MUESTREO Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos

MUESTREO

Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies-

paciados. A partir de estos valores existen señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda

limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede

extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente).

MUESTREO IDEAL

s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo)

n

nTtts )()( s

-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0

0.5

1

1.5

tiempo

p(t)

xs(t) = x(t) · s(t)

SXX s )(21

)(

k

ss kXT

X )(1

)(s

k

skT

S )(2

)(s

s = 2/Ts = 2fs

La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t) x(t) xs(t)

s(t)

X()

S()

Xs()

Xs()

MUESTREO





si s < 2m existe solapamiento (ALIASING). Si s 2m se puede recuperar X() con un LPF ideal de ganancia Ts

MUESTREO IDEAL


n

nTtts )()( s

-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0

0.5

1

1.5

tiempo

p(t)

xs(t) = x(t) · s(t)

SXX s )(21

)(

k

ss kXT

X )(1

)(s

k

skT

S )(2

)(s

s = 2/Ts = 2fs

fs = frecuencia de Nyquist


s(t)

X()

S()

Xs()

Xs()

MUESTREO





si s < 2m existe solapamiento (ALIASING). Si s 2m se puede recuperar X() con un LPF ideal de ganancia Ts

MUESTREO IDEAL

Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitada es muestreada a una frecuencia de

por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla

unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal.


n

nTtts )()( s

-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts0

0.5

1

1.5

tiempo

p(t)

xs(t) = x(t) · s(t)

SXX s )(21

)(

k

ss kXT

X )(1

)(s

k

skT

S )(2

)(s

s = 2/Ts = 2fs

fs = frecuencia de Nyquist


s(t)

MUESTREO PRACTICO

Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold S&H) Retenedor Orden Cero

P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores efecto de apertura. Si el

efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.

Los mensajes son limitados en tiempo no pueden ser limitados en banda.

Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).

x[t]ROC

xp[t]

)()()()()()( s

nss

nsp nTtnTxtpnTtpnTxtx )()()()()( fXfPkffXffPfX s

kssp

x(t) xs(t)

s(t)

xp(t)p(t)

Ts t

1

X()

Xp()Xs()

P()

Para el ROC: p(t)

Ts t

1

t

Tttp s

0

0 1)(

2/ sin2

)( 2/

sTj T

eP s

)( 1)( PHeq

1

s /2-s /2

Heq()

MUESTREO PRACTICO

Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold S&H) Retenedor Orden Cero

Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad incrementar ωs

P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores efecto de apertura. Si el

efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas.

Los mensajes son limitados en tiempo no pueden ser limitados en banda.

Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición).

Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a s/2 se aplica un

filtro pasabajos en la entrada Filtro anti-aliasing (es el peor inconveniente porque modifica la información).

x[t]ROC

xp[t]

)()()()()()( s

nss

nsp nTtnTxtpnTtpnTxtx )()()()()( fXfPkffXffPfX s

kssp

x(t) xs(t)

s(t)

xp(t)p(t)

Ts t

1

Submuestreo

Sea la señal x(t) = cos(0t)

muestreada a S constante

(S < 20). Se analiza que

sucede a medida que 0

Para 0 > S/2 se produce el

traslape y la frecuencia original

original asume la identidad de

una frecuencia inferior (S - 0).

Para S/2 < 0 < S , a medida

que 0 la frecuencia de salida

(S-0) efecto estroboscópico

(uso: osciloscopio de muestreo,

voltímetro vectorial).

INTERPOLACION

Interpolación reconstrucción (aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Señal muestreada

tiempo

Am

plit

ud

Retenedor de Orden Cero:

retiene el valor de la muestra

hasta la próxima. Es el más

simple.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Interpolación Orden Cero

tiempo

Am

plit

ud

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Interpolación Primer Orden

tiempo

Am

plit

ud

Interpolación Lineal: los

puntos adyacentes se conectan

con una línea recta.

Interpolación de mayor Orden:

los puntos se unen mediante

polinomios de grado mayor u

otras funciones matemáticas.

600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Interpolación Sinc

tiempo

Am

plit

ud

Interpolación Sinc: cada muestra

corresponde al peso de una sinc

centrada en el instante de muestreo,

y los valores intermedios se otienen sumando las contribuciones de cada una de estas funciones.

INTERPOLACION SINC

Xs()Xr()

H()

Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal

Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect [f /( 2fc)] y fc = fs/2

nss

nss

str

nTthnTx

nTtnTxth

thtxx

)()(

)()()(

)()()(

tT

th ccsr sinc)(

)(

sinc)()( sccs

nsr

nTtTnTxtx

considerando fc = fs/2:

ntfnTxtx sn

sr sinc)()(-0.5

0

0.5

1

tiempo

CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC

Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal n_muestras

Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos n_puntos

Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal n_historia

Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable

contínua t por su equivalente discreta:

ntfnTxtx sn

sr sinc)()(

Comparando con los osciloscopios comerciales, se obtienen valores de: n_muestras = 2.5 ~ 4 y n_historia = 10. Para

n_puntos se considera que en la pantalla del instrumento siempre deben presentarse 500 puntos para cualquier ajuste de

la Base de Tiempo. El TDS320 (fs = 500 Ms/s) tiene una velocidad de barrido máxima de 5 ns/div, por lo que tendría que

muestrear a (5 ns/50 muestras) = 0.1 ns/s (10 Gs/s !) deben generarse 20 puntos entre muestras reales.

En el caso del TDS220 (fs = 1 Gs/s), para 5 ns/div se interpolan 10 nuevos valores entre valores adquiridos.

Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos: Ts = (n_puntos+1)·t x • • • x • t

Ts

n_historia

1n_historia 1n_puntossinc)()(

n

nk

nTxtkx srReemplazando t por k·t (1 k n_puntos):

Debe agregarse otro índice para el desplazamiento

dentro del registro de valores adquiridos (j)

n_historia

1n_historia 1n_puntossinc))(()(

n

nk

TnjxtkjTx ssr

C:\MATLABR11\bin\matlab.exe -r muestreo

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO

Ejemplo: si s = 4 max , el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2

La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fs obteniendo

una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: (complejo!!)

x[n] xc(t) x’[n]

fs fs’

DAC +Filtro Interp. ADC

DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cada M valores).

xd[n] = x[nM] = xc[nMTs] compresor de frecuencia de muestreo

xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts

x[n] xd[n]

Ts Ts’= M·Ts

M

kk

s T

kX

TkX

TX )

2(

1)(

1)(

sss

Recordando el espectro X() de la secuencia x[n] (valores muestra):

análogamente puede escribirse el espectro Xd() para xd[n] : r

s

sr ssd M

rX

MTT

rX

TX )

(

1)

2(

1)(

''

para que no exista solapamiento (s/M) max la frecuencia de Nyquist original debe ser M veces mayor !!

Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar

que la señal no tenga un contenido espectral mayor que

s/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital .

Diezmado con M = 2.

Se verifica que no existe

solapamiento.

x[n]

Ts Ts Ts’= M·TM

LPF

G =1

c=/M

][~ nx ][~][~ nMxnxd

Sistema para reducir la frecuencia de muestreo en M

Diezmado con M = 3.

Aparece solapamiento.

Diezmado con M = 3 y

filtrado previo para evitar

el solapamiento.

La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada.

INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertando L valores entre muestras).

los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción LPF de ganancia L y c = /L

resto elen 0

2, ,0 ]/[][

LLnLnxnxe

ke kLnkxnx ][][][

El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por:

)(][][][)( LXekxekLnkxXu

Luj

u

nj

ke

n

njenxX ][)(

x[n] xe[n] xi[n]

Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/LL

LPF

G =L

c=/L

Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L

xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L] expansor de frecuencia demuestreo

La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es: Ln

Lnsennhi /

)/(][

En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal:

resto 0

/1][

LnLnnhi

Interpolación en el dominio de la frecuencia

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO

Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación.

Funciones utilizadas en Matlab®:

DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering.

INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation

RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.

L

LPF

G =L

c=/L M

LPF

G =1

c=/M

][~ nxi ][~ nxdxc[n]

Interpolador

x[n] xi[n]

TsTs/L TsM/LTs/L Ts/L

Diezmador

Ts

LPFG =L

c=min(/L, /M) L M

x[n]

TsM/L

][~ nxd

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MUESTREO Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos