rn;

donde

cn =��n+12

��n+12

=2

j�nj

y �n es la frontera de la bola unitaria en Rn+1. Finalmente, tenemos


�= cn

t�n�1 +

��xt

��2�n+12 = cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

: (2.12)

[Nótese que para n = 1 la expresión (2.12) se reduce a la ecuación (2.8).]


Por lo tanto, en general, para n � 1 la solución propuesta es:

u (x; t) = (Pt � f) (x) =ZRnPt (x� y) f (y) dy

= cn

ZRn

t�t2 + jx� yj2

�n+12

f (y) dy:

De�nición 2.3 Para t > 0, la función Pt : Rn ! R tal que

Pt (x) = cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

donde

cn =��n+12

��n+12

=2

j�nj

se llama núcleo de Poisson para el semiespacio superior Rn+1+ (o para Rn).

De�nición 2.4 Dada f 2 C1c (Rn), diremos que la convolución

(Pt � f) (x) =ZRnPt (x� y) f (y) dy

con t > 0 y x 2 Rn, es la integral de Poisson de f o la representación de Poisson def , y la denotaremos P (f).

Más adelante probaremos que, en efecto, u = P (f) es una solución al proble-

ma clásico de Dirichlet en Rn+1+ y extenderemos a Rn+1+ los teoremas tipo Fatou que

demostramos para el disco. Necesitamos probar primero algunas propiedades impor-

tantes que tiene el núcleo de Poisson.

Lema 2.5 El núcleo de Poisson, Pt (x), tiene las siguientes propiedades:

(i) Para cada t > 0, Pt (x) 2 C0 (Rn), es positivo y es radial.

(ii) Para cada t > 0, se veri�caRRn Pt (x) dx = 1:

(iii) 8 � > 0, Pt (x)! 0 cuando t! 0 uniformemente en fx 2 Rn : jxj � �g.

(iv) 8 � > 0, se veri�caRjxj>� Pt (x) dx! 0 cuando t! 0.

Demostración.

(i) Claramente, para cada t > 0,

Pt (x) = cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

> 0 (2.13)


pues

cn =��n+12

��n+12

=2

j�nj> 0

y, como el denominador en (2.13) no se anula, Pt (x) es una función continua en Rn.Además, es claro que Pt (x) se va a cero en in�nito y es una función radial.

(ii) Para cada t > 0, tenemosZRnPt (x) dx =

ZRnt�1P

�xt

�dx =

ZRnP (u) du

= cn

ZRn

1�1 + juj2

�n+12

du

= cn

Z 1

0rn�1

Z�n�1

1

(1 + r2)n+12

d�dr�en coordenadas

polares

�= cn j�n�1j

Z 1

0

rn�1

(1 + r2)n+12

dr: (2.14)

Aplicando la fórmula (A.2) del Apéndice A, vemos queZ 1

0

rn�1

(1 + r2)n+12

dr =��n2

��n+12 �

n2

�2��n+12

� =��n2

��12

�2��n+12

�=

p�

2

��n2

��n+12

� : (2.15)

Sustituyendo (2.15) en (2.14), obtenemosZRnPt (x) dx = cn j�n�1j

�12

2

��n2

��n+12

�!

y, aplicando la fórmula (A.1) del Apéndice A,ZRnPt (x) dx = cn

2�

n2

��n2

�! � 12

2

��n2

��n+12

�!

= cn�n+12

��n+12

� = 1:(iii) Sea � > 0. Para todo x 2 fx 2 Rn : jxj � �g, tenemos

0 � Pt (x) = cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

� cnt�

t2 + �2�n+1

2

� cnt

�n+1�!t!0

0:


(iv) Por el inciso anterior, sabemos que Pt (x) ! 0 cuando t ! 0 uniformemente en

fx 2 Rn : jxj � �g 8 � > 0. Así,

l��mt!0

Zjxj��

Pt (x) dx =

Zjxj��

l��mt!0

Pt (x) dx = 0:

Las propiedades del núcleo de Poisson, Pt (x), probadas en el Lema 2.5 demuestran,

de hecho, el siguiente resultado:

Lema 2.6 La familia (Pt)t>0 es una identidad aproximada en Rn.

Lema 2.7 La transformada de Fourier del núcleo de Poisson está dada por

bPt (�) = e�2�tj�j: (2.16)

Además, 8s; t > 0, se tiene

Ps+t (x) = (Ps � Pt) (x) : (2.17)

Demostración. Sabemos que


�donde, por de�nición,

P (�) = F�e�2�j�j

�(�) :

Usando la fórmula b�t (�) = b� (t�)(ver [11], teo. 8.22(b)), se sigue que

bPt (x) = bP (t�) = F hF �e�2�j�j�i (t�) = e�2�j�t�j = e�2�tj�j:

Para demostrar la fórmula (2.17), observemos que

bPs+t (�) = e�2�(s+t)j�j

= e�2�sj�je�2�tj�j

= bPs (�) bPt (�)= \Ps � Pt (�) :

Por lo tanto, bPs+t = \Ps � Pt y, en consecuencia, Ps+t = Ps � Pt.

Otra caracterítica valiosa de Pt (x) es la siguiente:


Lema 2.8 El núcleo de Poisson Pt (x), como función de (x; t), es armónico en Rn+1+ .

Demostración. Para n > 1, consideremos la función

' (x; t) =1�

t2 + jxj2�n�1

2

:

Obsérvese que

Pt (x) =�cnn� 1

@

@t' (x; t) :

En efecto,

�cnn� 1

@

@t

��t2 + jxj2

� 1�n2

�=

��cnn� 1

��1� n2

�(2t)

�t2 + jxj2

��n�12

= cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

= Pt (x) :

Pero,

' (x; t) =�t2 + jxj2

� 1�n2= j(x; t)j1�n ;

es decir, ' (x; t) es la función radial

' (x; t) = j(x; t)j2�(n+1) :

De acuerdo con la Proposición 1.35, ' (x; t) es armónica en Rn+1n f0g. Y, porla Proposición 1.34, se sigue que @

@t' (x; t) es armónica en Rn+1n f0g. Por lo tanto,

Pt (x) =�cnn�1

@@t' (x; t) es armónica en R

n+1+ .

En el caso n = 1, sabemos que

Pt (x) =1

�

t

t2 + x2

y, entonces,

Pt (x) =1

2�

@

@tlog�t2 + x2

�=1

�

@

@tlog j(x; t)j :

Pero, la función (x; t) = log j(x; t)j es armónica en R2n f0g. En efecto, un cálculodirecto muestra que

� =@2

@x2+@2

@t2=

t2 � x2

(t2 + x2)2+

x2 � t2

(t2 + x2)2= 0; con (x; t) 6= (0; 0) :

De nuevo por la Proposición 1.34, se sigue que Pt (x) es armónico en R2+.


Teorema 2.9 Sea f 2 Lp (Rn), con 1 � p � 1. Sea u = P (f), la integral de Poisson

de f , de�nida en Rn+1+ ; esto es,

u (x; t) = (Pt � f) (x) =ZRnPt (x� y) f (y) dy:

Entonces, u es armónica en Rn+1+ y, además:

(a) Si f 2 Lp (Rn), con 1 � p <1, entonces u (�; t) �!t!0

f en Lp (Rn) :

(b) Si f es uniformemente continua y acotada en Rn, entonces u (�; t) �!t!0

f uni-

formemente en Rn:

(c) Si f es continua en Rn, entonces u (�; t) �!t!0

f uniformemente en cada compacto

de Rn:

(d) Si f 2 L1 (Rn), entonces u (�; t) �!t!0

f en la topología débil-� de L1 (Rn) :

Demostración. La armonicidad de u se sigue de la armonicidad de Pt porque

�u (x; t) = � (Pt � f) (x) = (�Pt � f) (x) = 0:

Pasemos a lo demás:

(a) Sea f 2 Lp (Rn), con 1 � p < 1. Mostraremos que kPt � f � fkp ! 0 cuando

t! 0. Esto probará que u (�; t) �!t!0

f en Lp (Rn) :

Sea " > 0. Obsérvese que

(Pt � f) (x)� f (x) =

ZRnPt (y) f (x� y) dy � f (x)

ZRnPt (y) dy

=

ZRn[f (x� y)� f (x)]Pt (y) dy:

Tomando la norma k�kp y usando la desigualdad de Minkowski para inte-grales ([11], p. 194), obtenemos

kPt � f � fkp �ZRnkf (� � y)� fkp Pt (y) dy

=

ZRnk�yf � fkp Pt (y) dy

donde �y es el operador traslación de�nido por �yf (x) = f (x� y).

Como �y es continuo en la norma de Lp (Rn) (ver [11] p.238, prop. 8.5),tenemos que �yf ! f cuando y ! 0 en Lp (Rn). Es decir,

k�yf � fkp ! 0 cuando y ! 0:


Así, para el " dado, existe � > 0 tal que

k�yf � fkp <"

2si jyj < �:

Luego,

kPt � f � fkp �Zjyj<�

k�yf � fkp Pt (y) dy +Zjyj��

k�yf � fkp Pt (y) dy

<"

2

Zjyj<�

Pt (y) dy +

Zjyj��

kf (� � y)� fkp Pt (y) dy

� "

2

ZRnPt (y) dy + 2 kfkp

Zjyj��

Pt (y) dy

="

2+ 2 kfkp

Zjyj��

Pt (y) dy:

Pero, por el Lema 2.5,Zjyj��

Pt (y) dy ! 0 cuando t! 0;

por tanto, Zjyj��

Pt (y) dy <"

4 kfkppara t su�cientemente pequeño. En consecuencia,

kPt � f � fkp <"

2+"

2= "

para t su�cientemente pequeño. Por lo tanto,

u (�; t) = Pt � f �! f en Lp (Rn) :

(b) Sea f uniformemente continua y acotada en Rn. Entonces, dado " > 0 existe � > 0tal que

si ja� bj < � entonces jf (a)� f (b)j < "

2:

Obsérvese que, 8x 2 Rn,

j(Pt � f) (x)� f (x)j �ZRnjf (x� y)� f (x)jPt (y) dy = I1 + I2

donde

I1 =

Zjyj<�

jf (x� y)� f (x)jPt (y) dy <"

2

ZRnPt (y) dy =

"

2;

I2 =

Zjyj��

jf (x� y)� f (x)jPt (y) dy � 2 kfk1Zjyj��

Pt (y) dy �!t!0

0


de modo que

I2 = jI2j <"

2si t es su�cientemente pequeño:

Por lo tanto,

j(Pt � f) (x)� f (x)j � I1 + I2 <"

2+"

2= " si t es su�cientemente pequeño

y esto vale para toda x 2 Rn. Por conclusión, u (�; t) = Pt � f �!t!0

f uniforme-

mente en Rn:

(c) Si f es continua en Rn, entonces para todo compacto K se tiene que f es uni-

formemente continua y acotada en K. Luego, por el mismo argumento de (b), se

sigue que u (�; t) = Pt � f �!t!0

f uniformemente en K:

(d) Sea f 2 L1 (Rn). Obsérvese que, 8t > 0

j(Pt � f) (x)j �ZRnjf (x� y)jPt (y) dy

� kfk1ZRnPt (y) dy = kfk1 <1;

de modo que Pt � f 2 L1 (Rn) 8t > 0.

Como L1 (Rn) = L1(Rn)�, para probar que u (�; t) = Pt � f �!t!0

f en la

topología débil-� de L1 (Rn), debemos mostrar queZRn(Pt � f) (x)' (x) dx �!

t!0

ZRnf (x)' (x) dx 8' 2 L1 (Rn) : (2.18)

Sea, pues, ' 2 L1 (Rn). Por el Teorema de Fubini, tenemosZRn(Pt � f) (x)' (x) dx =

ZRn

�ZRnPt (x� y) f (y) dy

�' (x) dx

=

ZRn

�ZRnPt (y � x)' (x) dx

�f (y) dy

=

ZRn(Pt � ') (y) f (y) dy:

Así, ��ZRn(Pt � f) (x)' (x) dx�

ZRnf (x)' (x) dx

��=

��ZRn(Pt � ') (y) f (y) dy �

ZRnf (x)' (x) dx

��

ZRnj(Pt � ') (y)� ' (y)j jf (y)j dy

� kfk1ZRnj(Pt � ') (y)� ' (y)j dy

= kfk1 kPt � '� 'k1 ! 0 si t! 0


pues, por el inciso (a), sabemos que u (�; t) = Pt �' �!t!0

' en L1 (Rn). Por tanto,��ZRn(Pt � f) (x)' (x) dx�

ZRnf (x)' (x) dx

�� !t!0 0;lo cual prueba (2.18).

Considerando el espacio M (Rn) formado por las medidas de Borel �nitas en Rn

con la norma

k�k = j�j (Rn) =ZRnd j�j (x) <1;

establecemos un resultado análogo al del iniciso (d) del Teorema 2.9.

Teorema 2.10 Sea � 2 M (Rn), i.e., una medida de Borel �nita en Rn, y sea u =P (�), la integral de Poisson de �, de�nida en Rn+1+ , esto es,

u (x; t) = (Pt � �) (x) =ZRnPt (x� y) d� (y) :

Entonces, u es armónica en Rn+1+ y, además, u (�; t) �!t!0

� en la topología débil-�de M (Rn) :

Demostración. De nuevo, la armonicidad de u se sigue de la armonicidad de Pt porque

�u (x; t) = � (Pt � �) (x) = (�Pt � �) (x) = 0:

Por otra parte, obsérvese que 8t > 0ZRnj(Pt � �) (x)j dx �

ZRn

ZRnPt (x� y) d j�j (y) dx

= kPtk1ZRnd j�j (y) = j�j (Rn) = k�k <1;

de modo que Pt � � 2 L1 (Rn) ,! M (Rn) 8t > 0. Como M (Rn) = C0(Rn)� (ver [11]p. 223), para probar que u (�; t) = Pt � � �!

t!0� en la topología débil-� de M (Rn),

debemos mostrar queZRn(Pt � �) (x)' (x) dx �!

t!0

ZRn' (x) d� (x) 8' 2 C0(Rn): (2.19)

Sea, pues, ' 2 C0 (Rn). Por el Teorema de Fubini, tenemosZRn(Pt � �) (x)' (x) dx =

ZRn

�ZRnPt (x� y) d� (y)

�' (x) dx

=

ZRn

�ZRnPt (y � x)' (x) dx

�d� (y)

=

ZRn(Pt � ') (y) d� (y) :


Así, ��ZRn(Pt � �) (x)' (x) dx�

ZRn' (x) d� (x)

��=

��ZRn(Pt � ') (y) d� (y)�

ZRn' (y) d� (y)

��

ZRnj(Pt � ') (y)� ' (y)j d j�j (y) :

Pero, por el Teorema 2.9(b), sabemos que u (�; t) = Pt � ' �!t!0

' uniformemente

en Rn. Por tanto, dado " > 0, existe t su�cientemente pequeño tal que

j(Pt � ') (y)� ' (y)j <"

k�k :

En consecuencia,��ZRn(Pt � �) (x)' (x) dx�

ZRn' (x) d� (x)

�� < "

k�k

ZRnd j�j (y) = "

si t es su�cientemente pequeño, lo cual prueba (2.19).

2.2. Solución al problema clásico de Dirichlet en Rn+1+

El inciso (c) del Teorema 2.9 nos permite resolver el problema clásico de Dirichlet

en Rn+1+ , con función frontera f :

Teorema 2.11 (Solución al Problema Clásico de Dirichlet en Rn+1+ ) Sea f u-na función continua y acotada en Rn. Entonces, la función u (x; t) de�nida en Rn+1

por

u (x; t) =

((Pt � f) (x) si t > 0

f (x) si t = 0

es continua en Rn+1+ y armónica en Rn+1+ . Y, por lo tanto, es una solución al problema

clásico de Dirichlet en Rn+1+ , con función frontera f .

Demostración. Claramente, u es armónica en Rn+1+ pues

�u = �(Pt � f) = �Pt � f = 0;

ya que el núcleo de Poisson es armónico en Rn+1+ . Además, uj@Rn+1+= f , por de�nición.

Sólo falta ver que u es continua en @Rn+1+�= Rn, es decir, en los puntos de la forma

(x; 0), con x 2 Rn.

Solución al problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ 75

Tomemos (x0; 0) 2 @Rn+1+ . Mostraremos que

l��m(x;t)!(x0;0)

u (x; t) = u (x0; 0) :

Sea " > 0. Por la continuidad de f , existe � > 0 tal que

si ja� x0j < � entonces jf (a)� f (x0)j <"

2:

Tomemos x 2 Rn tal que jx� x0j < �:

Por el inciso (c) del Teorema 2.9, sabemos que u (�; t) �!t!0

f uniformemente en

cada compacto de Rn. En particular, u (�; t) �!t!0

f puntualmente. Por tanto, existe t

su�cientemente pequeño tal que

ju (x; t)� f (x)j < "

2:

Luego,

ju (x; t)� u (x0; 0)j = ju (x; t)� f (x0)j

� ju (x; t)� f (x)j+ jf (x)� f (x0)j

<"

2+"

2= "

siempre que t sea su�cientemente pequeño y que x esté su�cientemente cerca de x0(i.e., jx� x0j < �). Esto prueba que u (x; t) ! u (x0; 0) cuando (x; t) ! (x0; 0) y, por

lo tanto, u es continua en @Rn+1+ .

Recuérdese que la solución del problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ no es única,

pues si u (x; t) es una solución entonces v (x; t) = u (x; t) + t también es solución.

Proposición 2.12 Sea f 2 Lp (Rn), con 1 � p � 1. Sea u = P (f), la integral de

Poisson de f , de�nida en Rn+1+ ; esto es,


Entonces,

ku (�; t)kp � kfkp 8t > 0:

Demostración. Por hipótesis

u (x; t) = (Pt � f) (x) = (f � Pt) (x) =ZRnf (x� y)Pt (y) dy:

Si 1 � p < 1, entonces tomamos la norma k�kp y usamos la desigualdad deMinkowski para integrales ([11], p. 194), con lo cual obtenemos

ku (�; t)kp �ZRnkf (� � y)kp Pt (y) dy = kfkp

ZRnPt (y) dy = kfkp :


Para el caso p =1, observamos que

ju (x; t)j �ZRnjf (x� y)jPt (y) dy

� kfk1ZRnPt (y) dy = kfk1 :

Esto implica que

ku (�; t)k1 � kfk1 :

Observación 2.13 Nótese que, en particular, si f 2 L1 (Rn) entonces u = P (f) es

armónica en Rn (por el Teorema 2.9) y también acotada en Rn porque

ju (x; t)j � ku (�; t)k1 � kfk1 ;

por la Proposición 2.12.

Teorema 2.14 Sea u (x; t) una función continua y acotada en Rn+1+ y armónica en

Rn+1+ . Entonces, u debe ser necesariamente la integral de Poisson de su función fron-

tera x 7�! u (x; 0); esto es,

u (x; t) =

ZRnPt (x� y)u (y; 0) dy:

(Es decir, u es la representación de Poisson de su función frontera f = u (�; 0)).

Demostración. De�namos v (x; t) para (x; t) 2 Rn+1+ por

v (x; t) =

( RRn Pt (x� y)u (y; 0) dy si t > 0

u (x; 0) si t = 0:

Por el Teorema 2.11, tenemos que v (x; t) es continua en Rn+1+ y armónica en Rn+1+ .

Ahora, sea w = u � v, entonces w también es continua en Rn+1+ y armónica en

Rn+1+ , pues u y v lo son. Pero,

w (x; t) =

(u (x; 0)�

RRn Pt (x� y)u (y; 0) dy si t > 0

0 si t = 0:

Como w (x; 0) = 0 8x 2 Rn, el Teorema 2.1 nos asegura que w � 0 en Rn+1+ . Por

lo tanto,

u (x; t)�ZRnPt (x� y)u (y; 0) dy � 0:

Este teorema puede interpretarse de nuevo como la unicidad para soluciones aco-

tadas del problema clásico de Dirichlet en Rn+1+ con función frontera continua y aco-

tada, lo cual habíamos probado ya en el Corolario 2.2. Sin embargo, sabemos que, en

general, la solución no es única.

Funciones subarmónicas 77

2.3. Funciones subarmónicas

De�nición 2.15 Sea � Rn, abierto y sea u una función u : ! [�1;+1).Diremos que u es subarmónica en si se cumple lo siguiente:

(i) u es semicontinua superiormente en ;

(ii) 8x0 2 9r (x0) > 0 tal que Br(x0) (x0) � y 80 < r � r (x0) se veri�ca

u (x0) �1

j�n�1j

Z�n�1

u (x0 + r�) d�:

Que u sea semicontinua superiormente en signi�ca que

8� 2 R; fx 2 : u (x) < �g es abierto.

Puede verse que esto es equivalente a decir: 8x0 2 y 8" > 0 9 una vecindad Ude x0 tal que

u (x) < u (x0) + " 8x 2 U:

O equivalentemente: 8x0 2 se tiene

l��m supx!x0

u (x) � u (x0) :

También se puede hacer una de�nición análoga de semicontinuidad inferior.

Trivialmente, las funciones continuas son semicontinuas superiormente. Otros ejem-

plos son: �A si A es cerrado, y f = inf�2I

f� si cada f� es continua.

Observación 2.16 Si u es una función armónica, entonces u y juj son subarmónicas.Por otra parte, se puede demostrar que la condición (ii) de la De�nición 2.15 es

equivalente a:

(ii)� 8x0 2 9r (x0) > 0 tal que B0 � Br(x0) (x0) � y 80 < r � r (x0) se veri�ca

u (x0) �1

jB0j

ZB0

u (x) dx:

Con el propósito de caracterizar a las integrales de Poisson de funciones en Lp (Rn),1 < p � 1, o medidas en M (Rn), haremos algunas estimaciones básicas para lasfunciones armónicas y subarmónicas en Rn+1+ .

Teorema 2.17 Sea v (x; t) una función subarmónica y no negativa en Rn+1+ , la cual

está uniformemente en Lp (Rn), es decir, 9M > 0 tal que

supt>0

ZRnv (x; t)p dx =Mp <1;


para algún 1 � p <1. Entonces,

v (x; t) � CMt�np 8 (x; t) 2 Rn+1+ (2.20)

donde C es una constante que depende sólo de p y de n. En particular, v (x; t) está aco-

tada en cada sub-semiespacio propio S0 =�(x; t) 2 Rn+1+ : t � t0

donde t0 > 0: Más

aún, en cada sub-semiespacio propio S0, se cumple que v (x; t)! 0 cuando (x; t)!1.

Demostración. Sea (x0; t0) 2 Rn+1+ y sea B0 la bola (n+ 1)-dimensional B t02((x0; t0)).

Como v es subarmónica en Rn+1+ , tenemos que

v (x0; t0) �1

jB0j

ZB0

v (x; t) dxdt

��1

jB0j

ZB0

v (x; t)p dxdt

� 1p �

porque1�p<1

�(2.21)

=

"n+ 1

j�nj�t02

�n+1 ZB0

v (x; t)p dxdt

# 1p

=

�Cn

tn+10

ZB0

v (x; t)p dxdt

� 1p

donde Cn =(n+1)2n+1

j�nj . Pero,

B0 =

�(x; t) 2 Rn+1 : j(x; t)� (x0; t0)j <

t02

��

�x 2 Rn : jx� x0j <

t02

��t > 0 : jt� t0j <

t02

�:

Por tanto,

v (x0; t0) �"Cn

tn+10

Zjt�t0j< t0

2

Zjx�x0j< t0

2

v (x; t)p dxdt

# 1p

�"Cn

tn+10

Z 3t02

t02

Mpdt

# 1p

=C

tn+1p

0

"Z 3t02

t02

Mpdt

# 1p

=C

tn+1p

0

[Mpt0]1p = CMt

�np

0 8 (x0; t0) 2 Rn+1+

donde C es una constante que depende sólo de p y de n. Esto prueba (2.20).


Ahora bien, para t0 �jo se cumple

t�np � t

�np

0 siempre que t � t0:

Por lo tanto,

v (x; t) � CMt�np � CMt

�np

0

para todo (x; t) 2 Rn+1+ tal que t � t0 (i.e., 8 (x; t) 2 S0).Resta ver que v (x; t) ! 0 cuando (x; t) ! 1 en S0. Sea t0 > 0 �jo y sea " > 0.

Tomemos t1 > t0 su�cientemente grande, de modo que CMt�np

1 < ". Así,

si t � t1 entonces 0 � v (x; t) � CMt�np � CMt

�np

1 < ":

Ahora, tomemos (x; t) 2 Rn+1+ tal que jxj > t1 y t0 � t � t1. Procediendo como enla primera parte de la demostración, tendremos

v (x; t)p � C 0

tn+1p

"Z 3t2

t2

Zjy�xj< t

2

v (y; s)p dyds

#

� C 0

tn+1p

0

"Z 3t12

t02

Zjy�xj< t1

2

v (y; s)p dyds

#

� C 0

tn+1p

0

Z 3t12

t02

"Zjyj>jxj� t1

2

v (y; s)p dy

#ds

=C 0

tn+1p

0

Z 3t12

t02

F (x; s) ds

donde

F (x; s) =

Zjyj>jxj� t1

2

v (y; s)p dy �!jxj!1

0:

Además, sabemos que

F (x; s) =

Zjyj>jxj� t1

2

v (y; s)p dy �Mp:

Por el Teorema de Convergencia Dominada ([11], pp. 54-55), se sigue que

l��mjxj!1

Z 3t12

t02

F (x; s) ds =

Z 3t12

t02

l��mjxj!1

F (x; s) ds = 0:

Consecuentemente,

l��mjxj!1

v (x; t)p = 0:

Esto prueba que v (x; t)! 0 cuando (x; t)!1 en S0.


Deseamos ahora mostrar un resultado análogo al Teorema 2.17 pero para 0 < p <

1. No podemos usar el mismo argumento de la prueba presentada antes, ya que la

desigualdad (2.21) no es válida para p < 1. Veremos, sin embargo, que sí se puede

demostrar un resultado similar si agregamos la condición v (x; t) = ju (x; t)j con u

armónica y uniformemente en Lp (Rn), para p > 0. Para ello, requerimos el siguienteresultado:

Lema 2.18 Sea u armónica en una bola B de Rn+1 y continua en B. Si (x0; t0) es elcentro de la bola B, entonces

ju (x0; t0)jp �C

jBj

ZBju (x; t)jp dxdt (2.22)

para p > 0, donde C es una constante que depende sólo de p y de n.

Demostración. Por supuesto, ya sabemos que el lema vale para p � 1 con C = 1, porel Teorema 2.17. Analicemos el caso 0 < p < 1.

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que B es la bola unitaria centrada

en el origen. Si probamos el lema para este caso, entonces el caso general se resuelve

tomando v (x; t) = u (x0 +Rx; t0 +Rt) para (x; t) 2 B = B1 ((0; 0)). En efecto, pues

ju (x0; t0)jp = jv (0; 0)jp �C

jBj

ZBjv (x; t)jp dxdt � C

jBjRnZBR(x0;t0)

ju (x; t)jp dxdt

por el Teorema de Cambio de Variable ([23] pp. 186-187).

También podemos suponer sin pérdida de generalidad, que

1

jBj

ZBju (x; t)jp dxdt = 1

o, equivalentemente, ZBju (x; t)jp dxdt = jBj :

Si esto no ocurre, basta considerar

w (x; t) =jBj

1p�R

B ju (x; t)jp dxdt

� 1p

u (x; t) ;

pues ZBjw (x; t)jp dxdt = jBjR

B ju (x; t)jp dxdt

ZBju (x; t)jp dxdt = jBj :

Así que, será su�ciente demostrar que

ju (0; 0)jp � C (2.23)

para alguna constante C que depende sólo de p y de n.


Para 0 < r < 1 y 0 < p � 1 de�namos

mp (r) =

�1

j�nj

Z�n

ju (r�)jp d�� 1p

y sea

m1 (r) = supjxj2+t2=r2

ju (x; t)j :

Obsérvese que tampoco hay pérdida de generalidad en suponer m1 (r) � 1 8r 2(0; 1). En efecto, pues si existe r0 2 (0; 1) tal que m1 (r0) < 1, entonces, por el

Principio del Máximo

ju (0; 0)j � supjxj2+t2=r20

ju (x; t)j = m1 (r0) < 1

y (2.23) quedaría probada con C = 1.

Por de�nición,

m1 (r) =1

j�nj

Z�n

ju (r�)j d�

=1

j�nj

Z�n

ju (r�)jp ju (r�)j1�p d� (2.24)

� 1

j�nj

Z�n

ju (r�)jpm1 (r)1�p d�

= m1 (r)1�p 1

j�nj

Z�n

ju (r�)jp d� (2.25)

= mp (r)pm1 (r)

1�p : (2.26)

Para aligerar la notación, en el resto de la prueba denotaremos a los puntos (x; t) de

Rn+1 simplemente como x 2 Rn+1. En particular, al centro de la bola B lo denotaremospor x0 y al origen de Rn+1 por 0.

Consideremos la representación de Poisson para u en Br (0) (ver fórmula (1.34) en

la Observación 1.48), entonces

u (x) =rn�1

j�nj

Z�n

r2 � jxj2

jx� r�jn+1u (r�) d�:

Luego, para cada 0 < s < r y x 2 �n,

u (sx) =rn�1

j�nj

Z�n

r2 � s2

jsx� r�jn+1u (r�) d�

= rn�1 (r � s) (r + s) 1

j�nj

Z�n

u (r�)

jsx� r�jn+1d�:

Por consiguiente,

ju (sx)j � rn�1 (r � s) (r + s) 1

j�nj

Z�n

ju (r�)jjsx� r�jn+1

d�:


Pero,

jsx� r�jn+1 � (jr�j � jsxj)n+1 = (r � s)n+1 :

Por tanto,

ju (sx)j � rn�1 (r � s) (r + s)(r � s)n+1

1

j�nj

Z�n

ju (r�)j d�

� 2rn

(r � s)n1

j�nj

Z�n

ju (r�)j d�

= 2�1� s

r

��nm1 (r) :

De aquí se sigue que

m1 (s) = supjxj=sju (x)j � 2

�1� s

r

��nm1 (r)

y esto vale para toda 0 < s < r. En particular, para s = ra, con a > 1, obtenemos

m1 (ra) � 2

�1� ra�1

��nm1 (r) : (2.27)

Combinando (2.26) y (2.27), resulta

m1 (ra) � 2

�1� ra�1

��nmp (r)

pm1 (r)1�p :

Tomando logaritmos y multiplicando después por 1r , tenemos

logm1 (ra)

r� log 2

r+n log

�1� ra�1

��1r

+logmp (r)

p

r+(1� p) logm1 (r)

r:

E integrando con respecto a r entre 12 y 1,Z 1

12

logm1 (ra)dr

r�

Z 1

12

log 2dr

r+ n

Z 1

12

log�1� ra�1

��1 drr

+

Z 1

12

logmp (r)p dr

r+ (1� p)

Z 1

12

logm1 (r)dr

r

= I1 + I2 + I3 + I4:

Ahora, obsérvese que

I1 =

Z 1

12

log 2dr

r= log 2 (log r)

�� 112

= � log 2�log

1

2

�= (log 2)2 :


Por otra parte,

jI2j � n

Z 1

12

jlog (1� r�)j drr; � = a� 1 > 0

=n

�

Z 1

12�

jlog (1� s)j dss

=n

�

Z 1� 12�

0jlog tj dt

1� t

=n

�

Z �

0jlog tj dt

1� t ; � = 1� 1

2�2 (0; 1) :

Pero,

1� t = s = r� ��1

2

��= 1� �

) 1

1� t �1

1� � :

Por tanto,

jI2j �n

�

1

1� �

Z �

0jlog tj dt � Ka;n <1:

Por otro lado,

I3 =

Z 1

12

logmp (r)p dr

r=

Z 1

12

logmp (r)p rn

rn+1dr

� 2n+1Z 1

12

logmp (r)p rndr � 2n+1

Z 1

12

mp (r)p rndr: (2.28)

Pero, por hipótesis,

1 =1

jBj

ZBju (x)jp dx

=n+ 1

j�nj

Z 1

0rn�Z�n

ju (r�)jp d��dr

�en coordenadas

polares

�= (n+ 1)

Z 1

0rn�1

j�nj

Z�n

ju (r�)jp d��dr

= (n+ 1)

Z 1

0rnmp (r)

p dr:

Por tanto, Z 1

0rnmp (r)

p dr =1

n+ 1: (2.29)


I3 �2n+1

n+ 1:


Por consiguiente, la suma I1+I2+I3 está acotada superiormente por una constante

Ca;n:

Luego, Z 1

12

logm1 (ra)dr

r� Ca;n + (1� p)

Z 1

12

logm1 (r)dr

r:

Con un cambio de variable en la integral del lado izquierdo obtenemos

1

a

Z 1

12a

logm1 (r)dr

r� Ca;n + (1� p)

Z 1

12

logm1 (r)dr

r

� Ca;n + (1� p)Z 1

12a

logm1 (r)dr

r;

lo cual vale para toda a > 1. En consecuencia,�1

a� (1� p)

� Z 1

12a

logm1 (r)dr

r� Ca;n 8a > 1:

En particular, para 1 < a < 11�p , tenemos

1

a� (1� p) > 0

y, consecuentemente, Z 1

12a

logm1 (r)dr

r� Ca;n�

1a � (1� p)

� = Cn;p: (2.30)

A continuación, mostraremos que 9r0 2�12a ; 1

�tal que m1 (r0) está acotado por

una constante de la forma Kn;p = e

C0n;p1� 1

2a , con C 0n;p > Cn;p. Por contradicción, supon-

gamos que

m1 (r) > e

C0n;p1� 1

2a 8r 2�1

2a; 1

�:

Entonces,

logm1 (r)

r� logm1 (r) �

C 0n;p

1� 12a

8r 2�1

2a; 1

�:

Luego, Z 1

12a

logm1 (r)dr

r�Z 1

12a

C 0n;p

1� 12adr = C 0n;p > Cn;p

lo cual contradice a (2.30).

Por lo tanto, debe satisfacerse la condición

m1 (r0) � eC0n;p1� 1

2a = Kn;p para algún r0 2�1

2a; 1

�:


Finalmente, por el Principio del Máximo, concluimos que

ju (0; 0)j � supjxj2+t2=r20

ju (x; t)j = m1 (r0) � Kn;p

lo cual prueba (2.23) y el lema queda demostrado.

Podemos, ahora, extender el Teorema 2.17.

Teorema 2.19 Sea u (x; t) una función armónica en Rn+1+ , la cual está uniforme-

mente en Lp (Rn), es decir, 9M > 0 tal que

supt>0

ZRnju (x; t)jp dx =Mp <1;

para algún 0 < p <1. Entonces,

ju (x; t)j � CMt�np 8 (x; t) 2 Rn+1+

donde C es una constante que depende sólo de p y de n. En particular, u (x; t) está aco-

tada en cada sub-semiespacio propio S0 =�(x; t) 2 Rn+1+ : t � t0

donde t0 > 0: Más

aún, en cada sub-semiespacio propio S0, se cumple que u (x; t)! 0 cuando (x; t)!1.

Demostración. Procedemos como lo hicimos en la demostración del Teorema 2.17, pero

esta vez empezamos con la desigualdad

ju (x0; t0)jp �C

jB0j

ZB0

ju (x; t)jp dxdt

donde B0 es la bola (n+ 1)-dimensional B t02((x0; t0)), con t0 > 0. El argumento usado

antes es ahora válido para toda p 2 (0;1) gracias al Lema 2.18.

El siguiente teorema proporciona una caracterización para las integrales de Poisson

de funciones en Lp (Rn), 1 < p � 1 (algo análogo a lo que hicimos en el disco).

Teorema 2.20 Sea u (x; t) de�nida en Rn+1+ y sea 1 0 tal

que

supt>0ku (�; t)kp �M <1:

(b) Existe f 2 Lp (Rn) tal que u es la integral de Poisson de f , esto es,



Demostración. Si (b) se veri�ca, ya sabemos que u es armónica en Rn+1+ por el Teorema

2.9; además, por la Proposición 2.12,

supt>0ku (�; t)kp � kfkp =M <1:

Para establecer la recíproca, asumamos que (a) se veri�ca. Consideremos la sucesión

de funciones fj (x) = u (x; tj) donde (tj)1j=1 es una sucesión de números positivos tal

que tj # 0. Entonces,kfjkp = ku (�; tj)kp �M 8j 2 N:

Así, (fj)1j=1 es una sucesión que se encuentra dentro de una bola cerrada de

Lp (Rn) �= Lq (Rn)� ([11] p. 190), donde q es el exponente conjugado de p. El Teoremade Banach-Alaoglu ([21] pp. 68-69) nos asegura entonces que tal bola es compacta en

Lp (Rn) con la topología débil-�. Y, como además, Lq (Rn) es separable, se sigue quela bola es metrizable en la topología débil-� (ver [21], teo. 3.16, p. 70).

En consecuencia, existe una subsucesión de (fj)1j=1, la cual denotaremos del mismo

modo para aligerar la notación, y una función f 2 Lp (Rn) tal que

fj ! f en la topología débil- � de Lp (Rn) �= Lq (Rn)� :

Esto es, ZRng (x) fj (x) dx �!

j!1

ZRng (x) f (x) dx 8 g 2 Lq (Rn) :

Ahora, obsérvese que, para cada j, la función (x; t) 7! u (x; t+ tj) es armónica (y,

por tanto, continua) para toda (x; t) con t > �tj . En particular, es continua en Rn+1+ y

armónica en Rn+1+ . Además, por el Teorema 2.19, u (x; t+ tj) es acotada. De acuerdo

con el teorema de representación 2.14, dicha función debe ser la integral de Poisson de

su función frontera u (�; tj). Así,

u (x; t+ tj) =

ZRnPt (x� y)u (y; tj) dy

=

ZRnPt (x� y) fj (y) dy:

Haciendo a j tender a 1, obtenemos

u (x; t) =

ZRnPt (x� y) f (y) dy

pues Pt (x� y) 2 Lq (Rn): en efecto, dado que 1 � q <1, tenemosZRn[Pt (x� y)]q dy = (cn)

qZRn

264 t�t2 + jx� yj2

�n+12

375q

dy

= cn;q

ZRn

1�1 +

��x�yt

��2� (n+1)q2

dy <1


ya que (n+ 1) q � n+ 1 > n y es bien sabido queRRn

dz

(1+jzj2)r2<1 si r > n:

Como en el toro, el caso p = 1 es diferente, pero consideramos el hecho de que

L1 (Rn) ,!M (Rn) bajo la función

�f (E) =

ZEf (x) dx 8 E 2 B (Rn) ;

de modo que d�f (x) = f (x) dx y

��f �� (E) = ZEjf (x)j dx 8 E 2 B (Rn) ;

(ver [23], teo. 6.13, p.134). Así,

�f = ��f �� (Rn) = ZRnjf (x)j dx = kfk1 :

Usando esto, podemos obtener un resultado similar al Teorema 2.20:

Teorema 2.21 Sea u (x; t) de�nida en Rn+1+ . Entonces, son equivalentes:

(a) u es armónica en Rn+1+ y está uniformemente en L1 (Rn), es decir, 9M > 0 tal

que

supt>0

ZRnju (x; t)j dx �M <1:

(b) Existe � 2M (Rn) tal que u es la integral de Poisson de �, esto es,

u (x; t) = (Pt � �) (x) =ZRnPt (x� y) d� (y) :

Demostración. La prueba es similar a la del Teorema 2.20.

Si (b) se veri�ca, ya sabemos que u es armónica en Rn+1+ por el Teorema 2.10;

además, ZRnju (x; t)j dx �

ZRn

ZRnPt (x� y) d j�j (y) dx

=

ZRn

�ZRnPt (x� y) dx

�d j�j (y)

=

ZRnd j�j (y) = j�j (Rn) = k�k :

Por lo tanto,

supt>0

ZRnju (x; t)j dx � j�j (Rn) =M <1:


Para establecer la recíproca, asumamos que (a) se veri�ca. Consideremos la sucesión

de funciones fj (x) = u (x; tj) donde (tj)1j=1 es una sucesión de números positivos tal

que tj # 0 y sea �fj 2 M (Rn) de�nida por

�fj (E) =

ZEfj (t) dt 8 E 2 B (Rn) :

Entonces, �fj = kfjk1 = ku (�; tj)k1 �M 8j 2 N:

Así,��fj

�1j=1

es una sucesión que se encuentra dentro de una bola cerrada de

M (Rn) �= C0 (Rn)� ([11] p. 223). El Teorema de Banach-Alaoglu ([21] pp. 68-69) nosasegura entonces que tal bola es compacta enM (Rn) con la topología débil-�. Y, comoademás, C0 (Rn) es separable, se sigue que la bola es metrizable en la topología débil-�(ver [21], teo. 3.16, p. 70).

En consecuencia, existe una subsucesión de��fj

�1j=1, la cual denotaremos del

mismo modo para aligerar la notación, y una medida � 2M (Rn) tal que

�fj ! � en la topología débil- � de M (Rn) �= C0 (Rn)� :

Esto es, ZRng (x) d�fj (x) �!j!1

ZRng (x) d� (x) 8 g 2 C0 (Rn)

o sea, ZRng(x)fj (x) dx �!

j!1

ZRng (x) d� (x) 8 g 2 C0 (Rn) :

Ahora, obsérvese que, para cada j, la función (x; t) 7! u (x; t+ tj) es armónica (y,

por tanto, continua) para toda (x; t) con t > �tj . En particular, es continua en Rn+1+ y

armónica en Rn+1+ . Además, por el Teorema 2.19, u (x; t+ tj) es acotada. De acuerdo

con el teorema de representación 2.14, dicha función debe ser la integral de Poisson de

su función frontera u (�; tj). Así,

u (x; t+ tj) =

ZRnPt (x� y)u (y; tj) dy

=

ZRnPt (x� y) fj (y) dy:

Haciendo a j tender a 1, obtenemos

u (x; t) =

ZRnPt (x� y) d� (y)

pues Pt (x� y) 2 C0 (Rn), ya que cn t

(t2+jx�yj2)n+12se va a cero en in�nito.


Lo que sigue es examinar el comportamiento puntual de integrales de Poisson para

funciones en Lp (Rn), 1 � p � 1.Requerimos el estudio de la siguiente función:

De�nición 2.22 Para f 2 Lp (Rn), 1 � p � 1, se de�ne la función maximal dePoisson por

P � (f) (x) = supt>0j(Pt � f) (x)j :

Para probar algunas propiedades de P �, requerimos también del estudio de un

sustituto del espacio L1 (Rn), llamado el espacio L1-débil, de�nido por

L1w (Rn) =

(f : Rn ! C

�� 9C > 0 tal que, 8� > 0,jfx 2 Rn : jf (x)j > �gj � C

�

):

Para f 2 L1w (Rn), se de�ne

kfkL1w = inf�C : jfx 2 Rn : jf (x)j > �gj � C

�

�o, equivalentemente,

kfkL1w = sup�>0

� jfx 2 Rn : jf (x)j > �gj :

Ésta es una cuasinorma en L1w (Rn) (i.e., cumple todo lo que una norma, pero enlugar de la desigualdad del triángulo se tiene sólo

kf + gkL1w � C1 kfkL1w + kgkL1w ).

Proposición 2.23 L1 (Rn) ,! L1w (Rn) (i.e., L1 (Rn) está continuamente incluido enL1w (Rn)).

Demostración. Sea f 2 L1 (Rn) y denotemos E� = fx 2 Rn : jf (x)j > �g. Entonces,

� jE�j =

ZE�

�dx �ZE�

jf (x)j dx �ZRnjf (x)j dx = kfk1

) jE�j �1

�kfk1 (Desigualdad de Chebyshev)

) f 2 L1w (Rn) :

Por tanto, L1 (Rn) � L1w (Rn). Además,

kfkL1w = sup�>0

� jE�j � kfk1 :

En conclusión, L1 (Rn) ,! L1w (Rn) :


Un ejemplo típico donde f está en L1w, pero no en L1 es el siguiente: sea f : (0; 1)!

R de�nida por f (t) = 1t ; entonces f =2 L1 (0; 1) puesZ 1

0

dt

t= log t

��10= +1:

Sin embargo, f 2 L1w (0; 1) pues, 8� > 0

jfx 2 (0; 1) : jf (x)j > �gj =

��x 2 (0; 1) : 1x > �

��=

��x 2 (0; 1) : 0 < x <1

�

��=

��0; 1�� = 1

�:

Por lo tanto,

L1 (0; 1) L1w (0; 1) :

De�nición 2.24 Sea f 2 L1loc (Rn) (i.e., una función localmente integrable en Rn).Para x 2 Rn, de�nimos

Mf (x) = sup

(1

jQj

ZQjf (y)j dy : x 2

�Q, Q un n-cubo con lados paralelos

a los ejes de Rn y no degenerado

);

donde jQj denota a la medida de Lebesgue de Q.AMf se le conoce como la función maximal de Hardy-Littlewood de f . Al operador

M tal que f 7!Mf se le llama el operador maximal de Hardy-Littlewood.

En el Apéndice B se demuestra que el operador M : Lp (Rn) ! Lp (Rn), con1 0 tal que

kMfkp � C kfkp

y M : L1 (Rn)! L1w (Rn) es de tipo débil (1; 1), esto es, 9C > 0 tal que 8� > 0

jfx 2 Rn :Mf (x) > �gj � C

�kfk1 :

Como consecuencia, veremos que P � también es continuo y de tipo débil (1; 1).

Lema 2.25 Sea f 2 Lp (Rn), 1 � p � 1. Entonces

j(Pt � f) (x)j � CMf (x; t)

donde C es una constante que sólo depende de n y donde

Mf (x; t) = sup

�1

jQj

ZQjf (y)j dy : x 2 Q; Q cubo con longitud de lado � t

�:


Demostración. Tenemos que

j(Pt � f) (x)j =

��ZRnPt (x� y) f (y) dy

�� cn

ZRn

t�t2 + jx� yj2

�n+12

jf (y)j dy

= cn

Zjx�yj�t

+

1Xk=0

Z2kt<jx�yj�2k+1t

!t�

t2 + jx� yj2�n+1

2

jf (y)j dy

� cn

(1

tn

Zjx�yj�t

jf (y)j dy +1Xk=0


t

(2kt)n+1 jf (y)j dy

)

� cn

(1

tn

Zjx�yj�t

jf (y)j dy +1Xk=0

1

2k (2kt)n


jf (y)j dy)

� cn

(1

tn

ZQt

jf (y)j dy +1Xk=0

1

2k (2kt)n

ZQ2k+1t

jf (y)j dy)

donde

Qt es el cubo centrado en x con longitud de lado = 2t;

Q2k+1t es el cubo centrado en x con longitud de lado = 2k+1t:

Luego,

j(Pt � f) (x)j � cn

(2n

(2t)n

ZQt

jf (y)j dy +1Xk=0

2n

2k (2k+1t)n

ZQ2k+1t

jf (y)j dy)

= cn

(1

jQtj

ZQt

jf (y)j dy +1Xk=0

1

2k jQ2k+1tj

ZQ2k+1t

jf (y)j dy)

� cn

(Mf (x; t) +

1Xk=0

1

2kMf (x; t)

)= CnMf (x; t) :

Proposición 2.26 La función maximal de Poisson P � : Lp (Rn) ! Lp (Rn) es unoperador continuo en Lp (Rn), para 1 0 tal que

kP � (f)kp � C kfkp 8f 2 Lp (Rn) ; 1 0 tal que 8� > 0

jfx 2 Rn : P � (f) (x) > �gj � C 0

�kfk1 : (2.32)


Demostración. Sea f 2 Lp (Rn), 1 0j(Pt � f) (x)j � Cn sup

t>0Mf (x; t) = CnMf (x) 8x 2 Rn;

i.e.,

P � (f) (x) � CnMf (x) 8x 2 Rn: (2.33)

En consecuencia,

kP � (f)kp =

�ZRnjP � (f) (x)jp dx

� 1p

� Cn�Z

RnjMf (x)jp dx

� 1p

= Cn kMfkp � C kfkp :

ya que el operador M : Lp (Rn)! Lp (Rn), con 1 �g ��x 2 Rn :Mf (x) >

�

Cn

�:

Por lo tanto,

jfx 2 Rn : P � (f) (x) > �gj ��x 2 Rn :Mf (x) >

�

Cn

�� C 0

�kfk1

ya que M es de tipo débil (1; 1).

Teorema 2.27 Sea f 2 Lp (Rn), 1 � p � 1. Entonces,

(Pt � f) (x)! f (x) si t! 0 para casi toda x 2 Rn:

Demostración.

Caso f 2 Lp (Rn), con 1 � p < 1: Bastará demostrar que, para cada s > 0, el

conjunto

As =

�x 2 Rn : l��m sup

t!0j(Pt � f) (x)� f (x)j > s

�tiene medida cero, porque si esto ocurre, entonces el conjunto

B =nx 2 Rn : (Pt � f) (x) 9

t!0f (x)

o=

1[j=1

A 1j


es de medida cero, lo cual implica que

(Pt � f) (x) �!t!0

f (x) para casi toda x 2 Rn:

Tomemos, pues, s > 0. Como Cc (Rn) es denso en Lp (Rn), dado " > 0 existe

g 2 Cc (Rn) tal quekf � gkpp < ":

Sea h = f � g 2 Lp (Rn) : Entonces, f = h+ g con khkpp < " y g 2 Cc (Rn).Para cada x 2 Rn y cada t > 0, tenemos

j(Pt � f) (x)� f (x)j = j(Pt � (h+ g)) (x)� (h (x) + g (x))j

� j(Pt � h) (x)j+ j(Pt � g) (x)� g (x)j+ jh (x)j :

Ahora bien, como g 2 Cc (Rn), sabemos que g es uniformemente continua y acotadaen Rn. Por el Teorema 2.9(b), se sigue que Pt � g �!

t!0g uniformemente en Rn. Por

tanto,

l��m supt!0

j(Pt � g) (x)� g (x)j = 0

y, en consecuencia,

l��m supt!0

j(Pt � f) (x)� f (x)j � l��m supt!0

j(Pt � h) (x)j+ jh (x)j

� supt>0j(Pt � h) (x)j+ jh (x)j

= P � (h) (x) + jh (x)j :

Esto implica que

As �nx 2 Rn : P � (h) (x) > s

2

o[nx 2 Rn : jh (x)j > s

2

o:

Luego,

jAsj ��nx 2 Rn : P � (h) (x) > s

2

o��+ ��nx 2 Rn : jh (x)j > s

2

o�� : (2.34)

Ahora, si 1 s

2

o�� Zfx2Rn:P �(h)(x)> s

2gjP � (h) (x)jp dx

�ZRnjP � (h) (x)jp dx = kP � (h)kpp � C khk

pp

de acuerdo con la Proposición 2.26. Por consiguiente,��nx 2 Rn : P � (h) (x) > s

2

o�� C 2pspkhkpp < C

2p

sp" 81 s

2

o�� 2Cskhk1 <

2C

s"

ya que P � es de tipo débil (1; 1).

Con esto tenemos controlado el primer sumando de (2.34) para toda 1 � p < 1.Para controlar al segundo, obsérvese que:

sp

2p

��nx 2 Rn : jh (x)j > s

2

o�� Zfx2Rn:jh(x)j> s

2gjh (x)jp dx

�ZRnjh (x)jp dx = khkpp < ":

Así, ��nx 2 Rn : jh (x)j > s

2

o�� < 2p

sp" 81 � p <1:

Por lo tanto,

jAsj < Cp;s"

y, como a " lo elegimos en forma arbitraria, concluimos que jAsj = 0. Esto prueba elteorema para el caso 1 � p <1.

Caso f 2 L1 (Rn): Sean R > 0 y B = BR (0). Demostraremos que

(Pt � f) (x)! f (x) si t! 0

para casi toda x 2 B. Como R es arbitrario, se seguirá el resultado.

De�namos B0 = BR+1 (0) y escribamos f = f1 + f2, donde

f1 (x) = f (x)�B0 (x) ;

f2 (x) = f (x)�(B0)c (x) :

Obsérvese queZRnjf1 (x)j dx =

ZB0jf (x)j dx � kfk1

ZB0dx = kfk1

��B0�� <1;por tanto, f1 2 L1 (Rn). Por el caso previo, se sigue que

(Pt � f1) (x) �!t!0

f1 (x) para casi toda x 2 Rn:

En particular,

(Pt � f1) (x) �!t!0

f1 (x) = f (x) para casi toda x 2 B:

Convergencia no tangencial en Rn+1+ 95

Por otra parte, para cada x 2 B tenemos

j(Pt � f2) (x)j =

��ZRnPt (x� y) f2 (y) dy

�� ZRnPt (x� y) jf2 (y)j dy

=

Zjyj�R+1

Pt (x� y) jf (y)j dy �Zjuj>1

Pt (u) jf (u+ x)j du

� kfk1Zjuj>1

Pt (u) du! 0 cuando t! 0;

de acuerdo con el Lema 2.5(iv). Así,

(Pt � f2) (x) �!t!0

0 para toda x 2 B:

Como Pt � f = Pt � f1 + Pt � f2, concluimos que

(Pt � f) (x) �!t!0

f (x) + 0 = f (x) para casi toda x 2 B:

2.4. Convergencia no tangencial en Rn+1+

Vamos ahora a estudiar el comportamiento puntual de integrales de Poisson para

puntos en la frontera de Rn+1+ restringiendo la convergencia a regiones de aproximación

no tangencial, de manera similar a como lo hicimos antes en el disco. Necesitamos

precisar algunas de�niciones.

De�nición 2.28 Sean x 2 Rn y N > 0. El cono con vértice x y apertura N es

�N (x) =�(y; t) 2 Rn+1+ : jy � xj < Nt

:

De�nición 2.29 Dada una función u de�nida en Rn+1+ , diremos que u (y; t) converge

a L cuando (y; t) tiende a x (de hecho a (x; 0)) no tangencialmente si, 8N > 0,

u (y; t) converge a L cuando (y; t) tiende a x permaneciendo siempre en el cono �N (x).

Denotaremos esto como

u (y; t) �! L si (y; t)N:T:�! x;

o bien

l��m(y;t)

N:T:�!x

u (y; t) = L:


Figura 2.1: El cono con vértice x y apertura N .

Veremos que 8f 2 Lp (Rn), con 1 � p � 1,

(Pt � f) (y)! f (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 Rn: (2.35)

Necesitamos considerar el siguiente operador:

De�nición 2.30 El operador o función maximal de Poisson no tangencial de aperturaN > 0 se de�ne por

P �r;N (f) (x) = sup(y;t)2�N (x)

j(Pt � f) (y)j :

Para demostrar (2.35) usaremos el siguiente hecho:.

Lema 2.31 Sea f 2 Lp (Rn), 1 � p � 1. Entonces,

P �r;N (f) (x) � CNMf (x)

donde CN es una constante que sólo depende de N y de la dimensión n.

Demostración. Por el Lema 2.25, sabemos que

j(Pt � f) (y)j � CMf (y; t)

donde C es una constante que sólo depende de n y donde

Mf (y; t) = sup

�1

jQj

ZQjf (x)j dx : y 2 Q; Q cubo con longitud de lado � t

�:

Sea (y; t) 2 �N (x), de modo que, jy � xj < Nt. Sea Q un cubo en Rn tal quey 2 Q, con longitud de lado lQ � t y sea Q2N+1 el cubo cuyo centro es el centro de Qpero con longitud de lado igual a (2N + 1) veces lQ. Mostraremos que x 2 Q2N+1.


Obsérvese que

x 2 BNt (y)

por tanto

x 2 R

donde R es el cubo centrado en y con longitud de lado lR = 2Nt. Luego,

x 2 S

donde S es el cubo cuyo centro es el centro deQ pero con longitud de lado lS = 2Nt+lQ.

Pero,

2Nt+ lQ � 2NlQ + lQ = (2N + 1) lQ;

por lo tanto

S � Q2N+1

y así,

x 2 Q2N+1:

Figura 2.2: x 2 Q2N+1:

En consecuencia,

1

jQj

ZQjf (x)j dx =

(2N + 1)n

jQ2N+1j

ZQjf (x)j dx

� (2N + 1)n

jQ2N+1j

ZQ2N+1

jf (x)j dx � (2N + 1)nMf (x) :

Se sigue que

Mf (y; t) � (2N + 1)nMf (x) :


Finalmente,

P �r;N (f) (x) = sup(y;t)2�N (x)

j(Pt � f) (y)j

� sup(y;t)2�N (x)

CMf (y; t) � C (2N + 1)nMf (x) :

Teorema 2.32 Sea f 2 Lp (Rn), 1 � p � 1. Entonces,

(Pt � f) (y)! f (x) si (y; t)N:T:�! x para casi toda x 2 Rn:

Demostración. Procedemos de manera análoga a la demostración del Teorema 2.27.

Caso f 2 Lp (Rn), con 1 � p <1: Basta demostrar que, para cada N > 0, el conjunto

EN =

8>><>>:x 2 Rn : l��m sup(y;t)�!x(y;t)2�N (x)

j(Pt � f) (y)� f (x)j > 0

9>>=>>;tiene medida cero. De hecho, el conjunto de puntos de Rn donde no es cierto que(Pt � f) (y)! f (x) si (y; t) N:T:�! x es el conjunto

E =

1[N=1

EN

![ 1[N=1

E 1N

!:

Si demostramos que jEN j = 0 8N > 0, es claro que jEj = 0, lo cual implica que

(Pt � f) (y)! f (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 Rn:

Fijemos N > 0 y sea (y; t) 2 �N (x). Por el mismo argumento del Teorema 2.27,dado " > 0, se tiene

j(Pt � f) (y)� f (x)j � j(Pt � h) (y)j+ j(Pt � g) (y)� g (x)j+ jh (x)j

donde f = h+ g con khkpp < " y g 2 Cc (Rn).También igual que antes,

Pt � g �!t!0

g uniformemente en Rn:

Además, por continuidad, se tiene

Pt � g (y) �!y!x

g (x) puntualmente en Rn:

Por lo tanto,

Pt � g (y) �! g (x) cuando (y; t)! (x; 0) :


Pero, si (y; t) tiende a x no tangencialmente en el cono �N (x), tenemos de hecho

que (y; t)! (x; 0). Por lo tanto,

l��m(y;t)�!x(y;t)2�N (x)

j(Pt � g) (y)� g (x)j = 0:

Por consecuencia,

l��m sup(y;t)�!x(y;t)2�N (x)

j(Pt � f) (y)� f (x)j � l��m sup(y;t)�!x(y;t)2�N (x)

j(Pt � h) (y)j+ jh (x)j

� sup(y;t)2�N (x)

j(Pt � h) (y)j+ jh (x)j

= P �r;N (h) (x) + jh (x)j :

De aquí se procede de manera idéntica a como lo hicimos en el Teorema 2.27, para

demostrar que EN tiene medida cero.

Caso f 2 L1 (Rn): Sean R > 0 y B = BR (0). Probaremos que

(Pt � f) (y)! f (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 B:

Como R es arbitrario, se seguirá el resultado.

De�namos B0 = BR+1 (0) y escribamos f = f1 + f2, donde

f1 (x) = f (x)�B0 (x) ;

f2 (x) = f (x)�(B0)c (x) :

Por el mismo argumento usado en la demostración del Teorema 2.27, tenemos que

f1 2 L1 (Rn). Y por el caso previo, se sigue que

(Pt � f1) (y)! f1 (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 Rn:

En particular,

(Pt � f1) (y)! f1 (x) = f (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 B:

Falta probar lo mismo para f2. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que

jyj < R+ 1. Así,

j(Pt � f2) (y)j =

��ZRnPt (u) f2 (y � u) du

�� Zjy�uj�R+1

Pt (u) jf2 (y � u)j du

� kfk1Zjy�uj�R+1

Pt (u) du

� kfk1Zjuj�R+1�jyj

Pt (u) du! 0 cuando t! 0;


de acuerdo con el Lema 2.5(iv). En particular,

(Pt � f2) (y)! 0 si (y; t) N:T:�! x para toda x 2 B:

Como Pt � f = Pt � f1 + Pt � f2, concluimos que

(Pt � f) (y)! f (x) + 0 = f (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 B:

Como consecuencia, obtenemos un resultado análogo al Teorema de Fatou para

funciones holomorfas acotadas en el disco, pero ahora en el contexto de Rn+1+ :

Corolario 2.33 Sea u una función armónica y acotada en Rn+1+ . Entonces, u tiene

valores frontera no tangenciales casi en todas partes sobre Rn, la frontera de Rn+1+ .

Demostración. Por hipótesis, 9M > 0 tal que ju (x; t)j � M 8 (x; t) 2 Rn+1+ . Por lo

tanto,

supt>0ku (�; t)k1 �M;

es decir, u está uniformemente en L1 (Rn). Además, u es armónica en Rn+1+ . El Teo-

rema 2.20 nos asegura, entonces, que existe f 2 L1 (Rn) tal que

u (y; t) = (Pt � f) (y) :

Pero, por el Teorema 2.32,

(Pt � f) (y)! f (x) si (y; t) N:T:�! x para casi toda x 2 Rn:

Capítulo 3

Extensiones Armónicas deDistribuciones

Concédeme, Señor, que extienda mi conciencia

y lata el corazón temperado en tus promesas.

3.1. Introducción

Durante muchos años, físicos e ingenieros han encontrado conveniente manejar en

sus estudios ciertos objetos matemáticos que, hablando burdamente, se parecen a las

funciones, pero que son algo más singular que las funciones. A pesar de su evidente

e�cacia, tales objetos fueron en un principio vistos con desdén por los matemáticos

puros, y uno de los avances conceptuales más importantes en el análisis moderno es

el desarrollo de métodos que permitan tratar a estos objetos en una forma rigurosa y

sistemática.

Fue el matemático ruso Sergei Sobolev quien dio los primeros pasos en la forma-

lización de una teoría adecuada de �funciones generalizadas�en 1935, mientras trabaja-

ba con �soluciones débiles�de ecuaciones diferenciales parciales. Diferentes propuestas

han aparecido desde entonces en la literatura, pero el método que ha mostrado ser, en

general, el más útil es el de la teoría de distribuciones desarrollada en la década de los

1950�s por el francés Laurent Schwartz.

En este último capítulo queremos llevar nuestro estudio de extensiones armónicas al

contexto de las distribuciones. Nos interesa, en particular, resolver la siguiente versión

del problema de Dirichlet:

101

102 Extensiones Armónicas de Distribuciones

El Problema de Dirichlet en Rn+1+ en versión distribucionestemperadas: Dada una distribución temperada T en Rn, encontrar unafunción armónica u de�nida en Rn+1+ cuyo valor frontera sea justamente

T .

3.1.1. Motivación: un primer encuentro con la teoría de distribu-ciones

Antes de atacar el problema de Dirichlet que acabamos de plantear, examinaremos

un poco algunos resultados obtenidos en el Capítulo 2 que nos introducen en el terreno

de la teoría de distribuciones.

Todo lo que necesitamos saber acerca de distribuciones se puede encontrar con

detalle en [24] o [6], pero presentamos aquí la información más esencial que ocuparemos.

De�nición 3.1 Sea U un subconjunto abierto de Rn. Una distribución en U es un

funcional lineal continuo en C1c (U). El espacio de todas las distribuciones en U es

denotado por D0 (U).

Cuando escribimos D0 sin especi�car el dominio signi�ca que éste es Rn. Dotamosa D0 (U) de la topología débil-�, esto es, la topología de la convergencia puntual enC1c (U).

Toda f 2 L1loc (U) de�ne una distribución en U por medio del funcional

�f (') =

Zf', para ' 2 C1c (U) :

Dos funciones de�nen la misma distribución precisamente cuando éstas son iguales

casi en todas partes.

Toda medida de Radon � en U , de�ne también una distribución mediante

�� (') =

Z'd�, para ' 2 C1c (U) :

Si f 2 L1loc (U), se denota a veces a la distribución �f también por la letra f ,

identi�cando a L1loc(U) con un subespacio de D0 (U). Para evitar confusión entre f (x)y f (') =

Rf' adoptamos una notación diferente para el valor de f en ' escribiendo

hf; 'i en vez de f (').Algunas veces es conveniente pretender que una distribución F es una función aun

cuando en realidad no lo es, y escribimosRF (x)' (x) dx en lugar de hF;'i. Esto

sucede especialmente cuando la presencia explícita de la variable x resulta útil.

A�rmaciones análogas se pueden hacer para una medida �.

Motivación: un primer encuentro con la teoría de distribuciones 103

Un espacio de funciones relevante en la teoría de distribuciones es el espacio de

Schwartz S consistente de todas aquellas funciones de clase C1 que, junto con todas

sus derivadas, se anulan rápidamente en in�nito. Más precisamente,

De�nición 3.2 El espacio (o clase) de Schwartz es

S =nf 2 C1 (Rn) : kfk(N;�) <1 para toda N 2 N y � multi-índice

odonde

kfk(N;�) = supx2Rn

(1 + jxj)N j@�f (x)j :

A las funciones en S se les llama funciones rápidamente decrecientes en in�nito ytambién se les conoce usualmente como funciones de prueba.

Otro espacio de funciones importante aquí es el espacio de las funciones suaves que,

junto con todas sus derivadas tienen un crecimiento a lo más polinomial en in�nito.

Para decirlo con formalidad:

De�nición 3.3

OM =

(' 2 C1 (Rn)

�� 8 multi-índice � 9 un polinomio P�(x)tal que j@�'(x)j � jP�(x)j 8x 2 Rn

):

A OM se le llama el espacio de funciones suaves lentamente crecientes en in�nito.

Decimos que una distribución T es cero en un conjunto V si

hT; 'i = 0 8' 2 C1c (V ) .

De�nición 3.4 Dada una distribución T 2 D0 (U), llamamos soporte de T al comple-mento del conjunto abierto V más grande donde T es cero.

De�nición 3.5 Sea U un subconjunto abierto de Rn. Una distribución de soportecompacto en U es una distribución en U cuyo soporte es un subconjunto compacto de

U . También de�nimos el espacio

E 0 (U) =�T 2 D0 (U) : T es de soporte compacto en U

:

De�nición 3.6 Una distribución temperada es un funcional lineal continuo en la clasede Schwartz S. El espacio de todas las distribuciones temperadas es denotado por S 0.


Equipamos a S 0 con la topología débil-�, esto es, la topología de la convergenciapuntual en S. Así, decimos que una red (Fj)j2I en S 0 converge a F 2 S 0 en la topologíade S 0 si

hFj ; 'i ! hF;'i 8' 2 S.

Igual que antes, toda f 2 L1loc (Rn) de�ne una distribución temperada por mediodel funcional

�f (') =

Zf', para ' 2 S.

Esto vale en particular para f 2 Lp (Rn), con 1 � p � 1, pues Lp (Rn) � L1loc (Rn).Haciendo la identi�cación

Lp (Rn) 3 f ! �f 2 S 0

se puede ver que

Lp (Rn) ,! S 0; (3.1)

de modo que si (fj)j2I es una red en Lp (Rn), entonces

fj ! f en Lp (Rn)) �fj ! �f en S 0:

Volvamos, ahora, a nuestro contexto de funciones armónicas en Rn+1+ para hacer

algunas observaciones interesantes:

Supongamos que u (x; t) es una función armónica en Rn+1+ , la cual está uniforme-

mente en Lp (Rn), es decir, 9M > 0 tal que

supt>0ku (�; t)kp �M <1;

para algún 1 � p � 1. Para cada t > 0, denotemos ut (x) = u (x; t), 8x 2 Rn.Combinando los Teoremas 2.9, 2.10, 2.20 y 2.21, podemos resumir lo siguiente:

(i) Si 1 < p <1, entonces 9f 2 Lp (Rn) tal que ut = Pt � f y ut �!t!0

f en Lp (Rn) :

(ii) Si p =1, entonces 9f 2 L1 (Rn) tal que ut = Pt � f y ut �!t!0

f en la topología

débil-� de L1 (Rn) = L1(Rn)�, esto es,ZRnut (x)' (x) dx �!

t!0

ZRnf (x)' (x) dx 8' 2 L1 (Rn) :

(iii) Si p = 1, entonces 9� 2 M (Rn) tal que ut = Pt � � y ut �!t!0

� en la topología

débil-� de M (Rn) = C0(Rn)�, esto es,ZRnut (x)' (x) dx �!

t!0

ZRn' (x) d� (x) 8' 2 C0 (Rn) :


Estas a�rmaciones son particularmente válidas 8' 2 S, pues S � L1 (Rn) y tam-bién S � C0 (Rn). Así, el hecho de que la función armónica u esté uniformemente enLp (Rn), con 1 � p � 1, implica la convergencia de la familia ut cuando t ! 0 en el

sentido de distribuciones temperadas.

¿Se podrá decir algo similar para 0 < p < 1? Veremos que la respuesta es a�rmativa.

Recuérdese que el Teorema 2.19 nos asegura que si u (x; t) es una función armónica en

Rn+1+ uniformemente en Lp (Rn), para algún 0 0, las funciones ut son acotadas; por tanto están en L1 (Rn). Luego, sondistribuciones temperadas, de acuerdo con (3.1). Sólo falta ver que 9f 2 S 0 tal queut �!

t!0f en S 0. Eso es precisamente lo que a�rma el siguiente teorema:

Teorema 3.7 Sea u (x; t) una función armónica en Rn+1+ , la cual está uniformemente

en Lp (Rn), es decir, 9M > 0 tal que

supt>0kutkp =M <1;

para algún 0 < p � 1, donde ut (x) = u (x; t). Entonces, existe f 2 S 0 tal que ut �!t!0

f

en S 0 y f determina a u de modo único.

Demostración. El caso 1 � p � 1 ya está resuelto, según lo que acabamos de discutir.

Resta examinar el caso 0 0, de�namos u� (x; t) = u (x; t+ �). Nótese que cada u� es armónica

(y, por tanto, continua) para toda (x; t) con t > ��. En particular, es continua enRn+1+ y armónica en Rn+1+ . Además, u� es acotada. En efecto, por el Teorema 2.19,

ju� (x; t)j = ju (x; t+ �)j � CM (t+ �)�np � CM�

�np 8 (x; t) 2 Rn+1+ :

En consecuencia, de acuerdo con el teorema de representación 2.14, u� debe ser la

integral de Poisson de su función frontera x 7�! u� (x; 0). Así, para cada � > 0,

u� (x; t) =

ZRnPt (x� y)u� (y; 0) dy;

o bien,

u� (x; t) = (Pt � u�) (x) ; (3.2)

donde u� (x) = u (x; �). Mostraremos que u� 2 L1 (Rn) para cada � > 0.


Fijemos � > 0 y observemos queZRnju (x; t)j dx =

ZRnju (x; t)jp ju (x; t)j1�p dx

�ZRnju (x; t)jp

�CMt

�np

�1�pdx

= (CM)1�p t�np(1�p)

ZRnju (x; t)jp dx

� (CM)1�p t�np(1�p)

Mp

= Kt�n�1p�1�

para cada t > 0: (3.3)

Luego, ZRnju� (x)j dx =

ZRnju (x; �)j dx

� K��n�1p�1�<1:

Por lo tanto, u� 2 L1 (Rn). Ahora, tomemos � > � > 0. Entonces,

u� (x) = u (x; �) = u (x; � � � + �) = u� (x; � � �) :

Usando (3.2), esto se expresa como sigue

u� (x) = (P�� u�) (x) :

Tomando transformadas de Fourier en ambos lados de esta ecuación y usando la

fórmula bPt (�) = e�2�tj�j (ver Lema 2.7), obtenemos

bu� (x) = bP�� (�) bu� (�) = e�2�(��)j�jbu� (�)) e2��j�jbu� (x) = e2��j�jbu� (�) :

Nótese que esta relación vale para toda � > � > 0 y, por lo tanto, no depende ni

de � ni de �. Esto nos permite de�nir la siguiente función:

(�) = e2��j�jbu� (�) , para � 2 Rn.Nótese que está bien de�nida como función de � 2 Rn, pues no depende de �.

Además, es continua, ya que bu� (�) 2 C0 (Rn) por ser la transformada de Fourierde una función en L1 (Rn) (Lema de Riemann-Lebesgue, [11], teo. 8.22(f), p. 249) yademás, claramente, e2��j�j es continua. Mostraremos que es lentamente creciente en

in�nito y, en consecuencia, 2 S 0.


Veamos, �� (�) e�2�tj�j�� = jbut (�)j = ��ZRnut (x) e

�2�i��xdx

��

ZRnjut (x)j dx =

ZRnju (x; t)j dx: (3.4)

De (3.3) y (3.4), obtenemos�� (�) e�2�tj�j�� Kt�N 8� 2 Rn y 8t > 0,

donde N = n�1p � 1

�> 0. Luego,

j (�)j � K inft>0

t�Ne2�tj�j 8� 2 Rn. (3.5)

Por otra parte, si de�nimos

f (t) = t�Ne�t; con � una constante � 0 y t > 0;

entonces tenemos

f 0 (t) = �t�Ne�t �Nt�N�1e�t;

y

f 0 (t) = 0 , �t�Ne�t = Nt�N�1e�t

, t =N

�:

Se puede ver que f 00�N�

�> 0, de modo que f tiene un mínimo en N

� y además

f�N�

�=�N�

��NeN =

�eN

�N�N .

Aplicando esto a (3.5) con � = 2� j�j, se sigue que

j (�)j � K� eN

�N(2� j�j)N = KN j�jN � KN (1 + j�j)N 8� 2 Rn.

Esto muestra que es una función lentamente creciente. En consecuencia, es una

distribución temperada.

Ahora bien, se sabe que la transformada de Fourier en el sentido de distribuciones

es un isomor�smo topológico de S 0 en S 0 ([6], p.118). Por lo tanto, existe una únicaf 2 S 0 tal que bf = .

Demostraremos que ut converge a esta distribución f 2 S 0 en S 0. Debemos probarque hut; 'i �!

t!0hf; 'i 8' 2 S. Usando el Teorema de Inversión de Fourier ([11], teo.

8.26, pp. 251-252), tenemos

hut; 'i =

ZRnut (x) \F�1 (') (x) dx

=

ZRnbut (x)F�1 (') (x) dx = Z

Rne�2�jxjt (x)F�1 (') (x) dx:


Luego,

l��mt!0hut; 'i = l��m

t!0

ZRne�2�jxjt (x)F�1 (') (x) dx;

donde ��e�2�jxjt (x)F�1 (') (x)�� (x)F�1 (') (x)�� : (3.6)

Ahora bien, se sabe que la transformada de Fourier inversa es un mapeo lineal

continuo de S en S ([6], pp.113-114), así que F�1 (') 2 S. Puesto que es lentamentecreciente, tenemos que F�1 (') 2 S � L1 (Rn).

Luego, por el Teorema de Convergencia Dominada ([11], pp. 54-55), se sigue que

l��mt!0hut; 'i = l��m

t!0

ZRne�2�jxjt (x)F�1 (') (x) dx

=

ZRnl��mt!0

e�2�jxjt (x)F�1 (') (x) dx

=

ZRn (x)F�1 (') (x) dx

=

ZRnbf (x)F�1 (') (x) dx

=D bf;F�1 (')E = DF�1 � bf� ; 'E = hf; 'i :

Esto prueba que ut �!t!0

f en S 0. Además, si f = 0 entonces forzosamente u = 0;por consiguiente, f determina a u de modo único.

Queremos ver ahora si se puede hacer una a�rmación, de algún modo, recíproca a

la que establece el teorema que acabamos de demostrar. Concretamente, nos pregun-

tamos lo siguiente: Dada una distribución temperada T en Rn, ¿existirá una funciónarmónica u de�nida en Rn+1+ cuyo valor frontera sea justamente T?

Esto no es otra cosa que �el problema de Dirichlet en versión distribuciones tem-

peradas�, lo cual motiva el objetivo �nal de esta tesis.

3.2. El problema de Dirichlet en Rn+1+ versión distribu-ciones temperadas

Deseamos resolver el problema:

Dada una distribución temperada T en Rn, encontrar una funciónarmónica u de�nida en Rn+1+ cuyo valor frontera sea justamente T .

En otras palabras, queremos encontrar una función armónica u(x; t) de�nida en

Rn+1+ tal que, en algún sentido apropiado, se tenga

u(�; t) �!t!0

T:

El problema de Dirichlet en Rn+1+ versión distribuciones temperadas 109

Examinando los resultados obtenidos en los capítulos anteriores, resulta natural

esperar que la solución a este problema sea, de algún modo, �la convolución del núcleo

de Poisson Pt con la distribución T 2 S 0�, es decir, algo de la forma

u(x; t) = (Pt � T )(x);

para una de�nición adecuada de convolución entre el núcleo de Poisson Pt y la dis-

tribución T .

Lo primero que debemos observar es que, en esta situación especí�ca, no podemos

remitirnos a la de�nición clásica de convolución introducida por L. Schwartz en [24].

Veamos por qué:

Se sabe que, bajo esta de�nición, el espacio O0C formado por aquellas distribucionesT tales que para cada polinomio P se veri�ca que PT es una suma �nita de derivadas

(en el sentido de distribuciones) de funciones en L1 es el mayor espacio de distribu-

ciones temperadas que actúa en S 0 por convolución ([6], teo. 6.7, p. 186), de formaque, si S 2 O0C y T 2 S 0, entonces S � T está bien de�nida y S � T 2 S 0. Además, severi�ca la siguiente fórmula de intercambio para la transformada de Fourier ([6], teo.

6.10, p. 188)

F(S � T ) = F(S)F(T ):

No existe un espacio más grande que O0C con esta propiedad. O0C es, de hecho, unsubespacio propio de S 0 ([6], pp. 181-182). También se sabe que F : O0C ! OM es un

isomor�smo topológico ([6], teo. 6.8, p. 186). Ahora bien, obsérvese que Pt =2 O0C yaque su transformada de Fourier es

F(Pt)(�) = e�2�tj�j

(ver Lema 2.7), la cual no pertenece a C1(Rn) (puesto que no es diferenciable en� = 0) y, por lo tanto, F(Pt) =2 OM .

No podemos, entonces, aplicar la convolución de L. Schwartz al núcleo de Poisson

Pt con una distribución temperada T . Así, pues, el primer problema que debemos

abordar es el de encontrar una de�nición apropiada de convolución para el núcleo de

Poisson Pt y una distribución T 2 S 0.Diversas de�niciones han sido introducidas y estudiadas por diferentes autores con

el �n de dar sentido a la convolución de dos distribuciones. Restringiremos aquí nuestro

estudio a la llamada S 0-convolución de�nida por Y. Hirata y H. Ogata en [16]. La S 0-convolución es una operación conmutativa que extiende apropiadamente la convolución

de dos distribuciones temperadas de�nida por L. Schwartz, a la vez que preserva la

validez en un sentido apropiado de la fórmula F(S � T ) = F(S)F(T ):


Para motivar la de�nición de la S 0-convolución recordemos que, dadas '; f; g 2 C1c ,podemos expresar la acción de la convolución clásica f � g sobre la función de prueba' como

hf � g; 'i =Z Z

'(x)f(x� y)g(y)dydx

o bien, tomando el cambio de variable y ! z = x� y;

hf � g; 'i =Z Z

'(x)f(z)g(x� z)dzdx = hf (eg � ') ; 1iL1;L1donde f(eg � ') debe interpretarse como el producto de f y (eg � ').Observación 3.8 La expresión hf (eg � ') ; 1iL1;L1 denota la acción de la función in-

tegrable f (eg � ') sobre la función acotada idénticamente 1, vía integración, así quepuede ser interpretada como una dualidad entre L1 y L1.

Cuando f 2 S 0 y '; g 2 S, f (eg � ') ya no es necesariamente una función en L1. Sinembargo, podríamos pedir que, bajo una de�nición apropiada de convolución, f (eg � ')fuera una distribución temperada en alguna clase que generalice de manera natural al

espacio L1.

Para darnos una idea de cómo debería ser esa clase, observemos que

hf (eg � ') ; iS0;S = hf; (eg � ') iS0;Slo cual sugiere que la distribución temperada f (eg � ') todavía podría actuar en unaclase de funciones más grande que S: funciones en C1 con derivadas @� acotadas

8�, ya que esto seguiría asegurando que (eg � ') 2 S.Esto motiva a de�nir los espacios que estudiaremos a continuación:

De�nición 3.9 De�nimos

B = f' : Rn ! C j' 2 C1 y @�' es acotada 8 multi-índice �g :

O, equivalentemente,

B = f' : Rn ! C j' 2 C1 y @�' 2 L1 8 multi-índice �g :

Dotamos a B con la topología de la convergencia uniforme en Rn en cada derivada@�'. Esta topología es la topología inducida por la familia de seminormas

k'km;1 = supj�j�m

k@�'k1 ; m 2 N:


En efecto, una sucesión ('j)1j=1 converge a ' en B si y sólo si

@�'j �! @�' uniformemente en Rn 8 multi-índice �

, supx2Rn

��@�'j(x)� @�'(x)�� ! 0 8 multi-índice �

, @�'j � @�' 1 �! 0 8 multi-índice �

, supj�j�m

@�'j � @�' 1 �! 0 8m 2 N

, @�'j � @�' m;1 �! 0:

El espacio B con esta topología es, entonces, un espacio localmente convexo (ELC)

(por [11], teo. 5.14, p. 166). Más aún, es un espacio de Fréchet ([11], p. 167). Nótese

además que

C1c � B � D0;

sin embargo, se puede demostrar que C1c no es denso en B con esta topología. Vamos

a de�nir, entonces, un subespacio de B en el cual C1c resultará ser denso.


:B = f' 2 C1 j@�'(x)! 0 cuando jxj ! 1 para cada multi-índice � g :

Obviamente:B � B. Otra observación inmediata es que S �

:B � B, pues el espacio

de Schwartz S consiste de todas aquellas funciones de clase C1 que, junto con todas

sus derivadas, se anulan rápidamente en in�nito.

Proposición 3.11 El espacio:B es un subespacio cerrado de B.

Demostración. Supongamos que ('j)1j=1 es una sucesión en

:B que converge a ' en B.

Esto es, para cada multi-índice �,

@�'j �! @�' uniformemente en Rn: (3.7)

Fijemos � y sea " > 0. De acuerdo con (3.7), 9j0 2 N tal que��@�'j(x)� @�'(x)�� < "

28j � j0 y 8x 2 Rn:

En particular, ��@�'j0(x)� @�'(x)�� < "

28x 2 Rn:

Como 'j 2:B 8j 2 N, sabemos que

@�'j(x)! 0 cuando jxj ! 1, para cada j 2 N:


Por tanto, para cada j 2 N y para el " dado antes, 9Mj > 0 tal que��@�'j(x)�� < "

2si jxj > Mj :

En particular, ��@�'j0(x)�� < "

2si jxj > Mj0 :

En consecuencia, si jxj > Mj0 , entonces

j@�'(x)j ��@�'(x)� @�'j0(x)��+ ��@�'j0(x)�� < "

2+"

2= ":

Esto muestra que

@�'(x)! 0 cuando jxj ! 1, para cada multi-índice �:

Por consiguiente, ' 2:B. Y, por lo tanto,

:B es cerrado en B.

Dado que B es un espacio de Fréchet, una consecuencia inmediata de este teorema

es que:B también es un espacio de Fréchet.

Proposición 3.12 El espacio C1c es denso en:B.

Demostración. Sea ' 2:B. Mostraremos que existe una sucesión en C1c que converge

a ' en la topología de:B (que es la de B). Como ' 2

:B, sabemos que

@�'(x)! 0 cuando jxj ! 1, para cada multi-índice �:

Fijemos � y sea " > 0. Entonces, 9M� > 0 tal que��@�'(x)�� < " 8 j�j � j�j si jxj > M�: (3.8)

Por otra parte, por el Lema C1 de Urysohn ([11] p. 245), existe 2 C1c tal que

0 � � 1, con (y) = 1 si jyj � 1 y (y) = 0 si jyj � 2:Para cada j 2 N, de�namos

j(y) =

�y

j

�y consideremos la función producto j'. Nótese que, para cada j 2 N, j' es unafunción en C1c , pues 2 C1c y ' 2 C1.

Mostraremos que la sucesión ( j')1j=1 converge a ' en la topología de

:B. Es decir,

@� j' �! @�' uniformemente en Rn 8 multi-índice �:

Tomemos x 2 Rn arbitrario.


Caso jxj > M�: Obsérvese que��@�( j')(x)� @�'(x)�� @�( j')(x)��+ j@�'(x)j�

X��

C��

��@� j(x)�� @��'(x)��+ j@�'(x)j :Por (3.8), se sigue que��@�( j')(x)� @�'(x)�� X

��C��

��@� j(x)�� "+ "= "

X��

C��

��@� �xj��+ "

� "X��

C��1

jj�j

��@� (x)��+ "� "

X��

C��1

jj�jk@� k1 + "

= C�"

donde C� =P��C��

1jj�jk@� k1 + 1 es una constante que sólo depende de �.

Caso jxj �M�: Existe j0 2 N tal que jxj �M� � j0. Luego, 8j � j0

j(x) =

�x

j

�= 1 ya que

��xj�� = jxjj � 1:

Así, ��@�( j')(x)� @�'(x)�� = j@�'(x)� @�'(x)j = 0 < C�" 8j � j0:

Esto muestra que, para cualquier x 2 Rn, se tiene��@�( j')(x)� @�'(x)�� < C�" 8j � j0:

Por lo tanto,

@� j' �! @�' uniformemente en Rn para cada multi-índice �:

Es decir, ( j')1j=1 converge a ' en la topología de

:B. Y, por lo tanto, concluimos

que C1c es denso en:B.

De�nición 3.13 Denotaremos con D0L1 al espacio dual fuerte de:B. Esto es,

D0L1 =n� :

:B ! C j� es lineal y continuo

o;

(i.e., el espacio de funcionales lineales y continuas de�nidas en:B) dotado con la

topología fuerte. A los elementos de D0L1 se les llama distribuciones integrables.


Recuérdese que la topología fuerte es la asociada a la siguiente noción de conver-

gencia:

una red (�i)i2I converge fuertemente a � en D0L1 si y sólo si

�i �! � uniformemente en cada subconjunto acotado de:B:

(Un subconjunto A de:B es acotado si para cada m 2 N existe Mm > 0 tal que

k'km;1 � supj�j�m

k@�'k1 �Mm 8' 2 A:)

Se puede ver que D0L1 es un subespacio del espacio de distribuciones D0. Un resul-

tado importante es el siguiente.

Teorema 3.14 T 2 D0L1 , 9m = m(T ) 2 N tal que

T =Xj�j�m

@�f� con f� 2 L1(Rn) 8 j�j � m:

(Las derivadas @�f� son derivadas en el sentido de distribuciones; ver [11], p. 284).

Es debido a esta caracterización que a los elementos de D0L1 se les llama distribucionesintegrables.

Demostración.

(()Supongamos que T 2 D0 se expresa en la forma

T =Xj�j�m

@�f� con f� 2 L1(Rn) 8 j�j � m;

para algún m 2 N. Probaremos que T es un funcional lineal continuo en:B.

Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, que T = @�f , para algún multi-índice

� y alguna f 2 L1.Claramente, T es lineal. Sólo resta probar que T es continuo. Para ello, bastará

probar que T es continuo en 0. Tomemos una sucesión ('j)1j=1 en

:B tal que

'j �! 0 en:B:

Esto signi�ca que @�'j �! 0 uniformemente en Rn 8 multi-índice �:Fijemos � y sea " > 0. Entonces, 9j0 2 N tal que��@�'j(x)�� < "

1 + kfk18j � j0 y 8x 2 Rn:


Luego, 8j � j0 se tiene��T; 'j�� =��D@�f; 'jE�� = ��(�1)j�j Df; @�'jE��

=

��ZRnf(x)@�'j(x)dx

�� ZRnjf(x)j

��@�'j(x)�� dx<

"

1 + kfk1

ZRnjf(x)j dx = "

1 + kfk1kfk1 < ":

Esto demuestra que

si 'j �! 0 en:B, entonces

T; 'j

��! 0:

Por lo tanto, T es un funcional lineal continuo en:B. Es decir, T 2 D0L1 .

())Recíprocamente, supongamos que T 2 D0L1 . Es decir, T ::B ! C de�ne un fun-

cional lineal continuo. Como:B es un ELC cuya topología está inducida por la familia

de seminormas

k'km;1 = supj�j�m

k@�'k1 ; con m 2 N;

se sigue que existe una constante C > 0 y un número �nito de seminormas, digamos

k�km1;1 ; k�km2;1 ; :::; k�kml;1 tales que

jhT; 'ij � ClXi=1

k'kmi;1 8' 2:B

(ver [11], prop. 5.15, p. 166). Tomando M = m�ax fm1;m2; :::;mlg, obtenemos

jhT; 'ij � ClM k'kM;1 8' 2:B:

Luego,

jhT; 'ij �M supj�j�m

k@�'k1 8' 2:B: (3.9)

Sea N el número de n-adas � = (�1; :::; �n) que satisfacen j�j � m. Denotemos

(C0 (Rn))N = C0 (Rn)� � � � � C0 (Rn)| {z }N veces

y consideremos la función

J ::B ! (C0 (Rn))N tal que

' 7! (@�')j�j�m

((@�')j�j�m es una N -ada ordenada en (C0 (Rn))N ). Claramente, J es 1-1 por lo quepodemos identi�car J(

:B) con un subespacio de (C0 (Rn))N :


En J(:B), provisto con la topología inducida por (C0 (Rn))N , de�namos el funcional

lineal F : J(:B)! C tal que

F ((@�')j�j�m) �F; (@�')j�j�m

�= hT; 'i 8' 2

:B: (3.10)

De (3.9) y (3.10), tenemos que��F ((@�')j�j�m)�� M supj�j�m

k@�'k1 8' 2:B

y así, F es un funcional lineal continuo en J(:B).

Por el Teorema de Hahn-Banach ([11], p. 158), F puede extenderse a un funcional

lineal continuo en (C0 (Rn))N y, puesto que el dual de C0 (Rn) esM (Rn) ([11], p. 223),podemos encontrar medidas de Borel ��, para cada j�j � m, tales que

hT; 'i =F; (@�')j�j�m

�=Xj�j�m

ZRn@�'(x)d��(x) 8' 2

:B:

Así,

hT; 'i =Xj�j�m

h��; @�'i =* Xj�j�m

@�h(�1)j�j ��

i; '

+=

* Xj�j�m

@��; '

+

donde �� = (�1)j�j �� son, claramente, medidas de Borel �nitas.Con esto tenemos que T se expresa en la forma

T =Xj�j�m

@�� con �� 2M(Rn) 8 j�j � m:

En seguida, �jemos una de estas �� y denotémosla simplemente por �, para aligerar

la notación. Consideremos una solución fundamental E del operador (I��)k, con k unentero positivo (ver Apéndice C para una breve reseña sobre soluciones fundamentales).

Así,

(I ��)kE = �:

De acuerdo con el Lema C.2 del Apéndice C, E 2 L1(Rn) siempre que escojamosk su�cientemente grande. Así,

� = � � � = � � (I ��)kE = (I ��)k(� � E):

Ahora, obsérvese que, para k su�cientemente grande,

� � E 2 L1(Rn):


En efecto, por la desigualdad de Minkowski para integrales,

k� � Ek1 � Z

RnjE (� � y)j d j�j (y)

1

�ZRnkE (� � y)k1 d j�j (y) � kEk1 k�k <1

para k su�cientemente grande. Así,

T =Xj�j�m

@�h(I ��)k (�� E)

i=

Xj�j�m0

@� (�� E) con �� 2M(Rn) 8 j�j � m0:

Por consiguiente, T se expresa como suma �nita de derivadas en el sentido de

distribuciones de funciones integrables.

Observación 3.15 Debido a la representación obtenida en el teorema anterior paralos elementos de D0L1, podemos ver que

E 0 � D0L1 � S0:

En efecto, pues se sabe que toda distribución T 2 E 0 puede ser representada en laforma

T =Xj�j�m

@�f� con f� 2 Cc(Rn) 8 j�j � m

(ver [6], teo. 2.22, p. 74) y, puesto que Cc � L1, se tiene la contención E 0 � D0L1. Porotra parte, por el Teorema 3.14 que acabamos de probar, si T 2 D0L1 entonces

T =Xj�j�m

@�f� con f� 2 L1 (Rn) 8 j�j � m

y, puesto que L1 (Rn) ,! S 0, se tiene la contención D0L1 � S0.

Proposición 3.16 La multiplicación puntual está bien de�nida y es continua de B�Ben B y también de

:B �B en

:B.

Demostración. Probaremos que la multiplicación puntual está bien de�nida y es con-

tinua de:B�B en

:B. El otro caso es similar. Supongamos que ' 2

:B; 2 B, entonces,

por de�nición,

' 2 C1 y @�'(x)! 0 cuando jxj ! 1 para cada multi-índice �;

2 C1 y 8 multi-índice � 9K� > 0 tal que j@� j � K�:


Luego, por la regla de Leibniz, para todo multi-índice �.

j@� (' )j =

��X��

C�;�

�@�'

��@��

��

X��

C�;�

��@�'�� @��

X��

C�;�K�

��@�'��! 0 cuando jxj ! 1.

Por lo tanto, ' 2:B. Esto prueba que la multiplicación puntual de

:B � B !

:B

está bien de�nida. Para probar la continuidad, tomemos una sucesión (fj ; gj)1j=1 en

:B �B tal que (fj ; gj)! (f; g) en

:B �B, entonces

fj ! f en:B

y gj ! g en B;

i.e.,

@�fj �! @�f uniformemente en Rn 8 multi-índice �

y @�gj �! @�g uniformemente en Rn 8 multi-índice �:

Sea " > 0. Entonces,

j@� (fjgj) (x)� @� (fg) (x)j

� j@� (fjgj) (x)� @� (fjg) (x)j+ j@� (fjg) (x)� @� (fg) (x)j

� j@� [fj (gj � g)] (x)j+ j@� [g (fj � f)] (x)j

�X��

C�;�

��@�fj (x)�� @�� (gj � g) (x)��+X��

C 0�;�

��@�g (x)�� @�� (fj � f) (x)��

X��

C�;�

��@�fj (x)�� "+X��

C 0�;�

��@�g (x)�� "si j es su�cientemente grande.

Ahora bien, como�@�fj

�1j=1�

:B � B y la sucesión converge uniformemente,

entonces�@�fj

�1j=1

está uniformemente acotada 8 multi-índice � � �. Así, 9M� > 0

tal que��@�fj�� M� 8 � � �.

Por otra parte, como B es un espacio de Fréchet, g 2 B, pues es el límite de unasucesión en B. Así, 8 � � � 9M 0

� > 0 tal que��@�gj�� M 0

�. Luego,

j@� (fjgj) (x)� @� (fg) (x)j �X��

C�;�M�"+X��

C 0�;�M0�" = K�;�":


Esto demuestra que fjgj ! fg en:B y, por lo tanto, la multiplicación puntual de

:B �B en

:B es continua.

Como consecuencia de la Proposición 3.16, tenemos el siguiente resultado.

Proposición 3.17 D0L1 es cerrado bajo multiplicación por funciones en B.

Demostración. Sean T 2 D0L1 y 2 B. Probaremos que T 2 D0L1 , es decir, que T

es un funcional lineal continuo en:B.

Supongamos que 'j ! 0 en:B. Entonces, por la Proposición 3.16,

'j ! 0 en:B

)T; 'j

�! 0 en C;

i.e., T; 'j

�! 0 en C

pues, por de�nición,T; 'j

�= T; 'j

�. Por lo tanto, T 2 D0L1 .

También consideraremos en B una noción alternativa de convergencia: una sucesión�'j�1j=1

converge a ' en B si para cada multi-índice � se tiene

(i) supj2N

@�'j 1 <1;

(ii) la sucesión�@�'j

�1j=1

converge a @�' uniformemente en cada subconjunto com-

pacto de Rn.

Denotaremos con Bc al espacio B con la topología asociada a esta noción de con-

vergencia.

Proposición 3.18 El espacio C1c es denso en Bc.

Demostración. Sea ' 2 Bc. Mostraremos que existe una sucesión en C1c que converge

a ' en la topología de Bc. Fijemos � y sea " > 0. Como ' 2 B, sabemos que

' 2 C1 y 9M� > 0 tal que j@�'j �M�:

Por otra parte, por el Lema C1 de Urysohn ([11] p. 245), existe 2 C1c tal que

0 � � 1, con (y) = 1 si jyj � 1 y (y) = 0 si jyj � 2:Para cada j 2 N, de�namos

j(y) =

�y

j

�y consideremos la función producto j'. Nótese que, para cada j 2 N, j' es unafunción en C1c , pues 2 C1c y ' 2 C1.

Mostraremos que la sucesión ( j')1j=1 converge a ' en la topología de Bc:


(i) Obsérvese que, para cada j 2 N��@�( j')(x)�� X��

C��

��@� j(x)�� @��'(x)��

X��

C��

��@� �xj��K�

�X��

C��M�1

jj�j

��@� (x)�� X��

C��M� k@� k1 = C�:

Por lo tanto,

supj2N

@� j' 1 � C� <1:(ii) Supongamos, ahora, que K es un compacto de Rn. Entonces, 9 j0 2 N tal que

jxj � j0 8x 2 K. Luego, 8x 2 K

j(x) =

�x

j

�= 1 si j � j0, ya que

��xj�� = jxjj � 1:

Así, 8x 2 K��@�( j')(x)� @�'(x)�� = j@�'(x)� @�'(x)j = 0 < " si j � j0:

Por lo tanto,

@� j' �! @�' uniformemente en cada subconjunto compacto K de Rn:

Observación 3.19 Como consecuencia de la Proposición 3.18,:B es denso en Bc.

Luego, dada T 2 D0L1, tenemos que T está bien de�nida en C1c y, además, es continua

con respecto a la topología de Bc ([24, p. 203]). Por consiguiente, T puede ser extendido

de manera única a un funcional lineal continuo en Bc. En este sentido, podemos decir

que D0L1 es el dual de Bc.

Y. Hirata y H. Ogata de�nieron en [16] la noción de S 0-convolución con el objetode extender la validez de la fórmula de intercambio de Fourier

F (T � S) = F(T )F(S):

R. Shiraishi introdujo después una de�nición equivalente en [25], que es la que aquí

presentamos:


De�nición 3.20 Dadas T; S 2 S 0 diremos que su S 0-convolución existe si�eS � '�T 2

D0L1 para cada ' 2 S.

Aquí,�eS � '�T denota el producto de la distribución T con la regularización eS�',

el cual está bien de�nido porque eS � ' es C1 y lentamente creciente junto con todas

sus derivadas ([24], p. 248). (Recuérdese que eS denota a la distribución ' 7! hS; e'i.)Shiraishi probó que, cuando la S 0-convolución existe, el mapeo

S ! C,

' 7!D�eS � '�T; 1E

D0L1;Bc

es lineal y continuo y de�ne una distribución temperada que denotaremos por T � S.En otras palabras,

hT � S; 'iS0;Sdef=D�eS � '�T; 1E

D0L1;Bc

:

Shiraishi probó también que T �S existe si y sólo si S �T existe, y ambas distribu-ciones coinciden. Es decir, la S 0-convolución es conmutativa. Más aún, esta de�nicióncoincide con la de L. Schwartz en todos los casos en los cuales la de�nición de Schwartz

es aplicable.

Finalmente señalamos que esta de�nición está motivada por el hecho de que, cuando

las distribuciones temperadas S; T son funciones integrables, entoncesD�eS � '�T; 1ED0L1;Bc

=

ZRnT (x)

�ZRnS (y � x)' (y) dy

�dx

=

ZRn

�ZRnT (x)S (y � x) dx

�' (y) dy

= hT � S; 'iS0;S

donde T � S denota la convolución en el sentido clásico de dos funciones integrables.A continuación, abordaremos el problema de encontrar espacios óptimos de dis-

tribuciones temperadas que admitan S 0-convolución con el núcleo de Poisson

Pt (x) = cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

donde

cn =2

j�nj=��n+12

��n+12

:

En otras palabras, queremos encontrar el mayor espacio de distribuciones tempe-

radas T tales que� ePt � '�T 2 D0L1 para cada ' 2 S. Para atacar este problema es

conveniente observar el siguiente resultado, que es una generalización al contexto de

distribuciones de un resultado clásico para funciones:


Proposición 3.21 Dada T 2 D0L1, la distribución T admite S 0-convolución con elnúcleo de Poisson. De hecho, la S 0-convolución está dada por la fórmula

(T � Pt) (y) = hTx; Pt (x� y)iD0L1;:B

(3.11)

para cada y 2 Rn, t > 0.

Demostración. Sean t > 0 y ' 2 S. Por demostrar que� ePt � '�T 2 D0L1 .

Como D0L1 es cerrado bajo multiplicación por funciones en B, bastará demostrarque ePt � ' = Pt � ' 2 B.

Sea f (x) = (Pt � ') (x). Entonces f es una función en C1 dada por

f (x) =cntn

ZRn

jx� yj2

t2+ 1

!�(n+1)2

' (y) dy:

Debemos mostrar que @�f es acotada en Rn 8 multi-índice �. Tenemos que

@�f (x) =cntn

ZRn

jx� yj2

t2+ 1

!�(n+1)2

(@�') (y) dy:

Usando la desigualdad de Peetre (ver Lema D.1 del Apéndice D)�jx� yj2 + 1

�r� 2jrj

�jxj2 + 1

�r �jyj2 + 1

�jrjcon r = �(n+1)

2 , obtenemos para cada t > 0;

jx� yj2

t2+ 1

!�(n+1)2

� 2n+12

jxj2

t2+ 1

!�(n+1)2

jyj2

t2+ 1

!n+12

:

Luego,

j@�f (x)j � cntn

jxj2

t2+ 1

!�(n+1)2 Z

Rn

jyj2

t2+ 1

!n+12

j@�' (y)j dy: (3.12)

Esta estimación ya nos muestra que f 2 B para cada t > 0. Sin embargo, podemosobtener una dependencia explícita en t si estimamos la integral en (3.12). Fijemos

t > 0:

ZRn

jyj2

t2+ 1

!n+12

j@�' (y)j dy =

Zjyj<t

+

Zjyj�t

! jyj2

t2+ 1

!n+12

j@�' (y)j dy

= I1 + I2


donde

I1 � Cn

Zjyj<tj@�' (y)j dy � Cn k@�'k1 ;

I2 � Cn

Zjyj�t

�jyjt

�n+1j@�' (y)j dy � Cn

tn+1

jyjn+1 @�' 1:

Por consiguiente,

j@�f (x)j � cntn

jxj2

t2+ 1

!�(n+1)2 �

k@�'k1 +1

tn+1

jyjn+1 @�' 1

�i.e.,

j@� (Pt � ') (x)j �cntn

jxj2

t2+ 1

!�(n+1)2 �

k@�'k1 +1

tn+1

jyjn+1 @�' 1

�: (3.13)

Por lo tanto, Pt � ' 2 B 8' 2 S. Y, en consecuencia,� ePt � '�T 2 D0L1 . Esto

demuestra que la S 0-convolución T � Pt existe. Falta demostrar la fórmula (3.11).Como

jxj2

t2+ 1

!�(n+1)2

�! 0 cuando jxj ! 1,

tenemos que

@� (Pt � ') �! 0 cuando jxj ! 1.

Por lo tanto, Pt � ' 2:B 8' 2 S. Además, como T 2 D0L1 , por el Teorema 3.14

sabemos que T se expresa como una suma �nita

T =X�

@�f� con f� 2 L1(Rn) 8�:

Luego, para cada ' 2 S,

hT � Pt; 'iS0;S = h(Pt � ')T; 1iD0L1;Bc= hT; Pt � 'iD0

L1;:B

=

*X�

@�f�; Pt � '+D0L1;:B

=X�

(�1)j�j hf�; @� (Pt � ')iD0L1;:B

=X�

(�1)j�jZRnf� (x) @

� (Pt � ') (x) dx

=X�

(�1)j�jZRn

ZRnf� (x) @

�Pt (x� y)' (y) dydx

=X�

(�1)j�jZRnhf� (x) ; @�Pt (x� y)iD0

L1;:B' (y) dy:


Es decir, 8' 2 S,

hT � Pt; 'iS0;S =X�

ZRnh@�f� (x) ; Pt (x� y)iD0

L1;:B' (y) dy

=

ZRnhTx; Pt (x� y)iD0

L1;:B' (y) dy

por lo cual concluimos que

(T � Pt) (y) = hTx; Pt (x� y)iD0L1;:B:

3.3. Espacios óptimos para la S 0-convolución con el núcleode Poisson Pt

El hecho de que la función Pt � ' no sólo esté en B sino también en:B para cada

' 2 S, sugiere que D0L1 no es el espacio más grande de distribuciones temperadas queadmite S 0-convolución con el núcleo de Poisson Pt.

La estimación (3.13) sugiere que Pt podría admitir S 0-convolución con distribu-ciones en �versiones con peso� del espacio D0L1 . Por esta razón damos la siguientede�nición.

De�nición 3.22 Sea ! (x) =�1 + jxj2

� 12, x 2 Rn. Para � 2 R �jo de�nimos

!�D0L1 =�T 2 S 0 : !��T 2 D0L1

con la topología inducida por la función

!�D0L1 ! D0L1T 7! !��T:

Es claro que !�D0L1 puede también de�nirse como el espacio de las distribucionesT 2 D0 tales que !��T 2 D0L1 . De hecho, si T 2 !

�D0L1 entonces forzosamente T 2 S0.

En la siguiente proposición, obtendremos una representación para las distribuciones

en !�D0L1 que resultará de mucha utilidad posteriormente.

Proposición 3.23 Dadas T 2 S 0 y � 2 R, los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) T 2 !�D0L1.

(b) T = T1 + jxj� T2, donde T1 2 E 0, T2 2 D0L1 y T2 = 0 en una vecindad de cero.

Espacios óptimos para la S 0-convolución con el núcleo de Poisson Pt 125

Demostración.

(a))(b) Sea � 2 C1c tal que 0 � � � 1, con � = 1 para jxj � 12 y � = 0 para jxj � 1.

Escribamos

T = �T + (1� �)T

= �T + (1� �)

�1 + jxj2

��2

jxj� jxj��1 + jxj2

��2T:

Obsérvese que

(1� �)

�1 + jxj2

��2

jxj� 2 B (3.14)

y es cero en una vecindad de cero. Además, por hipótesis, !��T 2 D0L1 , i.e.,�1 + jxj2

��2T 2 D0L1 :

Por la Proposición 3.17, se sigue que

(1� �)

�1 + jxj2

��2

jxj��1 + jxj2

��2T 2 D0L1 :

Si escribimos T1 = �T y T2 =(1��)jxj� T , obtenemos T = T1 + jxj� T2, donde

T1 2 E 0, T2 2 D0L1 y T2 = 0 en una vecindad de cero.

(b))(a) Si T puede representarse como se describe, entonces debido a que

E 0 � !�D0L1 y jxj� T2 2 !�D0L1

se tiene de manera inmediata que T 2 !�D0L1 .

La fórmula de representación provista por la Proposición 3.23 es sólo una de las

varias posibles representaciones. Por ejemplo, dada T 2 !�D0L1 , tenemos que�1 + jxj2

��2T =

X�nita

@�f�, con f� 2 L1 (Rn) 8�;

o

T =X�nita

�1 + jxj2

��2@�f�, con f� 2 L1 (Rn) 8�: (3.15)

En seguida caracterizamos a las distribuciones temperadas que admiten S 0-convolucióncon el núcleo de Poisson Pt.


Teorema 3.24 Dada T 2 S 0, los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) T 2 !n+1D0L1

(b) T admite S 0-convolución con el núcleo de Poisson Pt, para cada t > 0.

Demostración.

(a))(b) Sean t > 0 y ' 2 S. Por demostrar que (Pt � ')T 2 D0L1 . De acuerdo con(3.13), tenemos que �

1 + jxj2�n+1

2(Pt � ') 2 B

y por hipótesis �1 + jxj2

�� (n+1)2

T 2 D0L1 :

Por la Proposición 3.17, se sigue que

(Pt � ')T 2 D0L1 :

(b))(a) Supongamos que T 2 S 0 es tal que (Pt � ')T 2 D0L1 para cada ' 2 S ypara cada t > 0. Para probar que T 2 !n+1D0L1 , demostraremos que T puede serrepresentado como en la Proposición 3.23.

Sea � 2 C1c tal que 0 � � � 1, con � = 1 para jxj � 12 y � = 0 para jxj � 1.

Escribamos

T = �T + (1� �)T

y notemos que T1 = �T 2 E 0. Para analizar el segundo sumando, tomemos0 < " � 1

3 �jo y sea ' 2 S tal que

' = 0 si jxj � ";

' > 0 si jxj < ":

Así,

(Pt � ') (x) =Zjyj<"

cntn

' (y)�1 + jx�yj2

t2

�n+12

dy:

Ahora bien, si jxj > 13 entonces

jx� yjt

� jxj+ "t� 2 jxj

t


y, en tal caso, 1 +jx� yj2

t2

!n+12

� 1 +

4 jxj2

t2

!n+12

� cntn+1

�t2 + jxj2

�n+12:

Por lo tanto, para jxj > 13 se tiene

(Pt � ') (x) �cnt�

t2 + jxj2�n+1

2

k'k1 : (3.16)

Combinando las estimaciones (3.16) y (3.13) podemos concluir que, para

cada t > 0, �1 + jxj2

��(n+1)2

Pt � '2 B:

Además, como en (3.14),

(1� �)

�1 + jxj2

�n+12

jxjn+12 B

y es cero en una vecindad de cero. Ahora, de�namos

T2 =(1� �)jxjn+1

T

= (1� �)

�1 + jxj2

�n+12

jxjn+1

�1 + jxj2

��(n+1)2

Pt � '(Pt � ')T .

Nótese que T2 = 0 en una vecindad de cero y T2 2 D0L1 ya que D0L1 es

cerrado bajo multiplicación por funciones en B. Además,

(1� �)T = jxjn+1 T2

y así,

T = �T + (1� �)T = T1 + jxjn+1 T2:

Por la Proposición 3.23, concluimos que T 2 !n+1D0L1 .

Proposición 3.25 Dada T 2 !n+1D0L1, la S0-convolución T � Pt está dada por la

fórmula

(T � Pt) (y) =*�1 + jxj2

��(n+1)2

Tx;�1 + jxj2

�n+12Pt (x� y)

+D0L1;Bc

(3.17)

para cada y 2 Rn, t > 0.


Demostración. Como !�(n+1)T 2 D0L1 , podemos escribir

!�(n+1)T =X�

@�f� con f� 2 L1(Rn) 8�, y la suma es �nita.

Así, para toda ' 2 S,

hT � Pt; 'iS0;S = h(Pt � ')T; 1iD0L1;Bc

=D!n+1 (Pt � ')!�(n+1)T; 1

ED0L1;Bc

=D!�(n+1)T; !n+1 (Pt � ')

ED0L1;Bc

=X�

@�f�; !

n+1 (Pt � ')�D0L1;Bc

=X�

(�1)j�jf�; @

��!n+1 (Pt � ')

��L1;L1

=X�

(�1)j�jZRnf� (x)

X��

C�;�@�!n+1 (x) @�� (Pt � ') (x) dx

=X�

(�1)j�jZRn

ZRnf� (x)

X��

C�;�@�!n+1 (x) @��Pt (x� y)' (y) dydx

=X�

(�1)j�jZRn

ZRnf� (x) @

��!n+1 (x)Pt (x� y)

�' (y) dydx

=X�

(�1)j�jZRn

f� (x) ; @

��!n+1 (x)Pt (x� y)

��L1;L1

' (y) dy

=

ZRn

*X�

@�f� (x) ; !n+1 (x)Pt (x� y)

+D0L1;Bc

' (y) dy

=

ZRn

D!�(n+1) (x)Tx; !

n+1 (x)Pt (x� y)ED0L1;Bc

' (y) dy;

por lo cual concluimos que

(T � Pt) (y) =*�1 + jxj2

��(n+1)2

Tx;�1 + jxj2

�n+12Pt (x� y)

+D0L1;Bc

:

El Teorema 3.24 nos muestra que el espacio óptimo de distribuciones temperadas

que admiten S 0-convolución con el núcleo de Poisson es el espacio �pesado�de distribu-ciones !n+1D0L1 . Este espacio es una extensión natural al contexto de distribuciones del

espacio pesado L1�!�n�1

�, donde ! (x) =

�1 + jxj2

� 12. (Como es usual, la notación


L1 (!��) indica al espacio de funciones integrables con respecto a la medida !��dx,

para un peso apropiado !��). T. M. Flett probó en [10, p. 762] que L1�!�n�1

�es

justamente el espacio de funciones Lebesgue-medibles para las cuales la integral de

Poisson está bien de�nida.

En lo que sigue, presentaremos algunos resultados que nos permitirán �nalmente

extender los teoremas que demostramos en el Capítulo 2 en relación al problema de

Dirichlet con valores frontera que son funciones en Lp o medidas de Borel �nitas.

Esta vez, los valores frontera serán distribuciones apropiadas que incluyen los casos

anteriores.

Como vimos en la Proposición 3.25, dada T 2 !n+1D0L1 , la S0-convolución T � Pt

es una función de�nida en Rn como

(T � Pt) (x) =!�n�1 (y)Ty; !

n+1 (y)Pt (x� y)�D0L1;Bc

para cada t > 0. Pero, podemos decir todavía más:

Lema 3.26 El espacio !n+1D0L1 es cerrado bajo diferenciación. Además, dada T 2!n+1D0L1, la función (T � Pt) (x) es suave y

@� (T � Pt) = @�T � Pt 8t > 0: (3.18)

Demostración. Sea T 2 !n+1D0L1 . Entonces !�(n+1)T 2 D0L1 y podemos escribir

!�(n+1)T =X�


Entonces,

T =X�

!n+1@�f�:

Luego, para cualquier multi-índice � tenemos

@�T = @�

X�

!n+1@�f�

!=

X�

X ��

C�; @ !n+1@�� (@�f�)

=X�

X ��

C�; @ !n+1@�+�� f�:

Por consiguiente,

!�(n+1)@�T =X�

X ��

C�; !�(n+1)@ !n+1@�+�� f�: (3.19)


Ahora, obsérvese que, por el Teorema 3.14,X�

X ��

C�; @�+�� f� 2 D0L1

y, como

!�(n+1)@ !n+1 2 B;

se sigue que el lado derecho de (3.19) está en D0L1 . Por tanto,

!�(n+1)@�T 2 D0L1 ;

es decir,

@�T 2 !n+1D0L1 :

Esto prueba que !n+1D0L1 es cerrado bajo diferenciación.La demostración de que (T � Pt) (x) es una función suave puede hacerse como en

el caso clásico (ver [6], teo. 3.2, p. 95); aquí lo omitiremos.

Para demostrar la fórmula (3.18), debemos probar que 8' 2 S,

h@�T � Pt; 'iS0;S = h@� (T � Pt) ; 'iS0;S= (�1)j�j hT � Pt; @�'iS0;S .

Es decir, que

h(Pt � ') @�T; 1iD0L1;Bc= (�1)j�j h(Pt � @�')T; 1iD0

L1;Bc. (3.20)

Sea 2 C1c tal que 0 � � 1, con (x) = 1 si jxj � 1 y (x) = 0 si jxj � 2. Paracada j 2 N, de�namos

j(y) =

�y

j

�:

Nótese que ( j)1j=1 � C1c y es tal que j ! 1 en Bc. En efecto:

(i) Obsérvese que, para cada j 2 N��@�( j)(y)�� = ��@� �yj�� 1

jj�jj@� (y)j � k@� k1 = C�:

Por lo tanto,

supj2N

@� j 1 � C� <1:(ii) Supongamos, ahora, que K es un compacto de Rn. Entonces, 9 j0 2 N tal que

jxj � j0 8x 2 K. Luego, 8x 2 K

j(x) =

�x

j

�= 1 si j � j0, ya que

��xj�� = jxjj � 1:


Así, 8x 2 K, si j�j > 0 entonces��@�( j)(x)�� = j@� (1)j = 0 < " si j � j0:

Por lo tanto, j ! 1 en Bc. Luego,

l��mj!1

(Pt � ') @�T; j

�D0L1;Bc= h(Pt � ') @�T; 1iD0

L1;Bc.

Pero,(Pt � ') @�T; j

�D0L1;Bc

=@�T; j (Pt � ')

�S0;S

= (�1)j�jT; @�

� j (Pt � ')

��S0;S

= (�1)j�jT; j (Pt � @�')

�S0;S

+(�1)j�jX

0<��C�;�

DT; @� j

�Pt � @��'

�ES0;S

y, como T = !n+1S para alguna S 2 D0L1 , se sigue que(Pt � ') @�T; j

�D0L1;Bc

= (�1)j�jT; j (Pt � @�')

�S0;S (3.21)

+(�1)j�jX

0<��C�;�

DS; !n+1@� j

�Pt � @��'

�ED0L1;Bc

:

Ahora, por (3.13), ��Pt � @��'�� ct!�n�1:Entonces, ��!n+1@� j �Pt � @��'�� ct ��@� j�� !

j!10;

ya que j ! 1 en Bc.

Así, tomando límites en (3.21) cuando j !1, tenemos

h(Pt � ') @�T; 1iD0L1;Bc

= l��mj!1

(Pt � ') @�T; j

�D0L1;Bc

= l��mj!1

(�1)j�jT; j (Pt � @�')

�S0;S

+ l��mj!1

(�1)j�jX

0<��C�;�

DS; !n+1@� j

�Pt � @�-�'

�ED0L1;Bc

= l��mj!1

(�1)j�jT; j (Pt � @�')

�S0;S

= l��mj!1

(�1)j�j(Pt � @�')T; j

�D0L1;Bc

= (�1)j�j h(Pt � @�')T; 1iD0L1;Bc

:

Esto demuestra la ecuación (3.20) y, por tanto, la fórmula (3.18) queda probada.


3.4. Extensiones armónicas de distribuciones en !n+1D0L1

En esta sección probaremos que toda distribución T 2 !n+1D0L1 tiene una extensiónarmónica al semiespacio superior Rn+1+ .


DL1 =�' 2 C1

�� @�' 2 L1 8 multi-índice �dotado con la topología inducida por la familia de normas

k'km;1 =Xj�j�m

k@�'k1 ; m = 0; 1; 2; : : :

Análogamente, de�nimos

DL1(�) =�' 2 C1

�� @�' 2 L1 (�) 8 multi-índice �donde � es una medida de Borel en Rn.

Observemos que

DL1(!�n�1) = !n+1DL1 =�f 2 C1

�� !�n�1f 2 DL1 :Lema 3.28 Dada T 2 !n+1D0L1, la S

0-convolución T �Pt pertenece al espacio !n+1DL1para cada t > 0.

Demostración. Fijemos t > 0 y sea T 2 !n+1D0L1 . Bastará demostrar que T � Pt 2L1�!�n�1

�, ya que por el Lema 3.26, tendremos que

@� (T � Pt) = @�T � Pt 2 L1�!�n�1

�8 multi-índice �;

i.e.,

T � Pt 2 DL1(!�n�1) = !n+1DL1 :

Como T 2 !n+1D0L1 , entonces podemos escribir

!�(n+1)T =X�


Sin pérdida de generalidad, supongamos que !�(n+1)T = @�f con f 2 L1(Rn) .Entonces, por la fórmula (3.17),

(T � Pt) (x) =!�n�1 (y)Ty; !

n+1 (y)Pt (x� y)�D0L1;Bc

=@�f (y) ; !n+1 (y)Pt (x� y)

�D0L1;Bc

=X��

(�1)j�jC�;�ZRnf (y) @�!n+1 (y) @��Pt (x� y) dy:

Extensiones armónicas de distribuciones en !n+1D0L1 133

En seguida observamos que

��@�!n+1 (y)�� Cn;� �1 + jyj2�n+1�j�j2

y ��@��Pt (x� y)�� Cn;�;�

tn+j��j

1 +jx� yj2

t2

!�(n+1+j��j)2

;

por lo cual podemos escribir

j(T � Pt) (x)j �X��

Cn;�;�

tn+j��j

ZRnjf (y)j

�1+jyj2

�n+1�j�j2

1+jx� yj2

t2

!�(n+1+j��j)2

dy:

Luego, ZRnj(T � Pt) (x)j!�n�1 (x) dx �

X��

Cn;�;�

tn+j��jI�;� (3.22)

donde

I�;� =

ZRn!�n�1 (x)

ZRnjf (y)j

�1 + jyj2

�n+1�j�j2

1 +jx� yj2

t2

!�(n+1+j��j)2

dydx:

A continuación procedemos a estimar cada integral I�;�. Usando el hecho de que

8a > 0, (1 + a) y�1 + a2

� 12 son equivalentes, y usando el Teorema de Tonelli, tenemos

I�;� =

ZRnjf (y)j

"ZRn

�1+jxj2

��(n+1)2�1+ jx�yj2

t2

��(n+1+j��j)2

dx

#�1+jyj2

�n+1�j�j2

dy

� Cn;�;�

ZRnjf (y)j

�ZRn(1+jxj)�n�1

�1+ jx�yj

t

��n�1�j��jdx

�(1+jyj)n+1�j�jdy:

Ahora, observamos que�1 +jx� yjt

��n�1�j��j� Cn;�;�;t (1+jx� yj)�n�1�j��j (3.23)

donde

Cn;�;�;t =

(1 si 0 < t < 1

tn+1+j��j si t � 1:

Así, de acuerdo a la integral que se estima en el Lema D.2 del Apéndice D y en

virtud de (3.23), tenemos queZRn(1 + jxj)�n�1

�1 +jx� yjt

��n�1�j��jdx � Cn;�;�;t (1 + jyj)�n�1;


por lo cual

I�;� � Cn;�;�;t

ZRnjf (y)j (1 + jyj)�n�1 (1 + jyj)n+1�j�jdy

� Cn;�;�;t

ZRnjf (y)j dy <1: (3.24)

De (3.22) y (3.24) se sigue queZRnj(T � Pt) (x)j!�n�1 (x) dx <1:

Por lo tanto, T � Pt 2 L1�!�n�1

�. Esto completa la prueba.

Observación 3.29 Como consecuencia del Lema 3.28, vemos que 8t > 0 la S 0-convolución con el núcleo de Poisson Pt preserva el espacio L1

�!�n�1

�, pues 8T 2

!n+1D0L1 se tiene que T � Pt 2 L1�!�n�1

�.

El siguiente lema nos proporciona otra representación para distribuciones en el

espacio !n+1D0L1 .

Lema 3.30

!n+1D0L1 =(T 2 S 0 : T =

X�nita

@�g�, con g� 2 L1�!�n�1

�8�): (3.25)

Demostración. Denotemos por A al conjunto que aparece en el lado derecho de (3.25).Dada T 2 A, podemos escribir

T =X�nita

@��!n+1f�

�, con f� 2 L1 8�

(basta tomar f� = g�!�n�1 2 L1 8�). Esto es,

T =X�nita

X0��

C�;�

�@��!n+1

�@�f�

= !n+1X�nita

X0��

C�;�!�n�1

�@��!n+1

�@�f�:

Por de�nición, la distribución @�f� 2 D0L1 . Además, C�;�!�n�1 �@��!n+1� 2 B.

Puesto que D0L1 es cerrado bajo multiplicación por funciones en B, concluimos queT 2 !n+1D0L1 .

Recíprocamente, dada T 2 !n+1D0L1 podemos escribir

T = !n+1X�nita

@�f�, con f� 2 L1 8�:


O bien,

T = !n+1X�nita

@��!�n�1g�

�, con g� 2 L1

�!�n�1

�8�

(basta observar que !n+1f� 2 L1�!�n�1

�8�). Ahora, dada ' 2 S, tenemos

hT; 'iS0;S =

*X�nita

@��!�n�1g�

�; !n+1'

+S0;S

=X�nita

(�1)j�jg�; !

�n�1@��!n+1'

��S0;S

=X�nita

X0��

(�1)j�jC�;�Dg�; !

�n�1�@��!n+1

�@�'

ES0;S

=X�;�

Dg�; b�;�@

�'ES0;S

donde

b�;� = (�1)j�jC�;�!�n�1�@��!n+1

�2 B 8�; �:

Así,

hT; 'iS0;S =X�;�

Db�;�g�; @

�'ES0;S

=X�;�

D@�h(�1)j�j b�;�g�

i; 'ES0;S

.

Por lo tanto,

T =X�;�

@�h(�1)j�j b�;�g�

i.

Como g� 2 L1�!�n�1

�8� y este espacio es cerrado bajo multiplicación por fun-

ciones en B, concluimos que T 2 A.

Lema 3.31 El espacio L1�!�n�1

�está incluído continuamente en !n+1D0L1.

Demostración. Sea (fj)1j=1 tal que fj ! 0 en L1�!�n�1

�y sea A un subconjunto

acotado de !�n�1:B (el predual de !n+1D0L1), entonces !

n+1A es acotado de:B. Así,

8 multi-índice � 9M� > 0 tal que

supj j�j�j

@ �!n+1'� 1 �M� 8' 2 A:

En particular,

supx2Rn

�1 + jxj2

�n+12 j' (x)j �M0 8' 2 A:


Luego,

jhfj ; 'ij �ZRnjfj (x)j j' (x)j dx

=

ZRn

�1 + jxj2

�n+12 jfj (x)j j' (x)j

dx�1 + jxj2

�n+12

� M0 kfjkL1(!�n�1) �!j!1 0 uniformemente en ' 2 A;

es decir, fj ! 0 en !n+1D0L1 .Finalmente, probaremos el resultado principal de esta tesis.

Teorema 3.32 Dada T 2 !n+1D0L1, la S0-convolución T �Pt converge a T en !n+1D0L1

si t! 0+:

Demostración. En virtud del Lema 3.31, será su�ciente probar que, para cada f 2L1�!�n�1

�se tiene que

Pt � f ! f en L1�!�n�1

�si t! 0+: (3.26)

En efecto, si probamos (3.26) entonces, para cada f 2 L1�!�n�1

�tendremos

Pt � f ! f en !n+1D0L1 si t! 0+:

Luego, dada T 2 !n+1D0L1 , podemos suponer sin pérdida de generalidad que

T = @�g, con g 2 L1�!�n�1

�y, por tanto,

T � Pt = @� (Pt � g)! @�g en !n+1D0L1 si t! 0+

ya que la operación de diferenciación @� es continua en !n+1D0L1 . Así, tendremos

T � Pt ! T en !n+1D0L1 si t! 0+:

Para demostrar (3.26), supongamos primero que f 2 Cc. Puesto que Cc � L1,

sabemos por el Teorema 2.9(a) que

Pt � f ! f en L1 si t! 0

y, puesto que L1 está continuamente incluído en L1�!�n�1

�, se sigue que

Pt � f ! f en L1�!�n�1

�si t! 0+:


Ahora, supongamos que f 2 L1�!�n�1

�. Debido a que !�n�1 (x) dx es una medida

positiva, �nita, regular y completa en Rn, el espacio Cc es denso en L1�!�n�1

�. Así,

dado " > 0 9h 2 Cc tal quekf � hkL1(!�n�1) < ":

Además, por el mismo argumento de antes,

Pt � h! h en L1�!�n�1

�si t! 0+:

Así,

kPt � h� hkL1(!�n�1) < "

para t > 0 su�cientemente pequeño. Por consiguiente,

kPt � f � fkL1(!�n�1) � kPt � (f � h)kL1(!�n�1)+ kPt � h� hkL1(!�n�1) + kh� fkL1(!�n�1)

�ZRn

ZRnjf (y)� h (y)jPt (x� y) dy

dx�1 + jxj2

�n+12

+ 2"

= cn

ZRn

ZRnjf (y)� h (y)jPt (x� y) dyP1 (x) dx+ 2"

= cn

ZRnjf (y)� h (y)j

�ZRnPt (x� y)P1 (x) dx

�dy + 2"

= cn

ZRnjf (y)� h (y)j (Pt � P1) (y) dy + 2"

= cn

ZRnjf (y)� h (y)jP1+t (y) dy + 2"

si t > 0 es su�cientemente pequeño. (Aquí, hemos usado el Lema 2.7).

Ahora bien, para 0 < t � 2 tenemos la estimación

jf (y)� h (y)jP1+t (y) � cn jf (y)� h (y)jP1 (y)

para todo y 2 Rn, donde la función del lado derecho es integrable. Además,

jf (y)� h (y)jP1+t (y) �!t!0+

jf (y)� h (y)jP1 (y) :

Por el Teorema de Convergencia Dominada se sigue que

l��mt!0+

ZRnjf (y)� h (y)jP1+t (y) dy =

ZRnjf (y)� h (y)jP1 (y) dy

= cn

ZRnjf (y)� h (y)j dy�

1 + jyj2�n+1

2

= cn kf � hkL1(!�n�1) :


Por tanto, para t > 0 su�cientemente pequeño,ZRnjf (y)� h (y)jP1+t (y) dy � cn kf � hkL1(!�n�1) + " � cn"+ ":

Así, si elegimos t > 0 su�cientemente pequeño,

kPt � f � fkL1(!�n�1) � cn"+ 3"

y el teorema queda probado.

Observación 3.33 El Teorema 3.32 implica que, dada una distribución T 2 !n+1D0L1,la función suave u (x; t) = (T � Pt) (x) es una solución al problema de Dirichlet�

@2t +�x�u = 0 en Rn+1+ ,

u (0; t) = T

donde la condición en la frontera debe ser interpretada en el sentido de convergencia

en !n+1D0L1 cuando t! 0+. Por supuesto, esta solución no es única pues u (x; t) + t

es otra solución de este problema.

Puesto que Lp (Rn) ,! !n+1D0L1, 1 � p � 1, y también M (Rn) ,! !n+1D0L1, esteteorema generaliza los casos correspondientes analizados en los capítulos anteriores.

Apéndice A

La Función Gama

La función gama fue introducida en 1730 por Leonhard Euler (1707-1783) en

respuesta a un problema de interpolación que ha sido estudiado desde el siglo XVIII:

¿cuál es la mejor forma de de�nir una función continua de una variable real o com-

pleja que coincida con la función factorial en los enteros? La función gama es una

solución. Esta función se de�ne para z 2 C tal que Re z > 0, por

� (z) =

Z 1

0tz�1e�tdt

(existen otras de�niciones equivalentes, ver por ejemplo [17]).

Grandes personajes de las matemáticas, como Legendre (de quien deriva la notación

� (z)), Gauss, Liouville, Weierstrass, Hermite y muchos otros han dado cuenta de

la trascendencia de la función gama en muy diversas áreas de estudio. Aparece, por

ejemplo en el estudio de series asintóticas, integrales de�nidas, series hipergeométricas,

la función zeta de Riemann, teoría de números, etc. con importantes aplicaciones en

muchas áreas de la física y la ingeniería. Algunas de sus propiedades son:

1. � es meromorfa con polos simples en 0;�1;�2; : : :

2. � (z + 1) = z� (z) para z 6= 0;�1;�2; : : :

3. � (n+ 1) = n! para n = 0; 1; 2; : : :

4. � (z) � (1� z) = �sen�z para z 6= 0;�1;�2; : : :

5. � (z) 6= 0 para toda z.

6. ��12

�=p�:

En [17] pp. 454-470, se pueden encontrar las demostraciones de éstas y otras

propiedades de �.

139

140 A. La Función Gama

Figura A.1: Grá�ca del valor absoluto de � (z) :

La función gama aparece en muchos ámbitos. Por ejemplo, una fórmula para el

volumen de la bola n-dimensional de radio R, BR (0) =�x 2 Rn+1 : jxj � R

, es la

siguiente: Z� � �Z

x21+��+x2n�R2

dx1 � � � dxn =�n2

��n2 + 1

�Rn(ver [13], p. 646). Y una fórmula para la semiárea de la super�cie de la esfera unitaria

(n+ 1)-dimensional, �n =�x 2 Rn+1 : jxj = 1

, es:Z

� � �Z

x21+��+x2n�1

dx1 � � � dxnp1� x21 � � � � � x2n

=�n+12

��n+12

� ; para n > 1;

([13], p. 647); de modo que el área de la esfera unitaria en Rn+1 es

j�nj =2�

n+12

��n+12

� ; para n > 1: (A.1)

Otra fórmula que podemos encontrar en [13], p. 649, y que resulta de mucha utilidad

en nuestro estudio es la siguiente:Z 1

0� � �Z 1

0

xp1�11 � � �xpn�1n

[1 + (r1x1)q1 + � � �+ (rnxn)qn ]s

dx1 � � � dxn

=��p1q1

��p2q2

��

�pnqn

��s� p1

q1� � � � � pn

qn

�q1q2 � � � qnrp1q11 rp2q22 � � � rpnqnn � (s)

;

donde pi > 0; qi > 0; ri > 0; s > 0:

A. La Función Gama 141

En particular, cuando la dimensión es n = 1, esta expresión se reduce a

Z 1

0

xp�1

[1 + (rx)q]sdx =

��pq

��s� p

q

�qrpq� (s)

;

donde p > 0; q > 0; r > 0; s > 0. Y si r = 1, entonces

Z 1

0

xp�1

(1 + xq)sdx =

��pq

��s� p

q

�q� (s)

(A.2)

para p > 0; q > 0; s > 0:

Hacemos uso de esta fórmula en la demostración del Lema 2.5.

Apéndice B

El Operador Maximal deHardy-Littlewood

Una herramienta poderosa en Análisis Armónico es el concepto de función maximal.

Recuérdese que, dada f 2 L1loc (Rn) (i.e., una función localmente integrable en Rn),para x 2 Rn, se de�ne

Mf (x) = sup

(1

jQj

ZQjf (y)j dy : x 2



);

donde jQj denota a la medida de Lebesgue de Q.A Mf se le conoce como la función maximal de Hardy-Littlewood de f y al ope-

rador M tal que f 7!Mf se le llama el operador maximal de Hardy-Littlewood.

El operador M es sublineal en el sentido de que, para cualesquiera dos funciones

localmente integrables f; g se tieneM (f + g) (x) �Mf (x)+Mg (x). También es claro

que Mf (x) = M jf j (x) de modo que podemos siempre asumir que f es no negativacuando estudiamos a Mf .

Lema B.1 Sea B una colección de bolas abiertas en Rn y sea U =SB2B

B. Si c < jU j,

entonces existe una subcolección �nita de bolas disjuntas B1; : : : ; Bm 2 B tal que c <3n

mPj=1jBj j.

Demostración. Tomemos un compacto K � U con jKj > c. Por compacidad, existe

una subcolección �nita B1 de bolas en B tal que

K �[B2B1

B:

Sea B1 2 B1 la bola con mayor diámetro en B1 y sea B2 = fB 2 B1 : B \B1 = �g.Si B2 no es vacío, tomemos B2 2 B2 la bola con mayor diámetro en B2 y sea B3 =

142


fB 2 B2 : B \B2 = �g. Continuamos con este proceso, tomando bolas Bj 2 Bj conj = 1; : : : ;m hasta que Bj+1 sea vacía. Así, obtenemos una colección C = fB1; : : : ; Bmgde bolas abiertas y disjuntas.

Ahora, para cada j = 1; : : : ;m, consideremos la bola B�j concéntrica con Bj pero

de radio tres veces el de Bj . Mostraremos que

K �m[j=1

B�j :

Sabemos que

K �[B2B1

B =

0BB@ [B2B1B2C

B

1CCA [0BB@ [B2B1B=2C

B

1CCA

=

0@ m[j=1

Bj

1A [0BB@ [B2B1B=2C

B

1CCA :

Pero, si B 2 B1 no es una de las Bj�s de C, entonces, por construcción, existe unprimer j tal que B \ Bj 6= �. En tal caso, el radio de B es a lo más el de Bj y, por

tanto, B � B�j . Consecuentemente,

K �

0@ m[j=1

Bj

1A [0@ m[j=1

B�j

1A =

m[j=1

B�j :

Luego, por subaditividad,

c < jKj �mXj=1

��B�j �� = 3n mXj=1

jBj j :

Teorema B.2 M es de tipo débil (1; 1), esto es, 9C > 0 tal que 8� > 0

jfx 2 Rn :Mf (x) > �gj � C

�kfk1 :

Demostración. Sea f 2 L1(Rn) y sea � > 0. Denotemos E� = fx 2 Rn :Mf (x) > �g.Escribamos f = f1 + f2, donde

f1 (x) =

(f (x) si jf (x)j � �

2

0 en otro caso.

144 B. El Operador Maximal de Hardy-Littlewood

Entonces,

Mf (x) �Mf1 (x) +Mf2 (x) �Mf1 (x) +�

2(B.1)

dado que f2 � �2 implica que también Mf2 � �

2 .

De (B.1) se sigue que

E� = fx 2 Rn :Mf (x) > �g ��x 2 Rn :Mf1 (x) >

�

2

�:

Luego,

jE�j ��E0��

donde E0� =�x 2 Rn :Mf1 (x) >

�2

:

Pero, por de�nición,

Mf1 (x) = sup

(1

jQj

ZQjf1 (y)j dy :

x 2�Q, Q un n-cubo con lados paralelos


);

así que, para cada x 2 E0� existe un cubo Qx que contiene a x en su interior y tal que1

jQxj

ZQx

jf1 (y)j dy >�

2:

Para cada x 2 E0�, denotemos con lx a la longitud de lado de Qx y sea Bx la

bola cuyo centro es el centro de Qx con diámetro 2lx. Consideremos también el cubo

Q2x cuyo centro es el centro de Qx pero con longitud de lado igual a 2lx. Nótese que

Qx � Bx � Q2x, de modo que

jQxj < jBxj <��Q2x�� = 2n jQxj :

De�namos

U =[x2E0�

Bx:

Obviamente, E0� � U y, por tanto, jE0�j � jU j.Ahora, tomemos c < jE�j � jE0�j. Entonces, c < jU j y, por el Lema B.1, existe

una cantidad �nita de puntos x1; : : : ; xm 2 E0� tales que las bolas Bxj son disjuntas y

c < 3nmPj=1

��Bxj ��. En consecuencia,c < 3n

mXj=1

��Bxj �� < 3n2n mXj=1

��Qxj �� < 3n2n mXj=1

2

�

ZQxj

jf1 (y)j dy:

Pero, los cubos Qxj son disjuntos, ya que Qxj � Bxj . Por lo tanto,

c <2 (3n2n)

�

mXj=1

ZQxj

jf1 (y)j dy �2 (3n2n)

�

ZRnjf1 (y)j dy

� 2 (3n2n)

�

ZRnjf (y)j dy = C

�kfk1 :


Y, tomando el límite cuando c! jE�j, obtenemos

jE�j �C

�kfk1 :

De�nición B.3 Para f 2 Lp (Rn), con 1 �gj para � > 0:

mf (�) es llamada la función distribución de f .

Claramente, mf (�) es una función decreciente.

Lema B.4 Sea f 2 Lp (Rn), con 1 �gj =ZRn�(�;1) (jf (x)j) dx:

Además, obsérvese que, para cada x 2 Rn

jf (x)jp =Z jf(x)j

0pup�1du =

Z 1

0pup�1�(0;jf(x)j) (u) du:

Luego, aplicando el Teorema de Fubini,ZRnjf (x)jp dx =

ZRn

�Z 1

0pup�1�(0;jf(x)j) (u) du

�dx

=

Z 1

0pup�1

�ZRn�(0;jf(x)j) (u) dx

�du

=

Z 1

0pup�1

�ZRn�(u;1) (jf (x)j) dx

�du

=

Z 1

0pup�1mf (u) du:

Teorema B.5 El operador M : Lp (Rn)! Lp (Rn), con 1 0 tal que 8f 2 Lp (Rn)

kMfkp � C kfkp :

146 B. El Operador Maximal de Hardy-Littlewood

Demostración. Si f 2 L1 (Rn), el resultado es obvio por la de�nición de Mf . En

efecto, pues

Mf (x) = sup

(1

jQj

ZQjf (y)j dy : x 2



)

� kfk1 sup(1

jQj

ZQdy :

x 2�Q, Q un n-cubo con lados paralelos


)= kfk1

y, por tanto, kMfk1 � kfk1.Consideremos, ahora, f 2 Lp (Rn), con 1 �g; � > 0:

Como el operador M es sublineal, tenemos

Mf (x) �Mf� (x) +Mf� (x) � �+Mf� (x) :

De aquí se sigue que

fx 2 Rn :Mf (x) > 2�g � fx 2 Rn :Mf� > �g :

En términos de la función de distribución

mMf (2�) = jfx 2 Rn :Mf (x) > 2�gj � jfx 2 Rn :Mf� > �gj :

Pero, f� vive en un conjunto de medida �nita, ya que

jfx 2 Rn : f� > 0gj = jfx 2 Rn : f > �gj �kfkp�p

:

Además, jf�j � � + jf j de modo que f� 2 Lp (Rn). Cambiemos � por 2� y

apliquemos el Lema B.4:

kMfkpp =

ZRnjMf (x)jp dx = p

Z 1

0(2�)p�1mMf (2�) d (2�)

= p2pZ 1

0�p�1mMf (2�) d�

� p2pZ 1

0�p�1 jfx 2 Rn :Mf� > �gj d�:


Pero, M es de tipo débil (1; 1) (Teorema B.2), de modo que

jfx 2 Rn :Mf� > �gj � C

�kf�k1 :

Por lo tanto,

kMfkpp � p2pC

Z 1

0�p�2 kf�k1 d�

= p2pC

Z 1

0�p�2

�ZRnf� (x) dx

�d�

= p2pC

Z 1

0�p�2

�ZRnf (x)�(�;1) (f (x)) dx

�d�

= p2pC

ZRn

�Z 1

0�p�2�(0;f(x)) (�) d�

�f (x) dx

= p2pC

ZRn

Z f(x)

0�p�2d�

!f (x) dx

=p2pC

p� 1

ZRnf (x)p�1 f (x) dx

= Cp kfkp :

Apéndice C

Soluciones Fundamentales parael Laplaciano

De�nición C.1 Sea P = P (@) =Pj�j�m a�@

� un operador diferencial parcial con

coe�cientes constantes en Rn. Una distribución E 2 D0 se llama solución fundamentalde P si P (@)E = �, donde � es la medida de Dirac concentrada en cero.

Las soluciones fundamentales son herramientas muy útiles en la teoría de ecua-

ciones diferenciales parciales, por ejemplo, en la solución de ecuaciones homogéneas,

proporcionan información a cerca de la regularidad y el crecimiento de las soluciones.

También, ciertos operadores diferenciales parciales pueden ser caracterizados por las

propiedades de sus soluciones fundamentales.

Desde hace mucho tiempo, se conocen soluciones fundamentales para algunos o-

peradores diferenciales clásicos como el operador de Laplace, el operador de calor, y el

operador de Cauchy-Riemann. Por ejemplo, el operador de Laplace tiene las siguientes

soluciones fundamentales en dos y tres dimensiones:

E2D =1

2�ln jxj ;

E3D = � 1

4� jxj :

La conjetura de que todo operador diferencial parcial con coe�cientes constantes

tiene una solución fundamental fue probada en 1954 de manera independiente por

Malgrange y Ehrenpreis. Desde entonces, muchas otras pruebas han aparecido en la

literatura, obteniendo información más precisa sobre las soluciones fundamentales.

Hörmander, por ejemplo, probó en 1958 por medio de un problema de división que todo

operador diferencial parcial con coe�cientes constantes tiene una solución fundamental

temperada.

148

C. Soluciones Fundamentales para el Laplaciano 149

Consideremos, ahora, el operador P = I � �. Veamos que P tiene una solución

fundamental: queremos encontrar una distribución temperada E tal que

(I ��)E = �:

Tomando transformadas de Fourier obtenemos�1 + 4�2 j�j2

� bE = 1;de modo que bE = 1

1 + 4�2 j�j2:

La transformada de Fourier inversa de esta expresión nos da la solución buscada.

Lema C.2 Existe un entero positivo k su�cientemente grande, tal que el operador(I ��)k posee una solución fundamental E 2 L1 (Rn).

Demostración. Sea E una solución fundamental del operador (I ��)m, con m 2 N,entonces

(I ��)mE = �:

Tomando transformadas de Fourier tenemos�1 + 4�2 j�j2

�m bE = 1:De modo que bE = 1�

1 + 4�2 j�j2�m 2 L1 (Rn)

siempre que m > n2 . Así,

E =� bE�_ 2 C0 (Rn)

por ser la transformada de Fourier inversa de una función en L1 (Rn).Luego, 8k = 0; 1; 2; : : : tenemos��

1 + 4�2 jxj2�kE

�^= (I ��)k bE= (I ��)k 1�

1 + 4�2 j�j2�m :

Pero, ��(I ��)k 1�1 + 4�2 j�j2

�m�� Ck;m;n 1�

1 + j�j2�m ;

150 C. Soluciones Fundamentales para el Laplaciano

por lo tanto, ��1 + 4�2 jxj2�k E�^�� Ck;m;n 1�1 + j�j2

�m 2 L1 (Rn) :En consecuencia, ��

1 + 4�2 jxj2�kE

�^2 L1 (Rn)

)�1 + 4�2 jxj2

�kE 2 C0 (Rn) :

Por consiguiente, E 2 L1 (Rn) si elegimos, por ejemplo, k > n2 .

Cuando uno tiene una solución fundamental E de un operador diferencial P =

P (@) y si f 2 D0, entonces podemos ver que una solución de la ecuación Pu = f está

dada por u = E � f , cuando la convolución está de�nida. En efecto,

P (E � f) = P (E) � f = � � f = f:

Apéndice D

Estimaciones Útiles

Lema D.1 (Desigualdad de Peetre) Para cada x; y 2 Rn y r 2 R, se tiene 1 + jxj2

1 + jyj2

!r� 2jrj

�1 + jx� yj2

�jrj: (D.1)

Demostración. Sean x; y 2 Rn y hagamos z = y � x. Entonces,

(jyj � jzj)2 � 0:

De aquí obtenemos

2 jyj jzj � jyj2 + jzj2 : (D.2)

Por otra parte, la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que

jy � zj � jyj jzj : (D.3)

Usando (D.2) y (D.3), tenemos

1 + jy � zj2 � 1 + jyj2 � 2y � z + jzj2

� 1 + jyj2 + 2 jyj jzj+ jzj2

� 1 + 2 jyj2 + 2 jzj2

� 2�1 + jyj2

��1 + jzj2

�:

Es decir,

1 + jxj2 � 2�1 + jyj2

��1 + jy � xj2

�:

Por consiguiente,1 + jxj2

1 + jyj2� 2

�1 + jy � xj2

�: (D.4)

Si r � 0, elevamos ambos lados de la desigualdad (D.4) a la potencia r = jrj yobtenemos el resultado (D.1). Si r < 0, intercambiamos los papeles de x; y en (D.4) y

luego elevamos a la potencia �r = jrj, con lo cual de nuevo obtenemos (D.1).

151

152 D. Estimaciones Útiles

Lema D.2 La integral I (�) =RRn (1 + j�j)

r (1 + j� � �j)s d� es �nita, para cada � 2Rn, si r + s+ n < 0. Más aún, si éste es el caso, tenemos

I (�) �(

Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n si r + n > 0 y s+ n > 0

Cn;r;s (1 + j�j)m�axfr;sg si r + n < 0 o s+ n < 0:(D.5)

Demostración. Por la desigualdad de Peetre, tenemos

(1 + j� � �j)s � (1 + j�j)jsj (1 + j�j)s :

De esta desigualdad resulta claro que I (�) es �nita cuando r+ s+n < 0. Así que,

en lo que sigue, asumiremos que r + s+ n < 0.

Para � 2 Rn �jo, consideremos los conjuntos

1 =

�� 2 Rn : j� � �j � j�j

2

�;

2 =

�� 2 Rn : j�j � j�j

2

�;

3 = Rn � (1 [ 2) ;

y las integrales

Ii (�) =

Zi

(1 + j�j)r (1 + j� � �j)s d�; i = 1; 2; 3:

Para estimar estas integrales, asumamos primero que r + n > 0 y s+ n > 0:

Si � 2 1 tenemos que j�j2 � j�j �

3j�j2 . Entonces,

I1 (�) � Cr;s j�jrZ1

(1 + j� � �j)s d�

� Cn;r;s j�jrZ j�j

2

0tn�1 (1 + t)s dt

� Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n ;

ya que s+ n > 0:

Si � 2 2 tenemos que j�j2 � j� � �j �3j�j2 . Así que, por simetría, tenemos también

I2 (�) � Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n :

Por otra parte, si � 2 3, entonces C1 j�j � j� � �j � C2 j�j. De hecho, comoj� � �j � j�j

2 y j�j �j�j2 , tenemos

j� � �jj�j � j�j+ j�jj�j � 3

D. Estimaciones Útiles 153

yj�jj� � �j �

j� � �j+ j�jj� � �j � 3:

Por tanto,

I3 (�) � C

ZRn�(1[2)

(1 + j�j)r+s d�

= Cn

Z 1

j�j2

tn�1 (1 + t)r+s dt

� Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n :

Esto prueba (D.5) en el caso r + n > 0 y s+ n > 0.

Pasemos, ahora, al caso r + n < 0 o s + n < 0. Sin pérdida de generalidad,

podemos asumir que r � s y s+ n < 0. Nótese que

I1 (�) � Cn;r;s (1 + j�j)rZ j�j

2

0(1 + t)s+n�1 dt

� Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n ;

por consiguiente,

I1 (�) � Cn;r;s (1 + j�j)r :

Para estimar I2 (�) observemos que si � 2 2, entonces j� � �j � j�j2 � j�j. En

seguida, consideremos primero el caso r = s. En este caso tenemos

I2 (�) � Cr

Zj�j� j�j

2

(1 + j�j)2r d�

� Cn;r

Z j�j2

0(1 + t)2r+n�1 dt

� Cn;r (1 + j�j)2r+n � Cn;r (1 + j�j)r :

Si r > s, escribimos

I2 (�) � Cs (1 + j�j)sZj�j� j�j

2

(1 + j�j)r d�

� Cn;r;s (1 + j�j)sZ j�j

2

0(1 + t)r+n�1 dt:

Luego, si r 6= �n, concluimos que

I2 (�) � Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n � Cn;r;s (1 + j�j)r :

Si r = �n, tenemos en cambio

I2 (�) � Cn;r;s (1 + j�j)s ln (1 + j�j) :

154 D. Estimaciones Útiles

Pero, como r > s, para " > 0 su�cientemente pequeño, tenemos

I2 (�) � Cn;r;s (1 + j�j)s+" (1 + j�j)�" ln (1 + j�j)

� Cn;r;s (1 + j�j)r :

Finalmente, estimemos I3 (�). Dado � 2 3 = Rn�(1 [ 2), tenemos j�j2 < j� � �jy j�j < 2 j�j. Así,

I3 (�) � Cr (1 + j�j)rZj��j> j�j

2

(1 + j� � �j)s d�

� Cn;r;s (1 + j�j)rZ 1

j�j2

(1 + t)s+n�1 dt

� Cn;r;s (1 + j�j)r+s+n � Cn;r;s (1 + j�j)r :

Esto completa la prueba.

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Teoremas de Extensión Armónica para Funciones y Distribuciones · 2017-04-19 · Capítulo 1 Funciones Armónicas en el Disco Unitario y Otros Dominios en Rn ConcØdeme, Seæor,