Teorema de MuestreoAnlisis de Seales

Qu es la Modulacin Digital?Modulacin es el proceso de conversin de un sistema de datos de origen a otro de destino. La informacin contenida en los datos resultantes deber ser equivalente a la informacin de origen. Un modo sencillo de entenderlo es traducir entre idiomas. Por ejemplo home=hogar. Podemos entender que hemos cambiado una informacin de un sistema (ingls) a otro sistema (espaol) y que esencialmente la informacin sigue siendo la misma. En Comunicacin electrnica esto se logra haciendo una conversin de anlogo a digital.

CONVERSION ADCPara que la seal analgica pueda ser transformada en una onda digital (discreta), son necesarias tres etapas: Muestreo, Cuantizacin y Codificacin.

Muestreo

Cuantizacin

CodificadorSealDigitalSeal AnalgicaSeal Discreta en Tiempo Continua en AmplitudSeal Discreta en Tiempo Discreta en Amplitud

MuestreoEl primer componente es un muestreador que extrae valores de muestra de la seal de entrada en intervalos de tiempo regular. La salida del muestreador es una seal discreta de tiempo pero continua de amplitud, puesto que los valores de muestras seguirn siendo continuos en el rango de valores de la seal de entrada x(t).

Muestreo

Cuantizacin

Codificador

CuantificacinEl segundo componente es un cuantificador, el cual asigna un rango continuo de valores en un nmero finito de valores de muestras, de tal manera que cada valor de muestra puede ser representado por una palabra digital.

Muestreo

Cuantizacin

Codificador

CodificadorEl codificador mapea cada valor de muestra y asigna una palabra digital de 8 bits. La palabra de 1 byte contiene 7 bits de informacin y 1 bit de signo.

Muestreo

Cuantizacin

Codificador

Consideraciones especialesEl muestreo deja de lado mucha informacin, es decir que se producen prdidas por muestreo.Tambin es posible que seales diferentes produzcan las mismas muestras.

MuestreoPara extraer muestras de una seal x(t) un conmutador electrnico puede ser utilizado, cuando est cerrado toma brevemente el valor de x(t) y abierto toma el valor de cero.

Muestreo Para que el proceso de muestreo sea til, se debe mostrar que es posible recuperar x(t) de las muestras de xs(t).Si se sabe que x(t) muestreada es xs(t) y esta definida por:

p(t) es conocida como la funcin de muestreo, modelando la accin del conmutador electrnico. Consideraremos a esta funcin como un tren de pulsos peridico. De all, que p(t) puede ser escrita como una serie de Fourier

Seal Analgica y Tren de Pulsos

ESPECTROS DE LA SEAL Y LA SEAL MUESTREADAFiltro de Reconstruccin

El teorema demuestra que la reconstruccin exacta de una seal peridica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemticamente posible si la seal est limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

f >2fh

Teorema del Muestreo

Esta es la mnima frecuencia de muestreo, y fh es la mas alta frecuencia en la seal x(t).

Esto es lo que se conoce como el teorema de Muestreo de seales de banda limitada pasa bajos.

Una seal de banda limitada x(t), sin componentes de frecuencia mayores que fh Hertz, esta completamente definida por muestras que son tomadas a una tasa de 2fh Hertz. En otras palabras, el tiempo entre muestras no debe ser mayor a 1/2fh.

Teorema del Muestreo (Nyquist)

Muestreo ImpulsionalEl muestreo impulsional es el muestreo ideal, es decir, con una secuencia de funciones impulsos unitarios. donde Ts es el perodo de muestreo igual al inverso de fs. Y (t) es la funcin delta de Dirac o la funcin impulso.

La seal muestreada seria:Utilizando la propiedad de desplazamiento de delta, se puede determinar que la funcin x(t) muestreada es;

Muestreo Natural (Gating) Si x(t) es una forma de onda analgica de ancho de banda limitado B Hz, la seal PAM que usa muestreo natural es El ciclo de trabajo de s(t) es d = /Ts.El espectro de la seal naturalmente muestreada se calcula en funcin de la propiedad de multiplicacin en el tiempo, convolucin en frecuencia. s(t) puede ser representada tambin por las series de Fourier

Observaciones sobre el MuestreoEn la prctica, lgicamente no se muestrean impulsos ni se implementan filtros de paso bajo ideales.

Un ejemplo prctico: El retenedor de orden cero

Ilustracin grfica de la interpolacin del dominio del tiempo

Submuestreo y AliasingCuando s 2 M Submuestreo

Submuestreo y AliasingXr(j) X(j)

Distorsin debida al aliasing

Las frecuencias superiores de x(t) se "pliegan" y toman los "alias" de las frecuencias inferiores.

Observe que el tiempo de muestreo, xr(nT) = x(nT)

Interpolacin LinealSi la frecuencia de muestreo es mucho mayor que la tasa de Nyquist, fs >>>2fh, la interpolacin lineal puede ser usada para reconstruir una aproximacin cercana d la seal analgica x(t) a partir de la seal muestreada.

Para t entre t=nT-T y t=nT

Solo dos valores de la muestra son necesarios para interpolar valores entre muestra. La naturaleza de la aproximacin puede ser vista en la siguiente grfica, observando que

H(f)=TSinc2fT

Para este filtro hay dos fuentes de error:H(f) no es cero para |f| 0.5fsH(f) no es exactamente una constante para |f| fhInterpolacin Lineal

Reconstruccin con Filtro RCLos filtros vistos anteriormente son filtros de reconstruccin no causales y por lo tanto no son de aplicacin en tiempo real.Para muchas aplicaciones un filtro prctico causal de reconstruccin es el filtro de primer orden RC cuya funcin de transferencia es:

Donde f3 es la frecuencia de la mitad de potencia o de 3 dB

Cuantizacin y CodificacinCuantizacin es el proceso de limitar los valores de amplitud de la seal muestreada en un conjunto de valores finitos de amplitud.

Cuantizacin Escalar: Cuantizacin Uniforme (Lineal)Cuantizacin no Uniforme (Logartmica)Cuantizacin Vectorial

El proceso de codificacin es representar los valores permitidos por una palabra digital de longitud fija.

Cuantizacin y CodificacinPara una representacin binaria, el nmero de niveles de cuantizacin ser

M=2n

donde n es la longitud de la palabra binaria.El paso de cuantizacin es

Cuantizacin Uniforme o Lineal

Error de Cuantizacin La medida del error de cuantizacin puede ser deducida si se observa que para un intervalo de valores el error mximo puede ser d/2.

Si se integra para un intervalo de cuantizacin desde 0 a t1 y se divide para t1, tendramos el error de cuantizacin promedio.

PAM Cmo se genera? Seal analgicaPulsos de MuestreoSalida PAM instantnea

PAM El espacio libre, entre dos muestrasse aprovecha para enviar otras seales.(Time Divisin Multiplexin = TDM)

PAM La amplitud de cada muestra de pulso es proporcional a la amplitud de la seal de mensaje en el momento de muestreo.

PAM Muestreo natural

PAM Muestreo Instantneo