TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.docx

Cálculo integralUnidad I “Teorema fundamental del cálculo”

UNIDAD 1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

1.1 MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS.1.2 NOTACIÓN SUMATORIA.1.3 SUMAS DE RIEMANN. 1.4 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA. 1.5 TEOREMA DE EXISTENCIA. 1.6 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.1.7 FUNCIÓN PRIMITIVA.1.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. 1.9 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.

ITSAL

1 2 3 4 5


UNIDAD 1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

1.1 MEDICIÓN APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS.

Amorfa= sin forma determinada

Actividad 1Ejercicio: A partir del análisis de las figuras planas amorfas propuestas determina el área de cada una de ellas

A partir de los resultados llene la siguiente tabla

No. de figura

Área calculada

Método de solución 1


Método de solución 3.

% de error en el cálculo del

área.12345

Escribe lo que concluyes a partir de la observación y análisis de los resultados obtenidos.

Repite el ejercicio, calcula el área de las siguientes figuras limitadas por las curvas en el plano:

ITSAL


A partir de los resultados llene la siguiente tabla.

No. de figura

Área calculada



Método de solución 3.

% de error en el cálculo del área.

12345

Escribe lo que concluyes a partir de la observación y análisis de los resultados obtenidos.

NOTA. Cuando queremos calcular el área de una figura geométrica tal como: rectángulo, triángulo, paralelogramo, etc. lo que prácticamente hacemos es aplicar alguna fórmula algebraica que nos permita realizar el cálculo del área de la figura geométrica correspondiente, pero si deseamos calcular el área A bajo la gráfica de una función continua no negativa f(x) sobre un intervalo [a,b], tal como la que se demuestra en la siguiente figura.

ITSAL


Entonces el problema resulta algo más complicado, en un principio, algo que nos puede ocurrir es que, si en lugar de calcular el área A en forma exacta aproximamos el valor de A, entonces este nuevo problema pudiera ser más fácil de resolver.

Una manera de aproximar el área A es mediante el trazo de una cuadricula sobre el plano donde se encuentra el gráfico de f(x) como se muestra en la siguiente figura.

Después de dibujar la cuadricula realizamos la suma del área de los cuadrados que quedan “dentro” de la gráfica y entre los tres segmentos a los lados del área por calcular, una mejor aproximación al valor de A la obtendremos si hacemos una cuadricula más “fina” que la cuadricula anterior, es decir, una nueva cuadrícula donde los cuadrados tengan lado menor que el lado de un cuadrado en la cuadricula anterior y nuevamente sumar las áreas de todos los cuadrados que queden dentro de la gráfica y los tres segmentos a los lados del área A por calcula, desde luego el proceso de la cuadricula podría continuar para conseguir obteniendo una mejor aproximación al área exacta A, aunque como vemos, este proceso es tedioso.

Otra manera de realizar la aproximación al área A será mediante la formación de rectángulos inscritos y circunscritos sobre la gráfica de f(x) tal como se muestra en la siguiente figura

ITSAL


Estos rectángulos se forma de la siguiente manera, se divide el intervalo [a,b] en “n” subintervalos de extremos.

1.2 NOTACIÓN SUMATORIA.

Cuando tenemos una suma en la cual hay dos o más sumandos, que se repiten o que presentan cierto patrón, se puede abreviar usando la notación sigma.

La suma de n términos a1, a2, a3, …,an se escribe ∑i=1

n

ai=a1+a2+a3+. ..+an

Donde i es el índice de suma, ai es el i-ésimo término de la suma, y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n.

Los límites inferior y superior de la suma han de ser constantes respecto del índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual que el límite superior es permitido.

Ejemplos:

1. ∑i=1

6

i=1+2+3+4+5+6

2. ∑i=0

5

( i+1)=1+2+3+4+5+6

3. ∑j=3

7

j2

=32+42+52+62+72=9+16+25+36+49

ITSAL


4.

∑k=1

n1n (k 2

+1)= 1n (12+1 )+ 1

n(22+1 )+ 1

n(32+1 )+. ..+ 1

n( n2+1 )= 2

n+ 5

n+10

n+. ..+(n+ 1

n )

5. ∑i=1

n

f ( x i ) Δx=f (x1) Δx+ f (x 2) Δx+f ( x3) Δx+. ..+ f (x n) Δx

Observemos que (1) y (2), que una misma suma se puede representar de maneras diferentes mediante la notación sigma.

Aunque se puede usar cualquier variable como índice de suma, se suelen usar i, j y k.

ITSAL


Actividad 2Ejercicios: Hallar la suma de:

1. ∑i=1

5

(2i+1 )=

2. ∑k=2

5

(k+1)( k−3 )=

3. ∑k=0

41

k 2+1=

4.

∑j=3

51j=

5. ∑i=1

4

[ ( i−1 )2+(i+1 )3]=

ITSAL


Actividad 3

Ejercicios: Usar la notación sigma para expresar la suma.

1.

13(1)

+ 13 (2)

+ 13(3 )

+. . .+ 13( 9)

=

2.

51+1

+ 51+2

+ 51+3

+ .. .+ 51+15

=

3. [2( 1

8 )+3]+[2( 28 )+3]+ .. .+[2( 8

8 )+3]=

4.

[1−( 14 )

2]+[1−( 24 )

2 ]+.. .+[1−( 44 )

2]=

5.

[( 2

n )3

− 2n ]( 2

n )+. . .+[( 2 nn )

3

− 2 nn ]( 2

n )=

6

. [1−( 2

n−1)

2 ]( 2n )+. ..+[1−( 2 n

n−1)

2]( 2n )=

7. [2(1+ 3

n )2]( 3

n )+. ..+[2(1+3 nn )

2]( 3n )=

ITSAL


8. ( 1

n )√1+( 0n )

2

+.. .+( 1n )√1+( n−1

n )2

=

Las siguientes propiedades se deducen usando las leyes asociativa y conmutativa de la suma y la distributiva de la suma respecto de la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante).

1.∑i=1

n

k ai=k∑i=1

n

ai

2.∑i=1

n

( ai±bi )=∑i=1

n

ai+∑i=1

n

b i

TEOREMAS.

1.∑i=1

n

c=cn

2.∑i=1

n

i=n (n+1)

2

3.∑i=1

n

i2

=n(n+1)(2 n+1 )

6

4.∑i=1

n

i3

=n2 (n+1 )2

4

Ejemplo. Realicen la suma de los enteros del 1 al 100Solución: 1 + 2 + 3 + … + 100100 + 99 + 98 + … + 1 101 + 101 + 101 + … + 101

(100 )(101 )2

=5050 Teorema 2

1.3 SUMAS DE RIEMANN.

Sea “f” definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea “” una partición de [a,b] dada por a = x0 < x1 < x2 < …< xn-1 < xn = b; donde xi es la longitud del i-ésimo subintervalo. Si ci es cualquier

ITSAL


punto del i-ésimo subintervalo, la suma ∑i=1

n

f (ci ) Δ xi

x i−1≤c i≤xi es la suma de Riemann de “f”

asociada a la partición “”

TIPOS DE APROXIMACIÓN DE LA INTEGRAL. Por tanto, surge la duda de qué punto t j tomar dentro de cada subintervalo de la partición para evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto t j

en el subintervalo [xj-1, xj], y las más utilizadas son éstas:

Punto izquierdo: se toma como valor tj el límite inferior del subintervalo, es decir, xj-1. Gráficamente:

Punto derecho: se toma como valor tj el límite superior del subintervalo, es decir, x j. Gráficamente:

Punto medio: se toma como valor tj el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir, (xj-1 + xj) / 2. Gráficamente:

Punto aleatorio: se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo. Gráficamente:

Punto ínfimo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el ínfimo en ese subintervalo. Gráficamente:

ITSAL


Punto supremo: se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj) es el supremo en ese subintervalo. Gráficamente:

Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(tj), teniendo que recorrer todo el subintervalo. Pero esto no es necesario; ¿Por qué?

Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(f,P) tomando tj como queramos.

Veamos esto: si la función es Riemann-Integrable, cualquier suma de Riemann R(f, P) tiende al

valor de la integral, porque para cualquier punto tj tenemos que dj f(tj) cj (siendo dj el ínfimo

y cj el supremo en ese subintervalo), luego I(f,P) R(f,P) S(f,P).

Funciones Riemann-Integrables: Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable. Toda función continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una

cantidad numerable de puntos, es Riemann-Integrable. Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es

Riemann-Integrable, entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos.

Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Veamos un ejemplo de una función Riemann-Integrable no continua. Definamos la función:

La representación gráfica de esta función es:

ITSAL


Esta función es Riemann-Integrable, porque se pueden calcular las áreas de los rectángulos escalonados. Y sin embargo, no es continua en una cantidad numerable de puntos, es decir, en 1/n, siendo n un número natural.

1.4 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA.

Si “f” es una función acotada en el intervalo [a,b], se definirá la integral definida de “f” en los siguientes términos:

∫a

b

f ( x )dx= limn→∞

∑i=1

n

f ( xi ) Δ x i= A

A condición de que exista este límite, a medida que el tamaño de todos los intervalos de la subdivisión tienda a cero y, por lo tanto, el número de intervalos “n” se aproxime al infinito.

El lado izquierdo de la ecuación muestra la notación de la integral definida. Los valores “a” y “b” que aparecen, respectivamente, debajo y arriba del signo de la integral se llaman límites de integración. El límite inferior de integración es “a”, y el límite superior de integración es “b”. La

notación∫a

b

f ( x )dxpuede escribirse como “la integral definida de f entre un límite x=a y un límite

superior x=b”, o más simple, “la integral de f entre a y b”. La función f(x) se llama integrando y dx diferencial de “x”, es decir, la variable con respecto al cual se va integrar el integrando.

1.5 TEOREMA DE EXISTENCIA.

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a,b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto “c” perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f (c) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b]. Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto “c” puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto “c” en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

1.6 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

ITSAL


Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración a x b.

1. Al intercambiar los límites de integración, la integral cambia de signo.

∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f ( x )dx

2. Si los límites de integración coinciden, la integral vale cero.

∫a

a

f ( x )dx=0

3. Cualquiera que sea los números a, b y c, cumple.

∫a

c

f ( x )dx ,=∫a

b

f ( x )dx+∫b

c

f ( x )dx cuando a < b < c

4. La integral de la suma es la suma de las integrales.

∫a

b

[ f ( x )±g (x )]dx=∫a

b

f ( x )dx±∫a

b

g( x )dx

5. Un factor constante puede sacarse fuera de la integral.

∫a

b

cf ( x )dx=c∫a

b

f ( x )dx

6. La integral de una función positiva, es positiva.

f(x)0, x[a,b]

∫a

b

f ( x )dx≥0

7. Si una función es menor que otra, entonces su integral también lo es.

f(x)g(x), x[a,b]

∫a

b

f ( x )dx≤∫a

b

g( x )dx

8. La integral de una función siempre está contenida entre dos valores. El rectángulo mínimo y el rectángulo máximo.

∫a

b

f ( x )dx=(b−a) f ( xo)

1.7 FUNCIÓN PRIMITIVA.

DEFINICIÓN 1. Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original.

Ejemplo: 1. Sea y= 3x2 + 2x + 18dydx

=6 x+2

dy=(6 x+2)dx

∫(6 x+2)dx=6x2

2+2 x=3 x2+2 x+c

DEFINICIÓN 2. Una función F recibe el nombre de antiderivada o primitiva de f en un intervalo IR si y solo si F’(x) = f(x) para todo xI.

ITSAL


TEOREMA 1.1. Si F es una función primitiva de f en un intervalo I R, entonces la antiderivada más general de f I es F(x) + C, donde C es una constante arbitraria.

Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden relacionar entre ellas. La suma y la resta son operaciones contrarias, la multiplicación y la división también son operaciones contrarias.

El proceso de ‘derivación’ es un conjunto de operaciones aritméticas (básicas), y como todas estas operaciones tienen su operación contraria, podemos decir que el proceso de derivación tiene su proceso contrario, en este caso, la antiderivación.

Actividad 4

Ejercicios: Determine la función primitiva más general de la función1. y=f(x) = 4 + x2 - 5x3

2. y=f(x) = x20 + 4x10 + 8

3. y=f(x) = 2x + 3x1:7

ITSAL


4. y=f ( x )=3√x2−√ x3=x2/3−x3/2

5.

y=f ( x )= 3

x2− 5

x4=3 x−2−5 x−4

6. y=f(x) = 3ex + 7 sec2 x

7. y=f(x) = e + sec tan

ITSAL


8. y= f ( x )= x2+x+1

x=x+1+x−1

Actividad 5

Ejercicio: Compruebe que la ecuación sea correcta por derivación

1. ∫ x

√ x2+1dx=√x2+1+c

2. ∫ x cos xdx=xsenx+cos x+c

ITSAL


3.

∫ 1

√ ( a2−x

2 )3

dx= x

a2√a2−x2+c

4. ∫ 1

x2√x2+a2dx=− √ x2+a2

a2 x+c

ITSAL


1.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

Si una función “f” es continua sobre un intervalo y “F” es cualquier antiderivada de “f”,

entonces para cualquier punto x=a y x=b en el intervalo, donde a

b,

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )

1.9 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.

Ejemplos: Resolver las siguiente integrales.

1)∫2

4

4 x2

dx

Solución:Aplicando propiedades, se tiene que:

∫2

4

4 x2

dx=4∫2

4

x2

dx

Integrando, se puede escribir que:

∫2

4

4 x2

dx=4∫2

4

x2

dx=4 x

3

3|

2

4

Ahora, se aplica de teorema fundamental del cálculo, obteniéndose:

ITSAL


3

224

3

32

3

256

3

324

3

344

4

2

24

∫ dxx

Por lo tanto, la respuesta final, viene dada por:

3

2244

2

24 ∫ dxx

2) ∫0

Π

senxdx= [−cos x ]0

Π

=[ (−cos Π )−(−cos0 )]=1−(−1)=1+1=2

v= x dv= dx

3)

∫0

a

(a2

x−x3)dx=[ a

2

x2

2− x

4

4 ]0

a

=[(a2

a2

2−a

4

4 )−(a2

02

2−0

4

4 )]=a4

2−a

4

4=

14a

4

4) ∫1

edxx

=[ ln x ]1

e

= [ ln e−ln 1 ]=1−0=1

v= x dv=dx

5)

∫0

1dx

e3 x

=∫0

1

e−3 x

dx=− 13

[ e−3 x ]0

1

=− 13

[(e−3(1 ))−(e−3(0)

)]=−13

[e−3

−e0 ]=− 1

3(0 .049−1 )=0 .3167

v= -3x dv= -3 dx

6) ∫0

Π /2

cos xdx= [ senx ]0

Π /2

=[( senΠ

2)−(sen 0)]=1

v= x dv= dx

Actividad 6

Ejercicio: Resuelva correctamente las siguientes integrales definidas

1. ∫2

7

3 xdx

2. ∫0

2

x2 dx

ITSAL


3. ∫−2

2

( x3+1 ) dx

4. ∫1

5

(2 x−1)dx

5. ∫1

2

(4−x2)dx

6. ∫0

1

(2 x−3 )dx

7. ∫1

2

( 5−xx3 )dx

8. ∫−2

0

( x−2 )(x+1)dx

9. ∫0

4

(1+2√ x )2dx

10. ∫−2

1

( x3

−2)2

dx

ITSAL


ITSAL

Documents

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.docx