TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

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ADRIANA BERBESI RODRIGUEZLIBARDO CARRASCALEDGAR MARQUEZ DE AVILADAYANA MONTERO LOZADADELMIDES NAVARRO RANGELMAILE NIETO MUOZSAMIA PAYARES ARDILAVICTOR PEREZ MENDEZANDREA RODRIGUEZ

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CUANDO UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL MODELA MATEMTICAMENTE UNA SITUACIN FSICA, LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIN ES DE SUMA IMPORTANCIA, PUES, CON SEGURIDAD SE ESPERA TENER UNA SOLUCIN, DEBIDO A QUE FSICAMENTE ALGO DEBE SUCEDER.

POR LO TANTO, AL CONSIDERAR UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL ES NATURAL PREGUNTARSE POR:

- EXISTENCIA: EXISTIR UNA SOLUCIN AL PROBLEMA? - UNICIDAD: EN CASO DE QUE EXISTA SOLUCIN, SER NICA?

- DETERMINACIN: EN CASO DE QUE EXISTA SOLUCIN, COMO LA DETERMINAMOS?EXISTENCIA Y UNICIDAD

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EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONESPara una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solucion puede ser demostrado.

El teorema de Picard-Lindelf garantiza una solucin nica en el intervalo que contiene algunos to si y sus derivadas parciales /y son continuas en una regin que contiene to e yo.

Una prueba de la edad de Picard-Lindelf el teorema construye una secuencia de funciones que convergen a la solucin integral de la ecuacin, y por lo tanto. La solucion del problema de valor inicial. Dicha construccin a veces se denomina el mtodo de Picard o el mtodo de aproximaciones sucesivas.

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TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDADSea R una regin rectangular del plano xy, definida por a x b, c y d, que contiene al punto (x0, y0). Si (x, y) y /y son continuas en F, entonces existe un intervalo I, centrado en x0, y una funcin nica, y(x) definida en I, que satisface el problema de valor inicial expresado por las ecuaciones.

El resultado anterior es uno de los teoremas mas comunes de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden, ya que es bastante fcil comprobar los criterios de continuidad de (x, y) y /y. En la figura podemos ver la interpretacin geomtrica del teorema.

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EJEMPLO 1: Determine si existe una solucin nica para el problema de valor inicial

SOLUCIN: Tenemos lo siguiente:y vemos que una complicacin potencial surge para los puntos (x, y) para los cuales x2 + y2 = 9. Supongamos que estamos alejados de tales puntos al escoger por ejemplo una regin R dentro del crculo x2 + y2 = 8 (ver Figura),la cual incluye al punto (1,2) descrito por la condicin inicial. Entonces, puesto que se cumplen las condiciones del teorema, podemos concluir que s existe una solucin nica al problema de valor inicial. En otras palabras, existe una nica curva solucin C contenida en la regin R que pasa por el punto (1,2) como se indica en la Figura.

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PROBLEMA 2: Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solucin nica para el problema de valor inicial siguiente:

SOLUCIN: Tenemos lo siguiente:As esperamos tener complicaciones en regiones que incluyan puntos donde y = 0. Del teorema de existencia-unicidad no podemos garantizar la existencia o unicidad de una solucin en tale? regiones. Probando y = 0 vemos que es una solucin lo cual muestra que al menos una solucin existe, pero no sabemos si es nica.

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TEOREMA LOCAL DE EXISTENCIA Y UNICIDAD, CASO UNIDIMENSIONALA continuacin analizaremos las condiciones para la existencia y unicidad del P.V.I. con la E.D. de primer orden:

TEOREMA 1Sea f(t, x) continua para todos los valores de t y x donde la funcin est definida. Entonces el P.V.I. (1) es equivalente a la ecuacin integral:(Es decir, x(t) es solucin de (1), x(t) es solucin de (2))

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TEOREMA LOCAL DE EXISTENCIA Y UNICIDAD, CASO UNIDIMENSIONALDemostracin:

Si x(t) satisface (1) entonces:Si x(t) satisface (2) entonces derivando (2):y

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TEOREMA DE PICARD

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LIPSCHITZ CONTINUIDADFunciones continua que no son (a nivel mundial) Lipschitz continua

La funcin f (x) = x 2, con dominio de todos los nmeros reales no es Lipschitz continua. Esta funcin se convierte en arbitraria empinada como x se aproxima al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz continua.

La funcin f (x) = x 2 definida en [-3, 7] es Lipschitz continua con constante Lipschitz K = 14.

Ms en general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a las mtricas asociadas, con la Lipschitz constante igual a 1.

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